MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A”tancsics16.hu/matematika/doc/taneszkozok/h-amat0603_diak... · 2018-01-07 · 8 matematiKa „a” – 6. évfolyam – 066. síKidomoK tanulói

MATEMATIKAIKOMPETENCIATERÜLET„A”

Matematika6. évfolyamTANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttóltankönyvi engedélyt kapott

Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás

feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag

ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné

Szakmai tanácsadók: Csahóczi Erzsébet, Szeredi Éva

Alkotószerkesztő: Vépy-Benyhe Judit

Lektor: Makara Ágnes

Grafika: Pusztai Julianna

Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT0603

© Szerzők:

Birloni Szilvia, Pintér Klára, Zsinkó Erzsébet

Educatio Kht. 2008.

Tömeg: 460 grammTerjedelem: 23,69 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők:Tantárgy-pedagógiai szakértő: Györfi Lászlóné

Tudományos szakmai szakértő: Vecseiné dr. Munkácsy KatalinTechnológiai szakértő: Nagy Károly

tartalom

066. síKidoMoK 0661. Adott tulajdonságú ponthalmazok szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0662. Kör és szög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0663. Háromszögek, nevezetes vonalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 0664. Háromszögek és négyszögek szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 0665. Gyakorlás, mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

067. Arány, Arányosság, sTATiszTiKA 0671. Arányos osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 0672. Egyenes arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 0673. Fordított arányosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 0674. Bevezetés a statisztikába . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 0675. Gyakorlás, mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

068. gEoMETriAi száMíTásoK 0681. Vegyes kerület- és területszámítási feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 0682. Testek térfogata és felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 0683. Gyakorlás, mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

069. egyenleteK, egyenlőtlenségeK 0691. Nyitott mondat, egyenlet, egyenlőtlenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 0692. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 0693. Szöveges feladatok megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

0661. MODULsíKIDOMOKAdott tulajdonságú ponthalmazok szerkesztése

Készítette: Takácsné Tóth Ágnes

6 matematiKa „a” – 6. évfolyam – 066. síKidomoK tanulói munKafüzet

1. Feladatlap

1. Határozd meg a geometriai alakzatok távolságát!

A

BP

O

P

e

O

k

Q

P

B

A

C

ef h

g

Q

O

e

A

tanulói munKafüzet 0661. Adott tulajdonságú… 7

EMLÉKEZTETŐPonthalmazok távolságaPonthalmazok távolságán az őket összekötő legrövidebb szakasz hosszát értjük.Két pont távolsága az őket összekötő szakasz hossza.Pont és egyenes távolsága: a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza.Két párhuzamos egyenes távolsága: az őket összekötő, rájuk merőleges szakasz hossza.

2. Feladatlap

1. Rajzolj egy P pontot! a) Szerkeszd meg a P ponttól 3 cm távolságra lévő pontok halmazát! b) Szerkeszd meg a P ponttól 2 cm távolságra lévő pontok halmazát! c) Színezd pirossal a P ponttól 2 cm-nél nem nagyobb, zölddel a 3 cm-nél nagyobb távolságra lévő

pontok halmazát! Nevezd meg az a), b), c) feladatokban megjelölt ponthalmazokat! Mi a neve a színezetlen ponthal-

maznak?

2. Rajzold meg azon pontok halmazát, amelyek egy f egyenestől legalább 2 cm-re, de legfeljebb 4 cm-re vannak!

3. Milyen tulajdonságú pontokat színeztünk be az ábrán?

i. ii.

iii.

0 2 cm 2 cm

e

2 cm

2 cm


iv.

v.

összegzésA körvonal pontjai a sík egy adott pontjától adott távolságra vannak.Ez az adott pont a kör középpontja, az adott távolság a kör sugara.A körlap pontjai a sík egy adott pontjától egy adott távolságnál nem nagyobb távolságra vannak.Egy egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok két, az egyenessel párhuzamos egyenest alkotnak.Egy sáv pontjai a sáv középvonalától egy adott távolságnál nem nagyobb távolságra vannak.

3. Feladatlap

1. A feladat megoldásához rajzolj a füzetedbe derékszögű koordináta-rendszert! a) Jelöld be derékszögű koordináta-rendszerben az A (2, 1) pontot! Add meg az A pont és a tengelyek távolságát! Keress olyan rácspontot (rácspontokat), mely(ek) 4 egység távolságra van(nak) az A ponttól! Add

meg ezek jelzőszámait! b) Keress olyan pontokat, és jelöld piros színnel, melyek 3 egység távolságra vannak az x tengely-

től! c) Keress olyan pontokat, és jelöld kék színnel, melyek az y tengelytől 2 egység távolságra van-

nak! d) Add meg azoknak a rácspontoknak a jelzőszámait, melyekre egyszerre teljesülnek a b) és a c)

feladat feltételei!

6 m

3 m

e

2 cm

2 cm


2. Milyen közös tulajdonsággal rendelkeznek a koordináta-rendszerben az azonos színnel jelölt egyenesek, illetve metszéspontjaik?

Hány részre bontották ezek a színes egyenesek a koordinátarendszer síkját? Add meg a síkrészeket alkotó pontok közös tulajdonságát (a színes egyenesek kivételével)!

4. Feladatlap

1. Rajzolj félegyenest! Szerkeszd meg azokat a pontokat, amelyek a félegyenestől 3 cm távolságra vannak! Színezd kékkel azokat a pontokat, melyek legalább 3 cm-re, zölddel azokat, amelyek leg-feljebb 3 cm-re vannak a félegyenestől!

2. Rajzolj egy 5 cm hosszú szakaszt! Szerkeszd meg azokat a pontokat, amelyek a szakasztól 2 cm távolságra vannak! Színezd zölddel azokat a pontokat, amelyek a szakasztól maximum 2 cm, kék-kel azokat, amelyek minimum 2 cm távolságra vannak!

3. Rajzolj egy 5 cm sugarú kört, és rajzold be az egyik átmérőjét! Keresd meg a zárt körlapon azokat a pontokat, melyek az átmérőtől 3 cm távolságra vannak! Színezd kékkel azokat a pontokat, amelyek 3 cm-nél kisebb, zölddel azokat, amelyek 3 cm-nél nagyobb távolságra vannak!

5. Feladatlap

1. Zolinak két kutyája van, Ali és Berci. Mindkettő elég mérges fajta, ezért a fiú kikötötte őket egy-egy cölöphöz 3 méter hosszú lánccal, egymástól 5 méter távolságra. Szerkesztéssel keresd meg az egyes feladatokban megadott pontokat, ponthalmazokat! A füzetedben 1 cm feleljen meg 1 méter-nek!

a) Hol tartózkodjon Zoli, ha azt akarja, hogy mindkét kutyától egyforma távolságra legyen? Ezen belül lesz-e olyan hely, ahol harapásveszély van?

b) Ali kutyát sikerült megszelídíteni, de a másik még mindig veszélyes. Hol tartózkodhat Zoli, ha kutyát szeretne simogatni úgy, hogy a kutya lánca ne feszüljön meg teljesen?

c) Zolihoz eljött a legjobb barátja, Peti, aki nagyon fél a kutyáktól. Hol legyen Peti, hogy ne érhesse el egyik kutya sem?

Mekkora hosszúságú láncot kellene használni, hogy a két kutya egymással ne találkozhasson?

1

1

x

y


2. Egy parkban két sétaút találkozik, jelölje őket e, illetve f egyenes! a) Hova ültesse a kertész a piros tulipánokat, hogy mindkét sétaúttól egyforma távolságra legye-

nek? Szerkeszd meg a tulipánok helyét! b) Színezd zölddel azokat a pontokat, ahol a park látogatói közelebb vannak az egyik sétaúthoz (f),

mint a másikhoz!

3. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Keress olyan pontokat, melyek a két tengelytől egy-forma távolságra vannak! Add meg négy ilyen pontnak a jelzőszámát! Hány ilyen pont van? Hol találhatók ezek a pontok?

EMLÉKEZTETŐA szakaszfelező merőleges azon pontok halmaza, amelyek a szakasz két végpontjától azonos távolságra vannak.A szögfelező pontjai a szög két szárától azonos távolságra vannak.

