Matemática - Universidad de Chilepeabingenieria/comagui... · Matemática 2006 Tutorial 5.3 Función Biyectiva Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva, si y sólo

TutorialMT-b15

Matemática 2006 Tutorial Nivel Básico

Relaciones y Funciones

Ma t

emática

123456

78901234567890

CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial

Relaciones y FuncionesMarco teórico:1. Producto cartesiano:

El producto cartesiano de dos conjuntos A x B se define como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto A y un elemento del conjunto B. Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, (exactamente en ese orden) recibiendo el nombre de par ordenado. Los elementos del producto cartesiano se colocan entre paréntesis, separados por una coma.

Ejemplo: A = {1,2,3} posee 3 elementos B = {x,y} posee 2 elementos

A x B = {(1,x); (1,y); (2,x); (2,y); (3,x); (3,y)} posee 6 elementos (6 pares ordenados)

2. Relación:

Se define como relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este producto cartesiano puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:

relación A x B

3. Función:

Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sólo si f es una relación de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B.

También podríamos decir que es una relación en la cuál a cada preimagen le corresponde una y sólo una imagen.

(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

4. Elementos de una función

4.1 Dominio: Corresponde a los elementos del conjunto de partida, a cada uno de estos elementos se les conoce como las preimágenes.

4.2 Codominio: Corresponde a los elementos del conjunto de llegada, a casa uno de estos elementos se les conoce como las imágenes.





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial

4.3 Rango o recorrido: Corresponde al subconjunto de imágenes que poseen preimagenes, o sea el recorrido es un subconjunto del Codominio

Ejemplo:

x

y

z

1

2

3

Conjunto de partida Conjunto de llegada

Dominio: {1,2,3} Codominio: {x,y,z}Recorrido: {x,y}

5. Clasificación de funciones:

5.1 Función Epiyectiva (o Sobreyectiva)

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A.

Ejemplo:

A = { f , a , i , r , l }B = { 2 , 4 , 6 , 8 }f = { ( f , 2 ) , ( a , 8 ) , ( i , 4 ) , ( r , 6 ) , ( l , 8 ) }

5.2 Función Inyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función inyectiva , si y sólo si cada elemento de B es imagen de a lo más un elemento de A.

Ejemplo:

A = { x , y , z }B = { 10 , 13 , 20 , 35 } f = { ( x , 35 ) , ( y , 10 ) , ( z , 20 ) }



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial

5.3 Función Biyectiva

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez .

Ejemplo:

A = { v , w , x , y }B = { 1 , 2 , 3 , 4} f = { ( v , 1 ) , ( w , 2 ) , ( x , 3 ) , ( y , 4 )}

Observar que:

Si f es una función biyectiva , entonces tiene función inversa f –1 ,la cual también es biyectiva.

6. Función inversa:

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f –1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f -1(b) = a

Para encontrar la función inversa de una función dada debemos:

a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Ejemplo: encontrar la función inversa de y = 7x –10

Primero, despejamos la variable independiente x de donde resulta x = y + 107

Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta y = x + 107

Luego, la función inversa de y = 7 x –10 es y = x + 107

7. Valorización de funciones:

Consiste en reemplazar la x de la función (también conocida como variable independiente), por el valor en cuestión de la valorización.

Ejemplos:

Si f(x) = x – 10, entoncesf(4) = 4 – 10 = – 6f(25) = 25 – 10 = 15





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial

f(0) = 0 – 10 = –10f(a + 2) = a + 2 – 10 = a – 8

8. Composición de funciones:

Dado una función f(x) y una función g(x) una composición de funciones se simboliza como fog(x) y consiste en valorizar la función f(x) en g(x), matemáticamente lo señalamos como: f(g(x)).

Ejemplo: Si una función f(x) consiste en sumar dos a x y otra función g(x) consiste en extraer la raíz cuadrada de x, la función g[f(x)] consistirá en extraer la raíz cuadrada de x + 2.

Matemáticamente,

f(x) = x + 2

g(x) = √x ,entonces gof(x) ⇒ g(f(x)) = √(x + 2)

Ejercicios:

1. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) relación(es) es(son) funciones?

