MATEMÁTICAS BÁSICAS - ciencias.unal.edu.co · Sistemas Numéricos Números Naturales Números Naturales Fueron creados por la mente humana para contar los objetos en diversas colecciones

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Profesora: Jeanneth Galeano PeñalozaCoordinadora: Margarita Ospina

Universidad Nacional de Colombia Sede BogotáDepartamento de Matemáticas

9 de marzo de 2009

JGP Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Departamento de Matemáticas


Sistemas Numéricos

Parte I

Sistemas Numéricos



Sistemas Numéricos

Números Naturales

Números Naturales

Fueron creados por la mente humana para contar los objetosen diversas colecciones.

N = {0, 1, 2, 3, . . . }

Para algunos autores los naturales comienzan en 1 y alconjunto {0, 1, 2, . . . } lo llaman el conjunto de los enterosno-negativos o números cardinales. En éste último caso, el 0corresponde al cardinal del conjunto vacío.



Sistemas Numéricos

Números Naturales

En el conjunto de los números naturales podemos considerardos operaciones: suma y multiplicación.

Propiedades de la suma en los naturales

Para todo a, b, c números naturales,

Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c

Conmutativa a + b = b + a

Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a

Existencia de inverso aditivo

3 + � = 0?

Falla!!!!



Sistemas Numéricos

Números Naturales








3 + � = 0?

Falla!!!!



Sistemas Numéricos

Números Naturales








3 + � = 0?

Falla!!!!



Sistemas Numéricos

Números Naturales








3 + � = 0?

Falla!!!!



Sistemas Numéricos

Números Enteros

Números Enteros

Es el conjunto formado por los números naturales y susopuestos.

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }



Sistemas Numéricos

Números Enteros

En el conjunto de los números enteros consideramos dosoperaciones: suma y multiplicación.

Propiedades de la suma en los enteros

Para todo a, b, c números enteros,




Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0



Sistemas Numéricos

Números Enteros










Sistemas Numéricos

Números Enteros










Sistemas Numéricos

Números Enteros










Sistemas Numéricos

Números Enteros








¿Cuál es el inverso aditivo de cero?



Sistemas Numéricos

Números Enteros

Propiedades de la multiplicación en los enteros


Asociativa a(bc) = (ab)c

Conmutativa ab = ba

Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a

Existencia de inverso multiplicativo

5 · � = 1?

Falla!!!!



Sistemas Numéricos

Números Enteros




Conmutativa ab = ba



5 · � = 1?

Falla!!!!



Sistemas Numéricos

Números Enteros




Conmutativa ab = ba



5 · � = 1?

Falla!!!!



Sistemas Numéricos

Números Enteros




Conmutativa ab = ba



5 · � = 1?

Falla!!!!



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Números Racionales

Es el conjunto formado por los enteros y cocientes de enteros.

Q = {ab|a, b ∈ Z, b 6= 0}



Sistemas Numéricos

Números Racionales

El conjunto de los números racionales, con las operacionessuma y multiplicación satisface las siguientes propiedades.



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Propiedades

Para todo a, b, c números racionales,

Asociativas

a + (b + c) = (a + b) + c,

a(bc) = (ab)c.

Conmutativas

a + b = b + a,

ab = ba.



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Propiedades

Para todo a, b, c números racionales,

Asociativas

a + (b + c) = (a + b) + c,

a(bc) = (ab)c.

Conmutativas

a + b = b + a,

ab = ba.



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Propiedades

Existencia de elementos neutrosExiste un elemento 0 tal que a + 0 = 0 + a = a,

Existe un elemento 1 tal que a1 = 1a = a.

Existencia de inversos aditivos y multiplicativosPara todo a racional existe −a tal que a + (−a) = 0Para todo racional a 6= 0 existe 1

a tal que a(1

a

)

= 1

Distributiva de la multiplicación respecto de la suma

a(b + c) = ab + ac.



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Propiedades




a tal que a(1

a

)

= 1


a(b + c) = ab + ac.



