TEORIJA

FAKULTET TEHNIKIH NAUKAKosovska Mitrovica

MATRINA ANALIZARAMOVSKIH KONSTRUKCIJA- SEMINARSKI RAD

Vujakovi Rada

April 2009.Kosovska Mitrovica

Zadatak:- Formiranje matrice krutosti tapova sa posebnim osvrtom na tapove sa promenljivim poprenim presekom- Formiranje matrice krutosti konstrukcije- Formiranje vektora optereenja- Prikaz reenja problema deformacija i sila u presecima, u matriom obliku.

Prof. dr Milivoje Stankovi

SADRAJ

1. OSNOVNI POJMOVI 11.1.UVOD 11.2.KONCEPT MATRINE ANALIZE METODOM DEFORMACIJE 11.3.KINEMATIKA NEODREENOST SISTEMA STEPENI SLOBODE 21.4.POJAM MATRICE KRUTOSTI 32. MATRINA ANALIZA TAPA 82.1.OSNOVNE STATIKE I KINEMATIKE VELIINE 82.2.VEKTOR EKVIVALENTNOG OPTEREENJA 93. ODREIVANJE MATRICE KRUTOSTI TAPOVA 113.1.OSNOVNA (BAZNA) MATRICA KRUTOSTI 113.2.MATRICA KRUTOSTI TAPA TIPA "k" 123.3.MATRICA KRUTOSTI TAPA TIPA "g" 143.4.MATRICA KRUTOSTI TAPA PROMENLJIVOG POPRENOG PRESEKA 164. MATRINA ANALIZA RAVNIH OKVIRNIH NOSAA. 214.1.MATRICA TRANSFORMACIJE TAPA 214.2.TRANSFORMACIJA MATRICE KRUTOSTI 224.3.JEDNAINE SISTEMA 224.4.KONTURNI USLOVI 254.5.DIREKTNO FORMIRANJE JEDNAINA SISTEMA KODNI BROJEVI 26PRIMER PRORAUNA OKVIRNOG NOSAA U RAVNI, SA TAPOVIMA48

PROMENLJIVOG POPRENOG PRESEKA 31

OSNOVNI POJMOVIUVODRazvoj matrinih metoda poinje sredinom prolog veka. Za razliku od ranijih, tkz. klasinih metoda, ove metode se nazivaju moderne ili savremene metode. Poto se u formulaciji ovih metoda primenjuje matrini aparat, ove metode se nazivaju i matrine metode. Matrini oblik osnovnih veza izmeu geometrijskih, statikih i deformacijskih veliina nosaa veoma je pogodan za formiranje optih algoritama za analizu i reavanje problema pomou elektronskih raunara. Tako je razvoj matrinih metoda iao ukorak sa razvojem elektronskih raunara.Metoda sila i metoda deformacije su dve osnovne metode analize konstrukcija i u klasinoj i u matrinoj formulaciji. Meutim, klasina i matrina formulacija ovih metoda se razlikuju.U klasinoj formulaciji metode sila i metode deformacije dati sistem posmatra se kao celina (system approach). Ispituje se statika ili deformacijska neodreenost sistema i usvaja se ona metoda koja je pogodnija za analizu datog sistema.U matrinoj formulaciji metode sila i metode deformacija, osnovu ini tap kao element sistema (element approach). Sistem je sastavljen od pojedinih tapova elemenata sistema, koji su meusobno povezani u pojedinim diskretnim takama vorovima sistema (strukture).Matrina analiza linijskih nosaa moe da se shvati i kao specijalan sluaj jednog opteg metoda numerike analize konstrukcija, poznatog kao Metod konanih elemenata (MKE). U tom konceptu tap predstavlja jednodimenzionalni element. Meutim, po metodi deformacija u teoriji linijskih nosaa dobijaju se tana reenja, dok se u optem sluaju po MKE dobijaju samo priblina reenja.KONCEPT MATRINE ANALIZE METODOM DEFORMACIJEPri analizi nosaa zadraemo se u domenu linearne teorije prvog reda, koja u svojoj osovi sadri pretpostavke o geometrijskoj, statikoj i fizikoj linearnosti.Pretpostavka o geometrijskoj linearnosti znai da su pomeranja tako mala da se kvadrati i vii stepeni pomeranja i njihovi izvodi mogu zanemariti u odnosu na prve stepene tih veliina. Posledica ove pretpostavke je linearna veza pomeranja i deformacijskih veliina.Pretpostavka statike linearnosti znai da se uslovi ravnotee postavljaju na nedeformisanom elementu tapa, odnosno nedeformisanom tapu i njena posledica je linearnost uslova ravnotee.Pretpostavka o fizikoj linearnosti polazi od linearne veze napona i deformacija, tj. od generalisanog Hooke-ovog zakonaNavedene tri pretpostavke nam omoguuju da pri tretiranju optereenja koristimo princip superpozicije. Na slici 1.1-a prikazan je sistem sa zadatim optereenjem. Na osnovu principa superpozicije, uticaji u datom sistemu jednaki su zbiru uticaja u sistemima sa slika 1.1-b i c.

