Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesenkamelzer/ss09/IWB1_Folien2.pdf · I monoton fallend bzw. streng monoton fallend , wenn für alle n ∈ NI gilt a n ≥ a n +1

Grenzwert und StetigkeitAbleitung

Mathematik I � InternationalesWirtschaftsingenieurwesen

Di�erenzialrechnung einer reellen Veränderlichen

Prof. Dr. Karin Melzer

15.04.09

Prof. Dr. Karin Melzer Mathematik I � Internationales Wirtschaftsingenieurwesen


Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

Folgen

De�nition: FolgenWird jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl an zugeordnet, sospricht man von einer Zahlenfolge oder kurz Folge und schreibt{an} bzw. n 7→ an.

Beispiele für allgemeine Folgen und ihre Darstellung:an = n 1, 2, 3, . . .

an = 1

n 1, 12, 13, 14, . . .

an = nn+1

= 1 + 1

n1

2, 23, 34, 45, . . .

an = (−1)n n+1

n −2, 32,−4

3, 54, . . .

an = (n+1)n

nn =(n+1

n

)n=

(1 + 1

n

)n2, 9

4, 6427

, 625256

, . . .




Folgen

Weitere Beispiele:

I Folge der nach Gröÿe geordneten Primzahlen:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .

I Augenzahlen beim Würfelspiel (oder zufällig erzeugte Zahlen):2, 6, 1, 4, 3, 3, 5, . . .

I Rekursiv de�nierte Folge: a1 = 1, an =√an−1 + 1




Eigenschaften von Zahlenfolgen

Eine Folge {an} heiÿtI nach oben beschränkt, wenn es einen Wert A ∈ IR gibt, so

dass für alle n ∈ IN gilt: an ≤ A

I nach unten beschränkt, wenn es einen Wert B ∈ IR gibt, sodass für alle n ∈ IN gilt: an ≥ B

I beschränkt, wenn alle Glieder der Folge zwischen zwei festenZahlen A ∈ IR und B ∈ IR liegen: A ≤ an ≤ B

bzw. wenn es ein K ∈ R gibt, so dass −K ≤ an ≤ K




Eigenschaften von Zahlenfolgen

Eine Folge {an} heiÿtI monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend,

wenn für alle n ∈ IN gilt an ≤ an+1 bzw. an < an+1

I monoton fallend bzw. streng monoton fallend,wenn für alle n ∈ IN gilt an ≥ an+1 bzw. an > an+1

I alternierend, falls das Vorzeichen aufeinanderfolgender Gliederwechselt, d. h. falls gilt: an · an+1 < 0 für alle n ∈ IN

I konstant, falls für alle n ∈ IN gilt: an = c , c ∈ IR konstant




Nullfolgen

I Anschauliche Erklärung:Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder an sich (fürwachsendes n) immer mehr dem Wert Null nähern.

I Beispiel: an = 1

n ist eine Nullfolge.Betrachtet man z.B. das Glied a1.000.000, so hat dies nur nochden Wert 0,000001, ist also fast Null.




Nullfolgen

I Kann man berechnen, ab welchem Glied sich diese Folge bisauf 0,2 Einheiten der Null genähert hat?

I Bezeichnung für diesen Abstand (0,2) ist allgemein dergriechische Buchstabe ε (Epsilon). Also: Ab welchem Glied giltan < ε?




Nullfolgen

Beispiel: an = 1

n

I Ab welchem Glied ist an = 1

n kleiner ε?

Also, ab welchem Glied gilt: 1

n < ε

Formel nach n umstellen: 1

ε < n

ε einsetzen: 1

0,2 < n

Wir erhalten: n > 5

I Ergebnis: Ab dem 6. Glied sind die Glieder der Folge an = 1

n

kleiner als 0,2.




Nullfolgen: N(ε)

De�nition:Wir betrachten wieder eine Nullfolge und ein beliebiges ε:Die erste Zahl n, bei dem ein Glied kleiner als ε ist, nennt man N(ε).




Nullfolgen: De�nition

Eine Folge {an} heiÿt Nullfolge, wenn ab einem bestimmten GliedN(ε) alle Glieder der Folge betragsmäÿig kleiner als ε sind und εbeliebig klein gewählt werden kann. Als Formel:|an| < ε für alle n > N(ε)

für ε beliebig klein.

