UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

PROGRAMI I STUDIMIT: Analizë dhe Algjebër

DISERTACION

PËR MARRJEN E GRADËS “DOKTOR I SHKENCAVE”

MBI DISA ASPEKTE APLIKATIVE TË

KATEGORIVE

NË TEORINË E RISHKRIMIT

Doktorante Udhëheqës Shkencor

Jollanda Shara Prof. Asoc. Dr. Elton Pasku

Tiranë, 2018

i

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

Disertacion

i paraqiturnga

Znj. Jollanda Kristo Shara

Udhëhequr nga

Prof.Asoc.Dr.Elton Pasku

Për marrjen e gradës shkencore

Doktor i Shkencave

Programi i studimit: Analizë dhe Algjebër

Tema: Mbi disa aspekte aplikative të kategorive në teorinë e

rishkrimit

Mbrohetmëdt. parajurisë:

1. Kryetar

2. Anëtar (oponent)

3. Anëtar (oponent)

4. Anëtar

5. Anëtar

ii

PËRMBAJTJA

Hyrje ........................................................................................................................................... v

1. Shënime hyrëse ...................................................................................................................... 1

1.1 Disa nocione bazë të teorisë së kategorive ..................................................................... 1

1.2 Sistemet e rishkrimit të zinxhirave të karaktereve ........................................................ 11

1.3 Algjebrat Universale ....................................................................................................... 19

1.4Disa shënime për Γ-gjysmëgrupet ................................................................................... 22

2. Ω-gjysmëgrupet e lira ........................................................................................................... 27

2.1 Hyrje ............................................................................................................................... 27

2.2 Ekuivalencat ................................................................................................................... 30

2.3 Kongruencat në Γ-gjysmëgrupet .................................................................................... 31

2.4 Ndërtimi i Γ-gjysmëgrupeve të lira ................................................................................ 32

2.5 Disa veti të Γ-gjysmëgrupeve të lira .............................................................................. 37

2.6 Paraqitjet e Γ-gjysmëgrupeve ........................................................................................ 39

3. FDT për Ω-monoidët ............................................................................................................ 42

3.1 Hyrje ............................................................................................................................... 42

3.2 Paraqitjet e Ω-monoidëve .............................................................................................. 44

3.3 Rregulla rishkrimi dhe reduktime .................................................................................. 46

3.4 Terminacioni dhe bashkrrjedhshmëria .......................................................................... 46

3.5 Piket kritike .................................................................................................................... 48

3.6 Probleme vendimarrjeje ................................................................................................. 51

3.7 Tipi i derivimit të fundmë (FDT) ..................................................................................... 52

3.8 Paraqitje e fundme e M dhe FDT ................................................................................... 65

4. Një përqasje kategorike e FDT për Ω-monoidët .................................................................. 69

4.1 Hyrje ............................................................................................................................... 69

4.2 2-kongruencat, reduktimet dhe derivimet .................................................................... 71

4.3 Paraqitjet dhe kategoritë e derivimeve ......................................................................... 72

4.4 FDT ................................................................................................................................. 74

4.5Derivime në një paraqitje të plotë .................................................................................. 76

5. Dy shembuj zbatimi të kategorive në shkencën kompjuterike ............................................ 78

5.1 Gjuhët e programimit funksional dhe kategoritë .......................................................... 78

5.2 Çfarë janë bazat e të dhënave? ..................................................................................... 80

iii

5.3 Çelësa primarë, çelësa të jashtëm dhe shtylla të dhënash ............................................ 80

5.4 Rregulla biznesi .............................................................................................................. 81

5.5 Shtyllat e të dhënave si çelësa të jashtëm ..................................................................... 82

5.6 Skema ................................................................................................................................. 82

5.7 Instancat ............................................................................................................................. 83

5.8 Skemat e bazave të të dhënave paraqesin kategori .......................................................... 83

5.9Kategoritë dhe skemat janë ekuivalente, Cat≃Sch ............................................................ 84

5.10Vërtetimi i ekuivalencës .................................................................................................... 86

Konkluzione .............................................................................................................................. 87

Referenca ................................................................................................................................. 88

Falënderime ............................................................................................................................. 91

Summary .................................................................................................................................. 92

iv

DEKLARATË

Në Kapitullin I, përfshihen disa nocione dhe rezultate bazë nga teoria e kategorive, të cilat

pasqyrohen në [1], [12], [40], [41], [42], sistemet e rishkrimit të stringjeve, të cilat mund të

gjenden në [9], [10], [34], [43], [44], algjebrat universale ashtu siç pasqyrohen në [3], [6] dhe

𝛤-gjysmëgrupet si në [20], [21], [25], [26], [27], [28], [29], [46].

Puna origjinale e autores përfshihet në Kapitujt II, III dhe IV. Materialet që kanë të bëjnë me

shembujt e zbatimit të kategorive në shkencën kompjuterike gjenden në [13], [11].

v

HYRJE Qëllimi i këtij punimi ështëparaqitja e disa aspekteve aplikative të kategorive në shkencën

kompjuterike teorike, veçanërisht, këtu, në teorinë e rishkrimit si dhe në shkencën

kompjuterike, në përgjithësi.

Në vitet e fundit vihet re një interesim gjithmonë e më i madh i studjuesve të matematikës

dhe shkencës kompjuterike teorike në problemet që lidhen me sistemet e rishkrimit. Kështu

shpjegohet edhe numri i madh i punimeve që kanë si objekt studimi probleme që kanë të

bëjnë me teorinë e rishkrimit. Duke marrë shtysë dhe duke u frymëzuar prej tyre vendosëm të

përgjithësojmë disa rezultate të spikatura siç janë p.sh. rezultatet në [15] në rastin e Ω-

monoidëve. Ω-gjysmëgrupet përkufizohen për herë të parë prej nesh dhe siç tregohet në këtë

punim janë përgjithësim i gjysmëgrupeve. Këto çështje trajtohen në Kapitullin III që përbën,

do të thoshim, zemrën e punimit. Në këtë kapitull provojmë edhe rezultatin kryesor të tij

sipas të cilit FDT është një konditë e nevojshme që një Ω-monoid me paraqitje të fundme

duhet të kënaqi në mënyrë që ai të mund të paraqitet me ndonjë sistem të fundmë konvergjent

të rishkrimit të zinxhirave të karaktereve.

Në Kapitullin II ndërtojmë Ω-gjysmëgrupet e lira duke përdorur vetinë universale dhe japim

edhe një sërë pohimesh të rëndësishme të cilat plotësojnë këtë kuadër duke filluar me

përgjithësime të rezultateve të njohura nga teoria e gjysmëgrupeve dhe duke përfunduar me

një përshkrim të shkurtër të paraqitjeve të tyre.

Në Kapitullin IV japim një përqasje kategorike të FDT për Ω-monoidët duke përgjithësuar

një rezultat analog për monoidët.

Dhe së fundi, tek Shtojca, ilustrojmë lidhjen e ngushtë që ekziston midis teorisë së kategorive

dhe shkencës kompjuterike duke dhënë dy shembuj të thjeshtë, të cilët hedhin pak dritë në

gjithë atë mori zbatimesh të kategorive në atë fushë. Kjo lidhje, tashmë, është e njohur dhe

siç theksohet në [13]

“ …Interesi intensiv në teorinë e kategorive ndërmjet kërkuesve të shkencës kompjuterike në

vitet e fundit është në saje pjesërisht të njohjes së faktit se ndërtimet në gjuhët e programimit

funksional e bëjnë një gjuhë të programimit funksional të ngjasojë shumë me një kategori.

Fakti që sistemet deduktive janë esencialisht kategori është përdorur gjithashtu mjaft në

shkencën kompjuterike…”.

vi

Dhe më tej, në [14]

“…Ekziston një komunitet aktiv i cili përdor metodat kategorike në shkencën kompjuterike,

në fusha të tilla si semantika e llogaritjeve, koalgebra, rishkrimi i grafeve dhe logjika

kompjuterike dhe teoritë e tipit. Shkenca kompjuterike mund të deklarojë se i përket nderi i të

qenit fusha e parë në të cilën teoria e kategorive është bërë matematikë e zbatuar, me zbatime

jashtë degëve të tjera të matematikës së pastër…”.

1

KAPITULLI I

SHËNIME HYRËSE

1.1.Disa nocione bazë të teorisë së kategorive.

Teoria e kategorive po ze gjithmonë e më shumë një vend mjaft të rëndësishëm në

matematikënë kohën tonë. E njëjta gjë mund të thuhet edhe për shkencat kompjuterike

teorike. Ajo zbatohet gjithashtu edhe në fizikën matematike. Duke u shprehur ndryshe,ajo

është një teori e përgjithshme matematike e strukturave dhe sistemeve të strukturave.

Ndërkohë që teoria e kategorive është akoma duke evoluar, funksionet e saj janë gjithashtu

duke u zhvilluar, zgjeruar dhe shumëfishuar. Së paku, ajo përbën një gjuhë të fuqishme,ose

një skemë pune,që na lejon të shohim komponentet universale të një familjeje strukturash të

një lloji të dhënë,dhe se si struktura të llojeve të ndryshme janë të lidhura midis tyre. Teoria e

kategorive është si një objekt interesant i studimit filozofik,ashtu edhe një mjet formal

potencialisht i fuqishëm për hetime filozofike të koncepteve si hapësira, sistemi dhe madje

vetë e vërteta. Ajo mund të zbatohet në studimin e sistemeve logjike, rast në të cilin teoria e

kategorive është quajtur “doktrinë kategorike” në nivelet semantike, sintaksore dhe vërtetim

teorik. Teoria e kategorive është një alternativë e teorisë së bashkësive si një bazë për

matematikën. Si e tillë,ajo ngre shumë çështje rreth ontologjisë dhe epistimologjisë

matematike, duke ju dhënë filozofëve dhe logjicienëve një tematikë të larmishme për t‟u

menduar.

Çfarë është, pra,teoria e kategorive? Si një përqasje e parë, mund të thuhet se teoria e

kategorive është studimi matematik i algjebrave (abstrakte) të funksioneve. Ashtu sikurse

teoria e grupeve është abstraksioni i idesë së një sistemi permutacionesh të një bashkësie

simetrish të një objekti gjeometrik, po kështu teoria e kategorive ngrihet mbi bazën e një

sistemi funksionesh midis disa objekteve. Si degë e algjebrës abstrakte,teoria e kategorive u

shpik sipas traditës së Felix Klein‟s Erlanger Programm, si një mënyrë për studimin dhe

karakterizimin e strukturave matematike të llojeve të ndryshme. Nocioni i përgjithshëm i një

2

kategorie jep një karakterizim të nocionit të një “transformimi strukturë-ruajtës” dhe kështu të

një sërë strukturave të cilat lejojnë të tilla transformime.

Zhvillimi historik i teorisë së kategorive ka kaluar nëpër mes ngjarjeve të mëposhtme:

1945 Eilenberg and Mac Lane‟s “General theory of natural equivalences” përbën artikullin

origjinal,në të cilin u formulua teoria fillimisht.

1940 Aplikimet kryesore ishin fillimisht në fushat e topologjisë algjebrike,në veçanti në

teorinë e homologjisë,dhe algjebrën abstrakte.

1950 A. Grothendieck et al. e përdorën teorinë e kategorive me sukses shumë të madh në

gjeometrinë algjebrike.

1960 F.W. Lawvere dhe të tjerë filluan zbatimin e teorisë së kategorive në logjikë,duke

zbuluar disa lidhje të thella dhe të çuditshme midis tyre.

1970 Zbatimet e kategorive filluan të shfaqen tashmë në shkencën kompjuterike,

linguistikë,sistemet konjitive,filozofi dhe shumë fusha të tjera.

Eshtë, me të vërtetë,shumë domethënës fakti që kategoritë kanë një spektër kaq të gjerë

aplikimesh.Në fakt,teoria e kategorive,është kthyer në një lloj gjuhe matematike

universale,sikurse edhe teoria e bashkësive. ([12])

Shumë fusha të rëndësishme të matematikës mund të formalizohen nëpërmjet teorisë së

kategorive si kategori. Teoria e kategorive, pra, është një abstraksion i vetë matematikës që

bën të mundur formulimin, vërtetimin e shumë problemeve të ndërlikuara dhe delikate të

matematikës me mënyra shumë më të thjeshta nga ato që nuk përdorin kategoritë.

Një kategori 𝑪 konsiston në tre entitetet e mëposhtme matematike:

Një klasë ob(𝑪), elementet e së cilës quhen objekte;

Një klasë hom(𝑪), elementet e së cilës quhe morfizma ose shigjeta.Çdo morfizëm ka

një objekt fillim𝑎 dhe një objekt fund𝑏.

Shprehja 𝑓 : 𝑎 → 𝑏, do të lexohet si "𝑓 është një morfizëm nga 𝑎 në 𝑏".

Shprehja hom(𝑎, 𝑏)- alternativisht e shprehur si homC(𝑎, 𝑏), mor(𝑎, 𝑏), ose C(𝑎, 𝑏)-

paraqet hom-klasin e të gjithë morfizmave nga 𝑎 në 𝑏.

Një operacion binar ∘, i quajtur kompozim i morfizmave,i tillë që për çdo tre elemente

𝑎, 𝑏, dhe 𝑐, kemi hom(𝑏, 𝑐) × hom(𝑎, 𝑏) → hom(𝑎, 𝑐). Kompozimi i 𝑓 : 𝑎 → 𝑏 and

𝑔 : 𝑏 → 𝑐 shkruhet në formën𝑔 ∘ 𝑓 ose 𝑔𝑓, dhe plotëson dy aksiomat e mëposhtme:

3

o Shoqërueshmëria: Në qoftë se 𝑓 : 𝑎 → 𝑏, 𝑔 : 𝑏 → 𝑐 dhe 𝑕 : 𝑐 → 𝑑 atëhere

𝑕 ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (𝑕 ∘ 𝑔) ∘ 𝑓, dhe

o Identiteti: Për çdo objekt 𝑥, ekziston një morfizëm 1𝑥 : 𝑥 → 𝑥 i quajtur

morfizmi identikpër𝑥, i tillë që për çdo morfizëm 𝑓 : 𝑎 → 𝑏, kemi 1𝑏 ∘ 𝑓 =

𝑓 = 𝑓 ∘ 1𝑎 .

Një kategori 𝑪dotë quhet e vogël në qoftë se si koleksioni i objekteve të saj ashtu dhe ai i

morfizmave janë bashkësi. Kategoria e kategorive të vogla, që shënohet 𝑪𝒂𝒕, është kategoria

objektet e së cilës janë kategoritë e vogla dhe morfizmat e së cilës janë funktorë midis

kategorive.

Një grupoid është një kategori e vogël në të cilën çdo morfizëm është një izomorfizëm. Më

saktë, një grupoid 𝐺 është:

Një bashkësi 𝐺0 objektesh;

Për secilin çift 𝑥 dhe 𝑦 në 𝐺0, ekziston një bashkësi shigjetash 𝐺(𝑥, 𝑦) nga 𝑥 në 𝑦 (e

cila mund të jetë edhe bosh);

Për çdo objekt 𝑥 një element 𝑖𝑑𝑥 i 𝐺(𝑥, 𝑥);

Për çdo treshe objektesh 𝑥, 𝑦, 𝑧 një funksion 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑥 ,𝑦 ,𝑧 : 𝐺 𝑦, 𝑧 × 𝐺 𝑥, 𝑦 →

𝐺 𝑥, 𝑧 : (𝑔, 𝑓) ⟼ 𝑔𝑓;

Për secilin çift objektesh 𝑥, 𝑦 një funksion 𝑖𝑛𝑣: 𝐺 𝑥, 𝑦 → 𝐺 𝑦, 𝑥 : 𝑓 ⟼ 𝑓−1;

që kënaqin për çdo 𝑓: 𝑥 → 𝑦, 𝑔: 𝑦 → 𝑧 dhe 𝑕: 𝑧 → 𝑤

𝑓𝑖𝑑𝑥 = 𝑓, 𝑖𝑑𝑦𝑓 = 𝑓;

𝑕𝑔 𝑓 = 𝑕(𝑔𝑓);

𝑓𝑓−1 = 𝑖𝑑𝑦 dhe 𝑓−1𝑓 = 𝑖𝑑𝑥 .

Në qoftë se 𝑓 është një element i 𝐺(𝑥, 𝑦) atëhere 𝑥 quhet fillim i 𝑓 dhe 𝑦 fund i 𝑓.

Funktorët janë pasqyrime strukturë-ruajtëse midis kategorive.Ata mund t‟i mendojmë si

morfizma në kategorinë e gjithë kategorive [të vogla].

Funktori kovariant 𝐹 nga një kategori 𝑪 në një kategori 𝑫, i shkruar 𝐹 : 𝑪 → 𝑫, konsiston në:

4

Për çdo objekt 𝑥 in 𝑪, një objekt 𝐹(𝑥) në 𝑫; dhe

Për çdo morfizëm 𝑓 : 𝑥 → 𝑦në 𝑪, një morfizëm 𝐹(𝑓) : 𝐹(𝑥) → 𝐹(𝑦),

që plotëson dy vetitë e mëposhtme:

Për çdo objekt 𝑥 in 𝑪, F(1𝑥) = 1𝐹(𝑥)

Për të gjitha morfizmat 𝑓 : 𝑥 → 𝑦 dhe 𝑔 : 𝑦 → 𝑧, 𝐹(𝑔 ∘ 𝑓) = 𝐹(𝑔) ∘ 𝐹(𝑓).

Një funktor 𝐹quheti përpiktë në qoftë se ∀ 𝑓, 𝑔: 𝐴 → B , 𝐹𝑓 = 𝐹𝑔 ⟹ 𝑓 = 𝑔 dhe 𝐹 quhet i

plotë në qoftë se ∀ 𝑕: 𝐹𝐴 → 𝐹𝐵 , ∃ 𝑓: 𝐴 → B : 𝐹𝑓 = 𝑕 .

Një bifunktor ose funktor i dy variablave është thjesht një funktor i përcaktuar në produktin e

dy kategorive.

Një shembull më i drejpërdrejtë funktorësh është ai që ka të bëjë me operacionin e bashkësisë

fuqi,i cili jep dy funktorë në kategorinë e bashkësive dhe që varet nga fakti se si e

përcaktojmë veprimin e tij në funksionet.Kështu,për një bashkësi të dhënë𝑋, ℘(𝑋) është

bashkësia e zakonshme e nënbashkësive të 𝑋, dhe për një funksion të dhënë𝑓 : 𝑋 → 𝑌,

℘(𝑓) : ℘(𝑋) → ℘(𝑌) merr një nënbashkësi 𝐴 të 𝑋 dhe e pasqyron atë tek 𝐵 = 𝑓(𝐴),

fytyra e 𝑓 ngushtuar në 𝐴 në 𝑋. Verifikohet lehtë se ky përcakton një funktor nga kategoria

e bashkësive në vetvete.

Në përgjithësi, ekzistojnë shumë funktorë midis dy kategorive të dhëna dhe kështu që

shtrohet problemi se si ato lidhen midis tyre. Për shembull, për një kategori të dhënë 𝑪,

ekziston gjithmonë funktori identik nga 𝑪 në 𝑪 i cili dërgon çdo objekt (morfizëm) të 𝑪 në

vetvete. Në veçanti, ekziston funktori identik mbi kategorinë e bashkësive.

Funktori identik lidhet në mënyrë të natyrshme me funktorin fuqi të bashkësive të përshkruar

më lart. Me të vërtetë, në qoftë se jepet një bashkësi 𝑋 dhe bashkësia e saj fuqi ℘(𝑋),

ekziston një funksion 𝑕𝑋 i cili merr një element 𝑥 të 𝑋 dhe e dërgon atë tek bashkësia një

elementshe {𝑥}, që është një nënbashkësi e 𝑋, d.m.th., një element i ℘(𝑋). Ky funksion, në

fakt i përket një familjeje funksionesh të indeksuara nëpërmjet objekteve të kategorisë së

bashkësive {𝑕𝑌  : 𝑌 → ℘(𝑋) | 𝑌 në Ob(𝑺𝒆𝒕)}. Për më tepër, ai kënaq kushtin e mëposhtëm

të komutativitetit: për një funksion të 𝒇 : 𝑋 → 𝑌, funktori identik jep të njëjtin funksion

𝐼𝑑(𝑓) : 𝐼𝑑(𝑋) → 𝐼𝑑(𝑌). Kushti i komutativitetit merr,kështu,trajtën:𝑕𝑌 ∘ 𝐼𝑑(𝑓) = ℘(𝑓) ∘

5

𝑕𝑋 . Kjo do të thotë se familja e funksioneve 𝑕(−) lidhet me të dy funktorët në mënyrë të

natyrshme. Familje të tilla morfizmash quhen transformime natyrale midis funktorëve.([40])

Le të jetë 𝑪 një kategori. Një nënkategori 𝑺 e 𝑪 jepet si

një nënkoleksion objektesh të 𝑪, shënuar me ob(𝑺),

një nënkoleksion morfizmash të𝑪, shënuar me hom(𝑺).

të tilla që

për çdo 𝑋 në ob(S), morfizmi identik 𝑖𝑑𝑋 është në hom(𝑺),

për çdo morfizëm 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 në hom(𝑺), si fillimi𝑋 ashtu edhe fundi𝑌 janë në ob(𝑺),

për çdo çift morfizmash 𝑓 dhe 𝑔 në hom(𝑺) kompozimi 𝑓 ∘ 𝑔 është,sërish, në

hom(𝑺) për sa kohë që ai është përcaktuar.

Këto kushte sigurojnë që 𝑺 është edhe ajo një kategori nga ana e saj: koleksion i objekteve

është ob(𝑺), koleksion i morfizmave është hom(𝑺), dhe identitetet dhe kompozimi janë si në

𝑪. Ekziston qartësisht një funktor i përpiktë𝐼 : 𝑺 → 𝑪, i quajtur funksioni përfshirje i cili

pasqyron në vetvete objekte dhe morfizma.

Le të jetë 𝑺 një nënkategori e një kategorie 𝑪. Themi se 𝑺 është një nënkategori e plotë e𝑪 në

qoftë se për çdo çift objektesh 𝑋 dhe 𝑌 të 𝑺

𝐻𝑜𝑚𝑺(𝑋, 𝑌) = 𝐻𝑜𝑚𝑪(𝑋, 𝑌)

Një nënkategori e plotë është e tillë që përfshin të gjitha morfizmat midis objekteve të 𝑺. Për

çdo koleksion objektesh 𝐴 në 𝑪, ekziston një dhe vetëm një nënkategori e plotë e 𝑪 objektet

e së cilës janë ato të 𝐴.

Një nënkategori e plotë 𝑨 e një kategorie 𝑩do të thuhet se është refleksive në 𝑩 në qoftë se

për çdo 𝑩-objekt 𝐵ekziston një 𝑨-objekt 𝐴𝐵dhe një 𝑩-morfizëm𝜏𝐵: 𝐵 → AB të tilla që për çdo

𝑩-morfizëm 𝑓: 𝐵 → A ekziston një 𝑨-morfizëm i vetëm𝑓 :AB → Ai tillë që 𝑓 ∘ 𝜏𝐵 = 𝑓.

6

Morfizmat mund të kenë ndonjerën nga vetitë e mëposhtme. Një morfizëm 𝑓 : 𝑎 → 𝑏 është

një:

monomorfizëm (ose monik) në qoftë se 𝑓 ∘ 𝑔1 = 𝑓 ∘ 𝑔2 imlikon 𝑔1 = 𝑔2 për të

gjitha morfizmat 𝑔1, 𝑔2 : 𝑥 → 𝑎.

epimorfizëm (oseepik) në qoftë se 𝑔1 ∘ 𝑓 = 𝑔2 ∘ 𝑓 implikon 𝑔1 = 𝑔2 për të gjitha

morfizmat 𝑔1, 𝑔2 : 𝑏 → 𝑥.

bimorfizëm në qoftë se f është edhe epik edhe monik.

izomorfizëm në qoftë se ekziston një morfizëm 𝑔 : 𝑏 → 𝑎 i tillë që 𝑓 ∘ 𝑔 = 1𝑏

dhe 𝑔 ∘ 𝑓 = 1𝑎 .

Një kategori do të quhet e balancuar atëhere kur çdo bimorfizëm është një izomorfizëm.

Si shembuj kategorish mund të përmendim:

1. Kategorinë 𝑺𝒆𝒕 me objekte bashkësitë dhe morfizma funksionet e zakonshme.Ka

variante të ndryshme këtu:në vend të funksioneve mund të konsiderohen

funksionet e pjesëshme,funksionet injektive ose,përsëri,funksionet syrjektive.Në

secilin rast,kategoria e ndërtuar është,pa dyshim,e ndryshme.

2. Kategoria 𝑻𝒐𝒑 me objekte hapësirat topologjike dhe morfizma funksionet e

vazhdueshme.Edhe në këtë rast në qoftë se marrim si morfizma funksionet e

vazhdueshme të hapura përftojmë një kategori të ndryshme nga e para.

3. Kategoria 𝒉𝒐𝑻𝒐𝒑 me objekte hapësirat topologjike dhe morfizma klasat e

ekuivalencës të funksioneve homotopike.Kjo kategori është shumë e rëndësishme

në praktikën matematike.Ajo përbën pjesën qendrore të topologjisë algjebrike,por

është gjithashtu një shembull fundamental i një kategorie në të cilën morfizmat

nuk janë funksione strukturë ruajtëse.

4. Kategoria 𝑽𝒆𝒄 me objekte hapësirat vektoriale dhe morfizma pasqyrimet lineare.

5. Kategoritë 𝑷𝒐𝒓𝒅 dhe𝑷𝒐𝑺𝒆𝒕 me objekte renditjet e pjesëshme dhe posets,

respektivisht, dhe morfizma funksionet monotone.

6. Kategoritë 𝑳𝒂𝒕 dhe 𝑩𝒐𝒐𝒍 me objekte latisat dhe algjebrat Booleane,

respektivisht,dhe morfizma homomorfizmat strukturë ruajtës,d.m.th.

homomorfizmat (⊤, ⊥, ∧, ∨).

7. Kategoria 𝑯𝒆𝒚𝒕 me objekte algjebrat Heyting dhe homomorfizmat (⊤, ⊥, ∧, ∨,

→) .

7

8. Kategoria 𝑮𝒓𝒑𝒅 e grupoidëve që ka si objekte grupoidët dhe morfizmat e

grupoidëve si morfizma.

9. Kategoria𝑴𝒐𝒏 me objekte monoidet dhe morfizma homomorfizmat e monoideve.

10. Kategoria 𝑨𝒃𝑮𝒓𝒑 me objekte grupet abeliane dhe me morfizma homomorfizmat

e grupeve.

11. Kategoria 𝑮𝒓𝒑 me objekte grupet dhe morfizma homomorfizmat e grupeve.

12. Kategoria 𝑹𝒊𝒏𝒈𝒔 me objekte unazat (me njësh) dhe morfizma homomorfizmat e

unazave. Në këtë kategori përfshirja 𝒁 ↪ 𝑸 është monik dhe epik, pra, një

bimorfizëm por nuk është izomorfizëm. Pra, kjo kategori nuk është e balancuar.

13. Kategoria 𝑭𝒊𝒆𝒍𝒅𝒔 me objekte fushat dhe morfizma homomorfizmat e fushave.

14. Cdo sistem deduktiv 𝑻 me objekte formulat dhe morfizma vërtetimet.

15. Këta shembuj ilustrojnë bukur atë se si teoria e kategorive trajton nocionin e

strukturës në mënyrë uniforme. Vërejmë se një kategori karakterizohet prej

morfizmave të saj dhe jo prej objekteve të saj. Kështu që kategoria e hapësirave

topologjike me pasqyrimet e hapura ndryshon nga kategoria e hapësirave

topologjike me pasqyrime të vazhdueshme-ose, vetitë e tyre kategorike janë të

ndryshme.

Theksojmë,sërish,faktin se jo të gjitha kategoritë janë të përbëra nga bashkësi të

strukturuara me pasqyrime strukturë ruajtëse.Kështu që çdo bashkësi pjesërisht e

renditur është një kategori.Sepse, në qoftë se jepen dy elemente 𝑝, 𝑞 të një bashkësie

pjesërisht të renditur, ekziston një morfizëm 𝑓 : 𝑝 → 𝑞 në qoftë se dhe vetëm në

qoftë se 𝑝 ≤ 𝑞. Pra, një bashkësi pjesërisht e renditur është një kategori në të cilën

ekziston të shumtën një morfizëm midis çdo dy objekteve.

Në qoftë se një grupoid ka vetëm një objekt, atëhere bashkësia e morfizmave të tij

formon një grup. Çdo monoid, po kështu, mund të shihet si një kategori:në këtë rast

kategoria ka vetëm një objekt, dhe morfizmat e saj janë elementet e

monoidit.Kompozimi i morfizmave korrespondon me shumëzimin e elementeve të

monoidit.Fakti që aksiomat e monoidit korrespondojnë me aksiomat e kategorisë

mund të verifikohet lehtë.

Pra, nocioni i kategorisë përgjithëson nocionet e renditjes së pjesëshme dhe monoidit.

Theksojmë gjithashtu se një grupoid ka një përkufizim shumë të thjeshtë në kontekstin

8

kategorik:ai është një kategori në të cilën çdo morfizëm është një izomorfizëm,pra për çdo

morfizëm 𝑓 : 𝑋 → 𝑌, ekziston një morfizëm 𝑔 : 𝑌 → 𝑋 i tillë që 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝑑𝑋 dhe

𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑𝑌.

Nocionet e mësipërme,megjithëse të rëndësishme, nuk janë themelore në teorinë e kategorive.

Guri themelor në teorinë e kategorive është koncepti i funktorëve të bashkëngjitur,i

përcaktuar fillimisht nga Daniel Kan në vitin 1956 dhe i publikuar në vitin 1958.

Funktorët e bashkëngjitur mund të konsiderohen si inversë konceptualë. Kjo gjë mund të

ilustrohet mjaft mirë me një shembull. Le të jetë 𝑈 : 𝑮𝒓𝒑 → 𝑺𝒆𝒕 funktori harraq, pra,

funktori i cili dërgon tek çdo grup 𝐺 bashkësinë korresponduese të elementeve 𝑈(𝐺), dhe tek

një homomorfizëm grupesh 𝑓 : 𝐺 → 𝐻 funksionin e bashkësive korresponduese

𝑈(𝑓) : 𝑈(𝐺) → 𝑈(𝐻). Me fjalë të tjera, U harron strukturën e grupit dhe harron, gjithashtu

faktin se morfizmat janë homomorfizma grupesh. Kategoritë 𝑮𝒓𝒑 dhe 𝑺𝒆𝒕 janë qartësisht

joizomorfe, si kategori, me njera tjetrën. (Si një argument i thjeshtë mund të shërbejë fakti se

kategoria 𝑮𝒓𝒑 ka një zero objekt, ndërsa kategoria 𝑺𝒆𝒕 nuk ka zero objekt.) Kështu që, ne

nuk mund të gjejmë një invers, në kuptimin e zakonshëm algjebrik, me funktorin 𝑈. Por

ekzistojnë shumë mënyra joizomorfe për të përcaktuar një strukturë grupi në një bashkësi të

dhënë 𝑋, dhe mund të shpresohet se midis këtyre konstruksioneve të paktën një është

funktorial dhe i lidhur në mënyrë sistematike me 𝑈. Po, cili është inversi konceptual me

operacionin e harresës së gjithë strukturës teorike të grupit dhe përftimi i një bashkësie?

Eshtë, pikërisht, ndërtimi i një grupi vetëm në bazën e konceptit të grupit dhe asgjë tjetër,

d.m.th. pa lidhje ose të dhëna të huaja. Një grup i tillë ndërtohet “lirisht”; pra, pa asnjë

kufizim me përjashtim të atyre që imponohen nga aksiomat e teorisë. Me fjalë të tjera,

gjithshka që kujtohet gjatë procesit të ndërtimit të një grupi nga një bashkësi e dhënë, është

fakti se konstruksioni rezultues duhet të jetë grup. Një ndërtim i tillë ekziston; ai është

funktorial dhe jep të ashtuquajturit grupe të lira. Me fjalë të tjera, ekziston një funktor

𝐹 : 𝑺𝒆𝒕 → 𝑮𝒓𝒑, i cili çdo bashkësie 𝑋 i cakton grupin e lirë 𝐹(𝑋) në 𝑋, dhe çdo funksioni

𝑓 : 𝑋 → 𝑌, homomorfizmin e grupeve 𝐹(𝑓) : 𝐹(𝑋) → 𝐹(𝑌), të përcaktuar në mënyrë

evidente. Situata mund të përshkruhet si më poshtë: kemi dy kontekste konceptuale,

kontekstin teorik të grupit dhe një kontekst teorik të bashkësisë, dhe dy funktorë që

zhvendosen sistematikisht nga njeri kontekst tek tjetri në drejtime të kundërta. Njeri nga këta

funktorë është elementar dhe quhet funktor harraq 𝑈. Ai është krejt trivial dhe pa

informacion. Eshtë i çuditshëm fakti se 𝐹 lidhet me 𝑈 me anë të një rregulli të thjeshtë dhe,

9

në një farë kuptimi, ai ngrihet nga 𝑈. Një ndër veçoritë më të rëndësishme të situatave të

bashkëngjitura është pikërisht fakti se ndërtime themelore matematike dhe logjike ngrihen

nga funktorë të dhënë dhe shpesh elementare.

Fakti që 𝑈 dhe 𝐹 janë inversë konceptualë shprehet formalisht si më poshtë: duke aplikuar së

pari 𝐹 dhe pastaj 𝑈 nuk jep bashkësinë fillestare 𝑋, por ekziston një lidhje fundamentale

midis 𝑋 dhe 𝑈𝐹(𝑋). Me të vërtetë, ekziston një funksion 𝜂 : 𝑋 → 𝑈𝐹(𝑋), i quajtur njësi e

bashkëngjitjes, i cili thjesht dërgon çdo element të 𝑋 në vetvete në 𝑈𝐹(𝑋) dhe ky funksion

kënaq vetinë e mëposhtme universale: dhënë një funksion 𝑔 : 𝑋 → 𝑈(𝐺), ekziston një dhe

vetëm një homomorfizëm grupesh 𝑕 : 𝐹(𝑋) → 𝐺 i tillë që 𝑈(𝑕) ∘ 𝜂 = 𝑔. Me fjalë të tjera,

𝑈𝐹(𝑋) është zgjidhja më e mirë e mundshme për problemin e futjes së elementeve të 𝑋 në

një grup (ajo ç‟ka quhet “futje përftuesish” në zhargonin matematik). Duke kompozuar 𝑈

dhe 𝐹në renditje të kundërt, marrim një morfizëm 𝜉 : 𝐹𝑈(𝐺) → 𝐺, të quajtur konjësi e

bashkëngjitjes , i cili kënaq vetinë e mëposhtme universale: për çdo homomorfizëm grupesh

𝑔 : 𝐹(𝑋) → 𝐺, ekziston një funksion i vetëm 𝑕 : 𝑋 → 𝑈(𝐺) i tillë që 𝜉 ∘ 𝐹(𝑕) = 𝑔 ∘

𝐹𝑈(𝐺) përbën zgjidhjen më të mirë të mundshme për problemin e gjetjes së një paraqitjeje të

𝐺 si herës i një grupi të lirë. Në qoftë se 𝑈 dhe 𝐹do të ishin inversë të thjeshtë algjebrikë të

njeri tjetrit, do të kish vend identiteti i mëposhtëm: 𝑈𝐹 = 𝐼𝑺𝒆𝒕 dhe 𝐹𝑈 = 𝐼𝑮𝒓𝒑, ku 𝐼𝑺𝒆𝒕

paraqet funktorin identik në 𝑺𝒆𝒕 dhe 𝐼𝑮𝒓𝒑 funktori identik në 𝑮𝒓𝒑. Siç kemi treguar, këto

identitete, natyrisht, nuk kanë vend në këtë rast. Megjithatë, kanë vend disa identitete të cilat

mund të shprehen më mirë me ndihmën e diagramave komutative të mëposhtme:

U

η ∘U

→ UFU

F

F∘ η

→ FUF

↘ ↓U∘ η

↘ ↓ξ ∘F

U

F

Ku shigjetat diagonale paraqesin transformimet natyrale identike të duhura.([40])

Ky është vetëm njeri nga rastet e një situate krejt të zakontë:çdo ndërtim i lirë mund të

përshkruhet si i dalë nga një funktor harraq i përshtatshëm midis dy kategorive të zgjedhura

në mënyrë adekuate.Numri i ndërtimeve matematike që mund të përshkruhen si të

10

bashkëngjitur është thjesht marramendës. Megjithëse detajet e secilit prej këtyre ndërtimeve

ndryshojnë në mënyrë të konsiderueshme, fakti se ato mund të përshkruhen të gjitha duke

përdorur të njëjtën gjuhë ilustron unitetin e thellë të koncepteve matematike dhe të mendimit

matematik.Japim më poshtë një përkufizim formal dhe abstrakt të funktorëve të bashkëngjitur

Përkufizim 1.1.1.: Le të jenë 𝐹 : 𝑪 → 𝑫 dhe 𝐺 : 𝑫 → 𝑪 funktorë me drejtime të kundërta.

𝐹quheti bashkëngjitur i majtë i 𝐺 (𝐺 një i bashkëngjitur i djathtë i 𝐹), dhe kjo gjë shënohet

𝐹 ⊣ 𝐺, në qoftë se ekzistojnë transformimimet natyrale 𝜂 : 𝐼C → 𝐺𝐹 dhe 𝜉 : 𝐹𝐺 → 𝐼D, të

tilla që kompozimet

G

η ∘G

→ GFG

G∘ ξ

→ G

dhe

F

F∘ η

→ FGF

ξ ∘F

→ F

janë transformimet natyrale identike. (Për përkufizime të ndryshme,por ekuivalente,shih [1],

kapitulli IV.)

Më poshtë po renditim disa fakte të rëndësishme në lidhje me funktorët e bashkëngjitur. Së

pari, të bashkëngjiturit janë të vetëm me afërsinë e izomorfizmit; kjo do të thotë se çdo dy të

bashkëngjitur të majtë 𝐹 dhe 𝐹′ të një funktori 𝐺 janë natyralisht izomorfe. Së dyti, nocioni i

bashkngjitshmërisë është formalisht ekuivalent me nocionin e morfizmit universal dhe me atë

të funktorit të paraqitshëm. (Shih, për shembull [1], kap. IV.) Secili dhe çdo njeri nga këto

nocione paraqet një aspekt të një situate të dhënë. Së treti, një i bashkëngjitur i majtë ruan të

gjitha kolimitet të cilat ekzistojnë në domenin e tij, dhe, dualisht, një i bashkëngjitur idjathtë

ruan gjithë limitet të cilët ekzistojnë në domenin e tij.

Dualitetet luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë dhe ato mund të përshkruhen me

ndihmën e ekuivalencave midis kategorive.Me fjalë të tjera, shumë teorema të rëndësishme

matematike mund të përkthehen si shprehje rreth ekzistencës së funktorëve të bashkëngjitur,

që nga ndonjeherë kënaqin disa veti shtesë. Kjo merret ndonjëherë si shprehje e përmbajtjes

konceptuale të teoremës. Konsiderojmë rastin bazë të mëposhtëm: le të jetë 𝑪 kategoria

objektet e së cilës janë grupe abeliane lokalisht kompakte dhe morfizmat e saj janë

11

homomorfizmat e vazhdueshme të grupeve. Atëhere, teorema Pontryagin e dualitetit kthehet

në pohimin se kategoria 𝑪 është ekuivalente me kategorinë 𝑪𝒐𝒑, pra, me kategorinë e kundërt.

Eshtë e qartë se, shprehja e saktë kërkon që ne të përshkruajmë funktorët 𝐹 : 𝑪 → 𝑪𝒐𝒑 dhe

𝐺 : 𝑪𝒐𝒑 → 𝑪 dhe pastaj të provojmë se ato përbëjnë një ekuivalencë të kategorive.([40])

Një tjetër dualitet i njohur mirë u zbulua nga Stone në vitet tridhjetë dhe tani mban emrin e

tij. Në një drejtim, një algjebër Boolean-e arbitrare jep një hapësirë topologjike, dhe në

drejtimin tjetër, nga një hapësirë topologjike (Hausdorff kompakte dhe totalisht e palidhur),

përftohet një algjebër Boolean-e. Për më tepër, kjo korrespondencë është funktoriale: çdo

homomorfizëm Boolean dërgohet tek një pasqyrim i vazhdueshëm hapësirash topologjike,

dhe, anasjellas, çdo pasqyrim i vazhdueshëm midis hapësirave dërgohet tek një

homomorfizëm Boolean. Me fjalë të tjera, ekziston një ekuivalencë e kategorive midis

kategorisë së algjebrave Boolean-e dhe dualit të kategorisë së hapësirave Boolean-e (të

quajtura gjithashtu hapësira të Stone). (Shih [41] për një hyrje më të zgjeruar dhe më të

larmishme në këto çështje). Lidhja midis një kategorie strukturash algjebrike dhe të kundërtës

së një kategorie strukturash topologjike e vendosur nga teorema e Stone përbën shembullin

më domethënës të një fenomeni të përgjithshëm i cili tërhoqi shumë vëmendjen e

teoricienëve të kategorive. Studimi kategorik i teoremave duale mbetet edhe sot një fushë e

shumë e rëndësishme dhe aktive,dhe është frymëzuar në pjesën më të madhe nga rezultati i

Stone. (shih p.sh. [42])

1.2. Sistemet e rishkrimit të zinxhirave të karaktereve.

Në fillimete shekullit të 20-të, Axel Thue shtroi problemin e mëposhtëm: Supozojmë se kemi

një bashkësi objektesh dhe një bashkësi transformimesh (“rregullash”) të tilla që kur ato

aplikohen tek objektet në fjalë japin objekte në të njejtën bashkësi. Dhënë dy objekte 𝑥 dhe 𝑦

në bashkësi, a mund të transformohet 𝑥 në 𝑦, ose a do të ekzistojë një objekt i tretë 𝑧 i tillë që

si 𝑥 ashtu edhe 𝑦 mund të transformohen në 𝑧?

Ky problem u bë i njohur si “problemi i fjalës” . Thue formuloi disa shënime hyrëse rreth

zinxhirave të simboleve (do me thënë, elementeve të një monoidi të lirë), duke sugjeruar se

kjo përqasje mund të shtrihet edhe në objekte më të strukturuara kombinatorike siç janë grafet

dhe pemët.

Bëjmë një parantezë këtu për të shpjeguar disa terma të cilat do të përdoren më poshtë. Së

pari, një problem vendimarrjeje është problemi i gjetjes së një mënyre për të vendosur në se

një formulë ose një klasë formulash është e vërtetë ose e vërtetueshme brenda një sistemi të

12

dhënë aksiomash. E formuluar ndryshe, një problem vendimarrjejeështë një tip i kufizuar i

një problemi algoritmik ku për çdo hyrje ka vetëm dy dalje të mundshme. Me fjalë të tjera,

një problem vendimarrjeje është një funksion që i shoqëron çdo instance hyrëse të problemit

një vlerë vërtetësie e vërtetë (true) ose jo e vërtetë (false).

Dhe së dyti, nëteorinë e llogaritjeve, një problem i pavendosur është një problem

vendimarrjeje për të cilin provohet se është e pa mundur të ndërtohet një algoritëm që do të

çonte gjithmonë në një përgjigje korrekte po-ose-jo.

Kështu, Thue dëshironte të zhvillonte një "calculus" për të vendosur problemin e fjalës, pra

një bashkësi procedurash ose algoritmesh të cilat mund të aplikoheshin në objektet e dhëna

për të përftuar përgjigjen e drejtë të pyetjes. Pra, në terminologjinë moderne ai dëshironte një

algoritëm të përgjithshëm që të zgjidhte problemin e fjalës në një variete mjedisesh të

ndryshme.

