Embed Size (px)
Citation preview
COMANDO GERAL DE TECNOLOGIA AEROESPACIAL
GRUPO ESPECIAL DE ENSAIOS EM VÔO
ESQUADRÃO DE FORMAÇÃO EM ENSAIOS EM VÔO
CURSO DE PREPARAÇÃO PARA RECEBIMENTO DE AERONAVES
MATEMÁTICA
AC-02
ii
CONTROLE DE REVISÕES
REVISÃO AUTOR(ES) DATA
ORIGINAL
1ª REVISÃO
2ª REVISÃO
3ª REVISÃO
4ª REVISÃO
iii
SUMÁRIO
1 - NOÇÕES BÁSICAS (I)........................................... 1
1.1 - OBSERVAÇÕES SOBRE A OPERAÇÃO DIVISÃO....................... 1
1.2 - PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO (ENTRE NÚMEROS)................................................... 1
1.3 - PROPRIEDADES DA RELAÇÃO DE IGUALDADE (ENTRE NÚMEROS)....... 2
1.4 - POTENCIAÇÃO................................................ 3
1.5 - RADICIAÇÃO................................................. 4
1.6 - RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES..................................... 5
1.7 - EQUAÇÕES DO 2o GRAU ........................................ 6
1.8 - SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS ... 8
1.9 - INEQUAÇÕES DO 1o GRAU ..................................... 10
1.10 - PRODUTOS NOTÁVEIS........................................ 10
1.11 - FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS.................................. 11
1.12 - RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES.......................... 13
2 - NOÇÕES BÁSICAS (II)......................................... 15
2.1 - CONJUNTOS................................................. 15
2.1.1 - Noções Primitivas....................................... 15
2.1.2 - Definições.............................................. 16
2.1.3 - Operações com Conjuntos................................. 19
2.1.3.1 - Reunião (ou união) de conjuntos....................... 19
2.1.3.2 - Interseção de conjuntos............................... 19
2.1.3.3 - Diferença de Conjuntos................................ 20
2.1.3.4 - Complementar de B em A................................ 21
2.2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS....................................... 23
2.2.1 - Conjunto dos Números Naturais: N........................ 23
2.2.2 - Conjunto dos Números Inteiros: Z........................ 24
2.2.3 - Conjunto dos Números Racionais: Q....................... 25
2.2.4 - Conjunto dos Números Reais: R........................... 26
2.2.5 - Reta Numérica........................................... 27
2.3 - MÓDULO.................................................... 29
2.3.1 - Definição............................................... 29
2.3.2 - Propriedades............................................ 30
2.4 - POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL................................. 30
2.5 - LOGARITMOS................................................ 31
2.5.1 - Definição............................................... 31
2.5.2 - Propriedades dos Logaritmos............................. 33
2.5.3 - Logaritmos Especiais.................................... 36
iv
3 - NOÇÕES BÁSICAS (III)........................................ 37
3.1 - GEOMETRIA................................................. 37
3.1.1 - Geometria Plana......................................... 37
3.1.1.1 - Ângulo................................................ 37
3.1.1.2 - Outras Definições Importantes......................... 38
3.1.1.3 - Triângulos............................................ 40
3.1.1.4 - Teorema das Paralelas (ou de Tales)................... 42
3.1.1.5 - Área dos Principais Polígonos......................... 44
3.1.2 - Geometria Espacial...................................... 47
3.2 - TRIGONOMETRIA............................................. 52
3.2.1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo.................... 52
3.2.2 - Radiano................................................. 55
3.2.3 - Circunferência Trigonométrica........................... 56
3.2.4 - Arcos Côngruos.......................................... 58
3.2.5 - Relações Trigonométricas................................ 60
3.2.6 - Trigonometria num Triângulo Qualquer.................... 64
3.2.7 - Adição e Subtração de Arcos............................. 65
3.2.8 - Arco Duplo.............................................. 67
3.2.9 - Transformação em Produto (fatoração trigonométrica)..... 68
3.2.10 - Arcos Complementares................................... 69
3.2.11 - Redução ao Primeiro Quadrante.......................... 70
3.3 - GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA................................. 73
3.3.1 - O Ponto................................................. 73
3.3.2 - A Reta.................................................. 76
3.3.3 - Coeficiente Angular de uma Reta......................... 77
3.3.4 - Forma Reduzida da Equação da Reta....................... 78
3.3.5 - Feixe de Retas Concorrentes............................. 79
3.3.6 - Paralelismo e Perpendicularismo......................... 81
3.4 - POLINÔMIOS................................................ 83
3.4.1 - Introdução.............................................. 83
3.4.2 - Operações com Polinômios................................ 85
3.4.3 - Teorema do Resto........................................ 87
3.4.4 - Teorema de D’Alembert................................... 88
3.4.5 - Dispositivo Prático de Briot-Ruffini.................... 88
4 - FUNÇÕES.................................................... 102
4.1 - GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES.............................. 102
4.1.1 - DEFINIÇÕES 1........................................... 102
4.1.2 - Função Real de Uma variável Real....................... 104
v
4.1.3 - DEFINIÇÕES 2........................................... 106
4.1.4 - Função Composta e Função Inversa....................... 108
4.2 - PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES........................... 113
4.2.1 - Função Constante....................................... 113
4.2.2 - Função Identidade...................................... 114
4.2.3 - Função Afim............................................ 114
4.2.4 - Função Modular......................................... 115
4.2.5 - Função Quadrática (ou Função Trinômio do 2o Grau) ...... 115
4.2.6 - Função f : x → x3 ..................................... 118
4.2.7 - Função Recíproca....................................... 119
4.2.8 - Função Exponencial de Base a........................... 120
4.2.9 - Funções Trigonométricas................................ 121
4.2.10 - Função Logarítmica.................................... 123
4.2.11 - Funções Trigonométricas Inversas...................... 124
4.3 - FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS ABERTAS............. 126
5 - VARIAÇÃO DO SINAL DAS FUNÇÕES.............................. 135
5.1 - INTRODUÇÃO............................................... 135
5.2 - EQUAÇÕES................................................. 137
5.2.1 - Definições............................................. 137
5.2.2 - Equações Polinomiais................................... 138
5.2.3 - Equações Trigonométricas............................... 141
5.2.4 - Exemplos Diversos...................................... 145
5.3 - INEQUAÇÕES............................................... 148
5.3.1 - Definições............................................. 148
5.3.2 - Sinal das Funções Afim e Quadrática.................... 149
5.3.3 - Solução Geral de Inequação............................. 150
5.4 - IDENTIDADE............................................... 161
5.4.1 - Definição.............................................. 161
6 - LIMITE..................................................... 169
6.1 - NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO............................ 169
6.2 - LIMITES LATERAIS......................................... 173
6.3 - LIMITES INFINITOS........................................ 175
6.4 - LIMITES NO INFINITO...................................... 180
7 - CONTINUIDADE............................................... 197
7.1 - NOÇÃO DE CONTINUIDADE.................................... 197
7.1.1 - Definição.............................................. 197
7.1.2 - Definição.............................................. 198
7.1.3 - Definição.............................................. 198
vi
7.1.4 - Definição.............................................. 198
7.1.5 - Definição.............................................. 198
7.2 - PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS....................... 201
8 - DERIVADAS.................................................. 204
8.1 - INTRODUÇÃO - VELOCIDADE INSTANTÂNEA...................... 204
8.2 - DERIVADA................................................. 208
8.2.1 - Derivada no Ponto xo ................................... 208
8.2.2 - Função Derivada........................................ 210
8.2.3 - Tabela de Derivadas.................................... 211
8.2.4 - Derivadas Sucessivas................................... 213
8.2.5 - Equações Diferenciais.................................. 215
8.3 - GRÁFICOS E DERIVADAS..................................... 216
8.3.1 - Interpretação Geométrica da Derivada................... 216
8.3.2 - Derivada e continuidade................................ 217
8.3.3 - Variação das Funções................................... 219
9 - NOÇOES DE CÁLCULO INTEGRAL................................. 247
9.1 - INTRODUÇÃO - ÁREA........................................ 247
9.2 - A INTEGRAL DEFINIDA...................................... 249
9.2.1 - Partição............................................... 249
9.2.2 - Norma.................................................. 249
9.2.3 - Soma de Riemann........................................ 250
9.2.4 - Função Integrável...................................... 250
9.3 - O CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA........................... 250
9.3.1 - PRIMITIVA.............................................. 251
9.3.2 - CÁLCULO DA PRIMITIVA................................... 251
9.4 - ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO........................... 254
9.4.1 - Integração por Substituição............................ 254
9.4.2 - Integração por Partes.................................. 255
9.4.3 - Exemplos:.............................................. 257
AC-02
1
1 - NOÇÕES BÁSICAS (I)
1.1 - OBSERVAÇÕES SOBRE A OPERAÇÃO DIVISÃO
2
6= 3 pois 3.2 = 6
2
0 = pois O.2 = O
0
6 = nenhum número (operação inexistente), pois (nenhum
número) .0 = 6
0
0 = qualquer número (resultado indeterminado), pois
(qualquer número).O = O
1.2 - PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO (ENTRE NÚ-
MEROS)
1) Comutativa (comutar = trocar)
a + b = b + a (a ordem das parcelas não altera a soma)
a . b = b . a (a ordem dos fatores não altera o produto)
2) Associativa
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) .c = a . (b. c)
3) Elemento neutro
- da adição é o número zero;
a + O = a e O + a = a, ∀a
Não existe divisão por zero
0
0 Símbolo de indeterminação
AC-02
2
- da multiplicação é o número um.
a . 1 = a e 1 . a = a, ∀a
4) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à
adição
x . (a + b) = x . a + x. b
1.3 - PROPRIEDADES DA RELAÇÃO DE IGUALDADE (ENTRE NÚMEROS)
1) Reflexiva: qualquer número se relaciona com ele mesmo
através da relação de igualdade (=)
aa = ∀a
2) Simétrica: se um número se relaciona com outro através
da relação de igualdade (=) , então a recíproca também
é verdadeira.
a = b ⇔ b = a ∀a, ∀b
3) Transitiva: se um número se relaciona com outro
através da relação de igualdade (=) e este outro com
um terceiro, então o primeiro se relaciona com o
terceiro através da igualdade (=)
cb
ba
==
ca =⇒ ∀a, ∀b, ∀c
Qualquer relação com estas três propriedades é denominada
relação de equivalência. Outros exemplos:
a - a relação "ser semelhante" (entre triângulos) é de
equivalência;
b - a relação "igualdade" (entre conjuntos) é de
equivalência;
c - a relação "ser perpendicular" (entre retas) não é de
equivalência.
AC-02
3
1.4 - POTENCIAÇÃO
an = a . a . a ... . a
n fatores
expoente
25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
base potência
Quando a base e o expoente é par ⇒ potência positiva
é negativa (-2)4 = 16
e o expoente é impar ⇒ potência negativa
(-2)3 = -8
- Propriedades
1a) am . an = am+n 27 . 29 = 216
2a) am : an = am-n 56 : 58 = 5-2
3a) (a . b)n = an . bn (-2x)4 = 16x4
4a) (a : b)n = an:bn 9
4)
3
2( 2 =
5a) (am)n = amn 1472 5)5( =
- Expoente um: torna a potência igual à base
51 = 5 ; 101 = 10
- Expoente zero: torna a potência igual a um
15o = 1 ; (-2)o = 1 ; 1)7
3( 0 =
- Expoente negativo: inverte a base (que não pode ser zero)
e torna-se positivo
15157
733 2)2
1(;
3
13;)
2
5()
5
2( === −−−
AC-02
4
- Expoente racional: o denominador torna-se índice de um
radical 82/3 = 33;8 2/13 2 =
1.5 - RADICIAÇÃO
A raiz n-ésima de um número b é um número a tal que
an = b.
índice raiz
2325 = pois 25 = 32
(n ∈ N*) radical radicando
Outros exemplos:
283 = pois 23 = 8
283 −=− (-2)3 = - 8
- Propriedades (para a ≥ 0, b ≥ 0
1) m na =
p:n p:na 3 215 10 33 =
2) nnn b.ab.a = 2.36 =
3) nnn baba :: = (b > 0)
4
44
16
5
16
5=
4) m nnm a)a( =
3 553 x)x( =
5) mnm n aa = 105 33 =
- Base negativa e índice par
39e9)3(pois39 2 ==−−=−
bab nn =⇒=
AC-02
5
- Radicando negativo
8)2(pois28 33 −=−−=−
16)realnenhum(poisrealnenhum16 44 −==−
2)2(;0aseae0aseaa 22 =−<−≥=
1.6 - RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES
Isola-se a incógnita por transposição dos números (de um
membro para o outro da equação) e concomitante inversão das
operações por eles efetuadas:
adição subtração
multiplicação divisão
potenciação radiciação
Exemplos:
a) x + 2 = 7 ⇒ x = 7 - 2
b) p – 1 = 0 ⇒ p = 0 + 1
c) -2x = 8 ⇒ x = 2
8
−
Não existe raiz real de número negativo se o índice do radical for par.
AC-02
6
d) 2
7n + = 1 ⇒ n + 7 = 2 . 1
e) x3 = 8 ⇒ x = 3 8
f) 1x + = 3 ⇒ x + 1 = 32
x = 2, pois 24 = 16
g) x4 = 16 ⇒ x = ±4 16 = ±2
x = -2, pois (-2)4 = 16
1.7 - EQUAÇÕES DO 2o GRAU
São todas as equações na forma ax2 + bx + c= O, onde a, b e
c são números reais e a ≠ 0.
Chama-se discriminante da equação do 2o grau o número
∆ = b2 -4ac
- se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.
- se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais.
se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Nos dois últimos casos, as raízes podem ser encontradas
pela fórmula e resoluçao: a2
bx
∆±−=
Exemplos:
a = 3
a) 3x2 – x + 2 = 0 b = -1
c = 2
∆ = (-1)2 -4 . 3 . 2 = -23 ⇒ não tem raízes reais
AC-02
7
a = 4
b) 4x2 – 4x + 1 = 0 b = -4
c = 1
∆ = (-4)2 – 4 . 4 . 1 = 0 ⇒ uma raiz real
x = 2
1
8
4
4.2
0)4(==
±−−
a = 1
c) x2 + 2x - 3 = 0 b = 2
c = -3
∆ = 22 – 4 . 1 . (-3) = 16 ⇒ duas raízes reais
x =
−==
=±−
=±−
3x
1x
2
42
1.2
162
2
1
Vale também a relação:
x2 – Sx + P = 0 onde S = -b/a = x1 + x2
P = c/a = x1 . x2
Neste caso a equação pode ser resolvida por tentativa:
Exemplo:
a) x2 -5x + 6 = O
S = -b/a = 5)1
5( =−
−
P = c/a = 61
6=)(
==
∴
=
=+∴
3x
2x
6x.x
5xx
2
1
21
21
b) 2x2 + 2x - 4 = O ⇔ x2 + x – 2 = O
S = 12
2−=
−
P = 2)2
4( −=−
−==
∴
−=
−=+∴
2
1
2
1
2
1
21
21
x
x
x.x
xx
AC-02
8
1.8 - SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
Exemplo:
2x + 3y = 1
5x- 4y = 7
Existem vários métodos de resolução, entre os quais:
1) Método de Adição
Exemplos:
Somamos as equações membro a membro, desde que isto
provoque a eliminação de uma das incógnitas e a resolução da
outra.
3x + 2y = 2
x - 2y = -6
4x = -4
Se, x = -1 então, em qualquer das equações dadas
(por exemplo, a primeira) :
3(-1) + 2y = 2 ⇒2y = 2 + 3 ⇒
A solução é o par ordenado (-1 2
5, )
b) Só nos interessa somar as equações se nelas houver
termos que só diferem pelo sinal, pois eles serão eliminados na
soma. Caso contrário, escolhemos uma das incógnitas e, com os seus
coeficientes, preparamos as equações para serem somadas.
=−
=+
9y6x2
7y4x3
diferentealsincomxde
escoeficientostornando
=−
=+
− 9y6x2
7y4x3
3
2
x = -1
2
5y =
AC-02
9
Multiplicando 26
13
27186
1486 −=
−=+−=+
yyx
yx ⇒
⇒
Substituindo por 2
1− numa das equações dadas (por exemplo,
a segunda):
2x – 6(2
1− ) = 9 ⇒ 2x + 3 = 9 ⇒
Solução do sistema: (3, - 2
1)
2) Método da Substituição
Isolamos uma das incógnitas em uma das equações e
substituímos, na outra equação, essa incógnita pela expressão
encontrada.
2x + 3y = 1
4x – 2y = 0 ⇒ 2
y31x
−=
⇒=−−⇒=−−
0262022
314 yyy)
y(
Substituindo esse valor numa das duas equações (por
exemplo, na segunda) :
4x -2(4
1) = 0 ⇒ 4x -
2
1 = 0 ⇒
A solução é o par ).,(4
1
8
1
2
1−=y
8
1x =
4
1y =
3x =
AC-02
10
1.9 - INEQUAÇÕES DO 1o GRAU
São desigualdades relacionadas pelas relações de ordem < e
≤ e suas respectivas inversas > e ≥. Podem ser resolvidas como as
equações do 1° grau (isolando-se a incógnita). Mas, se for
necessário multiplicar ou dividir os membros da inequação por um
número negativo, devemos inverter a relação de ordem.
5 - 3x ≤ 7 + 5x ⇒ -3x -5x ≤ 7 - 5 ⇒
8 passa dividindo
⇒ -8x ≤ 2 X ≥ 8
2
−
1.10 - PRODUTOS NOTÁVEIS
Por serem usuais, algumas multiplicações de expressões
algébricas podem ser efetuadas observando-se os seguintes modelos:
1) Produto da soma pela diferença:
(x3 + 5) (x3 -5) = (x3)2 – 52 = x6 – 25
Quadrado da soma:
(3m + 5n)2 = (3m)2 + 2 . 3m . 5n + (5n)2 = 9m2 + 30mn + 25n2
4
1x
−≥
(a + b) (a - b) = a2 – b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
AC-02
11
Quadrado da diferença:
1a4
a11.
2
a2)
2
a()1
2
a(
2222 +−=+−=−
1.11 - FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Podemos transformar polinômios em multiplicações de
expressões mais simples, aplicando os casos de fatoração, entre os
quais destacamos:
1° Caso) Fator comum aos termos: pode ser colocado em
evidência.
Exemplo:
4x2y + 6xy2 – 2xy = 2.2.x.x.y + 2.3.x.y.y – 2xy =
= 2xy . (2x + 3y – 1)
2° Caso) Diferença de dois quadrados: é o produto da soma
pela diferença (1° produto notável).
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
ax + bx = x (a + b)
a2 – b2 = (a + b) . (a –b)
AC-02
12
Exemplo:
9x2 – 4 = (3x + 2) (3x – 2)
(3x)2 22
3° Caso) Trinômio quadrado perfeito: é o quadrado de uma
soma ou de uma diferença (2° e 3° produtos notáveis).
Exemplos:
a) x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y)2
(x)2 - 2.(x).(5y) + (5y)2
b) 36a4 + 12a2 + 1 = (6a2 + 1)2
(6a2)2 + 2.6a2.1 + (1)2
40 Caso) Trinômio do 2º grau: é o primeiro membro de uma
equação do 2o grau onde x1 e x2 são as raízes da equação
ax2 + bx + c = 0.
Exemplo: 2x2 - 4x -6 = a (x –x1) (x- x2)
a = 2
2x2- 4x - 6 = b = -4
c = -6
4
84
2.2
64)4(x64)6(.2.4)4( 2 ±
=±−−
=⇒=−−−=∆ x1 = -1
x2 = 3
Logo 2x2 -4x -6 = 2 .(x + 1) (x- 3)
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)
AC-02
13
1.12 - RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Consiste em eliminar os radicais do denominador sem alterar
a fração.
1º Caso) Radical com índice 2: multiplicam-se o numerador e
o denominador da fração pelo próprio radical a ser eliminado.
Exemplo:
10
53
52
53
552
53
52
3 .
.
.
.
.===
2º Caso) Dois radicais com índice 2: multiplicam-se
numerador e denominador pelo conjugado do denominador. (Obs: o
conjugado de a + b é a - b, e vice-versa) .
2
35
35
35
35
35
)notávelproduto1()35)(35(
)35(1
35
1
22
o
−=
−−
=−
−
==−+
−=
+
AC-02
14
SIMBOLOGIA
Exemplos
= igual a x . x = x2
< menor que 4 < 7
≤ menor ou igual a 8 ≤ 8
> maior que -3 > -5
≥ maior ou igual a 6 ≥ 5
≅ aproximadamente igual a
≠ diferente 532 ≠≠
∀ para todo, qualquer que seja ∀x, x - 1 < x
⇒ implica, então x > 2 ⇒ x > O
⇔ equivale, se e somente se x > 5 ⇔ 5 < x
∞ infinito (não é um número 0,1,2,3, ... ∞
tal que
∃ existe ∃ x 2x = 2
não existe xx + 1 = x
∃ existe um e um só ∃ x x = 4
⊥ é perpendicular a
// é paralelo a
∴ portanto
∈ é elemento de 3 ∈ {1,2,3}
⊂ é subconjunto de {3} ⊂ {1,2,3}
≅≅
≅
14,3
73,13
41,12
π
∃
/
∃
/
AC-02
15
2 - NOÇÕES BÁSICAS (II)
2.1 - CONJUNTOS
2.1.1 - Noções Primitivas
No estudo da Teoria dos Conjuntos certas noções são
consideradas primitivas, isto é, aceitas sem definição. São
consideradas primitivas as noções de conjunto, elemento e
pertinência.
Atente para as seguintes frases:
- "conjunto das flores"
- "rosa pertence ao conjunto das flores"
- "rosa é um elemento do conjunto das flores"
Observe que, mesmo não sendo definidas as palavras
conjunto, elemento e pertinência, todos nós temos uma perfeita
compreensão do significado de cada uma delas.
Adotaremos as seguintes convenções:
conjunto: indicamos com maiúscula: A,B,C,
Elemento: indicamos com letra minúscula: a,b,c,
Pertinência: o símbolo ∈ deve ser lido como "é elemento
de" ou "pertence a". O símbolo ∉ é a negação de ∈.
Exemplos:
a) a ∈ A, deve ser lido: "elemento a pertence ao conjunto
A".
b) b ∉ C, deve ser lido: "elemento b não pertence ao
conjunto C".
c) B ∈ A está incorreto, pois relaciona conjunto com
conjunto.
Um conjunto pode ser representado de três maneiras básicas:
1o) Pela enumeração de seus elementos.
Exemplos:
a) conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}
AC-02
16
b) conjunto dos números pares não negativos:
{0,2,4,6,8, ...}
c) conjunto dos inteiros de 1 a lO: {1,2,3, ..., 10}
2o) Enunciando uma propriedade que caracteriza seus
elementos.
A= {x | x possui tal propriedade} A barra vertical quer
dizer
"tal que".
Exemplos :
{x | x é vogal}
{x | x é número par não negativo}
{x | x = 5n e n ∈ Ζ} = conjunto dos múltiplos de 5.
3a.) Associando seus elementos a pontos dentro de uma linha
fechada que não se entrelaça {diagramas de Euler-Venn) {Fig. 2.1).
2.1.2 - Definições
Conjunto unitário é aquele que tem um só elemento.
Exemplos :
a) {1} b) {15} c) {x | x é mês com inicial d}
AC-02
17
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A
for elemento de B e todo elemento de B for elemento de A.
Simbolicamente, escrevemos:
A = B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B )
Exemplos:
a) {1,5,7,9} = {9,7,5,1}
b) {2,4,6} = {4,2,6} (não interessa a ordem!)
c) {2,4,2,2} = {2,4} {elementos podem repetir!)
Se dois conjuntos são diferentes, escrevemos A ≠ B
Dois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos em
comum.
Exemplos:
a) {3,4} e {2,5}
b) {a,e,i} e {b,f,g,h}
c) {3,4} e {3,4,5} são diferentes, mas não são disjuntos.
Chamamos de conjunto vazio aquele que não possui elemento e
indicamos por ∅ ou { }.
Exemplo: A = {x | x + 1 = x}
Portanto, A= ∅ ou A ={ } pois ∃ x | x + 1 = x.
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente
se, todo elemento de A for também elemento de B. Notação: A ⊂ B
Lê-se: "A é subconjunto de B" ou "A está contido em B".
Simbolicamente, temos:
A ⊂ B ⇔(∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Exemplos:
a) {0,1} c {0,1,2,3}
b) {2, 3, 5} ⊂ {1,2 ,3 , ...}
AC-02
18
c){1,2,3}⊂{1,2,3}
d) T ⊂ M
Observações:
1) Da mesma forma que dizemos que "A está contido em B",
podemos dizer que "B contém A" e anotamos: B ⊃ A.
2) ⊄ "não contido"
3) "não contém"
Já vimos que os símbolos ∈ e ∉ só podem ser usados para
relacionar elemento com conjunto; observe agora que os símbolos ⊂,
⊃, ⊄, só podem ser usados para relacionar conjunto com conjunto.
Assim:
A ⊂ B corretos
A ⊂ G
a ⊂ A (a é subconjunto de A), é incorreto, pois está
relacionando elemento com conjunto. O modo correto seria a ∈ A (a
é elemento de A).
4) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
5) Dado um conjunto com n elementos, o total de
subconjuntos pode ser calculado por 2n.
Exemplos:
a) Dado o conjunto {1, 2, 3}, em que n = 3, teremos
23 = 2 .2 .2 = 8 subconjuntos, que são:
{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2, 3}, {1,2, 3}, ∅
b) Dado o conjunto {a, b, c, d}, em que n = 4, o total de
subconjuntos será 24 = 2.2.2.2 = 16
M
T
AC-02
19
2.1.3 - Operações com Conjuntos
2.1.3.1 - Reunião (ou união) de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se conjunto união (ou
reunião) de A e B ao conjunto C dos elementos que pertencem a A ou
a B. Simbolicamente: C = A ∪ B lê-se: "A união B"
Exemplos:
a) {1,2} ∪ {3,4} = {1,2,3,4}
b) {1,2,3} ∪ {3,2,5} = {1,2,3,5}
c) {2,5} ∪ {2,4,5} = {2,4,5}
d) {1,2,3} ∪ ∅ = {1,2,3}
e) {1,2} ∪ {4,6} ∪ {3,4} = {1,2,3,4,6}.
f) Em diagrama:
Note, pelos exemplos c e d, que:
B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A
2.1.3.2 - Interseção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B ao
conjunto C formado por elementos que pertençam a A e a B
simultaneamente. Simbolicamente: C = A ∩ B lê-se: "A inter B"
C = A ∪ B = {x ∈ A ou x ∈ B
C = A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
AC-02
20
Exemplos:
a) {1,2,3}∩{2,3,4} = {2,3}
b) {a,b,c,d}∩{a} = {a}
c) {2,4,6}∩ {246} = ∅
d) {1,3,5} ∩ {2,4,6} = { }
e) {1,2,3}∩{ } = { }
f) Em diagrama:
Note, pelos exemplos b e e, que:
B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B
2.1.3.3 - Diferença de Conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre os
conjuntos A e B (nesta ordem) ao conjunto C formado pelos
elementos que pertençam a A e não pertençam a B.
Simbolicamente:
Exemplos:
a) A = {a, b, f}
B = {b, c, d, e}
A - B = {a, f}
B - A = {c, d, e}
b) {2,4} - {2,4,6} = { }
c) { } - {2,4} = { }
d) {2,4} - { } = {2,4}
C = A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
AC-02
21
e) Em diagrama:
2.1.3.4 - Complementar de B em A
Dados dois conjuntos A e B, com a condição de B estar
contido em A, chama-se complementar de B em relação a A ao
conjunto A – B e escrevemos:
Observação:
Um conjunto U é chamado universo quando contém todos os
outros conjuntos considerados. O complementar de um conjunto A
qualquer em relação a U pode ser representado por A’, ou seja:
A' = AUACU −=
Exemplos:
a) B = {2,4,6} e A = {1,2,3,4,5,6}
BCA = A – B = {1,3,5}
b) A = {a,b,c} e B = {a,b,c,d,e}
B
AC não é possível, pois B ⊄ A
A
BC = B - A = {d,e}
c) U = {3,4,5,6,7,8} ; A = {3,5,6} e B = {5,8}
A' = {4,7,8}
B' = {3,4,6,7}
CA B = A - B
AC-02
22
d) Em diagrama:
Os exemplos abaixo ajudarão ao leitor fixar as definições
acima apresentadas.
A = {1,2,3,4}
B = {2,4,6,8}
C = {1,3,4,5,7}
1) A ∪ B ∪ C
Solução:
A∪B∪C = {1,2,3,4,6,8,5,7} = {1,2,3...,8}
2) A ∩ B ∩ C
Solução:
Só existe um elemento comum aos três conjuntos dados, logo
A∩B∩C = {4}
3) (A ∪ B) ∩ C
Solução:
Inicialmente fazemos A ∪ B = {1,2,3,4,6,8}
Depois, {1,2,3,4,6,8} ∩{1,3,4,5,7} = {1,3,4}
4) (A ∩ B) ∪ C
Solução:
A ∩ B = {2,4} logo, {2,4} ∪ {1,3,4,5,7} {1,2,3,4,5,7}
AC-02
23
5) (A - B) ∩ C
Solução:
A - B = {1,3} logo, {1,3} ∩ {1,3,4,5,7}= {1,3}
6) Dados os conjuntos A, B e C do diagrama abaixo,
hachure:
2.2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
2.2.1 - Conjunto dos Números Naturais: N
É o conjunto
N = {O, 1, 2, 3, 4, 5,.... }
AC-02
24
Excluindo-se zero desse conjunto, obtemos o conjunto dos
números inteiros positivos, indicado por
(*indica a exclusão do zero de um conjunto)
Observe que não é sempre possível fazer operações com os
naturais. Por exemplo:
12 + 7 = 19 (possível: 19 ∈ N)
12- 7 = 5 (possível: 5 ∈ N)
7- 7 = 0 (possível: 0 ∈ N)
7 - 12 = -5 (impossível, pois -5 não é natural: -5 ∉ N)
Logo, a subtração (a - b) só é possível em N quando a ≥ b
("a maior ou igual a b"), a, b ∈ N.
2.2.2 - Conjunto dos Números Inteiros: Z
É o conjunto
+Ζ* = conjunto dos números inteiros positivos
−Ζ* = conjunto dos números inteiros negativos
Este conjunto inclui os números inteiros positivos,
inteiros negativos e o zero como elemento central.
N* = {O, 1, 2, 3, 4, 5,.... }
Z = {....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... ...} I
AC-02
25
{ }0** ∪Ζ∪Ζ=Ζ −+
Dizemos que o oposto (ou simétrico) de 2 é –2, de -5 é 5 e
assim por diante.
Observe que qualquer subtração é agora possível em Z mas
nem toda divisão é ainda possivel:
(+10) : (-2) = -5 (possível, -5 ∈ R)
3 : 2 = 1,5 (impossível, pois, 1,5 não é inteiro:
1,5 ∉ Z)
2.2.3 - Conjunto dos Números Racionais: Q
Vamos permitir agora o aparecimento de números não inteiros
como resultado da divisão de dois números inteiros. Por exemplo:
(7 : 2) ∉ Z, então 7 : 2 = 2
7= 3,5 é um número não inteiro.
Todos os números que podem ser obtidos da divisão (razão)
entre 2 números inteiros são chamados números racionais e formam o
conjunto:
Observe: o número b não pode ser zero.
Exemplos de números racionais:
a) 4
10 = 2,5 ∈ Q
b) 3
18 = 6 ∈ Q
}∗∉∈= ZbeZab
aQ
AC-02
26
c) 3
10 = 3,333 ... ∈ Q
Atenção:
Vemos que representação decimal de um número racional:
1) ou é exata (4
7 = 1,75)
2) ou é periódica (11
7= 0,636363...)
Quer dizer: na divisão de 2 inteiros, ou a conta termina ou
prolonga-se repetitivamente (dízima períodica).
2.2.4 - Conjunto dos Números Reais: R
Existem números cuja representação decimal não é exata e
nem periódica, não sendo, portanto, números racionais. São
chamados irracionais.
1,4142135624.. Q∉2
3,1415926535...= Q∉π
Unindo o conjunto de todos esses números com o conjunto dos
racionais, formamos o conjunto R dos números reais.
Note que todo número natural é também inteiro, todo inteiro
é também racional e todo racional é também real, portanto:
RQZN ⊂⊂⊂
AC-02
27
2.2.5 - Reta Numérica
Uma representação muito prática para o conjunto R é ada por
uma reta (Fig. 2.3). Podemos associar cada um dos seus infinitos
pontos a um número real e vice-versa.
São importantes os seguintes subconjuntos de R:
- Conjunto dos reais não negativos (inclui o zero)
R+ = { }0≥∈ xRX
- Conjunto dos reais estritamente positivos (não inclui o
zero)
{ }0* >∈=+ xRxR
- Conjunto dos reais não positivos (inclui o zero)
{ }0≤∈=+− xRxR
- Conjunto dos reais estritamente negativos (não inclui o
zero)
{ }0xRxR* <∈=−
Subconjuntos de R como esses recebem o nome de intervalos.
Um intervalo chama-se fechado quando possui os dois números extremos.
AC-02
28
Exemplo:
O conjunto dos infinitos números reais que vão de 2 até 5,
inclusive estes, pode ser indicado {x ∈ R | x ≥ 2 e x ≤ 5} ou
simplesmente {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5}, ou ainda [2 ; 5].
Graficamente:
Exemplos:
1 - O conjunto {x ∈ R | -3 < x < 5}, de todos os números
reais entre -3 e 1, é um intervalo aberto, podendo ser indicado
]-3;1[ ou mesmo (3;1). Graficamente:
Podem surgir também casos como os que seguem.
{x∈R 0 < x ≤ 6} = ]0 ; 6]
(intervalo aberto à esquerda)
{x∈R x ≥ 3} = [3 ; ∞[
(intervalo aberto à direita)
Note ainda que:
R+ = [0;∞ [ R- = ]-∞;0]
*R+ = ]0;∞] *R− = ]-∞;0[
Um intervalo chama-se aberto quando não possui os dois números extremos.
AC-02
29
2 - Dados os conjuntos A = {x | x ∈ R e x > 3} e
B = {x | x ∈ R e 2 < X ≤ 6}, encontrar
A ∪ B, A ∩ B, A - B e B - A.
- Solução:
Inicialmente, visualizemos os conjuntos A e B
representando-os graficamente. É conveniente arrumar as retas com
os números
mesmas posições.
Logo
A ∪ B = {x ∈ R | x > 2}
A ∩ B = {x ∈ R | 3 < X ≤ 6}
A – B = {x ∈ R | X > 6}
B - A = {x ∈ R | 2 < X ≤ 3}
2.3 - MÓDULO
2.3.1 - Definição
Sendo x ∈ R , define-se módulo ou valor absoluto de x, que
se indica por |x| , através da relação:
|x| = x se x ≥ 0
ou
|x| = - x se x < 0
AC-02
30
Isto significa que:
1) o módulo de um número real não negativo é igual ao
próprio número;
2) o módulo de um número real negativo é igual ao simétrico
desse número.
Assim, por exemplo, temos:
|+2| = +2, |-7| = +7, |0| = 0, |-5
3| = +
5
3
33,22 +=++=−
2.3.2 - Propriedades
Decorrem da definição as seguintes propriedades:
I |x| ≥ 0, ∀x ∈ R
II |x| = 0, ⇔ x = 0
III |x| . |y| = |xy|
IV |x|2 = x2, ∀x ∈ R
V |x + y| ≤ |x| + |y|
VI |x| ≤ a e a > 0 ⇔ -a ≤ x ≤ a
VII |x| ≥ a e a > 0 ⇔ x ≤ -a ou x ≥ a
2.4 - POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL
Sendo a um número real positivo, pode-se determinar para
cada número b ∈ R (racional ou irracional) um único número ab, que
denominamos potência de base a e expoente b de modo que se
verifiquem as propriedades:
P1 ab.ac = ab+c ; c ∈ R
P2 (a.b)c = ac.bc ; b > 0 e c ∈ R
P3 (ab)c = abc ; c ∈ R
AC-02
31
P4 c
b
a
a = ab-c ; c ∈ R
P5 RCe0b;b
a)b
a(
c
cc ∈>=
Observações: Dados a ∈ R+, b e c números reais, temos:
1) a > 0 ⇒ ab > 0 (sempre)
2) b > c ⇔ ab > ac para a > 1
3) b > c ⇔ ab < ac para 0 < a < 1
Exemplos:
1) 21,5 = 21 . 20,5 ≅ 2,000.1,414 = 2,828
20,80 ≅ 1,741
2π ≅ 8,825
2) 4 < 7 ⇒ 24 < 27 e 74 )
2
1()
2
1( >
7,227/22
3232
)5
1()
5
1(e55
7
22
)3
1()
3
1(e3332
><⇒<π
><⇒<
ππ
2.5 - LOGARITMOS
2.5.1 - Definição
Dá-se o nome de logaritmo a todo expoente cuja base é
positiva e diferente de um.