Beispiel: Die Glieder der Folge an = 1

n werden kleiner als einbeliebiges ε. Die Folge ist somit eine Nullfolge.




Allgemein: konvergente Folgen (De�nition)

I Zur De�nition allgemein konvergenter Folgen benützen wirwieder den Begri� der ε-Umgebung.

I Eine andere Formulierung der De�nition von Nullfolgen:Eine Folge konvergiert gegen 0, wenn ab einem bestimmtenGlied alle Glieder einen Wert zwischen 0− ε und 0 + ε haben(d. h. die Glieder liegen in der Umgebung 0± ε), wobei εbeliebig klein gewählt werden darf.

I Genauso de�niert man allgemein konvergente Folgen:Eine Folge konvergiert gegen einen Wert a, wenn ab ei-nem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischena − ε und a + ε haben (d. h. in einer Umgebung a ± εliegen), wobei ε beliebig klein gewählt werden darf. a istder Grenzwert der Folge.




Allgemein: konvergente Folgen (Beispiel)

Im Beispiel wurde a = 2 und ε = 0.25 gewählt:




Zusammenhang: Nullfolge � allgemein konvergente Folge

Oberer Teil des Bildes: Folge, die gegen a = 2 konvergiert.Nun ziehen wir von jedem Glied den Wert 2 ab; wie man siehterhalten wir eine Nullfolge.




Zusammenhang: Nullfolge � allgemein konvergente Folge

Diese wichtige Feststellung halten wir in einem Satz fest:

Die Folge {an} konvergiert genau dann gegen a, wenn die Folge{an − a} eine Nullfolge ist.

I Man schreibt: an → a (für n→∞) oder limn→∞ an = a

I Eine Folge {an}, die keinen endlichen Grenzwert a ∈ IR hat,heiÿt divergent.

I Unterscheidung:I wenn es einen �uneigentlichen Grenzwert� +∞ oder −∞ gibt:

�bestimmt divergent� (Folge wächst über alle Grenzen)I wenn kein Grenzwert existiert: �unbestimmt divergent�




Grenzwerte von Folgen: Beispiele

I Beispiele für Nullfolgen:1

n , − 1

n , 1

n+1, 1

2n , 1

n2, 1

nkfür k ∈ IN

I{

(−1)nn2

}=

{−1, 1

4,−1

9, 1

16, . . .

}→ 0

(konvergiert alternierend gegen 0)

I {2n} = {2, 4, 6, 8, . . . } → ∞(bestimmt divergent, wächst über alle Grenzen)

I {(−1)n} = {−1, 1,−1, 1− 1, . . . }Kein Grenzwert (unbestimmt divergent)




Rechenregeln für konvergente Folgen

Satz: Gegeben seien zwei konvergente Folgen:Die Folge {an}, die gegen a konvergiert, an → aDie Folge {bn}, die gegen b konvergiert, bn → b. Dann gilt:

an ± bn → a ± b

can → ca (c ∈ IR)

anbn → ab

anbn

→ ab

(bn 6= 0, b 6= 0)

arn → ar

Auÿerdem: an → 0, an > 0 =⇒ 1an→ +∞

an → 0, an < 0 =⇒ 1an→ −∞




Beispiele: Gebrochen rationale Folgenglieder

�Kürzen� mit der höchsten gemeinsamen Potenz von Zähler &Nenner:

limn→∞

n + 1n

= limn→∞

(1 +

1n

)= lim

n→∞1 + lim

n→∞

1n

= 1

limn→∞

2n2 − n + 1n2 + 1

= limn→∞

2− (1/n) + (1/n2)1 + (1/n2)

= 2

limn→∞

n + 2n2 − 1

= limn→∞

1 + (2/n)n − (1/n)

= 0

limn→∞

1− n2

n + 3= lim

n→∞

(1/n)− n1 + (3/n)

= −∞




Gebrochen rationale Folgenglieder

Bei gebrochen rationalen Ausdrücken gilt, was wir für gebrochenrationale Funktionen bereits festgehalten haben:an habe die Form bnx

n+···+b0cmxm+···+c0

I Grad(Zähler) < Grad(Nenner) =⇒ an → 0

I Grad(Zähler) = Grad(Nenner) =⇒ an → bncn

I Grad(Zähler) > Grad(Nenner) =⇒ an → ±∞

Dies gilt auch, wenn Wurzelfunktionen in Zähler oder Nennervorkommen.




