Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet 

   

  

Zoran Matijević   

VRSTE PRIGUŠENJA I MATRICA PRIGUŠENJA 

 

       

 Zagreb, svibanj 2009. 

  

  

Sadržaj: 1.  Uvod ................................................................................................................................................ 1 

2.  Analiza prigušenih oscilacija i odgovor na harmoničko opterećenje .............................................. 2 

3.  Općenito o prigušenju i vrste prigušenja ........................................................................................ 8 

3.1  Općenito o prigušenju ............................................................................................................. 8 

3.2  Coulomb‐ovo prigušenje  (suho trenje) .................................................................................. 9 

3.3  Viskozno prigušenje ............................................................................................................... 11 

3.3.1  Određivanje ekvivalentnog viskoznog prigušenja metodom slobodnih vibracija ......... 13 

3.4  Prigušenje uslijed neelastičnog ponašanja konstrukcije ....................................................... 15 

4.  Matrica prigušenja......................................................................................................................... 16 

4.1  Klasična matrica prigušenja ................................................................................................... 18 

4.1.1  Rayleigh‐evo prigušenje ................................................................................................ 18 

4.1.2  Caughey‐evo prigušenje ................................................................................................ 21 

4.2  Neklasična matrica prigušenja ............................................................................................... 22 

5.  Zaključak ........................................................................................................................................ 23 

6.  Literatura ....................................................................................................................................... 24 

 

 1. Uvod

Objasnit će se utjecaj prigušenja na ponašanje konstrukcije, vrste prigušenja i matrica

prigušenja sustava s više stupnjeva slobode. No, nije moguće pričati o prigušenju konstrukcije

ako se ne zna ništa o dinamici konstrukcija, utjecaju dinamičkih sila i reakciji konstrukcije na

takvu pobudu. Zbog toga će se u prvo ukratko objasniti osnovna razlika između statičkog i

dinamičkog problema, osnovni dinamički model, matematička formulacija osciliranja

konstrukcije uslijed dinamičke vanjske pobude te način odgovora konstrukcije i njeno

ponašanje uz prigušenje.

U nastavku će se objasniti izvor prigušenja u konstrukciji, načini gubitka mehaničke

energije iz dinamičkog sistema i kako karakteristike materijala od kojeg je izgrađena

konstrukcija mogu bitno utjecati na prigušenje cijele konstrukcije. Zbog mogućnosti lakšeg i

potpunijeg razumijevanja, sve navedeno će biti pojašnjeno na sistemu s jednim stupnjem

slobode.

Poznavajući izvore prigušenja u konstrukciji, način njihovog utjecaja na ponašanje

konstrukcije i ostalih osnovnih pojmova, moći će se razumjeti matrica prigušenja složene

konstrukcije s više stupnjeva slobode. Matricu prigušenja jedne takve konstrukcije nije

moguće proračunski dobiti. No, u ovom radu će se prikazati kako je moguće odrediti matricu

prigušenja iz eksperimentalnih podataka.

1  

 

2. Analiza prigušenih oscilacija i odgovor na harmoničko opterećenje

Rješenje tipičnog dinamičkog problema konstrukcije je znatno kompliciranije nego

rješenje statičkog problema uslijed djelovanja inercijalnih sila i sila prigušenja uz sile

elastične otpornosti gibanju konstrukcije i uslijed vremenske ovisnosti iznosa svih prisutnih

sila. Za većinu praktičnih situacija, rješenje je općenito moguće jedino uz pomoć suvremenih

računala koji su postali standardni alat proračuna dinamike konstrukcija.

Dinamički problem konstrukcije se razlikuje od statičkog ekvivalenta u dvije važne stvari.

Prva razlika je, po definiciji, što kod dinamičkog problema ponašanje konstrukcije ovisi o

vremenu. Zbog toga što opterećenje i reakcije ovise o vremenu, evidentno je da dinamički

problem nema jedinstveno rješenje kao statički. Druga razlika između statičkog i dinamičkog

problema je prikazana na slici 1. Ako se prosta greda optereti statičkim opterećenjem p (slika

1a), unutrašnje sile i oblik ovise jedino o tom opterećenju p i mogu se izračunati iz jednadžbi

ravnoteže. S druge strane, ako je opterećenje p(t) dinamičko (slika 1b) rezultirajući progibi

grede ne ovise samo o tom opterećenju nego i o silama inercije koje se odupiru akceleraciji

koja ih proizvodi.

Sile inercije 

Slika 1) Razlika statičkog i dinamičkog problema proste grede

Neophodne fizikalne karakteristike linearno-elastične konstrukcije ili mehaničkog sistema

koji je podvrgnut djelovanju vanjskog dinamičkog opterećenja su masa, elastična karakte-

ristika (fleksibilnosti ili krutost) i prigušenje. Kod najjednostavnijeg modela sistema s jednim

stupnjem slobode pretpostavlja se da je svaka karakteristika koncentrirana u jedan fizikalni

element (slika 2). Cijela masa m sistema je sadržana u krutom tijelu koji je oslonjen na

klizače tako da se može pomicati samo translacijski; jedina koordinata pomaka (t) potpuno

definira položaj tijela. Elastični otpor pomaku je osiguran s bestežinskom oprugom krutosti k,

2  

 

dok se gubitak mehaničke energije sistema osigurava prigušivačem c. Vanjsko dinamičko

opterećenje koje uzrokuje reakciju sistema je sila ovisna o vremenu p(t).