Në dukje puna e Thue u la pas dore për shumë vjet, por ajo doli sërish në sipërfaqe në 1930

kur logjicienët u përpoqën të japin përkufizimet formale të nocioneve të tilla si “algoritëm”

dhe “procedurë efektive” (shih [43]). Kjo ishte krejt e natyrshme me që Thue donte të dinte

në se problemi i fjalës ishte i vendosur.Tashmë është i njohur fakti se nuk ekziston asnjë

calculus për të zgjidhur problemin e fjalës në formën e tij më të përgjithshme, dhe në një

numër specifik domenesh siç janë grupet me paraqitje të fundme dhe monoidet, problemi i

fjalës është i pavendosur.

Nga mesi i viteve 1950 dhe në 1960, nocioni i një sistemi semi-Thue u studjua në gjuhën

matematike dhe në teorinë e gjuhëve formale me që ishte shumë i përdorshëm në modelet

matematike për gramatikat me fraza të strukturuara. Këto gramatika u studjuan tërësisht në

kontekstin e problemit të përkthimit me makina të gjuhëve natyrale. Në të njejtën kohë

logjicienët filluan ta shikonin kompjuterin si një mjet për studimin e problemeve në

matematikë dhe filluan gjithashtu të konsiderojnë metoda të reja vërtetimi të cilat mund të

implementoheshin në makinat reale. Kjo çoi në zhvillimin e e deduksionit të automatizuar

(vërtetim mekanik teoremash). Në vitet 60-të u shënuan mjaft zhvillime interesante teorike në

deduksionin e automatizuar. Një rol të veçantë në këtë kuadër luajti një artikull i Knuth dhe

Bendix ([44])që përshkruante një procedurë abstrakte për zgjidhjen e problemeve të fjalës në

algjebrën abstrakte. Në vitet 70‟nocioni i sistemeve të rishkrimit të termave luajti një rol

gjithashtu mjaft të madh në studimin e deduksiont të automatizuar. Madje në vitin 1985 u

mbajt konferenca e parë ndërkombëtare në lidhje me teknikat e rishkrimit dhe zbatimeve të

tyre.

13

Çfarë ndodhi me sistemet e Thue? Ndërsa sistemet semi-Thue luajtën një rol të rëndësishëm

në zhvillimin e teorisë së gjuhëve formale në vitet 60, nuk ju kushtua ndonjë vëmendje e

veçantë përqasjes korresponduese algjebrike me përjashtim të shkollës franceze. Shumica e

punës në Francë u krye nga shkolla e Nivat i cili, nën udhëheqjen e Schützenberger, theksoi

lidhjen midis Thue kongruencave dhe teorisë së gjuhëve formale. Për sa i përket Thue

sistemevedhe Thue kongruencave, përqasja algoritmike së bashku me vëmendjen e duhur për

kompleksitetin e problemeve dhe algoritmet u bë në vitet 80. Kështu, Thue sistemet dhe

zbatimet e tyre janë studjuar në disa kontekste: sistemet kombinatorike të rishkrimit për

stringjet dhe tipe të tjera objektesh; specifikim i monoideve dhe grupeve; specifikim i

gjuhëve formale me anë të gramatikave formale; dhe deduksioni i automatizuar dhe vërtetimi

mekanik i teoremave. Do t‟u referohemi Thue sistemeve dhe semi-Thue sistemeve si "sisteme

të rishkrimit të zinxhirave të karaktereve." Ky përcaktim është i rregullt nga pikëpamja që

sisteme të tilla janë raste të veçanta të sistemeve të rishkrimit të termave në të cilat ekzistojnë

vetëm simbol funksione me shumfishitet një, pra simbole që paraqesin funksione unare, dhe

nuk ekzistojnë konstantet.([9])

Një relacion binar në 𝑋 është një nënbashkësi 𝑅 ⊆ 𝑋 × 𝑋. Në qoftë se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅, atëhere ne

e shënojmë këtë 𝑥𝑅𝑦 dhe themi se 𝑥 lidhet me 𝑦 me anë të 𝑅. Relacioni invers i 𝑅 është

relacioni binar 𝑅−1 ⊆ 𝑋 × 𝑋 përcaktuar si: 𝑦𝑅−1𝑥 ⟺ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅. Relacioni 𝐼𝑋 = { 𝑥, 𝑥 , 𝑥 ∈

𝑋} quhet relacion identik. Relacioni (𝑋)2 quhet relacion i plotë.

Le të jenë 𝑅 ⊆ 𝑋 × 𝑋 dhe 𝑆 ⊆ 𝑋 × 𝑋 dy relacione binare. Kompozimi i 𝑅 me 𝑆 është një

relacion binar 𝑆 ∘ 𝑅 ⊆ 𝑋 × 𝑋 përcaktuar si 𝑥𝑆 ∘ 𝑅𝑧 ⟺ ∃𝑦 ∈ 𝑋 i tillë që 𝑥𝑅𝑦 dhe 𝑦𝑆𝑧.

Një relacion binar 𝑅 në një bashkësi 𝑋 do të thuhet se është

1. Refleksiv në qoftë se 𝑥𝑅𝑥 për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑋;

2. Simetrik në qoftë se 𝑥𝑅𝑦 sjell 𝑦𝑅𝑥;

3. Tranzitiv në qoftë se 𝑥𝑅𝑦 dhe 𝑦𝑅𝑧 sjellin 𝑥𝑅𝑧;

4. Antisimetrik në qoftë se 𝑥𝑅𝑦 dhe 𝑦𝑅𝑥 sjellin 𝑥 = 𝑦.

Le të jetë 𝑅 një relacion në një bashkësi 𝑋. Mbyllja refleksive e 𝑅 është më i vogli relacion

refleksiv 𝑅0 në 𝑋 që përmban 𝑅; pra,

1. 𝑅 ⊆ 𝑅0

2. Në qoftë se 𝑅′ është një relacion refleksiv në 𝑋 dhe 𝑅 ⊆ 𝑅′ , atëhere 𝑅0 ⊆ 𝑅′ .

14

Mbyllja simetrike e 𝑅 është më i vogli relacion simetrik 𝑅+ në 𝑋 që përmban 𝑅; pra

1. 𝑅 ⊆ 𝑅+

2. Në qoftë se 𝑅′ është një relacion simetrik në 𝑋 dhe 𝑅 ⊆ 𝑅′ atëhere 𝑅+ ⊆ 𝑅′ .

Mbyllja transitive e 𝑅 është më i vogli relacion tranzitiv 𝑅∗ në 𝑋 që përmban 𝑅; pra

1. 𝑅 ⊆ 𝑅∗

2. Në qoftë se 𝑅′ është një relacion tranzitiv në 𝑋 dhe 𝑅 ⊆ 𝑅′ atëhere 𝑅∗ ⊆ 𝑅′ .

Le të jetë 𝑅 një relacion në një bashkësi 𝑋. Atëhere

1. 𝑅0 = 𝑅 ∪ 𝐼𝑋

2. 𝑅+ = 𝑅 ∪ 𝑅−1

3. 𝑅∗ = 𝑅𝑘𝑘=+∞𝑘=1 .

Përkufizim 1.2.1. Me sistem abstrakt reduktimi do të kuptojmë një çift (𝐴, →), ku reduktimi

→ është një relacion binar në bashkësinë 𝐴. Do të shënojmë me +→ mbylljen transitive të →,

me ∗→ mbylljen refleksive tranzitive të → dhe me

∗↔ relacionin e ekuivalencës gjeneruar nga

→.

Në qoftë se 𝑥 ∈ 𝐴 dhe nuk ekziston 𝑦 ∈ 𝐴 i tillë që 𝑥 → 𝑦, atëhere 𝑥 është e pareduktueshme;

në rast të kundërt ajo është e reduktueshme.

Përkufizim 1.2.2.([9]) Le të jetë (𝐴, →) një sistem reduktimi. Për 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, në qoftë se 𝑥∗↔ 𝑦

dhe 𝑦 është i pareduktueshëm, atëhere 𝑦do të quhet formë normale për 𝑥.

Problemi i fjalës për (𝐴, →) është i mëposhtmi:

INSTANCA: 𝑥 dhe 𝑦 në 𝐴.

PYETJE: A janë 𝑥 dhe 𝑦 ekuivalente nën ∗↔ ?

Përkufizim 1.2.3.([9]) Le të jetë 𝑆 = (𝐴, →) një sistem reduktimi.

a) 𝑆quheti bashkrrjedhshëm në qoftë se për të gjitha 𝑤, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑤∗→ 𝑥 dhe 𝑤

∗→ 𝑦

sjell që ekziston një 𝑧 ∈ 𝐴 e tillë që 𝑥∗→ 𝑧 dhe 𝑦

∗→ 𝑧.

b) 𝑆quhet lokalisht i bashkrrjedhshëm në qoftë se për të gjitha 𝑤, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑤 → 𝑥

dhe 𝑤 → 𝑦 ekziston një 𝑧 ∈ 𝐴 e tillë që 𝑥∗→ 𝑧 dhe 𝑦

∗→ 𝑧.

15

c) 𝑆 ka vetinë Church-Rosser në qoftë se për të gjitha 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, në qoftë se 𝑥∗↔ 𝑦

ekziston një 𝑧 ∈ 𝐴 e tillë që 𝑥∗→ 𝑧 dhe 𝑦

∗→ 𝑧.

Për secilin 𝑥 ∈ 𝐴, shënojmë me 𝑥 = {𝑦|𝑦∗↔ 𝑥} pra [𝑥] është klasa e ekuivalencës e 𝑥.

Lemë 1.2.4. ([9]) Le të jetë 𝑆 = (𝐴, →) një sistem reduktimi. Atëhere 𝑆 është Church-Rosser

atëhere dhe vetëm atëhere kur 𝑆 është i bashkrrjedhshëm.

Rrjedhim 1.2.5.([9]) Le të jetë 𝑆 = (𝐴, →) një sistem reduktimi i cili është i bashkrrjedhshëm.

Atëhere për secilin 𝑥 ∈ 𝐴, [𝑥] ka të shumtën një formë normale.

Përkufizim 1.2.6.([9])Le të jetë (𝐴, →) një sistem reduktimi. Relacioni → është noetherian në

qoftë se nuk ekziston asnjë varg i pafundmë 𝑥0, 𝑥1 , … ∈ 𝐴 i tillë që për të gjitha 𝑖 ≥ 0, 𝑥𝑖 →

𝑥𝑖+1.

Lemë 1.2.7.([9])Le të jetë (𝐴, →) një sistem reduktimi. Në qoftë se → është noetherian,

atëhere për çdo 𝑥 ∈ 𝐴, [𝑥] ka një formë normale.

Vërtetim: Në qoftë se 𝑥 është i pareduktueshëm, atëhere 𝑥 është një formë normale për [𝑥].

Në rast të kundërt, ekziston një 𝑦 i tillë që 𝑥 → 𝑦. Kështu që, ekziston një varg 𝑦0 , 𝑦1, 𝑦2, … i

tillë që 𝑦0 = 𝑥 dhe 𝑦𝑖 → 𝑦𝑖+1. Me që → është noetherian ky varg do të jetë i fundmë dhe, pra,

do të ekzistojë një indeks 𝑘 i tillë që 𝑦𝑘 të jetë i reduktueshëm. Por, nga fakti që 𝑥∗→ 𝑦𝑘

rrjedh se 𝑦𝑘 është një formë normale për [𝑥].

Përkufizim 1.2.8.([9]) Në qoftë se 𝑆 = (𝐴, →) një sistem reduktimi i tillë që 𝑆 është e

bashkrrjedhshme dhe → është noetherian, atëhere 𝑆 është konvergjent.

Teoremë 1.2.9.([9])Le të jetë 𝑆 = (𝐴, →) një sistem reduktimi. Në qoftë se 𝑆 është

konvergjent, atëhere për çdo 𝑥 ∈ 𝐴, [𝑥] ka një formë normale të vetme.

Teoremë 1.2.10.([9])Le të jetë 𝑆 = (𝐴, →) një sistem reduktimi i tillë që → është noetherian.

Atëhere 𝑆 është e bashkrrjedhshme atëhere dhe vetëm atëhere kur 𝑆 është lokalisht e

bashkrrjedhshme.

Më poshtë, do të shkruajmë shkurt, “sistem rishkrimi i stringjeve” në vend të “sistem

rishkrimi i zinxhirave të karaktereve”.

Le të jetë 𝑋 një alfabet. Një sistem semi-Thue 𝑅 mbi 𝑋, shkurt STS, është një bashkësi e

fundme 𝑅 ⊆ 𝑋∗ × 𝑋∗, elementet e së cilës quhen rregulla. Një rregull (𝑠, 𝑡) do të shënohet

gjithashtu në formën 𝑠 → 𝑡. Një sistem i rishkrimit të stringjeve 𝑅 në 𝑋 është një nënbashkësi

e 𝑋∗ × 𝑋∗ dhe elementet e tij janë quajtur rregulla (rishkrimi). Për një sistem rishkrimi të

stringjeve 𝑅 në 𝑋, 𝑑𝑜𝑚 𝑅 = {𝑙 ∈ 𝑋∗|∃𝑟 ∈ 𝑋∗: (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅} dhe 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝑋∗|∃𝑙 ∈

𝑋∗: (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅}. Sistemi 𝑅 quhet gjatësi-reduktues në qoftë se ka vend |𝑙| > |𝑟| për çdo rregull

16

(𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅. Ai do të quhet peshë-reduktues në qoftë se ekziston një funksion peshë 𝑓: 𝑋 → ℕ+,

ku ℕ+ = {𝑛 ∈ ℕ|𝑛 > 0}, i tillë që të ketë vend 𝑓(𝑙) > 𝑓(𝑟) për çdo rregull (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅. Këtu 𝑓

shtrihet në një morfizëm nga 𝑋∗ në ℕ. Në 𝑋∗, 𝑅 indukton një relacion reduktimi →𝑅∗ , i cili

është mbyllja refleksive, tranzitive e relacionit një hapsh të reduktimit

→𝑅= {(𝑢𝑙𝑣, 𝑢𝑟𝑣)|𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋∗, 𝑑𝑕𝑒 (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅}. Me →𝑅+ do të shënojmë mbylljen tranzitive të

→𝑅 . Mbyllja refleksive, simetrike dhe tranzitive ↔𝑅∗ e →𝑅 është Thue kongruenca e gjeneruar

nga 𝑅. Për 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋∗, në qoftë se kemi 𝑢 →𝑅∗ 𝑣, atëhere 𝑢 është një parardhës i 𝑣, dhe 𝑣 është

një pasardhës i 𝑢 modulo 𝑅. Me Δ𝑅∗ (𝑢) do të shënojmë bashkësinë Δ𝑅

∗ 𝑢 = {𝑣 ∈

𝑋∗|𝑢 →𝑅∗ 𝑣} të gjithë pasardhësve të 𝑢.

Në qoftë se nuk ekziston asnjë string 𝑣 që të kënaqi 𝑢 →𝑅 𝑣, atëhere 𝑢 do të quhet e

pareduktueshme modulo 𝑅, për ndryshe, 𝑢 është e reduktueshme modulo 𝑅. Do të shënojmë

me 𝐼𝑅𝑅(𝑅) bashkësinë e të gjitha stringjeve të pa reduktueshme, dhe 𝑅𝐸𝐷 𝑅 = 𝑋∗\𝐼𝑅𝑅(𝑅)

është bashkësia e të gjitha stringjeve të reduktueshme.

Në qoftë se 𝑅 është e fundme, atëhere masa e 𝑅 shënohet | 𝑅 | dhe përcaktohet si më poshtë

𝑅 = 𝑠 + 𝑡

𝑠,𝑡 ∈𝑅

.

Në vazhdim, përcaktojmë relacionin binar →𝑅 , ku 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋∗:

𝑢 →𝑅 𝑣 në qoftë se ekzistojnë 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋∗ dhe (𝑟, 𝑠) ∈ 𝑅 me 𝑢 = 𝑥𝑟𝑦 dhe 𝑣 = 𝑥𝑠𝑦. Do të

shkruajmë 𝑢 →𝑅∗ 𝑣 në qoftë se ekzistojnë fjalët 𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑛 ∈ 𝑋∗ të tilla që 𝑢0 =

𝑢, 𝑢𝑖 →𝑅 𝑢𝑖+1, ∀0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1, 𝑢𝑛 = 𝑣.

Në qoftë se 𝑛 = 0, do të kemi 𝑢 = 𝑣, dhe në qoftëse 𝑛 = 1, atëhere do të kemi 𝑢 →𝑅 𝑣.

Shënojmë se →𝑅∗ është mbyllja refleksive tranzitive e →𝑅 . Kongruenca Thue ↔𝑅

∗ është

relacioni i ekuivalencës gjeneruar prej →𝑅 . Në qoftë se 𝑅 është një relacion ë 𝑋∗ dhe me 𝑅#

shënojmë kongruencën e gjeneruar nga 𝑅 atëhere relacionet ↔𝑅∗ dhe 𝑅# përputhen.

Dy stringje 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋∗ janë kongruente 𝑚𝑜𝑑(𝑅) në qoftë se 𝑢∗↔𝑅 𝑣. Për secilën 𝑤 ∈ 𝑋∗, [𝑤]𝑅

quhet klasa e kongruencës 𝑤(𝑚𝑜𝑑 𝑅 ).

Vërejmë se për çdo sistem rishkrimi të stringjeve, në qoftë se 𝑢 dhe 𝑣 janë stringje të tilla që

𝑢∗→𝑅 𝑣, atëhere për të gjitha 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋∗, 𝑥𝑢𝑦

∗→𝑅 𝑥𝑣𝑦 dhe në qoftë se 𝑢

∗↔𝑅 𝑣 atëhere për të

gjitha 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋∗, 𝑥𝑢𝑦∗↔𝑅 𝑥𝑣𝑦. Kjo është edhe arësyeja për të cilën

∗↔𝑅 është quajtur

17

“kongruencë”: është një relacion ekuivalence që është i pajtueshëm në lidhje me

konkatenacionin e stringjeve ( i cili është “shumëzimi” në monoidin e lirë 𝑋∗).

Përkufizim 1.2.11.([9]) Le të jetë 𝑅 një sistem rishkrimi i stringjeve në alfabetin 𝑋. Monoidi

𝑀𝑅 i paraqitur prej çiftit të renditur (𝑋; 𝑅) përcaktohet si më poshtë:

i. Elementet e 𝑀𝑅 janë klasat e kongruencës [𝑥]𝑅 , 𝑥 ∈ 𝑋∗;

ii. Shumëzimi në 𝑀𝑅 është [𝑥]𝑅 ∙ [𝑦]𝑅 = [𝑥𝑦]𝑅 , për çdo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋∗;

iii. Identiteti i 𝑀𝑅 është [𝑒]𝑅 .

Monoidi 𝑀𝑅 është “faktor-monoidi”ose “monoidi herës” i monoidit të lirë 𝑋∗ me

kongruencën Thue ∗↔𝑅 . Me që ky i fundit përcaktohet në mënyrë të vetme nga 𝑋 dhe 𝑅 ( me

afërsinë e izomorfizmit), çifti i renditur (𝑋; 𝑅) quhet monoid-paraqitje e 𝑀𝑅 me gjeneratorë 𝑋

dhe relacione përcaktuese 𝑅. Një monoid quhet me gjenerim të fundmë në qoftë se ai ka një

monoid paraqitje me bashkësi të fundme 𝑋 të përftuesve. Ai quhet me paraqitje të fundme në

rastin kur ai ka një monoid-paraqitje të fundme (𝑋; 𝑅), pra, kur edhe bashkësia 𝑋 e

përftuesve edhe bashkësia 𝑅 e relacioneve përcaktuese janë të fundme.

Letë jetë 𝑀 një monoid i dhënë me një paraqitje të formës (𝑋; 𝑅).Një nënbashkësi 𝐶 ⊆ 𝑋∗do

të quhet transversali 𝑀, në qoftë se 𝐶 përmban ekzaktësisht një element nga secila klasë

kongruence mod 𝑅.

Në qoftë se 𝑅 është një sistem konvergjent rishkrimi i stringjeve në 𝑋, atëhere çdo klasë

kongruence [𝑤]𝑅 pëmban një string të vetëm të pa reduktueshëm 𝑤 ∈ 𝐼𝑅𝑅(𝑅). Kështu që,

në këtë rast, 𝐼𝑅𝑅(𝑅) është një transversal për monoidin 𝑀𝑅 , gjë që do të thotë se ai është një

bashkësi e plotë përfaqësuesish për 𝑀𝑅 . Eshtë e qartë se bashkësia 𝐼𝑅𝑅(𝑅) është e mbyllur në

lidhje me nënstringjet, shkurtimisht s-e mbyllur,pra, çdo nënstring i një stringu nga 𝐼𝑅𝑅(𝑅) i

përket gjithashtu 𝐼𝑅𝑅(𝑅).

Me që 𝐼𝑅𝑅(𝑅) është një transversal për 𝑀𝑅 , problemi i fjalës për 𝑅 mund të zgjidhet prej të

ashtuquajturit algoritëm të formës normale:

INPUT: 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋∗.

begin

redukto 𝑢 në pasardhësin e saj të pa reduktueshëm 𝑢 ;

redukto 𝑣 në pasardhësin e saj të pa reduktueshëm 𝑣 ;

18

if𝑢 = 𝑣 then OUTPUT (“𝑢 ↔𝑅∗ 𝑣”)

else OUTPUT (“𝑢 ↮𝑅∗ 𝑣”).

end.

Ky algoritëm terminalizohet (përfundon), me që 𝑅 është noetherian dhe jep përgjigje të saktë,

me që 𝑅 është edhe i bashkrrjedhshëm.

Vërejmë se shkalla e kompleksitetit të këtij algoritmi është e lidhur ngushtë me gjatësitë e

vargjeve të cilat gjeneron. Kështu që, strategjia e përdorur e reduktimit ndikon në shkallën e

kompleksitetit të algoritmit të formës normale. Një strategji e veçantë që mund të

implementohet lehtësisht është ajo e cila përdor vetëm hapat më të majta të reduktimit.Këtu

një hap reduktimi 𝑤 = 𝑥1𝑙1𝑦1 →𝑅 𝑥1𝑟1𝑦1 = 𝑧, 𝑥1, 𝑦1 ∈ 𝑋∗, (𝑙1, 𝑟1) ∈ 𝑅, do të quhet më i

majtë , në qoftë se, për të gjitha 𝑥2, 𝑦2 ∈ 𝑋∗ dhe 𝑙2 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑅),𝑤 = 𝑥2𝑙2𝑦2 sjell që 𝑥1𝑙1 është

një prefiks i mirëfilltë i 𝑥2𝑙2, ose 𝑥1𝑙1 = 𝑥2𝑙2 dhe 𝑥1 është një prefiks i 𝑥2. Një hap më i

majtë reduktimi shënohet me 𝑤𝐿 →𝑅 𝑧.

Së fundi,një sistem 𝑅 rishkrimi të stringjeve quhet i normalizuar në qoftë se kanë vend

𝑟 ∈ 𝐼𝑅𝑅(𝑅) dhe 𝑙 ∈ 𝐼𝑅𝑅(𝑅\{ 𝑙, 𝑟 }) për çdo (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅. Dy sisteme 𝑅 dhe 𝑇 të rishkrimit të

stringjeve në të njejtin alfabet 𝑋 do të quhen ekuivalente në qoftë se që të dy përcaktojnë të

njejtën Thue kongruencë në 𝑋∗.

Një renditje e pjesshme > në 𝑋∗ do të quhet

e pranueshme, në qoftë se 𝑢 > 𝑣 ⟹ 𝑥𝑢𝑦 > 𝑥𝑣𝑦 për të gjitha stringjet 𝑢, 𝑣, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋∗;

e mirë-mbështetur, në qoftë se nuk ekziston asnjë varg i pafundmë zbritës stringjesh i formës

𝑤0 > 𝑤1 > 𝑤2 > ⋯;

Një relacion 𝑅 quhet i mirë-mbështetur invers ose Noetherian në X, në qoftë se relacioni

invers 𝑅−1 është i mirë-mbështetur në 𝑋. Në këtë rast thuhet gjithashtu se 𝑅 kënaq kushtin e

zinxhirit rritës. Në kontekstin e sistemeve të rishkrimit një relacion Noetherian quhet

gjithashtu edhe terminalizues.

Le të jetë 𝑋 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛}.

a) Përcaktojmë 𝑥 > 𝑦 si vijon. 𝑥 > 𝑦 në qoftë se |𝑥| > |𝑦|. > është renditja sipas

gjatësisë në 𝑋∗.

19

b) Le të jetë 𝑤: 𝑋 → ℕ+ një pasqyrim i cili i shoqëron një numër të plotë pozitiv (një

peshë) secilës gërmë. Përcaktojmë renditjen sipas peshës >𝑤 si vijon. 𝑥 >𝑤 𝑦 në

qoftë se 𝑤(𝑥) > 𝑤(𝑦). Këtu 𝑤 është shtrirë në një pasqyrim nga 𝑋∗ në ℕ duke marrë

𝑤 𝑒 = 0 dhe 𝑤 𝑥𝑎 = 𝑤 𝑥 + 𝑤(𝑎) për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑋∗, 𝑎 ∈ 𝑋.

c) Renditja leksikografike >𝑙𝑒𝑥 në 𝑋∗ përcaktohet si vijon. 𝑥 >𝑙𝑒𝑥 𝑦 në qoftë se nuk

ekziston asnjë string jo bosh 𝑧 i tillë që 𝑥 = 𝑦𝑧, ose 𝑥 = 𝑢𝑎𝑖𝑣, 𝑦 = 𝑢𝑎𝑗 𝑣 për 𝑢, 𝑣, 𝑧 ∈

𝑋∗ dhe 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} që kënaqin kushtin 𝑖 > 𝑗.

d) Renditja leksikografike sipas gjatësisë >𝑙𝑙 është një kombinim i renditjes sipas

gjatësisë dhe asaj leksikografike. 𝑥 >𝑙𝑙 𝑦 në qoftë se |𝑥| > |𝑦| (ose 𝑥 = |𝑦| dhe

𝑥 >𝑙𝑒𝑥 𝑦)

Le të jetë 𝑇 një sistem rishkrimi i stringjeve në 𝑋. Do të themi se ky sistem është i

pajtueshëm me renditjen e pjesshme >, në qoftë se ka vend 𝑙 > 𝑟 për çdo rregull (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑇.

Në qoftë se renditja e pjesshme > është e pranueshme, atëhere kjo sjell që 𝑢 > 𝑣 për sa kohë

që ka vend 𝑢 →𝑅+ 𝑣.

Renditja e pjesshme > quhet min-e plotë për 𝑇, në qoftë se çdo klasë kongruence [𝑤]𝑇

përmban një element më të vogël në lidhje me > , pra, për çdo 𝑤 ∈ 𝑋∗, ekziston një element

𝑤𝑚𝑖𝑛 ∈ [𝑤]𝑇 i tillë që të ketë vend 𝑢 > 𝑤𝑚𝑖𝑛 për të gjitha 𝑢 ∈ [𝑤]𝑇 \{𝑤𝑚𝑖𝑛 }.

1.3. Algjebrat Universale.

Me algjebër universale do të kuptojmë studimin e objekteve algjebrike në përgjithësi, të

quajtura, gjthashtu, algjebra universale. Këto objekte të përgjithëshme u shqyrtuan, fillimisht

në vitin 1898, nga Whitehead . Studimi sistematik i tyre filloi në vitet 1935 dhe pastaj 1944

nga Birkhoff.

Një algjebër universale është një bashkësi me një numër të çfarëdoshëm operacionesh. Në

këtë seksion japim, shkurt, disa koncepte bazë të lidhura me to.

Përkufizim 1.3.1.([3]) Le tëjetë 𝑛 ≥ 0 një numër i plotë jonegativ. Operacion 𝑛-ar 𝜔 në një

bashkësi 𝑋quhet një pasqyrim i 𝑋𝑛 në 𝑋, ku 𝑋𝑛 është produkti kartezian i 𝑛 kopjeve të 𝑋;

numri 𝑛 është shumfishiteti i 𝜔.

Një operacion me shumfishitet 2 është operacion binar. Një operacion me shumfishitet 1 ose

operacioni unar në një bashkësi 𝑋 është thjesht një pasqyrim i 𝑋 në 𝑋. Me marrëveshje,

20

𝑋0është bashkësia me një element, p.sh. {∅}; pra një operacion me shumfishitet 0 ose

operacion konstant në një bashkësi 𝑋 zgjedh një element të 𝑋.

Algjebrat universale klasifikohen prej tipit të tyre i cili specifikon numrin e operacioneve dhe

shumfishitetet.

Përkufizim 1.3.2. ([3]) Me termin tip të një algjebre universale do të kuptojmë një çift të

renditur të një bashkësie 𝑇 dhe një pasqyrimi 𝜔 ⟼ 𝑛𝜔 që i bashkon secilit 𝜔 ∈ 𝑇 një numër

të plotë jonegativ 𝑛𝜔 , shumfishiteti formal i 𝜔. Algjebër universale, ose algjebër e tipit 𝑇do

të quhet një çift i renditur i një bashkësie 𝐴 dhe një pasqyrimi, tipi – 𝑇 i strukturës algjebrike

në 𝐴, që i bashkon secilit 𝜔 ∈ 𝑇 një operacion 𝜔𝐴 në 𝐴 me shumfishitet𝑛𝜔 .

Shembuj 1.3.3.([3]) Bashkësitë janë algjebra universale të tipit 𝑇 = ∅. Grupet dhe

gjysmëgrupet janë të të njejtit tip, i cili ka një element me shumfishitet 2. Grupet mund të

shihen, gjithashtu, si një algjebër universale me një operacion binar, një operacion konstant

që zgjedh elementin identik dhe një operacion unar 𝑥 ⟼ 𝑥−1; tipi korrespondues ka një

element me shumfishitet 0, një element me shumfishitet 1 dhe një element me shumfishitet 2.

Përkufizim 1.3.4.([3]) Algjebër e fjalëve e tipit 𝑇 në një bashkësi 𝑋quhet bashkimi 𝑊 =

𝑊𝑋𝑇 = 𝑊𝑘𝑘≥0 me operacione të përcaktuara si më poshtë: në qoftë se 𝜔 ∈ 𝑇 ka

shumfishitet𝑛 dhe 𝑤1 ∈ 𝑊𝑘1, … , 𝑤𝑛 ∈ 𝑊𝑘𝑛

atëhere 𝜔𝑊 𝑤1, … , 𝑤𝑛 = (𝜔, 𝑤1, … , 𝑤𝑛) ∈ 𝑊𝑘 ,

ku 𝑘 = 1 + 𝑘1 + ⋯ + 𝑘𝑛 .

Ndërtim: Për një tip të dhënë 𝑇 algjebrash universale dhe një bashkësi 𝑋, përcaktojmë një

bashkësi 𝑊𝑘 si vijon: le të jetë 𝑊0 = 𝑋; në qoftë se 𝑘 > 0, atëhere 𝑊𝑘 është bashkësia e

vargjeve (𝜔, 𝑤1, … , 𝑤𝑛) në të cilat 𝜔 ∈ 𝑇 ka shumfishitet𝑛 dhe 𝑤1 ∈ 𝑊𝑘1, … , 𝑤𝑛 ∈ 𝑊𝑘𝑛

ku

𝑘1, … , 𝑘𝑛 ≥ 0 dhe 1 + 𝑘1 + ⋯ + 𝑘𝑛 = 𝑘.

Përkufizim 1.3.5.([3]) Me relacion të tipit 𝑇 midis elementeve të një bashkësie 𝑋do të

kuptojmë një çift (𝑢, 𝑣)të shkruar shpesh si barazim 𝑢 = 𝑣 elementesh të algjebrës së fjalëve

𝑊𝑋𝑇 të tipit 𝑇; relacioni (𝑢, 𝑣) ka vend në një algjebër universale të tipit 𝑇 nëpërmjet një

pasqyrimi 𝑓: 𝑋 → 𝐴 kur 𝜑 𝑢 = 𝜑(𝑣), ku 𝜑: 𝑊𝑋𝑇 → 𝐴 është homomorfizmi që shtrin 𝑓.

Përkufizim 1.3.6. ([3]) Le të jetë 𝑋 një bashkësi e numërueshme. Identitet i tipit 𝑇quhet një

çift (𝑢, 𝑣) elementesh të algjebrës së fjalëve 𝑊𝑋𝑇 të tipit 𝑇 në bashkësinë 𝑋. Një identitet

21

(𝑢, 𝑣) ka vend në një algjebër universale të tipit 𝑇 kur 𝜑 𝑢 = 𝜑(𝑣) për çdo homomorfizëm

𝜑: 𝑊𝑋𝑇 → 𝐴. Atëhere 𝐴 kënaq identitetin (𝑢, 𝑣).

Përkufizim 1.3.7.([3]) Le të jetë 𝑇 një tip algjebre universale dhe le të jetë 𝑋 një bashkësi e

numërueshme. Çdo bashkësi 𝒥 ⊆ 𝑊𝑋𝑇 × 𝑊𝑋

𝑇 identitetesh të tipit 𝑇 përcakton një klasë 𝑉(𝒥),

e cila konsiston në të gjitha algjebrat universale të tipit 𝑇 që kënaqin çdo identitet (𝑢, 𝑣) ∈ 𝒥.

Përkufizim 1.3.8.([3]) Le të jetë 𝑋 një bashkësi e numërueshme. Variete e tipit 𝑇quhet një

klasë 𝒱 = 𝑉(𝒥) e cila konsiston në të gjitha algjebrat universale të tipit 𝑇 që kënaqin ndonjë

bashkësi 𝒥 ⊆ 𝑊𝑋𝑇 × 𝑊𝑋

𝑇 identitetesh të tipit 𝑇.

Shembull 1.3.9. Grupet përbëjnë një variete. Mund t‟i shohim grupet si algjebra me një

operacion binar, një konstant (“elementi identik”) dhe një operacion unar 𝑥 ⟼ 𝑥−1. Një

algjebër e këtij tipi është grup atëhere dhe vetëm atëhere kur 1𝑥 = 𝑥 për të gjitha 𝑥 ∈ 𝐺,

𝑥1 = 𝑥 për të gjitha 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑥𝑥−1 = 1 për të gjitha 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑥−1𝑥 = 1 për të gjitha 𝑥 ∈ 𝐺 dhe

𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 për të gjitha 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺; këto pesë kushte janë identitete.

Kujtojmë këtu se një graf [i vogël] është një katërshe 𝑉, 𝐸, 𝑑, 𝑐 që konsiston në një bashkësi

𝑉 (bashkësia e kulmeve), një bashkësi 𝐸 (bashkësia e brinjëve) dhe dy funksione 𝑑, 𝑐: 𝐸 → 𝑉

të cilat japin fillimin dhe fundin e një brinje.

Përkufizim 1.3.10. Me një diagramë në kategorinë 𝑪mbi një graf [të vogël] 𝒢do të kuptojmë

një çift të renditur pasqyrimesh, njeri ndër të cilët i shoqëron çdo kulmi 𝑖 të 𝒢 një objekt 𝐷𝑖 të

𝑪dhe tjetri i shoqëronçdo brinje𝑎: 𝑖 → 𝑗 të 𝒢 një morfizëm 𝐷𝑎 : 𝐷𝑖 → 𝐷𝑗 të 𝑪. Formalisht, një

diagramë e tipit 𝑱 në një kategori 𝑪është një funktor (kovariant) 𝐷 : 𝑱 → 𝑪. Kategoria

𝑱quhet kategori indeks ose skemë e diagramës 𝐷.Një diagramë do të quhet e vogël ose e

fundme kur kategoria 𝑱 është e tillë.

Përkufizim 1.3.11. Le të jetë 𝐴 një objekt i një kategorie 𝑪 dhe le të jetë 𝐷 një diagramë në 𝑪

mbi një graf 𝒢. Një kon 𝜑 nga 𝐴 në 𝐷 i shoqëron çdo kulmi 𝑖 të 𝒢 një morfizëm 𝜑𝑖 : 𝐴 → 𝐷𝑖

në mënyrë të tillë që 𝐷𝑎𝜑𝑖 = 𝜑𝑗 për çdo brinjë 𝑎: 𝑖 → 𝑗 të 𝒢.

Përkufizim 1.3.12. Le të jetë 𝐷 një diagramë në një kategori 𝑪mbi një graf [të vogël] 𝒢. Me

kon limit të𝐷do të kuptojmë një kon 𝜆: 𝐿 → 𝐷të tillë që për çdo kon 𝜑: 𝐴 → 𝐷ekziston një

22

morfizëm i vetëm 𝜑 : 𝐴 → 𝐿 i tillë që 𝜑 = 𝜆𝜑 (𝜑𝑖 = 𝜆𝑖𝜑 për çdo kulm 𝑖 të 𝒢. Atëhere,

objekti 𝐿 është një limit i diagramës 𝐷).

Një diagramë në 𝑪 mbi 𝒢 është gjithashtu një diagramë në 𝑪𝑜𝑝 mbi𝒢𝑜𝑝 .

Përkufizim 1.3.13. Kolimiti dhe koni kolimit i një diagrame 𝐷 në një kategori 𝑪janë limiti

dhe koni limit i 𝐷 në 𝑪𝑜𝑝 . Kështu që, limitet dhe kolimitet janë koncepte duale.

Përkufizim 1.3.14. Një kategori 𝑪 quhet e plotë ose ka limite kur çdo diagramë [e vogël] në

𝑪 kanjë limit.

Përkufizim 1.3.15. Një kategori 𝑪 quhet ko e plotë ose ka kolimite kur çdodiagramë [evogël]

në 𝑪 ka një kolimit.

Një kategori është ko e plotë kur e kundërta e saj është e plotë.

Pohim 1.3.16.([4]). Cdo variete 𝒱 është ko e plotë; në fakt çdo diagrame në 𝒱 mund t‟i

caktohet një kolimit.

1.4. Disa shënime për 𝜞-gjysmëgrupet.

Siç ka theksuar Grillet, …“Të përshkruash gjysmëgrupet është një detyrë e

vështirë.Gjysmëgrupet janë midis objekteve të panumërta në matematikë, dhe gjithashtu ndër

më komplekset…” Një gjysmëgrup është një strukturë algjebrike e cila konsiston në një

bashkësi joboshe S sëbashku me një relacion binar shoqërimtar. Studimi formal i tyre nisi në

fillimet e shekullit të 20-të. Rëndësia e gjysmëgrupeve shfaqet në shumë disiplina

matematike siç janë kodimi dhe teoria e gjuhës, teoria e automateve, kombinatorika dhe

analiza matematike.

𝛤-gjysmëgrupet, sinjë përgjithësim i gjysmëgrupeve janë përcaktuar nga Sen dhe Saha në

vitin 1986. Ato kanë tërhequr shumë matematikanë të tjerë, të cilët kanë përgjithësuar një

sërë rezultatesh klasike nga teoria e gjysmëgrupeve. Le të përmendim këtu Dutta,

Chattopadhyay, Chinram, Tinpun, Sattayaporn, Petro, Xhillari, etj.

Letë jenë 𝑆 dhe 𝛤 dy bashkësi joboshe. 𝑆 quhet 𝛤-gjysmëgrup ([25]) në qoftë se ekziston një

pasqyrim 𝑆 × 𝛤 × 𝑆 → 𝑆 që shkruhet në formën (𝑥, 𝛾, 𝑦) ↦ 𝑥𝛾𝑦 dhe kënaq kushtin

(𝑥, 𝛾 , 𝑦) 𝛽𝑧 = 𝑥𝛾(𝑦𝛽𝑧) për të gjitha 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 dhe 𝛾, 𝛽 ∈ 𝛤. Në këtë rast me (𝑆, 𝛤) ne

kuptojmë se 𝑆 është një 𝛤- gjysmëgrup. Për një 𝛤-gjysmëgrup 𝑆dhe një element të fiksuar

23

γ ∈ 𝛤 përcaktojmë në 𝑆 operacionin binar ∘ duke vendosur𝑥 ∘ 𝑦 = 𝑥𝛾𝑦 për të gjitha𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆.

Çifti 𝑆,∘ i përcaktuar në këtë mënyrë shënohetme 𝑆𝛾 . Ai është një gjysmëgrup. Për më

tepër, në qoftë se ai është grup për ndonjë γ ∈ 𝛤 atëhere ai është grup për çdo γ ∈ 𝛤. Në këtë

rast themi se 𝑆𝛾 është një 𝛤-grup.( shih [25], Rrjedhim 2.2).

Le të jetë 𝑆 një 𝛤- gjysmëgrup. Një nënbashkësi joboshe A e S do të quhet 𝛤-nëngjysmëgrup

i S në qoftë se 𝐴𝛤𝐴 ⊆ 𝐴. Një 𝛤- nëngjysmëgrup I i S do të quhet 𝛤-ideal i S në qoftë se

𝐼𝛤𝑆 ⊆ 𝐼 dhe 𝑆𝛤𝐼 ⊆ 𝐼. Gjithashtu, 𝑆 do të quhet 𝛤-semigroup komutativ, në qoftë se𝑥𝛾𝑦 =

𝑦𝛾𝑥 për të gjitha 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dhe 𝛾 ∈ 𝛤.

Le të jetë S’ një Γ’ semigroup dhe S” një Γ” semigroup. Atëhere (𝑓, 𝑔): (𝑆’, 𝛤’) → (𝑆”, 𝛤”)

do të quhet homomorfizëm në qoftë se 𝑓: 𝑆’ → 𝑆” dhe 𝑔: 𝛤’ → 𝛤” janë funksione dhe

𝑓(𝑥𝛾𝑦) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝛾) 𝑓(𝑦) për të gjitha 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆’ dhe 𝛾 ∈ 𝛤’.

Një homomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh (me të njejtën 𝛤) do të quhet epimorfizëm në qoftë se

ai është syrjektiv.

Shembull: Le të jetë 𝑆 bashkësia e të gjitha 2× 3 matricave dhe 𝛤 bashkësia e të gjitha 3× 2

matricave mbi një fushë, atëhere për 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆 produkti AB nuk mund të përcaktohet, pra S

nuk është gjysmëgrup në lidhje me shumëzimin e zakonshëm matricor, por për të gjitha

𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑆 dhe 𝑃, 𝑄 ∈ 𝛤 kemi 𝐴𝑃𝐵 ∈ 𝑆 dhe me që shumëzimi matricor është shoqërimtar,

kemi (𝐴𝑃𝐵)𝑄𝐶 = 𝐴𝑃(𝐵𝑄𝐶). Përcaktojmë, më tej 𝑓: 𝑆 → 𝑆 dhe 𝑔: 𝛤 → 𝛤 si më poshtë

𝑓(𝐴2×3) = 3𝐴2×3;𝑔(𝐵3×2) = 𝐵3×2/3.Atëhere, 𝑓(𝐴2×3𝐵3×2𝐶2×3) = 3(𝐴2×3𝐵3×2𝐶2×3) =

3𝐴2×3(𝐵3×2/3)(3 𝐶2×3) = 𝑓(𝐴2×3) 𝑔(𝐵3×2)𝑓(𝐶2×3). Pra, (𝑓, 𝑔) është homomorfizëm nga

(𝑆, 𝛤) në (𝑆, 𝛤).

Le të jetë 𝑆 një 𝛤- gjysmëgrup.

Një relacion ekuivalence ρ në 𝑆 do të quhet kongruencë në qoftë se 𝑥𝜌𝑦 sjell që 𝑥𝛾𝑧 𝜌(𝑦𝛾𝑧)

dhe (𝑧𝛾𝑥)𝜌(𝑧𝛾𝑦) për të gjitha 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆dhe 𝛾 ∈ 𝛤, ku 𝑥𝜌𝑦 do të thotë (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜌.

Le të jetë ρ një relacion kongruence në (𝑆, 𝛤). Me 𝑆/𝜌 do të shënojmë bashkësinë e të gjitha

klasave të ekuivalencës të elementeve të 𝑆në lidhje me ρ, pra 𝑆/𝜌 = {𝜌(𝑥)/𝑥 ∈ 𝑆}.

Teoremë 1.4.1. ([27]) Le të jetë ρ një relacion kongruence në (𝑆, 𝛤). Atëhere 𝑆/𝜌 është një 𝛤-

gjysmëgrup.

