matematika_teorija za faks

8/12/2019 matematika_teorija za faks

1/21

RJEENJA IZ MATEMATIKE

Trag matrice -zbroj elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matricezovemo i piemo trA= a11+a22+annPravila za raunanje determinantisu Sarusovo pravilo koje vrijedi samoza det.vieg reda I aplaceov razvoj=detA=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin=!aijAij I po

j"tom stupcu detA=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj=!aijAijTrans!nirana matrica- ako u matrici A element #n zamjenimo retke Istupce $prvi redak piemo kao prvi stupac% drugi redak kao drugo stupac&%dobijemo transponiranu matricu ATelement #n. A'AT"aij'aji. Svojstvatransponiranja $A+(&)= A)+()% $* A&)= *At% $A)&)=A% $A(&)=()A)

Rang matrice #je najvei broj linearno nezavisni, redaka $ili stupaca& tematrice.-ang poretcima isti je kao I rang po stupcima pa je A element#n'r$A&min/m%n0. dreujemo ga primjenom elementarni,trans3ormacija na retke ili stupce.Elementrane tras$!rmacije su 4 "zamjena dvaju redaka$stupaca&%"mno5enje retka$stupca& brojem razli6itim od 7 %"zbrajanje dvaju redaka$stupaca&Inverzna matrica- ako za matricu A element #n postoji matrica A "1

element #n takva da vrijediA8 A"1=I% tada je A"1 inerzna matrica matrice A. na se de3inira samo zaneke kvadratne matrice. Ako za neku matricu A ekement #n inverznamatrica postoji% ona je jedinstvena A8A"1= A"18A= I. Inverzna matrica uvjekne postoji. 9a bi matrica imala inverz mora biti regularna I det A:7.

Inverzna matrica ra6una se promjenom determinanti na ra6unanje A"

1=1;


2/21

*inet-/auc01jev te!rem-9eterminanta produkta dvije matrice jednaka jeproduktu determinanti% Ceka su matrice A i ( kvadratne matrice reda n.)ada vrijedi4 det$A 8 (& = det A 8 det (.%)alarni umn!&a) dvaju ve)t!ra u Rn je preslikavanje koje svakom

paru vektora D%E element -npridru5uje realni broj D)E= D1E1 +D2E2++DnEn.Skalarni umno5ak dvaju okomiti, vektora jednak je 7. D)F=7'GHFKr!nec)er-/aelli2. Sustav linearni, algebarski, jednad5bi ima bar jedno

rjeenje% ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proirenematrice sustava.K!$a)t!r ili alge,ars)i )!mlementAij elementa aij de3iniramo kao

Aij = $-1&i+j


3/21


4/21

nije singularna. )o mo5emon provjeriti ra6unajui determinantu I tra5eiinverz%ustav A56, ima jedinstven! rje>enje ako je rang matrice A jednakrangu proirene matrice i ako je rang matrice A jednak broju nepoznaca n.

Naini za operativno raunanje tog rjeenja jest Gauss-Jordanova

redukcija i ramerovom pravilu za rje.sus! ako je detA razli od ".

%ustav A56, je 0!m!gen? mo#e ga se zapisati u matrinom obliku A$%".

&jeenje $'%$(%)$n%" *omonog sustava se zove trivijalno rjeenje.+omogeni sustav je uvijek konzistentan jer ima to trivijalno rjeenje $%".

,a *omogeni sustav je uvjek rang matrice jednak rangu proirene matrice

pa on ima ili samo trivijalno rjeenje ili beskonano mnogo rjeenja

.vije matrice sujednake ako su istog tipa m$n ako su im odgovarajuielementi jednaki tj aij%bijza svaki i%').n i j%')m . Ne vrijedi iAB%BA jer

za mno#enje matrica ne vrijedi svojstvo komutativnosti./ 0arta nije uspila

dobit isto1

@eza izmeu ranga matrice I determinante matrice A-,a matricuAelement 0n sljedee tvrdnje su ekvivalentne- rang/A1%n det/A12". ,a

matricu A element 0n sljede tvrdnje su ekvivalentne- rang /A13n!det/A1%"

eISPIT.com - Online ispiti i skripte


5/21

Pad $un)cije Runkcija E=3$D& je monotono padajua na intervalu I=Ba%b@ako vrijedi D1%D2element I% D1BD2'3$D1&3$D2&. Kamjenemo li sa @ imamo$strogo& padajuu 3unkciju. Ka 3unkciju 3 element ?1 $I& vrijedi 3 jemonotono T 3UJ$D&7% D element I padajua na I.

Ta1l!r!v te!rem- Ozastopnom primjenom teorema srednje vrijednosti $na3unkciju% na njenu derivaciju% drugu derivaciju& dolazimo do )aElorovogpolinoma stupnja n za 3unkciju 3 klase ?nu to6ki D7%)n$D&=3$D7& +3J$D7&;1V$D"D7&+3JJ$D7&;2V$D"D7&2+3JJJ$D7&;V$D"D7& +3IM$D7&;WV$D"D7&++3n$D7&;nV$D"D7&n pri 6emu vrijedi )aElorova 3ormula 3$D&=)n$D&+-n$D&$ostatak&. -n$D&=$D"D7&n rn$D&% lim rn$D&=7. )aElorov polinom )n$G&ima svostvo da su u to6ki D=D7 vrijednosti 3unkcije I polinoma kao Ivrijednost nji,ovi, prvi, derivacijaa jednake. vaj polinom % najbolje odsvi, polinoma stupnja n% aproksimira 3unkciju 3 u okolini to6ke D7. Ka3unkciju 3 klase ? bskona6no imamo )aEorov red 3$D&= 3$D7& +3J$D7&;1V$D"D7&+3JJ$D7&;2V$D"D7&2+3JJJ$D7&;V$D"D7&+.. Ako je D7=7 % imamo #acaurinov red 3$D&=3$7&+3J$7&;1VD+3JJ$7&;2VD2+3B0!sital!v! ravil!- ako je lim 3$D&=limg$D&=7$ili +" bekona6no&% tadavrijedi lim3$D&;g$D&=/7;7 ili X;X0=lim 3J$D&;gJ$D&. Okoliko navedeni limesi

postoje. vo pravilo% dakle mo5emo koristitu za rjeenje neodreeni,oblika limesa 7;7 ili X;X. stale neodreene oblike trebamo prvo svesti na

