5/22/2018 MATRICE

1/12

FARMACEUTSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU

MATRICE(seminarski rad)

Mentor: prof. dr. Senada Kalabui Studentica: Ena Nukovi

Sarajevo, 20.1.2013.

5/22/2018 MATRICE

2/12

2

Sadraj:

1.0 Uvod .....................................................................................................................................3

1.1 Definicija i osnovna svojstva matrica ..................................................................................4

1.2 Operacije sa matricama ........................................................................................................5

1.2.1 Sabiranje i oduzimanje matrica ...................................................................................5

1.2.2 Mnoenje matrica skalarom ........................................................................................5

1.2.3 Mnoenje matrica matricom .......................................................................................6

1.3 Transponovane matrice .......................................................................................................7

1.4 Kvadratne matrice ...............................................................................................................7

1.4.1 Simetrine i kososimetrine matrice...........................................................................71.4.2 Jedinine matrice .........................................................................................................81.4.3 Inverzne kvadratne matrice .........................................................................................81.4.4 Regularne kvadratne matrice ......................................................................................81.4.5 Ortogonalne matrice ....................................................................................................8

1.5 Determinanta kvadratne matrice ..........................................................................................9

1.5.1 Raunanje inverzne matrice uz upotrebu determinante ..............................................9

1.6 Primjena matrica na rjeavanje matrinih jednaina i sistema linearnih jednaina...........11

1.7 Zakljuak ............................................................................................................................12

1.8 Literatura ............................................................................................................................12

5/22/2018 MATRICE

3/12

3

1.0 Uvod

Jo u IVstoljeu prije nove ere Babilonci su se koristili tabelama i njihovim karakteristikamakoje lie na ono to danas nazivamo matricama. Meutim, pradomovinom matrica smatra seKina. U II stoljeu prije nove ere Han Dynasty je predstavio rjeenjeproblema prinosa riei

to upravo matrinom metodom. To je bio klasian nain rjeavanja sistema linearnihjednaina ali se zbog zapisa dovodi u vezu sa matricama.

Matrice postaju pravi dio matematike tek u XIX stoljeu. Cantor i Lebeg su teorijom kvantadoli do matrica, koje u matematiku uvodi Arthur Cayley 1857. godine.

Kako je matematika u potpunosti apstraktna nauka, njen razvoj je velikim dijelom uslovljennjenim primjenama. to se tie matrica, pored primamljivih i nikada potpuno dokuivih

puteva matematike, moemo zahvaliti i drugim naukama koje su svoje probleme svele namatrice. Problem prinosa rie iz stare ere danas uspjeno zamjenjuju problemi iz oblastifotografije, informatike, fizike, biologije, pa ak i psihologije. Najinteresantniji i najbrojniji suinformatiki problemi. Cijela teorija kodiranja, koja uva nepromjenjenost podataka pri

prijenosu, zasniva se na matricama; programiranje se ne moe zamisliti bez matrica; jedan odboljih matematikih programskih paketa, MatLab, zasniva se na principu matrica.

Ni veliki matematiari nisu odoljeli potrebi da njhov pojam ima sufiks matrica. Tako suKatalanov, Paskalov i Fibonaqijev niz nali mjesto u jednoj od trougaonih polovina matrice istvorili probleme kombinatornih identiteta.

5/22/2018 MATRICE

4/12

4

1.1 Definicija i osnovna svojstva matrica

Matrice je u matematiku uveo engleski matematiar A. Cayley (1821-1895) u svom radu iz1857. god. Matrice predstavljaju sisteme brojeva sa kojima moemo raunati gotovo kao sa

brojevima,pa one u izvjesnom smislu uopavaju brojeve.

Definicija 1:Pod matricom tipa (formata) mxnnad skupom P podrazumjevamo funkciju kojapreslikava Dekartov proizvod {1,2,...,m}x{1,2,....,n}.

Matrica tipa mxnje pravougaona ema (tabela) koja ima mvrsta i nkolona i zapisuje se uobliku:

Ako je A matrica formata mxn, tada njene elemente oznaavamo sa aij, gdje namioznaavaredni broj vrste, a jredni broj kolone matrice A, i piemo A=(aij)mxn . Matrice obiljeavamovelikim slovima latinice sa ili bez indeksa.