Exemplos:
a) 23 = 8 ⇔ 3 é igual a logaritmo na base 2 do número 8
AC-02
32
b) ⇔=16
1)
2
1( 4 4 é igual a logaritmo na base 1/2 do número
1/16
c) ⇔=−
9
13 2 -2 é igual a logaritmo na base 3 do número
1/9
onde 0 < a ≠ 1
b > 0
Nomenclatura:
1) c é logaritmo
2) a é a base
3) b é o logaritmando
Exemplos:
1) Calcular, pela definição, 813log
Solução:
813log = c ⇒ 3c = 81 ⇒ 3c = 34 ⇒ c = 4
2) Calcular a pela definição: 81log a = 4
Solução:
81log a = 4 e a > 0, a ≠ 1
então a4 = 81 ⇒ a = 4 44 381 ±=±
a = ± 3 ⇒ a = 3
a = - 3 (não convém)
3) Calcular, pela definição, o valor do logaritmando :
xlog2 = 3
Solução:
xlog2 = 3 ⇒ 23 = x ⇒ x = 8
C = logab⇒ ac = b
AC-02
33
4) Calcular log23 64
Solução:
log2 3 64 = x ⇒ 2x = 3
1
64 ⇒ 2x = 3
1
62 )( ⇒ 2x = 22 ⇒
⇒ x = 2
Como conseqüências imediatas da definição, vem que sendo
0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0 e α ∈ R, valem as propriedades:
1) ba bloga =
2) loga 1 = 0
3) loga a = 1
4) b = c ⇔ loga b = loga c
5) α=αaloga
Exemplos:
a) 52 5log2 =
b) log5 1 = 0 (o logaritmo de 1 é sempre zero)
c) log5 5 = 1
d) log5 x = log5 2 ⇔ x = 2
e) log5 52 = 2
2.5.2 - Propriedades dos Logaritmos
1a. propriedade: logaritmo do produto
desde que 0 < a ≠ 1 e b1 ,b2,b3,..... bn > 0
2a. propriedade: logaritmo do quociente
desde que 0 < a ≠ 1 e b, c > 0
ca
baa loglog)
c
b(log −=
loga (b1 . b2 ... bn) = loga b1 + loga b2 + … + loga bn
AC-02
34
3a. propriedade: logaritmo da potência
desde que 0 < a ≠ 1 e b > 0 e α ∈ R
Conseqüências:
1a.)b
logb
loglog
a
ab
a11
1=−=
2a) blog.n
1blogblog a
n/1
an
a ==
Exemplos:
1) Calcular log3(9.27)
Solução:
Pela 1a. propriedade,
log3 log(9.27) = log39 + log327 = 2 + 3 = 5
2) Calcular )(log64
82
Solução:
Pela 2a. propriedade, )(log64
82 = log2
8 - log264 = 3 – 6 = -3
3) Calcular log3(815)
Solução:
Pela 3a propriedade log3(815) = 5 log3
81 = 5 . 4 = 20
4) Calcular log 5 3
7 7
ba
ba log.log α=
α
AC-02
35
Solução:
log 5 3
7 7 = log7 73/5 =
5
3.log77 =
5
3.1 =
5
3
4a propriedade: mudança de base
Se a, b, c são números reais e positivos, sendo a ≠ 1 e c ≠
1 então:
logab = logac . logcb
que também pode ser escrito:
Conseqüência:
ba
ba
loglog
1= , b ≠ 1
Exemplos:
1) Passar o log416 para a base 2.
log416 = 4
16
2
2
log
log
2) 2
1
2
33
33
32
loglog
loglog ==
Observações: Dados a ∈ +*R - {1}, b e c números reais
positivos,
1) b > c ⇔ 1aseloglog ca
ba >>
b > 1 ⇒ 0log1loglog 1 >>> b
aa
b
a ase
0 < b < 1 ⇒ 0logloglog ba
1a
ba <⇒<
2) b > c ⇔ 10loglog <<< asec
a
b
a
alog
blogblog
c
ca =
AC-02
36
b > 1 ⇒ 1a0se0logloglog ba
1a
ba ≠<<⇒<
0 < b < 1 ⇒ 0logloglog 1a
1a
ba >⇒>
Exemplos:
1) 7 > 5 ⇒ 5
2/1
7
2/1
5
2
7
2 loglogloglog <> e
2) 2 < 3 ⇒ 3
5/12
2/135
25 loglogeloglog ><
3) 2x0loglog 25,0
x5,0 <<⇒>
4) 2xloglog 25
x5 >⇒>
5) 0loge0log 102/1
102 <>
2.5.3 - Logaritmos Especiais
Os logaritmos dos números reais positivos de base
denominam-se logaritmos decimais ou de Briggs. Indica-se logaritmo
de b > O na base 10 pelo símbolo:
log b
Os logaritmos dos números reais positivos de base e
denominam-se logaritmos neperianos. Indica-se o logaritmo de b > 0
na base e pelo símbolo:
ln b
Obs: e ≅ 2,7183 é um importante número irracional,
conhecido por número de Euler.
AC-02
37
3 - NOÇÕES BÁSICAS (III)
3.1 - GEOMETRIA
Como a geometria abordada neste capítulo limita-se a
conceitos, definições e resultados vistos, apresentaremos o
assunto da maneira mais breve e direta possível.
3.1.1 - Geometria Plana
3.1.1.1 - Ângulo
Traçando num plano duas semi-retas de mesma origem,
dividimo-lo em duas regiões, que recebem o nome de ângulos.
O ângulo I diz-se convexo, o ângulo II côncavo. As
semi-retas formam os lados do ângulo e sua origem é o vértice do
ângulo.
Os ângulos convexos recebem nomes especiais conforme sua
abertura.
Note que dois ângulos retos consecutivos formam um raso e
dois rasos consecutivos formam um ângulo de uma volta.
Em relação a uma circunferência, um ângulo pode ocupar duas
posições principais: ângulo central e ângulo inscrito, conforme o
vértice esteja, respectivamente, no centro ou na circunferência.
AC-02
38
Para medir ângulos usamos as mesmas unidades empregadas na
medida de arcos, assim:
ângulo central → mesma medida do arco subtendido
ângulo inscrito → metade da medida do arco subtendido
3.1.1.2 - Outras Definições Importantes
1ª) Duas retas no mesmo plano podem ser:
2a) Bissetriz é a semi-reta que eqüiparte um ângulo. Os
ângulos resultantes são, portanto, congruentes (mesma medida).
3a) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) são aqueles
formados por duas retas concorrentes. Ângulos o.p.v. são sempre
congruentes.
AC-02
39
4a) Se duas retas concorrentes formam ângulos retos, elas
se dizem perpendiculares (r ⊥ s), caso contrário dizem-se
oblíquas.
5a) Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular
a ele por seu ponto médio. Propriedade da mediatriz: os seus
pontos eqüidistam dos extremos do segmento.
6a) Dois arcos (ou dois ângulos) dizem-se:
a) complementares quando a soma é 90°.
Exemplos: 20o é o complemento de 70o.
b) suplementares quando sua soma é 180°.
Exemplos: 140o é o suplemento de 40o.
c) replementares quando sua soma é 360°.
Exemplos: 160° é o replemento de 200°.
7a) Em relação a uma circunferência, uma reta pode ocupar
três posições: externa, tangente ou secante (respectivamente se
não intercepta a circunferência ou intercepta em um ou dois
pontos).
AC-02
40
- Propriedades da reta tangente: ela é perpendicular ao
raio que passa pelo ponto de tangência.
3.1.1.3 - Triângulos
Classificação quanto aos lados:
- Eqüilátero: os 3 lados iguais;
- Isósceles: 2 lados iguais; e
- Escaleno: os 3 lados desiguais.
Classificação quanto aos ângulos:
- Acutângulo: os 3 lados agudos (menores que 90°);
- Obtusângulo: um ângulo obtuso (maior que 90°); e
- Retângulo: um ângulo reto (90°)
- Altura (relativa a um lado)
É o segmento perpendicular a esse lado (ou a seu
prolongamento) que o une ao vértice oposto.
AC-02
41
As três alturas de um triângulo interceptam-se num mesmo
ponto, chamado ortocentro do triângulo.
- Mediana (relativa a um lado)
É o segmento que une o ponto médio desse lado ao vértice
oposto.
As três medianas encontram-se no ponto chamado baricentro.
- Incentro
É o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos
internos.
Propriedade do incentro: é o centro da circunferência
inscrita no triângulo.
- Circuncentro
É o ponto de interseção das mediatrizes dos lados do
triângulo
AC-02
42
Propriedade do circuncentro: é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
- Lei Angular de Tales
- Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes (~) quando seus lados
homólogos (correspondentes) são proporcionais.
Assim, k,c
c,
b
b,
a
a=== (k chama-se razão de semelhança).
- Propriedade
Dois triângulos semelhantes têm os ângulos correspondentes
congruentes e, reciprocamente, se dois triângulos têm os ângulos
respectivamente congruentes, eles são semelhantes.
3.1.1.4 - Teorema das Paralelas (ou de Tales)
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas
transversais, duas séries de segmentos respectivamente
proporcionais.
"A Soma dos três ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois retos (180o)
∆ ABC ~ ∆ A'B'C' ⇔ A = A', B = B', C
AC-02
43
Exemplos:
- Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Ao lado maior de um triângulo retângulo damos o nome de
hipotenusa; aos outros dois catetos.
A mais importante relação métrica é a de Pitágoras:
Assim,
Na figura abaixo, h é a altura relativa à hipotenusa a e a
divide nos segmentos m e n.
Para todos estes segmentos as seguintes relações são
válidas:
"O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
a2 = b2 + c2
h2 = mn b2 = na c2 = am bc = ah
AC-02
44
Exemplos:
1. No triângulo da figura, quanto vale x?
Solução:
Trata-se de um triângulo retângulo onde a
hipotenusa mede 13. Logo, pela relação de Pitágoras:
132 = 122 + x2 ⇒ 169 = 144 + x2 ⇒ x2 = 169 – 144 ⇒
⇒ x2 = 25 ⇒ x = 525 ±=±
Por tratar-se de um problema geométrico, desprezamos o resultado
negativo. Logo, x = 5.
2. Qual é a altura de um triângulo eqüilátero (lado l)?
Solução:
A altura divide o triângulo em dois triângulos
retângulos congruentes, nos quais podemos aplicar a
relação de Pitágoras:
⇒±⇒±=⇒−⇒
⇒−=⇒==⇒+=
2
3
4
3
4
3
44222
2
2
222
2
2222
lll
ll
ll
ll
hh
hhh)(
3. Qual é a diagonal de um quadrado (lado l)?
Solução: Por Pitágoras vem:
d2= l 2 + l 2 ⇒ d2 = 2 l 2 ⇒ d = 22l± = ± ⇒2l
3.1.1.5 - Área dos Principais Polígonos
- Paralelogramo: é um quadrilátero com os lados opostos paralelos.
d = 2l
2
3l=h
AC-02
45
A = 2
h).bB( +
A = 2
d.D
- Retângulo: é um paralelogramo com todos os ângulos retos.
- Quadrado: é um retângulo com todos os lados congruentes.
- Triângulo: sua área é a metade da de um paralelogramo.
- Trapézio: é um quadrilátero com apenas
dois lados paralelos. Também equivale à metade de um
paralelogramo.
B → base maior
b → base menor
- Losango: é um paralelogramo com todos os lados congruentes. Suas
duas diagonais são perpendiculares entre si.
D → diagonal maior
b → diagonal menor
Polígonos Regulares: têm todos os lados e todos os ângulos
respectivamente congruentes, sendo inscritíveis em
circunferências.
Apótema (m) é a distância do lado ao
centro do polígono regular.
AC-02
46
Chamando de p à metade do perímetro (semi-perímetro) do
polígono regular, sua área é dada por:
Exemplos:
1. Qual o lado do quadrado de área 81 m2?
Solução: A = l 2 ⇒ 81 = l 2 ⇒ 81=l = 9 m
2. Um retângulo tem um lado medindo 4 cm e a diagonal 5 cm.
Calcule sua área.
Solução:
Por Pitágoras, 52 = 42 + h2 = h = 3
A = b . h = 4 . 3 = 12 cm2
3. Qual a área do paralelogramo de base 7 dm e altura 3 dm?
Solução: A = b . h = 7 . 3 = 21 dm2
4. Calcule a área do triângulo da figura ao lado.
Solução: 2482
128
212
8km
.h.bA
kmh
kmb===⇒
==
5. Um trapézio de área 28 cm2 tem uma base medindo 6 cm e a altura
40 mm. Calcule a outra base.
Solução:
A = p.m
cmbbbb
bbhbB
A
81622122821228
2)6(282
4)6(28
2
)(
=⇒=⇒=−⇒+=
⇒+=⇒+
=⇒+
=⇒
===
=
?b
cmmmh
cmB
440
6
AC-02
47
6. Calcule a área do losango com diagonais medindo 12 dm e 10 dm.
Solução: 2602
1012
2dm
.d.DA ===
7. Calcule a área da região hachurada:
Solução:
No quadrado – A = l 2 = 42 = 16 m2
No círculo – A = r2π = 22π = 4π m2
Logo, a área procurada é 16 - 4π = 3,44 m2
8. Qual a área do triângulo eqüilátero de lado l ?
Solução:
A altura do triângulo eqüilátero é dada por 2
3l=h .
Logo sua área será: 4
3
2
2
3
2
2l
ll
===h.b
A
3.1.2 - Geometria Espacial
Se raciocinarmos espacialmente, podemos imaginar, "soltas"
no espaço, uma infinidade de figuras geométricas tais como as
representadas a seguir
AC-02
48
Observe o leitor que:
1a) Dizer que uma reta r passa por um ponto P
equivale a dizer que esse ponto P pertence à
reta r.
2a) Dizer que um plano α passa por uma reta r
equivale a dizer que a reta r está contida no
plano α.
3a) Dizer que uma reta r fura um plano α
equivale a dizer que entre eles há apenas um
ponto em comum.
Sabemos que, num plano, duas retas distintas ou são
concorrentes ou são paralelas mas, no espaço, ocorre a situação em
que duas retas nem se encontram nem são paralelas, como é o caso
das retas indicadas na figura a seguir.
Se duas retas são reversas não existe um plano que passe
pelas duas. Ou seja, nenhum plano contém simultaneamente duas
retas reversas.
Se considerarmos uma reta e um plano no espaço, veremos que
há três situações possíveis, conforme a seguir.
Duas retas distintas dizem-se reversas quando não são
nem concorrentes nem paralelas.
AC-02
49
1a) Uma reta e um plano são paralelos, isto é, não tem nenhum ponto
comum ( φ=α∩⇔α r//r ).
2a) Uma reta fura o plano, isto é, entre ela e o plano há em comum
um e apenas um ponto. Esse ponto é a interseção da reta com o
plano, ou furo (ou traço) da reta no plano ( }P{r =α∩ ).
3a) A reta está contida no plano ( rrr =α∩⇔α⊂ ).
No caso de considerarmos dois planos no espaço há duas
situações possíveis.
1a) Dois planos são paralelos, isto é, não se encontram ou não têm
nenhum ponto em comum ( βα⇔φ=β∩α // ).
Quando dois planos são coincidentes também os consideramos
paralelos ( βα⇔β≡α // ).
2a) Dois planos são secantes, isto é, não são paralelos.
Entre dois planos secantes há em comum uma e apenas uma
reta.
Agora, no caso de considerarmos três planos secantes dois a
dois, é fácil perceber que eles têm três retas por interseção e
que há duas situações possíveis: as três interseções são paralelas
entre si ou são concorrentes num único ponto:
AC-02
50
Ainda é interessante perceber que:
1a) Se uma reta é perpendicular a um plano ela é perpendicular a
duas retas concorrentes desse plano. Na verdade ela será
perpendicular também a todas as outras infinitas retas do plano
que passam pelo ponto de interseção.
2a) Um plano é perpendicular a outro se passar por uma reta
perpendicular ao outro. Em símbolos:
3a) Duas retas reversas dizem-se ortogonais se uma paralela a uma
delas for perpendicular à outra.
Por exemplo, as retas r e s que
passam pelas arestas do cubo da figura são
ortogonais. Com efeito, a reta t é paralela
as s e perpendicular r. Indica-se: r ⊥ s.
Outro exemplo: seja r ⊥ α.
Qualquer reta s do plano α que não passe
pelo traço P de r em α é ortogonal a r:
AC-02
51
conduzindo uma reta t // s por P vemos que t ⊥ r
Dentre os mais variados tipos de sólidos imagináveis, vamo-
nos deter a dois casos particulares:
1o) Paralelepípedo retângulo
É limitado por seis retângulos,
dois a dois paralelos e congruentes.
O volume é dado pelo produto de suas três dimensões
(comprimento, largura e altura):
A área de sua superfície externa (área total) é a área dos
seis retângulos:
At= ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2ab + 2bc + 2ac
2o) Cubo
É um paralelepípedo retângulo, mas
formado por seis quadrados iguais.
Logo, tem iguais todas as arestas.
V = a . a . a ⇒
A área dos seis quadrados é a área total:
Exemplo: Qual o volume do paralelepípedo retângulo cuja diagonal
mede 7 cm e duas de suas dimensões medem respectivamente 2 cm e
3 cm?
Solução: Esboçando uma figura e nela marcando
os dados do problema, vemos que é necessária
a medida x para calcular o volume. Mas
podemos, anteriormente, por Pitágoras,
calcular a medida y (diagonal de uma das faces):
Vcubo = a3
VParalelepípedo = a b c
At = 2(ab + bc + ac)
At = 6a2
AC-02
52
y2 = 22 + 32 ⇒ y2 = 13 ⇒ y = 13
Usando Pitágoras, novamente, no triângulo maior (pois
também é retângulo) obtemos:
72 = ( 13 )2 + x2 ⇒ 49 = 13 + x2 ⇒ x2 = 36 ⇒ x = 6
Logo, o volume será: V = 2 .3 . 6 = 36 cm3
3.2 - TRIGONOMETRIA
3.2.1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo
Num triângulo retângulo, se dividimos
a medida de um cateto pela medida da
hipotenusa obtemos sempre um número menor que
um, pois qualquer cateto é sempre menor que a
hipotenusa.
Assim, senos e cossenos de ângulos agudos são números
compreendidos entre O e 1.
No triângulo da figura anterior, o seno, o cosseno e a
tangente do ângulo α seriam, respectivamente:
sen α = a
c cos α =
a
b tg α =
b
c
Por outro lado, o seno, o cosseno e a tangente do ângulo β,
seriam:
sen β = a
b cos β =
a
c tg β =
c
b
seno de um ângulo agudo = hipotenusa
opostocateto
cosseno de um ângulo agudo = hipotenusa
adjacentecateto
tangente de um ângulo agudo = adjacentecateto
opostocateto
AC-02
53
Podemos notar que:
1o) sen α = cos β = a
c
cos α = sen β = a
b
Por outro lado, sabemos que os ângulos agudos de um
triângulo retângulo são complementares, isto é, α + β = 90o.
Logo:
Abreviadamente:
e
2o) α
α=α⇒==α
cos
sentg
a
ba
c
b
ctg
Analogamente, β
β=β
cos
sentg
Vimos que seno e cosseno de um ângulo agudo são dois
números positivos menores que um. Dividindo agora um pelo outro, o
resultado poderá ser um número menor, igual ou até maior que um,
dependendo apenas do primeiro ser menor, igual ou maior que o
segundo, respectivamente.
Na mesma figura, podemos agora escrever: c
btg =β
Exemplos:
1. No triângulo ao lado temos,
sen α = cos (90o
- α)
O cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento
(donde o nome cosseno) e, reciprocamente, o seno é igual
ao cosseno do complemento.
cos α = sen (90o
- α)
AC-02
54
em relação a B:
=
=
5
3
5
4
^
^
Bcos
Bsen
⇒ 3
4
5
35
4
==^
Btg
em relação a ^
C:
=
=
5
4
5
3
^
^
Ccos
Csen
⇒ 4
3
5
45
3
==^
Ctg
2. Calcule o valor de sen(60o)e sen(30o).
Solução: Recorremos a um triângulo.eqüilátero
(lado l) pois seus três ângulos internos têm
60°.Como a sua altura é dada por h = 2
3l
2
3602
3
60 =°⇒==° )(senh
)(senl
l
l
2
1)30cos(2)30cos( =°⇒=°
l
l
3. Calcule o valor de sen(45o).
Solução: Recorremos um quadrado (lado l), pois a
diagonal forma 45o com o lado. Como a diagonal de um
quadrado é dada por d = 2l
2
2)45(
2
1
2)45( =° →=== sen
dsen
andoracionalizo
l
ll
4. Calcule o valor do cos(30o), cós(45°) e cos(60°).
Solução: Tomando o complemento dos arcos dados, vemos que:
2
36030 =°=° )(sen)cos(
2
24545 =°=° )(sen)cos(
AC-02
55
2
13060 =°=° )(sen)cos(
5. Calcule tg(30°), tg(45°) e tg(60°).
Solução:
3
3
2
3
2
1
30
3030 ==
°°
=°)cos(
)(sen)(tg
1
2
2
2
2
45
4545 ==
°°
=°)cos(
)(sen)(tg
3
2
12
3
60
6060 ==
°°
=°)cos(
)(sen)(tg
3.2.2 - Radiano
É uma unidade muito utilizada em trigonometria.
Logo, a circunferência toda tem 2π radianos (pois é 2π
vezes maior que o raio), e meia circunferência tem π radianos.
Em outras palavras, em uma circunferência cabem cerca de
6,28 radianos, assim como cabem 360 graus.
Correspondência entre radiano e grau:
Radiano é um arco de comprimento igual ao do raio da sua circunferência.
2π rad = 360o π rad = 180o
2
πrad = 90o
AC-02
56
Vimos que 90° = 2
π rad e podemos ver facilmente que 45o =
4
π
rad ou que 270o = 2
3π rad.
Para converter qualquer medida de uma unidade para outra
basta utilizar a seguinte proporção:
ou a equivalente regra prática:
Exemplos:
a) rad.o
3180
6060
π=
π= ; e
b) °=π
π=
π270
180
2
3
2
3rad
Neste ponto da teoria, o leitor já está em condições de
entender e decorar a seguinte tabela:
6
π (30°)
4
π (45°)
3
π (60°)
Seno 21
22
23
Cosseno 2
3 2
2 21
Tangente 3
3 1 3
3.2.3 - Circunferência Trigonométrica
Estudamos até aqui relações trigonométricas só para os
ângulos agudos. Para um estudo mais generalizado da trigonometria
devemos, inicialmente, substituir a noção de ângulo pela noção
correspondente de arco.
π=
radianosemmedidagrausemmedida
180
de grau para radiano: multiplicar por π e dividir por 180
de radiano para grau:
multiplicar por 180 e dividir por π.
AC-02
57
Uma circunferência pode ser orientada
em dois sentidos: horário (o mesmo dos
ponteiros do relógio) ou anti-horário. Em
trigonometria adota-se como sentido positivo o
sentido anti-horário.
Assim, na circunferência da figura,
podemos considerar quatro arcos orientados, pelo menos:
1o) um arco AB positivo, se formos de A para B no sentido anti-
horário;
2o) um arco. AB negativo, se formos de A para B no sentido horário;
3o) um arco BA positivo, se formos de B para A no sentido
anti-horário;
4o) um arco BA negativo, se formos de B para A no sentido horário.
Ciclo trigonométrico: é uma
circunferência orientada possuindo:
1o) raio unitário;
2o) centro na origem (O) de um sistema de
coordenadas cartesianas;
3o) um ponto A, de coordenadas (1,0)
chamado origem dos arcos.
Os eixos coordenados marcam no
ciclo os pontos A, B, A' e B', que o
dividem em quatro quadrantes, indicados por
I, II, III, IV.
Observações:
1o) Todas as medidas de arcos são feitas a partir do ponto A.
2o) Se for feita do sentido horário, a medida será negativa.
Exemplos:
a) O arco que vai de A até B no sentido anti-horário mede
2
π rad (ou 90o).
b) O arco que vai de A até B' no sentido anti-horário mede
2
3π rad (ou 270o).
AC-02
58
c) O arco que vai de A até B' no sentido horário mede
2
π− rad (ou -90o ).
d) O arco que sai de A, dá uma volta no sentido anti-
horário e continua até o ponto B, mede 2
5π rad (450°).
e) O arco que sai de A, dá uma volta no sentido horário e
continua até o ponto B, mede -2
7π rad (ou –630o).
3.2.4 - Arcos Côngruos
São arcos que têm a mesma origem e a mesma extremidade.
Exemplos:
a) Dois arcos medindo 30° e 390° são côngruos, pois ambos
começam em A e terminam em M.
b) dois arcos medindo 300o e –60o.
c) Dois arcos medindo 2
5π rad e
2
π rad.
Um arco qualquer tem infinitos outros côngruos com ele.
Voltando ao primeiro exemplo teríamos:
...≡ -690o ≡ -330o ≡ 30o ≡ 390o ≡ 750o ≡ 1110o ≡ ...
Mas na Trigonometria, dado um arco AM, interessa-nos
somente a posição dos pontos A e M. Todos os arcos acima não
passam de diferentes determinações de um mesmo arco
trigonométrico, o arco AM da figura. Logo, basta saber a menor
AC-02
59
determinação positiva (m.d.p.} do arco para que ele esteja bem
determinado.
De arco trigonométrico devemos ter uma noção geral: é o
conjunto de todos os arcos côngruos entre si.
Podemos indicar todas as medidas de um arco trigonométrico
AM assim:
e
x → m.d.p do arco AM
K ∈ Z
Quer dizer: colocando números inteiros no lugar de k vamos
simplesmente alterando o número de voltas e obtendo arcos côngruos
com x, sem alterar a posição do ponto M.
Existe um processo prático para encontrar a menor
determinação positiva, dada a seguir:
I) Sendo o arco positivo e medido em graus: efetue a divisão
aproximada de sua medida por 360° (sem suprimir zeros!) e tome o
resto.
Exemplo:
1000º→ 1000 |360º → 280º é a m.d.p. de 1000º
280 2
II) Sendo o arco positivo e medido em radianos: divida a medida do
arco por 2π, extraia os inteiros da fração obtida e subtraia-os; a
seguir multiplique de novo por 2π.
Exemplo:
rad..rad3
52
6
5
6
5
6
52
6
17
2
1
3
17
3
17 π=π→→==
ππ
→π
o.kxAM 360+=∩
πkxAM 2+=∩
AC-02
60
III) Sendo o arco negativo: desprezando o sinal, faça como nos
dois primeiros casos, conforme seja grau ou radiano; então calcule
o replemento do resultado obtido.
Exemplos:
1o) -1210° → -1210° |360° → calculando o replemento:
130 3
360° - 130° = 230°
2o) - rad..rad3
22
3
1
3
1
3
11
3
4
2
1
3
8
3
8 π=π→→==
ππ
→π
calculando o replemento: rad3
4
3
22
π=
π−π
Para saber O quadrante de um arco basta examinar a sua
menor determinação positiva. Exemplo: 1000º tem por mdp 280º, que
está no IV quadrante. Logo 1000º é um arco do IV quadrante.
3.2.5 - Relações Trigonométricas
Ao ciclo trigonométrico vamos associar os seguintes eixos:
Ao ciclo trigonométrico são associados quatro eixos para o
estudo das funções trigonométricas:
1o) eixo dos cossenos (a)
direção: _
OA
sentido positivo: O → A
segmento unitário: |OA| = 1
2O) eixo dos senos (b)
direção: ⊥ a, por 0
sentido positivo: de O → B sendo B tal que ∩AM = π/2
segmento unitário: |OB| = 1
3O) eixo das tangentes (c)
direção: paralelo a b por A
sentido positivo: o mesmo de b.
AC-02
61
4o) eixo das cotangentes (d)
direção: paralelo a por B
sentido positivo: o mesmo de a.
Sobre estes eixos definimos as seis funções
trigonométricas, dado um arco a 2
πk≠ .
OC)asec(cos
OS)asec(
BD)a(gcot
AT)a(tg
OM)acos(
OM)a(sen
==
==
==
2
1
A variação de sinais dessas seis funções conforme o
quadrante ao qual a pertença é dada na tabela a seguir:
I II III IV
sen + + - -
cos + - - +
tg + - + -
cotg + - + -
sec + - - +
cossec + + - -
As seguintes relações trigonométricas são válidas:
ππkxpara
xcos
xsenxtg)R( +≠=
21
πkxparaxsen
xcos
xtgxgcot)R( ≠==
12
π+π
≠= kxparaxcos
xsec)R(2
13
πkxparaxsen
xseccos)R( ≠=1
4
ππkxparaxtgxsec)R( +≠+=
215 22
AC-02
62
π≠+= kxparaxgcotxseccos)R( 22 16
E ainda a Relação Fundamental (RFT):
Desta forma,
ou
(RFT1) (RFT2)
Observe que:
1O) seno e cosseno são definidos para qualquer arco;
2O) tangente e secante não são definidos para 90°, 270° e seus
côngruos;
3O) cotangente e cossecante não são definidas para 0°, 180° e seus
côngruos;
4O)
Exemplos:
1. a) se o 5
2−=senx , então a cossec x =
2
5− .
b) se o 4
1=xcos , então a 4=xsec .
c) se o 5−=tgx , então a cotg x = -5
1.
2. Dada a 2
,2secπ
<= xx , calcule as outras cinco funções
trigonométricas do arco x.
Solução: O valor da secante é o inverso do cosseno e vice-versa,
logo:
1°) 2
1
xsec
1xcos ==
Seno ← inverso de → cossecante
Cosseno ← inverso de → secante
Tangente ← inverso de → cotangente
cos2x = 1 - sen2x sen2x = 1 - cos2x
sen2x + cos2x = 1
AC-02
63
2°) ⇒=−=
−=−=4
3
4
11
2
11xcos1xsen
222
2
3senx
2
3senx
Iquadr = →±=⇒
3°) →=== andoracionaliz
3
2
2
3
1
senx
1xseccos cossec x =
3
32
4°) 3
2
12
3
===xcos
senxtgx
5°) 3
3
3
11===
tgxgxcot
3. Simplificar a expressão: xsen.xgcot
xsen21 −
Solução: Parra isso, vamos substituir as relações RFT2 e R2 na
expressão:
xcosxcos
xcos
senxsenx
xcos
xcos
senx.gxcot
xsen===
− 2221
4. Demonstrar a identidade:
cos x . sec x – tg x . sen x . cos x = (1 + sen x) (1 - sen x)
Solução: Demonstrar uma identidade é demonstrar que a igualdade é
verdadeira para qualquer valor da variável, para o qual as funções
expressas se definem. Podemos para isso empregar relações ou
identidades anteriormente demonstradas. Neste exercício aplicamos
R3 e R1 no primeiro membro, e um produto notável no segundo:
⇒−=− xsenxcos.senx.xcos
senx
xcos.xcos 221
1
xsenxsen 22 11 −=−⇒
5. Sendo 2
33
π<<π= xetgx , calcular cos x.
AC-02
64
Solução: Utilizando a R5, temos:
( ) ⇒=+=+=⇒+= 4313112222 xsecxtgxsec
2
1
2
1124 3 −= →±== →±=±= xcos
xsecxcosxsec QuadrIIIR
3.2.6 - Trigonometria num Triângulo Qualquer
Seja a, b e c as medidas dos lados de um triângulo qualquer
e α, β e γ as medidas dos ângulos, respectivamente, opostos aos
lados, conforme a figura a seguir:
Então,
Lei dos cossenos
Obs.:
se α < 90° então cosα > 0 e a2 < b2 + c2
se α > 90o então cosα < 0 e a2 > b2 + c2
se α = 90o então cosα = 0 e a2 = b2 + c2
Lei dos Senos
γβα sen
c
sen
b
sen
a==
a2 = b2 + c2 – 2bc cosα
AC-02
65
3.2.7 - Adição e Subtração de Arcos
Conhecidos os valores trigonométricos de dois arcos
quaisquer, podemos calcular os valores para o arco soma (ou
diferença) desses dois arcos, através das fórmulas seguintes:
(i) Soma
sen (a+b) = sen a . cos b + cos a . sen b
cos(a+b) = cos a . cos b – sen a . sen b
tg(a+b) = btg.atg
btgatg
−+
1
(ii) Diferença
sen(a-b) = sen a . cos b – cos a . sen b
cos(a-b) = cos a . cos b + sen a . sen b
tg(a-b) = btg.atg
btgatg
+−
1
Em resumo,
Exemplos:
1. Calcular o valor de sen(75o)
Solução: Vamos escrever 75o como a soma de 45o e 30o, pois 45o e 30o
são arcos de valores trigonométricos já conhecidos. Utilizando a
primeira fórmula, vem:
sen 75O = sen(45o + 30o) = sen 45o . cos 30o + cos 45o . sen 30o 3,29
29,34
26
4
2
4
6
2
1.
2
2
2
3.
2
2)75(sen =
+=+=+=°
sen(a±b) = sen a cos b ± cos a sen b cos(a±b) = cos a cos b m sen a sen b
tg(a±b) = btgatg
btgatg
m1
±
AC-02
66
2. Calcule tg(15o)
Solução: Basta escrever 15° como a diferença entre 45° e 30°, e
utilizar a fórmula da diferença:
=+
−
=+
−=
+−
=−=
3
333
33
3
3.11
3
31
30tg.45tg1
30tg45tg)3045(tg15tg
oo
ooooo
( ) 3239
3369
33)33(
)33)(33()
adormindenoo
andoracionaliz(
33
33−=
−+−
=−+−−
⇒+−
=
3. Calcule cossec 285°
Solução:
6226
4
4
26
1
75sen
1
285sen
1285seccos
oo−=
+−
=+
−=
−==°
4. Sabendo que 2
y0ex2
π<<π<<
π,e dados
5
4ycose
13
12xsen == , calcule sen(x+y).
Solução:
sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y
Pela RFT:
⇒=−=
−=−=169
25
169
1441
13
121xsen1xcos)i(
222
13
5xcos
13
5
169
25xcos
)QuadrII( −= →±=±=
⇒=−=
−=−=25
9
25
161
5
41ycos1ysen)ii(
222
5
3ysen
5
3
25
9ysen
)QuadrI( = →±=±
Logo, 65
33
5
3
13
5
5
4
13
12=
−+=+ ..)yx(sen
AC-02
67
3.2.8 - Arco Duplo
Conhecidos os valores trigonométricos de um arco qualquer,
podemos calcular esses valores para o arco que é o dobro do arco
dado, bastando para isso usar as fórmulas da soma.
sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + cos a . sen a
cos 2a)= cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a
tg 2a = tg(a + a) = atgatg
atgatg
.1−+
2
k
4a,k
2a,
atg1
atg2a2tg
2
π+
π≠π+
π≠
−=
Exemplos:
1. Sendo cos x =4
1. Calcu1e cos 2x.
Solução:
cos 2x = cos2x – sen2x. Mas, usando a R.F.T.:
cos2x = 16
1)4
1( 2 =
16
15
16
11xcos1xsen 22 =−=−=
Logo, 8
7
16
14
16
5
16
12 −=−=−=xcos
2. Sendo sen x = π<<π
x2
e,6
5, calcule sen 2x.
Solução: sen 2x = 2 sen x cos x
sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a = cos2a – sen2a
AC-02
68
Pela R.F.T
⇒=−=
−=−=
36
11
36
251
6
511
2
22 xsenxcos
6
11xcos
36
11xcos
)QuadrII( −= →±=
Logo, 18
115
6
11.
6
5.2x2sen −=
−=
3.2.9 - Transformação em Produto (fatoração trigonométrica)
Podemos transformar uma soma ou diferença de funções em um
produto, utilizando as chamadas fórmulas de Prostaférese:
Note que 2
qp + é a semi-soma (média aritmética) dos arcos
e 2
qp − é a semi-diferença.
Exemplos:
1. Fatore a expressão sen 70° – sen 20°
Solução: Fazemos p = 70° e q = 20° e utilizamos a segunda fórmula
de prostaférese:
⇒−+
=−2
2070sen.
2
2070cos220sen70sen
oooooo
oooo 25sen.225sen2
2225sen45cos2 ==⇒
sen p + sen q = 2 2
qpcos.
2
qpsen
−+
sen p - sen q = 2 2
qpsen.
2
qpcos
−+
cos p + cos q = 2 2
qpcos.
2
qpcos
−+
cos p - cos q = - 2 2
qpsen.
2
qpsen
−+
AC-02
69
2. Transforme a soma cos 95° + cos 55° + cos 15° em produto.
Solução: Podemos associar as parcelas assim,
( ) ⇒+
−+=°+°+° o
oooo
55cos2
1595cos
2
1595cos255cos15cos95cos
ooo 55cos40cos55cos2 +
Colocando 2 cos(55°) em evidência,
)60cos40(cos55cos2)2
140(cos55cos2 ooooo +=+ , pois cos(60º) = ½
Fatorando novamente a expressão entre parêntese, fica
⇒−=−+
)10cos(50cos55cos42
6040cos
2
6040cos2(55cos2 ooo
ooooo
ooo 10cos50cos55cos4⇒
3.2.10 - Arcos Complementares
Sabemos que se dois ângulos são complementares
(x e 90° - x), o seno de um é igual ao cosseno do outro e
vice-versa, ou seja:
e
Isso é válido, também, para dois arcos quaisquer, desde que
sua soma seja 90o (ou côngruo de 90o) Agora, vejamos a tangente do
complemento de um arco:
tg x = )x90(gcot)x90(sen
)x90(cos
xcos
senx 00
0
−=−−
=
Ou seja, a tangente de um arco é igual à cotangente de seu
complemento e vice-versa.
e
Temos ainda:
)x90(sen
1
xcos
1xsec
0 −== = cossec (90° - x)
cotg x = tg (90o - x) °≠ 180kx
tg x = cotg (90o - x) °+°≠ 180k90x
cos x = sen(90o - x) sen x = cos(90o - x)
AC-02
70
ou seja, a secante de um arco é igual à cossecante de seu
complemento e vice-versa:
e
Observação: chamamos de octante à metade de um quadrante.
Reduzir um arco do segundo para o primeiro octante significa
utilizar o que foi visto acima, para escrever a função de um arco
entre 0o e 45°.
Exemplos:
a) sen 60° = cos 30°
2° octante 1° octante
b) °=° 44sen46cos
c) °=° 10gcot80tg
d) cotg 89º = tg 1º
e) sec 20º = cossec 70º
f) cossec 85º = sec 5º
3.2.11 - Redução ao Primeiro Quadrante
Para conhecer os valores das funções trigonométricas de
arcos situados no II, III e IV quadrantes, basta conhecer esses
valores para os arcos do I quadrante, conforme veremos a seguir:
-Arcos no II quadrante
Se x é um arco do II quadrante, então o
seu suplemento 180o - x (ou π - x) será um
arco do I quadrante, e teremos:
Exemplos:
sen 160° = sen (180°-160°) = sen 20°
cos 160° = -cos (180°-160°) = - cos 20°
cos x = - cos (180o - x)
tg x = - tg (180o - x)
sen x = sen (180o - x)
cossec x = sec(90o - x) °≠ 180kx
sec x = cossec(90o - x) °+°≠ 180k90x
AC-02
71
tg 160° = -tg (180° - 160°) = - tg 20°
Atenção: cosseno e tangente são negativos no II quadrante,
daí o sinal de menos ao fazer a redução.
- Arcos no III quadrante
Se x é um arco do III quadrante, então x - 180 (ou x -π)
será um arco do I quadrante, e teremos:
Atenção: seno e cosseno são
negativos no III quadrante.
Observação: x e x - 180° dizem-se arcos explementares
(diferem de meia volta).
Exemplos: são explementares 10o e 190 o, 100o e 280o etc
- Arcos no IV quadrante:
Se x é um arco do IV quadrante,
então seu replemento 360° - x (ou 2π -x)
será um arco será um arco do I quadrante,
e teremos:
Exemplos:
sen 340° = - sen (360°-340°) = - sen 20°
cos 340° = cos (360°-340°)= cos 20o
tg 340° = - tg (360°- 340°) = - tg 20°
tg x = - tg (360° - x)
cos x = cos (360° - x)
sen x = - sen (360° - x)
tg x = tg (x - 180o)
cos x = - cos (x - 180o)
sen x = - sen (x - 180o)
AC-02
72
Atenção: seno e tangente são negativos no IV quadrante.
Lembrando agora que 360°-x e -x (arco negativo) são
côngruos, podemos reescrever as três últimas relações assim:
Exemplos:
sen (-35°) = - sen 35°
cos (-100°) = cos 100o
tg (-80°) = -tg 80°
Observação: as funções secante, cossecante e cotangente, na
redução ao primeiro quadrante, comportam-se, respectivamente, como
as funções cosseno, seno e tangente.