jednog od nji,% a zatim promjeniti pravilo. Cjegovo pravilo prikazujemo zaoblik 7;7 I za slu6aj derivabilni, 3unkcija 3 i g u to6ki D=c.Yoristimo)aElorovu 3ormulu za 3 i g. 3$D&;g$D&=3$c& + 3J$c&$D"c& + $D"c&r13$D&;;;g$c& +

gJ$c&$D"c&+$D"c&r1g$D& Yako zbog neprekidnosti% 3$c&=g$c&=7 imamo3$D&;g$D&=3J$c& + r13$D&;;;gJ$c& + r1g$D& Ozevi lim na obje strane ovejednakosti% D'c dobivamo JZospitalovo pravilo.Rast $un)cije #Runkcija E=3$D& je monotono rastua na intervalu I=Ba%b@ako vrijedi D1%D2element I% D1BD2'3$D1&3$D2&. Kamjenemo li sa B imamo$strogo& rastuu 3unkciju. Ako je 3unkcija derivabilna na I% tada svojstvorasta mo5emo izraziti pomou derivacije.Ka 3unkciju 3 element ?1$I& vrijedi3 je monotono T 3UJ$D&7% D element I rastua na I.K!nve)sn!st- 3unkcija E=3$D& je konveksna na intervalu I=Ba.b @% ako zasve D1%D2element I vrijedi 3$D1+D2;2&3$D1& + 3$D2&;;2 Ako u ovoj de3inicijiznak mo5mo zamjeniti sa B ka5emo da je 3unkcija strogo konveksna#o5e se pokazati da za 3unkciju klase ?2$I& svojstvo koneksnosti mo5emoizraziti pomou druge derivacije. Ka 3unkciju 3 element ?2$I& vrijedi 3 jekonveksna na IT3JJ$D&7% D elem I.K!n)avn!st- sve isto samo treba zamjenit sa gdje god ima.3!)alni I gl!,alni e)stremi # neka je I$a%b&. )o6ka D7 element I je to6kamaksimuma 3unkcije E=3$D& na I ako vrijedi D element% D:D7'3$D& 3$D7&



6/21

Ako u ovoj de3iniciji znak mo5emo zamjeniti sa B ka5emo da je D7 to6kastrogog maksimuma. Sli6no je za minimum $'& vom de3inicijom danisu nu5ni uvjeti za postojanje ekstrema. 3!)alni #postoji okolina te to6kena kojoj je ona ekstrem. l!,alni- na zadanom intervalu [ podru6ju ili na6itavoj domeniAlg!ritam za !dreivanje e)strema #1.rjeiti jednad5bu 3J$D&=7. Cjena rjeenja su stacion.to6ke $kandidati za

to6ke ekstrema&2.da bi odredili koji su ekstremi% treba napraviti tablicu predznaka prvederivacije ili uvrstiti stac.to6ke u drugu derivac..9obivene to6ke ekstreme uvrstimo u polaznu 3unkciju. )ime se dobijuobje kordinate ekstrema a koje mo5emo koristiti za crtanje gra3a 3unkcije..i$erencijal $un)cije # ako je 3unkcija E=3$D& derivabilna u nekoj to6ki%znamo da u toj to6ki vrjedi EJlim \E;\D ili \E=EJ\D$di3erencijal& + ]$\D&\D. 9i3erencijal de3iniramo 3ormulom dE=EJdD% slijedi da je EJ=dE;dD% tjderivacija je jednaka kvocjentu di3erencijala zavisne I nezavisne varijable.9i3 3unkcije dE je glavni dio prirasa \E% tj dE aproksimira \E to bolje to je\D manji. 9akle \E^dE za dovoljno mali dD% odnosno 3$D+dD&"3$D&^3J$D&dD% kao I kod derivacija % de3niramo di3erencijal viegreda4d2E=d$dE&=EJJdD2% dE=d$d2E&=EJJJdD%dnE=d$dn"1E&=EndDn.;un)cija u)uni0 ri0!da4$5&.;un)cija granini0 ri0!da PB=)!va7$5& $ili 7$$&&%pri 6emu je 5 $ili$& volumen iliopseg ili koli6ina

proizvodnje. Okupni trokovi sastoje se od 3iksni, i varijabilni,. Nri tomesu 7$7& ukupni 3iksni trokovi a 7$5& 8 7$7& ukupni varijabilni trokovi zaopseg proizvodnje 5.



7/21

Trag matrice -zbroj elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matricezovemo i piemo trA= a11+a22+annPravila za raunanje determinantisu Sarusovo pravilo koje vrijedi samoza det.vieg reda I aplaceov razvoj=detA=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin=!aijAij I po

j"tom stupcu detA=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj=!aijAijTrans!nirana matrica- ako u matrici A element #n zamjenimo retke Istupce $prvi redak piemo kao prvi stupac% drugi redak kao drugo stupac&%dobijemo transponiranu matricu ATelement #n. A'AT"aij'aji. Svojstvatransponiranja $A+(&)= A)+()% $* A&)= *At% $A)&)=A% $A(&)=()A)

Rang matrice #je najvei broj linearno nezavisni, redaka $ili stupaca& tematrice.-ang poretcima isti je kao I rang po stupcima pa je A element#n'r$A&min/m%n0. dreujemo ga primjenom elementarni,trans3ormacija na retke ili stupce.Elementrane tras$!rmacije su 4 "zamjena dvaju redaka$stupaca&%"mno5enje retka$stupca& brojem razli6itim od 7 %"zbrajanje dvaju redaka$stupaca&Inverzna matrica- ako za matricu A element #n postoji matrica A "1

element #n takva da vrijedi

A8 A"1

=I% tada je A"1

inerzna matrica matrice A. na se de3inira samo zaneke kvadratne matrice. Ako za neku matricu A ekement #n inverznamatrica postoji% ona je jedinstvena A8A"1= A"18A= I. Inverzna matrica uvjekne postoji. 9a bi matrica imala inverz mora biti regularna I det A:7.Inverzna matrica ra6una se promjenom determinanti na ra6unanje A"1=1;