Vërtetim: Le të jetë 𝑆 një 𝛤-gjysmëgrup dhe 𝜌 një kongruencë në 𝑆. Për 𝑎𝜌, 𝑏𝜌 ∈ 𝑆/𝜌 dhe

𝛾 ∈ 𝛤, le të jetë 𝑎𝜌 𝛾 𝑏𝜌 = (𝑎𝛾𝑏)𝜌. Ky relacion është i mirë-përcaktuar me që për

𝑎, 𝑎′ , 𝑏, 𝑏′ ∈ 𝑆 dhe 𝛾 ∈ 𝛤 do të kemi:

𝑎𝜌 = 𝑎′𝜌dhe𝑏𝜌 = 𝑏′𝜌 ⟹ 𝑎, 𝑎′ , 𝑏, 𝑏′ ∈ 𝜌 ⟹ 𝑎𝛾𝑏, 𝑎′𝛾𝑏 , (𝑎′𝛾𝑏, 𝑎′𝛾𝑏′ ) ∈ 𝜌 ⟹

𝑎𝛾𝑏, 𝑎′𝛾𝑏′ ∈ 𝜌 ⟹ 𝑎𝛾𝑏 𝜌 = (𝑎′𝛾𝑏′ )𝜌 .

24

Më tej, le të jenë 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 dhe 𝛾, 𝜇 ∈ 𝛤. Atëhere do të kemi

𝑎𝜌𝛾𝑏𝜌 𝜇𝑐𝜌 = 𝑎𝛾𝑏 𝜌 𝜇𝑐𝜌 = 𝑎𝛾 𝑏𝜇𝑐 𝜌 = 𝑎𝜌𝛾 𝑏𝜇𝑐 𝜌 = 𝑎𝜌𝛾(𝑏𝜌𝜇𝑐𝜌).

Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.

Teoremë 1.4.2. ([27]) Le të jetë 𝜑, 𝑔 : (𝑆1, 𝛤1) → 𝑆2, 𝛤2 një homomorfizëm. Përcaktojmë

relacionin 𝜌(𝜑 ,𝑔) në (𝑆1, 𝛤1) si më poshtë:

𝑥𝜌(𝜑 ,𝑔)𝑦 ⟺ 𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑦 . Atëhere ρ(𝜑 ,𝑔)

është një kongruencë në (𝑆1, 𝛤1).

Vërtetim: Eshtë e qartë se 𝜌(𝜑 ,𝑔) është një relacion ekuivalence. Supozojmë se 𝑥ρ(𝜑 ,𝑔)

𝑦.

Kemi 𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑦 ⇒ 𝜑 𝑥 𝑔 𝛾 𝜑 𝑧 = 𝜑 𝑦 𝑔 𝛾 𝜑 𝑧 ⇒ 𝜑 𝑥𝛾𝑧 = 𝜑(𝑦𝛾𝑧) për të gjitha

𝑧 ∈ 𝑆1 dhe 𝛾 ∈ 𝛤1. Kështu që, 𝑥𝛾𝑧 𝜌 𝜑 ,𝑔 (𝑦𝛾𝑧). Në mënyrë të ngjashme, tregojmë se

𝑧𝛾𝑥 𝜌 𝜑 ,𝑔 (𝑧𝛾𝑦). Prandaj,ρ(𝜑 ,𝑔)

është një relacion kongruence në (𝑆1, 𝛤1).

Japim, më poshtë këtë përkufizim më të përgjithshëm të një kongruence:

Le të jetë 𝑆 një 𝛤-semigroup. Një çift relacionesh (ρ,σ) kue 𝜌 ⊆ 𝑆 × 𝑆 dhe 𝜍 ⊆ 𝛤 × 𝛤 do të

quhet kongruencë e (𝑆, 𝛤) në qoftë se

i. ρ është një relacion ekuivalence në 𝑆 .

ii. σ është një relacion ekuivalence në 𝛤.

iii. 𝑎, 𝑏 ∈ 𝜌dhe (𝛼, 𝛽) ∈ 𝜍 atëhere (𝑎𝛼𝑐, 𝑏𝛽𝑐) ∈ 𝜌 dhe (𝑐𝛼𝑎, 𝑐𝛽𝑏) ∈ 𝜌 , ∀𝑐 ∈ 𝑆

Në qoftë se në relacionin e mësipërm 𝜍 = { 𝛼, 𝛼 , 𝛼 ∈ 𝛤} atëhere ρdo të quhet kongruencë në

𝛤-gjysmëgrupin 𝑆.

Një element 𝑒 ∈ 𝑆 do të quhet α-idempotent ku 𝛼 ∈ 𝛤 në qoftë se 𝑒𝛼𝑒 = 𝑒. Shënojmë me 𝐸𝛼

bashkësinë e të gjitha α-idempotentëve të 𝑆. Në qoftë se çdo element i 𝑆 është një

idempotent, atëhere , 𝑆 do të quhet 𝛤-gjysmëgrup idempotent.

Le të jetë 𝑆 një 𝛤-gjysmëgrup dhe 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆, 𝛼 ∈ 𝛤. Në qoftë se 𝑥𝛼𝑦 = 𝑦𝛼𝑥, atëhere themi se

x,y janë α-komutativë. 𝑆 do të quhet komutativ në qoftë se 𝑥𝛼𝑦 = 𝑦𝛼𝑥 për 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dhe të

gjitha 𝛼 ∈ 𝛤.

Le të jetë 𝑆 një 𝛤-gjysmëgrup komutativ, idempotent dhe 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆. Le të përcaktojmë

relacionin 𝑥 ≤ 𝑦 ⇔ 𝑥𝛼𝑦 = 𝑥 kur 𝑥𝛼𝑥 = 𝑥, 𝛼 ∈ 𝛤.

Lemë 1.4.4.([46]) Relacioni ′ ≤ ′ është një renditje e pjesëshme në 𝑆.

25

Vërtetim: Tregojmë, së pari, se ky relacion është i mirë-përcaktuar. Supozojmë se 𝑥𝛼𝑥 = 𝑥

dhe𝑥𝛼1𝑥 = 𝑥 dhe le të jetë 𝑥𝛼𝑦 = 𝑥.Atëhere, 𝑥𝛼1𝑦 = 𝑥𝛼𝑥 𝛼1𝑦 = 𝑥𝛼 𝑥𝛼1𝑦 =

𝑥𝛼 𝑦𝛼1𝑥 = 𝑥𝑎𝑦 𝛼1𝑥 = 𝑥𝛼1𝑥 = 𝑥.

i. Me që x është idempotent, kemi 𝑥𝛼𝑥 = 𝑥 për ndonjë 𝛼 ∈ 𝛤. Pra, 𝑥 ≤ 𝑥 gjë që

implikon se ′ ≤ ′ është refleksiv.

ii. Le të jetë 𝑥 ≤ 𝑦 dhe 𝑦 ≤ 𝑥.Atëhere 𝑥𝛼𝑦 = 𝑥 dhe 𝑦𝛽𝑥 = 𝑦 ku 𝑥𝛼𝑥 = 𝑥 dhe 𝑦𝛽𝑦 =

𝑦.Tani, 𝑥 = 𝑥𝛼𝑦 = 𝑥𝛼 𝑦𝛽𝑦 = 𝑥𝛼𝑦 𝛽𝑦 = 𝑥𝛽𝑦 = 𝑦𝛽𝑥 = 𝑦. Pra ′ ≤ ′ është

antsimetrik.

iii. Le të jenë 𝑥 ≤ 𝑦 dhe 𝑦 ≤ 𝑧.Atëhere, 𝑥𝛼𝑦 = 𝑥 dhe 𝑦𝛽𝑧 = 𝑦, ku 𝑥𝛼𝑥 = 𝑥 dhe

𝑦𝛽𝑦 = 𝑦. Atëhere, 𝑥𝛼𝑦 = 𝑥𝛼 𝑦𝛽𝑦 = 𝑥𝛼𝑦 𝛽𝑦 = 𝑥𝛽𝑦. Më tej, 𝑥𝛼𝑧 = 𝑥𝛼𝑦 𝛼𝑧 =

𝑥𝛽𝑦 𝛼𝑧 = 𝑦𝛽 𝑥𝛼𝑧 = 𝑦𝛽 𝑧𝛼𝑥 = 𝑦𝛽𝑧 𝛼𝑥 = 𝑦𝛼𝑥 = 𝑥𝛼𝑦 = 𝑥. Pra, 𝑥 ≤ 𝑧. Kështu

që ′ ≤′ është tranzitiv.

Le të jetë 𝑆një 𝛤-gjysmëgrup. Për çdo ideal 𝐼 të 𝑆, përcaktojmë 𝜌𝐼 = 𝐼𝑆 ∪ 𝐼 × 𝐼 ku 𝐼𝑆 është

relacioni identitet në 𝑆. Relacioni 𝜌𝐼 është një kongruencë në 𝑆 klasat e ekuivalencës të së

cilës konsistojnë në idealin 𝐼 dhe bashkësitë një elementshe. E quajmë atë Rees 𝛤-kongruencë

në 𝑆 dhe herësin 𝑆 𝜌𝐼 Rees 𝛤-herës të 𝑆 me 𝛤.

Lemë 1.4.5.([46]) Le të jetë 𝑆një 𝛤-gjysmëgrup dhe 𝐼 një ideal i 𝑆. Atëheree Rees 𝛤-herësi

𝑆 𝜌𝐼 është një 𝛤-gjysmëgrup dhe 𝑆 𝜌𝐼 është një fytyrë homomorfe e 𝑆.

Vërtetim: Le të jenë 𝑥𝜚𝐼,𝑦𝜚𝐼 ∈ 𝑆 𝜌𝐼 dhe 𝛼 ∈ 𝛤. Atëhere, nga përkufizimi i mësipërm

𝑥𝜚𝐼 𝛼 𝑦𝜚𝐼 = (𝑥𝛼𝑦)𝜌𝐼. Mund të shihet lehtë se 𝑆 𝜌𝐼 është një 𝛤-gjysmëgrup. Le të

konsiderojmë, më tej, çiftin e pasqyrimeve (𝑓, 𝑔), ku 𝑓: 𝑆 → 𝑆 𝜌𝐼 dhe 𝑔: 𝛤 → 𝛤 përcaktohen

si 𝑓 𝑥 = 𝑥𝜚𝐼 dhe 𝑔 𝛼 = 𝛼 për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑆 dhe për të gjitha 𝛼 ∈ 𝛤. Atëhere, 𝑓 𝑥𝛼𝑦 =

𝑥𝛼𝑦 𝜌𝐼 = 𝑥𝜚𝐼 𝛼 𝑦𝜚𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝛼 𝑓 𝑦 për të gjitha 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dhe për të gjitha 𝛼 ∈ 𝛤. Pra,

(𝑓, 𝑔) është një homomorfizëm nga (𝑆, 𝛤) në (𝑆 𝜌𝐼 , 𝛤). Më tej, për çdo 𝑥𝜚𝐼 ∈ 𝑆 𝜌𝐼 ekziston

𝑥 ∈ 𝑆 i tillë që 𝑓 𝑥 = 𝑥𝜚𝐼. Pra, 𝑓është një pasqyrim syrjektiv dhe është evidente se 𝑔 është

një pasqyrim syrjektiv, gjithashtu. Kështu që, 𝑆 𝜌𝐼 është një fytyrë homomorfe e 𝑆.

Teoremë 1.4.6.([46]) Le të jetë 𝑆 një 𝛤-gjysmëgrup. Le të jetë𝐼 një ideal i 𝑆. Atëhere 𝑆 është

një 𝛤-gjysmëgrup invers atëhere dhe vetëm atëhere kur 𝐼 dhe Rees 𝛤-herësi 𝑆 𝜌𝐼 janë që të

dy 𝛤-gjysmëgrupe inverse.

26

(Shënojmë këtu se rezultatet e mësipërme (1.4.4-1.4.6) janë një përshtatje për 𝛤-

gjysmëgrupet e rezultateve analoge në [46]).

27

KAPITULLI II

𝛀-GJYSMËGRUPET E LIRA.

2.1. Hyrje

Përkufizojmë, së pari, Ω-gjysmëgrupet ose gjysmëgrupet me shumë operatorë, si më poshtë

Një gjysmëgrup me shumë operatorë ose një Ω-gjysmëgrup është një algjebër universale në të

cilën është dhënë një sistem operacionesh binare Ω që kënaq vetinë e mëposhtme shoqëruese:

((𝑥, 𝑦)𝛼, 𝑧)𝛽 = (𝑥, (𝑦, 𝑧)𝛽)𝛼

për të gjitha 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 dhe për secilin çift operacionesh binare 𝛼, 𝛽 ∈ Ω.

Shembull: Një gjysmëgrup është një bashkësi me një operacion të vetëm binar. Në këtërast Ω

përbëhetnga një element i vetëm 𝜇 me shumfishitet dy i tillë që kënaq vetinë emëposhtme

shoqërimtare: 𝑥𝑦𝜇𝑧𝜇 = 𝑥𝑦𝑧𝜇𝜇 për të gjitha 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆.

Gjithashtu, shihet lehtë, se një𝛤-gjysmëgrup𝑆është njëΩ-gjysmëgrup, dhe anasjellas. Me të

vërtetë, përcaktojmë në 𝑆 operatorët binarë 𝛼 : 𝑆 × 𝑆 → 𝑆 të tillë që 𝛼 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝛼𝑦, ∀𝛼 ∈ 𝛤.

Atëhere, (𝑆, 𝛤 ) është një Ω-algebër ku 𝛤 = {𝛾 : 𝛾 ∈ 𝛤} që kënaq kushtet: 𝛽 𝛼 𝑥, 𝑦 , 𝑧 =

𝛼 𝑥, 𝛽 𝑦, 𝑧 , ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆, 𝛼 , 𝛽 ∈ 𝛤 .

Duke pasur parasysh se 𝛤-gjysmëgrupet janëΩ-gjysmëgrupe do tëparaqesim, më poshtë, disa

rezultate që kanë të bëjnë me 𝛤-gjysmëgrupet.

Shënojmë me 𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑 kategorinë e 𝛤-gjysmëgrupeve (me të njejtën 𝛤) e cila ka si objekte

𝛤-gjysmëgrupet dhe si shigjeta homomorfizmat e 𝛤-gjysmëgrupeve.

Është e qartë se homomorfizmi i 𝛤-gjysmëgrupeve çon çdo operator 𝛾 ∈ 𝛤 në vetvete.

Le të jetë 𝑆 një 𝛤-gjysmëgrup. Një nënbashkësi joboshe 𝑇 e 𝑆 do të quhet 𝛤-nëngjysmëgrup i

𝑆 në qoftë se 𝑎𝛾𝑏 ∈ 𝑇, për tëgjtha 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑇 dhe 𝛾 ∈ 𝛤. Në këtë rast shkruajmë 𝑇 ≤ 𝑆.

28

Le të jetë 𝑆 një 𝛤-gjysmëgrup dhe 𝑋 ⊆ 𝑆, 𝑋 ≠ ∅. Shënojmë me < 𝑋 >𝑆= {𝐴|𝑋 ⊆ 𝐴, 𝐴 ≤

𝑆}. Atëhere, siç mund të verifikohet lehtë < 𝑋 >𝑆 është një 𝛤-nëngjysmëgrup dhe ai do të

quhet 𝛤-gjysmëgrupi i gjeneruar nga 𝑋.

Teoremë2.1.1. Le të jetë 𝑋 ≠ ∅, 𝑋 ⊆ 𝑆 për një 𝛤-gjysmëgrup 𝑆. Atëhere

< 𝑋 >𝑆= 𝑋𝑛 = {𝑥1

∞

𝑛=1

𝛼1𝑥2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 |𝑛 ≥ 1, 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝛼𝑖 ∈ 𝛤}

Vërtetim: Pozojmë 𝐴 = 𝑋𝑛∞𝑛=1 . Mund të shihet lehtë se 𝐴 ≤ 𝑆. Gjithashtu, 𝑋𝑛 ⊆< 𝑋 >𝑆

për tëgjitha 𝑛 ≥ 1, me që < 𝑋 >𝑆≤ 𝑆 dhe nga kjo rrjedh vërtetësia e rezultatit të teoremës.

Lemë 2.1.2. Le të jetë 𝛼: 𝑆 → 𝑃 një homomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh. Në qoftë se 𝑋 ⊆ 𝑆

atëhere

𝛼(< 𝑋 >𝑆) =< 𝛼 𝑋 >𝑃 .

Vërtetim: Në qoftë se 𝑥 ∈< 𝑋 >𝑆 atëhere nga Teorema 2.1.1. 𝑥 = 𝑥1𝛼1𝑥2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 për

ndonjë 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝛼𝑖 ∈ 𝛤. Me që 𝛼 është një homomorfizëm ne kemi

𝛼 𝑥 = 𝛼(𝑥1)𝛼1𝛼(𝑥2) … 𝛼(𝑥𝑛−1)𝛼𝑛−1𝛼(𝑥𝑛) ∈< 𝛼 𝑋 >𝑃

Dhe kështu 𝛼(< 𝑋 >𝑆) ⊆< 𝛼 𝑋 >𝑃. Nga ana tjetër në qoftë se 𝑦 ∈< 𝛼 𝑋 >𝑃 atëhere,

sërish nga Teorema 2.1.1. 𝑦 = 𝛼(𝑥1)𝛼1𝛼(𝑥2) … 𝛼(𝑥𝑛−1)𝛼𝑛−1𝛼(𝑥𝑛) për ndonjë 𝛼(𝑥𝑖) ∈

𝛼 𝑋 (𝑥𝑖 ∈ 𝑋). Pohimi rrjedh tani menjëherë me që 𝛼 është një homomorfizëm. Pra, ka

vend: 𝑦 = 𝛼(𝑥1𝛼1𝑥2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛) ku 𝑥1𝛼1𝑥2 …𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 ∈< 𝑋 >𝑆 .

Lemë 2.1.3. Në qoftë se 𝛼: 𝑆 → 𝑃 është një izomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh atëhere edhe

𝛼−1: 𝑃 → 𝑆 është një izomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh.

Vërtetim: Para së gjithash,𝛼−1 ekziston, sepse 𝛼 është bijeksion. Më tej, 𝛼𝛼−1 = 𝜄, dhe

kështu që, me që 𝛼 është homomorfizëm, do të kemi

𝛼 𝛼−1 𝑥 𝛾𝛼−1 𝑦 = 𝛼 𝛼−1 𝑥 𝛾𝛼 𝛼−1 𝑦 = 𝑥𝛾𝑦

Dhe pra, 𝛼−1 𝑥 𝛾𝛼−1 𝑦 = 𝛼−1(𝑥𝛾𝑦) , siç dëshironim.

Përkufizim 2.1.4.Një element 𝑎 i një 𝛤-gjysmëgrupi 𝑆 thuhet se është i thjeshtueshëm në

qoftë se ai është edhe 𝛼 i thjeshtueshëm nga e djathta edhe 𝛼 i thjeshtueshëm nga e majta.

29

Përkufizim 2.1.5.Një element 𝑎 i një 𝛤-gjysmëgrupi 𝑆 thuhet se është 𝛤-i thjeshtueshëm nga

e majta në qoftë se 𝑎 është 𝛼-i thjeshtueshëm nga e majta për të gjitha 𝛼 ∈ 𝛤.

Përkufizim 2.1.6.Një element 𝑎 i një 𝛤-gjysmëgrupi 𝑆 thuhet se është 𝛤-i thjeshtueshëm nga

e djathta në qoftë se 𝑎 është 𝛼-i thjeshtueshëm nga e djathta për të gjitha 𝛼 ∈ 𝛤.

Përkufizim 2.1.7.Një element 𝑎 i një 𝛤-gjysmëgrupi 𝑆 thuhet se është 𝛤-i thjeshtueshëm në

qoftë se është𝛤-i thjeshtueshëm edhe majtas edhe djathtas.

Përkufizim 2.1.8.Një 𝛤-gjysmëgrup 𝑆 thuhet se është i thjeshtueshëm në qoftë se çdo 𝑎 ∈ 𝑆

është 𝛤-i thjeshtueshëm.

Përkufizim 2.1.9.([20]). Për një 𝛤-gjysmëgrup të dhënë𝑆, ne përcaktojmë gjysmëgrupin e tij

universal𝛴 si herës të gjysmëgrupit të lirë 𝐹 në bashkësinë 𝑆 ∪ 𝛤 me kongruencën e gjeneruar

nga relacionet(𝛾1, 𝛾2)~𝛾1, 𝑥, 𝛾, 𝑦 ~𝑥𝛾𝑦, (𝑥, 𝑦)~𝑥𝛾0𝑦 për të gjitha (𝛾1, 𝛾2, 𝛾 ∈ 𝛤,

gjithë𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆dhe 𝛾0 ∈ 𝛤një element i fiksuar.

Lemë 2.1.10.([20],Lemma 1.1) Çdo element i 𝛴 mund të paraqitet nga një fjalë e

pareduktueshme e cila ka formën 𝛾𝑥𝛾 ′ ,𝛾𝑥,𝑥𝛾,𝛾ose 𝑥 ku 𝑥 ∈ 𝑆 dhe 𝛾, 𝛾 ′ ∈ 𝛤.

Dy bashkësi 𝑋 dhe 𝑌 kanë të njejtin numër kardinal, dhe kjo shënohet 𝑋 = |𝑌|, në qoftë se

ekziston një bijeksion , pra, një funksin injektiv dhe syrjekiv, nga𝑋në𝑌,𝜑: 𝑋 → 𝑌. Në këtë

rast funksioni 𝜑−1: 𝑌 → 𝑋 është, gjithashtu, një bijeksion. Kështu, ekziston një

korrespondencë 1-për-1 midis elementeve të 𝑋 dhe 𝑌 dhe në qoftë se 𝑋 është e fundme,

atëhere 𝑋 = |𝑌| në qoftë se dhe vetëm në qoftë se 𝑋 dhe 𝑌 kanë ekzaktësisht të njejtin

numër elementesh.

Le të jetë 𝐴 një bashkësi simbolesh, e quajtur alfabet. Elementet e saj janë gërma dhe çdo

varg i fundmë gërmash është një fjalë në 𝐴. Me simbolin 𝐴∗ shënojmë bashkësinë e të gjitha

fjalëve në 𝐴. Atëhere ajo është një gjysmëgrup ku produkti përcaktohet si konkatenacion

fjalësh. Por 𝐴∗ është një gjysmëgrup i lirë mbi 𝐴, gjithashtu.

Pohim 2.1.11.([23],Theorem 3.4.) Një gjysmëgrup 𝑆 është i lirë atëhere dhe vetëm atëhere

kur 𝑆 ≅ 𝐴∗, për ndonjë alfabet 𝐴.

Rrjedhim 2.1.12. Në qoftë se 𝑆 gjenerohet në mënyrë të lirë nga një bashkësi 𝑋, atëhere

𝑆 ≅ 𝐴∗ ku 𝐴 = |𝑋|.

30

Rrjedhim 2.1.13. Në qoftë se 𝑆 dhe 𝑅 janë gjysmëgrupe të lira të gjeneruara nga 𝑋 dhe 𝑌,

respektivisht, të tilla që 𝑋 = |𝑌| atëhere 𝑆 ≅ 𝑅.

2.2. Ekuivalencat

Siç dihet, një relacion 𝜌 në një bashkësi 𝑋 është: refleksiv atëhere dhe vetëm atëhere kur

1𝑋 ⊆ 𝜌, antisimetrik atëhere dhe vetëm atëhere kur 𝜌 ∩ 𝜌−1 = 1𝑋 , dhe tranzitiv atëhere dhe

vetëm atëhere kur 𝜌 ∘ 𝜌 ⊆ 𝜌. Përcaktojmë një ekuivalencë 𝜌 në një bashkësi 𝑋 si një relacion

që është njëkohësisht refleksiv, tranzitiv dhe simetrik do me thënë i tillë që

∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝑥, 𝑦 ∈ 𝜌 ⟹ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝜌.

Mund ta shprehim këtë veti si 𝜌 ⊆ 𝜌−1. Shënojmë me ℬ𝑋 bashkësinë e të gjitha relacioneve

binare në 𝑋 dhe përcaktojmë në ℬ𝑋 një operacion ∘ sipas rregullit, për të gjitha 𝜌, 𝜍 ∈ ℬ𝑋 ,

𝜌 ∘ 𝜍 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑋|(∃𝑧 ∈ 𝑋)(𝑥, 𝑧) ∈ 𝜌 𝑑𝑕𝑒 (𝑧, 𝑦) ∈ 𝜍} (2.1)

Atëhere, mund të provohet lehtë se për të gjitha 𝜌, 𝜍, 𝜏, 𝜌1, 𝜌2, … , 𝜌𝑛 ∈ ℬ𝑋 kanë vend

relacionet e mëposhtme:

𝜌 ⊆ 𝜍 ⟹ 𝜌 ∘ 𝜏 ⊆ 𝜍 ∘ 𝜏, 𝜏 ∘ 𝜌 ⊆ 𝜏 ∘ 𝜍 (2.2)

𝜌 ∘ 𝜍 ∘ 𝜏 = 𝜌 ∘ (𝜍 ∘ 𝜏) (2.3)

(𝜌−1)−1 = 𝜌 (2.4)

(𝜌1 ∘ 𝜌2 ∘ … ∘ 𝜌𝑛 )−1 = 𝜌1−1 ∘ … ∘ 𝜌𝑛

−1 (2.5)

𝜌 ⊆ 𝜍 ⟹ 𝜌−1 ⊆ 𝜍−1 (2.6)

Këtu me 𝜌−1 kemi shënuar të anasjellin e 𝜌 për çdo 𝜌 ∈ ℬ𝑋 , do me thënë

𝜌−1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑋|(𝑦, 𝑥) ∈ 𝜌}. (2.7)

Në qoftë se 𝜌 është një ekuivalencë në 𝑋 atëhere bashkësia e 𝜌-klasave, elementet e të cilave

janë nënbashkësitë 𝑥𝜌, quhet herës i bashkësisë 𝑋 me 𝜌 dhe shënohet 𝑋/𝜌. Pasqyrimi

𝜌𝔟: 𝑋 → 𝑋/𝜌 përcaktuar si

𝑥𝜌𝔟 = 𝑥𝜌, 𝑥 ∈ 𝑋 (2.8)

quhet pasqyrim natyral.

31

Pohim 2.2.1.([2],Pohim.1.4.7) Në qoftëse 𝜑: 𝑋 → 𝑋 është një pasqyrim, atëhere 𝜑 ∘ 𝜑−1

është një ekuivalencë.

Këtë ekuivalencë do ta quajmë bërthamë të 𝜑 dhe shkruajmë 𝜑 ∘ 𝜑−1 = 𝑘𝑒𝑟𝜑.

Le të jetë 𝑅 një relacion në 𝑋. Shënojmë me 𝑅𝑒 ekuivalencën minimale në 𝑋 që përmban 𝑅.

Familja e ekuivalencave që përmbajnë 𝑅 është joboshe me që 𝑋 × 𝑋 është një e tillë. Atëhere

prerja e të gjitha ekuivalencave që përmbajnë 𝑅 është një ekuivalencë dhe është pikërisht

ekuivalenca e gjeneruar nga 𝑅 pra është 𝑅𝑒 . Vetitë e saj janë dhënë nga J.M.Howie ([2]).

2.3. Kongruencat në 𝜞-gjysmëgrupet

Në këtë seksion japim disa rezultate të njohura që kanë të bëjnë me kongruencat në 𝛤-

gjysmëgrupet. Së pari, kujtojmë disa teorema të cilat janë dhënë më parë. (Kap.I, Paragrafi

1.4).

Përkufizim 2.3.1.([27]) Një relacion ekuivalence ρ në 𝑆 do të quhet kongruencë në qoftë se

𝑥𝜌𝑦 sjell 𝑥𝛾𝑧 𝜌(𝑦𝛾𝑧) dhe (𝑧𝛾𝑥)𝜌(𝑧𝛾𝑦) për të gjitha 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 dhe 𝛾 ∈ 𝛤, ku 𝑥𝜌𝑦 do të

thotë (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜌.

Le të jetë ρ një kongruencë në (𝑆, 𝛤). Me 𝑆/𝜌 do të shënojmë bashkësinë e të gjitha klasave të

ekuivalencës me elemente nga 𝑆 në lidhje me ρ pra 𝑆/𝜌 = {𝜌(𝑥)/𝑥 ∈ 𝑆}. Kemi vërtetuar më

lart këto dy teorema:

Teoremë 2.3.2.([27]) Le të jetë ρ një relacion kongruence në (𝑆, 𝛤). Atëhere 𝑆/𝜌 është një 𝛤-

gjysmëgrup.

Teoremë 2.3.3. ([27]) Le të jetë 𝜑, 𝑔 : (𝑆1, 𝛤1) → 𝑆2, 𝛤2 një homomorfizëm. Përcaktojmë

relacionin 𝜌(𝜑 ,𝑔) në (𝑆1, 𝛤1)si më poshtë:

𝑥𝜌(𝜑 ,𝑔)𝑦 ⟺ 𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑦 . Atëhere ρ(𝜑 ,𝑔) është një kongruencë në (𝑆1, 𝛤1).

Teoremë 2.3.4. ([28], Teorema 2.1.) Le të jenë 𝑆 dhe 𝑇 𝛤- gjysmëgrupe nën të njejtën 𝛤 dhe

𝜙: 𝑆 → 𝑇 le të jetë një 𝛤-homomorfizëm. Atëhere, ekziston një 𝛤-homomorfizëm 𝜑: 𝑆/

𝑘𝑒𝑟𝜙 → 𝑇 i tillë që 𝑖𝑚𝜙 = 𝑖𝑚𝜑 dhe diagrama

𝑆𝜙→ 𝑇

(𝑘𝑒𝑟𝜙)𝔟 ↓ ↗ 𝜑

𝑆/𝑘𝑒𝑟𝜙

32

komuton (do me thënë 𝜑 ∘ (𝑘𝑒𝑟𝜙)𝔟 = 𝜙) ku (𝑘𝑒𝑟𝜙)𝔟 është pasqyrimi natyral nga 𝑆 në

𝑆/𝑘𝑒𝑟𝜙i përcaktuar si (𝑘𝑒𝑟𝜙)𝔟 𝑥 = 𝑥𝑘𝑒𝑟𝜙 për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑆.

Rrjedhim 2.3.5. Le të jenë 𝑆 dhe 𝑇 dy 𝛤- gjysmëgrupe nën të njejtën 𝛤 dhe 𝜙: 𝑆 → 𝑇 le të jetë

një 𝛤-homomorfizëm. Atëhere 𝑆/𝑘𝑒𝑟𝜙 ≅ 𝑖𝑚𝜙.

Teoremë 2.3.6.([28] Teorema e izomorfizmit): Në qoftë se 𝜑: 𝑆1 → 𝑆2 është një

homomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh me të njejtën 𝛤 atëhere ekziston një izomorfizëm i vetëm

𝜓: 𝑆1/𝜌 → 𝑆2 i tillë që diagrama e mëposhtme komuton:

𝑆1

𝜑→ 𝑆2

𝛱𝑆1↓ ↗ 𝜓

𝑆1/𝜌𝜑

ku 𝛱𝑆1: 𝑆1 → 𝑆1/𝜌𝜑 përcaktohet si 𝛱𝑆1

𝑥 = 𝜌𝜑 (𝑥) për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑆1.

Le të jenë 𝜌 dhe 𝜍 kongruenca në një 𝛤-gjysmëgrup 𝑆 me 𝜌 ⊆ 𝜍. Përcaktojmë relacionin

𝜍 𝜌 në 𝑆/𝜌 si më poshtë

𝜍 𝜌 = {(𝑥𝜌, 𝑦𝜌) ∈ 𝑆/𝜌 × 𝑆/𝜌|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝜍}

Për të treguar se 𝜍 𝜌 është e mirë- përcaktuar, vërejmë se në qoftëse 𝑥𝜌, 𝑎𝜌, 𝑦𝜌, 𝑏𝜌 ∈ 𝑆/𝜌 të

tilla që 𝑥𝜌 = 𝑎𝜌 dhe 𝑦𝜌 = 𝑏𝜌, atëhere 𝑥, 𝑎 , (𝑦, 𝑏) ∈ 𝜌. Por me që 𝜌 ⊆ 𝜍, 𝑥, 𝑎 , (𝑦, 𝑏) ∈ 𝜍.

Nga sa thamë rrjeh se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝜍 ⟺ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝜍.

Teoremë 2.3.7.([28]) Le të jenë 𝜌 dhe 𝜍 kongruenca në një 𝛤-gjysmëgrup 𝑆 me 𝜌 ⊆ 𝜍 dhe

𝜍 𝜌 = {(𝑥𝜌, 𝑦𝜌) ∈ 𝑆/𝜌 × 𝑆/𝜌|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝜍}.

Atëhere (i) 𝜍 𝜌 është një kongruenë 𝑆/𝜌 dhe (ii) (𝑆/𝜌)/(𝜍 𝜌 ) ≅ 𝑆/𝜍.

2.4. Ndërtimi i 𝜞-gjysmëgrupeve të lira

Përcaktojmë, më poshtë, Ω-gjysmëgrupin e lirë duke përdorur konceptin e algjebrës së lirë të

fjalëve të tipit 𝑇 që ka bashkësinë 𝑋 si bazë, ashtu siç përshkruhet kjo algjebër në [3]. Në

rastin e Ω-gjysmëgrupeve, bëjmë, së pari, marrëveshjen që tipi i tyre është thjesht një

bashkësi relacionesh binare të cilën e shënojmë me Ω. Kështu, ne ndërtojmë, në mënyrë

33

induktive, Ω-algjebrat e lira të fjalëve si më poshtë: shënojmë 𝑊0 = 𝑋, atëhere për 𝑘 > 0

shënojmë me 𝑊𝑘 bashkësinë e të gjitha vargjeve të formës (𝛾, 𝑤1, 𝑤2) ku 𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝑊𝑘−1 dhe

𝛾 ∈ Ω. Për secilin 𝛼 ∈ Ω, shënojmë me 𝜆𝛼 fjalën bosh në lidhje me 𝛼. Më tej, marrim

𝑊𝑋 = 𝑊𝑘𝑘≥0 . Duke e “gërmëzuar” këtë të fundit , do të kemi që 𝑊1 është bashkësia e të

gjitha vargjeve (𝛾, 𝑥, 𝑦) ku 𝛾 ∈ Ω dhe 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Eshtë më komode t‟i paraqesim këto vargje

në formën 𝑥𝛾𝑦. Prodhimi 𝑥𝛽𝜆𝛽 përcaktohet të jetë 𝑥, dhe në mënyrë krejt të ngjashme,

prodhimi i formës 𝜆𝛼𝛼𝑦 përcaktohet të jetë 𝑦, ku 𝜆𝛼 , 𝜆𝛽 janë fjalët boshe në lidhje me

operatorët 𝛼, 𝛽, respektivisht. Në hapin në vazhdim, 𝑊2 do të kish si elemente vargjet

(𝛾, 𝑤1, 𝑤2) ku 𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝑊1 dhe 𝛾 ∈ Ω. Në qoftë se 𝑤1 = 𝑥1𝛾1𝑦1 dhe 𝑤2 = 𝑥2𝛾2𝑦2, atëhere

(𝛾, 𝑤1, 𝑤2) do të ishte, pikërisht, vargu 𝑥1𝛾1𝑦1𝛾𝑥2𝛾2𝑦2, me shënimet tona të reja. Dhe kjo

procedurë vazhdon …

Eshtë e qartë se Ω-gjysmëgrupi i lirëi përcaktuar si më lart është një Ω-gjysmëgrup.

Duke pasur parasysh përkufizimet dhe shënimet e mësipërme, do të paraqesim, më poshtë,

disa rezultate që kanë të bëjnë me 𝛤-gjysmëgrupet e lira, me që𝛤-gjysmëgrupet, siç treguam,

janë një lloj i veçantë algjebre universale dhe, pra, ato janëΩ-gjysmëgrupe. Le të jenë 𝑋 dhe

𝛤 dy bashkësi joboshe. Një varg elementesh𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 ku 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋

dhe 𝛼1, 𝛼2 , … , 𝛼𝑛−1 ∈ Γ quhet fjalë mbi alfabetin 𝑋 në lidhje me Γ. Bashkësia 𝑆 e të gjitha

fjalëve me operacionin e përcaktuar nga 𝑆 × Γ × 𝑆 në 𝑆 si vijon

(𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 …𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛)𝛾(𝑦1𝛽1𝑦2𝛽2 … 𝑦𝑚−1𝛽𝑚−1𝑦𝑚 ) =

𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛𝛾𝑦1𝛽1𝑦2𝛽2 … 𝑦𝑚−1𝛽𝑚−1𝑦𝑚

është një 𝛤-gjysmëgrup. Ky 𝛤-gjysmëgrup do të quhet 𝛤-gjysmëgrup i lirë mbi alfabetin 𝑋 në

lidhje me 𝛤dhe do ta shënojmë me 𝑋∗𝛤. Për qartësi, do të shënojmë shpesh 𝑢 ≡ 𝑣 , në qoftë

se fjalët 𝑢 dhe 𝑣 janë të njejta (gërmë për gërmë). Fjala bosh është fjala që nuk ka asnjë

gërmë. Pra, nga sa thamë më lart

𝑋∗𝛤 = {𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 |𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛−1 ∈ 𝛤, 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋}

Lidhur ngushtë me funktorin harraq 𝒰:𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑 → 𝑺𝒆𝒕 të tillë që(𝑆, 𝛤,∙) ↦ 𝑆 është funktori

F:𝑺𝒆𝒕 → 𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑 përcaktuar si: 𝑋 ↦ (𝑋∗𝛤, 𝛤,∙).

Për një funksion 𝑓: 𝑋 → 𝑌 përcaktojmë 𝐹 𝑓 : (𝑋∗𝛤, 𝛤,∙) → (𝑌∗𝛤, 𝛤,∙)të tillë që

𝐹 𝑓 𝑥1𝛾1𝑥2 …𝛾𝑛−1𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 𝛾1𝑓 𝑥2 𝛾2 … 𝑓 𝑥𝑛−1 𝛾𝑛−1𝑓(𝑥𝑛)

34

ku 𝑥𝑖 = 𝑎1𝑖 𝛼1

𝑖 … 𝑎𝑚−1𝑖 𝛼𝑚−1

𝑖 𝑎𝑚𝑖 ,i=1,2,…,n.

𝐹 i përcaktuar në këtë mënyrë është një funktor.

Supozojmë, më tej, se 𝑓: 𝑋 → 𝒰 𝑌, 𝛤,∙ është ndonjë funksion nga një bashkësi 𝑋 në

bashkësinë korresponduese të elementeve të një 𝛤-gjysmëgrupi Y. Atëhere mund të

përcaktojmë një homomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh 𝑓∗: 𝑋∗𝛤 → 𝑌 si më poshtë

𝑓∗ 𝑥1𝛾1𝑥2 … 𝛾𝑛−1𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 𝛾1𝑓 𝑥2 𝛾2 … 𝑓 𝑥𝑛−1 𝛾𝑛−1𝑓(𝑥𝑛)

ku 𝑥𝑖 = 𝑎1𝑖 𝛼1

𝑖 … 𝑎𝑚−1𝑖 𝛼𝑚−1

𝑖 𝑎𝑚𝑖 ,i=1,2,…,n.

Eshtë e qartë se,𝑓∗ është homomorfizmi i vetëm i 𝛤-gjysmëgrupeve që shtrin f, do me thënë

në qoftë se 𝑕: 𝑋∗𝛤 → 𝑌 është një homomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh i tillë që 𝑕 𝑥 = 𝑓(𝑥) për

çdo 𝑥 ∈ 𝑋 atëhere 𝑕 = 𝑓∗. Me të vërtetë, le të jetë, 𝜄: 𝑋 ↪ 𝑋∗𝛤 pasqyrimi zhytje dhe 𝑓si më

lart. Përcaktojmë 𝑓∗ si më lart, gjithashtu. Atëhere 𝜄𝑓∗ = 𝑓. Më tej, le të jetë 𝑕: 𝑋∗𝛤 → 𝑌 një

homomorfizëm arbitrar i tillë që𝜄𝑕 = 𝑓. Për çdo 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋∗𝛤

𝑕 𝑥1𝛾1𝑥2 … 𝛾𝑛−1𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 𝛾1𝑓 𝑥2 𝛾2 … 𝑓 𝑥𝑛−1 𝛾𝑛−1𝑓 𝑥𝑛 =𝑓∗ 𝑥1𝛾1𝑥2 … 𝛾𝑛−1𝑥𝑛 gjë që

sjell se 𝑕 = 𝑓∗ .

Kjo përbën të ashtuquajturën Universal Mapping Property për 𝛤-gjysmëgrupin e lirë𝑋∗𝛤 të

gjeneruar nga 𝑋. Një tjetër mënyrë për të shprehur këtë rezultat është se ne kemi një funksion

𝑺𝒆𝒕(𝑋, 𝒰(𝑌, 𝛤,∙)) → 𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑( 𝑋∗𝛤, 𝛤,∙ , 𝑌) i cili është një bijeksion. Eshtë, në fakt, një

izomorfizëm dhe 𝒰 e F janë një çift funktorësh të bashkngjitur. Pra,

𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑( 𝑋∗𝛤, 𝛤,∙ , 𝑌) ≅ 𝑺𝒆𝒕(𝑋, 𝒰(𝑌, 𝛤,∙))dhe për më tepër ai është edhe natyral siç mund të

shihet në diagramën e mëposhtme komutative:

𝑋 𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑( 𝑋∗𝛤, 𝛤,∙ , 𝑌)𝜑𝑋 ,𝒰𝑌 𝑺𝒆𝒕(𝑋, 𝒰(𝑌, 𝛤,∙))

𝑓 ↑ 𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑 𝐹 𝑓 , 𝑌 ↓ ↓ 𝑺𝒆𝒕(𝑓, 𝒰(𝑌, 𝛤,∙))

𝑌 𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑( 𝑌∗𝛤, 𝛤,∙ , 𝑌)𝜑𝑌 ,𝒰𝑌 𝑺𝒆𝒕(𝑌, 𝒰(𝑌, 𝛤,∙))

ku me 𝜑: 𝜞 − 𝑺𝒈𝒓𝒑( 𝑋∗𝛤, 𝛤,∙ , 𝑌) → 𝑺𝒆𝒕(𝑋, 𝒰(𝑌, 𝛤,∙)) kemi shënuar izomorfizmin në fjalë.

Pohim 2.4.1. Le të jetë 𝑋 një alfabet dhe le të jetë 𝐹 një 𝛤-gjysmëgrup. Atëhere 𝐹 është një

𝛤-gjysmëgrup i lirë mbi 𝑋 në lidhje me 𝛤atëhere dhe vetëm atëhere kur 𝐹 ≅ 𝑋∗𝛤.

Vërtetim: Supozojmë se 𝐹 ≅ 𝑋∗𝛤. Për të treguar se 𝐹 është një 𝛤-gjysmëgrup i lirë në 𝑋,

mjafton të tregojmë se 𝑋∗𝛤 është një gjysmëgrup i lirë në 𝑋. Le të jetë 𝜄: 𝑋 → 𝑋∗𝛤 pasqyrimi

35

zhytës (the embedding map). Kështu, le të jetë 𝑆 një 𝛤-gjysmëgrup dhe 𝜑: 𝑋 → 𝑆 le të jetë një

pasqyrim. Përcaktojmë 𝜑∗: 𝑋∗𝛤 → 𝑆 si më poshtë

𝜑∗ 𝑥1𝛾1𝑥2 … 𝛾𝑛−1𝑥𝑛 = 𝜑 𝑥1 𝛾1𝜑 𝑥2 𝛾2 … 𝜑 𝑥𝑛−1 𝛾𝑛−1𝜑(𝑥𝑛)

Shihet lehtë se 𝜑∗ është një homomorfizëm dhe se 𝜄𝜑∗ = 𝜑. Duhet të provojmë se 𝜑∗ është i

vetëm. Kështu, le të jetë 𝜓: 𝑋∗𝛤 → 𝑆 një homomorfizëm arbitrar i tillë që𝜄𝜓 = 𝜑. Atëhere,

për 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋∗𝛤 , çfarëdo, kemi

𝜓 𝑥1𝛾1𝑥2 … 𝛾𝑛−1𝑥𝑛 = 𝜓 𝑥1 𝛾1𝜓 𝑥2 𝛾2 … 𝜓 𝑥𝑛−1 𝛾𝑛−1𝜓(𝑥𝑛)

= 𝜑∗ 𝑥1 𝛾1𝜑∗ 𝑥2 𝛾2 … 𝜑∗ 𝑥𝑛−1 𝛾𝑛−1𝜑∗(𝑥𝑛)

= 𝜑∗ 𝑥1𝛾1𝑥2 …𝛾𝑛−1𝑥𝑛

Barazimetemësipërmekanë vendsepse𝜓 është një homomorfizëm, 𝜄𝜓 = 𝜑 = 𝜄𝜑∗dhe𝜑∗ është

një homomorfizëm, gjithashtu. Pra, 𝜓 = 𝜑∗. Kështu që, 𝜑∗ është homomorfizmi i vetëm nga

𝑋∗𝛤 në 𝑆i tillë që 𝜄𝜑∗ = 𝜓 , dhe, pra, 𝑋∗𝛤 është ilirë në 𝑋.