Slika 2) Idealizirani sistem s jednim stupnjem slobode:

a) osnovne komponente b) sile u jednadžbi gibanja

Jednadžba ponašanja jednostavnog sistema sa slike 2a je najjednostavnije formulirati ako

se direktno izrazi jednadžba djelovanja svih sila na masu krutog tijela koristeći d'Alambertov

princip. Kako je prikazano na slici 2b, sila koja djeluje u smjeru pomaka je vanjsko

opterećenje p(t), dok su tri sile otpora rezultat kretanja tijela; inercijalna sila , sila

prigušenja i sila opruge na s izrazom . Jednadžba ponašanja je da

. (2.1)

Svaka sila prikazana s lijeve strane jednadžbe je funkcija pomaka u(t) ili jedne od njenih

derivacija. U skladu s d'Alambertovim principom, inercijalna sila je produkt mase krutog

tijela i akceleracije

. (2.2a)

Pretpostavljajući viskozno prigušenje, sila prigušenja je produkt konstante prigušenja c i

brzine

. (2.2b)

Na kraju, elastična sila je produkt kru s u deformacije to ti opr ge k i

. (2.2c)

Uvrsti se izraz (2.2) u (2.1) i a s jednim stupnjem slobode dobiva se zakon ponašanja sistem

. (2.3)

3  

 

Rješavanje ove diferencijalne jednadžbe je u većini slučajeva dugotrajno i naporno. Prikazat

će se ukratko pretpostavke i postupci potrebni za njeno rješavanje, dok detaljan izvod neće

biti obrađen.

Prvo se riješi homogena diferencijalna jednadžba

0. (2.4)

Odgovor slobodnih oscilacija koji bi se mogao dobiti kao rješenje jednadžbe (2.4) je izražen

kao

exp . (2.5)

Uvrsti se izraz (2.5) ili odgova 2.4) i dobiva se rajuća njegova derivacija u izraz (

exp 0

i poslije dijeljenja s i uvođenja oznake

(2.6)

izraz postaje

0. (2.7)

Dvije vrijednosti varijable koja zadovoljava kvadratnu jednadžbu (2.7) ovise o vrijednosti

konstante prigušenja u odnosu na vrijednost krutosti i mase , dok vrsta gibanja

konstrukcije ovisi o jakosti prigušenja u sistemu. Vrijednosti varijable su dane izrazom

, . (2.8)

Tri tipa ponašanja konstrukcije su prikazana s ovim izrazima, ovisno o diskriminanti koja

može biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli. Na ovaj način se direktno može predočiti kako

će se konstrukcija ponašati i kako na nju utječe prigušenje.

4  

 

• Kritično-prigušeni sistem

Ako je diskriminanta jednaka nuli, evidentno je da je ; kritična vrijednosti

koeficijenta prigušenja, , je

Koristeći početne u n jalne jednadžbe (2.4)

2 . (2.9)

vjete 0 i 0 dolazimo do rješenja difere ci

0 1 (2.10) 0 exp

što je i prikazano na slici 3 za pozitivne vrijednosti 0 i 0 . Primjetite da ovaj slobodan

odgovor kritično-prigušenog sistema ne uključuje oscilacije oko nultog položaja, nego se

vraća u nulu asimptotski u odnosu na eksponencijalnu funkciju u izrazu (2.10).

 

0  

Slika 3) Slobodne oscilacije kritično-prigušenog sistema

• Ispodkritično-prigušeni sistem

Ako je prigušenje manje od kritičnog, , očito je da je iznos diskriminante u izrazu

(2.8) negativan. Za odrediti slobodne vibracije u ovom slučaju pogodno je izraziti prigušenje

u obliku relativnog odnosa prema kriti p guš nju, čnom ri e

. (2.11)

To dovodi do frekvencije za slobodne vibracije ispodkritično-prigušenog sistema

1 . (2.12)

Koristeći ponovno početne uvjete 0 i 0 dolazi se do rješenja diferencijalne

jednadžbe (2

5  

.4) za ispodkritično-prigušeni sistem

0 sin exp . (2.13)

 

Slika odgovora konstrukcije, s ispodkritičnim-prigušenjem s početnim pomakom 0 , ali s

početnom brzinom jednakom nuli 0 0, je prikazana na slici 4. Vidljivo je da sistem

oscilira sa stalnom frekvencijom oko neutralnog stanja, dok se amplituda titranja

smanjuje.