Slika 1.1. Ilustracija principa superpozicijeSistem na slici 1.1-b naziva se osnovni sistem i on se dobija tako da se u zadatom nosau spree pomeranja i obrtanja svih vorova. Ovaj sistem je optereen zadatim optereenjem i silama u vorovima, odreenim kao reakcije oslonaca potpuno ukljetenih tapova.Sistem na slici 1.1-c optereen je samo u vorovima, i to optereenjem koje je istog intenziteta kao optereenje u vorovima ekvivalentng sistema ali sa promenjenim znakom. Ovo optereenje se naziva ekvivalentno optereenje.Kako su obrtanja i pomeranja vorova na sistemu 1.1-b jednaka nuli, to su obrtanja i pomeranja vorova datog sistema jednaka obrtanjima i pomeranjima vorova sistema na slici 1.1-c. To znai da se pomeranja i obrtanja vorova datog nosaa dobijaju, u stvari, samo usled dejstva ekvivalentnog vornog optereenja. Na taj nain, spoljanji uticaji du pojedinih tapova se mogu zameniti ekvivalentnim optereenjem na njihovim krajevima, odnosno u vorovima nosaa.Matrini postupak metode deformacije se ukratko moe predstaviti: U analizi elementa polazi se od osnovnih jednaina teorije tapa i uspostavlja veza izmeu generalisanih sila i generalisanih pomeranja u vorovima na krajevima elementa. Veza se uspostavlja preko matrice krutosti elementa. Odreuje se vektor ekvivalentnog optereenja elementa. Iz veza sila i pomeranja za pojedine elemente i uslova kompatibilnosti vorova, formiraju se jednaine za sistem elemenata koje predstavljaju uslove ravnotee vorova sistema. Uslovi kompatibilnosti vorova izjednaavaju pomeranja krajeva tapova koji su vezani u istom voru, dok uslovi ravnotee uspostavljaju vezu izmeu spoljanjeg vornog optereenja, ekvivalentnog vornog optereenja i sila na krajevima tapova. Iz uslovnih jednaina se, uz uslove oslanjanja, odreuju pomeranja i obrtanja vorova. Sada se za svaki tap ponaosob mogu odrediti naprezanja i deformacije.KINEMATIKA NEODREENOST SISTEMA STEPENI SLOBODEKao osnovne nepoznate u matrinoj formulaciji metode deformacija usvajaju se obrtanja i pomeranja vorova. Ukupan broj meusobno nezavisnih parametara pomeranja predstavlja kinematiku ili deformacijsku neodreenost sistema. U sluaju ravnih sistema, ovaj broj u tanoj metodi deformacije jednak je zbiru obrtanja grupa kruto vezanih tapova () i broju komponenti pomeranja sistema od vorova, umanjenom za broj spreenih ili zadatih pomeranja u osloncima (), U priblinoj metodi deformacije, u kojoj je zanemaren uticaj normalnih sila na deformacije, odnosno u kojoj se tapovi aksijalno ne deformiu, prethodni zbir se umanjuje i za broj tapova sistema (),Sistem u kome su svi parametri pomeranja jednaki nuli, odnosno sistem sa spreenim obrtanjima i pomeranjima vorova, nazivamo kinematiki odreen (osnovni) sistem. Na sledeoj slici prikazani su primeri na kojima se ilustruje kinematika (deformacijska) neodreenost sistema, po tanoj metodi deformacije (TMD) i priblinoj metodi deformacije (PMD).

a)

TMD PMDb)

TMD PMDc)

TMD PMD

d)

Slika 1.2. Ilustracija stepeni slobode po tanoj (TMD) i priblinoj metodi deformacija (PMD)POJAM MATRICE KRUTOSTIPri odreivanju odgovora konstrukcije odnos izmeu sila i pomeranja predstavlja osnovu analize po metodi deformacija. Ovaj odnos je odreen koeficijentima krutosti () , koji fiziki predstavljaju meru za krutost konstrukcije (jednaina ).Koeficijent krutosti () se moe definisati kao sila () potrebna da izazove jedinino pomeranje ().Pojam koeficijenata krutosti emo detaljnije videti na primeru proste grede (slika 1.3-a), optereene koncentrisanom silom i koncentrisanim momentom . Pomeranja napadnih taaka ovih sila i predstavljaju ukupno vertikalno pomeranje preseka 1 i ukupno obrtanje preseka 2 usled istovremenog dejstva obe sile.

Na slici 1.3.b prikazano je dejstvo sila i koje daju pomeranja i .Na slici 1.3.c prikazano je dejstvo sila i koje daju pomeranja i .Sila jednaka je zbiru sila () i (), odnosnosila jednaka je zbiru sila () i (), odnosno

Slika 1.3. Geometrijsko-statiko znaenje koeficijenata krutostiU matrinom obliku veze mogu da se napiu kao

Veze , date za jednostavan primer proste grede, mogu se uoptiti za proizvoljan nosa na koji deluje proizvoljno zadati sistem sila. Tada veze izmeu generalisanih sila i generalisanih pomeranja glase

odnosno .