Letë jetë, më tej, 𝐹 një 𝛤-gjysmëgrup i lirë në 𝑋 në lidhje me 𝛤. Le të jenë 𝜄1: 𝑋 ↪ 𝑋∗𝛤 dhe

𝜄2: 𝑋 ↪ 𝐹 pasqyrimet zhytëse. Duke vendosur 𝜑 = 𝜄2 dhe 𝑆 = 𝐹 në përkufizimin e të qenit të

lirë për 𝐹 në 𝑋 shohim se ekziston një homomorfizëm 𝜄2∗ : 𝑋∗𝛤 → 𝐹 me 𝜄1𝜄2

∗ = 𝜄2. Në mënyrë

të ngjashme, me që 𝐹 është i lirë në 𝑋 ekziston një homomorfizëm 𝜄1∗: 𝐹 → 𝑋∗𝛤i tillë që𝜄2𝜄1

∗ =

𝜄1. Prandaj, 𝜄1 = 𝜄1𝜄2∗ 𝜄1

∗ dhe 𝜄2 = 𝜄2𝜄1∗𝜄2

∗ . Kështu që, nga kërkesa e unicitetit në përkufizimin e të

lirëve, do të kemi 𝜄2∗ 𝜄1

∗ = 𝑖𝑑𝑋∗𝛤 and 𝜄1∗𝜄2

∗ = 𝑖𝑑𝐹 . Kjo do të thotë se, 𝜄1∗ dhe 𝜄2

∗ janë

homomorfizma inverse të njeri tjetrit dhe kështu që 𝐹 ≅ 𝑋∗𝛤 .

Lemë 2.4.2. ([27] Lemma 3.7.) Le të jetë 𝑆𝜆 një 𝛤𝜆-gjysmëgrup (𝜆 ∈ Λ). Atëhere, 𝑆𝜆 =𝜆∈Λ

{ (𝑥𝜆)𝜆∈Λ|𝑥𝜆 ∈ 𝑆𝜆} është një 𝛤𝜆𝜆∈Λ -gjysmëgrup.

Vërtetim: Përcaktojmë ∘: ( 𝑆𝜆) ×𝜆∈Λ ( 𝛤𝜆𝜆∈Λ ) × ( 𝑆𝜆)𝜆∈Λ → 𝑆𝜆𝜆∈Λ në mënyrë të tillë

që (𝑥𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝛾𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝑦𝜆)𝜆∈Λ = (𝑥𝜆𝛾𝜆𝑦𝜆)𝜆∈Λ për të gjitha (𝑥𝜆)𝜆∈Λ , (𝑦𝜆)𝜆∈Λ ∈ 𝑆𝜆𝜆∈Λ dhe

(𝑦𝜆)𝜆∈Λ ∈ 𝛤𝜆𝜆∈Λ . Mund të verifikohet lehtë se ∘ është i mirë-përcaktuar. Kemi

((𝑥𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝛾𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝑦𝜆)𝜆∈Λ) ∘ (𝛽𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝑧𝜆)𝜆∈Λ =

𝑥𝜆𝛾𝜆𝑦𝜆 𝜆∈Λ ∘ 𝛽𝜆 𝜆∈Λ ∘ 𝑧𝜆 𝜆∈Λ =

( 𝑥𝜆𝛾𝜆𝑦𝜆 𝛽𝜆𝑧𝜆)𝜆∈Λ = 𝑥𝜆𝛾𝜆(𝑦𝜆𝛽𝜆𝑧𝜆) 𝜆∈Λ =

(𝑥𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝛾𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝑦𝜆𝛽𝜆𝑧𝜆)𝜆∈Λ =

36

(𝑥𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝛾𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝑦𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝛽𝜆)𝜆∈Λ ∘ (𝑧𝜆)𝜆∈Λ

për të gjitha (𝑥𝜆)𝜆∈Λ , (𝑦𝜆)𝜆∈Λ , (𝑧𝜆)𝜆∈Λ ∈ 𝑆𝜆𝜆∈Λ dhe (𝛾𝜆)𝜆∈Λ , (𝛽𝜆)𝜆∈Λ ∈ 𝛤𝜆𝜆∈Λ . Prandaj,

𝑆𝜆𝜆∈Λ është një 𝛤𝜆𝜆∈Λ -gjysmëgrup.

Një familje 𝒱 𝛤-gjysmëgrupesh quhet variete 𝛤-gjysmëgrupesh në qoftë se ajo përmban 𝛤-

gjysmëgrupet, të gjitha fytyrat homomorfe dhe të gjitha produktet e drejta të elementeve të

saj.

Do të themi se 𝒱 gjenerohet nga 𝒰 ⊆ 𝒱 në qoftë se 𝒱 është më e vogla variete që përmban

𝒰. Kjo është ekuivalente me atë që çdo anëtar i 𝒱 përftohet nga algjebrat nëpërmjet një vargu

marrjesh të fytyrave homomorfe, nënalgjebrave dhe produkteve të drejta. (H,S and P ku H,S,

P janë përkatësisht inicialet e fjalëve homomorphism, subalgebra, dheproduct).

Teoremë 2.4.3. Një variete 𝒱 gjenerohet nga 𝒰 ⊆ 𝒱 atëhere dhe vetëm atëhere kur çdo

𝐴 ∈ 𝒱 është në 𝐻𝑆𝑃 𝒰 do me thënë ekzistojnë 𝒰𝛼 ∈ 𝒰 dhe 𝑇 ∈ 𝒱, e cila është një

nënalgjebër e 𝒰𝛼𝛼∈𝛬 (ku 𝛬 është një bashkësi indeksesh) dhe njëmorfizëm

syrjektiv𝜑: 𝑇 → 𝐴.( shih [24]).

Ka vend pohimi i mëposhtëm, gjithashtu:

Pohim 2.4.4. Le të jetë 𝒱 një variete dhe supozojmë se 𝒰 përbëhet nga objektet e lira të 𝒱.

Atëhere 𝒱 gjenerohet nga 𝒰. ( shih [24], Proposition 1.4.4.).

Teorema e mëposhtme është një përgjithësim i Teoremës 3.3. in [25]. Vërtetimi i saj është i

njejtë me atë të Teoremës 3.3. në [23], dhe ne do ta japim këtë vërtetim më poshtë.

Teoremë 2.4.5. Për çdo 𝛤-gjysmëgrup 𝑆 ekziston një alfabet 𝑌 dhe një epimorfizëm

𝜓: 𝑌∗𝛤 ↠ 𝑆.

Vërtetim: Le të jetë 𝑋 ndonjë bashkësi gjeneruese për 𝑆; mund të zgjedhim, madje, si 𝑋 vetë

bashkësinë 𝑆. Le të jetë 𝑌 një alfabet i tillë që 𝑌 = |𝑋|. Le të jetë 𝜓0: 𝑌 → 𝑋 një bijeksion.

Nga përkufizimi i 𝛤-gjysmëgrupit të lirë, bijeksioni 𝜓0 ka një shtrirje homomorfe 𝜓: 𝑌∗𝛤 →

𝑆. Kjo shtrirje është syrjektive, me që< 𝜓 𝑋 >𝑆= 𝜓 < 𝑋 >𝑆 = 𝜓(𝑆), (kjo sepse 𝑋

gjeneron 𝑆).

Rrjedhim 2.4.6. Çdo 𝛤-gjysmëgrup është herës i një gjysmëgrupi të lirë.

Me të vërtetë,

37

𝑆 ≅ 𝑌∗𝛤/ker(𝜓)

për një epimorfizëm të përshtatshëm 𝜓.

Le të jetë 𝑋 ⊆ 𝑆, ku 𝑆 është një 𝛤-gjysmëgrup. Do të themi se 𝑥 = 𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛

është njëfaktorizim i 𝑥 mbi 𝑋 në lidhje me 𝛤. Zakonisht, ky faktorizim nuk është i vetëm,

por…

Teoremë 2.4.7. Një 𝛤-gjysmëgrup 𝑆 gjenerohet në mënyrë të lirë nga 𝑌 atëhere dhe vetëm

atëhere kur çdo 𝑥 ∈ 𝑆 ka një faktorizim të vetëm mbi 𝑌 në lidhje me 𝛤.

Vërtetim: Vërejmë, së pari se pohimi ka vend për 𝛤-gjysmëgrupin 𝑋∗𝛤, për të cilin 𝑋 është e

vetmja bashkësi gjeneruese minimale. Le të jetë 𝑋 një alfabet i tillë që 𝑋 = |𝑌| dhe le të jetë

𝑔0: 𝑌 → 𝑋 një bijeksion. Supozojmë 𝑌 gjeneron 𝑆 në mënyrë të lirë dhe se ekziston një 𝑥 ∈ 𝑆

, për të cilin

𝑥 = 𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 …𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 = 𝑦1𝛽1𝑦2𝛽2 … 𝑦𝑚−1𝛽𝑚−1𝑦𝑚 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ∈ 𝑋, (𝛼𝑖 , 𝛽𝑗 ) ∈ 𝛤

Për shtrirjen homomorfe 𝑔 të 𝑔0 kemi

𝑔(𝑥) = 𝑔0(𝑥1)𝛼1𝑔0(𝑥2)𝛼2 … 𝑔0(𝑥𝑛−1)𝛼𝑛−1𝑔0(𝑥𝑛)

= 𝑔0(𝑦1)𝛽1𝑔0(𝑦2)𝛽2 … 𝑔0(𝑦𝑚−1)𝛽𝑚−1𝑔0(𝑦𝑚 )

në 𝑋∗𝛤. Me që 𝑋∗𝛤 kënaq kushtin e teoremës dhe 𝑔0 𝑥𝑖 , 𝑔0 𝑦𝑖 janë gërma për çdo 𝑖, duhet

të kemi 𝑔0 𝑥𝑖 = 𝑔0 𝑦𝑖 për të gjitha 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (dhe 𝑚 = 𝑛). Për më tepër,𝑔0 është

injektiv, dhe kështu që 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 . Pra, 𝛼𝑖 = 𝛽𝑖 për të gjitha 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Kështu që pohimi ka

vend edhe për 𝑆, gjithashtu. Supozojmë, më tej, se 𝑆 kënaq kushtin e unicitetit. Shënojmë me

𝑕0 = 𝑔0−1 dhe le të jetë 𝑕: 𝑋∗𝛤 → 𝑆 shtrirja homomorfe e 𝑕0. Por, 𝑕 është syrjektiv, me që 𝑌

gjeneron 𝑆. Ai është gjithashtu edhe injektiv, sepse në qoftë se 𝑕 𝑢 = 𝑕(𝑣) për fjalët

𝑢 ≠ 𝑣 ∈ 𝑋∗𝛤, atëhere 𝑕 𝑢 do të kish dy faktorizime të ndryshme mbi 𝑌. Pra, 𝑕 është një

izomorfizëm dhe kjo përfundon vërtetimin e teoremës.

2.5. Disa veti të 𝜞-gjysmëgrupeve të lira

Pohim 2.5.1.Gjysmëgrupi universal 𝛴 i një 𝛤-gjysmëgrupi të lirë nuk është një gjysmëgrup i

lirë por ekziston një nënbashkësi 𝑆 = {𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 ∶ 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝛼𝑖 ∈ 𝛤, 𝑖 =

1,2, … , 𝑛} e 𝛴 e tillë që çifti (𝑆,∘) ku " ∘ " përcaktohet si më poshtë: 𝑤1 ∘ 𝑤2 = 𝑤1𝛾0𝑤2 ( do

38

ta shënojmë atë me 𝑆𝛾0) është i lirë në 𝑌 ku 𝑌 = {𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 …𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 ∶ 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝛼𝑖 ∈

𝛤, 𝛼𝑖 ≠ 𝛾0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛}.

Vërtetim: Gjysmëgrupi universal 𝛴 i një 𝛤-gjysmëgrupi të lirë nuk është gjysmëgrup i lirë

sepse, nga Lema 2.1.10., rrjedh se ekzistojnë relacione midis fjalëve siç janë, për shembull,

𝛼 = 𝛼𝛽. Nga Pohimi2.4.1., rrjedh se për të treguar që 𝑆𝛾0 është i lirë duhet të tregojmë se

𝑆𝛾0≅ 𝑌∗𝛤, ku 𝑌∗𝛤 është i lirë. Le të tregojmë, së pari, se 𝑌∗𝛤 është i lirë ku nga ndërtimi

kemi 𝑌 ⊂ 𝑋. Dimë se 𝑋∗𝛤 është i lirë në 𝑋. Kjo do të thotë se kënaqet UMP, pra diagrama e

mëposhtme komuton.

𝑋 ↪ 𝑋∗𝛤

𝜑 ↘ ↓ 𝜑∗

𝑇

Le të shohim, më tej, diagramën korresponduese

𝑌 ↪ 𝑌∗𝛤

𝜑|𝑌 ↘ ↓ 𝜑∗|𝑌∗𝛤

𝑇

Eshtëe qartë se kjo diagramë komuton, gjithashtu. Kjo do të thotë se 𝑌∗𝛤 është një

gysëmgrup i lirë në 𝑌. Por, është e qartë se𝑆𝛾0≅ 𝑌∗𝛤 (ata kanë të njejtën bazë). Kështu që,

nga Pohimi 2.5.1., rrjedh se 𝑆𝛾0 është i lirë në 𝑌.

Le të shënojmë me 𝑓∗: (𝑆1 ∪ 𝛤)∗/𝜌1 → (𝑆2 ∪ 𝛤)∗/𝜌2 të tillë që 𝑓∗ 𝜌1 𝑥 = 𝜌2(𝑓 𝑥 ) ku

𝑓: 𝑆1 → 𝑆2 është një homomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh. Vërejmë se në qoftë se 𝑥 = 𝑦 ⟹

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑦). Atëhere do të kemi 𝜌2 𝑓 𝑥 = 𝜌2(𝑓 𝑦 ) gjë që sjell se ka vend 𝑓∗ 𝜌1 𝑥 =

𝑓∗(𝜌1 𝑦 ). Prandaj, 𝑓∗ është i mirë-përcaktuar. Më tej, provojmë se 𝑓∗ është një

homomorfizëm. Por, nga përkufizimi i 𝑓∗ dhe fakti se 𝑓 është homomorfizëm, do të kemi:

𝑓∗ 𝜌1 𝑥𝛾𝑦 = 𝜌2 𝑓 𝑥𝛾𝑦 = 𝜌2(𝑓 𝑥)𝛾𝑓(𝑦) = 𝜌2 𝑓 𝑥 𝛾𝜌2 𝑓 𝑦

= 𝑓∗(𝜌1 𝑥 )𝛾𝑓∗(𝜌1 𝑦 )

Kështu që, me të vërtetë, 𝑓∗ është një homomorfizëm.

39

Ndërtojmë, tani, një funktor 𝐹 qënje 𝛤 -gjysmëgrupi i vë ne korrespondencëgjysmëgrupin e

vet universal si më poshtë:

𝐹 𝑆 = 𝛴 = 𝑆 ∪ 𝛤 ∗/𝜌 dhe 𝐹 𝑓 = 𝑓∗ ku 𝑓 është një homomorfizëm 𝛤-gjysmëgrupesh. Le

të jenë 𝜓: 𝑆1 → 𝑆2 dhe 𝜑: 𝑆2 → 𝑆3 homomorfizma 𝛤-gjysmëgrupesh. Kemi që 𝜑 ∘ 𝜓: 𝑆1 → 𝑆3

dhe vërtetojmë se (𝜑 ∘ 𝜓)∗ = 𝜑∗ ∘ 𝜓∗. Por,

𝜑 ∘ 𝜓 ∗ 𝜌1 𝑥 = 𝜌3 𝜑 ∘ 𝜓 𝑥 = 𝜌3 𝜑 𝜓 𝑥 = 𝜑∗ 𝜌2 𝜓 𝑥 = 𝜑∗ ∘ 𝜓∗(𝜌1 𝑥 )

Kështu që, (𝜑 ∘ 𝜓)∗ = 𝜑∗ ∘ 𝜓∗. Prandaj, 𝐹 𝜑 ∘ 𝜓 = 𝐹(𝜑) ∘ 𝐹(𝜓). Le të jetë 𝑖𝑑𝑆: 𝑆 → 𝑆

homomorfizmi identik i 𝛤-gjysmëgrupit 𝑆. Do të kemi 𝐹 𝑖𝑑𝑆 = 𝑖𝑑𝑆∗ = 𝑖𝑑 𝑆∪𝛤 /𝜌 , sepse 𝑖𝑑𝑆

∗

dhe 𝑖𝑑 𝑆∪𝛤 ∗/𝜌 janë homomorfizma identike të 𝑆 ∪ 𝛤 ∗/𝜌. Nga sa thamë më lart, rrjedh se 𝐹

është një funktor kovariant.

Nga Pohimi 2.5.1., rrjedh se rezultatet e Howie mund të implantohen në 𝛤-gjysmëgrupet

nëpërmjet mekanizmit të kalimit nga 𝛤-gjysmëgrupi tek gjysmëgrupi i tij universal shoqëruar

𝛤. Kështu, ne mund t‟i formulojmë dhe vërtetojmë ato veti për 𝛤-gjysmëgrupet e lira.

Pohim 2.5.2.𝛤-monoidi i lirë 𝑀𝑋∗𝛤 është i thjeshtueshëm.

Vërtetim: Kjo rrjedh nga fakti se dy fjalë në alfabetin 𝑋 paraqesin të njejtin element të 𝑀𝑋∗𝛤

atëhere dhe vetëm atëhere kur ato janë identike.

2.6. Paraqitjet e 𝜞-gjysmëgrupeve

Le të jetë 𝑆 një 𝛤-gjysmëgrup. Nga Teoremat 2.3.5, 2.4.5. dhe Rrjedhimin 2.4.6., rrjedh se

𝑆 ≅ 𝑌∗𝛤/ker(𝜓)

( ku 𝜓: 𝑌∗𝛤 ↠ 𝑆 është një epimorfizëm dhe 𝑌∗𝛤 është një 𝛤-gjysmëgrup fjalësh), me që, në

këtë rast, 𝜓 𝑌∗𝛤 = 𝑆. Themi se 𝜓 është një paraqitje homomorfe e 𝑆. Gërmat në 𝑌 do të

quhen gjeneratorë të 𝑆, dhe në qoftë se (𝑢, 𝑣) ∈ ker(𝜓) (gjë që do të thotë se 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 )

atëhere 𝑢 = 𝑣 do të quhet relacion (ose një barazim) në 𝑆. Përcaktojmë një paraqitje të 𝑆 si

𝑆 =< 𝑌|𝑅 > (𝑌 = {𝑦1, … , 𝑦𝑛} dhe 𝑅 = {𝑢𝑖 = 𝑣𝑖 |𝑖 ∈ 𝐼}) në qoftë se ker(𝜓) është

kongruenca më e vogël e 𝑌∗𝛤 që përmban relacionin {(𝑢𝑖 , 𝑣𝑖)|𝑖 ∈ 𝐼}. Në veçanti,

𝜓 𝑢𝑖 = 𝜓 𝑣𝑖 (6.1)

për të gjitha 𝑢𝑖 = 𝑣𝑖 në 𝑅.

40

Bashkësia 𝑅 e relacioneve supozohet të jetë simetrike, pra 𝑢 = 𝑣 ⟹ 𝑣 = 𝑢 ku 𝑢 = 𝑣 është

në 𝑅. Kujtojmë se fjalët 𝑤 ∈ 𝑌∗𝛤 nuk janë elemente të 𝑆, por të gjysmëgrupit fjalë 𝑌∗𝛤, i cili

pasqyrohet në 𝑆. Themi se një fjalë 𝑤 ∈ 𝑌∗𝛤 paraqet elementin 𝜓 𝑤 të 𝑆. I njejti element

mund të paraqitet nga shumë fjalë të ndryshme, por në qoftë se 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 , atëhere si 𝑢

ashtu edhe 𝑣 paraqesin të njejtin element të 𝑆.

Le të jetë 𝑆 =< 𝑌|𝑅 > një paraqitje. Atëhere, 𝑆 kënaq një relacion 𝑢 = 𝑣 (pra, 𝜓 𝑢 =

𝜓 𝑣 ) atëhere dhe vetëm atëhere kur ekziston një varg i fundmë𝑢 = 𝑢1 , 𝑢2, … , 𝑢𝑘+1 = 𝑣

fjalësh i tillë 𝑢𝑖+1 përftohet nga 𝑢𝑖 duke zëvendësuar një faktor 𝑢𝑖 me 𝑣𝑖 për ndonje 𝑢𝑖 = 𝑣𝑖

në 𝑅.

Kështu, themi se një fjalë 𝑣 është direkt e derivueshme nga fjala 𝑢, në qoftë se

𝑢 ≡ 𝑤1𝑢′𝑤2 and 𝑣 ≡ 𝑤1𝑣 ′𝑤2 për ndonjë 𝑢′ = 𝑣 ′ in 𝑅. (6.2)

(Për të mos lejuar konfuzionin ne përdorim simbolin „≡‟ për barazinë e dy fjalëve në 𝑌∗𝛤 ).

Eshtë e qartë se në qoftë se 𝑣 është e derivueshme nga 𝑢, atëhere 𝑢 është e derivueshme nga

𝑣 (𝑅 është supozuar të jetë simetrik), dhe, duke përdorur shënimet si në (6.2),

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑤1𝑢′𝑤2 = 𝜓 𝑤1 𝜓 𝑢′ 𝜓 𝑤2 = 𝜓 𝑤1 𝜓 𝑣 ′ 𝜓 𝑤2 = 𝜓 𝑤1𝑣 ′𝑤2 = 𝜓 𝑣

Kështu që, 𝑢 = 𝑣 është një relacion në 𝑆.

Fjala 𝑣 është e derivueshme nga fjala 𝑢, në qoftë se ekziston një varg i fundmë𝑢 ≡

𝑢1, 𝑢2 , … , 𝑢𝑘 ≡ 𝑣 i tillë që për të gjitha 𝑗 = 1,2, … , 𝑘 − 1, 𝑢𝑗 +1 është direkt e derivueshme

nga 𝑢𝑗 . Në qoftë se 𝑣 është e derivueshme nga 𝑢, atëhere 𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑣 , gjithashtu, sepse

𝜓 𝑢 = 𝜓 𝑢1 = ⋯ = 𝜓 𝑢𝑘 = 𝜓 𝑣 . Pra, 𝑢 = 𝑣 është një relacion në 𝑆. Kjo mund të

shkruhet si më poshtë

𝑢 ≡ 𝑢1 = ⋯ = 𝑢𝑘 ≡ 𝑣

Shënojmë me 𝑅𝑐 kongruencën më të vogël që përmban 𝑅.

Teoremë 2.6.1. Le të jetë 𝑆 =< 𝑌|𝑅 > një paraqitje (me 𝑅 simetrike). Atëhere

𝑅𝑐 = {(𝑢, 𝑣)|𝑢 = 𝑣 𝑜𝑠𝑒 𝑣 ë𝑠𝑕𝑡ë 𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑢𝑒𝑠𝑕𝑚𝑒 𝑛𝑔𝑎 𝑢}

Pra, 𝑢 = 𝑣 atëhere dhe vetëm atëhere kur 𝑣 është e derivueshme nga 𝑢.

Vërtetim: Përcaktojmë relacionin 𝜌 si më poshtë

𝑢𝜌𝑣 ⟺ 𝑢 = 𝑣 ose 𝑣 është e derivueshme nga 𝑢.

41

Mund të shihet lehtë se, relacioni 𝜌 i përcaktuar në këtë mënyrë është një kongruencë 𝛤-

gjysmëgrupesh. Së pari, është e qartë se 𝜄𝑆 ⊆ 𝜌, dhe kështu 𝜌 është refleksiv. Me që 𝑅 është

simetrik, i tillë do të jetë edhe 𝜌. Kalueshmëria e 𝜌 verifikohet lehtësisht. Kjo tregon se 𝜌

është një relacion ekuivalence. Në rastin kur 𝑢𝜌𝑣 ⟺ 𝑢 = 𝑣 mund të verifikohet lehtë se kanë

vend 𝑢𝛾𝑧 𝜌(𝑣𝛾𝑧) dhe 𝑧𝛾𝑢 𝜌(𝑧𝛾𝑣). Nga kjo rrjedh se 𝜌 është një kongruencë 𝛤-

gjysmëgrupesh, në këtë rast. Më tej, në qoftë se 𝑤 ∈ 𝑌∗𝛤 dhe 𝑣 është e derivueshme nga 𝑢,

atëhere është e qartë se 𝑤𝑣 është e derivueshme nga 𝑤𝑢 dhe 𝑣𝑤 është e derivueshme nga 𝑢𝑤,

gjithashtu. Kështu që, 𝜌 është një kongruencë 𝛤-gjysmëgrupesh. Le të jetë 𝜍 ndonjë

kongruencë e tillë që 𝑅 ⊆ 𝜍. Supozojmë se 𝑣 është direkt e derivueshme nga 𝑢. Kjo do të

thotë se 𝑢 ≡ 𝑤1𝑢′𝑤2 dhe 𝑣 ≡ 𝑤1𝑣 ′𝑤2 me 𝑢′ = 𝑣 ′ në 𝑅. Me që 𝑅 ⊆ 𝜍, po kështu (𝑢′ , 𝑣 ′) ∈

𝜍 dhe me që 𝜍 është një kongruencë, gjithashtu (𝑤1𝑢′𝑤2, 𝑤1𝑣 ′𝑤2) ∈ 𝜍, pra kemi 𝑢𝜍𝑣. Më

tej, nga vetia kalimtare e 𝜌 dhe 𝜍, rrjedh se 𝜌 ⊆ 𝜍. Kështu që, 𝜌 është kongruenca më e vogël

që përmban 𝑅, pra, 𝜌 = 𝑅𝑐 .

Teoremë 2.6.2. Le të jetë 𝑌 një alfabet dhe 𝑅 ⊆ 𝑌∗𝛤 × 𝑌∗𝛤 një relacion simetrik. 𝛤-

gjysmëgrupi 𝑆 = 𝑌∗𝛤/𝑅𝑐 , ku 𝑅𝑐 është kongruenca më e vogël që përmban 𝑅, ka paraqitjen

𝑆 =< 𝑌|𝑢 = 𝑣 𝑝ë𝑟 𝑡ë 𝑔𝑗𝑖𝑡𝑕𝑎 (𝑢, 𝑣) ∈ 𝑅 >

Për më tepër, të gjitha 𝛤-gjysmëgrupet që kanë një paraqitje të përbashkët janë izomorfe.

Vërtetim: Eshtë rrjedhim i menjëhershëm i atyre që thamë më lart.

42

KAPITULLI III

FDT PËR 𝛀-MONOIDËT.

3.1.Hyrje.

Në vitet e fundit sistemet e rishkrimit të termave kanë qenë tema qendrore e një numri të

madh artikujsh të rendësishëm në fushën e shkencës teorike kompjuterike dhe matematikës

në përgjthësi. Tashmë, është mjaft i njohur fakti se në qoftë se një monoid mund të paraqitet

nga një sistem i fundmë dhe i plotë (pra, noetherian dhei bashkrrjedhshëm) i rishkrimit të

stringjeve, atëhere problemi i fjalës për këtë monoid është i zgjidhshëm. Për fat të keq, vetia e

të pasurit të një sistemi të fundmë dhe të plotë rishkrimi të stringjeve nuk është invariante nga

paraqitja e dhënë. Por, për monoidë me paraqitje të fundme, ekziston një tjetër veti

fundshmërie e cila u fut nga Squier (shih [15]) dhe quhet tip i derivimit të fundmë ose shkurt

FDT. Ajo përftohet duke konsideruar disa relacione binare, të quajtura relacione homotopie,

në bashkësinë e rrugëve të grafit të derivimit që i shoqërohet një paraqitjeje të fundme

(𝑋; 𝑅)të monoidit të konsideruar 𝑀. Një monoid ka FDT në qoftë se relacioni i plotë i

homotopisë gjenerohet nga një bashkësi e fundme e quajtur bazë homotopie. Squier provoi se

kjo veti është me të vërtetë një veti e monoideve me paraqitje të fundme, pra, ajo është një

veti e brendshme e një monoidi pavarësisht nga paraqitja e tij. Ai vërtetoi faktin se çdo

monoid që mund të paraqitet me anë të një paraqitjeje të fundme konvergjente ka

FDT.Kështu që, FDT është një konditë e nevojshme që një monoid me paraqitje të fundme

duhet të kënaqi në mënyrë që ai të mund të paraqitet me ndonjë sistem të fundmë konvergjent

të rishkrimit të stringjeve.

Përkufizim 3.1.1. ([15]) Një graf 𝐺 është një 5-she 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝜍, 𝜏,-1) , ku 𝑉 është bashkësia e

kulmeve dhe 𝐸 është bashkësia e brinjëve të 𝐺; 𝜍, 𝜏: 𝐸 → 𝑉 janë pasqyrime, të cilat i

shoqërojnë çdo brinje 𝑒 ∈ 𝐸 kulmin fillestar 𝜍(𝑒) dhe kulmin terminal 𝜏(𝑒), respektivisht;

dhe -1: 𝐸 → 𝐸 është një pasqyrim që kënaq kushtet e mëposhtme: 𝑒−1 ≠ 𝑒, (𝑒−1)−1 =

𝑒, 𝜍 𝑒−1 = 𝜏(𝑒) dhe 𝜏 𝑒−1 = 𝜍(𝑒) për të gjitha 𝑒 ∈ 𝐸.

Përkufizim 3.1.2. ([15]) Le të jetë 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝜍, 𝜏,-1) një graf, dhe le të jetë 𝑛 ∈ ℕ. Një rrugë

në 𝐺 (me gjatësi 𝑛) është një (2𝑛 + 1)-she 𝑝 = (𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, … , 𝑣𝑛−1, 𝑒𝑛 , 𝑣𝑛 ) me

43

𝑣0 , 𝑣1, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 dhe 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 ∈ 𝐸 të tilla që ka vend 𝜍 𝑒𝑖 = 𝑣𝑖−1 dhe 𝜏 𝑒𝑖 = 𝑣𝑖 për të

gjitha 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Në këtë situatë 𝑝 është një rrugë nga 𝑣0në 𝑣𝑛 , dhe pasqyrimet 𝜍, 𝜏 mund

të shtrihen në rrugët duke vendosur 𝜍 𝑝 = 𝑣0 dhe 𝜏 𝑝 = 𝑣𝑛 . Për 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, me 𝑃(𝑢, 𝑣)

shënojmë bashkësinë e rrugëve në 𝐺 nga 𝑢 në 𝑣. Në veçanti, për çdo 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑃(𝑣, 𝑣) përmban

rrugën bosh (𝑣).

Gjithashtu, pasqyrimi -1

mund të shtrihet tek rrugët. Rruga inverse 𝑝−1 ∈ 𝑃(𝑣𝑛 , 𝑣0) e 𝑝

është rruga e mëposhtëme 𝑝−1 = (𝑣𝑛 , 𝑒𝑛−1, 𝑣𝑛−1, … , 𝑣1, 𝑒1

−1, 𝑣0). Së fundi, në qoftë se

𝑝 ∈ 𝑃 𝑢, 𝑣 dhe 𝑞 ∈ 𝑃(𝑣, 𝑤), atëhere rruga kompozim 𝑝 ∘ 𝑞 ∈ 𝑃(𝑢, 𝑤) përcaktohet në

mënyrën evidente.

Eshtë e qartë se, kompozimi i rrugëve është një operacion shoqërimtar, dhe rrugët boshe

veprojnë si identitete për kompozimin. Më tej, në qoftë se 𝑝 ∈ 𝑃(𝑢, 𝑣), atëhere (𝑝−1)−1 = 𝑝,

dhe në qoftë se 𝑞 ∈ 𝑃(𝑣, 𝑤) atëhere (𝑝 ∘ 𝑞)−1 = 𝑞−1 ∘ 𝑝−1. Së fundi, në qoftë se 𝑝 është një

rrugë bosh, atëhere 𝑝−1 = 𝑝.

Në qoftë se 𝐺 është një graf, atëhere me 𝑃(𝐺) do të shënojmë bashkësinë e të gjitha rrugëve

në 𝐺, dhe 𝑃 2 𝐺 = {(𝑝, 𝑞)|𝑝, 𝑞 ∈ 𝑃 𝐺 𝑡ë 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑞ë 𝜍 𝑝 = 𝜍 𝑞 𝑑𝑕𝑒 𝜏 𝑝 = 𝜏 𝑞 } është

bashkësia e të gjtha çifteve të rrugëve që kanë një kulm fillestar të përbashkët dhe një kulm

përfundimtar të përbashkët.

Përkufizim 3.1.3. ([15]) Lë të jenë 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1, 𝜍1, 𝜏1,-1) dhe 𝐺2 = (𝑉2, 𝐸2, 𝜍2, 𝜏2,-1) grafe.

Një pasqyrim nga 𝐺1 në 𝐺2 është një çift i renditur 𝑓 = (𝑓𝑉 , 𝑓𝐸) funksionesh, ku 𝑓𝑉 : 𝑉1 →

𝑉2dhe për çdo 𝑒 ∈ 𝐸1, 𝑓𝐸(𝑒) është një rrugë në 𝐺2 nga 𝑓𝑉(𝜍1 𝑒 ) në 𝑓𝑉(𝜏1 𝑒 ). Më tej, për

çdo 𝑒 ∈ 𝐸1, 𝑓𝐸 𝑒−1 = (𝑓𝐸(𝑒))−1 . Pasqyrimi 𝑓 do të quhet morfizëm në qoftë se 𝑓𝐸 çon

brinjët në brinjë.

Eshtë e qartë se një pasqyrim 𝑓: 𝐺1 → 𝐺2 indukton një pasqyrim 𝑓: 𝑃(𝐺1) → 𝑃(𝐺2).

Përkufizim 3.1.4. ([15]) Le të jetë 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝜍, 𝜏,-1) një graf. Një nëngraf 𝐺1 =

(𝑉1, 𝐸1, 𝜍1, 𝜏1,-1) i 𝐺 konsiston në një nënbashkësi 𝑉1 të 𝑉 dhe një nënbashkësi 𝐸1 të 𝐸 të tilla

që, për të gjitha 𝑒 ∈ 𝐸1, 𝜍1 𝑒 = 𝜍(𝑒) ∈ 𝑉1 dhe 𝜏1 𝑒 = 𝜏(𝑒) ∈ 𝑉1. Më tej, 𝑒−1 ∈ 𝐸1 për të

gjitha 𝑒 ∈ 𝐸1.

44

3.2. Paraqitjet e 𝛀-monoidëve.

Le të jenë 𝑆, Ω , (𝑇, Ω) dy Ω-gjysmëgrupe. Atëhere, 𝑓: 𝑆 → 𝑇 është një homomorfizëm në

qoftë se

𝑓 𝑥, 𝑦 𝜔 = 𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑦 𝜔, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆, ∀𝜔 ∈ Ω

Shënojmë me 𝑀𝑋∗Ω, Ω-monoidin e lirë në 𝑋, pra bashkësinë e prodhimeve të fundme të

formës 𝑥1𝛾1 …𝑥𝑛−1𝛾𝑛−1𝑥𝑛 me 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋, 𝛾𝑖 ∈ Ω, i = 1,2, … , n − 1, duke përfshirë edhe

produktin bosh 1.

Eshtë Ω-nënmonoidi më i vogël i 𝑀 që përmban 𝑋.

Në qoftë se 𝑀𝑋∗Ω = 𝑀, do të themi se 𝑋 gjeneron 𝑀, ose 𝑋 është një bashkësi përftuesish

për 𝑀. Në qoftë se 𝑋 është e fundme dhe gjeneron 𝑀, do të themi se 𝑀 është një Ω-monoid

me gjenerim të fundmë. Në qoftë se 𝑋 gjeneron 𝑀 dhe asnjë nënbashkësi rigoroze e 𝑋 nuk e

gjeneron atë, do të themi se 𝑋 është një bashkësi minimale përftuesish për 𝑀.

Pohim 3.2.1. Në qoftë se 𝑀 është një Ω-monoid me gjenerim të fundmë dhe 𝑋 është një

bashkësi përftuesish për 𝑀, atëhere ekziston një nënbashkësi e fundme e 𝑋 që gjeneron 𝑀.

Në veçanti, çdo bashkësi minimale përftuesish për 𝑀 është e fundme.

Vërtetim: Me të vërtetë, për çdo 𝑦 = 𝑥1𝛾1 …𝑥𝑛−1𝛾𝑛−1𝑥𝑛 ∈ 𝑀 me 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋, 𝛾 ∈ Ω,

përftojmë një bashkësi të fundme 𝑋 𝑦 = {𝑥1, … , 𝑥𝑛} ⊂ 𝑋. Në qoftë se 𝑌 = {𝑦1, … , 𝑦𝑚 }

gjeneron 𝑀, edhe bashkësia e fundme 𝑋 𝑌 = 𝑋 𝑦1 ∪ … ∪ 𝑋(𝑦𝑚 ) ⊂ 𝑋 gjeneron 𝑀.

Më tej, në qoftë se 𝑀 është një Ω-monoid, atëhere pasqyrimi 𝑓: 𝑋 → 𝑀 mund të shtrihet në

një morfizëm të vetëm 𝑓 ∶ 𝑀𝑋∗Ω → 𝑀.

Një paraqitje (me përftues dhe relacione) është një çift (𝑋; 𝑅) ku 𝑋 është një alfabet dhe 𝑅

është bashkësia e mëposhtme 𝑅 = {(𝑢, 𝑣)|𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊𝑋}. Kongruenca e gjeneruar prej 𝑅

përcaktohet si më poshtë:

i. 𝑢𝛼𝑢′𝛽𝑣 ↔𝑅 𝑢𝛼𝑣 ′𝛽𝑣për sa kohë që 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛼, 𝛽 ∈ Ω, dhe𝑢′𝑅𝑣 ′

ii. 𝑥 ↔𝑅∗ 𝑦për sa kohë që𝑥 = 𝑥0 ↔𝑅 𝑥1 ↔𝑅 … ↔𝑅 𝑥𝑛 = 𝑦.

Shënojmë me 𝑀𝑅 herësin 𝑀𝑅 = 𝑀𝑋∗Ω/↔𝑅∗ i cili është një Ω-gjysmëgrup.

45

Me të vërtetë, nuk është e vështirë të shihet se kongruenca e gjeneruar nga 𝑅, ashtu siç e kemi

përkufizuar atë, është një Ω-kongruencë. Për këtë, mjafton të shohim se

𝑢𝛼𝑢′𝛽𝑣 ↔𝑅 𝑢𝛼𝑣 ′𝛽𝑣 ⟹ 𝑢𝛼𝑢′𝛽𝑣𝛾𝑤 ↔𝑅 𝑢𝛼𝑣 ′𝛽𝑣𝛾𝑤 dhe 𝑢𝛼𝑢′𝛽𝑣 ↔𝑅 𝑢𝛼𝑣 ′𝛽𝑣 ⟹

𝑤𝛾𝑢𝛼𝑢′𝛽𝑣 ↔𝑅 𝑤𝛾𝑢𝛼𝑣 ′𝛽𝑣 . Le ta shënojmë shkurt me 𝜌 këtë kongruencë. Më tej, për

𝑢𝜌, 𝑣𝜌 ∈ 𝑀𝑅 dhe 𝛾 ∈ Ω, le të jetë 𝑢𝜌 𝛾 𝑣𝜌 = (𝑢𝛾𝑣)𝜌. Ky relacion është i mirë-përcaktuar,

me që për të gjitha 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω dhe 𝛾 ∈ Ω,

𝑢𝜌 = 𝑢′𝜌 and 𝑣𝜌 = 𝑣 ′𝜌 ⟹ 𝑢, 𝑢′ , 𝑣, 𝑣 ′ ∈ 𝜌 ⟹ 𝑢𝛾𝑣, 𝑢′𝛾𝑣 , (𝑢′𝛾𝑣, 𝑢′𝛾𝑣 ′) ∈ 𝜌

⟹ 𝑢𝛾𝑣, 𝑢′𝛾𝑣 ′ ∈ 𝜌 ⟹ 𝑢𝛾𝑣 𝜌 = (𝑢′𝛾𝑣 ′ )𝜌

Le të jenë 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑀𝑋∗Ω nga 𝛾, 𝜇 ∈ Ω. Atëhere, do të kemi

𝑢𝜌𝛾𝑣𝜌 𝜇𝑤𝜌 = 𝑢𝛾𝑣 𝜌 𝜇𝑤𝜌 = 𝑢𝛾𝑣 𝜇𝑤 𝜌 = 𝑢𝛾 𝑣𝜇𝑤 𝜌 = 𝑢𝜌𝛾 𝑣𝜇𝑤 𝜌

= 𝑢𝜌𝛾(𝑣𝜌𝜇𝑤𝜌)

dhe ky rezultat plotëson vërtetimin.

Kemi një syrjeksion kanonik 𝜋𝑅: 𝑀𝑋∗Ω → 𝑀𝑋∗Ω/↔𝑅∗ , gjithashtu. Për më tepër, në qoftë se

𝑓: 𝑋 → 𝑀 është një pasqyrim i tillë që 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑦) për sa kohë që 𝑥𝑅𝑦 dhe 𝑓 ∶ 𝑀𝑋∗Ω → 𝑀

shtrirja e tij ne përftojmë një morfizëm të vetëm 𝑓 : 𝑀𝑋∗Ω/↔𝑅∗ → 𝑀 të tillë që 𝑓 ∘ 𝜋𝑅 = 𝑓 . Në

qoftë se pasqyrimi 𝑓 është bijektiv, shkruajmë 𝑀 ≅ 𝑀𝑋∗Ω/↔𝑅∗ dhe themi se (𝑋; 𝑅) është një

paraqitje e Ω-monoidit 𝑀. Kjo do të thotë se bashkësia 𝑓(𝑋) gjeneron 𝑀, dhe se 𝑓 𝑥 = 𝑓 (𝑦)

atëhere dhe vetëm atëhere kur 𝑥 ↔𝑅∗ 𝑦. Në qoftë se pasqyrimi 𝑓 është bijektiv dhe si 𝑋 ashtu

edhe 𝑅 janë të fundme, do të themi se 𝑀 është një Ω-monoid me paraqitje të fundme. Dhe

sërish, në qoftë se pasqyrimi 𝑓 është bijektiv, 𝑓(𝑋) është një bashkësi minimale përftuesish

dhe asnjë nënbashkësi rigoroze e 𝑅 nuk gjeneron kongruencën ↔𝑅∗ , atëhere themi se (𝑋; 𝑅)

është një paraqitje minimale e 𝑀.

Lemë 3.2.2. Për çdo morfizëm 𝑓: 𝑀𝑋∗Ω/↔𝑅∗ → 𝑀𝑌∗Ω/↔𝑆

∗ , ekziston një morfizëm

𝜑: 𝑀𝑋∗Ω → 𝑀𝑌∗Ω i tillë që 𝜋𝑆 ∘ 𝜑 = 𝑓 ∘ 𝜋𝑅 .

Vërtetim:

46

𝑀𝑋∗Ω 𝜑→ 𝑀𝑌∗Ω

𝜋𝑅 ↓ ↓ 𝜋𝑆

𝑀𝑋∗Ω/↔𝑅 ∗

𝑓→ 𝑀𝑌∗Ω/↔𝑆

∗

Duke përdorur faktin që 𝜋𝑆 është syrjektiv rrjedh se mjafton të përcaktojmë𝜑(𝑥) për çdo

𝑥 ∈ 𝑋.

