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Planejamento de Experimentos
7 Blocagem e Confundimento(Superposicao)
nos Planos 2k
7.1 Introducao
Em muitas situacoes e impossıvel rodar todas
as combinacoes de tratamento num plano 2k
sob condicoes homogeneas.
Ja vimos que uma tecnica usada para con-
tornar o problema da variabilidade extra e a
blocagem.
Neste capıtulo veremos duas situacoes de blo-
cagem num plano 2k:
- com replicacao e
- sem replicacao.
1
7.2 Blocagem num plano fatorial 2k quando se
tem replicacoes.
Se existem n replicacoes do plano 2k pode-
mos rodar cada replicacao em um bloco ca-
racterizado por um conjunto de condicoes ho-
mogeneas.
A ordem na qual cada combinacao de trata-
mento e observada em cada bloco e aleatoria
→ EBCA.
Exemplo 7.1: Considere o processo quımico
descrito em exemplo do capıtulo 6 sobre o
efeito de dois fatores: concentracao de re-
gaente e catalisador sobre a producao. Supo-
nha que somente quatro observacoes experi-
mentais podem ser realizadas para cada lote
de materia-prima. Neste caso, cada replicacao
e olhada como um bloco e os dados sao
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trat. Bl. I Bl. II Bl. III total(1) 28 25 27 80a 36 32 32 100b 18 19 23 60ab 31 30 29 90total 113 106 111 330
FV g.l. SQ QM F p-valorA 1 208,33 208, 33 50,32 0,0004B 1 75,00 75,00 18,12 0,0053AB 1 8,33 8,33 2,01 0,2060Bloco 2 6,50 3,25Erro 6 24,84 4,14Total 11 321,00
Observe que as conclusoes sao as mesmas obti-
das no exemplo anterior.
Vimos nesta secao o caso em que as replicacoes
sao tratadas como blocos. Observe que nao ha
nada de diferente com a situacao descrita na
secao 5.6 sobre blocagem experimentos fato-
riais.3
7.3 Confundimento no Plano Fatorial 2k
Ha situacoes em que a blocagem e necessaria,
porem dispoe-se de apenas uma replicacao com-
pleta do plano. Como tratar esta situacao?
Uma solucao e usar uma tecnica que faz com
que certos efeitos de tratamento, geralmente
efeitos de interacoes de ordens maiores, sejam
indistiguıveis ou “confundidos” com os blocos.
Confundimento (Superposicao)
Veremos aqui sistemas de confundimento nos
planos 2k.
Apesar dos planos apresentados aqui serem pla-
nos em blocos incompletos, pois cada bloco
nao contem todos os tratamentos, a estrutura
especial dos planos 2k permite um metodo de
analise mais simples.
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Consideraremos a construcao e analise de pla-
nos 2k em 2p blocos incompletos, p < k. Con-
sequentemente, estes planos poderao ser ro-
dados em dois blocos (se p = 1), 4 blocos (se
p = 2), 8 blocos (se p = 3), etc.
7.4 Confundimento do plano 2k em dois blocos
(p = 1).
Suponha um plano 22 do qual se dispoe de
recursos para realizar apenas 4 observacoes.
Cada observacao requer uma materia-prima cu-
jo lote e apenas suficiente para a realizacao de
duas observacoes. Logo, o experimento requer
dois blocos (lotes).
A figura a seguir ilustra um plano possıvel para
este experimento.
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6
Geometricamente, os blocos sao formados pe-los vertices das diagonais do quadrado.
Bloco I: (1) e ab
Bloco II: a e b
A ordem na qual os tratamentos sao observa-dos em cada bloco e aleatoria. A ordem deobservacao dos blocos tambem e aleatoria.
Lembre que os efeitos principais A e B saodados por
A = 12[ab− b+ a− (1)], B = 1
2[ab− a+ b− (1)],pois n = 1.
Observe que A e B nao sao afetados pela blo-cagem, pois em cada bloco e possıvel avaliaro efeito principal de A e de B.
Porem, nao sera possıvel avaliar a interacaoAB usando os blocos.
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8
Considere o efeito de interacao
AB = 12[ab+ (1)− a− b].
As combinacoes dos dois tratamentos com sinal
“+” estao no bloco I e as combinacoes com
sinal “-” estao no bloco II, nao sendo possıvel
usar os blocos para avaliar AB.
Tabela de Sinais do Plano 22
trat. I A B AB Bloco(1) + - - + IIa + + - - Ib + - + - Iab + + + + II
→ Nao e possıvel separar o efeito de bloco do
efeito de interacao.
Por esta razao, dizemos que AB e confundido
com blocos.9
Por exemplo, se os blocos tivessem sido definidos
por
Bloco I: (1) e b
Bloco II: a e ab
o confundimento ocorreria com o efeito prin-
cipal relativo ao fator A. Por que?
