Math Online I บทนํา คณิตศาสตร บทนํา เซต · 2) {x | x = 10n เมื่อ n เป นจํานวนนับ } ตอบ {10,20,30,

Math Online I http://www.pec9.com บทนํา เซต

1

คณิตศาสตร บทนํา เซต ตอน 1 การเขียนเซต สมาชิกเซต และ เซตที่ควรรูจัก

คําวา “เซต” อาจหมายถงึ กลุมของสิ่งตาง ๆ ซึ่งทราบแนนอนแลววามีสิ่งใดอยูในกลุม และ สิ่งใดไมอยูในกลุม

เชน เซตของวันใน 1 สัปดาห หมายถึงกลุมของวันจันทร , วันอังคาร , วันพุธ วันพฤหัสบดี , วันศุกร , วันเสาร และ วันอาทิตย เซตของจํานวนเต็มต้ังแต 1 ถึง 5 หมายถึงจํานวน 1 , 2 , 3 , 4 , 5 เปนตน

1. เซตของเดือนท่ีลงทายดวย “คม” หมายถึง .......................................................................... .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................

เซตของจํานวนเต็มบวกท่ีนอยกวา 10 หมายถึง ................................................................. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................

วิธีการเขียนแสดงเซต เราอาจเขียนได 2 แบบ ไดแก 1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก

เชน กําหนดใหเซต A คือ เซตของจํานวนเต็มต้ังแต 1 ถึง 5 อาจเขียนแสดงเปน A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

หรือ B คือ เซตของจํานวนเต็มต้ังแต 10 ถึง 1000 อาจเขียนแสดงเปน B = { 10 , 11 , 12 , … , 999 , 1000 }

หรือ I+ คือ เซตของจํานวนเต็มบวก อาจเขียนแสดงเปน I+ = { 1 , 2 , 3 , … }

โปรดสังเกตุวา * เราจะใช { } แสดงขอบเขตของเซต * เราจะใช , ค่ันระหวางสมาชิกของเซตแตละตัว * เราจะใช ... แสดงถึงสมาชิกสวนมากที่ละเอาไวในฐานที่เขาใจ

2. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1) เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นตนดวยพยัญชนะ “จ” ตอบ {จันทบุรี}

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ ตอบ {a , e , i , o , u}

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................


2

3) เซตของจํานวนเต็มบวกที่มีสองหลัก ตอบ {10,11,12,…,98,99} .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................

4) เซตของจํานวนคูบวกที่นอยกวา 10 ตอบ {2,4,6,8} .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................

5) เซตของจํานวนเต็มที่มากกวา 100 ตอบ {101,102,103,….} .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................

6) เซตของจํานวนเต็มลบที่มากกวา –100 ตอบ {-99,-98,-97,….,-2,-1} .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................

โปรดสังเกตุเพิ่มเติม สิ่งที่อยูในเซต และม ี , คั่นไว เรียกเปน สมาชิกของเซต 1 ตัว เชน เซต A ในตัวอยาง คือ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } มีสมาชิก 5 ตัว

จะเห็นวา 1 เปนสมาชิกของเซต A เขียนเปนสัญลักษณจะได 1 � A [ � อานวา เปนสมาชิก ]

และ 2 � A 3 � A

4 � A 5 � A

แต 6 � A [ � อานวา ไมเปนสมาชิก ]

3. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปน้ี 1) B = {9 , 10 , 356} ( 3 ) 2) B = { 1234 } ( 1 ) 3) C = {a , b , c , de , f , gh , ijk} ( 7 ) 4) D = { a , 1 , 23 , {4} , {5,6} } ( 5 )

4. ขอใดจริงหรือเท็จ 1) 8 � �� , 0 , 1, {2} , {3,4} � (เท็จ ) 2) � � �� , 0 , 1, {2} , {3,4} � (จริง ) 3) 1 � �� , 0 , 1, {2} , {3,4} � (จริง ) 4) 2 � �� , 0 , 1, {2} , {3,4} � (เท็จ )


3

5) {2} � �� , 0 , 1, {2} , {3,4} � (จริง ) 6) 4 � �� , 0 , 1, {2} , {3,4} � (เท็จ ) 7) {4} � �� , 0 , 1, {2} , {3,4} � (เท็จ ) 8) {3,4} � �� , 0, 1, {2} , {3,4} � (จริง )

2. การเขียนแบบบอกเง่ือนไข เชน กําหนดให A = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกท่ีนอยกวา 5 } อานวา “ A คือ เซตของ x โดยที ่ x เปนจํานวนเต็มบวกท่ีนอยกวา 5 ” เม่ือแจกแจงจะได A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

หรือ B = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 10 และนอยกวา 9 } อานวา “ B คือ เซตของ x โดยที ่x เปนจํานวนเต็มบวกท่ีมากวา 10 และนอยกวา 9” เม่ือแจกแจงจะได B = { }

5. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1) {x | x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 3 และนอยกวา 10 } ตอบ {4,5,6,7,8,9}

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 2) {x | x เปนจํานวนเต็มที่อยูระหวาง 0 กับ 1 } ตอบ { }

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 3) {x | x เปนจํานวนเต็ม } ตอบ {…,–2 ,–1 ,0,1 ,2 , …}

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 4) {x | x เปนจํานวนเต็มบวก } ตอบ {1,2,3, … }

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 5) {x | x เปนจํานวนเต็มลบ } ตอบ {–1, –2, –3, … }

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 6) {x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่ถอดรากที่ 2 ลงตัว } ตอบ {1,4,9,16,25,36, ….. }

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 7) {x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่หารดวย 10 ลงตัว } ตอบ {10,20,30, … }

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................


4

6. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1) {x | x = n2 เมื่อ n เปนจํานวนนับ } ตอบ {1,4,9,16,25,36, ….. }

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 2) {x | x = 10n เมื่อ n เปนจํานวนนับ } ตอบ {10,20,30, … }

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................

7. จงเขียนเซตตอไปน้ีแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก 1) N = {1 , 3 , 5}

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 2) P = {…, –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , …}

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 3) R = {1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 ,…}

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ 4) T = {10 , 20 , 30,…}

.............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ................ ตอบ 1) N = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกคี่ที่นอยกวา 6 }

2) {x | x เปนจํานวนเต็ม } 3) {x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่ถอดรากที่2 ลงตัว } หรือ {x | x = n2 เม่ือ n เปนจํานวนนับ } 4) {x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่หารดวย 10 ลงตัว } หรือ {x | x=10n เม่ือ n เปนจํานวนนับ }

เซตที่ควรรูจัก 1. เซตวาง คือ เซตที่ไมมีสมาชิกเลย เชน D = {x | x เปนจํานวนเต็มท่ีอยูระหวาง 0 กับ 1}

สัญลักษณแทนเซตวาง คือ { } หรือ � ( อานวา พี )

8. จงบอกวาเซตใดเปนเซตวาง 1. {x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4 } (วาง ) 2. {x | x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2 } (วาง ) 3. {x | x เปนจํานวนเฉพาะที่มากกวา 3 และนอยกวา 10 } (ไมวาง ) 4. { 0 } (ไมวาง ) 5. {} (ไมวาง ) 6. { } (วาง)


5

2. เซตจํากัด คือ เซตที่สามารถบอกจํานวนสมาชิกไดวามีกี่ตัว เชน A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } B = { 1 , 2 , 3 , …. , 95 }

ควรทราบวา เซตวางเปนเซตจํากัด เพราะบอกจํานวนสมาชิกไดแนนอน คือ มี 0 ตัว 3. เซตอนันต คือ เซตที่มีจํานวนสมาชิกมากมายจนนับจํานวนไมได

เชน C = { 5 , 6 , 7 , 8 , … }

9. เซตตอไปน้ี เซตใดเปนเซตจํากัด เซตใดเปนเซตอนันต 1. { x | x เปนจํานวนเต็มคู } (อนันต) 2. { 1 , 2 , 3… , 99 , 100 } (จํากัด) 3. { x | x = n1 โดยท่ี n เปนจํานวนนับ } (อนันต) 4. { x | x = n1 โดยท่ี n เปนจํานวนนับท่ีนอยกวา 999 } (จํากัด) 5. { x | x เปนจํานวนเต็มท่ีหารดวย 3 ลงตัว } (อนันต)

4. เซตที่เทากัน หมายถึง เซต 2 เซต ซ่ึงมีสมาชิกเหมือนกันโดยตลอด เชน ถา A = { a , b , c , d } และ B = { b , c , a , d } จะไดวา A = B

ถา C = { 1 , 2 , 3 } และ D = { 2 , 6 , 7 } จะไดวา C ⋅ D ถา E = { 7 , 8 , 9 } และ F = { 7 , 8 , 8 , 9 } จะไดวา E = F

10. เซตตอไปน้ีมีเซตใดบางท่ีเทากัน 1) A = {1, 2 , 3 , 4 , 5}

B = {5 ,4 , 3 , 2 , 1} (A = B ) 2) E = {12 , 14 , 16 , 18}

F = {14 , 16 , 20 , 18} (E ⋅ F )

11. เซตตอไปน้ีมีเซตใดบางท่ีเทากัน 1) K = {x | x เปนจํานวนเต็มคูท่ีนอยกวา 10} L = {2 , 4 , 6 , 8} (K ⋅ L ) 2) M = {x | x เปนจํานวนเต็ม และ x2 = 36} N = {6} (M ⋅ N )