 

0 0

0  0  

Slika 4) Ispodkritično-prigušeni sistem

• Nadkritično-prigušeni sistem

Premda je vrlo neobično da prigušenje konstrukcije bude veće od kritičnog, ponekada se

pojavljuju kao mehanički sistemi, zbog toga je korisno prikazati analizu nadkritično-

prigušenog sistema kako bi se prezentacija upotpunila. U ovom slučaju je koeficijent

relativnog prigušenja 1. Dobivam nja nadkritično-prigušenog sistema o frekvenciju titra

1. (2.14)

Za ovaj slučaj prigu o ) šenja d bivamo rješenje diferencijalne jednadžbe (2.4

sinh cosh exp (2.15)

u kojem se konstante A i B mogu odrediti korištenjem početnih uvjeta 0 i 0 . Lako je

pokazati da se nadkritično-prigušeni sistem ponaša slično kao i kritično-prigušeni sistem

prikazan na slici 3.

6  

 

Kako bi se upotpunilo rješenje diferencijalne jednadžbe (2.3) potrebno je pronaći

partikularno rješenje. Ukupno rješenje je jednako zbroju homogenog i par atikul rnog rješenja.

Pretpostavit ćemo vanjsko opterećenje harmonijske prirode oblika sin .

Vračajući se u jednadžbu ponašanja (2.3), dijeljenjem s i uzimajući u obzir da je

dobiva se

2 sin . (2.16)

Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe slobodnih oscilacija prigušenog sistema je dano

izrazom

sin exp . (2.17)

Partikularno rješenje izraza (2 6 a .1 ) tr ži se u obliku

cos sin . (2.18)

Koristeći izraze (2.17) i (2.18) i odgovarajuće njihove derivacije, prateći metode rješavanja

diferencijalnih jednadž š a ja jednadžbe (2.3) bi dolazi se do konačnog rje enj diferenci lne

sin exp

1 sin 2 cos . (2.19)

Konstante A i B se mogu izračunati iz početnih uvjeta 0 i 0 . Prvi dio desne strane

izraza (2.19) predstavlja kratkotrajan utjecaj (transient response), koji se zbog prigušenja

smanjuje eksponencijalno s vremenom, dok je drugi dio stalan (steady state response) i

nastavlja se dok traje pobuda. Konstante A i B nije potrebno ni proračunavati jer doprinos od

kratkotrajnog utjecaja zbog dosta brzog prigušenja nema praktičnog značaja. Drugi dio

odziva, stalni, ima dominantno značenje i utjecaj na amplitudu odziva.

 

7  

 

3. Općenito o prigušenju i vrste prigušenja

U prethodnom poglavlju se ukratko pokazala osnovna razlika između statičkog i

dinamičkog opterećenja konstrukcije, analiziralo se i ponašanje konstrukcije ovisno o iznosu

koeficijenta prigušenja, te se pokazao i izraz za odgovor konstrukcije na koju djeluje

harmonijska pobuda. Sve se to radi jednostavnosti pokazalo na sistemu s jednim stupnjem

slobode.

Iako se pokazao utjecaj prigušenja na oscilacije konstrukcije, nigdje nije objašnjeno što je

to prigušenje, te koje vrste prigušenja postoje. To će se pobliže objasniti u ovom poglavlju.

3.1 Općenito o prigušenju  

Proces zbog kojega slobodne vibracije sustavno smanjuju amplitudu se zove prigušivanje.

Pri prigušenju se mehanička energija vibrirajućeg sistema pretvara u druge oblike energije

zbog različitih mehanizama, često može biti prisutno više takvih mehanizama u istom

trenutku. U stvarnoj vibrirajućoj konstrukciji mehanička energija se pretvara u druge oblike

na spojevima čeličnih elemenata, na otvaranje i zatvaranje mikro pukotina u betonu, trenjem

između elemenata konstrukcije, itd. Nemoguće je točno odrediti ili matematički opisati svaki

od ovih mehanizama pri kojima dolazi do promjene oblika energije.

Zbog nemogućnosti prikazivanja stvarnog stanja u konstrukciji, prigušenje se u

matematičkim modelima prikazuje kao vrlo idealizirana pojava. Za mnoge svrhe se stvarno

prigušenje sistema idealizira s linearnim viskoznim prigušenjem. To se moglo uočiti i u

prethodnom poglavlju. Koeficijent prigušenja je odabran tako da je ukupna mehanička

energije sistema, koja se pretvori u neki drugi oblik energije, ekvivalentna promjeni

mehaničke energije u druge oblike u svim mehanizmima prigušenja u stvarnoj konstrukciji.

Ova idealizacija je poznata kao ekvivalentno viskozno prigušenje.

Za razliku od krutosti konstrukcije, koeficijent prigušenja se ne može proračunati iz

dimenzija konstrukcije i njenih elemenata. To je i logično jer se ne može točno pretpostaviti

sve mehanizme gubitka energije u konstrukciji, no može se provoditi vibrirajuće eksperimente

na stvarnoj konstrukciji koja će dati podatke za procjenu koeficijenta prigušenja.

Objasnit će se tri vrste prigušenja; Coulomb-ovo prigušenje, viskozno prigušenje,

prigušenje uslijed neelastičnog ponašanja konstrukcije.

