ใช้ดีถูกใจอย่าลืมอุดหนุนฉบับตพีมิพ์เปน็เล่มด้วยนะครับ

* เนื้อหาตามหลักสูตรใหม่ครบทุกบทเรียน ม.4-5-6 * โจทยแ์บบฝึกหัดเตรียมความพร้อมกว่า 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยครบทัง้ 14 ฉบับ (2541-2548) * พร้อมเฉลยคําตอบ วิธคีดิ และเรือ่งที่น่ารู้อกีมากมาย.. เหมาะสําหรับเตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6 สอบโควตารับตรง และสอบเข้ามหาวิทยาลัย

* เนื้อหาตามหลักสูตรใหม่ครบทุกบทเรียน ม.4-5-6 * โจทยแ์บบฝึกหัดเตรียมความพร้อมกว่า 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยครบทัง้ 14 ฉบับ (2541-2548) * พร้อมเฉลยคําตอบ วิธคีดิ และเรือ่งที่น่ารู้อกีมากมาย.. เหมาะสําหรับเตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6 สอบโควตารับตรง และสอบเข้ามหาวิทยาลัย

Release 2.2.03 เซต ตรรกศาสตร์/การให้เหตุผล ระบบจํานวนจริง/ทฤษฎีจํานวน เรขาคณิตวิเคราะห ์ความสัมพันธ์/ฟังก์ชัน กําหนดการเชิงเส้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม เมตริกซ์ เวกเตอร์ จํานวนเชิงซ้อน ทฤษฎกีราฟ ลําดับ/อนุกรม ลิมิต/ความต่อเนื่อง อนุพันธ์/การอินทิเกรต สถติ ิความน่าจะเป็น

คณิต มงคลพทิักษ์สุข วศ.บ. ไฟฟ้า จุฬาฯ (เกียรตินิยม)

http://math.reads.it kanuay@thai.com

2

Math E-Book Release 2.2.03

เรียบเรียงโดย คณิต มงคลพิทักษ์สุข เผยแพร่ทางอินเตอร์เน็ต (มี.ค.2548 ถึงปัจจุบัน) ท่ีเว็บไซต์ http://math.reads.it และ “thaiware.com” Release 2.2 14 มิถุนายน 2549 Release 2.2.01 17 กรกฎาคม 2549 Release 2.2.02 10 กันยายน 2549 Release 2.2.03 19 พฤศจิกายน 2549 ตีพิมพ์คร้ังแรก (จาก Release 2.0) ธันวาคม 2548 พิมพ์คร้ังที่ 2 (จาก Release 2.0) มิถุนายน 2549 ในชื่อ “คณิตศาสตร์ O-NET & A-NET” โดยสํานักพิมพ์ SCIENCE CENTER (ธรรมบัณฑิต) ราคาปก 159 บาท เอกสารชุดนีส้งวนลิขสิทธิต์ามกฎหมาย (คุ้มครองถึงรุ่นเอกสารที่เคยเผยแพร่ท้ังหมด) ห้ามลอกเลียนไม่ว่าส่วนหนึ่งส่วนใด และห้ามใช้ในการอื่นนอกจากอ่านส่วนบคุคล เว้นแต่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษร ฉบับตีพิมพ์มีจําหน่ายที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ร้านซีเอ็ด ร้านแพร่พิทยา หรือโทร.สั่งซือ้ได้ที ่

ธรรมบัณฑติ 3/1 ถนนอัษฎางค์ ริมคลองหลอด สนามหลวง เขตพระนคร กทม. 10200 โทร. 0-2225-7160, 0-2221-5884

ธนาณัติสั่งจ่าย ป.ณ.หน้าพระลาน ในนาม “ผู้จัดการ”

โรงแรม รัตนโกสินทร์ 7-Eleven ร้านธรรมบณัฑิต

ถนนอัษฎางค์ ไปกระทรวงมหาดไทย คลองหลอด

แผงหนังสือ สนามหลวงเดิม

กระทรวง ยุติธรรม

วัดบูรณศิร ิ

แม่ธรณ ี

สนามหลวง

ถนนราชดําเนิน

ตรอกสาเก

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 3

เซต ระบบจํานวนจริง

ฟังก์ชัน

ตรีโกณมิติ

เอกซ์โพ.+ลอการิทึม

ลิมิต+ความต่อเนื่อง

อนุพันธ์+อินทิเกรต

เรขาคณิตวิเคราะห์

กําหนดการเชิงเส้น

ความน่าจะเป็น

ตรรกศาสตร์

จํานวนเชิงซ้อน

เมตริกซ์

เวกเตอร์

ทฤษฎีกราฟ

สถิติ ลําดับ+อนุกรม

พื้นฐาน

เพิ่มเติม

¤íÒªÕé樧 ภายในหนังสอืเล่มนี้ประกอบด้วย เนือ้หาคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรการศึกษาขั้น

พื้นฐาน พ.ศ.2544 ช่วงชัน้ที ่4 (หรือ ม.4 – ม.6) ครบทุกหัวข้อ (ซึ่งพยายามเขียนใหก้ระชับที่สุด) และ โจทย์แบบฝึกหัด ที่เรียงลําดับจากง่ายไปยาก พร้อมทั้งเนื้อหาและเทคนิคการคํานวณที่ควรทําความเข้าใจเพิ่มเติม เนื้อหาบางบทเรียนสามารถเริ่มทําความเข้าใจไดท้ันที แต่บางบทเรียนก็จําเป็นต้องใช้พืน้ฐานความรู้จากบทเรียนอื่นประกอบด้วย ดังนั้นเพื่อป้องกันการสับสนผู้อ่านควรศึกษาเรียงตามหัวข้อดังนี ้

นอกจากนีใ้นตอนท้ายยังมี ขอ้สอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ ครบทั้ง 14 ฉบับ (ต.ค.41 ถึง มี.ค.48) และวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (2532 ถึง 2548, เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์) เพื่อใช้สําหรับฝึกฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย (O-NET / A-NET) อีกด้วย

ในท้ายบทเรียนและท้ายข้อสอบมี เฉลยคําตอบและวิธีคิด กํากับไว้ทั้งหมดแล้ว โดย

เฉลยวิธีคิดในหนังสือเล่มนี้เป็นเพียงการสรุปความคิดรวบยอดของขอ้นัน้ๆ ไม่ได้แสดงวิธีทําอย่างละเอียดทุกขั้นตอน ทั้งนี้เป็นความตั้งใจที่จะเน้นให้ผูอ้่านได้ลองคิดและเกิดความเข้าใจไปพร้อมๆ กัน เพื่อให้ทําข้อสอบได้รวดเร็วขึ้น เชื่อว่าหากผู้อา่นได้ให้เวลาทาํความเข้าใจเนือ้หาอย่างถี่ถ้วน และฝึกทําโจทย์แบบฝึกหัดไปทีละขั้นๆ พร้อมกับตรวจเฉลยทุกข้อ ก็จะตดิตามบทเรียนจนจบได้อย่างลุล่วง สิ่งที่ต้องการแนะนําในที่นี้คอื หากมีข้อสงสยัให้รีบถามจากผู้รู้ ไม่ควรปล่อยให้ตดิค้างอยู่ :]

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 4

แนวโจทย์ข้อสอบเข้าฯ ในปัจจุบัน โจทย์ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยปัจจุบันนี้เปล่ียนแนวไป ทําให้หลายคนบ่นว่ายากขึ้นมาก

ส่วนตัวผู้เขียนว่าเป็นข้อสอบที่ดีเพราะเริ่มเน้นความเข้าใจในเนื้อหา ในนิยามหลักๆ ของบทเรียน ลักษณะข้อสอบแบบนี้อันที่จริงไม่ถือว่ายาก แต่ค่อนไปในทางลึกซ้ึงมากกว่า คนที่จะทําข้อสอบแบบนี้ได้ถูก จะต้องรู้ลึกและแม่นจริง สูตรลัดกลายเป็นสิ่งไร้ค่า และการขยันเรียนที่โรงเรียนโดยตลอดพร้อมกับทําความเข้าใจในแบบฝึกหัดเพิ่มเติมด้วยตนเอง จะได้ผลดีมากกว่าการกวดวิชา เรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้ได้ผลดี