Beispiel: Folgen mit Wurzeltermen

an =√n2 + n −

√n2 + 2n

Achtung: ∞−∞ ist i.A. nicht Null!Zu Binomischer Formel erweitern, umWurzel im Zähler zu eliminieren.

an =(√n2 + n −

√n2 + 2n)(

√n2 + n +

√n2 + 2n)√

n2 + n +√n2 + 2n

=(n2 + n)− (n2 + 2n)√n2 + n +

√n2 + 2n

=−n√

n2 + n +√n2 + 2n

Brüche immer zuerst kürzen mit derhöchsten Potenz! Hier: n (Wurzel).

=−1√

1 + 1

n +√1 + 2

n

n→∞−→ − 11 + 1

= −12




De�nition: Grenzwert einer Funktion

Eine Funktion y = f (x) sei in einer Umgebung von x0 de�niert. Giltdann für jede im De�nitionsbereich der Funktion liegende und gegendie Stelle x0 konvergierende Zahlenfolge {xn} mit xn 6= x0 stets

limn→∞

f (xn) = g

so heiÿt g der Grenzwert von y = f (x) an der Stelle x0.Man schreibt:

limx→x0

f (x) = g

Gelesen: Limes von f (x) für x gegen x0 gleich g .




Anmerkungen: Grenzwert einer Funktion

I Die Funktion y = f (x) muss an der Stelle x0 nicht de�niertsein.

I Der Grenzübergang x → x0 bedeutet: x kommt der Stelle x0beliebig nahe, ohne sie jedoch jemals zu erreichen. Es ist stetsx 6= x0.

I Anschaulich: Der Funktionswert f (x) unterscheidet sichbeliebig wenig vom Grenzwert g , wenn man sich der Stelle x0nur genügend nähert.




Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen

f (x) und g(x): Funktionen mit limx→x0 f (x) = f , limx→x0 g(x) = g

limx→x0

C · f (x) = C · limx→x0

f (x) = C · f , C ∈ IR

limx→x0

[f (x)± g(x)] = limx→x0

f (x)± limx→x0

g(x) = f ± g

limx→x0

[f (x) · g(x)] = limx→x0

f (x) · limx→x0

g(x) = f · g

limx→x0

f (x)

g(x)=

limx→x0 f (x)

limx→x0 g(x)=

f

g, falls g 6= 0

limx→x0

n

√f (x) = n

√limx→x0

=n

√f

limx→x0

[f (x)]n =

[limx→x0

f (x)

]n= f n

limx→x0

[logy f (x)

]= loga

[limx→x0

f (x)

]= loga f

limx→x0

(ef (x)

)= e limx→x0

f (x) = ef




De�nition: Stetigkeit einer Funktion

Anschaulich: Kurve der Funktion kann ohne Absetzen gezeichnetwerden. Mathematisch:

Eine Funktion y = f (x) heiÿt an der Stelle x0 stetig, wenn derGrenzwert der Funktion an der Stelle vorhanden ist und mit demdortigen Funktionswert übereinstimmt:

limx→x0

f (x) = f (x0)

Voraussetzung ist, dass f (x) an der Stelle x0 und in einer gewissenUmgebung von x0 de�niert ist.Eine Funktion f (x) heiÿt stetig in einem Intervall (a, b), wenn f (x)für alle x ∈ (a, b) stetig ist.




Stetige Funktionen

Satz: Die elementaren Funktionen (Polynome, Wurzelfunktionen,Exponentialfunktion, Logarithmus, Winkelfunktionen und derenInversen) sowie alle über Grundrechenarten und/oder Verkettung(Hintereinanderausführung) daraus aufgebauten Funktionen sind inihrem De�nitionsbereich stetig.

I In diesem Sinn sind termde�nierte Funktionen immer stetig.

I Dies folgt aus den Rechenregeln für Grenzwerte.




