Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla gimnazjum. Klasa 2pdf.helion.pl/podrg2/podrg2.pdf · Układy równań (s. 289) ... jest krawędzi plus dwa. ... korzystając z twierdzenia

Embed Size (px)

Text of Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla gimnazjum. Klasa 2pdf.helion.pl/podrg2/podrg2.pdf ·...

  • Kup ksik Pole ksik Oce ksik

    Ksigarnia internetowa Lubi to! Nasza spoeczno

    http://helion.pl/rt/podrg2http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/ro/podrg2http://helion.plhttp://ebookpoint.pl/r/4CAKF

  • 3

    Spis treci

    Od autorek (s. 7)

    1. Okrg i koo (s. 9)1.1. Kt rodkowy (s. 10)

    Kt wpisany. Treci nadobowizkowe (s. 14)

    Zadania utrwalajce (s. 17)

    1.2. Dugo okrgu (s. 20)

    Zadania utrwalajce (s. 23)

    1.3. Pole koa (s. 24)

    Zadania utrwalajce (s. 26)

    1.4. Dugo uku. Pole wycinka koowego (s. 28)

    Zadania utrwalajce (s. 32)

    1.5. Wzajemne pooenie dwch okrgw (s. 33)

    Zadania utrwalajce (s. 36)

    1.6. Styczna do okrgu (s. 39)

    Zadania utrwalajce (s. 41)

    Zadania do rozwizywania w grupie (s. 43)

    1.7. Krok do egzaminu (s. 44)

    2. Funkcje (s. 51)2.1. Pojcie funkcji (s. 52)

    Zadania utrwalajce (s. 56)

    2.2. Wykres funkcji (s. 58)

    Zadania utrwalajce (s. 62)

    2.3. Wasnoci funkcji (s. 64)

    Zadania utrwalajce (s. 73)

    Zadanie do rozwizywania w grupie (s. 76)

    2.4. Krok do egzaminu (s. 77)

    3. Ukady rwna (s. 85)3.1. Rwnanie z dwiema niewiadomymi (s. 86)

    Zadania utrwalajce (s. 88)

    3.2. Budowanie ukadw rwna. Liczby speniajce ukad rwna (s. 90)

    Zadania utrwalajce (s. 93)

    3.3. Rozwizywanie ukadw rwna metod podstawiania (s. 96)

    Zadania utrwalajce (s. 99)

    STR_RED\\PODRG2_002red.pdf

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 4 Spis treci

    3.4. Rozwizywanie ukadw rwna metod przeciwnych wspczynnikw (s. 101)

    Zadania utrwalajce (s. 106)

    3.5. Rozwizywanie ukadw rwna (s. 106)

    Zadania utrwalajce (s. 108)

    3.6. Rozwizywanie zada tekstowych (s. 109)

    Zadania utrwalajce (s. 114)

    Zadania do rozwizywania w grupie (s. 116)

    3.7. Krok do egzaminu (s. 116)

    4. Potga i pierwiastek (s. 123)4.1. Potga o wykadniku naturalnym (s. 124)

    Zadania utrwalajce (s. 126)

    4.2. Potga o wykadniku cakowitym (s. 127)

    Zadania utrwalajce (s. 129)

    4.3. Dziaania na potgach (s. 131)

    Zadania utrwalajce (s. 133)

    4.4. Notacja wykadnicza (s. 134)

    Zadania utrwalajce (s. 139)

    4.5. Pierwiastek kwadratowy i szecienny (s. 141)

    Zadania utrwalajce (s. 146)

    4.6. Wasnoci pierwiastkowania (s. 147)

    Zadania utrwalajce (s. 149)

    4.7. Dziaania na pierwiastkach (s. 151)

    Treci nadobowizkowe (s. 154)

    Zadania utrwalajce (s. 155)

    Zadania do rozwizywania w grupie (s. 156)

    4.8. Krok do egzaminu (s. 156)

    5. Twierdzenie Pitagorasa (s. 163)5.1. Twierdzenie Pitagorasa (s. 164)

    Zadania utrwalajce (s. 171)

    5.2. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (s. 174)

    Zadania utrwalajce (s. 178)

    5.3. Trjkty o ktach 45, 45, 90 i 30, 60, 90 (s. 180)

    Zadania utrwalajce (s. 183)

    5.4. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczania

    dugoci odcinkw w graniastosupach prostych (s. 186)

    Zadania utrwalajce (s. 189)

    Zadania do rozwizywania w grupie (s. 190)

    5.5. Krok do egzaminu (s. 191)

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 5Spis treci

    6. Ostrosupy (s. 199)6.1. Wasnoci ostrosupw (s. 200)

    Zadania utrwalajce (s. 205)

    6.2. Pole powierzchni cakowitej ostrosupa (s. 208)

    Zadania utrwalajce (s. 213)

    6.3. Objto ostrosupa (s. 215)

    Zadania utrwalajce (s. 217)

    6.4. Przekroje ostrosupw. Treci nadobowizkowe (s. 219)

    Zadania utrwalajce (s. 222)

    Zadania do rozwizywania w grupie (s. 224)

    6.5. Krok do egzaminu (s. 225)

    7. Symetrie (s. 231)7.1. Symetria wzgldem prostej (s. 232)

    Zadania utrwalajce (s. 236)

    7.2. O symetrii fi gur (s. 238)

    Zadania utrwalajce (s. 240)

    7.3. Symetralna odcinka, dwusieczna kta (s. 241)

    Zadania utrwalajce (s. 244)

    7.4. Symetria wzgldem punktu (s. 244)

    Zadania utrwalajce (s. 248)

    7.5. rodek symetrii fi gury (s. 249)

    Zadania utrwalajce (s. 252)

    7.6. Figury symetryczne w prostoktnym ukadzie wsprzdnych (s. 253)

    Zadania utrwalajce (s. 255)

    7.7. Krok do egzaminu (s. 256)

    8. Statystyka (s. 263)8.1. Odczytywanie oraz tworzenie wykresw i diagramw (s. 264)

    Zadania utrwalajce (s. 269)

    8.2. rednia arytmetyczna, mediana i moda (s. 270)

    Zadania utrwalajce (s. 272)

    8.3. Krok do egzaminu (s. 273)

    Odpowiedzi (s. 281) Rozdzia 1. Okrg i koo (s. 281)

    Rozdzia 2. Funkcje (s. 282)

    Rozdzia 3. Ukady rwna (s. 289)

    Rozdzia 4. Potga i pierwiastek (s. 291)

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 6 Spis treci

    Od autorek

    Niniejszy podrcznik, ktry jest kontynuacj serii Matematyka Europejczyka bdzie towarzyszy Ci w kolejnym roku szkolnym. Mamy nadziej, e okae si dla Ciebie przyjazny, pomoe bez trudu przyswoi nowe treci, naby umiejtnoci potrzebne kademu gimnazjalicie oraz usystematyzowa i poszerzy wiedz. Wiele rozwiza-nych przykadw uatwi Ci zrozumienie materiau nauczania zaprezentowanego w pod-rczniku, a zadania, nawizujce do sytuacji praktycznych, pozwol doceni szerokie zastosowania matematyki. W ksice znajdziesz nastpujce oznaczenia:

    wane pojcia i zagadnienia,

    zadanie trudniejsze,

    zadanie z uyciem kalkulatora,

    Rozdzia 5. Twierdzenie Pitagorasa (s. 294)

    Rozdzia 6. Ostrosupy (s. 296)

    Rozdzia 7. Symetrie (s. 297)

    Rozdzia 8. Statystyka (s. 298)

    Wzory wystpujce w podrczniku (s. 301)

    Fotografie (s. 305)

    Indeks waniejszych terminw (s. 306)

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 6.1. Wasnoci ostrosupw (s. 200)

    Zadania utrwalajce (s. 205)

    6.2. Pole powierzchni cakowitej ostrosupa (s. 208)

    Zadania utrwalajce (s. 213)

    6.3. Objto ostrosupa (s. 215)

    Zadania utrwalajce (s. 217)

    6.4. Przekroje ostrosupw (treci nadobowizkowe) (s. 219)

    Zadania utrwalajce (s. 222)

    Zadania do rozwizywania w grupie (s. 224)

    6.5. Krok do egzaminu (s. 225)

    6. OSTROSUPY

    IKO

    NY kalkulatorzadanie trudniejsze

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 200 Rozdzia 6. Ostrosupy

    6.1. Wasnoci ostrosupw

    Najczciej ostrosupy s kojarzone z piramidami. Oto przykady budowli w kszta-cie ostrosupw.