(1) ปัญหาแรกของคนที่บอกว่าตัวเองเรียนไม่รู้เร่ืองเลย ทําโจทย์ไม่เป็นเลย อยู่ที่เรียนผิดวิธีครับ ถ้าไม่เข้าใจบทเรียนให้ลองถามตัวเองว่าเกิดจากเหตุใดต่อไปนี้ (ก) ไม่ตั้งใจเรียน กรณีนี้ไม่มีวิธีแก้วิธีใดดีไปกว่าการบังคับตวัเองให้ตั้งใจเรียน :] (ข) ถ้าตั้งใจแล้วแต่ไม่เข้าใจ แปลว่าผู้สอนอาจจะถ่ายทอดได้ไม่ดี แบบนี้คงต้องย้ายไปเรียนกับคนที่สอนแล้วเข้าใจ (เข้าใจกับสนุก หรือเข้าใจกับมีสูตรลัดเยอะ เป็นคนละเรื่องกันนะครับ!)

(2) ทีนี้พอเข้าใจบทเรียนแล้ว การที่จะทําได้ดีไม่ดี อยู่ที่การฝึกฝนอีกอย่างหนึ่งด้วย (ถ้านั่งฟังอย่างเดียวแต่ไม่ได้ลงมือฝึกด้วยตัวเองเลย ก็คงคล้ายกบัเรียนว่ายน้ําทางทวีีนั่นแหละครับ) ยิ่งทําโจทย์เยอะและแปลก จะยิ่งได้เปรียบ เพราะความแม่นยําลึกซ้ึงในวิชานั้นสอนกันไม่ได้

อีกส่ิงหนึ่งที่ควรปรับปรุงคือ แทนที่จะจําวิธีแก้โจทย์เป็นรูปแบบตายตัว อยากให้ “มองคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ” คอืฝึกมองให้กว้างว่าแต่ละเร่ืองที่เรารู้นั้น เอาไปเป็นเคร่ืองมือช่วยแก้ปัญหาจุดไหนของเรื่องไหนได้บ้าง ต้องบอกได้ว่าทําไมโจทยข์้อนี้ถึงควรทําด้วยวิธีนี้ หรือรู้จักมองว่าเนื้อหาบทไหนเชื่อมโยงถึงกันได้บ้าง (ซ่ึงในหนังสือเล่มนี้ได้แทรกคําอธิบายถงึความเกี่ยวโยงไว้ให้บ้างแล้ว) การฝึกแบบนี้น่าจะทาํขอ้สอบได้ดีขึ้นครับ..

นับตั้งแต่เร่ิมลงมือพิมพ์จนเสร็จสมบูรณ์ใช้เวลากว่า 2 ปี และหนังสือเล่มนี้คงจะยังไม่สําเร็จด้วยดีถ้าขาดบุคคลเหล่านี้ หากหนังสือเล่มนี้มีส่วนดีประการใด ก็เป็นเพราะบุคคลทั้งหมดนี้ครับ..

- อาจารย์ทุกท่านโดยเฉพาะอาจารย์คณิตศาสตร์ ที่ได้ให้วิชาความรู้กับผม ขอขอบพระคุณ อ.ชัยศักด์ิ และ อ.จงดี (สาธิตปทุมวัน) เป็นพิเศษครับ ทั้งสองท่านเป็นต้นแบบที่ดีที่สุดในการสอน

- ป๊า ม้า ยังคงเข้าใจและยอมเรื่อยมา บอยกับน้องยุ ช่วยพิมพ์เฉลยอย่างขยันขันแข็ง - ผู้เขียนหนังสือเรียนและคู่มือต่างๆ ผู้ออกข้อสอบเข้าฯ รวมทั้งเว็บไซต์ของ สกอ. - อ.สมพล (กวงเจ็ก) และ อ.พนม สนพ. Science Center ที่ให้โอกาสนําเสนอผลงาน - ชง สําหรับความคิดริเร่ิมพิมพ์ชีท และกล้า สําหรับความคิดเร่ืองข้อสอบพื้นฐานวิศวะ - น้องภัค น้องหนึ่ง น้องโอ๊ต น้องเคน สําหรับข้อสอบทั้งสองวิชา รวมไปถึงน้องๆ ทั้งหลาย

ที่เคยเป็นศิษย์กันมา ตั้งแต่ใช้ชีทลายมือเขียนมาจนกระทั่งพิมพ์เสร็จ (ขึ้นหลักร้อยแล้ว แต่ยังจําได้ทุกคนครับ) โดยเฉพาะ แอน – เนย์ – เภา – ตนู เป็นน้องกลุ่มแรกที่ได้ใช้หนังสือเล่มนี้ ให้คําแนะนํา และช่วยตรวจแก้ข้อสอบด้วย

- ความร้ายกาจของ “เจ๊ชุดดํา” ณ อดีตฟู้ดคอร์ทชั้น 3 ที่ทําให้เกิดความคิดว่า จริงๆ คนเราควรทํางานในหน้าที่ของตัวเองให้ดีที่สุด.. แล้วผมก็เดินกลับบ้านมาเริ่มพิมพ์หนังสือเม่ือสองปีที่แล้ว!

- Thaiware.com, Se-ed.net, f0nt.com ... สามเว็บไทยใจดี

มีข้อสงสัย คําแนะนํา หรือพบข้อบกพร่อง กรุณาติดต่อผู้เขียนที่ kanuay@thai.com และสอบถามปญัหาหรือโจทยต์่างๆ ได้ที่เว็บบอร์ดใน http://math.reads.it ยินดีตอบทุกปญัหาครับ :]

ขอบคณุที่ให้ความสนใจครับ คณิต มงคลพิทักษ์สุข

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 5

ÊÒÃa¡ÒÃeÃÕ¹ÃÙ (e¹×éoËÒ·ÕèãªÊoº O-NET / A-NET)

ตั้งแต่ปีการศึกษา 2549 เปน็ต้นไป การสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัยจะเปล่ียนระบบเป็นแอดมสิชัน่ส ์(Central University Admissions System) ซึ่งแบ่งคะแนนสอบออกเปน็ 4 ส่วน 1. GPAX รวมทุกวิชาในระดับ ม.ปลาย [10%] 2. GPA เฉพาะวิชาหลัก 4-5 วิชา ต่างๆ กันไปแล้วแต่คณะที่เลือก [20%] 3. O-NET (Ordinary National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [35%-40%]

เป็นข้อสอบบังคับ นักเรียนทุกสาขาจะต้องสอบ มี 5 วิชาได้แก่ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสังคมศึกษา (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง) ... ซ่ึงนักเรียนแต่ละคนสอบ O-NET ได้เพียงปีเดียว หลังจบ ม.6 4. A-NET (Advanced National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [30%-35%]

เป็นข้อสอบฉบับเพิ่มเติม มีรายวิชาต่างกันไปตามสาขาที่สอบ (ไม่เกิน 3 วิชา และอาจมีวิชาความถนัดของแต่ละสาขาด้วย เช่น วิศวะฯ สถาปัตย์ ครู ศิลปะ ดนตรี สุขศึกษา) ข้อสอบจะครอบคลุมเนื้อหากว้างและลึกกว่า O-NET (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง ยกเว้นวิทยาศาสตร์ 3 ชั่วโมง) โดยคณิตศาสตร์จะใช้สอบสําหรับนักเรียนที่เลือกสาขาคํานวณเท่านั้น ... นักเรียนแต่ละคนสอบ A-NET ได้ 3 ปี หมายเหตุ (1) O-NET และ A-NET มีการจัดสอบปีละ 1 คร้ัง ปลายเดือนกุมภาพันธ์ (2) ทุกวิชาจะมีข้อสอบส่วนอัตนัย เป็นแบบเติมคําตอบสั้นๆ (Short Answer) ด้วย (3) ชื่อวิชาต่างจากระบบเดิม คือคณิตศาสตร์ 1 (O-NET) จะง่ายกว่าคณิตศาสตร์ 2 (A-NET)