Exemplo:
°−=
°⇒°−=°
40tg
1
320tg
140gcot320gcot
Resumo:
tg x = - tg (-x)
cos x = cos (-x)
sen x = - sen (-x)
III → tomar o suplemento do arco e trocar o sinal da função (exceto sen e cossec)
IIII → tomar o explemento do arco e trocar o sinal da função (exceto tg e cotg)
IIV → tomar o replemento do arco e trocar o sinal da função (exceto cos e sec)
AC-02
73
3.3 - GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
3.3.1 - O Ponto
Num plano α tomemos duas retas perpendiculares num ponto O
e oriente-mo-las conforme a figura.
Reta orientadas chamam-se eixos.
Se convencionarmos uma das retas
horizontal e a outra vertical, teremos:
1o) um eixo horizontal, que chamaremos de
eixo das abscissas (eixo dos x);
2o) um eixo vertical, que chamaremos de
eixo das ordenadas (eixo dos y).
Estes eixos dividem o plano cartesiano em quatro regiões
chamadas quadrantes, que são numerados I, II, III e IV.
Tomemos agora no plano um ponto P (qualquer) e por ele
conduzamos duas retas r e s, r // Ox e s // Oy. As figuras mostram
possíveis posições do ponto P em cada um dos quadrantes:
Chamamos de medida algébrica de um segmento orientado em
relação a um eixo o módulo do segmento acompanhado de sinal (+) ou
(-), conforme o seu sentido seja concordante ou não com o sentido
positivo do eixo.
AC-02
74
Considerando os segmentos orientados OM e ON, da figura, de
medidas algébricas xp e yp, respectivamente, chamamos:
- xp de abscissa do ponto P; e
- yp de ordenada do ponto P.
Dessa maneira, ao ponto P, do plano α, associamos um único
par ordenado de números reais (xp, yp) que chamamos de coordenadas
do ponto P.
Reciprocamente, a todo par ordenado de números reais
(xp, yp), existe no plano α um único ponto P a ele associado.
Observações:
1a.) Todo ponto de abscissa nula pertence ao eixo das
ordenadas e reciprocamente. Exemplo: E(O,4).
2a.) Todo ponto de ordenada nula pertence ao eixo das
abscissas e reciprocamente. Exemplo: F(4,O).
3a.) Todo ponto de abscissa igual a ordenada está na
bissetriz dos quadrantes (I) ou (III). Exemplo: G(2,2).
4a.) Todo ponto de abscissa igual ao oposto da ordenada
esta na bissetriz dos quadrantes (II) ou (IV) .Exemplo: H(2,-2).
A distância entre dois pontos pode ser facilmente calculada
no plano cartesiano. Marquemos dois pontos A(xa, ya) e B (xb, yb).
Três casos podem ocorrer conforme as figuras seguintes:
AC-02
75
1o caso: AB // Ox
No 1o caso tem-se que
ABAB xxd −= , ou seja, a distância
entre dois pontos é a diferença entre
suas abscissas (tomada em modulo).
2o caso: AB // Oy
No 2o caso, tem-se que
ABAB yyd −= e neste caso, a distância
entre os dois pontos é a diferença entre
suas ordenadas (tomada em módulo).
3o caso: AB qualquer
Finalmente, para o terceiro
caso:
ABACAC xxxxd −=−= e
ABcBBC yyyyd −=−=
Como o ∆ABC é retângulo, aplicando-se Pitágoras, vem: 222
BCACAB ddd +=
2AB
2AB
2AB )yy()xx(d −+−=
ou seja:
Diferença Diferença das Abscissas das Ordenadas
22 )yy()xx(d ABABAB −+−=
AC-02
76
3.3.2 - A Reta
No plano cartesiano a equação geral da reta que passa por
dois planos A (xA, yA) e B (xB, yB) dados é dada por:
(a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ou b ≠ 0)
com a = yA – yB
b = xB – xA
c = xAyB - xByA
Observações:
1a) Devemos sempre ter em mente que a equação de uma reta
determinada por dois pontos é uma relação que todos os pontos
dessa reta devem satisfazer, inclusive os dois pontos que
determinam a reta.
2a) Se um ponto pertence a uma reta, então suas coordenadas
satisfazem a equação dessa reta, e vice-versa, se as coordenadas
de um ponto satisfazem a equação de uma reta, então esse ponto
pertence a essa reta.
3a) Para "pegarmos pontos de uma reta" damos valores às
abscissas (x) na equação da reta e calculamos as correspondentes
ordenadas (y) ou vice-versa.
4a) Se um ponto pertence a várias retas, então suas
coordenadas satisfazem as equações de todas essas retas.
Exemplos:
1. Determinar a equação geral da reta determinada pelos pontos
A(3,2) e B(2,1).
Solução: Do enunciado temos,
∴
Logo, a equação da reta que passa pelos pontos A e B é:
x – y – 1 = 0
a = yA – yB = 2 – 1 = 1 b = xB – xA = 2 – 3 = - 1 c = xAyB – xByA = 3 – 4 = - 1
ax + by + c = 0
xA = 3; yA = 2
xB = 2; yB = 1
AC-02
77
2. Verificar se os pontos P(3,2) e Q(-2,5) pertencem à reta r de
equação x – y – 1 = 0.
Solução: Pertencerá a reta o ponto cuja
(abscissa) – (ordenada) – 1 = 0
Temos, para o ponto P(3,2): (3) – (2) – 1 = 0 ⇒ P ∈ r
Temos, para o ponto Q(-2,5): (-2) – (5) – 1 = - 8 ≠ 0 ⇒ Q ∉ r
3.3.3 - Coeficiente Angular de uma Reta
Observações preliminares
1a) Esta teoria só vale para sistemas cartesianos ortogonais.
2a) Ângulo que uma reta forma com Ox, é o ângulo (α) convexo,
formado pela reta e o eixo Ox, medido sempre de Ox para a reta no
sentido anti-horário, conforme vemos na figura à seguir.
Declive ou coeficiente angular de uma reta não
perpendicular a Ox é o número real m tal que:
onde α é o ângulo entre r e Ox.
Com o auxilio da Trigonometria, são evidentes as
propriedades:
1a) Se α é agudo, então m é positivo.
2a) Se α é obtuso, então m é negativo.
3a) Se α é nulo, então m é zero.
4a) Se α é reto, então m não é definido.
m = tg α
AC-02
78
O coeficiente angular de uma reta pode ser determinado
quando são conhecidas as coordenadas de dois pontos desta reta.
No ∆ABC, da figura temos tg α = m = AB
B
xx
yym A
−
−= , ou
Por outro lado, se é conhecida a equação geral de uma reta
ax + by + c= O, encontramos o seu coeficiente angular fazendo:
3.3.4 - Forma Reduzida da Equação da Reta
Seja r, no plano cartesiano, uma reta cuja equação geral é
ax + by + c = o.
Se b ≠ 0, teremos o valor de y, na equação geral, assim:
b
cx
b
aycaxby −−=⇒−−=
Mas -b
a = m e, fazendo -
b
c = q, teremos
que é a equação reduzida da reta r. O termo q recebe o nome de
coeficiente linear e nada mais é do que a ordenada do ponto em que
a reta intercepta Oy.
Exemplos:
b
am −=
x
ym
∆∆
=
y = mx + q
AC-02
79
1. Dar a equação reduzida da reta cuja equação geral é
3x + 2y- 5 = O e determinar o seu coeficiente angular e linear.
Solução: Basta na equação geral isolar o y,
3x + 2y -5 = O ⇒ 2y = -3x + 5 ⇒ y = -2
5
2
3+x
2
3−=m e
2
5=q
2. Determinar o coeficiente angular da reta determinada pelos
pontos A(3,2) e B(5,1).
Solução: Do enunciado,
xA = 3 e yA = 2
xB = 5 e yB = 1
2
1
35
21−=
−−
=⇒−−
=∆∆
= mxx
yy
x
ym
AB
AB
3. Determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
A e B do gráfico.
Solução:
No gráfico A(3,0) e B(0,4)
3
4
30
04m
xx
yy
x
ym
AB
AB −=−−
=⇒−−
=∆∆
=
3.3.5 - Feixe de Retas Concorrentes
No plano cartesiano consideremos um ponto P(x0, y0} e todas
as retas que o contém. Seja m o coeficiente angular de r, uma
dessas infinitas retas, e A(x,y) um ponto genérico de r (ver
figura a seguir).
AC-02
80
y – yo = m(x – xo)
Logo, o
o
xx
yymtg
−−
==α ou
que é a equação da reta que passa por P(x0, y0) e tem coeficiente
angular m.
Observação: Além das retas que têm coeficiente angular m devemos
destacar a reta x = x0, que é paralela a Oy e portanto não tem
definido coeficiente angular.
Exemplo: Determinar a equação da reta que passa por P(2,3) e tem
coeficiente angular m = 5.
Solução: A equação da reta que passa por P(x0,y0) e tem coeficiente
angular m é do tipo y – y0 = m(x-x0).
Do enunciado temos: x0 = 2, y0 = 3 e m = 5. Então:
y - 3 = 5 (x -2)
y – 3 = 5x-10
5x - 10- y + 3 = 0
5x - y -7 = 0
que é a equação geral da reta que passa por P(2,3) e tem
coeficiente angular igual a 5.
AC-02
81
3.3.6 - Paralelismo e Perpendicularismo
No plano cartesiano,sejam r e s
duas retas paralelas. Temos:
α1 = α2 ⇒ tg α1= tg α2
Logo:
Ou seja,
Sejam agora r e s duas retas perpendiculares. Temos:
122
α+π
=α
(i) 2
12
π=α−α
Mas
(ii)
12
1212
tg.tg1
tgtg)(tg
αααααα
+−
=−
De (i) e (ii) ⇒ ( ) 0m.m10tg.tg1 rs12 =+⇒=+ αα
1m.m rs −=⇒ ou s
rm
1m
−=⇒
Ou seja:
Exemplos:
1. Verificar se as retas r e s dadas são paralelas ou
perpendiculares.
A)
=−+−=+−
0124
032
yx:s
yx:r
Se duas retas são perpendiculares, então o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso do coeficiente angular da outra.
mr = ms
Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular.
AC-02
82
Solução:
21
2
b
amr =
−−
=−
= e 22
4
b
ams ==
−=
Como mr = ms, então r // s.
B)
−−=
=+−
12
1
032
xy:s
yx:r
Solução:
21
2
b
amr =
−−
=−
= e 2
1ms −=
como mr ≠ ms ⇒ r não é paralela a s
mas, mr . ms = 2.
−
2
1= - 1, então r⊥ s
2. Qual é a equação geral e a reduzida da reta s que passa pelo
ponto P(-1,-2) e é paralela à reta r: 2x -y + 3 = O
Solução: O coeficiente angular da reta s procurada deve ser igual
ao da reta r dada, que é:
21
2=
−−
=−
=b
am
Pelo ponto P dado passa um feixe de retas cuja equação tem
a forma y - Yo = m(x – x0). Substituindo, vem,
y + 2 = 2(x + 1)
y + 2 = 2x + 2
y = 2x (equação reduzida) ou 2x - y = O (equação geral)
3. Encontrar a equação geral e a reduzida da reta t que passa pelo
ponto P(0,1) e é perpendicular à reta r que passa pelos pontos
A(-1, 2) e B(2,3).
Solução: O coeficiente angular da reta t procurada é o oposto do
inverso do da reta r dada.
Como 3
1
12
23=
+−
=∆∆
=x
ymr , então mt = -3.
AC-02
83
A equação da reta t que passa pelo ponto P(0,1) e tem
coeficiente angular -3 é:
y –y0 = m(x - x0)
y - 1 = - 3x
y = - 3x + 1(equação reduzida) ou 3x + y -1 = 0 (equação
geral)
3.4 - POLINÔMIOS
3.4.1 - Introdução
Expressões literais são expressões nas quais representamos
números por letras. As letras são chamadas variáveis e podem
assumir quaisquer valores dentro de um conjunto de números.
Uma expressão é chamada monônio quando não apresenta as
operações adição e subtração. Exemplos:
a)5x Coeficiente: + 5
Parte literal:
b)-a2b5 Coeficiente: -1
Parte literal: a2b5
Uma expressão literal é chamada polinomial quando é formada
por uma soma algébrica de monômios. Exemplos:
a) x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
b) a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Em Álgebra Elementar representamos polinômio na variável x,
pela expressão:
Grau de um polinômio P(x) é o maior expoente de x, cujo
termo tem coeficiente diferente de zero.
Exemplos:
a) P(x) = 4x3 -2x2 + 5x -6
coeficientes: 4,-2,5,-6
Onde termos: 4x3, -2x2, 5x, -6
grau: 3
P(x) = an xn + an-1 x
n-1 +... + a2x2 + a1x + a0
AC-02
84
b) P(x) = 5x6 –3x4 + 2x3 + x2 -1
coeficientes:5,0,-3,2,1,0,-1
Onde termos: 5x6, 0x5, 3x4, 2x3, x2, 0x,-1
grau: 6
Observações:
1a) Em relação a qualquer variável, podemos dizer que os números
reais diferentes de zero são polinômios cujo grau é zero.
Exemplo: são polinômios de grau nulo: 3, 5, 2
1 -5; etc, pois podem
ser escritos
3xo, 5xo; 2
1xo; -5xo , etc
2a) O zero é polinômio de grau não definido pois:
0 = 0xo = 0x = 0x2 = 0x3 = ...= 0x20 = ...
O número que se obtém ao substituir a variável x por um
número qualquer, é chamado valor numérico do polinômio.
Exemplos: Dados o polinômio P(x) = x4 -2x3 + 5x -1 obter,
P(1) = 14 - 2.13 + 5.1 - 1 = 3
P(2) = 24 - 2.23 + 5.2 - 1 = 9
P(0) = 04 – 2.03 + 5.0 - 1 = -1
Quando dois polinômios assumem o mesmo valor numérico para
qualquer valor de x, eles são ditos idênticos:
Polinômios identicamente nulo são aqueles em que todos os
seus coeficientes são iguais a zero. Indica-se por P(x) ≡ 0.
Exemplos:
1. Determinar os valores de a e b para que o polinômio
(a-b)x2 + (2a-4)x seja identicamente nulo.
P1(x) ≡ P2(x) ⇔ P1(x) = P2(x), ∀ x
P(x) ≡ 0 ⇔ P(x) = 0, ∀ x
AC-02
85
Solução:
P(x) = (a-b)x2 + (2a-4)x ≡ 0
Condição a – b = 0
2a -4 = 0
Resolvendo o sistema de equações: a = b = 2
2. Obter os valores de a e b para que os polinômios sejam
idênticos:
P1(x) = 7x2 + (a-b)x
P2(x) = (2a + b)x2 + 5x
Solução:
P1 ≡ P2 => 7x2 + (a -b)x ≡ (2a + b)x2 + 5x
Condição 7 = 2a + b
a - b = 5
Resolvendo o sistema de equações: a = 4 e b = - 1
3.4.2 - Operações com Polinômios
Para efetuar a adição e a subtração de polinômios, em
primeiro lugar devemos eliminar os parênteses e em seguida efetuar
a redução dos termos semelhantes.
Exemplos:
a) (2X4 – 3x2 + 5x) + (5x4 – 4x3 + 4x2 + 4x -1) =
= 2x4 – 3x2 + 5x + 5x4 –4x3 + 4x2 + 4x – 1 = 7x4 – 4x3 + x2 + 9x –1
b) (5x3 – 2x2 + 4x -1) -(-3x3 + 4x2 + 4x + 5) =
= 5x3 – 2x2 + 4x -1 + 3x3 - 4x2 - 4x - 5 = 8x3 - 6x2 -6
A multiplicação é feita primeiro multiplicando todos os
termos dos polinômios entre si e em seguida efetuando a redução
dos termos semelhantes.
AC-02
86
= 2x4 – 5x3 + 2x - 2x3 + 5x2 – 2 =
= 2x4 – 7x3 + 5x2 + 2x - 2
Quando dividimos um polinômio D(x) por outro d(x), devemos
lembrar que se obtém um quociente Q(x) e um resto R(x), tal que:
Onde:
- o grau de Q(x) é igual ao grau de D(x) menos o grau d(x).
- o grau de R(x) é menor que o grau de d(x) .
Assim, ao dividirmos D(x) = 3x5 - 2x4 + 3x3 por
3x2 - 2x + 10, obtém-se um quociente Q(x) e um resto R(x), tal que:
- grau de Q(x) = 5 - 2 = 3
- grau de R(x) é menor que 2
Divisão pelo método da chave:
Vamos explicar esse método através de um exemplo. Sejam os
polinômios:
D(x) = 4x4 – 2x + 3x2 - 4x3 + 2
d(x) = x + x2 – 1
Roteiro:
1°) Ordenar os polinômios D(x) e d(x) na ordem decrescente das
potências de x.
2°) Dividir o primeiro termo de D(x) pelo 1° termo de d(x). O
resultado dessa divisão será o primeiro termo de Q(x).
3°) Multiplicar o termo obtido em Q(x) por d(x); em seguida
subtrair de D(x) o produto obtido.
D(x) = Q(x).d(x) + R(x)
AC-02
87
4°) Repetir o processo para o resto obtido, até que o grau do
resto fique menor que o grau do divisor.
3.4.3 - Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio
(x – a) é P(a).
Exemplos:
1. Dar o resto da divisão do polinômio P(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 2
por x – 2.
Solução:
R = P(2) = 2.23 – 5.22 + 3.2 - 2 = 16 – 20 + 6 – 2 = 0
Portanto R = 0, isto é a divisão é exata.
2. Dar o resto da divisão dos polinômios:
A(x) | B(x)
Sendo
A(x) = 4x2 – 2x + 1; e
B(x) = x – 1.
AC-02
88
Solução:
R = A(1) = 4.12 – 2.1 + 1 = 4 – 2 + 1 ⇒ R = 3
3.4.4 - Teorema de D’Alembert
3.4.5 - Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Este dispositivo é utilizado para a obtenção do quociente
Q(x) e do resto R(x) da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio
(x – a).
Exemplo padrão 1: Dividir P(x) = 5x3 + 4x2 + 3 por (x – 2)
1º) Observe que os termos de P(x) já estão ordenados. Como falta o
termo em x, o seu coeficiente é igual a zero.
2º) O dispositivo:
3o) Como P(x) tem grau 3, Q(x) terá grau 2. Portanto, Q(x) = 5x2 +
14x + 28 e R (x) = 59.
Exemplo padrão 2: Dividir P(x) = 6x3 – 5x2 + 10x-1 por 3x-1
1o) Os termos de P(x) já estão ordenados.
2o) P(x) = (3x-1).Q(x) + R(x)
P(x) = 3(x-3
1).Q(x)+R(x)
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0.
AC-02
89
P(x) = (x-3
1).3 Q(x) + R(x)
Q1.(x)
Observe que Q1(x) = 3.Q(x) ⇒ Q(x) = 3
xQ1 )(
3o) Não podemos utilizar o dispositivo para dividir por (3x-1),
então vamos, inicialmente, obter Q1(x), dividindo por
(x-3
1), onde a =
3
1 :
Assim, Q1(x) = 6x2 – 3x + 9
Mas, como Q(x) = 3
xQ1 )(
teremos Q(x) = 2x2 – x + 3
e teremos R(x) = 2
Exemplos:
1) As diagonais de um losango cujo lado mede 5 cm estão na
razão de 1:2. Calcule as distâncias entre os lados paralelos.
SOLUÇÃO:
d1 = K d2 = 2k
AL = 221 k
2
dd=
.
AL = 5x ⇒ 5x=k2 ⇒
AC-02
90
T.P ⇒ 4
k2 + k2 = 25 ⇒ k2 = 20
⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4
RESPOSTA = 4 cm
2) A área de um círculo inscrito num hexágono regular é 3π
cm2. Calcular a área do hexágono.
SOLUÇÃO:
O raio m do círculo é o apótema do
hexágono
πm2 = 3π ⇒ m = 3
Do triângulo eqüilátero, vem: m
2
3=l
232
3=⇒= ll
3) A área de um triângulo retângulo é igual ao produto das
medidas dos segmentos determinados sobre a hipotenusa pelo ponto
de contacto do círculo inscrito no
triângulo.
SOLUÇÃO:
Tese: S = x . y
DEMONSTRAÇÃO =
2ryrxrxyS22
ryrxs +++=⇒
++=
)(.)( (1)
T.P. => (x + r)2 + (y + r)2 = (x + y)2 ⇒ xr + yr + r2 = xy
Substituindo em (1) vem:
2S = xy + xy => S = xy
AC-02
91
4) a) No triângulo retângulo
da figura,
sen α = 25
7
50
14e
25
24
50
48==α= cos
b)Se a hipotenusa for unitária,
os catetos fornecem diretamente o seno e o cosseno:
Todo ângulo agudo tem um seno e um cosseno: basta construir
um triângulo retângulo sobre ele e dividir o cateto conveniente
pela hipotenusa.
Note que seno e cosseno, assim definidos, não são medidas
de coisa alguma, mas relações entre as medidas dos catetos e da
hipotenusa.
5) Calcule o valor de x na figura, sabendo-se que o seno do
ângulo é 3
2.
Solução:
O valor 3
2 indica a razão entre o
cateto oposto (x) e a hipotenusa (12), ou seja, 12
x
3
2= , logo,
x = 3
122 . = 8.
6) Sendo 0,6 o seno do menor ângulo agudo e 6 o menor
cateto, calcule o maior cateto de um triângulo retângulo.
Solução:
Sabendo que, num triângulo qualquer, o menor angulo opõe-se
ao menor lado, podemos esboçar a figura ao lado e escrever:
AC-02
92
0,6 =h
6 (é o seno de α), logo
h = 10
O cateto maior é obtido usando
se Pitágoras:
102 = 62 + x2 = x ⇒ 8
7) Calcular a distância entre os parapeitos de duas janelas
de um arranha.céu, conhecendo os ângulos α e β {sendo α < β) sob os
quais são observados de um ponto do solo à distância d do prédio.
Solução:
∆ACD: tg β = d
AC ⇒ AC = d tg β
∆ABD: tg α = d
AB ⇒ AB = d tg α
x = AC – AB
x = d tg β - d tg α
x = d (tg β - tg α)
8) Calcular:
a) cos 75º b) cos 12
π
Solução:
a) cos 75º = cos (45º + 30º) ⇒ cos 75º =
= cos 45º . cos 30º - sen 45º . cos 30º ⇒
⇒ cos 75º = 2
1.
2
2
2
3.
2
2− =
4
26
4
2
4
6 −=−
b) cos 12
π = cos (
12
34 π−π) = cos (
43
π−
π) ⇒ cos
12
π =
= cos (3
π) cos (
4
π) + sen (
3
π) sen (
4
π) ⇒
⇒ cos 12
π =
2
2.
2
3
2
2.
2
1+ =
4
6
4
2+ =
4
62 +
AC-02
93
9) Calcular sen (a + b) sendo dados
sen a= 3
1; cos b = -
5
3; e
2
π < a,b < π
Solução:
1 - Cálculo de cos a.
sen2 a + cos2 a = 1 ⇒ 9
1 + cos2 a = 1 ⇒ cos2 a =
9
8
Sendo 2
π< a < π, vem: cos a = -
3
22
9
8−=
2 - Cálculo de sen b:
sen2 b + cos2 b = 1 ⇒ sen2 b + 25
9 = 1 ⇒ sen2 b =
25
16
Sendo 2
π< b < π, vem: sen b = +
5
4
25
16=
3 - Cálculo de sen (a + b) :
sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
sen (a + b)= 3
1.(-
5
3) +
5
4 . (
3
22− ) ⇒
⇒ sen(a + b)= 15
283 −−
10) Num triângulo ABC são dados: A= 60°, B = 75° e c =
22 . Calcular o perímetro do triângulo.
Solução:
Como A + B + C= 180°, A = 60° e B = 75°, segue que C= 45°.
Então:
°=
°⇒=
45sen
22
60sen
a
Csen
c
Asen
a ⇒ a
= 32a45sen
60sen.22=⇒
°°
°=
°⇒=
45sen
22
75sen
b
Csen
c
Bsen
b ⇒
AC-02
94
b = 26b45sen
75sen.22+=⇒
°°
logo o perímetro é
a + b + c = 63223 ++
11) Calcular as diagonais de um paralelogramo cujos lados
medem 10 cm e 5 cm, e formam um ângulo de 120o.
Solução:
Calculemos a diagonal maior, x,
aplicando o teorema dos cossenos ao
triângulo ABC:
x2 = 102 + 52 - 2.10.5.cos 120o
x2 = 100 + 25 - 100 (- 2
1) = 175
x = cm75x175 =⇒
Calculemos a diagonal menor, y,
no triãngulo ABD:
y2 = 102 + 52 – 2 . 10 . 5 . cos
6O°
y2 = 100 + 25 – 100(2
1) = 75
y = cm35y75 =⇒
12) Sabendo que sen a = 0,6 e 90° < a < 180°, calcular as
demais funções trigonométricas de a.
cos a = asen1 2−− = - 36,01 = - 64,0 = -0,8
tg a = 75,08,0
6,0
acos
asen−=
−=
cotg a = ...333,16,0
8,0
asen
acos−=
−=
sec a = 25,18,0
1
acos
1−=
−=
cossec a = ...666,16,0
1
asen
1−=
−=
AC-02
95
Obs.: 90o < a < 180o ⇒ cos a < 0
Se não fosse dado o intervalo ao qual a pertence,
deveríamos usar cos a = ± asen1 2−
13) Sabendo que cotg x = 2
x0ea2
a).1a( π<<
−, calcular as
demais funções de x.
Inicialmente observamos que:
⇒>−
⇒>⇒<< 0a2
a).1a(0xgcot
2x0
π
Temos:
=−
==a).1a(
a2
xgcot
1xtg
a4
1a2aa4
a4
a.)1a(1xgcot1xseccos
2
2
22 +−+
=−
+=+=
a
a
2
1+=
1
21
+==a
a
xseccossenx
1
1
1
2
2
1
+−
=
+
−==
a
a
a
a
a
a)a(senx.gxcotxcos
14) Sabendo que tg x = 2
3xe
12
5 π<<π , calcular o valor de
sen x
sen2 x = 169
25
144
251
144
25
xtg1
xtg2
2
=−
=−
Como x ∈ III° Q, então, sen x = -13
5
a > 1
AC-02
96
15) Reduzir ao 1o quadrante:
a) sen 130o b)cos 240o c)tg 315o d)sec 3
2π e)sen
4
21π
Solução:
a) sen 130o = sen 50o
b) cos 240o =-cos 60o
c) tg 315o = - tg 45o
d) sec 3
2π =
3sec
3cos
1
3
2cos
1 π−=
π=
π
e) sen 4
21π
π+π
=π+π+π
=π+π
=π+π
=π
44
54
45
44
20
4
21
4sen
4
5sen
4
21sen
π−=
π=
π (redução do 3° ao 1° quadrante)
16) Conduzir por P(5,4) retas que formam com o eixo dos x
os seguintes ângulos:
a) 45o b)90o c)135o d)60o e) arc tg (-3
4)
a) y –4 = 1(x-5), isto é
x – y – 1 = 0
b) x – 5 = 0
c) y –4 = -1(x-5), isto é
x + y – 9 = 0
d) y –4 = )5x(3 − , isto é
0354yx3 =−+−
e) y –4 =- )5x(3
4− , isto é: 4x + 3y – 32 = 0
AC-02
97
17) (r) 3x + 6y – 1 = 0 e (s) 2x + 4y + 7 = 0 são paralelas
pois:
mr = - 2
1
6
3
b
a
1
1 −=−=
⇒ mr = ms
ms = - 2
1
4
2
b
a
2
2 −=−=
(r) 3x + 2y – 1 = 0 e (s) 4x - 6y + 3 = 0 são
perpendiculares pois:
mr = - 2
3
b
a
1
1 −=
⇒ mr . ms= = -1
ms = - 3
2
6
4
b
a
2
2 −=+=
(r) 3x - 11y + 4 = 0 e (s) 11x + 3y - 2 = 0 são
perpendiculares pois:
mr = - 11
3
b
a
1
1 =
⇒ mr . ms= = -1
ms = - 3
11
b
a
2
2 −=
(r) x = 3 e (s) y = - 1 são perpendiculares pois r ⁄⁄ y
e s ⁄⁄ x
Notemos que neste último caso não vale a relação
mr . ms = -1, uma vez que r é vertical.
18) Construção importante: obter uma reta s que passa por
um ponto P (dado) e é perpendicular a uma reta r (dada, não
horizontal).
AC-02
98
Por exemplo vamos resolver este problema quando r tem
equação
5x + 7y + 1 = 0 e P = (6,-5):
mr = 7
5
b
a−=−
s ⊥ r ⇒ ms = - 5
7
7
5
1
m
1
r
=−
−=
Como s passa por P, a equação de
s é:
y – (-5) = )6x(5
7−
5(y + 5) = 7(x – 6)
5y + 25 = 7x – 42
19) f = 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x –1 e
g = x2 – 2x + 3
f→ 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x –1 x2 – 2x + 3 ← g -3x5 + 6x4 – 9x3 3x3 + 4x –1 ← q
r1 → 4x3 – 9x2 + 11x –1
– 4x3 + 8x2 – 12x
r2 → – x2 – x – 1
x2 – 2x + 3 – 3x + 2 ← r
3 -6 13 -9 11 -1 1 -2 3 -3 6 -9 3 4 -1 4 -9 11 -1 -4 8 -12 -1 -1 -1 1 -2 3 -3 2
20) Dividir f = 2x5 – 3x4 + 4x3 – 6x + 7 por
g = x3 – x2 + x – 1
7x – 5y – 67 = 0
AC-02
99
2 -3 4 0 -6 7 1 -1 1 -1 -2 2 -2 2 2 -1 1 -1 2 2 -6 7 1 -1 1 -1 1 3 -7 7 -1 1 -1 1 4 -8 8
resposta: q = 2x2 – x + 1 e r = 4x2 – 8x + 8
21) Dividir f = x4 – 16 por g = x + 1
1 0 0 0 -16 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 0 0 -16 1 1 1 0 -16 -1 -1 -1 -16 1 1 -15
resposta: q = x3 – x2 + x – 1 e r = -15
22) Dividir f = 3x4 – 2x3 +x2 – 7x + 1 por
g = 3x – 5 = 3 (x – 3
5 )
3 -2 1 -7 1 3
5
3 3 6 3 6
q’ = 3x3 + 3x2 + 6x + 3 ⇒ q = 3
'q = x3 + x2 + 2x + 1
r = 6
23) Dividir f = 4x3 + 5x + 25 por
g = 2x + 3 = )2
3x(2 +
AC-02
100
4 0 5 25 2
3−
4 -6 14 4
q’ = 4x2 – 6x +14 ⇒ q = 2
'q = 2x2 – 3x + 7 e r = 4
24) Dividir f = 8x5 + 6x4 +4x3 +3x2 – 4x – 3 por
g = 4x + 3 = )4
3x(4 +
8 6 4 3 -4 -3 4
3−
8 0 4 0 -4 0
q’ = 8x4 + 4x2 – 4 ⇒ q = 4
1 . q’ = 2x4 + x2 – 1 e r = 0
25) Qual é a expressão S cujo logaritmo decimal é
2
1[log p + log (p – a) + log (p – b) + log (p – c)]?
Solução:
Temos:
log S = 2
1 [log p + log (p – a) + log (p – b) + log (p – c)] ⇒
log S = 2
1 log [ p.(p – a).(p – b).(p – c)] ⇒
⇒ log S = log [ p.(p – a).(p – b).(p – c)]1/2 ⇒
⇒ log S = log c) - (p b) - (p a) - (p p ⇒
⇒ S = c) - (p b) - (p a) - (p p
AC-02
101
26) Qual é a expressão cujo desenvolvimento para o cálculo
com logaritmos é 3
2 [ log (a + b) + log (a – b) – 1]?
Solução:
Temos:
log x = 3
2 [ log (a + b) + log (a – b) – 1] ⇒
⇒ log x = 3
2 [log (a + b) + log (a – b) – log 10] ⇒
⇒log x = 3
2 log
10
b) - (a b) (a + ⇒
log x = 3
2 log
10
22 ba − ⇒ log x = log (
10
ba 22 −) 3
2
⇒
⇒ log x = log 3
222
100
)( ba −
x = 3222
100
)ba( −
27) Calcular cos (arc sen 3
1)
Solução:
Façamos α = arc sen 31 e calculemos, então, cos α.
Por definição, sen α = 31 e
2
π− ≤ α ≤
2
π. Logo:
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ 19
1 2 =α+ cos ⇒ 9
82 =αcos
sendo 2
π− ≤ α ≤
2
π, cos α > 0 e, portanto,
3
22
9
8=+=αcos .
AC-02
102
4 - FUNÇÕES
4.1 - GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES
4.1.1 - DEFINIÇÕES 1
Dados dois conjuntos A e B, ambos não vazios, uma função de
A em B é uma “lei” ou “regra” que associa a todo x ∈ A um único
y ∈ B. Se f indica essa lei e x indica um elemento genérico de A,
então o único elemento y de B associado é indicado por y = f(x)
(lê-se “f de x” ou “f calculado em x”) é chamado imagem de x por f
ou valor assumido por f em x.
O conjunto A é o domínio e o conjunto B é o contradomínio
da função f.
Notação: f: A → B A = D(f), B = CD(f)
x → f(x)
Chama-se imagem da função f o conjunto constituído pelos
elementos y ∈ B para os quais existem algum x ∈ A tal que
y = f(x).
Im(f) = {f(x) | x ∈ A}
É claro que Im(f) ⊂ B.
Uma função f: A → B se diz injetora quando para
quaisquer x1, x2 ∈ A, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ou, em outras
palavras:
∀x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Uma função f: A → B se diz sobrejetora quando
Im(f) = B, ou seja, para todo y ∈ B, existe em correspondência
x ∈ A tal que f(x) = y.
Uma função f: A → B se diz bijetora ou biunívoca quando
é injetora e sobrejetora.
AC-02
103
Duas funções f: A → B e g: A → B são iguais se, e
somente, se f(x) = g(x), ∀x ∈ A.
Exemplo:
As figuras abaixo tornarão mais claras as definições
apresentadas anteriormente.
FIGURA 4.1 – f: A → B, com A = {0,1,2,3} B = {-1,0,1,2,3,4,9}
FIGURA 4.2 – Domínio, contradomínio e imagem
AC-02
104
f é injetora f é sobrejetora f é bijetora
FIGURA 4.3 – Função injetora, sobrejetora e bijetora
4.1.2 - Função Real de Uma variável Real
Uma função f: A → B, onde A e B são subconjuntos não
vazios de , é chamada função real de uma variável real (ou função
de uma variável real a valores reais).
Daqui por diante, todas as funções de que trataremos serão
funções reais de uma variável real.
A Figura 4.4 representa f: → B com y = 2x.
FIGURA 4.4 – Função real
O gráfico de f: A → B é o conjunto
{(x,f(x)) ∈ 2 | x ∈ A} que pode ser representado no plano
geométrico, bastando para isso que se utilize um sistema ortogonal
de coordenadas cartesianas nesse plano. Desse modo, a cada par
ordenado (x,f(x)) fazemos corresponder um ponto P.
O leitor encontrará uma série de exemplos na seção 4.2.
Considere ainda os seguintes exemplos que ajudarão a
esclarecer as definições até agora apresentadas:
AC-02
105
FIGURA 4.5 – Caracterização gráfica de funções
FIGURA 4.6 – Funções injetoras: nenhuma reta horizontal corta o
gráfico mais de uma vez
FIGURA 4.7 – Funções sobrejetoras: nenhuma reta horizontal no
contradomínio deixa de cortar o gráfico
AC-02
106
FIGURA 4.8 - Função bijetora: cada reta corta o gráfico em um
único ponto
FIGURA 4.9 - Há funções que não são injetoras nem sobrejetoras.
4.1.3 - DEFINIÇÕES 2
A função y = f(x) é crescente no intervalo D1 ⊂ D se, para
dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a D1, com x1 < x2,
tivermos f(x1) < f(x2).
Numa linguagem prática (não
matemática) , isto significa que a funçao
é crescente no intervalo D1 se, ao
aumentarmos o valor atribuído a x, o
valor de y também aumenta (Fig. 4.10).
FIG. 4.10 – Função crescente
AC-02
107
Exemplo: a função y = 2x é crescente em pois:
x1 < x2 ⇒ 2x1 < 2x2
para todo x1 ∈ e x2 ∈ .
A função y = f(x} é decrescente no intervalo D1 ⊂ D se,
para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a D1, com x1 < x2,
tivermos f(x1} > f(x2}.
Numa linguagem prática (não
matemática}, isto significa que a
função é decrescente no intervalo D1
se, ao aumentarmos o valor atribuído
a x, o valor de y diminui (Fig.
4.11}.
FIG. 4.11 – Função decrescente
Exemplo: a função y = -2x é decrescente em pois:
x1 < x2 ⇒ -2x1 > -2x2
para todo x1 ∈ e x2 ∈ .
Notemos que a mesma função y = f(x} não tem necessariamente
um só comportamento (crescente ou decrescente) em todo seu domímio
D. É comum acontecer que a mesma função seja crescente em certos
subconjuntos de D e decrescente em outros. O gráfico da Figura
4.12 representa a função y = x2 a qual é crescente em + e
decrescente em -
FIGURA 4.12 – Função decrescente/crescente
AC-02
108
Uma função f, de A em B, é denominada função par se, e
somente se:
f(x) = f(-x), ∀x ∈ A.
Isto é, dando valores simétricos à variável, obtemos o mesmo valor
para a função.
Da definição decorre que o gráfico de uma função par é
simétrico em relação ao eixo y pois:
(x,y) ∈ f ⇒ (-x, y) ∈ f
Exemplos:
a) f(x) = x é função par, pois -x = x, ∀x ∈ .
b) f(x) = x2 é função par, pois (-x)2 = x2, ∀x ∈ .
c) f(x) = 2x
1 é função par, pois
)x(
12− =
2x
1, ∀x ∈ *.
d) f(x) = cos x é função par, pois cos(-x) = cos x, ∀x ∈ .
Uma função f, de A em B, é denominada função ímpar se, e
somente se:
f(-x) = -f(x) , ∀x ∈ A
isto é, dando valores simétricos à variável, obtemos valores
simétricos para a função.
Da definição decorre que o gráfico de uma função ímpar é
simétrico em relação à origem do sistema cartesiano pois:
(x, y) ∈ f ⇒ (-x, -y) ∈ f
Exemplos:
a) f(x) = 2x é função ímpar, pois 2(-x) = -2x, ∀x ∈ .
b) f(x) = x3 é função ímpar, pois (-x)3 = -x3, ∀x ∈ .
c) f(x) = x
1 é função ímpar, pois ,
x
1
)x(
1−=
− ∀x ∈ *.
d) f(x) = sen x é função ímpar, pois sen(-x) = -sen x, ∀x ∈ .
4.1.4 - Função Composta e Função Inversa
Dados os conjuntos A={1, 2, 3, 4}, B={0, 2, 4, 6, 8, 9} e C
= {0, 4, 16, 36, 64, 81, 100}, consideremos as funções:
AC-02
109
f: A → B, definida por f(x) = 2x.
g: B → C, definida por g(x) = x2.