I.

x

y1

2

3

II.

x1

2

III. x

y1

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I, II, II E) Ninguna



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial

2. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) relación(es) es(son) funciones?

A = {1,2,3} B = {5,6,7,8}

I. R = {(1,2)}; (1,5); (1,3)} II. R = {(1,5)}; (2,6); (3,7)} III. R = {(1,5)}; (2,6); (3,8)}

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

3. ¿Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función de A en B?

A) dominio = {1,2,3,4} recorrido = {1,2,4} A B

B) dominio = {1,2,4} recorrido = {1,2,3,4} abc

1234

C) dominio = {a,b,c} recorrido = {1,2,3,4} D) dominio = {a,b,c} recorrido = {1,2,4} E) dominio = {1,2,4} recorrido = {a,b,c}

4. ¿Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función de B en A?

A) dominio = {i,g,n} recorrido = {f,c} A B

B) dominio = {f,c} recorrido = {i,g,n} fco

ign

C) dominio = {f,c,o} recorrido = {i,g,n} D) dominio = {i,g,n} recorrido = {f,c,o} E) La relación de B en A no es una función

5. ¿Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función f(x) dentro de IR?

f(x) = 1x – 2

A) Dominio = IR Recorrido = IR B) Dominio = IR + Recorrido = IR +

C) Dominio = IR – {0} Recorrido = IR – {0} D) Dominio = IR – {2} Recorrido = IR – {2} E) Dominio = IR – {2} Recorrido = IR – {0}





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial

6. ¿Cuál es la función inversa de f(x) = √x2

?

A) f –1(x) = √x2

B) f –1(x) = 2√x

C) f –1(x) = 4x2

D) f –1(x) = 2x2

E) f –1(x) = (√x)-1

7. Si f (x) =x2, entonces f(x + 2) =

A) x + 2 B) x2

C) x2 + 4x + 4 D) x2 + 2x + 4 E) x2 + 2

8. Si f (x) = x + 3 ∧ g(x) = x3, entonces f (17) – g(2) =

A) –12 B) 8 C) 10 D) 12 E) 20

9. ¿Cuál es la función inversa de f(x) = 3x2

?

A) f(x)–1 = 23x

B) f(x)–1 = 2x3

C) f(x)–1 = x

D) f(x)–1 = 5x

E) Esta función no posee inversa



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial

10. Si f(x) = 6x – 4, entonces f –1 (2)=

A) 12

B) 1

C) 8

D) 10

E) 12

11. Si f(x) = 2x – 8 ∧ g(x) = x2, entonces fog(x) =

A) 2x - 8 B) x2 C) x2 – 8 D) 2x2 – 8 E) (2x - 8)2

12. Si f(x) = 2x + 5 ∧ g(x) = x2 + 2, entonces gof(2) =

A) 6 B) 9 C) 17 D) 81 E) 83

13. La siguiente función de A en B es :

I. Epiyectiva A B

II. Inyectiva w

g

11

12

III. Biyectiva

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II, III





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Tutorial

14. si f(x) = 2x – 144 ¿Cuál es el dominio de f –1(x) dentro de IR?

A) IR B) IN C) Z D) IR – {0} E) IR – {72}

15. Si f(x) = 2x + 5 ; g(x) = x + 2 ∧ h(x) = 11, entonces ( gof )–1(h(x)) =

A) 2 B) 4 C) 13 D) 27 E) 29

Respuestas

Preg. Alternativa1 B2 E3 D4 A5 E6 C7 C8 D9 B10 B11 D12 E13 E14 A15 A



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario

Solucionario1. Alternativa correcta letra B)

Recordando que Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sólo si f es una relación de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. En cuanto a los diagramas podemos decir que estos son funciones si:

• existen líneas conectando todos los elementos del conjunto de partida, con los elementos del conjunto de llegada y

• los elementos del conjunto de llegada están conectados con sólo una línea con los elementos del conjunto de llegada.

Por lo tanto, el diagrama I no es función pues el elemento “3” no esta conectado con ningún elemento del conjunto de llegada.