ค่าน้ําหนักของวิชาคณิตศาสตร์ในการสอบแต่ละสาขา

- สาขาบริหารธุรกิจ พาณิชย์ บัญชี เศรษฐศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 20% - สาขาวิศวกรรมศาสตร์ และสาขาเกษตร | GPA 4% | O-NET 8% | A-NET 10% - สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ เทคโนโลย ีสิ่งแวดล้อม | GPA 5% | O-NET 7% | A-NET 10% - สาขาวิทยาศาสตร์สุขภาพ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 10% - สาขาสังคมศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 20% - สาขาการจัดการ การท่องเที่ยว | GPA 5% | O-NET 14% - สาขาสถาปัตยกรรมศาสตร์ | GPA 5% | O-NET 8% - สาขาครุศาสตร์ ศึกษาศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 8% - สาขาวิทยาศาสตร์สาธารณสุข พลศึกษา การกีฬา | GPA 4% | O-NET 7% - สาขาศิลปกรรม วิจิตรศิลป์ ประยุกต์ศิลป์ | GPA ไม่ใช้คณิตศาสตร์ | O-NET 7% - สาขามนุษยศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 7-10% | A-NET ไม่แน่นอน รายละเอียดเพิ่มเติม อยู่ในเว็บไซต์ของ สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ (NIETS) http://www.ntthailand.com

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 6

หัวข้อคณิตศาสตร์พื้นฐาน (สําหรบัข้อสอบ O-NET)

บทที่ 1 เซต (ทั้งหมด) บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง (ทัง้หมดยกเวน้หวัข้อ 2.2 และ 2.5) บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหัวข้อ 3.5) บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟงัก์ชัน (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 5.2 และ 5.5) บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เฉพาะเกริ่นนํา และหัวข้อ 7.9) บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (เฉพาะหัวข้อ 8.1) บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม (เฉพาะหัวข้อ 13.1 และ 13.4 ที่ไม่เกี่ยวกับอนันต์) บทที่ 16 ความน่าจะเป็น (เฉพาะหัวข้อ 16.1 และ 16.6) บทที่ 17 สถิต ิ(ทั้งหมดยกเวน้หัวข้อ 17.5 และ 17.6 และสมบัติต่างๆ)

หัวข้อคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (สําหรบัข้อสอบ A-NET)

คือทุกหัวขอ้ในหนังสือเล่มนี ้รวมทั้งหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่อยู่ในหนังสือเรียน ได้แก ่บทที่ 2 การหารสังเคราะห์ บทที่ 13 อนุกรมแบบอื่นๆ ที่ไม่ใช่เลขคณิตและเรขาคณิต บทที่ 16 การนับในกรณีอื่นๆ (หัวข้อ 16.4) บทที่ 17 สูตรลดทอนในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 7

ÊÒúa เรื่อง หน้า

บทที่ 1 เซต 11 1.1 สับเซตและเพาเวอร์เซต 12 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต 15 1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต 21 บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง 31 2.1 สมบัติของจํานวนจริง 32 2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบ 36 2.3 อสมการ 39 2.4 ค่าสัมบูรณ์ 44 2.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น 48 เรื่องแถม ถ้าไม่มีเคร่ืองคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อยา่งไร 58 บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 59 3.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง 60 3.2 สัจนิรันดร์ 63 3.3 การอ้างเหตุผล 65 3.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ 67 3.5 การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย 69 เรื่องแถม มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล 82 บทที่ 4 เรขาคณิตวิเคราะห์ 83 4.1 เบื้องต้น : จุด 84 4.2 เบื้องต้น : เส้นตรง 86 4.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ 92 4.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม 94 4.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา 96 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี 99 4.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา 102 บทที่ 5 ความสัมพันธแ์ละฟังก์ชัน 119 5.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ 120 5.2 โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์ 121 5.3 กราฟของความสัมพันธ์ 124

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 8

เรื่อง หน้า

5.4 ลักษณะของฟังก์ชัน 127 5.5 ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน 131 เรื่องแถม หลกัในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog 146 บทที่ 6 กําหนดการเชิงเส้น 147 บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 157 7.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย 158 7.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม 160 7.3 สมการตรีโกณมิติ 162 7.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 165 7.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุม 166 7.6 ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ 169 7.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 171 7.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 172 7.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูง 173 บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม 187 8.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง 187 8.2 การแก้สมการที่เป็นเอกซ์โพเนนเชียล 191 8.3 ฟังก์ชันลอการิทึม และกฎของลอการิทึม 192 8.4 การแก้สมการที่เป็นลอการิทึม 195 เรื่องแถม จําเป็นต้องตรวจคาํตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง 204 บทที่ 9 เมตริกซ์ 205 9.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์ 206 9.2 ดีเทอร์มินันต์ 208 9.3 อินเวอร์สการคูณ 211 9.4 การดําเนินการตามแถว 215 9.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น 216 บทที่ 10 เวกเตอร์ 227 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ 228 10.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 230 10.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิต 231 10.4 เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 233 10.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 235 10.6 เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ 237 10.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 240 เรื่องแถม สิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณติศาสตร ์ 250

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 9

เรื่อง หน้า

บทที่ 11 จํานวนเชิงซ้อน 251 11.1 การคํานวณเบื้องต้น 252 11.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ 254 11.3 รูปเชิงขั้ว 256 11.4 สมการพหุนาม 259 เรื่องแถม ใชจ้าํนวนเชิงซ้อนช่วยคํานวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 268 บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟ 269 12.1 ส่วนประกอบของกราฟ 270 12.2 กราฟออยเลอร์ 272 12.3 วิถีที่สั้นที่สุด และต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด 274 บทที่ 13 ลาํดับและอนุกรม 279 13.1 ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต 280 13.2 ลิมิตของลําดับอนันต์ 282 13.3 อนุกรมและซิกม่า 284 13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ 285 บทที่ 14 ลมิิตและความต่อเนื่อง 295 14.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 296 14.2 ลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด 298 14.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 300 เรื่องแถม การคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไมก่ําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล 306 บทที่ 15 อนุพันธ์และการอินทิเกรต 307 15.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 307 15.2 สูตรในการหาอนุพันธ์ 309 15.3 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด 312 15.4 สูตรในการอินทิเกรต 317 15.5 อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้ง 319 เรื่องแถม เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร 332 บทที่ 16 ความน่าจะเป็น 333 16.1 หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ 333 16.2 วิธีเรียงสับเปล่ียน 335 16.3 วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม 337 16.4 การนับในกรณีอื่นๆ 339 16.5 ทฤษฎีบททวินาม 341 16.6 ความน่าจะเป็น 345 เรื่องแถม เรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟงัก์ชัน 358

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 10

เรื่อง หน้า

บทที่ 17 สถิติ 359 17.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล 360 17.2 ค่ากลางของข้อมูล 363 17.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 374 17.4 ค่าการกระจายของข้อมูล 378 17.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกต ิ 383 17.6 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 388 ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั วิชาคณิตศาสตร์ 1 (14 ฉบับ) 403

ฉบับที่ | ตุลาคม 2541 408 ฉบับที่ | มีนาคม 2542 417 ฉบับที่ | ตุลาคม 2542 426 ฉบับที่ | มีนาคม 2543 435 ฉบับที่ | ตุลาคม 2543 444 ฉบับที่ | มีนาคม 2544 453 ฉบับที่ | ตุลาคม 2544 462 ฉบับที่ | มีนาคม 2545 471 ฉบับที่ | ตุลาคม 2545 481 ฉบับที่ | มีนาคม 2546 492 ฉบับที่ | ตุลาคม 2546 502 ฉบับที่ | มีนาคม 2547 512 ฉบับที่ | ตุลาคม 2547 523 ฉบับที่ | มีนาคม 2548 532

สถิติคะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลยั วิชาคณิตศาสตร์ 1 541 ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั วิชาพื้นฐานทางวศิวกรรม (17 ปี) (เฉพาะขอ้ท่ีเป็นคณิตศาสตร์) ชุดที่ 1 | รวมปี 2532 ถึงป ี2541 542 ชุดที่ 2 | รวมตุลาคม 2541 ถึงมีนาคม 2548 573 โจทย์ทดสอบ : เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลยั ชุดที่ 1 (มี 2 ส่วน, 70 ข้อ) 588 ชุดที่ 2 (35 ข้อ) 606 ภาคผนวก : Math E-Book ฉบับเข้มข้น 616 ดรรชนี 657

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 11

{ s,e,t }

º··Õè 1 e«µ

“กลุ่มของสิ่งต่างๆ” ในวิชาคณิตศาสตร์จะเรียกว่า เซต (Set) เช่น เซตของชื่อวันทั้งเจด็, เซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, ฯลฯ สิ่งที่อยู่ภายในแต่ละเซต เรียกว่า สมาชกิ (Element หรือ Member)

นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยวงเล็บ

ปีกกา ดังนี้ { } เช่น ให้ A แทนเซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, B แทนเซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, C แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, D แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่น้อยกว่า 7, และ E แทนเซตของจํานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 3 ถึง 33 จะได้ว่า A {= อาทิตย,์ จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์} การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma) B { 2, 1, 0, 1, 2}= − − หรือ B {0, 1, 1, 2, 2}= − − การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปล่ียน C {2, 3, 5}= D {2, 3, 5}= จะกล่าวได้ว่า C D= สมาชิกตัวที่ซํ้ากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา (360 2 2 2 3 3 5= × × × × × ) E {4, 5, 6, 7, ..., 32}= หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เคร่ืองหมายจุด “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 12

เซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจํากัด (Finite Set) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n(A) เช่นในตัวอย่างข้างต้น n(A) 7= , n(B) 5= , n(C) 3= , n(E) 29= นอกจากนั้น เซตจํากัดที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย จะเรียกว่า เซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ นั่นคือ n( ) 0∅ =

เซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาคา่ไม่ได้ เรียกว่า เซต

อนันต์ (Infinite Set) เช่น F แทนเซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 2, G แทนเซตของจํานวนใดๆ ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 F {1, 0, 1, 2, 3, ...}= − − − , n(F) หาค่าไม่ได้ G เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แต่เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข} คือ G { x | 0 x 1}= < < อ่านว่า เซตของ x (สมาชิก) โดยที่ 0 x 1< < (เงื่อนไข)

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 B∈ , 3 C∈ , 0.5 G∈ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 B∉ , 4 C∉ , 0 G∉

ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต U นั่นคือ สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก U เช่น ถ้า { 2, 1, 0, 0.5, 7}= − −U และ H { x | x 0 }= > จะได้ว่า H {0, 0.5, 7}= แต่ถ้าเปลี่ยนเป็น =U เซตของจํานวนเต็ม จะได้ว่า H {0, 1, 2, 3, ...}=

การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขควรระบุเอกภพสัมพัทธ์กํากับด้วย แต่ถ้าไม่ได้ระบุไว้ โดยทั่วไปให้ถือว่า U เป็นเซตของจํานวนจริงใดๆ (R ) เช่น H { x | x 0 }= > มีความหมายเดียวกับ H { x | x 0 }= ∈ >R

1.1 สับเซต และเพาเวอร์เซต

สับเซต (Subset) คือเซตย่อย จะกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A ได้ก็ต่อเม่ือ สมาชิกทุกตัว

ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A ด้วย (และ B จะไม่เป็นสับเซตของ A หากว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B A⊂ และ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B A⊄

ตัวอย่างเช่น A {m, p, r, w}= จะมีเซต B ที่ทาํให้ B A⊂ ได้ถึง 16 แบบ ดังนี้ ∅ {m} {p} {r} {w} {m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w} {m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w} {m, p, r, w}

S ¢ oÊa§e¡µ! S

»Ãao¤ {a, b} A⊂ ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇÒ a A∈ æÅa b A∈

S ü´·Õè¼i´º oÂ! S e«µµo仹ÕéÁṎ íҹǹÊÁÒªi¡e·Òã´

{ , 0, 1, {2, 3},(4,5)}∅ ¤íÒµoº¤×o 5 µaÇ ä´ æ¡ e«µÇÒ§, eÅ¢ 0,

eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ùoa¹´aº (4,5)

¹a蹤×oe«µ¹aºe»¹ 1 ¤Ùoa¹´aº¹aºe»¹ 1

{(1, 2),(2, 1), {1, 2}, {2, 1}} ¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä ́æ¡ ¤Ùoa¹´aº (1,2), ¤Ù

oa¹´aº (2,1), æÅae«µ {1,2}

(¤Ùoa¹´aº 1-2 ¡aº 2-1 ¶×oÇÒµ Ò§¡a¹ æµ e«µ

1-2 ¡aºe«µ 2-1 ¶×oÇÒeËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁ

µ o§¹aº«éíÒ¹a¤Ãaº)

e«µ¢o§ª×èo¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹Õé

e» ¹e«µ í̈Ò¡á ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤íÒµoº¤×oe«µ í̈Ò¡á ¤Ãaº ¶Ö§æÁ ¨íҹǹÊÁÒªi¡¨a´ÙÇÒ

ÁÒ¡¢¹Ò´ä˹ 浡çäÁ ÁÒ¡¶Ö§o¹a¹µ¹a..

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 13

เพ่ิมเติม จากเนื้อหาเรื่องการเรียงสบัเปลี่ยนและจัดหมู่ (กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ 16 หัวข้อ 16.3)

มีของ n ชิ้น หยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ไม่ซ้ํากันทัง้สิ้น − ⋅

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

n n!r (n r)! r !

ชุด

โดยที่ x ! 1 2 3 ... x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ เช่นถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตที่หยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัว

อยู่ 7 7 ! 1 2 3 4 5 6 7 353 4 ! 3 ! 1 2 3 4 1 2 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

แบบ

ข้อควรทราบ 1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต A∅ ⊂ 2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A A⊂ 3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น n2 แบบ ... (เช่นในตัวอย่างข้างตน้ 42 16= ) 4. บางตําราใชส้ัญลักษณ์ ⊂ แทนการเป็น สับเซตแท้ (Proper Subset) ซ่ึงจะมีเพียง n2 1− แบบเท่านั้น (คือนับเฉพาะเซตที่เล็กกว่าเท่านั้น ไม่นับตัวมันเอง) และใช้สัญลักษณ์ ⊆ แทนการเป็นสับเซตใดๆ (นั่นคือ A A⊆ แต่ A A⊄ ) ... แต่ในเล่มนี้จะรวบใช้เคร่ืองหมาย ⊂ แทนการเป็นสับเซตใดๆ ทุกแบบ รวมถึงตัวมันเองด้วย

เพาเวอร์เซต (Power Set) คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้ เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A) ดังนั้น ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก n2 ตัว เช่นในตัวอย่าง A {m, p, r, w}= จะได้ P(A) {m} {p} {r} {w} {m, p} {m, r} ... {m, p, r, w}= ∅{ , , , , , , , , }

• ตัวอยาง ใหเขียนสับเซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเซตของ ก. A {a}=

ตอบ มีสับเซต 12 2= แบบ ไดแก ∅ และ {a} ดังนั้น P (A) { , {a}}= ∅

ข. B {a, b}= ตอบ มีสับเซต 22 4= แบบ ไดแก ∅ , {a} , {b} และ {a, b} ดังนั้น P (B) { , {a}, {b}, {a, b}}= ∅

ค. C {2, 3, 5}= ตอบ มีสับเซต 32 8= แบบ ไดแก ∅ , {2} , {3} , {5} , {2, 3} , {2, 5} , {3, 5} และ {2, 3, 5} ดังนั้น P (C) { , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}= ∅

ง. D = ∅ ตอบ มีสับเซต 02 1= แบบ ไดแก ∅ ดังนั้น P (D) { }= ∅

S ü´·Õè¼i´º oÂ! S ¹o§æ Áa¡¨aÊaºÊ¹ÃaËÇÒ§ ∅ ¡aº { }∅ ÇÒµ Ò§¡a¹oÂÒ§äà ...

