MATEMÁTICAS I - SEMANA 13

Docentes:Xyoby Chávez PachecoSergio Quispe RodríguezCristina Navarro FloresNaudy López RodríguezPatricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas

Logro R5

3

Modelar situaciones reales usando ecuaciones diferenciales y

resolverlas usando metodo de separación de variables. (Ley de

enfriamiento de Newton, Dinamica poblacional (Logistica,

curva de aprendizaje), etc)

MATEMÁTICAS I

Ecuaciones diferenciales

Variables separables

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑓(𝑥)

ℎ(𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑔(𝑦)

ℎ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

නℎ 𝑦 𝑑𝑦 = න𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑡

= 𝑘𝑃 1 −𝑃

𝑆

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘 𝑇 − 𝑇𝑚

MATEMÁTICAS I

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑡2𝑥

Variables separables

Ejemplo 1:

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial? 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑡2𝑥

Solución:Por separación de variables

⟹𝑑𝑥

𝑥= 𝑡2𝑑𝑡 ⟹ න

𝑑𝑥

𝑥= න𝑡2𝑑𝑡

⟹ 𝑙𝑛 𝑥 =𝑡3

3+ 𝑐 ⟹ 𝑥 𝑡 = 𝑘𝑒

𝑡3

3 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 = 𝑒𝑐

Obs: La constante se absorve 𝑥 𝑡 = 𝑐𝑒𝑡3

3

MATEMÁTICAS I

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑃𝑡

Ejemplo 2:

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial? 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑃𝑡 ; 𝑃 1 = 2

Solución:

Por separación de variables

⟹𝑑𝑃

𝑃= 𝑡𝑑𝑡 ⟹ න𝑃−1/2𝑑𝑃 = න𝑡1/2𝑑𝑡

⟹𝑃1/2

1/2=𝑡3/2

3/2+ 𝑐

⟹ 𝑃1/2 =1

3𝑡3/2 + 𝑐

Obs: La constante se absorve

Para hallar la constante c:

𝑆𝑖 𝑡 = 1, 𝑃 = 2: 𝑐 = 1.08

𝑃(𝑡) =1

3𝑡3/2 + 1.08

2

MATEMÁTICAS I

Dinámica poblacional

Modelo de crecimiento poblacional: La población crece a una tasa

proporcional al tamaño de la población.

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃 , 𝑃 0 = 𝑃0

Ecuación diferencial que se resuelve con separación de variables.

MATEMÁTICAS I

Dinámica poblacional

Modelo de crecimiento poblacional logístico: La tasa de

crecimiento empieza a disminuir cuando la población se

acerca su tope M.

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃 1 −

𝑃

𝑀donde 𝑃 𝑡0 = 𝑃0 𝑦 𝑃 𝑡1 = 𝑃1

* Ecuación diferencial que se resuelve con separación de variables.

MATEMÁTICAS I

Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘 𝑇 − 𝑇𝑚

Donde:

* Ecuación diferencial que se resuelve con separación de variables.

T t : 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡

𝑇𝑚: 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑑𝑇

𝑑𝑡: 𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎.

MATEMÁTICAS I

Problema 1La ecuación de Gompertz fue creada por el matemático judio Benjamín Gompertz en 1938 y lo usó

para describir el crecimiento de tumores sólidos, asumiendo que la tasa de crecimiento de los

tumores disminuye de forma no lineal cuando aumenta su masa. Esta ecuación es la siguiente:

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝛾𝑁 𝐾 − ln(𝑁)

Donde N representa el número de células tumorales en el instante 𝑡, 𝛾 una constante propia de

cada tumor y 𝐾 es el logaritmo nepereano de la capacidad de carga del tumor, es decir la constante

máxima que puede alcanzar con los nutrientes disponibles.

a) Resuelva la ecuación diferencial.

b) Si la capacidad de carga es de 1013células, el ratio 𝛾 = 0.006 y la población inicial es de

109 células. ¿En qué tiempo el número de células se duplica?

c) ¿Cuál es el valor de 𝑁, para el cual el número de células crece más rápido?

MATEMÁTICAS I

Solución:𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝛾𝑁 𝐾 − ln(𝑁)

a) Resuelva la ecuación diferencial

De la ecuación diferencial:

Haciendo:

⟹𝑑𝑁

𝑁 𝐾 − ln(𝑁)= 𝛾𝑑𝑡

𝑢 = 𝐾 − ln(𝑁) ⟹ 𝑑𝑢 = −𝑑𝑁

𝑁

De aquí:𝑑𝑢

𝑢= −𝛾𝑑𝑡 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 න

𝑑𝑢

𝑢= −𝛾න𝑑𝑡

Luego

𝑙𝑛 𝑢 = −𝛾𝑡 + 𝑐 ⟹ 𝑢 = 𝑐𝑒−𝛾𝑡 ⟹ 𝐾 − ln(𝑁) = 𝑐𝑒−𝛾𝑡 … (1)

Así: ln 𝑁 = 𝐾 − 𝑐𝑒−𝛾𝑡

Despejando: 𝑁(𝑡) = 𝐶1𝑒−𝑐𝑒−𝛾𝑡 donde 𝐶1 = 𝑒𝐾 … (2)

𝑑𝑁

𝑁 𝐾 − ln(𝑁)= 𝛾𝑑𝑡 ⟹

MATEMÁTICAS I

Solución:

b) Si la capacidad de carga es de 1013células, el ratio 𝛾 = 0.006 y la población inicial es de

109 células. ¿En qué tiempo el número de células se duplica?