Notemos que a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B tal que
y = 2x e a cada y ∈ B associa-se um único z ∈ C tal que z = y2.
Assim sendo, a cada x ∈ A associa-se um único z e C tal que:
z = y2 = (2x)2 = 4x2.
Isto é, existe a função h, de A em C, definida por h: x → 4x2, a
qual é denominada função composta de g e f e se indica por "g o f"
que se lê "g composta com f" (Fig. 4.13}.
FIGURA 4.13 – Função composta
Dados os conjuntos A, B e C e as funções f, de A em B,
definida por y = f(x} e g, de B em C, definida por z = g(y} chama-
se função composta de g com f a função h = g o f, de A em C,
definida por z = g(f(x}).
Desta definição decorre que a sentença aberta que define g
o f é obtida aplicando a seguinte regra:
g(f(x)) é obtida de g(x) trocando-se x por f(x).
Exemplos:
1°°°°) Dados os conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4} e
C = {0, 2, 4, 6, 8}, consideremos as funções:
f, de A em B, definida por y = x – 1.
g, de B em C, definida por z = 2y.
AC-02
110
Notemos que a função composta de g e f é: h = g o f, de A
em C, definida por z = 2y = 2(x - 1) = 2x - 2.
2º) Consideremos as funções:
f, de em , definida por f(x) = 2x.
g, de em , definida por g(x) = x3.
Notemos que a função composta de g e f é: h= g o f, de
em , definida por g(f(x)) = g(2x) = (2x)3 = 8x3.
Notemos que a função composta de f e g é: h' = f o g, de
em , definida por f (g(x)) = f(x3) = 2x3.
3º) Sendo f(x) = x2 - 1 e g(x) = x + 2, obter:
a) f(g(x)) c) f(g(1))
b) g(f(x)) d) g(f(0))
Para obter f(g(x)) basta substituir x por g(x) na expressão
f(x), portanto:
f(g(x)) = (x + 2)2 - 1 = x2 + 4x + 3
Para obter g(f(x)) basta substituir x por f(x) na expressão
g(x), portanto:
g(f(x)) = (x2 - 1) + 2 = x2 + 1
Para obter f(g(1)) basta trocar x por g(l) na expressão
f(x), portanto:
g(l) = 1 + 2 = 3 ⇒ f(g(1)) = f(3) = 32 - 1 = 8
Para obter g(f(0)) basta trocar x por f(0) na expressão
g(x), portanto:
f(0) = 02 - 1 = -1 ⇒ g(f(0)) = g(-1) = (-1) + 2 = 1
AC-02
111
Seja f: A → B uma função bijetora. Sendo sobrejetora,
Im(f) = B, o que significa dizer que para todo y ∈ B existe pelo
menos um x ∈ A tal que f(x} = y, e esse x é único, porque f é
injetora. Podemos, então, definir uma função
g: B → A
que a y ∈ B associa o único x ∈ A, tal que f(x} = y, ou seja,
g (y} = x ⇔ f (x} = y
Definimos, então: se f: A → B é bijetora, a função g: B →
A definida por
g(y} = x ⇔ f(x} = y
denomina-se a função inversa da função f e indica-se por f-1 (fig.
4.14)
FIGURA 4.14 – Função inversa
Uma regra prática para se obter a inversa de y = f(x) é:
1º) na sentença y = f(x) trocamos x por y e y por x,
obtendo x = f(y);
2º) expressamos y em função de x, transformando
algebricamente a expressão x = f(y) em y = f-1(x).
AC-02
112
Exemplos:
1º) Qual é a função inversa de f, função bijetora de em ,
definida por y = 2x - 4?
Vamos aplicar a regra prática:
I) permutando as variáveis: x = 2y - 4
II) expressando y em função de x:
X = 2y - 4 ⇒ 2y = x + 4 ⇒ 2
4xy
+=
Resp.: É a função f-l, de em , definida por 2
4xy
+= .
2o) Qual ê a função inversa de f, função bijetora de em ,
definida por y = x3?
Aplicando a regra prática, temos:
x = y3 ⇒ y = 3 x
Resp.: É a função f-1, de em , definida por y = 3 x .
3o) Qual ê a função inversa de f, função bijetora de + em +
definida por y = x2?
Aplicando a regra prática, temos:
X = y2 ⇒ y = x
Resp.: É a funçao f , de + em +, definida por y = x .
4o) Qual ê a função inversa de f, função bijetora de -
2
5 em
-
2
3 definida por y =
5x2
4x3
−−
?
Aplicando a regra prática, temos:
x = 5y2
4y3
−−
⇒ 2xy - 5x = 3y - 4 ⇒ 2xy - 3y = 5x – 4 ⇒
⇒ y(2x – 3) = 5x – 4 ⇒ y = 3x2
4x5
−−
Resp.: É a função f-1 , de -
2
3 em -
2
5, definida por
y = 3x2
4x5
−−
AC-02
113
Os gráficos de f e f-1 apresentam uma propriedade. São
simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano
cartesiano, conforme mostra a Figura 4.15.
FIGURA 4.15 – Função inversa
4.2 - PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES
Vamos agora ver uma relação de funções que são denominadas
elementares. Elas são assim denominadas porque são as mais
conhecidas e habitualmente usadas.
4.2.1 - Função Constante
É a função f: → que a
Cada elemento x ∈ R associa sempre o
mesmo elemento c ∈ R (Fig. 4.16).
O gráfico da função constante
é uma reta paralela ao eixo dos x e
passando pelo ponto (0,c). Sua imagem é o conjunto Im = {c}.
FIG.4.16 função constante
Exemplos:
AC-02
114
4.2.2 - Função Identidade
É a função f: → que a cada
elemento x ∈ associa o próprio x.
O gráfico da função identidade é
a reta que contém as bissetrizes do 1o e
3o quadrantes. Sua imagem é o conjunto Im
= (Fig.4.17).
4.2.3 - Função Afim
É a função f: → que associa a cada x ∈ o elemento
(ax + b) ∈ , onde a ≠ 0.
Exemplos:
a) f(x) = 3x – 4 onde a = 3 e b =-4
b) f(x) = 5x + 7 onde a = 5 e b = 7
c) f(x) = -2x – 5 onde a =-2 e b =-5
d) f(x) = 3x onde a = 3 e b = 0
e) f(x) = -5x onde a =-5 e b = 0
Observação:
1o) Quando B = 0 a função afim se transforma em f: x → ax,
também chamada função linear.
2o) O gráfico da função afim é uma reta.
3o) A função afim é crescente se, e somente se, a > 0.
4o) A função afim é decrescente se, e somente se, a < 0.
Exemplos:
AC-02
115
4.2.4 - Função Modular
É a função f: → que a cada
elemento x ∈ associa o elemento |x|.
Assim sendo, a função modular f está
definida da seguinte forma:
f(x) = x se x ≥ 0
f(x) = - x se x < 0
O gráfico de f é a reunião das semi-retas de origem O, que
são bissetrizes do 1o e 2o quadrantes (Fig. 4.18).
A imagem da função modular é o conjunto Im = +, isto é, a
função modular só pode assumir valores reais não negativos.
Exemplo: Construir o gráfico da função f: x → |x - 1|.
De acordo com a definição dada, temos:
f(x) = x - 1 se x - 1 ≥ 0
f(x) = -(x - 1) se x - 1 < 0
portanto:
f(x) = x - 1 se x ≥ 1
f(x) = -x + 1 se x < 1
O gráfico de f também é a reunião das
semi-retas da figura.
4.2.5 - Função Quadrática (ou Função Trinômio do 2o Grau)
É a função que associa a cada x ∈ o elemento
(ax2 + bx + c) ∈ , onde a ≠ 0.
Exemplos:
a) f(x) = x2 + x onde a = l, b = l, c = 0
b) f{x) = 2x2 - 2x + 1 onde a = 2, b = -2, c = 1
c) f(x) = -x2 + 4x - 5 onde a = -1, b = 4, c = -5
d) f(x) = 3x2 - 10 onde a = 3, b = 0, c = -10
e) f(x) = -4x2 + 5x onde a = -4, b = 5, c = 0
f) f(x) = -2x2 + 1 onde a = -2, b = 0, c = 1
AC-02
116
Observações (ver Fig. 4.19)
1o) o gráfico da função quadrática é uma parábola cujo eixo de
simetria é perpendicular ao eixo dos x;
2o) se a > 0, a parábola representativa da função quadrática tem a
concavidade voltada para “cima";
3o) se a < 0, a parábola representativa da função quadrática tem a
concavidade voltada para “baixo";
4o) sendo ∆ = b2 - 4ac (discriminante), a parábola: (*)
a) intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos:
P1
∆+−
∆−−0,
a2
bPe0,
a2
b2
quando ∆ > 0.
b) tangencia o eixo dos x no ponto P
− 0,
a2
b, quando
∆ = 0. c) não tem ponto comum com o eixo dos x quando ∆ < 0.
(*) É preciso aqui recordar a fórmula para resolução das equações
do 2o grau:
y = ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = a2
ac4bb 2 −±−
5º) O vértice da parabola é o ponto V
∆
−−a4
,a2
b, o qual é ponto de
máximo se a < 0 ou é ponto de mínimo se a > 0.
FIGURA 4.19 – Função quadrática
AC-02
117
Exemplos:
1o) Construir o gráfico da função f : x → x2.
Esta função é definida pela relação y = x2, isto é, a cada
número x ∈ associa o número x2. Sabemos que o gráfico de f é uma
parábola com a concavidade voltada para cima, eixo de simetria
vertical, tangente ao eixo dos x(∆ = 0) no ponto V tal que
0a4
y0a2
bx vv =
∆−==−= .
Fazemos a tabela:
x y Ponto
-3 9 A
-2 4 B
-1 1 C
0 0 D = V
1 1 E
2 4 F
3 9 G
20) Construir o gráfico da função f : x → x2 - 6x + 8.
O gráfico desta função é uma parábola com a concavidade voltada
para cima, eixo de simetria vertical, vértice no ponto V tal que
1a4
y3a2
bx vv −=
∆−==−= e corta o eixo dos x nos pontos
que têm como abscissas as raízes da equação y = 0, isto é, nos
pontos (2, 0) e (4, 0).
Fazemos a tabela:
x y Ponto
0 8 A
1 3 B
2 0 C
3 -1 D = V
4 0 E
5 3 F
6 8 G
A respeito da imagem da função
quadrática, obsservemos como conseqüência das propriedades já
citadas que:
AC-02
118
1o) Se a > 0, a função admite o valor mínimo yv = a4
∆− e, assim,
Im = {y ∈ R | y ≥ a4
∆− }.
2o) Se a < 0, a função admite o valor máximo yv = a4
∆− e, assim,
Im = {y ∈ R | y ≤ a4
∆− }.
4.2.6 - Função f : x → x3
É a função f: → que a cada x ∈ associa o elemento
x3 ∈ .
Vamos inicialmente construir a tabela da Fig. 4.20 e plotar
os pontos no gráfico.
x Y = x3 Ponto
-2 -8 A
23− 8
27− B
-1 -1 C
21− 8
1− D
0 0 E
21 8
1 F
1 1 G
23 8
27 H
2 8 I
25 8
125 J
3 27 K
FIGURA 4.20 – Função x3
Observemos algumas propriedades da função f(x) = x3:
a) é uma função crescente em , isto é:
∀x1 ∈ , x2 ∈ , x1 < x2 ⇒ 32
31 xx <
b) quando x → +∞, temos x3 → +∞, (veja em 6.4 - Limites no
Infinito).
c) quando x → -∞, temos x3 → -∞.
d) sua imagem é o conjunto Im = .
AC-02
119
O leitor poderá verificar que a função quadrática, a função
afim e a função constante são funções polinomiais de graus dois,
um e zero, respectivamente (ver 3.4).
A função x3 é um caso particular da função polinomial de
grau 3.
A função f : → , dada por f(x) = ao + a1x1 + ... + anx
n
(an ≠ 0) é uma função polinomial de grau n.
4.2.7 - Função Recíproca
É a função f : * → que a cada elemento x ∈ * associa
o elemento x
1 (Fig. 4.21).
x y = x1 Ponto
-4 41− A
-3 31− B
-2 21− C
-1 -1 D
21− -2 E
31− -3 F
41− -4 G
41 4 G’
31 3 F’
21 2 E’
1 1 D’
2 21 C’
3 31 B’
4 41 A’
FIGURA 4.21 – Função recíproca
A função recíproca é um caso muito particular da função
Racional fracionária, que é a função f(x) dada como quociente de
dois polinômios P(x) e Q(x) .
f(x) = ;)x(Q
)x(P D(f) = { x ∈ | Q(x) ≠ 0}
AC-02
120
4.2.8 - Função Exponencial de Base a
É a função que a cada elemento x ∈ associa o elemento
ax, com 0 < a ≠ 1.
1o) Do que foi visto em 2.4, é fácil concluir que este fato pode
ser expresso assim: a imagem da função exponencial é *+ (a curva
está acima do eixo dos x, ∀a) .
2o) Se a > 1, a função exponencial é crescente.
3o) Se 0 < a < 1, a função exponencial é decrescente.
4o) O gráfico de toda função exponencial corta o eixo dos y no
ponto de ordenada +1 pois:
x = 0 ⇒ y = a0 = 1
Eis dois gráficos de funções exponenciais:
FIGURA 4.22 – Função exponencial
Exemplos:
1o) Construir o gráfico da função exponencial de base 2, isto é:
f : x → 2x
Inicialmente fazemos a tabela:
x y = 2x Ponto
-3 81 A
-2 41 B
-1 21 C
0 1 D
1 2 E
2 4 F
3 8 G
AC-02
121
2o) – construir o gráfico da função exponencial de base 2
1, isto é:
f : x → x
2
1
Inicialmente fazemos a tabela:
x y = 2-x Ponto
-3 81 A
-2 41 B
-1 21 C
0 1 D
1 2 E
2 4 F
3 8 G
4.2.9 - Funções Trigonométricas
Conforme vimos em 3.2.5, podemos escrever que na Fig. 4.23:
FIGURA 4.23 – Círculo trigonométrico
u = abscissa de P = OP1 = cosseno de x = cos x
v = ordenada de P = OP2 = seno de x = sen x
Assim, a todo x ∈ associamos um único número real u (tal
que -1 ≤ u ≤ 1) e definimos uma função à qual damos o nome de
função cosseno e indicamos:
f : x → cos x ou y = cos x
AC-02
122
e um único número real v (tal que -1 ≤ u ≤ 1) e definimos uma
função à qual damos o nome de função seno e indicamos:
f : x → sen x ou y = sen x
Estudando a variação de u e v quando x percorre o intervalo
[0, 2π], isto é, analisando o que ocorre com OP1 e OP2 quando P
parte de A e percorre o ciclo trigonométrico no sentido anti-
horário, podemos montar a tabela e construir os gráficos
x sen x cos x
0 0 1
6π 2
1 2
3
4π
22 2
2
3π
23 2
1
2π 1 0
32π
23 - 2
1
43π
22 - 2
2
65π 2
1 - 23
π 0 -1
67π - 2
1 - 23
45π - 2
2 - 22
34π - 2
3 - 21
23π -1 0
35π - 2
3 21
47π - 2
2 22
611π - 2
1 2
3
2π 0 1
FIGURA 4.24 - Funções seno e cosseno
A imagem das funções y = sen x e y = cos x é o conjunto.
Im = {y ∈ | -1 ≤ y ≤ 1}
Se cos x ≠ 0, definimos:
- funçao tangente f : x → tg x, onde tg x = xcos
senx.
AC-02
123
- função secante f : x → sec x, onde sec x = xcos
1.
Montando a tabela, construímos os gráficos Figura 4.25.
Se sen x ≠ 0, definimos:
- funçao cotangente f : x → cotg x, onde cotg x = xsen
xcos.
- função cossecante f : x → cossec x, onde cossec x = xsen
1.
Montando a tabela, construímos os gráficos da figura 4.26
A imagem da função tangente é o conjunto .
A imagem da função secante é o conjunto {y ∈ | y ≤ -1 ou y ≥ 1}.
FIGURA 4.25 – Funções tangente e secante
A imagem da função cotangente é o conjunto .
A imagem da função cossecante é o conjunto {y ∈ | y ≤ -1 ou y ≥ 1}
FIGURA 4.26 – Funções cotangente e cossecante
4.2.10 - Função Logarítmica
Consideramos a função f definida por y = ax, com 0 < a ≠ 1,
chamada função exponencial de base a. Sabemos que:
a) f é definida em e com imagens em +*;
AC-02
124
b) se a > 1, f é crescente em ;
c) se 0 < a < 1, f é decrescente em .
Em vista disso, a função f é inversível e a sua inversa é
denominada função logarítmica de base a.
Sabemos de 2.2.5 que: x = ay ⇒ y = logax.
A função logarítmica é definida em R+*, seu conjunto-imagem
é , é crescente se a > l ou decrescente se 0 < a < 1, conforme se
vê na Fig. 4.27.
FIGURA 4.27 – Função logarítmica
4.2.11 - Funções Trigonométricas Inversas
A função seno não é bijetora. Entretanto, a parte dela que
é denominada restrição principal e que é a seguinte:
sen : [ ]1 ,12
,2
−→
−
ππ
é bijetora. Portanto, admite inversa que é a função:
arcsen : [-1, 1] →
−
2,
2
ππ
de modo que x = arcsen y ⇔ y = sen x (x é o arco cujo seno é y).
Temos o gráfico:
FIGURA 4.28 – Função Arco-seno
AC-02
125
Chama-se restrição principal do cosseno a função:
cos : [0, π] → [-1 , 1]
e que é bijetora. Logo, admite inversa que é a função
arccos : [-1, 1] → [0, π]
de modo que x = arccos y ⇔ y = cos x (x é o arco cujo cosseno é
y). Temos o gráfico:
FIGURA 4.29 – Função arco-cosseno
Chama-se restrição principal da tangente a função
tg : →
que é bijetora. Logo, ela admite inversa que é a função
arctg : →
−2
,2
ππ
de modo que x = arctg y ⇔ y = tg x (x é o arco cuja tangente é y).
Temos o gráfico:
FIGURA 4.30 - Função arco-tangente
AC-02
126
4.3 - FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS ABERTAS
Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas
cada uma das quais está ligada a um domínio Di contido no domínio
de f.
Eis alguns exemplos:
1o) Seja a função f, de R em R, definida
por:
f(x) = 1 para x < 0
f(x) = 2 para 0 ≤ x < 1
f(x) = 1 para x ≥ 1
Seu gráfico está representado na figura
ao lado. Sua imagem é o conjunto
Im = {1, 2}.
2o) Seja a função f, de em ,
definida por:
f(x) = -x para x < 0
f(x) = x2 para x ≥ 0
Seu gráfico está representado na figura
ao lado. Sua imagem é o conjunto
Im = +.
3o) Seja a função f, de + em ,
definida por:
f(x) = x para 0 ≤ x ≤ 2
f(x) = 2 para 2 < x < 3
f(x) = 5 – x para x ≥ 3
Seu gráfico está representado na figura
ao lado. Sua imagem é o conjunto Im = {y ∈ | y ≤ 2}
Exemplos:
1. Dada a função y = x2 - 4x + 3, determinar:
a) as raízes ou zeros da função
AC-02
127
b) as coordenadas do vértice
c) o seu gráfico
d) o seu domínio e conjunto imagem
Solução:
y = x2 - 4x + 3 a = l, b = -4, c = 3
y = 0 ⇒ x2 - 4x + 3 = 0
∆ = b2 – 4ac ⇒ ∆ = (-4)2 - 4.1.3 = 4
a) Raízes:
32
24x1 =
+=
)1(2
4)4(x
a2
bx
±−−=⇒
∆±−=
12
24x2 =
−=
b) Vértice V(xv,yv):
xv = 2
2
4
)1(2
)4(
a2
b==
−−=
−
yv = 1)1.(4
4
a4−=
−=
∆−
c)
d) D =
Im = {y ∈ | y ≥ -1}
AC-02
128
2. Determinar m para que o gráfico da função quadrática
y = (m - 3)x2 + 5x - 2 tenha concavidade voltada "para cima".
Solução:
Condição: a > 0 ⇒ m - 3 > 0 ⇒ m > 3
3. Para que valores de m a função f(x) = x2 - 3x + m - 2 admite
duas raizes reais iguais?
Solução:
Condição: ∆ = 0
∆ = b2 - 4ac
∆ = (-3)2 - 4(1)(m - 2) = 9 - 4m + 8 ⇒
⇒ -4m + 17 = 0 ⇒ m = 4
17
−−
⇒ m = 4
17
4. Sejam as funções reais f e g, definidas por f(x) = x2 + 4x - 5 e
g(x) = 2x – 3. Pede-se:
a) obter as leis que definem fog e gof
b) calcular (fog)(2) e (gof)(2)
c) determinar os valores do domínio da função fog que produzem
imagem 16.
Solução:
a) A lei que define (fog) é obtida a partir da lei de f, trocando-
se x por g(x):
(fog)(x) = f(g(x)) = [g(x)]2 + 4[g(x)] - 5 =
= (2x - 3)2 + 4(2x - 3) – 5 = 4x2 - 4x - 8.
A lei que define gof é obtida a partir da lei de g, trocando-se x
por f(x):
(gof)(x) = g(f(x)) = 2.f(x) - 3 = 2(x2 + 4x - 5) – 3
(gof)(x) = 2x2 + 8x - 13
b) Calculemos fog para x = 2
(fog)(2) = 4.22 - 4.2 - 8 = 0
Calculemos gof para x = 2
(gof)(2) = 2.22 + 8.2 - 13 = 11
AC-02
129
c) o problema em questão, resume-se em resolver a equação
(fog)(x) = 16, ou seja:
4x2 - 4x - 8 = 16 ⇒ 4(x2 - x - 6) = 0 ⇒ x = 3 ou x = -2.
5. Sejam as funções definidas por f(x) = x e g(x) = x2 - 3x - 4.
Determinar os domínios das funções fog e gof.
Solução
a) (fog)(x) = f(g(x)) = 4x3x)x(g 2 −−=
Para que exista (fog)(x) ∈ , devemos ter x2 - 3x - 4 ≥ 0, isto é:
x ≤ -1 ou x ≥ 4. Então
D(fog) = {(x) ∈ | x ≤ -1 ou x ≥ 4}
(gof)(x) = g(f(x)) = [f(x)]2 – 3f(x) - 4 = |x| - 3 x - 4.
Para que exista (gof)(x) ∈ , devemos ter x ≥ 0. Então
D(gof) = {x ∈ | x ≥ 0}.
6. Sejam as funções reais f(x) = 3x - 5 e (fog)(x) = x2 - 3.
Determinar a lei da função g.
Solução
Se f(x) = 3x - 5 então, trocando-se x por g(x), temos:
(fog)(x) = f(g(x)) = 3g(x) – 5
mas é dado que: (fog)(x) = x2 – 3, então:
3.g(x) - 5 = x2 – 3,
ou seja: 3
2x)x(g
2 +=
7. Sejam as funções reais g(x) = 3x - 2 e (fog)(x) = 9x2 - 3x + 1.
Determinar a lei da função f.
AC-02
130
Solução
Se (fog)(x) = 9x2 - 3x + 1 então f(g(x)) = 9x2 - 3x + 1.
Como g(x) = 3x - 2, decorre x = 3
2)x(g + e então:
[ ] =+−−++=+
+
−
+
= 12)x(g4)x(g4)x(g13
2)x(g3
3
2)x(g9))x(g(f 2
2
= [g(x)]2 + 3g(x) + 3
logo, f(x) = x2 + 3x + 3.
8. Sejam f e g funções reais definidas por
<+≥++
=1x se ,4x3
1x se ,4x2x)x(f
2
e g(x) = x – 3
Obter a lei que define fog.
Solução:
Fazendo g(x) = y, temos (fog)(x) = f(g{x)) = f(y).
Temos de examinar dois casos:
1o) y ≥ 1
y ≥ 1 ⇔ = g(x) ≥ 1 ⇔ = x - 3 ≥ 1 ⇔ x ≥ 4
y ≥ 1 ⇒ f(y) = y2 + 2y + 4 ⇒ f(g(x)) =
= (g(x))2 + 2.g(x) + 4 ⇒
⇒ (fog)(x) = (x - 3)2 + 2(x - 3) + 4 = x2 - 4x + 7
2o) y < 1
y < 1 ⇔ g(x) < 1 ⇔ x - 3 < 1 ⇔ x < 4
y < 1 ⇒ f(y) = 3y + 4 ⇒ f(g(x)) = 3.g(x) + 4 ⇒
⇒ (fog)(x) = 3(x - 3) + 4 = 3x -5
Conclusão: (fog)(x)=
⟨−≥+−4xse,5x3
4xse,7x4x2
9. Seja a função f de - em +, definida por f(x) = x2. Qual é a
função inversa de f?
AC-02
131
Solução:
A função dada é f(x) = y = x2, com x ≤ 0 e y ≥ 0. Aplicando a regra
prática. temos:
I) permutando as variáveis:
x = y2, com y ≤ 0 e x ≥ 0
II) expressando y em função de x
x = y2 ⇒ y = x ou y = - x
Considerando que na função inversa f-l. devemos ter y ≤ 0 e x ≥ 0 a
lei de correspondência da função inversa será f-l(x) = - x .
Resposta: É a função f-l de + em - definida por f-l (x) = - x
10. Seja a função bijetora f de - {2} em - {1} definida por
f{x) = 2x
1x
−+
. Qual é a função inversa de f?
Solução:
A função dada é f(x) = y = 2x
1x
−+
, com x ≠ 2 e y ≠ 1.
Aplicando a regra prática, temos:
x = 2y
1y
−+
⇒ xy – 2x = y + 1 ⇒ xy – y = 2x + 1 ⇒
⇒ y(x - 1) = 2x + 1 ⇒ y = 1x
1x2
−+
Resp.: É a função f-l, de - {1} em em – {2} definida por
f-l(x) = 1x
1x2
−+
.
11. Sejam os conjuntos A = {x ∈ | x ≥ 1} e B = {y ∈ R | y ≥ 2} e
a função f de A em B definida por f{x) = x2 - 2x + 3. Obter a
função inversa de f.
Solução:
A função dada é f{x) = y = x2 - 2x + 3, com x ≥ 1 e y ≥ 2.
Aplicando a regra prática temos:
I) permutando as variáveis:
AC-02
132
x = y2 – 2y + 3 com y ≥ 1 e x ≥ 2
II) expressando y em função de x
x = y2 - 2y + 3 ⇒ x = y2 – 2y + 1 + 3 - 1 ⇒
⇒ x = (y - 1)2 + 2 ⇒
.2x1you2x1y
2x1you2x1y2x1)-(y 2
−−=−+=⇒
⇒−−=−−=−⇒−=⇒
Considerando que na função inversa f-l, devemos ter y ≥ 1 e x ≥ 2,
a sentença que define a função inversa é f-1 (x) = 1 + 2x −
Resposta: f-l : B → A
f-l(x) = 1 + 2x −
12. Seja a função f de - {-2} em - {4} definida por
f(x) = 2x
3x4
+−
. Qual é o valor do domínio de f-1 com imagem 5?
Solução:
Queremos determinar a ∈ - {4} tal que f-1(a) = 5, para isto,
basta determinar a tal que f(5) = a.
a = f(5) = 7
17a
7
17
25
35.4=⇒=
+−
13. Seja a função bijetora de em definida por
f(x) =
⟨−≥−0xse1x
0xse1x2. Determinar f-1.
Solução:
Notemos que
1o) se x ≥ 0 então f(x) = y = x2 - 1, logo y ≥ -1.
2o) se x < O então f(x) = y = x -1, logo y < -1.
A função proposta é:
y = x2 - 1 com x ≥ 0 e y ≥ -1 ou y = x - 1 com x < 0 e y < -1.
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis, temos:
x = y2 - 1 com y ≥ 0 e x ≥ -1 ou x = y - 1 com y < 0 e x < -1
AC-02
133
II) expressando y em função de x, temos:
y = 1x + com y ≥ 0 e x ≥ -1 ou y = x + 1 com y < 0 e
x < -1.
Logo, a função inversa f-1 é de em e definida por:
f-1(x) =
−⟨+−≥+1xse1x
1xse1x
14. Dadas as funções f e g em definidas por f(x) = 3x - 2 e
g(x) = 2x + 5, determinar a função inversa de gof.
Solução
1o Processo
Determinamos inicialmente gof e em seguida (gof)-1.
(gof)(x) = g(f(x)) = 2f(x) + 5 = 2(3x - 2) + 5 = 6x + 1.
Aplicando a regra prática, temos: x = 6y + 1 ⇒ y = 6
1x −
Portanto (gof)-1(x) = 6
1x −.
2o) Processo
Determinamos inicialmente f-1 e g-1 e em seguida f-1og-1 pois
(gof)-1 = f-1og-1
Aplicando a regra prática em f(x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 5 temos:
f-1(x)=2
5x)x(g e
3
2x 1 −=
+ −
6
1x
3
22
5x
3
2)x(g))x(g(f()x)(ogf(
11111 −
=+
−
=+
==−
−−−−
Portanto (gof)-1(x) = 6
1x −.
Resposta: (gof)-1 : →
(gof)-1(x) = 6
1x −
AC-02
134
15. Seja a função f em definida por f(x) = 2x - 3. Construir num
mesmo plano cartesiano os gráficos de f e f-1.
Solução:
f(x) = 2x – 3 f-1(x) = 2
3x +
x y x y
-1 -5 -5 -1 0 -3 -3 0 1 -1 -1 1 2 1 1 2 3 3 3 3 4 5 5 4
16. Construir no mesmo diagrama os gráficos de duas funções
inversas entre si:
1o) f : x → 2x – 4 e f-1 : x → 2
4x +
2o) f : x → x2 e f-1 : x → x
3o) f : x → x3 e f-1 : x → 3 x
Solução
f(x) = 2x – 4 f-1(x) = 2
4x +
x y x y
-4 -12 -12 -4 -3 -10 -10 -3 -2 -8 -8 -2 -1 -6 -6 -1 0 -4 -4 0 1 -2 -2 1 2 0 0 2 3 2 2 3 4 4 4 4
f(x) = x2 f-1(x) = x
x y x y
0 0 0 0 1 1 1 1 2 4 4 2 3 9 9 3 4 16 16 4 5 25 25 5 6 36 36 6
AC-02
135
f(x) = x3 f-1(x) = 3 x
x y x y
-3 -27 -27 -3 -2 -8 -8 -2 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 8 8 2 3 27 27 3
5 - VARIAÇÃO DO SINAL DAS FUNÇÕES
5.1 - INTRODUÇÃO
O gráfico da Figura 5.1 abaixo representa uma função
y = f(x) onde a, b, c e d são dados.
Observemos que:
1º) f(x) = 0 ⇒ x = a ou x = b ou x = c ou x = d. Dizemos
que a, b, c e d são raízes ou zeros de f(x) , isto é, são os
pontos do domínio de f para os quais f(x) = 0.
2º) f(x) < 0 ⇒ x < a ou c < x < d
3º) f(x) ≤ 0 ⇒ x ≤ a ou c ≤ x ≤ d ou x = b
4º) f(x) > 0 ⇒ a < x < b ou b < x < c ou x > d
5º) f(x) ≥ 0 ⇒ a ≤ x ≤ c ou x ≥ d
Ao estudo acima efetuado, chamamos de variação do sinal da
função f.
AC-02
136
FIGURA 5.1 – Variação do sinal da Função
Outro exemplo: sejam os gráficos das funções f(x) e g(x) da
Figura 5.2, onde a, b, c e d são dados.
Observe que:
1º) f(x) = g(x) ⇒ x = a ou x = b ou x = c ou x = d (pontos de
intersecção das duas curvas)
2º) f(x) > g(x) ⇒ x < a ou b < x < c ou x > d (intervalos em que
os pontos de f(x) estão acima dos pontos de g(x))
3º) f(x) ≥ g(x) ⇒ x ≤ a ou b ≤ x ≤ c ou x ≥ d
4º) g(x) > f(x) ⇒ a < x < b ou c < x < d
5º) g(x) ≥ f(x) ⇒ a ≤ x ≤ b ou c ≤ x ≤ d
AC-02
137
FIGURA 5.2 - Comparação entre f(x) e g(x)
Se definirmos a função h : → tal que
h(x) = f(x) - g(x), veremos que recaímos no caso anterior, isto é,
na análise da variação do sinal da função h(x). Por exemplo:
f(x) = g(x) ⇒ h(x) = 0
f(x) > g(x) ⇒ h(x) > 0
Evidentemente, a variação do sinal de uma função pode ser
obtida do seu gráfico, sem maiores complicações. Contudo, a
questão não é tão trivial quando só se dispõe da expressão que
define a função. Neste caso:
1o) obtemos os zeros da função resolvendo a equação f(x) = 0.
2o) obtemos os intervalos onde f(x) < 0 ou f(x) > 0, resolvendo
inequações.
5.2 - EQUAÇÕES
5.2.1 - Definições
Sejam f(x) e g(x) duas funções cujos domínios são D1 ⊂ e
D2 ⊂ , respectivamente. Chama-se equação na incógnita x à
sentença aberta (isto é, a afirmação que pode ser falsa ou
verdadeira dependendo do valor de x escolhido) do tipo:
f(x) = g(x) ou h(x) = f(x) - g(x) = 0, ∀x ∈ D1 ∩ D2
Resolver a equação significa determinar o conjunto S ou V
(denominado conjunto solução ou conjunto verdade) dos números
r ∈ D1 ∩ D2 tais que f(r) = g(r) seja uma sentença verdadeira.
AC-02
138
Na resolução de uma equação procuramos sempre transformá-la
em outra equivalente mais simples, em que o conjunto solução possa
ser obtido com mais facilidade. Para isso, podemos fazer:
1o) f(x) + h(x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x) – h(x)
2o) f(x) = g(x) ⇔ f(x).h(x) = g(x).h(x)
h(x) definida em D1 ∩ D2 h(x) ≠ 0
5.2.2 - Equações Polinomiais
Já vimos como resolver equações do lº e 2º graus. Façamos o
estudo para o caso geral.
Conforme o conceito de raiz apresentado, as raízes de um
polinômio P(x) são as raízes da equação P(x) = 0.
Para determinarmos essas raízes, isto é, resolver a equação
P(x) = 0, devemos saber que um polinômio P(x) de grau n pode ser
completamente fatorado em n1 fatores do 1º grau e n2 fatores do 2º
grau com n1 + 2n2 = n. Os n2 fatores do 2o grau são tais que ∆ < 0
para todos eles.
Por exemplo, P(x) = x2 - 5x + 6 (de grau n = 2) também pode
ser escrito P(x) = (x - 2)(x - 3) (2 fatores do lo grau),
P(x) = (x3 + x2 + x + 1) = (x + 1)(x2 + 1) (1 fator do 1º grau e 1
fator do 2º grau).
Atentemos agora para o seguinte fato: se uma multiplicação
tem resultado nulo, pelo menos um de seus fatores é zero.
Exemplo:
a . b . c = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0 ou c = 0
assim:
Exemplos:
1. As raízes do polinômio (x - 1)(x + 2)(x - 7), logo do 3o grau,
serão as raizes dos fatores
x - 1 = 0 ⇒ x1 = 1
x + 2 = 0 ⇒ x2 = -2
Se um polinômio de grau n apresenta-se completamente de-
composto, suas raízes reais são as n1 raízes de cada um
de seus n1 fatores do 1o grau.
AC-02
139
x - 7 = 0 ⇒ x3 = 7
2. O polinômio (x + 3)(x2 - 4x - 5) não está completamente fatorado
mas suas raizes ainda podem ser calculadas pois conhecemos métodos
para resolver uma equação do 2o grau.
x + 3 = 0 ⇒ x1 = -3
x2 – 4x - 5 = 0 ⇒
−==
1x
5x
3
2
3. Resolva a equação do 4º grau x(x + 1)(x - 1)(2x -3) = O
Solução:
Temos 4 fatores do primeiro grau. As 4 raízes serão:
x = 0 ⇒ x1 = 0
x + 1 = 0 ⇒ x2 = -1
x - 1 = 0 ⇒ x3 = 1
2x - 3 = 0 ⇒ x4 = 2
3
Logo: V = {0, -1, 1, 2
3}.
4. Resolva a equação do 3º grau x3 - 5x2 + 7x - 3 = 0, sabendo que,
fatorada, ela fica (x - 1)2(x - 3) = 0.
Solução:
(x - 1)2(x - 3) = (x - 1)(x - 1)(x - 3)
x - 1 = 0 ⇒ x1 = 1
x - 1 = 0 ⇒ x2 = 1
x - 3 = 0 ⇒ x3 = 3
Logo: V = {1, 3}
Observação importante:
O conjunto verdade apresenta apenas 2 elementos pois uma
das raízes é dupla. Dizemos que esta raiz tem multiplicidade 2.
AC-02
140
5. Resolva a equação x3 + 2x2 - 3x = 0
Solução:
Como não conhecemos métodos para equações do 3o grau, devemos
tentar fatorar. Com efeito, basta por x em evidência:
X (x2 + 2x - 3) = 0
x = 0 ⇒ xl = 0
x2 + 2x - 3 = 0 ⇒
−==
3x
1x
3
2
Logo: V = {0, 1, -3}
6. Forme um polinômio do 3o grau cujas raizes sejam 2, 3 e -1
Solução:
Tal polinômio, decomposto, deve apresentar os três seguintes
fatores do 1o grau:
x = 2 ⇒ x - 2 = 0 ⇒ (x - 2)
x = 3 ⇒ x - 3 = 0 ⇒ (x - 3)
x = -l ⇒ x + l = 0 ⇒ (x + 1)
Multiplicando-se obtemos:
(x - 2)(x - 3)(x + 1) = x3 - 4x2 + x + 6
7. Resolva x3 - 7x + 6 = 0, sabendo que uma das raízes é 2.
Solução:
Como a equação é do 3o grau, devemos ter ao todo 3 raízes. Se uma
delas é 2, haverá um fator do 1o grau igual a (x - 2) multiplicado
por algum fator do 2o grau, Q(x). Ou seja:
x3 - 7x + 6 = (x - 2).Q(x)
Logo, esse fator será Q(x) = 2x
6x7x3
−+−
Efetuando esta divisão, por Briot-Ruffini vem
2 1 0 -7 6 1 2 -3
Q(x) = x2 + 2x – 3 = 0 ⇒
−==
3x
1x
3
2
V= {2, 1, -3}
AC-02
141
5.2.3 - Equações Trigonométricas
Há três tipos de equações trigonométricas a que,
praticamente, todas as outras se reduzem:
===
tga tgx
cosa cosx
sena senx
onde a é um arco conhecido
1º tipo: sen x = sen a
O seno de x será igual ao seno de a,
evidentemente, se x ≡ a (côngruos), ou também
(figura) se x e a forem suplementares
(extremidades simétricas em relação ao eixo
dos senos).
