TEOREMA KEKONVERGENAN MONOTON

PADA INTEGRAL LEBESGUE

Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Akhir Mata Kuliah

Teori Ukuran

Disusun oleh:

Dewanti Kumala Sari

3125120199

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2015

1

DAFTAR ISI

Daftar Isi ……………..………………………..……………..……………… 1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang………………………..……………………………. 2

1.2 Pembatasan Masalah………………………..……………………….. 2

1.3 Rumusan Masalah………………………..…………………………. 3

1.4 Tujuan Penulisan………………………..………………………….. 3

1.5 Manfaat Penulisan ………………………..……………………….. 3

1.6 Sistematika Penulisan ……………………….……………………. 3

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue ………………………. 4

2.1.1 Teorema Kekonvergenan Terbatas ………………………….. 4

2.1.2 Teorema Kekonvergenan Seragam ………………………. …. 4

2.1.3 Teorema Kekonvergenan Vitali ………………………..…….. 4

2.2 Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue …………………….. 4

2.2.1 Pembuktian Teorema ……………………………………......... 4

2.2.2 Aplikasi Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue

pada Teorema Lain ………………………..…………………… 7

2.2.3 Lemma Fatou ………………………..………………………….. 8

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan ………………………..………………………..…………… 10

3.2 Saran ………………………..………………………..…………………… 10

DAFTAR PUSTAKA ………………………..………………………….......... 11

2

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori integral tidak pernah lepas kaitannya dengan kehidupan.

Berbagai permasalahan yang tidak bisa diselesaikan secara langsung,

biasanya diterjemahkan ke dalam bentuk model matematika. Salah satu

metode yang digunakan untuk menyusun dan sekaligus menyelesaikan

model matematika tersebut adalah teori integral. Teori integral yang

biasa dikenal adalah integral Riemann, yang kemudian diperluas

menjadi integral Lebesgue. Sebagai pengembangan dari intergral

Riemann, integral Lebesgue masih tetap memiliki kekurangan.

Kekurangan dari integral Lebesgue adalah banyaknya syarat untuk

mempelajarinya. Sampai pada akhirnya ditemukan teori integral baru,

yang merupakan perluasan dari integral Lebesgue, yakni integral

Denjoy Khusus dan integral Perron. Namun penggunaan definisi

kedua integral tersebut masih dirasakan sulit. Definisi integral yang

baru kemudian disusun oleh Henstock dan Kurzweil dengan cara

konstruktif, sama dengan tipe definisi integral Riemann yang lebih

sederhana dan pembuktian-pembuktian teori integralnya pun menjadi

lebih mudah. Banyak hal yang bisa dipelajari dalam teori integral,

salah satu di antaranya mengenai kekonvergenan barisan fungsi-

fungsi terintegral. Permasalahannya adalah tidak semua barisan

fungsi yang terintegral dan konvergen ke suatu fungsi, fungsi

limitnya terintegral, atau jika terintegral, nilai integralnya belum

tentu sama dengan nilai limit integral barisan fungsinya. Pada makalah

ini akan dibahas mengenai salah satu teorema kekonvergenan yang ada

pada integral Lebesgue yaitu teorema kekonvergen monoton.

1.2 Pembatasan Masalah

Dari latar belakang permasalahan tersebut maka dalam makalah ini

akan difokuskan pada bagaimana pengertian teorema kekonvergenan

monoton pada integral Lebesgue.

3

1.3 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah

dipaparkan sebelumnya, maka rumusan masalah pada makalah ini

adalah

1. Apa saja teorema kekonvergenan yang terdapat di dalam integral

Lebesgue?

2. Bagaimana pengertian teorema kekonvergenan monoton pada

integral Lebesgue?

3. Bagaimana aplikasi teorema kekonvergenan monoton pada teorema

lain?

1.4 Tujuan Penulisan

Berdasarkan permasalahan yang telah diuraikan sebelumnya, maka

tujuan pokok dari penulisan makalah ini adalah

1. Mengetahui teorema-teorema kekonvergenan yang terdapat di

dalam integral Lebesgue.

