Matrik Hermit dan Nilai Eigen

OlehWHISNU TRIE SENO AJIE

0802628

Matrik Hermit

matriks Hermitian adalah matriks persegi dengan entri kompleks yang sama dengan matrik transpose konjugasi - yaitu, elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah sama dengan kompleks konjugasi dari elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i, untuk semua i dan indeks j.Matrik bujursangkar A dengan entri – entri berupa bilangan kompleks dikatakan hermite jika A = A

∗

Matrik bujur sangkar D adalah matrik Hermitian jika elemen d ij = d*ij

Contoh:

Ciri-ciri Hermit

• Selalu membentuk matrik simetris real.• Diagonal utama selalu real.• Setiap matriks Hermitian adalah normal.

Ini berarti bahwa semua nilai eigen dari matriks Hermitian adalah nyata, dan vektor eigen dengan nilai eigen yang berbeda adalah orthogonal.

Catatan : Matrik ortogonal adalah matrik yang transposenya = inversnya

• hasil dari dua matriks A dan B Hermitian hanya akan Hermitian jika mereka transpose yaitu jika AB = BA. Jadi dikatakan Hermitian jika A adalah Hermitian dan n adalah bilangan bulat.

• dua vektor eigen dari matrik Hermitian H yang berhubungan dengan nilai eigen yang berbeda adalah ortogonal (Levine, 1998)

Jika x merupakan vektor eigen dari n n × matriks A yang berasosiasi dengan nilai eigen λ , maka persamaan Eigen dapat ditulis menjadi

Ax = λ x

Untuk menghitung nilai dan vektor Eigennya persamaan (2.1) dirubah menjadi suatu persamaan aljabar linier sebagai berikut :

(λ I − A) x = 0

dengan I menyatakan matriks identitas n × n . Perlu diperhatikan jika matriks A I − λ merupakan matriks nonsingular, persamaan sebelumnya mempunyai solusi yang unik pada 0 = x . Namun, nilai vector Eigen haruslah tidak nol, yang artinya bahwa nilai Eigen merupakan skalar λ untuk matriks A I − λ yang singular.

Suatu matriks merupakan matriks singular jika dan hanya jika determinannya berharga nol. Sehingga nilai Eigen dari A adalah solusi dari , dengan

Persamaan disebut dengan persamaan karakteristik dari A .

Vektor Eigen

Ax = λ xVektor X dalam persamaan adalah suatu

vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaan untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen

tertentu.

Bila operator yang bekerja pada fungsi eigen berupa operator hermit maka:

1. Nilai eigennya semua real 2. Fungsi-fungsi eigennya dari nilai eigen yang

berbeda orthogonal sesamanya.

TAMBAHAN

Fungsi φ yang tak ternormalisasi akan menjadi ternormalisasi, jika dikalikan dengan suatu bilangan yaitu A yang disebut faktor normalisasi sehingga,

Harga A dapat dihitung dari sifat fungsi ternormalisasi yaitu :

Misalkan set nilai eigen {a} dari operator Hermit A seluruhnya diskrit dan tak berdegenerasi dan bila dipilih fungsi-fungsi eigen yang ternormalisasi maka akan diperoleh suatu set yang fungsi eigen { Ψa } dari A yang ortonormal.

( Ψa , Ψa ) = δ aa’

Apabila A yang Hermit itu adalah operator dari suatu besaran dinamis, kita selalu pula akan menambahkan bahwa set itu lengkap, yaitu fungsi gelombang Ψ(x) sistem dapat dijabarkan terhadap set tersebut.

Ψ(x) = a ΨaUntuk nilai-nilai eigen kontinu orthonormalitas itu masih bisa dipertahankan namun sekarang dalam bentuk orthonormalitas Dirac.

• Contoh : Ψ(x) = 1/ √2 ћ ∫ (p) e dp dengan Ψ(p) = 1/ √2 ћ ∫ (x) e dx adalah fungsi eigen

dari operator momentum P Ψp (x) = p Ψp (x) yang menunjukkan nilai eigennya

adalah p.

ipx/ћ

ipx/ћ