    Najsynniejsza piramida wiata piramida Cheopsa ma podstaw w ksztacie kwadratu o boku 230 m i wysoko rwn 147 m.

    Najbardziej znanym grobowcem w ksztacie piramidy jest budowla z 1811 r. w mazurskiej wsi Rapa.

    Ta piramida ma okoo 10 m wysokoci i podstaw w ksztacie kwadratu o boku dugoci 12 m (jest to miniatura piramidy Cheopsa).

    Piramida w fontannie na Rynku Gwnym w Krakowie.

    Piramida Cestiusza monumentalny grobowiec Gajusza Cestiusza Epulona.

    W Koczurkach zbudowano piramid z drewna bez uycia gwodzi.

    Przykad 6.1. Wska rysunki, ktre przedstawiaj ostrosup.

    a) b) c) d)

    e) f) g) h)

    Ostrosupami s wielociany na rysunkach b) i e).

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2016.1. Wasnoci ostrosupw

    6.1. Wasnoci ostrosupw

    Najczciej ostrosupy s kojarzone z piramidami. Oto przykady budowli w kszta-cie ostrosupw.

    Najsynniejsza piramida wiata piramida Cheopsa ma podstaw w ksztacie kwadratu o boku 230 m i wysoko rwn 147 m.

    Najbardziej znanym grobowcem w ksztacie piramidy jest budowlaz 1811 r. w mazurskiej wsi Rapa.

    Ta piramida ma okoo 10 m wysokoci i podstaw w ksztacie kwadratu o boku dugoci 12 m (jest to miniatura piramidy Cheopsa).

    Piramida w fontannie na Rynku Gwnym w Krakowie.

    Piramida Cestiusza monumentalny grobowiec Gajusza Cestiusza Epulona.

    W Koczurkach zbudowano piramid z drewna bez uycia gwodzi.

    Ostrosupami s wielociany na rysunkach b) i e).

    Ostrosup to wielocian, ktrego podstawa jest dowolnym wieloktem, a ciany boczne s trjktami o wsplnym wierzchoku.

    Przyjrzyj si rysunkowi, na ktrym znajduje si ostrosup o podstawie czworokta. Podaj liczb wszystkich jego wierzchokw oraz liczb cian i liczb krawdzi.

    Przykad 6.2. Sprawd, czy regua Eulera jest prawdziwa dla ostrosupw.

    Utworzyam tabel, w ktrej umieciam dane dotyczce ostrosupw potrzebne do sprawdzenia reguy Eulera.

    Rodzaj ostrosupa Liczba cian bocznychLiczba

    cian (S)Liczba

    wierzchokw (W)Liczba

    krawdzi (K)o podstawie trjkta 3 4 4 6o podstawie czworokta 4 5 5 8o podstawie szeciokta 6 7 7 12o podstawie n-kta n n + 1 n + 1 2n

    Regua Eulera jest prawdziwa dla kadego ostrosupa.

    Sprawdziem regu dla ostrosupa o podstawie trjkta: i .

    Dla ostrosupa o podstawie czworokta mamy: i , a dla ostrosupa o podstawie n-kta: i .

    Regua Eulera: W wielu wielocianach, w tym w graniastosupach, cian i wierzchokw jest razem dokadnie tyle, ile jest krawdzi plus dwa.

    ciana bocznakrawd boczna

    wierzchoek

    krawd podstawy

    podstawa

    Liczba wszystkich wierzchokw tego ostrosupa jest rwna pi. Ten ostrosup ma pi cian i osiem krawdzi.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 202 Rozdzia 6. Ostrosupy

    Wielokt bdcy podstaw ostrosupa Nazwa ostrosupatrjkt ostrosup trjktnyczworokt ostrosup czworoktnyszeciokt ostrosup szecioktny

    Ostrosup, ktrego podstaw jest wielokt foremny i wszystkie krawdzie boczne tego ostrosupa s rwnej dugoci jest ostrosupem prawidowym.

    a

    b

    b

    b

    aaa

    a

    a

    a

    b

    b

    bb

    Ostrosup prawidowy trjktny podstaw jest trjkt rwnoboczny.

    Ostrosup prawidowy czworoktny podstaw jest kwadrat.

    Nazw ostrosupa formuuje si w zalenoci od tego, jaka figura jest jego podstaw.

    Nazw ostrosupa prawidowego formuuje si w zalenoci od tego, jaki wielokt foremny jest jego podstaw.

    Ostrosup o podstawie trjkta nazywamy czworocianem.

    Ostrosup, ktrego wszystkie ciany s przystajcymi trjktami rwnobocznymi, nazywamy czworocianem foremnym.

    a

    a

    aa

    a

    a

    Wszystkie krawdzie czworocianu foremnego maj t sam dugo.

    W yciu spotykamy przedmioty w ksztacie ostrosupa. Jednym z nich jest pryzmat, dziki ktremu mona oglda zjawisko rozszczepienia wiata biaego.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2036.1. Wasnoci ostrosupw

    Przykad 6.3. Oblicz sum dugoci wszystkich krawdzi poniszych ostrosu-pw prawidowych.

    a)

    BA

    C

    W b)

    BA

    W

    D C

    c)

    BA

    W

    CFDE

    AW 6 cm=

    AB 3,5 cm=

    AW 8 cm=

    AB 9 dm=

    AW 17 dm=

    a) 3 7 3 6 39 + =Suma dugoci wszystkich krawdzi ostrosupa prawidowego trjktnego jest rwna 39 cm.

    b) 4 3,5 4 8 46 + =Suma dugoci wszystkich krawdzi ostrosupa prawidowego czworoktnego jest rwna 46 cm.

    c) 6 9 6 17 156 + =Suma dugoci wszystkich krawdzi ostrosupa prawidowego szecioktnego jest rwna 156 dm.

    CiekawostkaPryzmat brya z przezroczystego materiau o co najmniej dwch cianach paskich nachylonych do siebie pod pewnym ktem (tzw. ktem amicym pry-zmatu). Uywana jest w optyce do zmieniania kie-runku biegu fal wietlnych. Dziki temu, e zmiana kierunku zaley od dugoci fali, pryzmat jest stoso-wany w analizie widmowej wiata. Zjawisko ca-kowitego wewntrznego odbicia pozwala uy pryzmatu jako idealnego elementu odbijajcego wiato. Pryzmaty wykorzystywane s w produkcji wielu urzdze optycz-nych, np. lornetek czy peryskopw.rdo: www.wikipedia.com.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 204 Rozdzia 6. Ostrosupy

    H H H

    HH

    H

    Przykad 6.4. Oblicz dugo wysokoci ostrosupa o podstawie prostokta o bo-kach dugoci 8 cm i 6 cm. ciany boczne ostrosupa s trjktami rwnoramien-nymi, ktrych ramiona maj dugo 13 cm.

    W ostrosupie o podstawie prostokta i wszystkich krawdziach bocznych jednako-wej dugoci wysoko ostrosupa jest odcinkiem czcym wierzchoek ostrosupa z punktem przecicia si przektnych jego podstawy.

    W danym ostrosupie wyznaczamy trjkt prostoktny, ktrego przeciwprostoktn jest krawd boczna ostrosupa, a przyprostoktnymi s wysoko ostrosupa i poowa przektnej podstawy.

    13 cm

    8 cm

    6 cm

    H

    Korzystajc z twierdzenia Pitagorasa, obli-czamy dugo przektnej podstawy.

