Embed Size (px)
Citation preview
Gordana Savić, Milan Martić, Milena Popović3/21/2019
1
MATEMATIČKI MODELI
EFIKASNOSTI
Informacije o predmetu
Nastavnici
Pravila polaganja
Sadržaj predmeta
Literatura
Podsećanje
Linearno programiranje (LP)
Dualni problem LP
2
Informacije o predmetu
http://laboi.fon.bg.ac.rs
Osnovne studije
Izborni predmeti
Matematički modeli efikasnosti
http://laboi.fon.bg.ac.rs/?page_id=53
Centar za analize efikasnosti
http://cea.fon.bg.ac.rs/ Sajt u izradi
3
Nastavnici
Gordana Savić
E:mail
Konsultacije: C203
Utorak12:00-14:00
Milan Martić
E:mail
Konsultacije: C203
Milena Popović
E:mail
Konsultacije: C309a
4
Pravila polaganja
1. Rad na času ili test 40 poena
2. Seminarski rad (studija slučaja) 60 poena
Diplomski rad
5
Sadržaj predmeta
Mere i merenje performansi
Razlomljeni DEA model
DEA LP model (CRS i BCC)
Dualni DEA model (CRS i BCC)
Orijentacija DEA modela
Proširenja osnovnih DEA modela
Procedura primene i analiza rešenja
Primena na realnim primerima
Studije slučaja (samostalni rad)
2019Gordana Savić
6
Način rada
Predavanja i vežbe, samostalan rad
Studije slučaja uz korišćenje softvera
MS excel (solver)
DEA Solver Softver LV
EMS ...
2018Gordana Savić
7
Literatura
1. Krčevinac S., Čangalović M., Vujčić V., Martić M. i Vujošević M., "Operaciona istraživanja 1", FON,
Beograd, 2006.,
2. Martić M., "Analiza obavijenih podataka sa primenama", FON, Beograd, 1999.,
3. Savić G., Komparativna analiza efikasnosti u finansijskom sektoru, Univerzitet u Beogradu, Fakultet
organizacionih nauka, Beograd, 2012.
4. Cooper W, Seiford L, Tone K, “Introduction to Data Envelopment Analysis and its Applications, With
DEA-Solver Software“, Springer, 2006
http://laboi.fon.bg.ac.rs/?page_id=917
http://cea.fon.bg.ac.rs/
8
Linearno programiranje (LP)
Dualni problem LP
Podsećanje9
Konstrukcija matematičkih modela10
Realni sistem Matematički model
Upravljačke odluke Upravljačke promenljive
Kriterijum
Cilj
Kriterijumska f-ja
F-ja cilja
Ograničavajući faktoriSkup ograničenja tj.
dopustivi skup
Optimalne upravljačke
promenljive
Optimalne upravljačke
odluke
Konstrukcija matematičkih modela11
Matematički model
Upravljačke promenljive
Kriterijumska f-ja
F-ja cilja
Skup ograničenja tj.
dopustivi skup
min( )
max
. .
f x
p o
( ) 0, 1,...,ig x i m
1 2{ , , ..., }nx x x x
Linearno programiranje - LP12
Linearno programiranje (LP)
LP služi za modeliranje problema tzv. uslovne optimizacije u kojima
treba naći optimalno rešenje, tj. ono rešenje za koje se postiže
najbolja vrednost nekog cilja u skupu svih mogućih alternativnih
rešenja problema, pri čemu svako rešanje iz ovog skupa
zadovoljava zadate uslove (ograničenja).
Pridev linearno označava da se cilj i ograničenja formalizuju
linearnim jendačinama i nejednačinama.
Termin “programiranje” se upotrebljava kao sinonim za planiranje.
