alin - matrik elementer.pptx

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    1/95

    Matriks-MatriksElementerAljabar Elementer

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    2/95

    Nama Kelompok:Dwi Khoiron Nadhliyah

    Habiebie Adriyansyah

    Nurul Hasanah

    Inez Annisa aaiz

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    3/95

    Matriks Elementer

    De!nisi :

    "uatu matriks disebut matriks elementer#elementary matri$% jika matriks tersebutdapat diperoleh dari identitas den&anmelakukan operasi baris elementertun&&al'

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    4/95

    Men&in&at kembali)

    *perasi +aris Elementer

    I' ,ertukaran dua baris

    II' Kalikan suatu baris den&an bilan&anreal bukan nol

    III' anti suatu baris den&an hasilpenjumlahannya den&an kelipatan daribaris lain

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    5/95

    Matriks Elementer Jenis I' matriks elementer jenis I adalah

    matriks yan& diperoleh den&an

    mempertukarkan dua baris dariidentitas

    *+E jenis I

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    6/95

    .ontoh:

     I / dilakukan *+E I #menukarkan barispertama den&an baris kedua0 menjadi)

     

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    7/95

    A / + /

    . / D /

     

     1an& manakah yan& merupakan MatriksElementer jenis I 2

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    8/95

     adalah matriks elementer jenis I0 karena

    diperoleh den&an mempertukarkan keduabaris yan& pertama dari I' misalkan Aadalah matriks ' maka akan diperolehsuatu hubun&an'''

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    9/95

    Matrik elementer jenis II Jenis II' Matrik elementer jenis II adalah

    matriks yan& diperoleh den&an

    men&alikan 3 baris dari I den&ankonstanta bukan nol'

    *+E jenis II

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    10/95

    .ontoh:

    I / dilakukan *+E II #4%0 menjadi

     

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    11/95

     1an& manakah yan& merupakan MatriksElementer jenis II 2

    A / + /

    . / D /

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    12/95

     adalah matriks elementer jenis II0 karena

    diperoleh den&an men&alikan baris 5 dariI den&an konstanta 4' misalkan A adalahmatriks ' maka akan diperoleh suatuhubun&an'''

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    13/95

    Matriks Elementer 6enis III Jenis III' Matriks elementer jenis III

    adalah matriks yan& diperoleh dari I 

    den&an menjumlahkan kelipatan darisuatu baris pada baris yan& lain

    *+E jenis III

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    14/95

    .ontoh:

    I / dilakukan *+E III #4%0 menjadi

     

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    15/95

     1an& manakah yan& merupakan MatriksElementer jenis III 2

    A / + /

    . / D /

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    16/95

     adalah matriks elementer jenis III0 karena

    diperoleh den&an menjumlahkan baris 5den&an kelipatan 4 dari baris 3' misalkanA adalah matriks ' maka akan diperolehsuatu hubun&an'''

     

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    17/95

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    18/95

     1an& manakah yan& merupakan matrikselementer 222

    a'  

    b'  

    7'  

    d'  

      YA

    BUKAN

     YA

     YA

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    19/95

     1an& manakah yan& merupakanmatriks elementer 222

    e'

    8'

     

    BUKAN

     YA

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    20/95

    .ontoho A/ + /

    A/

    E/

    AE / + /

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    21/95

     9eorema 3''5' "etiap matriks elementer dapat dibalik0 dan

    in;ersnya ju&a merupakan matriks elementer

    In;ers tipe 3 : 6ika E adalah matriks elementer jenis I yan&

    terbentuk dari I den&an mempertukarkanbaris ke-i dan baris ke-j maka E dapatditrans8ormasi menjadi I kembali den&an

    mempertukarkan baris-baris yan& sama inila&i' 6adi0 EE / I sehin&&a E adalah in;ersdari matrik itu sendiri'

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    22/95

    .ontoh:

     I /

    E

    EE / /

     6adi0

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    23/95

    In;ers tipe 5: 6ika E adalah matriks elementer jenis II

    yan& terbentuk oleh perkalian baris ke-i

    dari I den&an skalar bukan nol α0 makaE dapat ditrans8ormasi menjadi I kembali den&an perkalian baris ke-i ataukolom ke-i den&an

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    24/95

    7ontoh

    I /

    E dari I0baris ke-5 dikalikan 4

     dari I0 baris ke-5 dikalikan

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    25/95

     /

    I

     /

    / I

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    26/95

    In;ers tipe 4:Misalkan E adalah matriks elementer jenis III yan& terbentuk dari I den&an

    menjumlahkan m kali baris ke-i padabaris ke-j0 E dapat ditrans8ormasikankembali menjadi I den&an men&uran&im kali baris ke-i den&an baris ke-j atau

    den&an men&uran&i m kali kolom ke-jdari kolom ke-i

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    27/95

    .ontoh:

    I /

    E #

     

    #

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    28/95

     /

    / I

    / /

    / I

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    29/95

    Eki;alen +aris

    De!nisi:

     6ika matriks + dapat diperoleh den&an melakukan

    sejumlah urutan operasi baris elementer terhadapmatriks A0 maka kita dapat memperoleh kembalimatriks A dari + den&an melakukan in;ers dari

    operasi-operasi baris elementer dalam urutanterbalik' Matriks-matriks yan& dapat diperoleh

    dari satu sama lainnya melalui sejumlah urutanoperasi baris elementer dikatakan ekuivalenbaris #row e

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    30/95

    "i8at Eki;alen +aris"i8at-si8at men&enai matriks-matriks yan&eki;alen baris:

     6ika A eki;alen baris den&an +0 maka +eki;alen baris den&an A'

     6ika A eki;alen baris den&an +0 dan +eki;alen baris den&an .0 maka A

    eki;alen baris den&an .'

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    31/95

    Contoh:

     9unjukkan bahwa A dan + adalah ekui;alenbaris0 dan tentukanlah urutan operasi bariselementer yan& men&hasilkan + dari A

     

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    32/95

    Penyelesaian:

     

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    33/95

     9eorema 3''4 9eorema 3''4 ,ernyataan-pernyataan yan&Ekui;alen

     6ika A adalah matriks n $ n0 maka persamaan =persamaan berikut adalah ekui;alen0 yaitu0semuanya benar atau semuanya salah'

    #a% A dapat dibalik

    #b% A$ / > hanya memiliki solusi tri;ial

    #7% bentuk eselon baris tereduksi adalah#d% A dapat dinyatakan seba&ai hasilkali darimatriks-matriks elementer

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    34/95

    Metode untuk Men∈ersiMatriks

    ?ntuk men7ari in;ers dari matriks A yan&dapat dibalik0 kita harus men7ari suatu

    urutan operasi baris elementer yan&mereduksi A menjadi identitas danmelakukan urutan operasi yan& samaterhadap untuk memperoleh '

    @akukan *+E hin&&a memperoleh:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    35/95

    .ontoh: 9entukan in;ers dari

    ,enyelesaian:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    36/95

     

     

    #-5%

    #-%

    #5%

    #-%

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    37/95

     6adi0

     

    #4%

    #-4%

    #-5%

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    38/95

    Matriks yan& tidak punyain;ers

     6ika matriks A0 tidak dapat dibalik0 makamatriks tersebut tidak dapat direduksi menjadi

    melalui operasi-operasi baris elementer'Den&an kata lain0 bentuk eselon baristereduksi dari A memiliki palin& tidak satubaris bilan&an nol'

    Maka dapat disimpulkan bahwa matriks

    tersebut tidak dapat dibalik dan perhitun&andapat dihentikan'

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    39/95

    .ontoh:

    ,enyelesaian:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    40/95

     

     6adi0 A tidak dapat dibalik

     