A pratica usual e confundir as interacoes de
maior ordem com blocos.
Este esquema pode ser usado para confundir
qualquer efeito de interacao de um plano 2k
sem replicacao em dois blocos.
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Observe que neste caso, com apenas 4 ob-
servacoes, nao podemos fazer inferencias, pois
nao sobram graus de liberdade para o erro
experimental: 1 grau para A, 1 para B e 1
para bloco ou AB dos tres graus de liberdade
disponıveis.
Como um segundo exemplo, considere um pla-
no 23 a ser realizado em dois blocos (sem
replicacao). Suponha tambem que o mesmo
sera construıdo tal que o efeito de interacao
ABC seja confundido com blocos.
A partir da tabela de sinais, e muito simples
identificar os blocos correspondentes.
trat. I A B C AB AC BC ABC Bloco(1) + - - - + + + - Ia + + - - - - + + IIb + - + - - + - + IIab + + + - + - - - Ic + - - + + - - + IIac + + - + - + - - Ibc + - + + - - + - Iabc + + + + + + + + II
11
12
As observacoes dentro de cada bloco sao re-
alizadas em ordem aleatoria, ou seja, as com-
binacoes de tratamento dentro de cada bloco
sao sorteadas para entao realizar a observacao.
A ordem dos blocos tambem e aleatoria.
A seguir um resumo da tabela ANOVA deste
caso.
FV glA 1B 1C 1AB 1AC 1BC 1Bloco ou ABC ou erro 1total 7
Novamente, bloco, efeito confundido e erro
nao podem ser separados.
13
Outras formas de construcao dos blocos.
Considere a combinacao linear
L = α1x1 + α2x2 + ...+ αkxk (1)
xi representa o nıvel do i-esimo fator, i =
1,2, ..., k
αi representa o coeficiente do i-esimo fator no
efeito confundido (0 ou 1).
Nos planos 2k, xi =
{0, nıvel baixo1, nıvel alto
e
αi =
{0, se efeito nao esta presente no efeito confundido1, se efeito esta presente efeito confundido
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Considere novamente um plano 23 em dois blo-
cos com ABC confundido.
Neste caso L = x1 + x2 + x3, pois α1 = α2 =
α3 = 1.
tratamento (x1, x2, x3) L(mod 2) Bloco(1) (0,0,0) 0 Ia (1,0,0) 1 IIb (0,1,0) 1 IIc (0,0,1) 1 IIab (1,1,0) 0 Iac (1,0,1) 0 Ibc (0,1,1) 0 Iabc (1,1,1) 1 II
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Observacao: A equacao (1) e chamada equa-
cao de definicao de contraste. Combinacoes
de tratamento que produzem o mesmo valor
de L(mod2) serao alocadas ao mesmo bloco.
Um outro metodo pode ser usado para cons-
truir estes planos. O bloco contendo a com-
binacao (1) e chamado bloco principal.
As combinacoes de tratamento no bloco prin-
cipal tem uma propriedade de grupo, a saber,
→ formam um grupo com respeito a multi-
plicacao modulo 2.
→ qualquer elemento, exceto o (1), no bloco
principal pode ser gerado pela multiplicacao
modulo 2 de outros dois elementos no bloco
principal.
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Por exemplo, considere o plano 23 em 2 blocos
com ABC confundido. Neste caso, o bloco
principal e composto pelas combinacoes: (1),
ab, ac e bc.
Observe que
ab.ac = a2bc = bc
ab.bc = ab2c = ac
ac.bc = abc2 = ab
As combinacoes de tratamento no outro bloco
(nos outros blocos) podem ser geradas multi-
plicando-se modulo 2 um elemento do novo
bloco por cada elemento no bloco principal.
b.(1) = bb.ab = ab.ac = abcb.bc = c
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Usando este metodo num plano 24 com ABCD
confundido tem-se
L = x1 + x2 + x3 + x4
tratamento (x1, x2, x3, x4) L(mod 2) Bloco(1) (0,0,0,0) 0 Ia (1,0,0,0) 1 IIb (0,1,0,0) 1 IIab (1,1,0,0) 0 Ic (0,0,1,0) 1 IIac (1,0,1,0) 0 Ibc (0,1,1,0) 0 Iabc (1,1,1,0) 1 IId (0,0,0,1) 1 IIad (1,0,0,1) 0 Ibd (0,1,0,1) 0 Icd (0,0,1,1) 0 Iabd (1,1,0,1) 1 IIacd (1,0,1,1) 1 IIbcd (0,1,1,1) 1 IIabcd (1,1,1,1) 0 I
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Assim temos
Bloco Principal: (1), ab, ac, ad, bc, bd, cd, abcd
Outro bloco: a, b, c, d, abc, abd, acd, bcd.