8/21

*inet-/auc01jev te!rem-9eterminanta produkta dvije matrice jednaka jeproduktu determinanti% Ceka su matrice A i ( kvadratne matrice reda n.)ada vrijedi4 det$A 8 (& = det A 8 det (.%)alarni umn!&a) dvaju ve)t!ra u Rn je preslikavanje koje svakom

paru vektora D%E element -npridru5uje realni broj D)E= D1E1 +D2E2++DnEn.Skalarni umno5ak dvaju okomiti, vektora jednak je 7. D)F=7'GHFKr!nec)er-/aelli2. Sustav linearni, algebarski, jednad5bi ima bar jedno

rjeenje% ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proirenematrice sustava.K!$a)t!r ili alge,ars)i )!mlementAij elementa aij de3iniramo kao

Aij = $-1&i+j


9/21

4!m!geni sustav A567 uvjek ima bar jedno rjeenje I to trivijalno D=7%tj. D1=D2=Dn=7 jer je r$A& =r$A


10/21

Te0ni)i )!e$icijent r!izv!dnje aij- dio i"tog sektora koji koristi j"tisektror za proizvodnju jedne jedinice svoga proizvoda je konstantan.Aij=Pij;Pj%.. ij=1%2..nE)!n!ms)a interretacija te0ni )!e$ic aij - dio proizvoda i"tog sektorakoji koristi j"ti sector za proizvodnju jedne jedinice svog proizvoda jekonstntan I nazivamo ga te,ni6ki koe3icijent proizvodnje aij=Pij;Pj%i%j=1%2n

;!rmula )!ja !vezuje te0ni)e )!e$icij aijI u)une !utute enje ako je rang matrice A jednakrangu proirene matrice i ako je rang matrice A jednak broju nepoznaca n.

Naini za operativno raunanje tog rjeenja jest Gauss-Jordanova

redukcija i ramerovom pravilu za rje.sus! ako je detA razli od ".

%ustav A56, je 0!m!gen? mo#e ga se zapisati u matrinom obliku A$%".&jeenje $'%$(%)$n%" *omonog sustava se zove trivijalno rjeenje.

+omogeni sustav je uvijek konzistentan jer ima to trivijalno rjeenje $%".

,a *omogeni sustav je uvjek rang matrice jednak rangu proirene matrice

pa on ima ili samo trivijalno rjeenje ili beskonano mnogo rjeenja.vije matrice su jednake ako su istog tipa m$n ako su im odgovarajuielementi jednaki tj aij%bijza svaki i%').n i j%')m . Ne vrijedi iAB%BA jer

za mno#enje matrica ne vrijedi svojstvo komutativnosti./ 0arta nije uspila

dobit isto1

@eza izmeu ranga matrice I determinante matrice A- ,a matricuAelement 0n sljedee tvrdnje su ekvivalentne- rang/A1%n det/A12". ,a

matricu A element 0n sljede tvrdnje su ekvivalentne- rang /A13n!

det/A1%"

Pad $un)cije Runkcija E=3$D& je monotono padajua na intervalu I=Ba%b@ako vrijedi D1%D2element I% D1BD2'3$D1&3$D2&. Kamjenemo li sa @ imamo$strogo& padajuu 3unkciju. Ka 3unkciju 3 element ?1 $I& vrijedi 3 jemonotono T 3UJ$D&7% D element I padajua na I.



11/21

Ta1l!r!v te!rem- Ozastopnom primjenom teorema srednje vrijednosti $na3unkciju% na njenu derivaciju% drugu derivaciju& dolazimo do )aElorovog

polinoma stupnja n za 3unkciju 3 klase ?nu to6ki D7%)n$D&=3$D7& +3J$D7&;1V$D"D7&+3JJ$D7&;2V$D"D7&2+3JJJ$D7&;V$D"D7& +3IM$D7&;WV$D"D7&++3n$D7&;nV$D"D7&n pri 6emu vrijedi )aElorova 3ormula 3$D&=)n$D&+-n$D&$ostatak&. -n$D&=$D"D7&n rn$D&% lim rn$D&=7. )aElorov polinom )n$G&ima svostvo da su u to6ki D=D7 vrijednosti 3unkcije I polinoma kao I

vrijednost nji,ovi, prvi, derivacijaa jednake. vaj polinom % najbolje odsvi, polinoma stupnja n% aproksimira 3unkciju 3 u okolini to6ke D7. Ka3unkciju 3 klase ? bskona6no imamo )aEorov red 3$D&= 3$D7& +3J$D7&;1V$D"D7&+3JJ$D7&;2V$D"D7&2+3JJJ$D7&;V$D"D7&+.. Ako je D7=7 % imamo #acaurinov red 3$D&=3$7&+3J$7&;1VD+3JJ$7&;2VD2+3B0!sital!v! ravil!- ako je lim 3$D&=limg$D&=7$ili +" bekona6no&% tadavrijedi lim3$D&;g$D&=/7;7 ili X;X0=lim 3J$D&;gJ$D&. Okoliko navedeni limesi

postoje. vo pravilo% dakle mo5emo koristitu za rjeenje neodreeni,oblika limesa 7;7 ili X;X. stale neodreene oblike trebamo prvo svesti na

jednog od nji,% a zatim promjeniti pravilo. Cjegovo pravilo prikazujemo zaoblik 7;7 I za slu6aj derivabilni, 3unkcija 3 i g u to6ki D=c.Yoristimo)aElorovu 3ormulu za 3 i g. 3$D&;g$D&=3$c& + 3J$c&$D"c& + $D"c&r13$D&;;;g$c& +gJ$c&$D"c&+$D"c&r1g$D& Yako zbog neprekidnosti% 3$c&=g$c&=7 imamo3$D&;g$D&=3J$c& + r13$D&;;;gJ$c& + r1g$D& Ozevi lim na obje strane ove

jednakosti% D'c dobivamo JZospitalovo pravilo.Rast $un)cije #Runkcija E=3$D& je monotono rastua na intervalu I=Ba%b@ako vrijedi D1%D2element I% D1BD2'3$D1&3$D2&. Kamjenemo li sa B imamo$strogo& rastuu 3unkciju. Ako je 3unkcija derivabilna na I% tada svojstvorasta mo5emo izraziti pomou derivacije.Ka 3unkciju 3 element ?1$I& vrijedi