Ovde je - matrica krutosti (stiffness matrix) sistema (tela).

Primer 1: Na slici 1.4 je prikazana konzola sa jednom silom na slobodnom kraju.

Treba odrediti silu toliku da je pomeranje napadne take sile u njenom pravcu jednako 1. Primenom principa virtualnih sila dobijamo,

Odavde je sada

.

Ako je sila koja daje pomeranje , tada je sila koja daje pomeranje , odnosno veza izmeu sile i pomeranja njene napadne take

Slika 1.4

Primer 2: Uzmimo primer iste konzole sada optereene koncentrisanom silom i koncentrisanim momentom na slobodnom kraju (slika 1.5).

Slika 1.5Koeficijente krutosti emo sraunati na slian nain kao u prethodnom primeru.

- stanje :

Reenja sistema jednaina glase

- stanje :

Reenja sistema jednaina glase

- veze izmeu sila i pomeranja

,odnosno

i skraeno

Primer 3: Za konstrukciju na sledeoj slici, sraunati matricu fleksibilnosti i matricu krutosti. vor 1 se, osim obrtanja u pravcu koordinate 3, moe pomerati horizontalno i vertikalno u pravcima koordinata 1 i 2. To znai da aksijalne deformacije tapova treba uzeti u obzir. Koeficijente matrice fleksibilnosti emo sraunati ako u pravcu svake od koordinata sukcesivno priloimo jedininu silu i odredimo pomeranja u pravcima svih koordinata.Koeficijente matrice krutosti emo odrediti ako u u pravcu svih koordinata priloimo sile, ije veliine odreujemo iz uslova da je pomeranje u pravcu jedne od koordinata jednako 1, dok su ostala pomeranja jednaka nuli.Za dati 2 puta statiki neodreen sistem optereen prema sledeoj slici, metodom sila dobijeni su dijagrami momenata savijanja i aksijalnih sila u presecima tapova

Ovde je:

Sada se pomeranja u pravcima koordinata mogu dobiti primenom principa virtualnih sila, delovanjem odgovarajueg generalisanog virtualnog optereenja, na osnovnom sistemu datog nosaa

Koeficijente matrice krutosti dobijamo kao sile koje izazivaju jedinino pomeranje u pravcu jedne od koordinata, dok su ostala dva pomeranja jednaka nuli, odnosno

Matrica krutosti datog nosaa sada je

MATRINA ANALIZA TAPAU matrinoj analizi konstrukcija tap predstavlja osnovni element. U analizi linijskih sistema primenjuje se najjednostavniji model tapa prav prizmatian tap sa vorovima na njegovim krajevima. Za analizu sloenijih sistema uvode se sloeniji modeli tapa sa veim brojem stepeni slobode i sa unutranjim vorovima. Za analizu krivih tapova esto se primenjuju i krivolinijski elementi.U sledeim izlaganjima izvedene su matrice krutosti za prav prizmatini tap izloen aksijalnom naprezanju i savijanju, preko bazne matrice krutosti.OSNOVNE STATIKE I KINEMATIKE VELIINE

Na slici 2.1 prikazan je prav tap , proizvoljnog poprenog preseka, duine . Za tap je vezan lokalni pravougli koordinatni sistem, sa koordinatnim poetkom u voru , na levom kraju tapa, tako da se osa poklapa sa podunom osom tapa, a ose i sa pravcima glavnih osa inercije poprenog preseka tapa.

Na slici 2.1 data je i konvencija o pozitivnim znacima pomeranja, obrtanja i sila u presecima i , za tap izloen aksijalnom naprezanju i savijanju u ravni .

Slika 2.1. Generalisane sile i generalisana pomeranja u vorovima tapa, za tap izloen aksijalnom naprezanju i savijanju poprenim silama u ravni x-y

Parametri pomeranja u vorovima i tapa , pomeranja u pravcu koordinatnih osa , i obrtanja oko ose , jesu komponente vektora

a parametri pomeranja tapa u ravni, komponente vektora

Generalisane sile u vorovima i tapa , sile , i moment , jesu komponente vektora

a generalisane sile tapa u ravni x-y, komponente vektora

U izrazima i , indeksi kod generalisanih pomeranja i generalisanih sila , predstavljaju koordinate tapa u ravni (sika 2.2).

Slika 2.2. Koordinate tapa u ravni x-y

Veza izmeu vektora generalisanih sila i vektora generalisanih pomeranja je oblika

odnosno

VEKTOR EKVIVALENTNOG OPTEREENJAU poglavlju 1.2 smo videli da se uticaji du pojedinih tapova mogu zameniti koncentrisanim optereenjem u vorovima, odnosno na krajevima pojedinih tapova. Takvo zamenjujue optereenje nazivamo ekvivalentno optereenje. Na slici 2.3 prikazan je tap izloen uticajima podeljenog optereenje du ose, koncentrisanim silama, momentima i promeni temperature, kao i ekvivalentno optereenje sa svojim pozitivnim smerovima.