Matrica koja sadri samo jednu vrstu zove se matrica vrste ili vektor-vrsta, a akosadri samo jednu kolonu zove se matrica kolona ili vektor-kolona.

Ako su elementi matrice realni brojevi tada je matrica realna, a ukoliko sadrikompleksne elemente matrica je kompleksna.

Matrica iji su svi elementi nule naziva se nula matrica.Jednakost matrica

Za dvije matrice A = (aij)m x ni B = (bij)m x nkaemo da su jednka onda i samo onda ako suistog tipa i ako su im odgovarajui elementi jednaki.

A = B(i,j) (aij= bij, i=1, 2, ..., m;j=1, 2, ..., n)Iz definicije jednakosti dvije matrice i svojstva jednakosti brojeva slijedi da je jednakostmatrice tipa mxn:

1. Refleksivna ako je A=A

2. Simetrina ako iz A=B B=A

3. Tranzitivna ako iz A=B i B=C A=C

Pr. 1 A = [ ] i B = [ ]

Koji uslovi treba da budu ispunjeni da bi matrice A i B bile jednake?

Ove matrice su istog tipa mxn = 2x3 pa je ispunjen potreban uslov za jednakost matrica. Trebajo izjednaiti odgovarajue elemente:

2 =j+ 3 j= -1

x = 5 z = 0

5/22/2018 MATRICE

5/12

5

1.2 Operacije sa matricama

1.2.1 Sabiranje i oduzimanje matrica

Definicija 2: Dvije matrice istog tipa A = (aij)m x n i B = (bij)m x nsabiraju se tako to im sesaberu odgovarajui elementi.

A + B = (aij)m x n+ (bij)m x n = (aij +bij)m x n

Za sabiranje matrica vae zakoni:

1. Komutacije: A + B = B + A

2. Asocijacije: A + (B + C) = (A + B) + C

3. Neutralni element za sabiranje matrica tipa mxnje nula matrica tipa mxn.

Za svaku matricu A = (aij) postoji suprotna matrica istog tipa A = (aij) tako da je:

A+ (A) = (aij ) + (aij) = (aij aij) = (oij) = O

iz ega proizilazi da je nula matrica neutralna matrica za sabiranje i oduzimanje. Matrica -Anaziva se suprotna matrica matrice A.

Pr. 2

+

=

Definicija 3: Dvije matrice istog tipa A = (aij)m x ni B = (bij)m x n oduzimaju se tako to im seoduzmu odgovarajui elementi, analogno sabiranju matrica.

AB = =

1.2.2 Mnoenje matrica skalarom

Definicija 4: Matrica se mnoi skalarom tako to se svaki element te matrice pomnoi datimskalarom odnosno realnim brojem. Analogno mnoenju, vri se i dijeljenje matrice skalarom.

Ako je data matrica A = (aij)m x n i realan broj , tada je A = (aij)m x n

Pr. 3 Data je matrica A = , pomnoiti matricu skalarom ako je = 22A =

=

5/22/2018 MATRICE

6/12

6

Za mnoenje matrica skalarom vai:

1. Zakon komutacije: A = A

2. Zakon asocijacije: ()A = A = (A)

3. Dva zakona distribucije: ( + )A = A + A i (A + B) = A + B

4. Zakon jedinice: 1A = A1

1.2.3 Mnoenje matrice matricom

Definicija 5: Matrice A = (aij)m x ni B = (bij)q x p mogu da se pomnoe samo ako je broj kolonamatrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n = q. Takve matrice su saglasnematrice i u tom sluaju kao njihov proizvod dobija se matrica koja ima broj vrsta kao matricaA i broj kolona kao matrica B.

A B = C(cij)m x p cij=

n

k 1

aik bjk

Pr. 4 Nai proizvod matrica A = 3x4 i B = 4x3

Matrice su saglasne jer je broj kolona prve matrice jednak broju vrsta druge matrice (4), pa jemnoenje mogue i nastat e matrica formata 3x3.

Proizvod dvije matrice moe biti nula matrica iako nijedan faktor nije nula.