    2 2d 8 6 100 10= + = =

    Wysokoci ostrosupa jest odcinek czcy wierzchoek ostrosupa z paszczyzn podstawy i prostopady do tej paszczyzny. Wysokoci ostrosupa nazywamy take dugo tego odcinka i oznaczamy j liter H.

    H

    1122

    3344

    5566

    7788

    991010

    11111212

    H

    Wysoko jest prostopada do kadej przektnej podstawy.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2056.1. Wasnoci ostrosupw

    Nastpnie wyznaczamy dugo wysokoci ostrosupa, korzystajc z twierdzenia Pitagorasa.

    2 2 2H 5 13+ = 2H 169 25 144= =

    H 144 12= =

    Wysoko tego ostrosupa ma dugo rwn 12 cm.

    Przykad 6.5. Krawd boczna ostrosupa prawidowego czworoktnego ma du-go 7 cm. Oblicz dugo wysokoci tego ostrosupa, jeeli kt midzy krawdzi boczn ostrosupa a przektn jego podstawy ma miar 60.

    Krawd boczna, wysoko ostrosupa i poowa przektnej podstawy tworz trjkt bdcy poow trjkta rwnobocznego.

    7 cm

    a

    d a

    H

    60

    7d =3H

    2d=

    H 3,5 3=

    Dugo wysokoci tego ostrosupa jest rwna 3,5 3 cm.

    Zadania utrwalajce

    1 Podaj, ile wierzchokw, krawdzi i cian ma ostrosup: a) o podstawie trjkta, b) o podstawie trapezu rwnoramiennego, c) omioktny, d) dwudziestoktny.

    2 Podstaw ostrosupa jest studwudziestokt. Ile krawdzi i ile wierzchokw ma ten ostrosup?

    3 W ostrosupie suma liczby wszystkich cian, wierzchokw i krawdzi jest rwna 50. Jaki wielokt jest podstaw tego ostrosupa?

    13 cm

    5 cm

    H

    d

    7 cm

    12

    H

    60

    W ostrosupie prawidowym czworoktnym wysoko os-trosupa jest odcinkiem czcym wierzchoek ostrosupa z punktem przecicia si przektnych jego podstawy.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 206 Rozdzia 6. Ostrosupy

    4 Ostrosup ma 12 cian bocznych. a) Podaj liczb jego wierzchokw. b) Podaj liczb jego krawdzi. c) Podaj nazw tego ostrosupa.

    5 Oce prawdziwo zda.

    a) Jeeli ostrosup ma 12 wierzchokw, to liczba jego krawdzi jest rwna 36.

    b) Jeeli ostrosup ma 16 cian,to liczba jego wierzchokw jest rwna 36.

    c) Jeeli suma liczby wierzchokw i cian ostrosupa jest rwna 12, to liczba krawdzi jest rwna 10.

    d) Jeeli ostrosup ma 14 krawdzi, to liczba jego cian jest rwna 8.

    6 Podaj nazw wielokta bdcego podstaw ostrosupa, ktry ma: a) 9 cian, b) 18 wierzchokw, c) 30 krawdzi.

    7 Podaj nazwy ostrosupw przedstawionych na rysunkach.

    b b

    ba

    a a

    ac c

    c c

    c

    c

    a

    a a

    a

    b

    b

    bb

    k k

    k

    k

    k

    k

    a) b)

    d) e)

    c)

    TAK NIE

    TAK NIE

    TAK NIE

    TAK NIE

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2076.1. Wasnoci ostrosupw

    8 Pocz nazw ostrosupa i wielokt bdcy jego podstaw. Krawdzie boczne podanych ostrosupw s rwnej dugoci.

    aa

    a

    aa

    a

    a

    a a

    aa

    a

    a

    a

    a

    I.

    IV. V. VI.

    II.III.

    A. ostrosup trjktny B. ostrosup szecioktnyC. ostrosup prawidowy czworoktny D. ostrosup prawidowy picioktnyE. ostrosup prawidowy trjktny F. ostrosup prawidowy szecioktny

    9 Oblicz sum dugoci wszystkich krawdzi ostrosupw prawidowych.

    9 cm

    13 cm

    6 cm

    8 cm

    4 cm

    6 cm

    4 cm

    7 cm

    a) b) c) d)

    10 Jak dugo ma krawd czworocianu foremnego, w ktrym suma dugoci wszystkich krawdzi jest rwna 42 cm?

    11 Jak dugo ma krawd boczna ostrosupa prawidowego czworoktnego, w ktrym krawd podstawy ma dugo 5 cm, a suma dugoci wszystkich kraw-dzi jest rwna 73 cm?

    12 Oblicz dugo wysokoci ostrosupa prawidowego czworoktnego, w ktrym krawd boczna o dugoci 12 cm jest nachylona do podstawy pod ktem 30.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 208 Rozdzia 6. Ostrosupy

    13 W kadym z ostrosupw krawdzie boczne maj rwne dugoci. Oblicz du-go wysokoci ostrosupa:

    a) o podstawie kwadratu, b) o podstawie prostokta, c) o podstawie szeciokta foremnego.

    10 cm

    10 cm

    13 cmH

    8 cm6 cm

    10 cm

    H

    4 cm

    6 cm6 cm H

    Aby otrzyma siatk ostrosupa naley rozci np.: kartonowy model ostrosupa wzdu odpowiednich krawdzi.

    Rozciam model ostrosupa prawidowego czworoktnego wzdu jego krawdzi bocznych i otrzymaam tak siatk.

    6.2. Pole powierzchni cakowitej ostrosupa

    Wskazwka: W ostrosupie prawidowym szecioktnym wysoko ostrosupa jest odcinkiem czcym wierzchoek ostrosupa z punktem przecicia si duszych prze-ktnych jego podstawy.

    CiekawostkaPiramida z Luwru konstrukcja ze stali i szka znajdujca si na dziedzicu Luwru w Paryu. Po-mysodawc zbudowania piramidy by prezydent Francji Franois Mitterrand. Projekt konstrukcji wykona Leoh Ming Pei. Piramida ma 20,6 m wy-sokoci, a bok podstawy ma dugo 35 m. rdo: www.wikipedia.pl.

    14 Ja wykona makiet pi-ramidy z Luwru w Paryu w skali 1:250. Piramida ta ma ksztat ostrosupa prawid-owego czworoktnego. Ob-licz dugo wysokoci ciany bocznej tej makiety. Wynik podaj w zaokrgleniu do ca-kowitej liczby centymetrw.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2096.2. Pole powierzchni cakowitej ostrosupa

    Przykad 6.6. Wska rysunek, ktry przedstawia siatk: a) czworocianu, b) ostrosupa prawidowego czworoktnego.

    I. II. III. IV.

    Na rysunku I znajduje si siatka czworocianu foremnego, a na IV ostrosupa pra-widowego czworoktnego.

    Przykad 6.7. Nazwij ostrosup, ktrego siatk przedstawia rysunek.

    aa

    a

    b b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    a

    aa

    a

    b c

    c

    b

    c

    c

    d

    d

    a

    a) b)

    a) ostrosup prawidowy czworoktny b) ostrosup czworoktny

    a

    a

    bb bb

    aa

    a

    a

    bdc

    c

    aa

    Ja rozciem model wzdu jednej krawdzi bocznej i trzech krawdzi podstawy.

    6.2. Pole powierzchni cakowitej ostrosupa

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 210 Rozdzia 6. Ostrosupy

    Przykad 6.8. Oblicz pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego czwo-roktnego o krawdzi podstawy dugoci 6 cm i wysokoci ciany bocznej dugoci 10 cm.

    Pole powierzchni cakowitej ostrosupa to suma pl wszystkich wieloktw, z ktrych zbudowana jest siatka tego ostrosupa, czyli suma pl wszystkich jego cian.

    Naley obliczy pole podstawy oraz pola czterech przystajcych cian bocznych.

    6 cm

    10 cm

    6 cm

    Obliczam pole podstawy, czyli pole kwadratu.

    2pP 6 36= =

    ciany boczne s trjktami. Obliczam pole powierzchni bocznej.

