Matrices

Exercices avec le Classpad (calcul matriciel)

Quelques exercices de calcul matriciel, avec le Classpad

On trouvera ici quelques exercices de calcul matriciel.

Chaque exercice est corrige comple`tement, sans la calculatrice. On montre egalement ce quilest possible de faire, pour le meme enonce, avec laide du Classpad.

Exercice 1 :Trouver toutes les matrices A de M2(R) telles que A2 = A.

Solution :

Posons A =

(a b

c d

), ou` a, b, c, d sont quatre reels quelconques.

Alors A2 =

(a2 + bc b(a+ d)

c(a+ d) bc+ d2

).

Ainsi A2 = I2

a2 + bc = 1

b(a+ d) = 0

c(a+ d) = 0

bc+ d2 = 1

(S1){d = abc = 1 a2 ou (S2)

d 6= ab = c = 0

a2 = d2 = 1

Si b 6= 0, le syste`me (S1) equivaut a` A =(

a b1a2b a

), avec a R et b R.

Si b = 0, (S1) equivaut a` A =

(1 0

c 1)ou A =

(1 0c 1

), avec c R.

Le syste`me (S2) equivaut a` A = I2 ou A = I2.

On voit ici comment retrouver toutes les solutions dans lapplication du Classpad.

fig1 fig2 fig3

Jean-Michel Ferrard, lycee Saint-Louis, Paris www.mathprepa.fr Page 1


Exercice 1 :

Quelles sont les matrices qui commutent avec J =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

?Solution :Soit A = (aij) une matrice de M4(K). On resout le syste`me resultant de AJ = JA.

AJ = JA

0 a11 a12 a130 a21 a22 a230 a31 a32 a330 a41 a42 a43

=a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

0 0 0 0

a21 = a31 = a41 = 0a32 = a42 = a43 = 0a11 = a22 = a33 = a44a12 = a23 = a34a13 = a24

On constate donc que les matrices qui commutent avec J sont les matrices qui secrivent :

A=

a b c d

0 a b c0 0 a b0 0 0 a

=a1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

+ b0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

+ c0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

+ d0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Autrement dit les solutions sont les matrices A = aI + bJ + cJ2 + dJ3, avec (a, b, c, d) K4.On obtient la sous-alge`bre de M4(K) engendre par I, J, J2, J3 (car J4 = 0).Voici comment on peut conduire ce calcul avec le Classpad (pour des raisons evidentes delisibilite, on a prefere afficher ici lecran issu du Classpad Manager ).

fig4



Exercice 3 :

Pour tout reel t, on pose A(t) =

1 + t

2

2 t2

2 t

t2

2 1t2

2 t

t t 1

1. Calculer A(s)A(t), puis (A(t) I)3.2. Trouver (n), (n), (n) telles que : n N, A(t)n = nA(t)2+nA(t)+n I.

Solution :

Pour tout t de R, on a A(t) = I + tJ + t2

2K, avec J =

0 0 10 0 11 1 0

et K = 1 1 01 1 00 0 0

.1. On a J2 = K, K2 = 0 et JK = KJ = 0. Pour tout reels s, t, on en deduit :

A(t)A(s) =(I + tJ +

t2

2K)(

I + sJ +s2

2K)

= I + (t+ s)J +(s22+t2

2+ st

)K = I + (t+ s)J +

(t+ s)2

2K = A(t+ s)

On a : (A(t) I)2 =(tJ +

t2

2K)2

= t2K, puis (A(t) I)3 = t2(tJ +

t2

2K)K = 0.

2. On a A(t) = I +B(t) avec B(t) = A(t) I. On sait que B(t)3 = 0.On en deduit, en utilisant la formule du binome :

A(t)n = I + nB(t) +n(n 1)

2B(t)2 = I + n(A(t) I) + n(n 1)

2(A(t)2 2A(t) + I)

=n(n 1)

2A(t)2 n(n 2)A(t) + (n 1)(n 2)

2I

Cest le resultat attendu, avec : n =n(n1)

2, n = n(n2), n = (n1)(n2)

2Par acquis de conscience, on verifie que le resultat est correct si n {0, 1, 2}.

Voici quelques elements de la resolution de cet exercice avec le Classpad.

fig5 fig6 fig7



Il y a une autre methode, pour calculer les coefficients n, n, n.