Pr. 5 A B = = Za mnoenje matrica matricama vai:1. Zakon asocijacije: ABC = A (BC)2. Zakon distribucije s lijeva prema sabiranju A(B+C) = AB + AC3. Zakon distribucije s desna prema sabiranju (B+C) A = BA + CA4. A0 = 0A = 05. Mnoenje matrica u optem sluaju nije komutativno. Ako postoji proizvod matrica A i B,odnosno AB, to ne znai da mora da postoji proizvod B i A, odnosno BA. ak i ako postoji

AB ne mora biti jednako BA. Meutim, ako vai AB = BA onda se kae da su matricekomutativne.

5/22/2018 MATRICE

7/12

7

1.3 Transponovane matrice

Definicija 6:Transponovana matrica matrice A tipa m x nje matrica AT tipa m x nkoja se odmatrice A dobija tako to vrste matrice A zamijene mjesta sa odgovarajuim kolonama,odnosno i-ta vrsta postajej-ta kolona; elementi na mjestu aijprelaze na mjesto aji.

A = AT =

Za transponovane matrice vai:

1. (AT)T = A2. (A)T = AT

3. (A + B)T= AT + BT

Ako su date matrice A = (aij)m x ni B=(aij)m x ntada je (AB)T

= BT

AT

1.4 Kvadratne matrice

Definicija 7:Kvadratna matrica je matrica kod koje je broj vrsta jednak broju kolona m = n.Samo ovakve matrice mogue je stepenovati.

Ako je A kvadratna matrica, a k neki prirodan broj, tada se k-tim stepenom matricepodrazumijeva

Ak = AA...A (k puta)

1. A0=12. AkAl= Ak+l

3. (AB)k= Ak Bl

1.4.1 Simetrine i kososimetrine matrice

Kvadratna matrica se naziva simetrina matrica ako su njeni elementi, koji lee simetrino sobzirom na glavnu dijagonalu, meusobno jednaki aij = aji.Simetrina matrica jednaka je svojoj transponovanoj matrici AT = A tj. A =

Kososimetrina matrica ili antisimetrina matricaA = je matrica kod koje su elementi,simetrino rasporeeni u odnosu na glavnu dijagonalu, jednaki po veliini i suprotnog

predznaka aij = (aji).

Za simetrine i antisimetrine matrice vrijedi teorem:Svaka kvadratna matrica A se moe rastaviti u zbir jedne simetrine matrice As i jedneantisimetrine matrice Aa, tj.

5/22/2018 MATRICE

8/12

8

1.4.2 Jedinine matrice

Definicija 8: Jedinina matrica je kvadratna matrica kod koje su svi elementi na dijagonalijednaki jedinici, a svi elementi izvan glavne dijagonale su nule.

3x3Jedininu matricu oznaavamo saI. Ova matrica se jo naziva identinom jer u proizvodu sadrugim matricama daje upravo njih kao rezultat mnoenja, odnosno ne mijenja ih.

A I = I A = A

1.4.3 Inverzne kvadratne matrice

Definicija 9: Inverzna matrica A1 neke kvadratne matrice A definisana je svojstvom dapomnoena s A (bilo slijeva, bilo zdesna) daje jednininu matricu I.

A A-1 = IInverzne matrice mogu se definisati samo u okviru kvadratnih i regularnih matrica.

1.4.4 Regularne kvadratne matrice

Kvadratna matrica naziva sesingularnom matricom ako je njena determinanta jednaka nuli, tj.det A=0, a nesingularnom ili regularnom matricom ako joj je determinanta razliita od nule,tj. det A0.

1.4.5 Ortogonalne matrice

Za neku kvadratnu matricu Aemo rei da je ortogonalna matrica ako je proizvod te matricei njoj transponovane matrice jednak jedininoj matrici I.

Produkt matrice A i transponovane matrice daje simetrinu matricu B:

A = B jer je:

5/22/2018 MATRICE

9/12

9

1.5 Determinanta kvadratne matrice

Determinanta kvadratne matrice ARnxnje realan broj pridruen toj matrici i oznaavamo jesaA ili det(A).