3 je monotono T 3UJ$D&7% D element I rastua na I.K!nve)sn!st- 3unkcija E=3$D& je konveksna na intervalu I=Ba.b @% ako zasve D1%D2element I vrijedi 3$D1+D2;2&3$D1& + 3$D2&;;2 Ako u ovoj de3inicijiznak mo5mo zamjeniti sa B ka5emo da je 3unkcija strogo konveksna#o5e se pokazati da za 3unkciju klase ?2$I& svojstvo koneksnosti mo5emoizraziti pomou druge derivacije. Ka 3unkciju 3 element ?2$I& vrijedi 3 jekonveksna na IT3JJ$D&7% D elem I.K!n)avn!st- sve isto samo treba zamjenit sa gdje god ima.3!)alni I gl!,alni e)stremi # neka je I$a%b&. )o6ka D7 element I je to6kamaksimuma 3unkcije E=3$D& na I ako vrijedi D element% D:D7'3$D& 3$D7&Ako u ovoj de3iniciji znak mo5emo zamjeniti sa B ka5emo da je D7 to6kastrogog maksimuma. Sli6no je za minimum $'& vom de3inicijom danisu nu5ni uvjeti za postojanje ekstrema. 3!)alni #postoji okolina te to6kena kojoj je ona ekstrem. l!,alni- na zadanom intervalu [ podru6ju ili na6itavoj domeniAlg!ritam za !dreivanje e)strema #



12/21

1.rjeiti jednad5bu 3J$D&=7. Cjena rjeenja su stacion.to6ke $kandidati zato6ke ekstrema&2.da bi odredili koji su ekstremi% treba napraviti tablicu predznaka prvederivacije ili uvrstiti stac.to6ke u drugu derivac..9obivene to6ke ekstreme uvrstimo u polaznu 3unkciju. )ime se dobijuobje kordinate ekstrema a koje mo5emo koristiti za crtanje gra3a 3unkcije..i$erencijal $un)cije # ako je 3unkcija E=3$D& derivabilna u nekoj to6ki%

znamo da u toj to6ki vrjedi EJlim \E;\D ili \E=EJ\D$di3erencijal& + ]$\D&\D. 9i3erencijal de3iniramo 3ormulom dE=EJdD% slijedi da je EJ=dE;dD% tjderivacija je jednaka kvocjentu di3erencijala zavisne I nezavisne varijable.9i3 3unkcije dE je glavni dio prirasa \E% tj dE aproksimira \E to bolje to je\D manji. 9akle \E^dE za dovoljno mali dD% odnosno 3$D+dD&"3$D&^3J$D&dD% kao I kod derivacija % de3niramo di3erencijal viegreda4d2E=d$dE&=EJJdD2% dE=d$d2E&=EJJJdD%dnE=d$dn"1E&=EndDn.;un)cija u)uni0 ri0!da4$5&.;un)cija granini0 ri0!da PB=)!va7$5& $ili 7$$&&%pri 6emu je 5 $ili$& volumen iliopseg ili koli6ina

proizvodnje. Okupni trokovi sastoje se od 3iksni, i varijabilni,. Nri tomesu 7$7& ukupni 3iksni trokovi a 7$5& 8 7$7& ukupni varijabilni trokovi za

opseg proizvodnje 5.

;un)cija $' RnCR je 0!m!genaDRunkcija E= 3$D1%D2Dn& je ,omogenastupnja ,omogenosti _ ako za svaki * elem.- za koji je *_ de3iniranovrijedi4 3 $*D1% *D2.. *Dn&= *_ 8 3$D1% D2Dn&. Ako vrijednosti svi, varijabli

pomno5imo sa * vrijednost 3unkcije se pomno5i sa *_. Ka _=1 3unkcija jelinearno ,omogena $mno5i se s istim 3aktorom kao i varijable&. Ka _=7vrijednost 3unkcije se nemjenja mno5enjem varijabli istim 3aktorom.Interretacija stunja 0!m!gen!sti # neka se sve neovisne varijable D1%D2Dn 3unkcije E=E$D1% D2Dn& istovremeno poveaju ili smanje za jedan

postotak p. )ada je *=1+p;177 pa ako je 3unkcija E ,omogena stupnja,omogeniteta _ % ovisna se varijabla E povea ili smanji za 177$*_"1&`Eler!v te!rem za 0!m!g9 $un)ciju !d n varija,li z6z=58?5:5n2stunja 0!m!genit9' teorem4 ako je z=z$D1%D2Dn& ,omogena stupnja _tada vrijedi4D1 $dz;dD1& + D2 $dz;dD2&+ Dn $dz;dDn&= _8z$D1%D2Dn&.



13/21

ulerov teorem izra5en u terminima parcijalni, elasti6nosti4 dijeljenjemobij strana ove jednakosti sa z dobijemo K%G1+K%G2+K% Gn = _Euler!v te!rem za $un)ciju $'RFCR' teorem4 ako je 3$D1%D2%D&,omogena stupnja _% tada vrijedi4D1$d3;dD1& +D2 $d3;dD2& + D $d3;dD&= _83$D1%D2%D&. ulerov teoremizra5en u terminima parcijalni, elasti6osti4 dijeljenjem obiju strana ove

jednakosti sa 3 dobijemo 3%D1 + 3D2 + 3D =_

.e$in9sve arcijalne derivacije rv!g reda $un)cije $' RCR u t!)i=5?12 element R:'Nromatramo 3unkciju svije varijable 3$D%E&. Ako 3iksiramo E tada je 3$D%E&3unkcija jedne varijable D. Ako 3iksiramo D tada je 3$D%E& 3unkcija jednevarijable E. 9erivacije ti, dviju 3unkcija nazivamo parcijalne derivacije3unkcije 3$D%E&. Imamo4 parc.derivac.1"og reda4d3;dD $D%E&= lim 3$D+\D%D&"3$D%E&;;\Dd3;dE$D%E& = lim 3$D%E +\E& [ 3$D%E&;;\E9akle % parcij.derivac.3unkcije po jednoj njenoj varijabli je grani6navriijednost kvocijenta parcijalnog prirasta 3unkcije po toj varijabli i prirastasame varijable kad on te5i nuli. No jednoj varijabli deriviramo tako da sveostale dr5imo konstantnima..e$9arcijalne derivacije drug!g reda $un)cije z6 z=5?12 - promatramo3unkciju dvije varijable z$D%E& . ako 3iksiramo E tada je z$D%E& 3unkcija jednevarijable D. Ako 3iksiramo D tada je z$D%E& 3unkcija jedne varijable E.9erivacije ti, dviju 3unkcija nazivamo parcij. deriv. 3unkcije z$D%E&.Imamo

parc.der.1"og reda49z;dD $D%E& = lim z$D+ \D%E&"z$D%E&;; \Ddz;dE$D%E&= lim z$D%E + \E&" z$D%E&;;\E