3.3. Rregulla rishkrimi dhe reduktime.

Në paragrafet që vijojnë japim disa përkufizime dhe nocione bazë për të ashtuquajturat Ω-

sisteme rishkrimi të stringjeve dhe paraqitjet e Ω-monoideve të lidhura me to.Këto koncepte

përbëjnë një shtrirje të koncepteve korresponduese të tyre për sistemet e zakonshme të

sistemeve të rishkrimit të stringjeve, dhe siç do të shohim më poshtë “prejardhja” e tyre

shfaqet edhe në faktin se, edhe me terminologjinë e re, disa prej tyre mbeten të njejta në

esencë me fillestaret.Përmendim këtu, p.sh. , terminacionin dhe bashkrrjedhshmërinë, vetinë

Church-Rosser, piket kritike, në një farë mase, etj. (Shih. [9], [15], [16], [18], etj.).

Në qoftë se 𝑋; 𝑅 është një paraqitje e një Ω-monoidi , secila 𝜌 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 mund të shihet

si një rregull rishkrimi 𝑥𝜌→ 𝑦, me fillim 𝑥 dhe fund 𝑦. Një reduktim elementar është i formës

𝑢𝛼𝑥𝛽𝑣𝑢𝜌𝑣 𝑢𝛼𝑦𝛽𝑣 ku 𝑢, 𝑣 janë fjalë dhe 𝑥

𝜌→ 𝑦 është një rregull (ashtu siç e përcaktuam atë).

Një reduktim është një varg i fundmë

𝑥 = 𝑥0

𝑟1→ 𝑥1

𝑟2→ 𝑥2 … 𝑥𝑛−1

𝑟𝑛→ 𝑥𝑛 = 𝑦

reduktimesh elementare. Çdo rregull konsiderohet si një reduktim elementar, dhe çdo

reduktim elementar konsiderohet si një reduktim me gjatësi 1. Në qoftë se 𝑥𝑟→ 𝑦 dhe 𝑦

𝑠→ 𝑧

janë reduktime, do të paraqesim me 𝑟 ∗ 𝑠 reduktimin kompozim 𝑥𝑟→ 𝑦

𝑠→ 𝑧. Më tej, ekziston

një reduktim bosh 𝑥𝑥→ 𝑥 për çdo fjalë 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω. Kështu, ne përftojmë një kategori

reduktimesh 𝓒(𝑋; 𝑅). Do ta quajmë 𝑅 Ω-sistem rishkrimi të stringjeve.

3.4. Terminacioni dhe bashkrrjedhshmëria.

Relacioni i reduktimit i gjeneruar prej 𝑅 është relacioni më i vogël i renditjes i cili përmban 𝑅

që është i pajtueshëm me prodhimin:

47

𝑢𝛼𝑥𝛽𝑣𝑅→ 𝑢𝛼𝑦𝛽𝑣 për sa kohë që 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω dhe 𝑥𝑅𝑦 në kuptimin e përkufizimit që ne

dhamë më lart për 𝑅;

𝑥 →𝑅∗ 𝑦 për sa kohë që 𝑥 = 𝑥0 →𝑅 𝑥1 →𝑅 … →𝑅 𝑥𝑛 = 𝑦.

Me fjalë të tjera, 𝑥 →𝑅∗ 𝑦 për sa kohë që ekziston një reduktim 𝑥

𝑟→ 𝑦 and 𝑥 →𝑅 𝑦 për sa kohë

që ekziston ndonjë elementar i tillë.

Do të themi se një fjalë 𝑥 është e reduktueshme në qoftë se ekziston ndonjë fjalë 𝑦 e tillë që

𝑥 →𝑅 𝑦. Në rast të kundërt do të themi se 𝑥 është reduktuar (e pareduktueshme). Shënojmë

me 𝐼𝑅𝑅(𝑅) bashkësinë e fjalëve të pareduktueshme 𝑚𝑜𝑑𝑅. Do të themi se një veti është 𝑅-e

trashëgueshme në qoftë se, për sa kohë që ajo ka vend për secilin 𝑦 të tillë që 𝑥 →𝑅 𝑦 atëhere

ajo ka vend edhe për 𝑥. Në veçanti, një veti e tillë ka vend për të gjitha fjalët e reduktuara.

Pohim 3.4.1.([18]) Për çdo paraqitje (𝑋; 𝑅) vetitë e mëposhtme janë ekuivalente:

i. Nuk ekziston asnjë reduktim i pafundmë𝑥0 →𝑅 𝑥1 →𝑅 … →𝑅 𝑥𝑛 →𝑅 …

(terminacion);

ii. Cdo veti 𝑅-e trashëgueshme ka vend për të gjitha fjalët (vetia e induksionit

noetherian).

Vërtetim: Në qoftë se 𝑥 nuk kënaq ndonjë veti 𝑅-të trashëgueshme, atëhere ne mund të

ndërtojmë një reduktim të pafundmë që fillon nga 𝑥. Me të vërtetë, në qoftë se 𝑃(𝑥) nuk ka

vend për ndonjë 𝑥 ∈ 𝑋 atëhere nga supozimi ynë do të ekzistojë ndonjë 𝑥1 ∈ 𝑋 i tillë që të

kemi 𝑥 →𝑅 𝑥1 dhe 𝑃(𝑥1) nuk është e vërtetë. Duke vazhduar këtë argument do të përftojmë

një varg të pafundmë𝑥 →𝑅 𝑥1 →𝑅 𝑥2 →𝑅 …. Por kjo bie në kundërshtim me supozimin tonë

sipas të cilit ka vend vetia e terminacionit. Anasjellas, terminacioni mund të vërtetohet duke

përdorur induksionin noetherian .

Në këtë rast, do të themi se paraqitja është noetheriane. Nga kjo rrjedh se fillimi i një rregulli

nuk mund të jetë kurrë bosh. Për më tepër, për çdo fjalë 𝑥, ekziston një fjalë e reduktuar 𝑥′ e

tillë që 𝑥 →𝑅∗ 𝑥′ .

Për të vërtetuar që një paraqitje (𝑋; 𝑅) është noetheriane, mjafton të përcaktojmë një renditje

terminacioni për të, pra një renditje rigorozisht të mirë-mbështetur ≺ e cila të përmbajë 𝑅 dhe

të jetë e pajtueshme me produktin. Për shembull, ≺ mund të përcaktohet si 𝑥 ≺ 𝑦 ⟺ |𝑥| <

48

|𝑦| (renditja sipas gjatësisë-leksikografike). Japim më poshtë përkufizimet e tri vetive të

tjera, të cilat i kemi përmendur më lart për sistemet abstrakte të reduktimit:

Vetia Church-Rosser:

Në qoftë se 𝑥 ↔𝑅∗ 𝑦, atëhere ekziston 𝑧 i tillë që 𝑥 →𝑅

∗ 𝑧 dhe 𝑦 →𝑅∗ 𝑧 .

Bashkrrjedhshmëria:

Në qoftë se 𝑥 →𝑅∗ 𝑦 dhe 𝑥 →𝑅

∗ 𝑧, atëhere ekziston 𝑡 e tillë që 𝑦 →𝑅∗ 𝑡 dhe 𝑧 →𝑅

∗ 𝑡.

Bashkrrjedhshmëria lokale:

Në qoftë se 𝑥 →𝑅 𝑦dhe𝑥 →𝑅 𝑧, atëhere ekziston 𝑡 e tillë që 𝑦 →𝑅∗ 𝑡 and 𝑧 →𝑅

∗ 𝑡.

Një paraqitje noetheriane e cila kënaq ndonjerën prej vetive të mësipërme do të quhet

konvergjente (e plotë).

3.5. Piket kritike.

Përcaktojmë, fillimisht, derivimet për paraqitjen si më poshtë:

1) Një derivim i pandashëm (ose atomik) 𝑟𝐴→ 𝑠 jepet prej një çifti 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅,

2) Një derivim elementar 𝑥𝐸→ 𝑦 jepet nga dy fjalë 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω dhe një derivim atomik

𝑟𝐴→ 𝑠 të tilla që 𝑥 = 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 dhe 𝑦 = 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣. Në qoftë se 𝑢 = 𝑣 = 1, ne

identifikojmë 𝐸 me derivimin atomik 𝐴,

3) Një derivim 𝑥𝐹→ 𝑦 jepet si një varg 𝑥 = 𝑥0

𝐸1→ 𝑥1

𝐸2→ …

𝐸𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦 derivimesh

elementare. Në qoftë se 𝑛 = 1, identifikojmë 𝐹 me derivimin elementar 𝐸1. Në qoftë

se 𝑛 = 0, përftojmë derivimin identitet.

Kompozimi i derivimeve përcaktohet në mënyrë evidente. Gjithashtu, në qoftë se 𝑥, 𝑦 janë

fjalë dhe 𝑧𝐹→ 𝑧′ është një derivim, derivimi 𝑥𝛼𝑧𝛽𝑦

𝑥𝐹𝑦 𝑥𝛼𝑧′𝛽𝑦 përcaktohet në mënyrë

evidente. Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje Ω-monoidi e tillë që Ω-sistemi i rishkrimit të

stringjeve 𝑅 është noetherian. Kjo do të thotë se nuk ekziston asnjë varg i pafundmë𝑥0

𝐸1→ 𝑥1

𝐸2→ …

𝐸𝑛 𝑥𝑛

𝐸𝑛 +1 … derivimesh elementare. Atëhere për çdo 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω , ekziston një derivim

𝑥𝐹→ 𝑦 ku 𝑦 është i reduktuar, gjë që do të thotë se asnjë derivim elementar nuk fillon me 𝑦.

Ky 𝑦 do të quhet një formë normale e 𝑥.

49

Një pik është një çift jo i renditur derivimesh elementare 𝑥𝐸→ 𝑦 dhe 𝑥

𝐸′

→ 𝑦′ që fillojnë me të

njejtën fjalë 𝑥. Në pik i tillë do të quhet i bashkrrjedhshëm në qoftë se ekziston një fjalë 𝑧 dhe

dy derivime 𝑦𝐹→ 𝑧 dhe 𝑦′

𝐹′

→ 𝑧.

Ai do të quhet kritik në qoftë se 𝐸 ≠ 𝐸′ dhe në qoftë se është i formës

𝑟𝛼𝑣 = 𝑢′𝛼′𝑟′

𝐴𝛼𝑣 ↙ ↘𝑢′𝛼′𝐴′

𝑠𝛼𝑣 𝑢′𝛼′𝑠′

𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 = 𝑟′

𝑢𝛼𝐴𝛽𝑣 ↙ ↘𝐴′

𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣 𝑠′

ku, në rastin e parë, 𝑢′ështënjë prefiks rigoroz i 𝑟, ose në mënyrë ekuivalente, 𝑣është një

safiks rigoroz i𝑟′ .

Vërejtje 3.5.1.:

Në qoftë se 𝑝 = (𝑟, 𝑠) është një pik i bashkrrjedhshëm atëhere 𝑞 = (𝑠, 𝑟) është sërish

një pik i bashkrrjedhshëm. Kështu që mund të identifikojmë 𝑞 me 𝑝.

Në qoftë se 𝑢 është një fjalë dhe 𝑝 = (𝑟, 𝑠) është një pik i bashkrrjedhshëm atëhere

𝑢𝛼𝑝 = (𝑢𝛼𝑟, 𝑢𝛼𝑠) dhe 𝑝𝛼𝑢 = (𝑟𝛼𝑢, 𝑠𝛼𝑢), 𝛼 ∈ Ω janë gjithashtu pike të

bashkrrjedhshme.

Në qoftë se 𝑥𝑟→ 𝑦 and 𝑧

𝑠→ 𝑡 janë reduktime elementare atëhere 𝑝 = (𝑟𝑧, 𝑥𝑠) është një

pik i bashkrrjedhshëm. Në këtë rast, themi se reduktimet elementare (derivimet

elementare) 𝑟𝑧 dhe 𝑥𝑠 janë të ndara.

Kështu, një pik është kritik në qoftë se nuk ka asnjerën prej formave 𝑢𝛼𝑝 ose 𝑝𝛼𝑢 me 𝑢 ≠ 1,

dhe kur reduktimet e tij nuk janë as të barabarta dhe as të ndara.

50

Një çift brinjësh pozitive me kulm të njejtë fillimi formon një pik kritik në njerin nga të dy

rastet e mëposhtme, ose

i. Njeri nga çiftet është edhe i reduktuar majtas edhe i reduktuar djathtas (themi, në këtë

rast se kemi të bëjmë me një pik kritik të tipit përfshirje) d.m.th. ai ka formën

𝑢1𝛼′𝑢2𝛽′𝑢3ku 𝑢1, 𝑢2 , 𝑢3 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛼′ , 𝛽′ ∈ Ω, ose

ii. Njeri nga çiftet është i reduktuar majtas por jo djathtas, dhe tjetri është i reduktuar

djathtas por jo majtas, dhe ata nuk janë të ndarë (themi, në këtë rast, se kemi të bëjmë

me një pik kritik të tipit mbivendosje), d.m.th. ai ka formën 𝑢𝛽𝑣𝛾𝑤 ku 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈

𝑀𝑋∗Ω, 𝛽, 𝛾 ∈ Ω. Në këtë rast, 𝑢𝛽𝑣 and 𝑣𝛾𝑤 janë koordinatat fillestare të dy çifteve

nga 𝑅.

Një pik kritik i një Ω- sistemi rishkrimi të stringjeve 𝑅 është një çift rregullash mbivendosjeje

në qoftë se

1) (𝑢𝛽𝑣, 𝑠1), 𝑣𝛾𝑤, 𝑠2 ∈ 𝑅, 𝑣 ≠ 𝜆, 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛽, 𝛾 ∈ Ω; dhe një çift i tipit

përfshirje në qoftë se

2) 𝑢𝛽𝑣𝛾𝑤, 𝑠1 , 𝑣, 𝑠2 ∈ 𝑅, 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛽, 𝛾 ∈ Ω.

Gjithashtu një pik kritik është i zgjidhshëm në 𝑅 në qoftë se ekziston një fjalë 𝑧 e tillë që

𝑠1𝛾𝑤∗→ 𝑧 dhe 𝑢𝛽𝑠2

∗→ 𝑧 në rastin e parë ose 𝑠1

∗→ 𝑧 dhe 𝑢𝛽𝑠2𝛾𝑤

∗→ 𝑧.

Teorema e mëposhtme është një përgjithësim i Teoremës 2.1.,[16] dhe vërtetimi i saj është

krejt i ngjashëm me atë të Teoremës 2.1., [16].

Teoremë 3.5.2. Në qoftë se paraqitja (𝑋; 𝑅) e një Ω-monoidi është noetheriane, vetitë e

mëposhtme janë ekuivalente:

i. 𝑅 është Church-Rosser;

ii. Në qoftë se (𝑢𝛽𝑣, 𝑠1), 𝑣𝛾𝑤, 𝑠2 ∈ 𝑅, 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝛤 me 𝑣 ≠ 𝜆, atëhere

ekziston 𝑧 ∈ 𝑀𝑋∗Ω e tillë që 𝑠1𝛾𝑤∗→ 𝑧 dhe 𝑢𝛽𝑠2

∗→ 𝑧. Në qoftë se

𝑢𝛽𝑣𝛾𝑤, 𝑠1 , 𝑣, 𝑠2 ∈ 𝑅, 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛽, 𝛾 ∈ Ω atëhere ekziston 𝑧 ∈ 𝑀𝑋∗Ω e

tillë që 𝑠1

∗→ 𝑧 dhe 𝑢𝛽𝑠2𝛾𝑤

∗→ 𝑧;

iii. Për secilin 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω ekziston 𝑧 ∈ 𝑀𝑋∗Ω e vetme, e pareduktueshme e tillë që

𝑥∗→ 𝑧 .

51

Vërtetim: Prej i. rrjedh menjëherë ii. me që 𝑠1𝛾𝑤∗↔ 𝑢𝛽𝑠2 ii. sjell iii.

Në qoftë se 𝑥 është e reduktuar, atëhere vetë 𝑥 do të jetë forma e vetme e reduktuar e 𝑥.

Supozojmë, në përgjithësi, se 𝑥 → 𝑦𝑖

∗→ 𝑧𝑖 ku 𝑧1, 𝑧2 janë të pareduktueshme. Atëhere

relacionet 𝑥 → 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2 ose përputhen ose janë të ndara , ose zbatohet ii. Në çdo rast,

ekziston 𝑦 ∈ 𝑀𝑋∗Ω e tillë që 𝑦1

∗→ 𝑦 and 𝑦2

∗→ 𝑦. Zgjedhim një fjalë të pareduktueshme

𝑧 ∈ 𝑀𝑋∗Ω të tillë që 𝑦∗→ 𝑧. Do të kemi kështu 𝑦𝑖

∗→ 𝑧 për çdo 𝑖 = 1,2. Duke zbatuar

hipotezën e induksionit dy herë, merret që 𝑧𝑖 = 𝑧 dhe kjo sjell që 𝑧1 = 𝑧2, siç kërkohet.

Eshtë e qartë se iii. sjell i. Vërejmë, së pari, se në qoftë se ka vend iii. dhe 𝑢 → 𝑣, atëhere 𝑢

dhe 𝑣 kanë të njejtën formë të pareduktueshme; i. rrjedh menjëherë nga zbatimi i induksionit

në lidhje me gjatësinë e zinxhirit të relacioneve që lidh 𝑥 dhe 𝑦siç përshkruhet në

përkufizimin e vetisë Church-Rosser.

Pohim 3.5.3. Në qoftë se të gjitha piket kritike të një paraqitjeje janë të bashkrrjedhshme

atëhere të gjitha piket janë të bashkrrjedhshme.

Vërtetim: Rrjedh menjëherë nga vërejtjet e mësipërme.

Rrjedhim 3.5.4. Në qoftë se një paraqitje është noetheriane dhe të gjitha piket e saj kritike

janë të bashkrrjedhshme, atëhere ajo është konvergjente.

Një paraqitje noetheriane do të quhet e plotë ose kanonike në qoftë se të gjitha piket e saj

kritike janë të bashkrrjedhshme. Nga pohimi i mësipërm rrjedh bashkrrjedhshmëria e të gjitha

pikeve dhe uniciteti i formave normale. Kështu që, në qoftë se paraqitja në fjalë është e

fundme, atëhere problemi i fjalës është i vendosur.

3.6. Probleme vendimarrjeje.

Në qoftë se (𝑋; 𝑅) është një paraqitje konvergjente, shënojmë me 𝑥 formën e reduktuar të 𝑥,

pra 𝑥′ e vetëm të tillë që 𝑥 →𝑅∗ 𝑥′ . Nga vetia Church-Rosser, kemi që 𝑥 ↔𝑅

∗ 𝑦 atëhere dhe

vetëm atëhere kur 𝑥 = 𝑦 .

Konsiderojmë problemin e mëposhtëm të vendimarrjes:

INSTANCE: Dy fjalë 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω;

PYETJE: A ka vend 𝑢 ↔𝑅∗ 𝑣 ?

52

Në qoftë se ky problem është i vendosur do të themi se relacioni ↔𝑅∗ është i vendosur.

Pohim 3.6.1. Në qoftë se (𝑋; 𝑅) është një paraqitje e fundme konvergjente atëhere ↔𝑅∗ është

një relacion i vendosur.

Vërtetim: Do të mjaftonte të krahasonim format e reduktuara të cilat, në këtë rast, janë

qartësisht të llogaritshme.

Në qoftë se ↔𝑅∗ është një relacion i vendosur atëhere ne do të themi se Ω-monoidi 𝑀 ka një

problem fjale të vendosur dhe kjo veti nuk varet nga zgjedhja e paraqitjes për aq kohë sa kjo

paraqitje është me gjenerim të fundmë, do me thënë 𝑋 është e fundme. Me të vërtetë,

supozojmë se (𝑋; 𝑅) dhe (𝑌; 𝑆) janë paraqitje me gjenerim të fundmë të Ω- monoidit 𝑀 të

tilla që 𝑀𝑅 ≅ 𝑀 ≅ 𝑀𝑆. Atëhere për çdo 𝑎 ∈ 𝑋 ekziston një fjalë 𝑤𝑎 ∈ 𝑀𝑌∗Ω e tillë që 𝑎 dhe

𝑤𝑎 paraqesin të njejtin element të 𝑀. Në qoftë se ne përcaktojmë homomorfizmin

𝑕: 𝑀𝑋∗Ω → 𝑀𝑌∗Ω si 𝑕 𝑎 = 𝑤𝑎 atëhere për të gjitha 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω do të kemi 𝑢 ↔𝑅∗ 𝑣

atëhere dhe vetëm atëhere kur 𝑕 𝑢 ↔𝑅∗ 𝑕(𝑣). E kështu, pra, problemi i fjalës për (𝑋; 𝑅)

mund të reduktohet në problemin e fjalës për (𝑌; 𝑆) dhe anasjellas. Kështu që, vendimarrja

dhe kompleksiteti i problemit të fjalës nuk varet nga paraqitja e zgjedhur. Për pasojë, ne

mund të flasim thjesht për problemin e fjalës për Ω-monoidin 𝑀.

Pohim 3.6.2. Konvergjenca është një veti e vendosur për çdo paraqitje të fundme noetheriane.

Vërtetim: Rrjedh nga faktet se në këtë rast ekzistojnë një numër i fundmë pikesh kritike dhe

mund të shihet lehtë se ato janë të llogaritshme.

3.7. Tipi i derivimit të fundmë (FDT).

Në pjesët që vijojnë ne përgjithësojmë rezultatet e [15].

Le të japim, së pari, disa njohuri bazë për paraqitjet e Ω-monoidëve, grafet shoqëruese dhe

vetinë e tipit të derivimit të fundmë. Kështu, supozojmë se (𝑋; 𝑅) është një paraqitje Ω-

monoidi ashtu siç e përcaktuam atë në seksionet e mëparshme. Ω-monoidi i përcaktuar

prej(𝑋; 𝑅), siç pamë më lart, është herësi i 𝑀𝑋∗Ω mekongruencën më të vogël të gjeneruar

nga𝑅, ku𝑅 është një Ω-sistemrishkrimiistringjeve. Në fakt, ne kemi një graf 𝐺Ω =

𝐺Ω 𝑋; 𝑅 = (𝑉, 𝐸, 𝜍, 𝜏, -1) shoqëruar me (𝑋; 𝑅) si më poshtë:

a) 𝑉 = 𝑀𝑋∗Ω është bashkësia e kulmeve,

53

b) 𝐸 = {(𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣)|𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛼, 𝛽 ∈ Ω 𝑑𝑕𝑒 (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅 ∪ 𝑅−1} është bashkësia e

brinjëve,

c) Pasqyrimet 𝜍, 𝜏: 𝐸 → 𝑉 janë përcaktuar në mënyrë të tillë që𝜍 𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣 =

𝑢𝛼𝑙𝛽𝑣 dhe 𝜏 𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣 = 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣, 𝛼, 𝛽 ∈ Ω,

d) pasqyrimi -1: 𝐸 → 𝐸 përcaktohet në këtë mënyrë:(𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣)−1 = (𝑢, 𝛼, 𝑟, 𝑙, 𝛽, 𝑣).

Në qoftë se 𝑒 = 𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣 është një brinjë e 𝐺Ω dhe 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, atëhere 𝑥𝛾𝑒𝛿𝑦 =

𝑥𝛾𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣𝛿𝑦 është një brinjë e 𝐺Ω që kënaq 𝜍 𝑥𝛾𝑒𝛿𝑦 = 𝑥𝛾𝜍 𝑒 𝛿𝑦 dhe 𝜏 𝑥𝛾𝑒𝛿𝑦 =

𝑥𝛾𝜏 𝑒 𝛿𝑦, dhe 𝑥𝛾𝑒𝛿𝑦 −1 = 𝑥𝛾𝑒−1𝛿𝑦, 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 ∈ Ω. Nga kjo rrjedh se, Ω-monoidi i lirë

𝑀𝑋∗Ω indukton një veprim të dyanshëm në grafin 𝐺Ω . Mund të shihet lehtë se ky veprim

mund të shtrihet në rrugët. Me të vërtetë : në qoftë se 𝑝 = 𝑒1 ∘ 𝑒2 ∘ … ∘ 𝑒𝑛 dhe 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀𝑋∗Ω,

atëhere 𝑥𝛼𝑝𝛽𝑦 = 𝑥𝛼1𝑒1𝛽1𝑦 ∘ 𝑥𝛼2𝑒2𝛽2𝑦 ∘ … ∘ 𝑥𝛼𝑛𝑒𝑛𝛽𝑛𝑦 është një rrugë nga

𝜍 𝑥𝛼𝑝𝛽𝑦 = 𝑥𝛼𝜍 𝑝 𝛽𝑦 në 𝜏 𝑥𝛼𝑝𝛽𝑦 = 𝑥𝛼𝜏 𝑝 𝛽𝑦,dhe 𝑥𝛼𝑝𝛽𝑦 −1 = 𝑥𝛼𝑝−1𝛽𝑦 ku

𝛼, 𝛽, 𝛼1, … , 𝛼𝑛 , 𝛽1, … , 𝛽𝑛 ∈ Ω.

Shënojmë, më tej, me 𝑃(𝐺Ω) bashkësinë e të gjitha rrugëve në 𝐺Ω , dhe me

𝑃(2) 𝐺Ω = {(𝑝, 𝑞)|𝑝, 𝑞 ∈ 𝑃 𝐺Ω , 𝜍 𝑝 = 𝜍 𝑞 , 𝜏 𝑝 = 𝜏 𝑞 }.

Pra, me 𝑃(2) 𝐺Ω shënojmë bashkësinë e të gjitha rrugëve paralele në 𝑃 𝐺Ω . (Dy rrugë 𝑝

dhe 𝑞 quhen paralele, gjë që shënohet 𝑝||𝑞, në qoftë se 𝜍 𝑝 = 𝜍(𝑞) and 𝜏 𝑝 = 𝜏(𝑞)).

Një rrugë e mbyllur e cila kënaq 𝑥 = 𝜍 𝑝 = 𝜏(𝑝) quhet circuit në 𝑥 dhe me 𝑃(𝑥) shënojmë

bashkësinë e të gjitha cirkuiteve në 𝑥. Me marrëveshje, 𝑃(𝑥) përmban gjithmonë cirkuitin

trivial 𝑖𝑥 në 𝑥.

Një relacion ekuivalence ≃⊂ 𝑃(2) 𝐺Ω do të quhet relacion homotopie në qoftë se kënaq

kushtet e mëposhtme:

a) Nëqoftë se 𝑒1, 𝑒2 janë brinjë të 𝐺Ω , atëhere

𝑒1𝛾𝜍 𝑒2 𝜏 𝑒1 𝛾𝑒2 ≃ 𝜍 𝑒1 𝛾𝑒2 (𝑒1𝛾𝜏 𝑒2 );

b) Në qoftë se 𝑝 ≃ 𝑞 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑃 𝐺Ω , atëhere 𝑢𝛼𝑝𝛽𝑣 ≃ 𝑢𝛼𝑞𝛽𝑣 për të gjitha 𝑢, 𝑣 ∈

𝑀𝑋∗Ω, 𝛼, 𝛽 ∈ Ω;

c) Në qoftë se 𝑝, 𝑞1, 𝑞2, 𝑠 ∈ 𝑃 𝐺Ω kënaqin 𝜏 𝑝 = 𝜍 𝑞1 = 𝜍 𝑞2 , 𝜏 𝑞1 = 𝜏 𝑞2 =

𝜍 𝑠 dhe 𝑞1 ≃ 𝑞2, atëhere 𝑝𝑞1𝑠 ≃ 𝑝𝑞2𝑠;

d) Në qoftë se 𝑞 ∈ 𝑃 𝐺Ω , atëhere 𝑝𝑝−1 ≃ 1𝜍 𝑝 .

54

Verifikohet lehtë se vetë 𝑃(2) 𝐺Ω është një relacion homotopie. Kjo është rrjedhojë e faktit

që koleksioni i të gjitha relacioneve të homotopisë në 𝑃 𝐺Ω është i mbyllur nën prerjen

arbitrare.Kjo do të thotë se, në qoftë se 𝐵 ⊆ 𝑃(2) 𝐺Ω(𝑋; 𝑅) atëhere do të ekzistojë një

relacion i vetëm më i vogël i ≃𝐵 në 𝑃 𝐺Ω(𝑋; 𝑅) që përmban 𝐵. Ky relacion homotopie do të

quhet relacion homotopie i gjeneruar nga 𝐵.

Përkufizim 3.7.1. Le të jetë 𝐺Ω = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅).

𝐷 është bashkësia e çifteve të mëposhtme:

a)

𝐷 = { (𝑢1, 𝛼1, 𝑙1, 𝑟1, 𝛽1, 𝑣1𝛾𝑢2𝛼2𝑙2𝛽2𝑣2 ∘ 𝑢1𝛼1𝑟1𝛽1𝑣1

𝛾𝑢2, 𝛼2, 𝑙2, 𝑟2, 𝛽2, 𝑣2 ,

𝑢1𝛼1𝑙1𝛽1𝑣1𝛾𝑢2 , 𝛼2, 𝑙2, 𝑟2, 𝛽2, 𝑣2 ∘ 𝑢1, 𝛼1, 𝑙1, 𝑟1, 𝛽1, 𝑣1𝛾𝑢2𝛼2𝑟2𝛽2𝑣2 )|

𝑙1, 𝑟1 , 𝑙2, 𝑟2 ∈ 𝑅 ∪ 𝑅−1 , 𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 , 𝛾 ∈ Ω, 𝑖 = 1,2}

b) 𝐼 = {(𝑒 ∘ 𝑒−1, 𝑤 )|𝑒 ë𝑠𝑕𝑡ë 𝑛𝑗ë 𝑏𝑟𝑖𝑛𝑗ë 𝑒 𝐺Ω 𝑚𝑒 𝜍 𝑒 = 𝑤, 𝑤 ∈ 𝑀𝑋∗Ω}.

𝐷 do të quhet bashkësi e derivimeve të ndara, ndërsa 𝐼 është bashkësia e derivimeve inverse.

Vërejmë se 𝐷 dhe 𝐼 janë nënbashkësi të 𝑃(2) 𝐺Ω .

Teoremë 3.7.2. Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje Ω-monoidi, dhe le të shënojmë me 𝐺Ω grafin

shoqërues, le ta zemë se 𝐵 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω), dhe ≈⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω) përcaktohen si më poshtë:

≈= {(𝑝 ∘ 𝑢𝛼𝑞1𝛽𝑣 ∘ 𝑟, 𝑝 ∘ 𝑢𝛼𝑞2𝛽𝑣 ∘ 𝑟)|𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛼, 𝛽 ∈ Ω, 𝑝, 𝑟 ∈ 𝑃 𝐺Ω 𝑑𝑕𝑒 𝑞1, 𝑞2

∈ 𝐷 ∪ 𝐼 ∪ 𝐵 𝑡ë 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑞ë 𝜏 𝑝 = 𝑢𝛼𝜍 𝑞1 𝛽𝑣 𝑑𝑕𝑒 𝜍 𝑝 = 𝑢𝛼𝜏 𝑞1 𝛽𝑣}

Atëhere relacioni i homotopisë ≃𝐵 i gjeneruar nga 𝐵 është relacioni më i vogël i ekuivalencës

në 𝑃 𝐺Ω që përmban relacionin ≈.

Vërtetim: Në të njejtën mënyrë si në Teoremën 3.4. tek [15].

Përkufizim 3.7.3. Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje Ω-monoidi, ku𝑅 është e fundme dheΩ është

një bashkësi e fundme operacionesh binare.Le të shënojmë me 𝐺Ω grafin shoqërues. Do të

themi se (𝑋; 𝑅) ka tip derivimi të fundmë (FDT) në qoftë se ekziston një nënbashkësi e

fundme 𝐵 ⊆ 𝑃(2)(𝐺Ω) e cila gjeneron 𝑃(2)(𝐺Ω) si relacion homotopie, d.m.th. 𝑃(2)(𝐺Ω) është

i vetmi relacion homotopie në 𝑃(𝐺Ω) që përmban bashkësinë 𝐵.

Vërejtje 3.7.4.: Një tjetër përkufizim për FDT:

55

Për një nënbashkësi 𝐶 e || (d.m.th. e 𝑃 2 (𝐺Ω)) , relacioni i homotopisë ~𝐶 gjeneruar prej 𝐶

është më i vogli (në lidhje me përfshirjen) relacion homotopie që përmban 𝐶. Relacioni i

homotopisë i gjeneruar nga bashkësia boshe ∅ shënohet me ~0. Në qoftë se 𝐶 koincidon ||,

atëhere 𝐶 do të quhet bazë homotopie për 𝐺Ω . Do të themi se paraqitja (𝑋; 𝑅) ka tip derivimi

të fundmë (FDT) në qoftë se grafi i derivimit 𝐺Ω të (𝑋; 𝑅) pranon një bazë të fundme

homotopie ku Ω është një bashkësi e fundme operacionesh binare. Do të themi se një Ω-

monoid 𝑀 me paraqitje të fundme ka FDT në qoftë se ndonjë paraqitje e fundme për 𝑀 ka

FDT.

Përkufizim 3.7.5. Le të jenë (𝑋1; 𝑅1) dhe (𝑋2; 𝑅2) dy paraqitje Ω-monoidi, Le të shënojmë

me 𝐺Ω2 grafin shoqërues të (𝑋2; 𝑅2), dhe le të jetë 𝑓: 𝑀𝑋1

∗Ω → 𝑀𝑋2∗Ω një morfizëm. Në qoftë

se 𝑓 kënaq kushtin e mëposhtëm: për të gjitha 𝑙, 𝑟 ∈ 𝑅1, ekziston një rrugë në 𝐺Ω2 nga 𝑓(𝑙)

në 𝑓(𝑟), atëhere 𝑓 do të quhet pasqyrim paraqitjesh Ω-monoidi.

Në rrethanat e Përkufizimit 3.7.5., do të bëjmë edhe disa marrëveshje të tjera. Kështu, për

secilin 𝑙, 𝑟 ∈ 𝑅1, do të zgjedhim një rrugë 𝑝𝑙 ,𝑟 ∈ 𝑃(𝐺Ω2 ) nga 𝑓(𝑙) në 𝑓(𝑟) si më poshtë. Në

rastin kur (𝑓 𝑙 , 𝑓 𝑟 ) ∈ 𝑅2 ∪ 𝑅2−1, zgjedhim brinjën korresponduese të 𝐺Ω

2 dhe në rastin kur

𝑓 𝑙 = 𝑓(𝑟), zgjedhim rrugën (𝑓 𝑙 ) me gjatësi 0. Me 𝑝𝑟 ,𝑙 do të shënojmë rrugën 𝑝𝑙 ,𝑟−1 nga

𝑓(𝑟) në 𝑓(𝑙).

Le të shënojmë me 𝐺Ω1 grafin shoqërues të (𝑋1; 𝑅1). Duke pasur parasysh morfizmin

𝑓: 𝑀𝑋1∗Ω → 𝑀𝑋2

∗Ω dhe zgjedhjen e rrugëve 𝑝𝑙 ,𝑟 përcaktojmë pasqyrimin e mëposhtëm

𝐹: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω

2 në mënyrë të tillë që𝐹 = 𝑓𝑉 , 𝑓𝐸 , ku 𝑓𝑉 : 𝑀𝑋1∗Ω → 𝑀𝑋2

∗Ω është thjesht morfizmi

𝑓, dhe 𝑓𝐸 𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣 = 𝑓 𝑢 𝛼𝑝𝑙 ,𝑟𝛽𝑓(𝑣) për të gjitha 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋1∗Ω dhe 𝑙, 𝑟 ∈ 𝑅 ∪

𝑅−1, 𝛼, 𝛽 ∈ Ω.

Atëhere 𝑓𝐸 𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣 është një rrugë në 𝐺Ω 2 me fillim 𝑓 𝑢 𝛼𝑓(𝑙)𝛽𝑓 𝑣 = 𝑓𝑉 𝑢𝛼𝑙𝛽𝑣 =

𝑓𝑉 𝜍1 𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣 dhe fund 𝑓 𝑢 𝛼𝑓 𝑟 𝛽𝑓 𝑣 = 𝑓𝑉 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 = 𝑓𝑉 𝜏1 𝑢, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑣 .

Për rrjedhojë, 𝐹 është një pasqyrim nga 𝐺Ω1 në 𝐺Ω

2 në kuptimin e përkufizimit që dhamë më

lart. Në këtë rast, do të themi se pasqyrimi 𝐹: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω

2 ekspozon pasqyrimin 𝑓 nga (𝑋1; 𝑅1)

në (𝑋2; 𝑅2). Më poshtë, do të shkruajmë thjesht𝐹 për të shënuar si 𝑓𝑉 ashtu edhe 𝑓𝐸 .

Teoremë 3.7.6. Le të jenë (𝑋1; 𝑅1) dhe (𝑋2; 𝑅2) dy paraqitje Ω-monoidi që kanë grafe

shoqëruese, respektivisht,𝐺Ω1 dhe 𝐺Ω

2 , le të jetë 𝐹: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω

2 një pasqyrim që ekspozon një

pasqyrim 𝑓 nga (𝑋1; 𝑅1) në (𝑋2; 𝑅2), le të jetë 𝐵1 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) dhe le të jetë ≃⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω

2 ) një

56

relacion homotopie. Në qoftë se ka vend 𝐹(𝑝) ≃ 𝐹(𝑞) për të gjitha (𝑝, 𝑞) ∈ 𝐵1, atëhere

𝐹(𝑝) ≃ 𝐹(𝑞) për të gjitha (𝑝, 𝑞)të tilla që𝑝 ≃𝐵1𝑞.

Vërtetim: Duke pasur parasysh Teoremën 3.7.2., shënojmë me ≈1 relacionin në 𝑃(𝐺Ω1 ) që

përcaktohet nga 𝐵1.Shënojmë me 𝐷1 dhe 𝐼1 bashkësitë korresponduese të çifteve të rrugëve

ashtu siç i kemi përcaktuar më lart. Atëhere, ≃𝐵1 është relacioni i ekuivalencës në 𝑃(𝐺Ω

1 )

gjeneruar prej ≈1. Duke përdorur faktet që ≃ është një relacion ekuivalence në 𝑃 2 (𝐺Ω2 ),

dhe që 𝐹 ekspozon një pasqyrim 𝑓 nga (𝑋1; 𝑅1) në (𝑋2; 𝑅2), mjafton të vërtetojmë vetëm që

nga (𝑝, 𝑞) ∈ 𝐷1 ∪ 𝐼1 ∪ 𝐵1 rrjedh se 𝐹(𝑝) ≃ 𝐹(𝑞).

Shqyrtojmë rastet:

Rasti i parë: 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐵1. Në këtë rast, 𝐹 𝑝 ≃ 𝐹 𝑞 , nga hipoteza.

Rasti i dytë: 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐷1. Në këtë rat, ekzistojnë 𝑙1, 𝑟1 , 𝑙2, 𝑟2 ∈ 𝑅1 ∪ 𝑅1−1 të tilla që

𝑝 = 𝑢1, 𝛼, 𝑙1, 𝑟1, 𝛽, 𝑣1𝛾𝑢2𝛼2𝑙2𝛽2𝑣2 ∘ 𝑢1𝛼1𝑟1𝛽1𝑣1𝛾𝑢2 , 𝛿, 𝑙2, 𝑟2, 𝜇, 𝑣2 dhe

𝑞 = (𝑢1𝛼1𝑙1𝛽1𝑣1𝛾𝑢2, 𝛿, 𝑙2, 𝑟2, 𝜇, 𝑣2) ∘ 𝑢1, 𝛼, 𝑙1, 𝑟1, 𝛽, 𝑣1𝛾𝑢2𝛼2𝑟2𝛽2𝑣2 ,

ku 𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 ∈ 𝑀𝑋1∗Ω, 𝑖 = 1,2, 𝑙1, 𝑟1 , 𝑙2, 𝑟2 ∈ 𝑅1𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, 𝜇 ∈ Ω,𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 ∈ 𝛺, 𝑖 = 1,2 .

Nga fakti që 𝐹 ekspozon një pasqyrim 𝑓 nga (𝑋1; 𝑅1) në (𝑋2; 𝑅2), rrjedh se :

𝐹 𝑝 = 𝑓𝐸 𝑢1, 𝛼, 𝑙1, 𝑟1, 𝛽, 𝑣1𝛾𝑢2𝛼2𝑙2𝛽2𝑣2 = 𝑓𝑉 𝑢1)𝛼𝑝𝑙1 ,𝑟1𝛽𝑓𝑉(𝑣1𝛾𝑢2𝛼2𝑙2𝛽2𝑣2

dhe

𝐹 𝑞 = 𝑓𝐸 𝑢1𝛼1𝑙1𝛽1𝑣1𝛿𝑢2 , 𝛾, 𝑙2, 𝑟2, 𝜇𝑣2 = 𝑓𝑉 𝑢1𝛼1𝑙1𝛽1𝑣1𝛾𝑢2 𝛿𝑝𝑙2 ,𝑟2𝜇𝑓𝑉(𝑣2)

Mund të verifikohet se, edhe në këtë rast, ka vend 𝐹(𝑝) ≃ 𝐹(𝑞). Rezultati i fundit rrjedh nga

përdorimi i induksionit në lidhje me gjatësinë e kombinuar të rrugëve 𝑝𝑙1 ,𝑟1, 𝑝𝑙2 ,𝑟2

.

Rasti i tretë: 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐼1. Nga ndërtimi i bashkësisë 𝐼1, rrjedh se ekziston një brinjë 𝑒 e 𝐺Ω1 e

tillë që 𝜍1 𝑒 = 𝑤për të cilën kanë vend𝑝 = 𝑤, 𝑒, 𝜏1 𝑒 , 𝑒−1, 𝑤 dhe 𝑞 = 𝑤 . Në qoftë se𝑝𝑒

në 𝐺Ω2është një rrugë e tillë që 𝜍2 𝑝𝑒 = 𝑓 𝑤 atëhere do të kemi:

𝐹 𝑝 = 𝑓𝐸 𝑒 ∘ 𝑓𝐸 𝑒−1 = 𝑝𝑒 ∘ 𝑝𝑒−1,

𝐹 𝑞 = 𝑓 𝑤 .

57

Nga përkufizimi i relacionit të homotopisë, rrjedh se 𝑝𝑒 ∘ 𝑝𝑒−1 ≃ (𝑓 𝑤 ) gjë që do të thotë se

𝐹 𝑝 ≃ 𝐹 𝑞 edhe në këtë rast. Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.

Rrjedhim 3.7.7. Le të jenë 𝑋1; 𝑅1 , 𝑋2; 𝑅2 , 𝐺Ω1 , 𝐺Ω

2 , 𝐹: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω

2 dhe 𝐵1 ⊆ 𝑃 2 𝐺Ω1 si në

Teoremën 3.7.6., dhe 𝐵2 = 𝐹 𝑝 , 𝐹 𝑞 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐵1 . Atëhere, për të gjitha 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑃 𝐺Ω1 ,

nga 𝑝 ≃𝐵1𝑞 rrjedh se𝐹(𝑝) ≃𝐵2

𝐹(𝑞).

Ω-monoidi 𝑀 me paraqitje (𝑋; 𝑅) ka një pafundësi paraqitjesh të fundme të ndryshme. Do të

tregojmë që çdo paraqitje tjetër e fundme e Ω-monoidit 𝑀 ka FDT në qoftë se (𝑋; 𝑅) ka FDT,

d.m.th., vetia e të pasurit FDT nuk varet nga paraqitja dhe është një veti e brendshme e Ω-

monoidit të paraqitur. Për të treguar këtë na duhet nocioni i Ω- transformimit të Tietze .

Përkufizim 3.7.8. Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje Ω-monoidi. Katër tipet e mëposhtme të

transformimeve të (𝑋; 𝑅) do të quhen Ω- transformime elementare të Tietze:

I. Në qoftë se 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω të tilla që 𝑢 ↔𝑅∗ 𝑣, atëhere paraqitja (𝑋; 𝑅 ∪ (𝑢, 𝑣))

përftohet prej (𝑋; 𝑅) duke shtuar një relacion përcaktues.

II. Në qoftë se 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅 të tilla që 𝑢 ↔𝑅1

∗ 𝑣, ku 𝑅1 = 𝑅 − 𝑢, 𝑣 , atëhere paraqitja

(𝑋; 𝑅1) përftohet prej (𝑋; 𝑅) duke hequr një relacion përcaktues.