8  

 

3.2 Coulomb-ovo prigušenje (suho trenje)

U odjeljku 3.1 se spominje da je prigušenje stvarne konstrukcije uzrokovano s više

mehanizama gubitka energije istodobno i da je matematički pogodan pristup da idealiziramo

prigušenje s ekvivalentnim viskoznim prigušenjem. Iako je ovaj pristup dovoljno točan za

praktične analize velikog broj konstrukcija, može biti neprikladan kada su u konstrukciji

postavljeni posebni mehanizmi koji smanjuju vibracija uslijed potresa. Zbog toga je potrebno

analizirati prisutnost Coulomb-ovih sila prigušenja (suho trenje).

Coulomb-ovo prigušenje je rezultat trenja između dvije suhe podloge. Sila trenja je

definirana izrazom , gdje se smatra koeficijent trenja (neće se praviti razlika

između statičkog i kinematičkog trenja), dok je normalna sila između kližučih površina.

Pretpostavlja se da je sila trenja neovisna o brzini jednom kad je gibanje pokrenuto. Smjer sile

trenja je suporotan smjeru gibanja i predznak sile trenja će se promijeniti kada se promijeni

smjer gibanja.

Na slici 5 je prikazano kruto tijelo s masom pričvršćeno s oprugom krutosti kako

kliže po suhoj podlozi, te je prikazan utjecaj sila na kruto tijelo, uključujući sile inercije, za

dva smjera gibanja.

Slika 5) Klizanje krutog tijela mase po suhoj podlozi

Smjer gibanja Smjer gibanja 

koeficijent trenja   

Jednadžba koja opisuje kretanje tijela m a lijevo je ase s desna n

. (3.1)

Rješenje ove diferencijalne je p u k dnadžbe možemo pret ostaviti obli u

cos sin (3.2)

gdje . Konstante A i B ovise o početnim uvjetima svakog uzastupnog polu-ciklusa

gibanja; , a konstanta može biti interpretirana kao statička deformacija opruge

uslijed sile trenja F. Ukupan problem je nelinearan zbog toga što se početni uvjeti mijenjaju

svakih pola-ciklusa gibanja.

9  

 

Promotrimo sada gibanje sistema sa slike 5 s određenim početnim uvjetima i nastavimo ga

promatrati dok gibanje ne prestane. U vremenu 0, tijelo je pomaknuto za 0 u desno i

pušteno tako da je 0 0 o u izraz (3.2) dobiva se . Uvrštavajući t

0 B=0.

0 cos 0 / . (3.3)

Na kraju se dobiva

Izraz (3.3) je valjan dok brzina ne postane opet jednaka nuli za / ; dok je

0 2 .

To su sada početni uvjeti za slijedeći polu-ciklus. Početni uvjeti će se opet promijeniti za treći

polu-ciklus i tako redom.

Slika 6) Slobodne vibracije sistema s Coulomb-ovim trenjem

Prirodni period sistema s Coulombovim prigušenjem je isti kao za sistem bez prigušenja. S

druge strane, viskozno prigušenje ima utjecaja na trajanje prirodnog perioda sistema.

Prigušenje u stvarnim konstrukcijama mora biti djelomično Coulomb-ovo trenje, zbog

toga što samo ovaj mehanizam može zaustaviti gibanje uslijed slobodnih oscilacija. Ako je

prigušenje čisto viskozno, gibanje se teoretski nastavlja zauvijek, no s amplitudama

infinitezimalnih veličina.

 

10  

 

3.3 Viskozno prigušenje  

Viskozno prigušenje može se definirati kao način pretvaranja mehaničke energije tijela u

toplinsku energiju gdje je klip pričvršćen na to tijelo i namješten je tako da se giba kroz

tekućinu ili zrak u cilindru koji je pričvršćen za podlogu. Viskozni prigušivač se idealizira

Newtnovim tijelom i prigušenje je proporcionalno brzini kretanja tijela.

Promatra se samo stalno gibanja (steady state) sistema s jednim stupnjem slobode uslijed

vanjske pobude sin . Oscilacije stalnog gibanja sistema (steady state) uslijed

harmonijske sile koje su opisane izrazom (2.19) će se sada prikazati na drugačiji način kako

slijedi:

sin sin , (3.4)

⁄ ⁄ , , (3.5)

gdje je

dok predstavlja fazni pomak i definiran je izrazom

⁄⁄ . (3.6)

Mehanička energija koja će se izgubiti tijekom jednog ciklusa harmonijskih vibracija iz

sis mte a uslijed viskoznog prigušenja je / cos⁄ 2 .

(3.7)

Gubitak mehaničke energije sistema je proporcionalan kvadratu amplitude titranja što se

može vidjeti na slici 7.

Energija 

Amplituda 

Slika 7) Odnos energije prigušenja i energije koja se unosi u tijelo prema amplitudi titranja

11  

 

Vanjska sile dovodi u sistem energiju. Ta energija se može izraziti za svaki ciklus

titranja

/ sin cos/ sin .