    Pole powierzchni cakowitej tego ostrosupa jest rwne 156 cm2.

    s6 10P 30

    2= =

    b sP 4 P 4 30 120= = =

    c p bP P P 36 120 156= + = + =

    Pole powierzchni cakowitej ostrosupa jest sum pl jego podstawy i wszystkich cian bocznych. Moemy to zapisa za pomoc wzoru:

    c p bP P P= + ,

    gdzie: Pc oznacza pole powierzchni cakowitej, Pb oznacza pole powierzchni bocznej, Pp oznacza pole powierzchni podstawy.

    Przykad 6.9. Oblicz pole powierzchni cian bocznych ostrosupa, ktrego pod-staw jest prostokt o wymiarach 6 cm8 cm. Wszystkie krawdzie boczne s rwne i maj dugo 5 5 cm.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2116.2. Pole powierzchni cakowitej ostrosupa

    6 cm

    8 cm

    h1h2

    5 5 cm

    Aby obliczy pole powierzchni bocznej, naley wy-znaczy dugoci wysokoci cian bocznych.

    cianami bocznymi tego ostrosupa s dwie pary przystajcych trjktw.

    Wyznaczamy wysokoci cian bocznych, korzystajc z twierdzenia Pitagorasa.

    ( )22 21h 4 5 5+ =2

    1h 16 125+ =2

    1h 109=

    1h 109= 2h 2 29=

    8 cm

    h1

    6 cm

    h2

    Obliczamy pole powierzchni bocznej tego ostrosupa.

    b8 109 6 2 29P 2 2 8 109 12 29

    2 2 = + = +

    ( )bP 4 2 109 3 29= + Pole powierzchni bocznej ostrosupa jest rwne ( ) 24 2 109 3 29 cm+ cm2.Przykad 6.10. Oblicz pole powierzchni cakowitej czworocianu foremnego o boku dugoci a.

    Czworocian foremny to ostrosup, ktrego wszystkie ciany s przystajcymi trjktami rwnobocznymi.

    Obliczamy pole powierzchni jednej ze cian.2

    s3P

    4a=

    Otrzymujemy pole powierzchni cakowitej czworocianu foremnego.

    22

    c3P 4 3

    4a a= =

    a a

    a a a a

    aa

    a

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 212 Rozdzia 6. Ostrosupy

    Przykad 6.11. Oblicz pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego sze-cioktnego, ktrego wysoko o dugoci 9 cm tworzy z krawdzi boczn kt 45.

    bbh

    a12 a12

    H45

    H45

    b

    aaa

    H

    a

    hbb

    9 a =

    9 2b = Ostrosup prawidowy sze-cioktny ma sze cian bocznych, ktre s przy-stajcymi trjktami rwnoramiennymi.

    Krawd boczna, wysoko ostrosupa i poowa przektnej podstawy tworz trjkt bdcy poow kwadratu.

    Wykorzystujemy twierdzenie Pitagorasa.2

    2 212

    a h b + = Podstawiamy dugoci odpowiednich odcinkw i otrzymujemy ponisze rwnanie.

    ( )2

    229 9 2

    2h + =

    281 1624

    h+ =

    2 1162 204

    h =

    2 31414

    h =

    5674

    h =

    9 72

    h =

    Obliczamy pole jednej ciany. s1 9 7 81 7P 92 2 4

    = =

    Podstaw tego ostrosupa jest szeciokt foremny.2

    p9 3 243 3P 6

    4 2= =

    Obliczamy pole powierzchni cakowitej.

    ( )c 243 3 81 7 243 3 243 7 243P 6 3 72 4 2 2 2= + = + = +Pole powierzchni cakowitej tego ostrosupa jest rwne ( ) 2243 3 7 cm2 + . Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2136.2. Pole powierzchni cakowitej ostrosupa

    Zadania utrwalajce

    1 Dobierz odpowiedni dugo odcinka, tak aby zdanie byo prawdziwe. Uzasad-nij swj wybr.

    a) Jeeli dugo wysokoci ostrosupa prawido-wego trjktnego ma 12 cm, to wysoko ciany bocznej moe mie dugo:

    8 cm 12 cm 14 cm

    b) Jeeli krawd podstawy ostrosupa prawido-wego czworoktnego ma dugo 8 cm, to wyso-ko ciany bocznej moe mie dugo:

    2 cm 4 cm 6 cm

    c) Jeeli krawd podstawy ostrosupa prawido-wego szecioktnego ma dugo 4 cm, to kra-wd boczna moe mie dugo:

    3 cm 4 cm 5 cm

    d) Jeeli krawd boczna ostrosupa prawidowego czworoktnego ma dugo 8 cm, to wysoko ciany bocznej moe mie dugo:

    6 cm 8 cm 10 cm

    2 Narysuj siatki opisanych poniej bry, a nastpnie wytnij je i wklej podstawami do zeszytu. a) Czworocian foremny o krawdzi dugoci 6 cm. b) Ostrosup prawidowy czworoktny o krawdzi podstawy dugoci 4 cm i wy-

    sokoci ciany bocznej dugoci 8 cm. c) Ostrosup prawidowy trjktny, w ktrym krawdzie podstawy maj dugo

    6 cm, a kada krawd boczna ma dugo 5 cm.

    3 Oblicz pole powierzchni cakowitej czworocianu foremnego o krawdzi du-goci: a) 3 cm, b) 12 dm, c) 1,5 m.

    4 Oblicz pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego czworoktnego o krawdzi podstawy dugoci 4 cm i wysokoci ciany bocznej dugoci 8 cm.

    5 Oblicz pole powierzchni cakowitej czworocianu prawidowego o krawdzi bocznej dugoci 5 cm i krawdzi podstawy dugoci: a) 2 cm, b) 6 cm, c) 0,8 dm.

    6 Oblicz dugo krawdzi czworocianu foremnego, jeeli jego pole powierzchni cakowitej jest rwne: a) 236 3 cm , b) 24 3 dm , c) 275 3 m .

    7 Oblicz pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego szecioktnego o krawdzi podstawy dugoci 6 cm, jeeli: a) kt zawarty pomidzy krawdzi boczn i dusz przektn podstawy

    ma miar 60, b) kt zawarty pomidzy krawdzi boczn i dusz przektn podstawy

    ma miar 45. Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 214 Rozdzia 6. Ostrosupy

    8 Oblicz pole powierzchni ostrosupa prawidowego, ktrego siatk przedsta-wiono na rysunku.

    6.3. Objto ostrosupa

    9 Oblicz pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego czworoktnego o krawdzi podstawy dugoci 10 cm, jeeli: a) kt pomidzy krawdzi boczn i przektn podstawy ma miar 60, b) kt pomidzy krawdzi boczn i przektn podstawy ma miar 45.

    10 Pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego czworoktnego jest rwne 340 cm2. Krawd podstawy tego ostrosupa ma dugo 10 cm. Oblicz dugo kra-wdzi bocznej tego ostrosupa.

    11 Ania zbudowaa model ostrosupa prawidowego czworoktnego w skali 2:1.Pole powierzchni cakowitej ostrosupa Ani jest rwne 448 cm2, a krawd podstawy ma dugo 16 cm. Basia zbudowaa model tego samego ostrosupa w skali 1:2. Po-daj dugoci krawdzi ostrosupa, ktry zrobia Basia.

    12 Oblicz pole powierzchni bocznej piramidy Cestiusza monumentalnego gro-bowca wzniesionego w 12 r. p.n.e. w Rzymie.

    CiekawostkaPiramida Cestiusza ma ksztat ostrosupa prawid-owego czworoktnego o wysokoci 37 m i boku podstawy rwnym 30 m. Jest najwiksz i najlepiej za-chowan piramid spord zbudowanych w Rzymie po podbiciu Egiptu (30 r. p.n.e.). Z zewntrz jest oboona blokami marmuru. Wewntrz znajduje si komora gro-bowa, do ktrej prowadzi korytarz zamurowany po pogrzebie. Zachoway si te w niej pozostaoci malowide w trzecim stylu pompejaskim.rdo: www.wikipedia.org.

