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Ves tib ul ar es

1. (UFMG-03) Seja n = 82log2

15 - log2

45. Então, o valor de n é:

A) 52

B) 83

C) 25

E) 53 x

2. (UFJF-03) O conjunto de todos os números reais x para os quais (log x)/(1- x2) 0 é:

A) x Є IR| x > 0 e x 1

B) x Є IR| 0 < x < 1

C) x Є IR| x > 1

D) x Є IR| x > 0

E) x Є IR| x < -1 ou x > 1

3. (UFJF-03) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função y = 2 x no plano cartesiano. Com basenesse gráfico, é correto afirmar que:

A) y0 = y2 - y1

B) y1 = y3 - y2

C) y1 = y3 + y0

D) y2 = y1 . y0

E) y3 = y1 . y2 x

4. (UNESP-03) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo

reservatório é dada pela função q(t) = q0 .2(-0,1)t sendo q0 a quantidade inicial de água no

reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidadede água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

A) 5

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10 x

5. (PUCRJ-03) Os valores de x, tais que o logaritmo de (2x²+1) na base 10 é igual a 1, são:

A) 1 e –1

B) 1/2 e -1/2

C) 3 e –3

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D) 3/2 e -3/2 x

E) 1 e –2

6. (UFJF-02) A figura abaixo é um esboço, no plano cartesiano, do gráfico da função f(x) = log3 x com

alguns pontos destacados. Supondo que a abscissa do ponto A é igual a 9, é incorreto afirmar que:

A) a base b é igual a 3

B) a abscissa de C é igual a 1

C) f(x) < 0 para todo x Є (0,1)

D) a abscissa de B é igual a 2 x

E) f(x) é crescente

7. (PUCMG-02) O gráfico representa a função y = log 3 x.

Tomando-se o milímetro por unidade de medida, o comprimento do segmento de extremos A e B é:

A) 24 mm

B) 25 mm

C) 26 mm x

D) 27 mm

8. (ULBRA) Segundo a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de um corpo édiretamente proporcional à diferença de temperatura entre este objeto e o meio ambiente. Sendo

assim, a temperatura de um objeto pré-aquecido, após colocado por t minutos em um ambiente a 20ºC,é dada por T(t)=20 +Kect. Considerando que o objeto foi aquecido a uma temperatura de 200ºC e em10 minutos estava a 110ºC, as constantes K e c devem ser:

A) k = 180 e c = (-ln 2)/10 x

B) k = 180 e c = 90 ln 2

C) k = 10 e c = (-ln 2)/10

D) k = 10 e c = (ln 9)/10

E) k = 180 e c = (ln 2)/10

9. (UFRGS-03) Na figura abaixo está representado o gráfico da função f(x) = logb x:

A área da região sombreada é:

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A) 2 x

B) 2,2

C) 2,5

D) 2,8

E) 3

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Funções modular, exponencial e log arítmica

1) Resolva as equações ou inequações abaixo utilizando a noção de módulo como distância:

a) x - 4 > x - 2

b) x - 2 - x + 4 > 3

c) x - 1 + x + 3 = 12

2) Resolva as equações ou inequações do número (2) graficamente.

3) Construa o gráfico de:

a) f(x) = x2 - 4

b) f(x) = x - 1+ x - 3

c) f(x) = x2 - 1 / + x - 1

4) Faça um esboço dos gráficos das funções y = (1/2)x e y = log1/2 x num mesmo sistema de eixos cartesianos.Compare estes gráficos e procure descobrir uma relação entre eles.

5) Num mesmo sistema de eixos cartesianos esboce os gráficos de y = log2 x e y = log3 x . Compare estas funçõesquanto ao crescimento e justifique as suas conclusões.

6) Resolva a equação exponencial 7x + 7x-1 = 8x

7) Qual é o maior: log 7 ou log 83? Justifique.

8) Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 12% ao ano. Se esta pessoa retirou seu dinheiro passados dois anos e 197 dias, quanto deverá receber?

9) Numa determinada cidade, a população cresce com a taxa de 3% ao ano. Em quantos anos a população desta cidadeduplicará? São dados log 2 = 0,30103 e log 103 = 2,01284.