    #-5%

    #%

    #%

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    41/95

    Determinan

    Determinan dari suatu matriksberorde 0 dinyatakanseba&ai 0 adalah suatu skalar yan& diasosiasikan

    den&an matriks danDide!nisikan se7ara indukti8 seba&ai :

    dimana,

    Adalah ko8aktor-ko8aktor yan& diasosiasikan den&anentri-entri dalam baris pertama dari A'

     

    De!nisi Determinan :

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    42/95

    "ebelumnya0 mari kita men&enal

    Ko8aktor dan Minor

    Defnisi :

     6ika adalah suatu matriks bujursan&kar

    maka minor dari entri  dinyatakanseba&ai dan dide!nisikan seba&aideterminan dari submatriks yan& tersisasetelah baris ke dan kolom ke dihilan&kan

    dari ' +ilan&an dinyatakan seba&ai disebutseba&ai Koaktor dari entri !

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    43/95

    .ontoh minor

    Minor dari entri adalah:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    44/95

    Minor dari entri adalah:

    Minor dari entri adalah:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    45/95

    "udah paham kan0 jika disuruh men7ariminor-minor yan& lain222

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    46/95

    .ontoh Ko8aktor

    Kofaktor dari entri adalah:

    C11= (-1)1+1 M11 = +M11

    Kofaktor dari entri adalah:

    C12 = (-1)1+2 M12 = -M12

    Kofaktor dari entri adalah:

    C13 = (-1)1+3

    M13 = +M13 Kofaktor dari entri adalah:

    C21 = (-1)2+1 M21 = -M21

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    47/95

    Kofaktor dari entri adalah:

    C22 = (-1)2+2 M22 = +M22

    Kofaktor dari entri adalah:

    C23 = (-1)2+3 M23 = -M23

    Kofaktor dari entri adalah:C31 = (-1)

    3+1 M31 = +M31

    Kofaktor dari entri adalah:

    C32 = (-1)3+2 M32 = -M32

    Kofaktor dari entri adalah:

    C33 = (-1)3+3 M33 = +M33

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    48/95

    .ara 7epat menentukan tanda atau = yan&di&unakan0 adalah den&an melihat susunanBpapan 7aturC berikut:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    49/95

    Ekspansi Ko8aktordet"A# $ "#"# % "#

    dapat ditulis dalam bentuk minor dan ko8aktor

    seba&ai:

    det"A# $ % %

    $ % %

    Ini adalah eks&ansi koaktor se&an'an(

    baris &ertama dari A

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    50/95

    Contoh ):*ks&ansi Koaktor +e&an'an( Baris Pertama

    Misalkan ' Hitun&lah den&an men&&unakan ekspansiko8aktor sepanjan& baris pertama'

    Penyelesaian:

    det"A# $ % %

    /

    /

      /-3

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    51/95

    ,eorema -!.!) *ks&ansi Koaktor

    Determinan dari matriks A, , dapat dihitung denganmengalikan entri-entri pada sebarang baris (ataukolom) dengan kofaktor-kofaktor dan menjumlahkanhasilkali-hasilkali yang diperoleh dimana untuk

    setiap 0

    det"A# $

    #ekspansi ko8aktor sepanjan& kolom %

    dan

    det"A# $

    #ekspansi ko8aktor sepanjan& baris %

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    52/95

    Contoh - : *ks&ansi Koaktor+e&an'an( Kolom Pertama

    Misalkan ' Hitun&lah det#A% den&an men&&unakanekspansi ko8aktor sepanjan& kolom pertama dari A'

    Penyelesaian:

    det"A# $ % %

    /

      /-3

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    53/95

    ,eorema -!-!)

