WYKŁAD 6. Kolorowanie krawędzi

Przykład: W turnieju szachowym, w którym biorą udział szachistki A,B,C,D,E,F, pozostały do rozegrania mecze pomiędzy parami AE, AF, BC, BD, BF, CD, DE, EF. W ilu rundach można zakończyć ten turniej?

Ilustracja

A

B

C

D

E

F

Indeks chromatyczny

• Zbiór niezależny skojarzenie

• Liczba chromatyczna χ indeks chromatyczny χ’

• Indeks chromatyczny to najmniejsza liczba kolorów, którymi można pomalować krawędzie grafu tak, by krawędzie o wspólnym końcu miały różne kolory.

Inaczej

• χ’(G) to minimalna liczba skojarzeń, którymi można pokryć zbiór E(G).

• χ’(G)= χ(L(G))

χ’=3

)()(' GG

χ’=4

Tw. Vizinga

Tw. (Vizing,1964) Dla każdego grafu G

1)()(')( GGG

Mówimy, że G jest k-krawędziowo-kolorowalny,

gdy

kG )('

Lemat

Lemat. Dane są: liczba naturalna k, graf G i wierzchołek v tego grafu. Jeśli

(i) wierzchołek v oraz wszyscy jego sąsiedzi mają stopień nie większy niż k,

(ii) co najwyżej jeden sąsiad v ma stopień równy k, oraz

(iii) graf G-v jest k-krawędziowo-kolorowalny,

to G jest k-krawędziowo-kolorowalny.

Dowód Tw. Vizinga

• Indukcja względem n=|V(G)|. • Prawda dla n=1.• Załóżmy, że to prawda dla n i weźmy dowolny

graf G na n+1 wierzchołkach.• Niech v będzie dowolnym wierzchołkiem G.• Na podstawie zał. ind. G-v jest (Δ+1)-

krawędziowo-kolorowalny.• Na podstawie Lematu z k= Δ+1, G jest (Δ+1)-

krawędziowo-kolorowalny. �

Dowód Lematu

• Indukcja względem k; k=0,1 – trywialne.

• Załóżmy prawdziwość dla k-1.

• Dodając, jeśli trzeba, wierzchołki wiszące, można założyć, że jeden sąsiad v ma stopień k, a pozostali stopień k-1.

Ilustracja k=4

v

Dowód Lematu – c.d.• c: E(G-v) {1,...,k} • N_i – zbiór sąsiadów v bez koloru i, i=1,...,kFAKT: Istnieje c takie, że |N_l|=1 dla pewnego l.• Przyjmijmy b.s.o., że |N_k|=1, N_k={u}. • G’=G bez krawędzi uv i bez krawędzi koloru k• G’ spełnia założenia Lematu z v i k-1, więc z

zał. ind. jest (k-1)-krawędziowo-kolorowalny.• G=G’ plus skojarzenie, więc jest

k-krawędziowo-kolorowalny. �

Ilustracja k=4

v

u

Ilustracja k=4 – c.d.

v

u

Dowód Faktu

FAKT: Istnieje c takie, że |N_l|=1 dla pewnego l.

Dowód: Wybierzmy c tak, by zminimalizować

2

1|| i

k

iN

Zauważmy, że

121)(2||1

kvdNk

i i

Stąd, istnieją i i j: |N_i|<2, |N_j| -- nieparzyste.

Dowód Faktu – c.d.• Przypuśćmy, że żadne |N_l| nie jest równe 1.• Wtedy |N_i|=0, a |N_j|>2.• Spójrzmy na maksymalną ścieżkę naprzemienną P

w kolorach i i j, zaczynającą się w N_j.• Jeśli P kończy się sąsiadem v, to musi on należeć

do N_j. • Tak czy owak, zamieniając kolory i i j na P,

otrzymujemy kolorowanie c’, w którym 1 lub 2 wierzchołki ,,przeszły” z N_j do N_i; zatem

22 |||'| ii NN

-- sprzeczność.

Ilustracja dowodu Faktu

v

N_j

N_i=pusty

P

|N’_i|=2, |N’_j|=1: 4+1<0+9

Dwa typy grafów

Typ I : χ’(G) =Δ(G): np. P_n, C_{2n}, K_{2n}

Typ I I: χ’(G) =Δ(G)+1: np. C_{2n+1}, K_{2n+1}

Grafy dwudzielne? Graf Petersena ???

II

Grafy dwudzielne są typu I (König 1916)

• Każdy dwudzielny graf G jest podgrafem Δ(G)-regularnego dwudzielnego grafu H (ćwiczenia).

• H posiada, zgodnie z Wnioskiem z Tw. Halla, Δ(G) rozłącznych skojarzeń doskonałych, które pokrywają cały zbiór E(H) (ćwiczenia).

• Zatem zbiór E(G) jest pokryty przez Δ(G) rozłącznych skojarzeń, tzn. χ’(G) =Δ(G).

Faktoryzacja

• Jeśli regularny graf G jest typu I, tzn. χ’(G) =Δ(G), to mówimy, że ma faktoryzację, zwaną też 1-faktoryzacją.

• Krawędzie tego samego koloru tworzą skojarzenia doskonałe, zwane 1-faktorami.

• Dwudzielne grafy regularne są faktoryzowalne, grafy pełne K_{2n} też.

• Grafy pełne K_{2n+1} nie mogą mieć faktoryzacji.• Graf Petersena???

Faktoryzacja -- ilustracja

K_6

2-faktoryzacja

• 2-faktor w grafie G to jego 2-regularny, rozpięty podgraf H, tzn. H jest sumą cykli i V(H)=V(G).

• 2-faktoryzacją grafu 2k-regularnego G nazywamy podział E(G) na k rozłącznych 2-faktorów.

• 2-faktoryzacja ZAWSZE istnieje !!!

2-faktoryzacja -- ilustracja

Tw. Petersena o 2-faktoryzacji

Tw. Każdy 2k-regularny graf ma 2-faktoryzację.

Lemat. Jeśli wszystkie stopnie wierzchołków w G są parzyste, to krawędzie w G można zorientować (skierować, ,,ostrzałkować”) tak, by do każdego wierzchołka wchodziło tyle samo strzałek co wychodziło.

Dowód Tw. Petersena

Dowód Tw.: Rozważmy pomocniczy graf 2-dzielny D z A=V(G) do B=V(G), gdzie krawędź biegnie z a do b wgdy gdy ab jest krawędzią w G skierowaną od a do b.

• Graf D jest k-regularny, więc ma 1-faktoryzację.• Każdy 1-faktor w D odpowiada 2-

faktorowi w G. �

Ilustracja dowodu Tw. Petersena

1

2

3

4 5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

Dowód Lematu

Lemat. Jeśli wszystkie stopnie wierzchołków w G są parzyste, to krawędzie w G można zorientować (skierować, ,,ostrzałkować”) tak, by do każdego wierzchołka wchodziło tyle samo strzałek co wychodziło.

Dowód: Indukcja względem e(G) (e=0 prawda).Dla e>0, G musi zawierać cykl C. Zastosujmy

założenie indukcyjne do G’=(V,E-C) i dodajmy cykl C skierowany cyklicznie. �