∅ (e«µÇÒ§) e»ÃÕºeÊÁ×o¹¡Å o§e»Å Òæ äÁ ÁÕoaäÃoÂÙã¹¹aé¹eÅ ( í̈ҹǹÊÁÒªi¡e·Ò¡aº 0)

¨ae¢Õ¹ÊaÅa¡É³e» ¹ { } ¡çä´

æµ ¶Ò¶ÒÁÇÒ¡Å o§ãºË¹Ö觫Öè§ÁÕ¡Å o§e»Å ÒoÕ¡

ãºoÂ٢ҧ㹠¹aºe» ¹¡Å o§ÇÒ§e»Å ÒËÃ×oäÁ

¤íÒµoº¡ç¤×oäÁ e»Å ÒæÅ Ç㪠äËÁ¤Ãaº

¡çeËÁ×o¹¡a¹¡aº e«µ¢o§e«µÇÒ§ { }∅ «Öè§äÁ ä´ e» ¹e«µÇÒ§oÕ¡µ oä»æÅ Ç ...

ËÃ×o¶ÒµoºÊaé¹æ ¡ç¤×o n( ) 0∅ = æµ n({ }) 1∅ =

S ¢ oÊa§e¡µ! S

»Ãao¤ {a, b} P(A)∈ ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇÒ {a, b} A⊂ ¹a蹤×o a A∈ æÅa b A∈

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 14

• ตัวอยาง กําหนด E { , {0}, { }}= ∅ ∅ ใหหา P(E) ตอบ , { }, {{0}}, {{ }}, { , {0}}, { , { }}, {{0}, { }}, { , {0}, { }}∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅{ }

• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A {1, 3, 5, 7}= และ B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}= ใหหา ก. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X P (A)∈

ตอบ คําวา X P (A)∈ กค็ือ X A⊂ ดังนั้น มีเซต X ทีเ่ปนไปไดทั้งหมด 42 16= แบบ หากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลว จะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้ 4 4 44 4 1 4 6 4 1 161 40 2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ แบบ

ข. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X P (A)∈ และ n(X) 2< ตอบ คําวา X P (A)∈ กค็ือ X A⊂ ซึ่งมี 16 แบบ (ดังขอ ก.) แตขอนี้ตองการ n(X) 2< เทานั้น

หากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลวจึงจะทราบวิธีคํานวณ ดังนี้ 4 44 1 4 6 1110 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ แบบ

(แตถายังไมไดศกึษา ก็คงตองเขียนนับเอาโดยตรง)

ค. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A Y⊂ และ Y B⊂ ตอบ ตองการ A Y⊂ ก็แปลวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองอยูใน Y ครบทุกตัว ... และ Y B⊂ แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y B⊂ แลว) ... การที ่ 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เปรียบเสมือนการหาสับเซตทุกแบบของ {2, 4, 6} นัน่เอง จึงตอบวา 32 8= แบบ

แบบฝึกหัด 1.1 (1) กําหนด A, B เป็นเซตที่มีลักษณะ A B⊂ และ A B≠ ถ้า x A∈ และ y B∈ แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (1.1) {x} B⊂ (1.3) {A} {B}⊂ (1.2) {y} A⊄ (1.4) {A} {B}≠

(2) ให้ A {{ }, a, b, {a}, {a, b}}= ∅ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (2.1) { } A∅ ∈ (2.3) {{a}, b} A⊂ (2.2) { } A∅ ⊂ (2.4) {a, b} A∈ และ {a, b} A⊄

(3) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (3.1) ถ้า A B⊂ และ B C⊂ แล้ว A C⊂ (3.2) ถ้า A B∈ และ B C∈ แล้ว A C∈

(3.3) ถ้า A B⊄ และ B C⊄ แล้ว A C⊄

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 15

(4) ให้ A เป็นเซตใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (4.1) { x | x A } {A}= = (4.3) { x | {x} A } {A}⊂ = (4.2) { x | x A } A∈ = (4.4) { x | {x} }⊂ ∅ = ∅

(5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (5.1) ถ้า n(A) 5= แล้ว สับเซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.2) ถ้า n(A) 5= แล้ว สับเซตแท้ของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.3) ถ้า n(A) 5= แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ

(5.4) ถ้า n(A) 5= แล้ว สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 ตัว

(6) ถ้า A มีสับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชิกกี่ตัว และในจํานวน 511 เซตนั้น สับเซตที่มีสมาชิกเพียง 5 ตัวมีกี่เซต

(7) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (7.1) ∅ ∈ ∅ (7.5) P ( )∅ ∈ ∅ (7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.6) P ( )∅ ⊂ ∅ (7.3) { }∅ ∈ ∅ (7.7) { } P ( )∅ ∈ ∅

(7.4) { }∅ ⊂ ∅ (7.8) { } P ( )∅ ⊂ ∅

(8) ถ้า A { , a, {b}, {a, b}}= ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (8.1) P (A)∅ ∈ (8.6) a P (A)∈ (8.2) { } P (A)∅ ∈ (8.7) {a} P (A)∈ (8.3) P (A)∅ ⊂ (8.8) {b} P (A)∈ (8.4) { } P (A)∅ ⊂ (8.9) {{b}} P (A)∈ (8.5) { , a, {b}} P (A)∅ ∈ (8.10) { , a, {b}} P (A)∅ ⊂

(9) ถ้า A { , 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}= ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (9.1) { , {1}, {1, 2}} P (A)∅ ∈ (9.3) {{1}, {2}, {3}} P (A)∈ (9.2) { , {1}, {1, 2}} P (A)∅ ⊂ (9.4) {{1}, {2}, {3}} P (A)⊂

(10) [Ent’39] ให้ S {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}= แล้วจงหา n(X) และ n(Y) เม่ือกําหนด X { A P (S) | 1 A= ∈ ∈ และ 7 A }∉ และ Y { A X |= ∈ ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 }

1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดาํเนินการของเซต

การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์

(Venn-Euler Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะของเซตชัดเจนขึ้น การเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมให้เอกภพสัมพัทธ์ U เป็นกรอบสี่เหลี่ยม ซ่ึงภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทนขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ โดยจะเขียนให้มีบริเวณที่เซตสองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพ

S ü´·Õè¼i´º oÂ! S ¤ÇèaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æºº

·aèÇä» ¤×oãËÁÕÊÁÒªi¡ÃÇÁ¡a¹¡o¹ (eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æŠǨҡ¹aé¹eÁ×èo·ÃÒº

ÇÒªié¹Êǹã´äÁ ÁÕÊÁÒªi¡ ¤o¢մËÃ×oæÃe§Ò

·ié§ä».. ·íÒ溺¹Õéoo¡Òʼi´¨a¹oÂŧ¤Ãaº..