Ako ovako dobivene derivacije ponovno deriviramo dobijemoparcijalne derivacije drugog reda492z;dD2ili zDD ili zDD d2z;dE2ili zEE ili zEE d2z;dDdE ili zDE ili zDE%c0Garz!v =H!ung!v2 te!rem za $un)ciju $'R:CR' teorem4d23;dDdE=d23;dEdD uz uvjet da su sve navedene derivacije neprekidne u

promatranoj to6ki i njenoj okolini..e$in9 T!talni di$erencijal $un)cije $ u t!)i =5?12 elem R:'$ovdje je onajznak koji treba druga6ije napisat&4"-teorem srednje vrijednosti za 3unkciju dvije varijable 34 9'-% 9-2.

Ceka je A $D7%E7&% ($D7+\D%E7+\E& elem 9% tako da je i A( $du5ina& 9.Ako 3 ima neprekidne prve parcijalne derivacije na 9% tada postoji bar jednato6ka ? na du5ini A( tako da vrijedi 4R$D7+\D% E7+\E& [ 3$D7%E7& = d3;dD$c&8\D + d3;dE$c& 8\E% ozna6imo lidD=\D% dE=\E tada se izraz naziva totalni di3erencijal prvog reda 3unkcije 3u promatranoj to6ki. Narcijalni $totalni& di3erencijali aproksimiraju

parcijalne priraste 3unkcije u nekoj to6ki to bolje to su di3erencijalinezavisni, varijabli manji.



14/21

Izaz za t!talni di$erencijal $un)cije z6z= 58? 5:95n2 !d n varija,li'openito za z $ D1% D2.Dn& je totalni di3erencijal prvog reda dz=dz;dD18dD1+dz;dD28dD2+ dz;dDn8dDn$parcijalni di3erencijali&Narcijalni $totalni& di3erencijali aproksimiraju parcijalne $totalne& priraste3unkcije u nekoj to6ki to bolje to su di3erencijali nezavisni, varijablimanji..i$erencijal drug!g reda $un)cije $ u t!)i =5?12 elem R:'

Yako je d3=3DdD+3EdE% imamod23=d$d3&=$d3&DdD + $d3&Ed D = $ 3 DDd D + 3 EDdE&dD + $3DEdD +3EEdE&dE=3DDdD2+23DEdDdE+3EEdE2.3!)alni i gl!,alni minimum i ma)simum $un)cije z6z =5?12' z49'-%9-2. )o6ka N7 elem. 9 je to6ka lokalnog maksimuma 3unkcije z ako

postoji okolina to6ke N7% $ N7& takva da vrijedi4 N elem %N:N7'z$N&z$N7&KaB umjesto imamo strogi masimum. Sli6no za minimum. kolina to6keu -2je npr. Yrug sa sreditem u toj to6ki.P!tre,ni uvjeti e)strema $un)cije $=5?12'u to6ki ekstrema tangencijalnaravnina je paralelna sa D"E ravninom% tj d3=3DdD + 3EdE=7 za sve dD%%dE'3D=7% 3E=7)i uvjeti su ispunjeni u slu6aju maksimuma % minimuma i sedlaste to6ke..!v!ljni uvjeti e)strema $un)cije drug!g reda'd23B7 [maD%% d23@7" min.% d23=3DDdD2+23DEdDdE + 3EEdE2

9ovoljni4"#aksim.4 3DDB7% 3DD3EE"32DE@7 ili Z@7% "minim.43DD@7% 3DD3EE"32DE@7 ili Z@7"sedlasta to6ka4 3DD3EE"32DEB7 ili ZB7"Zesseova determinanta $,essova matrica& je matrica drugi, parcijalni,

derivacija. Yako je Z12=3DE=3ED=Z21$Sc,]arzov teor&% matrica Z je simetr. Apomou nje se mogu izraziti i dovoljni uvjeti.

P!stua) !dreivanja e)strema'1. rjeavanjem sustava jednad5bi 3D=7% 3E=7 dobijemo stacionarne to6ke

potencijalne kandidate za to6ke ekstreme2. dobivene stac.to6ke uvrtavamo u dovoljne uvjete da bi ispitali koji seod slu6ajeva pojavljuje$min%maD il sedl.to6ka&.)o6ke ekstreme $ili sedl to6ke& uvrtavamo u polaznu 3unkciju&K!e$icijenti arcijalne elastin!sti $un)cije z6z=5?1?t2'koe3.su de3inirani u odnosu na svaku varijablu posebno4

K%G=D;z8dz;dD K%F=E;z8 dz;dE% K%)=t;z8dz;dt. Yoe3icijent parcijalneelasti6nosti mjeri relativnu promjenu vrijednosti 3unkcije uslijed promjenenezavisne varijable za 1 . Ako u i 3unkcije i sve varijable zadanelogoritamski % tada je4K%G=d$logaz&;d$logaD&..K!e$icijenti arcijalne elastin!sti za $un)ciju !tra&nje' Q1%p1" pokazuje kako reagira potra5nja dobra 1 na promjenu njegove cijene.