2. Mengetahui pengertian teorema kekonvergenan monoton pada

integral Lebesgue.

3. Mengetahui aplikasi teorema kekonvergenan monoton pada

teorema lain.

1.5 Manfaat Penulisan

Makalah ini diharapkan dapat menambah wawasan bagi penulis dan

pembaca mengenai teorema kekonvergenana pada integral Lebesgue

terutama teorema kekonvergenan monoton Lebesgue.

4

1.6 Sistematika Penulisan

Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri

dari pendahuluan, pembahasan, dan kesimpulan. Pada pendahuluan,

dikemukakan tentang latar belakang masalah, pembatasan masalah,

rumusan masalah, tujuan dan manfaat tugas penulisan makalah. Pada

pembahasan akan dibahas mengenai teorema kekonvergenan monoton

pada integral Lebesgue Pada kesimpulan, memuat kesimpulan dari

seluruh isi makalah. Terakhir, terdapat daftar pustaka pada bagian akhir

makalah.

5

BAB II

PEMBAHASAN

2. 1 Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue

Teorema 2.1.1. (Teorema Kekonvergenan Terbatas)

Diketahui 𝑓𝑛 barisan fungsi terukur pada himpunan terukur E

dengan 𝜆(𝐸) < ∞ dan ada bilangan 𝑀 > 0 sehingga |𝑓𝑛(𝑥)| ≤ 𝑀 , untuk

setiap n dan hampir untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 . Jika barisan fungsi 𝑓𝑛 konvergen

ke fungsi 𝑓 hampir dimana-mana pada E, maka (𝐿) ∫ 𝑓 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(𝐿) ∫ 𝑓𝑛𝐸𝑋

Teorema 2.1.2. (Teorema Kekonvergenan Seragam)

Diketahui fungsi 𝑓𝑛 , 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 , 𝑛 ∈ 𝑁 dengan 𝑓𝑛 terintegral

Lebesgue pada [a,b] untuk setiap n. Jika barisan fungsi 𝑓𝑛 konvergen

seragam ke 𝑓 hampir dimana-mana pada [a,b] maka 𝑓 terintegral

Lebesgue pada [𝑎, 𝑏]dan (𝐿) ∫ 𝑓 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(𝐿) ∫ 𝑓𝑛𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Teorema 2.1.3. (Teorema Kekonvergenan Vitali)

Diketahui fungsi 𝑓𝑛 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 . Untuk setiap n, 𝑓𝑛

terintegral Lebesgue pada [𝑎, 𝑏], dengan 𝐹𝑛(𝑥) = (𝐿) ∫ 𝑓𝑛𝑏

𝑎. Jika 𝑓𝑛kontinu

mutlak seragam pada [𝑎, 𝑏]dan 𝑓𝑛 konvergen ke fungsi f pada [𝑎, 𝑏], maka

𝑓 terintegralkan Lebesgue pada [𝑎, 𝑏], dan ( 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(𝐿) ∫ 𝑓𝑛 = (𝐿) ∫ 𝑓𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

2.2 Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue

2.2.1 Pembuktian Teorema

Misalkan (𝑓𝑛) adalah sebuah barisan dari fungsi- fungsi terukur –𝜇 pada

𝑋. Jika :

(a) 0 ≤ 𝑓1(𝑥) ≤ 𝑓2(𝑥) ≤ ⋯ ≤ ∞ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋

(b) lim𝑛→∞

(𝑓𝑛 (𝑥)) = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋

Maka 𝑓 terukur dan,

6

lim (𝑛→∞

∫ 𝑓𝑛 𝑑𝜇𝑋

) = ∫ ( 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑓𝑛) 𝑑𝜇𝑋

Bukti :

Misalkan (𝑓𝑛) adalah sebuah barisan fungsi terukur – 𝜇 yang

bernilai non negatif pada 𝑋, monoton naik dan konvergen titik demi titik

ke fungsi 𝑓 pada 𝑋. Keterukuran dari fungsi f dijamin oleh Teorema 3.2.10.