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 16

U

A B

U

A B

U

B

A

A

C

B

2 3

1 0 4

5 7

9

11

U

U

A B

U

A B

U

B

A

U

A B

U

A B

U

B

A

U

A

U

A B

U

A B

U

B

A

A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ B

สมมติว่า A {0, 1, 2, 3, 4}= B {1, 3, 5, 7, 9}= C {2, 3, 5, 7, 11}= จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้

การดําเนินการเกี่ยวกับเซต เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม 1. ยูเนียน (Union : ∪ ) ... เซต A B∪ คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมด

ยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A B∩ คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ B บางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น AB (คือ ละเคร่ืองหมายอินเตอร์เซคชันไว้) อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็น A

3. คอมพลีเมนต์ (Complement : ' ) เซต A' คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน A บางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น cA หรือ A

4. ผลต่าง (Difference หรือ Relative Complement : − ) B A− คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... หรือ B A B A'− = ∩ จะเรียก B A− ว่า “คอมพลีเมนต์ของ B เม่ือเทียบกับ A” ก็ได้ ข้อสังเกต โดยทั่วไป n(B A) n(B) n(A)− ≠ − แต่ n(B A) n(B) n(A B)− = − ∩

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 17

สมบัติท่ีเกี่ยวกับการดําเนินการของเซต • การแจกแจง • คอมพลีเมนต์ และเพาเวอร์เซต A (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B) (A C)

∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

− ∪ = − ∩ −

− ∩ = − ∪ −

(A B) ' A ' B '(A B) ' A ' B 'P (A) P (B) P (A B)P (A) P (B) P (A B)

∪ = ∩

∩ = ∪

∩ = ∩

∪ ⊂ ∪

หมายเหตุ ในภาษาอังกฤษบางครั้งอ่าน A B∪ ว่า A cup B และอ่าน A B∩ ว่า A cap B • ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A {1, 3, 5, 7}= และ B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}= ใหหา (ในขอ ก. และ ข. จําเปนตองใชความเขาใจเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู ดวย) ก. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A Y∩ ≠ ∅ และ Y B⊂ ตอบ วิธีคดิตางจากตัวอยางที่แลว (A Y B⊂ ⊂ ) เลก็นอย ... ขอนี้ตองการ A Y∩ ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองมีอยูใน Y (มีกีต่ัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A Y∩ = ∅ ) การอยูกี่ตัวกไ็ด แตไมอยูเลยไมได ก็คือการหาสบัเซตทุกแบบของ {1, 3, 5, 7} ทีไ่มใชเซตวาง นั่นเอง ในข้ันตอนนี้จึงได 42 1 15− = แบบ ...

อีกเงื่อนไขคือ Y B⊂ แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวกไ็ด หรือไมอยูเลยกไ็ด (เพราะมีเพียงบางตัวของ 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y B⊂ แลว) ... ข้ันนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 32 8= แบบ ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลพัธตางๆ กันทั้งสิ้น 15 8 120× = แบบ

ข. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} Z∩ ≠ ∅ และ Z A⊂ ตอบ วิธีคดิเหมือนขอ ก. ... นัน่คือ ตองการ {1, 2, 3} Z∩ ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3 ตองมีอยูใน Z (มีกี่ตัวกไ็ด แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A Z∩ = ∅ ) ที่สาํคัญคือ สมาชิก 2 หามอยูใน Z เพราะจะขัดแยงกับอีกเงื่อนไข (Z A⊂ ) ... ในข้ันตอนนี้จึงได 22 1 3− = แบบ ...

อีกเงื่อนไขคือ Z A⊂ แปลวา 5, 7 จะอยูใน Z กี่ตัวกไ็ด หรือไมอยูเลยกไ็ด (เพราะมีเพียงบางตัวของ 1, 3 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Z A⊂ แลว) ... ข้ันนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 22 4= แบบ ... คําตอบขอนีต้องนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขัน้ตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น 3 4 12× = แบบ

ค. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} Z∩ = ∅ และ Z A⊂ ตอบ ขอนี้งายทีสุ่ด เนื่องจาก ตองการ {1, 2, 3} Z∩ = ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 2, 3 หามมีอยูใน Z เลยแมแตตัวเดียว เมื่อประกอบกบัอีกเงื่อนไขคือ Z A⊂ จึงไดวา สมาชกิ 5, 7 เทานัน้ที่จะอยูใน Z (กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เพราะแม Z = ∅ ก็ยังทําใหเงือ่นไข Z A⊂ เปนจริงอยูดี) ... จึงไดคาํตอบเปน 22 4= แบบ

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 18

C P(C)

2 4 60

• ตัวอยาง ถา C { } 0 {{ }, 0} { , {0}} {{ , {0}}}= ∅ ∅ ∅ ∅ ∅{ , , , , , } ใหหาคาของ ก. n(P (C)) ตอบ เนื่องจาก n(C) 6= ดังนั้น 6n(P (C)) 2 64= =

ข. n(P (C) C)− ตอบ n(P (C) C)− ไมไดคิดจาก 64 6 58− = ... เพราะโดยทั่วไปสมาชิกของ C นัน้ไมไดอยูใน P (C) ทั้งหมด การจะคิด n(P (C) C)− ตองดูวา สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) กี่ตัว

เริ่มพิจารณาเรียงไปทีละตัว เริ่มจาก ∅ “อยู” (เพราะ ∅ เปนสับเซตของทุกเซต นอกจากนั้น การเขียนเพาเวอรเซตใหเปนระเบียบยังมักจะเริ่มดวย ∅ ) ... ตอมา { }∅ ก็ “อยู” อยูในข้ันตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เซตวางที่ปรากฏในนี้เปนสมาชิกตัวแรกสุดใน C ) หรือกลาววา “อยู” เพราะ

C∅ ∈ ... ตอมา 0 อนันี ้“ไมอยู” เพราะไมใชเซต สิ่งที่อยูในเพาเวอรเซตใดๆ ได ตองเปนเซต!... ตอมา {{ }, 0}∅ อันนี้ “อยู” มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปสองตัว (ในที่นี้เปนตัวสองกับตัวสาม) หรือกลาววา “อยู” เพราะ { } C∅ ∈ และ 0 C∈ ... ตอมา { , {0}}∅ อนันี ้ “ไมอยู” เพราะ {0} C∉ ... และสุดทาย {{ , {0}}}∅ อันนี้ก็ “อยู” เพราะวา { , {0}} C∅ ∈ มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เปนตัวที่หา) นั่นเอง

สรุปแลว สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) 4 ตัว ดังนั้น n(P (C) C) 64 4 60− = − =

ค. n(C P (C))− ตอบ n(C P (C))− กไ็มไดคดิจาก 6 64− ... แตตองดูวา สมาชิกของ P (C) นัน้อยูใน C กี่ตัว ซึ่งมีวิธีคิดเชนเดียวกบัขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n(C P (C)) 4∩ = ... ดังนั้น จึงทาํให n(C P (C)) 6 4 2− = − = หากดูแผนภาพประกอบจะเขาใจยิ่งข้ึน เราทราบวา (ขอ ก.) n(C) 6= และ n(P (C)) 64= จากนั้นนับในขอ ข. วา n(C P (C)) 4∩ = จึงได (ข.) n(C P (C)) 2− = และ (ค.) n(P (C) C) 60− =

ง. n [(P (C) C) (C P (C))]− ∪ − ตอบ จากขอ ข. กับ ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดคําตอบเปน 60 2 62+ = (นํามาบวกกันไดทันที เพราะสองสวนนีไ้มไดซอนทับกัน)

แบบฝึกหัด 1.2 (11) กําหนดให้ A B {0, 1, 2, 3, 4, 5}∪ = A B {1, 3, 5}∩ = B C {2, 3, 5}∩ = A C {0, 1, 2, 3, 5}∪ = A C {0, 3, 5}∩ = แล้ว ข้อใดผิด ก. A B ' {0}∩ = ข. B C ' {1}∩ = ค. A C ' {1}∩ = ง. B A ' {2, 4}∩ =

(12) ให้เขียนเซต C ' B '∪ แบบแจกแจงสมาชิก เม่ือกําหนดให้ { x | 1 x 10 }= ∈ <

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 19

B { x | x= หาร 3 ลงตัว} และ C { x | x 5 }= <

(13) [Ent’38] ถ้า A {0, 1}= และ B {0, {1}, {0, 1}}= แล้ว (13.1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด A P (B)∈ (13.2) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด {1} P (A) P (B)∈ ∩ (13.3) ค่าของ n(P (A B)) n(P (A B))∪ − ∩ เป็นเท่าใด