Novamente, bloco, efeito confundido e erro
nao podem ser separados.
Para poder estimar o erro, se k for pequeno, 2
ou 3, sera necessario replicar o experimento.
Suponha um plano 23 em dois blocos com
ABC confundido e 4 replicacoes como mostra
a figura a seguir.
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Como existem 8 blocos, 7 graus de liberdade
devem estar associados com estes blocos.
Uma particao destes 7 graus de liberdade e
mostrada na tabela a seguir.
FV glReplicacoes 3Blocos (ABC) 1Replicacoes:ABC 3A 1B 1C 1AB 1AC 1BC 1Erro 18Total 31
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Sao 32 observacoes e 31 graus de liberdade. Asoma de quadrados dos erros consiste, de fato,das interacoes de dois fatores entre replicacoese cada um dos efeitos (A, B, C, AB, AC e BC).
Geralmente e seguro considerar interacoes demaior ordem desprezıveis e tratar o quadradomedio resultante como uma estimativa da va-riacao amostral.
Efeitos principais e de interacao de ordem 2sao testados contra QMRes
Se ha recursos suficientes para permitir a repli-cacao de planos confundidos e melhor usar ummetodo ligeiramente diferente para designar osblocos em cada replicacao. Esta abordagemconsiste em confundir um efeito diferente emcada replicacao tal que alguma informacao detodos os efeitos seja obtida.
→ confundimento parcial ←22
Se k ≥ 4, frequentemente pode-se bancar ape-
nas uma replicacao do experimento. Neste
caso, costuma-se assumir que interacoes de
maior ordem sao desprezıveis e combina-se suas
somas de quadrados com o erro. O grafico
de probabilidade normal dos efeitos dos fatores
pode ser util neste contexto.
Exemplo 7.2: Considere novamente a situacao
descrita no exemplo 6.2 (processo quımico) na
qual investiga-se o efeito de 4 fatores sobre a
taxa de filtragem do produto. Os fatores sao A
- temperatura, B - pressao, C - concentracao
de formaldeıdo, D - taxa de mistura.
Este experimento sera usado para ilustrar a
nocao de blocagem e confundimento em ex-
perimentos nao replicados.
Serao feitas duas modificacoes no experimento
original.
23
Primeiro, suponha que as 24 = 16 combinacoes
de tratamento nao podem ser realizadas to-
das no mesmo lote de materia-prima. O ex-
perimentador pode realizar 8 observacoes para
cada lote, tal que um plano 24 confundido em
dois blocos parece ser apropriado neste caso.
E natural confundir a interacao de maior ordem
ABCD com blocos. Neste caso, o contraste de
definicao e dado por L = x1 + x2 + x3 + x4. O
plano resultante deste constraste de definicao
e mostrado na figura a seguir.
24
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A segunda modificacao feita foi introduzir um
efeito de bloco tal que a utilidade da blocagem
possa ser verificada. Suponha que quando se-
lecionamos os dois lotes de materia-prima, um
deles e de qualidade inferior e, como resultado,
todas as respostas serao 20 unidades menores
neste lote de material em relacao ao outro.
(bloco I - qualidade inferior, bloco II - qualidade
ok.) Agora todas as observacoes no bloco I sao
feitas em ordem aleatoria das combinacoes de
tratamento, mas as respostas sao 20 unidades
menores. Na figura a seguir os valores obser-
vados, com a introducao do efeito de bloco,
sao apresentados.
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A seguir apresentamos as estimativas dos efei-
tos desta versao modificada do experimento.
Observe que as estimativas sao identicas aque-
las obtidas no exemplo 6.2 (aula 17) no qual
nao havia efeito de bloco.
Um grafico de probabilidade normal dos efeitos
indica que os efeitos importantes sao A, C, D,
AC e AD, exatamente como tınhamos con-
cluıdo anteriormente.
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E o efeito ABCD?
A estimativa deste efeito no experimento ori-
ginal foi 1.375.
No presente exemplo, a estimativa do efeito de
interacao ABCD e -18.625.
Como ABCD e confundido com blocos, a es-
timativa original do efeito de ABCD (1.375)
mais a estimativa do efeito de bloco (-20) re-
sulta em -18.625.
O efeito de bloco tambem pode ser calculado
diretamente pela diferenca entre as medias a-
mostrais em cada bloco, resultando em -18.625.
Claro que este efeito de fato estima
Bloco + ABCD.
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A tabela a seguir resume a ANOVA deste ex-
perimento considerando apenas os efeitos sig-
nificativos.
Observe que, se o experimento nao tivesse sido
rodado em blocos, com um efeito de magni-
tude -20 afetando as 8 primeiras observacoes
(bloco I), os resultados poderiam ter sido muito
diferentes.