10) Se num instante t = 0, um recipiente contém um número No de bactérias se reproduzindo normalmente, então numinstante t >0, o número de bactérias existentes no recipiente será :

N(t) = Noe, onde a constante depende do tipo de bactéria. Suponha que uma cultura de 100 bactérias sereproduz em condições favoráveis. Doze horas mais tarde contamos 500 bactérias na cultura. Quantas bactériashaverá depois do início da experiência?

11) A meia vida de uma substância radioativa é de 1 ano. Quanto tempo levará para que, num corpo puro de 100 gramasdesse material, reste apenas 1 grama de substância?

12) A população de uma cidade era de 750.000 habitantes no fim de 1990 e de 900.000 no fim de 2000. Que populaçãopode-se prever para no final de 2010? Quando se espera que a população atinja 1.500.000?

13) A que taxa de juros compostos devo investir um capital para que ele dobre ao final de 5 anos?

14) Dado um número positivo x ≠ 1, x1/lnx

15) Dadoa

> 0, determinar x

tal que a faixa da hipérbole (tal como definimos em sala) tenha área igual a um número realb dado. Em particular verifique depois no caso de b = .

16) A faixa de hipérbole H1xtem área igual a 5. Qual é o valor de x ?

17) Mostre que se os números posit ivos a1, a2, ……am são termos de uma progressão geométrica, então lna1, lna2,….. lnanformam uma progressão aritmética.

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Qual o maior número 99100 ou 10099. Justifique provando.

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Funções exponencial e logarítmica

[Considere e = 2,72 quando necessário]

① Lei exponencial de declínio.

Alguns medicamentos, após entrarem no corpo humano, vão sendo eliminados naturalmente de tal modo que aquantidade activa M, do fármaco no organismo, segue uma lei exponencial de declínio da forma

M = M0 e-kt

em que k é uma constante positiva e t a variável tempo.

a) Qual é o significado de M0?

b) Se a quantidade ativa de um remédio se reduz a metade ao fim de uma hora, a quanto se reduzem 500 mg ao fim de8 horas?

c) Qual é o valor de k para o remédio citado em b) ?

d) Outro remédio elimina-se segundo a lei M = M0e-0,25t. Qual é a «semivida» deste remédio? (tempo que leva a reduzir-se a metade)

e) Prova que a «semivida» T se relaciona com k pela formula T = ln 2/k.

② Juros Compostos

Deposita-se num banco um capital C,

a) à taxa anual de 16%. Exprime, em função de t, a quantia total Q acumulado em t anos, com juro composto.

b) à taxa semestral de 8%, mostra que Q1, quantia total acumulada em t anos, é Q1 = C 1,082t (juro composto).

c) Mostra que Q1 > Q, para o mesmo tempo t.

③ A fórmula da aprendizagem de símbolos

Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode memorizar notempo t , em minutos.

A fórmula é: f(t) = 30 . (1 - e -t/3)

a) Calcule, de acordo com a função f e com aproximação às unidades, quantos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minutos.

b) Uma pessoa memorizou 26 símbolos.

Quanto tempo precisou, aproximadamente, para realizar tal tarefa?

④ A pressão atmosférica

A pressão atmosférica, P, em polegadas de mercúrio (1 polegada = 25,4 mm ), é dada por: P(h) = 30 x 10-0,09h

onde h é a altura, em milhas (1 milha = 1609 metros) , acima do nível do mar.Calcule:

a) a pressão atmosférica 3 km acima do nível do mar;

b) com erro inferior a 0,1 milhas , determine a altura de uma montanha sabendo que no cume a pressão atmosférica éde 505 mm de mercúrio.

⑤ Biologia : Crescimento de uma população

De um modo geral, a população, ou seja, o numero de bactérias, mosquitos, etc, existentes num instante t é dado por uma lei exponencial do tipo P= P0 e kt ,

onde k é uma constante positiva, chamada constante de proporcionalidade, e P0 é a população inicial ( população noinstante t = 0).

Suponhamos então uma situação concreta em que o número P de mosquitos é dado pela expressão: P = P 0 e 0,01t,

onde o tempo t é expresso em dias.