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Propiedades




a tal que a(1

a

)

= 1


a(b + c) = ab + ac.



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Los números racionales son de la forma ab , al realizar la

división encontramos la expresión decimal del número. Dichadivisión puede terminar, como en

58

= 0,625

o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite,como en

211

= 0,1818181818 . . . ,

podemos decir entonces, que los números racionales sonaquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.



Sistemas Numéricos

Números Racionales



58

= 0,625


211

= 0,1818181818 . . . ,




Sistemas Numéricos

Números Racionales



58

= 0,625


211

= 0,1818181818 . . . ,




Sistemas Numéricos

Números Racionales

Ejercicio

Encontrar la expresión decimal de los siguientes números1 24

5

2 193

3 56200

4 367



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de lasiguiente forma,

x = 1.25



Sistemas Numéricos

Números Racionales


x = 1.25

100x = 125.25



Sistemas Numéricos

Números Racionales


x = 1.25

100x = 125.25

99x = 124 Restando



Sistemas Numéricos

Números Racionales


x = 1.25

100x = 125.25

99x = 124 Restando

x =12499

.



Sistemas Numéricos

Números Racionales

Ejercicio

Encontrar la expresión racional de los siguientes números1 1.62 8.423 47,93354 23,56782



Sistemas Numéricos

Números Irracionales


Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en laforma a

b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.

Ejemplos

√2 = 1,4142 . . .

π = 3,141592 . . .

0,1234567891011121314151617 . . .

1,21221222122221222221222222 . . .



Sistemas Numéricos





Ejemplos

√2 = 1,4142 . . .

π = 3,141592 . . .

0,1234567891011121314151617 . . .

1,21221222122221222221222222 . . .



Sistemas Numéricos





Ejemplos

√2 = 1,4142 . . .

π = 3,141592 . . .

0,1234567891011121314151617 . . .

1,21221222122221222221222222 . . .



Sistemas Numéricos





Ejemplos

√2 = 1,4142 . . .

π = 3,141592 . . .

0,1234567891011121314151617 . . .

1,21221222122221222221222222 . . .



Sistemas Numéricos





Ejemplos

√2 = 1,4142 . . .

π = 3,141592 . . .

0,1234567891011121314151617 . . .

1,21221222122221222221222222 . . .



Sistemas Numéricos


Ejercicio

Construya un número irracional entre 5 y 6.



Sistemas Numéricos


La suma de irracionales es irracional?

La multiplicación de irracionales es irracional?



Sistemas Numéricos


La suma de irracionales es irracional?

La multiplicación de irracionales es irracional?



Sistemas Numéricos

Números Reales

Números Reales

El conjunto de los números reales está formado por losracionales y los irracionales. Se nota R.R satisface todas las propiedades que vimos que cumplen losnúmeros racionales. Tanto los reales como los racionales, conestas propiedades reciben el nombre de cuerpos.



Sistemas Numéricos

Sistemas numéricos

Note queN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Muestre que estas contenencias son estrictas.



Sistemas Numéricos

Sistemas numéricos





Sistemas Numéricos

Sistemas numéricos





Sistemas Numéricos

Sistemas numéricos





Sistemas Numéricos

Otras propiedades de los números reales

Para todo a, b, c, d números reales.



Sistemas Numéricos



Si a = b entonces a + c = b + c



Sistemas Numéricos




Si a = b entonces ac = bc



Sistemas Numéricos





Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre?



Sistemas Numéricos





Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0



Sistemas Numéricos






a · 0 = 0 para todo a



Sistemas Numéricos







Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0



Sistemas Numéricos








−(−a) = a



Sistemas Numéricos








−(−a) = a

(−a)b = −(ab) = a(−b)



Sistemas Numéricos








−(−a) = a

(−a)b = −(ab) = a(−b)

(−a)(−b) = ab



Sistemas Numéricos








−(−a) = a

(−a)b = −(ab) = a(−b)

(−a)(−b) = ab

(−1)a = −a



Sistemas Numéricos








−(−a) = a

(−a)b = −(ab) = a(−b)