(3.8)

Može se primijetiti da je unos energije u sistem proporcionalan amplitudi titranja što je

također prikazano na slici 7.

Korištenjem izraza (3.6) za fa i ozn p mak i relaciju da je

sin 2 2 , (3.9)

može se izraz (3.8), koji prikazuje ukupnu energiju dovedenu u sistem, zapisati u obliku

2 . (3.10)

Izrazi (3.7) i (3.10) pokazuju da se pri steady-state vibracijama meganička energija koja je

unesena u tijelo uslijed pripadne sile izgubi od viskoznog prigušenja.

Prikazat će se grafička interpretacija gubitka mehaničke energije uslijed viskoznog

prigušenja. Za ovu svrhu je potrebno promotriti jednadžbu koja opisuje ovisnost sile

prigu enš ja o pomaku

cos sin .

(3.11)

Izraz (3.11) može biti zapisan kao

1 (3.12)

što je izraz za elipsu prikazanu na slici 8a. Primijetite da krivulja , koja prikazuje odnos

između sile prigušenja i deformacije sistema, nema jedinstvenu vrijednost, ali petlja koju ta

krivulja zatvara je histerezna petlja. Područje koje je zatvoreno elipsom

odgovara izrazu (3.7) i predstavlja izgubljenu mehaničku energiju.

U interesu je da se promotri ukupna sila otpora gibanju (elastična sila i sila prigušenja) jer

je ova sila mjerena u eksperimentima

. (3.13)

Na slici 8b je prikazana ovisnost ukupne sile otpora gibanju, , o deformaciji .

Slika 8b prikazuje elipsu koja je zarotirana za razliku od slučaja kada imamo samo silu otpora

12  

 

od viskoznog prigušenja. No, i dalje je samo viskozno prigušenje uzrok gubitku mehaničke

energije sistema i ta energij je jednaka području koje je zatvoreno s elipsom, jer ne dolazi do

gubitka energije uslijed djelovanja elastične sile.

opterećenje 

rasterećenje 

Slika 8) Histerezna petlja (a) viskozno prigušenje (b) opruga i viskozno prigušenje u paraleli

U svim gore razmatranjima je pretpostavljeno da su fizikalne karakteristike sistema, kao

što su masa, krutost i viskozno prigušenje, poznate. U većini slučajeva se masa i krutost mogu

izračunati, no nije moguće točno izračunati koeficijent prigušenja zbog toga što mehanizmi u

kojima dolazi do promjene oblika energije nisu potpuno istraženi. Već je spomenuto da se

tada koristi ekvivalentno viskozno prigušenje koje se određuje eksperimentalnim metodama.

3.3.1 Određivanje ekvivalentnog viskoznog prigušenja metodom slobodnih vibracija

  Objasnit će se najjednostavnija i najčešća metoda pronalaženja relativnog ekvivalentnog

viskoznog prigušenja eksperimentalnim mjerenjima. To je metoda opadanja slobodnih

oscilacija. Pokazat će se ponovno izraz (2.13) za slobodne vibracije s ispodkritičnim

prigušenjem

sin exp

0 0 0

13  

 

te relacija (2.12) između frekvencija titranja sistema bez prigušenja i frekvencija titranja s

prigušenjem

1 .

Prirdan period prigunih oscilacij, 2 / , je povezan s prirodnim periodom

neprigušenih oscilacija izrazom

. (3.14)

Odnos pomaka sistema u vremenu t i pomaka u vremenu je neovisan o vremenu i

može se pokazati izrazom

exp . (3.15)

Izraz (3.15) ujedno predstavlja i odnos između dvaju najvećih pomaka unutar dva uzastopna

ciklusa

. (3.16)

ln . (3.17)

Prirodni logaritam ovog odnosa je

Ako je relativno prigušenje malog iznosa, tada je izraz pod korijenom 1 1 te se

izraz (3.17) svodi na

ln (3.18) 2 .

Ako je poznat maksimum prvog ciklusa m ciklusa tada i maksimu

ln 2 . (3.19)

Za sisteme koji imaju mala prigušenja, relativno prigušenje se može odrediti iz

ln . (3.20)

Velika prednost ove slobodno oscilirajuće metode je u tome što su zahtjevi za opremu

minimalni. Utvrđeno je da se smanjuje ako se smanjuje amplituda slobodnih vibracija, zbog

toga treba biti oprezan pri korištenju ovako dobivenih koeficijenata prigušenja.

14  

 

3.4 Prigušenje uslijed neelastičnog ponašanja konstrukcije

Odnos unutarnjih sila i pomaka za tipičnu konstrukciju podvrgnute cikličkim

opterećenjem je prikazan na slici 9. Početna krivulja opterećenja je nelinearna za veće

amplitude deformacija, dok se krivulja rasterećenja i krivulja ponovnog opterećenja ne

podudaraju s početnom krivuljom opterećenja. Ovo implicira da sile , koje su u ovisnosti o

deformaciji , nisu jednoznačno određene i ovisi o povijesti deformacije i o tome raste li

deformacija (pozitivna brzina) ili se smanjuje (negativna brzina). Poznato je da su unutarnje

sile otopra konstrukcije u funkcijskoj vezi s pomakom i brzinom prirasta pomaka

, . (3.11)

No, taj odnos je složen i nema analitičkog izraza. Ali ipak se relacija unutarnjih sila otpora

deformiranju konstrukcije i deformacije za idealiziranu konstrukciju može odrediti na dva

načina. Jedan način utvrđivanja odnosa unutarnjih sila i deformacija konstrukcije je

primjenom nelinearnog proračuna na statički opterećenoj konstrukciji, a drugi način je

definirati odnos unutarnjih sila i deformacije idealiziranjem eksperimentalnih podataka za tu

konstrukciju.