Slika 2.3.

Vektor ekvivalentnog optereenja za tap g

Ekvivalentno optereenje tapa odgovara negativnim vrednostima reakcija oslonaca potpuno ukljetenog tapa na oba kraja. Iz ovog znaenja sledi i nain za neposredno odreivanje vektora ekvivalentnog optereenja direktnom metodom.

ODREIVANJE MATRICE KRUTOSTI TAPOVA OSNOVNA (BAZNA) MATRICA KRUTOSTI

Na slici 3.1 prikazan je ravan obostrano ukljeten tap, sa tri statiki nezavisne sile - aksijalna sila i momente na krajevima i .

Slika 3.1

Ovim silama odgovaraju promena duine tapa (slika 3.1-a),

Slika 3.1- a

i deformacioni uglovi na krajevima tapa i (slika 3.1-b).

Slika 3.1- b

Veza izmeu deformacijskih i statiki nezavisnih veliina tapa data je u matrinom obiku

,

odnosno u skraenoj formi

Ovde je matrica fleksibilnosti regularna, pa se njenom inverzijom moe dobiti veza izmeu statiki nezavisnih i deformacijskih veliina tapa

gde je osnovna ili bazna matrica krutosti tapa. Inverzijom matrice dobijamo

gde je ,

, , .Za tap konstantnog poprenog preseka imamo

,

,

.

Odavde je sada

Bazna matrica krutosti za tap konstantnog poprenog preseka

MATRICA KRUTOSTI TAPA TIPA "k"

Za odreivanje matrice krutosti tapa pomou bazne matrice potrebno je da prvo uspostavimo vezu izmeu osnovnih deformacijskih veliina tapa i parametara pomeranja tapa , kao i vezu izmeu osnovnih statiki nezavisnih veliina tapa i generalisanih sila .Sa slike 3.2 izvodi se veza izmeu osnovnih deformacijskih veliina i parametara pomeranja tapa.

Slika 3.2. Ravan tap pre i posle deformacije

Relacije u matrinom obliku izgledaju

odnosno

Iz veza ,

i uslova ravnotee tapa na slici 3.1, dobijamo veze izmeu generalisanih sila i osnovnih statiki nezavisnih veliina

odnosno, Smenom u a zatim u dobijamo

odnosno

Ovde je

traena matrica krutosti odnosno,

Za tapove sa konstantnim poprenim presekom matrica krutosti se moe dobiti korienjem izraza za , , i iz prethodnog poglavlja za dobijanje i i njihovim uvrtanjem u matricu ,

MATRICA KRUTOSTI TAPA TIPA "g"

Na slici 3.3 prikazan je tap ukljeten na kraju i zglavkasto vezan na kraju , duine , povrine i momenta inercije . tap im 5 stepeni slobode, 3 u kruto i 2 u zglavkasto vezanom voru.

Slika 3.3. Parametri pomeranja i stepeni slobode gtapa

Polazei od izraza u razvijenom vidu

i kako je moment na zglavkasto vezanom kraju , zamenom indeksa indeksom dobijamo

,a potom smenom u , dobijamo

,

gde je Odavde zamenom izraza , dobijamo za tap konstantnog poprenog preseka

i na kraju, odnosno, osnovnu ili baznu matricu krutosti za tap tipa g.Iz izraza se vidi da je broj statiki nezavisnih veliina za tap tipa g redukovan sa tri na 2. Na taj nain moemo redukovati izraze

odnosno matricu iz izraza ,

Sada se iz izraza , moe dobiti matrica krutosti g tapa

odnosno,

Za tap sa konstantnim poprenim presekom, matrica krutosti je

Za tap izloen samo uticaju savijanja, matrica krutosti za stepene slobode date na slici 4.4 glasi:

Slika 3.4.

Na slici 3.5 prikazane su komponente vektora ekvivalentnog optereenja

Slika 3.5.

Komponente vektora ekvivalentnog optereenja su jednake negativnim vrednostima reakcija levo ukljetenog i desno zglobno oslonjenog tapa, izloenog uticaju aksijalnog i transverzalnog optereenja i razlike temperatura gornje () i donje () strane tapa,

.

Ekvivalentno optereenje i usled aksijalnog optereenja i ravnomerne promene temperature odreujemo kao i za obostrano ukljeten tap.