6

12. เซตตอไปน้ีมีเซตใดบางท่ีเทากัน 1) E = {7 , 14 , 21 , … , 343}

F = {x | x = 7n และ n เปนจํานวนนับท่ีมีคานอยกวา 50} (E = F ) 2) A = { x | x = 1 – n1 และ n เปนจํานวนนับ}

B = {0 , 21 , 32 , 43 , 54 , …} (A = B )

5. เซตท่ีเทียบเทากัน คือ เซต 2 เซต ที่มีจํานวนสมาชิกเทากัน ซ่ึงอาจจะไมเหมือนกันก็ได เชน ถา A = { 1 , 2 , 3 } B = { 2 , 6 , 7 } จะไดวา A เทียบเทากับ B แต A ⋅ B

13. เซตตอไปน้ี เซตใดเทียบเทากัน A = { 1 , 2 , 3 , 4 } B = { 2 , 3 , 4 } C = { 5 , 6 , 7 } D = { a , b , c } E = { 4 , 3 , 2 , 1 } F = � 5 , { 2 } , { 2 , 3 } , 6 �

( ตอบ เซตที่เทียบเทา ไดแก A กับ E กับ F และ B กับ C กับ D )

14. เซตที่เทากับ �2 , {2, 3} � คือเซตในขอใด 1. �{3,2} , 2 � 2. � {2} , {2,3} � 3. � , {2,3} � 4. � {2,3} � (1)

ขอตกลงท่ีเกี่ยวกับเซต 1) เซตวางเปนเซตจํากัด 2) การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก นิยมเขียนสมาชิกแตละตัวเพียงครั้งเดียวเทาน้ัน

เชน {1 , 2 , 2 , 1 , 1 } คือ {1 , 2 } 3) เซตของจํานวนท่ีมักจะกลาวถึงเสมอ และใชกันท่ัว ๆ ไป มีดังน้ี I+ เปนเซตของจํานวนเต็มบวก หรือ I+ = {1, 2 , 3 , …}

I– เปนเซตของจํานวนเต็มลบ หรือ I– = {–1 , –2 , –3 , …} I เปนเซตของจํานวนเต็ม หรือ I = {0, –1 , 1 ,–2 , 2 ,…} N เปนเซตของจํานวนนับ หรือ N = {1, 2 , 3 , …}

��


7

ตอน 2 สับเซต และ เพาเวอรเซต นิยาม เซต A จะเปนสับเซตของเซต B ก็ตอเม่ือสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B เขียนเปนสัญลักษณ คือ A B ( อานวา เปนสับเซต ) ตัวอยางท่ี 1 ถา A = { 2 , 3 } และ B = { 2 , 3 , 4 , 5 } จะเห็นวา 1) A เปนเซต

2) สมาชิกของ A ทุกตัวลวนเปนสมาชิกของ B สรุป A B

ตัวอยางท่ี 2 ถา A = { 6 , 8 } และ B = { 3 , 4 , 5 , 6 } จะเห็นวา 1) A เปนเซต

2) สมาชิกของ A บางตัวไมเปนสมาชิกของ B สรุป A B

ตัวอยางท่ี 3 ถา A = 6 , 8 และ B = { 2 , 4 , 6 , 8 } จะเห็นวา 1) A ไมเปนเซต

สรุป A B ตัวอยางท่ี 4 ถา D = { 2 , 3 } และ D = { 2 , 3 }

จะเห็นวา 1) D เปนเซต 2) สมาชิกของ D ทุกตัวลวนเปนสมาชิกของ D

สรุป D D

ตัวอยางท่ี 5 ถา A = { } และ B = { 3 , 4 , 5 , 6 } สรุป A B

ตัวอยางท่ี 6 ถา A = � และ B = � จะได A B

15. ขอใดจริงหรือเท็จให A = { 4 , 5 , 8 , 10 } 1. { 4 } A 2. { 6 , 8 } A 3. { 4 , 5 , 8 , 10 } A 4. 4 A 5. 8 , 6 A 6. A

ตอบ 1. � 2. � 3. � 4. � 5. � 6. �


8

16. ขอใดจริงหรือเท็จ 1. { 0 , 1 } �0 , 1 , {2,3} , {4} �

2. 0 , 1 �0 , 1 , {2,3} , {4} � 3. �{2,3}� �0 , 1 , {2,3} , {4} �

4. �{4} � �0 , 1 , {2,3} , {4} � 5. {2 , 3} �0 , 1 , {2,3} , {4} �

6. {4} �0 , 1 , {2,3} , {4} � ตอบ 1. � 2. � 3. � 4. � 5. � 6. �

17. ให A = � 0 , � , {1} � ขอใดเปนจริงหรือเท็จ 1. 0 A 2. 0 � A 3. �0� A 4. { 1 } A 5. { 1 } � A 6. �{1}� A 7. A 8. � A 9. �� A