Eigenschaften stetiger Funktionen

Sei y = f (x) eine stetige Funktion, deren De�nitionsbereich dasIntervall [a, b]; a, b ∈ IR enthält. Dann gilt:

I f (x) nimmt in [a, b] jeden Funktionswert zwischen f (a) undf (b) an (�Zwischenwertsatz�).

I Haben f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen, so liegtzwischen a und b mindestens eine Nullstelle (Spezialfall vonoben).

I Die Funktion y = f (x) besitzt in [a; b] ein Maximum und einMinimum (nicht ±∞).



Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen

Ableitung: intuitiv

I Bekannt: Anstieg einer Geraden: Quotient der Kathetenlängeneines Steigungsdreiecks (Dy/Dx)

I Beispiel: Straÿensteigung 15% = 0, 15I Gerade im Koordinatensystem f (x) = mx + d =⇒ Anstieg mI Frage: Macht es Sinn, vom Anstieg einer Kurve zu sprechen?I Kurve kann Richtung ändern, in unterschiedlichen Punkten

unterschiedlich steil sein.I Frage: Macht es Sinn, vom Anstieg einer Kurve in einem

Punkt zu sprechen? Ja, vorausgesetzt, sie besitzt in demPunkt eine Tangente, (d. h. dort gibt es keinen Knick).

I Dann vereinbaren wir:Richtung der Kurve = Richtung der TangenteAnstieg der Kurve = Anstieg der Tangente




Ableitung: intuitiv

Sei f eine (reelle) Funktion. Die Ableitung von f an der Stelle x istder Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkt(x , f (x)). Sie wird mit dem Symbol f ′(x) bezeichnet(ausgesprochen �f -Strich von x� oder �f -Strich an der Stelle x�).

Was noch fehlt:Wie berechnet man Abl.?Wann existiert die Abl.?




Berechnung der Ableitung

Gegeben: reelle Funktion f und Stelle x0. Aufgabe: BerechneAnstieg der Tangente an f im Punkt (x0, f (x0)).1. Berechne Anstieg einer Sekante, d.h. einer Geraden, die f in

zwei Punkten schneidet: im Punkt (x0, f (x0)) und in einemNachbarpunkt (x0 + h, f (x0 + h)).D.h. gehe von x0 ein Stück h nach rechts oder links (je nach dem

Vorzeichen von h); Steigungsdreieck.

m(x0, h) =f (x0 + h)− f (x0)

h2. Berechne Grenzwert, wenn h gegen 0 geht. Dann strebt

Sekantensteigung gegen Tangentensteigung im Pkt. (x0, f (x0))

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h




Di�erenzenquotient

m(x0, h) =f (x0 + h)− f (x0)

h

I Da Zähler und Nenner dieser Gröÿe nichts anderes sind als dieDi�erenzen der Koordinaten der beiden Punkte der Sekante,wird diese Gröÿe Di�erenzenquotient genannt.

I Beispiel: Betrachte die Funktion f (x) = x2 und berechne dieAbleitung an der Stelle x0 = 3 als Grenzwert desDi�erenzenquotients.




Ableitung: De�nition

De�nition: Die Funktion y = f (x) heiÿt an der Stelle x0 di�eren-zierbar, wenn der Grenzwert

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

existiert; f ′(x0) heiÿt Ableitung der Funktion f an der Stelle x0. Istf an jeder Stelle x0 ∈ Df di�erenzierbar, so heiÿt f di�erenzierbar.

Beispiele für Funktionen, die nicht di�erenzierbar sind: Funktionenmit �Knick�, z.B. Betragsfunktion; an Sprungstellen (dort giltlinksseitiger Grenzwert 6= rechtsseitiger Grenzwert) oder anUnendlichkeitsstellen.




Ableitung: Schreibweisen und Bezeichnungen (I)y = f (x) sei di�erenzierbar. Schreibweisen:

f ′(x) = y ′(x) =dydx

=dfdx

=df (x)dx

=ddx

f (x)

Sprechweisen/Anwendung:I f ′(x): �f-Strich-von-x�I df

dx : �d-f-nach-d-x� (�Di�erenzialquotient�; Historisch: df , dxheiÿen �Di�erenziale�; in der Vorstellung �unendlichklein�/in�nitesimal)

I y ′(x) oder dydx (�d-y-nach-d-x�) wenn man betonen will, dass

die abhängige Variable y heiÿt.I d

dx f (x) (�d-nach-d-x�), sinnvoll wenn es auÿer x noch andereSymbole gibt (z.B. a für eine feste Zahl/Konstante; Bsp.:ddua

3u2 = 2a3u).