6. Feladatlap

A feladatok megoldásához segítségnek használjatok átlátszó papírt! Első lépésben az egyik alakzatot a füzetbe, a másikat az átlátszó papírra rajzoljátok fel! Először az egyik, majd a másik alakzatnál jelöl-jétek be a megadott tulajdonságú ponthalmazt! Ezután a füzet ábrájára csúsztassátok rá az átlátszó papír ábráját az egyes feladatoknak megfelelően! Így jól látható, melyik lesz a több feltételnek eleget tevő ponthalmaz! Végül oldjátok meg a feladatot az átlátszó papír használata nélkül is a füzetben!

1. Vegyél fel egy A pontot és egy B pontot! Rajzold meg azokat a pontokat, melyek az A ponttól 2 cm, illetve azokat, amelyek a B ponttól 2 cm távolságra vannak! Színezd zölddel a 2 cm-nél közelebb levő, és pirossal a 2 cm-nél távolabb levő pontokat mindkét esetben! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek

a) B ponttól 2 cm-nél távolabb, és az A ponthoz 2 cm-nél közelebb vannak, b) az A és B ponttól is legalább 2 cm-re vannak! Milyen alakzatokat kapunk az AB távolságtól függően?

2. Rajzolj egy e egyenest és az egyenestől 3 cm távolságra egy P pontot! Rajzold meg azokat a pon-tokat, amelyek az e egyenestől 2 cm, illetve azokat, amelyek P ponttól 4 cm távolságra vannak! Színezd zölddel az adott távolságnál közelebb, pirossal a távolabb lévő pontokat!

Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek a) a P ponttól 4 cm és az e egyenestől 2 cm; b) a P ponttól 4 cm-nél kisebb és az e egyenestől 2 cm-nél kisebb; c) a P ponttól 4 cm-nél nagyobb és az e egyenestől 2 cm-nél kisebb távolságra vannak!

3. Rajzolj két, egymást metsző egyenest, legyenek e és f egyenesek! Rajzold meg azokat a pontokat, amelyek e egyenestől 2 cm, illetve az f egyenestől 2 cm távolságra vannak! Színezd zölddel az adott távolságnál közelebb, pirossal a távolabb lévő pontokat! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek távolsága

a) mindkét egyenestől kisebb 2 cm-nél; b) e egyenestől nagyobb, mint 1 cm, f egyenestől maximum 2 cm!


4. Rajzolj egy 4 cm-es szakaszt! a) Jelöld pirossal a szakasztól 2 cm-re lévő pontokat! b) Jelöld kékkel azokat a pontokat, amelyek legfeljebb 1 cm-re vannak a szakasztól! c) Színezd zöldre a szakasztól 2 cm-nél nagyobb távolságra levő pontokat! d) Milyen tulajdonságúak a fehéren maradt pontok?

Térben is próbáld végig gondolni a feladatot!

7. Feladatlap

Fogalmazd meg, milyen tulajdonsággal rendelkeznek az ábrán vonalkázással, színezéssel vagy vas-tagítással kiemelt pontok!

i. a) b)

c) d)

ii. a) b)

A2 cm B 3 cm B 3 cmA2 cm

A2 cm B 3 cm A2 cm B 3 cm

2 cm 2 cm

4 cm

P

e 2 cm 2 cm

4 cm

P

e


iii.

iv.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Keresd meg azokat a pontokat, amelyek egy megadott P ponttól a) 5 cm; b) legfeljebb 5 cm; c) legalább 5 cm távolságra vannak!

2. Rajzold le A és B pontot egymástól 4 cm-re. Keresd meg azokat a pontokat, melyek mindkét pont-tól

a) 1 cm; b) 2 cm; c) 3 cm; d) 4 cm; e) 5 cm; f) 6 cm távolságra vannak!

3. Rajzolj P és Q pontot egymástól 4,5 cm távolságra! a) Szerkeszd meg a P és Q pontoktól 5 cm távolságra lévő pontokat! b) Szerkessz mindkét ponttól egyenlő távolságra lévő pontokat!

4. Tervezz céltáblát, melyen négy különböző pontot érő mező van, a legbelső kör sugara 20 cm, és a többi körgyűrű is ugyanilyen szélességű! Szerkeszd meg a kicsinyített képét! A rajzon 1 cm a való-ságban 10 cm-nek feleljen meg!

5. Készíts minden feladathoz egy derékszögű koordináta-rendszert! Rajzold be azokat a pontokat, amelyek az origótól

a) 3 egységnél nagyobb és 5 egységnél kisebb; b) 3 egységnél nagyobb és 5 egységnél nem nagyobb; c) 3 egységnél nem kisebb és 5 egységnél nem nagyobb; d) 3 egységnél kisebb vagy 5 egységnél nagyobb távolságra vannak! Mindegyik esetben add meg 3-3 rácspont koordinátáját!

3 cm

2 cm

e

f

1 cm

1 cm

3 cm

3 cm

A B


6. A földrajz atlaszod segítségével válaszolj a következő kérdésekre! Magyarország és Budapest tér-képére lesz szükséged.

a) Sorolj fel öt olyan helységet, amely Kecskeméttől legfeljebb 50 km távolságra van! b) Keress olyan várost, mely Debrecentől legalább 10 km, de legfeljebb 30 km távolságra van! c) Baranya megye székhelye Pécs. Hogyan tudnád jellemezni a megye pontjait Pécstől számított

távolságuk segítségével? d) A Budapest térképen keresd meg azokat a kerületeket, amelyek a Vörösmarty tértől legalább

6 km távolságra vannak! e) A Szolnok–Szeged egyeneshez képest milyen – távolsággal megadható – közös tulajdonsággal

rendelkeznek a következő városok: Hódmezővásárhely, Szentes, Csongrád, Mezőtúr?

7. Vegyél fel egy 38 mm hosszúságú szakaszt! Szerkeszd meg a felezőmerőlegesét!

8. Szerkeszd meg a 64 mm hosszúságú szakasz felezőpontját!

9. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Jelöld az A(–4; –2) és a B(2; 4) pontot! Szerkeszd meg az AB szakasz felezőmerőlegesét! Mely pontban metszi x, illetve az y tengelyt a felező merőleges?

10. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Keress olyan pontokat, melyek a) az x tengelytől 4 egység távolságra vannak! Add meg négy ilyen rácspontnak a koordinátáit! b) az y tengelytől 4 egység távolságra vannak! Add meg négy ilyen rácspontnak a koordinátáit! c) Add meg azoknak a rácspontoknak a koordinátáit, melyek mindkét tengelytől 4 egység távol-

ságra vannak!

11. Rajzolj egy e egyenest, és jelölj ki rajta egy P pontot! Keresd meg az e egyenes azon pontjait, melyek a P ponttól

a) 2 cm; b) 2 cm-nél kisebb; c) 2 cm-nél nem kisebb távolságra vannak!

12. Legyen e és f két metsző egyenes! Keress olyan pontokat, amelyek a) legalább az egyik egyenestől 2 cm távolságra vannak; b) mindkét egyenestől 2 cm távolságra vannak; c) mindkét egyenestől 2 cm-nél nagyobb távolságra vannak!

13. a) Legyen a és b két metsző egyenes! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek mindkét egyenestől 1 cm-re; 1,5 cm-re; 2 cm-re; 2,5 cm-re; 3 cm-re vannak! Hol találhatók ezek a pontok? b) Legyen a és b két párhuzamos egyenes! Milyen alakzatot alkotnak a két egyenestől egyenlő

távolságra lévő pontok? Színezd kékkel azokat a pontokat, melyek közelebb vannak az a egye-neshez, zölddel azokat, melyek a b egyeneshez vannak közelebb!

14. Panda kutyát kikötötték egy 3 m hosszú láncra úgy, hogy a lánc két, egymástól 6 méterre lévő cölöp között kifeszített kötélen csúszhat. Rajzold meg azt az alakzatot, melyen belül nem lehet tartózkodni a harapás veszélye nélkül!

15. Van egy folyó, mely egy hosszú szakaszon ugyanolyan széles, mélysége azonban igen változó, ezért a hajóknak a következő utasítást adták: A folyónak ezen a szakaszán úgy lehet hajózni, hogy a hajó nem kerülhet semelyik parthoz 15 méternél közelebb, illetve 45 méternél távolabb.

Rajzold meg a hajók lehetséges tartózkodási helyét! Milyen széles lehet a folyó, hogy még hajóz-ható legyen?

Mennyi a folyó szélessége, ha a hajózható sáv éppen 30 méter?

16. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! a) Rajzold be azokat a pontokat, amelyek az x tengelytől 5 egységnél kisebb, az y tengelytől ponto-

san 4 egység távolságra vannak! Add meg az ilyen tulajdonságú rácspontok koordinátáit! b) Hol találhatók azok a pontok, amelyek a x tengelytől maximum 5, az y tengelytől legfeljebb

4 egység távolságra vannak?


17. Rajzolj két, egymásra merőleges egyenest! Szerkessz olyan pontokat, amelyek mindkét egyenes-től

a) 1 cm-re; b) 2 cm-re; c) 3 cm távolságra vannak!

18. Rajzolj két metsző egyenest! Jelölje őket e és f! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek távolsága e egyenestől pontosan 20 mm, f egyenestől legfeljebb 1 cm!

19. Szerkessz egyenlő oldalú háromszöget, ha kerülete 1,5 dm!

20. Rajzolj két egymást metsző egyenest! Szerkessz olyan pontokat, melyek mindkét egyenestől a) 3 cm; b) 5 cm távolságra vannak! c) Szerkessz olyan pontokat, melyek mindkét egyenestől egyenlő távolságra vannak. d) Színezd be (eltérő színnel) azokat a pontokat, melyek közelebb vannak az egyik, illetve a másik

szög szárához!

21. Magyarország térképén keress olyan települést, mely körülbelül egyenlő távolságra van a) Szekszárdtól és Szegedtől b) Szolnoktól és Karcagtól

22. Magyarország térképén keress olyan települést, amely körülbelül egyforma távol van a Dunától és a Tiszától!

23. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek közelebb vannak az A(3; –1) ponthoz, mint a B(–3, 1) ponthoz!

24. Rajzolj két nem merőleges metsző egyenest a-t és b-t! Színezd sárgára azokat a pontokat, melyek mindkét egyenestől legfeljebb 2 cm-re vannak! Színezd kékre azokat a pontokat, amelyek a egye-neshez közelebb vannak, mint b-hez! Színezd pirosra azokat, amelyek b-hez vannak közelebb!

25. Egy kockán megjelölünk két szomszédos csúcsot. a) Keressük az éleknek azokat a pontjait, amelyek a két ponttól egyenlő távolságra vannak! b) A kocka felületén mely pontok vannak egyenlő távolságra a két szomszédos csúcsától? c) A test mely pontjai vannak egyenlő távolságra a két szomszédos csúcstól?

26. Rajzolj egy e egyenest, és jelölj ki az egyenestől 2 cm távolságra egy A pontot! Jelöld meg az e egye-nesen azokat a pontokat, amelyek az A ponttól

a) 3 cm, b) 3 cm-nél kisebb; c) 3 cm-nél nagyobb d) legalább 3 cm-re; e) legfeljebb 3 cm távolságra vannak!

27. Dóri két pontot rajzolt egymástól 3 cm-re, A-t és B-t. Az A ponthoz 2 cm-nél közelebb lévő részt fehéren hagyta, a többi részt kékre festette. A B ponttól 2 cm-nél nem messzebb lévő részt sárgára festette. Hol lett zöld az ábra?

28. Egy egyenes országúttól 5 m távolságra áll egy nagy fenyőfa. A szóbeszéd szerint az úttól 6 méterre, a fától 1 méternél nem messzebb található a kalózok kincse. Hol kell ásnia annak, aki meg akarja találni a kincset? Készíts rajzot!

29. Két falu távolsága 10 km. Templomaikból a harangszó 6 km-re hallatszik el. Készíts rajzot! Színezd pirossal azokat a helyeket, ahol mindkét templom harangja hallatszik! Színezd kékkel azt a részt, ahol egyik templom harangja sem hallható! A rajzon 1 km-nek 5 mm feleljen meg!

30. Van két kör alakú sziget a tengerben, A és B, amelyek egymástól 10 km távolságra vannak. A két sziget körül legalább 5 km-re, de legfeljebb 7 km-re egy hajó cirkál. Hol tartózkodhat a hajó? Készíts rajzot kicsinyített méretben, 1 km-nek feleljen meg 1 cm!

0662. MODULsíKIDOMOKKör és szög



1. Feladatlap

1. Keressétek meg az összetartozó párokat! (pirossal jelzett alakzat – fogalom)

1. körgyűrű2. sugár3. félkörív4. körvonal5. körszelet6. szelő7. átmérő8. érintő9. félkörlap10. húr11. körlap12. körcikk

2. Hány körcikket látsz az ábrán?

A B C

D E F

G H I

J K l

A B C

D E F

tanulói munKafüzet 0662. Kör és szög 17

3. Döntsétek el, az alábbi állítások igazak vagy hamisak! A hamis állítást javítsátok ki úgy, hogy igaz legyen!

1. A körlap pontjai egyenlő távolságra vannak a középponttól. 2. A húr olyan egyenes, mely a körvonal két pontját köti össze. 3. A leghosszabb húr az átmérő. 4. Az érintő olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel. 5. Minden szelő tartalmaz egy húrt. 6. A körcikket egy körív és két húr határolja. 7. A sugár a kör tetszőleges két pontját köti össze. 8. Van olyan körszelet, ami egyben körcikk is. 9. A sugár hossza kétszerese az átmérő hosszának.

4. Rajzolj egy egyenest és egy kört! Hányféleképpen helyezkedhet el egymáshoz képest a két alak-zat?

a) Szerkessz olyan egyenest, melyre az egyenes és a kör szimmetrikus! b) Figyeld meg azt az esetet, amikor az egyenesnek és a körnek egy közös pontja van! Milyen kap-

csolat van az érintő és az érintési pontba húzott sugár között? c) Figyeld meg azt az esetet, amikor az egyenesnek és a körnek két közös pontja van, M1 és M2! Mi

a kapcsolat a két érintési pont között? Mivel esik egybe az M1M2 húr felezőmerőlegese? d) Határozd meg az egyenes és a kör középpontjának távolságát mindhárom esetben!

e) Próbálj kapcsolatot találni az egyenes és a kör helyzete, valamint a távolságok között! Fogal-mazz meg összefüggést a három esetben! Nevezd el c-nek a középpont és az egyenes távolságát, r-nek a kör sugarát!

5. Vegyél fel egy 4 cm sugarú kört, és jelölj ki rajta két pontot! Szerkessz a körhöz érintőket a kijelölt pontokban!

EMLÉKEZTETŐA körrel kapcsolatos fogalmak A húr olyan szakasz, melynek a körvonallal két közös pontja van.A szelő olyan egyenes, melynek a körvonallal két közös pontja van.Az érintő olyan egyenes, melynek a körvonallal egy közös pontja van. Az érintő és az érintési pontba húzott sugár merőlegesek egymásra.A sugár olyan szakasz mely a körvonal tetszőleges pontját a kör középpontjával köti össze.Az átmérő olyan szakasz, mely a körvonal két pontját köti össze, és átmegy a kör középpontján. Az átmérő a leghosszabb húr.


2. Feladatlap

1. Egy 3 cm sugarú körbe húzz kettő 2 cm-es és kettő 1,5 cm-es húrt! Szerkeszd meg a húrok kör középpontjától való távolságát! Hasonlítsd össze a távolságokat!

2. Rajzolj egy 25 mm sugarú kört! a) Szerkeszd meg a kör két, egymásra merőleges átmérőjét! Mekkora az átmérők hossza? Szer-

kessz érintőket az egyik átmérő két végpontjába! Milyen helyzetben van a két érintő? b) Kösd össze az átmérők végpontjait! Milyen négyszöget kaptál? Hogyan nevezzük a négyszög

oldalait? Hány szimmetriatengelye van a négyszögnek? c) Keress az ábrádon körcikket, körszeletet!

3. a) Rajzolj egy 35 mm sugarú kört! Rajzold meg egy húrját! Szerkessz a húrral párhuzamos érintőt! Gondold végig a szerkesztés egyes lépéseit! b) Rajzod be pirossal azt az egyenest, amelyre az ábra szimmetrikus! Fogalmazz meg igaz állításo-

kat a rajzról!

a következő órára vágj ki papírból egy-egy 3 cm, illetve 5 cm sugarú kört!

3. Feladatlap

1. Hajtogatással állíts elő 90°-os, 45°-os szögeket az otthon készített 3 cm, illetve 5 cm sugarú körla-pokból! Mik alkotják a szögszárakat? Milyen részekre bontottuk a körlapokat?