III. Në qoftë se 𝑢 ∈ 𝑀𝑋∗Ω dhe 𝑎 ∉ 𝑋 është një simbol i ri, atëhere paraqitjet (𝑋 ∪

𝑎 ; 𝑅 ∪ 𝑎, 𝑢 )dhe (𝑋 ∪ 𝑎 ; 𝑅 ∪ (𝑢, 𝑎)) përftohen prej (𝑋; 𝑅) duke shtuar një

përftues.

IV. Në qoftë se 𝑎 ∈ 𝑋, dhe 𝑢 ∈ 𝑀(𝑋 − 𝑎 )∗Ω të tilla që (𝑎, 𝑢) ∈ 𝑅 ose (𝑢, 𝑎) ∈ 𝑅,

atëhere paraqitja (𝑋 − 𝑎 ; 𝑅1) përftohet prej (𝑋; 𝑅) duke hequr një përftues. Në këtë

rast,𝑅1 = 𝜑𝑎 𝑙 , 𝜑𝑎 𝑟 𝑙, 𝑟 ) ∈ 𝑅 − 𝑎, 𝑢 , 𝑢, 𝑎 ku 𝜑𝑎 : 𝑀𝑋∗Ω →

𝑀(𝑋 − 𝑎 )∗Ωështë morfizmi i përcaktuar si vijon 𝜑𝑎 𝑏 = 𝑏 në qoftë se 𝑏 ∈ 𝑋 −

𝑎 dhe 𝜑𝑎 𝑏 = 𝑢 në qoftë se 𝑏 = 𝑎.

Verifikohet lehtë se në qoftë se(𝑋1; 𝑅1) dhe (𝑋2; 𝑅2) janë dy paraqitje Ω-monoidi të tilla që

(𝑋1; 𝑅1) mund të transformohet në (𝑋2; 𝑅2) me anën e një vargu të fundmëΩ-transformimesh

elementare të Tietze atëhere Ω-monoidët 𝑀𝑅1 and 𝑀𝑅2

janë izomorfe.Pohimi i mëposhtëm

përbën rezultatin kryesor për Ω-transformimet e Tietze.

58

Pohim 3.7.9. Le të jenë (𝑋1; 𝑅1) dhe (𝑋2; 𝑅2) dy paraqitje të fundme të të njejtit Ω-monoid.

Atëhere ekziston një varg i fundmë Ω-transformimesh elementare të Tietze me anën e të cilit

paraqitja(𝑋1; 𝑅1) transformohet në paraqitjen (𝑋2; 𝑅2).

Për secilin Ω- transformim elementar Tietze, do të vërtetojmë një lemë korresponduese

teknike e cila në esencë shpreh faktin që në qoftë se (𝑋1; 𝑅1) është një paraqitje e fundme e

cila ka FDT, dhe në qoftë se (𝑋2; 𝑅2) është përftuar nga (𝑋1; 𝑅1) prej tipit në fjalë të Ω-

transformimit elementar të Tietze, atëhere (𝑋2; 𝑅2) ka FDT, gjithashtu. Nga këto lema dhe

Pohimi 3.7.9., marrim rezultatin tonë të parë kryesor.

Teoremë 3.7.10. Le të jenë (𝑋1; 𝑅1) dhe (𝑋2; 𝑅2) dy paraqitje të fundme të të njejtit Ω-

monoid. Atëhere paraqitja (𝑋1; 𝑅1) ka FDT atëhere dhe vetëm atëhere kur paraqitja (𝑋2; 𝑅2)

ka FDT.

Pra, ashtu si thamë edhe më lart, të pasurit FDT është një veti invariante e Ω-monoidëve me

paraqitje të fundme.

Lemë 3.7.11. Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje e fundme Ω-monoidi, le të jenë 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω të

tilla që 𝑢 ↔𝑅∗ 𝑣, dhe le të jetë 𝑋; 𝑅1 = (𝑋; 𝑅 ∪ (𝑢, 𝑣)). Në qoftë se (𝑋; 𝑅) ka FDT, atëhere

edhe 𝑋; 𝑅1 do të ketë FDT.

Vërtetim: Konsiderojmë rastin kur 𝑢 ≠ 𝑣 dhe çifti (𝑣, 𝑢) ∉ 𝑅, sepse siç dihet sistemi ynë i

rishkrimit është jo-refleksiv dhe anti-simetrik. Për të treguar se 𝑋; 𝑅1 është FDT me

supozimin që (𝑋; 𝑅) ka qenë i tillë duhet të tregojmë se ekziston një bazë e fundme

homotopie 𝐵1 për grafin 𝐺Ω1 = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅1) në se ka ekzistuar një bazë e fundme homotopie 𝐵

për grafin 𝐺Ω = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅). Për këtë do të përcaktojmë një retraksion𝑓: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω i cili ka

cilësinë që, në qoftë se (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) janë të tilla që 𝑓 𝑝 ≃𝐵 𝑓(𝑞), atëhere do të kemi

edhe që 𝑝 ≃𝐵1𝑞. Para se të përcaktojmë retraksionin në fjalë, vërejmë se 𝐺Ω

1 përftohet nga

𝐺Ω duke shtuar brinjë të reja të formës 𝑥, 𝛼, 𝑢, 𝑣, 𝛽, 𝑦 dhe se çdo brinjetë tillë të shtuar i

korrespondon (në mënyrë jo domosdoshmërisht të vetme) në grafin e vjetër 𝐺Ω një rrugë

𝑥𝛼𝑝𝑢 ,𝑣𝛽𝑦 ku 𝑝𝑢 ,𝑣 është rrugë e cila lidh 𝑢 me 𝑣 në 𝐺Ω me që 𝑢 ↔𝑅∗ 𝑣. Përcaktojmë tani

𝑓: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω të tillë që të jetë identiku në 𝐺Ω dhe për çdo brinjë të shtuar 𝑥, 𝛼, 𝑢, 𝑣, 𝛽, 𝑦 të

kemi 𝑓 𝑥, 𝛼, 𝑢, 𝑣, 𝛽, 𝑦 = 𝑥𝛼𝑝𝑢 ,𝑣𝛽𝑦 dhe 𝑓 𝑥, 𝛼, 𝑣, 𝑢, 𝛽, 𝑦 = 𝑥𝛼𝑝𝑢 ,𝑣−1𝛽𝑦. Është e qartë se

𝑓, i përcaktuar nëkëtë mënyrë është një retraksion grafesh.Në qoftë se (𝑋; 𝑅) ka FDT,

ekziston një bazë e fundme homotopie 𝐵 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω) e tillë që ≃𝐵= 𝑃 2 (𝐺Ω). Do të

59

përcaktojmë një bashkësi të fundme 𝐵1 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) të tillë që ≃𝐵1

= 𝑃 2 (𝐺Ω1 ). Përcaktojmë,

më tej, bashkësinë 𝐵1 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) si më poshtë:

𝐵1 = { 𝜆𝛼 , 𝛼, 𝑢, 𝑣, 𝛽, 𝜆𝛽 , 𝑝𝑢 ,𝑣 , 𝜆𝛼 , 𝛼, 𝑣, 𝑢, 𝛽, 𝜆𝛽 , 𝑝𝑢 ,𝑣−1 } ∪ 𝐵. Bashkësia 𝐵1 e përcaktuar

në këtë mënyrë është një bashkësi e fundme rrugësh paralele në grafin 𝐺Ω1 . Vërtetojmë tani

atë që thamë në fillim, d.m.th. këtë

Pohim: Për të gjitha (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ), në qoftë se 𝑓 𝑝 ≃𝐵 𝑓(𝑞), atëhere 𝑝 ≃𝐵1

𝑞.

Vërtetim:

Rasti i parë: 𝑝 ∈ 𝑃(𝐺Ω1 ) është trivial sepse duke përdorur çiftet në 𝐵1 të cilat nuk ndodhen në

𝐵dhe induksionin në lidhje me numrin e brinjëve nga 𝐺Ω1 që nuk bëjnë pjesë në 𝐺Ω por që

ndodhen në 𝑝 mund të verifikohet lehtë se 𝑝 ≃𝐵1𝑓(𝑝) për të gjitha rrugët 𝑝 ∈ 𝑃(𝐺Ω

1 ).

Rasti i dytë: (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) ⟹ (𝑓 𝑝 , 𝑓 𝑞 ) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω) . Por, 𝐵 ⊆ 𝐵1 dhe 𝑓 𝑝 ≃𝐵 𝑓(𝑞)

sjellin që 𝑝 ≃𝐵1𝑓(𝑝) ≃𝐵1

𝑓(𝑞) ≃𝐵1𝑞.

Nga fakti se≃𝐵= 𝑃 2 (𝐺Ω), rrjedh se𝑓 𝑝 ≃𝐵 𝑓(𝑞) për të gjitha (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ). Kështu,

𝐵1 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) është një bazë e fundme homotopie për (𝑋; 𝑅1)gjë që do të thotë se (𝑋; 𝑅1) ka

FDT. Kjo përfundon vërtetimin e Lemës 3.7.11.

Lemë 3.7.12. Le të jetë 𝑋; 𝑅1 një paraqitje e fundme Ω-monoidi, dhe le të jetë (𝑢, 𝑣) ∈ 𝑅1 i

tillë që 𝑢 ↔𝑅∗ 𝑣, ku 𝑅 = 𝑅1 − { 𝑢, 𝑣 }. Në qoftë se 𝑋; 𝑅1 ka FDT, edhe (𝑋; 𝑅) do të ketë

FDT.

Vërtetim: Le të jetë 𝐺Ω = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅) dhe 𝐺Ω1 = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅1). Vërejmë, së pari, se 𝐺Ω përftohet

nga 𝐺Ω1 duke hequr një ose disa brinjë të formës 𝑥, 𝛼, 𝑢, 𝑣, 𝛽, 𝑦 .Për të treguar se 𝑋; 𝑅 është

FDT me supozimin që (𝑋; 𝑅1) ka qenë i tillë duhet të tregojmë se ekziston një bazë e fundme

homotopie 𝐵 për grafin 𝐺Ω = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅) në se ka ekzistuar një bazë e fundme homotopie 𝐵1

për grafin 𝐺Ω1 = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅1). Njëlloj si tek vërtetimi i Lemës 3.7.11., përcaktojmë një

retraksion grafesh 𝑓: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω . Në qoftë se 𝐵1 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω

1 ) është një bazë e fundme

homotopie për 𝐺Ω1 , pra,≃𝐵1

= 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) atëhere shënojmë me 𝐵

bashkësinë𝐵 = 𝑓 𝑝 , 𝑓 𝑞 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐵1 . Nga ndërtimi rrjedh se, në qoftë se 𝐵1 është e

fundme, atëhere 𝐵 është një nënbashkësi e fundme 𝑃 2 (𝐺Ω). Do të vërtetojmë se bashkësia 𝐵

60

e ndërtuar në këtë mënyrë është një bazë e fundme homotopie për grafin 𝐺Ω , pra ≃𝐵=

𝑃 2 (𝐺Ω). Për këtë mjafton të vërtetojmë këtë pohim të thjeshtë

Pohim: Për të gjitha (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω), 𝑝 ≃𝐵 𝑞.

Vërtetim:(𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω) ⟹ (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) ⟹ 𝑝 ≃𝐵1

𝑞 ⟹ 𝑓 𝑝 ≃𝐵 𝑓(𝑞),(nga

Rrjedhimi 3.7.7.). Por, (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 𝐺𝛤 ⟹ 𝑓 𝑝 = 𝑝 dhe 𝑓 𝑞 = 𝑞 ⟺ 𝑝 ≃𝐵 𝑞.

Lemë 3.7.13. Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje e fundme Ω-monoidi, le të jetë 𝑢 ∈ 𝑀𝑋∗Ω,

𝑎 ∉ 𝑋 le të jetë një gërmë e re. Në qoftë se (𝑋; 𝑅) ka FDT, edhe 𝑋1; 𝑅1 = (𝑋 ∪ 𝑎 ; 𝑅 ∪

(𝑎, 𝑢)) do të ketë, po ashtu FDT

Vërtetim: Për të treguar se (𝑋1; 𝑅1 ) është FDT me supozimin që (𝑋; 𝑅) ka qenë i tillë duhet

të tregojmë se ekziston një bazë e fundme homotopie 𝐵1 për grafin 𝐺Ω1 = 𝐺Ω(𝑋1; 𝑅1) në se ka

ekzistuar një bazë e fundme homotopie 𝐵 për grafin 𝐺Ω = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅). Për këtë do të

përcaktojmë një morfizëm grafesh 𝑓: 𝑀𝑋1∗Ω → 𝑀𝑋∗Ω si vijon𝑓 𝑏 = 𝑏 në qoftë se 𝑏 ∈ 𝑋

dhe 𝑓 𝑏 = 𝑢 në qoftë se 𝑏 = 𝑎. Atëhere 𝑓 është një pasqyrim paraqitjesh Ω-monoidi, sipas

përkufizimit korrespondues. Përcaktojmë një retraksion grafesh 𝑓: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω duke zgjedhur

për secilin 𝑙, 𝑟 ∈ 𝑅 rrugën (𝜆𝛼 , 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝜆𝛽 ) me gjatësi 1 që lidh 𝑙 me 𝑟, dhe për (𝑎, 𝑢) ∈ 𝑅1

rrugën (𝑢) me gjatësi 0 në 𝑢. Atëhere, është e qartë se, ky retraksion grafesh 𝑓: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω

ekspozon pasqyrimin e mësipërm të paraqitjeve të Ω-monoidit siç përshkruhet pas

përkufizimit të lart përmendur dhe ngushtimi i të cilit në 𝐺Ω është pasqyrimi identik.

Në qoftë se (𝑋; 𝑅) ka FDT, ekziston një bazë e fundme homotopie 𝐵 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω) e tillë që

≃𝐵= 𝑃 2 (𝐺Ω). Do të përcaktojmë një bashkësi të fundme 𝐵1 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) të tillë që ≃𝐵1

=

𝑃 2 (𝐺Ω1 ). Përcaktojmë, më tej, bashkësinë 𝐵1 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω

1 ) si më poshtë.

Pozojmë𝐵1 = 𝐵 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω) ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ). Me ≃𝐵1

shënojmë relacionin e homotopisë në

𝑃(𝐺Ω1 ) që gjenerohet nga 𝐵1. Do të vërtetojmë që ≃𝐵1

= 𝑃 2 (𝐺Ω1 ), pra 𝐵1 është një bazë e

fundme homotopie për 𝐺Ω1 . Për të vërtetuar këtë pohim na duhet të vërtetojmë një

buqetëpohimesh ndihmëse. Ky proces finalizohet me Pohimin 5 i cili zgjidh përfundimisht

problemin e pozuar më sipër.

Së pari, ndërtojmë nëngrafin 𝐺 Ω me kulme kulmet e 𝐺Ω1 , dhe me brinjë vetëm ato brinjë

(𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦) të 𝐺Ω1 për të cilat 𝑙, 𝑟 = (𝑎, 𝑢) ose 𝑙, 𝑟 = 𝑢, 𝑎 , pra ato brinjë në të cilat

është e pranishme gërma 𝑎.Lidhur me të ndërtojmë dy bashkësi të tjera rrugësh nga 𝐺 Ωqë i

61

shënojmë 𝑃+(𝐺 Ω) dhe 𝑃−(𝐺 Ω) dhe që përmbajnë, përkatësisht, vetëm brinjë të formës

𝑥, 𝛼, 𝑎, 𝑢, 𝛽, 𝑦 ku 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀𝑋1∗Ω dhe vetëm brinjë të formës (𝑥, 𝛼, 𝑢, 𝑎, 𝛽, 𝑦) ku 𝑥, 𝑦 ∈

𝑀𝑋1∗Ω.

Le të shënojmë me ≃ një relacion arbitrar homotopie në 𝑃(𝐺Ω1 ). Atëhere

Pohim 1. Le të jetë 𝑤 ∈ 𝑀𝑋1∗Ω. Atëhere ekziston një rrugë 𝑝𝑤 ∈ 𝑃+(𝐺 Ω) që lidh 𝑤 me𝑓(𝑤),

dhe çdo dy rrugë të tilla janë homotopike mod ≃.

Vërtetim: Dallojmë rastet

Rasti i parë:

𝑤 = 𝑣0𝛼1𝑎𝛽1𝑣1𝛼2𝑎𝛽2𝑣2 … 𝑣𝑚−1𝛼𝑚𝑎𝛽𝑚𝑣𝑚 , 𝑣𝑖 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 ∈ Ω, 𝑖 = 0,1, … , 𝑚, 𝑎 ∉ 𝑋

Në këtë rast do të kemi

𝑝𝑤 = (𝑤, 𝑣0, 𝛼1𝑎𝛽1, 𝛼1𝑢𝛽1, 𝑣1𝛼2𝑎𝛽2𝑣2 …𝑣𝑚−1𝛼𝑚𝑎𝛽𝑚𝑣𝑚 ,

𝑣0𝛼1𝑢𝛽1𝑣1𝛼2𝑎𝛽2𝑣2 … 𝑣𝑚−1𝛼𝑚𝑎𝛽𝑚 ,

… , 𝑣0𝛼1𝑢𝛽1𝑣1𝛼2𝑎𝛽2𝑣2 … 𝑣𝑚−1, 𝛼1𝑎𝛽1, 𝛼1𝑢𝛽1, 𝑣𝑚 , 𝑓(𝑤))

është një rrugë nga 𝑃+(𝐺 Ω) me fillim 𝑤 dhe fund 𝜏 𝑝𝑤 = 𝑓(𝑤).

Rasti i dytë: 𝑝′ ∈ 𝑃+(𝐺 Ω) është një rrugë tjetër me fillim 𝑤 dhe fund 𝑓(𝑤)

Verifikohet lehtë se, edhe në këtë rast, ka vend 𝑝′ ≃ 𝑝𝑤 sepse siç shihet i vetmi ndryshim

midis tyre është renditja në të cilën shfaqjet e gërmës 𝑎 zëvendësohen nga fjala𝑢.

Pohim 2. Le të jetë 𝑝 ∈ 𝑃(𝐺 Ω). Atëhere ekzistojnë rrugët 𝑝+ ∈ 𝑃+(𝐺 Ω) dhe 𝑝− ∈ 𝑃−(𝐺 Ω) të

tilla që 𝜍 𝑝 = 𝜍(𝑝+), 𝜏 𝑝+ = 𝜍(𝑝−), 𝜏 𝑝− = 𝜏(𝑝) dhe 𝑝 ≃ 𝑝+ ∘ 𝑝−.

Vërtetim: Do të tregojmë që çdo rrugë 𝑝 ∈ 𝑃(𝐺 Ω) është homotopike me kompozimin e

ndonjë rruge 𝑝+ ∈ 𝑃+(𝐺 Ω) dhe ndonjë tjetër rruge 𝑝− ∈ 𝑃−(𝐺 Ω), ku me ≃ kemi shënuar një

relacion arbitrar homotopie në 𝑃(𝐺Ω1 ). Kështu, konsiderojmë rrugën 𝑝 = 𝑒1 ∘ 𝑒2 ∘ … ∘ 𝑒𝑚 , ku

𝑒1, … , 𝑒𝑚 janë brinjë të 𝐺 Ω .Nga përcaktimi i 𝐺 Ω këto brinjë janë të formës (𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦) ku

𝑙, 𝑟 = (𝑎, 𝑢) ose 𝑙, 𝑟 = 𝑢, 𝑎 .Mund të ndodhi që vetë 𝑝të mos ketë këtë formë. Në një

situatë të tillë, do të ekzistojë një indeks 𝑖 < 𝑚 i tillë që brinjët e njëpasnjëshme 𝑒𝑖 dhe 𝑒𝑖+1

të kenë trajtën𝑒𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝛼, 𝑢, 𝑎, 𝛽, 𝑦𝑖) dhe 𝑒𝑖+1 = (𝑥𝑖+1, 𝛾, 𝑎, 𝑢, 𝛿, 𝑦𝑖+1) me që, siç thamë, ato

62

janë brinjë të 𝐺 Ω . Në rastin kur𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1, brinjët 𝑒𝑖 dhe 𝑒𝑖+1 janë inverse të njera tjetrës, dhe

pra, në këtë rast rruga e konsideruar do të shkruhet në formën 𝑝 ≃ 𝑒1 ∘ 𝑒2 ∘ … 𝑒𝑖−1 ∘

𝑒𝑖+2 ∘ … ∘ 𝑒𝑚 . Na mbetet të shqyrtojmë rastin kur 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑖+1. Vërejmë se, në këtë rast, nga

relacioni 𝑥𝑖𝛼𝑎𝛽𝑦𝑖 = 𝑥𝑖+1𝛾𝑎𝛿𝑦𝑖+1 rrjedh se këto brinjë kanë si pasojë të nevojshme zbatimet

e ndara të relacioneve. Në të vërtetë, në qoftë se 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1𝜇𝑎𝜗𝑧𝑖+1 dhe 𝑦𝑖+1 = 𝑧𝑖+1𝜈𝑎𝜆𝑦𝑖

atëhere

𝑒𝑖 ∘ 𝑒𝑖+1

= (𝑥𝑖+1𝜇𝑎𝜗𝑧𝑖+1𝜈𝑢𝜆𝑦𝑖 , 𝑥𝑖+1𝜇𝑎𝜗𝑧𝑖+1𝜈𝑎𝜆𝑦𝑖 , 𝑥𝑖+1𝜇𝑢𝜗𝑧𝑖+1𝜈𝑎𝜆𝑦𝑖)

= 𝑓𝑖 ∘ 𝑓𝑖+1

Kështu, edhe në këtë rast 𝑝 ≃ 𝑒1 ∘ 𝑒2 ∘ …𝑒𝑖−1 ∘ 𝑓𝑖 ∘ 𝑓𝑖+1 ∘ 𝑒𝑖+2 ∘ … ∘ 𝑒𝑚 .

Duke e përsëritur këtë procedurë marrim që 𝑝është homotopike me një rrugë e cila ka formën

e kërkuar.

Pohim 3. Le të jetë (𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦) një brinjë e 𝐺Ω1 e tillë që (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅 ∪ 𝑅−1, le të jetë

𝑝+ ∈ 𝑃+(𝐺 Ω) një rrugë me fillim 𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦 dhe fund 𝑓(𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦) dhe 𝑝− ∈ 𝑃−(𝐺 Ω) një rrugë që

lidh 𝑓(𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦) me 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦. Atëhere

𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦, 𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦 , 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 ≃ 𝑝+ ∘ 𝑓 𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦 , 𝑓 𝑥 , 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑓 𝑦 , 𝑓 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 ∘ 𝑝−,

ku 𝑙, 𝑟 ∈ 𝑅 ∪ 𝑅−1.

Vërtetim: Në qoftë se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, pra nuk përmbajnë gërmën 𝑎, atëhere 𝑓 𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦 = 𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦

dhe 𝑓 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 = 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 dhe në këtë rast, problemi ynë është i zgjidhur dhe kështu që nuk

kemi asgjë për të vërtetuar. Supozojmë se 𝑥𝜁𝑦 përmban shfaqje të gërmës 𝑎. Pra, 𝑥 dhe 𝑦 do

të kenë trajtën

𝑥 = 𝑥0𝛼1𝑎𝛽1𝑥1𝛼2𝑎 … 𝑥𝑚−1𝛼𝑚𝑎𝛽𝑚𝑥𝑚 ,

𝑦 = 𝑦0𝜇1𝑎𝜗1𝑦1 … 𝑦𝑛−1𝜇𝑛𝑎𝜗𝑛𝑦𝑛 .

Nga Pohimi 1, ekziston një rrugë 𝑝+ ∈ 𝑃+(𝐺 Ω)që lidh

𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦 = 𝑥0𝛼1𝑎𝛽1𝑥1𝛼2𝑎 …𝑥𝑚−1𝛼𝑚𝑎𝛽𝑚𝑥𝑚𝛾𝑙𝛿𝑦0𝜇1𝑎𝜗1𝑦1 … 𝑦𝑛−1𝜇𝑛𝑎𝜗𝑛𝑦𝑛me

𝑓(𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦) = 𝑥0𝛼1𝑢𝛽1𝑥1𝛼2𝑢 … 𝑥𝑚−1𝛼𝑚𝑢𝛽𝑚𝑥𝑚𝛾𝑙𝛿𝑦0𝜇1𝑢𝜗1𝑦1 … 𝑦𝑛−1𝜇𝑛𝑢𝜗𝑛𝑦𝑛 dhe

63

𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 = 𝑥0𝛼1𝑎𝛽1𝑥1𝛼2𝑎 …𝑥𝑚−1𝛼𝑚𝑎𝛽𝑚𝑥𝑚𝛾𝑟𝛿𝑦0𝜇1𝑎𝜗1𝑦1 … 𝑦𝑛−1𝜇𝑛𝑎𝜗𝑛𝑦𝑛me

𝑓 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 = 𝑥0𝛼1𝑢𝛽1𝑥1𝛼2𝑢 … 𝑥𝑚−1𝛼𝑚𝑢𝛽𝑚𝑥𝑚𝛾𝑟𝛿𝑦0𝜇1𝑢𝜗1𝑦1 … 𝑦𝑛−1𝜇𝑛𝑢𝜗𝑛𝑦𝑛 .

Duke pasur parasysh faktin që rruga 𝑝+ ∘ 𝑝+−1 është homotopike me rrugën bosh (𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦), do

të kemi 𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦, 𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦 , 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 ≃ 𝑝+ ∘ 𝑝+−1 ∘ (𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦), ku, për thjeshtësi,

përshkruajmë rrugë ose pjesë rrugësh duke paraqitur brinjët e përdorura. Vërejmë se

relacionet e përdorura në rrugën 𝑝+−1 dhe relacioni i përdorur në brinjën (𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦) janë

të ndara dheduke zbatuar disa herë përkufizimin e relacionit të homotopisë përftojmë një

rrugë të formës 𝑝+ ∘ (𝑓 𝑥 , 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑓 𝑦 ) ∘ 𝑝−që lidh 𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦 me 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 ku 𝑝− ∈ 𝑃−(𝐺 Ω).

Pohim 4. Le të jetë 𝑝 ∈ 𝑃 𝐺Ω1 . Atëhere ekzistojnë rrugët 𝑝+ ∈ 𝑃+ 𝐺 Ω , 𝑞 ∈ 𝑃 𝐺Ω dhe

𝑝− ∈ 𝑃− 𝐺 Ω të tilla që 𝑝+ = 𝜍 𝑝 , 𝜏 𝑝+ = 𝑓 𝜍 𝑝 , 𝜍 𝑞 = 𝑓 𝜍 𝑝 , 𝜏 𝑞 =

𝑓 𝜏 𝑝 , 𝜍 𝑝− = 𝑓 𝜏 𝑝 , 𝜏 𝑝− = 𝜏 𝑝 , dhe 𝑝 ≃ 𝑝+ ∘ 𝑞 ∘ 𝑝−.

Vërtetim: Rezultati përftohet duke kombinuar rezultatet e tri pohimevetë mësipërme. Kështu,

së pari, nga Pohimi 3 ne mund të zëvendësojmë secilën brinjë të formës

𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦 , (𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅 ∪ 𝑅−1, me një rrugë që lidh 𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦 me 𝑓(𝑥𝛾𝑙𝛿𝑦), më pas brinjën

(𝑓 𝑥 , 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑓 𝑦 ), dhe, në vijim, një rrugë që lidh 𝑓(𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦) me 𝑥𝛾𝑟𝛿𝑦 .Nga sa thamë,

rrjedh se, mund të supozojmë se në qoftë se (𝑥, 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝛽, 𝑦) është një brinjë e 𝑝 e tillë që

(𝑙, 𝑟) ∈ 𝑅 ∪ 𝑅−1, atëhere 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, ku 𝑝 ∈ 𝑃(𝐺Ω1 )është një rrugë që lidh𝑔me𝑕. Do të

vërtetojmë, më poshtë, se duke faktorizuar 𝑝mund ta sjellim atë në formën 𝑝 = 𝑝0 ∘ 𝑞1 ∘ 𝑝1 ∘

… ∘ 𝑞𝑛 ∘ 𝑝𝑛 , ku 𝑝0, 𝑝1, … , 𝑝𝑛 ∈ 𝑃 𝐺 Ω dhe 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛 ∈ 𝑃(𝐺Ω). Rasti 𝑛 = 0 është trivial

sepse në këtë rast kemi𝑓 𝑔 = 𝑓(𝑕). Duke zbatuar pohimet 1 dhe 2 përftojmë relacionet e

mëposhtme që na çojnë tek rezultati i kërkuar. Nga Pohimi 2, 𝑝 ≃ 𝑝+ ∘ 𝑝− për ndonjë rrugë

𝑝+ ∈ 𝑃+ 𝐺 Ω dhe 𝑝− ∈ 𝑃− 𝐺 Ω . Në qoftë se 𝜏 𝑝+ ∉ 𝑀𝑋∗Ω, atëhere duke zbatuar Pohimin 1

ekziston një rrugë 𝑝+′ ∈ 𝑃+ 𝐺 Ω e tillë që 𝑝+

′ ka fillim𝜏 𝑝+ dhe fund𝑓 𝜏 𝑝+ = 𝑓(𝑔). Në

këtë mënyrë do të kemi, 𝑝 ≃ 𝑝+ ∘ 𝑝+′ ∘ (𝑝+

′ )−1 ∘ 𝑝−, 𝑝+ ∘ 𝑝+′ ∈ 𝑃+ 𝐺 Ω dhe (𝑝+

′ )−1 ∘ 𝑝− ∈

𝑃− 𝐺 Ω dhe kënaqin vetitë e kërkuara. Le të shqyrtojmë rastin kur𝑛 > 0. Kemi që 𝜍 𝑞1 =

𝜏 𝑝0 ∈ 𝑀𝑋∗Ωsepse 𝑞1 ∈ 𝑃(𝐺Ω). Kështu që, 𝜍 𝑝0 = 𝜍(𝑝) dhe 𝜏 𝑝0 = 𝑓(𝜍(𝑝)). Duke

zbatuar Pohimin 2 mund të zëvendësojmë 𝑝0 me një rrugë 𝑝+ ∈ 𝑃+ 𝐺 Ω që

lidh𝜍(𝑝)me𝑓(𝜍 𝑝 ). Në të njejtën mënyrë, ne mund të zëvendësojmë 𝑝𝑛 me një rrugë

𝑝− ∈ 𝑃− 𝐺 Ω nga 𝑓(𝜏 𝑝 ) në 𝜏(𝑝). Rasti i tretë është ai kur 𝑗 ∈ 1,2, … , 𝑛 − 1 . Në këtë rast,

𝑝𝑗 ∈ 𝑃 𝐺 Ω është një rrugë me fillim𝜏(𝑞𝑗 ) ∈ 𝑀𝑋∗Ωdhe fund𝜍(𝑞𝑗+1)) ∈ 𝑀𝑋∗Ω. Por,𝑝𝑗 ∈

64

𝑃 𝐺 Ω ⟹ 𝜏(𝑞𝑗 )= 𝜍 𝑝𝑗 = 𝑓 𝜍 𝑝𝑗 = 𝑓 𝜏 𝑝𝑗 = 𝜍(𝑞𝑗+1) ⟹, 𝑝𝑗 ≃ (𝜍 𝑝𝑗 )(nga

Pohimi 2).Marrim, përfundimisht, 𝑝 = 𝑝0 ∘ 𝑞1 ∘ 𝑝1 ∘ … ∘ 𝑞𝑛 ∘ 𝑝𝑛 ≃ 𝑝+ ∘ 𝑞1 ∘ 𝑞2 ∘ … ∘ 𝑞𝑛 ∘

𝑞−. Duke zgjedhur 𝑞 = 𝑞1 ∘ 𝑞2 ∘ … ∘ 𝑞𝑛 përftojmë rezultatin e kërkuar.

Pohim 5. ≃𝐵1= 𝑃 2 (𝐺Ω

1 ).

Vërtetim: Provojmë, këtu, përfundimisht se bashkësia 𝐵1 e ndërtuar si më lart është një bazë

e fundme homotopie për 𝐺Ω1 duke supozuar se 𝐵 ka qenë një bazë e fundme homotopie për

𝐺Ω . Duke zbatuar Pohimin 4, për 𝑝+, 𝑞+ ∈ 𝑃+ 𝐺 Ω , 𝑝−, 𝑞− ∈ 𝑃− 𝐺 Ω dhe 𝑝1, 𝑞1 ∈ 𝑃(𝐺Ω) të

tilla që 𝜍 𝑝1 = 𝑓 𝜍 𝑝 , 𝜏 𝑝1 = 𝑓 𝜏 𝑝 , 𝜍 𝑞1 = 𝑓 𝜍 𝑞 dhe 𝜏 𝑞1 = 𝑓(𝜏 𝑞 ), marrim

𝑝 ≃𝐵1𝑝+ ∘ 𝑝1 ∘ 𝑝− dhe 𝑞 ≃𝐵1

𝑞+ ∘ 𝑞1 ∘ 𝑞−, ku (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ). Pozojmë 𝐵 = 𝐵1 dhe

kështu do të kemi 𝑝1 ≃𝐵1𝑞1. Kjo rrjedh nga faktet se në qoftë se 𝜍 𝑝 = 𝜍(𝑞),

atëhere𝜍 𝑝1 = 𝑓 𝜍 𝑝 = 𝑓 𝜍 𝑞 = 𝜍(𝑞1), dhe nga 𝜏 𝑝 = 𝜏(𝑞), marrim𝜏 𝑝1 =

𝑓 𝜏 𝑝 = 𝑓 𝜏 𝑞 = 𝜏(𝑞1), gjë që sjell që (𝑝1, 𝑞1) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω). Nga barazimet 𝜍 𝑝+ =

𝜍 𝑝 = 𝜍 𝑞 = 𝜍(𝑞+) dhe 𝜏 𝑝+ = 𝑓 𝜍 𝑝 = 𝑓 𝜍 𝑞 = 𝜏(𝑞+) dhe nga Pohimi 1, marrim

𝑝+ ≃𝐵1𝑞+ (*)

Në të njejtën mënyrë vërtetohet se

𝑝− ≃𝐵1𝑞−. (**)

Nga relacionet (*) dhe (**) rrjedh se𝑝 ≃𝐵1𝑝+ ∘ 𝑝1 ∘ 𝑝− ≃ 𝑞+ ∘ 𝑞1 ∘ 𝑞− ≃𝐵1

𝑞.

Kjo do të thotë se 𝐵1 e ndërtuar si më lart është një bazë e fundme homotopie për grafin 𝐺Ω1 .

Pra, konkludojmë se në qoftë se (𝑋; 𝑅) ka FDT, edhe (𝑋1; 𝑅1) do të ketë FDT pra kemi

përfunduar, kështu, vërtetimin e Lemës 3.7.13. Përftojmë rezultatin analog në se 𝑋1; 𝑅1 =

𝑋 ∪ 𝑎 ; 𝑅 ∪ (𝑢, 𝑎) .

Lemë 3.7.14.Le të jetë 𝑋1; 𝑅1 një paraqitje e fundme Ω-monoidi, dhe le të jetë përftuar

(𝑋; 𝑅) nga 𝑋1; 𝑅1 me anë të një Ω- transformimi elementar Tietze të tipit IV. Në qoftë se

𝑋1; 𝑅1 ka FDT, edhe (𝑋; 𝑅) do të ketë FDT.

Vërtetim: Për të treguar se (𝑋1; 𝑅1 ) është FDT me supozimin që (𝑋; 𝑅) ka qenë i tillë duhet

të tregojmë se ekziston një bazë e fundme homotopie 𝐵1 për grafin 𝐺Ω1 = 𝐺Ω(𝑋1; 𝑅1) në se ka

ekzistuar një bazë e fundme homotopie 𝐵 për grafin 𝐺Ω = 𝐺Ω(𝑋; 𝑅).

65

Në qoftë se 𝑎 ∈ 𝑋1, 𝑋 = 𝑋1 − 𝑎 , dhe 𝑢 ∈ 𝑀𝑋∗Ω të tilla që 𝑎, 𝑢 ∈ 𝑅1 dhe 𝑅 =

𝜑𝑎 𝑙 , 𝜑𝑎 𝑟 𝑙, 𝑟 ∈ 𝑅1 − (𝑎, 𝑢) , ku 𝜑𝑎 : 𝑀𝑋1∗Ω → 𝑀𝑋∗Ωështë morfizmi që përcaktohet

si vijon 𝜑𝑎 𝑏 = 𝑏 në qoftë se 𝑏 ∈ 𝑋, 𝜑𝑎 𝑏 = 𝑢 në qoftë se 𝑏 = 𝑎, atëhereduke përdorur Ω-

transformimet Tietze të tipeve I dhe II paraqitja 𝑋1; 𝑅1 mund të transformohet në paraqitjen

(𝑋1; 𝑅 ∪ (𝑎, 𝑢)). Dhe pra, në qoftë se 𝑋1; 𝑅1 ka FDT atëhere, nga lemat e mësipërme, kjo

paraqitje ka FDT, gjithashtu. Rjedhimisht, mund të supozojmë, pa humbur gjë, se për të

gjitha 𝑙, 𝑟 ∈ 𝑅1 − { 𝑎, 𝑢 }, as 𝑙 dhe as 𝑟 nuk përmbajnë një shfaqje të gërmës 𝑎, d.m.th.,

𝑅 = 𝑅1 − { 𝑎, 𝑢 }. Në vijim, le të jetë 𝐵1 ⊆ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) e tillë që ≃𝐵1

= 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) . Duke

vepruar si në vërtetimin e Lemës 3.7.13. përftojmë një retraksion𝑓: 𝐺Ω1 → 𝐺Ω i cili ekspozon

pasqyrimin 𝜑𝑎 të paraqitjeve të Ω-monoidit. Zgjedhim 𝐵 = {(𝑓 𝑝 , 𝑓 𝑞 )|(𝑝, 𝑞) ∈ 𝐵1} ⊆

𝑃 2 (𝐺Ω). Kështu, mjafton të provojmë këtë

Pohim: Për të gjitha (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω), 𝑝 ≃𝐵 𝑞.

Vërtetim: (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω) ⟹ (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃 2 (𝐺Ω1 ) ⟹ 𝑝 ≃𝐵1

𝑞 ⟹ 𝑓 𝑝 ≃𝐵 𝑓(𝑞)(nga

Rrjedhimi 3.7.7.) Por, 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑃(𝐺Ω) ⟹ 𝑓 𝑝 = 𝑝, 𝑓 𝑞 = 𝑞 ⟺ 𝑝 ≃𝐵 𝑞.

3.8. Paraqitje e fundme e 𝑴 dhe FDT.

Le të jetë 𝑅 një Ω-sistem rishkrimi të stringjeve në 𝑋. Kujtojmë që me 𝐼𝑅𝑅(𝑅) kemi shënuar

bashkësinë e të gjitha stringjeve të pareduktueshme mod𝑅. Një Ω-sistem rishkrimi të

stringjeve 𝑅 do të quhet i normalizuar në qoftë se 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒(𝑅) ⊆ 𝐼𝑅𝑅(𝑅), dhe në qoftë se, për

secilin rregull 𝑙 → 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑙 ∈ 𝐼𝑅𝑅 𝑅 − 𝑙 → 𝑟 . Një Ω-sistem rishkrimi të stringjeve

konvergjent i cili është edhe i normalizuar do të quhet kanonik. Për secilin Ω-sistem rishkrimi

të stringjeve konvergjent të fundmë 𝑅, mund të përcaktohet një Ω-sistem rishkrimi të

stringjeve kanonik i fundmë𝑅1 i tillë që 𝑅 dhe 𝑅1 janë ekuivalente në kuptimin që 𝑅 dhe 𝑅1

janë përcaktuar në të njejtin alfabet dhe ↔𝑅∗ =↔𝑅1

∗ . Ky rezultat vërtetohet në të njejtën

mënyrë si në [9].

Një paraqitje Ω-monoidi (𝑋; 𝑅) që përmban një Ω-sistem kanonik do të quhet paraqitje Ω-

kanonike.

Le të jetë (𝑒1, 𝑒2) një pik kritik brinjësh. Një çift i renditur rrugësh (𝑝1, 𝑝2) , 𝑝1, 𝑝2 ∈

𝑃+(𝐺Ω) do të quhet rezolucion i (𝑒1, 𝑒2) në qoftë se kanë vend 𝜍 𝑝1 = 𝜏 𝑒1 , 𝜍 𝑝2 = 𝜏(𝑒2)

dhe 𝜏 𝑝1 = 𝜏 𝑝2 .

66

Për secilin çift kritik të brinjëve (𝑒1, 𝑒2), le të shënojmë me (𝑝1, 𝑝2) një rezolucion të fiksuar.

Teoremë 3.8.1. Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje Ω-kanonike, le të jetë 𝐺Ω grafi shoqërues i

𝑋; 𝑅 , dhe le të jetë 𝐵 ⊆ 𝑃+ 2

(𝐺Ω) e tillë që 𝐵 është bashkësia e çifteve të formës (𝑒1 ∘

𝑝1, 𝑒2 ∘ 𝑝2) ku 𝑒1, 𝑒2 është një pik kritik brinjësh dhe 𝑝1, 𝑝2 është rezolucioni i zgjedhur i

𝑒1, 𝑒2 .

Atëhere ≃𝐵= 𝑃 2 (𝐺Ω) ku me ≃𝐵 shënojmë relacionin e homotopisë në 𝑃(𝐺Ω) që

gjenerohet nga 𝐵.

Vërejmë se bashkësia 𝐵 është një nënbashkësi e 𝑃+ 2

(𝐺Ω) me që 𝑒1 ∘ 𝑝1, 𝑒2 ∘ 𝑝2 ∈ 𝑃+(𝐺Ω)

për të gjitha çiftet (𝑒1 ∘ 𝑝1, 𝑒2 ∘ 𝑝2) ∈ 𝐵. Shënojmë, gjithashtu, se 𝐵 është e fundme në se 𝑅

është e fundme.

Kështu, përftojmë menjëherë rezultatin tonë kryesor:

Teoremë 3.8.2. Le të jetë 𝑀 një Ω-monoid me paraqitje të fundme. Në qoftë se 𝑀ka një

paraqitje (𝑋; 𝑅)e cila përfshin një Ω-sistem rishkrimi të stringjeve konvergjent të fundmë 𝑅,

atëhere 𝑀 ka FDT.

Vërtetim: Me që 𝑀 ka një paraqitje të fundme (𝑋; 𝑅) të tillë që 𝑅 është konvergjent, ai do të

ketë gjithashtu një paraqitje kanonike të fundme (𝑋1; 𝑅1). Nocioni i ekuivalencës së

sistemeve të rishkrimit të stringjeve ka të bëjë, siç e dimë, me kongruencën në monoidin e lirë

të gjeneruar nga alfabetet e të dya sistemeve. Alfabetet duhet të jenë të njejtat, dhe sistemet

janë ekuivalente atëhere dhe vetëm atëhere kur ato gjenerojnë të njejtën kongruencë në

monoidin e lire korrespondues. Mund të shihet lehtë se në qoftë se (𝑋; 𝑅1) dhe (𝑋; 𝑅2) janë

dy sisteme ekuivalente të rishkrimit të stringjeve, atëhere Ω-monoidët 𝑀𝑅1 dhe 𝑀𝑅2

janë

identike. Kështu që, ato janë edhe izomorfe. Tani, 𝑀 ka një paraqitje të fundme (𝑋; 𝑅) ku 𝑅

është konvergjent. Kështu, ai ka, gjithashtu, një paraqitje kanonike të fundme (𝑋1; 𝑅1).

Bashkësia e pikeve kritike e 𝑅1 është e fundme. Nga kjo rrjedh se bashkësia 𝐵 që i

korrespondon (𝑋1; 𝑅1) është e fundme. Duke zbatuar, së fundi, Teoremën 3.8.1 dhe

Teoremën 3.7.10 konkludojmë se çdo paraqitje e fundme e 𝑀 ka FDT.

Mbetet të vërtetojmë Teoremën 3.8.1.

Së pari, vërtetojmë këtë

67

Lemë3.8.3. Le të jenë 𝑤 ∈ 𝑀𝑋∗Ω dhe 𝑧 ∈ 𝐼𝑅𝑅(𝑅), dhe le të jenë 𝑝1, 𝑝2 ∈ 𝑃+(𝐺Ω) që kënaqin

𝜍 𝑝1 = 𝑤 = 𝜍(𝑝2) dhe 𝜏 𝑝1 = 𝑧 = 𝜏(𝑝2). Atëhere 𝑝1 ≃𝐵 𝑝2.