ตอบ 1. � 2. � 3. � 4. � 5. � 6. � 7. � 8. � 9. �

เกี่ยวกับสับเซต ตองทราบเพิ่มเติม ดังนี ้1) เซต A จะไมเปนสบัเซตของเซต B ก็ตอเม่ือ มีสมาชิกอยางนอย 1 ตัว ของเซต A ไมเปนสมาชิกเซต B เชน ถา A = { 6 , 8} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 }

จะเห็นวาสมาชิก A บางตัว ไมเปนสมาชิกของ B ดังน้ัน A B 2) เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวมันเองเสมอ เชน A A , B B 3) เซตวางเปนสบัเซตของทุกเซต 4) ถา A = B แลว A B และ B A ดวย

ตัวอยางเชน ให A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3} จะเห็นวา A = B และ A B และ B A

5) จํานวนสับเซต = 2n เม่ือ n = จํานวนสมาชิกของเซตน้ัน ๆ ตัวอยาง ให A = {2 , 4 , 6}

จะไดวา จํานวนสับเซตของ A = 23 = 8 สับเซต ไดแก {2} {4} {6} {2, 4} {2, 6} {4, 6} {2, 4, 6}


9

18. จงหาจํานวนสับเซตของเซตตอไปน้ี 1) B = {9 , 10 , 356} 2) B = { 1234 } 3) D = { a , 1 , 23 , {4} , {5,6} } 4) E = { }

ตอบ 1. 8 2. 2 3. 32 4. 1 วิธีทํา

6) สับเซตที่จะมีจํานวนสมาชิกมากเทากับเซตตั้งตน จะมีเพียง 1 สับเซตเทาน้ันนอกน้ัน จะมีจํานวนสมาชิกนอยกวาเซตต้ังตน

7) สับเซตทั้งหมดที่ไมใชเซตของตัวมันเอง เรียกวา สับเซตแท และจํานวนสับเซตแท = 2n – 1 ตัวอยาง ให A = { 2 , 4 , 6 }

สับเซตแทของ A ไดแก {2} {4} {6} {2, 4} {2, 6} {4, 6} {2, 4, 6} จะเห็นวา จํานวนสับเซตแทของ A = 23 – 1 = 7 สับเซต 19. จงหาจํานวนสับเซตแทของเซตตอไปน้ี

1) B = {9 , 10 , 356} 2) B = { 1234 } 3) D = { a , 1 , 23 , {4} , {5,6} } 4) E = { }

ตอบ 1. 7 2. 1 3. 31 4. 0 วิธีทํา

8) เพาเวอรเซต คือ เซตของสับเซต และ จํานวนสมาชิก P(A) = จํานวนสับเซตของเซต A = 2n

ตัวอยาง ให A = { 2 , 4 , 6 } P(A) = � {2} , {4} , {6} , {2, 4} , {2, 6} , {4, 6} , {2, 4, 6} , �

ตัวอยาง ให A = �2 , {3,4}� P(A) = � {2} , �{3, 4}� , �2 , {3, 4}� , �


10

ตัวอยาง ให A = �a� P({a}) = � , {a}�

ตัวอยาง ให A = � � P( � �) = � �

20. จงเขียนเพาเวอรเซตของเซตตอไปน้ี 1. � 3 , 5 � 2. �–1 , 0 , 1� 3. � 2 , {3,4}� 4. �a� 5. � �

วิธีทํา

ตอบ 1) P(A) = ≈{3} , {5} , {3,5} , 2) P(A) = ≈{–1} , {0} , {–1} , {–1,0} , {–1,1} , {0 , 1} , {–1,0,1} , 3) P(A) = ≈{2} , ≈{3,4} , ≈2 , {3,4} , 4) P(A) = ≈ , {a} 5) P() = ≈

21(มช 36) ใหเซต A มีสมาชิก 20 ตัว จงหาจํานวนสับเซตที่มีสมาชิกอยางมากไมเกิน 19 ตัว วิธีทํา ( 1048575 )

��


ตอน 3 เอกภพสัมพัทธ และ แผนภาพของเวนน-ออยเลอร

เอกภพสัมพัทธ ( U ) คือ เซตซ่ึงตกลงเอาไววาใหญท่ีสุดในโจทยน้ัน ๆ และ เราจะไมกลาวถึง สิ่งอื่นใดนอกเหนือจากเอกภพสัมพัทธ

เชน ถากําหนดให U = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ( เอกภพสัมพัทธ ) และ A = { 2 , 4 , 6 } ดังน้ัน จํานวนซึ่งไมเปนสมาชิกของ A คือ 1 , 3 , 5 เทาน้ัน สังเกตุวาเราจะไมกลาวถึง 7 , 8 , 9 , ...... เพราะจํานวนเหลาน้ีไมอยูใน U

และการเขียนแสดงเซตนั้น เราอาจเขียนแสดงเปนแผนภาพซ่ึง เวนน กับ ออยเลอร เปนคนคิด คนไว ตัวอยางตอไปน้ี กําหนดให U = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

A = { 2 , 4 , 6 } และ B = { 1 , 2 , 3 }

22. ให U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7} จงเขียนแผนภาพเพื่อแทนเซตตอไปน้ี 1. A = {2 , 3 , 5} 2. A = { 2 , 3 , 5} และ B = {3 , 5 , 7} 3. เลขที่ไมเปนสมาชิกของเซต A เมื่อ A = { 2 , 3 , 7}

วิธีทํา ตอบ 1. 2. 3.