Pr. 6a) Data je matrica A = , nai njenu determinantu:Determinanta drugog reda se rauna tako to se od proizvoda elemenata na glavnoj dijagonalioduzme proizvod elemenata na sporednoj dijagonali te determinante.

b) Determinanta treeg reda(Sarrussovo pravilo):S desne strane determinante dopiemo prve dvije kolone matrice A, a zatim mnoimo

elemente na tri glavne dijagonale, saberemo ih i od njih oduzimamo zbir proizvoda elemenatasa sporednih dijagonala.

Ako je data matrica B, nai njenu determinantu:

1.51 Raunanje inverzne matrice uz upotrebu determinante

Kvadratna matrica, kako je ranije reeno, je regularna ako je njena determinanta razliita odnule. U tom sluaju postoji inverzna matrica koja se nalazi iz relacije:

gde je adjungovana matrica matrice A: A* = (Aij)T

Odreivanje inverzne matrice:1. Izraunamo determinantu matrice A. Ukoliko je det(A) 0 prelazimo na naredni korak2. Odredimo kofaktore Aij svih elemenata aijmatrice A3. Formiramo matricu kofaktora pa je transponujemo i na taj nain dobijamo adjungovanumatricu A*

4. Podijelimo matricu A* sa det(A) i dobijamo inverznu matricu matrice A.

5/22/2018 MATRICE

10/12

10

Pr. 7 Nai inverznu matricu matrice A ako je:

A =

det(A) = -9

A11 = -5 A12 = -2 A13 = -4

A21 =2 A22 =-1 A23 = -2 A31= 2 A32= -1 A33= 7

A* = T = A-1 =

= ( )

5/22/2018 MATRICE

11/12

11

1.6 Primjena matrica na rjeavanjematrinih jednainai sistema linearnih jednaina

Operacije mnoenja matrica i inverzne matrice vezane su za rjeenje sistema linearnihjednana. U tom cilju obrazujemo sistem od n linearnih jednaina sa n nepoznatih:

Od koeficijenata uz nepoznatu obrazujemo kvadratnu maricu A, od nepoznatih matricukolonu X i od slobodnih lanova matricu kolonu B.

Amatrica sistema Xvektor kolone Bslobodni lanovi sistema

A X = BDa bi odredili matricu X, matrica A mora da bude nesingularna tj. da ima inverznu matricuA1. Zato ovu jednainu mnoimo s lijeva sa A1i dobijamo ekvivalentnu matrinu jednainu

A1AX = A1B

IX = A

1

BX = A-1B

Poetni sistem je saglasan ako je skup rjeenja neprazan. U suprotnom je nesaglasan.Saglasan sistem je odreen, ako je skup rjeenja jednolan. U suprotnom je neodreen.Ako su svi slobodni lanovi sistema nule, takav sistem se naziva homogen. Svaki homogensistem je saglasan jer uvijek ima rjeenje (0,. . . ,0).

Pr. 8 Rjeiti matrinu jednainu ako je:

5/22/2018 MATRICE

12/12

12

1.7 Zakljuak

Matrice imaju vanu ulogu u savremenoj matematici, kako u istoj, tako i u primjenjenoj.Takoer se pojavljuju u fizici, psihologiji, ekonomiji, statistici, tehnici, geodeziji itd. Naglom

razvitku matrice u novije vreme doprinjela je i injenica da se na raunskim mainama moguizvriti raunske operacije koje su definisane meu matricama. Uz pomo raunskih mainamogu se za svega nekoliko sati izvoditi rauni za koje bi inae trebalo nekoliko godina. Zatomatrice imaju tako iroku primjenu.

1.8 Popis literature:

1. B. Pavkovi, D. Veljan, Elementarna matematika 2, kolska knjiga, Zagreb, 1994 .

2. N. Elezovi, Linearna algebra, Element, Zagreb, 2001.3. . Ljubovi, Matematika, Univerzitetska knjiga, IP ''Svjetlost'', D.D., Sarajevo, 1997.

4. S. Likavec, D. uni, B. Cari, Poslovna matematika, Fakultet za industrijski menadmenti ekonomiju, Novi Sad, 2008.