Materi Ujian Nasional 2007-2008

Matematika Persiapan Ujian Nasional 2009

Materi Ujian Nasional

STANDAR KOMPETENSI LULUSAN (SKL)Jenjang Pendidikan : SMA/MAMata Pelajaran : Matematika (IPA)

STANDAR KOMPETENSI LULUSAN (SKL)

RUANG LINGKUP MATERI

1. Siswa mampu memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk, serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan masalah.

Logika matematikaIngkaran suatu pernyataanPenarikan kesimpulan(Tidak termasuk pernyataan berkuantor)

2. Siswa mampu memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya, suku banyak, sistem persamaan linear, program linear, matriks, vektor, transformasi geometri, barisan dan deret, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.

AljabarPangkat, akar, dan logaritmaFungsi aljabar sederhana:

* Fungsi kuadrat* Fungsi komposisi dan fungsi invers* Fungsi eksponen dan logaritma

- Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

- Persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya

- Suku banyak- Sistem persamaan linear- Program linear- Matriks- Vektor- Transformasi geometri- Barisan dan deret

3. Siswa mampu memahami sifat dan aturan geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis dan bidang, jarak dan sudut.

Ruang Dimensi TigaJarakSudut(Jarak dan sudut yang sederhana)

4. Siswa mampu memahami perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, melakukan manipulasi aljabar untuk menyusun bukti serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.

TrigonometriAturan sinus dan aturan kosinusRumus jumlah dan selisih dua sudutRumus jumlah dan selisih sinus, kosinus, dan tangenPersamaan trigonometri

Bahan Ajar Materi Tambahan, Oleh Drs.Abdur Rozak (SMA NEGERI 1 PEKALONGAN), Mashuri,M.Pd.(SMA PLUS RIAU)

1


STANDAR KOMPETENSI LULUSAN (SKL)

RUANG LINGKUP MATERI

5. Siswa mampu memahami limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.

KalkulusLimit fungsi aljabar dan fungsi trigonometriTurunan fungsiNilai ekstrem dan aplikasinyaIntegral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometriLuas daerah dan volum benda putar, fungsi aljabar yang sederhana

6. Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan menggunakan kaidah pencacahan dan nilai peluang kejadian dalam pemecahan masalah.

PeluangPermutasiKombinasiPeluang kejadian

(Tidak termasuk kejadian bersyarat) StatistikaPenyajian data dalam bentuk tabel, diagram, grafik, dan ogiveUkuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran yang sederhana

Sumber: BSNP


2


Logika Matematika

1. Kalimat Dalam (Matematika)

o Kalimat Terbuka(Belum dapat dinyatakan benar/salah)Persamaan : Pers Linier ax+c=0 ,dll.Pertidaksamaan: Pertidaksamaan kuadrat ax2+bx+c=0Pernyataan (Sudah dapat dinyatakan benar atau salah)

Kesamaan Ketidaksamaan Implikasi logis Pernyataan Kuantor (Universal/Eksistensial)

(lihat ringkasan materi di bawah)

2. Operasi Pada Pernyataana. Ingkaran/negasi () suatu pernyataan

p:negasi p=bukan p

Catatan: Diketahui semesta {A,B,C} p : adalah Ap : adalah bukan Aadalah B atau C

b. Konjungsi p q

c. Disjungsi p v q

d. Implikasi p q


3

p q p qB B BB S SS B SS S S

p q p v qB B BB S BS B BS S S

p q p qB B BB S SS B BS S B


e. Biimplikasi p q

3. Pernyataan Majemuk Yang Ekivalen (Senilai) p q p V q q p p q (p q) (q p)(pq) (qp)(p v q) (q v p)Dll

4. Ingkaran Pernyataan Majemuk(p v q) p q(p q) p V q( p q) p q

5. Pernyataan Kuantor dan Negasinya (*)Kuantor Universal

yx, (dibaca semua x adalah y)

Negasi Kuantor Universal ( yx, ) y (dibaca ada /beberapa x bukan y)

Kuantor Eksistensial dibaca ada x yang bersifat y

Negasi Kuantor Eksistensial( ) y (dibaca semua/setiap x bukan y)

6. Implikasi,Invers,Konvers dan Kontraposisip q invers p q

konvers konvers

q p invers q p

7. Penarikan Kesimpulan

Modus Ponensp q .........Premis Mayor (Benar)

p .........Premis Minor (Benar)

q ........Konklusi (Benar)


4

p q p qB B BB S SS B SS S B

kontraposisi


Modus Tollensp q .........Premis Mayor (Benar)

q .........Premis Minor (Benar)

p .........Konklusi (Benar)

Silogisma

p q.........Premis Mayor (Benar)q r .........Premis Minor (Benar)

p r..........Konklusi (Benar)

Contoh Soal:

Ingkaran dari pernyataan : ”Jika hari hujan, maka udara dingin” adalah....Jika hari hujan, maka udara tidak dinginHari tidak hujan dan udara tidak dinginHari hujan atau udara tidak dingin Jika udara tidak dingin maka hari hujanUdara tidak dingin dan hari hujan

Dari argumentasi berikut:Jika ibu tidak pergi maka adik senangJika adik senang maka dia senyum.Kesimpulan yang sah adalah....a. Ibu tidak pergi atau adik senyum. b. Ibu pergi dan adik tidak senyum.c. Ibu pergi atau adik tidak senyum. d. Ibu tidak pergi dan adik senyum.e. Ibu pergi atau adik senyum.

Diketahui,Premis(1): Jika saya rajin belajar maka saya lulus Ujian NasionalPremis(2): Jika saya tidak kuliah maka saya tidak lulus Ujian NasionalKesimpulan dari premis-premis tersebut adalah…

Jika saya rajin belajar maka saya tidak akan kuliahSaya tidak rajin belajar atau saya akan kuliah Jika saya akan kuliah maka saya rajin belajarKuliah tergantung lulus dan tidaknya Ujian NasionalSetiap orang rajin maka pasti akan kuliah

Dari argumentasi berikut:Jika adik tidak makan, maka adik tidak bertenaga.Jika adik tidak bertenaga, maka dia lemas.Kesimpulan yang sah adalah....

Adik tidak makan atau adik lemas.Adik makan atau adik lemas. Adik makan atau adik tidak lemas.Adik tidak makan Walaupun lemas.Adik bertenaga karena makan.

Diketahui:


5


Premis (1) : Jika saya ke perpustakaan maka saya membaca.Premis (2) : Saya tidak membaca atau meminjam buku.Kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah....

Jika saya tidak ke perpustakaan maka saya tidak meminjam buku.Jika saya tidak ke perpustakaan maka saya tidak membaca.Jika saya tidak meminjam buku maka saya tidak ke perpustakaan. Jika saya meminjam buku maka saya ke perpustakaan.Jika saya ke perpustakaan maka saya tidak meminjam buku.

Diberikan pernyataan berikut.Jika ibu dirumah maka tono belajar.Ibu dirumah atau ayah dirumah.Ayah tidak dirumah.∴ . . . . kesimpulan yang benar adalah ....

ibu dirumah c. tono belajar e. ayah dan ibu dirumahtono tidak belajar d. ibu tidak dirumah

8. Diketahui premis-premis sebagai berikut :1. Jika Budi lulus ujian, maka Budi kuliah diperguruan tinggi2. Jika Budi kuliah diperguruan tinggi, maka Budi menjadi sarjana3. Budi tidak menjadi sarjanaKesimpulan yang sah dari ketiga premis diatas adalah ....a. Budi kuliah diperguruan tinggib. Nilai budi tidak baikc. Budi tidak mempunyai biayad. Budi tidak lulus ujian e. Budi bekerja disuatu perusahaan

9. Ditentukan premis-premis :1. Jika Badu rajin bekerja, maka ia disayang ibu2. Jika Badu disayang ibu, maka ia disayang nenek3. Badu tidak disayang nenekKesimpulan yang sah dari ketiga premis diatas adalah ....a. Badu rajin bekerja, tetapi tidak disayang ibub. Badu rajin bekerja c. Badu disayang nenekc. Badu disayang ibu e. Badu tidak rajin bekerja

10. “Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelam” ekivalen dengan a. jika laut pasang maka dermaga tenggelamb. jika laut pasang maka tiang dermaga tidak tenggelamc. jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tenggelamd. jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tidak tenggelame. jika tiang dermaga tidak tenggelam maka laut tidak pasang

Bilangan Bentuk Akar


6


Menyederhanakan Bentuk Akar

Merasionalkan Penyebut Pecahan

Contoh Soal:

1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 180 m2 . Jika perbandingan panjang

lebarnya sama dengan 5 berbanding 4, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut adalah....a. 9 mb. m

c. m

d. me. 81 m

2. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 216 m2 . jika panjang tanah satu setengah kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut adalah….a. m

b. m

c. m

d. m

e. m

3. Keliling trapesium pada gambar adalah 12 cm. Panjang sisi AB =....a. cm d. cm

b. cm e. cm

c. cmd.

4. Kelilingin segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB = ….a. cm

b. cm

c. cm

d. cm

e. cm


7

x cm

A

B C

D(x + 2) cm

2 cm

A

C

B

AB = AC


5. Kawat sepanjang 33 m akan digunakan seluruhnya untuk membuat kerangka seperti tampak pada gambar (AB = BC = AC). Jika Panjang batang AC adalah 2x meter, maka besar x = ....