BA

4 , 6 , 2 , 1 , 3

5 U

A

U

1 4 6 7
A B A 2 3 5
11

U

2 3 5 7

U
4 6
2 3 7

1 4 5 6


23. ให U = { 1 , 2 , 3 , 4 , … , 12 } จงเขียนแผนภาพแทนเซตซึ่งกําหนดใหตอไปน้ี 1. A = {1 , 2 , 3 , 4 , …, 10}

B = {1 , 3 , 5 , 7 , 9} 2. A = {1 , 2 , 3 , 4 , …, 10}

B = {1 , 3 , 5 , 7 , 9} C = {1 , 3 , 5}

3. A = {1 , 2 , 3 , 4 , …, 10} B = {1 , 3 , 5}

C = {2 , 4 , 6} ตอบ 1. 2. 3.

A BB A B
1 3 5
12

��

U C

1 3 5
7 9 8 10
2 4 6

�

7 9
A2 4 6 8 10
��

U C

1 3 5

9 107 8

4 62

U


13

ตอน 4 การกระทําแหงเซต

การกระทําแหงเซตที่สําคัญ มี 4 อยาง ไดแก 1) อินเตอรเซกชัน (Intersection , ∑∑∑∑ ) นิยาม อินเตอรเซกชันของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบดวยสมาชิกซึ่งเปน

สมาชิกของทั้งเซต A และ เซต B หรือ คือ เซตของสมาชิกที่ซ้ํากัน ใชสัญลักษณ A ∑ B เชน ให A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 4 , 5 }

ดังน้ัน A ∑ B = { 3 }

24. กําหนดให U = { 1 , 2 , 3 , 4 , … , 10 } A = {1 , 2 , 3 , 4 } และ B = {1 , 3 , 5 }

จงเขียน A∑B แบบแจกแจงสมาชิก พรอมทั้งเขียนแผนภาพประกอบ {1 , 3 } วิธีทํา

2) ยูเนียน (Union , ) นิยาม ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกซึ่งเปนสมาชิกของ

เซต A หรือ B หรือ ของทั้งสองเซต ใชสัญลักษณ A B

เชน ให A = { 1 , 2 , 3 } B = { 3 , 4 , 5 }

ดังน้ัน A B = { 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 } = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }


25. กําหนดให U = { 1 , 2 , 3 , 4 , … , 10 } A = {1 , 2 , 3 , 4 } และ B = {1 , 3 , 5 }

จงเขียน AB แบบแจกแจงสมาชิก พรอมทั้งเขียนแผนภาพประกอบ {1,2, 3,4,5} วิธีทํา 3) ผลตาง (Difference , – ) นิยาม ผลตางของเซต A กับ B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเซตที่เปนสมาชิก

ของเซต A แตไมเปนสมาชิกของเซต B ใชสัญลักษณ A – B เชน ให A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 3 , 5 , 6 }

จะได A – B = { 1 , 2 } และ B – A = { 5 , 6 }

26. กําหนดให U = { 1 , 2 , 3 , 4 , …A = {1 , 2 , 3 , 4 } และ

จงเขียน A – B แบบแจกแจงสมาชิกวิธีทํา

4) คอมพลีเมนต (Complement , / ) นิยาม คอมพลีเมนตของเซต A ค

A แตเปนสมาชิกของ U ใชสัญลักษณ A/ (อานวา A ไ

เชน ให U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ A = { 1 , 2 } ดังน้ัน A/ = { 3 , 4 , 5 }

14

, 10 } B = {1 , 3 , 5 } พรอมทั้งเขียนแผนภาพประกอบ {2,4}

ือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกที่ไมใชสมาชิกของเซต

พรม) }


15

27. กําหนดให U = { 1 , 2 , 3 , 4 , … , 10 } และ A = {1 , 2 , 3 , 4 } จงเขียน A/ แบบแจกแจงสมาชิก พรอมทั้งเขียนแผนภาพประกอบ {5,6,7,8,9,10}

วิธีทํา 28. ให U = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}, A = {0 , 2 , 4 , 6 , 8} , B = {1 , 3 , 5 , 7} และ C = {3 , 4 , 5 , 6} จงเขียนเซตตอไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก 1) C/ 2) C/∑A 3) C/∑B 4) (A∑B)B ตอบ 1) { 0 , 1 , 2 , 7 , 8 } 2) { 0 , 2 , 8 } 3) { 1 , 7 } 4) { 1 , 3 , 5 , 7 } วิธีทํา