Vágd szét a hajtási élek mentén a körlapokat, majd hozd fedésbe az egyes körcikkeket egymással! Hasonlítsd össze az azonos sugarú, illetve a különböző sugarú körökből származtatott egyenlő, illetve különböző szögek nagyságát, a megfelelő körívek hosszát! Kösd össze a körívek végpontjait, és az így kapott húrok hosszát is hasonlítsd össze! Fogalmazd meg tapasztalataidat, észrevételei-det, amelyeket jegyezz le a füzetedbe!

2. Állapítsd meg, hogy az állítások igazak vagy hamisak! – A középponti szögtartomány egy körcikk. – A középponti szög csúcsa a körvonalon található. – A kör két húrja által határolt szög a középponti szög. – Egyenlő sugarú körökben egyenlő középponti szögekhez egyenlő körívek tartoznak. – A 2 cm sugarú kör 60°-os középponti szögéhez kisebb körív tartozik, mint egy másik 2 cm sugarú

kör 45°-os szögéhez. – Az 5 cm hosszú húrhoz tartozó középponti szög nagyobb, mint az ugyanebben a körben lévő 3

cm-es húrhoz tartozó. – Ugyanabban a körben kétszer akkora középponti szöghöz kétszer akkora körív tartozik. – Különböző sugarú körökben egyenlő hosszú körívekhez egyenlő középponti szögek tartoz-

nak. – Különböző sugarú körökben egyenlő nagyságú középponti szögekhez különböző hosszúságú

körívek tartoznak. – Az 5 cm sugarú kör minden középponti szöge nagyobb, mint az 1 cm sugarú kör bármelyik

középponti szöge.


összegzésA középponti szögA kör két sugara által alkotott szögeket középponti szögeknek nevezzük, mivel csúcsuk a kör középpontja.

Az egyenlő sugarú körökben egyenlő középponti szögekhez egyenlő ívek és egyenlő húrok tartoznak.

Egyenlő sugarú körökben nagyobb középponti szöghöz nagyobb ív tartozik.

Különböző sugarú körök esetén ugyanakkora szöghöz különböző körívek tartoznak.

Egyenlő sugárral rajzolt körívek segíthetnek a szögek összehasonlításában.


4. Feladatlap

1. Szögmérő használata nélkül, csak egy körző segítségével rakjátok a következő szögeket nagysá-guk szerint növekvő sorrendbe!

2. Az adott O kezdőpontú e félegyenesre szerkessz adott nagyságú szöget! A szög csúcs az O pontban legyen, az egyik szögszár illeszkedjen az e félegyenesre! Fogalmazd meg, és írd le a szerkesztés lépéseit!

3. Adott az a és a b szög. Szerkeszd meg a következő szögeket! a) a + b b) a – b c) 2 ∙ a d) 2 a – b

4. Adott az a szög. Szerkeszd meg a következő szögeket! a) 180°– a b) 360° – a c) 180° – a

5. Adott az a szög (4. feladat). Szerkeszd meg a szög háromszorosát! Mekkora lehet az a szög legna-gyobb értéke, hogy a feladatot végre lehessen hajtani?

a

b g

Oe

a b

a


5. Feladatlap

Vágjatok ki a tanárotok által kiosztott háromszöggel egybevágó háromszögeket, fejenként négy dara-bot!

1. Tépd szét az egyik háromszöget úgy, hogy ezzel szétválasztod a három szögére! Tedd egymás mellé a három szöget, úgy hogy csúcsaik közösek legyenek, egy-egy szárukkal érintkezzenek! Mit tapasztalsz? Mekkora a háromszög három belső szöge együtt?

Ragaszd be a füzetedbe az egymás mellé helyezett három szöget, és mellé egy, a széttépett három-szöggel egybevágó másik háromszöget is!

2. Készítsetek parkettázást úgy, hogy a háromszögek csúcsai csak csúcspontokkal találkozhatnak! Színezzétek az egymásnak megfelelő szögeket azonos színnel! Ragasszátok is fel a háromszögeket egy nagyobb papírlapra! Figyeljétek meg az egy sorban lévő háromszögek egymás mellé került belső szögeit! Fogalmazzátok meg észrevételeiteket! Rajzoljátok le a parkettázás egy részletét!

3. Az egyik szerkesztett háromszög rajzát egészítsd ki a külső szögek bejelölésével! Másold át átlátszó papírra a háromszög külső és belső szögeit, vágd ki őket, és segítségükkel próbálj összefüggést keresni a belső és külső szögek között! Szögmérővel ellenőrizd, jó-e a sejtésed! Mekkorák a három-szög külső szögei?


TUDNIVALÓ a háromszög belső szögeinek az összegeA háromszög színezett szögeit belső szögeknek nevezzük.A háromszög belső szögeinek összege 180°.

a háromszög külső szögei

A háromszög külső szögének nevezzük azt a szöget, amely a háromszög belső szögét 180°-ra egészíti ki.

Minden belső szöghöz két külső szöget tudunk rajzolni, de a két szög nagysága megegyezik.A háromszög külső szöge egyenlő a nem mellette lévő két belső szög összegével.

a’ = b + gb’ = a + gg’ = a + b

6. Feladatlap

1. Szerkessz háromszöget, ha két oldala 4 cm és a harmadik 5 cm! a) Jelöld meg a háromszög belső szögeit, majd a külső szögeit is! b) Mérd meg a belső szögeit, add össze a belső szögeket! Van-e eltérés a mért és a várt szögösszeg

között? Mi okozta az eltérést? Számítsd ki a külső szögeket!


2. Mérd meg szögmérővel a megjelölt szögeket! Mindegyik esetben add meg, hogy a háromszögnek belső vagy külső szöge a megjelölt szög! Van-e olyan a megadott szögek között, amelyik nem lehet a háromszögnek külső szöge?

a) b) c)

3. Rajzolj háromszöget, ha két külső szöge 120°és 150°! Milyen háromszöget kaptál? Számítsd ki, mekkorák a hiányzó szögei? Számításaidat ellenőrizd a megfelelő szögek megmérésével!

7. Feladatlap

1. Az asztalon lévő háromszögekből rakjatok ki különböző négyszögeket, és figyeljétek meg az így létrehozott négyszögek belső szögeit! Fogalmazzatok meg igaz állításokat a belső szögekről!

2. A tanárotok által kiosztott négyszög közül válasszon mindenki magának egy-egy fajta négyszöget! Nevezd meg a választott négyszöget, és a 8 db egybevágó négyszög segítségével készíts parketta mintát! Az elkészített parkettázáson figyeljétek meg az egymás mellé került négy belső szöget! Mekkora a négy belső szög összege?

3. Jelöljétek meg a következő sokszögek belső és külső szögeit! Milyen összefüggés van egy belső és a mellette lévő külső szög esetében?

a) egyenlőszárú háromszög b) szabályos háromszög

c) húrtrapéz d) deltoid

a

b

g 'd b

a'

52°

125°

125° 84°

62°


összegzésA konvex négyszög belső szögeinek összegeMinden konvex négyszöget egy átlója két háromszögre bont, amely háromszögek belső szögei alkotják a négyszög belső szögeit. Ebből következik, hogya konvex négyszög belső szögeinek összege 360°.

Négyszögekkel is parkettázhatunk

a + a’ = 180°b + b’ = 180°g + g’ = 180°d + d’ = 180°


8. FELADATLAP

1. Készíts „parketta mintát” a megadott négyszögek segítségével!


2. Számítsd ki a négyszögek ismeretlen belső szögeit! a) Egy tengelyesen szimmetrikus trapéz egyik szöge 48°. b) Egy rombusz egyik szöge 123°. c) Egy deltoid szemközti szögei 56° és 130°. d) Egy deltoid két szomszédos szöge 50,5° és 100,5°.