    Misalkan A adalah suatu matriks

    bujursan&kara%  6ika memiliki satu baris atau satu kolom

    bilan&an nol0 maka

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    54/95

    Pen'elasan "a#:

     

    Maka matriks-matriks di atas memiliki det/>

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    55/95

    Pen'elasan "b#:

    Misal diketahui maka 0 "ehin&&a  

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    56/95

    Contoh:

    diketahui 0 maka buktikan bahwa

     6awab:

    ,ada 7ontoh sebelumnya telah dihitun&bahwa -3

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    57/95

    Dengan menggunakan ekspansi kofaktor baris

     pertama, diperoleh:

      $

    $ /)

     Jadi terbukti bah0a

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    58/95

    ,eorema -!-!-

     6ika adalah suatu matriks se&iti&a #se&iti&a atas0

    se&iti&a bawah0 atau dia&onal%0 makaadalah hasil

    kali dari elemen-elemen pada dia&onal utama

    matriks tersebut'

     

    Misal diketahui maka

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    59/95

    Contoh:

    Tentukan determinan dari A

    ,enyelesaian:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    60/95

    ,eorema -!-!1

    Misalkan A adalah suatu matriks 'a%  6ika + adalah matriks yan& diperoleh ketika

    satu baris atau satu kolom dari A dikalikanden&an suatu skalar k0 maka

    b%  6ika + adalah matriks yan& diperoleh ketikadua baris atau dua kolom dari Adipertukarkan0 maka

    7%  6ika + adalah matriks yan& diperoleh ketikakelipatan dari satu baris A ditambahkan ke

    baris lainnya atau ketika kelipatan darisatu kolom ditambahkan ke kolom yan&lain0 maka

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    61/95

    Pen'elasan "a#

    Misal diketahui :

    .

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    62/95

    Maka:  

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    63/95

    Pen'elasan "b#

    Misal diketahui

    .

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    64/95

    Maka:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    65/95

    Pen'elasan "2#Misal diketahui :

     

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    66/95

    Maka: 

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    67/95

    Hitun&lah det#A% dimana

    Penyelesaian:

    Kita akan mereduksi A menjadi bentukeselon baris #yaitu se&iti&a atas% danmenerapkan teorema 5'5'4

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    68/95

     

     

    yaitu 4

    dikeluarkan dari

    determinan

     

    yaitu -dikeluarkan dari

    determinan

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    69/95

    ,eorema -!-!.

    Misalkan E adalah suatu matriks elementer '

    a%  6ika adalah hasil perkalian suatu barisdari den&an 0 maka

    b%  6ika adalah hasil pertukaran dua barisdari den&an 0 maka

    7%  6ika adalah hasil penjumlahan kelipatansatu baris dari ke baris lainnya0 maka

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    70/95

    Contoh:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    71/95

    ,eorema -!-!3

     6ika A adalah suatu matriks bujursan&karden&an dua baris atau dua kolom yan&proporsional0 maka

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    72/95

    Contoh:

    Hitun& determinan dari

    ,enyelesaian:

     

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    73/95

    +iat 4 +iat

    Determinanmisalkan A dan + adalah matriks-matriksdan k adalah skalar sebaran&' Kita mulai

    den&an mempertimban&kan hubun&anyan& mun&kin antara 0 dan

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    74/95

    Karena 8aktor bersama dari baris

    manapun dari suatu matriks dapatdikeluarkan melewati tanda determinan 0dan karena tiap baris dari baris padamemiliki 8aktor bersama maka kita

    peroleh

    .ontoh:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    75/95

    ,erhatikan 7ontoh berikut0 sebelum membahassi8at determinan yan& lain:

    Misal:

     

    Maka:

     

     6adi0

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    76/95

     9eorema 5'4'3Misalkan A0 +0 dan . adalah matriks-matriks yan& berbeda hanya pada satu

    baris0 misalnya baris ke r0 dan asumsikanbahw baris ke-r dari . dapat diperolehden&an menjumlahkan entri-entri yan&bersesuaian pada baris ke-r dari A dan +'maka