Uslijed neelastičnog ponašanja konstrukcije pri većim deformacijama, kada na

konstrukciju djeluju cikličke sile, dolazi do stvaranja histerezne petlje.

Slika 9) Histerezna petlja kod neelastičnih materijala

Sila prigušenja tijekom jednog deformacijskog ciklusa je jednaka površinom omeđenom

histereznom petljom . Ovakav način gubljenja mehaničke energije se obično ne opisuje

viskoznim prigušenjem, posebno ako se promatra utjecaj potresa.

 

15  

 

 4. Matrica prigušenja

Do sada je cijelo vrijeme bilo govora o sistemima s jednim stupnjem slobode kako bi bilo

lakše objasniti ponašanje konstrukcije uslijed prigušenja. No, stvarne konstrukcije su sistemi s

više stupnjeva slobode te će se sada prikazati kako se uzima u obzir prigušenje pri proračunu

takvih konstrukcija

Definirajmo sada jednadžbu ponašanja sistema s više stupnjeva slobode na kojeg djeluju

vanjske dinamičke sile , 1, . ,. .

. (4.1)

Prikazat će se kako se matematički opisuju pojedine sile.

Sile inercije u matričnom zapisu

(4.2)

gdje je matrica masa koja je simetrična. Ako se masa konstrukcije diskretizira tada matrica

masa postaje dijagonalna.

Sile prigušenja u matričnom zapisu

(4.3)

gdje je matrica prigušenja konstrukcije. Nepraktično je odrediti koeficijente matrice

prigušenja direktno iz dimenzija konstrukcije i konstrukcijskih elemenata. Štoviše, prigušenje

sistema s više stupnjeva slobode je određeno numeričkim vrijednostima ekvivalentnog

viskoznog prigušenja temeljenim na eksperimentalnim podacima.

Elastične sile u matričnom obliku

(4.4)

gdje je matrica krutosti konstrukcije. Matrica krutosti je simetrična.

16  

 

Ukupni vektor pomaka se može pretpostaviti u obliku

. (4.5)

Matrica opisuje način na koji konstrukcija oscilira (najčešće oblik sinusne ili kosinusne

funkcije) i ovisna je o vremenu, dok matrica nije ovisna o vremenu i definira doprinos

pojedinog oblika osciliranja na ukupan pomak konstrukcije. Matrica sadrži N neovisnih

vlastitih vektora, broj vlastitih vektora odgovara broju stupnjeva slobode sistema (

… ).

Uvrštavanjem izraza (4.5) u matričnu diferencijalnu jednadžbu ponašanja konstrukcije (4.1),

te množenjem jednadžbe (4.1) s transponiranim vlastitim vektorom n-tog oblika , dobiva

se

. (4.6)

Ako se pozove na Bettijev stavak koji kaže da je rad sila koje odgovaraju pomacima na

pomacima jednak radu sila koje odgovaraju pomacima na pomacima , sljede

jednakosti

0 0 0 za (4.7)

Navedeni izrazi u (4.7) se mogu dokaza a ačin: ti n sljedeći n

,

,

,

koristi se Bettijev stavak

,

0,

azličit od nule dobiva se

, 0

0 .

Kako je izraz u zagradi uvijek r

To znači da je rad sila inercije j-tog vlastitog vektora na pomacima i-tog vlastitog vektora

jednak nuli.

Ako se uvedu pojmovi generalizirane mase , generalizirane krutosti , generaliziranog

prigušenja i generalizirane sile

, (4.8)

dobiva se n diferencijalnih je a

17  

dn džbi oblika

(4.9)

 

kojima se može pronaći rješenje. Ovakav princip rješavanja diferencijalne jednadžbe

ponašanja konstrukcije (4.1) se zove modalna analiza.

Matrica prigušenja se mora definirati u potpunosti ako modalna analiza nije primjenjiva.