3. Határozd meg a négyszögek ismeretlen külső és belső szögeit!

a) rombusz b) deltoid c) húrtrapéz

137°95°

120°

76°


d) háromszög e) derékszögű háromszög f) szimmetrikus háromszög

9. Feladatlap

1. Végezd el a mértékváltásokat!

a) 1° = ……… ’ = ……… ’’ 6° = ……… ’ = ……… ’’ 23° = ……… ’ = ……… ’’

0,1 = ……… ’ = ……… ’’ 0,7° = ……… ’ = ……… ’’ 1,7° = ……… ’ = ……… ’’

0,5° = ……… ’ = ……… ’’ 18,5° = ……… ’ = ……… ’’ 33,3° = ……… ’ = ……… ’’

b) 180’ = ……… ° 2 532’ = ……… ° 68,4’ = ……… °

15° = ……… ° 45’ = ……… ° 90’ = ……… °

14°32’ = ……… ’ 25°40’ = ……… ’ 4°13’60’’ = ……… ’

2. Fejezd ki fokban a következő szögeket (az egyenesszöget p jelöli!)

a) p = ……… ° 2p = ……… ° 4p = ……… °

b) 0,5p = ……… ° 1,5p = ……… ° 0,75p = ……… °

3. Fejezd ki az egyenesszög (p) törtrészeként a következő szögeket!

a) 30° = ……… p 150° = ……… p 45° = ……… p 135° = ……… p

b) 270° = ……… p 300° = ……… p 60° = ……… p 240° = ……… p

4. Számítsd ki a két szög összegét, illetve különbségét!

a) 87°36’ és 24°12’

b) 132°58’ és 80°14’

c) 206°13’ és 86°51’

22°

57° 146°

78°

141°


EMLÉKEZTETŐA szögmérés egysége a fok (°), kisebb egységei a szögperc (’) és a szögmásodperc (’’).1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° = 3600’’Gyakran használjuk az egyenesszöget (p) is.1p = 180°

10. FELADATLAP

1. Egy r sugarú körben az AB húr hossza megegyezik a sugár hosszával. Mekkorák a húrhoz tartozó középponti szögek?

2. Szerkessz 4 cm oldalú szabályos háromszöget! Mekkorák a belső szögei? a) Szerkeszd meg külön ezt a szöget, felezd meg, majd az így kapott szöget is felezd meg! Hány

fokos szögeket tudunk így szerkesztéssel előállítani? b) Ismét szerkessz 60°-os szöget, majd másold mellé önmagát! Hány fokos szöget kaptál? A szög-

másolást a szögfelezéssel kombinálva, mekkora szögeket állíthatunk elő?

3. a) Szerkessz 90°-os szöget! Szerkeszd meg a szög felezőjét, majd az így kapott szöget is felezd meg! Hány fokos szögeket találsz az ábrádon?

b) Szerkessz 135°-os, 225°-os, 315°-os szöget!

4. Vegyél fel egy tompaszöget! Szerkeszd meg a felét, másfélszeresét, negyedét, 3-negyedét!

5. Készítsetek egy tablót azokról a szögekről, amelyeket már meg tudunk szerkeszteni! A szerkeszté-seket az A4-es lapokra készítsétek, amelyeket azután ragasszatok a tablóra!

összegzés

egy r sugarú körben az AB húr hossza megegyezik a sugár hosszával. a húrhoz tartozó középponti szög 60° és 300°.OA = OB = r és AB = r a feladat szerint, ezért az OAB három-szög egyenlő oldalú, amelynek minden szöge 60°. Ezért az O pontnál lévő egyik középponti szög 60°, a másik 300°.

60 fokos szög szerkesztése adott félegyenesre

VÁZlatÖSSZEFÜGGÉSEKaz O pont köré kört rajzolunk, és a félegye-nestől sugár hosszúságú húrt jelölünk ki a kör-ben. 60°-os középponti szöget kapunk

O

r

r

r

A

B


A SZERKESZTÉS LÉPÉSEI

1. O pont körül tetszőleges sugarú kör rajzolása.

2. A kör és a félegyenes metszéspontjából a sugár felmérése.

3. A kapott ponthoz tartozó középponti szög megrajzolása.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Határozd meg a ponthalmazok távolságát! a) Adott P pont és adott AB szakasz. b) Adott AB és CD szakasz. c) Egy háromszög és egy kör.

2. Keresd meg Magyarország térképén az országhatár két legtávolabbi pontját! Mekkora a távolságuk a térképen és a valóságban?

3. Vegyél fel három egyenest és egy P pontot! Szerkeszd meg a P pont távolságát mindegyik egyenes-től! Melyikhez van a legközelebb, melyiktől van a legtávolabb?

4. Fogalmazd meg, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkeznek a következő pontok! a) Az O középpontú 5 cm sugarú körvonal pontjai. b) Az O középpontú 5 cm sugarú körlap pontjai. c) A síknak azok a pontjai, melyeket az O középpontú 5 cm sugarú körlap elhagyásával kapunk.

5. Egy 3 cm sugarú körbe szerkessz 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm hosszúságú húrt! Szerkeszd meg a húrok középponttól való távolságát! Hasonlítsd össze ezeket a távolságokat!

6. Rajzolj egy 35 mm sugarú kört! Jelölj ki a körvonalon tetszőlegesen három pontot, nevezd el őket (A, B, C)! Kösd össze a három pontot egymással és a kör középpontjával is! Keress az ábrádon húrt, körcikket, körszeletet, középponti szöget! Mérd meg az utóbbiakat!

7. Szerkessz érintőt a kör egy adott pontjához!

8. Rajzolj egy egyenest, jelöld meg egy pontját! Szerkessz olyan 4 cm sugarú kört, amely az egyenest a megadott pontjában érinti! Hány megoldás van?

9. Készíts térképet, amelyen 1 cm feleljen meg 5 km-nek! A sivatagban van egy oázis, melyet jelöljön O pont. Hol lehet az a szomjas vándor, aki a) 5 km-nél nem nagyobb távolságra van az oázistól? b) legalább 10 km-re, de legfeljebb 15 km-re van az oázistól?


10. Lehet-e a) két hegyesszög összege hegyesszög, derékszög, tompaszög, homorúszög? b) egy hegyes- és egy tompaszög összege hegyesszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög? c) egy homorú-és egy tompaszög különbsége hegyesszög, derékszög, homorúszög?

11. 13+1-es totó

1.A háromszög belső szögeinek összege

1. kisebb 180° 2. egyenlő 180° X. nagyobb 180°

2.A háromszög külső szögeinek összege

1. biztosan 360° 2. nem biztos, hogy 360° X. nem lehet 360°

3.Egy háromszög egyik belső szöge hegyesszög, a mellette lévő külső szög

1. hegyesszög 2. derékszög X. tompaszög

4.Egy háromszög egyik külső szöge hegyesszög, a mellette lévő belső szög

1. homorúszög 2. tompaszög X. hegyesszög

5.A derékszögű háromszög külső szögei között

1. biztos van derékszög 2. nincs derékszög X. pontosan két derékszög van

6.Egy háromszögnek lehet

1. két derékszöge 2. homorúszöge X. két hegyesszöge

7.Ha egy háromszög minden belső szöge hegyesszög, akkor minden külső szöge

1. hegyesszög 2. tompaszög X. derékszög

8.Ha egy háromszögben két belső szög 60°, akkor a háromszögnek

1. nincs tükörtengelye 2. pontosan egy tükörten-gelye van

X. három tükörtengelye van

9.A háromszög belső szögei között lehet

1. egy tompaszög 2. két tompaszög X. három tompaszög

10.A háromszög külső szögei között

1. lehetnek egyenlők 2. nem lehetnek egyenlők X. nem lehet eldönteni

11.Ha egy háromszögnek két belső szöge 60°-os, akkor a harmadik belső szöge

1. 120° 2. 30° X. 60°

12.Egy háromszög egyik külső szöge 150°. Belső szögei között lehet

1. 70°és 80°-os 2. 30°és 150°-os X. 100°és 80°-os

13.Ha egy háromszög külső szögei egyenlők, akkor a háromszögnek

1. egy tükörtengelye van 2. nincs tükörtengelye X. 3 tükörtengelye van

13+1Egy háromszög két belső szöge 45° és 85°, akkor külső szögei közül biztos, hogy

1. két tompaszög van 2. nincs tompaszög X. egy tompaszög van


12. a) Mekkorák az egyenlő oldalú háromszög külső szögei? b) Mekkorák az egyenlőszárú derékszögű háromszög belső szögei?

