Mecánica de sólidos Sesión 23

Flujo viscoso, medición de la viscosidad

REOLOGIA: Estudio  de  la  conducta  mecanica  (flujo)  de  los materiales. 

Elastico, Plastico, Viscoso y sus combinaciones

Conducta ductil o flujo viscoso

Quebradiza o plástico

Reología de la corteza

Elasticidad, viscosidad, conducta de sólidos y fluidos, y plasticidad

Liquido → viscosidadSólido → elasticidadAplicando un esfuerzo constante y pequeño:– Si el material resiste la deformación, es un sólido;– Si fluye, es un fluido.Aplicando un esfuerzo constante y pequeño que varia con el tiempo:– Si la deformación es proporcional a la fuerza el material es elástico;– Si la derivada en tiempo de la deformación (tasa de deformación) es 

proporcional al esfuerzo el material es viscoso (newtoniano)La plasticidad aparece con esfuerzos mas grandes:– Un material que se comporta como sólido a esfuerzos pequeños puede 

llegar a fluir– En este caso la plasticidad esta caracterizada por un esfuerzo de 

cedencia, mas allá del cual el material fluye

Flujo dúctil a partir de experimentos en minerales

En términos de los esfuerzos principales

La viscosidad disminuye exponencialmente con la temperatura y se incrementa exponencialmente con la presion!!

La reología de estos fluidos esta caracterizada por una ley de potenciasSi n=1 es un fluido newtonianoUn fluido no newtoniano con n=3 se utiliza para representar el manto

Comportamiento ductil: la roca se deforma continuamente sin perder la cohesion a lo largo de fracturas o fallas.La resistencia de las rocas es dependiente de la velocidad de deformacion pero independiente de la presion.

Newtonian: =σ/η Non-Newtonian: = A (σ)n

Caracteristica de:Cobertura (e.g., evaporitas, arcilla) y rocas metamorficas Corteza inferior continentalManto litosférico inferior

ε&ε&

Reología: comportamiento dúctil

Viscosidad

Resistencia que ofrece un fluido a deformarse.Puede ser pensada como una especie de fricción fluidaViscosidad es el coeficiente de viscosidad que determina la dinámica de fluidos newtonianos incompresibles;Viscosidad cinemática es la viscosidad dinámica dividida ente la densidad de un fluido Newtoniano;Viscosidad de volumen es el coeficiente de viscosidad que determina la dinámica de fluidos newtonianos compresibles;Viscosidad neta o Bulk viscosity es la viscosidad de volumenViscosidad de cizalla es la viscosidad cuando se aplica una esfuerzo de cizalla en un fluido no newtoniano;Viscosidad extensional es la viscosidad cuando se aplica un esfuerzo extensivo en un fluido no newtoniano.Viscosidad efectiva es la viscosidad a una tasa de deformación dada

Para un flujo paralelo, recto y uniforme, el esfuerzo de cizalla, τ, entre capas es proporcional al gradiente de velocidad, ∂u/∂y, en la dirección perpendicular a las capas de fluido 

Viscosidad es la relación entre la fuerza ejercida sobre la superficie de un fluido en dirección horizontal con el cambio en la velocidad (gradiente).A temperatura ambiente Agua tiene una viscosidad del orden de 1.0 x 10-3 Pa·sAceite de motor tiene una viscosidad aparente de 250 x 10-3 Pa·sValores de viscosidad típicos de materiales terrestres (manto) 10-17 a 10-22 Pa·s

Fluido

Placa de frontera fija

Placa móvil

Gradiente, δu/δy

velocidad

Esfuerzo de cizalla τ

Medidas de la viscosidad

eta (η), viscosidad; mu (μ) viscosidad dinámica. Unidad SI pascal‐segundo (Pa∙s), es 1 kg∙m−1∙s−1. – Un fluido de 1 Pa∙s colocado entre dos placas y una de estas es empujada 

con un esfuerzo de cizalla de un pascal se moverá una distancia igual al espesor del fluido en un segundo.

Unidad cgs poise (P), → Jean Louis Marie Poiseuille. – Se utiliza el centipoise por que el agua tiene una viscosidad de 1.0020 cP (at 20 

°C).– 1 P = 1 g∙cm−1∙s−1– Relación entre poise y pascal‐segundo:

10 P = 1 kg∙m−1∙s−1 = 1 Pa∙s1 cP = 0.001 Pa∙s = 1 mPa∙s

Viscosidad cinemática, ν, relación entre las fuerzas viscosas y fuerzas de inercia caracterizadas por la densidad del fluido ρ.

.donde μ viscosidad dinámica y  ρ densidad.La viscosidad cinemática (símbolo: ν) tiene unidades SI (m2∙s−1). La unidad cgs es el stokes (S or St). 1 stokes = 100 centistokes = 1 cm2∙s−1 = 0.0001 m2∙s−1.1 centistokes = 1 mm2/s

Viscosidad dinámica contra viscosidad cinemáticaLa conversión entre estas esta dada por  νρ = η. Notar que los parámetros deben estar dados en unidades SI.Por ejemplo,

si  ν = 1 St (=0.0001 m2∙s‐1) y ρ = 1000 kgm‐3

entonces η = νρ = 0.1 kg∙m−1∙s−1 = 0.1 Pa∙s.