Untuk selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋

) = ∫ ( 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑓𝑛) 𝑑𝜇𝑋

Karena 𝑓𝑛 ≤ 𝑓𝑛+1 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 , maka berdasarkan Teorema 4.3.2

diperoleh ∫ 𝑓𝑛 + ∫ 𝑓𝑛+1 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁. Selanjutnya,karena barisan (𝒇𝒏)

monoton naik dan konvergen titik demi titik ke fungsi 𝑓 maka 𝑓𝑛 ≤ 𝑓

untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 , berdasarkan Teorema 4.3.2 maka ∫ 𝑓𝑛 ≤ ∫ 𝑓 untuk

setiap 𝑛 ∈ 𝑁. Perhatikan bahwa barisan (∫ 𝑓𝑛) monoton naik dan terbatas

oleh ∫ 𝑓, oleh karena itu akan terdapat 𝐿 ∈ [0, ∞) sedemikian sehingga

lim𝑛→∞

(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋

) = 𝐿

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝐿 = ∫ ( lim𝑛→∞

𝑓𝑛)𝑑𝜇 = ∫ 𝑓𝑑𝜇𝑋𝑋

yaitu

dengan menunjukkan bahwa kedua ketidaksamaan berikut berlaku :

(i) 𝐿 ≤ ∫ 𝑓𝑛𝑋 dan

(ii) 𝐿 ≥ ∫ 𝑓𝑛𝑋

Karena 𝐿 = sup{𝑓𝑛: 𝑛 ∈ 𝑁} dan ∫ 𝑓𝑛 ≤ ∫ 𝑓 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 akibatnya

diperoleh,

𝐿 ≤ ∫ 𝑓𝑋

𝑑𝜇

Maka pertidaksamaan (i) terbukti.

Untuk membuktikan pertidaksamaan (ii) misalkan 𝑠 adalah sebarang

fungsi sederhana sedemikian sehingga 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑓 dan misalkan 𝑐 adalah

sebarang konstanta dengan 0 ≤ 𝑐 ≤ 1 dan definisikan

7

𝐸𝑛 = {𝑥: 0 ≤ 𝑐𝑠(𝑥) ≤ 𝑓𝑛(𝑥)} dimana 𝑛 = 1,2,3, …

Karena 𝑓𝑛 terukur –𝜇 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 akibatnya himpunan 𝐸𝑛 terukur

untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 dan karena (𝑓𝑛) monoton naik maka diperoleh 𝐸1 ⊆

𝐸2 ⊆ 𝐸3 ⊆ ⋯ .

Lebih jauh, akan ditunjukkan bahwa 𝑋 = ⋃ 𝐸𝑛∞𝑛=1 . Untuk itu karena 𝐸1 ⊆

𝑋 untuk setiap, maka diperoleh ⋃ 𝐸𝑛 ⊆ 𝑋∞𝑛=1 . Selanjutnya, akan

ditunjukkan bahwa 𝑋 = ⋃ 𝐸𝑛∞𝑛=1 . Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑋 , jika 𝑓(𝑥) = 0

maka 𝑓𝑛(𝑥) = 0 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁

dan 𝑠(𝑥) = 0 dengan demikian 𝑥 ∈ 𝐸𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 . Selanjutnya jika

𝑓(𝑥) > 0 , maka 𝑓(𝑥) > 𝑠(𝑥) > 𝑐𝑠(𝑥) dan akibatnya 𝑓𝑛(𝑥) > 𝑐𝑠(𝑥) untuk

setiap 𝑛 ∈ 𝑁 yang cukup besar. Hal ini jugamenunjukkan bahwa 𝑥 ∈ 𝐸𝑛

untuk suatu 𝑛 ∈ 𝑁 dan akibatnya diperoleh 𝑋 ⊆ ⋃ 𝐸𝑛∞𝑛=1 . Berdasarkan hal

tersebut, dapat disimpulkan bahwa 𝑋 = ⋃ 𝐸𝑛∞𝑛=1 .