(−a)(−b) = ab

(−1)a = −a

Si a 6= 0 entonces el inverso multiplicativo de a se nota a−1

y a−1 = 1a



Sistemas Numéricos





Sistemas Numéricos


Para todo a, b, c, d números reales.ab = c

d si ad = bc



Sistemas Numéricos



d si ad = bcadbd = a

b



Sistemas Numéricos




ba−b = −a

b = − ab



Sistemas Numéricos




ba−b = −a

b = − ab

ab + c

b = a+cb



Sistemas Numéricos




ba−b = −a

b = − ab

ab + c

b = a+cb

ab + c

d = ad+bcbd



Sistemas Numéricos




ba−b = −a

b = − ab

ab + c

b = a+cb

ab + c

d = ad+bcbd

ab · c

d = acbd



Sistemas Numéricos




ba−b = −a

b = − ab

ab + c

b = a+cb

ab + c

d = ad+bcbd

ab · c

d = acbd

ab ÷ c

d = ab · d

c = adbc



Sistemas Numéricos

Representación gráfica

A continuación vemos cómo podemos representar en una rectacada uno de estos conjuntos.



Sistemas Numéricos

Representación gráfica de los naturales

Sobre una recta,



Sistemas Numéricos


Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0

b

0



Sistemas Numéricos


Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 yotro, normalmente a la derecha, que representa el 1.

b

0b

1



Sistemas Numéricos



b

0b

1b

2

luego, a la misma distancia, marcamos el 2,



Sistemas Numéricos



b

0b

1b

2b

3

luego, a la misma distancia, marcamos el 2, el 3



Sistemas Numéricos



b

0b

1b

2b

3b

4

luego, a la misma distancia, marcamos el 2, el 3 y asísucesivamente, de manera que queden todos los naturales endicha recta.



Sistemas Numéricos

Representación gráfica de los enteros

Sobre la recta,



Sistemas Numéricos


Sobre la recta, marcamos los números naturales,

b

0b

1b

2b

3b

4



Sistemas Numéricos


Sobre la recta, marcamos los números naturales, y luego, haciala izquierda los inversos aditivos de los números naturales

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4



Sistemas Numéricos


Sobre la recta, marcamos los números naturales, y luego, haciala izquierda los inversos aditivos de los números naturales

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4

y tenemos la representación en la recta de los númerosenteros.



Sistemas Numéricos

Representación gráfica de los racionales

Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4



Sistemas Numéricos


Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 ,

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12



Sistemas Numéricos


Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 , 1

4 ,

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14



Sistemas Numéricos



4 , 32 ,

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32



Sistemas Numéricos



4 , 32 , 13

4 ,

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134



Sistemas Numéricos



4 , 32 , 13

4 ,−1

3 ,

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13



Sistemas Numéricos



4 , 32 , 13

4 ,−1

3 , −125 .

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13

b

−125



Sistemas Numéricos



4 , 32 , 13

4 ,−1

3 , −125 .

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13

b

−125

y tenemos la representación gráfica de los racionales.



Sistemas Numéricos

Representación gráfica de los reales

Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13

b

−125



Sistemas Numéricos


Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√2,

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13

b

−125

b

√2



Sistemas Numéricos


Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√2,−

√3,

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13

b

−125

b

√2

b

−√

3



Sistemas Numéricos



√3, π,

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13

b

−125

b

√2

b

−√

3b

π



Sistemas Numéricos



√3, π, r1 = −3,456789101112 . . .

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13

b

−125

b

√2

b

−√

3b

πb

r1



Sistemas Numéricos



√3, π, r1 = −3,456789101112 . . .

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4b

12

b

14

b

32

b

134

b

−13

b

−125

b

√2

b

−√

3b

πb

r1

y obtenemos la representación gráfica de los números reales.



Sistemas Numéricos

Números reales

Los números que se encuentran a la derecha del cero sellaman números reales positivos , los que se encuentran a laizquierda se llaman números reales negativos . El númerocero no es ni positivo ni negativo.