( 6−2√3 ) m C( 6−√3) m 6√3 m( 6+√3) m( 6+2√3) m

A B

Bilangan Berpangkat (Eksponen)

1.Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Jika aR , bR , a0 ,b0 , m dan n bilangan Rasional;berlaku:1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2. Bentuk-bentuk Persamaan Exponen dan Cara menyelesaikannya.

a.Bentuk af(x) = ap untuk a>0 , a≠1

af(x) = ap f(x)=p

Contoh:Tentukan x yang memenuhi persamaan

Penyelesaian:

(Persamaan diubah ke bentuk baku dengan menggunakan sifat sifat exponen)

(Bentuk di atas sudah menjadi bentuk baku ,selanjutnya kita samakan exponent kedua ruas, sehingga diperoleh persamaan linier)


8


(kedua ruas dikalikan 2)

b.Bentuk af(x) = ag(x) untuk a>0 , a≠1

af(x) = ag(x) f(x)=g(x)


Penyelesaian:

(Persamaan diubah ke bentuk baku dengan menggunakan sifat sifat exponen)

(Bentuk di atas sudah menjadi bentuk baku ,selanjutnya kita samakan exponent kedua ruas sehingga diperoleh persamaan )

(kedua ruas dikalikan 2)

c.Bentuk A(af(x) )2+B af(x) +C=0 untuk a>0 , a≠1

A.a2f(x) + B.af(x) + C= 0

Misalkan y=af(x)

(Maka akan diperoleh persamaan kuadrat dalam y seperti berikut ini: A.y2 + B.y + c = 0

Selesaikan dengan factor / Rumus Kuadrat ABC akandiperoleh nilai y Selesaikan dengan bentuk persamaan eksponen seperti di atas yang sudah kita kenal.


Penyelesaian: (Persamaan diubah ke bentuk baku dengan menggunakan sifat sifat exponen)

misal

(Persamaan di atas menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam y) 4y2-20y+16=0 (dibagi 4) y2-5y+4=0 (y-1).(y-4) = 0 y= 1 y=4 2x = 20 2x = 22

x = 0 x = 2HP0,2


9


3. Pertidaksamaan Exponen

Untuk a>1 : af(x) ag(x) f(x) g(x) dan af(x) ag(x) f(x) g(x)

Untuk 0<a<1 : af(x) ag(x) f(x) g(x) dan af(x) ag(x) f(x) g(x)

Contoh:Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

a.( )3x-2 > ( )x+3 b.

Penyelesaian:

a. ( )3x-2 > ( )x+3 3x-2 > x+3 b.

2x > 5

x > x2+x-6 2(x-2)

x2+x-62x-4 x2-x-2 0 (x+1)(x-2) 0

Hp=xx-1 x2

Contoh Soal:

1. Nilai x yang memenuhi : adalah....

a. b. c. d. e.

2. Akar-akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2 nilai x1 + x2 = ....a.0 b.1 c.2 d.3 e.4

3. Nilai x yang memenuhi adalah….

a. -3 x -1 c. X -1 atau x 3b. -1 x 3 d. X -3 atau x 1c. 1 x 3

4. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 3x + 33-x = 28, maka x1

2 + x22 = ….

a.0 b.3 c.6 d.9 e.27

Logaritma Bilangan


10

-1 2


1.Sifat-sifat Logaritma

Untuk >0, 1, >0, >0, >0 , 1serta dan bilangan bulat tidak nol,berlaku:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2.Persamaan logaritma

Bentuk untuk a>0 , a≠1

dengan ketentuan numerus>0


Penyelesaian: (Persamaan diubah ke bentuk baku dengan menggunakan sifat sifat logaritma)

(Bentuk di atas sudah menjadi bentuk baku ,selanjutnya kita samakan numerus kedua

ruas sehingga diperoleh persamaan berikut)

(x-5)(x+7)=0x=5 x=-7(tidak memenuhi,mengapa)

Bentuk untuk a>0 , a≠1

,dengan ketentuan >0; >0


Penyelesaian: (Persamaan diubah ke bentuk baku dengan menggunakan sifat sifat logaritma)

(Bentuk di atas sudah menjadi bentuk baku ,selanjutnya kita samakan numerus kedua ruas sehingga diperoleh persamaan berikut)


11


14x2-39x-9=0(x-3)(14x+3)=0

x=3x=- (tidak memenuhi,mengapa)

Bentuk

Misalkan y= Maka akan diperoleh persamaan kuadrat dalam y seperti berikut ini:

A.y2 + B.y + c = 0

Selesaikan dengan factor / Rumus Kuadrat ABC akan diperoleh nilai ySelesaikan dengan bentuk persamaan logaritma seperti di atas yang sudah kita

kenal.


Penyelesaian: (Persamaan diubah ke bentuk baku,jika perlu gunakan sifat logaritma)

Misal log(x+1)=y ;maka diperoleh persamaan kuadrat dalam y berikut:.y2-2y-24=0(y-6)(y+4)= 0y=6y=-4log (x+1)=6 log(x+1)=-4x+1=106 x+1=10-4

x=106-1 x=10-4-1Hp=106-1 , 10-4-1

3.Pertidaksamaan logaritma sederhana

Untuk a>1 : f(x) g(x) dan

f(x) g(x)

Untuk 0<a<1: f(x) g(x) dan

f(x) g(x)

Contoh:Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan:a. 1

b.

Penyelesaian:a. 1


12


Syarat pertidaksamaan: Syarat numerus:

I. x+2>0 (pembuat nol) x > -2

x=-3 x=3 II. x-2>0 x>2

(garis bilangan)

-3x3

(Hp.pertidaksamaan merupakan irisan himpunan yang ditunjukkan ketiga garis bilangan di atas)

Hp=x2 x 3

b.

Syarat pertidaksamaan: x2+x-2<4x2+x-6<0(pembuat nol) (garis bilangan) x2+x-6=0(x+3)(x-2)=0x=-3x=2

Syarat numerus: x2+x-2>0 (pembuat nol) (garis bilangan) x2+x-2=0(x+2)(x-1)=0x=-2x=1

(Hp.pertidaksamaan merupakan irisan himpunan yang ditunjukkan ketiga garis bilangan di atas)


13

-2

2

-3 3

-2

2

-3 3

-3 2 3

-3 2

-2 1

-3 2

-2 1

-3 -2 1 2


Hp=x-3<x<-2 1<x<2

Contoh Soal:

1. jika 7log 2 = a dan 2log 3 = b, maka 6 log 98 sama dengan....

a. c. e.

b. d.

2. Nilai x yang memenuhi persamaan:

a. 3/2 b. 2/ c. 5/2 d. 2/5 e. 4/3

3. Himpunan penyelesaian dari adalah….a.-2 b.-1 c.0 d.1 e.2

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : − ≥ 0 adalah....a. −3 ≤ x < 0 atau 3 < x ≤ 4 d. −3 ≤ x ≤ 4b. −3 ≤ x ≤ 0 atau 3 ≤ x ≤ 4 e. 3 < x ≤ 4c. x ≤ −3 atau 4 ≤ x < 6

5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:

a. {-1 < x < 3 atau x > 7}b. {3 < x < 7 atau x > -1}c. {x < -1 atau x > 7}d. {x < -1 atau x > 3}e. {x < 3 atau x > 7}

6. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log(2x+1 + 3) = 1 + 2 log x adalah....a. 2log 3b. 3log 2

c. log

d. -1 atau 3

e. 8 atau

7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; 2log x log (2x + 5) + 2log 2 adalah....

a.

b.c.d.

e.

8. Penyelesaian pertidaksamaan log(x – 4) + log(x + 8) < log(2x + 16) adalah....a. X > 6


14


b. X > 8c. 4 < x < 6d. -8 < x < 6e. 6 < x < 8

Fungsi Kuadrat

1. Menentukan Rumus Fungsi Kuadrat/Persamaan Parabolao Untuk fungsi/parabola yang diketahui titik puncak (xp, yp)

1) y = a(x – xp)2 + yp

2) melalui titik (m,n) : n = a(m – xp)2 + yp

n - yp = a(m – xp)2

a = (n - yp)/ (m – xp)2

3) dst.

o Untuk fungsi kuadrat yang diketahui titik potong sumbu x di (x1, 0) dan (x2, 0).

1). y = a(x – x1)(x – x2)2). melalui titik (m,n) :

n = a(m – x1)(m – x2)a = n/ (m – x1)(m – x2)


15

● (xp, yp)

● (m,n) ● (xp, yp)

● (m,n)

Untuk a>0 Untuk a<0

● x(x2, 0).● (m,n)

● (m,n)

Untuk a>0 Untuk a<0

● (x1, 0)

● x(x2, 0).

● (x1, 0)


3). dst.

o Untuk fungsi yang melalui tiga titik.

1). y = ax2 + bx + c2). melalui titik (x1,y1), (x2, y2)

dan(x3,y3):y1 = ax1

2 + bx1 + c....1)y2 = ax2

2 + bx2 + c....2)y3 = ax3

2 + bx3 + c....3)

3). selesaikan SPL.

