Matematika gyakorlat ISZAM_GVAM 1-2.1. Nevezetes függvények és ábrázolásuk (identitás, lineáris, másod- és harmadfokú

polinomok, reciprok, sin, cos, tg, ctg, hatvány, gyök, abs. érték, log)Határozza meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és értékkészletét! Ábrázolja a függvényeket!

f : x↦3 x+2 g : x↦2 x+7 h : x↦ 12x2−2

i : x↦ x2−4x+2

j : x↦−1x

k : x↦ 1x−2

l : x↦( x−1)2+2 m : x↦3+√4 x+16 n : x↦ 2x

p : x↦2x+1 q : x↦2x+1 r : x↦( 12 )x+1

f : x↦sin( x− π2

)+1 g : x↦ lg x h : x↦− log2( x )+1

i : x↦cos2 x+12

j : x↦ 2cos (x+ π2 ) k : x↦ tg(x+ π2 )l : x↦ tg( x2 ) m : x↦ tg (2x ) n : x↦ 1

2|x+3|−1

2. Mi az alábbi valós függvények lehető legbővebb értelmezési tartománya? Kölcsönösen egyértelmű-e a függvény ezen a halmazon?

72: xxf g : x↦ x2−9 h : x↦ 1x

i : x↦ 1x+4 j : x↦( x−2 )2+1 k : x↦ 1

(x−π )2

5423 xx:l m : x↦ 4 lg( x2−3)+1 n : x↦ 5 log3(− x2 +6)p : x↦−2+102 x−5 q : x↦4 tg(x−π )+1 r : x↦ 6√x+3+1

f : x↦ x2−9x−3

g : x↦3 x2+6x+2 h : x↦ 2+3 sin 2x

i : x↦√1−x2 j : x↦−x2+6 x+2 k : x↦1−2cos3 x

3. Akinek problémát jelent, meg akinek nem: gyakorolni! A hatványozás (gyökvonás) azonosságai, műveletek hatványokkal (gyökökkel)

A logaritmus azonosságai, műveletek logaritmussal: 7log√75+log499

=? A trigonometrikus függvények értékeinek értelmezése az egységkör segítségével Halmazelméleti műveletek (unio, metszet, különbség, komplementer) Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása

a.) |7+ x|≤5b.)

− 1x−2

=x x≠2c.) √ x+2> x

(kikötés, ábr!!!)d.) log 3( x−12)=2

e.) cos x2=1 f.) cos2 x=1 g.) ctg 2x=1 h.) 3x+1=27

Másodfokú egyenletek megoldása (megoldó képlet, diszkrimináns) 5 x2+7 x+2=0

4. Halmazok

4.1. A ,B ,C⊂ X . Írjuk le halmazelméleti formulával azon pontok halmazát, melyeka.) csak B elemei b.) legfeljebb egy halmaz elemeic.) pontosan két halmaz elemei d.) legalább egy halmaz elemeie.) nem elemei mindháromnak f.) legalább két halmaz elemei!

4.2. Nyílt és zárt ponthalmazok, intervallumok, külső, belső, határpont szemléltetése rajzos feladatok segítségével.

4.3. Ugyanezen ponthalmazok számossága, korlátossága, korlátai, minimuma, maximuma, infimuma, suprémuma

5. Függvények inverzeA 2. feladatban felsorolt függvények közül határozzuk meg azoknak a függvényeknek az inverzét, amelyeknek létezik! Ha nem létezik, tudunk-e olyan leszűkítését a függvénynek, melynek már létezik inverze? Határozzuk meg az inverz függvény értelmezési tartományát, értékkészletét! Milyen az inverz függvény képe?

6. Függvények kompozíciója

6.1. Fvek kompozíciója: határozzuk meg f ∘g -t és g∘f -et, ha

f : x↦ 3√ x x2+2 x+1 x+ 1x

lg x x2+x−1x+1

sin x 2x

g : x↦ x2+1 x−1 tgx sin x tgx2

arcsin x √ x−1

Írjuk fel az értelmezési tartományokat, értékkészleteket!6.2. Mely függvények kompozíciója?

a.) f : x↦ 1

√x+1 b.) f : x↦3−x2

c.) f : x↦sin3 x

d.) f : x↦sin x3e.) f : x↦ lg ( x2 ) f.) f : x↦arctg 6x

7. Függvények tulajdonságai (korlátosság, szélsőérték, inf, sup, monotonitás, konvexitás, paritás, periodicitás)

8. Korlátos-e? Ha igen, mik a korlátai?

f : x↦ 12

lg 2 xg : x↦ √sin x

h : x↦ tgx , x∈[−π4 , π4 ]f : x↦2 x2+12x+7 g : x↦−3 x2−12x+1

h : x↦ 2x−1

+3

f : x↦ 2x+5x+1

g : x↦ 3 x−9x+2

h : x↦ x2−9x−3

9. Növekedés, fogyás: f : x↦2− x+3 g : x↦( x−1)2 h : x↦ sin 2x

10. Konvexitás, konkavitás: f : x↦ x2 g : x↦ lg x

h : x↦ 1x

11. Paritás: f : x↦ x6−2x 4+15 g : x↦ x cos x−sin x h : x↦ 2x−1

k : x↦2x2

−1 l : x↦2x+2−x m : x↦ tg(−x )12. Periodicitás:

f : x↦sin( x+6 π ) g : x↦3 h : x↦ sin 2x k : x↦sin

x2 l : x↦2 sin x