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ME623APlanejamento e Pesquisa
Blocagem em Experimentos FatoriaisEm algumas ocasiões, pode não ser
possível aleatorizar completamente todas as rodadas de um experimento fatorial
Por exemplo, a presença de um fator ruído pode sugerir que o experimento seja realizado em blocos
Uma variedade de fenômenos podem causar restrições na aleatorização (blocos): operador, lote de material, tempo, dia
Um experimentador pode conseguir uma replicação completa no dia 1, uma segunda replicação no dia 2, e assim por diante. Nesse caso, cada dia é considerado um bloco
Blocagem em Experimentos FatoriaisConsidere um fatorial com dois fatores (A e B) e n replicações
O modelo estatístico para esse delineamento é:
onde τi, βj e (τβ)ij representam os efeitos dos fatores A, B e da interação AB, respecitvamente
Suponha que precisemos de uma certa matéria-prima e esta é disponibilidade em lotes. Se o lote não for grande o suficiente para executar as abn rodadas, mas este for suficiente para ab observações, então faremos o experimento em blocos
Blocagem em Experimentos FatoriaisO modelo estatístico para para um fatorial com dois fatores e blocos é dado por:
onde δk representa o efeitos do k-ésimo bloco
Cada bloco contém uma replicação do fatorial completo (todos os tratamentos)
A ordem com que os tratamentos são aplicados é completamente aleatória dentro de cada bloco
Blocagem em Experimentos FatoriaisO modelo assume que a interação entre blocos e tratamentos são desprezíveis.
Isto também foi assumido no experimento de blocos completos aleatorizados.
Se estas interações existirem, elas não podem ser distinguidas do componente de erro.
Na verdade, o erro deste modelo consiste realmente das interações
Blocagem em Experimentos FatoriaisTabela ANOVA para um fatorial com dois fatores e blocos
Exemplo – RadarUm engenheiro está estudando métodos
para melhorar a habilidade de detectar alvos num radar
Dois fatores são considerados: ruído de fundo (3 níveis) e tipo de filtro colocado na tela (2 tipos)
O experimento consiste em aumentar a intensidade de um sinal até que este seja detectado. A variável resposta é então esta intensidade do sinal emitido quando o operador consegue detectá-lo
Diferentes operadores participarão do experimento, e como eles têm habilidades diferentes, é razoável considerar cada operador como um bloco
Exemplo – Radar
Operador
1 2 3 4
Filtro 1 2 1 2 1 2 1 2RuídoBaixo 90 8
696 8
410092
92 81
Médio 10287
10690
10597
96 80
Alto 114 93
112 91
10895
98 83
Dados observados:
Vamos analisar os dados acima e verificar se o nível de ruído e o tipo de filtro influenciam na detecção do sinal
Também veremos se existe interação
Exemplo – RadarO modelo linear para esse experimento é:
em que τi representa o efeito do nível de ruído, βj representa o tipo de filtro, (τβ)ij é a interação e δk é o efeito do operador (bloco)
As SS dos efeitos principais e da interação são calculadas da maneira usual. E a SSBloco:
Exemplo – RadarTabela ANOVA:
aov(formula = dados ~ filtro * ruido + Error(oper))
Ambos efeitos principais (nível de ruído e tipo de filtro) são significantes
A interação é significante a um nível de significância de 10%
Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos Suponha que existem duas restrições na
aleatorização, ou seja, dois fatores ruído e cada um tem p níveis
Se além disso, o número de tratamentos no experimento com k fatores é exatamente p
Então o experimento fatorial pode ser realizado num quadrado latino p x p
Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos Suponha a seguinte modificação para o
exemplo do radar:
Suponha que apenas 6 rodadas podem ser feitas por dia.
Assim, “dias” se torna uma segunda restrição na aleatorização, resultando em um quadrado latino 6x6
Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos
Operador
Dia 1 2 3 4 5 6
1 A(90) B(106) C(108) D(81) F(90) E(88)
2 C(114) A(96) B(105) F(83) E(86) D(84)
3 B(102) E(90) F(95) A(92) D(85) C(104)
4 E(87) D(84) A(100) B(96) C(110) F(91)
5 F(93) C(112) D(92) E(80) A(90) B(98)
6 D(86) F(91) E(97) C(98) B(100) A(92)
A = f1g1, B = f1g2, C = f1g3, D = f2g1, E = f2g2, F = f2g3 onde f = filtro, e g =
ruído
Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos
O Modelo é:
Onde
São os efeitos dos dias e operadores, que indicam a restrição na aleatorização.
Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisÉ comum encontrar situações
onde a número de observações nas células é diferente.
Isso pode acontecer por várias razões:
O pesquisador pode ter planejado um experimento balanceado, mas problemas surgiram no meio do caminho a algumas UE foram perdidas
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisAs vezes experimentos não
balanceados são planejados para serem assim
Alguns tratamentos podem ser muito caros ou mais difíceis de se aplicar, então poucas observações são feitas nestas células
Ou algumas combinações podem ser de maior interesse
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisSuponha um experimento
fatorial(2)
Número de observações em cada célula é
Seja o número de obs. na i-ésima linha e
o número de obs. na j-ésima coluna
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados proporcionais(+fácil)
O número de observações em quaisquer duas linhas ou colunas são proporcionais
Neste caso, a análise de variância é a mesma, apenas com algumas modificações nas somas de quadrados:
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados
proporcionais(+fácil)
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados
proporcionais(+fácil)
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados
proporcionais(+fácil)Exemplo:
Mostre que é balanceado!
Temperatura
Material 15 70 125
1 130 155 34 40 70 58
74 180 80 75
2 159 126 136 115 45
3 138 160 150 139 96
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados
proporcionais(+fácil)Exemplo:
Exercício: verificar o resultado do R e comparar com o livro
Temperatura
Material 15 70 125
1 130 155 34 40 70 58
74 180 80 75
2 159 126 136 115 45
3 138 160 150 139 96
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados
proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: Quando os dados não estão
“longe” de serem balanceados.
Faz o problema ficar bem mais fácil, dada a dificuldade de lidar com dados muito desbalanceados
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: a) Estimar observações faltantes
Se apenas algumas observações faltam
Para um modelo com interação, o estimador da célula faltante que minimiza a soma dos quadrados dos erros é
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados
proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: a) Estimar observações faltantes
Então estimamos aquele valor por
A análise procede como usual, exceto que tiramos graus de liberdade do erro
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: b) Deixar dados de lado
Suponha que em um experimento fatorial com dois fatores (3 niveis cada), temos 4 observações para cada tratamento, mas um só tratamento tem 5 observações
Não compensa estimar todas as outras observações (18% dos dados)
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados
proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: b) Deixar dados de lado
Deixa esta observação de lado e fique com dados balanceados de n = 4
Escolha uma observação deste tratamento aleatoriamente
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados
proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: b) Médias PonderadasYates(1934)Tratar as médias das células
como os dados e fazer a análise usual.
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: b) Médias PonderadasMas MSE estima a variância de 1
observacao y e estamos tratando das médias de cada célula, então usamos
Com n.. – ab graus de liberdadeGrande vantagem computacional
Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 2: Método exato
Ver artigos citados no livro do Montgomery
Usar SAS
ExercícioConsidere o modelo fatorial de 3
fatores
i = 1…aj = 1…bk = 1…cNote que só há uma replicação. Se
todos os fatores forem fixos, escreva a tabela ANOVA, incluindo as esperanças dos erros quadráticos médios.