Ableitung: Schreibweisen und Bezeichnungen (II)

I Ableitung an einer bestimmten Stelle x0, z. B. x0 = 0:

f ′(0) = f ′(x)|x=0

Senkrechter Strich bedeutet: �an der Stelle�.I Ableitung ist selber wieder eine Funktion, d.h. kann selber ggf.

wieder abgeleitet werden −→ höhere Ableitung. Bsp.: 2. Abl.(f ′(x)

)′= f ′′(x) =

d2ydx2

=d2f (x)dx2

=d2

dx2f (x) =

(ddx

)2

�d-zwei-y-nach-d-x-Quadrat�, etc.I Physik: häu�g Punkt statt Strich, wenn Variable Zeit entspr.

s ′(t) = s(t)( s-Punkt-von-t), s ′′(t) = s(t)( s-zwei-Punkt-von-t)




Berechnung der Ableitung für grundlegende Funktionen

Beispiele zur Berechnung der Ableitung mittels Di�erenzenquotientf (x) = ax + b =⇒ f ′(x) = af (x) = x2 =⇒ f ′(x) = 2xf (x) =

√x =⇒ f ′(x) = 1

2√x

f (x) = 1

x =⇒ f ′(x) = − 1

x2, x 6= 0

Weitere Ableitungen:f (x) = x r =⇒ f ′(x) = r x r−1, r ∈ IRf (x) = sin x =⇒ f ′(x) = cos xf (x) = cos x =⇒ f ′(x) = − sin xf (x) = ex =⇒ f ′(x) = ex

f (x) = ln x =⇒ f ′(x) = 1

x




Di�erenzierbarkeit und Stetigkeit

Jede in x0 di�erenzierbare Funktion ist in x0 auch stetig.

Anders ausgedrückt: f di�erenzierbar in x0=⇒6⇐=

f stetig in x0.

I Beispiel für eine Funktion, die stetig aber nicht di�erenzierbarist: f (x) = |x | an der Stelle x0 = 0

limh→0,h>0

f (x0 + h)− f (x0)h

= limh→0,h>0

h − 0h

= 1

limh→0,h<0

f (x0 + h)− f (x0)h

= limh→0,h<0

−h − 0h

= −1

Grenzwerte stimmen nicht überein: f ist in x0 = 0 nichtdi�erenzierbar.




Ableitungen: Rechenregeln

Sind f , g in x0 di�erenzierbar, so sind auch c · f , f ± g und fg (falls

g(x0) 6= 0) in x0 di�erenzierbar und es gilt in x0:

(c · f (x))′ = c · f ′(x)(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x)

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x) (Produktregel)(f (x)g(x)

)′=

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)(g(x))2

(Quotientenregel)




Ableitungen: Rechenregeln

Eine Verknüpfung von Funktionen erreicht man auch durch dasHintereinander-Ausführen. Kann eine Funktion als Verkettung vonFunktionen aufgefasst werden, erhält man die Ableitung über dieKettenregel:Gilt y = f (g(x)), so erhält man die Ableitung als

y ′(x) = f ′ (g(x)) · g ′(x)Ableitung der �äuÿeren Funktion� mal Ableitung der �innerenFunktion�

Kettenregel in Di�erenzialschreibweise:

y = f (g(x)) ⇒ dydx = dy

du ·dudx

wobei in dieser Formel u für g(x) steht.