MATRICA KRUTOSTI TAPA PROMENLJIVOG POPRENOG PRESEKA

Matrica krutosti tapa promenljivog poprenog preseka definisana je izrazom , za tap kruto vezan na oba kraja i izrazom za tap na jednom kraju kruto vezan a na drugom zglavkasto. U optem sluaju pri odreivanju koeficijenata fleksibilnosti koristimo postupak numerike integracije integrala oblika

Pri numerikoj integraciji najee se koristimo trapeznim pravilom

,ili Simpsonovim pravilom

,

pri emu broj podeoka mora biti paran

Primer 1 Za tap promenljivog poprenog preseka, kao prema donjoj slici, sa zanemarenim aksijalnim deformacijama, imamo

Odavde je sada

Bazna matrica krutosti, uzevi u obzir , po priblinoj metodi deformacija sada je

dok je traena matrica krutosti, na osnovu ,

Primer 2Za tap tipa g, promenljivog poprenog preseka, na kome je odnos visina poprenog preseka imamo

Promena duine tapa

Bazna matrica krutosti, uzevi u obzir , po priblinoj metodi deformacija sada je

dok je traena matrica krutosti, na osnovu ,

Primer 3 Matrica krutosti za tap promenljivog poprenog preseka, kao prema slici.

Numerika integracija primenom Simpsonovog pravila, izraz , daje,mxhmMiMk

m

i0,00,601,00,01,666674,629630,000000,000001

10,00,580,90,11,724144,151460,051250,461274

20,80,560,80,21,785713,644310,227770,911082

31,60,540,70,31,851853,111820,571561,333644

42,40,520,60,41,923082,560311,137921,706872

53,20,500,50,52,000002,000002,000002,000004

64,00,480,40,62,083331,446763,255212,170142

74,80,460,30,72,173910,924635,034112,157484

85,60,440,20,82,272730,469577,513151,878292

96,40,420,10,92,380950,1349710,932941,214774

k7,20,400,01,02,500000,0000015,625000,000001

60,8197962,16310114,2525442,00139

Traena matrica krutosti, na osnovu , sada je

Teoretsko reenje za aksijalno naprezanje:

Teoretsko reenje za savijanje:

Matrica krutosti, sa lanovima dobijenim integracijom na osnovu ,

MATRINA ANALIZA RAVNIH OKVIRNIH NOSAA. MATRICA TRANSFORMACIJE TAPA

Matrice krutosti tapa izvedene su u pravouglom tzv. lokalnom koordinatnom sistemu. Lokalni koordinatni sistem vezan je za kraj tapa , osa poklapa se sa osom tapa a ose y i sa glavnim centralnim osama inercije. Pojedini tapovi sa svojim lokalnim koordinatnim sistemima, deo su sistema tapova nosaa koji je vezan za jedan globalni koordinatni sistem. Zato je potrebno definisati poloaj svakog tapa u globalnom koordinatnom sistemu. Slika 4.1

Na slici 4.1 date su generalisane sile na krajevima tapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu. Sa slike su oigledne veze izmeu generalisanih sila u oba koordinatna sistema

Ove jednaine, uz smenu, , moemo napisati u matrinom obliku

i odnosno, krae

i

gde je matrica transformacije tapa. Iz izraza sledi da je

odnosno da je matrica transformacije ortogonalna.

Vektor generalisanih pomeranja i vektor ekvivalentnog optereenja prevodimo iz lokalnog u globalni koordinatni sistem i obrnuto, na isti nain kao i vektor generalisanih sila, odnosno

Matrica transformacije za tap tipa g

Za tap koji je na kraju ukljeten a na kraju zglobno vezan, matrica transformacije glasi

TRANSFORMACIJA MATRICE KRUTOSTIAko u vezi izmeu generalisanih sila i generalisanih pomeranja

zamenom relacija i u , dobijamo

odakle se, mnoenjem s leva sa , dobija

odnosno

gde je matrica krutosti tapa u globalnom koordinatnom sistemu.JEDNAINE SISTEMAProces reavanja problema statike analize nosaa korienjem matrinog postupka, odvija se u sledeim koracima: 1. Generisanje matrica krutosti elemenata i vektora ekvivalentnih sila u lokalnom koordinatnom sistemu.2.Transformacija matrica krutosti svih elemenata u globalni koordinatni sistem (jednaina ). 3. Sastavljanje matrice krutosti sistema u globalnom koordinatnom sistemu iz matrica krutosti elemenata.4. Formiranje vektora vornih sila sistema u globalnom koordinatnom sistemu. 5. Reavanje pomeranja sistema u globalnom koordinatnom sistemu. 6. Izvoenje pomeranja krajeva elemenata iz vektora globalnih pomeranja sistema i transformacija ovih pomeranja u lokalni koordinatni sistema za svaki element. 7. Odreivanje sila na krajevima tapova korienjem veze sila i pomeranja tapova.

Za svaki tap na koji deluju spoljanji uticaji, veza izmeu generalisanih sila i generalisanih pomeranja na krajevima tapa moe da se prikae izrazom

Ovde su vektor generalisanih sila za tap , , matrica krutosti , vektor generalisanih pomeranja i vektor ekvivalentnih vornih sila za zadate uticaje na tapu , ve prethodno transformisani u globalni koordinatni sistem.