16

29(En 42/1) ถา A = { 1 , 2 , 3 , 4 , ….} และ B = �{1,2} , {3,4,5 } , 6 , 7 , 8 , …. � แลว (A – B) (B – A) มีสมาชิกกี่ตัว (7) วิธีทํา 30. ถา A = �a , {a} , b , {a,b}� , B = {a , b} และ C =�{a} , b� แลว A –(B–C) คือขอใด 1. �{a,b}� 2. �{a} , b , {a,b}� 3. {a} 4. �a , b , {a,b}� (2) วิธีทํา 31(มช 38) ใหเซต A = � a , b, c , d , e , f � และ B = � a , b � แลว จงหาจํานวนสับเซตท้ังหมดท่ีไมเปนเซตวางของเซต A – B (15) วิธีทํา


17

32. ถา A = � , 0 , 1 � และ B = � , {0,1} , {0,2} � แลวจํานวนสมาชิกของเซต P(A) – B เทากับเทาใด (6) วิธีทํา 33. ถา A = � , 0 , 1 , {0,1}� และ B = � , {} , {0,{0,1}} , {0,{1}} � แลวเซต P(A) – B มีจํานวนสมาชิกเทาใด (13) วิธีทํา 34(En 41/2) ถา A = � , 0 , 1 , { 0 } , { 0 , 1 }� และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลวเซต P(A) – A มีสมาชิกกี่ตัว (29)



18

สมบัติเกี่ยวกับการกระทําของเซตที่สําคัญ 1) A ∑ A = A 6) A A = A 2) A ∑ B = B ∑ A 7) A B = B A 3) (A ∑ B) ∑ C = A ∑ ( B ∑ C) 8) (A B) C = A ( B C) 4) A ∑ = 9) A = A 5) A ∑ U = A 10) A U = U 11) A ∑ ( BC) = (A∑B) (A∑C) 12) A(B∑C) = (AB)∑ (AB)

35. จงเติมคําลงในชองวางตอไปน้ีใหถูกตอง 1) A ∑ A = ……………..

2) A ∑ B = …………….. 3) (A ∑ B) ∑ C = …………….. 4) A ∑ = …………….. 5) A ∑ U = ……………..

36. จงเติมคําลงในชองวางตอไปน้ีใหถูกตอง 1) A A = ……………..

2) A B = …………….. 3) (A B) C = …………….. 4) A = …………….. 5) A U = ……………..

37. A , B เปนเซตใดๆ จงหา A ∑ (BC) วาตรงกับขอใด 1. (A∑B) C 2. (AB) ∑ C

3. (A∑B) (A∑C) 4. (AB) ∑ (AC) (3.) วิธีทํา


19

38. A , B เปนเซตใดๆ จงหา A (B∑C) วาตรงกับขอใด 1. (A∑B) C 2. (AB) ∑ C

3. (A∑B) (A∑C) 4. (AB) ∑ (AC) (4.) วิธีทํา 39. A , B เปนเซตใดๆ จงหา A ∑ (B∑C) วาตรงกับขอใด 1. (B∑A) ∑ C 2. (AB) ∑ C

3. (A∑B) (A∑C) 4. (AB) ∑ (AC) (1.) วิธีทํา 40. A , B เปนเซตใดๆ จงหา A (BC) วาตรงกับขอใด 1. (B∑A) ∑ C 2. C (BA)

3. (A∑B) (A∑C) 4. (AB) ∑ (AC) (2.) วิธีทํา


20

13) (A/)/ = A 14) U/ = และ / = U 15) (A ∑ B) / = A/ B/ (A B) / = A/ ∑ B/ 16) A ∑ A/ = A A/ = U

41. A , B เปนเซตใด ๆ จงหา (AB) A/ วาตรงกับขอใด ก. ข. A ค. A/ ง. U (ง) วิธีทํา 42. กําหนดให A , B , C , D , E เปนเซตใดๆ จงหา (AB) (CD) (AB/E) ตรงกับขอใด ก. A ข. U ค. B ง. (ข) วิธีทํา 43. A , B เปนเซตใด ๆ จงหา (A ∑ B) ∑ B/ วาตรงกับขอใด ก. A ข. B ค. ง. U (ค) วิธีทํา


21

44. ให A , B , C , D , E เปนเซตใด ๆ จงหา (A∑B) ∑ (C∑D) ∑ (BE) / เปนเทาใด () วิธีทํา 45. จงหาวา (AB) ∑ (AB/) เปนเทาใด (A) วิธีทํา 46. จงหาวา (A∑B) (A∑B/) เปนเทาใด (A) วิธีทํา