15/21

K!e$icijenti u)r>tene elastin!sti za $un)ciju !tra&nje' Q1%p2i Q1%p[pokazuju kako reagira potra5nja dobra 1 na promjenu cijene nekog odostali, dobara koja na nju utje6u. Ako je neki koe3ic. Okrtene$ kri5ne&elasti6nosti pozitivan% tada su ta dva dobra supstituti a ako je negativanonda su komplementi.Met!da 3agnenge!vi0 multili)at!ra za nala&enje ma5 i min $un)cije$25?12 uz !granienje g=5?126,'

Rormiramo angrengeovu 3unkciju od varijable4$*%D%E&=3$D%E&+ *8g$D%E&% gdje je * angrengeov multiplikator.Imamo nu5ni uvjet4 *=7% D=7% E=7 $ time dobijemo stacionarnu $"e&to6ku&% i dovoljni uvjet koji se prikazuje preko Zessove matriceInterretacija 3agnenge!va multili)at!ra - kako je *=d;dQ to je *mjera osjetljivosti $brzine promjene& 3unkcije u odnosu na malu promjenuograni6enja Q .$ navest primjer% ako se Q povea za onda se ili smanji ili

povea za neto&sn!vni te!rem di$erencijaln!g i integraln!g rauna'-neka je zadana3unkcija 3$D&. Runkciju R$D& za koju vrijedi R$D&=3$D& nazivamo primitivna3unkcija 3unkcije 3$D&. Nostupak kojom iz zdane 3unkcije 3$D& dobivamonjenu primitivnu 3unkciju R$D& nazivamo integriranje.;=526dR$D&;dD=3$D&=dR$D&=3$D&dD R$D&=dR$D&=3$D&dDIntegriranje je inverzna operacija od di3erenciranja $u sutini od deriviranjakoje je osnova di3erenciranja&. Nri tome 3unkciju 3$D& nazivamo

podintegralna 3unkcija. Yako je 3$D&=R$D&=$R$D&+?& to je R$D&+? za svaki? elem - primitivna 3unkcija 3unkcije 3$D&..e$inicija ne!dreen!g integrala' R$D&=3$D&=3$D&dD=R$D&+? [Cazivneodreeni integral potje6e od neodreene konstante ? koju integral sadr5i.

Met!da arcijalne integracije - tom se metodom polazni integralizra6unava djelomi6no$ parcijalno&. Nri tome nastojimo da je novi integralvdu jednostavniji od polaznog udv. $Sad napisi ako je u% sta je du% ako jedv sta je v&Met!da sustitucije u integr9raunu - kod ove metode se nastoji

prikladnom zamjenom varijabli % polazni integral svesti na jednostavniji$tabli6ni& oblik3$D&dD $ D= f$t&% dD=f$t&dt& 3$f$t&f$t&dtNeG!n- 3ei,niz!va $!rmula za raunanje !dreen!g integrala'osnovna3ormula di3erenc i integral ra6una 4$od a do b& 3$D&dD = R$b&"R$a& .9akle odreeni integral negat. 3unkcije E=3$D& jednak je razlici vrijednostinjene primit. 3unkcije u gornjoj i donjoj granici % a predstavlja mjerni broj

povrine lika omeenog krivuljama E=7% D=a% D=b i E=3$D&Raunanje !vr>ine !meene gra$!m 16$=52 i ravcima 56a? 56, i !siascisa !m!(u !dreen!g integrala'Ceka je I=$a%b& i 34I'- neprekidna3unkcija. Novrina omeena sa D=a% D=b% E=7 i E=3$D&4



16/21

1& ako je 3$D&7 za sve D elem I % tada je N=$od a do b& 3$D&dD%to je ide3inicija odreenog integala.2& ako je 3$D&=7 za sve D elem I % tada integriranjem dobijemo negativnuvrijednost% pa je N= " $od a do b& 3$D&dD = ine li)a !meen!ggra$!vima $un)cija $ i g i ravcima 56a? 56,'Novrine omeene sa D=a i D=b% E=3$D& i E=g$D&.1& ako je 3$D&"g$D&7 za sve D elem I $I=$a%b&& tada jeN=$3$D&"g$D&&dD. Ako je g$D&"3$D&7 tada u navedenoj 3ormuli 3 i g zamjenemjesta.2& Ako 3$D&"g$D& mijenja predznak na I % tada zasebno ra6unamo onedijelove povrine za koje vrijedi 3$D&"g$D&7 odnosno one za koje je g$D&"3$D&7 te dobivene rezultate zbrojimoMet!da searacije varija,li za rje>avanje di$erencijalni0 jednad&,i'

opi oblik jedne di3erencijalne jednad5be n"tog reda je4R$D%E%E%EEn"1% En&=7% gdje je R 3unkcija od n+2 varijable. Ako je n=%imamo obi6nu di3erencijalnu jednad5bu prvog reda R$D%E%E&=7. Ceke od ti,

jednad5bi mogu se rjeiti metodom separacije varijabli. va metodaprovodi se u nekoliko koraka $sad navedi korake 1.korak 4A$D%E&E=($D%E& [zadnje to je u teoriji&. Ako se neki od koraka ne mo5e provesti onda se ta

jednad5ba ne mo5e rijeiti ovom metodom.

89 Razli)a izmeu jedn!stavn!g i sl!&en!g !,rauna )amata?

anticiativn!g i de)urzivn!g !,rauna )amata ? te anticiativn!g ide)urzivn!g !,rauna )amata9 Ka)av je !,raun )amata )!d!tr!>a)!g )redita? a )a)av je )!d zajm!va?

[ kamate mogu biti jednostavne i slo5ene ovisno o glavnici koju imam zaobra6un kamata. Ako se kamate za svaki obra6unski termin obra6unavajuna istu vrijednost glavnice imamojedn!stavne )amate 9 Ako se glavnicaza obra6un kamata za svako razdoblje mijenja imamo sl!&ene )amate9 Ooba slu6aja kamate mo5emo obra6unavati dekurzivno ianticipativno.Yamate mo5emo obra6unavati na dva osnovna na6ina4-anticiativn! #na po6etku obra6unskog razdoblja u odnosu na glumicu skraja razdoblja.-de)urzivn! # na kraju obra6unskog razdoblja u odnosu na glavnicu s

po6etka razdoblja.P! JKR )amateza tekue !,rauns)! razd!,lje raunam!u odnosu navrijednost glavnice sa po6etka prvog obra6unskog razdoblja% koja je uvijekista% pa su kamate uz 3iksnu kamatnu stopu% za svako razdoblje jednake.



17/21

P! %KR kamate ra6unamo u odnosu na vrijednost glavnice sa po6etkatekueg obra6unskog razdoblja% koja se stalno poveava% pa su kamate uz3iksnu kamatnu stopu% za svako razdoblje razli6ite $sve vee&. -azlog tome

je pojavljivanje kamata na kamate.K!d !tr!>a)!g )redita )amate se !,raunavaju anticipativno po

jednostavnom kamatnom ra6unuK!d zajm!va )amate se !,raunavaju po slo5enom kamatno ra6unu.