2. Aplikasi pada Permasalahan Menentukaln Nilai Optimum suatu yang Dapat disajikan dalam Bentuk Fungsi Kuadrat.

F(x) = ax2 + bx + c;

Nilai Optimum (maximum;a<0/minimum;a>0):

Nilai Optimum dicapai untuk x =

Contoh Soal:

1. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/det. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi h(t) = 100 + 40t – 4t2 . Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru adalah....

a. 160 mb. 200 mc. 340 md. 400 me. 800 m

2. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum , panjang kerangka (p) tersebut adalah….

a. 16 mb. 18 mc. 20 md. 22 me. 24 m

3. Suatu pekerjaan proyek dapat diselesaikan selama x hari. Biaya perhari adalah (4x – 100 + )

juta rupiah. Biaya minimum pekerjaan proyek selama x hari adalah....a. RP 575.000.000,00


16

p

l

l

● (x2, y2).

Untuk a>0 Untuk a<0

●

● (x3,y3)

● (x1,y1)

● (x2, y2).

(x3,y3)● (x1,y1)


b. RP 625.000.000,00c. RP 875.000.000,00d. RP 885.000.000,00e. RP 985.000.000,00

4. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + ) ribu rupiah

perhari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah....a. Rp200.000b. Rp400.000c. Rp560.000d. Rp600.000e. Rp800.000

5. Biaya produksi x potong pakaian jadi dalam satu hari adalah (x2 + 4x + 10) ribu rupiah. Sedangkan harga jual perpotong (20 – x) ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perhari adalah.....

a. Rp 32.000,-b. Rp 22.000,-c. Rp 20.000,-d. Rp 16.000,-e. Rp 4.000,-

6. Sebuah peluru ditembakkan vertikal de atas dengan kecepatan awal Vo m/det. Tinggi peluru setelah

t detik dinyatakan dengan fungsi h(t) = 20 + 15t - t2 . Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru

tersebut adalah....a. 37,5 mb. 51,5 mc. 57,5 md. 80 me. 95 m

Fungsi komposisi dan fungsi invers

Fungsi Komposisi:

h(x) = g(f(x)) = (gof)(x)

Fungsi Invers

f(x) = y sehingga berlaku x = f-1(y)

Sifat-sifat penting f(p)=q ↔f-1(q)=p fof-1 = f-1of = I ; dimana I(x)=x


17

x. .f(x)

.g(f(x)

fg

h

x. .y

f

f-1


(fog)og-1=f f-1o(f-og)=g (fog)-1 = g-1o f-1

Cara Praktis Menentukan Fungsi Invers :

;

Contoh soal:

1. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x2-3x+5. Jika diketahui (f o g)(a) = 19, maka nilai a adalah ....A. 2 atau -1 D. 4 atau 1

B. -2 atau 1 E. 4 atau -1C. -4 atau 1

2. Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = . Jika (fog)(a) = 5, maka nilai a =....

a. -2 d. 1b. -1 e. 2c. 0

3. Jika f dan g ditentukan oleh f(x) = x2 dan g(x) = 3x + 1, maka f(g(2)) = ....a. 13 d. 49b. 25 e. 81c. 37

4. Jika (gof) (x) = 4x2 + 4x dan g(x) = x2 – 1, maka f(x - 2)=....

a. 2x + 1 d. 2x – 3 b. 2x – 1 e. 2x + 3c. 2x – 5

5. Fungsi g(x) = x2 + 4x – 5 dan fungsi (fog)(x)= 2x2 + 8x – 3 , maka f(x) = ....a. 2x + 3 d.2x-7b. 2x + 5 e.2x+7c. 2x – 2

6. Jika f-1(x) = dan g-1(x) = , maka

(fog)-1(6)=....a. -2 d. 2b. -1 e. 3c. 1

7. f(x) = 5x dan g(x) = x2 +3 untuk x≠0, maka f -1(g(x2)-3) = ....a. 5log(x2 + 3) d. 45log xb. 5log(x4 + 3) e. 25log xc. 5log(x4 - 3)


18


Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat Menentukan penyelesaian/akar persamaan kuadrat.Faktorisasi :

Bentuk Umum ax2 + bx + c =0 ;a≠0,dapat diselesaikan dengan faktorisasi jika D=b2-4ac=bil.kuadrat.

Bentuk-bentuk yang dapat diselesaikan dengan faktorisasi antara lain:

ax2-c = 0 (gunakan sifat a2-b2=(a+b)(a-b)Contoh: 4x2-1=0

((2x)2-12)=0(2x+1)(2x-1)=02x=-1 v 2x-1=0

x= - v x=

ax2+bx = 0 … ( … + … ) = 0


19

FPB (ax2,bx)

FPB (2x2,6x)=3x


Contoh: 2x2+6x=02x(x+3)=0 ....….…

2x=0 v x+3=0x=0 v x=-3

x2+bx+c = 0(x +p)(x+q) = 0

Contoh: 2x2-x-6 = 0(x.. …)(x.. …)=0

(x – 3)(x + 2) =0x=3 v x=-2

ax2+bx+c = 0a(x +p/a)(x+q/a) = 0

Contoh: 4x2-12x+5 = 04(x.. …)(x.. …)=0

4(x – 10/4)(x + 2/4) =04(x -5/2)(x+1/2)=0

x= v x = -

Melengkapi Kuadrat Sempurna :ax2 + bx + c =0


20

Factor c

p

q +

b

Factor-6

-3

2 +

-1

Factor ac

p

q +

b

Factor 4x5=20

-10

2 +

-12


Rumus Kuadrat:

Hubungan Jenis Akar dan determinan Persamaan Kuadrat

D=b2-4ac > 0 Pers.Kuadrat ax2 + bx + c =0 mempunyai dua akar real ,berlainan.D=b2-4ac = 0 Pers.Kuadrat ax2 + bx + c =0 mempunyai dua akar real ,kembar.D=b2-4ac < 0 Pers.Kuadrat ax2 + bx + c =0 mempunyai dua akar tidak real.(Tidak mempunyai akar real).

Rumus Jumlah,Hasil Kali dan Selisih Akar Persamaan Kuadratax2 + bx + c =0 mempunyai akar x1 dan x2 ;

o x1 + x2 =

o x1. x2 =

o x1 - x2 = ; x1 > x2

Menyusun Persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya.

Bentuk Persamaan Kuadrat yang mempunyai akar x1 dan x2 adalah :

(x- x1)(x- x2) =0 atau

x2-( x1+x2)x+ x1 x2 =0 x2- (Jumlah Akar)x+(hasil Kali Akar)=0

Menyelasaikan masalah yang dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat.Contoh Soal:

1. Suatu area berbentuk persegi panjang, di tengahnya terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang yang luasnya 180 m2. sellisih panjang dan lebar kolam adalah 3 m. Disekeliling kolam renang dibuat jalan selebar 2 m. Maka luas jalan tersebut adalah....a.24 m2 b. 54 m2 c. 68 m2 d. 108 m2 e. 124 m2

2. Sebuah taman berbentuk persegi panjang, didalamnya terdapat kolam. Panjang kolam adalah 3 m lebih panjang daripada lebarnya dan memiliki luas 130 m2. Jika di sekeliling kolam ditanami bunga dengan lebar 2 m, maka ukuran panjang taman tersebut adalah....a.10 mb.12 mc.13 m


21

2 m

kolam

2 m


d.14 me.17 m

3. Kebun Pak Ujang berbentuk persegi panjang dengan luas 176 m2 . Selisih panjang dan lebarnya adalah 5 m. jika di sekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah….a.48 m2 b. 58 m2 c. 84 m2 d. 114 m2 e. 124 m2

2. Pertidaksamaan kuadrat Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

Langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat:ax2 + bx + c > 0ax2 + bx + c < 0

Tentukan pembuat nol, ax2+bx+ c = 0; jika pembuat nol ada dua yaitu x1 dan x2.

Tentukan garis bilangan

Tandai daerah x dimana nilai ax2 + bx + c positif,nol atau negatif.

Jika a>0 .................

Jika a<0 .................

Untuk ax2 +bx +c >0 pilih daerah positif dan untuk ax2+bx+c < 0 pilih daerah negative .

Contoh Soal:


22

● x1

● x2

● x1

● x2

+++

+++

---

● x1

● x2

---

---

+++


1. Nilai x yang memenuhi (x+1)²-5(x+1)+6>0 adalah…a. x<2 atau x>3b. x>2 atau x<-4c. x<1 atau x>2d. x>0 atau x<-4e. 2<x<3

2. Nilai m yang memenuhi agar persamaan (m-5)x²-4mx+(m-2)=0 mempunyai akar-akar positif adalah…a. m≥-10/3b. m=0c. m≤-10/3 atau m>5d. 2≤m<5e. 1≤m<2

3. Supaya grafik fungsi y = mx2 – 2mx + m seluruhnya di atas grafik y = 2x2 – 3, maka nilai m yang memenuhi adalah....a. m > 2b. m>6c. 2<m<6d. -6<m<2e. M<-6

Persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya

1. Bentuk Persamaan Lingkaran

x2 + y2 = r2 ; Pusat (0, 0) dan Jari-jari = r

(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ; Pusat (a, b) dan Jari-jari = r.

