MATEMÁTICAS I - SEMANA 5

Logro D1

Docentes:Xyoby Chávez PachecoSergio Quispe RodríguezCristina Navarro FloresNaudy López RodríguezPatricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas

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Logro D1

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• Definir y calcular la derivada de una función interpretándola

como una razón de cambio entre sus dos variables o como la

pendiente de la recta tangente en un punto.

• Aplicar las reglas de derivación a funciones simples

Recordamos:

La razón de cambio es𝑓 𝑥 −𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎

MATEMÁTICAS I

DERIVADAS Y RAZÓN DE CAMBIO

Definición (Derivadas)

La derivada de una función 𝑓 en un

número 𝑥 = 𝑎 es

𝑓′ 𝑎 = 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓 𝑥 −𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎también

𝑓′ 𝑎 = 𝐿𝑖𝑚ℎ→0𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)

ℎ

MATEMÁTICAS I

Pendiente de la recta tangente en un punto

Definición:

La pendiente de la recta tangente a la curva 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒙 = 𝒂 está dado

por la derivada de 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 es decir es 𝒇′(𝒂)

Determinando

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola

𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 9 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (3 ;−6)

Veamos:

Determinando la pendiente 𝑚 = 𝑓′ 3 = 2 3 − 8 = −2

𝐿: 𝑚 =𝑦−𝑦0

𝑥−𝑥0𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 2 =

𝑦− −6

𝑥−3

Por lo tanto 𝑳: 𝒚 = −𝟐𝒙

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Razón de cambio instantánea

La derivada 𝑓′ 𝑎 es la razón de cambio instantánea de 𝑦 = 𝑓 𝑥 respecto a 𝑥 cuando 𝑥 = 𝑎

Tres maneras para que 𝒇 no sea derivable en 𝒙 = 𝒂

Encuentre la derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 9 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑥 = 𝑎

MATEMÁTICAS I

Determinando

Veamos:

𝑓 𝑎 = 𝑎2 − 8𝑎 + 9

Entonces por definición: 𝑓′ 𝑎 = 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑓 𝑥 −𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎= 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑥2 − 8𝑥 + 9 − 𝑎2 − 8𝑎 + 9

𝑥 − 𝑎

Agrupando 𝑓′ 𝑎 = 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 −8 𝑥−𝑎

𝑥−𝑎= 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑥−𝑎 𝑥+𝑎−8

𝑥−𝑎= 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑥 + 𝑎 − 8 = 2𝑎 − 8

Así 𝑓′ 𝑎 = 2𝑎 − 8

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Derivadas de funciones, reglas básicas

MATEMÁTICAS I

Repaso 01Una familia no sabe si ir en su auto o en un servicio de taxi al aeropuerto distante 20

kilómetros de su casa. Al utilizar un aplicativo de taxi, nos indica que el costo será

de 40 soles el servicio regular y 60 soles en servicio Vip. En

el trayecto debemos pagar un peaje de 5.70 soles y sabemos que el consumo de

gasolina depende de la velocidad del carro (medido en litros consumidos por cada

100km recorridos). Considerar que, en promedio, los 10 primeros kilómetros lo

recorremos con 40km/h, los siguientes 5 kilómetros los recorremos con 50km/h y los

últimos 5 kilómetros lo recorremos con 60km/h. Se sabe, además, que la curva que

modela el consumo versus la velocidad es una parábola con vértice en (20,2) y esta

parábola pasa por el punto (40,3).

El costo de combustible el da de hoy es de 10 soles por litro. Además, el costo del

estacionamiento viene dado por la siguiente tabla.

El tiempo de anticipación con el que se debe estar en el aeropuerto es de 3 horas

para viajes a Europa y nosotros queremos esperar a que el avión despegue.

a) Determine la regla de correspondencia de la función consumo versus velocidad.

b) Modele y grafique la función Costo total (usando el carro) versus tiempo de espera

dentro del aeropuerto (en minutos).

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Solución (a)

De la figura podemos ver que la función consumo C(x) es una función cuadrática con vertice ℎ , 𝑘 = (20 , 2)

Para hallar la constante 𝑎 usamos el punto que nos brinda el enunciado del

problema, es decir, (40,3):

𝐶 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘 = 𝑎 𝑥 − 202 + 2

𝑎(40 − 20)2+2 = 3→ 𝑎 = 1/400Finalmente la regla de correspondencia de la

función costo es:

𝐶 𝑥 =1

400(𝑥 − 20)2+2

𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

100𝐾𝑚

El dominio de la función costo es 𝑥 ≥ 0

X: Velocidad

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Solución (b)

𝐶𝑇 𝑡 = 𝐶𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 + 𝑃𝑒𝑎𝑗𝑒 + 𝐸(𝑡) , Donde E(t): Costo del estacionamiento

𝐶𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝐶 𝑣 ∗ 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑘𝑚 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 𝐶 𝑣 ∗ 𝑑 𝑣 ∗ 10