Ako jednaine napiemo za sve tapove sistema , dobijamo

gde crtica iznad oznaava da se radi o vektoru generalisanih sila , matrici krutosti , vektoru generalisanih pomeranja i vektoru ekvivalentnog optereenja sistema nepovezanih tapova. Kako su tapovi povezani u vorovima sistema, pomeranja krajeva tapova povezanih u jednom voru sistema jednaka su pomeranjima tog vora. To znai da moraju biti ispunjeni uslovi kompatibilnosti pomeranja krajeva tapova i vorova sistema. Sledea relacija povezuje pomeranja krajeva tapova u pravcu globalnih koordinata i pomeranja vorova sistema

Matrica pomou koje se definiu uslovi veze tapova u vorovima sistema, naziva se kinematika matrica ili matrica kompatibilnosti sistema.

Iz jednaine je jasno da matrica ima broj redova koji je jednak broju stepeni slobode tapova sistema, a broj kolona jednak broju stepeni slobode vorova sistema. Za sistem tapova

Poto su i generalisana pomeranja vorova tapova i vorova sistema definisani u istom globalnom koordinatnom sistemu, elementi matrice, jedinice i nule, oznaavaju poklapanje ili nepoklapanje koordinata krajeva tapova i koordinata sistema. Na slici 4.2 dat je primer formiranja kinematike matrice

Slika 4.2 koordinate sistema i koordinate tapova u globalnom koordinatnom sistemu

Ako u jednaini zamenimo relaciju , a zatim pomnoimo s leva sa , dobijamo

odnosno

gde je: - matrica krutosti sistema

- vektor generalisanih sila u presecima tapova oko vorova sistema, u pravcu globalnih koordinata

- vektor pomeranja u pravcu koordinata sistema vektor nepoznatih

-vektor ekvivalentnog optereenja u vorovima sistema, definisan iz vektora ekvivalentnog optereenja tapova u pravcu globalnih koordinata

Pored uslova kompatibilnosti, u vorovima moraju da budu zadovoljeni i uslovi ravnotee. Pored sila , koje potiu od tapova, u voru deluju i spoljanje koncentrisane sile i momenti savijanja . Komponente ovog vektora su ve zadate u globalnom koordinatnom sistemu, ime se izbegava transformacija. Uslovi ravnotee u pravcima stepeni slobode svih vorova sistema glase

Ako sada u uslovima ravnotee zamenimo , dobijamo

odakle sledi sistem uslovnih jednaina metode deformacija

gde je:- vektor slobodnih lanova, kao zbir vektora zadatih spoljanjih sila u vorovima sistema i vektora ekvivalentnog optereenja sistema.KONTURNI USLOVI

Reavanjem sistema uslovnih jednaina nije mogue dobiti nepoznata pomeranja i obrtanja vorova sistema , poto je matrica krutosti sistema singularna. Razlog tome je taj to su lanovi vektora nepoznatih - pomeranja slobodnog sistema tapova, bez vezivanja za stalne take u prostoru (pomeranja u pravcima koordinata 4, 5, 6, 7 i 8 na primeru sa slike 5.2). Zato je potrebno definisati konturne uslove, odnosno uslove oslanjanja sistema. Time se ukupan broj stepeni slobode sistema (nepoznatih pomeranja) smanjuje za broj spreenih (ili zadatih) pomeranja i obrtanja oslonaca.

Ako vektor spreenih pomeranja obeleimo sa a vektor nepoznatih pomeranja sa , tada se sistem jednaina moe dekomponovati na sledei nain

odnosno razdvojiti na dva sistema jednaina

Odavde se iz prve jednaine dobija vektor nepoznatih pomeranja

a iz druge jednaine, uz voenje rauna da je

reakcije oslonaca

U sluaju da su pomeranja u pravcima oslanjanja potpuno spreena, odnosno kada je , jednaine i glase

U suaju da su zadata pomeranja oslonaca a nosa nije optereen, tj kada je

nepoznata pomeranja i reakcije oslonaca glase

Kada su odreena pomeranja u pravcima stepeni slobode sistema, pomeranja krajeva tapa u globalnim koordinatama odreujemo iz izraza

i dalje u lokalnim koordinatama tapa iz izraza 2.50a

Sada moemo odrediti sile na krajevima tapa u lokalnom koordinatnom sistemu. Ako izraz pomnoimo sa leve strane matricom transformacije , uz voenje rauna o , , a, b i , imamo

odnosnoDIREKTNO FORMIRANJE JEDNAINA SISTEMA KODNI BROJEVI

Kod konstrukcija sa veim brojem elemenata, to je redovan sluaj u praksi, formiranje matrice krutosti sistema od matrica krutosti elemenata preko kinematike matrice, dovodi to tekoa i postaje neracionalno. Red matrice jednak je [broj koordinata elemenata broj koordinata sistema] a red matrice jednak je ukupnom broju koordinata svih tapova u sistemu. Smetanje ovih matrica i operacije sa njima () zahtevaju veliko angaovanje resursa raunara. Nain da se izbegne formiranje velikih matrica i rad sa njima, predstavlja direktno formiranje matrice krutosti sistema iz matrica krutosti elemenata u globalnim koordinatama, odnosno postupkom kodnih brojeva.