Exemplos:
a) sen x = sen 50° ⇒
+=
+=
º360.k º130x
ou
º360.k º50x
(k ∈ )
b) senx = sen
+=
+=⇒
ππ
πππ
k23
2x
k23
x
3 (k ∈ )
2o) tipo: cos x = cos a
O cosseno de x será igual ao cosseno
de a se x e a forem côngruos ou também
(figura) se forem replementares (extremidades
simétricas em relação ao eixo dos cossenos).
sen x = sen a ⇒
+−=
+=
ππ
π
k2)a(xou
k2ax
AC-02
142
+−=
+=⇒=
ππ
π
k2)a2(xou
k2ax
acosxcos , (k ∈ )
que pode ser escrito assim:
+−=
+=⇒=
π
π
k2axou
k2ax
acosxcos , (k ∈ )
ou, ainda mais simplesmente:
Exemplos:
a) cos x = cos 20º ⇒ x = 20º + k.360º, (k ∈ )
b) cos x = cos ⇒5
2π x = ±
5
2π + 2kπ, (k ∈ )
3o tipo: tg x = tg a
A tangente de x será igual à tangente
de a se x e a forem côngruos ou ainda
(figura), se forem explementares (extremidades
simétricas em relação ao centro da
circunferência).
tg x = tg a
++=
+=
ππ
π
kax
ou
kax
2)(
2
, (k ∈ )
ou simplesmente:
Exemplos:
tg x = tg 40o ⇒ x = 40º + k.180º, (k ∈ )
tg x = tg πππk
3
2x
3
2+=⇒ , (k ∈ )
tg x = tg a ⇒ x = a + kπ
cos x = cos a ⇒ x = ±a + 2kπ
AC-02
143
Exemplos:
1. sen x = sen 200°
Solução:
É claro que x pode valer 200°, mas também pode ser o suplemento de
200°, que é 180° - 200° = -20° ≡ 340°
Logo, x= 200° + k.360° ou x = 340° + k.360°
2. sen x = 2
3
Solução:
Cuidado! Só podemos descobrir x quando tivermos outro arco no
segundo membro. Com efeito, 2
3 = sen ,
3
π e a equação pode ser
reescrita assim:
sen x = sen ,3
π donde
V = {x ∈ | x = 3
π + 2kπ ou x =
3
2π + 2kπ , k ∈ }
3. 2(cos x) - 1 .= 0
Solução:
Primeiramente vamos isolar cos x no primeiro membro:
2cos x = l ⇒ cos x = 2
1
Mas, 2
1 = cos
3
π, 1ogo, cos x = cos
3
π
Donde V = {x ∈ | x = ± 3
π+ 2kπ, k ∈ }
4. cotg x = 3
3
Solução:
Podemos reduzir essa equação para uma do tipo tg x = tg a.
Invertendo ambos os membros:
AC-02
144
3tgx tg
3x tg3
3x tg
3
3
x cotg
1 andoracionaliz
π=
= →=⇒=
Logo: V = {x ∈ | x = 3
π + kπ, k ∈ }
5. cossec2 x = 2
Solução:
Invertendo ambos os membros fica:
2
1xsen
2
1
xseccos
1 2
2=⇒=
Isolando sen x no primeiro membro vem:
sen x = 2
2
22
21
2
1
2
1±=±=±=±
Devido ao ±, devemos resolver duas equações diferentes:
sen x =
+=
+=
⇒=⇒
ππ
ππ
π
k24
3x
ou
k24
x
4sensenx
2
2
sen x =
+−=
+−=
⇒−=⇒−
ππ
ππ
π
k24
3x
ou
k24
x
)4
(sensenx2
2
Portanto, os quatro pontos assinalados na
figura correspondem à solução. E como cada
ponto está distanciado do seguinte de 2
π
podemos escrever:
V = { x ∈ | x = ∈+ k,2
k
4
ππ }
AC-02
145
6. Sendo U = {x ∈ | 0 ≤ x < 2π}, resolva 2cos2x - 7cos x + 3 = 0.
Solução:
Para maior clareza façamos uma mudança de variável, substituindo
cos x por t.
2t2 – 7t + 3 = 0 ⇒ t =
=
=⇒
±=
−±
2
1t
3t
4
57
4
24497
2
1
cos x = 3 ⇒ impossível (pois -1 ≤ cos x ≤ 1)
cos x = πππk2
3x
3cosxcos
2
1+±=⇒=⇒
Como o universo da equação é só a primeira volta,
V = }3
5,
3{
ππ
5.2.4 - Exemplos Diversos
Exemplo 1: resolver |x -2| = 5
1º) quando x - 2 ≥ 0, |x - 2| = x - 2 = 5 ⇒ x = 7
2º) quando x - 2 < 0, |x - 2| = - x + 2 = 5 ⇒ x = -3
S = {7, -3}
Exemplo 2: resolver 7x2
1x=+
−
Temos de considerar 2 casos:
1º) quando x - 1 ≥ 0, |x - 1| = x -1 e a equação fica:
7x2
1x=+
− ⇒ x - 1 + 2x = 14 ⇒ x = 5
2o) quando x – 1 < 0, |x - l| = -x + 1 e a equação fica:
- 7x2
1x=+
− ⇒ -x + 1 + 2x = 14 ⇒ x = 13
S = {5, 13}
Exemplo 3: resolver 2 |x - 3| + |x - 1| = 3
Temos de considerar 3 casos:
1º) quando x < 1:
AC-02
146
+−=−
+−=−
1x1x
3x3x ⇒ 2(-x + 3) + (-x + 1) = 3 ⇒
⇒ x = 3
4 (não convém)
2º) quando 1 ≤ x < 3:
−=−
+−=−
1x1x
3x3x ⇒ 2(-x + 3) + (x - 1) = 3 ⇒
⇒ x = 2
3º) quando x ≥ 3:
−=−
−=−
1x1x
3x3x ⇒ 2(x - 3) + (x - 1) = 3 ⇒
⇒ x = 3
10
S = {2, 3
10}
Exemplo 4: resolver |x|2 - 3|x| + 2 = 0
Temos de considerar 2 casos:
1o) quando x ≥ 0, |x| = x e a equação fica:
x2 - 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 2
2o) quando x < 0, |x| = -x e a equação fica:
x2 + 3x + 2 = 0 ⇒ x = -1 ou x = -2
S = {-2, -1, 1, 2}
Exemplo 5: Equações exponenciais
1º) 2x = 24 ⇒ x = 4
2º) 3x = 81 ⇒ 3x = 34 ⇒ x = 4
3º) 2x-1 = 8 ⇒ 2x-1 = 23 ⇒ x - 1 = 3 ⇒ x = 4
4º) 5x-2 = 25
1 ⇒ 5x-2 =
25
1 ⇒ 5x-2 = 5-2 ⇒ x – 2 = -2 ⇒ x = 0
5º) 3x+1 = 27-x+2 ⇒ 3x+1 = (33)-x+2 ⇒ 3x+1 = 3-3x+6 ⇒
⇒ x + 1 = -3x + 6 ⇒ 4x = 6 - 1 ⇒ x = 4
5
AC-02
147
6º) 1x2x25
2
5
2
2
5
5
22x22x2
=⇒=⇒
=
⇒
=
−
7º) 9x - 10.3x + 9 = 0
32x - 10.3x + 9 = 0
Se 3x = y (mudança de variável), temos:
y2 - 10y + 9 = 0
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒
2x939y
0x131y
x2
x1
Exemplo 6: Resolver a equação 6x3x2 ++ - 3x = x2 + 4
Solução:
A equação proposta é equivalente a
x2 + 3x + 4 - 6x3x2 ++ = 0 ⇒ x2 + 3x + 6 - 6x3x2 ++ - 2 = 0
Fazendo 6x3x2 ++ = y, temos:
y2 - y - 2 = 0 ⇒ y = 2 ou y = -1
y = -1 não convém, pois y = 6x3x2 ++ ≥ 0
Para y = 2, temos:
6x3x2 ++ = 2 ⇒ x2 + 3x + 6 = 22 ⇒ x2 + 3x + 2 = 0 ⇒
⇒ x = -2 ou x = -1
S = {-2, -1}
Exemplo 7: Resolver a equação 54x21x2 =−++ .
Solução:
Antes de elevarmos ao quadrado. devemos transpor uma das raizes
para o outro membro. Assim. temos:
54x21x2 =−++ ⇒ 4x251x2 −−=+
⇒ ( ) ( ) ⇒−−=+22
4x251x2
⇒ 2x + 1 = 25 – 10 4x2 − + 2x – 4 ⇒
⇒ 10 4x2 − = 20 ⇒ 4x2 − = 2 ⇒ 2x - 4 = 22 ⇒ x = 4
x = 4 é solução, pois 44.214.2 −++ = 5
S = {4}
AC-02
148
5.3 - INEQUAÇÕES
5.3.1 - Definições
Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são
respectivamente D1 ⊂ e D2 ⊂ . Chamamos inequação na incógnita
x, a qualquer uma das sentenças abertas abaixo:
f(x) > g(x) ; f(x) < g(x) ; f(x) ≥ g(x) e f(x) ≤ g(x)
O domínio de validade das inequações acima é D = D1 ∩ D2.
Resolver a inequação é encontrar seu conjunto solução, isto
é, o conjunto de todos os números reais x que tornam verdadeira a
desigualdade em questão.
Exemplo: Para 2x + 1 > x + 3 o conjunto solução é
S = {x ∈ | x > 2}
O número real 3 ∈ S é solução da inequação pois
2.3 + 1 > 2 + 3.
Observemos que o conjunto solução é sempre parte do domínio
de validade da inequação.
S ⊂ D
Na resolução de uma inequação procuramos sempre transformá-
la em outra mais simples, com o mesmo conjunto solução.
Para isso,
1o) podemos transpor um termo de membro para outro trocando o sinal
do termo considerado, isto é
h(x) + f(x) < g(x) ⇒ f(x) < g(x) - h(x)
2o) podemos multiplicar os dois membros pela mesma expressão,
mantendo ou invertendo o sentido da desigualdade, conforme essa
expressão seja positiva ou negativa, respectivamente, isto é:
f(x} < g(x} ⇒
<>><
0 h(x} se , h(x} g(x} h(x} f(x}
0 h(x} se , g(x}h(x} f(x}h(x)
para h(x} definida em D1 ∩ D2
AC-02
149
5.3.2 - Sinal das Funções Afim e Quadrática
As inequações ax + b > 0 e ax + b < 0, a ≠ 0 podem ser
resolvidas através do gráfico da função afim (Fig. 5.3}.
FIGURA 5.3 - Sinal da Função Afim
Por exemplo:
3x + 6 > 0
x > - 2
S = {x E | x > -2}
Compare esta solução com a solução gráfica.
As inequações do 2o grau ax2 + bx + c > 0 e
ax2 + bx + c < 0, a ≠ 0, podem ser resolvidas através do gráfico da
função quadrática (Fig. 5.4}.
Exemplo:
-2x2 + 3x + 2 ≥ 0
f(x} = -2x2 + 3x + 2
As raízes de f são x1 = -2
1 e x = 2; a = -2 < 0.
Da Figura 5.4 temos: S = {x ∈ | -½ ≤ x ≤ 2}
AC-02
150
FIGURA 5.4 - Sinal da Função Quadrática
5.3.3 - Solução Geral de Inequação
Dada uma função h(x) definida em D e sendo conhecidos os
zeros e os pontos de descontinuidade (isto é, os pontos onde a
função não está definida) fica razoavelmente simples resolver uma
inequação do tipo h(x) > 0 se nos recordarmos de algumas
propriedades dos números reais:
1º) a > 0 e b > 0 ⇒ a.b > 0, b
a > 0
2º) a > 0 e b < 0 ⇒ a.b < 0, b
a < 0
3º) a.b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0
4º) b
0 = 0 e 0
a ∉
5º) a < b < c ⇒ a < b e b < c
6º) a ≤ 0 e n ∈ é par ⇒ an ≥ 0; n a ∉ , a < 0
AC-02
151
n ∈ é impar ⇒ an ≤ 0; n a ≤ 0
7º) ver as desigualdades dadas em 2.3.2, 2.4 e 2.5.2.
Exemplos: II
1) Resolver 3x + 2 < -x + 3 ≤ x + 4
I
Temos que resolver duas
inequações:
I) 3x + 2 < -x + 3 ⇒ 4x < 1 ⇒ x < 4
1
II) -x + 3 ≤ x + 4 ⇒ -2x ≤ 1 ⇒ x ≥ -2
1
A intersecção destes dois conjuntos é
S = {x ∈ | - 2
1 ≤ x <
4
1
Podemos estender o raciocínio empregado no estudo dos
sinais de um produto de dois fatores para um produto com mais dois
fatores.
2) Resolver a inequação (3x - 2)(x + 1)(3 - x) < 0 em .
Analisando os sinais dos fatores, temos:
AC-02
152
A inequação f(x).g(x) ≥ 0 tem por conjunto solução S a
reunião do conjunto solução S1 da inequação f(x).g(x) > 0 com o
conjunto solução S2 da equação f(x)g(x) = 0, isto é:
3 - Resolver a inequação (3x + 1) (2x - 5) ≥ 0 em .
A inequação (3x + 1)(2x -5) ≥ O é equivalente a:
=+
>+
(II) 0 5)- 1).(2x (3x
ou
(I) 0 5)- 1)(2x (3x
Resolvendo (I) temos S1 = {x ∈ x < -3
1 ou x >
2
5}
Resolvendo (II) temos S2 = {-3
1,2
5}
O conjunto solução é:
S = S1∪S2 = {x ∈ x < -3
1 ou x >
2
5} ∪ {-
3
1,2
5}
Ou seja:
S = {x ∈ x ≤ -3
1 ou x ≥
2
5}
Se recorrêssemos ao quadro-produto, teríamos:
f(x).g(x) > 0
f(x).g(x) ≥ 0 ⇔ ou
f(x).g(x) = 0
AC-02
153
4 - Resolver em as inequações abaixo:
1º) (3x - 2)3 > 0 ⇒ 3x - 2 > 0 ⇒ S = {x ∈ x > 3
2}
2º) (4x - 3)6 > 0 ⇒ 4x - 3 ≠ 0 ⇒ S = {x ∈ x ≠ 4
3}
3º) (2x + 1)5 < 0 ⇒ 2x + 1 < 0 ⇒ S = {x ∈ x < -2
1}
4º) (x - 2)4 < 0 ⇒ S = ∅
5º) (3 - 5x)7 ≥ 0 ⇒ 3 - 5x ≥ 0 ⇒ S = {x ∈ x ≤ 5
3}
6º) (4x - 5)2 ≥ 0 ⇒ S =
7º) (8 - 2x)4 ≤ 0 ⇒ S = {4}
5) Resolver em R a inequação 21
43≤
−+x
x. Temos:
Solução:
01
)1(24302
1
432
1
43≤
−−⋅−+
⇒≤−−+
⇒≤−+
x
xx
x
x
x
x
01
25≤
−+
⇒x
x
Fazendo o quadro-quociente,temos
}15
2{ >−≤∈= xouxRxS
AC-02
154
Podemos resolver a inequação 21
43≤
−+x
x, multiplicando por
h(x)= 1 – x e examinado os dois casos
a)h(x)= 1 – x > 0, isto é, x < 1
5
2)1(2432
1
43−≤⇒−≤+⇒≤
−+
xxxx
x
}5
2{}
5
2{}1{1 −≤∈=−≤∈∩<∈= xRxxRxxRxS
b) h(x)= 1 – x < 0, isto é, x > 1,
5
2)1(2432
1
43−>⇒−>+⇒>
−+
xxxx
x
}1{}5
2{}1{2 >∈=−>∈∩>∈= xRxxRxxRxS
=∪= 21 SSS }15
2{ >−≤∈ xouxRx
6)Resolver em R a inequação (x – 3)5 (2x + 3)6 < 0
Solução:
Estudemos separadamente os sinais das funções f(x)=(x-3)5 e
g(x)=(2x+3)6. Lembrando que a potência de expoente ímpar e base
real tem o sinal da base, então o sinal de (x-3)5 é igual ao sinal
de x-3, isto é
A potência de expoente par e base não nula é sempre
positiva, então (2x+3)6 é positivo se x ≠ - 3/2 e (2x+3)6 é nulo se
x = -3/2, isto é
Fazendo o quadro-produto, temos:
AC-02
155
}2
33{ −≠<∈= xexRxS
7) a)Resolver em R: 312 <+x
b)Resolva em R: 534 >−x
Solução:
a)
123123312 <<−⇒<+<−⇒<+ xxx
}12{ <<−∈= xRxS
b)
⇒>−−<−⇒>− )534 ou 534(534 xxx
2 ou 2
1>−<⇒ xx
}2 ou 2
1{ >−<∈= xxRxS
8) Resolver em R a inequação 2x -7 + 01 ≥+x
Solução:Notando que
<−−−≥+
=+-1x se 1
1 se 11
x
xxx
Devemos então, considerar dois casos
a) se 1−≥x , temos
2x -7 + 2017201 ≥⇔≥++−⇒≥+ xxxx
a solução S1 é
}2{}2{}1{1 ≥∈=≥∈∩−≥∈= xRxxRxxRxS
b) se x < -1, temos
2x -7 + 8017201 ≥⇔≥−−−⇒≥+ xxxx
a solução S2 é
AC-02
156
∅=≥∈∩−<∈= }8{}1{2 xRxxRxS
A solução da ineguação proposta é
=∪= 21 SSS }2{ ≥∈ xRx
9)Resolver as inequações irracionais
a) 232 <− xx
b) 152 +≤+ xx
Solução:
a)
<−≥−
⇒<−⇒<−43
034323
2
222
xx
xxxxxx
<<−≥≤
⇒
<−≥−
⇒(II) 41
(I) 3 ou 0
43
032
2
x
xx
xx
xx
}}43 ou 01{ <≤≤<−∈= xxRxS
b)
+≤+≤≥+
⇒+≤+ 2)1x(5x20
01x1x5x2
≥−≤
−≥
−≥
⇒
≥−≥+≥+
⇒
+<+≥+
≥+
(III) 2x ou 2x
(II) 2
5x
(I) 1x
04x
05x2
01x
)1x(5x2
05x2
01x
22
}2{ ≥∈= xRxS
AC-02
157
10)Resolver a inequação 23
≤−x
x
Solução:
Para resolvermos esta inequação, devemos multiplicar ambos
os membros por x, não esquecendo que dependendo do sinal de x, o
sentido da desigualdade será mantido ou invertido
1ª Possibilidade x > 0 (I)
⇒≤−≤⇒≤−⇒≤− 2430232
3xxxx
x
x
≥−≤
≤
⇒≥−+
≥−⇒
≤−≥−
⇒ (III)
4
3 ou 1
(II) 3
034
03
43
0322 xx
x
xx
x
xx
x
}34
3{1 ≤≤∈= xRxS
2ª Possibilidade x < 0 (IV)
4
303232
3 )02(
≤⇒≥−⇒≥−⇒≤− <
xxxxx
x x
}0{2 <∈= xRxS
A solução da inequação proposta é dada por
=∪= 21 SSS }2{ ≥∈ xRx
11 – Determinar x para que log2 (2x – 3) exista Solução: ∃ log se: a) 2x – 3 > 0 ⇒ x > 3/2, onde 2x – 3 é o logaritmando.
AC-02
158
>ℜ∈=
2
3x/xD
12 – Determinar o valor de x para que log2x - 5 5 exista Solução:
∃ log se: a) 2x – 5 > 0 ⇒ x > 5/2 e
b) 2x – 5 ≠ 1 ⇒ 2x ≠ 6 ⇒ x ≠ 3
≠>ℜ∈= 3xe
2
5x/xD
13 – Determinar o valor de x para que log5x - 15 (2x – 8) exista Solução:
∃ log se: a) 2x – 8 > 0 ⇒ 2x > 8 ⇒ x > 4
b) 5x – 15 > 0 ⇒ 5x > 15 ⇒ x > 3
c) 5x – 15 ≠ 1 ⇒ 5x ≠ 16 ⇒ x ≠ 16/5
Como as condições a, b e c devem ser satisfeitas
simultaneamente, tomamos os valores de x da interseção dos três
intervalos:
{ }4x/xD >ℜ∈=
14 – Resolver as seguintes inequações logarítmicas
1°) 7logxlog55
>
Solução:
Como 7x05 >⇒>
2°) xlog5log 22 >
Solução:
Como 0x502 >>⇒>
3°) 2log)1x(log 77 >−
Solução:
AC-02
159
Como 3x121x007 <<⇒<−<⇒>
4°) 3logxlog3
1
3
1 >
Solução:
Como 3x013
10 <<⇒<<
5°) xlog7log3
1
3
1 <
Solução:
Como 0x713
10 >>⇒<<
6°) xlog7log3
1
3
1 >
Solução:
Como 7xoux713
10 ><⇒<<
7°) 5log)2x(log5
4
5
4 >−
Solução:
Como 7x52x15
40 >⇒>−⇒<<
15 – Resolver a inequação –2x2 + 3x + 2 ≥ 0 Solução:
Considerando f(x) = –2x2 + 3x + 2, temos a = -2<0, ∆ = 25>0 e os
zeros x1 = -1/2 e x2 = 2, então
AC-02
160
<<−>
=−==
>−<<
2x2
1para0)x(f
2xou2
1xpara0)x(f
2xou2
1xpara0)x(f
Como a inequação e f(x) ≥ 0, vem:
≤≤−ℜ∈= 2x
2
1/xS
16 – Resolver a inequação (x2 – x - 2)(-x2 + 4x –3)> 0 em R
Solução:
Analisando os sinais dos fatores, temos:
Fazendo o quadro-produto
{ }3x2ou1x1/xS <<<<−ℜ∈=
17 – Resolver a inequação 0xx2
1xx22
2
≤−
−+ em R
Solução:
Analisando os sinais do numerador e do denominador, temos:
AC-02
161
Fazendo o quadro-quociente, vem
>≤<−≤ℜ∈= 2xou
2
1x0ou1x/xS
5.4 - IDENTIDADE
5.4.1 - Definição
Dadas duas funções f(x) e g(x) de domínios D1 e D2,
respectivamente, diremos que f(x) é idêntica a g(x) quando e
somente quando f(x) e g(x) assumirem valores iguais para todos os
valores de x, para os quais as duas funções existem. Em símbolos,
indicaremos:
Exemplos:
1. Demonstrar as seguintes identidades:
a) 12 244 −=− acos.asenacos
Primeiro membro = ( )( ) ⇒−+=− asenacosasenacosasenacos 222244
( ) ( ) 1211 22222 −=−−=−⇒ acosacosacosasenacos. =Segundo membro
b) ( ) ( )( )senaacos.acossena −+=++ 11212
Primeiro membro = ( ) ( ) ⇒++++ acossena.acossena 11
( ) acos.acos.sena.sena.acosasen 2221 22 +++++⇒
( ) ( ) ⇒+++=+++⇒ 12122222 senaacossenaacos.acos.sena.sena.
( )( )senaacos. −+⇒ 112 = Segundo membro
3. aseccos.atggacotatg 2=+
f(x) ≡ g(x) ⇔ f(x) = g(x), ∀ x ∈ D sendo D = D1 ∩ D2
AC-02
162
Segundo membro = ⇒+= )agcot.(atgaseccos.atg 22 1
( ) agcotatgagcot.agcot.atgatg +=+ = Primeiro membro
4. ( ) ( ) ( ) 1222 =−−−+− tgxgxcotsenxxseccosxcosxsec
Primeiro membro =
( ) ( ) ( ) =+−−+−++−= xtgxgcotxsenxseccosxcosxsec 222222 222
( ) ( ) ( ) ( )xsenxcosxgcotxseccosxtgxsec 222222222 ++−+−+−−= =
= 1 + 1 + 1 – 2 = 1 = segundo membro
5. asenasecacosatg 2222 −=+
Segundo termo – Primeiro termo = =−−− acosatgasenasec 2222
( ) ( ) 02222 =+−− acosasenatgasec
6. asec
asen
atg
tga=
+ 21
Primeiro termo = asec
asen
acos
1
sena
acos
1acos
asen
asec
tga
2
2=== = Segundo membro
7. ( )
acos.asen.gacotatg
gacotatggacotatg 4
2
=+
−−+
Primeiro membro = ( ) ( )
⇒+
−−+gacotatg
gacotatggacotatg 22
( ) ( )⇒
+=
++−−++
asen
acos
acos
asengacotatg
agcotatgagcotatg 422 2222
acos.asen.
acos.asen
acosasen4
422
=+
= = Segundo membro
8. xsec.xtg.xtgxsec 2262 31 +=−
Primeiro membro = ( ) ( ) ⇒−+=− xtgxtgxtgxsec 632632 1
( ) ⇒++=−+++ xtg.xtg.xtgxtgxtgxtg. 226642 13131
AC-02
163
xsec.xtg 2231 += = Segundo membro
9. ( ) ( ) ( )22211 −=−+− xsecxcosxsentgx
Segundo membro = )x(hxsec.xsec =+− 122
Primeiro membro = ⇒+−++− xcosxcos.xsentgx.xsen.xtg 222 212
( ) ( ) ⇒+
+−=++
+−+ 12221
22222
22
xcos
xcosxsen.xsecxcosxsenxcos.
xcos
xsenxtg
)x(hxsec.xsec =+− 122
Exemplos do Capítulo
1. Resolver a equação logarítmica 10
8
2
8 33 xlogxlog. =+ .
Solução: Devemos ter x > 0
⇒=+⇒=+ xlog.xlog.xlogxlog. 8
2
8
10
8
2
8 103333
03103 8
2
8 =+−⇒ xlog.xlog.
Fazendo xlog8 = y, temos a equação 3y2 – 10y +3 = 0 ⇒
y = 3 ou y = 3
1
Então:
1°) 38 =xlog ⇒ x = 83 ⇒ x = 512
2°) 3
18 =xlog ⇒ x = 81/3 ⇒ x = 2
S = {2,512}
2. Resolver a equação 2.cos2x + 3.senx – 3 = 0
Resolver: substituindo-se cos2x por 1 - sen2x, temos,
2.(1-sen2x) + 3.senx – 3 = 0
- 2.sen2x + 3.senx - 1 = 0
2.sen2x - 3.senx + 1 = 0
4
13
4
893 ±=
−±=xsen
AC-02
164
π+π
−π=π+π
=⇒
π
=⇒=
π+π
=⇒=
kxoukxsenxsenxsen
kxxsen
26
2662
1
22
1
S = {x | π+π
= kx 22
ou π+π
−π=π+π
= kxoukx 26
26
}
3. Resolver a equação cos2x + 4.cosx + 3 = 0.
Solução: Substituindo-se cos2x por 2.cos2x – 1, temos,
(2.cos2x – 1) + 4.cosx + 3 = 0
2.cos2x + 4.cosx + 2 = 0
cos2x + 2.cosx + 1 = 0
cosx = 2
442 −±− = - 1 π+π=⇒ kx 2
S = {x | π+π= kx 2 }
4. Resolver a equação tgx + cotgx = 2.
Solução:
0122121 22 =+−⇒=+⇒=+ tgx.xtgtgx.xtg
tgxtgx
Assim, 2
442 −±=tgx ⇒ tgx = 1 ⇒
π
=4
tgtgx
S = {x | π+π
= kx4
}
5. Demonstrar a identidade: sen(a+b).sen(a-b) = sen2a – sen2b.
Solução: d = sen(a+b).sen(a-b) – (sen2a – sen2b)
⇒ ( )( ) bsenasenacos.senbbcos.senaacos.senbbcos.senad 22 +−−+=
⇒ ( ) bsenasenacos.bsenbcos.asend 222222 +−−=
⇒ ( ) ( )asen.bsenbsen.asend 2222 −−−=
⇒ 02222 =⇒+−= dasen.bsenbsen.asend
∴ sen(a+b).sen(a-b) – (sen2a – sen2b)
AC-02
165
6. Resolver as equações:
a) 023 33 =+− xx b) 0124 =−+ xx
Soluções:
a) Fazendo yx =3 e x3 = y2, temos,
y2 -3y + 2 = 0 ⇒ y = 1 ou y = 2
mas y = 3x , logo
111 33 =⇒=⇒= xxx
333 442 =⇒=⇒= xxx
S = {1, 3 4 }
b) Fazendo yx =3 e 2yx = , temos,
2y2 + y – 1 = 0 ⇒ y = 2
11 ou y = - 1
Agora calculemos x:
∉⇒−= xx 14 R
16
1
2
14 =⇒= xx
S = {16
1}
7. Resolver a inequação mx –n > 3, sendo m < 0.
Solução: mx –n > 3 ⇒ mx > n +3
Dividindo os dois membros por m (note que m < 0), vem:
m
nx
3+<
S = {x ∈ R | m
nx
3+< }
8. Resolver (x – 5)4 ≤ 0
Solução:
(x – 5)4 ≤ 0 ( )( )
=⇒=⇒=−⇒=−
φ=⇒<−⇒
}{Sxxx
ou,Sx
550505
05
1
4
1
4
Desta forma, S = S1 ∪ S2 }{S 5=⇒
AC-02
166
9. Resolver (2x + 3)13 ≥ 0.
Solução:
(2x + 3)13 ≥ 0 ⇒ 2x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
3−
S = {x ∈ R | 2
3−≥x }
10. Dar o conjunto solução da ineqüação: 4
32
4
3
12 xxx−>
−−
−
Solução:
⇒>+−−−−
⇒>+−−
−−
012
336)4.(6)12.(40
43
2
4
3
12 xxxxxx
8x – 4 – 6x + 24 – 36 + 3x > ⇒ 5x – 16 > 0
x > 5
16
S = {x ∈ R | 5
16>x }
11. Determine o valor de x para satisfazer as equações.
1°) 4x 22 = Solução: 4x =
2°) 813x = Solução:
4x33 4x =⇒=
3°) 82 1x =− Solução:
4x31x22 31x =⇒=−⇒=−
4°) 25
15 2x =−
Solução:
0x22x555
15 22x
2
2x =⇒−=−⇒=⇒= −−−
5°) 2x1x 273 +−+ = Solução:
AC-02
167
4
5x
16x46x31x33)3(3 6x31x2x31x
=⇒
−=⇒+−=+⇒=⇒= +−++−+
6°) 2x2
2
5
5
2−
=
Solução:
1x2x25
2
5
22x2
=⇒=⇒
=
7°) 093109 xx =+⋅− Solução:
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒
=+−−==+⋅−
2x939y
0x131y
09y10ysetemy3fazendo,093103
x2
x1
2xxx2
12. Para que valores de x é descrescente a função 4x2)x(f −⋅= ?
Solução: Vamos definir f através de várias sentenças. Como primeiro passo, temos:
<−−
≥−=
0xse,4x2
0xse,4x2)x(f
e finalmente vem:
−≤−−<<−+<≤+−
≥−
=
2xse,4x2
0x2se,4x2
2x0se,4x2
2xse,4x2
)x(f
A derivada de f é, portanto:
−<<<−><<−
=2xou2x0se,2
2xou0x2se,2)x´(f
e não é definida para x = 0 ou 2 ou –2. Assim, f é decrescente para x pertencente ao conjunto
13. Determinar o conjunto dos valores de x para os quais a função
xlogx)x(f e−= 2 é crescente.
Solução: Devemos calcular a derivada de f e determinar em que
conjunto a função f’ é não negativa. Temos:
x
x
xx)x('f
1212
2 −=−=
AC-02
168
2
20
2
20
120
2
≥<≤−⇒≥−
⇒≥ xouxx
x)x('f
Lembrando que D(f) = *R +, vem a resposta: f é crescente para
2
2≥x .
14. resolver as inequações:
a) 253 ≥−x
b) 4273 2 −>+− xx
c) 212 −>− xx
Solução:
a) 3253253 2 ≥⇒≥−⇒≥− xxx
}3{ ≥ℜ∈= xxS
b) 2 ou 3
102734273 22 ≥≤⇒≥+−⇒−>+− xxxxxx
}2x ou 3
1{ ≥≤ℜ∈= xxS
c)
≥−−>−<−≥−
⇒−>−(II) 02 e )2(12
(I) 02 e 012212 2
xxx
xxxx
resolvendo (I), temos
<
≥
⇒<−≥−
(IV) 2
(III) 2
1
02
012
x
x
x
x
}2x2
1x{S1 <≤ℜ∈=
resolvendo (II), temos
≥<<
⇒≥−
<+−
⇒≥−
−≥− (VI) 2x
(V) 5x1
02x
05x6x
02x
)2x(1x2 22
AC-02
169
}52{2 <≤ℜ∈= xxS
}52
1{21 <≤ℜ∈=∪= xxSSS
6 - LIMITE
6.1 - NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Seja a função )1(
)1)(12()(
−−+
=x
xxxf definida para todo x real e x
≠ 1. Se x ≠ 1, podemos dividir o numerador e o denominador por x -1
obtendo f(x) = 2x + 1.
Estudemos os valores da função f quando x assume valores
próximos de 1, mas diferentes de 1.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1,
temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
f(x) 1 2 2,5 2,8 2,98 2,998
x-1 -1 -0,5 -0,25 -0,1 -0,01 -0,001
f(x)-3 2 -1 -0,5 -0,2 -0,02 -0,002
Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que
1, temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 5 4 3,5 3,2 3,02 3,002
x-1 1 0,5 0,2 0,1 0,01 0,001
f(x)-3 2 1 0,5 0,2 0,02 0,002
AC-02
170
Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima
cada vez mais de 1, f(x) aproxima-se cada vez mais de 3, isto é,
quanto mais próximo de 1 estiver x, tanto mais próximo de 3 estará
f(x).
Pelas duas tabelas vemos que:
|x- 1| = 0,1 ⇒ |f(x) -3| = 0,2
|x- 1| = 0,001 ⇒ |f(x) -3| = 0,02
|x- 1| = 0,0001 ⇒ |f(x) -3| = 0,002
Observemos que podemos tornar f(x) tão próximo de 3 quanto
desejarmos, bastando para isto tomarmos x suficientemente próximo
de 1.
Um outro modo de dizermos isto é dizer: podemos tornar o
módulo da diferença entre f(x) e 3 tão pequeno quanto desejarmos
desde que tomemos o módulo da diferença entre x e 1
suficientemente pequeno.
Dizemos, então, que o limite de f(x) é 3 quando x tende a 1
e escrevemos simbolicamente:
3)(lim1x
=→
xf
Consideremos, agora, o caso geral de uma função f definida
num intervalo aberto ao qual pertence o número real a, exceto
eventualmente em a. Se for possível tornar o módulo da diferença
entre f(x) e L tão pequeno quanto desejarmos, tomando para isso o
módulo da diferença entre x e a suficientemente pequeno,
escrevemos:
Lxfa
=→
)(limx
isto é, para fazer f(x) ficar tão próximo de L quanto
desejarmos, basta fazer x ficar suficientemente próximo de a.
É importante observamos nesta definição que nada é
mencionado sobre o valor da função quando x = a, isto é, não é
necessário que a função esteja definida em a. Assim, no exemplo
anterior, vimos que
AC-02
171
3)1x2(lim)1x(
)1x)(1x2(lim
1x1x=+=
−−+
→→
mas )1x(
)1x)(1x2()x(f
−−+
= não está definida para x = 1.
Pode ocorrer que a função esteja
definida em a e )()(lim afxfax
≠→
Por exemplo, na função
=≠+
=15
112)(
xse
xsexxf
temos:
FIGURA 6.1- Limite
)1(3)12(lim)(lim11
fxxfxx
≠=+=→→
É importante ter sempre em mente no cálculo de )x(flim
ax→
que interessa o comportamento de f(x) quando x aproxima de a e
não o que ocorre com f quando x = a.
O leitor poderá facilmente intuir que uma função não pode
aproximar-se de dois números diferentes quando x se aproxima de a,
ou seja, o limite, quando existe, é único.
A tabela 6.1 a seguir, resume as principais propriedades
operacionais de limite (propriedades L)
AC-02
172
TABELA 6.1- Propriedades operacionais de Limite
[ ][ ][ ][ ][ ] [ ]
)0
0()(lim)(lim.8
)0()(lim
)(lim)()(lim.7
)(lim)()(lim.6
.)(lim).(lim)().(lim.5
)(lim)(lim)()(lim.4
)(lim)(lim)()(lim.3
.)(lim.)(.lim.2
lim.1
:)(lim)(lim
*
≤
≥∈==
≠==
==
==
−=−=−
+=+=+
==
=
==
→→
→
→
→
→→
→→→
→→→
→→→
→→
→
→→
Leímparén
seouLeNnSeLxfxfL
MM
L
xg
xfx
g
fL
LxfxfL
MLxgxfxgfL
MLxgxfxgfL
MLxgxfxgfL
LcxfcxfcL
ccL
entãoMxgeLxfSe
nn
ax
n
ax
ax
ax
ax
nn
ax
n
ax
axaxax
axaxax
axaxax
axax
ax
axax
Uma conseqüência importante das propriedades L acima é a
regra para obter o limite de uma função polinomial.
O limite de uma função polinomial para x tendendo para a é
igual ao seu valor numérico para x = a, ou seja,
n
nax
xaxaaxpapxp +++==→
...)(),()(lim 10
AC-02
173
A seguir resumimos outros limites importantes:
[ ]
0,ln1
lim
01,,)1(lim
10,0)(limloglogloglim
10,0logloglim
10,)(limlim
10,lim
)(1sen
lim
,2
,lim
,coscoslim
,sensenlim
0
1
0
)(lim)(
)(lim)(
0
>=−
≠<−ℜ∈=+
≠<ℜ∈>===
≠<ℜ∈>=
≠<ℜ∈===
≠<ℜ∈=
=
Ζ∈+≠∀=
ℜ∈∀=
ℜ∈∀=
→
→
→
→
→
→→
→
→
→
→
→
→
→
aax
a
xxex
aaecxfcom
aaebcom
aaecxfcomaaa
aeaaa
lFundamentaricoTrigonométLimitex
x
kkatgatgx
aax
aax
x
x
x
x
bx
c
a
xf
a
xf
abx
b
a
x
abx
bx
cxf
xf
bx
bx
bx
x
ax
ax
ax
bx
bx
ππ
O leitor não precisa decorar estes resultados. A lista
acima deve servir como auxílio para o cálculo de outros limites.
Convém notar, ainda, que muitos dos limites acima são
"visualizados" diretamente no gráfico da função cujo limite está
sendo considerado.
6.2 - LIMITES LATERAIS
Lembremos que ao considerarmos )x(flim
ax→ estávamos
interessados no comportamento da função nos valores próximos de a,
isto é, nos valores de x pertencentes a um intervalo aberto
contendo a mas diferentes de a e portanto, nos valores desse
intervalo que são maiores ou menores que a.
Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando x
está próximo de a, mas assume valores menores que a, é diferente
AC-02
174
do comportamento da mesma função, quando x está próximo de a, mas
assume valores maiores que a.