:9 ,jasnite relativnu i )!n$!rmni )amatnja) ri sl!&en!m?de)urzivn!m !,raunu )amataDN!minalna )amatna st!a # kamatna stopa vezana za jedno obra6unskorazdoblje .Yod prera6unavanja na novo $krae ili du5e& obra6unsko razdoblje koristise relativna i )!n$!rmna )amatna st!a9RE3ATI@NA'p = p;m "koristi se u jednostavn.kamatnom ra6unu% a

ponekad i u slu5benom.KN;RMNA' ?1=?m'?78r = ?78$r & m'r =8$r &m'8r = mhr [ uzkon3ormnu kamatnu stopu kamate su na kraju polaznog razdoblja uvijekiste% bez obzira na broj ukamaivanja.O slo5eno kamatnom ra6unu podrazumijevamo koritenje kon3ormnekamatne stope ako nije navedeno druga6ije..F9,jasnite i izvedite $!rmulu za )!nanu = ,udu(u 2 vrijedn!stglavnice /n na)!n n razd!,lja u)ama(ivanja? uz sl9de) !,raun)amata i $i)sni n!minalni )amatnja) 9 z )!je uvjete m!&em!dire)tn! r!mjeniti n!minalni )amatnja) u tu $!rmulu? tj >t!m!ram! ret!staviti za duljine intervala u)ama(ivanja i intervalan!minaln!g )amatnja)aD N-(#4

Yolika ce biti vrijednost ulo5ene glavnice ?7 nakon n razdoblja uzkamatnjak p obra6un je sl i dek. KCAY4? ili ?7= po6etna vrijednost glavnice

p=dekurzivna kamatna stopan= broj obra6unski, razdobljaIn= kamate?n= kona6na vrijednost glavnice $ vrijednost glavnice zajedno s kamatamanakon n obra6unski, razdoblja&Izvod osnovne 3ormule4 ?7=?7?1=?7+ ?78 p 8 1;177 = ?7$ 1+p;177&=?78 r?2=?1+ ?18 p 8 1;177 = ?1$1+p;177&=?18 r= ?78 r2?n= ?n"1+ ?n"18p81;177 = ?n"1$1+p;177&=?n"18r = ?78rn?n=?78r2gdje je r=1+p;177 dekurzivni kamatni 3aktorInterpretacija dekurzivnog kamatnog 3aktora 4Ka ?7=1 % n=1 je ?n=18r1= r



18/21

9ekurzivni kamatni 3aktor r predstavlja vrijednost jedne nov6ane jedinicezajedno sa kamatama nakon jednog obra6unskog razdoblja. stale 3ormuleslo5enog kamatnog ra6una4?n=?78rn% r=nh?n;?7% ?7=?n;rn% n= log$?n;?7&;;log rIn= ?n"?7= ?7$rn"1&

C#ICACI YA#A)C>AY p mo5emo direktno primijeniti u tu 3ormuluako pretpostavimo da je duljina intervala ukamaivanja jednaka duljini

intervala nominalnog kamatnjakaL9 Ka)! izraunati )!nanu vrijedn!st jedna)i0 renumeradn! ulataR )r!z n g!dina? uz g!di>nji? sl!&en? de)urzivan !,raun )amata ig!di>nji )amatnja) 4 pretpostavke za izvod 3ormule4Neriodi6ne uplatesu meusobno jednaki iznosi% koji dospijevaju u jednakimvremenskim razmacima uz konstantnu kamatnu stopu.Neriodi6ne prenumerando uplate dospijevaju po6etkom svakog razdoblja.

Cji, zamjenjujemo ekvivalentnim iznosom 4 nji,ovom kona6nomvrijednou S. S= -8r + -8r2+ -8r= -8r $1+r +rn"1&= -8r rn"1;r"1-azdoblje ukamaivana jednako je vremenskom razdoblju dospijeaizmeu uplata.9 )a)! izraunati )!nanu vrijedn!st jedna)i0 !stnumerand! ulataR )r!z n g!dina? uz g!di>nji sl!&en de)9!,raun )amata i g!di>nji)amatnja) ' pretpostavke za izvod 3ormule4Neriodi6ne uplate su meusobno jednaki iznosi koji dospijevaju jednakimvremenskim razmacima uz konstantnu kamatnu stopu.Neriodi6ne postnumerando uplate dospijevaju krajem svakog razdoblja.

Cji, zamjenjujemo ekvivalentnim iznosom4nji,ovom kona6nomvrijednou S.

S= -+-8r + -8r2

++ -8rn"1

= - $1+r + r2

+ rn"1

& = - 8 rn

"1;r"1-azdoblje ukamaivanja jednako je vremenskom razdoblju dospijeaizmeu uplata.9)a)! izraunati sada>nju vrijedn!st jedna)i0 !stnumerand! islataili ulata R )r!z n g!dina? uz g!di>nj9 %l!&9 .e)urz9 ,raun )amata ig!di>nji )amatnja) 9 4pretpostavke za izvod 3ormule4Neriodi6ne isplate su meusobno jednaki iznosi koji dospijevaju u

jednakim vremenskim razmacima uz konstantnu kamatnu stopu.Neriodi6ne postnumerando isplate $ ili uplate& dospijevaju krajem svakograzdoblja. Cji, zamjenjujemo ekvivalentnim iznosom4 nji,ovom po6etnom$ sadanjom& vrijednou A.A=-;r + -;r2+.+ -;rn= -;rn$ rn"1+ rn"2+ .1& = -;rn$1+.rn"1&A=- rn"1; rn$r"1&-azdoblje ukamaivanja jednako je vremenskom razdoblju dospijeaizmeu isplata.



19/21

O9 )a)! izraunati sada>nju vrijedn!st jedna)i0 renumerand! islataR )r!z n g!dina? uz g!d de) sl!&? !,raun )amata i g!d )amatnja) 4

pretpostavke za izvod 3ormule4Neriodi6ne isplatesu meusobno jednaki iznosi koji dospijevaju u jednakimvremenskim razmacima uz konstantnu kamatnu topu.Neriodi6ne prenumerando isplate dospijevaju krajem svakog razdoblja.