13. Számítsd ki a háromszög hiányzó belső és külső szögeit! a) b)

14. Számítsd ki a háromszög hiányzó szögeit, ha a) két belső szöge 35° és 110°; b) két külső szöge 95° és 140°!

15. Egy háromszög egyik külső szöge 100°. A nem mellette lévő két belső szög közül az egyik három-szorosa a másiknak. Mekkorák a háromszög szögei?


a) 3° = ……… ’ = ……… ’’ 6° = ……… ’ = ……… ’’ 23° = ……… ’ = ……… ’’

0,4° = ……… ’ = ……… ’’ 0,7° = ……… ’ = ……… ’’ 1,7° = ……… ’ = ……… ’’

100,5° = ……… ’ = ……… ’’ 18,5° = ……… ’ = ……… ’’ 33,3° = ……… ’ = ……… ’’

b) 120’ = ……… ° 2 532’ = ……… ° 68,4’ = ……… °

30° = ……… ° 45’ = ……… ° 90’ = ……… °

14°32’ = ……… ’ 25°40’ = ……… ’ 4°13’60’’ = ……… ’

17. Fejezd ki az egyenesszög (p) törtrészeként a következő szögeket!

a) 90° = ……… p 360° = ……… p 9° = ……… p 27° = ……… p

b) 120° = ……… p 210° = ……… p 330° = ……… p 99° = ……… p

18. Fejezd ki fokokban a következő szögeket (az egyenesszöget p jelöli)! a) 3p = ……… ° 1,5p = ……… ° 10p = ……… °

b) 13

p = ……… ° 34

p = ……… ° 12

p = ……… °

23° 76°33°90°


19. Számítsd ki a két szög összegét, illetve különbségét! a) 45°23’ és 66°11’ b) 89°29’ és 75°34’ c) 243°7’ és 86°56’

20. Vegyél fel egy hegyesszöget és egy tompaszöget! Szerkessz olyan háromszöget, melynek van két, a megadott szögekkel egyenlő szöge!

21. Vegyél fel egy tompaszöget! Szerkeszd meg a negyedét, ötnegyedét, háromkettedét, kétszeresét! Milyen fajta szögeket kaptál?

22. Döntsd el, melyik állítás igaz, illetve melyik hamis! a) A kör átmérője a leghosszabb húr. b) Az átmérő hossza kétszerese a sugárénak. c) A leghosszabb sugár az átmérő. d) Az érintő távolsága a kör középpontjától egyenlő a kör sugarának hosszával. e) Ugyanabban a körben az a középponti szög a nagyobb, amelyikhez nagyobb körív tartozik. f) Különböző sugarú körökben egyenlő középponti szögekhez egyenlő húrok tartoznak.

23. Adott egy kör és a körvonalon egy A pont. Szerkessz négyzetet úgy, hogy csúcsai a körvonalon legyenek, és a megadott pont az egyik csúcs legyen!

24. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe egymás mellé 135°-os és 22,5°-os szöget! a) Hány fokos a harmadik középponti szög? b) Szerkessz a körhöz érintőket az ívek végpontjaiban!

25. Lehetséges-e, hogy a különböző sugarú körpályán ugyanolyan sebességgel futó két versenyző egyszerre érjen a célba? Válaszodat indokold!

26. Van három koncentrikus kör, sugaruk 2 cm, 3 cm és 4 cm. a) Egy 50°-os középponti szöghöz melyik kör esetén tartozik a leghosszabb körív? b) Igaz-e, hogy a három kör egy-egy 25 mm-es húrjához ugyanakkora középponti szög tartozik?

Válaszodat indokold! c) Egy 30°-os és egy 150°-os középponti szög esetén melyik körön keletkezik a legrövidebb húr?

Állítsd hosszúságuk szerint csökkenő sorrendbe az egyes körökben az egyes szögekhez tartozó íveket! Az íveket jelölje a kisebb szögtől indulva i1, i2, i3, i4, i5, i6 !

A

0663. MODULsíKIDOMOKHáromszögek, nevezetes vonalak

Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes


Háromszögek csoportosítása

1. Feladatlap

1. Rajzolj a táblázat megfelelő helyeire megfelelő háromszöget! Rajzold be a szimmetriatengelyeket!

HÁROMSZÖG Hegyesszögű Derékszögű Tompaszögű

Különböző oldalú háromszög

Olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek pontosan két oldala egyenlő

Olyan egyenlőszárú háromszög, amely-nek minden oldala egyenlő.(Egyenlő oldalú vagy szabályos háromszög.)

tanulói munKafüzet 0663. Háromszögek, nevezetes vonalak 35

2. Az alábbi háromszögek közül válogasd ki, és add meg betűjelét azoknak, melyeknek: a) van derékszöge; b) van 90°-nál nagyobb szöge; c) szögei kisebbek az egyenesszög felénél; d) vannak egyenlő oldalai. Add meg a csoportok nevét!

3. Az adott halmazábrákban keresd meg a megfelelő címke helyét! A: háromszög B: egyenlőszárú háromszög C: hegyesszögű háromszög D: derékszögű háromszög E: egyenlő oldalú háromszög F: tompaszögű háromszög

A

B C

D E F


4. A koordinátarendszerben adott a B (5; 4) pont. Keress az x tengelyen két olyan pontot, melyek a B ponttal együtt

a) egy derékszögű háromszög csúcsai b) egy egyenlőszárú hegyesszögű háromszög csúcsai, c) egy egyenlőszárú tompaszögű háromszög csúcsai! Rajzolj is egy-egy megadott tulajdonságú háromszöget, színes használatával különítsd el őket! d) Hány megoldás van az a), b), c) esetekben? Keress minél több megoldást!

5. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak! A háromszög belső szögeinek összege 360°. Van olyan háromszög, amelynek két belső szöge tompaszög. A derékszögű háromszög szögei legfeljebb 90°-osak. A tükrös háromszög minden belső szöge egyenlő. A szabályos háromszög minden belső szöge 60°. Ha egy háromszögnek két szöge 50°, akkor van tükörtengelye. Egy tükrös háromszögben a szárszög nem lehet egyenlő az alapon fekvő szögekkel.

6. Számítsd ki a háromszögek hiányzó belső szögeit! Milyen összefüggést használtál fel? a) A háromszög két belső szöge 65° és 34°. b) A háromszög egyik belső szöge 28°, a nem mellette fekvő egyik külső szög 107°. c) A szimmetrikus háromszög alapon fekvő szöge 49°. d) A szimmetrikus háromszög szárszöge 76°. e) A háromszög két belső szöge 45°22’ és 38°54’.

A háromszög magasságvonalai és magasságpontja

2. Feladatlap1. Rajzold be a megadott háromszögek magasságvonalait, jelöld meg a magasságpontot!

a) b)

cb

a

a

b

c

a

bc


2. Szerkeszd meg a háromszögeket és a kijelölt magasságokat! a) A háromszög oldalai 4 cm, 5,5 cm, 6 cm. A 6 cm-es oldalhoz tartozó magasság. b) A derékszögű háromszög befogói 3,5 cm és 4,5 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság. c) A háromszög két oldala 5,2 cm és 6,5 cm, az általuk bezárt szög 120°. Mind a két megadott oldal-

hoz tartozó magasság.

3. Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, illetve hamis a háromszög magasságvonalaival kapcsolato-san!

Van olyan magasságvonal, amely nem halad át a háromszög egyik csúcsán sem. Az oldal és a hozzátartozó magasság mindig merőlegesek egymásra. Van olyan háromszög, amelynek nincs magasságpontja. Van olyan háromszög, amelynek magasságpontja egybeesik az egyik csúccsal. A háromszög bármely magassága mindig a háromszög belsejében helyezkedik el.

4. Vonalzóra, mint alátámasztásra helyezve találjátok meg a kartonpapírból kivágott háromszög egyensúlyi helyzetét! Keressétek meg az összes lehetséges egyensúlyi helyzetet! Rajzoljátok meg a háromszögön a vonalzó alátámasztó éleit! Hány ilyen élt találtatok? Mit lehet ezekről az élekről megállapítani?

Ezután a tű és cérna segítségével függesszétek fel a háromszöget az egyik csúcsánál, és vizsgáljá-tok ebben a helyzetben is a háromszög egyensúlyi helyzetét! A függőón segítségével ellenőrizzé-tek, mivel esik egybe a függőón által kijelölt függőleges irány!

5. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! Szerkeszd meg mind-három háromszög súlyvonalait!

összegzésA háromszög magasságvonala, magasságpontjaA háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges egye-nes.A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága.az a, b, c oldalhoz tartozó magasság jele rendre ma, mb, mc.A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög magasságpontja.


A háromszög súlyvonalaA háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz, illetve a szakasznak a hossza. az A, B, C csúcsból kiinduló súlyvonal jelölése rendre sa, sb, sc.A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont a háromszög belső pontja.