Assim, por exemplo, na função
>−=<−
=12
10
14
)(
xsex
xse
xsex
xf
atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1,
(à esquerda de 1), temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
f(x) 4 3,5 3,25 3,1 3,01 3,001
e atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que
1, (à direita de 1), temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 0 -0,5 -0,75 -0,9 -0,99 -0,999
Observamos que, se x está próximo de 1, à esquerda de 1,
então os valores da função estão próximos de 3, e se x está
próximo de 1, à direita, então os valores da função estão próximos
de -1.
Em casos como este, onde supomos x assumindo valores
próximos de 1, mas somente à esquerda ou somente à direita de 1,
consideramos os limites laterais pela esquerda ou pela direita de
1. Escrevemos, então:
dax
Lxf =+→
)(lim (limite à direita)
eax
Lxf =−→
)(lim (limite à esquerda)
Mais genericamente, se f é uma função definida em um
intervalo aberto ]a,b[, denotamos o limite de f(x), quando x tende
para a pela direita, por )x(flim
ax +→ e limite de f(x) , quando x
tende para a pela esquerda, por )x(flim
ax −→ .
AC-02
175
As propriedades de limites (propriedades L) e as demais
propriedades de limite vistas até agora são válidas se
substituirmos "x → a” por “x → a+" ou por "x → a-“ Exemplo:
Na função definida por
>−=−<−
=13
11
14
)(
2
xsex
xse
xsex
xf
temos:
3)4(lim)(lim
2)3(lim)(lim
2
11
11
−=−=
=−=
−−
++
→→
→→
xxf
e
xxf
xx
xx
No exemplo acima, dizemos que )x(flim
1x→ não existe porque
os limites laterais são diferentes.
De um modo geral, dizemos que o limite de uma função num
ponto existe se e somente se existirem os limites laterais neste
ponto e eles forem iguais.
6.3 - LIMITES INFINITOS
Seja a função por 2)1(
1)(
−=
xxf para todo x real e x ≠ 1
(Fig. 6.2a) .Atribuindo a x valores próximos de 1, à esquerda de
1, temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
f(x) 1 4 16 100 10000 1000000
e atribuindo a x valores próximos de 1, à direita de 1., temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 1 4 16 100 10000 1000000
Observamos nas duas tabelas que os valores da função são
cada vez maiores, na medida em que x se aproxima de 1. Em outras
palavras, podemos tornar f(x) tão grande quanto desejarmos, isto
é, maior que qualquer número positivo, tomando valores para x
bastante próximos de 1 e escrevemos:
AC-02
176
∞+=−→ 21x )1x(
1lim
Onde o símbolo “+∞” lê-se “mais infinito” ou “infinito
positivo”.
Tomemos agora a função g como sendo o oposto da função f,
isso é, 2)1(
1)()(
−−
=−=x
xfxg definida para todo x real e x ≠ 1. (fig.
6.2b).
FIGURA 6.2 – Limites Infinitos
Os valores da função g são opostos dos valores da função f.
Assim, para a função g, quando x se aproxima de 1, os valores g(x)
decrescem ilimitadamente. Em outras palavras, podemos tornar os
valores g(x) tanto menores quanto desejarmos, isto é, menores que
qualquer número negativo, tomando valores de x bastante próximos
de 1 e escrevemos:
∞−=−−
→ 21x )1x(
1lim
O símbolo “-∞” lê-se “menos infinito” ou “infinito
negativo”.
Consideremos agora a função h definida por 2
)1(
1)(
−=
xxh para
todo x real e x ≠ 1.
AC-02
177
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1,
temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999
f(x) -1 -2 -4 -10 -100 -1000
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1,
temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001
f(x) 1 2 4 10 100 1000
Observemos que se x assume valores próximos de 1, à
esquerda de 1, os valores da função decrescem ilimitadamente e se
x assume valores próximos de 1, à direita de 1, então os valores
da função crescem ilimitadamente. Estamos considerando os limites
laterais que são "infinitos" e escrevemos:
∞−=−−→ 2
1x )1x(
1lim e ∞+=
−+→ 21x )1x(
1lim
FIGURA 6.3 - Limites Laterais Infinitos
AC-02
178
Seja, agora, o caso geral de uma função f definida num
intervalo aberto que contém a, exceto eventualmente em a. Os três
casos de limite acima definidos são simbolicamente escritos:
1) +∞=→
)(lim xfax
2) −∞=→
)(lim xfax
3) −∞=+→
)(lim xfax
e +∞=−→
)(lim xfax
Os símbolos "+∞" e "-∞" não representam nenhum número
real, mas indicam o que ocorre com a função quando x se aproxima
de a.
É interessante notar que se f e g funções tais que
0)(lim ≠=→
cxfax
e 0)(lim =→
xgax
, então:
1) 0)(
)(
)(
)(lim >+∞=
→ xg
xfse
xg
xf
ax quando x está próximo de a;
2) 0)(
)(
)(
)(<−∞=
→ xg
xfse
xg
xfiml
ax quando x está próximo de a;
Recomendamos ao leitor que releia os exemplos de limites
infinitos inicialmente apresentados, agora sob esse novo enfoque.
Para os limites infinitos valem as propriedades resumidas
na Tabela 6.2 (pág. 10), lembrando que as proposições permanecerão
válidas se substituirmos o símbolo "x → a" por "x → a+" ou "x →
a-"
AC-02
179
TABELA 6.2 – Limites Infinitos
AC-02
180
Não podemos estabelecer uma lei para os seguintes casos:
6.4 - LIMITES NO INFINITO
Seja a função f definida por x
xxf
2)(
+= para todo x real e
0≠x (Fig. 6.4} .Atribuindo a x os valores 1,5, 10, 100, 1000,
l0000 e assim por diante, de tal forma que x cresça
ilimitadamente, temos:
x 1 5 10 100 1000 10000
f(x) 3 1,4 1,2 1,02 1,002 1,0002
Observamos que, à medida que x cresce através de valores
positivos, os valores da função f se aproximam cada vez mais de 1,
isto é, podemos tornar f(x} tão próximo de 1 quanto desejarmos, se
atribuirmos para x valores cada vez maiores.
Escrevemos, então:
12
lim =+
+∞→ x
x
x
AC-02
181
FIGURA 6.4 – Limites no Infinito
Consideremos novamente a função x
xxf
2)(
+= .
Atribuindo a x os valores -1, -5, -10, -100, -1000, -10000
e assim por diante, de tal forma que x decresça ilimitadamente,
temos:
x -1 -5 -10 -100 -1000 -10000
f(x) -1 0,6 0,8 0,98 0,998 0,9998
Observamos que, à medida que x decresce através de valores
negativos, os valores da função se aproximam cada mais de 1, isto
é, podemos tornar f(x) tão próximo de 1 quanto desejarmos, se
atribuirmos a x valores cada vez menores. Escrevemos, então:
12
lim =+
−∞→ x
x
x
Seja a função f(x) = x2, definida para todo x real (Fig.
6.4).
Atribuindo a x os valores 1, 5, 10, 100, 1000 e assim
sucessivamente, de tal forma que x cresça ilimitadamente, temos:
x 1 5 10 100 1000
f(x) 1 25 100 1000 10000
AC-02
182
FIGURA 6.5 - Limites Infinitos no Infinito
Observamos que, à medida que x cresce através de valores
positivos, os valores da função também crescem, e ilimitadamente.
Em outras palavras, dizemos que podemos tornar f(x) tão grande
quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo,
tomando para x valores suficientemente grandes e escrevemos:
∞+=+∞→
f(x) limx
Se agora atribuirmos a x os valores -1, -5, -10, -100, -
1000 e assim sucessivamente, de tal forma que x decresça
ilimitadamente, temos:
x -1 -5 -10 -100 -1000
f(x) 1 25 100 1000 10000
Observamos que, à medida que x decresce através de ,valores
negativos, os valores da função crescem e ilimitadamente. Em
outras palavras, dizemos que podemos tornar f(x) tão grande quanto
desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando
para x valores negativos cujos módulos sejam suficientemente
grandes e escrevemos:
∞+=+∞→
f(x) limx
Para uma função genérica f(x), definida em um intervalo
aberto ]a,+∞[, escrevemos simbolicamente:
Lxfx
=∞+→
)(lim se f(x) se aproxima de L quando x cresce
ilimitadamente (ou "tende para infinito positivo")
AC-02
183
+∞=∞+→
)(lim xfx
se f(x) cresce ilimitadamente quando x cresce
ilimitadamente
−∞=∞+→
)(lim xfx
se f(x) decresce ilimitadamente quando x
cresce sem limites.
Analogamente, para f(x) definida em um intervalo aberto
[,] a∞− definimos:
Lxfx
=∞−→
)(lim ; −∞=∞−→
)(lim xfx
e +∞=∞−→
)(lim xfx
Para os limites no infinito, valem as seguintes
propriedades da Tabela 6.3 (lembrando que as proposições continuam
verdadeiras se trocarmos o símbolo "x → +∞" por "x → - ∞"
TABELA 6.3 – Limites no Infinito
AC-02
184
Não podemos estabelecer uma lei para os seguintes casos:
NOTA: Símbolos do tipo ,,,0
0∞−∞+
∞∞
, são chamados de formas
indeterminadas ou de símbolos de indeterminação. Seu estudo merece
um capítulo a parte, mas o exemplo abaixo tornará mais claro seu
significado:
Sejam 23)( 3 −−= xxxf e 27)( 23 +−+= xxxxg
Temos 0)(lim2
=→
xfx
e 0)(lim2
=→
xgx
. Para calcular )(
)(lim
xg
xf podemos
usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Obtemos
19
9
1x3x
1x2xlim
)1x3x)(2x(
)1x2x)(2x(lim
)x(g
)x(flim
2
2
2x2
2
2x2x==
−+++
=−+−++−
=→→→
Vemos que f(x) e g(x) tornam-se, para x → 2, cada vez mais
próximos de zero, porém, o quociente tende para o valor 1.
AC-02
185
X 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001
f(x) 16 6,125 2,6406 0,961 0,0906 0,0090
g(x) 17 6,375 2,7031 0,971 0,0907 0,0090
f(x)/g(x) 0,941 0,961 0,977 0,990 0,999 1,000*
(*) A diferença está na quarta.casa decimal.
Ainda outro exemplo:
Sejam 34)( xxf = e 32)( xxg = . Temos +∞=+∞→
)(lim xfx
e +∞=+∞→
)(lim xgx
Todavia, 22
4lim
)(
)(lim
3
3
==∞→∞→ x
x
xg
xf
xx
Vemos que, embora f(x) e g(x) cresçam ilimitadamente quando
x → +∞, o quociente tende para o valor 2.
X 1 5 10 100 1000 10000
f(x) 4 500 4000 4x106 4x109 4x1012
g(x) 2 250 2000 2x106 2x109 4x1012
f(x)/g(x) 2 2 2 2 2 2
Para os limites no infinito, valem ainda os seguintes
resultados:
0b,xb...xbxbb)x(q
e0a,xa...xaxaa)x(pcom
xb
alim
)x(q
)x(plimex
b
alim
)x(q
)x(plim
0a,xa...xaxaa)x(pcom
)xa(lim)x(plime)xa(lim)x(plim
0xlimxlim
imparénse
parénsexlimexlim
cclimclim
mm
m2
210
nn
n2
210
mn
m
n
xx
mn
m
n
xx
nn
n2
210
nn
xx
nn
xx
n
1
x
n
1
x
n
x
n
x
xx
≠++++=
≠++++=
=
=
≠++++=
==
==
∞−∞+
=+∞=
==
−
−∞→−∞→
−
+∞→+∞→
−∞→−∞→+∞→+∞→
−∞→+∞→
−∞→+∞→
−∞→+∞→
AC-02
186
( ) ( )( ) ( )
0xou1x/x,ex
11lim
x
11lim
1a0ealoglimeloglim
1aealoglimeloglim
1a0ea,alime0alim
1aea,0alimealim
x
x
x
x
xa
0x
xa
x
xa
0x
xa
x
x
x
x
x
x
x
x
x
>−<ℜ∈=
+=
+
<<ℜ∈+∞=−∞=
>ℜ∈−∞=+∞=
<<ℜ∈+∞==
>ℜ∈=+∞=
−∞→+∞→
→+∞→
→+∞→
−∞→+∞→
−∞→+∞→
+
+
Exemplos:
1) Calcule os seguintes limites:
a) )253(lim 2
2+−
→xx
x
b) 34
)32(lim
2
1 −−+
−→ x
xx
x
c)
22
1 23
12lim
−+−
→ x
xx
x
d) 32
23
2 34
232lim
+++−+
−→ xx
xxx
x
Solução
a) Pelo teorema da função polinomial , vem:
422.52.3)253(lim 22
2=+−=+−
→xx
x
b) 7
4
7
4
)3x4(lim
)3x2x(lim
3x4
3x2xlim
1x
2
1x)7L(2
1x=
−−
=−
−+=
−−+
−→
−→
−→
c) 42)23(lim
)12(lim
23
12lim
23
12lim 2
1
2
1)7(
22
1
)6(2
2
1==
−
+−=
−+−
=
−+−
→
→
→→ x
xx
x
xx
x
xx
x
xL
x
L
x
d)
28
)34(lim
)232(lim
34
232lim
34
232lim
3
32
2
23
2)7(
32
23
2
)8(
32
23
2
−=−
=++
+−+=
+++−+
=++
+−+
−→
−→
−→−→ xx
xxx
xx
xxx
xx
xxx
x
xL
x
L
x
AC-02
187
2) Calcular x2x
4xlim
2
2
2x −−
→
Solução
Temos 0)4x(lim 2
2x=−
→ e 0)x2x(lim 2
2x=−
→ e nada podemos concluir
ainda sobre o limite procurado.
Os polinômios )4( 2 −x e )2( 2 xx − anulam-se para x = 2, portanto, pelo
teorema de D’Alembert, são divisíveis por x – 2, isto é:
x
2x
)2x(x
)2x)(2x(
x2x
4x2
2 +=
−−+
=−
−
Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x
tende a a, interessa o comportamento da função quando x se
aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x = a,
concluímos:
2x
2xlim
x2x
4xlim
2x2
2
2x=
+=
−−
→→
3) Seja a função f definida por
=
≠−
+−
=1xse3
1xse1x
2x3x
)x(f
2
Calcular )(lim1
xfx→
.
Solução
Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a a,
interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e
não o que ocorre com a função quando x = a, temos:
1)2x(lim)1x(
)2x)(1x(lim
1x
2x3xlim)x(flim
1x1x
2
1x1x−=−=
−−−
=−
+−=
→→→→
4) Calcular 1x3x2
2xx4x3lim
23
23
1x +−+−−
→
AC-02
188
Solução
Temos 0)243(lim 23
1=+−−
→xxx
x e 0)132(lim 23
1=+−
→xx
x
Efetuando as divisões de 243 23 +−− xxx e 132 23 +− xx por x – 1,
temos:
12
23
)12)(1(
)23)(1(
132
2432
2
2
2
23
23
−−−−
=−−−−−−
=+−
+−−xx
xx
xxx
xxx
xx
xxx
então:
12
23lim
132
243lim
2
2
123
23
1 −−−−
=+−
+−−→→ xx
xx
xx
xxx
xx
mas
0)23(lim 2
1=−−
→xx
x e 0)12(lim 2
1=−−
→xx
x
então
3
5
12
23lim
)12)(1(
)23)(1(lim
12
23lim
112
2
1=
++
=+−+−
=−−−−
→→→ x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
5) Calcular 353
142lim
23
23
1 −+−+−+
→ xxx
xxx
x
Solução
Temos 0)142(lim 23
1=+−+
→xxx
x e 0)353(lim 23
1=−+−
→xxx
x
Os polinômios )142( 23 +−+ xxx e )353( 23 −+− xxx anulam-se para 1=x ,
portanto, pelo teorema de D’Alembert, são divisíveis por )1( −x ,
isto é, 1−x é um fator comum em )142( 23 +−+ xxx e )353( 23 −+− xxx .
Efetuando as divisões de )142( 23 +−+ xxx e )353( 23 −+− xxx por 1−x ,
obtemos:
)32(
)132(
)32)(1(
)132)(1(
353
1422
2
2
2
23
23
+−−+
=+−−−+−
=−+−+−+
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
Então
232
132lim
353
142lim
2
2
123
23
1=
+−−+
=−+−+−+
→→ xx
xx
xxx
xxx
xx
6) Calcular 3
21lim
3 −−+
→ x
x
x
AC-02
189
Solução
Como 021lim3
=−+→
xx
e 0)3(lim3
=−→
xx
, não podemos aplicar a propriedade
L7 (limite do quociente). Multiplicando o numerador e o
denominador da fração pelo “conjugado” do numerador, temos:
)21(
1
)21)(3(
)3(
)21)(3(
)21)(21(
3
21
++=
++−−
=++−
++−+=
−−+
xxx
x
xx
xx
x
x
e, então
4
1
21
1lim
3
21lim
33=
++=
−−+
→→ xx
x
xx
7) Calcular 15x3
2x32x −−
−→
lim .
Solução
Notemos: )(lim 2x2x
−→
= 0 e )(lim 15x332x
−−→
= 0
Lembrando da identidade a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2),
vamos multiplicar o numerador e o denominador por [( 5x33 − )2 +
5x33 − + 1].
15x3
2x3 −−
− =
])()[()(
])[()(
15x35x315x3
15x35x32x
3233
323
+−+−−−
+−+−− =
= )(
])[()(
2x3
15x35x32x 323
−+−+−−
= 3
15x35x3 323 +−+− )(
e então
15x3
2x32x −−
−→
lim = 2x→
lim3
15x35x3 323 +−+− )( = 1
8) Calcular 31x4
22x3
2x −+
−−→
lim
Solução
Como 22x32x
−−→
lim = 0 e 31x42x
−+→
lim = 0, multiplicamos
o numerador e denominador pelo “conjugado” do numerador e também
pelo “conjugado” do denominador.
AC-02
190
31x4
22x3
−+
−− =
)(.)(.)(
)(.)(.)(
22x331x431x4
31x422x322x3
+−++−+
+++−−− =
= )(.)(
)(.)(
22x32x4
31x42x33
+−−
++− =
)(
)(
22x34
31x43
+−
++
e então
31x4
22x3
2x −+
−−→
lim = 2x→
lim)(
)(
22x34
31x43
+−
++ =
8
9
9) Calcule:
a) 21x 1x
2x3
)(lim
−+
→
b) 22x 2x
x1
)(lim
−−
→
Solução
a) Como 1x→
lim (3x + 2) = 5 e 1x→
lim (x – 1)2 = 0, estudemos o
sinal de 21x
2x3
xg
xf
)()(
)(
−+
= quando x está próximo de 1
-2/3 1 x
sinal de
f(x) 3x + 2 - 0 + +
sinal de
g(x) (x – 1)2 + + 0 -
sinal de
21x
2x3
xg
xf
)()(
)(
−+
= - 0 + -
Notemos que 21x
2x3
xg
xf
)()(
)(
−+
= > 0 quando x está próximo de 1,
então:
1x→lim
21x
2x3
)( −
+ = + ∞
AC-02
191
b) Como 2x→
lim (1 – x) = -1 e 2x→
lim (x – 2)2 = 0, estudemos o
sinal de 22x
x1
xg
xf
)()(
)(
−
−=
1 2
sinal de
f(x) = 1 - x + 0 - -
sinal de
g(x) = (x – 2)2 + + 0 +
sinal de
22x
x1
xg
xf
)()(
)(
−
−=
+ 0 - -
Notemos que 22x
x1
xg
xf
)()(
)(
−
−= < 0 quando x está próximo de 2,
então 22x 2x
x1
)(lim
−−
→ = - ∞
10) Calcule
a) 1x
1x2
1x −+
−→lim
b) 1x
1x2
1x −+
+→lim
Solução
Como )(lim 1x21x
+−→
= )(lim 1x21x
++→
= 3 e )(lim 1x1x
−−→
= )(lim 1x1x
−+→
= 0,
estudemos o sinal de 1x
1x2
xg
xf
−+
=)(
)( quando x está próximo de 1.
AC-02
192
-1/2 1
sinal de
f(x) = 2x + 1 - 0 + +
sinal de
g(x) = x - 1 - - 0 +
sinal de
1x
1x2
xg
xf
−+
=)(
)(
+ 0 - +
Notemos que 1x
1x2
xg
xf
−+
=)(
)( < 0 quando x está próximo de 1, à
esquerda, então 1x
1x2
1x −+
−→lim = - ∞ e
1x
1x2
xg
xf
−+
=)(
)( > 0 quando x está próximo de 1, à direita,
então, 1x
1x2
1x −+
+→lim = + ∞
Observemos que não tem significado falarmos em 1x
1x2
1x −+
→lim ,
pois 1x
1x2
1x −+
−→lim = - ∞ e
1x
1x2
1x −+
+→lim = + ∞.
11) f(x) = x2 – 1 g(x) = (x – 1)2
Temos )(lim)(lim xg0xf1x1x →→
== , mas 2
2
1x1x 1x
1x
xg
xf
)(lim
)(
)(lim
−−
=→→
= ∞
12) Encontre:
a) x
x2senlim
0x→
b) x5sen
x3senlim
0x→
c) 20x x
xcos1lim
−→
AC-02
193
Solução
a) x
x2senlim
0x→ = )
x
x2sen.2(lim
0x→ = 2 . 1
b) x5sen
x3senlim
0x→ = )
x5sen
X5.
X3
x3sen.
5
3(lim
0x→ =
5
31.1.
5
3=
c) 20x x
xcos1lim
−→
= =+
+−→ )xcos1(.x
)xcos1()xcos1(lim
20x
= )xcos1
1.
x
)xsen((lim
2
2
0x +→ =
2
1
13) Encontre:
ax
asenxsenlim
ax −−
→
Solução
Da trigonometria, temos:
sen x – sen a = 2 sen 2
axcos.
2
ax +−
então
ax
asenxsenlim
ax −−
→ =
ax2
axcos.
2
axsen2
limax −
+−
→ =
= )2
axcos.
2
ax2
axsen
(limax
+−
−
→ = 1 . cos a = cos a
14) Calcular
a) x2
x)x
11(lim +
∞+→
b) x
x)x
31(lim +
∞−→
AC-02
194
Solução
a) x2
x)x
11(lim +
∞+→ = 2x
x])
x
11[(lim +
∞+→ = e2
b) Fazendo w = 3
x, temos:
x
x)x
31(lim +
∞−→ = w3
w)w
11(lim +
∞−→ = 3w
w])
w
11[(lim +
∞−→ = e3
15) Calcular: x
x)
1x
1x(lim
−+
∞+→
Solução
x
x)
1x
1x(lim
−+
∞+→ = x
x)
x
1xx
1x
(lim −
+
∞+→ =
x
x
x )x
11(
)x
11(
lim
−
+
∞+→ =
x
x
x
)x
11(
)x
11(lim
−
++∞→ =
=
e
1
e = e2
16) Encontre
a) )3x7x4(lim 2
x+−
+∞→
b) )3x5x2x3(lim 23
x+−+−
+∞→
c) )2x3x4x5(lim 23
x+−−
−∞→
d) )4x5x2x7x3(lim 234
x−−+−
−∞→
Solução
a) )3x7x4(lim 2
x+−
+∞→ = )x4(lim 2
x +∞→ = +∞
b) )3x5x2x3(lim 23
x+−+−
+∞→ = )x3(lim 3
x−
+∞→ = -∞
c) )2x3x4x5(lim 23
x+−−
−∞→ = )x5(lim 3
x −∞→ = -∞
d) )4x5x2x7x3(lim 234
x−−+−
−∞→ = )x3(lim 4
x −∞→ = +∞
17) Encontre:
AC-02
195
a) 1x5
2x3limx −
++∞→
b) 3x2
x45limx −
−−∞→
c) 2x3
3x4x5lim
2
x ++−
−∞→
d) 2x5x3
1x4lim
2x −+−
−∞→
Solução
a) 1x5
2x3limx −
++∞→
= x5
x3limx +∞→
= 5
3limx +∞→
= 5
3
b) 3x2
x45limx −
−−∞→
= x2
x4limx −∞→
= )2(limx
−−∞→
= -2
c) 2x3
3x4x5lim
2
x ++−
−∞→ =
x3
x5lim
2
x −∞→ =
3
x5limx −∞→
= +∞
d) 2x5x3
1x4lim
2x −+−
−∞→ =
2x x3
x4lim
−∞→ =
x3
4limx −∞→
= 0
18) Encontre
)x2x3x(lim 2
x−++
+∞→
Solução
Observemos que
2x3xlim 2
x++
+∞→ = +∞ e )x(lim
x +∞→ = +∞, mas carece de
significado o símbolo (+∞) - (+∞)
Para obtermos o limite procurado, multiplicamos e dividimos
)x2x3x( 2 −++ por )x2x3x( 2 +++ . Assim, temos:
)x2x3x( 2 −++ = )x2x3x(
)x2x3x()x2x3x(
2
22
+++
+++−++ =
= x2x3x
2x3
2 +++
+
AC-02
196
Notemos que ∞+=++∞→
)(lim 2x3x
, )(lim x2x3x2x
++++∞→
= +∞ e o
símbolo ∞+∞+ não tem significado. Fazemos então:
x2x3x2 −++ =
1x
2
x
31x
x
23x
2+++
+
(
)(
=
1x
2
x
31
x
23
2+++
+ )(
portanto
)x2x3x(lim 2
x−++
+∞→ =
1x
2
x
31
x
23
2
x+++
+
+∞→
)(
lim = 2
3
19) Encontre
a) 1
22lim
2
++−
+∞→ x
xx
x b)
1
22lim
2
++−
−∞→ x
xx
x
Solução
Observemos que
+∞=+−=+−−∞→+∞→
22lim22lim 22 xxxxxx
, +∞=++∞→
)1(lim xx
,
−∞=+−∞→
)1(lim xx
e não têm significado os símbolos ∞+∞+ e
∞−∞+.
Notemos que
)1
1(
221.||
1
)22
1(
1
22 22
2
2
xx
xxx
x
xxx
x
xx
+
+−=
+
+−=
++−
Portanto:
11
1
221
lim
)1
1(
221.
lim1
22lim
222
=+
+−=
+
+−=
++−
+∞→+∞→+∞→
x
xx
xx
xxx
x
xx
xxx
e 11
1
221
lim
)1
1(
221.
lim1
22lim
222
−=+
+−−=
+
+−−=
++−
−∞→−∞→−∞→
x
xx
xx
xxx
x
xx
xxx
AC-02
197
20) Calcule 1
52lim
3
2
−+
+∞→ x
x
x
Solução
Sejam 52)( 2 += xxf e 1)( 3 −= xxg . Temos:
+∞=+∞→
)(lim xfx
e +∞=+∞→
)(lim xgx
, mas
01
1
52
lim1
1
52
lim1
52lim
)(
)(lim
3
2
3
3
2
2
3
2
=
+
+=
+
+=
−+
=+∞→+∞→+∞→+∞→
xx
x
xx
xx
x
x
xg
xf
xxxx
21. Calcule 2
4
limx
x
x +∞→
Solução
4)( xxf = , 2)( xxg = )(lim)(lim xgxfxx +∞→+∞→
=+∞=
Porém,
+∞===+∞→+∞→+∞→
2
2
4
limlim)(
)(lim x
x
x
xg
xf
xxx
7 - CONTINUIDADE
7.1 - NOÇÃO DE CONTINUIDADE
7.1.1 - Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um
elemento de I. Dizemos que f é continua em a, se. )()(lim afxfax
=→
.
Notemos que para falarmos em continuidade de uma função em
um ponto é necessário que este ponto pertença ao domínio da
função.
Da definição, decorre que se f é contínua em a então as
três condições deverão estar satisfeitas:
1 - existe )a(f
AC-02
198
2 - existe )x(flimax→
3 - )a(f)x(flimax
=→
7.1.2 - Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um
elemento de I. Dizemos que f é descontínua em a se f não for
contínua em a.
Observemos também que para falarmos em descontinuidade de
uma função em um ponto é necessário que esse ponto pertença ao
domínio da função.
Da definição decorre que, se f é descontínua em a, então as
duas condições abaixo deverão estar satisfeitas:
1 - existe f(a)
2 - não existe )x(flimax→
ou )a(f)x(flimax
≠→
7.1.3 - Definição
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo aberto
se f for contínua em todos os pontos desse intervalo.
7.1.4 - Definição
Seja a um ponto do domínio da função f.
Dizemos que f é contínua à direita de a se )a(f)x(flimax
=+→
e dizemos que f é contínua à esquerda de a se )a(f)x(flimax
=−→
.
7.1.5 - Definição
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado
[a,b] se f for contínua no intervalo aberto ]a,b[ e se também for
contínua em a à esquerda, e em b, à direita.
Exemplos:
1 - A função f(x) = 2x + 1 definida em R é contínua em 1,
pois )x(flim1x→ = )1x2(lim
1x+
→ = 3 = f(l) (ver Fig. 7.1a)
Notemos que f é contínua em R, pois para todo a ∈ R, temos
)a(f1a2)1x2(lim)x(flimaxax
=+=+=→→
AC-02
199
2 - A função
=−≠+
=1xsex1
1xse1x2)x(f
definida em R é descontínua em 1, pois
)1(f43)1x2(lim)x(flim1x1x
=≠=+=→→
(Fig. 7.1b)
Observemos que f é contínua em R -{1} pois para todo a ∈ R
-{1}, temos:
)a(f1a2)1x2(lim)x(flimaxax
=+=+=→→
3 - A função
>−≤+
=1xsex1
1xse1x)x(f
definida em ℜ é descontínua em 1, pois
2)1x(lim)x(flim1x1x
=+=−− →→
0)x1(lim)x(flim1x1x
=−=++ →→
(Fig. 7.1c)
portanto, não existe )x(flim1x→
Observemos que f é continua em R -{1} pois para todo a ∈ R
-{1}, temos:
se a > 1, então )a(fa1)x1(lim)x(flimaxax
=−=−=→→
se a < 1, então )a(f1a)x1(lim)x(flimaxax
=+=+=→→
AC-02
200
FIGURA 7.1- continuidade
4 - Na função x
|x|)x(f = definida em R* (Fig. 7.2a) não
podemos afirmar que f é descontínua em x = O, pois x = 0 não
pertence ao domínio da função.
Observemos que
<−>
==0xse1
0xse1
x
|x|)x(f
é continua em R* pois, para todo a ∈ R*, temos:
se a > O, então )a(f11lim)x(flimaxax
===→→
se a < 0, então )a(f1)1(lim)x(flimaxax
=−=−=→→
5 - Na função 1x
1x)x(f
2
−−
= definida em R -{1} (Fig. 7.2b)
não podemos afirmar que f é descontínua em x = 1, pois x = 1 não
pertence ao domínio da função.
Notemos que f é continua em R -{1} pois, para todo a ∈ R -
{1}, temos:
)a(f1a)1x(lim1x
1xlim)x(flim
ax
2
axax=+=+=
−−
=→→→
AC-02
201
FIGURA 7.2- continuidade
6 - Os resultados de limite apresentados para as funções
constante, polinomial de grau n, seno, cosseno, tangente
exponencial e logarítmica, mostram que essas funções são contínuas
em seus respectivos domínios.
7.2 - PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS
C1 -Se f e g são funções contínuas num intervalo I, então
são contínuas as funções f+g, f-g, f.g e f/g, neste último caso,
desde que g(a) ≠ 0, a ∈ I.
C2 -Se a função g é contínua num intervalo I e a função f é
contínua em g(a), ∀ a ∈ I então a função composta fog é contínua
em I.
EXEMPLOS:
1. Verificar se a função definida por
≥−<−
=227
21)(
2
xsex
xsexxf
é contínua em 2x =
Solução
Devemos verificar se )2(f)x(flim2x
=→
a) f(2)=7-2.2=3
AC-02
202
b) 3)1x(lim)x(flim 2
2x2x=−=
−− →→
3)x27(lim)x(flim2x2x
=−=+→+→
então )2(f3)x(flim2x
==→
logo f é contínua em 2=x
2. Calcular 1x
1xlim
2
0x ++
→
Solução
Como 1
1)(
2
++
=x
xxf é contínua para 1−≠x segue que
110
10)0(
1
1lim
22
0=
++
==++
→f
x
x
x
3. Calcular limite xcos2
xcosx2senlimx
+π→
Solução
Como x
xxxf
cos2
cos2sen)(
+= é contínua para ππ
kx +≠2
, com Ζ∈k ,
segue que
2
1
)1.(2
10
cos2
cos2sen
xcos2
xcosx2senlimx
=−
−=
ππ+π
=+
π→
3. Calcular 1x
1xlim
2
1x −−
→
Solução
Como para 1≠x temos
)(1)1(
)1)(1(
1
1)(
2
xgxx
xx
x
xxf =+=
−+−
=−−
=
e g é contínua, segue que
2)1()1(lim1
1lim
1
2
1==+=
−−
→→gx
x
x
xx
AC-02
203
5.Calcular 34
35
0 83
28lim
xx
xx
x +−
→
Solução
Para 0≠x , tem-se
)x(g8x3
2x8
)8x3(x/
)2x8(x/
x8x3
x2x8)x(f
2
3
23
34
35
=+−
=+−
=+−
=
Logo, como g é contínua para 38−≠x
4
1
8
2
8x3
2x8lim
x8x3
x2x8lim
2
0x34
35
0x−=−=
+−
=+−
→→
6. Calcular 2
2lim
2 −−
→ x
x
x
Solução
Temos, para 2≠x ,
)x(g2x
1
)2x)(2x(
2x
2x
2x)x(f =
+=
+−−
=−−
=
Logo, como g é contínua,
22
1)2(g
2x
1lim
2x
2xlim
2x2x==
+=
−−
→→
7. Calcular: 5x
5xlim
33
5x −−
→
Solução
Temos, para 5≠x ,
)(55.
1
)55.)(5(
5
5
5)(
3 2333 23 2333 233
3333
xgxxxxx
x
x
xxf =
++=
++−
−=
−−
=
Como g é contínua, segue que
33333 25x
33
5x 253
1)5(g
255.xx
1lim
5x
5xlim ==
++=
−−
→→
8. Calcular 36
xx8xlim −−
+∞→
Solução
Para todo x podemos escrever
AC-02
204
3636
6636
8
8
8
88)(
xxxx
xxxxxf
+−
−=
+−
−−=−−=
Logo,
0x8x
8lim)x(flim
36xx=
+−
−=
+∞→+∞→
8 - DERIVADAS
8.1 - INTRODUÇÃO - VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Consideremos o problema de determinar a cada instante, a
velocidade de uma partícula que se move sobre um linha reta,
dispondo de uma trena e um cronômetro.
Vamos estabelecer um sistema de coordenada escolhendo um
ponto de referência sobre a linha como a origem O. Todo outro
ponto da linha será associado a um número x que indica a distância
do ponto à origem (abscissa). O valor de x depende da unidade
escolhida para medir a distância. Escolheremos o metro.O sinal de
x depende da sua posição relativa à origem O; é positivo quando x
está à direita, e negativo, no caso de x estar à esquerda.
Admita que a nossa partícula está na posição x1 no instante
t1 no ponto x2 no instante t2. Imaginemos que a posição seja
determinada em vários outros instantes de tempo ao longo da
trajetória.
Construamos a tabela 8.1 de dados que se segue tomados
deste movimento ao longo do eixo Ox. As quatro primeiras colunas
são constituídas de dados experimentais. Os símbolos s referem à
Figura 8.1, na qual a partícula está se deslocando da esquerda
para a direita, isto é, no sentido positivo do eixo Ox. ,
partícula estava na posição x1 (100 m da origem), no instante t1
(1,00 s) e na posição x2 no instante t2. Ao considerar diferentes
valores para x2 e os correspondentes diferentes instantes t2
encontraremos os valores tabelados a seguir.
AC-02
205
Figura 1 - Movimento na Reta.
TABELA 8.1 - Velocidade Instantânea
x2-x1 t2-t1 ∆ x/ ∆ xt x1(m) t1(s) x2(m) t2(s)
= ∆ x(m) = ∆ t(s) (m/s)
100,0 1,00 200,0 11,00 100,0 10,00 10,0
100,0 1,00 180,0 9,60 80,00 8,60 10,0
100,0 1,00 160,0 7,90 60,00 6,90 10,0
100,0 1,00 140,0 5,90 40,00 4,90 10,0
100,0 1,00 120,0 3,56 20,00 2,56 10,0
100,0 1,00 110,0 2,33 10,00 1,33 10,0
100,0 1,00 105,0 1,69 5,0 0,69 10,0
100,0 1,00 103,0 1,42 3,0 0,42 7,1
100,0 1,00 101,0 1,14 1,0 0,14 7,1
Fica claro, através da tabela, que à medida que tomamos
valores de x2 mais próximo de x1, ∆t se aproxima de zero e a
relação ∆x/∆t tende para o valor aparente da velocidade no
instante t1 que é igual a 7,1 m/s. Escrevemos então:
A modificação da posição da partícula, x2 - x1 é denominada
o deslocamento da partícula. É comum utilizar a letra grega ∆
(delta maiúsculo) para indicar modificação numa grandeza. Assim, a
modificação de x é escrita como ∆x. A notação ∆x (leia "delta x")
indica uma única grandeza; a modificação de x não é produto de ∆
por x, da mesma forma que cos x não é o produto de cos por x. ∆t é
o intervalo de tempo gasto para a partícula se deslocar de x1 a x2
e é t2 – t1.
AC-02
206
Suponhamos, agora, o movimento de uma segunda partícula. Ao
invés de construir uma tabela, vamos plotar o gráfico da função
x(t). Os pontos determinados diretamente são ligados por uma curva
suave, de modo a se obter a curva da Figura 8.2a.
A velocidade média da partícula é definida como o
quociente do deslocamento ∆x pelo intervalo de tempo ∆t
12
12
mtt
xx
t
xV
−
−=∆∆
=
Observe que não só o deslocamento, mas também velocidade
média, podem ser positivos ou negativos, de acordo com o fato de
ser x2 maior ou menor que x1 (admitindo ser ∆t positivo) .Quando
qualquer das grandezas é positiva, o movimento se dá para a
direita, os valores negativos indicam movimento para a esquerda.
Na Figura 8.2b (pág. 8.4) aparece uma linha reta traçada do
ponto (x1, t1) até o ponto (x2, t2).Esta linha é hipotenusa do
triângulo retângulo cujos catetos são ∆t e ∆x. A razão ∆x/∆t é
denominada coeficiente angular da reta Geometricamente, é uma
medida da inclinação da linha reta em relação à horizontal. Sendo
dado um intervalo de tempo ∆t, a linha será tão mais inclinada
quanto maior for o valor de ∆x/∆t. Uma vez que esta razão é, por
definição, a velocidade média no intervalo ∆t, temos uma
interpretação geométrica desta grandeza: ela é o coeficiente
angular do segmento de reta que liga os pontos (x1, t1) e (x2, t2).
Em geral, a velocidade média depende do intervalo de tempo. Na
Figura 8.2b, por exemplo, caso o intervalo de tempo fosse menor,
com o instante t’2 mais próximo de t’1, a velocidade média seria
maior, conforme se vê pela maior inclinação da reta que liga os
pontos P1 e P2.