Modalna analiza se ne može primijeniti na sustave koji se sastoje od dvaju materijala koji

imaju znatno drugačija svojstva prigušenja. Matrica prigušenja za stvarne konstrukcije ne bi

smjela biti izračunata iz dimenzija konstrukcije i prigušenja konstrukcijskih materijala i

elemenata. I da se karakteristike prigušenja materijala i konstrukcijskih elemenata znaju,

rezultirajuća matrica prigušenja nebi sadržavala značajan dio gubitka mehaničke energije

uslijed trenja čelika na spojevima, otvaranja i zatvaranja mikro pukotina u betonu, naprezanja

pregradbenih zidova… Zbog toga se matrica prigušenja određuje iz relativnih prigušenja koji

sadržavaju sve vrste mehanizama gubitka mehaničke energije. Relativna prigušenja bi se

trebali odrediti iz dostupnih zabilježenih podataka na sličnim konstrukcijama koje su bile

pogođene potresom, ali se nisu deformirale u neelastičnom obliku

4.1 Klasična matrica prigušenja  

U ovom odjeljku će se obraditi dva postupka određivanja klasične matrice prigušenja za

konstrukciju iz modalnih odnosa prigušenja koji su određeni promatranjem postojećih

konstrukcija ili eksperimentalnim metodama, te će se spomenuti

4.1.1 Rayleigh-evo prigušenje

  Rayleigh je pretpostavio prig roporcionalno krutosti ušenje proporcionalno masi i p

i (4.10)

gdje konstante i imaju jedinice [ ] i [ ]. Za obe ove matrice prigušenja matrica

je dijagonalna zbog svojstva ortogonalnosti. Ovo su klasične matrice prigušenja. Fizikalno

one prikazuju model prigušenja višekatne građveine na slici 10.

18  

 

Slika 10) (a) prigušenje proporcionalno masi (b) prigušenje proporcionalno krutosti

Sada se povezuje modalno relativno prigušenja s generaliziranim prigušenjem koje je

proporcionalno masi s koeficijentom . Generalizirano prigušenje za n-ti oblik osciliranja

(4.11)

. (4.12)

i modalno relativno prigušenje je

Relativno prigušenje je inverzno proporcionalno vlastitoj frekvenciji. Sada se može odrediti

koeficijent koji će opisati traženu vrijednost relativnog prigušenja za bilo koji oblik

oscilacija

2 . (4.13)

S određenim koeficijentom poznajemo matricu prigušenja iz izraza (4.10), a relativno

prigušenja za bilo koji drugi oblik oscilacija je dan izrazom (4.12).

Slično tome, modalno relativno prigušenje se povezuje s generaliziranim prigušenjem

koje je proporcionalno krutosti s koeficijentom . U tom s č rijedi lu aju v

i . (4.14)

Relativno prigušenja se povećava linearno s vlastitom frekvencijom. Koeficijent može biti

određen da dobijemo traženu vrijednost relati n igušenja za bilo koji oblik oscilacija v og pr . (4.15)

S određenim koeficijentom poznajemo matrica prigušenja iz izraza (4.10), a relativno

prigušenje za bilo koji drugi oblik oscilacija je dan izrazom (4.15).

19  

 

Prvi korak konstruiranja klasične matrice prigušenja koja se dosljedne eksperimentalnim

podacima je pretpostavljanje Rayleigh-e vog prigušenja:

. (4.16)

Relativno prigušenje za n-ti oblik oscilacija ovakvog sistema je

. (4.17)

Koeficijenti i se mogu odrediti iz određenih relativnih prigušenja i za i-ti i j-ti

oblik oscilacija. Izrazi li se izraz (4.17) za ova dva oblika oscilacija u matričnoj formi dobiva

se

(4.18)

Ove dvije jednadžbe s dvije nepoznanice se mogu riješiti kako bi se odredili koeficijenti i

. Ako se pretpostavi da oba oblika oscilacija imaju isto r no prigušenje , tada slijedi elativ

. (4.19)

Matrica prigušenja je poznata iz izraza (4.16), a relativno prigušenje za bilo koji drugi oblik

oscilacija je dan izrazom (4.17) i varira ovisno od vlastite frekvencije kako je prikazano na

slici 11.

Rayleigh‐ovo prigušenje 

Slika 11) Varijacije modalnog relativnog prigušenja ovisno o vlastitoj frekvenciji a) prigušenje proporcionalno masi i prigušenje proporcionalno krutosti

b) Rayleigh-evo prigušenje

20  

 

4.1.2 Caughey-evo prigušenje

Ako se žele odrediti vrijednosti relativnog prigušenja iz više od dva oblika oscilacija mora

se razmotriti generalni oblik klasične matrice prigušenja. To je poznato kao Caughey-evo

prigušenje

(4.20) ∑

gdje je N broj stupnjeva slobode sistema, a konstante.

Do izraza (4.20) se dođe iz uvjeta kojeg zadovoljavaju vlastita frekvencija i vlastiti vektor

, (4.21)

pomnoži li se to s dobiva se

0 . (4.22)

Pomnoži li se izraz (4.21) s dobiva se

0 (4.23)

Ako se ovaj postupak ponavlja, onda t m sažetijem obliku se o ože zapisati u

0 , (4.24)

0,1,2,3, … , ∞. (4.25)

gdje je

Izraz (4.25) se može zapis i at kao

0,1,2,3, … , ∞. (4.26)

Pretpostavljanjem prigušenja koje je proporcionalno s koeficijentom vrijednosti dobiva

se izraz (4.20).