17) A – B = A ∑ B/ ตัวอยางเชน X – Y = X ∑ Y/ C ∑ D = C – D/


22

47. จงหาวา A ∑ (B – A) เปนเทาใด () วิธีทํา 48. จงพิสูจนวา A – B = B/ – A/ วิธีทํา 49. จงพิสูจนวาขอความน้ีเปนจริง A – ( BC) = ( A – B ) – C วิธีทํา 50. จงพิสูจนวาขอความน้ีเปนจริง (A∑B) – C = A ∑ (B – C) วิธีทํา


18) ถา A B แลว A ∑ B = A 19) ถา A B แลว A B = B

20) ถา A ตัวอยางเ จะเห็น

51. ถา A B 1. A∑Bวิธีทํา 52(En 21) เซต 1. A ∑ วิธีทํา

23

B แลว A – B = ชน กําหนดให A = { 2 , 4 , 6 } และ B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } วา A B แลว A – B =

และ A ⋅ B ขอใดตอไปน้ีถูก = B 2. A – B = 3. A B = A 4. B∑A = (2.)

( A – B ) ( B – A) (A ∑ B) จะเทากับเซตใดเสมอ B 2. (A/ B/) 3. A 4. (A/∑ B/)/ (4.)

��


24

ตอนที่ 5 การเขียนแผนภาพแสดงจํานวนสมาชิกเซต

สมมุติโจทยตัวอยาง กําหนด nU = 20 สมาชิก nA = 7 สมาชิก nB = 8 สมาชิก n (A ∑ B) = 3 สมาชิก ใหเขียนแผนภาพเพื่อแสดงจํานวนสมาชิกของทุกเซต วิธีทํา ข้ัน 1 ใหเขียนแผนภาพของเซตท้ังหมด ข้ัน 2 ใหระบุจํานวนสมาชิกของพื้นที่ดาน

ในสุดกอนและจึงระบุจํานวนสมาชิก ของพ้ืนท่ีถัดออกมา

โปรดสังเกตุวา n (A B) ⋅ n(A) + n(B) แต n (A B) = n(A) + n(B) – n(A ∑ B) และ n(ABC) = n(A) +n(B) +n(C) –n(A∑B) –n

53.

ในแผนภาพขางบนน้ี กําหนดให U , A , B และ A∑100 , 40 , 25 และ 6 ตามลาํดับ จงเติมจํานวนสมา

เซต A – B B – A AB จํานวนสมาชิก

ตอบ 34 , 19 , 59 , 60 , 75 , 41 วิธีทํา

A B

U

(B∑C) –n(A∑C) + n(A∑B∑C)

B เปนเซตที่มีจํานวนสมาชิก ชิกเซตตางๆ ลงในตารางตอไปน้ี

A/ B/ (AB)/


25

54. รานคาแหงหน่ึงไดทําการสํารวจความนิยมของลูกคาเก่ียวกับการใชพัดลม พบวา 60% ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ 45% ใชชนิดแขวนเพดาน

และ 15% ใชท้ังสองชนิด อยากทราบวา 1. ลูกคาท่ีไมใชพัดลมท้ังสองชนิดน้ีมีก่ีเปอรเซ็นต (10) 2. ลูกคาท่ีใชพัดลมเพียงชนิดเดียวมีก่ีเปอรเซ็นต (75)

วิธีทํา 55. จากการสอบถามพอบานพบวา มีผูท่ีดื่มชาหรือกาแฟเปนประจําจํานวน 120 คน มีผูท่ี ชอบดื่มชา 60 คน ชอบดื่มกาแฟ 70 คน จงหาจํานวนพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและ กาแฟ (10)



26

56. โรงพยาบาลแหงหน่ึงทําการสํารวจขอมูลจากผูปวยท่ีมีอายุเกิน 40 ป จํานวน 1000 คน ปรากฏวา มีคนสูบบุหร่ี 312 คน มีคนเปนมะเร็งท่ีปอด 180 คน และมี 660 คน ไมสูบ บุหร่ีและไมเปนมะเร็งปอด อยากทราบวา มีผูสูบบุหร่ีและเปนมะเร็งท่ีปอดจาํนวนเทาใด และคิดเปนรอยละเทาใดของจํานวนผูท่ีถูกสํารวจท้ังหมด ( 152 คน , 15.2% )

วิธีทํา 57. ถา A และ B เปนเซตที่มีจํานวนสมาชิกเทากัน โดย n(A∑B) = 2 และ n(AB) = 10 แลวขอใดตอไปน้ีเปนจํานวนสมาชิกของ B –A

1. 1 2. 4 3. 6 4. 8 (2) วิธีทํา


27

58. ในการสอบของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาตอนปลายหองหน่ึงพบวา มีผูสอบผานวิชาคณิตศาสตร 37 คน วิชาสังคมศึกษา 48 คน วิชาภาษาไทย 45 คน

และ มีผูท่ีสอบผานวิชาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ผูท่ีสอบผานวิชาสังคมศึกษาและภาษาไทยมี 13 คน