Ableitungen: Kettenregel � Rechenschema

Gesucht: Abl. für y = f (g(x)) y = sin(x2)Substitution g(x) durch u ersetzen x2 = u

Äuÿere Funktion y = f (u) y = sin uÄuÿere Ableitung dy

du = . . . dydu = cos u

Innere Funktion u(x) = g(x) u(x) = x2

Innere Ableitung dudx = . . . du

dx = 2x

Kettenregel dydx = dy

du ·dudx

dydx = cos u · 2x

Rücksubstitution u durch g(x) ersetzen dydx = cos(x2) · 2x




Ableitung: Ökonomische Interpretation

Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 kann alsÄnderungsrate von f an der Stelle x0 interpretiert werden, d. h.als Änderung des Funktionswerts pro kleiner (�in�nitesimaler�)Änderung des Arguments x in der Nähe der Stelle x0. Ist ∆x sehrklein, so gibt der Di�erenzenquotient ungefähr die Ableitung an:∆f /∆x ≈ f ′(x0) bzw.∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0) ≈ f ′(x0)∆x .Dies gilt umso genauer, je kleiner ∆x ist. (Anstelle von ∆x und ∆fwerden in diesem Zusammenhang auch die Bezeichnungen δx undδf oder dx und df verwendet.)In Worten: Ändert sich x um ∆x , so ändert sich f ungefähr umf ′(x0)∆x . Die Änderung ∆x spielt dabei die Rolle des bisherverwendeten h.





Folgende Fragen sollen jetzt behandelt werden:

I Wie ändert sich der Funktionswert (absolut/in Einheiten),wenn x um eine Einheit verändert wird?

I Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wennx um eine Einheit verändert wird?

I Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wenn xum ein Prozent verändert wird?

Die absolute Änderung der abhängigen Variablen informiert nurunzureichend über die Struktur der Reaktion auf eine Änderung vonx . Daher relative Gröÿen betrachten.





Beispiel: Der Preis eines Produkts wird um 1e erhöht.

I Folge: der Absatz sinkt um 10.000 Stück.

I Anhand der absoluten Gröÿen lässt sich nur wenig über dieReichweite der Nachfrageänderung erkennen. Es fehlt derVergleichmaÿstab:

I Betrug der Preis im Ausgangspunkt 10 oder 100e?

I Ist der Absatz von 50.000 auf 40.000 oder von 1.000.000 auf990.000 Stück gesunken?

Sinnvoller: relative Änderungen betrachten. Die letzte Gröÿe hatkeine Dimension � wie e oder �Stück� � , dies ermöglicht dieVergleichbarkeit von gleichartigen Werten.




Grenzfunktion, Änderungsrate, Elastizität

De�nition:Die Funktion f (x) sei di�erenzierbar. Dann heiÿen für f (x) 6= 0

f ′(x) Grenzfunktion

rf (x) =f ′(x)f (x)

Wachstumsrate oderrelative Änderungsrate

εf (x) = f ′(x) · xf (x)

Elastizität

der Funktion f an der Stelle x .

Gilt |εf (x)| > 1, so sagt man: y reagiert �elastisch�gilt |εf (x)| < 1, so sagt man: y reagiert �unelastisch�auf eine Änderung der unabhängigen Variablen an der Stelle x .




Rechenregeln für die Elastizität

I εf ·g = εf + εg

I εf /g = εf − εg

I ε1/g = −εg

I εf −1(y) = 1εf

∣∣∣x=f −1(y)

= 1εf

(f −1(y)

)Beispiel für die letzte Regel:

f (x) = ex =⇒ f −1(x) = ln x

εf (x) = x =⇒ εf −1(x) =1x

∣∣∣∣x=f −1(x)

=1ln x





Antwort:

I Wie ändert sich der Funktionswert (absolut/in Einheiten),wenn x um eine Einheit verändert wird?−→ Grenzfunktion f ′(x)

I Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wennx um eine Einheit verändert wird?−→ Änderungsrate/Wachstumsrate rf (x)

I Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wenn xum ein Prozent verändert wird?−→ Elastizität εf (x)




Ableitung: Geometrische Interpretation

Bekannt: Die Ableitung ist die Steigung der Tangenten an denFunktionsgraphen.f ′(x) > 0f ′(x) < 0

bedeutet, der Graph von f (x)wächstfällt

an der Stelle x .

f ′(x) = 0 bedeutet, der Graph besitzt eine waagrechte Tangente.

Die Ableitung gibt Auskunft über weitere Eigenschaften:

I Monotonie

I Krümmung

I Extrempunkte

I Wendepunkte




Monotonie

y = f (x) monoton

{wachsendfallend

}in [a; b]

⇔{f ′(x) ≥ 0f ′(x) ≤ 0

}für alle x ∈ [a; b].

y = f (x) streng monoton

{wachsendfallend

}in [a; b]

⇔{f ′(x) > 0f ′(x) < 0

}für alle x ∈ [a; b].