(14) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (14.1) '∅ = U (14.7) A A '∩ = ∅ (14.2) ' = ∅U (14.8) A A '∪ = U (14.3) A (A B)⊂ ∪ (14.9) A − = ∅U และ A A '− =U (14.4) B (A B)⊂ ∪ (14.10) A A− ∅ = และ A∅ − = ∅

(14.5) (A B) A∩ ⊂ (14.11) A A− = ∅ (14.6) (A B) B∩ ⊂ (14.12) A B A B '− = ∩

(15) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (15.1) ถ้า A B⊂ แล้ว P (A) P (B)⊂ (15.2) ถ้า A B∪ = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.3) ถ้า A B∩ = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.4) ถ้า A B− = ∅ และ B C B− = แล้ว A ' C '∪ = U (15.5) ถ้า A B− = ∅ และ B C− ≠ ∅ แล้ว A C− ≠ ∅

(16) สําหรับเซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (16.1) A B A B∩ ≠ ∪ (16.5) ถ้า x A∉ แล้ว x A B∉ ∪ (16.2) A B B A− ≠ − (16.6) ถ้า x A∈ แล้ว x A ' B '∉ ∩

(16.3) A B A B '∩ = − (16.7) ถ้า x A∉ แล้ว x A ' B '∈ ∩ (16.4) (A B) ' B ' A∪ = − (16.8) ถ้า x A∈ แล้ว x (A ' B ') '∈ ∪

(17) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด (17.1) A (A B)− ∩ (17.6) (A B) B∪ − (17.2) (A B) B− ∪ (17.7) (A B) B∩ − (17.3) (A B) B− ∩ (17.8) A (A B)− − (17.4) A (A B)∩ − (17.9) (A B) (B A ')− ∩ − (17.5) A (A B)∪ −

(18) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ (18.1) ถ้า A C B C∪ = ∪ แล้ว A B= (18.2) ถ้า A C B C∩ = ∩ แล้ว A B= (18.3) ถ้า A C B C− = − แล้ว A B= (18.4) ถ้า A ' B '= แล้ว A B=

(19) ให้บอกเงื่อนไขที่ทําให้ A B A− = อย่างน้อย 3 กรณี

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 20

(20) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด (20.1) [Ent’21] (A B) (B A) (A B)− ∪ − ∪ ∩ (20.2) [A (A ' B)] [B (B ' A ')]∩ ∪ ∪ ∩ ∪ (20.3) ( ) ( )[(A B) (B A)] A ' A ' [(A B) (B A)]− ∪ − − ∪ − − ∪ −

(20.4) ( )[(A B) ' (B C ')] [(D E) (C ' E ')] (A E ') '∪ ∩ − ∪ − ∩ − ∪ −

(21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (21.1) (A B C) (A ' B C) (B ' C ')∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ = U (21.2) (A B C D ') (A ' C) (B ' C) (C D) C∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = (21.3) P (A B) P (A B)∩ ⊂ ∪ (21.4) P (A B) P (B A) { }− ∩ − = ∅ (21.5) ถ้า A B⊂ แล้ว P (A B) P (A) P (B)∪ = ∪

(22) ให้ A {0, 1, 2, 3}= , B {{0}, 1, 2, {3}}= และ C {0, {1}, {2}, 3}= ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (22.1) P (A) P (B) P (C ') { , {1}, {2}, {1, 2}}∩ ∩ = ∅ (22.2) P (A) P (B ') P (C) { , {0}, {3}, {0, 3}}∩ ∩ = ∅ (22.3) P (A ') P (B) P (C) { , {0}}∩ ∩ = ∅ (22.4) P (A) P (B ') P (C ') { }∩ ∩ = ∅

(23) ถ้า n( ) 35=U , n(A) 22= , n(B) 18= ให้หาว่า n(A ' B ')∩ จะมีค่ามากที่สุดได้เท่าใด

(24) ถ้า n(A) a= , n(B) b= , n(C) c= , n(D) d= n(A B) b∩ = , n(B C) c∩ = , n(C D) d∩ = แล้ว ให้หา n(A B C D)∩ ∩ ∩ และ n(A B C D)∪ ∪ ∪

(25) ให้ A,B, C เป็นเซตซึ่ง P (C) { , {a}, {c}, C}= ∅ , n(P (A)) 8= , n(P (B)) 16= , C A⊂ , C B⊂ , {b, d, e} A B⊂ ∪ และ b A B '∈ ∩ ข้อใดผิด

ก. d (A B ') '∈ ∪ ข. e (C B ') '∈ ∪ ค. b (A ' B ') '∉ ∪ ง. {b, e} (A ' B) '⊂ ∪

(26) เม่ือ A { , 1, {1}}= ∅ และ A B '∩ = ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (26.1) n [ P (A) P (B) ] 8∩ = (26.3) P (A B) { }− = ∅ (26.2) {1} P (A B)∈ ∩ (26.4) P (B A) { }− = ∅

(27) [Ent’36] ถ้า A { , { }, 0, {0}, {1}, {0, 1}}= ∅ ∅ แล้ว จงหาจํานวนสมาชิกของเซต [ P (A) A ] [ A P (A) ]− ∪ −

(28) มีเซต A ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้กี่แบบ (28.1) A B {1, 2, 3, 4, 5}∪ = และ B {1, 3, 5}= (28.2) A B {1, 2, 3, ..., 15}∪ = และ B {2, 4, 6, 8, 10}=

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 21

= + -

= + +

- - - +

·íÒ¤ÇÒÁe¢Ò㨴 ÇÂÃÙ»ÀÒ¾¡ç Ṍ¹a¤Ãaº..

(29) กําหนดให้ A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}= และ B {1, 2, 3}= แล้ว จะมีเซต X ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่แบบ (29.1) B X A⊂ ⊂ (29.2) X A⊂ และ B X∩ ≠ ∅

(30) ถ้า B A⊂ โดย n(A) 10= , n(B) 4= ให้หาค่า n(C) ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (30.1) C { S | B S A }= ⊂ ⊂ (30.2) C { S A | S B }= ⊂ ∩ ≠ ∅

(31) กําหนด A {0, 2, 4, 6, 8}= B {0, 1, 2}= C {1, 2, 3}= D {0, 2, 3}= ให้หาจํานวนเซต X ซ่ึง X A⊂ และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (31.1) B C ' X∩ ⊂ (31.3) B D X∩ ⊂ (31.2) B C ' X∩ ⊄ (31.4) B D X∩ ⊄

(32) ถ้า {1, 2, 3, 4, ..., 8}=U A {1}= −U B {2, 4, 6}= และ C {1, 7}= มีเซต D ที่เป็นไปได้กี่แบบที่ตรงตามเงื่อนไข (B ' C) D A− ⊂ ⊂

(33) กําหนดให้ { x | 2 x 6 }= ∈ − <

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 22

U

Math Eng

ก ข ค

ง

Math Social

ง จ

ก ข ค

ฉ

Thai ช

• ตัวอยาง จากการสอบถามนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีจํานวน 30 คน พบวามีนกัเรียนชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร 12 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 15 คน โดยชอบทัง้สองวิชาอยู 5 คน ถามวามีนักเรียนในหองนี้ที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชาอยูกี่คน วิธีคิด จะสังเกตไดวา U คือนกัเรียนในหองนี้ และมีเซตอยูสองเซต คือ ชอบเรียนคณิตศาสตร กับชอบเรียนภาษาอังกฤษ (ซึ่งมีบางคนชอบทั้งสองวิชา แสดงวาสองเซตนีม้ีสวนซอนทับกนั)