    5 cm

    7 cm

    5 cm

    6 cm

    4 cm

    8 cm

    13 cm10 cm

    a)

    b)

    c)

    d)

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2156.3. Objto ostrosupa

    6.3. Objto ostrosupa

    Objto ostrosupa obliczamy, posugujc si wzorem:

    p1V P H3

    = ,gdzie

    pP oznacza pole podstawy,

    H oznacza dugo wysokoci ostrosupa.

    Objto ostrosupa jest trzy razy mniejsza od objtoci graniastosupa o tej samej podstawie i wysokoci tej samej dugoci.

    Zrobilimy dowiadczenie. Wsypalimy ry do trzech jednakowych pojemnikw w ksztacie ostrosupw, a nastpnie przesypalimy go do pojemnika w ksztacie graniastosupa. Czy wiesz, dlaczego ry z trzech identycznych pojemnikw w ksztacie ostrosupw idealnie wypeni pojemnik w ksztacie graniastosupa?

    Stao si tak, poniewa ostrosupy i graniastosup miay przystajce podstawy i wysoko tej samej dugoci.

    =

    Przykad 6.12. Oblicz objto ostrosupa, ktrego pole podstawy jest rwne 100 cm2. Dugo wysokoci tego ostrosupa jest rwna 36 cm.

    Podstawiamy do wzoru dane i obliczamy objto ostrosupa.

    p1 1V P H 100 36 1200 3 3

    = = =

    Objto tego ostrosupa jest rwna 31200 cm .

    Przykad 6.13. Oblicz dugo krawdzi podstawy ostrosupa prawidowego czwo-roktnego o objtoci 45 cm3. Dugo wysokoci tego ostrosupa jest rwna 15 cm.

    Korzystajc ze wzoru na obliczenie objtoci, otrzymamy rwnanie, ktre nastpnie rozwiemy.

    Wyznaczamy pole podstawy.

    Podstaw ostrosupa jest kwadrat o polu rwnym 29 cm .

    Krawd podstawy tego ostrosupa ma dugo 3 cm.

    p1V P H3

    =

    p145 P 15 / 33

    =

    p135 15 P /:15=

    pP 9=

    2 9a =3a =

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 216 Rozdzia 6. Ostrosupy

    Przykad 6.14. Model ostrosupa wykonano z drewna dbowego. Oblicz objto ostrosupa, jeeli wszystkie jego krawdzie boczne maj dugo 13 cm, a podstawa jest prostoktem o bokach dugoci 8 cm i 6 cm. Oblicz mas tego modelu, jeeli gsto drewna dbowego jest rwna 800 kg/m3.

    W danym ostrosupie wyznaczamy trjkt prostoktny, ktrego przeciwprostoktn jest krawd boczna ostrosupa, a przyprostoktnymi s wysoko ostrosupa i po-owa przektnej podstawy.

    13 cm

    8 cm

    6 cm

    H

    13 cmH

    d12

    Wyznaczylimy dugoci odcinkw koniecznych do obliczenia objtoci ostrosupa.

    p1V P H3

    =

    1V 8 6 12 1923

    = =

    Objto tego ostrosupa jest rwna 3192 cm .3 3192 cm 0,000192 m=

    Obliczamy mas modelu ostrosupa.m 0,000192 800 0,1536= =0,1536kg 15,36 dag=

    Masa modelu ostrosupa wykonanego z drewna dbowego jest rwna 15,36 dag.

    Wyznaczamy dugo przektnej podstawy. 2 2 28 6d = +

    2 64 36d = +2 100d =

    10d =1 52

    d =

    Poowa przektnej podstawy ma dugo 5 cm.

    Obliczamy dugo wysokoci ostrosupa.2 2 2H 5 13+ =2 2 2H 13 5=

    2H 169 25= 2H 144=

    H 12=

    gsto = mV

    m masaV objto

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2176.3. Objto ostrosupa

    Zadania utrwalajce

    1 Uzupenij brakujce zapisy.

    a) 3 312 m ........ cm= b) 3 35,5 m ........ dm=

    c) 3 31080 mm ........ cm= d) 388 ........ ml =

    e) 20 ........ l hl= f) 343 m ........ l=

    2 Oce prawdziwo zda. a) Objto ostrosupa jest rwna objtoci graniastosupa o tej samej

    podstawie co ostrosup i wysokoci rwnej wysokoci ostrosupa. b) Objto ostrosupa jest trzy razy mniejsza od objtoci graniastosupa

    o tej samej podstawie co ostrosup i wysokoci rwnej wysokoci ostrosupa. c) Objto ostrosupa jest rwna objtoci graniastosupa o tej samej podstawie

    co ostrosup i wysokoci trzy razy krtszej od wysokoci ostrosupa. d) Objto ostrosupa jest rwna objtoci graniastosupa o polu podstawy trzy

    razy mniejszym od pola podstawy ostrosupa i wysokoci trzy razy mniejszej od wysokoci ostrosupa.

    3 Oblicz objto ostrosupa, ktrego podstaw jest kwadrat o boku dugoci a i o wysokoci dugoci 18 cm, jeeli: a) 5 cma = , b) 11 cma = , c) 0,8 dma = , d) 31 cm

    4a = .

    4 Oblicz objto ostrosupa o wysokoci rwnej 20 cm i podstawie przedstawio-nej na rysunku.

    6 cm

    10 c

    m

    12 cm

    12 cm

    10 c

    m

    5 cm5 cm

    8 cm

    8 cm

    5 cm

    10 cm

    4 cm

    a) b) c) d)

    5 Oblicz objto ostrosupa prawidowego trjktnego, ktrego wysoko ma dugo 12 cm. Krawd podstawy ma dugo: a) 4 cm, b) 14 cm, c) 2,4 cm.

    6 Podstaw ostrosupa jest prostokt o wymiarach 12 cm i 5 cm. Wysoko tego ostrosupa ma dugo rwn 6 cm. Oblicz objto tego ostrosupa.

    P F

    P F

    P F

    P F

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 218 Rozdzia 6. Ostrosupy

    7 Objto ostrosupa o podstawie trjkta jest rwna 104 dm3. Pole podstawy bryy wynosi 24 dm2. Oblicz dugo wysokoci tego ostrosupa.

    8 Podstaw ostrosupa jest kwadrat o boku dugoci 14 cm. Oblicz dugo wyso-koci tego ostrosupa, jeeli jego objto jest rwna: a) 588 cm3, b) 19,6 cm3.

    9 Oblicz objto ostrosupa o wysokoci dugoci 9 cm i podstawie bdcej: a) kwadratem o boku dugoci 7 cm, b) prostoktem, w ktrym ssiednie boki maj dugo 4 cm i 6 cm, c) trjktem rwnoramiennym o podstawie dugoci 10 cm i ramionach dugoci

    13 cm, d) trapezem rwnoramiennym o podstawach dugoci 17 cm i 5 cm oraz wyso-

    koci dugoci 8 cm.

    10 Oblicz objto ostrosupa, ktrego dugo wysokoci jest rwna 10 cm. Pod-staw bryy jest prostokt. Obwd podstawy wynosi 48 cm. Stosunek dugoci bo-kw prostokta jest rwny 3:5.

    11 Dany jest ostrosup prawidowy czworoktny o krawdzi podstawy dugoci a oraz wysokoci dugoci H. Napisz, jak zmieni si objto tego ostrosupa, gdy: a) dugo krawdzi podstawy zwikszymy trzy razy, b) dugo krawdzi podstawy zmniejszymy dwukrotnie, c) dugo wysokoci zmniejszymy cztery razy.

    12 Oblicz objto ostrosupa prawidowego czworoktnego o krawdzi podstawy dugoci 18 cm, jeeli: a) kt midzy krawdzi boczn a przektn podstawy ma miar 60 , b) kt midzy krawdzi boczn a przektn podstawy ma miar 45.