Bentuk umum persamaan lingkaran :x2+y2+Ax+By+C=0

Pusat(- A,- B) dan Jari-jari r=

2. Menentukan Persamaan Lingkaran:

Diketahui titik pusat (a, b) jari-jari r : Pers.Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Bertitik pusat (a, b) dan menyinggung sumbu x : Pers.Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = b2

Bertitik pusat (a, b) dan menyinggung sumbu y : Pers.Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = a2

Bertitik pusat (a, b) dan menyinggung garis Ax+By+C=0 :Pers.Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ; dimana r =Jarak titik pusat (a, b) terhadap garis Ax + By + C = 0


23


r= =

Diketahui berdiameter AB dimana A(x1, y1) dan B(x2, y2) : (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2) = 0

Titik pusat (a, b) pada garis tertentu Ax + By + C = 0 dan Ketentuan Lain Pa + Qb+R=0

Aa+Bb+C = 0 ...............(1)Pa + Qb+R=0 .................(2)

3. Kedudukan titik terhadap lingkaran

Titik A (x1,y1) di dalam lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x1 – a)2 + (y2 – b)2 < r2

Titik B (x1,y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x1 – a)2 + (y2 – b)2 = r2

Titik C (x1,y1) di dalam lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x1 – a)2 + (y2 – b)2 > r2

4. Kedudukan garis terhadap lingkaran

o Garis g memotong lingkaran L D=b2-4ac > 0

o Garis h menyinggung lingkaran L D=b2-4ac = 0

o Garis k tidak memotong lingkaran L D=b2-4ac < 0

5. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran:

(i) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah (x – a)(x1-a) + (y – b)(y1-b) = r2

(ii) x2 + y2 + ax + bx + c = 0 adalah x1x + y1y + a(x1+x )+ b(y1+by)+c = 0

Cara di atas dikenal dengan AMA (Aturan Membagi Adil)

Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) di luar lingkaran:

1) Tentukan pers.garis polar titik (x1, y1) dengan AMA.


24

] dieliminasi

•A

•B •C

gh

k

gh

(x1,y1)

•

(x1,y1)

•

•

•

• P(x2,y2)

Q(x3,y3)

(x1,y1)


2) Tentukan Titik potong polar dengan lingkaran,misal di titik P((x2, y2) dan Q(x3, y3).

3) Tentukan persamaan garis singgung di titik P(x2, y2) dan di titik Q(x3, y3) dengan AMA.

Garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu (gradien m):

i. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m adalah y

= mx

ii. Persamaan garis singgung pada lingkaran (x-a)2 +( y-b)2 = r2 dengan gradien m

adalah y-b = m(x-a)

Catatan: g1 //g2 ↔ m1=m2

g1 ┴ g2 ↔ m1 x m2=-1 (g,sumbu x+)= ↔m=tg

Contoh Soal:

1. Persamaan lingkaran yang berpusat pada garis 2x+2y = 1 dan menyinggung sumbu X(+) dan sumbu Y(+) adalah….a. 16x2 + 16y2 – 8x – 8y – 1 = 0b. 16x2 + 16y2 + 8x + 8y – 1 = 0c. 16x2 + 16y2 – 8x + 8y + 1 = 0d. 16x2 + 16y2 + 8x – 8y + 1 = 0e. 16x2 + 16y2 – 8x – 8y + 1 = 0

2. Diketahui lingkaran 2x2 + 2y2 −4x + 3py − 30 = 0 melalui titik (−2,1). Persamaan lingkaran yang sepusat dan panjang jari-jarinya dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah....a. x2 + y2 −2x + 12 y + 90 = 0b. x2 + y2 −2x + 12 y − 90 = 0c. x2 + y2 −2x − 6 y − 90 = 0d. x2 + y2 −2x + 6 y− 90 = 0e. x2 + y2 −2x + 6y + 90 = 0

3. Persamaan lingkaran yang pusatnya pada garis 2x – 4y – 4 = 0 , serta menyinggung sumbu x nagatif dan sumbu y negatif adalah....a. x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0b. x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0c. x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0d. x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0e. x2 + y2 - 2x - 2y + 4 = 0

4. Diketahui titik A(-5,6), B(3, 4) dan titik P pada pertengahan AB. Persamaan lingkaran yang berpusat di P dan menyinggung garis x + 2y – 5 = 0 adalah....a. 5x2 + 5y2 + 40x – 10y + 36 = 0b. 5x2 + 5y2 + 40x – 10y + 36 = 0


25

m


c. 5x2 + 5y2 + 10x - 50y + 114 = 0d. 5x2 + 5y2 - 10x + 50y + 114 = 0e. 5x2 + 5y2 + 10x – 50y + 130 = 0

5. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 3x – 2y – 2 = 0, serta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y positif adalah....a. x2 + y2 – 2x - 2y + 2 = 0b. x2 + y2 – 2x - 2y + 4 = 0c. x2 + y2 – 4x - 4y + 2 = 0d. x2 + y2 – 4x - 4y + 4 = 0e. x2 + y2 – 4x - 4y + 6 = 0

6. Salah Satu persamaan garis singgung pada lingkaran 2x² + 2y2 − 8x +12y +16 = 0 yang tegak lurus garis 2y + x − 5 = 0 adalah....a. 2x − y + 2 = 0 d. 2x + y − 6 = 0b. 2x − y + 6 = 0 e. 2x −y − 2 = 0c. 2x − y + 12 = 0

7. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x – 8y + 12 = 0 tegak lurus garis 2x + y – 3 = 0 adalah....a. x – 2y + 14 = 0 d. 2x + y + 11 = 0b. x – 2y - 2 = 0 e. x + 2y - 12 = 0c. 2x – y + 1 = 0

8. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 yang tegak lurus garis 4x + 5y – 3 = 0 adalah....

a. d.

b. e.

c.

9. Persamaan garis singgung pad lingkaran x2 + y2 -2x – 6y – 7 = 0 dititik yang berabsis 5 adalah....a. 4x – y – 18 = 0 d. 4x + y – 4 = 0b. 4x – y + 4 = 0 e. 4x + y – 15 = 0c. 4x – y + 10 = 0

10. Diketahui lingkaran x2 + y2 + 2px + 10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut adalaha. (-5,-3)b. (-5,3)c. (6,-5)d. (-6,-5)e. (3,-5)

11.Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,0) pada lingkaran (x-3)2 + (y-4)2 = 5 adalaha. x – y = 0b. 11x + y = 0c. 2x + 11y = 0d. 1x – y = 0e. 11x – 2y = 0

12.Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (3,1) menyinggung lingkaran (x-4)2 + (y-3)2 = p. Nilai p = a. 2/5b.½c.3/5d.2e.2 ½


26


13. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis 3x – y = 0 adalaha. y-3=-3(x-1)310b. y-3=-3(x-1)10c. y-3=-1/3 (x-1)10d. y-3=-1/3 (x-1)310e. y-3=-1/3 (x-1)910

14. Persamaan lingkaran berpusat di titik ( 3 , -7 ) dan menyinggung garis 4x + 3y – 15 = 0 adalah …a. x2 + y2 – 6x + 14y + 33 = 0b. x2 + y2 – 6x - 14y + 33 = 0c. x2 + y2 + 6x + 14y + 33 = 0d. x2 + y2 + 6x - 14y + 33 = 0e. x2 + y2 + 14x + 6y + 33 = 0

15. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah …a. 4x – y – 18 = 0b. 4x – y + 4 = 0c. 4x – y + 10 = 0d. 4x + y – 4 = 0e. 4x + y – 15 = 0

16. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – y – 2 = 0 serta menyinggung sumbu X positif dan sumbu Y negatif adalah …a.x2 + y2 – x + y – 1 = 0b.x2 + y2 – x – y – 1 = 0c.x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0d.x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0e.x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0

17. Persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )2 + ( y + 3 )2 = 25 di titik ( 5 , 1 ) adalah …a. 3x + 4y – 19 = 0b. 3x – 4y – 19 = 0c. 3x + 4y – 7 = 0d. x + 8y – 1 = 0e. x – 8y – 1 = 0

Suku banyak

(1) Bentuk Umum F(x)=an.xn+an-1.xn-1 + an-2.xn-2 +an-3.xn-3 + ... +a1.x + a0

(2) Menentukan Nilai suku banyak F(x) untuk x=p dapat dilakukan dengan 2 cara ,yaitu:a.Substitusi: F(p)= an.pn + an-1.pn-1 + an-2.pn-2 + an-3.pn-3 + ... + a1.p + a0

b.Skema Horner


27

p an an-1 an-2 an-3 … ao

an.p (an-1+an.p)p (an-2+(an-1+an.p)p)p

an an-1+an.p an-2+(an-1+an.p)p an-3 +(an-2+(an-1+an.p)p)p … …


(3) Kesamaan dasar dan Teorema sisa

Kesamaan Dasar Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh Q(x) diperoleh hasil bagi H(x) dan sisa S ,maka dapat disusun kesamaan dasar:

F(x)= Q(x).H(x) + S

Teorema Sisa

i. Jika suatu suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a) maka sisa pembagian adalah F(a).Diperoleh Kesamaan Dasar :

F(x)= (x-a).H(x) + S ;S= F(a)

ii. Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisa pembagian adalah

.

Diperoleh Kesamaan Dasar :

F(x)= (ax-b).H(x) + S ;S=

iii. Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh (ax2 + bx + c) maka sisa pembagian maksimum berderajat satu yaitu (px + q).

Untuk pembagi ax2+bx+c yang dapat difaktorkan menjadi bentuk (x-m)(x-n).Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh (ax2 + bx + c)=(x-m)(x-n) maka sisa pembagian maksimum berderajat satu yaitu (px + q) dan dapat disusun kesamaan dasar:

F(x)= (x-a)(x-b).H(x) + sisa;sisa = (px+q)

dimana p = ;q=

(4) Teorema Faktor(x – k) adalah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0.