วิธีที่ 1 “ชอบทั้งสองวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง ข เปน 5 “ชอบเรียนคณิตศาสตร 12 คน” จะได ชอง ก เปน 12-5=7 “ชอบเรียนภาษาอังกฤษ 15 คน” จะได ชอง ค เปน 15-5=10 ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา คือชอง ง นั้น สามารถคํานวณไดดังนี ้30-5-7-10 = 8 คน ... ตอบ

วิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n(M) 12= , n(E) 15= , และ n(M E) 5∩ = … ดังนั้น เราหา n(M E)∪ ไดตามสตูร n(M E) 12 15 5 22∪ = + − = ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา เทากับ 30 22 8− = คน ... ตอบ • ตัวอยาง ในการสอบของนกัเรียนชั้นหนึ่ง พบวามีผูสอบผานวิชาคณิตศาสตร 37 คน วิชาสังคมศกึษา 48 คน วิชาภาษาไทย 45 คน โดยมีผูที่สอบผานทั้งวชิาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ทั้งสังคมศกึษาและภาษาไทย 13 คน ทั้งคณิตศาสตรและภาษาไทย 7 คน และมีผูที่สอบผานทั้งสามวชิาเพียง 5 คน ถามวาที่กลาวมานี้มีนักเรียนอยูทั้งหมดจํานวนเทาใด

วิธีคิด มีเซตอยูสามเซต คือ สอบผานคณติศาสตร สอบผานสังคมศึกษา และสอบผานภาษาไทย (ซึ่งมีผูสอบผานหลายวิชา แสดงวาสามเซตนีม้ีสวนซอนทับกนั) โจทยไมไดกลาวถึงผูสอบไมผาน ดังนั้นอาจไมตองเขียนกรอบสี่เหลี่ยมแทน U กไ็ด (คือไมมีชอง ซ) วิธีที่ 1 “ผานทั้งสามวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง จ เปน 5 พิจารณาการสอบผานสองวิชา จะได ชอง ข เปน 15-5=10, ชอง ฉ เปน 13-5=8, ชอง ง เปน 7-5=2 พิจารณาการสอบผานหนึ่งวิชา จะได ชอง ก 37-10-5-2=20, ชอง ค 48-10-5-8=25, และชอง ช 45-2-5-8=30 ดังนัน้ จํานวนคนรวมทุกชอง 5+10+8+2+20+25+30 = 100 คน ตอบ

วิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n(M) 37= , n(S) 48= , n(T) 45= n(M S) 15∩ = , n(S T) 13∩ = , n(M T) 7∩ = และ n(M S T) 5∩ ∩ = … ดังนั้น เราหา n(M S T)∪ ∪ ไดจาก n(M S T) 37 48 45 15 13 7 5 100∪ ∪ = + + − − − + = ดังนั้น จํานวนนกัเรียนทั้งหมดในชั้น (ที่กลาวถึง) เทากับ 100 คน ... ตอบ

ถึงแม้การคิดด้วยสูตร (วิธีที่สอง) ทําให้คํานวณได้รวดเร็ว แต่โจทยบ์างข้อกเ็หมาะกับวิธีแรก (แยกชิ้นส่วน) เท่านั้น ดังเช่นโจทยส์่วนใหญ่ในแบบฝึกหัดต่อไป

Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET เซต 23

แบบฝึกหัด 1.3 (37) นักเรียน 80 คน เป็นนักกีฬา 35 คน เป็นนักดนตรี 27 คน และไม่ได้เป็นทั้งนักกีฬาและนักดนตรี 32 คน ถามว่ามีนักเรียนที่ไม่ได้เป็นนักกีฬา หรือ ไม่ได้เป็นนักดนตรี อยู่กี่คน

(38) [Ent’33] จากการสํารวจนักเรียนห้องหนึ่ง พบว่ามี 20 คนที่เรียนฝรั่งเศสหรือคณิตศาสตร์ (โดยที่หากเรียนฝรั่งเศสแล้วต้องไม่เรียนคณิตศาสตร์) มี 17 คนที่ไม่เรียนคณิตศาสตร์ และมี 15 คนที่ไม่เรียนฝรั่งเศส แล้วมีกี่คนที่ไม่เรียนทั้งสองวิชานี้เลย

(39) [Ent’34] จากการสอบถามผู้ด่ืมกาแฟ 20 คน พบว่าจํานวนผู้ใส่ครีม น้อยกว่าสองเท่าของผู้ใส่น้ําตาลอยู่ 7 คน และจํานวนผู้ที่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาล เท่ากับจํานวนผู้ที่ไม่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาล ดังนั้นมีผู้ที่ใส่ครีมทั้งหมดกี่คน

(40) พนักงานบริษัท 34 คน ถูกสํารวจเกี่ยวกับการสวมนาฬิกา แว่นตา และแหวน ปรากฏว่าสวมแว่นอย่างเดียว 5 คน จาํนวนคนสวมนาฬิกามากกว่าจํานวนคนสวมแว่นตาอยู่ 1 คน จํานวนคนไม่สวมนาฬิกาเป็น 3 เท่าของจํานวนคนสวมแหวน นอกจากนั้น คนสวมแหวนทุกคนสวมแว่น แต่คนสวมนาฬิกาไม่มีคนใดสวมแว่น จะมีคนสวมนาฬิกากี่คน

(41) [Ent’26] นักเรียนคนหนึ่งไปพักผ่อนที่พัทยา ตลอดช่วงเวลานั้นเขาสังเกตได้ว่ามีฝนตก 7 วันในช่วงเช้าหรือเย็น โดยถ้าวันใดฝนตกช่วงเช้าแล้วจะไม่ตกในช่วงเย็น, มี 6 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเช้า และมี 5 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเย็น ถามว่านักเรียนคนนี้ไปพักผ่อนที่พัทยากี่วัน

(42) จากการสํารวจสายตาและสุขภาพฟันของนักเรียน 160 คน ซ่ึงมีนักเรียนชายอยู่ 100 คน (นักเรียนชายสายตาไม่ดี 30 คน และฟันผุ 35 คน) พบว่ามีนักเรียนที่สายตาดีและฟันไม่ผุอยู่ 80 คน (เป็นชาย 55 คน) และมีนักเรียนที่สายตาไม่ดีทั้งหมด 50 คน ฟันผุทั้งหมด 60 คน ถามว่ามีนักเรียนที่สายตาดี หรือ ฟันไม่ผุ รวมทั้งหมดกี่คน

(43) ในจํานวนนักเรียน 35 คนซ่ึงเป็นหญิง 11 คน ถ้าพบว่าชอบเล่นบาสเกตบอลกับฟุตบอลอย่างน้อยคนละอย่าง โดยมีนักเรียนชาย 16 คนชอบบาสเกตบอล นักเรียนหญิง 7 คนชอบฟุตบอล นักเรียนชอบบาสเกตบอลทั้งหมด 23 คน ฟุตบอล 21 คน ถามว่านักเรียนชายที่ชอบทั้งสองอย่างมีกี่คน

(44) โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 600 คน หญิง 500 คน ในจํานวนนี้มีนักเรียนที่มาจากต่างจังหวัดรวม 300 คน เป็นผู้ชาย 200 คน และมีนักกีฬารวม 50 คน เป็นผู้ชาย 30 คน โดยมีนักกีฬาที่มาจากต่างจังหวัด 25 คน เป็นชาย 15 คน ถามว่านักเรียนชายที่ไม่ได้มาจากต่างจังหวัดและไม่ได้เป็นนักกีฬาด้วย มีกี่คน

(45) เซตของจํานวนเต็มเซตหนึ่ง หากนํา 3 หรือ 4 ไปหารจะปรากฏว่า 4 หารลงตัวอย่างเดียว 6 จํานวน, 3 หารลงตัวทั้งหมด 8 จํานวน ซ่ึงเป็นจํานวนคู่ 3 จาํนวน, ทั้ง 3 และ 4 หารลงตัว มี 2 จํานวน, และ 4 หารไม่ลงตัว 18 จํานวน ซ่ึงเป็นจํานวนคู่ 4 จาํ