    13 Oblicz objto ostrosupa prawidowego szecioktnego o krawdzi podstawy dugoci 12 cm, jeeli: a) kt midzy krawdzi boczn i dusz przektn podstawy ma miar 60, b) kt midzy krawdzi boczn i dusz przektn podstawy ma miar 45.

    CiekawostkaDiament to forma wgla o regularnym ukadzie krystalografi cznym. Jest najtwardszym znanym mineraem jego twardo w skali Mohsa wynosi 10. Gsto diamentu jest rwna 3,52 g/cm3. Diament jest trudno topliwym izolatorem odpornym na dziaanie kwasw i zasad. Minera ten powstaje w gbi Ziemi pod wpywem wysokiej tempera-tury oraz cinienia.

    Mas diamentu okrela si w karatach (ct).

    rdo: www.wikipedia.com.

    Przeczytaj ciekawostk i oblicz mas diamentu w ksztacie ostrosupa prawido-

    wego czworoktnego o wszystkich krawdziach dugoci 6 cm. Przyjmij Sprawd, jaka jest masa tego diamentu, gdy przyjmiemy przyblienie liczby

    .

    Oblicz mas diamentu w ksztacie czworocianu foremnego o krawdzi dugoci 0,9 cm. Wynik wyra w karatach.

    6.4. Przekroje ostrosupw. Treci nadobowizkowe

    Przecinamy owoce, kroimy chleb. Podobnie moemy rozcina bryy.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2196.4. Przekroje ostrosupw. Treci nadobowizkowe

    14 Przeczytaj ciekawostk i oblicz mas diamentu w ksztacie ostrosupa prawido-

    wego czworoktnego o wszystkich krawdziach dugoci 6 cm. Przyjmij 2 1,41. Sprawd, jaka jest masa tego diamentu, gdy przyjmiemy przyblienie liczby

    2 1,4142 .

    15 Oblicz mas diamentu w ksztacie czworocianu foremnego o krawdzi dugoci 0,9 cm. Wynik wyra w karatach.

    6.4. Przekroje ostrosupw. Treci nadobowizkowe

    Przecinamy owoce, kroimy chleb. Podobnie moemy rozcina bryy.

    Tomek przynis model ostrosupa prawidowego czworoktnego zrobiony z modeliny.

    Przekroilimy ten model ostrosupa wzdu przeciwlegych krawdzi bocznych i odpowiedniej przektnej podstawy.

    H

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 220 Rozdzia 6. Ostrosupy

    Hbb

    a

    a

    a

    H bb

    a aa

    h

    hshs

    h

    a) b)

    Otrzymalimy dwa takie same modele ostrosupw, tak jak na rysunku obok. H

    H

    Wyrnion kolorem brzowym fi gur nazywamy przekrojem ostrosupa. Przekrj ten jest trjktem rwnoramiennym. Jego podstaw jest przektna podstawy ostrosupa, a ramionami s krawdzie boczne tego ostrosupa.

    Innym przekrojem tego samego ostrosupa prawidowego czworoktnego jest trjkt zaznaczony na poniszym rysunku kolorem fi oletowym.

    H HH

    Przykad 6.15. W ostrosupie prawidowym szecioktnym zaznacz przekrj wy-znaczony przez: a) przeciwlege krawdzie boczne ostrosupa, b) wysokoci przeciwlegych cian bocznych ostrosupa.

    Opisz powstae przekroje. Oblicz pola tych przekrojw, jeeli krawd podstawy os-trosupa ma dugo 6 cm, a dugo krawdzi bocznej jest rwna 10 cm.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2216.4. Przekroje ostrosupw. Treci nadobowizkowe

    a a

    bbH

    h h

    hshsH

    Otrzymane w przykadzie przekroje ostrosupa prawidowego szecioktnego s trjktami rwnoramiennymi.

    Obliczamy pola otrzymanych przekrojw.

    6 cm 6 cm

    10 cm10 cmH

    Korzystajc z twierdzenia Pitago-rasa wyznaczamy dugo wysoko-ci otrzymanego trjkta.

    2 2 2H 6 10+ =2H 100 36=

    H 8=

    Obliczamy pole przekroju.1P 12 8 482

    = =

    Pole tego przekroju jest rwne 248 cm .

    Korzystajc z twierdzenia Pitagorasa ob-liczamy dugo wysokoci ciany bocznej ostrosupa oraz dugo odcinka czcego rodki przeciwlegych krawdzi podstawy.

    2 2 23 10sh + =2 100 9sh =

    91sh =

    6 32

    h =

    3 3h =

    2 6 3h =

    H

    6 3 cm

    91 cm 91 cm

    Korzystajc z twierdzenia Pitagorasa wy-znaczamy dugo wysokoci przekroju.

    ( )2 22H 3 3 91+ =2H 91 27=

    H 8=Obliczamy pole przekroju.

    1P 6 3 8 24 32

    = =

    Pole tego przekroju jest rwne 224 3 cm .

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 222 Rozdzia 6. Ostrosupy

    Przykady innych przekrojw ostrosupw:

    Zadania utrwalajce

    1 W czworocianie foremnym pocz rodki krawdzi wychodzcych z jednego wierzchoka. Naszkicuj przekrj wyznaczony przez te punkty. Jak figur jest ten przekrj?

    2 W ostrosupie prawidowym czworoktnym pocz rodki dwch rwnolegych krawdzi podstaw. Naszkicuj przekrj wyznaczony przez te punkty i wierzchoek ostrosupa. Jak figur jest ten przekrj?

    3 Ostrosup prawidowy szecioktny o krawdzi podstawy dugoci 5 cm i wysokoci dugoci 13 cm przecito wzdu krawdzi bocznych, jak na rysunku obok. Oblicz pole tego przekroju.

    4 Wysoko ostrosupa prawidowego szeciokt-nego ma dugo 10 cm. Pole zaznaczonego na ry-sunku przekroju zawierajcego krawdzie boczne jest rwne 40 cm2. Oblicz objto tego ostrosupa.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2236.4. Przekroje ostrosupw. Treci nadobowizkowe

    5 Oblicz pola zaznaczonych przekrojw ostrosupw prawidowych czworokt-nych.

    6 cm

    8 cm

    1 m

    1 m

    12 cm

    12 cmM

    10 cm

    20 cm

    a)

    c)

    b)

    d)

    Punkt M jest rodkiem krawdzi bocznej.

    6 Na rysunku przedstawiono przekrj zawiera-jcy wysokoci dwch cian i krawd boczn. Oblicz pole otrzymanego przekroju, jeeli krawd czworocianu foremnego ma dugo 6 m.

    7 Ostrosup prawidowy trjktny WXYZ przecito wzdu wysokoci podstawy i kra-wdzi bocznej wychodzcej z tego samego wierzchoka. a) Jak fi gur jest ten przekrj? b) Oblicz obwd tego przekroju, jeeli kra-

    wd podstawy ma dugo 9 dm. Du-go krawdzi bocznej jest rwna 7 dm.

    W

    Y

    X

    Z

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 224 Rozdzia 6. Ostrosupy

    c) Wska inne przekroje tego ostrosupa majce taki sam ksztat i takie same wymiary.

    d) Na siatce tego ostrosupa zaznacz odcinki wyznaczajce opisany przekrj.

    W

    Y

    X

    8 Ustal, czy przekrj czworocianu foremnego moe by: a) kwadratem, b) trjktem rwnobocznym, c) prostoktem, d) trapezem.

    Uzasadnij wybr i wykonaj odpowiednie rysunki.

    Zadania do rozwizywania w grupie

    1 Na siatce ostrosupa narysuj drog, jak musi przeby mrwka poruszajca si wzdu odcinkw zaznaczonych na rysunkach kolorem czerwonym.

    a) ostrosup prawidowy czworoktny

    6 cm

    10 cm

    b) ostrosup prawidowy szecioktny

    4 cm

    5 cm

    5 cm

    10 cm

    2 Oblicz pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego szecioktnego o krawdzi podstawy dugoci a cm, jeeli: a) kt midzy krawdzi boczn i dusz przektn podstawy ma miar 60, b) kt midzy krawdzi boczn i dusz przektn podstawy ma miar 45.