    Hasil yan& sama berlaku untuk kolom

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    77/95

    .ontohDiketahui:

     , hitung det(A)!det(")

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    78/95

    @emma 5'4'5 6ika + adalah suatu matriks dan E adalahsuatu matriks elementer 0 maka

    det#E+%/det#E% det#+%

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    79/95

     9eorema 5'4'5"uatu Matriks bujursan&kar A dapatdibalik0 jika dan hanya jika

    .ontoh:

     6adi A tidak punya in;ers

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    80/95

     9eorema 5'4' 6ika A dan + adalah matriks = matriksbujursan&kar den&an ukuran yan& sama0

    maka

    det#A+%/ det#A% det#+%

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    81/95

    .ontoh:

     

    Maka:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    82/95

    ,eorema -!1!3

     6ika A dapat dibalik0 maka

    +ukti:

    Karena

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    83/95

    Defnisi Ad'oin

    Jika A adalah sebarang matriks dan adalah kofaktor

    dari maka matriks

    !isebut matriks kofaktor dari " Tran#os dari matrik

    ini disebut ad$oin dan din%atakan dengan "

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    84/95

    Contoh: 9entukan adjoin dari matriks

    Penyelesaian:

    Men7ari Ko8aktor dari A adalah den&an

    men&&unakan rumus:

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    85/95

     //

    /

    /

    //

    //

    /

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    86/95

    "ehin&&a matriks ko8aktornya adalah

    dan adjoinnya adalah

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    87/95

    Men7ari In;ers Matriks Den&an Adjoin

     6ika A adalah suatu matriks yan& dapatdibalik maka :

     = ad$ (A)

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    88/95

    Bukti:3' 9unjukkan bahwa :

    A ad$(A) =

    *ntri &ada baris ke dan kolom ke dari hasil kaliadalah

    )))' #F%

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    89/95

     6ika 0 maka adalah ekspansi ko8aktor dari sepanjan& barisdari dan jika 0 maka semua dan ko8aktor-ko8aktornya berasaldari baris-baris yan& berbeda dari ' "ehin&&a nilai dari

    adalah nol' *leh karena itu0

    Karena A dapat dapat dibalik0 ' Karena itu0 persamaan #FF%

    dapat ditulis la&i seba&ai atau A

    Den&an men&alikan kedua sisi di sebelah kiri0 den&anmen&hasilkan

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    90/95

    Contoh:

     9entukan in;ers dari matriks

    Penyelesaian:

    telah dikerjakan sebelumnya bahwa

    "ehin&&a =

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    91/95

    Aturan Cramer

     6ika merupakan suatu sistem n persamaan linierdalam peubah sedemikian sehin&&a0 makasistem tersebut mempunyai suatu penyelesaianyan& unik '

    Den&an adalah matriks yan& diperoleh den&anmen&&antikan entri-entri pada kolom dariden&an

    entri-entri pada matrik

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    92/95

    Bukti:

     6ika0 maka A dapat dibalik dan0 sesuai den&anteorema 3'G'50 adalah solusi unik dari ' Karenaitu0 den&an teorema 5''50 kita memperoleh

     

    den&an men&alikan matriks-matriks tersebutkita memperoleh

    maka entri pada baris dari adalah

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    93/95

    sekarang misalkan 

    &arena #erbedaan dengan han%a #ada kolom maka kofaktor-

    kofaktor dari entri #ada adalah sama dengan kofaktor-kofaktor

    dari entri-entri %ang bersesuain #ada kolom dari " 'leh karenaitu eks#ansi kofaktor dari se#an$ang kolom adalah

    !engan mensubstitusikan hasil ini kedalam (11) kita

    mem#eroleh

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    94/95

    unakan aturan .ramer untuk menyelesaikan

    Penyelesaian:

    Dari ",@ di atas didapati :

    A /

    A5 / 0

     

  • 8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx

    95/95

    *leh karena itu0

     /

     /

     /