On sait en effet que la matrice A(t) est annulee par le polynome P (X) = (X 1)3.Notons Xn = (X 1)3Q(X) + nX2 + nX + n la division euclidienne de Xn par (X 1)3.Si on substitue la matrice A(t) a` lindeterminee X, on trouve :

A(t)n = (A(t) I)3 =0

Q(A(t)) + nA(t)2 + nA(t) + nI = nA(t)

2 + nA(t) + nI.

Il reste a` calculer n, n, n a` partir de legalite (E) : Xn = (X 1)3Q(X)+nX2+ nX + n.

On substitue 1 a` X et on trouve 1 = n + n + n.

On derive (E) et on trouve nXn1 = (X 1)2R(X) + 2nX + n puis n = 2n + n.On rederive (E) et on trouve n(n 1)Xn2 = (X 1)S(X) + 2n puis n(n 1) = 2n.Les trois egalites obtenues donnent successivement :

n =n(n1)

2, n = n 2n = n(n2), n = 1 n n = (n1)(n2)

2

Voici comment on peut appliquer cette methode dans lapplication (fig8).

fig8 fig9

On voit egalement (fig9) comment verifier directement A(s)A(t) = A(s+ t) avec le Classpad.

Remarque : sachant que J3, la definition A(t) = I3 + tJ +t2

2J2 secrit aussi A(t) =

k=0

(tJ)k

k!.

Autrement dit, la matrice A(t) est lexponentielle de la matrice tJ .

On sait que si B,C sont des matrices carrees qui commutent, on a eBeC = eCeB = eB+C .

Ce nouveau point de vue permet de retrouver A(t)A(s) = etJesJ = e(t+s)J = A(s+ t).



Exercice 4 :

On conside`re la matrice A =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

.Calculer A2 et A3. Montrer que A est inversible et calculer A1.

Solution :

On trouve A2 =

4 0 0 20 4 0 20 0 4 22 2 2 4

.

De meme A3 =

2 6 6 66 2 6 66 6 2 66 6 6 10

.On remarque que A3 = 6A 4I.Ainsi A(A2 6I) = 4I, donc A estinversible et A1 =

1

4(A2 6I).

Donc A1 =1

2

1 0 0 10 1 0 10 0 1 11 1 1 1

.fig10 fig11

Exercice 6 :

On se donne les matrices A =

(0 18 1

)et B =

(16 1232 15

).

Montrer quil existe des matrices inversibles P telles que P1AP = B et les trouver toutes.

Solution :

Soit P une matrice inversible. On a B = P1AP si et seulement si PB = AP .

On va resoudre cette dernie`re equation (plus simple), et ne garder que les solutions inversibles.

Posons P =

(a b

c d

). On a PB = AP

(16a+ 232b a 15b16c+ 232d c 15d

)=

(c d

8a+ c 8b+ d

).

Ce syste`me equivaut a`

16a+ 232b c = 0a+ 15b+ d = 0

8a 15c 232d = 08b+ c+ 16d = 0

qui se reduit a`

{a = 15b dc = 8b 16d

Les solutions sont donc les matrices P (b, d) =

( 15b d b8b 16d d

).

Le determinant dune telle matrice P (b, d) est = 8b2 + bd d2.Si on conside`re comme un trinome en b, le discriminant est 33d2.

Ce determinant est donc nul si b =(133)d

16.

Les matrices P cherchees sont donc les P =

( 15b d b8b 16d d

)avec b 6= (1

33)d

16.



Voici comment traiter lexercice precedent dans lapplication du Classpad.

Apre`s avoir supprime les variables dont le nom se reduit a` une seule lettre (precaution utileici), on definit les matrices A,B, P , puis la matrice C = PB AP (fig12).

On cree ensuite le syste`me exprimant que les coefficients de la matrice C sont nuls.

On resout ce syste`me avec linstruction solve (fig13).

On remarquera lordre des variables (ici a, c, b, d, ce qui signifie quon resout prioritairementpar rapport a` a et c, en considerant b et d comme des parame`tres).

On reporte dans la matrice P les solutions obtenues.

On calcule enfin le determinant de P , puis on determine dans quels cas il est nul.

fig12 fig13

Exercice 7 :

Calculer An, avec A =

0 1 sin 1 0 cos sin cos 0

.Solution :

Posons s = sin et c = cos .

On a A2 =

c2 sc c

sc s2 sc s 1

.

Ainsi A3 =

0 1 s1 0 cs c 0

c

2 sc csc s2 sc s 1

= 0.Finalement An = 0 pour n > 3.

On verifie bien sur que A3 = 0 avec le Classpad.

fig14


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