𝐶1 = 𝑒𝐾 = 1013

Se tiene: 𝐾 = ln 1013 = 13 ln 10 , 𝛾 = 0.006 , 𝑃 0 = 109

𝐾 − ln(𝑁) = 𝑐𝑒−𝛾𝑡

En la expresión (1):

⟹ 𝑠𝑖 𝑡 = 0: 𝑐 = 13 ln 10 − ln 109 = 9.21

En la expresión (2):

⟹ 𝑁 𝑡 = 1013𝑒−9.21𝑒−0.006𝑡

… (3)

𝑁 𝑡 = 2(109)

Planteando:

⟹ 𝑡 =1

−0.006𝑙𝑛

ln(2(10−4))

−9.21= 13.04 días

MATEMÁTICAS I

Solución:

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 0.006 𝑁 ln(1013) − ln(𝑁)

c) ¿ Cuál es el valor de 𝑁, para el cual el número de células crece más rápido?

De (b) se tiene: Se tiene el crecimiento

Crece más rápido si: 𝑑2𝑁

𝑑𝑡2= 0.006 𝑁 ln(1013) − ln(𝑁) + 0.006 𝑁 −

1

𝑁= 0

𝑁 =1013

𝑒≈ 3.6 × 1012

El valor de N para el cual Crece más rápido es:

MATEMÁTICAS I

Problema 2

El porcentaje de muertes y el porcentaje de nacimientos de numerosas especies de animales y

de plantas fluctúan periódicamente con las estaciones del año. La rapidez del crecimiento

relativo (rapidez de crecimiento dividida por el tamaño de la población) equivale a (

)

𝑏 +

𝑎 cos 2𝜋𝑡 donde 𝑎 𝑦 𝑏 con constantes

𝑑𝑃𝑑𝑡𝑃

= 𝑏 + 𝑎 cos(2𝜋𝑡)

Un rebaño de grandes mamíferos tiene una población 𝑃 𝑡 que fluctúa periódicamente con

las estaciones donde 𝑡 se mide en años. Inicialmente hay 3000 animales en el rebaño y se

observa que la población después de 3 meses es de 2800 animales.

a) Utilice esta información para determinar la regla de correspondencia de 𝑃(𝑡).

b) ¿En qué momento la población alcanza su nivel más alto? ¿y el más bajo?

MATEMÁTICAS I

Solución:

a) Utilice esta información para determinar la regla de correspondencia de 𝑃(𝑡)

𝑑𝑃

𝑑𝑡

𝑃= 𝑏 + 𝑎 cos(2𝜋𝑡) , a,b :ctesDe la ecuación diferencial:

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑃(𝑏 + 𝑎 cos(2𝜋𝑡)) ⟹

𝑑𝑃

𝑃= (𝑏 + 𝑎 cos(2𝜋𝑡))𝑑𝑡

Por separación de variables න𝑑𝑃

𝑃= න 𝑏 + acos(2𝜋𝑡) 𝑑𝑡 + c

Resolviendo: ln(𝑃) = 𝑏𝑡 +𝑎

2𝜋𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑡 + 𝑐

Hallando c: si t = 0 ⟹ 𝐶 = 3000

⟹ P = 𝐶 𝑒𝑏𝑡+

𝑎2𝜋𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)

P(t) = 3000 𝑒𝑏𝑡+

𝑎2𝜋𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)Por lo tanto

MATEMÁTICAS I

b) ¿En qué momento la población alcanza su nivel más alto? ¿y el más bajo?

Solución:

De la ecuación diferencial:

⟹ 𝑡 =1

2𝜋𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(−

𝑏

𝑎)

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑃(𝑏 + 𝑎 cos(2𝜋𝑡)) = 0

𝑃 = 0 ó 𝑏 + 𝑎 cos(2𝜋𝑡) = 0 ⟹

P(t) = 3000 𝑒𝑏𝑡+

𝑎2𝜋

𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)

De (b):

𝑆𝑖 𝑡 = 0, 𝑃 = 3000El valor más bajo alcanza para t=0:

El valor más alto alcanza para 𝑡 =1

2𝜋𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(−

𝑏

𝑎)