Vërtetim: Do ta vërtetojmë duke përdorur induksionin Noetherian.

Shqyrtojmë rastet.

Rasti i parë: 𝑤 është e pareduktueshme. Ky rast është trivial sepse𝑤 = 𝑧dhe nga fakti që

𝑝1, 𝑝2 ∈ 𝑃+(𝐺Ω), rrjedh se këto dy rrugë duhet të jenë që të dyja rruga korresponduese me

gjatësi 0.Për këtë arësye do të kemi𝑝1 = 𝑝2.

Rasti i dytë: 𝑤 nuk është e pareduktueshme.Atëhere, me që z është e pareduktueshme,si

gjatësia e rrugës 𝑝1ashtu edhe ajo e rrugës 𝑝2janë pozitive. Kështu, ekzistojnë brinjët 𝑓1 dhe

𝑓2 dhe rrugët 𝑞1 dhe 𝑞2, të gjitha nga 𝑃+(𝐺Ω), të tilla që 𝑝𝑗 = 𝑓𝑗 ∘ 𝑞𝑗 , 𝑗 = 1,2. Le të jenë

𝑤𝑗 = 𝜏 𝑓𝑗 = 𝜍 𝑞𝑗 , 𝑗 = 1,2. Për ta mbyllur edhe këtë rast do të na duhet të vërtetojmë këtë

Pohim: Ekziston një fjalë 𝑤 ′ ∈ 𝑀𝑋∗Ω dhe rrugët 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝑃+(𝐺Ω) të tilla që 𝜍 𝑔𝑗 =

𝑤𝑗 , 𝜏 𝑔𝑗 = 𝑤 ′ , 𝑗 = 1,2 dhe 𝑓1 ∘ 𝑔1 ≃𝐵 𝑓2 ∘ 𝑔2.

Vërtetim:

Rasti i parë: 𝑓1 = 𝑓2. Atëhere 𝑤1 = 𝑤2 dhe në këtë rast si 𝑔1 dhe 𝑔2 mund të shërbejnë rrugët

korresponduese me gjatësi 0.

Rasti i dytë: 𝑓1 = 𝑣0, 𝛼, 𝑙1, 𝑟1, 𝛽, 𝑣1𝛼2𝑙2𝛽2𝑣2 dhe 𝑓2 = (𝑣0𝛼1𝑙1𝛽1𝑣1, 𝛾, 𝑙2, 𝑟2, 𝛿, 𝑣2). Në këtë

rast, marrim si 𝑔1 rrugën që paraqitet nga brinja e vetme (𝑣0𝛼1𝑟1𝛽1𝑣1, 𝛾, 𝑙2, 𝑟2, 𝛿, 𝑣2) dhe 𝑔2

rrugën që paraqitet nga brinja e vetme 𝑣0, 𝛼, 𝑙1, 𝑟1, 𝛽, 𝑣1𝛼2𝑟2𝛽2𝑣2 . Duke zbatuar

përkufizimine relacionit të homotopisë rrjedh menjëherë se 𝑓1 ∘ 𝑔1 ≃𝐵 𝑓2 ∘ 𝑔2.

Rasti i tretë: Ekzistojnë fjalët 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀𝑋∗Ω dhe një pik kritik i brinjëve (𝑒1, 𝑒2) i tillë që

𝑓𝑗 = 𝑥𝛼𝑗 𝑒𝑗 𝛽𝑗𝑦, 𝑗 = 1,2.Marrim në këtë rast, 𝑔𝑗 = 𝑥𝛼𝑗 𝑞𝑗′ 𝛽𝑗 𝑦, 𝑗 = 1,2 ku (𝑞1

′ , 𝑞2′ ) është

rezolucioni i zgjedhur i(𝑒1, 𝑒2). Është e qartë tani se nga fakti që(𝑒1 ∘ 𝑞1′ , 𝑒2 ∘ 𝑞2

′ ) ∈ 𝐵 rrjedh

se𝑓1 ∘ 𝑔1 = 𝑥𝛼1𝑒1𝛽1𝑦 ∘ 𝑥𝛼1𝑞1′ 𝛽1𝑦 = 𝑥𝛼1 𝑒1 ∘ 𝑞1

′ 𝛽1𝑦 ≃𝐵 𝑥𝛼2 𝑒2 ∘ 𝑞2′ 𝛽2𝑦 = 𝑥𝛼2𝑒2𝛽2𝑦 ∘

𝑥𝛼2𝑞2′ 𝛽2𝑦 = 𝑓2 ∘ 𝑔2. Kështu, pohimi është i vërtetë.

Rezultati i Lemës 3.8.3. rrjedh, tani, menjëherë nga faktet 𝑅 është kanonik dhe nga supozimi i

induksionit.

68

Lemë 3.8.4. Le të jetë 𝑝 ∈ 𝑃(𝐺Ω) një rrugë nga 𝑤1 në 𝑤2, le të jenë 𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐼𝑅𝑅(𝑅) dhe le të

jenë 𝑝1, 𝑝2 ∈ 𝑃+(𝐺Ω) të tilla që 𝜍 𝑝𝑖 = 𝑤𝑖 dhe 𝜏 𝑝𝑖 = 𝑧𝑖 , 𝑖 = 1,2. Atëhere 𝑧1 = 𝑧2 dhe

𝑝 ≃𝐵 𝑝1 ∘ 𝑝2−1.

Vërtetim: Vërejmë, së pari që𝑤1 ↔𝑅∗ 𝑤2sepse𝜍 𝑝 = 𝑤1 dhe 𝜏 𝑝 = 𝑤2 dhe me që 𝑅 është

kanonik, kemi 𝑧1 = 𝑧2. Kështu, mbetet të shohim në se 𝑝 ≃𝐵 𝑝1 ∘ 𝑝2−1. Do të përdorim

induksionin në lidhje me gjatësinë 𝑛 të rrugës 𝑝. Në qoftë se 𝑛 = 0, atëhere 𝑤1 = 𝑤2, dhe

𝑝1 ≃𝐵 𝑝2 nga Lema 3.8.3., dhe nga kjo rrjedh se 𝑝1 ∘ 𝑝2−1 ≃𝐵 𝑤1 = 𝑝 (nga përkufizimi i

homotopisë). Në qoftë se 𝑛 > 0, atëhere ekzistojnë 𝑤 ∈ 𝑀𝑋∗Ω, një rrugë 𝑞 ∈ 𝑃(𝐺Ω)që

lidh𝑤1me𝑤 me gjatësi 𝑛 − 1, dhe një brinjë 𝑓 e 𝐺Ω që lidh 𝑤 me 𝑤2 të tilla që 𝑝 = 𝑞 ∘ 𝑓. Le

të jetë 𝑞2 një rrugë nga 𝑃+(𝐺Ω)me fillim𝑤dhe fund𝑧1 = 𝑧2. Nga hipoteza e induksionit kemi

𝑞 ≃𝐵 𝑝1 ∘ 𝑞2−1. Dallojmë rastet kur 𝑓 është një brinjë nga 𝑃+(𝐺Ω), dhe 𝑓 është një brinjë nga

𝑃−(𝐺Ω). Në rastin e parë kemi 𝑞2, 𝑓 ∘ 𝑝2 ∈ 𝑃+(𝐺Ω) që të dy lidhin 𝑤me𝑧1. Kështu që,

𝑞2 ≃𝐵 𝑓 ∘ 𝑝2nga Lema 3.8.3. Nga kjo rrjedh se 𝑝1 ∘ 𝑝2−1 ≃𝐵 𝑝1 ∘ 𝑝2

−1 ∘ 𝑓−1 ∘ 𝑓 ≃𝐵 𝑝1 ∘ 𝑞2−1 ∘

𝑓 ≃𝐵 𝑞 ∘ 𝑓 = 𝑝. Në qoftë se 𝑓 është një brinjë nga 𝑃−(𝐺Ω), atëhere 𝑓−1 ∘ 𝑞2, 𝑝2 ∈ 𝑃+(𝐺Ω) që

të dy kanë fillim𝑤2dhe fund𝑧1. Nga Lema 3.8.3.,𝑝1 ∘ 𝑝2−1 ≃𝐵 𝑝1 ∘ 𝑞2

−1 ∘ 𝑓 ≃𝐵 𝑞 ∘ 𝑓 = 𝑝

sepse,siç shihet, do të kemi 𝑓−1 ∘ 𝑞2 ≃𝐵 𝑝2. Pra, edhe në këtë rast, 𝑝1 ∘ 𝑝2−1 ≃𝐵 𝑝1 ∘ 𝑞2

−1 ∘

𝑓 ≃𝐵 𝑞 ∘ 𝑓 = 𝑝

Tani, rezultati i Teoremës 3.8.1. rrjedh menjëherë.

Vërtetim i Teoremës 3.8.1.: Me të vërtetë, supozojmë se (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃(2)(𝐺Ω),𝑤1 = 𝜍(𝑝),𝑤2 =

𝜏(𝑝) dhe le të jenë 𝑟1, 𝑟2 ∈ 𝑃+(𝐺Ω) të tilla që 𝜍 𝑟𝑖 = 𝑤𝑖 dhe 𝜏(𝑟𝑖) ∈ 𝐼𝑅𝑅(𝑅), 𝑖 = 1,2. Nga

fakti që 𝑅 është kanonik, dhe nga Lema 3.8.4. rjedh se 𝜏 𝑟1 = 𝜏(𝑟2), dhe se 𝑝 ≃𝐵 𝑟1 ∘

𝑟2−1 ≃𝐵 𝑞. Pra, ≃𝐵= 𝑃(2)(𝐺Ω). Kështu që bashkësia e fundme 𝐵 është një bazë e fundme

homotopie për 𝐺Ω dhe kjo përfundon edhe vërtetimin e Teoremës 3.8.2.

69

KAPITULLI IV

NJË PËRQASJE KATEGORIKE E FDT PËR 𝛀-MONOIDËT.

4.1. Hyrje.

Përgjithësojmë, më poshtë, rezultatet e [19] për rastin e Ω-monoidëve.

Një invariant për një strukturë është diçka që mund të llogaritet me shumë mënyra, por varet

vetëm nga vetë struktura. Rezultatet që paraqesim më poshtë i kemi provuar në Kapitullin III

me një mënyrë disi të gjatë. Në këtë kapitull do t‟i trajtojmë ato nga një këndvështrim

gjeometrik dhe duke pasur parasysh se invarianca e kushtit të fundshmërisë së Squier është

një problem 2-përmasor fjale në kuptimin e [45]. Do ta vërtetojmë tani atë duke përdorur

edhe makinerinë kategorike, e cila, siç kemi theksuar, i bën vërtetimet shumë më të thjeshta

dhe të shkurtra. Në këtë rast, kemi përdorur gjerësisht konceptin e 2-kongruencës dhe në

veçanti të 2-kongruencës së plotë e cila, siç tregojmë, gjenerohet nga diagramat e

bashkrrjedhshmërisë së pikeve kritike. Këto, së bashku me kategoritë monoidale dhe 2-

morfizmat midis tyre i kanë thjeshtuar mjaft vërtetimet.

Pra, japim më poshtë japim këtë version kategorik të FDT të Squier. Për këtë na duhen, së

pari, disa njohuri bazë për kategoritë monoidale strikte.

Një kategori monoidale strikte është një kategori 𝑪 e pajisur me një bifunktor shoqërimtar

𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑥𝑦 dhe një objekt 1. Kjo do të thotë se kemi të bëjmë me një strukturë monoidi në

bashkësinë e objekteve të 𝑪.Për më tepër, për çdo çift shigjetash 𝑥𝑓→ 𝑥′ dhe 𝑦

𝑔→ 𝑦′ , ekziston

një shigjetë 𝑥𝑦𝑓𝑔 𝑥′ 𝑦′ . Ky shumëzim në shigjetat është shoqërimtar me njësi 1

𝑖𝑑1 1 dhe

gëzon, gjithashtu, edhe vetitë e mëposhtme:

1) 𝑓 ′ ∘ 𝑓 𝑔′ ∘ 𝑔 = 𝑓 ′𝑔′ ∘ 𝑓𝑔 për çdo 𝑥𝑓→ 𝑥′

𝑓 ′

→ 𝑥′′ dhe 𝑦𝑔→ 𝑦′

𝑔 ′

→ 𝑦′′ ,

2) 𝑖𝑑𝑥 𝑖𝑑𝑦 = 𝑖𝑑𝑥𝑦 .

Në qoftë se 𝑥 është një objekt dhe 𝑦𝑓→ 𝑦′ është një shigjetë, do të shkruajmë 𝑥𝑓 në vend të

𝑖𝑑𝑥𝑓 dhe 𝑓𝑥 në vend të 𝑓𝑖𝑑𝑥 . Me këtë marrëveshje vetia 1) mund të zëvendësohet nga dy të

mëposhtmet:

70

1‟) 𝑥 𝑓 ′ ∘ 𝑓 𝑦 = 𝑥𝑓 ′𝑦 ∘ 𝑥𝑓𝑦 për çdo 𝑥, 𝑦 dhe

𝑓→ 𝑧′

𝑓 ′

→ 𝑧′′ ,

1‟‟)𝑓𝑔 = 𝑥′𝑔 ∘ 𝑓𝑦 = 𝑓𝑦′ ∘ 𝑥𝑔 për çdo 𝑥

𝑓→ 𝑥′ dhe 𝑦

𝑔→ 𝑦′ .

Në veçanti, shumëzimi 𝑓, 𝑔 ⟼ 𝑓𝑔 është plotësisht i përcaktuar nga operacionet 𝑥, 𝑓 ⟼ 𝑥𝑓

dhe 𝑓, 𝑥 ⟼ 𝑓𝑥.

Një grupoid monoidal strikt është një kategori monoidale strikte 𝑪e tillë që kjo kategori është

një grupoid. Me fjalë të tjera, çdo 𝑥𝑓→ 𝑦 ka një invers 𝑦

𝑓−1

𝑥 të tillë që 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑𝑥 dhe

𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝑖𝑑𝑦 .

Në vijim, do të përdorim termin kategori monoidale në vend të kategori monoidale strikte,

dhe në mënyrë të ngjashme për grupoidet monoidale.

Një 2-kongruencë në një kategori monoidale 𝑪është një relacion ekuivalence 𝑓~𝑔 në çiftet e

shigjetave paralele 𝑥𝑓 ,𝑔 𝑥′ në 𝑪, e cila është e pajtueshme me kompozimin dhe shumëzimin,

pra:

𝑘 ∘ 𝑓 ∘ 𝑕~𝑘 ∘ 𝑔 ∘ 𝑕 për çdo 𝑥𝑕→ 𝑦

𝑓 ,𝑔 𝑦′

𝑘→ 𝑧 të tilla që 𝑓~𝑔,

𝑥𝑓𝑦~𝑥𝑔𝑦 për çdo 𝑥, 𝑦 dhe 𝑧𝑓 ,𝑔 𝑧′ të tilla që 𝑓~𝑔.

Shënojmë se për pajtueshmërinë në lidhje me shumëzimin, mjafton të konsiderojmë

operacionin 𝑥, 𝑓, 𝑦 ⟼ 𝑥𝑓𝑦. Dy shembujt bazë të 2-kongruencave janë:

𝑓~𝑔 n.q.s. 𝑓 = 𝑔 ( 2-kongruenca më e vogël),

𝑓~𝑔 për çdo 𝑥𝑓 ,𝑔 𝑥′ ( 2-kongruenca më e madhe).

Në qoftë se 𝑃 është një bashkësi çiftesh shigjetash paralele në 𝑪, 2-kongruenca më e vogël

≡𝑃 e cila përmban 𝑃 do të quhet 2-kongruencë e gjeneruar nga 𝑃. Në rastin kur 𝑃 është e

fundme , do të themi se 2-kongruenca ≡𝑃 gjenerohet në mënyrë të fundme.

Në qoftë se 𝑪dhe 𝑪′ janë kategori monoidale, një 2-morfizëm Φ: 𝑪 → 𝑪′ është një funktor i

cili ruan strukturën multiplikative. Në rastin e grupoideve monoidale, rrjedh menjëherë

ruajtja e inversëve. Së fundi, fytyra inverse e 2-kongruencës sipas një 2-morfizmi të tillë

është sërish një 2-kongruencë. Si rrjedhojë, përftojmë:

71

Lemë 4.1.1. Le të jetë 𝑃 një bashkësi çiftesh të shigjetave paralele në 𝑪dhe ~ një 2-

kongruencë në 𝑪′e tillë që Φ(f)~Φ(g) për secilin (𝑓, 𝑔) ∈ 𝑃. Atëhere, Φ(f)~Φ(g) për çdo

𝑥𝑓 ,𝑔 𝑦 në 𝑪të tilla që 𝑓 ≡𝑃 𝑔. (Për më shumë informacion lidhur me kategoritë monoidale

strikte, shih [1], Kap.XI).

4.2. 2-kongruencat, reduktimet dhe derivimet

Konsiderojmë një paraqitje të një Ω-monoidi 𝑋; 𝑅 .Shkruajmë 𝑟||𝑠 if 𝑥𝑟 ,𝑠 𝑦 janë reduktime

paralele. Një 2-kongruencë në reduktimet është një relacion ekuivalence ~ i përcaktuar në

reduktimet paralele dhe që kënaq vetitë e mëposhtme:

𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣~𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣 për çdo fjalë 𝑢, 𝑣 dhe për çdo reduktim 𝑥𝑟 ,𝑠 𝑦 të tillë që 𝑟~𝑠 (

pajtueshmëria me produktin);

𝑟 ∗ 𝑠~𝑟′ ∗ 𝑠′ për çdo reduktim 𝑥𝑟 ,𝑟 ′

𝑦𝑠,𝑠′

𝑧 të tillë që 𝑟~𝑟′ dhe 𝑠~𝑠′

(pajtueshmëria me kompozimin);

𝑟𝑧 ∗ 𝑦𝑠~𝑥𝑠 ∗ 𝑟𝑡 për çdo reduktim 𝑥𝑟→ 𝑦 dhe 𝑧

𝑠→ 𝑡 (shkëmbimi).

Pohim 4.2.1. 2-kongruenca është një Ω-kongruencë.

Vërtetim: Supozojmë se kanë vend tri vetitë e mësipërme. Duhet të tregojmë se

𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 𝛾𝑐~ 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣 𝛾𝑐dhe𝑐𝛾 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 ~𝑐𝛾 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣 .Por, 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 𝛾𝑐 = 𝑢𝛼(𝑟𝛽𝑣)𝛾𝑐 . Në

të njejtën mënyrë 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣 𝛾𝑐 = 𝑢𝛼(𝑠𝛽𝑣)𝛾𝑐 dhe siç kemi supozuar ka vend 𝑟~𝑠. Kështu,

njeri nga relacionet është i vërtetë. Për tjetrin ndjekim të njejtën procedurë: 𝑐𝛾 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 =

𝑐𝛾(𝑢𝛼(𝑟𝛽𝑣 ) dhe 𝑐𝛾 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣 = (𝑐𝛾(𝑢𝛼 𝑠𝛽𝑣 )dhe siç dime ka vend 𝑟~𝑠. Kjo përfundon

vërtetimin.

Nga ky pohim, rrjedh se mund të shtrihen pa asnjë vështirësi rezultatet përkatëse në rastin e

Ω-monoidëve.

Për shembull, || është 2-kongruenca maksimale ose e plotë. Në qoftë se 𝑃është ndonjë

bashkësi çiftesh paralele të reduktimeve, përcaktojmë 2-kongruencën ~𝑃 të gjeneruar nga 𝑃,

pra më të voglën 2-kongruencë që përmban 𝑃. Në qoftë se 𝑃 është e fundme, themi se 2-

kongruenca ~𝑃 gjenerohet në mënyrë të fundme.

72

Në qoftë se 𝑥𝜌→ 𝑦 është një rregull, ne përdorim shënimin 𝑥

𝜌𝑜𝑝

𝑦 për rregullin e anasjellë.

Një reduktim për paraqitjen e simetrizuar (𝑋; 𝑅 ∪ 𝑅𝑜𝑝 ), ku 𝑅𝑜𝑝 = {𝜌𝑜𝑝 |𝜌 ∈ 𝑅}, quhet

derivim. Shënimi 𝜌𝑜𝑝 shtrihet në të gjitha derivimet si më poshtë:

(𝜌𝑜𝑝 )𝑜𝑝 = 𝜌 për çdo rregull 𝑥𝜌→ 𝑦 në 𝑅;

(𝑢𝜌𝑣)𝑜𝑝 = 𝑢𝜌𝑜𝑝 𝑣 për çdo fjalë 𝑢, 𝑣 dhe çdo 𝑥𝜌→ 𝑦 në 𝑅 ∪ 𝑅𝑜𝑝 ;

(𝑟1 ∗ 𝑟2 ∗ … ∗ 𝑟𝑛)𝑜𝑝 = 𝑟𝑛𝑜𝑝 ∗ … ∗ 𝑟1

𝑜𝑝për çdo derivim 𝑥0

𝑟1→ 𝑥1

𝑟2→ 𝑥2

𝑟3→ …

𝑟𝑛−1 𝑥𝑛−1

𝑟𝑛→ 𝑥𝑛 .

Një 2-kongruencë në derivimet është një 2-kongruencë ≈ për (𝑋; 𝑅 ∪ 𝑅𝑜𝑝 ) e cila kënaq edhe

këtë veti:

𝑟 ∗ 𝑟𝑜𝑝 ≈ 𝑥 dhe 𝑟𝑜𝑝 ∗ 𝑟 ≈ 𝑦 për çdo derivim 𝑥𝑟→ 𝑦.

Në qoftë se 𝑃 është ndonjë bashkësi çiftesh të derivimeve paralele, mund të përcaktojmë 2-

kongruencën në derivimet ≈𝑃 gjeneruar prej 𝑃, pra ~𝑄, ku 𝑄 përcaktohet prej 𝜌 ∗ 𝜌𝑜𝑝 𝑄𝑥 dhe

𝜌𝑜𝑝 ∗ 𝜌𝑄𝑦 për çdo rregull 𝑥𝜌→ 𝑦, dhe 𝑟𝑄𝑠 për sa kohë 𝑟𝑃𝑠.

Në qoftë se 𝑃 është e fundme, do të themi se 2-kongruenca në derivimet ≈𝑃 gjenerohet në më

nyrë të fundme. Kjo sjell që ≈𝑃 gjenerohet gjithashtu në mënyrë të fundme si 2-kongruencë

për (𝑋; 𝑅 ∪ 𝑅𝑜𝑝 ), të paktën kur 𝑅 është e fundme.

4.3. Paraqitjet dhe kategoritë e derivimeve.

Siç kemi parë, një paraqitje e një Ω-monoidi 𝑀 konsiston në një alfabet 𝑋 dhe një relacion

binar 𝑅 të përcaktuar prej nesh në mënyrë të tillë që 𝑀 është izomorf me 𝑀𝑋∗Ω/≡𝑅 ku ≡𝑅

është kongruenca e gjeneruar nga 𝑅. Në qoftë se 𝑥 është një fjalë në 𝑀𝑋∗Ω, do të shënojmë

me 𝑥 elementin korrespondues në 𝑀.

Si hap të parë, ndërtojmë kategorinë e derivimeve për këtë paraqitje.

Një derivim i pandashëm 𝑟𝐴→ 𝑠 jepet nga një çift 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅,

Një objekt është një fjalë në 𝑀𝑋∗Ω,

Një derivim elementar 𝑥𝐸→ 𝑦 jepet nga dy fjalë 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑀𝑋∗Ω dhe një derivim i

pandashëm 𝑟𝐴→ 𝑠 të tilla që 𝑥 = 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 dhe 𝑦 = 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣. Në qoftë se 𝑢 = 𝑣 = 1, ne

identifikojmë 𝐸 me derivimin e pandashëm 𝐴;

73

4) Një derivim 𝑥𝐹→ 𝑦 jepet nga një varg 𝑥 = 𝑥0

𝐸1→ 𝑥1

𝐸2→ …

𝐸𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦 derivimesh

elementare. Në qoftë se 𝑛 = 1, e identifikojmë 𝐹 me derivimin elementar 𝐸1. Në

qoftë se 𝑛 = 0, përftojmë derivimin identik.

Kompozimi i derivimeve përcaktohet në mënyrë evidente. Gjithashtu, në qoftë se 𝑥, 𝑦 janë

fjalë dhe 𝑧𝐹→ 𝑧′ është një derivim, derivimi 𝑥𝛼𝑧𝛽𝑦

𝑥𝐹𝑦 𝑥𝛼𝑧′𝛽𝑦 përcaktohet në mënyrën

evidente, në mënyrë të tillë që të kënaqet vetia 1‟) por jo ajo 1

‟‟). Për të përftuar një kategori

monoidale, duhet të konsiderojmë bashkësinë e derivimeve mod relacionin e ekuivalencës që

gjenerohet nga permutacioni i derivimeve të ndara. Kjo do të thotë se, në qoftë se 𝑢, 𝑣, 𝑤 janë

fjalë dhe 𝑟𝐴→ 𝑠 dhe 𝑟′

𝐴′

→ 𝑠′ janë derivime atomike, ne identifikojmë derivimet 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣𝛾𝑤 ∘

𝑢𝛼𝑣𝛽𝑟′𝛾𝑤 dhe 𝑢𝛼𝑣𝛽𝑠′𝛾𝑤 ∘ 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣𝛾𝑤.

Në mënyrë më të përgjithshme, në qoftë se 𝑥𝐹→ 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣𝛾𝑟′𝛿𝑤 dhe 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣𝛾𝑠′𝛿𝑤

𝐺→ 𝑦 janë

derivime arbitrare, ne identifikojmë derivimet 𝐺 ∘ 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣𝛾𝑤 ∘ 𝑢𝛼𝑣𝛽𝑟′𝛿𝑤 ∘ 𝐹 dhe 𝐺 ∘

𝑢𝛼𝑣𝛽𝑠′𝛿𝑤 ∘ 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣𝛾𝑤 ∘ 𝐹. Shihet lehtë se, në qoftë se 𝑥𝐹→ 𝑥′ dhe 𝑦

𝐺→ 𝑦′ janë derivime

arbitrare, atëhere 𝑥′𝐺 ∘ 𝐹𝑦 dhe 𝐹𝑦′ ∘ 𝑥𝐺 janë ekuivalente sipas relacionit të ekuivalencës që

gjenerohet nga permutacioni i derivimeve të ndara. Kështu që shumëzimi i klasave të

ekuivalencës së derivimeve është i mirë-përcaktuar sipas 1‟‟). Përftojmë kështu kategorinë e

lirë monoidale 𝛀 − 𝑴𝒐𝒏(𝑋, 𝑅) të gjeneruar nga paraqitja (𝑋; 𝑅).

Grupoidi i lirë monoidal 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) ndërtohet në të njejtëm mënyrë, duke futur një derivim

atomik pozitiv 𝐴: 𝑟 → 𝑠 dhe një tjetër derivim atomik negativ 𝐴−1: 𝑠 → 𝑟 për çdo (𝑟, 𝑠) ∈ 𝑅.

Në këtë rast duhet të konsiderojmë bashkësinë e derivimeve mod relacionin e ekuivalencës të

gjeneruar nga permutacioni i derivimeve të ndara dhe thjeshtimi. Kjo do të thotë se, në qoftë

se 𝑢, 𝑣 janë fjalë dhe 𝑟𝐴→ 𝑠 është një derivim atomik pozitiv, ne identifikojmë 𝑢𝛼𝐴−1𝛽𝑣 ∘

𝑢𝛼𝐴𝛽𝑣 me 𝑖𝑑𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 dhe 𝑢𝛼𝐴𝛽𝑣 ∘ 𝑢𝛼𝐴−1𝛽𝑣 me 𝑖𝑑𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣 . Sërish, kjo aplikohet brenda një

derivimi: për shembull, në qoftë se 𝑥𝐹→ 𝑢𝛼𝑟𝛽𝑣 dhe 𝑢𝛼𝑠𝛽𝑣

𝐺→ 𝑦 janë derivime arbitrare, ne

identifikojmë 𝐺 ∘ 𝑢𝛼𝐴−1𝛽𝑣 ∘ 𝑢𝛼𝐴𝛽𝑣 ∘ 𝐹 me 𝐺 ∘ 𝐹.

Në qoftë se (𝑋′ ; 𝑅′) është një paraqitje për një tjetër Ω-monoid 𝑀′ , është e qartë se çdo 2-

morfizëm Φ: 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) → 𝛀 − 𝑮(𝑋′ , 𝑅′) indukton një morfizëm të vetëm 𝜑: 𝑀 → 𝑀′ të

tillë që 𝜑 𝑥 = Φ(x) për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω.

74

Anasjellas, çdo morfizëm 𝜑: 𝑀 → 𝑀′ induktohet nga një 2-morfizëm i tillë. Me të vërtetë,

për çdo 𝑎 ∈ 𝑋, mund të zgjedhim një fjalë 𝑥𝑎 ∈ 𝑀𝑋′∗Ω të tillë që 𝑥𝑎 = 𝜑(𝑎 ). Ky pasqyrim

shtrihet në një morfizëm 𝜉: 𝑀𝑋∗Ω → 𝑀𝑋′∗Ω të tillë që 𝜑 𝑥 = 𝜉(𝑥) për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω.

Më tej, për çdo derivim atomik pozitiv 𝑟𝐴→ 𝑠 në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) kemi 𝜉(𝑟) = 𝜑 𝑟 = 𝜑 𝑠 =

𝜉(𝑠) dhe mund të zgjedhim një derivim 𝜉(𝑟)𝐹𝐴 𝜉(𝑠). Ky pasqyrim shtrihet në një 2-

morfizëm

Φ: 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) → 𝛀 − 𝑮(𝑋′ , 𝑅′) të tillë që Φ x = 𝜉(𝑥) për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω.

Natyrisht, ekzistojnë një mori zgjedhjesh arbitrare për ndërtimin e Φ. Në qoftë se

Ψ: 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) → 𝛀 − 𝑮(𝑋′ , 𝑅′) është një tjetër 2-morfizëm që indukton të njejtin

morfizëm 𝜑: 𝑀 → 𝑀′ , atëhere Φ(x) = Ψ(x) për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω. Në veçanti, mund të

zgjedhim një derivim Φ a Ha Ψ(a) për çdo 𝑎 ∈ 𝑋. Në këtë mënyrë, përcaktojmë një derivim

Φ x Hx Ψ(x) për të gjitha 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω të tillë që 𝐻𝑥𝑦 = 𝐻𝑥𝐻𝑦 për të gjitha 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀𝑋∗Ω. Kjo

𝐻 nuk përcakton ndonjë transformim natyral midis Φ dhe Ψ, por ka vend lema e mëposhtme

e cila mund të vërtetohet me anë të induksionit:

Lemë 4.3.1. Le të jetë ~ një 2-kongruencë e tillë që 𝐻𝑠 ∘ Φ(A) ∼ Ψ(A) ∘ 𝐻𝑟 për çdo derivim

atomik pozitiv 𝑟𝐴→ 𝑠 në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅). Atëhere, 𝐻𝑦 ∘ Φ(F) ∼ Ψ(F) ∘ 𝐻𝑥 për çdo derivim

𝑥𝐹→ 𝑦 në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅).

4.4. FDT.

Do të themi se një paraqitje e fundme 𝑋; 𝑅 është e tipit me derivim të fundmë në qoftë se

2-kongruenca e plotë në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) gjenerohet në mënyrë të fundme ku bashkësia e

operatorëve Ω edhe këtu është e fundme.

Shënojmë, gjithashtu, se vërtetimet e teoremave të mëposhtme janë të njejta me ato të

teoremave korresponduese në [19]. Kjo vjen si rezultat i faktit që, siç e vërtetuam, 2-

kongruencat janë Ω-kongruenca, në veçanti 2-kongruenca e plotë dhe 2-kongruenca më e

vogël, ashtu siç janë përkufizuar ato. Këto, sëbashku me ndërtimet tona të Ω-kategorisë së lirë

monoidale strikte 𝛀 − 𝑴𝒐𝒏(𝑋, 𝑅) dhe Ω-grupoidit të lirë monoidal strikt 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) të

gjeneruara nga një paraqitje (𝑋; 𝑅), të cilat janë të ngjashme me ato të kategorisë së lirë

monoidale strikte dhe grupoidit të lirë monoidal strikt, të dhëna në [19], bëjnë që vërtetimet

75

në fjalë të mos ndryshojnë. Kjo është edhe arësyeja që, më poshtë, nuk japim vërtetimin e

plotë të teoremës, por vetëm një vërtetim skematik të saj.

Teoremë 4.4.1. Le të jenë (𝑋; 𝑅) dhe (𝑋′ ; 𝑅′) dy paraqitje të fundme të Ω-monoidëve

izomorfe 𝑀 dhe 𝑀′ . Atëhere, (𝑋; 𝑅) është e tipit me derivim të fundmë në qoftë se (𝑋′ ; 𝑅′)

është e tillë.

Skica e vërtetimit: Supozojmë se 2-kongruenca e plotë në 𝛀 − 𝑮(𝑋′ , 𝑅′) është gjeneruar nga

një bashkësi e fundme 𝑃 çiftesh të derivimeve paralele. Nga hipoteza, kemi dy morfizma

𝜑: 𝑀 → 𝑀′ dhe 𝜑′ : 𝑀′ → 𝑀 të tilla që 𝜑′ ∘ 𝜑 është morfizmi identik në 𝑀 dhe 𝜑 ∘ 𝜑′ është

morfizmi identik në 𝑀′ . I pari induktohet nga një 2-morfizëm Φ: 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) → 𝛀 −

𝑮(𝑋′ , 𝑅′) dhe i dyti nga një 2-morfizëm Φ′ : 𝛀 − 𝑮(𝑋′ , 𝑅′) → 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅). Në veçanti,

morfizmi identik në 𝑀 induktohet nga 2-morfizmi identik në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) dhe gjithashtu prej

Φ′ ∘ Φ. Ndërtimi i mësipërm na jep një derivim 𝑥𝐻𝑥 Φ′(Φ x ) për çdo 𝑥 ∈ 𝑀𝑋∗Ω.

Le të jetë ~ 2-kongruenca më e vogël në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) e tillë që Φ′(F)~Φ′(G) për çdo

(𝐹, 𝐺) ∈ 𝑃 dhe 𝐻𝑠 ∘ 𝐴~Φ′(Φ A ) ∘ 𝐻𝑟 për çdo derivim atomik pozitiv 𝑟𝐴→ 𝑠 në 𝛀 −

𝑮(𝑋, 𝑅). Shihet lehtë se kjo 2-kongruencë gjenerohet në mënyrë të fundme.

Le të jetë 𝑥𝐹,𝐺 𝑦 ndonjë çift derivimesh paralele në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅). Nga fakti që ≡𝑃 është 2-

kongruenca e plotë në 𝛀 − 𝑮(𝑋′ , 𝑅′)dhe nga lemat 4.1.1. dhe 4.3.1.rrjedh menjëherë se ~

është 2-kongruenca e plotë në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅).

Në qoftë se një paraqitje e fundme e një Ω-monoidi 𝑀 është me FDT, do të themi se Ω-

monoidi 𝑀 ka FDT. Më lart provuam se kjo veti nuk varet nga kjo paraqitje, me kusht që ajo

të jetë e fundme. Në të vërtetë, kemi përdorur vetëm faktin që 𝑅 është e fundme dhe jo 𝑋.

Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje e një Ω-monoidi 𝑀 dhe ~ një 2-kongruencë në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅).

Do të themi se 𝑅 është ~-i fundmë në qoftë se ekziston një nënbashkësi e fundme 𝑅0 e 𝑅 e

tillë që, për çdo derivim 𝑥𝐹→ 𝑦 në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅), ekziston një derivim 𝑥

𝐹

→ 𝑦 në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅0)

i tillë që 𝐹~𝐹 . Në rastin kur 𝐹 është atomik ky rezultat është i qartë.

Lemë 4.4.2. Në qoftë se 𝑀 ka FDT dhe 𝑅 është ~-i fundmë, atëhere ekziston një bashkësi e

fundme 𝑃0 çiftesh të derivimeve paralele në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) e tillë që kongruenca e plotë në

𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) gjenerohet prej ~ dhe 𝑃0.

76

Vërtetim: Eshtë e qartë se (𝑋; 𝑅0) është një paraqitje e 𝑀, dhe me që 𝑅0 është e fundme,

ekziston një bashkësi e fundme 𝑃0 çiftesh të derivimeve paralele në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅0) e cila

gjeneron kongruencën e plotë në 𝛀 − 𝑮 𝑋, 𝑅0 . Eshtë e qartë se kongruenca e plotë në

𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) gjenerohet nga ~ dhe 𝑃0.

4.5. Derivime në një paraqitje të plotë.

Le të jetë (𝑋; 𝑅) një paraqitje noetherian-e e Ω-monoidit 𝑀 dhe ~ një 2-kongruencë në

𝛀 − 𝑴𝒐𝒏(𝑋, 𝑅).

Një pik , siç dimë, është një çift jo i renditur derivimesh elementare 𝑥𝐸→ 𝑦 dhe 𝑥

𝐸′

→ 𝑦′ që

fillojnë me të njejtën fjalë 𝑥. Një pik quhet i bashkrrjedhshëm në qoftë se ekziston një fjalë 𝑧

dhe dy derivime 𝑦𝐹→ 𝑧 dhe 𝑦′

𝐹′

→ 𝑧 dhe do të quhet ~-i bashkrrjedhshëm në qoftë se është i

bashkrrjedhshëm dhe 𝐹, 𝐹′ mund të zgjidhen në mënyrë të tillë që 𝐹 ∘ 𝐸~𝐹′ ∘ 𝐸′ .

Lemë 4.5.1. Në qoftë se të gjitha piket kritike janë ~-të bashkrrjedhshme, atëhere të gjtha

piket janë ~-të bashkrrjedhshme.

Lemë 4.5.2. Në qoftë se 𝑥𝐹→ 𝑦 dhe 𝑥

𝐹′

→ 𝑦′ janë dy derivime çfarëdo të tilla që 𝑦 dhe 𝑦′ janë të

reduktuara, atëhere 𝑦 = 𝑦′ dhe 𝐹~𝐹′ .

Me fjalë të tjera, forma normale e një fjale është e vetme dhe derivimi që çon tek kjo formë

normale është i vetëm mod ~.

Vërtetim: Me induksion noetherian në lidhje me 𝑥. Në qoftë se 𝑥 është e reduktuar atëhere

𝑦 = 𝑥 = 𝑦′ dhe 𝐹 = 𝑖𝑑𝑥 = 𝐹′ . Për ndryshe, 𝐹 = 𝐺 ∘ 𝐸 dhe 𝐹′ = 𝐺 ′ ∘ 𝐸′ ku 𝑥𝐸→ 𝑦0 dhe

𝑥′𝐸′

→ 𝑦0′ janë derivime elementare. Nga lema 4.5.1., përftojmë 𝑧0 dhe dy derivime 𝑦0

𝐻→ 𝑧0

dhe 𝑦0′

𝐻 ′

𝑧0 të tilla që 𝐻 ∘ 𝐸~𝐻′ ∘ 𝐸′ . Për më tepër, ekziston një derivim 𝑧0

𝐾→ 𝑧 ku 𝑧 është e

reduktuar. Duke zbatuar hipotezën e induksionit për 𝑦0 dhe 𝑦0′ përftojmë 𝑦 = 𝑧 = 𝑦′ dhe

𝐹 = 𝐺 ∘ 𝐸~𝐾 ∘ 𝐻 ∘ 𝐸~𝐾 ∘ 𝐻′ ∘ 𝐸′ ~𝐺 ′ ∘ 𝐸′ = 𝐹′ .

Një paraqitje noetheriane quhet e plotë (kanonike) në qoftë se të gjitha piket kritike janë të

bashkrrjedhshme. Kjo sjell që të gjitha piket janë të bashkrrjedhshme dhe unicitetin e

formave normale. Në veçanti, në qoftë se kjo paraqitje është e fundme problemi i fjalës është

i vendosur.

77

Teoremë 4.5.3. Në qoftë se 𝑀 ka një paraqitje kanonike të fundme, atëhere 𝑀 ka FDT.

Vërtetim: Le të jetë ~ 2-kongruenca në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅) e gjeneruar nga bashkrrjedhshmëria e

pikeve kritike. Me që kemi një numër të fundmë pikesh kritike, ~ gjenerohet në mënyrë të

fundme. Më tej, ngushtimi i ~ në 𝛀 − 𝑴𝒐𝒏(𝑋, 𝑅) është gjithashtu një 2-kongruencë, dhe

kështu që mund të zbatojmë lemën e mëparshme. Për çdo fjalë 𝑥, zgjedhim një derivim 𝑥𝐾𝑥 𝑥

në 𝛀 − 𝑴𝒐𝒏(𝑋, 𝑅)ku 𝑥 është forma e vetme normale e 𝑥. Nga lema 4.5.2., kemi 𝐾𝑦 ∘ 𝐹 ∼ 𝐾𝑥

për çdo derivim 𝑥𝐹→ 𝑦 në 𝛀 − 𝑴𝒐𝒏(𝑋, 𝑅). Me induksion, kjo veti shtrihet në të gjitha

derivimet në 𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅), dhe në qoftë se 𝑥𝐹,𝐺 𝑦 është një çift derivimesh paralele në

𝛀 − 𝑮(𝑋, 𝑅), kemi 𝐹 ∼ 𝐾𝑦−1 ∘ 𝐾𝑥 ∼ 𝐺. Kjo do të thotë se ∼ është 2-kongruenca e plotë në

𝛀 − 𝑮 𝑋, 𝑅 . Kjo përfundon vërtetimin.

78

SHTOJCA

DY SHEMBUJ ZBATIMI TË KATEGORIVE NË SHKENCËN

KOMPJUTERIKE.

5.1. Gjuhët e programimit funksional dhe kategoritë.

Deri tani kemi trajtuar probleme që hedhin dritë, midis të tjerash, në lidhjen e ngushtë që

ekziston ndërmjet teorisë së kategorive dhe shkencës kompjuterike teorike.

Japim, më poshtë, dy shembuj të thjeshtë që ilustrojnë faktin se kjo lidhje e ngushtë ekziston

midis teorisë së kategorive dhe shkencës kompjuterike, në përgjithësi.

Shembulli i mëposhtëm është marrë nga [13].

Kategoritë në vetvete janë modele të një teorie esencialisht algjebrike dhe pothuajse gjithë

konceptet e rrjedhura prej tyre kanë natyrë të fundme dhe algoritmike.

Siç e dimë, një kategori është një graf 𝛤 me dy 𝑐: 𝐶2 → 𝐶1 dhe 𝑢: 𝐶0 → 𝐶1 me vetitë C-1 deri

në C-4 si më poshtë. Elementet e 𝐶0 quhen objekte dhe ato të 𝐶1 quhen shigjeta. Funksioni c

quhet kompozim. Në qoftë se 𝐴 është një objekt i 𝛤, 𝑢(𝐴) shënohet 𝑖𝑑𝐴 dhe quhet identitet i

objektit 𝐴.

C-1 Fillimi i 𝑔 ∘ 𝑓 është fillimi i 𝑓 dhe fundi i 𝑔 ∘ 𝑓 është fundi i 𝑔.

C-2 𝑕 ∘ 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑕 ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) kurdoherë që secila anë është e përcaktuar.

C-3 Fillimi dhe fundi i 𝑖𝑑𝐴 janë të dyja 𝐴.

C-4 Në qoftë se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 atëhere 𝑓 ∘ 𝑖𝑑𝐴 = 𝑖𝑑𝐵 ∘ 𝑓 = 𝑓.

Le të shpjegojmë, më tej, se çfarë është një gjuhë e programimit funksional. Një gjuhë e

programimit funksional mund të përshkruhet “trashë” si një gjë që i jep përdoruesit disa tipe

primitive dhe operacione dhe disa konstruktorë nga të cilat mund të prodhohen tipe dhe

operacione më të komplikuara.

