Mathcad - Diseño de Losas en 2 direcciones usando mathcad

Análisis y Diseño de una Losa de Piso Reforzada en Dos Direcciones Apoyadasobre Vigas

Un sistema de entrepiso de concreto reforzado armado en dos direcciones para un edificiode concreto reforzado tiene la configuración presentada en la Fig. 1, adjunta y el mismoestá apoyado sobre vigas peraltadas y coladas monolíticamente con la losa. Usando elMétodo de Diseño Directo (DDM, por sus siglas en inglés), determinar los momentos dediseño en las dos direcciones, además de diseñar los paneles de losa, para la Carga Vivaindicada y el peso propio de la estructura.

Altura del entrepiso = 12’'Dimensiones de las vigas de borde o externas (VE) = 14” x 28”Dimensiones de las vigas internas (VI) = 14” x 25 “Dimensiones de las columnas = 18” x 18”Suponga un espesor de losa inicial de 6” y realice las comprobaciones de dicho espesor deacuerdo a los requerimientos del Código ACI.Carga viva de servicio = 105 lbf/ft².f’ = 4000 psi (Para todos los elementos, con concreto de peso normal)fy = 60000 psi

Nota específica: Todos los cálculos de propiedades geométricas de los elementos deberánpresentarse de manera tabular, es decir no es aceptable que se presenten únicamente losvalores obtenidos para dichas secciones.

Calculo del espesor minimo de la losa.

Como se trata de una losa con vigas interiores, se debe cumplir con los requerimientos de laseccion 9.5.3.3 del ACI.

Calculo de α1 para el claro largo (Este-Oeste) para las vigas interiores (16 ft de ancho)

IsLargo112

16ft 6in( )3 3456 in4

=:=

Dimensiones de la viga T interna:

bw 14in:= hw 19in:= h 6in:=

be es menor de: bw 8 h+ 62 in= y

bw 2hw+ 52 in=

be 52in:=

Momento de Inercia de la viga T:

b h Ai Yi YiAi I d d2APatin 52 6 312 3 936 936.00 -5.75 10324.81Viga 14 19 266 15.5 4123 8002.17 6.75 12110.31

Suma: 578 5059 8938.17 22435.12

Yseccion 8.75 inIseccion 31373.2878 in4

IvigaT 31373.2778in4:=

α1IvigaTIsLargo

9.078=:=

Calculo de α2 para el claro corto (Norte - Sur) para las vigas interiores (21 ft de ancho)

IsCorto112

21ft 6in( )3 4536 in4

=:=

α2IvigaTIsCorto

6.917=:=

Calculo de α3 para el claro corto (Norte - Sur) para la viga de borde (10.5 ft de ancho)

IsCortoExterno112

9in21ft2

+

6in( )3 2430 in4

=:=

Dimensiones de la viga L externa:

bw 14 in= hwL 22in:= h 6 in=

be es menor de: hwL 22 in= y

4 h 24 in=

beL 22in 14in+ 36 in=:=

Momento de Inercia de la viga L:

b h Ai Yi YiAi I d d2APatin 36 6 216 3 648 648.00 -8.23 14626.78Viga 14 22 308 17 5236 12422.67 5.77 10257.74

Suma: 524 5884 13070.67 24884.52

Yseccion 11.23 inIseccion 37955.1858 in4

IvigaL 37955.1858in4:=

α3IvigaL

IsCortoExterno15.619=:=

Calculo de α4 para el claro largo (Este - Oeste) para las vigas de borde (8 ft de ancho)

IsLargoExterno112

9in16ft2

+

6in( )3 1890 in4

=:=

Momento de Inercia de la viga L:

IvigaL 37955.1858 in4=

α4IvigaL

IsLargoExterno20.082=:=

1) Panel Interior:

α1 9.078=

α2 6.917=

Comprobacion del cumplimiento de seccion 13.6.1.6 de ACI

0.2αf1 l2( )2

αf2 l1( )2 5

9.078 16( )2

6.917 21( )2

0.762= OK

αfm1α1 α2+

27.997=:= es mayor que 2, se debe usar Ecuacion 9-13 de ACI

(Ecuacion 9-13 ACI)hminimo

ln 0.8fy

200000+

36 9β+:=

lnLargo 21ft 18in- 19.5 ft=:=

lnCorto 16ft 18in- 14.5 ft=:=

β19.514.5

1.345=:=

hminimo1

19.5ft 0.860000200000

+

36 9 1.345+5.351 in=:=

2) Panel Exterior (Viga de borde en lado Oeste):