A Figura 8.2c (pág. 8.4) é a mesma curva de contra t da
Figura 8.2b, mostrando uma seqüência de intervalo de tempo ∆t1,
∆t2, ∆t3 cada qual menor que o seu antecedente Em cada intervalo
∆t, a velocidade média é representada pela inclinação da reta
pontilhada pertinente ao intervalo. A figura mostra que enquanto
os intervalos de tempo diminuem, as retas tornam-se mais
AC-02
207
inclinadas, mas não mais inclinadas que a tangente à curva no
ponto correspondente a t1. Definimos a inclinação(coeficiente
angular) da reta tangente à curva, no instante t1 como a velocidade
instantânea. Ela é, como já vimos limite do quociente ∆x/∆t quando
∆t se aproxima de zero.
Assim, para achar a velocidade instantânea em qualquer
instante t, basta traçar a tangente à curva no ponto (t, x(t)) do
gráfico.
Figura 2 - A Reta Tangente.
O leitor pode verificar que o cálculo da velocidade
instantânea recai num interessante caso de indeterminação do tipo
0/0. Na realidade, à primeira vista, parece impossível definir a
velocidade de uma partícula num determinado instante, isto é, num
dado tempo. Num instante t1, a partícula está num único ponto, x1 e
AC-02
208
se está neste ponto, como pode estar movendo-se? Por outro lado,
se não está se movendo, não deveria permanecer indefinidamente no
mesmo ponto? É este um velhíssimo paradoxo que pode ser resolvido
quando se observa que para analisar o movimento, e defini-lo, é
preciso verificar a posição do corpo em mais de um instante. É
possível, então, definir a velocidade num instante, mediante um
processo de passagem ao limite.
8.2 - DERIVADA
8.2.1 - Derivada no Ponto xo
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e xo um
elemento de I. Chama-se derivada de f no ponto x o limite
)x(flimax→ =
o
o
xx
)x(f)x(f
−−
se este existir e for finito.
A derivada de f no ponto xo é habitualmente indicada com
uma das seguintes notações:
oo xxo
xxo
dx
dyou),x(Df,
dx
df),x('f
==
para y = f(x).
A diferença ∆x = x – xo é chamada acréscimo ou incremento
da variável x relativamente ao ponto xo. A diferença ∆y = f(x) -
f(xo) é chamada acréscimo ou incremento da função f relativamente
ao ponto xo. O quociente o
o
xx
)x(f)x(f
x
y
−−
=∆∆
recebe o nome de razão
incremental de f relativamente ao ponto xo.
Frisemos que a derivada de f no ponto xo pode ser indicada
das seguintes formas:
x
)x(f)xx(flim)x´(fou
x
ylim)x´(fou
xx
)x(f)x(flim)x´(f o0
0x0
0x0
o
o
xx0
0 ∆−∆+
=∆∆
=−−
=→∆→∆→
AC-02
209
Quando existe f´(xo) dizemos que f é derivável no ponto xo.
Dizemos também que f é derivável no intervalo aberto I quando
existe f´(xo) para todo xo ∈ I.
Se nos reportarmos ao item anterior, veremos que a
velocidade instantânea é a derivada da função deslocamento no
instante t1.
O leitor deve estar atento para o fato de que agora a
variável independente é x1 enquanto que no item anterior fizemos t
("de tempo") ser a variável independente. É apenas uma notação,
não devendo causar qualquer embaraço.
Seguem alguns exemplos:
1º) Calculemos a derivada de f(x) = 2x no ponto x0 = 3.
23x
)3x(2lim
3x
6x2lim
3x
)3(f)x(flim)3´(f
3x3x3x=
−−
=−−
=−−
=→→→
Outra maneira de proceder seria esta:
22limx
6)x3(2lim
x
)3(f)x3(flim)3´(f
0x0x0x==
∆−∆+
=∆
−∆+=
→∆→∆→∆
2º) calculemos a derivada de f(x) = x2 + x no ponto x0 = 1.
3)3x(limx
x3)x(lim
x
]11[)]x1()x1[(lim
x
)1(f)x1(flim)1´(f
0x
2
0x
22
0x
0x
=+∆=∆
∆⋅+∆=
∆+−∆++∆+
=
∆−∆+
=
→∆→∆
→∆
→∆
3º) calculemos a derivada de f(x) = sem x em x0 = π/3.
2
1)3
cos(
2
x
)2
x
3cos()
2
x(sen
lim
x
)2
x
3cos()
2
x(sen2
lim
x
)3(sen)x
3(sen
lim)3
´(f
0x
0x
0x
=π
=∆
∆+
π⋅
∆
=
∆
∆+
π⋅
∆
=
∆
π−∆+
π
=π
→∆
→∆
→∆
AC-02
210
8.2.2 - Função Derivada
Seja f é uma função derivável no intervalo aberto I. Para
cada xo pertecente a I existe e é único o limite f´(xo) =
x
)x(f)xx(flim oo
0x ∆−∆+
→∆ portanto, podemos definir uma função f´: I →
R que associa a cada xo ∈ I a derivada de f ponto xo. Esta função é
chamada função derivada de f ou, simplesmente, derivada de f.
Habitualmente a derivada de f é representada por
f´, dx
df, Df ou y´.
A lei f´(x) pode ser determinada a partir da lei f(x),
aplicando-se a definição de derivada de uma função, num ponto
genérico x ∈ I:
x
)x(f)xx(flim)x´(f
0x ∆−∆+
=→∆
É isto que faremos logo em seguida para calcular as
derivadas de algumas funções elementares:
1) função constante: f(x) = c, c ∈ R
0x
ylim)x´(f0
x
cc
x
)x(f)xx(f
x
y
0x=
∆∆
=∴=∆−
=∆
−∆+=
∆∆
→∆
Logo, f(x) = c ⇒ f´(x) = 0.
2) função seno: f(x) = sen x
)2
xx(cos.
)2
x(
)2
x(
sen
x
)2
xx(cos)
2
x(sen2
x
senx)xx(sen
x
y
∆+∆
∆
=
=∆
∆+
∆
=∆
−∆+=
∆∆
xcos)2/xx(coslim.2/x
)2/x(senlim
x
ylim)x´(f
0x0x=∆+
∆∆
=∆∆
=→∆→∆
Logo, f(x) = sen x ⇒ f´(x) = cos x.
3) função exponencial f(x) = ax, com a ∈ R e O < a ≠ 1
AC-02
211
x
1aa
x
aa
x
)x(f)xx(sen
x
y xx
xxx
∆−
=∆
−=
∆−∆+
=∆∆ ∆∆+
an.a.x
1alim.alim
x
ylim)x('f x
x
0x
x
0x0xl
∆−
=∆∆
=∆
→∆→∆→∆
Logo, f(x) = ax ⇒ f´(x) = a. l n ª
No caso particular da função exponencial de base e, f(x) =
ex, temos o resultado notável:
f(x) = ex. ⇒ f´(x) = ex
Logo, f(x) = ex ⇒ f´(x) = ex
8.2.3 - Tabela de Derivadas
Trabalhando convenientemente a definição de derivada e as
propriedades de limites, pode-se construir a Tabela 8.2 (pág. 8.9)
de extrema importância para o cálculo de derivadas.
Os exemplos ao final do capitulo mostram de forma bastante
clara a utilização desta tabela. A propriedade D9 merece um
comentário à parte. Trata-se da "regra da cadeia" ou derivada da
função composta.
Sendo y = F(x) = g(f(x)) e u = f´(x), vale o seguinte
resultado:
F´(x) = g´ (f(x)) . f´(x)
ou, em notação mais sugestiva:
dx
du.
du
dy
dx
dy=
Obs.: a propriedade D8 é a derivada da função inversa.
Usando a regra da cadeia, constrói-se a tabela 8.3.
REGRAS DE DERIVAÇÃO D1. ℜ∈=→= k´,kvykvy
D2. vuyvuy +=→+=
D3. ´uvvuyuvy +=→=
D4. 0v,v
vy
v
1y
2≠
−=→=
AC-02
212
D5. 0v,v
uvvuy
v
uy
2≠
−=→=
D6. ´u´u´uyuuuy n21n21 +++=→+++= KK
D7. ´uuuu´uuuu´uy
uuuy
n21n21n21
n21
⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=→⋅⋅⋅=
KKK
K
D8. g é inversa de f: )0)y´(f(,))x(g´(f
1
)y´(f
1)x´(g ≠==
D9. )x´(f))x(f´(gy)x)(fg(y ⋅=→= o
D10. vulnuuvu)´ulnv(uyuy v1vvv +==→= −
TABELA 8.2 – Derivadas
FUNÇÕES ELEMENTARES
1. ℜ∈αα=→= −αα ,xyxy 1
2. 1casoxy,xn
1yxy n
1
n 1n
n ==→=−
3. 1a0,alnayay xx ≠<=→=
4. 1a0,alnx
1yalogy ≠<=→=
5. xcosyxseny =→=
6. xsenyxcosy −=→=
7. xsecyxtgy 2=→=
8. xseccosyxgcoty 2−=→=
9. xtgxsecyxsecy ⋅=→=
10. xgcotxseccosyxseccosy ⋅−=→=
11. 2x1
1yxarcseny
−=→=
12. 2x1
1yxarccosy
−
−=→=
13. 2x1
1yxarctgy
+=→=
14. 2x1
1yxgcotarcy
+−
=→=
15. 1xx
1yxsecarcy
2 −⋅=→=
16. 1xx
1yxecarccosy
2 −⋅
−=→=
Nesta tabela u = f(x) e v = g(x), isto é, u e v são funções deriváveis de x.
AC-02
213
TABELA 8.3 – DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA
1. vvyvy 1−αα α=→=
2. vvn
1yvy
n 1n
n
−=→=
3. valnayay vv =→=
4. valnv
1yvlogy a ⋅=→=
5. vvcosyvseny ⋅=→=
6. vvsenyvcosy ⋅−=→=
7. vvsecyvtgy 2 ⋅=→=
8. vvseccosyvgcoty 2 ⋅−=→=
9. vvtgvsecyvsecy ⋅⋅=→=
10. vvgcotvseccosyvseccosy ⋅⋅−=→=
11. vv1
1yvarcseny
2⋅
−=→=
12. vv1
1yvarccosy
2⋅
−
−=→=
13. vv1
1yvarctgy
2⋅
+=→=
14. vv1
1yvgcotarcy
2⋅
+−
=→=
15. v1vv
1yvsecarcy
2⋅
−⋅=→=
16. v1vv
1yvecarccosy
2⋅
−⋅
−=→=
Nesta tabela u = f(x) e v = g(x), isto é, u e v são funções deriváveis de x.
8.2.4 - Derivadas Sucessivas
Seja f uma função contínua em um intervalo I e seja I1 o
conjunto dos pontos de I em que f é derivável. Em I1 já definimos a
função f´, chamada função derivada primeira de f. Seja
I2 o conjunto dos pontos de I1 em que f´ é derivável. Em I2
podemos definir a função derivada da f´ que chamaremos de derivada
segunda de f e indicaremos por f´´
Repetindo o processo, podemos definir as derivadas
terceira, quarta, etc de f. A derivada de ordem n de f
respectivamente por f(n).
Exemplos:
AC-02
214
1o) Calcular as derivadas de f(x) = 3x2 + 5x + 6.
Temos:
f´(x) = 6x + 5
f´´(x) = 6
f´´(x) = f(4)(x) = f(5) (x) = ...= O
2o) Calcular as derivadas de f(x) = sen 2x.
Temos:
f´(x) = 2.cos 2x
f´(x) = -4.sen 2x = 22.cos (2x + 2
π)
f´(x) = -8.cos 2x = 23.cos (2x + ·)
f(n) = 2n cos(2x + 2
)1n( π−)
3o) Determinar todas as derivadas de f(x) = x3 + 2x2 + 1.
f´(x) = dx
df = 3x2 + 4x
f´´ dx
´df = 6x + 4
f(n)(x) = dx
df )1N( −
= 0 para todo n ≥ 4.
4o) Obter todas as derivadas de y = x
1
y’= dx
dy = -
2x
1
y” = dx
'dy = -
3x
2
y”’ = dx
"dy = -
4x
6
y(n)= 1n
n
1n
n)1n(
x
!n.)1(
x
1)....2n)(1n(n.)1(
dx
dy++
−
−=−−
−= .
AC-02
215
8.2.5 - Equações Diferenciais
Considere as equações abaixo e seus respectivos conjuntos-
verdade.
1) x2 -5x + 6 = 0; V1 = {2,3}
2) 3x - 9 = 0; V2 = {2}
3) sen x = 0; V3 = {x = kπ, k ∈ z}
Dizemos que x ∈ R é solução de uma equação quando na
verdade a sentença aberta correspondente. Por exemplo:
1) 22 - 5.2 + 6 = O (V)
2) 32 - 9 = O (V)
sen (3π) = O (V)
De modo análogo, podemos construir equações envolvendo
funções e suas derivadas, isto é, agora as variáveis são funções
deriváveis. Por exemplo:
1) y" - y = 0; V = {y = a cos x + b sen x ; a e b ∈ R}
de fato: y' = -a sen x + b cos x
y" – y = -a cos x –b sen x
logo y" -y = (-a cos x –b sen x) + (a cos x + b sen x) = 0
(V)
2) xdx
dy - y + x2 ou xy' - y – x2 = 0, y = f(x)
V = {y = x2 + cx, c ∈ R}
De fato: y' = 2x + c
xy' - y - x2 = x(2x + c) – (x2 + cx) - x2 = 2x2 + cx - x2 -
cx - x2 = 0.
A solução de equações diferenciais não é assunto simples.
Seu conceito foi apresentado para que o leitor se familiarize com
as mesmas. As equações diferenciais são muito comuns em Física e
estão envolvidas na resolução de uma infinidade problemas tratados
nesta ciência.
AC-02
216
NOTA: Na Mecânica, como os problemas que surgem estão relacionados
o movimento dos corpos, muitas vezes aparecem derivadas com
relação ao tempo. Neste caso é costume usar a seguinte notação:
)t(xparadt
)t(xd);t(fpara
dt
)t(df 2
&&&
8.3 - GRÁFICOS E DERIVADAS
8.3.1 - Interpretação Geométrica da Derivada
No item 8.1 - vimos que a velocidade no instante t podia
ser obtida pela reta tangente à curva do deslocamento, no ponto
(t1, x(t1)).
Generalizando podemos dizer que:
A derivada de uma função f no ponto xO é igual ao
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abscissa xo.
A fórmula y - yo = m(x - xo) fornece a equação de uma reta
passando por p (xO, yO) e com coeficiente angular m = tg αx
conforme Figura 8.3.
Em particular se queremos a equação da reta tangente ao
gráfico de uma função f no ponto (xO, f(xO)), basta fazer yO =
(f(xO) em = f´(xO). A equação da reta fica:
y – f(x0) = f´(x0)(x-x0)
Figura 3 - Equação da Reta Tangente
AC-02
217
Exemplos:
1) A equação da reta tangente à parábola de equação y = x2
em seu ponto de abscissa xO = 2 é
xO = 2 ⇒ yO = 22 = 4 ⇒ P(2,4)
y = x2 ⇒ y' = 2x ⇒ y'(2) = 2 .2 = 4
logo y - 4 = 4(x -2) é a equação da reta t (Fig. 8.4a)
2) A equação da reta tangente à curva de f(x) = x3 na
origem P(0,0) é:
f´(x) = 3x2 ⇒ f´(0) = 3.02 = 0
logo y - 0 = 0 (x-0)
y = 0 (eixo dos x) é a equação da reta t (Fig. 8.4b)
Figura 4 - Equação da Reta Tangente
8.3.2 - Derivada e continuidade
Pode-se mostrar que, se uma função é derivável num ponto,
ela é contínua nesse ponto, não valendo a recíproca, isto é
existem funções contínuas num ponto x0 e não deriváveis em x0
De fato, numa interpretação nada rigorosa, podemos dizer
que uma função continua é aquela cuja curva pode ser desenhada
"sem se tirar a ponta do lápis do papel". Porém, essa curva pode
formar "bicos", onde fica impossível definir uma reta tangente.
AC-02
218
Evidentemente, uma função descontínua num ponto, não é
derivável neste ponto.
Vejamos os seguintes exemplos:
1) f(x) = x – 2, para x ≤ 3
2, para x> 3
f é descontínua em xo = 3
f não é derivável em xo = 3 (Fig. 8.5a)
2) f é contínua em xo = c
f não é derivável em xo = c
(não existe reta tangente no "bico") (Fig. 8.5b)
3) f(x) = |x|
f é contínua em xo = 0
f não é derivável em xo = 0 (Fig. 8.5c)
4) f(x) = 3 x
f´(x) = 3 2x3
1, x ≠ 0
f é contínua em xo = 0.
f´ não existe em xo = 0 (Fig. 8.5d)
Neste caso existe a reta tangente à curva, porém ela é
paralela ao eixo dos y.
AC-02
219
Figura 5 - Derivada e continuidade
8.3.3 - Variação das Funções
Consideremos a Figura 8.6 abaixo:
Figura 6 - Máximos e mínimos
AC-02
220
A curva representa a função f{x) = x3 + x2 - 5x. Vemos que
a função tem um máximo em x = -5/3 e um mínimo em x = 1. É fácil
perceber que f´(x) = 0 nestes pontos (verifique!).
Estamos interessados em resolver o seguinte problema: dada
uma função f(x), ela tem máximo e mínimo? Em caso afirmativo, como
determinar as abscissas correspondentes?
Em busca da solução do problema acima, vamos apresentar
alguns novos conceitos:
1o) Máximo e mínimo são conceitos relativos ou locais
conforme mostra a Figura 8.7a. No gráfico abaixo a função f(x)
assume um máximo local no ponto a que é menor que um mínimo local
em b.
Figura 7 - Máximos e Mínimos Locais
2o) A função pode ter um ponto extremo (máximo ou mínimo),
sem ser derivável no ponto. É o que mostra o ponto D (máximo
absoluto), da curva da Figura 8.7b. Ainda,
A, C e E - pontos de mínimo relativo
B - ponto de máximo relativo
F e G - pontos de máximo e mínimo
OBS: l) muitas vezes nos referimos à abscissa do ponto no
lugar do ponto. Por exemplo: a é ponto de mínimo.
2) Dizemos que xo é um ponto de máximo relativo ou
local de f se f (x) ≤ f(xo), ∀x nas proximidades de xo; que xo é um
AC-02
221
ponto de mínimo relativo ou local de f se f(x) ≥ f(x), ∀x nas
proximidades de xo.
3) Nas vizinhanças de um ponto de extremo, a tangente
muda sua inclinação, ou seja, a derivada muda de sinal (Fig. 8.8).
Figura 8 - Sinal da Derivada Primeira e Extremantes
OBS: O sinal da derivada tem a seguinte interpretação
geométrica mostrada na Figura 8.9.
AC-02
222
Figura 9 - Sinal da Derivada Primeira
Concluímos então que a mudança de sinal de f´(x) fornece os
pontos de extremo, mesmo quando a curva forma "bicos" nestes
pontos.
4) O estudo da concavidade da curva também pode apontar
pontos extremos, embora o método apresentado acima seja mais
geral. vejamos a Figura 8.10 abaixo:
Figura 10 - Concavidade
AC-02
223
(1) Concavidade positiva em xo: curva acima da reta
tangente ou voltada "para cima”
(2) Concavidade negativa em xO: curva abaixo da reta
tangente ou voltada "para baixo”.
A Figura 8.11 abaixo fornece um critério para determinar se
um gráfico tem concavidade positiva ou negativa.
Se tivermos f´(x) crescente, isto é, f´´(x) > 0, a curva
terá concavidade voltada para cima (Fig. 8.11a).
Se tivermos f´(x) decrescente, isto é f´´(x) < 0, a curva
terá concavidade voltada para baixo (Fig. 8.11b).
Daí concluímos que o sinal da derivada segunda f´´(x) é que
decide a concavidade de y = f(x).
Figura 11 - Sinal da Derivada Segunda
Se observarmos a Figura 8.8a, veremos que em
xo f´´(xo) > 0 (ponto de mínimo). Na Figura 8.8b, temos que
f´´(xo) < 0 (ponto de máximo).
5) Pode acontecer a seguinte situação, representada na
Figura 8.12: f´(xo) = 0. e f´(x) não muda de sinal nas vizinhanças
de xo.
Se repararmos melhor, a concavidade muda de sinal em xo.
De um modo geral o ponto Po (xo, f(xo)) é dito ser o ponto
de inflexão do gráfico da função f (contínua num intervalo que
AC-02
224
contenha xo), quando a concavidade troca de sinal em po. A Figura
8.13 fornece alguns exemplos.
Assim uma análise no sinal da f´´(x) em torno de xo
apontará se ele é ou não uma abscissa de um ponto de inflexão.
Figura 12 - Ponto de Inflexão
Outro método menos geral, pois exige que f seja derivável
em xo diz que:
- se f´´(xo) = O e f´´´(xo) ≠ O então xo é a abscissa de um
ponto de inflexão;
- será ponto de flexão horizontal se f´(xo) = 0 (Fig. 8.13
(2));
- será ponto de inflexão obliqua se f´(xo) ≠ 0 (Fig. 8.13
(1));
Na Figura 8.13 (3) temos um ponto de inflexão vertical.
Observe que a função não é derivável em xo.
Se o leitor se reportar à Figura 8.6, e calcular f´(-1/3),
f´´(-1/3) e f´´´(-1/3), verificará que se trata de um ponto de
inflexão obliqua.
AC-02
225
Figura 13 - Tipos de Pontos de Inflexão
Resumindo
- Método 1
Seja f(x) uma função contínua com derivadas continuas num
intervalo I.
I - Se f´(xo) = O e f´´(xo) ≠ O, então
a) f(xo) é máximo relativo de f(x) se f´´(xo) < 0
b) f(xo) é mínimo relativo de f(x) se f´´(xo) > 0
c) xo é abscissa de ponto de inflexão horizontal se f´´(xo
) = 0
II - Se f´(xo) = 0, f´´(xo) = 0 e f´´´(xo) ≠ 0, então xo é
abscissa de um ponto de inflexão oblíqua.
- Método 2
Seja f(x) uma função contínua num intervalo I.
I - a) se x < x ⇒ f´(x) > 0 e x > xo ⇒ f´(x) < 0 então xo
é um ponto de máximo local.
b) se x < xo ⇒ f´(x) < O e x > xo ⇒ f´(x) > O então xo
é um ponto de mínimo local.
II - se x < x ⇒ f´´(xo) < O e x > xo ⇒ f´´(xo) > 0
x < xo ⇒ f´´(xo) > O e x > xo ⇒ f´´(xo) < 0
então xo é abscissa de um ponto de inflexão.
Obs: Não vamos considerar o caso em que f´´´(xo) = 0
AC-02
226
EXEMPLOS:
1. Determinar a função derivada das seguintes funções:
a) y = 4x3;
b) y = 2x3 + 44x2 - 5x – 2;
c) y = sen x + cos x + tg x;
d) y = (x2 + 1)4;
e) y = 4(2x2 - x – 1)3;
f) y = x sen x + cos x
g) y = sen4 x
h) y = [x ex + cos x]5
SOLUÇÃO:
a) 4455
x20)x5(4dx
)x(d4
dx
)x4(d
dx
dvc
dx
)cv(d===⇒=
b) 5x8x6dx
)2(d
dx
)x5(d
dx
)x4(d
dx
)x2(d
dx
dy 223
−+=−−+=
c) Aplicando a propriedade da derivada da soma, temos:
xsecxsenxcosdx
)xtg(d
dx
)x(cosd
dx
)x(send
dx
dy 2+−=++=
d) dx
duun
dx
)u(d 1nn
⋅⋅= −
Neste exemplo, u = x2 + 1 e n = 4, então,
3222
2 )1x(x8)x2()1x(4dx
)1x(d)1x(4
dx
dy+⋅=⋅+⋅=
+⋅+⋅=
e) Temos u = 2x2 –x - 1 e n = 3, então:
)1x4()1xx2(12dx
)1xx2(d)1xx2(34
dx
dy 222
2 −⋅−−⋅=−−
⋅−−⋅⋅=
f) Neste caso tem-se:
xcosxxsenxsenxcosx
dx
)x(cosdxsen
dx
dx
dx
)x(sendx
dx
)x(cosd
dx
)xsenx(d
dx
dy
⋅=−+⋅=
+⋅+=+⋅
=
g) Temos u = sen x e n = 4, então:
xcosxsen4dx
)x(sendxsen4
dx
dy 33 ⋅⋅=⋅⋅=
h) Temos u = x ex + cos x e n = 5, então:
AC-02
227
)xseneex)(xcosex(5
dx
)xcosex(d)xcosex(5
dx
dy
xxx
x4x
−+⋅+⋅⋅=
+⋅⋅+⋅⋅=
2. Determinar a função derivada das seguintes funções:
a) 2x
1y = ;
b) 1x
2y
+= ;
c) 1x
x2y
2 += ;
d) x
ey
x
= ;
e) xcos
xsen1y
+= ;
f) xsen
xlogy e= ;
g) x
2
e
1xxy
++= ;
h) xtg
xy
2
= ;
SOLUÇÃO:
Todas essas funções são quociente de outras duas funções, então:
22 v
´uvvu
vdx
dvuv
dx
du
dx
)v
u(d −
=⋅−⋅
=
a) u = 1, du/dx = 0, v = x2 e dv/dx = 2x, então:
3422
2
x
2
x
x2
)x(
x21x0
dx
dy−=−=
⋅−⋅=
b) u = 2, u´ = 0, v = x + 1 e v´= 1, então:
22 )1x(
2
)1x(
)1(2)1x(0
dx
dy
+−=
+⋅−+⋅
=
c) u = 2x, u´ = 2, v = x2 + 1 e v´= 2x, então:
2
2
2
2
)1x(
2x2
)1x(
x2x2)1x(2
dx
dy
++−
−=+
⋅−+⋅=
d) u = ex = u´, v = x e v´= 1, então:
AC-02
228
2
x
2
xx
x
)1x(e
x
1exe
dx
dy −=
⋅−⋅=
e) u = 1 + sen x, u´ = cos x, v = cos x e v´ = -sen x, então:
xcos
xsen1
xcos
xsenxsenxcos
)x(cos
)xsen)(xsen1(xcosxcos
dx
dy
22
22
2
+=
++=
−+−⋅=
f) u = loge x, u´ = 1/x, v = sen x e v´ = cos x, então:
xsen
xcosxlogxsenx
1
dx
dy2
e ⋅−⋅=
g) u = x2 + x + 1, u´ = 2x + 1, v = ex = v´, então:
x
2
2x
x2x
e
)xx(
)e(
e)1xx(e)1x2(
dx
dy +−=
⋅++−⋅+=
h) u = x2, u´ = 2x, v = tg x, v´ = sec2x, então:
xtg
xsecxxtgx2
dx
dy2
22 ⋅−⋅=
3. Determinar a função derivada das seguintes funções:
a) y = sen 5x;
b) y = sen (x2 – 1);
c) y = 2 cos 5x2;
d) y = tg 2x2;
e) y = sec 2x;
f) y = cos (sen x);
g) 2
2
ex1
xlogy
+= ;
h) xsen1
xsen1logy e −
+= ;
SOLUÇÃO:
Todas essas funções são compostas, então:
y = v(u(x)) ⋅⋅==⇒dx
du
du
dv
dx
dyy
a) u = 5x e v = sen u
x5cos5)5()u(cosdx
)x5(d
du
)u(sendy ⋅=⋅=⋅=
AC-02
229
b) u = x2 - 1 e v = sen u
)1xcos(x2)x2()u(cosdx
)1x(d
du
)u(sendy 2
2
−⋅=⋅=−
⋅=
c) u = 5x2 e v = 2 cos u
)x5sen(x20)x10()usen2(dx
)x5(d
du
)ucos2(dy 2
2
⋅⋅−=⋅−=⋅=
d) u = 2x2 e v = tg u
)x2(secx4)x4()u(secdx
)x2(d
du
)utg(dy 222
2
⋅⋅=⋅=⋅=
e) u = 2x e v = sec u
)x2(tg)x2sec(2)2()utgu(secdx
)x2(d
du
)u(secdy ⋅⋅=⋅=⋅=
f) u = sen x e v = cos u
)xsen(senxcosxcosusendx
)x(send
du
)u(cosdy ⋅−=⋅−=⋅=
g) ulogvex1
xu e2
2
=⋅+
=
22
222
2
e
)x1(
x2x)x1(x2
u
1
dx
)x1
x(d
du
)u(logdy
+⋅−+
⋅=+⋅=
)x1(x
2
)x1(
x2
x1
x
1222
2
2 +=
+⋅
+
=
h)Notemos que xcos
)xsen1(
)xsen1()xsen1(
)xsen1()xsen1(
xsen1
xsen12
2+=
+⋅−+⋅+
=−+
e xcos
xsen1log
xsen1
xsen1logy ee
+=
−+
= , cos x > 0
Temos ulogvexcos
xsen1u e=
+=
xcos
xsen1
u
1
dx
)xcos
xsen1(d
du
)u(logdy
2
e +⋅=
+
⋅=
xsecxcos
1
xcos
xsen1
xsen1
xcos2
==+
⋅+
= .
AC-02
230
4. Obter as derivadas das seguintes funções
a) y = 3 xx + d) y =
3 12 +x
b) y = 522 −+ xx e)y = 3 2cos x
c) y = 22 xa − f) y =
5 2xe
SOLUÇÃO:
a) =+=+=+=−− 1
3
11
2
13
1
2
1
3
x.3
1x.
2
1
dx
dx
dx
dx
dx
xd
dx
xd
dx
dy
3 2
3
2
2
1
x3
1
x2
1
3
x
2
x+=+=
−−
b)y = v(u(x)) sendo u = x2 + 2x – 5 e v = u , então
5x2x
1x)2x2(
u2
1
dx
du
du
dv
dx
dy2 −+
+=+⋅=⋅=
c)y = v(u(x)) sendo u = a2 – x2 e v = u , então
22)2(
2
1
xa
xx
udx
du
du
dv
dx
dy
−
−=−⋅=⋅=
d)y = v(u(x)) sendo u = 2x+1 e v = 3 u , então
3 23 2 )1x2(3
2)2(
u3
1
dx
du
du
dv
dx
dy
+=⋅=⋅=
e)y = v(u(t(x))) sendo t = 2x, u = cos t e v = 3 u , então
3 23 2 x2cos3
x2sen22)tsen(
u3
1
dx
dt
dt
du
du
dv
dx
dy −=⋅−⋅=⋅⋅=
f)y = v(u(t(x))) sendo t = 2x, u = et e v = 5 u , então
5 x8
x2t
5 4 e5
e22e
u5
1
dx
dt
dt
du
du
dv
dx
dy=⋅⋅=⋅⋅=
5. Obter as derivadas das seguintes funções
AC-02
231
y = 2x1
xarcsen
+
y = xcos1
xsenarctg
+
SOLUÇÃO:
a)u =2x1
x
+ e v = uarcsen , então
22
2
2
2 )x1(
x1
xxx11
u1
1
dx
du
du
dv
dx
))u(v(d
dx
dy
+
+⋅−+⋅
⋅−
=⋅==
)x1(
1
x1)x1(
1x1
x1)x1(
1
x1
x1
1222
2
22
2
2 +=
++⋅+=
++⋅
+−
=
b)u = xcos1
xsen
+ e v = uarctg , então
22 )xcos1(
)xsen(xsen)xcos1(xcos
u1
1
dx
du
du
dv
dx
dy
+−−+
⋅+
=⋅=
2
1
)xcos1(
)1xcos(
xcos22
)xcos1(
)xcos1(
)1xcos(
)xcos1(
xsen1
12
2
2
2
2=
++
⋅++
=+
+⋅
++
=
6. Dar a função derivada de:
y = x)1x2( −
y = xcos)x(sen
SOLUÇÃO:
]u
uvulogv[uyuy e
vv ⋅+⋅⋅=⇒=
u = 2x - 1 e u´= 2, v = x e v´= 1, então:
]1x2
2x)1x2(log1[)1x2(y e
x
−⋅−−⋅⋅−=
]1x2
x2)1x2([log)1x2( e
x
−−−⋅−=
AC-02
232
u = sen x e u´= cos x, v = cos x e v´= -senx, então:
xsen
xcosxcosxsenlogxsen[)x(seny e
xcos ⋅+⋅−=
7. Determinar a derivada segunda da função y = cos2 3x e a derivada
terceira de y = loge(1+x)
SOLUÇÃO:
Para y = cos2 3x
y´ = 2 cos 3x .(-sen 3x) . 3 = -6 . sen 3x . cos 3x
= -3 . (2 . sen 3x . cos 3x) = -3 sen 6x
y´´ = -3 .cos 6x . 6 = -18 cos 6x
Para y = loge(1+x)
321 )1x(2´´´y)1x(´´y)1x(x1
1y −−− +⋅=⇒+−=⇒+=
+=
3)1x(
2´´´y −+
=
8. Mostrar que a função y = e-x.cos x verifica a equação
diferencial y(4) + 4y = 0, onde y(4) é a derivada quarta de y
SOLUÇÃO:
xcose4y
)xcosxsen(e2)xsenx(cose2y
)xsenx(cose2xcose2xsene2´´´y
xsene2)xsenx(cose)xcosx(sen)e(´´y
)xcosx(sene)xsen(excos)e(y
x)4(
xx)4(
xxx
xxx
xxx
⋅−=
−−⋅+−⋅−=
−⋅=⋅+⋅−=
=−−+⋅−=
+⋅−=−⋅+⋅−=
−
−−
−−−
−−−
−−−
então
0xcose4xcose4y4y xx)4( =⋅+⋅−=+ −−
9. Verificar se a função f(x) definida por
>+≤
=2x se 2x
2x se x)x(f
2
, é derivável no ponto x=2
SOLUÇÃO:
AC-02
233
Se x < 2 temos f´(x) = 2x
Se x > 2 temos f´(x) = 1
Temos portanto
1)x´(flim)x(f
4)x´(flim)x(f
2x
´2x
´
==
==
+
−
→+
→− , logo não existe f´(2)
Notemos que, apesar de não ser derivável no ponto 2, f(x) é
contínua nesse ponto pois )2(f4)x(flim2x
==→
.
10. Dada a função y = x5, calcular a derivada de sua função inversa
no ponto y = 32.
SOLUÇÃO:
5 44
45
y5
1
x5
1
dx
dyx5
dx
dyxy ==⇒=⇒=
para y = 32 temos 80
1
)32(5
1
dx
dy
5 432
==
11. Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2
+ t – 2. Calcular a sua velocidade no instante t0= 2.(Unidades S.I)
SOLUÇÃO:
A velocidade no instante t0 = 2 é igual à derivada de s no instante
t0:
s´(t0) = s´(2)= 2t
)224()2tt(lim
2t
)2(s)t(slim
2
2t2t −−+−−+
=−−
→→
s/m5)3t(lim2t
)3t)(2t(lim
2t
6ttlim
2t2t
2
2t=+=
−+−
=−
−+=
→→→
12. Um ponto material em movimento sobre uma reta tem velocidade
3 tv = no instante t. Calcular a aceleração do ponto no instante
t0 = 2.(Unidades S.I)
SOLUÇÃO:
A aceleração no instante t0 = 2 é igual a derivada de v no instante
t0
AC-02
234
v´(t0) = v´(2)= 2t
2tlim
2t
)2(v)t(vlim
33
2t2t −−
=−−
→→
3 233 23 233 233
33
2t 2222
1
)2t2t)(2t(
2tlim
+⋅+=
++−
−=
→
2
3s/m
43
1=
13. Um móvel desloca-se sobre um segmento de reta obedecendo à
equação horária s = cos t (Unidades SI). Determinar:
a) sua velocidade no instante t = π/4 s;
b) sua aceleração no instante t = π/6 s.
SOLUÇÃO:
a) A derivada de s nos dá em cada instante a velocidade do móvel,
isto é, v = s´(t) = -sen t.
No instante t = π/4 s, temos:
v(π/4) = - sen (π/4) = - 2/2 m/s2.
b) A derivada de v nos dá em cada instante a aceleração do móvel,
isto é, a = v´(t) = - cos t.
No instante t = π/6 s, temos:
a(π/6) = - cos (π/6) = - 2/3 m/s2.
14. Obter o valor da derivada da inversa da funão f(x) = x3 + x no
ponto x0 = 1.
SOLUÇÃO:
y = x3 + x ⇒ y´ = 3x2 + 1 ⇒ 1/y´ = 1/(3x2 + 1) = dx/dy.
Para x = 1 tem-se dx/dy = 1/(3+1) = 1/4
15. Calcular a derivada de cada uma das seguintes funções:
a) f(x) = ex . sen x + 4x3;
b) g(x) = (x2 +x + 1)5;
c) h(x) = (ex . cos x – x2)4.
SOLUÇÃO:
AC-02
235
f deve ser vista como soma de duas parcelas: ex . sen x e 4x3.
Portanto, f’ é a soma das derivadas das parcelas, sendo que a
primeira parcela é um produto; então:
f’(x) = Df(x) = D(ex .sen x) + D(4x3) =
= D(ex) . sen x + ex . D(sen x) + D(4x3)=
= ex . sen x + ex . cos x + 12x2
Fazendo x2 + x + 1 = u(x), vem g(x) = [u(x)]5, então:
g’(x) = 5 . [u(x)]4 . u’(x) = 5 (x2 + x + 1)4 (2x + 1)
Fazendo ex . cos x – x2 = u(x), vem h(x) = [u(x)]4, então:
h’(x) = 4 . [u(x)]3 . u’(x) =
= 4 . (ex . cos x – x2)3 . (ex . cos x – ex . sen x – 2x)
16. Determinar a função derivada das seguintes funções:
a) f(x) = log2 x e) f(x) = xsen
b) f(x) = log2 cos x f) f(x) = arc sen x2
c) f(x) = x g) f(x) = arc cos ex
d) f(x) = 3 2x h) f(x) = arc tg (ln x)
SOLUÇÃO:
f’ = 2lnx
1
vamos aplicar as a regra para funções compostas:
y = cos x e z = log2 y então, f’(x) = z’(y) . y’(x) =
= 2ln.y
1 . (-sen x) = -
2ln.xcos
xsen
f(x) = x = x1/2 ⇒ f’(x) = 1
2
1
x.2
1 − = 2
1
x.2
1 − =
x2
1
f(x) = 3 2x = x1/3 ⇒ f’(x) =
13
1
x.3
1 − = 3
2
x.3
1 − =
3 2x.3
1
Fazendo y = sen x e z = y , temos:
f’(x) = z’(x) . y’(x) = y2
1 . cos x =
xsen2
xcos
AC-02
236
Fazendo y = x2 e z = arc sen y, temos:
f’(x) = z’(x) . y’(x) = 2y12
1
− . 2x =
4x1
x2
−
Fazendo y = ex e z = arc cos y, temos:
f’(x) = z’(x) . y’(x) = 2y1
1
−− . ex =
x2
x
e1
e
−
Fazendo y = ln x e z = arc tg y, temos:
f’(x) = z’(x) . y’(x) = x
1.
y1
12+
− = )xln1(x
12+
17. Dada a função f(x) = [u(x)]v(x), calcular sua derivada.
SOLUÇÃO:
f(x) = [u(x)]v(x) = [eln x u(x)]v(x) = ev(x) . ln u(x)
Aplicando a regra de derivação da função composta, temos:
y = v(x) . ln u(x) e z = ey
então:
f’(x) = z’(x) . y’(x) =
= ey . [v’(x) . ln u(x) + v(x) . )x(u
1 . u’(x)]
e finalmente:
f’(x) = [u(x)]v(x) . [v’(x) . ln u(x) + v(x) . )x(u
)x('u]
18. Obter a derivada da função f(x) = (cos x)x.
SOLUÇÃO:
Empregando a regra que acaba de ser deduzida, vem:
f’(x) = (cos x)x . [1 . ln cos x + x . xcos
xsen−] =
= (cos x)x . (ln cos x – x . tg x)
19. Qual é a equação da reta tangente à curva y = x2 – 3x no seu
ponto de abscissa 4?