A háromszög oldalfelező merőlegesei, szögfelező egyenesei

3. Feladatlap

1. Szerkeszd meg a háromszöget, majd oldalfelező merőlegeseinek metszéspontját! Rajzolj e metszés-pont köré a háromszög csúcsain átmenő kört!

a) A háromszög egyik oldala 5 cm, a rajta fekvő két szög 45° és 60°. b) A derékszögű háromszög befogói 3,5 cm és 5 cm. c) A háromszög oldalai 4 cm 5 cm 8 cm.

2. Szerkeszd meg a háromszöget, majd szögfelezőinek metszéspontját! Rajzolj e metszéspont köré a háromszög oldalait érintő kört!

a) A háromszög két oldala 5,5 cm és 6 cm, a 6 cm-es oldalhoz tartozó magasság 4 cm. b) A háromszög oldalai 6 cm, 8 cm és 10 cm. c) A háromszög egyik oldala 4 cm, a hozzá tartozó magasság 4,5 cm, az oldalon fekvő egyik szög

135°.

összegzésA háromszög oldalfelező merőlegeseiBármely háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást.Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a kör középpontja a háromszög belsejében vanHa a háromszög derékszögű, akkor a kör középpontja az átfogóra esik.Ha a háromszög tompaszögű, akkor a középpont a háromszögön kívülre esik.


A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont minden esetben a háromszög bel-sejében található.

A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög beírható körének a középpontja. A három-szög beírt köre mindig létezik.

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Szerkeszd meg az adott háromszögek magasságpontját!

. Szerkessz háromszöget, ha oldalainak hossza a) 5 cm; 5,5 cm; 6 cm b) 4,5 cm; 6 cm; 7,5 cm c) 3,5 cm; 5 cm; 7 cm Szerkeszd meg a háromszögek magasságait! Mérd meg a csúcsoknak a szemközti oldalegyenestől való távolságát!


3. Szerkeszd meg ismét a 2. feladatban megadott háromszögeket! Szerkeszd meg mindhárom három-szög súlyvonalait!

4. Vegyél fel a füzetedben egy tompaszögű ABC háromszöget! a) Szerkeszd meg a magasságpontját, és jelöld M-mel! b) Szerkeszd meg az AMC háromszög magasságpontját! Mit veszel észre? Magyarázd meg! c) Szerkeszd meg a BMC háromszög magasságpontját! Mit veszel észre? Magyarázd meg! d) Szerkeszd meg az AMB háromszög magasságpontját! Mit veszel észre? Magyarázd meg!

5. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! Tükrözd mind a három háromszöget egyik súlyvonalára! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükör-kép háromszög csúcsai?

6. Mekkora szöget zár be a két magasságvonal?

7. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mind a három háromszöget a leghosszabb oldalhoz tartozó magasságára! Milyen sok-

szöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? b) Tükrözd mind a három háromszöget a legrövidebb oldalhoz tartozó magasságára! Milyen sok-

szöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai?

8. Egy háromszög két magasságvonalának hossza megegyezik. Milyen fajta háromszög lehet?

9. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, melynek oldalai 3 cm, 5 cm, 5 cm hosszúak! a) Szerkeszd meg az oldalfelező merőlegeseit! Rajzold meg a háromszög körülírt körét! b) Szerkeszd meg a szögfelezőit! Rajzold meg a háromszög beírt körét!

10. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mind a három háromszöget a leghosszabb oldal felezőmerőlegesére! Milyen sokszöget

határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? b) Tükrözd mind a három háromszöget a legrövidebb oldal felezőmerőlegesére! Milyen sokszöget

határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai?

11. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mind a három háromszöget a legnagyobb szögének szögfelezőjére! Milyen sokszöget

határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? b) Tükrözd mind a három háromszöget a legkisebb szögének szögfelezőjére! Milyen sokszöget

határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai?

12. Mekkora szöget zár be a két megadott szögfelező?

30°

d

d 40°


13. Bizonyítsd be, hogy ha a háromszög derékszögű, akkor körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja! (Jusson eszedbe, amit a téglalapról tudsz!)

14. Bizonyítsd be, hogy ha a háromszög körülírt körének középpontja egyik oldalának felezőpontja, akkor a háromszögnek van derékszöge! (Használd fel a kör jól megválasztott sugarainak egyenlő-ségét!)

15. Rajzolj néhány különböző típusú háromszöget! Szerkeszd meg a körülírt és a beírt körüket! a) Van-e olyan háromszög, melynek e két köre metszi egymást? b) Van-e olyan háromszög, melynek e két köre koncentrikus?

16. „Van-e olyan háromszög” – játék Készíts egy-egy kártyát, melyen a háromszög valamely nevezetes pontja szerepel! Minden pontról

van egy kártya. Írd fel a füzetedbe az alábbi nyitott mondatot:

Van-e olyan háromszög, melyben megegyezik a ………………… és a …………………? Húzz a kártyakészletből kettőt, és helyezd el azokat a nyitott mondatban, majd válaszold meg a

keletkezett kérdést! Válaszaidat indokold!

17. Sorold fel, milyen húrnégyszögekről tanultunk! Rajzolj egy húrnégyszöget, és szerkeszd meg oldalainak felezőmerőlegesét! Hol találkoznak a felezőmerőlegesek? Rajzolj olyan kört, amely a húrnégyszög csúcsain halad át!

18. Rajzolj egy „általános” négyszöget! Szerkeszd meg oldalainak felezőmerőlegesét! Hol találkoznak a felezőmerőlegesek? Rajzolj olyan kört, amely a húrnégyszög csúcsain halad át!

F

AC

B

0664. MODULsíKIDOMOKHáromszögek és négyszögek szerkesztése



Tengelyesen szimmetrikus háromszögek és négyszögek tulajdonságai

1. Feladatlap

1. A tanártól a következő feliratú papírcsíkokat kapjátok:

a háromszögnek van szimmetriatengelye

a háromszögnek van két egyenlő oldala

a háromszögnek van két egyenlő szöge

a háromszög minden magasságvonala egybeesik egy szögfelezővel

a háromszögnek három szimmetriatengelye van

a háromszögnek nincs szimmetriatengelye

a háromszögnek van olyan súlyvonala, amely merőlegesen felezi az oldalt

a háromszög egyik magassága sem felezi a megfelelő oldalt

Válasszatok ki két tulajdonságot úgy, hogy ha az egyik elé a „ha”, a másik elé az „akkor” szót tesszük, akkor biztosan igaz állítást kapjunk!Írjatok le a füzetetekbe ezekből néhányat!

2. Igaz vagy hamis állítások-e az alábbi meghatározások? Válaszodat indokold! a) Egy háromszögnek nem lehet két derékszöge. b) Minden háromszögnek van két hegyesszöge. c) A hegyesszögű háromszög minden külső szöge hegyesszög. d) A derékszögű háromszög hegyesszögeinek az összege az egyenesszög fele. e) A tompaszögű háromszögnek lehet derékszöge.

3. Mekkorák a szimmetrikus háromszög belső szögei, ha

a) alapon fekvő szöge 44°?

b) szárszöge 57°?

c) az alapon fekvő szöge fele a szárszögének?

4. Az alábbi feladatokat szögmérő használata nélkül oldd meg!

a) Szerkessz 60°-os szögből kiindulva 30°, 75°, 150°, 240° nagyságú szöget!

b) Szerkeszd meg a 120° ötnegyedét!

c) Szerkeszd meg a 90° negyedét!

5. a) Hányféle háromszöget tudsz kialakítani a kapott, különböző méretű szívószálakból? Melyik három darabból nem készíthető háromszög?

b) Szerkeszd meg a különböző oldalú háromszögek közül a kisebb kerületűt!

tanulói munKafüzet 0664. Háromszögek és négyszögek szerkesztése 45

összegzésA háromszög egyenlőtlenségA háromszög bármely két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal.

2. Feladatlap

1. Csoportosítsátok az alábbi négyszögeket a megadott szempontok szerint, külön-külön az I-es, illetve II-es feladatban! Készítsetek halmazábrát! Írjátok be az egyes négyszögek számait a megfe-lelő helyre! Nevezzétek meg az egyes csoportokat!

i. A: négy oldala van B: van párhuzamos oldalpárja C: van csúcson átmenő szimmetriatengelye ii. D: van szimmetriatengelye E: van csúcson átmenő szimmetriatengelye F: szimmetriatengelye merőlegesen felezi az oldalakat

2. a) Rajzolj egy egyenest! Keress három, illetve négy olyan pontot, melyek a megadott egyeneshez képest szimmetrikusan helyezkednek el, és semelyik három pont nincs egy egyenesen! Hány-féle megoldást találtál? Kösd össze a négy pontot, és nevezd meg az így létrejött négyszögeket!

b) Keressetek egyenlő szakaszokat és egyenlő szögeket a szimmetrikus négyszögeken, jelöljétek is meg azokat! Ezek alapján soroljátok fel ezeknek a négyszögeknek a tulajdonságait!