Monotonie � Beispiel

I f (x) = ex

1+ex

f ′(x) = ex

(1+ex )2> 0 (da ex > 0)

=⇒ f (x) streng monoton wachsend.

I f (x) = 1 + 1

2x2

f ′(x) = x

{> 0 für x > 0< 0 für x < 0

=⇒ f (x) streng monoton

{wachsend auf (0;∞)fallend auf (−∞; 0)




Krümmung

Fährt man den Graph einer Funktion entlang, so macht der Graphentweder eine Linkskurve oder eine Rechtskurve. Dazwischen�wendet� er die Richtung � es gibt einen Wendepunkt.

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung.

Für die Krümmung des Graphen gilt:

f ′′(x) > 0 ⇒ der Graph ist an der Stelle x linksgekrümmt.

f ′′(x) < 0 ⇒ der Graph ist an der Stelle x rechtsgekrümmt.

f ′′(x) = 0 ⇒ der Graph hat an der Stelle x evtl. einenWendepunkt, es müssen jedoch zusätzliche Bedingungen erfülltsein.




Extrempunkte

Als Extrempunkte gelten Maximal- und Minimalstellen. Manunterscheidet lokale und globale Extrempunkte: Die Funktion f hatin x0 ein

lokales Maximum: f (x) ≤ f (x0) in einer Umgebung von x0

lokales Minimum: f (x) ≥ f (x0) in einer Umgebung von x0

globales Maximum: f (x) ≤ f (x0) auf ganz Df

globales Minimum: f (x) ≥ f (x0) auf ganz Df

Wenn die 1. Ableitung gleich Null ist, ist dies ein Hinweis auf einenmöglichen Extrempunkt. Es müssen jedoch zusätzlicheBedingungen erfüllt sein.




Extrempunkte

Prüfung auf Maximum:

I f ′(x) = 0 und f ′′(x) < 0 (Rechtskurve) oder

I f ′(x) = 0 und f ′(x) hat an der Stelle einen Vorzeichenwechselvon + nach −, d. h. f ′(x) > 0 links von x0 und f ′(x) < 0rechts von x0

Prüfung auf Minimum:

I f ′(x) = 0 und f ′′(x) > 0 (Linkskurve) oder

I f ′(x) = 0 und f ′(x) hat an der Stelle einen Vorzeichenwechselvon − nach +, d. h. f ′(x) < 0 links von x0 und f ′(x) > 0rechts von x0




Extrempunkte

Beispiel: Stelle mit f ′(x) = 0 aber kein Extremum

Betrachte f (x) = x3 an der Stelle x0 = 0.f ′(x) = 3x2 und damit: f ′(0) = 0 (notwendige Bedingung fürExtremum)

Trotzdem hat die Funktion kein lokales Extremum, sondern einen sogenannten Sattelpunkt. Die Funktion erfüllt nicht die zusätzlichenBedingungen (�hinreichende Bedingung�):

I f ′(x) > 0 für x < 0 und f ′(x) > 0 für x > 0(kein Vorzeichenwechsel).

I f ′′(x) = 6x → f ′′(0) = 0(weder Links- noch Rechtskurve; evtl. Wendepunkt).




Extrempunkte

Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten:

1. Kandidaten bestimmen: alle Stellen, für die f ′(x) = 0 gilt

2. Überprüfung der Kandidaten:I Vorzeichenwechsel von f ′(x) oderI f ′′(x) > 0 oder f ′′(x) < 0

3. Funktionswerte berechnen: Hoch-/Tiefpunkt (x0|f (x0))wenn x0 Max./Min.Stelle ist: y = f (x0) berechnen.

4. Gegebenenfalls Ausnahmepunkte untersuchen:I Randpunkte bei Funktionen, die nur auf einem Intervall [a; b]

de�niert sind: f (a), f (b) mit den berechneten Extremwertenvergleichen.