Cji, zamjenjujemo ekvivalentnim iznosom4 nji,ovom

po6etnom$ sadanjom&vrijednou A.A= - + -;-n +.-; rn"1= -;rn"1$ rn"1+ rn"2++1&= -;rn"1$1+.rn"1&A= - rn"1; rn"1$r"1&-azdoblje ukamaivanja jednako je vremenskom razdoblju dospijeaizmeu isplata.? Trajna =vjena 2 renta - Yoliki iznos treba ulo5iti da bi mogli krajemsvakog obra6unskog razdoblja primati odreeni konstantni iznos trajno$ vje6no&-tra5imo po6etnu vrijednost postnumerando isplata $ beskona6no mnogoisplata&Q9,jasnite !tlatu zajma u izn!su !d / )una ? )!jeg tre,a !tlatiti)r!z n g!dina? jedna)im !tlatnim )v!tama a)! je zadang!d9)amatnja) ? uz g!d? sl9 de) !,raun )amata9#odel otplate zajma jednakim otplatnim kvotama4 -1=-2=.-n= --1+-2+-n= ?7' n8-=?7% -=?7;nKa k = 1%2%n je ostatak duga4 ?k= ?7"k8-= n8- " k8-= $n"k&- ili?k= $n"k& ?7;n = ?7 $ 1" k;n&. Ka k= 1%2%n je anuitet4 ak=-k+ Ik=-+?k"18p;177= -+$n"$k"1&&8-8p;177ak= -1+$n"k+1&8p;177. O otplatnoj tabeli prvo popunjavamo kolonu

otplatni, kvotaV Nostupak popunjavanja otplatne tabele4-= ?7;n% Ik= p;177 ?k"1% ak=-+Ik% ?k= ?k"1[ -879 ,jasnite !tlatu zajma u izn!su !d / )una ? )!jeg tre,a !tlatiti)r!z n g!dina? jedna)im anuitetima? )rajem g!dine ? a)! je zadang!di>nji )amatnja) ? uz g!d?sl9 de) !,raun )amata'#odel otplate jednakim anuitetima 4 a1=a2=an=a?7=a8 rn"1; rn$r"1& [zajam"postnumerando sadanja vrijednosta= ?78rn$r"1&;rn"1 " anuitet O otplatnoj tabeli prvo popunjavamo kolonu anuitetaV Nostupak

popunjavanja otplatne tabele4YA#A)= ostatak duga 8 kamatna stopa;;177 ili Ik=?k"18p;;177)N. YM)A = anuitet [ kamate ili -k=ak"IkS)A).9OA = pret,odni ostat duga[ otplatna kvota ili ?k=?k"1"-kKa zadnje $ n"to & razdoblje vrijedi -n= ?n"1 ?n=7Z*RJ TP3ATNI4 K@TA6ZAJAM-1+-2+-n=?7ili !$od k=1 do n& -k=?7Z*RJ ANITETA6 KPNE KAMATE ZAJAM



20/21

n8a= I1+ I2+In +?7 ili n8a= !$od k=1 do n& + ?7statak duga u k"tom razdoblju [ a 8rn"k"1;rn"k$r"1&Meza izmeu otplatni, kvota i anuiteta--k=-18rk"1 -k=-k"18 r a=-18rn a=-n8rMeza izmeu zajma i 1.otplatne kvote- ?7= -18rn"1;r"1Okupne kamate# n 8 a [ ?7889,jasnite nain !tlate !tr!>a)!g )redita u izn!su !d / )una uz

!st!t9ue>(a ? antici9g!d9)amatnja) S ? )!jeg tre,a !tlatitijedna)im mj ratama )r!z m mjeseci9N)-AYI Y-9I) [ potroa6ke kredite daju banke kao i proizvoljnetrgova6 3irme$poduzea& za kupnju dobara ili usluga na otplatu. Yamate seobra6unavaju anticipativno po jednostavnom kamatnom ra6unu". Yredit seotplauje jednakim mjese6nim ratama.#>SCA -A)A" ukupno zadu5enje;broj rata -=?2;mAko je Q godinja anticipat.kamatna stopa % tada je I=?18Q$m+1&;2W77Ako je p postotak u6ea i k =Q$m+1&;2W$kamatni koe3icijent& tada je?$1"p;177&$1+k;177&=-8mIZ@. ;RM3A[u izvodu korstimo da je 1+2+m=m$m+1&;2Yamat obra6unavamo svaki mjesec% anticipativno na ostatak duga. >ednamjese6na rata bez kamata je r=?1;m . Oz godinu anticipativnu kamatnustopu Q bit ce41. #>I1=m8r8Q81;12772. #>I2=$m"1& 8r8Q81;1277. #>I=$m"2& 8r8Q81;1277W. #>Im=$18r8Q81&;1277OYONC YA#A)44

I=I1+I2++Im= r8Q;1277 $m+$m"1&+$m"2&++2+1&= r8g;1277 8m$m+1&;2 = ?1;m8 Q;1277 8 m$m+1&;2=?18Q;2W77 8 $m+1&Ako je p postotak u6ea% tada je?1=?" ?8p;177 = ?$1"p;177&?2= ?1+I=?1+ ?18Q;;2W77 $m+1&= ?1+ ?1;177 8Q$m+1&;;2W =?1+ ?1;177 8 Q$m+1&;;2W = ?1+ ?1;177 8k=?1$1+k;177& gdje jek= Q$m+1&;;2W YA#A)CI YRI?I>C) kako je -= ?2;m tj. ?2=-8mimamo ?1$1+k;177&=-8m ili?$ 1"p;177&$1+k;177&=-8m8:9 ,jasnite nere)idnu )aitalizaciju sv!te /7 )r!z n g!dina uzg!di>nji )amatnja) 9

Ceprekidna kapitalizacija $neprekidno ukamaivanje& . Yamate se pripisujuglavnici svakog trenutka $neprekidno% kontinuirano&.?n= ?78 rn= ?7$1+ p;177&n



21/21

Ako je p godinja kamatna stopa% a ukamaivanje vrimo m puta godinje%imamo 4 ?n=?7$1+p;m;177&n8m

Ozimamo m'X..lim ?n= lim ?7$ 1+p;177m&177m8n;177m'X.. m'X

lim $1+k;177&D= ek = ?78 e p n;177m'X

R-#OA C-YI9C OYA#AIMAC>A4?n= ?7 8 e n p;177

n=broj godinap= prosje6na stopa godinjeg prirastaNrimjena na prirodni rast 5ivi, bia.


Documents

matematika_teorija za faks