    TAK NIE

    TAK NIE

    TAK NIE

    TAK NIE

    Oblicz objto ostrosupa prawidowego czworoktnego o krawdzi podstawy dugoci a cm, jeeli: a) kt midzy krawdzi boczn i przektn podstawy ma miar 60, b) kt midzy krawdzi boczn i przektn podstawy ma miar 45.

    6.5. Krok do egzaminu

    Zadania powtrzeniowe

    Wpisz brakujce liczby.

    a) b) c) d)

    Podaj liczb wierzchokw, krawdzi i cian ostrosupa o podstawie: a) czworokta, b) dziesiciokta, c) dwudziestopiciokta.

    Krawd boczna ostrosupa prawidowego ma dugo 13 cm, a dugo krawdzi pod-stawy jest rwna 7 cm. Oblicz sum dugoci wszystkich krawdzi tego ostrosupa, jeeli jego podstaw jest: a) piciokt, b) osiemnastokt.

    Narysuj siatk ostrosupa prawidowego.

    Oblicz pole powierzchni ostrosupa prawidowego czworoktnego, ktrego krawd podstawy ma dugo 6 cm, a wysoko ciany bocznej ma dugo 4 cm.

    Suma dugoci krawdzi ostrosupa prawidowego czworoktnego wynosi 92 cm. Kra-wd podstawy ma dugo 10 cm. Oblicz pole powierzchni cakowitej tego ostrosupa.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2256.5. Krok do egzaminu

    3 Oblicz objto ostrosupa prawidowego czworoktnego o krawdzi podstawy dugoci a cm, jeeli: a) kt midzy krawdzi boczn i przektn podstawy ma miar 60, b) kt midzy krawdzi boczn i przektn podstawy ma miar 45.

    6.5. Krok do egzaminu

    Zadania powtrzeniowe

    1 Wpisz brakujce liczby.

    a) 30,16 m .......... l= b) 332 cm .......... l=

    c) 12,5 .......... l hl= d) 30,2371 .......... cml =

    2 Podaj liczb wierzchokw, krawdzi i cian ostrosupa o podstawie: a) czworokta, b) dziesiciokta, c) dwudziestopiciokta.

    3 Krawd boczna ostrosupa prawidowego ma dugo 13 cm, a dugo krawdzi pod-stawy jest rwna 7 cm. Oblicz sum dugoci wszystkich krawdzi tego ostrosupa, jeeli jego podstaw jest: a) piciokt, b) osiemnastokt.

    4 Narysuj siatk ostrosupa prawidowego.

    2 cm

    3 cm

    4 cm

    5 cm

    a) b)

    5 Oblicz pole powierzchni ostrosupa prawidowego czworoktnego, ktrego krawd podstawy ma dugo 6 cm, a wysoko ciany bocznej ma dugo 4 cm.

    6 Suma dugoci krawdzi ostrosupa prawidowego czworoktnego wynosi 92 cm. Kra-wd podstawy ma dugo 10 cm. Oblicz pole powierzchni cakowitej tego ostrosupa.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 226 Rozdzia 6. Ostrosupy

    7 Oblicz objto ostrosupa prawidowego trjktnego, ktrego dugo krawdzi pod-stawy jest rwna 8 cm. Dugo wysokoci tego ostrosupa wynosi 6 cm.

    8 Wysoko ciany bocznej ostrosupa prawidowego czworoktnego ma dugo 6 cm, a jego pole powierzchni bocznej wynosi 72 cm2. Oblicz obwd podstawy tego ostrosupa.

    9 Pole podstawy ostrosupa prawidowego czworoktnego jest rwne 64 dm2. Dugo wy-sokoci ciany bocznej tego ostrosupa jest rwna 5 dm. Oblicz jego pole powierzchni bocznej.

    10 Oblicz pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego, ktrego siatk przedsta-wiono na rysunku.

    5 cm

    3 cm

    11 Wysoko ciany czworocianu foremnego ma dugo 4 6 cm. Oblicz pole po-wierzchni cakowitej bryy.

    12 W ostrosupie prawidowym krawd boczna ma dugo 8 cm. Oblicz objto tego os-trosupa, jeeli jego podstawa jest: a) kwadratem, a kt midzy krawdzi boczn i przektn podstawy ma miar 30, b) szecioktem foremnym, a kt midzy krawdzi boczn a dusz przektn podstawy

    ma miar 30.

    13 Przektna podstawy ostrosupa prawidowego czworoktnego ma dugo 8 2 cm. Ob-licz objto tego ostrosupa, jeeli jego krawd boczna stanowi 120% krawdzi podstawy.

    14 Dach budynku ma ksztat ostrosupa prawidowego czworoktnego o krawdzi podstawy dugoci 5 m i wysokoci dugoci 3 m. Ile metrw kwadratowych blachy potrzeba na pokry-cie tego dachu? Podaj wynik z dokadnoci do czci setnych. Wykonaj rysunek pomocniczy.

    15 Klasa IID przygotowaa przedstawienie o Krlewnie niece. Dekoracje wykonali ucz-niowie. Janek i Jacek zrobili wie i na jej szczycie umiecili ostrosup prawidowy czworo-ktny, ktry okleili foli w kolorze zotym (z pominiciem podstawy). Jak powierzchni pokryli t foli, jeeli krawd podstawy ozdobnego ostrosupa ma dugo 120 cm, a jego wysoko ma dugo 80 cm? Wynik podaj w metrach kwadratowych.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2276.5. Krok do egzaminu

    Zadania z egzaminw

    1 Tomek oglda zdjcie, ktre przedstawia piramid Cheopsa. Piramida Cheopsa ma ksztat1

    A. prostopadocianu. B. graniastosupa o podstawie kwadratu. C. ostrosupa o podstawie kwadratu. D. stoka.

    2 Krawd czworocianu foremnego ma dugo 4 cm. Pole powierzchni cakowitej tego czworocianu jest rwne2

    A. 24 3 cm B. 28 3 cm C.

    216 3 cm D. 232 3 cm

    3 Piramida ma ksztat ostrosupa prawidowego czworoktnego. Ile cm2 papieru potrzeba na wykona-nie modelu tej piramidy (wraz z podstaw), w ktrym krawdzie podstawy maj dugo 10 cm, a wysoko 12 cm? Ze wzgldu na zakadki zuycie papieru jest wiksze o 5%. Zapisz obliczenia3.

    4 Na ssiednich dziakach wybudowano domy rnice si ksztatem dachw (patrz: ry-sunki). Ktry dach ma wiksz powierzchni? Zapisz obliczenia4.

    8 m

    8 m

    8 m

    8 m

    Dom I

    8 m

    8 m

    12 m

    8 m

    8 m

    Dom II

    8 m

    1 Egzamin, maj 2004.2 Egzamin, kwiecie 2010.3 Egzamin, kwiecie 2005.4 Egzamin 2009.

    S

    O

    A B

    CD

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 228 Rozdzia 6. Ostrosupy

    5 Namioty, w ktrych pi rodzina, maj ksztaty graniastosupa prawidowego trjktnego oraz ostrosupa prawidowego czworoktnego. Oblicz, ktry z namiotw jest wyszy. Zapisz obliczenia5.