Determine a população inicial P0, sabendo que depois de 30 dias a população é de 400 000 mosquitos.

⑥ O capital acumulado a prazo ao fim de n anos, quando capitalizado de forma continua , pode ser calculada através da

função C = C0 e tn ,

em que C0 representa a quantia depositada e t a taxa de juro anual (na forma decimal). Supondo C 0 = 10 000 euros e t =8%, determina:

a) a quantia acumulada ao fim de um, de dois e de oito anos e meio.

b) aproximadamente ao fim de quanto tempo duplica o capital?

⑦ A quantidade, em gramas, de substância radioactiva de uma amostra decresce segundo a fórmula Q(t) = Q0 e -

0,0001t,

em que t representa o número de anos. Ao fim de 5 000 anos restavam 3 gramas de substância radioactiva na amostra.Quantas gramas existiam inicialmente?

⑧ Ruídos

Um som de nível A de decibéis está relacionado com a sua intensidade i pela equação A = 10 log i (com i > 0)

Com i expressa em unidades adequadas.

a) Um som com 1 000 unidades de intensidade atinge quantos decibéis?

b) De um local próximo os níveis de ruído provocados por um camião e por um avião a jacto são, respectivamente, 100

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e 120 decibéis.

Qual é a razão entre a intensidade de ruído provocado pelo avião a jacto e a do ruído do camião?

c) Exprima i em função de A.

Exercícios

① Se log4 a = x calcula, em função de x:

a) log4 4a ; b) log4 (a/2) ;

c) log4 a3 ; d) log4 8√a ;

e) log4 (1/a) ;

② Calcula, sem calculadora:

a) log0,1 10; b) log10 0,1; c) log√2 4; d) log0,5 4; e) log√2 4√2 ;

③ Simplifique as expressões:

a) elog x + e 3log x; b) e x log (log e);

c) e3 + log x - e3 - log x; d) log (e2 + x)x - log e(x^2)

④ Resolva as equações em x:

a) logx 100 = -2; b) log8 x = 3; c) log2 3x = -1; d) 2x = 1/8; e) 32x-1 = 1;

⑤ Seja g(x) = 3 + log(x + 1).

Determinar o domínio e o contradomínio de g e caracterize a função inversa.

⑥ É dada a função f(x) = 2 - 2e1-x

a) Determine o domínio e o contradomínio de f.

b) Calcule o valor de x ∈ Df , tal que:

i) f(x) = f(1); ii) f(x) > 0.

⑦ Escreva a expressão seguinte sem usar o símbolo log: exlog2 + elogx-2logy + 5(-2log53), (x > 0, y > 0).

⑧ Determine o conjunto de solução, em lR de cada uma das condições seguintes:

a) e 3+2logx = (3x -2) . e3

b) log (x - 2) > log (x - 3) - log 3

⑨ Das seguintes afirmações, diga, justificando, quais são falsas.

a) A função f(x) = (-3)x é uma função exponencial.

b) A função f(x) = x2 é uma função exponencial.

c) A função f(x) = 3x é uma função invertível.

d) Se 3x = - 1 / 27, então x = -3.

e) Se f(x) = ex , então f(0,5) = √e.

f) A função exponencial f(x) = ax, a > 0 e a ≠ 1 é uma função decrescente.

g) Se f(x) = log2 (x) , então f -1(x) = 2x.

h) eln(x) = x.

i) A função f(x) = 2x + 2-x é idêntica à função g(x) = 20.

⑩ Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

a) (3-√2 x 3-1/3) : (3-√3)1/3 = 3,7 (1 c. d.).

b) log2 64 = - x <=> x = 1/6.

c) 3( log3 27 ) + e( loge 4 ) = 31.

d) 6 ( x2 - 7x + 10 ) = 1 <=> x = 5.

⑪ Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

a) log (9 + log (9 + log x)) - 1 = 0 <=> x = e .

b) log9 ( 3x + 8 ) = x + 1 é uma equação impossível.

c) logx 100 - logx 25 = 2 é uma equação indeterminada.

d) ln (x + 1) - ln (x - 1) - ln (1 + 1/x) + ln (1 - 1/x) = 0, se x > 1.

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