α1 9.078=

α2 6.917=

α3 15.619=

αfm22α1 α2+ α3+



0.2αf1 l2( )2

αf2 l1( )2 5

9.078 16( )2

6.917 15.619+( )2

21( )2

0.468= OK

hminimo2

19.5ft 0.860000200000

+

36 9 1.345+5.351 in=:=

3) Panel Exterior (Viga de borde en lado Norte):

α1 9.078=

α2 6.917=

α4 20.082=


0.2αf1 l2( )2

αf2 l1( )2 5

9.078 20.082+( )2

16( )2

6.917 21( )2

1.224= OK

αfm3α1 2 α2+ α4+


hminimo3

19.5ft 0.860000200000

+

36 9 1.345+5.351 in=:=

4) Panel Esquinero:

α1 9.078=

α2 6.917=

α3 15.619=

α4 20.082=


0.2αf1 l2( )2

αf2 l1( )2 5

9.078 20.082+( )2

16( )2

6.917 15.619+( )2

21( )2

0.751= OK

αfm4α1 α2+ α3+ α4+


hminimo4

19.5ft 0.860000200000

+

36 9 1.345+5.351 in=:=

De acuerdo con los calculos, el espesor minimo para esta losa debe ser 5.351 pulgadas. Por tantose puede continuar usando el espesor de losa de 6 pulgadas.

Diseno por Flexion:

Determinacion de las cargas soportadas por la losa:

Cargas de Servicio:

Carga muerta: CM 6in 150 pcf 75 psf=:=

Carga viva: CV 105psf:=

Carga de Diseno:

qu 1.2CM 1.6CV+ 258 psf=:=

Momentos para ambas direcciones:

Direccion Larga: MoLarga258psf 16 ft 21ft 18in-( )2

8196.21 kip ft=:=

Direccion Corta: MoCorta258psf 21 ft 16ft 18in-( )2

8142.39 kip ft=:=

Ancho de las franjas:

Franja de Columna (Ambas Direcciones): 16ft2

8 ft=

Franja Central (Direccion Corta): 21ft 8ft- 13 ft=

Franja Central (Direccion Larga): 16ft 8ft- 8 ft=

Recubrimiento: 1.5 in

Peralte de la losa: d 6in 1.25in- 4.75 in=:=

Distribucion de Momentos:

Direccion Larga, claro interior:

0.65 MoLarga 127.536 kip ft=Momento Negativo:

0.35 MoLarga 68.673 kip ft=Momento Positivo:

Momento Negativo:

Asignando estos momentos a la Franja de columna: (Seccion 13.6.4 ACI)

l1 21ft:= l2 16ft:=

l2l1

0.762= αf1 α2 6.917=:=

αf1 l2

l15.27= Como es mayor que 1, se tomara con valor igual a 1

%NegCol 75 30αf1 l2

l1

1l2l1

-

+:=

%NegColLarga 75 30 1( ) 11621

-

+ 82.143=:=

Momento Negativo resistido por franja de columna:

MNegColLarga 0.82143 0.65 MoLarga( ) 104.762 kip ft=:=

Se asigna 85% de este momento a la viga. (ACI 13.6.5.1), entonces la losa soportara:

MuNeg1 0.15 MNegColLarga 15.714 kip ft=:=

y la franja central soportara:

MNegCentralInt 0.65 MoLarga MNegColLarga- 22.774 kip ft=:=

Momento Positivo:


l2 16 ft= l1 21 ft=

l2l1

0.762= αf1 6.917=

αf1 l2


%PosCol 60 30αf1 l2

l1

1.5l2l1

-

+:=

%PosColInt 60 30 1( ) 1.51621

-

+ 82.143=:=

Momento Positivo resistido por franja de columna:

MPosColLarga 0.82143 0.35 MoLarga( ) 56.41 kip ft=:=

Se asigna 85% de este momento a la viga. (ACI 13.6.5), entonces la losa soportara:

MuPos1 0.15 MPosColLarga 8.462 kip ft=:=


MPosCentralLarga 0.35 MoLarga MPosColLarga- 12.263 kip ft=:=

Distribucion de Momentos:

Direccion Corta, claro interior:

0.65 MoCorta 92.555 kip ft=Momento Negativo:

0.35 MoCorta 49.837 kip ft=Momento Positivo:

Momento Negativo:


l2 21ft:= l1 16ft:=

l2l1

1.313= αf2 α1 9.078=:=

αf2 l2


%NegCol 75 30αf1 l2

l1

1l2l1

-

+:=

%NegColCorta 75 30 1( ) 12116

-

+ 65.625=:=

Momento Negativo resistido por franja de columna:

MNegColCorta 0.65625 0.65 MoCorta( ) 60.739 kip ft=:=

Se asigna 85% de este momento a la viga. (ACI 13.6.5.1), entonces la losa soportara:

MuNeg2 0.15 MNegColCorta 9.111 kip ft=:=


MNegCentralCorta 0.65 MoCorta MNegColCorta- 31.816 kip ft=:=

Momento Positivo:


l2 21 ft= l1 16 ft=

l2l1

1.313= αf2 9.078=

αf2 l2


%PosCol 60 30αf1 l2

l1

1.5l2l1

-

+:=

%PosColCorta 60 30 1( ) 1.52116

-

+ 65.625=:=

Momento Positivo resistido por franja de columna:

MPosColCorta 0.65625 0.35 MoCorta( ) 32.706 kip ft=:=

Se asigna 85% de este momento a la viga. (ACI 13.6.5), entonces la losa soportara:

MuPos2 0.15 MPosColCorta 4.906 kip ft=:=


MPosCentralCorta 0.35 MoCorta MPosColCorta- 17.132 kip ft=:=

Diseno del Refuerzo:

Negativo Positivo Negativo PositivoMomento (kip*ft) 15.714 8.462 22.774 12.263b (in) 96 96 96 96d (in) 4.75 4.75 4.75 4.75h (in) 6 6 6 6fy (ksi) 60 60 60 60f'c (ksi) 4 4 4 4Ru (ksi) 0.08706 0.04688 0.1262 0.0679w 0.02453 0.01312 0.03579 0.01908Rho 0.00164 0.00087 0.00239 0.00127As teorico (in) 0.75 0.40 1.09 0.58As min (in2) 1.0368 1.0368 1.0368 1.0368Varilla numero: 4 4 4 4Area 1 varilla (in2) 0.2 0.2 0.2 0.2Requerido:# Varillas teorico 5.18 5.18 5.44 5.18espaciamiento teorico (in) 18.52 18.52 17.64 18.52Usar:# Varillas 6 6 6 6Separacion (in) 16 16 16 16

Refuerzo: 6#4 @ 16" 6#4 @ 16" 6#4 @ 16" 6#4 @ 16"

Franja de columna Franja centralDireccion Larga

Negativo Positivo Negativo PositivoMomento (kip*ft) 9.111 4.906 31.816 17.132b (in) 96 96 156 156d (in) 4.75 4.75 4.75 4.75h (in) 6 6 6 6fy (ksi) 60 60 60 60f'c (ksi) 4 4 4 4Ru (ksi) 0.05048 0.02718 0.1085 0.0584w 0.01414 0.00758 0.03068 0.01638Rho 0.00094 0.00051 0.00205 0.00109As teorico (in) 0.43 0.23 1.52 0.81As min (in2) 1.0368 1.0368 1.6848 1.6848Varilla numero: 4 4 4 4Area 1 varilla (in2) 0.2 0.2 0.2 0.2Requerido:# Varillas teorico 5.18 5.18 8.42 8.42espaciamiento teorico (in) 18.52 18.52 18.52 18.52Usar:# Varillas 6 6 9 9Separacion (in) 16 16 17.33 17.33

Refuerzo: 6#4 @ 16" 6#4 @ 16" 9#4 @ 17.33" 9#4 @ 17.33"

Direccion cortaFranja de columna Franja central

Comprobacion de Cortante: (Seccion 13.6.8 ACI)

Debido a que αf l2

l1 >1, se debe proporcionar el cortante de la siguiente manera:

Fuerza cortante actuante:

l1 16 ft= bw 14 in= d 4.75 in= qu 258 psf=

Vu qul12

bw2

- d-

1 ft:=

Vu 258psf16ft2

14in2

- 4.75in-

1 ft 1811.375 lbf=:=

Cortante que es capaz de soportar el concreto:

ϕ 0.75:= fc 4000:=

Vc ϕ 2 fcb d:=

Vc 0.75 2 4000 12 4.75 5407.495=:=

5407.5lb 1811.4lb> OK

Suponga un espesor de losa inicial de 6” y realice las comprobaciones de dicho espesor de

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