(5) Persamaan Suku Banyak anxn+an-1.xn-1+an-2.xn-2+ ...+ao=0

a. Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak anxn+an-1.xn-1+an-2.xn-2+...+ao=0

Langkah-langkah:

Dengan teorema faktor tentukan faktor faktor (x-p) dimana p= faktor dari sehingga diperoleh

: anpn + an-1.pn-1 + an-2.pn-2 + ...+ ao = 0

(x-p1)(x-p2)…H(x)=0b. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar Persamaan suku banyak

Misal persamaan suku banyak a.x3+b.x2+c.x+d = 0 mempunyai akar-akar x1,x2 dan x3 maka diperoleh rumus:

x1+x2+x3=

x1.x2+x1.x3+x2.x3 =


28


x1.x2.x3 =

Contoh Soal:

1. Suku banyak f(x) dibagi oleh (x – 2) sisanya 24, dan f(x) dibagi oleh (x + 5) sisanya 10. Jika f(x) dibagi oleh (x2 + 3x – 10), maka sisanya adalah....a. X + 34b. X – 34c. X + 10d. 2x + 20e. 2x – 20

2. Pembagian f(x) dengan (x – 1) sisanya 2 dan jika f(x) dibagi dengan (x2 – x -2) sisanya 2x -1. jika f(x) dibagi (x2 -3x + 2) maka sisanya adalah....a. X -1b. X + 1c. 1 – xd. 2x – 1e. 2x + 1

3. Suku banyak p(x) dibagi (2x-1) dan dibagi (3x+2) berturut-turut bersisa 2 dan -3. Suku banyak f(x) dibagi oleh (2x-1) dan (3x+2) berturut-turut bersisa -2 dan 6. Jika H(x) = p(x).f(x), maka Sisa pembagian suku banyak H(x) oleh (6x2 + x-2) adalah……a. 12x + 10 b. 6x + 5c. 12x – 6d. 12x – 10e. 5x – 5

4. Suku banyak f(x) dibagi x + 1 sisanya -2 dan dibagi x – 3 sisanya 7, suku banyak g(x) dibagi x + 1 sisanya 3 dan dibagi x – 3 sisanya 2. Diketahui h(x) = f(x) g(x), jika h(x) dibagi x2 - 2x – 3, sisanya adalah....a. 3x – 1b. 4x – 1c. 7x + 2d. 5x – 1e. 6x – 1

5. Sebuah suku banyak apabila dibagi dengan (x – a) sisanya 5a dan dibagi (x -2a) sisanya menjadi 6a. Suku banyak dibagi oleh x2 – 3ax + 2a2 maka sisanya adalah....a. 2x – ab. ax + 4ac. x – 2ad. x + 4ae. x + 2a

6. Jika f(x) = ax3 + 3bx2 + (2a – b)x + 4 dibag dengan (x – 1) sisanya 10, dibagi oleh (x + 2) sisanya 2, maka nilai a dan b adalah....

a. dan 1

b. dan 1

c. 1 dan

d. 1 dan


29


e. - dan 1

7. Persamaan 2x3 + 3x2 + px + 8 = 0 mempunyai sepasang akar berkebalikan, maka nilai p adalah....a. 20b. 18c. 16d. -18e. -16

8. Nilai k yang memenuhi agar akar-akar persamaan x3 – 6x2 + kx + 64 = 0 membentuk barisan geometri adalah .....a. -10b. -18c. -24d. 12e. 16

Sistem persamaan linear

Menyelesaikan masalah dengan sistim persamaan linier Menyatakan suatu permasalahan linear kedalam bentuk sistem persamaan linear Menentukan nilai variabel yang memenuhi dan Menafsirkan nilai variabel sesuai dengan permasalah.

Menyelesaikan sistim persamaan linier: Metode Substitusi dan eliminasi Metode Determinasi Metode Gauss Yordan (reduksi baris)

Contoh Soal:

1. Harga 2 Kg mangga, 2 kg jeruk, 1 kg anggur adalah Rp 70.000 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000 dan harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg anggur adalah Rp 130.000. maka harga 1 kg jeruk adalah....

a. Rp 5. 000b. Rp 7. 500c. Rp 10. 000d. Rp 12. 000e. Rp 15. 000

2. Usia dua orang anak, Yuda dan Laras berselisih 6 tahun. Delapan belas tahun lagi jumlah usia mereka sama dengan usia ayahnya sekarang. Empat tahun yang lalu jumlah usia mereka sama dengan setengah usia ayahnya sekarang. Usia Laras sekarang adalah....

a. 16 tahunb. 20 tahunc. 23 tahund. 25 tahune. 27 tahun


30


3. Harga 3 Kg udang, 1 Kg daging dan 2 Kg ayam adalah Rp 188.000. Harga 2 Kg udang, 1 Kg daging dan 1 Kg ayam adalah Rp 136.000. Jika Harga 1 Kg udang, 2 Kg daging dan 4 Kg ayam adalah Rp 196.000, maka harga 1 Kg udang adalah….

a. Rp 28.000b. Rp 32.000c. Rp 34.000d. Rp 36.000e. Rp 48.000

4. Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah….

a. 39 tahunb. 43 tahunc. 49 tahund. 54 tahune. 78 tahun

Program linear

Menyatakan suatu permasalahan kedalam bentuk Model matematika: Menyususn Sistem pertidaksamaan linear Menentukan Fungsi Objektif : f(x, y) = ax + byMenentukan daerah himpunan Menentukan nilai optimumMenafsirkan kedalam bentuk permasalah

Contoh Soal:

1. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000/kg dan pisang Rp 6.000/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp 9.200/kg dan pisang Rp 7.000/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah....a. Rp 150.000b. Rp 180.000c. Rp 192.000d. Rp 204.000e. Rp 216.000

2. Untuk menambah penghasilan keluarga, seorang ibu berjualan 2 jenis roti. Roti jenis I (pertama) dibeli dengan harga Rp. 500,00 perbuah dan jenis roti 2 (kedua) dengan harga Rp. 300,00 perbuah. Keranjang ibu hanya dapat memuat 100 buah roti. Jika ibu mengharapkan keuntungan Rp. 100,00 dari roti jenis I (pertama) dan Rp. 50,00 dari roti 2 (kedua), maka dengan modal Rp. 45.ooo,00 keuntungan maksimal yang ibu terima adalah….a. Rp. 5.000,00b. Rp. 9.000,00c. Rp. 7.500,00d. Rp. 10.000,00e. Rp. 8.750,00


31


3. Suatu tempat parkir luasnya 200 m2. untuk memarkir sebuah mobil rata-rata diperlukan tempat seluas 10 m2 dan untuk Bus rata-rata 20 m2. tempat parkir itu tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan Bus. Jika ditempat parkir itu akan diparkir x mobil dan y Bus, maka x dan y harus memenuhi syarat-syarat.....a. x + y 12, x + 2y 20 , x 0, y0b. x + y 12, x + 2y 20 , x 0, y0c. x + y 12, x + 2y 20 , x 0, y0d. x + y 12, x + 2y 20 , x 0, y0e. x + y 12, x + 2y 20 , x 0, y0

4. Seorang penjual kue menjajakan 2 macam kue setiap hari. Kue A yang harga belinya Rp 600 dijual dengan harga Rp 1.000 per buah. Jika modal yang ia punya Rp 150.000 dan keranjang hanya dapat menampung paling banyak 225 kue, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah....a. Rp 30.000b. Rp 33.750c. Rp 43.750d. Rp 46.250e. Rp 50.000

MatriksMatriks dan Ordo Matriks

Matriks:

Kesamaan MatriksDua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika elemen yang bersesuaian sama

Matriks transpose

Misalkan Matriks M = , maka

Matrik transpose M, Mt =

Perkalian Matriks

=

Invers Matriks (dibatasi matriks ordo 2x2)

Misalkan: matriks A = , maka

A-1 =

Beberapa sifat istimewa dari inver suatu matriks:(A-1)-1 = AA. A-1 = I (I matriks Indentitasa0.(A.B)-1 = B-1.A-1

Penerapan Matriks:1. Menyelesaikan Persamaan Matriks

A.X=B X= A-1BX.A=B X = BA-1


32


Contoh Soal:

1. Diketahui matriks A = , B = dan C = , At adalah transpose dari A. jika

At.B = C, maka nilai 2x + y =….a. -4b. -1c. 1d. 5e. 7

2. Jika matriks A = dan matriks C = berlaku A.B = C-1 maka B =....

a.

b.

c.

d.

e.

3. Diketahui persamaan matriks

Nilai dari 4a + 2b adalah....a. -8b. -6c. -4d. -2e. 0

4. Diketahui matriks A = , B= dan C= Jika A-1 .B = C, dengan A-1

adalah invers dari A, nilai x + y =....a. -7b. -1c. 0d. 1e. 7

5. Diketahui matriks A = , B = dan C = . Jika A + C =B, maka nilai a + b +

c = ....a. 3b. 6c. 9d. 12e. 15

6. Jika . = , maka b = ....

a. 1


33


b. 2c. 3d. 4e. 5

Vektor

1.Vektor dan NotasinyaVektor : Besaran yang memiliki nilai dan arahNotasi vektor :

a.(Notasi Geometri) Garis berarah

b.(Notasi Komponen)

c.(Notasi vektor basis)

2.Panjang Vektor dan vektor satuanMisalkan :

Maka panjang vektor adalah :

Vektor satuan dari vaktor adalah :

3.Operasi pada vektor


34

v


Misalkan; dan

a.Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Metode non geometris Metode geometris

b.Perkalian Skalar dan VektorMetode non geometris Metode geometris

c.Perkalian Skalar dua vektor (Dot Product)Definisi dot product

Sifat-sifat perkalian Skalar dua vektor1. 2. 3. 4.