Kemudian perhatikan bahwa,

∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋

≥ ∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝐸𝑛

≥ ∫ 𝑐𝑠 𝑑𝜇𝐸𝑛

Untuk 𝑛 = 1,2,3, … Dengan demikian diperoleh

lim𝑛→∞

(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋

) ≥ lim𝑛→∞

(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝐸𝑛

) ≥ lim𝑛→∞

(𝑐 ∫ 𝑠 𝑑𝜇𝐸𝑛

)

atau dengan kata lain,

𝐿 ≥ 𝑐 ∫ 𝑠 𝑑𝜇𝐸𝑛

Karena pertidaksamaan ini berlaku untuk setiap 𝑐 ∈ (0,1) maka diperoleh

𝐿 ≥ ∫ 𝑠 𝑑𝜇𝑋

Untuk setiap fungsi sederhana terukur 𝑠 dengan 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑓 sehingga

dengan mengambil supremum atas seluruh s diperoleh

𝐿 ≥ ∫ 𝑓 𝑑𝜇𝑋

Dengan demikian pertidaksamaan (i) dan (ii) berlaku sehingga dapat

disimpulkan bahwa,

8

lim𝑛→∞

(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋

) = 𝐿 = ∫ ( lim𝑛→∞

𝑓𝑛)𝑑𝜇𝑋

2.2.2 Aplikasi Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue pada

Teorema Lain

Perhatikan bahwa kondisi barisan fungsi terukur non negatif (𝑓𝑛)

yang harus monoton naik seperti yang disebutkan pada teorema 4.3.4

tidak dapat dihilangkan.

Hal ini seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

Contoh 1

Untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁,misalkan 𝑓𝑛: [1, ∞) → [0, ∞] didefinisikan oleh

1 , jika [ , 1)

( , 1) 0 , jika [ , 1). ( ) ( ) x n n

n n n x n nf x X x

Dapat dilihat bahwa 𝑓𝑛 bernilai non negatif untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 , tetapi

barisan fungsi (𝑓𝑛) tidak monoton naik. Barisan fungsi (𝑓𝑛) konvergen ke

fungsi 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [1, ∞). Akan tetapi,

∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇[1,∞)

= ∫ 𝑋[𝑛,𝑛+1) = 𝜇([1,∞)

[𝑛, 𝑛 + 1) ∩ [1, ∞)) = 1.

Sehingga

lim𝑛→∞

(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇[1,∞)

) = 1 ≠ 0 = ∫ ( 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑓𝑛)𝑑𝜇[1,∞)

Teorema konvergen monoton Lebesgue juga dapat diaplikasikan untuk

Teorema 4.3.2 seperti yang ditunjukan pada contoh berikut.

Contoh 2

Misalkan diberikan dua buah fungsi 𝑓, 𝑔: 𝑋 → [0, ∞] di mana 𝑓 dan 𝑔

adalah fungsi terukur –𝜇 dan 𝐴 ⊆ 𝑋. Misalkan 𝛼 adalah sebuah konstanta

dengan 𝛼 > 0. Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton

akan ditunjukkan bahwa

∫ (𝑓 + 𝑔)𝐴

𝑑𝜇 = ∫ 𝑓𝑑𝜇 +𝐴

∫ 𝑔𝑑𝜇𝐴

dan ∫ 𝛼𝑓𝐴

𝑑𝜇 = 𝛼 ∫ 𝑓𝑑𝜇𝐴

9

Berdasarkan Teorema 3.3.6 terdapat barisan fungsi sederhana (𝑠𝑛) dan

(𝑡𝑛) sedemikian sehingga,

0 ≤ 𝑢1 ≤ 𝑢2 ≤ ⋯ dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑢𝑛 = 𝑓 pada 𝐴

dan

0 ≤ 𝑣1 ≤ 𝑣2 ≤ ⋯ dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑣𝑛 = 𝑔 pada 𝐴

Berdasarkan hal tersebut diperoleh barisan fungsi sederhana (𝑢𝑛 +

𝑣𝑛) dan (𝛼𝑢𝑛) dimana

0 ≤ 𝑢1 + 𝑣1 ≤ 𝑢2 + 𝑣2 ≤ ⋯ dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(𝑢𝑛 + 𝑣𝑛) = 𝑓 + 𝑔

dan

0 ≤ 𝛼𝑢1 ≤ 𝛼𝑢2 ≤ ⋯ dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝛼𝑢𝑛 = 𝛼𝑓