Një gjuhë programimi funksional ka:

79

FPL-1 Tipe primitive të dhënash të cilat jepen në gjuhën,

FPL-2 Konstante të secilit tip,

FPL-3 Operacionet, të cilat janë funksione midis tipeve,

FPL-4 Konstruktorët, të cilët mund të zbatohen në tipet e të dhënave dhe operacionet për të

prodhuar tipe të derivuara të dhënash dhe operacione të gjuhës.

Gjuha konsiston në bashkësinë e të gjitha operacioneve dhe tipeve të derivueshme nga tipet

primitive të të dhënave. Këtu, fjala “primitive” d.m.th. është dhënë në përcaktimin e gjuhës.

Më tej, le të bëjmë supozimet e mëposhtme për gjuhën:

I. Duhet të supozojmë se ekziston një operacion do-nothing 𝑖𝑑𝐴 për secilin tip 𝐴

(primitiv dhe të ndërtuar). Ai nuk bën asgjë kur aplikohet në të dhënat.

II. I shtojmë gjuhës një tip shtesë të quajtur 1, I cili ka vetinë që nga secili tip 𝐴ekziston

një operacion i vetëm në 1. E interpretojmë secilën konstante 𝑐 të tipit 𝐴si një shigjetë

𝑐: 1 → 𝐴. Kjo bashkon konstantet në bashkësinë e operacioneve; ato nuk shfaqen më

si të dhëna të ndara.

III. Supozojmë se gjuha ka një konstruktor kompozim: merr një operacion 𝑓i cili merr

diçka të tipit 𝐴si input dhe prodhon diçka të tipit 𝐵, dhe një tjetër operacion 𝑔i cili ka

input të tipit 𝐵dhe output të tipit 𝐶; atëhere duke i aplikuar njeri pas tjetrit marrim një

operacion të derivuar (ose program) i cili shënohet 𝑓; 𝑔dhe ka input të tipit 𝐴dhe

output të tipit 𝐶.

Nën këto kushte, një gjuhë e programimit funksional 𝐿 ka një strukturë kategorike 𝐶(𝐿) për

të cilën:

FPC-1 Tipet e 𝐿 janë objektet e 𝐶(𝐿).

FPC-2 Operacionet (primitive dhe të derivuara) të 𝐿 janë shigjetat e 𝐶(𝐿).

FPC-3 Fillimi dhe fundi i një shigjete janë tipet input dhe output të operacionit

korrespondues..

FPC-4 Kompozimi jepet prej konstruktorit kompozim, shkruar në renditjen e kundërt.

FPC-5 Shigjetat identitet janë operacionet do-nothing. ([13]).

Vërejtje: 𝐶(𝐿) është një model gjuhe dhe jo vetë gjuha. Për shembull, në kategorinë 𝑓; 𝑖𝑑𝐵 =

𝑓 por në gjuhën 𝑓 dhe 𝑓; 𝑖𝑑𝐵 janë programe të ndryshme burim.

80

5.2.Cfarë janë bazat e të dhënave?

Shembulli dhe rezultatet në vijim jepen në [11].

Të dhënat, në veçanti bashkësia e vëzhgimeve të kryera gjatë një eksperimenti, luajnë një rol

të dorës së parë në çdo lloj shkence. Që të bëhen të përdorshme të dhënat duhet të

organizohen shpesh në formë rrjeshtash dhe shtyllash të quajtur tabelë. Shtyllat që bëjnë pjesë

në tabela të ndryshme mund t‟ju referohen të njejtave të dhëna.

Një bazë të dhënash është një koleksion tabelash, çdo tabelë T e së cilës përbëhet nga një

bashkësi shtyllash dhe një bashkësi rrjeshtash.Me fjalë të trasha, ne shpjegojmë rolin e

tabelave, shtyllave dhe rrjeshtave si më poshtë.

Ekzistenca e tabelës T sugjeron ekzistencën e një metodologjie të fiksuar për vëzhgimin e

objekteve ose ngjarjeve të ndonjë farë tipi. Secila shtyllëc nëT përshkruannjë lloj të vetëm ose

metodë vëzhgimi, në mënyrë të tillë që e dhëna e çdo qelize në shtyllën c i referohet një

vëzhgimi të atij lloji.Secili rrjeshtr nëT ka një ngjarje apo objekt burim të fiksuar, i cili mund

të vëzhgohet duke përdorur metodat e përshkruara nga shtyllat.Qeliza(r, c)i referohet

vëzhgimit të llojit ckryer në ngjarjenr. Të gjitha rrjeshtat nëT duhet t‟i referohen objekteve

ose ngjarjeve të identifikueshme në mënyrë të vetme të një tipi, dhe emri i tabelës T duhet t‟i

referohet atij tipi.

5.3.Çelësa primarë, çelësa të jashtëm dhe shtylla të dhënash

Çdo tabelë ka një shtyllë primare ID , që gjendet në të majtë, dhe po kështu disa shtylla të

dhënash dhe disa shtylla çelësi të jashtëm. Shtylla e çelësit primar ka për detyrë identifikimin

në mënyrë të vetme të shtyllave të ndryshme. Secila shtyllë të dhënash strehon të dhëna

elementare të ndonjë lloji.Ndoshta më interesantet nga pikpamja strukturore janë shtyllat e

çelësit të jashtëm sepse ato lidhin një tabelë me një tjetër, duke krijuar një model lidhjeje

midis tabelave. Secila shtyllë çelësi të jashtëm strehon të dhëna të cilat, më tej, duhet të

shpaketohen. Ai na referon një tjetër tabelë të jashtme, në veçanti shtyllën primare ID të asaj

tabele.

Shembull 5.3.1. Konsiderojmë llogarimbajtjen e nevojshme për punën e një departamenti

shitjeje.Ne shqyrtojmë një bashkësi punonjësish dhe një bashkësi departamentesh. Për secilin

punonjës e, shqyrtojmë

E.1 emri_f i e, i cili është një FirstNameString,

E.2 mbiemriie e, i cili është një LastNameString,

E.3 menazheriie, i cili është një Employee, dhe

E.4 departamentin në të ciline punon , i cili është një Department.

81

Për secilin departamentd, shqyrtojmë

D.1 emriid, i cili është një DepartmentNameString, dhe

D.2 sekretarja e d, i cili është një Employee.

Më lart, mund të supozojmë se E.1, E.2, dhe D.1 janë shtylla të dhënash (që u referohen

emrave të llojeve të ndryshme) dhe E.3, E.4, dhe D.2 janë shtylla të jashtëma (që u referohen

menazherëve, sekretareve, etj.).

Paraqitja (5.3.1)tregon pamjen e bazës së të dhënave në një moment të cakuar kohe.

Punonjësi

Departamenti

Fig. 5.3.1

5.4.Rregulla biznesi

Duke pare tabelat nga Shembulli 5.3.1 (më lart) mund të vërejmë se: Së pari, çdo punonjës

punon në të njejtin department me menazherin e tij ose të saj. Së dyti, secila sekretare

departamenti punon, gjithashtu, në departamentin në fjalë. Ndoshta biznesi mbështetet në

këto rregulla për sa i përket mënyrës së tij të vetëstrukturimit. Në atë rast baza e të dhënave

do të impononte ato rregulla, d.m.th. ajo duhet të kontrollojë se për sa kohë që të dhënat janë

bërë update (janë apdatuar), ato janë konform me rregullat:

Rregulli 1 Për çdo punonjëse, menazheri i e punon nëtë njejtin department në të cilin e

punon.

Rregulli 2 Për çdo department d, sekretarja e d punon nëdepartamentin d.

Të gjitha së bashku, pohimet E.1, E.2, E.3, E.4, D.1, dhe D.2 nga Shembulli 5.3.1dhe

Rregulli 1 e Rregulli 2, përbëjnë atë ç‟ka quhet skema e bazës së të dhënave.

ID emri_f mbiemri menazheri punon

101 David Hilbert 103 q10

102 Bertrand Russell 102 x02

103 Emmy Noether 103 q10

ID emri sekretarja

q10 Shitje 101

x02 Prodhim 102

82

5.5.Shtyllat e të dhënave si çelësa të jashtëm

Për të bërë gjithshka konsistente, duhet të themi madje se shtyllat e të dhënave janë lloje

specifike të çelësave të jashtëm. Kjo do të thotë, se çdo shtyllë të dhënash përbën një çelës të

jashtëm për ndonjë pemë gjethe të padegëzuar, e cila nuk ka të dhëna shtesë.

5.6.Skema

Për të përkufizuar skemat, duhet të përcaktojmë, së pari, nocionin e relacionit skematik të

ekuivalencës, i cili duhet të ketë vend në bashkësinë e rrugëve të një grafi 𝐺.Një relacion i

tillë ekuivalence (përveç të qenit refleksiv, simetrik dhe tranzitiv) ka dy lloje vetish shtesë:

rrugët ekuivalente duhet të kenë të njajtin fillim dhe fund, dhe kompozimi i rrugëve

ekuivalente me rrugë të tjera ekuivalente duhet të japi rrugë ekuivalente.

Formalisht kemi këtë:

Përkufizim 5.6.1.([11])

Le të jetë 𝐺 = ( 𝑉, 𝐴, 𝑠𝑟𝑐, 𝑡𝑔𝑡)një graf, dhe me 𝑃𝑎𝑡𝑕𝐺 shëojmë bashkësinë e rrugëve të 𝐺.

Një deklarim rruge ekuivalence(osePED) është një shprehje e formës 𝑝 ≃ 𝑞 ku 𝑝, 𝑞 ∈

𝑃𝑎𝑡𝑕𝐺 kanë të njejtin fillimdhe fund, 𝑠𝑟𝑐(𝑝) = 𝑠𝑟𝑐(𝑞)dhe 𝑡𝑔𝑡(𝑝) = 𝑡𝑔𝑡(𝑞).

Një kongruencë në 𝐺është një relacion ≃ në𝑃𝑎𝑡𝑕𝐺 që ka vetitë e mëposhtme:

1. Relacioni ≃është një relacion ekuivalence.

2. Në qoftë se 𝑝 ≃ 𝑞atëhere 𝑠𝑟𝑐(𝑝) = 𝑠𝑟𝑐(𝑞).

3. Në qoftë se 𝑝 ≃ 𝑞 atëhere 𝑡𝑔𝑡(𝑝) = 𝑡𝑔𝑡(𝑞).

4. Supozojmë se 𝑝, 𝑞 ∶ 𝑏 ⟶ 𝑐 janë rrugë , dhe 𝑚: 𝑎 ⟶ 𝑏është një shigjetë. Në qoftë se

𝑝 ≃ 𝑞 atëhere 𝑚𝑝 ≃ 𝑚𝑞.

5. Supozojmë se 𝑝, 𝑞 ∶ 𝑎 ⟶ 𝑏 janë rrugë, dhe 𝑛: 𝑏 ⟶ 𝑐 është një shigjetë. Në qoftë se

𝑝 ≃ 𝑞 atëhere 𝑝𝑛 ≃ 𝑞𝑛.

Çdo bashkësi e deklarimeve të ekuivalencës së rrugëve (PEDs) gjeneron një kongruencë.

Synojmë të hedhim dritë mbi ndryshimin midis një kongruence dhe bashkësisë së PED-ve që

e gjenerojnë atë.

Përkufizim 5.6.2. ([11])Një skemë bazash të dhënash (ose thjesht skemë) 𝑪 konsiston në një

çift 𝑪:=(𝐺, ≃)ku 𝐺është një graf dhe ≃ është një kongruencë në 𝐺.

Shënojmë këtu, se në këtë përkufizim nuk bëhet fjalë për skemat (schemes) sipas

Grothendieck.

83

5.7. Instancat

Për një skemë baze të dhënash(𝐺, ≃) të dhënë, një instancë e saj është, pikërisht, një tufë

tabelash të dhënat e të cilave janë konform me një layout specifik.

Më poshtë jepet përkufizimi matematik.

Përkufizim 5.7.1.([11])Le të jetë 𝑪 = (𝐺, ≃) ku𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝑠𝑟𝑐, 𝑡𝑔𝑡). Njëinstancënë𝑪, që

shënohet(PK,FK) : 𝑪 ⟶ 𝑺𝒆𝒕, përcaktohet si më poshtë: Deklarohen disa përbërës (A.

primary ID part, B. foreign key part) dhe pranohet se ato janë konform me një rregull

(1.ruajtja e kongruencës). Në mënyrë specifike, bëhen këto deklarime:

A. një funksion PK: 𝑉 ⟶ 𝑺𝒆𝒕; d.m.th.për çdo kulm 𝑣 ∈ 𝑉përftohet një bashkësi PK(𝑣);

dhe

B. për çdo shigjetë𝑎 ∈ 𝐴me 𝑣 = 𝑠𝑟𝑐(𝑎)dhe𝑤 = 𝑡𝑔𝑡(𝑎), një funksion FK(𝑎) : PK(𝑣) ⟶

PK(𝑤).

Pranohet se ka vend ligji i mëposhtëm për çdo kulm 𝑣, 𝑤dhe rrugëve 𝑝 = 𝑣𝑎1𝑎2 . . . 𝑎𝑚

Dhe 𝑞 = 𝑣𝑎1′ 𝑎2

′ . . . 𝑎𝑛′ 𝑛 nga 𝑣 në 𝑤 :

1. Në qoftë se 𝑝 ≃ 𝑞atëhere për të gjitha 𝑥 ∈ PK(𝑣), kemi

FK(𝑎𝑚 )∘…∘ FK(𝑎2)∘ FK(𝑎1)( x)= FK(𝑎𝑛′ ) ∘… ∘ FK(𝑎2

′ ) ∘ FK(𝑎1′ )(𝑥)

në PK(w).

Le të jetë 𝑪:=(𝐺, ≃) një skemë dhe le të jetë(PK,FK) : 𝑪 ⟶ 𝑺𝒆𝒕një instancë në𝑪. Atëhere

për çdo shigjetë𝑎: 𝑣 ⟶ 𝑤 në 𝐺 përftojmë një funksion FK(𝑎) : PK(𝑣) ⟶ PK(𝑤).

Funksionet mund të kompozohen, kështu që në fakt për çdo rrugë në𝐺ne përftojmë një

funksion.Kështu, në qoftë se p =𝑣0𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛është një rrugë nga 𝑣0 në 𝑣𝑛 atëhere

instanca na jep një funksion

FK(𝑝) := FK(𝑎𝑛 )∘…∘ FK(𝑎2) ∘ FK(𝑎1) : PK(𝑣0)⟶ PK(𝑣𝑛 ).

5.8.Skemat e bazave të të dhënave paraqesin kategori

Kujtojmë nga Përkufizimi5.6.2se skema e një baze të dhënash (shkurt skema) konsiston në

një graf së bashku me ndonjë relacion ekuivalence në rrugët e tij.

Ndryshimi midis skemave dhe kategorive ngjason me ndryshimin midis paraqitjeve të

monoidëve , të dhënë me përftues dhe relacione, dhe vetë monoidëve.

I njejti monoid ka shumë ( një pafundësi) paraqitjesh të ndryshme, gjë që ndodh edhe me

kategoritë: shumë skema të ndryshme mund të paraqesin të njejtën kategori. Shkencëtarët e

kompjuterave mund ta mendojnë skemën si sintaksë dhe kategorinë që ajo paraqet si

84

semantikën korresponduese. Një skemë është një formë kompakte, dhe mund të specifikohet

në kohë dhe hapësirë të fundme duke gjeneruar ndërkaq diçka të pafundme.

Pohim:Një skemë baze të dhënash paraqet një kategori.

Supozojmë se jepet skema 𝑆, e cila konsiston në një graf 𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝑠𝑟𝑐, 𝑡𝑔𝑡)të pajisur me

një kongruencë∼. Ajo paraqet një kategori 𝑪 të përcaktuar si më poshtë. Bashkësia e

objekteve në𝑪përcaktohet të jetë ajo e kulmeve𝑉; bashkësia e morfizmave në𝑪përcaktohet të

jetë herësi Paths(𝐺)/ ∼;dhe ligji i kompozimit është konkatenacioni i rrugëve. Ekuivalencat

e rrugëve që formojnë∼ bëhen diagrama komutative.

5.9.Kategoritë dhe skemat janë ekuivalente, 𝑪𝒂𝒕 ≃ 𝑺𝒄𝒉

Kujtojmë nga Përkufizimi5.6.2.se një skemëkonsiston në një çift 𝑪 :=(𝐺, ≃),ku 𝐺 =

(𝑉, 𝐴, 𝑠𝑟𝑐, 𝑡𝑔𝑡)është një graf dhe ≃është një kongruencë, që do të thotë një lloj relacioni

ekuivalence në rrugeet në𝐺.Në qoftë se e mendojmë skemën si analoge me një kategori, cilët

do të luanin rolin e funktorëve?Pra, cilat duhet të jenë morfizmat në𝑺𝒄𝒉?

Fatkeqësisht, një vështrim i pathelluar mund të çojë në një nocion të gabuar në qoftë se

dëshirojmë të kemi një ekuivalencë 𝑺𝒄𝒉 ≃ 𝑪𝒂𝒕. Me që objektet në𝑺𝒄𝒉janë grafe me

strukturë shtesë, dikush mund të imagjinonte se një morfizëm 𝑪 ⟶ 𝑪’ në 𝑺𝒄𝒉do të ishtenjë

homomorfizëm grafesh që ruan strukturën në fjalë. Por homomomorfizmat e grafeve

kërkojnë që shigjetat të dërgohen në shigjeta, ndërkohë kur ne interesohemi më shumë për

rrugët se sa për shigjetat individuale-shigjetat janë të përdorshme për paraqitjen. Por, në qoftë

se përcaktojmë morfizmat midis skemave si pasqyrime që çojnë rrugët në𝑪në rrugë në𝑪’, me

kushtin që të ruhen pikat e fundit të rrugëve, konkatenacionet e rrugëve, dhe ekuivalencat e

rrugëve , atëhere do të kemi të bëjmë me nocionin e drejtë.Dhe me që një rrugë është një

konkatenacion i shigjetave të tij, do të mjaftonte të jepej një funksion 𝐹nga shigjetat e 𝑪në

rrugët e 𝑪’, i cili automatikisht plotëson dy kërkesat më lart: ne duhet të kemi kujdes vetëm

që 𝐹të ruajë ekuivalencat e rrugëve.

Le të konsiderojmë funktorin rrugë-graf Paths: 𝑮𝒓𝒑𝒉 ⟶ 𝑮𝒓𝒑𝒉, funktorin e rrugëve të

rrugëve Paths ∘ Paths: 𝑮𝒓𝒑𝒉 ⟶ 𝑮𝒓𝒑𝒉, dhe transformimet natyrale për çdo graf 𝐺,𝜂𝐺 :

𝐺 ⟶ Paths(𝐺)dhe𝜇𝐺: Paths(Paths(𝐺))⟶ Paths(𝐺).(*)

Funksioni 𝜂𝐺 thekson faktin që çdo shigjetë në 𝐺 numërohet si të ish një rrugë në 𝐺, dhe

funksioni 𝜇𝐺 thekson faktin që një varg kokë-në-bisht rrugësh (një rrugë rrugësh) në

𝐺 mund të konkatenohet në një rrugë të vetme në 𝐺.

85

Jemi pothuajse gati për të përkufizuar morfizmin e skemës, por përpara se ta bëjmë këtë, le të

kthehemi tek ideja jonë fillestare. Për grafet e dhëna 𝐺,𝐺‟ (me skema korresponduese,

përkatësisht𝑪, 𝑪’) ne fillimisht dëshironim një funksion prej rrugëve në 𝐺 në rrugët në𝐺‟

,

por, siç e kuptuam dhe komentuam, do të ish më konçize të flisnim për një funksion nga

shigjetat e 𝐺tek rrugët në𝐺‟. Le të jetë dhënë një homomorfizëm grafesh f : 𝐺 ⟶ Paths(𝐺‟

).

Formojmë kompozimin e mëposhtëm, të cilin e shënojmë thjesht si Pathsf: Paths(𝐺)⟶

Paths(𝐺‟):

Paths(𝑓):Paths(𝐺)⟶Paths(Paths(𝐺‟)) and 𝜇𝐺′ :Paths(Paths(𝐺‟

)) ⟶Paths(𝐺‟) (**)

Kjo do të thotë se, në qoftë se jepet një funksion nga shigjetat në 𝐺në rrugët në 𝐺‟, një rrugë

në 𝐺 bëhet një rrugë rrugësh në 𝐺‟, e cila mund të konkatenohet në një rrugë në 𝐺‟

. Sa thamë

shpjegojnë thjesht dhe saktë intuitën tonë.

Përkufizim 5.9.1.(Morfizëm skeme).Le të jenë𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝑠𝑟𝑐, 𝑡𝑔𝑡)dhe𝐺‟=(𝑉 „,𝐴‟

, 𝑠𝑟𝑐‟, 𝑡𝑔𝑡‟

)

grafe, 𝑪=(𝐺,≃𝐺)e𝑪’=(𝐺‟

,≃𝐺′ )le të jenë skema. Njëmorfizëm skemash 𝐹nga𝑪në𝑫, që

shënohet 𝐹 ∶ 𝑪 ⟶ 𝑫është një homomorfizëm grafesh 𝐹: 𝐺 ⟶ Paths(𝐺‟) që kënaq kushtin e

mëposhtëm: për çdo rrugë 𝑝 dhe 𝑞 në 𝐺:në qoftë se 𝑝 ≃𝐺 𝑞atëhere

PathsF(𝑝)≃𝐺′ PathsF(𝑞). (***)

Dy morfizma skemash 𝐸, 𝐹: 𝑪 ⟶ 𝑪’konsiderohen identike në qoftë se ato përputhen në

kulmet (d.m.th. 𝐸0= 𝐹0) dhe në qoftë se, për çdo shigjetë𝑓 në 𝐺, ekziston një ekuivalencë

rrugësh në𝐺‟ 𝐸1(𝑓) ≃𝐺′ 𝐹1(𝑓).

Përcaktojmë, më tej, kategorinë e skemave, që e shënojmë𝑺𝒄𝒉, si kategorinë objektet e së

cilës janë skemat si në Përkufizimin5.2.8.dhe morfizmat e së cilës janë morfizmat e skemave

të përkufizuara si më lart.Morfizmi identik në skemën 𝑪=(𝐺,≃𝐺) është morfizmi i skemave

𝑖𝑑C :=𝜂𝐺 : 𝐺 ⟶ Paths(𝐺), i përcaktuar si në ekuacionin (*). Na mbetet, kështu, të kuptojmë si

duhen kompozuar morfizmat e skemave 𝐹: 𝑪 ⟶ 𝑪’ and 𝐹‟

: 𝑪’⟶ 𝑪”. Në objektet,

kompozimi i tyre është i qartë. Një shigjetë të dhënë në 𝑪, pasqyrohet tek një rruge në 𝑪’;

çdo shigjetë e asaj rruge pasqyrohet tek një rrugë në 𝑪”. Kemi, kështu, një rrugë rrugësh që

mund t‟i konkatenojmë (me anë të𝜇𝐺" : Paths(Paths(𝐺”))⟶ Paths(𝐺”

)si në (*) për të përftuar

një rrugë në 𝑪”, siç dëshironim.

Pohim:Një morfizëm skemash, pasqyron kulmet në kulme, shigjetat në rrugë, dhe

ekuivalencat e rrugëve në ekuivalenca rrugësh.

86

5.10.Vërtetimi i ekuivalencës

(Për këtë vërtetim shih [11]).

Ndërtim5.10.1. ( Nga skema në kategori). Do të përcaktojmë një funktorr 𝐿: 𝑺𝒄𝒉 ⟶ 𝑪𝒂𝒕. Le

të jetë 𝑪=(𝐺, ≃) një skemë kategorike, ku 𝐺 = (𝑉, 𝐴, 𝑠𝑟𝑐, 𝑡𝑔𝑡). Përcaktojmë 𝐿(𝑪)si

kategorinë me objekte Ob(𝐿(𝑪)) = 𝑉, dhe morfizma HomL(C) (𝑣1, 𝑣2) :=PathG(𝑣,𝑤)/ ≃

d.m.th.bashkësinë e rrugëve në in 𝐺, modulorelacionin e ekuivalencës së rrugëve për𝑪.

Kompozimi i morfizmave përcaktohet nga konkatenacioni i rrugëve dhe një kompozim i tillë

është i mirë-përcaktuar. Kemi përcaktuar, në këtë mënyrë, 𝐿në objektet e 𝑺𝒄𝒉.

Për një morfizëm të dhënë skemash𝐹 ∶ 𝑪 ⟶ 𝑪’, ku𝑪’

=(𝐺‟, ≃‟

), na duhet të përcaktojmë një

funktor 𝐿(𝐹) ∶ 𝐿(𝑪) ⟶ 𝐿(𝑪’). Objektet e 𝐿(𝑪) dhe𝐿(𝑪’)janë kulme të𝐺dhe 𝐺‟,

respektivisht, dhe 𝐹na jep funksionin e duhur në objektet. Funksioni PathsF:

Paths(𝐺)⟶Paths(𝐺‟) do të na japi, atëhere, funksionin e kërkuar për morfizmat.

Një morfizëm në𝐿(𝑪)është një klasë ekuivalence rrugësh në𝑪. Për çdo rrugë përfaqësues p ∈

Paths(𝐺), kemi PathsF(𝑝)∈ Paths(𝐺‟), dhe në qoftë se 𝑝 ≃ 𝑞 atëhere PathsF(𝑝) ≃‟

PathsF (𝑞) .

Kështu që, PathsFna jep, me të vërtetë, një funksion Hom𝐿(𝑪) ⟶ Hom𝐿(𝑪’).

Kjo përcakton 𝐿në morfizmat në𝑺𝒄𝒉. Eshtë e qartë se 𝐿ruan kompozimin dhe identitetet , pra

është një funktor.

Ndërtim5.10.2. ( Nga kategoria në skemë).Do të përcaktojmë një funktor𝑅: 𝑪𝒂𝒕 ⟶ 𝑺𝒄𝒉. Le

të jetë 𝑪= (Ob(𝑪),HomC, dom, cod, ids, ∘)një kategori. Le të jetë 𝑅(𝐶) = (𝐺, ≃) ku 𝐺është

grafi

𝐺=(Ob(C),HomC, dom, cod),dhe me ≃të përcaktuar si kongruenca e gjeneruar nga deklarimet

e më poshtme të ekuivalencës së rrugëve:

Për çdo varg të kompozueshëm morfizmash𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓n( medom(𝑓i+1)= cod(𝑓i)për çdo

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1)pozojmë [𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓n]≃[𝑓n∘…∘ 𝑓2∘ 𝑓1].Përcaktohet, në këtë mënyrë,

𝑅në objektet e 𝑪𝒂𝒕.

Një funktor 𝐹 ∶ 𝑪 ⟶ 𝑫 indukton një morfizëm skemash 𝑅(𝐹) ∶ 𝑅(𝑪) ⟶ 𝑅(𝑫), me që

kulmet pasqyrohen në kulme, shigjetat në shigjeta ( si rrugë me gjatësi 1), dhe ekuivalenca e

rrugëve ruhet me që 𝐹ruan formulën e kompozimit.

Kjo përcakton 𝑅në morfizmat në 𝑪𝒂𝒕. Eshtë e qartë se 𝑅 ruan kompozimet, prandaj ai është

funktor.

87

KONKLUZIONE

Në këtë punim, jemi përpjekur të paraqesim disa çështje që kanë të bëjnë me disa aplikime të

kategorive në shkencën kompjuterike teorike, në teorinë e rishkrimit në rastin tonë dhe jo

vetëm. Kemi trajtuar, së pari, problemin e Ω-gjysmëgrupeve të lira duke dhënë para së

gjithash, përkufizimin e Ω-gjysmëgrupeve. Më tej, duke shpjeguar lidhjen midis Ω-

gjysmëgrupeve dhe 𝛤-gjysmëgrupeve kemi trajtuar më thellësisht disa probleme që kanë të

bëjnë me 𝛤-gjysmëgrupet e lira duke përgjithësuar shumë rezultate nga teoria e

gjysmëgrupeve dhe duke përdorur një aparat të thjeshtë kategorik. Kemi përkufizuar, më tej,

Ω-monoidët dhe kemi përgjithësuar rezultatet e [15] në këtë rast. Konkludojmë se rezultatet e

rendësishme të arritura në [15] mund të shtrihen, pas përgjithësimeve që u kemi bërë

nocioneve dhe pohimeve bazë të teorisë, edhe në Ω-monoidët. Konkretisht, vërtetojmëfaktin

se çdo Ω-monoid që mund të paraqitet me anë të një paraqitjeje të fundme konvergjente ka

FDT.Kështu që, FDT është një konditë e nevojshme që një Ω-monoid me paraqitje të fundme

duhet të kënaqi në mënyrë që ai të mund të paraqitet me ndonjë sistem të fundmë konvergjent

të rishkrimit të stringjeve. Këto rezultate përftohen edhe duke përdorur një përqasje

kategorike të FDT për Ω-monoidët. Me dy shembuj të thjeshtë, gjithashtu, tregojmë lidhjen e

ngushtë që ekziston midis kategorive dhe shkencës kompjuterike, në përgjithësi.

Probleme të hapura

Siç kemi theksuar, rezultatet e mësipërme në lidhje me FDT për Ω-monoidët, u përftuan duke

supozuar se bashkësia Ω e operatorëve është e fundme.

Pozojmë problemin e gjetjes së kushteve që duhet të plotësojë një Ω-monoid me një numër të

pafundmë operatorësh në mënyrë që të jetë FDT sipas përkufizimit të dhënë në këtë punim.

88

REFERENCA

1. Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Second Edition,1998.

2. John M.Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, Oxford,2003.

3. P.A.Grillet, Abstract Algebra, 2007.

4. P.A.Grillet, Semigroups:An Introduction to the Structure Theory, 1995.

5. E.S. Ljapin, Semigroups, Volume 3, AMS, 1963.

6. P.M. Cohn, F.R.S., Universal Algebra, 1981.

7. P.M. Cohn, F.R.S., Algebra, Volume 3, 1991.

8. G.Gratzer, Universal Algebra, 2008, Springer.

9. Ronald V. Book, Friedrich Otto, String-rewriting systems, Springer-Verlag New York,

Inc.,1993.

10. F.Baader, T.Nipkow, Term Rewriting and All That, 1998.

11. David I.Spivak, Category Theory for Scientists, 2013.

12. S.Awodey, Category Theory,2005.

13. M.Barrs,Ch.Wells, Category Theory for Computing Science,1998.

14. Samson Abramsky,Looking Outwards:Category Theory and Computer Science Among

the Sciences.

15. C.C.Squier,F.Otto,Y.Kobayashi,A finiteness condition for rewriting systems,

Theoretical Computer Science,131, 271-294, 1994.

16. C.Squier, Word problems and a homological finiteness condition for monoids, Journal

of Pure and Applied Algebra 49, 201-217, 1987

17. C.Squier, F.Otto, The word problem for finitely presented monoids and finite canonical

rewriting systems, 1987.

18. Y.Lafont, Algebra and Geometry of Rewriting, 2006

19. Y.Lafont, A new finiteness condition for monoids presented by complete rewriting

systems (after Craig C.Squier), 1994.

20. E.Pasku, The universal semigroup of a 𝛤-semigroup, https://arxiv.org, 1-7, 2013.

21. E.Pasku, The adjoint semigroup of a 𝛤-semigroup, Novi Sad J. Math. Vol. 47, No. 2,

2017, 31-39.

22. E.Pasku, (2006), Finiteness Conditions for Monoids and Small Categories, PhD Thesis,

18-23.

89

23. Tero Harju,Lecture Notes on Semigroups, Department of Mathematics, University of

Turku, Finland, 2010.

24. Claire Cornock, Restriction Semigroups: Structure, Varieties and Presentations, PhD

Thesis, University of York, 2011.

25. M.K.Sen,N.K,Saha, On 𝛤-semigroups I, Bull.Cal.Math.Soc. 78: 1986.

26. A.Seth, 𝛤-Group congruences on regular 𝛤-Semigroups, Int.J.Math.&Math.Sci 15,

103-106,1992.

27. H.Hedayati,Isomorphisms via Congruences on 𝛤-semigroups and 𝛤-ideals, Thai

Journal of Mathematics vol.11:2013.

28. R.Chinram and K.Tinpun, Isomorphism Theorems for 𝛤-Semigroups and Ordered 𝛤-

Semigroups, Thai Journal of Mathematics,Volume 7,2009.

29. γ-semigroups,

shodhganga.inflibnet.ac.in/bitstream/10603/10440/9/09_chapter%201.pdf

30. N.Ruskuc, Presentations of Semigroups ,1995.

31. F.Otto, On deciding the Confluence of a Finite String-Rewriting System on a given

Congruence Class, Journal of Computer and System Sciences, 35, 285-310, 1987.

32. C. Squier and C. Wrathall, A note on representations of a certain monoid, Theoretical

Computer Science 17 (1982) 229-231.

33. D.Kapur, P.Narendran, A Finite Thue System with Decidable Word Problem and

Without Equivalent Finite Canonical System, Theoretical Computer Science, 35 (1985),

337-344.

34. R.V.Book, Thue Systems as Rewriting Systems, J. Symbolic Computation, (1987) 3, 39-

68.

35. F.Otto, Y.Kobayashi, Properties of monoids that are presented by finite convergent

string-rewriting systems-a survey, 1996.

36. M.H.A.Newman, On Theories with a Combinatorial Definition of Equivalence ,

Annals of Mathematics, Vol. 43, No. 2, 1942.

37. Alonzo Church and J. B. Rosser, Some Properties of Conversion, AMS, Vol. 39, No. 3,

(May, 1936), 472-482.

38. McGlashan, S. (2002), String rewriting systems and associated finiteness conditions,

PhD Thesis.

39. D.E.Cohen, String Rewriting and Homology of Monoids, Math.Struct. in

Comp.Science, Vol. 11, 1995.

90

40. https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

41. Johnstone, P.T, Stone Spaces, Cambridge: Cambridge University Press, 1982.

42. Caramello,O. A Characterization Theorem for Geometric Logic, Annals of Pure and

Applied Logic, 2011, 162, 4: 318-321.

43. M. Davis, Computability and Unsolvability, McGraw-Hill, 1958. Reprinted by Dover,

New York, 1982.

44. D. Knuth and P. Bendix, Simple word problems in universal algebras, in J. Leech (ed.),

Computational Problems in Abstract Algebra, Pergamon Press, New York, 1970, 263-

297.

45. A.Burroni, Higher Dimensional Word Problem, Theoretical Computer Science 115, 43-

62, 1993.

46. R.Aruldoss, A Study on Characterisations of𝛤-Semirings, PhD Thesis, 2008.

47. Jollanda Shara, On Free Γ-Semigroups,International Journal for Research in

Mathematics and Statistics, Vol.2, Issue 5, May 2017, ISSN: 2208-2662, Impact Factor:

2.680.

48. Jollanda Shara, FDT for Ω-monoids, EPH-International Journal of Mathematics and

Statistics, Vol 4 No 7 (2018), ISSN: 2208-2212, Impact Factor: 2.387.

49. Jollanda Shara, An Application Example of Categories in Computer Science, Periodiku

Matematika dhe Shkencat e Natyrës, 2015, ISSN: 2226-082X.

50. Jollanda Shara, Mathematics and AI, 6th

International Week Dedicated to Maths 2014,

Thessaloniki, March 2014, Greece, ISBN 978-960-89672-5-0.

91

FALËNDERIME

Do të dëshiroja, së pari, të shpreh mirënjohjen dhe falënderimet e mia të veçanta ndaj

udhëheqësit tim shkencor Prof.Asoc.Elton Pasku për ndihmën e tij të vyer gjatë përgatitjes së

këtij disertacioni. Falënderoj, po kështu, pedagogët e Departamentit të Matematikës të FSHN,

UT, dhe në veçanti përgjegjësin e tij, Prof.Artur Baxhaku, për ndihmën dhe mbështetjen që

më kanë dhënë gjatë këtyre viteve.

Gjithashtu, falënderojnë mënyrë të veçantë edhe Jurinë e nderuar të mbrojtjes së këtij

disertacioni.

Nuk do të harroja, këtu, pedagogët e Departamentit të Matematikë–Informatikës të FSHN,

Universiteti “E.Çabej”,Gjirokastër, dhe në veçanti ish-përgjegjësin e këtij departamenti,

Prof.Asoc. Jani Dine për kushtet që më krijuan gjatë punës për përgatitjen e këtij disertacioni.

Së fundi, falënderoj familjen time, prindët e mi të paharruar, të cilëve edhe ua dedikoj këtë

disertacion, dhe në veçanti motrën time për ndihmën dhe mbështetjen e paçmuar morale të

tyre gjatë gjthë këtyre viteve.

92

SUMMARY

The aim of this doctoral thesis is to give some applicative aspects of categories in rewriting

theory and computer science, in general. In the first Chapter we give some preliminaries. We

explain briefly what is the category theory, some historical notes about its evolution and

some basic concepts of this theory. We give a brief description of 𝛤-semigroups and some

related theorems and continue with the definition of string rewriting systems, etc.

The Chapter II is dedicated to the free Ω-semigroups, their construction, their properties etc.

We define, first, the Ω-semigroups as a universal algebra in which there is given a system of

binary operations Ω satisfying the associative condition:

((𝑥, 𝑦)𝛼, 𝑧)𝛽 = (𝑥, (𝑦, 𝑧)𝛽)𝛼

for all 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 and for each pair of binary operations 𝛼, 𝛽.

We explain, next, that a 𝛤-semigroup is an Ω-semigroup (and vice versa) so we continue

giving some results for the free 𝛤-semigroups.

Let 𝑋 and 𝛤 be two nonempty sets.A sequence of elements 𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 where

𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑋 and 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛−1 ∈ Γ is called a word over the alphabet 𝑋 relative to

Γ.The set S of all words with the operation defined from 𝑆 × Γ × S to S as

(𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 …𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛)𝛾(𝑦1𝛽1𝑦2𝛽2 … 𝑦𝑚−1𝛽𝑚−1𝑦𝑚 ) =

𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛𝛾𝑦1𝛽1𝑦2𝛽2 … 𝑦𝑚−1𝛽𝑚−1𝑦𝑚

is a 𝛤-semigroup.This 𝛤-semigroup is called free 𝛤-semigroup over the alphabet 𝑋 relative to

𝛤and we denote it by 𝑋∗𝛤. Then we give a construction of free 𝛤-semigroups using the UMP. An

important property of free Γ-semigroups is that given by the Proposition 2.5.1 which states that the

universal semigroup 𝛴 of a free 𝛤-semigroup is not a free semigroup but there is a subset

𝑆 = {𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 ∶ 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝛼𝑖 ∈ 𝛤, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛} of 𝛴 such that for the pair

(𝑆,∘) where " ∘ " is defined as follows: 𝑤1 ∘ 𝑤2 = 𝑤1𝛾0𝑤2 (we shall denote it by 𝑆𝛾0) is free

on 𝑌 where 𝑌 = {𝑥1𝛼1𝑥2𝛼2 … 𝑥𝑛−1𝛼𝑛−1𝑥𝑛 ∶ 𝑥𝑖 ∈ 𝑋, 𝛼𝑖 ∈ 𝛤, 𝛼𝑖 ≠ 𝛾0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛}. From

this proposition it follows that the results of Howie can be implanted on 𝛤-semigroups

through the mechanism of passing from the 𝛤-semigroup to its universal semigroup

associated to 𝛤. So,we now can formulate and prove these properties of free 𝛤-semigroups.

93

The Chapter III is the heart of this thesis. As we know, in the recent years string-rewriting

systems have been the central theme of numerous important papers in theoretical computer

science and mathematics in general. Now, it is well known the fact that if a monoid can be

presented by a finite and complete ( that is, noetherian and të bashkrrjedhshme) string-

rewriting system, then the word problem for this monoid is solvable. Unfortunately, the

property of having a finite and complete string-rewriting system is not invariant from the

given presentation. But, for finitely presented monoids, there exists another finiteness

condition which is introduced by Squier (see [15]) and is called finite derivation type (or

FDT, for short). It is obtained by considering certain binary relations, called homotopy

relations, on the set of paths of the derivation graph (the so called Squier‟s complex) that is

associated with a finite presentation (𝑋; 𝑅) of the monoid 𝑀 considered. A monoid has FDT

if the full homotopy relation is generated by a finite set called a homotopy base. Squier

proved that this property is indeed a property of finitely presented monoids, that is, it is an

intrinsic property of a monoid independent of its presentation. He established the fact that

every monoid that can be presented through a finite convergent presentation does have FDT.

Thus, FDT is one of the necessary conditions that a finitely presented monoid must satisfy in

order that it can be presented by some finite convergent string-rewriting system.

In this chapter we generalize these results in the case of Ω-monoids.

In the first sections of this chapter we define and give some general results related to the Ω-

string rewriting systems, the properties of bashkrrjedhshmëri, Noetherian, Church-Rosser,

critical peaks, the word problem for the Ω-monoids and so on. The last two sections are

dedicated to the property of finite derivation type (FDT) and the related results of Squier

([15]) generalized in the case of Ω-monoids. We prove here our main theorem which states

that if 𝑀 is a finitely presented Ω-monoid which has a presentation (𝑋; 𝑅) involving a finite

convergent Ω-string rewriting system 𝑅, then 𝑀 has finite derivation type.

In the next chapter we present Squier‟s argument using the categorical machinery which

makes the proofs shorter and easier. As we know, the invariance of Squier‟s finiteness

condition is a 2-dimensional word problem in the sense of [45]. In this chapter we see the

result of Squier from a geometrical viewpoint which together with the categorical concepts

help us to obtain this result without much effort.

94

“The intense interest in category theory among researchers in computing science in recent

years is due in part to the recognition that the constructions in functional programming

languages make a functional programming language look very much like a category.The fact

that deduction systems are essentially categories has also been useful in computing

science…”. ([13]).

And in [14] is pointed out that

“There is an active community using categorical methods in computer science, in fields such

as semantics of computation, coalgebra, graph rewriting, and computational logics and type

theories. Computer science can claim the honour of being the first field in which category

theory has become applied mathematics, with applications outside other branches of pure

mathematics...”.

So, the Appendix illustrates the closed relation betweeen category theory and computer

science giving two simple examples, which serves as a beam of light in all that throng of

applications of categories in that field.

95

ABSTRAKT

Në vitet e fundit vihet re një interesim gjithmonë e më i madh i studjuesve të matematikës

dhe shkencës kompjuterike teorike në problemet që lidhen me sistemet e rishkrimit. Duke

marrë shtysë prej tyre ne përgjithësojmë disa rezultate të spikatura siç janë p.sh. rezultatet në

[15] në rastin e Ω-monoidëve. Ω-gjysmëgrupet përkufizohen për herë të parë prej nesh dhe siç

tregohet në këtë punim janë përgjithësim i gjysmëgrupeve. Në Kapitullin II ndërtojmë Γ-

gjysmëgrupet e lira duke përdorur vetinë universale dhe japim edhe një sërë pohimesh të

rendësishme duke filluar me përgjithësime të rezultateve të njohura nga teoria e

gjysmëgrupeve dhe duke përfunduar me një përshkrim të shkurtër të paraqitjeve të tyre. Në

Kapitullin IV japim një përqasje kategorike të FDT për Ω-monoidët duke përgjithësuar një

rezultat analog për monoidët. Në fund, për të ilustruar lidhjen e ngushtë që ekziston midis

teorisë së kategorive dhe shkencës kompjuterike japim dy shembuj të thjeshtë, të cilët hedhin

pak dritë në gjithë atë mori zbatimesh të kategorive në atë fushë.

ABSTRACT

As we know, in the recent years string-rewriting systems have been the central theme of

numerous important papers in theoretical computer science and mathematics in general.

Inspired from them we generalize some noticeable results as, for example, those given in [15]

in the case of Ω-monoids. We define for the first time the Ω-semigroups as a generalization of

semigroups. In Chapter II we construct the free 𝛤-semigoups using the UMP and give many

important propositions starting with some generalizations of wellknown results from the

theory of semigroups and ending with a brief description of their presentations. In the next

chapter we present Squier‟s argument using the categorical machinery which makes the

proofs shorter and easier. Finally, to illustrate the closed relation betweeen category theory

and computer science we give two simple examples, which serve as a beam of light in all that

throng of applications of categories in that field.