Sistemas Numéricos

Números reales

Si a es positivo, entonces −a es negativo.

Si a es negativo, entonces −a es positivo.

Si a es positivo, entonces 1a es positivo.

Si a es negativo, entonces 1a es negativo.



Sistemas Numéricos

Números reales







Sistemas Numéricos

Números reales







Sistemas Numéricos

Números reales







Sistemas Numéricos

Números reales

Ejercicio

Complete

Si a = 35 , entonces −a = y 1

a =

Si a = 281, entonces −a = y 1a =

Si a = −π, entonces −a = y 1a =

Si a = 1√2, entonces −a = y 1

a =



Orden

Parte II

Orden



Orden

Orden

a > b se lee a es mayor que b,significa que a − b es positivo.En la recta real a está a la derecha de b.

a < b se lee a es menor que b,significa que a − b es negativo.En la recta real a está a la izquierda de b.



Orden

Orden

a > b se lee a es mayor que b,significa que a − b es positivo.En la recta real a está a la derecha de b.

a < b se lee a es menor que b,significa que a − b es negativo.En la recta real a está a la izquierda de b.



Orden

Orden

Ejercicio

Organice los siguientes números en orden ascendente.13 ; 0,333; 0,313233343536373839404142434445...;

0,3; 0,32; 99300 ; 98

300 .



Orden

Orden

Ley de la tricotomía

Si a y b son números reales, entonces una y solo una una delas siguientes expresiones es verdadera:

a = b, a < b o bien a > b.

Ley de los signos

Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y ab son

positivos.

Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y ab son

negativos.



Orden

Orden

Ley de la tricotomía

Si a y b son números reales, entonces una y solo una una delas siguientes expresiones es verdadera:

a = b, a < b o bien a > b.

Ley de los signos

Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y ab son

positivos.

Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y ab son

negativos.



Orden

Intervalos

Un intervalo es un subconjunto de la recta real, que contienetodos los puntos que cumplen ciertas desigualdades: x > a,x ≥ a, x < b, x ≤ b o a < x < b.Note que a < x < b es una expresión resumida de a < x yx < b.



Orden

Intervalos

Un intervalo es un subconjunto de la recta real, que contienetodos los puntos que cumplen ciertas desigualdades: x > a,x ≥ a, x < b, x ≤ b o a < x < b.Note que a < x < b es una expresión resumida de a < x yx < b.



Orden

Notación para intervalos

1 (a, b) = {x |a < x < b}2 (a, b] = {x |a < x ≤ b}3 [a, b) = {x |a ≤ x < b}4 [a, b] = {x |a ≤ x ≤ b}



Orden





Orden





Orden





Orden


1 (a,∞) = {x |x > a} ♣

♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea deque los elementos de ese intervalo se extienden infinitamenteen los positivos.



Orden


1 (a,∞) = {x |x > a} ♣2 [a,∞) = {x |x ≥ a}

♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea deque los elementos de ese intervalo se extienden infinitamenteen los positivos.



Orden


1 (a,∞) = {x |x > a} ♣2 [a,∞) = {x |x ≥ a}3 (−∞, b) = {x |x < b} ♠

♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea deque los elementos de ese intervalo se extienden infinitamenteen los positivos.♠ aquí el signo − nos indica la parte negativa de la recta real.



Orden


1 (a,∞) = {x |x > a} ♣2 [a,∞) = {x |x ≥ a}3 (−∞, b) = {x |x < b} ♠4 (−∞, b] = {x |x ≤ b}




Orden


1 (a,∞) = {x |x > a} ♣2 [a,∞) = {x |x ≥ a}3 (−∞, b) = {x |x < b} ♠4 (−∞, b] = {x |x ≤ b}5 (−∞,∞) = R




Orden

Ejemplos de intervalos

b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4



Orden


b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4

1-3(−3, 1)



Orden


b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4

1-3

-1 3

(−3, 1)

[−1, 3)



Orden


b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4

1-3

-1 3

1 3

(−3, 1)

[−1, 3)

[1, 3]



Orden


b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4

1-3

-1 3

1 3

-4 1

(−3, 1)

[−1, 3)

[1, 3]

(−4, 1]



Orden


b

0b

1b

2b

3b

4b

-1b

-2b

-3b

-4

1-3

-1 3

1 3

-4 1

-2

(−3, 1)

[−1, 3)

[1, 3]

(−4, 1]

(−2,∞)



Valor absoluto

Parte III

Valor absoluto



Valor absoluto

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real corresponde a la distanciaque hay entre él y el origen.