Berdasarkan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue diperoleh :

∫ (𝑓 + 𝑔)𝐴

𝑑𝜇 = lim𝑛→∞

(∫ (𝑢𝑛 + 𝑣𝑛)𝑑𝜇𝐴

) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(∫ 𝑢𝑛𝑑𝜇𝐴

) +

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(∫ 𝑣𝑛𝑑𝜇𝐴

) = ∫ 𝑓𝑑𝜇 + ∫ 𝑔𝑑𝜇𝐴𝐴

serta

∫ 𝛼𝑓𝐴

𝑑𝜇 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(∫ 𝛼𝑢𝑛𝑑𝜇𝐴

) = 𝛼 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(∫ 𝑢𝑛𝑑𝜇𝐴

) = 𝛼 ∫ 𝑓𝑑𝜇𝐴

2.2.3 Lemma Fatou

Jika 𝑓𝑛: 𝑋 → [0, ∞] adalah fungsi terukur non negatif untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 ,

maka

∫ ( lim𝑛→∞

inf 𝑓𝑛)𝑑𝜇 ≤ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑖𝑛𝑓 ∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋𝑋

10

Bukti :

Misalkan diberikan sebarang barisan terukur non negatif (𝑓𝑛) yang

terdefinisi pada X dan definisikan

𝑔𝑛 = inf {𝑓𝑛, 𝑓𝑛+1, 𝑓𝑛+2 , … . } dengan 𝑛 = 1,2,3, …

Dengan demikian diperoleh bahwa 𝑔𝑛 ≥ 0, 𝑔𝑛 ≤ 𝑓𝑛 dan barisan 𝑔𝑛 monoton

naik. Berdasarkan Teorema 3.2.10 𝑔𝑛 terukur –𝜇 untuk 𝑛 = 1,2,3, … dan

lim𝑛→∞

𝑔𝑛 = lim𝑛→∞

inf 𝑓𝑛 . Dengan menggunakan Teoreman Kekonvergenan

Monoton Lebesgue diperoleh

∫ ( lim𝑛→∞

inf 𝑓𝑘) 𝑑𝜇 =𝑋

∫ ( lim𝑛→∞

𝑔𝑛)𝑑𝜇𝑋

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

∫ 𝑔𝑛𝑑𝜇𝑋

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑖𝑛𝑓 ∫ 𝑔𝑛𝑑𝜇𝑋

≤ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑖𝑛𝑓 ∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋

11

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dari pembahasan diatas dapat diketahui dan dibuktikan syarat-

syarat cukup yang menjamin fungsi limit dari barisan fungsi terintegral

secara Lebesgue juga terintegral Lebesgue pada [a,b] dan nilai

integralnya sama dengan nilai limit integral barisan fungsinya. Begitu

pula pada pemaparan pembuktian Teorema Kekonvergenan Monoton,

maka terbukti bahwa integral dari barisan yang konvergen sama dengan

integral dari titik konvergennya asalkan syaratnya terpenuhi.

3.2 Saran

Pembahasan mengenai integral Lebesgue sangatlah luas, selain

teorema kekonvergenana monoton masih ada teorema-teorema lain yang

belum dibahas secara lebih mendalam. Untuk itu sebaiknya dalam

pembahasan yang lebih lengkap tentang teorema-teorema kekonvergenan

dalam integral dibahas pula mengenai hubungan antara teorema-

teorema tersebut serta akibat dari setiap teorema.

12

DAFTAR PUSTAKA

[1] Khotimah, Rita P. dkk, 2011, Teorema- Teorema Kekonvergenan pada

Integral Riemann, Lebesgue, dan Henstock, Universitas Muhammadiyah

Surakarta : Prosiding Seminar nasional Matematika 24 Juli 2011

[2] Royden, H.L. dan Fitzpatrick, P.M, 2010, Real Analysis : Fourth

Edition, China : Pearson Education Asia Limited and China Machine

Press.