AC-02
237
SOLUÇÃO:
x0 = 4 ⇒ f(x0) = 42 – 3 . 4 = 16 – 12 = 4.
Então, P(4,4) é o ponto de tangência.
f’(x0)= f’(4) = 4x
4)x3x(lim
2
4x −−−
→ =
4x
)1x()4x(lim
4x −+−
→ =
= 4x
lim→
(x + 1) = 5
Portanto, o coeficiente angular de t é 5, e sua equação é:
y – 4 = 5(x-4)
20. Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = tg
x no ponto de abscissa x0 = 4
π.
SOLUÇÃO:
x0 = 4
π ⇒ f(x0) = tg
4
π = 1 , então P(
4
π, 1) é o ponto de
tangência.
f’(x0) = f’(4
π) =
4x
4tgxtg
lim
4x π
−
π−
π→
=
4x
4cos.xcos
)4
x(sen
lim
4x π
−
π
π−
π→
=
=
ππ−
π−
π→
4cos.xcos
1.
4x
)4
x(senlim
4x
=
4cos
1
2 π = 2 e a equação da reta t é
y – 1 = 2 (x - 4
π)
AC-02
238
21. Obter a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = cos x no
ponto (2
1
3,
π).
SOLUÇÃO:
O coeficiente angular da reta procurada é:
f’(3
π) = - sen
3
π = -
2
3.
Portanto, a equação da reta é:
y - 2
1 = -
2
3 (x -
3
π)
22. Obter a equação da tangente à curva y = x2 sen (x-2) no ponto
de abscissa 2.
SOLUÇÃO:
x = 2 ⇒ y = 22 sen(2-2) ⇒ 0 ⇒ P(2,0) é o ponto de tangência
y’ = 2x sen(x-2)+ x2 cos(x-2) ⇒
⇒ y’(2)= 2 • 2 sen 0 + 22 • cos 0 = 4
Assim, a equação da reta tangente é: y - 0 = 4 (x-2)
23. Verificar se f(x) = x2 – 6x + 8 tem extremante.
AC-02
239
SOLUÇÃO:
calculamos f’(x) = 2x – 6
obtemos as raízes de f’(x) = 0
f’(x) = 2x-6 = 0 ⇒ x = 3
analisamos o sinal de f’ (x)
x < 3 ⇒ f’(x) < 0 e
x > 3 ⇒ f’(x) > 0
e concluímos que x = 3 é ponto de mínimo relativo de f(x) e min.
f(x) = f(3) = 32 – 6(3) + 8 = -1
24. A derivada de f(x) é f’(x) = (x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4.
Determinar os extremantes de f(x) e as abscissas dos pontos de
inflexão de f(x).
SOLUÇÃO:
Os pontos críticos de f(x) são as raízes de f’(x):
f’(x) = (x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4 ⇒
⇒ x = 1 ou x = 2 ou x = 3 ou x = 4.
25. Calcular o valor máximo assumido pela função f(x) = 2)ax(e −− .
SOLUÇÃO:
f´(x) = -2(x – a). 2)ax(e −−
f´(x) = 0 ⇒ -2(x – a). 2)ax(e −− = 0 ⇒ x = a.
Como 2)ax(e −− > 0 para todo x ∈ R, temos :
x < a ⇒ x – a < 0 ⇒ f´(x) > 0;
x > a ⇒ x – a > 0 ⇒ f´(x) < 0;
AC-02
240
Assim, x = a é um ponto de máximo local de f. O valor máximo de f
é: f(a) = .1ee 0)aa( 2
==−−
26. Obter os extremos absolutos de f (x) = x3 + x2 – x + 1 no
intervalo
−2
1,2 .
SOLUÇÃO:
Como f é derivável em
−2
1,2 ,
)3
1)(1(3123)(' 2 −+=−+= xxxxxf e os zeros de f ’ são os números -1 e
3
1.
Analisando a variação de sinal de f ’, temos
-1 1/3 x
f ’(x) + 0 - 0 +
Então -1 é ponto de máximo interior e 1/3 é ponto de mínimo
interior. Calculemos o valor de f nesses pontos críticos e nos
extremos do intervalo
−2
1,2 :
f (-2) = -8+4+2+1=-1, f (-1) = -1+1+1+1 = 2, e 8
71
2
1
4
1
8
1)
2
1( =+−+=f
O valor máximo absoluto de f no intervalo
−2
1,2 é o maior dos
números f (-2), )2
1(f e f (-1), portanto é f (-1) = 2.
O valor mínimo absoluto de f no intervalo
−2
1,2 é o menor do
números f (-2), )2
1(f e )
3
1(f , portanto é f (-2) = -1.
O gráfico da função ilustra o exposto.
AC-02
241
27. Verificar se f (x) = x4-4x3 tem extremante.
SOLUÇÃO:
f ’(x) = 4x3-12x2 tem raízes 0 e 3.
Analisemos a variação de sinal da função f ’(x)=4x3-12x2=4x2(x-3):
0 3 x
x2 + + +
x-3 - - +
f ’(x) - - +
Existem vizinhanças de 0 em que f ’(x)<0, portanto 0 não é
extremante de f . Há vizinhanças de 3 em que f ’(x) passa de
negativa a positiva, isto é, 3 é ponto de mínimo local.
O gráfico abaixo ilustra como varia a função f .
28. Quais são os extremantes da função f :]0,2¶[→ dada por f (x)
= 2 sen x + cos 2x ?
AC-02
242
SOLUÇÃO:
Calculando a derivada:
f ’(x) = 2 cos x – 2 sen 2x = 2 cos x – 4 sen x.cos x= = 2.cos x.(1
– 2 sen x)
Os valores de x que anulam f ’(x) são as raízes das equações cos x
= 0 e sen x = 2
1, isto é,
2
π,
2
3π,
6
π e
6
5π.
Analisando o sinal de f ’(x), temos:
0 π/6 π/2 5π/6 3π/2 2π x
cos x + + - - +
1–2senx + - - + +
f ’(x) + - + - +
Verificamos que 6
π e
6
5π são pontos de máximo local, enquanto
2
π e
2
3π são pontos de mínimo local.
O gráfico da função f confirma nossa análise.
29. Um triângulo está inscrito numa semi-circunferência de raio R.
Seus lados medem a, b e 2R. Calcular a e b quando a área do
triângulo é máxima.
AC-02
243
SOLUÇÃO:
Notemos primeiramente que numa semi-circunferência de raio R é
possível inscrever diferentes triângulos, todos retângulos.
Observemos que a e b, medidas dos catetos, variam de um triângulo
para outro e percorrem o intervalo ]0,2R[, isto é, 0<a<2R e
0<b<2R. Para um mesmo triângulo são verificadas as seguintes
relações:
S=2
ab e a2+b2=4R2
onde S é a área do triângulo.
Para determinarmos o máximo de S, devemos colocar S como função de
uma variável só (a ou b). Eliminando b, pois b= 22 aR4 − , temos:
S=2
1.ab=
2
1. 22 aR4 − =
2
1 422 aaR4 −
Provemos que S tem um ponto de máximo:
S’=2
1.
422
32
422
32
aaR4
aaR2
aaR42
a4aR8
−
−=
−
−
S’=0 ⇒ 2R2a-a3=0 ⇒ a=R 2
0<a<R 2 ⇒ a2<2R2 ⇒ a3<2R2a ⇒ S’>0
R 2 <a<2R ⇒ 2R2<a2 ⇒ 2R2a<a3 ⇒ S’<0
e, então, a= R 2 é um ponto de máximo local.
Conclusão: o triângulo de área máxima é aquele em que a= R 2 e
b= 22 24 RR − = R 2 , isto é, é um triângulo isósceles.
30. Um triângulo isósceles de base a está inscrito numa
circunferência de raio R. Calcular a de modo que seja máxima a
área do triângulo.
AC-02
244
SOLUÇÃO:
Seja ABC o triângulo isósceles de base a=AB e altura h=CE. Sua
área é dada pela fórmula
ah2
1S =
No triângulo retângulo BCD, a altura BE é medida geométrica entre
os segmentos que determina hipotenusa CD, então:
( ) ( )( )EDECBE 2 = ⇒ ( )hR2h2
a2
−= 2hRh22a −=
ah2
1S = = 2hRh2h − = 43 hRh2 −
Procuremos o valor máximo de S para 0 < h < 2R:
43
32
hRh22
h4Rh6'S
−
−= =
43
32
hRh2
h2Rh3
−
−
S’ = 0 ⇒ 0h2Rh3 32 =− ⇒ 2
R3h =
Como S = 0 para h = 0 ou h = 2R e
2
R3h = ⇒
16
R81
8
R27R2S
43
−= = 16
R27 4
= 4
R33 2
então 2
R3h = é ponto de máximo para S e, neste caso,
4
R9
2
R3R2a
2
−⋅= = 3R
31. Dada a função f(x)= x3 - 3x2, determine para quais valores de x
ela é crescente e para quais ela é decrescente.
AC-02
245
SOLUÇÃO:
A função f(x) = x3 - 3x2 tem derivada f’(x) = 3x2 - 6x,
Então 0≤x ou 2≥x ⇒ 0)(' ≥xf
x≤0 2≤ ⇒ 0)(' ≤xf
portanto:
f é crescente ⇔ 0≤x ou 2≥x
f é decrescente ⇔ x≤0 2≤
32. Determinar o conjunto dos valores de x para os quais a função
f(x) = x2 - loge x é crescente.
SOLUÇÃO:
Devemos calcular a derivada de f e determinar em que conjunto a
função f’ é não negativa. Temos:
f’(x)= 2x-x
1=
x
x 12 2 −
f’(x)≥ 0 ⇒ 012
≥−x
x ⇒ 0
2
2<≤− x ou
2
2≥x .
Lembrando que D(f)= +*, vem a resposta: f é crescente para
2
2≥x .
33. Como é o gráfico da função f(x)= cos x, para [ ]π2,0∈x ?
SOLUÇÃO:
Temos f’(x) = -sen x e f’’(x) = -cos x.
Notando que:
AC-02
246
f’’(x)< 0 ⇔ -cos x < 0 ⇔ 2
0π
≤≤ x ou ππ2
2
3≤< x
f’’(x)> 0 ⇔ -cos x > 0 ⇔ 2
3
2
ππ<< x
Concluímos que nos intervalos
2,0
π e
ππ
2,2
3 a curva tem
concavidade negativa e no intervalo
2
3,
2
ππ a concavidade é
positiva. Confira com o gráfico abaixo.
34. Como é a concavidade da curva y = x4 - 4x3?
SOLUÇÃO:
y = x4 - 4x3 ⇒ y’ = 4x3 - 12x2 ⇒ y’’ = 12x2 - 24x
Notando que y’’ = 12x (x-2), temos:
x<0 ou x>2 ⇒ y’’>0 ⇒ cavidade positiva
0<x<2 ⇒ y’’<0 ⇒ cavidade negativa
35. Determinar os pontos de inflexão do gráfico da função f: →
tal que f(x) = x4 - 2x3 - 12x2 + 12x - 5.
SOLUÇÃO:
Temos
f’(x) = 4x3 - 6x2 - 24x + 12
f’’(x) = 12x2 - 12x - 24
As raízes da equação f’’(x) = 0 e f’’’(-1) = -24 – 12 = -36 ≠ 0
portanto, 2 e -1 são abscissas de pontos de inflexão e esses
pontos são:
P = (2,f(2)) = (2,-29) e Q = (-1,f(-1)) = (-1,-26)
AC-02
247
9 - NOÇOES DE CÁLCULO INTEGRAL
9.1 - INTRODUÇÃO - ÁREA
Historicamente, foi da necessidade de calcular áreas de
figuras planas cujos contornos não são segmentos de reta que
brotou a noção de integral.
Por exemplo, consideremos o problema de calcular a área A
da região sob o gráfico da função f:[a,b] → R, onde f(x) > O {ver
Figura 9.1a).
Admitindo conhecida uma noção intuitiva de área de uma
figura plana, e ainda, que a área de um retângulo de base b e
altura h é b .h, vamos descrever um processo para determinar a
área A.
Se f(x) fosse constante e igual a k em [a,b], área
procurada seria a área de um retângulo e teríamos:
A = k .(b - a) {Fig. 9.1b)
Não sendo f(x) constante, dividimos o intervalo [a,b] em
sub-intervalos suficientemente pequenos para que neles f(x) possa
ser considerada constante com uma boa aproximação (Fig. 9 .1c).
Em cada sub-intervalo podemos calcular, aproximadamente, a
área sob o gráfico, calculando a área do pequeno retângulo que
fica determinado quando supomos f(x) constante; a área procurada
será, aproximadamente, a soma das áreas destes retângulos.
FIGURA 9.1 - Noção de Integral
AC-02
248
Vamos descrever mais precisamente o procedimento acima
relatado. A divisão de [a,b] em sub-intervalos é feita
intercalando-se pontos, x1, x2 ,..., xn-1 entre a e b como segue:
a = xo < x1 < x2 <... < xi-1 xi <...< xn-1 < xn = b
Os n sub-intervalos em que [a,b] fica dividido tem
comprimentos ∆ix = xi – xi-1, i = 1,2,..., n. Escolhemos 1x ∈ [xi-1,
xi] e supomos f(x) constante e igual a f( 1x ) em [xi-1, xi] =
1,2,..., n. Graficamente, temos:
FIGURA 9.2 - Aproximação da Integral
A área A é aproximadamente a soma das áreas dos retângulos,
e escrevemos:
A ≈ f( 1x )∆1x + f( 2x ) ∆2x +...+ f( ix )∆ix +...+ f( nx )∆nx ou
seja:
A soma que aparece no 2° membro das igualdades anteriores
se aproxima mais e mais da área procurada à medida em dividimos
mais e mais [a,b], não deixando nenhum sub-intervalo grande
demais.
De um modo geral, se f é uma função continua definida em
[a,b], o número de que as somas xxf i
n
i
i ∆∑=
)(1
se aproximam
xxfA i
n
i
i ∆≅∑=
)(1
AC-02
249
arbitrariamente à medida em que todos os ∆ix se tornam
simultaneamente pequenos é chamado integral de f em [a,b] e é
representado por ∫b
af(x)dx. Assim, podemos dizer que, sendo ∆ix
pequeno, i = 1,2, ...,n, temos a igualdade aproximada:
No caso da área A que estávamos calculando, podemos
escrever:
Em muitas outras situações não diretamente ligadas ao
cálculo de áreas, somos levados através de um raciocínio
semelhante ao exposto acima, a considerar uma função f definida em
[a,b], formar somas do tipos ( ) xxf i
n
i
i ∆∑=1
e determinar o número de
que tais somas se aproximam à medida em que os ∆ix diminuem, ou
seja, somos levados a um processo de integração. Estabelecer a
noção de integral desta forma geral é o que faremos no próximo
item.
9.2 - A INTEGRAL DEFINIDA
Vamos agora estabelecer de um modo geral a noção de
integral de uma função f definida em um intervalo [a,b].
9.2.1 - Partição
Uma partição de [a,b] é um conjunto Ρ = {xo, x1, x2, ...,
xi-1, xi, ..., xn} com xi ∈ [a,b], i = 1,2,...,n e a = xo < x1 < x2
<... < xi-1 < xi <... < xn = b
9.2.2 - Norma
Chamamos norma da partição o número u, máximo do conjunto
{∆1x, ∆2x, .., ∆ix, ..., ∆nx} onde ∆ix = xi - xi-1, i = 1,2,...,n.
∫b
a f(x)dx xxf i
n
i
i ∆≅∑=
)(1
A = ∫b
af(x)dx
AC-02
250
9.2.3 - Soma de Riemann
Sendo ix escolhido arbitrariamente no intervalo [xi-1, xi], i
= 1,2,...,n, a soma f( 1x )∆1x + f( 2x )∆2x +...+ f( ix )∆ix +...+
+ f( nx )∆nx ou seja ∑=
n
i 1
f( ix )∆ix se chama soma de Riemann de f em
[a,b] relativa à partição Ρ e à escolha feita dos xi.
9.2.4 - Função Integrável
Sob certas condições bem gerais, que estabeleceremos a
seguir, as somas de Riemann se aproximam arbitrariamente de um
número fixo I, quando a norma u da partição Ρ se torna cada vez
menor, independentemente das escolhas dos xi.
Em outras palavras, o limite da soma de Riemann, ,quando
u → 0 qualquer que seja a escolha dos 1x em [xi-1, xi] é o número
I.
Quando isto ocorre, dizemos que a função f é integrável em
[a,b] e I é a integral de f em [a,b]. Representamos, então:
Existe um Teorema do Cálculo Integral que nos fornece uma
condição geral da integrabilidade. Ele afirma que toda função
continua num intervalo [a,b] é integrável em [a,b].
9.3 - O CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA
Na seção de exercícios deste capítulo, apresentamos ao
leitor alguns exemplos de cálculo de áreas pela definição. Vê-se
que este é um método bastante trabalhoso se não dispusermos de uma
calculadora programável. Vamos agora procurar um processo para
calcular a integral de f em [a,b] sem termos que recorrer à
definição.
∫ =b
aIdxxf )(
AC-02
251
9.3.1 - PRIMITIVA
Seja I um intervalo e f uma função definida neste
intervalo. Uma função F: I → R, tal que
F'(x) = f(x), ∀x ∈ I
é denominada uma primitiva ou integral indefinida de f em I. f é
chamada o integrando.
Verificamos que, dada a primitiva, é fácil obter a função
integranda ou integrando: basta derivar a primitiva. O leitor não
terá dificuldade em perceber que se F(x) for uma primitiva de
f(x), então G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante real, também
será uma primitiva ou integral indefinida de f.
O símbolo ∫ f(x)dx, representa o conjunto de todas as
primitivas de f(x) , ou seja:
∫ f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R
Assim, por exemplo, se f(x) = x2, são primitivas de f as
funções 3
,3
33xx+5, ou, de um modo geral,
3
3x + C, e escrevemos:
∫ x2 dx =
3
3x + c
Outros exemplos: 1. ∫ x5 dx =
6
6x + c
2. ∫ ++
=+
cn
xdxx
nn
1
1
3. ∫ 1 dx = ∫ dx = x + c
4. ∫ cos x dx = sen x + c
5. ∫ sen x dx = -cos x + c
6. ∫ ex dx = ex + c
9.3.2 - CÁLCULO DA PRIMITIVA
Façamos agora o raciocínio inverso, isto é, dada a função
integranda ou integrando, obtenhamos a função primitiva. O
procedimento é mais complicado e existem diversas técnicas ou
"truques" para se obter a primitiva de uma função.
AC-02
252
Algumas primitivas são chamadas primitivas imediatas, pois
podem ser obtidas diretamente das fórmulas de derivação
apresentadas na Tabela 8.2, através da seguinte propriedade:
- se F é uma função derivável num intervalo I, tem-se que
F' admite primitiva e
∫ F'(x)dx = F(x) + C
ou seja, dada f (integrando), devemos pensar que f = F' e F é a
primitiva, ou seja, a primitiva é a função que derivada resulta em
f. Por exemplo:
Seja f(x) = 3x5 o integrando
f(x) = F'(x) = 1xc)cx(
dx
d −αα α=
então
=α=
⇔
=α=α
⇔
=−α=α
6
21c
6
3c
51
3c
então F(x) = c xα
F(x) = 1/2 x6
Uma primitiva genérica será do tipo 1/2 x6 + C
Como conseqüência de propriedades conhecidas para
derivadas, temos ainda:
Seguem mais alguns exemplos que ilustram a aplicação das
propriedades acima.
1- ∫ ++=∫+∫ =+ cxsen4
xdxxcosdxxdx)xcosx(
433
2 - ∫ +⋅=∫ ⋅= c4
x5dxx5dxx5
433
3 - cx72
x3dx)7x3(
2
++=∫ +
∫ ∫+∫ =+ dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
∫∫ ⋅=⋅ dx)x(fkdx)x(fk , k =constante ≠ 0
AC-02
253
4 - ∫ ++−=+ csenx4xcos3dxcos)4xsen3(
5 - ∫ +++=++ cx32
x5
3
xdx)3x5x(
232
Observe o leitor que qualquer uma das fórmulas acima é
facilmente justificada por derivação. Seja o resultado do exemplo
1 anterior:
xcosxc)xsen(4
xcxsen
4
x 3''
'4'4
+=++
=
++
Repare ainda que dado (x3 + cosx), o cálculo da primitiva
exigiu o conhecimento de duas primitivas imediatas.
A tabela a seguir será muito útil no cálculo de primitivas.
Deve ser usada como fonte de consulta, não necessita ser decorada.
AC-02
254
9.4 - ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Até agora determinamos ∫ f(x)dx utilizando as regras
derivação e algumas propriedades das derivadas. Entretanto, como
já dissemos, o cálculo de uma primitiva pode não ser uma tarefa
simples ou imediata. Vejamos alguns exemplos:
1 - cxsendxxcosx2 22 +=∫ ⋅
2 - c)1x(3
2dx1x.x2 3332 +−=−∫
3 - cxcosxsenxdxxcos.x ++=∫
4 - ceexdxe.x xxx +−=∫
Nestes casos, algumas técnicas são requeridas, a fim de
determinarmos a integral indefinida. Nestas noções iniciais sobre
integral, examinaremos duas: a integração por substituição e
integração por partes.
9.4.1 - Integração por Substituição
Consideremos o cálculo de uma primitiva de f(x)= 2x.cos x2.
Fazendo a substituição x2 = u(x), teremos u'(x) = 2x, e então f(x)
= u'(x)cos u(x) .Lembrando da regra da cadeia, do cálculo das
derivadas, uma primitiva de u'(x)cos u(x) é
c)x(usendx)x(ucos)x('u +=∫
De modo geral, se f(x) pode ser escrita na forma g(u) . u',
onde u = u(x), então uma primitiva de f(x) será obtida tomando-se
uma primitiva de g(u) e substituindo u por u(x), ou seja:
c))x(u(Gdx)x('u)u(gdx)x(f +=∫ ∫ ⋅=
onde G(u) é tal que G´(u)= g(u)
No caso dx1xx3 32 −∫ temos:
AC-02
255
u(x) = x3 -1, u'(x) = 3x2
c)1x(3
2c
2/3
)1x(
c2/3
udx'u.udx1xx3
332/33
2/332
+−=+−
=
=+=∫=−∫
9.4.2 - Integração por Partes
Sabemos que para a derivada de um produto u(x).v(x) vale a
equação:
(u(x).v(x))´, = u'(x)v(x) + v'(x) .u(x)
Assim, segue que uma primitiva de (u(x) .v(x))´ é igual à
soma de uma primitiva de u'(x)v(x) com uma primitiva de v'(x)
.u(x) (a menos de uma constante),ou seja:
∫ (u(x).v(x))' dx = ∫ v(x).u'(x) dx+ ∫ u(x).v'(x) dx
Mas uma primitiva de (u(x).v(x))' é u(x).v(x); logo:
Isto significa que,
e que, uma primitiva de v(x).u'(x) pode ser obtida através de uma
primitiva de u(x) .v'(x), caso isto seja conveniente.
Por exemplo, procuremos uma primitiva de x.ex, temos:
∫ x.ex = ∫ v(x).u'(x)dx
Como u'(x) = ex ⇒ u(x) = ex
v(x) = x ⇒ v'(x) = 1
∫ v(x).u'(x) dx = u(x) .v(x)- ∫ u(x).v'(x) dx
segue que
∫ x.ex = x.ex - ∫ e
x dx
= x.ex - ex + c
Um outro exemplo: procuremos ∫ x.cosx dx.
u(x) .v(x)= ∫ v(x) .u'(x)dx + ∫ u(x) .v'(x)dx
∫ v(x).u’(x)dx = u(x).v(x) - ∫ u(x).v'(x)dx
AC-02
256
Fazendo v(x) = x e u'(x) = cosx, segue que:
∫ x.cosx dx = ∫ v(x).u'(x)dx
Temos então: u'(x) = cosx ⇒ u (x) = senx
v(x) = x ⇒ .v'(x) = 1
Lembrando que ∫ v(x).u'(x)dx = u(x).v( x)- ∫ u(x).v'(x)dx
segue que
∫ x cosx dx = x.senx - ∫ senx dx = x.senx + cosx + c
Não existe uma regra geral para o cálculo de integrais
indefinidas, aplicável a todas as funções. Entretanto, utilizando
a tabela de primitivas imediatas e as técnicas acima apresentadas,
o leitor está capacitado a calcular um grande número delas.
Agora, apresentaremos o resultado que permitirá o cálculo
da integral definida sem precisarmos recorrer à definição.
O procedimento para determinar a ∫ba dx)x(f , onde f é uma
função continua em [a,b] deve ser o seguinte:
a - procuramos uma primitiva de f(x),que chamaremos F(x).
b - vale que ∫ba dx)x(f = F(b) - F(a).
OBS: O cálculo de integral, conforme apresentado, continua
valendo para f(x)<0. Neste caso associamos o conceito de área
negativa à área abaixo do eixo das abscissas. Por exemplo, para a
função f(x) da Figura 9.3 temos:
∫b
af(x)dx = A1 + (–A2)
FIGURA 9.3- Área "negativa"
AC-02
257
9.4.3 - Exemplos:
1)Faça uma estimativa da área A sob o gráfico de f(x) = 250
-10
2x , 0 ≤ x ≤ 50, dividindo o intervalo [0, 50] em sub-intervalos
de comprimento 10.
A área A terá o valor aproximado:
A ≅ xxfxxfxxfxxfxf 5544332211 )()()()(x ) ( ∆+∆+∆+∆+∆
Efetuando os cálculos, resulta:
A ≅ 8375
O valor correto, conforme veremos, é 83333
1 , sendo o erro
cometido da ordem de 0,5%, apesar do número de subdivisões ser tão
pequeno.
AC-02
258
2)Calcule, pela definição, a integral de f(x) = 5x + 7 em
[1, 5].
Solução :
Devemos calcular ,)75(5
1dxx +∫ como a função f(x) = 5x + 7 é
contínua em [1, 5], sabemos pelo Teorema de integrabilidade do
Cálculo Integral que a integral existe, pois a função é contínua
no intervalo de integração. Dividindo [1, 5] em n sub-intervalos
iguais e comprimento n
4 , temos:
xo = 1, x1 = 1 + n
4 , x2 = 1 + 2 n
4 , ..., xi-l = 1 +(i -1) n
4 ,
xi=1 + i. n
4 ,...,xn = 5
Escolhendo, por exemplo, em cada sub-intervalo, ix como
sendo o ponto médio, resulta:
ni
n
in
inxx
x ii
i
241
2
41)1(
41
2
1 −+=++−+
=+
= −
Segue que f( ix ) = 5 ix + 7 = 12 + n
in
1020− ,
nni
nxxf ii
4)
102012()( −+=∆ , ou seja
innn
xxf ii 22
804048)( +−=∆ , logo:
∑∑∑ ∑=== =
+−=+−=+−=∆n
i
n
i
n
i
n
i
ii inn
inn
nn
ninnn
xxf1
21
22221 1
.8040
48.8040
.48
.)804048
()(
como ,2
)1.(
1
+=∑
=
nni
n
i
resulta que
)1
.(4040
482
)1.(.
804048)(
21 n
n
n
nn
nnxxfi jj
n
i
++−=
++−=∆=∑
=
como ∆1x = ∆2x = ∆ix = ... = ∆nx = ,4
n a norma u será igual a
,4
n; logo quando u se aproxima de zero, temos:
a) n cresce arbitrariamente
b) ,4
n se aproxima de zero
c) n
n 1+ se aproxima de 1
AC-02
259
d) xxf i
n
i
i ∆∑=
)(1
se aproxima arbitrariamente do número
48-0+40.(1) ou seja:
u ≅ 0 ⇒ 88)(1
≅∆∑=
xxf i
n
i
i
temos, então:
De fato calculando a área sob o gráfico de
F(x)= 5x+7 entre x = 1 e x = 5
A = )2
3212(
+ . 4 = 88
3)Determine primitivas para as funções:
a) f(x) = x d) f(x) =2
1
1
x+
b) f(x) = 3
1
x e) f(x) =
2
21
x
x −
c) f(x) = x-2/5
Solução:
Lembrando das regras de derivação já estabelecidas, temos:
a) f(x) = x1/2 ;F(x) = 2/32/3
3
2
2/3x
x=
b) f(x) = x-3;F(x) = 2
2
2
1
2 x
x −−
−
−
c) f(x) = x-2/5;F(x)= 5/315/2
3
5
15
2x
x=
+−
+−
d) f(x) = 21
1
x+; xarctgxF =)(
e) f(x) = 1 - 2
1
x;
xxxF
1)( +=
Em cada caso. F(x) + c onde c é constante, também é uma
primitiva de f(x). Poderíamos escrever, genericamente: ,3
2 2/32/1cxdxx +=∫
etc.
∫ =+5
188)75( dx
AC-02
260
4)Calcule ∫2/π
ocos x dx.
Solução:
Uma primitiva de f(x) = cos x é F(x) = ∫ = xdxx sencos . Segue
que
102
cos2/
0=−=∫ sensendxx
ππ
Também costumamos indicar cálculos como segue:
1020
2cos
2/
0=−==∫ senxsendxx
πππ
5)Calcular ∫ xx
dx22 cossen
Solução: Observando que
xxxx 2222 sen
1
cos
1
cossen
1+=
vem
∫ xx
dx22 cossen= Cgxtgxdxxdxx +−=+ ∫∫ cotseccossec 22
6)Calcule ∫4
1( x2+5x-9)dx e interprete o resultado obtido.
Solução:
Temos F(x) = ∫ (-x2+5x-9)dx = - x
xx9
2
5
3
23
−+
∫4
1( x2+5x-9)dx = F(4) – F(1)
= (-2
21
6
63)
6
41()
3
52−=−=−−
O número -21/2 é o simétrico da medida da área indicada na
figura abaixo:
AC-02
261
Lembrando que a medida de uma área é um número sempre não
negativo). De um modo geral, se f(x)<0 em [a,b], resulta que:
-f(x)>0 em [a,b] e ∫ (-f(x))dx = - ∫ f(x)dx. Logo, se f(x) < 0 em
[a,b], ∫b
af(x)dx = - A, onde A é a área da região situada entre o
eixo x e o gráfico de f no intervalo [a,b].
7)Calcular ∫ (5x3 - x2 + l)dx.
Solução:
Tem-se
∫ (5x3- x2 + l)dx = ∫ 5x
3dx - ∫ x2dx + ∫ ldx = 5 ∫ x
3dx - ∫ x2dx + ∫ ldx =
Pela fórmula 1 da tabela 9.1 vem,
∫ (5x3- x2 + l)dx = Cx
xx++−
34.5
34
8)Calcular ∫ ( ) dxxa2
−
Solução:
Temos
( ) dxxa2
− = a-2 xxa +
logo,
∫ ( ) dxxa2
− = ∫ dxxdxxa2adxdx)xxa2a( ∫+∫ ∫ −−=+−
= ∫+∫∫ −⋅ xdxdxxa2dxa 2/1=
= Ca3
ax4
2
xxC
2
x
2
3
x.a2ax
22/3
+
+−=++−
9)Calcule ∫π2
osen x dx e interprete o resultado.
Solução:
Temos ∫ sen x dx = - cos x
∫π2
osen x dx = (-cos 2π)-(-cos 0) = -1 – (-1) = 0
AC-02
262
Como sen x ≥ 0 em [0, π] e sen x ≤ 0 em [π, 2π]
∫π
osen x dx = A1 (conforme a figura acima)
∫π
πsen x dx = -A2 (conforme a figura acima)
Como por simetria, sabemos que A1 = A2, segue que
∫π2
osen x dx = A1 + (-A2) = 0
1O)Calcule a área sob o gráfico de f(x) = x2 - 5x + 9, para
1 ≤ x ≤ 4.
Solução:
A área A será igual a ∫4
1)( dxxf
logo,
F(x)= xxx
dxxx 92
53
)95(23
2 +−=+−∫
)1F()4F()95(4
1
2 −=+−⇒ ∫ dxxx =
AC-02
263
= 2
21
6
41
3
52=−
11)Calcular as áreas da região compreendida entre as curvas
y = x2 e y = - x2 + 4x.
Solução:
Nos pontos de intersecção das curvas temos:
x2 = -x2 + 4x ⇒ 2 x2 – 4x = 0
⇒x = 0 ou x = 2
A área A pode ser calculada
assim,
A= dxxdxxx∫ ∫−+−2
0
22
0
2 )4(
ou equivalentemente
[ ]dxxxxA ∫ −+−=2
0
22 )()4(
temos, então dxxxA )42(2
0
2 +−= ∫
e segue que 2
4
3
2)42()(
232
0
2 xxdxxxxF +−=+−= ∫
e3
80)8
3
16()0()2( =−+−=−= FFA
12)Calcular J = dtt
ttt∫
−+2
352
Solução:
Tem-se
Ct
tntCt
tnt
dttdtt
tdtdtt
tdt
t
tdt
t
tJ
+++=+−
−+=
=−+=−+=
−
−
∫∫ ∫∫∫∫
25
2
15
152
52
22
1
2
2
3
222
3
ll
13)Calcule dxxex∫
Solução:
Fazendo
)()´(
1)´()(
==⇒==⇒=
∫ xxxedxexgexg
xfxxf
Logo, calculando a primitiva por partes, tem-se
2xy =
42 +−= xy
4
AC-02
264
CxeCexedxexedxxexxxxxx +−=+−=−= ∫∫ )1(.1
14)Calcular ∫ nxdxl
Solução:
Fazendo
=⇒=
=⇒=
xxgxgx
xfnxxf
)(1)('
1)(')( l
vem,
CnxxCxxnxdxxx
xnxxdxn +−=+−=−= ∫∫ )1(.1
llll
15)Calcular xdxnxnl∫
Solução:
Fazendo
+=⇒=
=⇒=+
1)()('
1)(')(
1
n
xxgxxg
xxfnxxf
nn
l
vem
Cn
nxn
x
Cn
x
nnx
n
x
dxn
x
xnx
n
xxdxnx
n
nn
nnn
+
+
−+
=
+++
−+
=
=+
−+
=
+
++
++
∫∫
1
1
1
1.
1
1
1
1
1
1
1
11
11
l
l
ll
16)Determine as primitivas indicadas:
a) ∫ 7.sen 7x dx d) ∫ (x + 1)17 dx
b) ∫ cos 3x dx e) ∫ esenx.cos x dx
c) ∫ ex2.x dx
Solução:
a) Fazendo u(x) = 7x, temos u’(x)= 7 e segue que
AC-02
265
∫ 7sen 7x dx = ∫ u’sen u dx = - cos u + c = -cos 7x + c
b) Fazendo u(x) = 3x, temos u’(x) = 3 e segue que
∫ cos 3x dx = 3
1 ∫ 3.cos 3x dx = 3
1 ∫ u’cos u dx = 3
1 sen u + c =
= cx
+3
3sen
c) Fazendo u(x) = x2, temos u’(x) = 2x e segue que:
cecedxuedxxedxxe xuuxx +=+=⋅=⋅=⋅ ∫∫∫222
2
1
2
1´
2
12
2
1
d) Fazendo u(x) = x + 1, temos u’(x) = 1 e segue que
∫ (x + 1)17 dx = ∫ u
17 u´dx = 18
18u + c = c
x+
+18
)1(18
e) Fazendo u(x) = sen x, segue que
∫ esen x cos x dx = ∫ e
u.u’ dx = eu + c = e sen x + c
17)Calcular ∫ (x3 + 1)4 3x2 dx
Solução:
Observando que f(x)dx = (x3 + 1)4 3x2 dx contém a função
t = x3 + 1 e sua diferencial dt = 3x2 dx,
tem-se
∫ (x3 + 1)4 3x2 dx = ∫ t
4 dt = 5
5t = + C
logo
∫ (x3 + 1)4 3x2 dx = C
x+
+5
)1(53
18)Ca1cular J = dxx
x∫
+15 4
3
Solução:
Chamando t = x4 + 1, tem se dt = 4x3 dx,
AC-02
266
logo,
CxCt
tt
dtdx
x
xJ
++=+=
===+
= ∫∫−
5 445
4
5
1
55 2
3
)1(16
5
5
44
1
4
1
4
1
1
4
4
1
19)Calcular J = dxxsen
x∫ 3
cos
Solução:
Chamando t = sen x, tem-se dt = cos x dx
logo
J = Cxsen
Ct
dttt
dt+−=+
−==
−−∫∫ 2
23
3 2
1
2
20)Calcular xdx∫ 2cos
Solução: Fazendo
f(x) = cos x => f'(x) = - sen x, e
g’(x) = cos x => g(x) = sen x
vem
xdxxxxdx ∫∫ += 22 sencossencos
Substituindo sen2x = 1 – cos2 x tem-se
∫ cos2x dx = sen x cosx + ∫ (1 - cos
2x)dx
ou seja,
∫ cos2x dx = senx cosx + x - ∫ cos
2x dx
Logo,
2 ∫ cos2x dx = senx cosx + x + C1
ou,
∫ cos2x dx =
2
x +
2
cossen xx + C )
2( 1CC =
AC-02
267
21)Calcular a área limitada pela parábola f(x) = 6 + x - x2
, pelo eixo Ox, e pelas retas x = -2 e x = 3
Solução:
Tem-se
A(F)=
=
−+=∫ −+
−−
3
2
3232
2
3
x
2
xx6dx)xx6(
6
520
6
125
3
82129
2
918 ⋅==
++−−
−+=
![6WUX Qì S IHKOHG GRVDYDGQtKR SU [E KX SURMHNWXfiles.ivanhoracek.com/200000132-3f18b40129/Kalon12ok2RED.pdfQt]Ni 5HOHYDQWQt LQIRUPDFH MVRX N GLSRVLFL SRX]H R U []QìFK DVSHNWHFK SRWUDYQt](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/60c609a9f6d0d402d63be78c/6wux-q-s-ihkohg-grvdydgqtkr-su-e-kx-qtni-5hohydqwqt-lqirupdfh-mvrx-n-glsrvlfl.jpg)