Definición

Sea x un número real,

|x | =

{

x si x ≥ 0,

−x si x < 0.



Valor absoluto

Valor Absoluto

Ejemplos

|24| =



Valor absoluto

Valor Absoluto

Ejemplos

|24| = 24

| − 3,7| =



Valor absoluto

Valor Absoluto

Ejemplos

|24| = 24

| − 3,7| = 3.7

| − 12,4| =



Valor absoluto

Valor Absoluto

Ejemplos

|24| = 24

| − 3,7| = 3.7

| − 12,4| = 12.4



Valor absoluto

Valor Absoluto

Ejemplos

|24| = 24

| − 3,7| = 3.7

| − 12,4| = 12.4

|x − 1| =

{

x − 1 si x − 1 ≥ 0

−(x − 1) si x − 1 < 0



Valor absoluto

Valor Absoluto

Ejemplos

|24| = 24

| − 3,7| = 3.7

| − 12,4| = 12.4

|x − 1| =

{

x − 1 si x − 1 ≥ 0

−(x − 1) si x − 1 < 0

=

{

x − 1 si x ≥ 1

−x + 1 si x < 1



Valor absoluto

Valor Absoluto

Sea a ≥ 0|x | ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a

a0−a



Valor absoluto

Valor Absoluto

Sea a ≥ 0|x | ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a

a0−a

|x | ≥ a equivale a x ≥ a o x ≤ −a

a0−a



Valor absoluto

Valor Absoluto

¿Qué pasa si a es negativo?

¿Qué pasa si a = 0?



Valor absoluto

Valor Absoluto


|x | ≤ a




Valor absoluto

Valor Absoluto


|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.




Valor absoluto

Valor Absoluto



|x | ≥ a




Valor absoluto

Valor Absoluto



|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.




Valor absoluto

Valor Absoluto





|x | ≤ 0



Valor absoluto

Valor Absoluto





|x | ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.



Valor absoluto

Valor Absoluto






|x | ≥ 0



Valor absoluto

Valor Absoluto






|x | ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.



Valor absoluto

Valor Absoluto







|x | < 0



Valor absoluto

Valor Absoluto







|x | < 0 no tiene solución.



Valor absoluto

Valor Absoluto








|x | > 0



Valor absoluto

Valor Absoluto








|x | > 0 tiene como solución a todos los reales, excepto alcero.



Valor absoluto

Valor absoluto

Propiedades

|a| ≥ 0

|a| = | − a||ab| = |a||b|∣

∣

ab

∣

∣ = |a||b|



Valor absoluto

Valor absoluto

Desigualdad triangular

|a + b| ≤ |a| + |b|Ejercicio. Encuentre números a y b para los que se cumplaque

(i) |a + b| < |a| + |b|(ii) |a + b| = |a| + |b|



Valor absoluto

Valor absoluto

Desigualdad triangular

|a + b| ≤ |a| + |b|Ejercicio. Encuentre números a y b para los que se cumplaque

(i) |a + b| < |a| + |b|(ii) |a + b| = |a| + |b|



Valor absoluto

Valor absoluto

Distancia

Si a y b son números reales, entonces la distancia entre lospuntos a y b en la recta real está dada por

d(a, b) = |b − a|.

Observe que d(a, b) = d(b, a).



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MATEMÁTICAS BÁSICAS - ciencias.unal.edu.co · Sistemas Numéricos Números Naturales Números Naturales Fueron creados por la mente humana para contar los objetos en diversas colecciones