    4 m4 m

    4 m

    namiot rodzicw namiot dzieci

    2,5 m

    3,5 m

    Test

    1 Ostrosup czworoktny ma A. cztery wierzchoki. B. cztery ciany. C. cztery krawdzie. D. cztery krawdzie boczne.

    2 Sze wierzchokw ma ostrosup o podstawie A. czworokta. B. piciokta. C. szeciokta. D. dziesiciokta.

    3 Dwadziecia cian ma ostrosup o podstawie A. dziesiciokta. B. osiemnastokta. C. dziewitnastokta. D. dwudziestokta.

    4 Dany jest ostrosup prawidowy dziewicioktny. Ktra trjka liczb okrela liczb wierz-chokw, krawdzi i cian tego ostrosupa? A. 7, 8, 9 B. 10, 18, 10 C. 11, 20, 11 D. 18, 27, 11

    5 Dany jest ostrosup prawidowy siedmioktny. Krawd jego podstawy ma dugo 5 cm, a krawd boczna ma dugo 1 dm. Suma dugoci wszystkich krawdzi wynosi A. 42 cm B. 50 dm C. 105 cm D. 120 cm

    6 Na ktrym rysunku znajduje si siatka czworocianu foremnego?

    A. I B. II i III C. III D. III i IV

    5 Materiay pomocnicze dla nauczycieli.

    I. II. III. IV.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 2296.5. Krok do egzaminu

    7 Podstaw ostrosupa prawidowego jest kwadrat o boku dugoci 7 cm. Wysoko ciany bocznej tego ostrosupa ma dugo 10 cm. Pole powierzchni bocznej tego ostrosupa jest rwne A. 270 cm B.

    2140 cm C. 2189 cm D.

    2490 cm

    8 Pole powierzchni cakowitej ostrosupa prawidowego czworoktnego o krawdzi pod-stawy dugoci 6 cm i krawdzi bocznej dugoci 5 cm jest rwne A. 220 cm B.

    240 cm C. 284 cm D.

    2166 cm

    9 Objto ostrosupa prawidowego szecioktnego o krawdzi podstawy dugoci 5 cm i wysokoci dugoci 6 cm wynosi A. 375 3 cm B.

    3225 3 cm C. 3 5 15 cm D.

    360 cm

    10 W ostrosupie prawidowym czworoktnym kada krawd ma dugo 8 cm. Wysoko tego ostrosupa ma dugo A. 2 2 cm B. 8 2 cm C. 4 2 cm D. 16 2 cm

    11 Dane s ostrosupy: prawidowy czworoktny i prawidowy szecioktny o krawdzi pod-stawy dugoci 4 cm. Wysoko ciany bocznej kadego z tych ostrosupw ma dugo 4 cm. a) Oblicz objto kadego z tych ostrosupw. b) Oblicz stosunek objtoci tych ostrosupw.

    12 Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosupa prawidowego czworoktnego o krawdzi podstawy dugoci 14 cm i wysokoci dugoci 2,4 dm.

    13 Z szecianu o krawdzi dugoci 3 cm wycito ostrosup taki, jak pokazano na rysunku. Oblicz objto bryy, ktra pozostaa po wyciciu tego ostrosupa.

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 230 Rozdzia 6. Ostrosupy

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 306 Indeks waniejszych terminw

    Indeks waniejszych terminw

    AABF, 137Ahmes, 21Artificial Bacterial Flagella, patrz: ABF

    Cciciwa, 10, 14czworocian, 202

    foremny, 202

    Ddiagram, 264, 265

    koowy, 266, 267supkowy, 266

    diament, 218dominanta, patrz: modadwusieczna kta, patrz: kt dwusiecznadziaania

    na potgach, patrz: potga dziaaniana pierwiastkach, patrz: pierwiastek

    dziaania

    EEulera regua, patrz: regua Eulera

    FFahrenheit Daniel Gabriel, 71figura

    osiowosymetryczna, 238rodkowosymetryczna, 249, 250

    funkcja, 52, 54argument, 54, 64dziedzina, 54, 60miejsce zerowe, 64warto, 54

    wasnoci, 64wykres, 58, 59, 60zbir wartoci, 54

    Ggraf, 52, 53, 54graniastosup, 186, 201

    pole powierzchni cakowitej, 189przektna, 186, 187, 188podstawa, 186ciana boczna, 186

    Jjednostka

    astronomiczna, 134w ukadzie SI, 138, 304

    Kkt

    dwusieczna, 241, 242amicy pryzmatu, 203peny, 11prosty, 17rodkowy, 12, 16, 31wpisany, 14, 16, 17

    koo, 10kwadratura, patrz: kwadratura koapole, 24, 25wycinek, 30, 31, 301promie, 10pole, patrz: koo pole wycinka

    kwadrat, 168, 174, 202pole, 165, 175przektna, 153, 175, 301

    kwadratura koa, 159

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 307Indeks waniejszych terminw

    Lliczba

    niewymierna, 153podpierwiastkowa, 141, 21

    Ludolf van Ceulen, 21

    uk, 10, 11

    dugo, 28, 29, 301

    Mmediana, 270, 271, 272metoda

    podstawiania, 96przeciwnych wspczynnikw, 101

    Midzynarodowy Ukad Jednostek Miar, 138

    moda, 270, 271

    Nniewymierno, 153notacja wykadnicza, 134, 301

    Oodcita, 254odcinek

    o symetrii, patrz: o symetrii odcinka

    symetralna, patrz: o symetrii odcinka

    okrg, 10, 20, 33ciciwa, 10, 14dugo, 20, 21, 301promie, 10, 301sieczna, 39styczna, 39

    ostrosup, 200, 201, 202objto, 215, 301pole powierzchni cakowitej, 208,

    210, 301prawidowy, 202przekrj, 219, 221wierzchoek, 201wysoko, 204

    o symetrii, 232, 238, 239, 253kta, 242odcinka, 241, 242prostokta, patrz: prostokt

    o symetrii

    Ppiercie koowy, 36pierwiastek

    drugiego stopnia, 141, 301dziaania, 151kwadratowy, patrz: pierwiastek

    drugiego stopniaobliczanie za pomoc rozkadu

    na czynniki pierwsze, stopie, 141trzeciego stopnia, 142, 301

    pierwiastkowania wasnoci, 147, 302piramida Cestiusza, 200, 214Pitagoras, 164Pitagorasa twierdzenie, patrz:

    twierdzenie PitagorasaPlayfair William, 267potga, 124

    dziaania, 131, 302iloczyn, 131, 302iloraz, 131, 302o wykadniku naturalnym, 124o wykadniku cakowitym, 127o wykadniku ujemnym, 127, 301

    promie, 10

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 308 Indeks waniejszych terminw

    prostokt, 168o symetrii, 240przektna, 169, 204, 240

    pryzmat, 203kt amicy, 203

    przeciwprostoktna, 164, 170przyprostoktna, 164

    Rregua Eulera, 201rok wietlny, 134romb, 168, 187rwnanie

    stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi, 86

    ukad rwna, 90rozwizywanie ukadw rwna,

    96, 101, 106rwnolegobok, 168, 169ryjwka etruska, 138rzdna, 254

    SSI, patrz: Midzynarodowy

    Ukad Jednostek Miarstopnie

    Celsjusza, 70Fahrenheita, 70

    styczna do okrgu, patrz: okrg stycznasymetria

    o, patrz: o symetriirodek symetrii, 249w prostoktnym ukadzie

    wsprzdnych, 253wzgldem prostej, 232wzgldem punktu, 244

    szecianu przektna, 188, 301

    limak Teodorosa, 178rednia arytmetyczna, 270, 271, 301rednica, 11rodek symetrii, patrz: symetria rodek

    Ttemperatura, 70Teodorosa limak, patrz: limak

    Teodorosatrjka pitagorejska, 190trjkt, 180

    egipski, 167prostoktny, 164, 167, 169, 190przystajcy, 169rwnoboczny, 176, 202, 205pole, 176, 301wysoko, 176, 301rwnoramienny, 177, 180, 181, 212,

    220, 221twierdzenie Pitagorasa, 164, 167, 174,

    186, 191

    Uukad

    rwna, patrz: rwnanie ukadSI, patrz: Midzynarodowy Ukad

    Jednostek Miarwsprzdnych, 58, 253

    Wwarto modalna, patrz: modawielokt foremny, 202wielocian, 201wsprzdna punktu, 58, 253, 254wycinek koa, patrz: koo pole wycinkawykadnik naturalny, 124wykres, 264

    funkcji, patrz: funkcja wykreskoowy, 267liniowy, 267supkowy, 267

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • 309Notatki

    Pole ksikKup ksik

    http://helion.pl/rf/podrg2http://helion.pl/rt/podrg2

  • http://program-partnerski.helion.pl