Sudut antara dua Vektor

Misalkan sudut antara vektor dan adalah , maka

Proyeksi skalar ortogonal pada adalah

Proyeksi Vektor ortogonal pada adalah

d.(Pengayaan) Perkalian Dua Vektor /Cross Product

Definisi Cross product


35

a b

ba

aap

ab

ab

ba

ab


Contoh Soal:

1. Diketahui , dan , maka besar sudut antara vektor dan adalah....

a. 45o b. 60o c. 120o d. 135o e. 150o

2. Diketahui vektor dan vektor dengan dan a.b = 48 . Besar sudut antara vektor

dan adalah....a. 30 o b. 45 o c. 60 o d. 120 o e. 150 o

3. Diketahui,

a.23b. 32c.17d. 13e.3

4. Diketahui vektor = , vektor = , dan panjang proyeksi pada adalah . Sudut antara

dan adalah , maka cos sama dengan....

a.

b.

c.

d.


36

1.


e.

5. Diketahui vektor , , dan . Panjang proyeksi vektor () pada adalah....a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

e. 7

6. Panjang proyeksi ortogonal vektor pada vektor adalah .

Nilai p =....a. 3b. 2

c.

d.

e.

7. Diketahui Vektor-vektor = 10i – j + 3k, b = 5i – 3j – 3k dan c = i – 5j + 3k. Panjang proyeksi vektor c pada vektor (a – b) adalah....

a.

b.

c.

d.

e.

2) Transformasi geometriTransformasi kurvaTransformasi yang bersesuaian dengan suatu matriks:

Misalkan titik T(x,y) ditransformasi oleh matriks dan didapat bayangan T’ (x’, y’)

maka berlaku:

Komposisi transformasiContoh soal:


37


1. Persamaan bayangan garis 4x – y + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y adalah....

a. 3x + 2y – 30 = 0b. 6x + 12y – 5 = 0c. 7x + 3y + 30 = 0d. 11x + 2y – 30 = 0e. 11x - 2y + 30 = 0

2. Persamaan bayangan garis x + 3y – 2 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan

transformasi yang bersesuaian dengan matriks adalah....

a. 15x +y – 2 = 0b. 15x +y – 4 = 0c. 9x +y – 4 = 0d. 3x +y + 4 = 0e. 3x -y + 4 = 0

3. Persamaan bayangan suatu lingkaran karena rotasi R[O, 270o] kemudian dilanjutkan dengan dilatasi [O, 3] adalah x2 + y2 - 6x + 18y + 54 = 0. persamaan lingkaran tersebut adalah....a. x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0b. x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0c. x2 + y2 + 6x - 2y + 6 = 0d. x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0e. x2 + y2 - 2x + 6y + 6 = 0

4. Persamaan bayangan garis y = 3 − 2x oleh pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkan oleh

transformasi yang bersesuaian dengan matriks adalah....

a. 6y − 7x − 3 = 0b. 7y − 5x − 12 = 0c. 5x − 7y + 24 = 0d. 5x + 7y − 12 = 0e. 3x + y + 12 = 0

5. Persamaan bayangan dari garis x + 3y + 2 = 0 oleh tranformasi yang berkaitan dengan matrik

, kemudian dilanjutkan dengan matriks adalah....

a. –x + 3y + 2 = 0b. –2x + 3y + 1 = 0c. –2x - y + 2 = 0d. –2x - 3y + 2 = 0e. –2x + y + 2 = 0

6. Luas bayangan segitiga PQR dengan P(1, 0), Q(6, 0) dan R(6, 3) Oleh transformasi yang sesuai

dengan matrik dan dilanjutkan dengan adalah....

a. 97,5 satuan luasb. 180 satuan luasc. 60 satuan luasd. 750 satuan luase. 30 satuan luas

Barisan dan deret


38


1.Barisan dan deret AritmatikaRumus suku ke n:

Un = a + (n – 1)bRumus suku tengah:

(untuk jumlah suku ganjil)

Rumus jumlah n suku pertama:

Sn = (2a + (n -1)b)

Sn = (a + Un)

Sisipan k bilangan di antara U1 dan U2 sehingga membentuk barisan aritmetika baru maka didapat

beda baru

Catatan: Jika diketahui tiga bilangan membentuk Barisan Aritmetika,misalkan ketiga bilangan itu adalah a-b, a, a+b

2.Barisan dan deret GeometriRumus suku ke n:

Un = arn-1

Rumus suku tengah:

(untuk jumlah suku ganjil)

Rumus jumlah n suku pertama:

Sn = ; r < 1

Sn = ; r > 1

Sisipan k bilangan di antara U1 dan U2 sehingga membentuk barisan geometri baru maka didapat

rasio baru

Catatan: Jika diketahui tiga bilangan membentuk Barisan Geometri,maka misalkan ketiga bingan itu

adalah

3.Deret Geometri Tak HinggaUntuk Deret Geometri Konvergen -1<r<1

Contoh Soal

:1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. Semakin

muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah....a. 60 buah


39


b. 65 buahc. 70 buahd. 75 buah e. 80 buah

2. Sebuah bolah jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi

sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah....a. 65 mb. 70 mc. 75 md. 77 me. 80 m

3. Suatu kelompok bimbingan belajar membuka pendaftaran murid baru. Setiap bulan murid yang mendaftar bertambah dengan jumlah yang sama. Jumlah murid baru yang mendaftar pada bulan pertama dan bulan keempat sebanyak 65 orang, sedangkan jumlah yang mendaftar pada bulan ketiga dan kelima sebanyak 110 orang. Jumlah semua murid dalam satu tahun pertama adalah....a. 1.050 orangb. 1.110 orangc. 1.200 orangd. 2.100 orange. 2.220 orang

4. Suatu kontes kecantikan menyediakan hadiah untuk 6 orang pemenang. Juara I mendapatkan hadiah

sebesar 5 juta rupiah. Juara II dan seterusnya mendapatkan hadiah sebesar dari nilai hadiah juara

sebelumnya. Jumlah seluruh hadiah yang disediakan adalah....a. Rp 11.900.000b. Rp 11.916.800c. Rp 12.400.800d. Rp 14.896.000e. Rp 19.342.200

5. Pertumbuhan penduduk suatu kota setiap tahun mengikuti deret geometri. Pada tahun 2000 pertambahannya 84 orang dan tahun 2003 pertambahannya 2.268 orang. Pertambahan penduduk kota pada tahun 2005 adalah....a. 2.322 orangb. 6.804 orangc. 16.128 orangd. 20.412 orange. 61.236 orang

6. Umur tiga orang anak saat ini membentuk deret aritmatika. Jumlah dan hasil kali umur tiga orang anak tersebut berturut-turut 42, dan 2.618. umur anak yang termuda adalah....a. 10 tahunb. 11 tahunc. 12 tahund. 13 tahune. 14 tahun

7. Pada saat yang sama Yono mulai menabung Rp. 100.000,- dan Yana Rp. 80.000,- Kemudian setiap bulan Yono menabung Rp. 1000,- dan Yana menabung Rp. 1.500,- Tabungan Yono dan Yana tepat sama setelah….

a. 40 bulan b. 50 bulan c. 61 bulan d. 81 bulan


40


e. tidak pernah tepat sama

8. Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan aritmatika. Jika tali yang terpendek adalah 4 cm dan tali yang terpanjang adalah 108 cm, maka panjang tali semula adalah ....cma. 160b. 180c. 240d. 280e. 300

9. Diketahui deret bilangan 10 + 12 + 14 + 16 + ... + 98. Dari deret bilangan itu jumlah bilangan yang habis dibagi dua tetapi tidak habis lima adalah....a. 3480 d.1500b. 3300 e.1380c. 1980d. 1500

Ruang Dimensi TigaTentang Kubus.

Tentang Garis Tegak Lurus Bidang

(1)

(2) g ┴ bidang w ,maka g ┴ semua garis pada bidang w


41

A B

CDA

E F

GH

a

a

a

(1).Panjang AC =

(2).Panjang AG =(3).Sudut (AC,AH)=600

(4).Jarak (D,bidang ACH) =

(5).Jarak (F,bidang ACH) =

(6).Jarak (B,bidang ACH) =

(7)Volume Kubus=

g ┴ garis kg ┴ garis l

k, l bidang wg ┴ bidang w

g

l

k w

gg'g’’

l kh


Tentang Proyeksi Titik Pada Bidang(1).Jika terdapat garis PP’ ┴ terhadap bidang W (2).Jika terdapat bidang mel.P ┴ bidang W

Tentang Jarak (1).Jarak titik ke garis = ,P’ adalah proyeksi P pada garis

(2).Jarak titik ke bidang= ,P’ adalah proyeksi P pada bidang.(lihat proyeksi titik pada bidang)

(3).Jarak Dua Garis Sejajar (jarak garis g dan garis h

.

Catatan:Perhitungan jarak dapat dilakukan dengan rumus-rumus segitiga.