Sada se može generalizirano pri uš -ti o cija zapisati kao g enje za n blik oscila

∑ . (4.27)

Raspisivanjem izraza za 1,2,3, … , može se uočiti pravilnost tako da se izraz (4.27) može

zapisati kao

∑ . (4.28)

Sada slijedi da je modalno relativno pri ušg enje jednako

∑ (4.29 . )

Koeficijenti mogu biti određeni iz relativnih prigušenja u oblika osciliranja rješavanjem

algebarskih jednadžbi (4.29) za nepoznate , 0, . . , . Kada su određeni koeficijenti ,

matrica prigušenja je određena iz izraza (4.20).

21  

 

4.2 Neklasična matrica prigušenja  

Pretpostavka klasične matrice prigušenja nije prigodna ako sistem koji se analizira ima

dva ili više dijela sa značajnom razlikom prigušenja. Jedan od takvih problema je sistem

sastavljen od konstrukcije na tlu. Dok se tlo ispod konstrukcije može smatrati krutim u većini

slučajeva, interakcija tla i konstrukcije bi se trebala uzeti u obzir pri analizi konstrukcije s vrlo

kratkim prirodnim periodima. Modalno relativno prigušenja tla takvog sistema će obično biti

bitno drugačiji od modalnog relativnog prigušenja konstrukcije. Još jedan primjer kada se ne

može upotrijebiti klasična matrica prigušenja je betonska brana iza koje se nalazi voda. O

prigušenju vode direktno utječe prigušenje brane.

U tom slučaju se matrica prigušenja za čitavi sistem određuje tako da se prvo odredi

matrica prigušenja za podsustave – konstrukcija i tlo u prvom slučaju, brana i voda u drugom.

Matrica krutosti i matrica masa kombiniranog sustava konstrukcije i tla su sastavljene od

odgovarajućih matrica dvaju podsistema (slika 12). Dio tih matrica povezanih sa zajedničkim

stupnjevima slobode na granici ( između dvaju podsustava sadrži udio iz oba podsistema.

Dakle sve što ostaje je opisati postupak dobivanja matrica prigušenja za podsisteme

(pretpostavlja se da su klasično prigušeni).

Konstrukcija  Konstrukcija  Konstrukcija 

Tlo  Tlo 

Konstrukcija I – zajednički stupnjevi slobode konstrukcije i tla  

Temeljno tlo 

Tlo 

Slika 12) Spajanje matrica podsustava

U principu, matrice prigušenja podsustava mogu biti određene bilo kojom metodom za

određivanje klasične matrice prigušenja. Rayleigh-evo prigušenje je možda najprikladnije za

praktične analize. Dakle matrice prigušenja za konstrukciju i za temeljno tlo (obilježeno

indexom ) su

22  

. (4.23)

 

 5. Zaključak

Za razliku od statičkog proračuna, dinamički proračun je složen, dugotrajan, skup i

zahtijeva visok stupanj obrazovanja. Prikazano je kako se uslijed dinamičkog opterećenja,

koje je promjenjivo u vremenu, način proračuna u potpunosti razlikuje od statičkog. Kada

konstrukcija ne bi imala prigušenja, tada bi ona nastavila oscilirati i nakon prestanka

djelovanja vanjske pobude. Ali, uslijed prigušenja ona će se vratiti u stanje mirovanja nakon

nekoliko oscilacija ili, ako je prigušenje zaista veliko, konstrukcija će se bez oscilacija vratiti

u početni položaj.

Utvrđeno je da pojava prigušenja i pretvaranja mehaničke energije konstrukcije u

toplinsku nije u potpunosti istražena. Poznati su uzroci, ali se ti uzroci još uvijek ne mogu

dovoljno točno matematički opisati. Opisana su tri uzroka prigušenja: Coulomb-ovo trenje,

viskozno prigušenje i prigušenje uslijed neelastičnog ponašanja konstrukcije. Najčešće se u

proračunima koristi ekvivalentno viskozno prigušenje, te se analiza radi samo u linearnom

području ponašanja konstrukcije.

Kada se analizira sistem s više stupnjeva slobode, prigušenje takvog sistema je vrlo

komplicirano i prikazuje se u obliku matrice. Matricu prigušenja nije moguće izračunati iz

dimenzija konstrukcije i karakteristika materijala od kojih je ona napravljena. Moguće je na

temelju eksperimentalnih podataka odrediti relativna prigušenja iz kojih je tada moguće

nekim matematičkim metodama dobiti klasičnu matricu prigušenja (Rayleigh-eva i Caughey-

eva metoda) i neklasičnu matricu prigušenja.

23  

 

24  

 6. Literatura

[1] Chopra, Anil K., (1995.), Dynamics of structures – Theory and Applications to

Earthquake Engineering, University of California at Berkeley, Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey

[2] Clough, Ray W. ; Penzien, J., (1995.), Dynamics of structures, University Ave.

Berkeley, USA

[3] Raduka, Verica, (2009.), predavanja iz predmeta Dinamika konstrukcija i potresno

inženjerstvo, Građevinski fakultet, Zagreb