13
Linearno programiranje (LP)14
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1 20, 0,..., 0
n n
n n
m m mn n m
n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
x x x
1 1 2 2
min( )
max
. .
n nf x c x c x c x
p o
c1 c2 … cj … cn
a11 a12 … a1j … a1n b1
a21 a22 … a2j … a2n b2
…
ai1 ai2 … aij … ain bi
…
am1 am2 … amj … amn bm
Linearno programiranje (LP)15
c1 c2 … cj … cn
a11 a12 … a1j … a1n b1
a21 a22 … a2j … a2n b2
…
ai1 ai2 … aij … ain bi
…
am1 am2 … amj … amn bm
1
, 1,
0, 1,
n
ij j i
j
j
a x b i m
x j n
1
min( )
max
. .
n
j j
j
f x c x
p o
Linearno programiranje (LP)16
c1 c2 … cj … cn
a11 a12 … a1j … a1n b1
a21 a22 … a2j … a2n b2
…
ai1 ai2 … aij … ain bi
…
am1 am2 … amj … amn bm
0
A X b
X
min( )
max
. .
Tf x C X
p o
Dualni problem LP – simetričan oblik17
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1 20, 0,..., 0
n n
n n
m m mn n m
n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
x x x
1 1 2 2max ( )
. .
n nf x c x c x c x
p o
11 1 21 2 1 1
12 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1 20, 0,..., 0
m m
m m
n n mn m n
m
a y a y a y c
a y a y a y c
a y a y a y c
y y y
1 1 2 2min ( )
. .
m my b y b y b y
p o
Primal Dual
18
1
, 1,...,
0, 1,...,
m
ij i j
i
i
a y c j n
y i m
1
min ( )
. .
m
i i
i
y b y
p o
Primal Dual
1
, 1,
0, 1,
n
ij j i
j
j
a x b i m
x j n
1
max ( )
. .
n
j j
j
f x c x
p o
19
0
TA Y C
Y
min ( )
. .
Ty b Y
p o
Primal Dual
0
AX b
X
max ( )
. .
Tf x C X
p o
Pravila za svođenje na simetričan oblik LP
Problem minimizacije funkcije f(x) može se svesti na problem maksimizacije
funkcije - f(x).
Ograničenje tipa ≤ se, množenjem obe njegove strane sa –1, svodi na
ekvivalentno ograničenje tipa ≥ .
Ograničenje oblika = se može zameniti sa dva ograničenja ≤ i ≥.
Ako za promenljivu xj ne postoji nikakav uslov koji ograničava njen znak, tj.
je neograničeno po znaku, tada se u problem uvodi smena xj =xj+ + xj
- ,
gde su xj+≥0 i xj
-≤ 0.
Ako je promenljiva xj ≤ 0, tada se u problem uvodi smena x’j=-xj, gde je
x’j ≥0 .
20
Formiranje duala – opšti oblik
Primalni problem
(ili dualni problem)
Dualni problem
(ili Primalni problem)
max f(x) (ili (y)) min (y) (ili f(x) )
Ograničenja primala (ili duala) Promenljiva xj (ili yj)
tipa ≤ nenegativna
tipa ≥ nepozitivna
tipa = neograničena po znaku
Promenljiva xj (ili yj) Ograničenja duala (ili primala)
ненегативна tipa ≤
непозитивна tipa ≥
неограничена по знаку tipa =
Simetrija primala i duala
Dual duala je primal.
21
)(xF )(y )(y )(xFii
yi
x jx
jyj )(xF )(y )(y
)(xF
ii
yi
x jx
jyj
Svojstva
SLABA DUALNOST.
Ako je x dopustivno rešenje primala a y dopustivno rešenje duala tada je f(x)≤(y).
(primal: max f(x), dual: min (y))
22
Svojstva
Ako je funkcija cilja primala neograničena odozgo na njegovoj dopustivoj oblasti,
tada je dopustiva oblast duala prazna.
Ako je funkcija cilja duala neograničena odozdo na njegovoj dopustivoj oblasti, tada
je dopustiva oblast primala prazna.
23
Svojstva
JAKA DUALNOST
Primal ima optimalno rešenje ako i samo ako dual ima optimalno rešenje, pri čemu su
optimalne vrednosti funkcija cilja ova dva problema jednake f(x) ≤ (y).
24
Svojstva
JAKA DUALNOST
Primal ima optimalno rešenje ako i samo ako dual ima optimalno rešenje, pri čemu su
optimalne vrednosti funkcija cilja ova dva problema jednake.
25
Svojstvo komplamentarne dopunjivosti26
0, 1,2,...,
( izravnavajuća promenljiva uvedena u -to ograničenje)
j i
j
x y i m
x i
0 1 2T
j j jx c A y j n ( ) , , , ...,