Fluidos newtonianos

Es un fluido cuya curva de flujo pasa por el origen y su constante de proporcionalidad es la viscosidad. En otras palabras, el material continua fluyendo independiente de las fuerzas que actúan sobre el.

τ es el esfuerzo de cizalla ejercido por el fluido [Pa]μ es la viscosidad [Pa·s]

Es el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección de cizalla [s−1]

La viscosidad depende solo de la presión y temperatura

Con un tensor de esfuerzos          =

Fluidos newtonianos

Si el fluido es incompresible y la viscosidad constante a través del fluido, la ecuación para el esfuerzo de cizalla en un sistema cartesiano es 

τij is the shear stress on the ith face of a fluid element in the jth

directionui is the velocity in the i

th directionxj is the j

th direction coordinate

El tensor de esfuerzos viscosos lineal

Las fuerzas viscosas de un fluido son funcion de la tasa a la cual la velocidad del fluido cambia sobre la distancia.La velocidad es especificada por el vector de velocidad y la velocidada una distancia pequeña puede ser escrita como una serie de Taylor

Donde es una simplificacion del producto entre el operador del y la velocidad, el Jacobiano del campo de velocidadLas fuerzas viscosas son el resultado del desplazamiento relativoentre los elementos del fluido y por lo tanto se pueden expresarcomo una funcion del campo de velocidad. En otras palabras, las fuerzas son funcion de las derivadas en esepunto, en el caso de viscosidad lineal, las fuerzas viscosas seranfuncion del tensor JacobianoEsto es valido para muchos de los casos reales

Si representamos x, y, z por índices 1, 2, y 3, el componente  i,j puede quedar escrito como

Donde      es una simplificación  para 

– Notar que cuando los términos derivativos son cero, la velocidad de todos los elementos del fluido es paralela y no hay fuerzas de inercia

El campo de velocidad puede ser aproximado por:

índices repetidos en un producto son sumados implícitamente. El segundo termino es la parte asimétrica del termino derivativo y representa la rotación rígida del fluido alrededor de     con una velocidad angular ω donde:

Para tal rotación rígida no hay cambio en las posiciones relativas de los elementos del flujo, así que no hay fuerzas viscosas asociadas con este termino. 

El termino simétrico restante es responsable de las fuerzas viscosas del fluido.Para un fluido isotrópico, la forma mas general en la que el termino simétrico (tensor de tasa de deformación) puede ser expresado en una forma independiente de las coordenadas es como la suma de una tensor constante (la tasa de expansión) y un tensor simétrico (la tasa de cizalla):

Donde δij es el tensor unitario. Entonces la relación lineal mas general entre los esfuerzos y la tasa de deformación es una combinación lineal de estos dos tensores:

donde ζ es el coeficiente de viscosidad neta (bulk) y η es el coeficiente de viscosidad de cizalla.

Las fuerzas en el fluido son debidas a las velocidades de las moléculas individuales.La velocidad de una molécula puede ser pensada como la suma de la velocidad del fluido y la velocidad térmica.El tensor de esfuerzo viscoso arroja la fuerza solo de la velocidad del fluido. La fuerza sobre un área de elemento en el fluido es la presión hidrostática. Ester termino de presión ( − pδij) debe añadirse al tensor de esfuerzo viscoso para obtener el esfuerzo toal en el fluido:

La fuerza infinitesimal dFi sobre un área dAi es:

Fluidos no newtonianos

Son fluidos en los cuales la viscosidadcambia con respectoal esfuerzo y la tasa de deformacionaplicados. Como resultado pueden no tener una viscosidadbien definida.

Fluidos no newtonianoshttp://video.google.com/videoplay?docid=9179973177789877596

Fluidos newtonianos y no‐newtonianos

Graficas esfuerzo – deformacion para diferentes materiales

Materiales analogos para deformacion ductil

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0.05 0.1 0.15 0.2

strain rate

shea

r str

ess

Silicon-arena corindon 100:30

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

strain rate

shea

r str

ess

Silicon- arena de cuarzo 100:55

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12strain rate

shea

r str

ess

Silicon SGM36

Newtoniano

No-Newtonianopotencias

Reynolds number (Re):Re = Inertial forces / Viscous forces

= m a / {[η (V/L)]/L2} = ρ V2 L2 / {[η (V/L)]/L2}= ρ V2 L2 / (η V L)

Re = ρ L V/ η

V – velocidad media de flujo, [m s-1]L - Longitud, [m]μ - (absolute) dynamic fluid viscosity, [N s m-2] or [Pa s]ν - kinematic fluid viscosity: ν = μ / ρ, [m² s-1]ρ - fluid density, [kg m-3].

El numero de Reynolds

Viscometro coni-cilindrico del

LAMMG

Materiales Análogos: deformación dúctil

Permite obtener la curvas de esfuerzo vs tasa de deformacion de diferentes materiales

Asthenosphere: glycerol (+gypsum), honeyMagma: glycerol; low viscosity silicone (silicone+oleic acid)

To measure the rheological properties, viscometers are normally used

SiliconesMezclas de silicon y otros materiales (e.g., arena, barita) estas mezclas se

utilizan para aumentar la densidad y la resistencia del material ductil

Materiales analogos para la deformacion ductil

Materiales analogos: deformacion ductil