Gordana Savić, Milan Martić, Milena Popović3/2/2018

1

MATEMATIČKI MODELI

EFIKASNOSTI

Informacije o predmetu

Nastavnici

Pravila polaganja

Literatura

Podsećanje

Linearno programiranje (LP)

Dualni problem LP

2

Informacije o predmetu

http://laboi.fon.bg.ac.rs

Osnovne studije

Izborni predmeti

Matematički modeli efikasnosti

http://laboi.fon.bg.ac.rs/?page_id=53

Centar za analize efikasnosti

http://cea.fon.bg.ac.rs/ Sajt u izradi

3

Nastavnici

Gordana Savić

E:mail

gordana.savic@fon.bg.ac.rs

goca@fon.bg.ac.rs

Konsultacije: C203

Ponedeljak 12:15-13:15

Milan Martić

E:mail

milan@fon.bg.ac.rs

Konsultacije: C203

Milena Popović

E:mail

milena.popovic@fon.bg.ac.rs

Konsultacije: C309a

4

Pravila polaganja

1. Rad na času ili test 40 poena

2. Seminarski rad (studija slučaja) 60 poena

Diplomski rad

5

Literatura

1. Krčevinac S., Čangalović M., Vujčić V., Martić M. i Vujošević M., "Operaciona istraživanja 1", FON,

Beograd, 2006.,

2. Martić M., "Analiza obavijenih podataka sa primenama", FON, Beograd, 1999.,

3. Savić G., Komparativna analiza efikasnosti u finansijskom sektoru, Univerzitet u Beogradu, Fakultet

organizacionih nauka, Beograd, 2012.

4. Cooper W, Seiford L, Tone K, “Introduction to Data Envelopment Analysis and its Applications, With

DEA-Solver Software“, Springer, 2006

http://laboi.fon.bg.ac.rs/?page_id=917

6

Linearno programiranje (LP)

Dualni problem LP

Podsećanje7

Konstrukcija matematičkih modela8

Realni sistem Matematički model

Upravljačke odluke Upravljačke promenljive

Kriterijum

Cilj

Kriterijumska f-ja

F-ja cilja

Ograničavajući faktoriSkup ograničenja tj.

dopustivi skup

Optimalne upravljačke

promenljive

Optimalne upravljačke

odluke

Konstrukcija matematičkih modela9

Matematički model

Upravljačke promenljive

Kriterijumska f-ja

F-ja cilja

Skup ograničenja tj.

dopustivi skup

min( )

max

. .

f x

p o

( ) 0, 1,...,ig x i m

1 2{ , , ..., }nx x x x

Linearno programiranje - LP10

Linearno programiranje (LP)

LP služi za modeliranje problema tzv. uslovne optimizacije u kojima

treba naći optimalno rešenje, tj. ono rešenje za koje se postiže

najbolja vrednost nekog cilja u skupu svih mogućih alternativnih

rešenja problema, pri čemu svako rešanje iz ovog skupa

zadovoljava zadate uslove (ograničenja).

Pridev linearno označava da se cilj i ograničenja formalizuju

linearnim jendačinama i nejednačinama.

Termin “programiranje” se upotrebljava kao sinonim za planiranje.

11

Linearno programiranje (LP)12

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n

n n

m m mn n m

n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x x x

1 1 2 2

min( )

max

. .

n nf x c x c x c x

p o

c1 c2 … cj … cn

a11 a12 … a1j … a1n b1

a21 a22 … a2j … a2n b2

…

ai1 ai2 … aij … ain bi

…

am1 am2 … amj … amn bm

Linearno programiranje (LP)13

c1 c2 … cj … cn

a11 a12 … a1j … a1n b1

a21 a22 … a2j … a2n b2

…

ai1 ai2 … aij … ain bi

…

am1 am2 … amj … amn bm

1

, 1,

0, 1,

n

ij j i

j

j

a x b i m

x j n

1

min( )

max

. .

n

j j

j

f x c x

p o

Linearno programiranje (LP)14

c1 c2 … cj … cn

a11 a12 … a1j … a1n b1

a21 a22 … a2j … a2n b2

…

ai1 ai2 … aij … ain bi

…

am1 am2 … amj … amn bm

0

A X b

X

min( )

max

. .

Tf x C X

p o

Dualni problem LP – simetričan oblik15

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

n n

n n

m m mn n m

n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x x x

1 1 2 2max ( )

. .

n nf x c x c x c x

p o

11 1 21 2 1 1

12 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 20, 0,..., 0

m m

m m

n n mn m n

m

a y a y a y c

a y a y a y c

a y a y a y c

y y y

1 1 2 2min ( )

. .

m my b y b y b y

p o

Primal Dual

16

1

, 1,...,

0, 1,...,

m

ij i j

i

i

a y c j n

y i m

1

min ( )

. .

m

i i

i

y b y

p o

Primal Dual

1

, 1,

0, 1,

n

ij j i

j

j

a x b i m

x j n

1

max ( )

. .

n

j j

j

f x c x

p o

17

0

TA Y C

Y

min ( )

. .

Ty b Y

p o

Primal Dual

0

AX b

X

max ( )

. .

Tf x C X

p o

Pravila za svođenje na simetričan oblik LP

Problem minimizacije funkcije f(x) može se svesti na problem maksimizacije

funkcije - f(x).

Ograničenje tipa ≤ se, množenjem obe njegove strane sa –1, svodi na

ekvivalentno ograničenje tipa ≥ .

Ograničenje oblika = se može zameniti sa dva ograničenja ≤ i ≥.

Ako za promenljivu xj ne postoji nikakav uslov koji ograničava njen znak, tj.

je neograničeno po znaku, tada se u problem uvodi smena xj =xj+ + xj

- ,

gde su xj+≥0 i xj

-≤ 0.

Ako je promenljiva xj ≤ 0, tada se u problem uvodi smena x’j=-xj, gde je

x’j ≥0 .

18

Formiranje duala – opšti oblik

Primalni problem

(ili dualni problem)

Dualni problem

(ili Primalni problem)

max f(x) (ili (y)) min (y) (ili f(x) )

Ograničenja primala (ili duala) Promenljiva xj (ili yj)

tipa ≤ nenegativna

tipa ≥ nepozitivna

tipa = neograničena po znaku

Promenljiva xj (ili yj) Ograničenja duala (ili primala)

ненегативна tipa ≤

непозитивна tipa ≥

неограничена по знаку tipa =

Simetrija primala i duala

Dual duala je primal.

19

)(xF )(y )(y )(xFii

yi

x jx

jyj )(xF )(y )(y

)(xF

ii

yi

x jx

jyj

Svojstva

SLABA DUALNOST.

Ako je x dopustivno rešenje primala a y dopustivno rešenje duala tada je f(x)≤(y).

(primal: max f(x), dual: min (y))

20

Svojstva

Ako je funkcija cilja primala neograničena odozgo na njegovoj dopustivoj oblasti,

tada je dopustiva oblast duala prazna.

Ako je funkcija cilja duala neograničena odozdo na njegovoj dopustivoj oblasti, tada

je dopustiva oblast primala prazna.

21

Svojstva

JAKA DUALNOST

Primal ima optimalno rešenje ako i samo ako dual ima optimalno rešenje, pri čemu su

optimalne vrednosti funkcija cilja ova dva problema jednake.

22

Svojstva

JAKA DUALNOST

Primal ima optimalno rešenje ako i samo ako dual ima optimalno rešenje, pri čemu su

optimalne vrednosti funkcija cilja ova dva problema jednake.

23