El diagrama II si es función.

El diagrama III no es función pues desde el elemento del conjunto de partida salen dos líneas al conjunto de llegada.

2. Alternativa correcta letra E)

Recordando que sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sólo si f es una relación de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. Entonces:

El ítem I no es una función pues al elemento ”1” del conjunto A le corresponden tres elementos en B.

Los item II y III son funciones pues satisfacen el enunciado.

3. Alternativa correcta letra D)

Recordando que el dominio corresponde a los elementos del conjunto de partida el dominio corresponde a los elementos {a,b,c}.

Y dado que el recorrido son los elementos del conjunto de llegada que poseen preimágenes, entonces el recorrido esta formado por los elementos {1,2,4}.





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario

4. Alternativa correcta letra A)

Observar que se pide realizar la función de B en A y no la función de A en B, por lo tanto el conjunto de partida es B y el conjunto de llegada es A.

Recordando que el dominio corresponde a los elementos del conjunto de partida el dominio corresponde a los elementos {i,g,n}.

Y dado que el recorrido son los elementos del conjunto de llegada que poseen preimagenes, entonces el recorrido esta formado por los elementos {f,c}.


En una función expresada de la forma f(x) = 1x – 2

El dominio corresponde a los valores que puede tomar la variable x, recordemos además que un denominador debe ser siempre distinto de cero para que pertenezca a los reales, y dado que 2 –2 = 0, entonces el dominio corresponde a todos los reales menos el número dos.

El recorrido corresponderá a los valores que puede tomar la variable y una vez despejada la variable x, luego despejando y

y = 1x – 2

(Multiplicado por (x –2) ambos lados de la ecuación)

(x –2)y = 1 (Multiplicando el lado izquierdo de la ecuación)

xy –2y = 1 (Sumando 2y a ambos lados de la ecuación)

xy = 1 + 2y (Dividiendo por x ambos lados de la ecuación)

x = 1 + 2yy

Finalmente recordemos que un denominador debe ser siempre distinto de cero para que pertenezca a los reales por lo cual “y” debe ser distinta de cero, luego el recorrido es:

IR – {0}

6. Alternativa correcta letra C)

Recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada debemos:




Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario


Entonces para encontrar la función inversa de y = √x2

Primero, despejamos la variable independiente x de donde resulta:

x = (2y)2 (Desarrollamos la potencia)

x = 4y2 Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta:

y = 4y2

Luego, la función inversa de f(x) = √x2

es f –1(x) = 4x2

7. Alternativa correcta letra C)

Este es un ejercicio de valorización en la función f(x) = x2 debemos reemplazar la x por el valor pedido para la valorización (x + 2) de donde resulta:

f(x + 2) = (x + 2)2 Luego desarrollando el cuadrado de binomio, recordamos que (a + b) = a2 + 2ab + b2 de donde resulta:

f(x + 2) = x2 + 4x + 4


Este es un ejercicio de valorización en la función f(x) = x + 3 debemos reemplazar la x por el valor pedido para la valorización: 17 de donde resulta:

f(17) = 17 + 3 = 20

Además en la función g(x) = x3 debemos reemplazar la x por el valor pedido para la valorización: 2 de donde resulta:

g(2) = 23 = 8

Finalmente f(17) – g(2)= 20 – 8 = 12

9. Alternativa correcta letra B)

Recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada debemos:







Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario

Entonces para encontrar la función inversa de y = 3x2

Primero, despejamos la variable independiente x, de donde resulta:

x = 2y3

Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta:

y = 2x3

Luego, la función inversa de f(x) = 3x2

es f –1(x) = 2x3

10. Alternativa correcta letra B)

Recordemos que el paso final para encontrar la función inversa era Intercambiar la x por la y, y la y por la x. Por lo tanto cuando nos piden valorizar una función inversa basta con valorizar en y en vez de x, de donde resulta:

f(2)–1 ⇒ 2 = 6x – 4 (Sumando 4 a ambos lados de la ecuación) 6 = 6x (Dividiendo por 6 ambos lados de la ecuación) 1 = x

por lo tanto si f(x) = 6x – 4, entonces f –1(2), resulta igual a 1


Recordando que la expresión fog(x) consiste en valorizar la función f(x) en g(x), lo que matemáticamente señalamos como: f(g(x))