Como 𝐶 𝑣 : consumo en litros /100km

Así 𝐶𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 = 𝐶 𝑣 ∗𝑑 𝑣

100∗ 10 = 3

10

10+ 4,2

5

10+ 6

5

10= 8,1

E(t) : Costo por estacionamiento y se define por tramos según el valor de t:

Por lo que la función costo total se expresa 𝐶𝑇 𝑡 = 8,1 + 5,70 + 𝐸(𝑡)

𝐶𝑇 𝑡 = ቐ19 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 45

20,8 ; 45 < 𝑡 ≤ 6020,8 + 0,12 𝑡 − 61 ; 𝑡 ≥ 61

𝐸 𝑡 = ቐ5,2 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 45

7 ; 45 < 𝑡 ≤ 600,12 𝑡 − 61 ; 𝑡 ≥ 61

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Repaso 02

En la preparación para las misiones de exploración tripuladas a Marte, la NASA ha enviado naves

espaciales para explorar la superficie marciana. Dado Marte y de la Tierra tienen velocidades orbitales

diferentes la distancia entre Marte y la Tierra está en constante cambio. En un proyecto de exploración

de Marte, los astronautas permanecerán en la superficie de Marte durante aproximadamente 18 meses.

La capacidad de comunicación entre Marte y la Tierra será muy crítico. La información enviada desde

Marte a la Tierra se realiza en las ondas de radio que viajan a la velocidad de la luz en el espacio.

Debido a que la distancia entre los dos planetas es, en promedio, más de 100 millones kilómetros, hay

todavía un retardo de tiempo de la comunicación significativa. Los ingenieros y científicos de la NASA

están trabajando para entender este retraso mediante la recopilación de datos y el modelado de la

distancia entre Marte y la Tierra en ciclos de 26 meses, el tiempo requerido para que Marte este en su

máximo acercamiento a la tierra.

MATEMÁTICAS I

Solución

a) Use dos funciones trigonométricas para modelar el tiempo de comunicación y la

distancia de Marte a la Tierra.

b) Esboce las funciones del ítem anterior.

Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, aproximamos por una curva senoidal, así:

𝑔 𝑥 = 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝐵 𝑡 − 𝐶 + 𝐷

Con los datos ubicados en el gráfico:

2*A=22,2 - 3,1 = 19,1 entonces A= 9,55

T/2=378 entonces T=756

B=2π/756 ; D = 12,65 ; C = 222 (desface a la derecha)

La función es: 𝑔 𝑡 = 9,55 𝐶𝑜𝑠2𝜋 𝑡−222

756+ 12,65

D

C

2A

MATEMÁTICAS I

Solución

Ubicando los puntos dados en el plano cartesiano, aproximamos por una curva senoidal, así:

𝑓 𝑥 = 𝐴𝐶𝑜𝑠 𝐵 𝑡 − 𝐶 + 𝐷

Con los datos ubicados en el gráfico:

2*A=3,99 – 0,557 entonces A= 1,7165

T/2=600-222 entonces T=756

B=2π/756 ; D = 2,2735 ; C = 222 (desface a la derecha)

La función es: f 𝑡 = 1,7165 𝐶𝑜𝑠2𝜋 𝑡−222

756+ 2,2735

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Ejercicio 01:

Para la función 𝑔 cuya gráfica está dada,

reordene los números siguientes en orden

creciente y explique su razonamiento

0 ; 𝑔′ −2 ; 𝑔′ 0 ; 𝑔′ 2 ; 𝑔′(4)

Solución

El orden sería: 𝑔′ 0 < 0 < 𝑔′ 4 < 𝑔′ 2 < 𝑔′ −2

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Ejercicio 02:Sea 𝐷 𝑡 la deuda nacional de EU en el tiempo t.

La tabla proporciona valores aproximados de esta

función siempre que se estime a fin de año, en

miles de millones de dólares, desde 1980 hasta el

2005. Interprete y estime el valor de 𝐷′(1990)

La derivada 𝐷′(1990) significa la razón de cambio de

D respecto de t cuando 𝑡 = 1990

Es decir: 𝐷′ 1990 = 𝐿𝑖𝑚𝑡→1990𝐷 𝑡 −𝐷(1990)

𝑡−1990

Solución

Como el t=1990 se encuentra entre 1985 y 1995, se

puede estimar que 𝐷′ 1990 es el promedio (aprox)

303 miles de millones de dólares por cada año.

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Ejercicio 03:Dibuje la gráfica de la función 𝑔

para la cual verifica:

𝑔 0 = 𝑔 2 = 𝑔 4 = 0

𝑔′ 1 = 𝑔′ 3 = 0

𝑔′ 0 = 𝑔′ 4 = 1

Solución:

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Ejercicio 04:

Solución:

Encuentre la deriva de cada una de las siguientes funciones

ℎ 𝑥 = 𝑒5 ; 𝑓 𝑡 = 5𝑡2 − 2𝑡3 ; 𝑔 𝑥 = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 + 5

b) 𝑓′ 𝑡 = 10𝑡 − 6𝑡2

c) 𝑔′ 𝑥 = −2 3 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = −6𝑥2 + 2𝑥 − 3

a) ℎ′ 𝑥 = 0