Matricu krutosti tapa sa krajevima , podelimo na etiri bloka, od kojih svaki obuhvata koordinate jednog kraja tapa

Ideja je da se blok matrice krutosti tapa koji se odnosi na kraj unese u bok matrice krutosti sistema koji se odnosi na vor sistema sa istom oznakom . Ovaj postupak e biti pokazan na primeru nosaa sa slike 4.3.tappoetakvor ikrajvor k

141

212

323

425

Slika 4.3a koordinate sistema Topologija sistema

Slika 4.3b globalne koordinate elemenata

Slika 4.3c Formiranje matrice krutosti sistemaNa slici 4.3c date su eme matrica krutosti tapova 1, 2, 3 i 4, podeljenih na blokove koji odgovaraju oznakama vorova na poetku i kraju tapa, kao i kvadratna nula matrica krutosti sistema sa blokovima koji odgovaraju oznakama pojedinih vorova sistema. Matrica krutosti sistema se dobija tako to se blokovi matrica krutosti pojedinih tapova unose u matricu krutosti sistema, na mestima koji imaju iste indekse kao i vorovi tapova. Ako se na istoj poziciji nau blokovi matrica dva ili vie tapova, oni se sabiraju.

Na primer blok matrice krutosti sistema dobija se superpozicijom blokova tapa 2, tapa 3 i tapa 4. Postupak formiranja matrice krutosti sistema preko kodnih brojeva, umesto na blokove, primenjuje se na elemente matrica krutosti. Potrebno je izvriti obeleavanje (kodiranje) svih redova i kolona matrica krutosti tapova, u skladu sa poklapanjem globalnih koordinata tapova i koordinata sistema. Za dati primer imamo

,

,

Sada je matrica krutosti sistema

Primer: Pokazaemo prethodno izloeni postupak reavanja nosaa matrinom formulacijom tane metode deformacije.

- Koordinate sistema i koordinate tapova u lokalnom koordinatnom sistemu:

- Matrice transformacije

, - Matrice krutosti tapova u lokalnim koordinatama:

Transformacija matrica krutosti sa lokalnih na globalne koordinate:

Matrica krutosti sistema:

Vektori ekvivalentnog optereenja tapova u lokalnim koordinatama:

,

,

PRIMER:

Sraunati nepoznata pomeranja i sile u presecima sistema datog na slici, a zatim nacrtati dijagrame presenih sila M, T i N. Sistem je izloen uticaju optereenja.Napomena: promena krivine greda prema kvadratnoj paraboli.

,

Proraunska ema konstrukcije:

Koordinate sistema:

Lokalne koordinate elemenata:

Koordinate vorova: vorxy

112,08,5

232,08,5

344,08,5

40,08,5

53,50,0

640,50,0

Geometrija tapova:

, Tabela 1tapkraj tapaxk-xiyk-yil[m]c(cos)s(sin)

ik

114-12,00,012,0-10

21220,00,020,010

32312,00,012,010

415-8,5-8,512,0208-0,7071-0,7071

5268,5-8,512,02080,7071-0,7071

- MATRICE KRUTOSTI TAPOVA U LOKALNIM KOORDINATAMA:Matrica krutosti tapa i-k sa promenljivim poprenim presekom:

Matrica krutosti tapa i-g sa promenljivim poprenim presekom :

Matrica krutosti tapa i-g sa konstantnim poprenim presekom :

- Proraun matrica krutosti:Matrica krutosti tapova 1 i 3:

Aksijalno naprezanje - reenje numerikom integracijom:

xhx=1/hx

0,00,6001,66666711,66667

1,20,6091,64203646,56814

2,40,6361,57232723,14465

3,60,6811,46842945,87372

4,80,7441,34408622,68817

6,00,8251,21212144,84848

7,20,9241,08225122,16450

8,41,0410,96061543,84246

9,61,1760,8503421,70068

10,81,3290,75244543,00978

12,01,5000,66666710,66667

36,17393

Aksijalno naprezanje teoretsko reenje:

Popreno savijanje numerikom integracijom:

xhxMix= (Mix)2/( hx)3

0,00,6000,000000,0000010,00000

1,20,6090,100000,0442740,17710

2,40,6360,200000,1554920,31097

3,60,6810,300000,2849741,13989

4,80,7440,400000,3885120,77702

6,00,8250,500000,4452241,78089

7,20,9240,600000,4563420,91268

8,41,0410,700000,4343541,73742

9,61,1760,800000,3935120,78702

10,81,3290,900000,3450741,38029

12,01,5001,000000,2963010,29630

9,299565

Popreno savijanje teoretsko reenje:

Sada su, prema , matrice krutosti za tapove 1 i 3,

Matrica krutosti tapa 2 :

Aksijalno naprezanje - reenje numerikom integracijom:

xhx=1/hx

0,01,5000,6666710,66667

2,01,3200,7575843,03030

4,01,1800,8474621,69492

6,01,0800,9259343,70370

8,01,0200,9803921,96078

10,01,0001,0000044,00000

12,01,0200,9803921,96078

14,01,0800,9259343,70370

16,01,1800,8474621,69492

18,01,3200,7575843,03030

20,01,5000,6666710,66667

26,112746

Aksijalno naprezanje teoretsko reenje:

Popreno savijanje numerika integracija Simpsonovim pravilom:

Zbog simetrije tapa je ik = ki

mxhmMiMk

m

00,01,501,00,00,296300,000001

12,01,320,90,10,352180,039134

24,01,180,80,20,389520,097382

36,01,080,70,30,388980,166704

48,01,020,60,40,339240,226162

510,01,000,50,50,250000,250004

612,01,020,40,60,150770,226162

714,01,080,30,70,071440,166704

816,01,180,20,80,024350,097382

918,01,320,10,90,004350,039134

1020,01,500,01,00,000000,000001

6,3718473,940839

Popreno savijanje teoretsko reenje:

Sada je, prema , matrica krutosti za tap 2,

Matrica krutosti tapova 4 i 5 : , ,

- MATRICE KRUTOSTI TAPOVA U GLOBALNIM KOORDINATAMA:- Globalne koordinate tapova

- Matrice transformacijePrema a, i tabeli 1, imamo:

, , ,

- Matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu

- MATRICA KRUTOSTI SISTEMA:

A) UTICAJ ZADATOG OPTEREENJA:- Vektori ekvivalentnog optereenja tapova: Proraun momenata punog ukljetenjatap 1:

mxhmM1Mo

m

00,000,6000,00,000,000000,000001

11,200,6090,16,480,044272,868954

22,400,6360,211,520,155498,955942

33,600,6810,315,120,2849714,362564

44,800,7440,417,280,3885116,783592

56,000,8250,518,000,4452216,028054

67,200,9240,617,280,4563413,142532

78,401,0410,715,120,434359,382054

89,601,1760,811,520,393515,666572

910,801,3290,96,480,345072,484524

1012,001,5001,00,000,296300,000001

9,299565269,601769

tap 2:

mxhmM1M2Mo

m

00,01,500,01,000,000000,000000,000001

12,01,320,10,9400,004350,039131,739154

24,01,180,20,8800,024350,097389,738092

36,01,080,30,71200,071440,1667028,577964

48,01,020,40,61600,150770,2261660,308632

510,01,000,50,52000,250000,25000100,000004

612,01,020,60,41600,339240,2261690,462942

714,01,080,70,31200,388980,1667066,681914

816,01,180,80,2800,389520,0973838,952382

918,01,320,90,1400,352180,0391315,652394

1020,01,501,00,000,296300,000000,000001

6,3718473,9408391249,529748

- Vektor ekvivalentnog optereenja sistema tapova:

Ovde je: - vektor sila zadatih u vorovima, u pravcima slobodnih koordinata sistema,

- vektor sila u pravcima vezanih koordinata, odnosno reakcije oslonaca i ukljetenja

- Odreivanje pomeranja u pravcima slobodnih koordinata sistema: Polazei od sistema uslovnih jednaina

,odnosno

,

dobijamo

,

odakle, uz uslov da su pomeranja u pravcima vezanih stepeni slobode jednaka nuli, tj. , imamo

.Sada je vektor pomeranja u pravcima slobodnih koordinata sistema

,odnosno,

- Odreivanje reakcija oslonaca i oslonakih ukljetenja :

Iz sistema uslovnih jednaina imamo, ,

Odakle je, za ,

- Vektori generalisanih pomeranja tapova u lokalnom koordinatnom sistemu:

- Vektori generalisanih sila na krajevima tapova u lokalnom koordinatnom sistemu:

Za tap ,

Sile na krajevima tapova:

- Pomeranja vorova, reakcije oslonaca:

- Dijagrami presenih sila:

LITERATURA

1. M. Sekulovi, Teorija linijskih nosaa, Graevinska knjiga, Beograd, 2005.2. M. uri, Teorija okvirnih konstrukcija, knjiga, Beograd, 1981.3. Victor Sauoma, Matrix Structural Analysis with an Introduction to Finite Elements, Dept. of Civil Environmental and Architectural Engineering University of Colorado, 4. William McGuire, Richard Gallagher, Ronald Ziemian, Matrix Structural Analysis, John Wiley & Sons, Inc, New York, 2000.5. Eduard Pestel, Frewderick Leckie, Matrix Methods in Elasto Mechanics, 241-322, McGraw-Hill Book Company, Inc, New York, San Francisko, Toronto,