I Stellen, an denen eine Funktion nicht di�erenzierbar ist




Wendepunkt

Wenn die 2. Ableitung gleich Null ist, ist dies ein Hinweis auf einenmöglichen Wendepunkt (�notwendige Bedingung�). Es müssenjedoch zusätzliche Bedingungen erfüllt sein (�hinreichendeBedingung�).Notwendige Bedingung: f ′′(x) = 0Prüfung auf Wendepunkt/Hinreichende Bedingung:

I f ′′(x) wechselt an der Stelle x0 das Vorzeichen oder

I f ′′′(x) 6= 0




Zusammenfassung: geom. Interpretation

Merkmal von f(x) Kriterium

streng monoton bzw.monoton wachsend

f ′(x) > 0 bzw. f ′(x) ≥ 0

streng monoton bzw.monoton fallend

f ′(x) < 0 bzw. f ′(x) ≤ 0

Linkskurve f ′′(x) > 0

Rechtskurve f ′′(x) < 0

Maximum f ′(x) = 0 und

{VZW von �+� nach ��oder f ′′(x) < 0

Minimum f ′(x) = 0 und

{VZW von �� nach �+�oder f ′′(x) > 0

Wendepunkt f ′′(x) = 0 und

{VZW von f ′′(x)oder f ′′′(x) 6= 0

VZW = Vorzeichenwechsel




Ableitung: Anwendungen

Übersicht:

I Nullstellenbestimmung (Newton-Verfahren)

I Berechnung von Grenzwerten: Grenzwertbestimmung fürx →∞ bzw. x → De�nitionslücke für unbestimmte Ausdrücke(Bernoulli-l'Hospital)

I Extremwertaufgaben




Grenzwertberechnung: Regel von Bernoulli-de L'Hospital

Der Quotientf (x)g(x)

sei an der Stelle x0 vom Typ � 00� bzw. �∞∞ �

(so genannte �unbestimmte Ausdrücke�). Dann gilt:

limx→x0

f (x)g(x)

= limx→x0

f ′(x)g ′(x)

sofern der letzte Grenzwert (als reeller Grenzwert a oder als unei-gentlicher Grenzwert ∞ oder −∞) existiert.

Anmerkungen zur Regel von Bernoulli-de L'HospitalI Zähler und Nenner getrennt ableiten � keine Quotientenregel

(es geht nicht um die Ableitung der Funktion).I Evtl. muss das Verfahren mehrmals wiederholt werden.




Grenzwertberechnung: Regel von Bernoulli-de L'Hospital

Anmerkungen zur Regel von Bernoulli-de L'Hospital (Forts.)

I Regel gilt auch für x →∞ bzw. einseitige Grenzwerte, sofernder Typ � 0

0� bzw. �∞∞ � ist.

I Bei gebrochen rationalen Funktionen (Quotient zweierPolynome) ist es häu�g einfacher, den Bruch mit der höchstenPotenz zu kürzen (wie gehabt).

I Grenzwerte vom Typ �0 · ∞� bzw. �∞−∞� lassen sich mitder Regel ebenfalls berechnen, wenn man den Funktionstermin einen Quotienten umwandelt.Beispiel: f (x) = x2 · e−x Typ für x →∞: �∞ · 0�. Umwandelnin Bruch: f (x) = x2

ex vom Typ �∞∞ � und anschlieÿendBernoulli-de L'Hospital zweimal hintereinander anwenden.




Umformen von unbestimmten Ausdrücken

Umformungen für unbestimmte Ausdrücke der Form �∞−∞� bzw.�0 · ∞� für die Anwendung von Bernoulli-de L'Hostpital:

Unbestimmter Ausdruck Umformungen

1

u(x) −1

v(x)

mit u → 0, v → 0

}⇒ �∞−∞� 1

u− 1

v= v−u

u·v ⇒ � 00�√

u(x)−√

v(x)u →∞, v →∞

}⇒ �∞−∞� (

√u−

√v)(√u+√v)√

u+√v

= u−v√u+√v⇒ �∞∞ �

u(x) · v(x)mit u → 0, v →∞

}⇒ �0 · ∞� u · v =

{u/(1/v) ⇒ � 0

0� oder

v/(1/u) ⇒ �∞∞ �


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Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesenkamelzer/ss09/IWB1_Folien2.pdf · I monoton fallend bzw. streng monoton fallend , wenn für alle n ∈ NI gilt a n ≥ a n +1