Entonces fog(x) = f(g(x)) De donde resulta:

f(g(x)) = 2(g(x)) – 8 Y dado que g(x) = x2, entonces: f(g(x)) = 2(x2) – 8 Multiplicando resulta: f(g(x)) = 2x2 – 8


Recordando que la expresión gof(x) consiste en valorizar la función g(x) en f(x), lo que matemáticamente señalamos como: g(f(x))

Entonces gof(x) = g(f(x)) De donde resulta:

g(f(x)) = (f(x))2 + 2 Y dado que f(x) = 2x + 5, entonces:

g(f(x)) = (2x + 5)2 + 2 Luego desarrollando el cuadrado de binomio, recordamos que (a + b) = a2 + 2ab + b2 de donde resulta:



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario





Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario

g(f(x)) = 4x2 + 20x + 25 + 2 (Sumando)

g(f(x)) = 4x2 + 20x + 27 (Finalmente para encontrar gof(2) debemos valorizar en 2)

gof(2) = 4(2)2 + 20 · 2 + 27 (desarrollando la potencia)

gof(2) = 4 · 4 + 20 · 2 + 27 (Multiplicando)

gof(2) = 16 + 40 + 27 (Finalmente sumando)

gof(2) = 83


Recordando que una función es Epiyectiva (o Sobreyectiva) si

Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A.

Podemos concluir que la función es epiyectiva pues al elemento “11” y “12” les corresponde un elemento del conjunto A.

Recordando que una función es Inyectiva si

Sea f una función de A en B, f es una función inyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de a lo más un elemento de A.

Podemos concluir que la función es epiyectiva pues al elemento 11” y “12” les corresponde sólo un elemento del conjunto A.

Y finalmente recordando que una función es Biyectiva cuando es epiyectiva e inyectiva a la vez , podemos concluir que la función es biyectiva también.


f(x) = 2x – 144 ¿Cuál es el dominio de f –1(x) dentro de IR

Primero calcularemos la función inversa de f(x) = 2x – 144

Para eso recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada debemos:







Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario



Mat

emát

ica

200

6

Mat

emát

ica

200

6 Solucionario

Entonces para encontrar la función inversa de y =2x – 144

(Primero, despejamos la variable independiente x)

y + 144 = 2x (Dividiendo por 2 a ambos lados de la ecuación)

x = y + 1442

(Segundo, intercambiamos ambas variables)

y = x + 1442

Luego, la función inversa de f(x) = 2x – 144 es f –1(x) = x + 1442

Luego como el dominio corresponde a los valores que puede tomar la variable x, el dominio de la función inversa corresponderá a todos los reales


Primero debemos encontrar gof(x)

Recordando que la expresión gof(x) consiste en valorizar la función g(x) en f(x), lo que matemáticamente señalamos como: g(f(x))

Entonces gof(x) = g(f(x)) De donde resulta:

g(f(x)) = (f(x)) + 2 Y dado que f(x) = 2x + 5 ,entonces: g(f(x)) = (2x + 5) + 2 (Luego, sumando) g(f(x)) = 2x + 7

con lo cual entonces gof(x) = 2x + 7

Ahora bien debemos calcular (gof )–1(h(x)) y dado que h(x) = 11, equivale a calcular (gof )–1(11)

También debemos recordar que el paso final para encontrar la función inversa era Intercambiar la x por la y, y la y por la x. Por lo tanto cuando nos piden valorizar una función inversa basta con valorizar en y en vez de x, de donde resulta:

(gof )–1(11) ⇒ 11 = 2x + 7 (Restando 7 a ambos lados de la ecuación) 4 = 2x (Finalmente, dividiendo por 2 ambos lados de la ecuación) 2 = x

Documents

Matemática - Universidad de Chilepeabingenieria/comagui... · Matemática 2006 Tutorial 5.3 Función Biyectiva Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva, si y sólo