Tentang Sudut

(1).Sudut antara dua garis yang berpotongan

(2).Sudut antara garis dan bidang Tentukan Titik tembus A Pilih titik sembarang B (yang menguntungkan) pada garis g Tentukan B’ proyeksi titik B pada bibdang W. Hubungkan garis A pada B’. Sudut = BAB’ adalah sudut antara g dan bidang W

(3).Sudut antara Dua Bidang Tentukan garis potong bidang V dan W Pilih titik A pada garis potong yang (menguntungkan perhit.) Melalui A buat garis pada W dan V garis g dan h yang tegak lurus garis potong (V,W)


42

•P

w •P’

h●P

●P’

g

g

h

●A

●B

●B’

g

W

●P

●P’

g

•P

w • P’


Sudut antara garis g dan h = adalah sudut antara bidang V dan W

Catatan:Perhitungan sudut dapat dilakukan dengan rumus-rumus segitiga.

Contoh Soal:

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. dari perrnyataaan berikut:AH dan BE berpotonganAD adalah proyeksi AH pada bidang ABCDDF tegak lurus bidang ACHAG dan DF bersilangan

Yang benar adalah nomor….(1) dan (2) saja(2) dan (3) saja(3) dan (4) saja(1) dan (3) saja(2) dan (4) saja

2. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah....

a.

b.

c.

d.

e.

3.


43

T

CA

B

6

2

TA=TB=TC dan AB = AC

●W

VW

W g

h

A


Diketahui limas segitiga T. ABC. Besar sudut antara garis AT dan bidang TBC, seperti pada gambar adalah....

a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o e. 120o

4. Diketahui prisma segitiga beraturan ABC.EFG dengan panjang AB = 6 cm dan AD = 10 cm. Dalam prisma terdapat sebuah tabung yang menyinggung sisi prisma dan memiliki tinggi yang sama dengan prisma. Perbandingan volume tabung dan prisma berturut-turut adalah....

a. :

b. :

c. : d. : 9e. :

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Titik M pada pertengahan EH dan N pada pusat bidang BCGF, jarak M ke bidang AND adalah....

a. cm

b. cm

c. cm

d. cm

e. cm

6. Diketahui limas beraturan T.ABC dengan AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Sinus sudut bidang TAC dan TBC adalah....

a.

b.

c.

d.

e.

7. Diketahui bidang empat T.ABC dengan alas segitiga sama sisi. TA bidang ABC, panjang TA = 1 dan sudut TBA = 300 ( lihat gambar). Jika adalah sudut antara bidang TBC dengan ABC, maka tan = ....


44

T

A B

C

X


8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. (lihat gambar) Jarak titik F ke bidang BEG adalah....

3) Trigonometria. Aturan sinus dan aturan kosinus

Aturan sinus:

Aturan Kosinus:


45

A

H G

FE

DC

B

A B

C

ab

c

300


b. Rumus jumlah dan selisih dua sudutSinus jumlah dan selisih:Sin ( + ) = sin cos + cos sin Sin ( - ) = sin cos - cos sin

Kosinus jumlah dan selisih:cos ( + ) = cos cos - sin sin cos ( - ) = cos cos + sin sin

Tangen jumlah dan selisih:

tan ( + ) =

tan ( - ) =

c. Rumus sudut rangkap:Sin 2A = 2 sinA . CosACos 2A = cos2 A – sin2 ACos 2A = 2cos2 A – 1Cos 2A = 1 – 2sin2 A

Tan2A =

d. Rumus jumlah dan selisih sinus, dan kosinusJumlah dan selisih sinus:Sin A + Sin B = 2Sin ½(A + B) cos ½(A – B)Sin A - Sin B = 2Cos ½(A + B) sin ½(A – B)

Jumlah dan selisih kosinus:cos A + cos B = 2cos ½(A + B) cos ½(A – B)cos A - cos B = -2sin ½(A + B) sin ½(A – B)

e. Rumus Perkalian sinus dan kosinus:SinA cosB = ½(sin (A + B) + sin (A – B))cosA sinB = ½(sin (A + B) - sin (A – B))cosA cosB = ½(cos (A + B) + cos (A – B))SinA sinB = ½(cos (A - B) - cos (A + B))

f. Persamaan trigonometriPersamaan trigonometri yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadratPersamaan trigonometri bentuk:a sinx + b cosx = c

Contoh Soal:

1. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044o sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104o sejauh 40 km kepelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah....a. km


46


b. km

c. km

d. km

e. km

2. Dari sebuah pelabuhan dua kapal berangkat bersamaan. Kapal A berlayar dengan arah 085º dengan kecepatan 20 mil/jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 325º dengan kecepatan 30 mil/jam. Jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 2 jam adalah....a. 10√7 milb. 10√19 milc. 20√7 mild. 20√19 mile. 30√19 mil

3. Ali berkendaraan sejauh 20 km dengan arah 020o . Dari tempat yang sama Bobi berkenderaaan sejauh 12 km dengan arah 140o . Jarak Ali dan Bobi adalah....a. 17 kmb. kmc. 26 kmd. kme. 28 km

4. Perhatikan gambar!

Dua orang mulai berjalan dari kota A dan kota B pada saat yang sama.Kecepatan orang yang berjalan dari kota B = 8 km/jam, agar keduanya sampai di kota C pada saat yang sama, maka kecepatan orang yang berjalan dari kota A adalah....

83 km/jam82 km/jam8/3 3 km/jam4 km/jam22 km/jam

5. Tan 67,5º + tan 15º =....a. 1 + ─

b. 3 + ─

c. 1 + +

d. 3 + +

e. 4 + ─

6. Nilai dari = ....

a.

b.


47

4530A B

C


c.

d.

e.

7. 2 sin 67,5º + 2 sin 22,5º =....a. b.c.d.e.

8. Nilai sin 105o + cos 15o = ....

a.

b.

c.

d.

e.

9. diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 45 dan CT merupakan garis tinggi dari titik sudut C. Jika

BC = a dan AT = , maka AC = ....

a.

b.

c.

d.

e.

10. Jika dan x memenuhi persamaan 6sin2x – sinx – 1 = 0, maka nilai cos x = ....

a.

b.

c.

d.

e. nx

Limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri1. Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a; a


48


a.

b.

c. Jika ;

1) atau

2) (Dengan dalil L’hospitals)

2. Limit fungsi f(x) untuk x mendekati 3. Limit fungsi Trigonometri

4.

=

Hasilnya: untuk m > n

untuk m = n

0 untuk m < n

Hasilnya: untuk a > p

untuk a = p

untuk a < p

Limit fungsi Trigonometri:


49


Contoh soal:

1. Nilai =....

a. 0

b.

c. 1d.e.

2. Nilai = ....

a.

b.

c.

d.

e.

3.

5/165/85/45/24/5

4. Nilai = ....

a.

b.

c. 0

d.

e.

5. ….

a. 2 d. -2b. 3 e. -4c. 4


50


6. ….

a. ½ d. -3/4b. -1/2 e. 3/2c. ¾

7. ….

a. 1/9 d. 1/3b. 1/6 e. 0c. ½

8. ….

a. 7/6 d. 8/9b. 6/5 e. 7/2c. 9/8

9.

a. 5 d. 40b. 10 e. c. 20

10.

a. 0 d. 1b. ¼ e. c. ½

11.

a. 4 d. 1/2b. 2 e. 0c. 1

12.

a. 32 d. 8b. 24 e. 4c. 16

13. ….

a. 15 d. 10b. 13 e. 8c. 12

14.

a. 29/15 d. -15/29b. 9/15 e. 15/29c. 2/15


51


4) Turunan fungsia. Turunan fungsi trignonometri

Menentukan turunan dari fungsi trigonometri.b. Turunan fungsi Aljabar

Lebih banyak mengarah menentukan Nilai ekstrem dan aplikasinya yaitu menentukan nilai optimum.

Menentukan gradien garis singgung suatu kurva.

Contoh Soal:

1. turunan pertama dari f(x) = sin4(3x2 – 2) adalah f’(x) = ....a. 2sin2(3x2 – 2) sin(6x2 – 4)b. 12sin2(3x2 – 2) sin(6x2 – 4)c. 12sin2(3x2 – 2) cos(6x2 – 4)d. 24sin3(3x2 – 2) cos2(3x2 – 2)e. 24sin3(3x2 – 2) cos(3x2 – 2)

2. Persamaan garis singgung kurva dititik dengan absis 3 adalah....

a. X – 12y + 21 = 0b. X – 12y + 23 = 0c. X – 12y + 27 = 0d. X – 12y + 34 = 0e. X – 12y + 38 = 0

3. Turunan pertama dari adalah y’ = ....

a.

b.

c.

d.

e.

4. Persamaan garis singgung kurva y = 2x3 – 5x2 + 3x – 1 di titik yang berabsis 1 adalah....a. y = -2x + 1b. y = -2x + 3c. y = 2x - 3d. y = x - 2e. y = -x

5. Suatu pabrik hendak memproduksi suatu kotak tanpa tutup dari bahan kaca dengan volume 32 cm3. Luas minimum kaca yang digunakan adalah....

a. 64 m2

b. 48 m2

c. 42 m2

d. 34 m2

e. 32 m2


52


6. Sebuah partikel bergerak sepanjang lintasan dengan persamaan gerak S(t) = (80t – t2) meter dalam waktu t detik.Waktu yang dibutuhkan partikel untuk mencapai jarak tidak kurang dari 1200 meter adalah....

a. Kurang dari 20 ndetik atau lebih dari60 detikb. Lebih dari 20 ndetik dan kurang dari 60 detikc. Lebih dari 40 detikd. 40 detike. 20detik

7. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + ) ribu rupiah perhari.

Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah....a. Rp200.000b. Rp400.000c. Rp560.000d. Rp600.000e. Rp800.000

5) Integral a) Integral tak tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Pengintergralan dengan cara Subtitusi:

suatu fungsi aljabar atau trigonometri dengan U.

Pengintergralan dengan cara Parsial.

b) Integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.Luas daerah:

Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva dan sumbu x:Misalkan kurva f(x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan sumbu x dengan batas kiri x = a dan batas kanan x = b adalah L: sehingga:

L =

= F(b) – F(a) Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva:

Misalkan suatu daerah yang dibatasi oleh kurva F(x) dan g(x), kurva f(x) dan g(x) berpotongan di x = a dan x= b, maka luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva adalah

=

= (F(b) – G(b)) – (F(a) – G(a)) Volume Benda Putar

Volume benda putar, jika suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva diputar mengelilingi sumbu x:Misalkan kurva f(x):

V =


53


Volume benda putar, jika suatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva diputar mengelilingi sumbu x:Misalkan daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x):

V =

Contoh Soal:

1. Nilai dari

a. -2

b.

c.

d. 1e. 2

2.

a. 0b. -0,5c. 0,05d. 0,5e. 1

3. Nilai =....

a.

b.

c.

d.

e.

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 1 - x2 , sumbu X , sumbu Y dan garis x = 3 adalah ….3 SL10/3 SL22/3 SL23/3 SL25/3 SL

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x - x2 , sumbu Y, dan Y = 2x+1 adalah ….a. 1/3b. 2/3


54


c. 1d. 5/3e. 2

6. Luas daerah yang diarsir seperti pada gambar adalah ....

7. Perhatikan gambar berikut:

Luas daerah yang diarsir seperti pada gambar adalah....

a. satuan luas

b. satuan luas

c. satuan luas

d. 5 satuan luase. 4 satuan luas

8. Perhatikan gambar berikut:


55

X = 3Y = x2 – 4x + 3

Y = -x2 + 6x - 5

y

x

Y = -2x +10

Y =

a. 4/3 SL

b. 5/3 SL

c. 1/6 SL

d. 15/6 SL

e. 17/6 SL

Y= -x2+1

(3,0)

-3 (2,-3)

Y


Luas daerah yang diaksir pada gambar adalah....

a. satuan luas

b. 3 satuan luas

c. satuan luas

d. 6 satuan luas

e. 9 satuan luas

9. Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = 4x – x2 dan y = x2 diputar mengelilingi sumbu x adalah....

satuan volum

satuan volum

satuan volum

satuan volum

satuan volum

10. Daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2-x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

11. Daerah yang dibatasi kurva Y = 3x-2 , garis x = 1, garis x = 3 dan sumbu X diputar mengeli lingi sumbu X sejauh 3600.Volume benda putar yang terjadi adalah ….

12. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah....

a. satuan volume

b. satuan volume


56


c. satuan volume

d. satuan volume

e. satuan volume

13. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah....

a. satuan volume

b. satuan volume

c. satuan volume

d. satuan volume

e. satuan volume

6) Peluanga. Permutasi

Permutasi dengan beberapa unsur yang sama dari n objek terdapat k objek yang sama dan m objek yang sama:

=

Permutasi siklis dari n unsur:= (n -1)!

b. Kombinasi

c. Peluang kejadian (Tidak termasuk kejadian bersyarat)Peluang suatu kejadian yaitu banyaknya kejadian dibagi banyaknya ruang sampel.

Contoh Soal:

1. A, B, C, dan D akan berfoto bersama secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah....

a.

b.

c.


57


d.

e.

2. Seorang saudagar akan membeli 3 ekor kambing dan 2 ekor kerbau dari seorang yang memiliki 5 ekor kambing dan 6 ekor kerbau.Banykanya cara saudagar itu dapat memilih adalah ....

a. 10b. 15c. 25d. 120e. 150

3. Dari empat huruf A, B, C, D dan tiga angka 1, 2, 3 akan disusun nomor plat mobil yang dimulai dengan satu huruf, diikuti dua angka dan diakhiri dengan dua huruf. Karena dikhawatirkan tidak ada yang mau memakai, nomor plat yang memuat angka 13 tidak diperkenankan. Banyaknya nomor plat mobil yang dapat dibuat adalah ....a. 576b. 512c. 320d. 144e. 120

4. Dalam satu keranjang yang berisi 20 buah mangga, 5 diantaranya busuk. Jika 2 buah mangga diambil satu demi satu secara acak tanpa pengembalian, peluang yang terambil kedua mangga itu tidak busuk adalah....

a.

b.

c.

d.

e.

5. Dari 7 orang pria dan 5 orang wanita akan dipilih 4 orang yang terdiri dari 3 orang pria dan seorang wanita. Peluang terpilihnya 4 orang tersebut adalah ....a. 6/198b. 8/99c. 35/396d. 35/99e. 37/9

6. Dari suatu kotak terdapat 15 bohlam dan 5 diantaranya bohlam rusak. Jika diambil 4 bohlam secara acak, maka peluang terambilnya hanya 1 bohlam rusak adalah ....a. 120/1365b. 125/273c. 120/273d. 25/273e. 25/1365

7. Dari sebuah kotak berisi 8 bola merah dan 12 bola putih, diambil 3 bola sekaligus secara acak. Peluang paling sedikit terambil satu bola putih adalah....


58


a.

b.

c.

d.

e.

8. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambilnya sekurang-kurangnya 1 kelereng putih adalah….a. 7/44b. 10/44c. 34/44d. 35/44e. 37/44

9. Dari 7 orang pria dan 5 orang wanita akan dipilih 4 orang yang terdiri dari 3 orang pria dan satu orang wanita. Peluang terpilihnya 4 orang tersebut adalah….a. 6/198b. 8/99c. 35/396d. 35/99e. 37/99

7) Statistika a. Penyajian data dalam bentuk tabel, diagram, grafik, dan ogiveb. Ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran yang sederhana Rataan data Kelompok:

i.

ii.

Xs = titik tengan interval frekuensi terbesar.di = xi - xs

iii.

Xs = titik tengan interval frekuensi terbesar.Ci = Kode dimana pada frekuensi terbesar diberik

kode nol diurutkan keatas -1, -2, -3,... dan ke bawah 1, 2, 3,...

i = Panjang interval (kelas)

Median (Q2) data Kelompok:

Tb : tepi bawah interval median (memuat data


59


ke ).

n : banyak data

: frekuensi komulatif sebelum interval

median.

fQ : frekuensi interval median.

Modus data Kelompok:

Modus = tb +

Dimana;

tb = tepi bawah interval modus

f1 = selisih frekuensi interval modus dengan frekuensi

interval sebelum interval modus.

f2 = selisih frekuensi interval modus dengan frekuensi

interval sesudah interval modus.

i = panjang interval.

Contoh Soal:

Perhatikan gambar berikut:

Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah....

64,5 kg65 kg65,5 kg66kg66,5 kg

2.


60

49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5

4

6

8

10

frekuensi

Berat badan (Kg)


Tinggi Badan(cm)

Frekuensi

150 – 154155 – 159160 – 164165 – 169170 – 174

61018224

60Data pada tabel menunjukkan tinggi badan peserta seleksi pramugari. Peserta yang lulus seleksi adalah mereka yang meiliki tinggi lebih dari 156 cm. Banyaknya peserta yang lulus seleksi adalah....a. 44 orangb. 46 orangc. 48 orangd. 49 orange. 51 orang

3. Nilai Ujian Bahasa Indonesia disajikan seperti pada diagram berikut. Median dari data tersebut adalah....a. 57,25b. 57,75c. 58,13d. 58,33e. 59,75

4. Hasil tes penerimaan calon Pegawai Negeri pada suatu instansi terlihat pada tabel dibawah. Yang lulus dan dapat diterima menjadi Pegawai Negeri adalah mereka yang memperoleh nilai 72 keatas.

Nilai Hasil Tes f

50-5455-5960-6465-6970-7475-7980-8485-89

306585

1206025105

Jumlah peserta yang lulus seleksi adalah....a. 100 b. 90c. 80d. 70e. 72

5. Rataan tinggi badan dari data pada histogram berikut adalah....


61

30

25

201714

95

40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5

f

data

35 5

8

109

154,

5

159,

5

164,

5

169,

5

174,

5

179,

5

184,

5


a. 168,5 b. 169,0c. 171,0d. 172,0e. 173,5

6. Median dari data di bawah ini adalah....Ukuran Frekuensi

47 - 49- 5253 - 55- 5859 - 61

16674

a. 55,6 d. 53,5b. 55,0 e. 53,0c. 54,5

Semua bentuk soal mengarah pada penguasaan kompetesi. Untuk sukses mengikuti ujian Nasional diperlukan penguasaan materi dan kemampuan analisis dari permasalahan yang ada (dalam bentuk stimulus) menyatakan dalam pokok materi atau model matematika kemudian ditafsirkan kembali sesuai dengan masalah yang ada.

Semoga Sukses


62

Documents

Materi Ujian Nasional 2007-2008