ผูท่ีสอบผานวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทย มี 7 คน และ มีผูท่ีสอบผานท้ังสามวิชา 5 คน ดังน้ันมีผูท่ีสอบผานอยางนอยหน่ึงวิชาก่ีคน (100)



28

59. จากการสาํรวจผูถือหุนในตลาดหลักทรัพยฯ จํานวน 3000 คน พบวา มีผูถือหุน ของบริษัท ก , ข และ ค ดังน้ี ผูถือหุนบริษัท ก มีจํานวน 200 คน ผูถือหุนบริษัท ข มีจํานวน 250 คน ผูถือหุนบริษัท ค มีจํานวน 300 คน ผูถือหุนบริษัท ก และ ข มีจํานวน 50 คน

ผูถือหุนบริษัท ข และ ค มีจํานวน 40 คน ผูถือหุนบริษัท ก และ ค มีจํานวน 30 คน และไมมีผูท่ีถือหุนท้ังสามบริษัท (2370)

จากจํานวนผูถือหุนที่สํารวจ ผูถือหุนบริษัทอ่ืนๆ ที่ไมใชหุนสามบริษัทน้ีมีจํานวนเทาไร วิธีทํา


29

60. ในการสํารวจผูใชบริการขนสง พบวามี ผูใชบริการขนสงทางรถไฟ 100 คน ผูใชบริการขนสงทางรถยนต 150 คน ผูใชบริการขนสงทางเรือ 250 คน ผูใชบริการขนสงทางรถไฟและรถยนต 50 คน ผูใชบริการขนสงทางรถยนตและเรือ 25 คน ไมมีผูใชบริการขนสงทางรถไฟและเรือ ไมมีผูใชบริการขนสงทั้งทางรถไฟ รถยนต และเรือ ผูใชบริการขนสงทางแบบอ่ืน ๆ ท่ีไมใชรถไฟ รถยนต หรือเรือ มีจํานวน 30 คน อยากทราบวา จํานวนผูใชบริการขนสงท่ีไดรับการสํารวจมีท้ังหมดก่ีคน (455)



30

61. จากการสํารวจผูฟงเพลงจํานวน 180 คน พบวา มีผูชอบเพลงไทยสากล 95 คน

เพลงไทยเดิม 92 คน เพลงลูกทุง 125 คน

เพลงไทยสากลและเพลงไทยเดิม 52 คน เพลงไทยสากลและเพลงลูกทุง 43 คน

เพลงไทยเดิมละเพลงลูกทุง 57 คน และทั้ง 180 คน จะชอบฟงเพลงอยางนอยหนึ่งประเภทในสามประเภท ดังกลาวขางตนจํานวน คนที่ชอบฟงเพลงไทยสากลเพียงอยางเดียว เทากับขอใดตอไปน้ี

1. 20 2. 25 3. 30 4. 35 (1) วิธีทํา


31

62(En 33) จากการสํารวจนักเรียนหองหน่ึงพบวา ก. มี 20 คน ท่ีเลือกเรียนฝร่ังเศสหรือคณิตศาสตร

ข. ถาเลือกเรียนฝร่ังเศสแลวจะตองไมเรียนคณิตศาสตร ค. มีอยู 17 คน ท่ีไมเรียนคณิตศาสตร ง. มีอยู 15 คน ท่ีไมเรียนฝร่ังเศส นักเรียนท่ีไมเรียนท้ังสองวิชามีจํานวนเทากับ 1. 6 2. 12 3. 26 4. 32 (1) วิธีทํา


32

63. ในการสํารวจความนิยมเกี่ยวกับเพลงโดยสอบถามจากนักเรียนหนึ่งจํานวน 300 คน พบวา แตละคนชอบเพลงลูกทุง เพลงลูกกรุง หรือเพลงไทยเดิมอยางนอยหน่ึงประเภท ปรากฏวา

120 คน ชอบเพลงลูกทุง 70 คน ชอบเพลงลูกกรุงอยางเดียว 80 คน ชอบเพลงไทยเดิมอยางเดียว 45 คน ชอบทั้งเพลงลูกกรุงและเพลงไทยเดิม 30 คน ชอบทั้งเพลงลูกทุงและเพลงลูกกรุง แตไมชอบเพลงไทยเดิม 50 คน ไมชอบเพลงไทยเดิม และไมชอบเพลงลูกกรุง

จะมีคนชอบทั้งเพลงลูกทุงและเพลงไทยเดิมแตไมชอบเพลงลูกกรุงกี่คน 1. 25 คน 2. 15 คน 3. 45 คน 4. 5 คน (1)


��

Documents

Math Online I บทนํา คณิตศาสตร บทนํา เซต · 2) {x | x = 10n เมื่อ n เป นจํานวนนับ } ตอบ {10,20,30,