3. Rajzolj egy téglalapot és egy négyzetet, rajzold meg az átlóikat is! Igazold, hogy mindkettő szim-metrikus trapéz! Hány szimmetriatengelyük van? Jelöld ezeket is!

1.2. 3.

4.6.5.

7. 8. 9.


4. Szerkessz háromszöget, ha oldalainak hossza a) 4 cm, 5 cm, 6 cm; b) 4,5 cm, 6 cm, 7,5 cm; c) 7 cm, 4 cm, 4,5 cm. Milyen háromszögeket kaptál az egyes esetekben?

5. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott három oldalának a hossza!

Háromszögek szerkesztéseAZ EuKLIDESZI SZERKESZTÉS LÉPÉSEI

1. Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval.

2. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük.

3. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk.

4. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük.

5. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

A

B

BA

P

e f


6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

3. Feladatlap

1. Szerkessz háromszöget, ha egyik oldala 4 cm, a rajta lévő két szög 60°és 30°! Készíts vázlatot!

a szerkesztés meneteElőször készíts színes vázlatot az elemzéshez! Jelöld a vázlaton pirossal azokat az adatokat, melyeket a szöveg megadott, majd sárgával azokat, melyeket ismereteink segítségével mi kikövetkeztetünk, és a szerkesztésben fel fogunk használni! Jelöld a szerkesztés lépéseinek sorrendjét a vázlaton, és írd is le a lépéseket szavakkal.

adatok Összefüggéseka = 4 cmb = 60°g = 30°

a szerkesztés lépései vázlat1. Felveszek egy 4 cm hosszúságú szakaszt.2. A szakasz egyik végpontjához

megszerkesztem a 60°-os, a másik végpontjához a 30°-os szöget.

3. A két szögszár metszéspontja lesz a háromszög harmadik csúcsa.


2. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, ha alapja 4,5 cm, az alapon fekvő szöge 75°! Készíts vázla-tot!

adatok Összefüggéseka = 4,5 cm b = g = 75°b = 75°

a szerkesztés lépései vázlat1. Felveszem az a oldalt.2. Az a oldalra B csúccsal megszerkesztem

a 75°-os szöget.3. Ugyanezt a C csúcshoz is.4. A két szögszár metszéspontja

adja az A csúcsot.

3. Adott egy a szög. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha egyik befogója 45 mm és a befogón fekvő egyik szög az adott szög!

4. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, amelynek a) egyik oldala 5 cm, és a rajta lévő szög 45°; b) egyik oldala 6 cm, és a rajta lévő szög 60°! Szerkeszd meg a háromszögek szimmetriatengelyeit! Készíts vázlatot!

5. A 6. b. osztály az erdei iskolában az egyik napon tájékozódási versenyt tart. Útjuk során egy útel-ágazáshoz érkeznek, ahol megkapják a következő feladatot. Így hangzik:

A két ösvény, melyek találkozásánál álltok, 60°-os szöget zár be egymással. A keleti irányú ösvé-nyen nem mehettek, mert az éjszakai vihar alámosta az utat, de el kell jutnotok a keleti irányban található, innen 3,5 km távolságra lévő kilátótoronyhoz. Induljatok el a másik erdei úton mindad-dig, amíg ahhoz a turistaházhoz nem értek, ahonnan pontosan 5 km-es út vezet a kilátóhoz.

a) Szerkesszétek meg a turistaház helyét! A rajzon 1 km-nek 1 cm feleljen meg! b) Hány km-t kell mennetek a turistaházig? Összesen mekkora utat fogtok megtenni a kilátóig?

a


t

Tükrös négyszögek szerkesztése: húrtrapéz, deltoid

4. Feladatlap

1. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, melynek alapja 3 cm, szárai 5 cm-esek! Tükrözd a három-szöget az egyik szárának egyenesére! Milyen alakzatot kaptál?

2. Szerkessz egyenlő oldalú háromszöget 3 cm-es oldalakkal! Tükrözd az egyik oldalának egyene-sére! Milyen alakzatot kaptál? Rajzold meg az átlóit!

3. Tükrözd a trapézt a megadott t egyenesre! Milyen alakzatot alkot az eredeti alakzat a tükörképével együtt?

4. Rajzolj egyenlőszárú, derékszögű háromszöget, melynek befogói 4 cm-esek! Tükrözd a három-szöget az átfogó egyenesére! Milyen alakzatot alkot az eredeti háromszög és a tükörképe együtte-sen?


5. Feladatlap

1. Szerkessz húrtrapézt, amelynek egyik alapja 6 cm, az alapon lévő szöge 60°-os, szára 3,5 cm!

a szerkesztés meneteElőször készíts színes vázlatot az elemzéshez! Jelöld a vázlaton pirossal azokat az adatokat, melyeket a szöveg megadott, majd sárgával azokat, melyeket ismereteink segítségével mi kikövetkeztetünk, és a szerkesztésben fel fogunk használni! Jelöld a szerkesztés lépéseinek sorrendjét a vázlaton, és írd is le a lépéseket szavakkal.

adatok ÖsszefüggésekAB = 5 cm A húrtrapéz alapon fekvő két-két szöge egyenlő.a = 60° A trapéz egy száron fekvő szögeinek összege 180°.AD = BC = 3 cm

a szerkesztés lépései vázlat1. Felvesszük az AB oldalt (5 cm).2. Megszerkesztjük a 60°-os szöget,

A illetve B csúccsal.3. A szögszárakra felmérem az AD, illetve

BC oldal hosszát (3-3 cm).4. Összekötjük a CD pontokat.

a szerkesztés menete

2. Szerkessz szimmetrikus trapézt, amelynek egyik alapja 6 cm, van 60°-os szöge, és szára 4 cm!

3. Szerkessz deltoidot, ha oldalai 4 cm és 6 cm, az oldalak által bezárt szög 120°!

4. Szerkessz rombuszt, ha oldala 4 cm, egyik szöge 30°!

5. Szerkessz négyzetet, ha átlója 5 cm!


6. A gyerekek a nyári táborban azt a feladatot kapják, hogy készítsenek papírsárkányt. Előtte viszont el kell készíteniük a kicsinyített modellt! Hogyan tudják ezt megtenni? Segíts nekik! Szerkeszd meg a papírsárkány tervét, ha tudjuk, hogy oldalai 35 cm, illetve 50 cm-esek, az egyik merevítője 45 cm-es. Mekkora rúdra lesz szükségük, hogy mindkét merevítőre elég legyen? A rajzon 1 cm feleljen meg 10 cm-nek.

7. Szerkessz deltoidot, ha átlói 4 cm és 7 cm!

FELADATGYŰJTEMÉNY1. Melyik állítás igaz, melyik hamis? A háromszög a legkisebb oldalszámú sokszög. Van olyan háromszög, amelynek pontosan két szimmetriatengelye van. Az egyenlő oldalú háromszög szimmetriatengelye egybeesik a szögfelezővel. Létezik egyenlő szárú derékszögű háromszög. A derékszögű háromszögben az átfogó rövidebb a befogónál. Ha egy háromszögben van olyan szögfelező, amely merőlegesen felezi a szemközti oldalt, akkor a

háromszög szimmetrikus.

2. Megadott szakaszokból lehet-e háromszöget szerkeszteni? Szerkeszd is meg a háromszöget! a) 3 cm, 4 cm, 5cm b) 5 cm, 7 cm, 12 cm c) 2,5 cm, 5 cm, 9 cm d) 10 cm, 15 cm, 20 cm

3. Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe szabályos hatszöget! Jelölj ki egy csúcsát, és húzd meg az ebből a csúcsból kiinduló átlókat! A kapott háromszögek közül keress egyenlőszárú, derékszögű, tompa-szögű, hegyesszögű háromszöget!

4. Vegyél fel egy egyenest, jelöld meg egy P pontját! Keresd meg az egyenesnek azokat a pontjait, melyek az adott ponttól 25 mm távolságra vannak. Színezd zölddel a 25 mm-nél kisebb távolságra, pirossal a 25 mm-nél nagyobb távolságra levőeket!

5. Vegyél fel egy egyenest és az egyenestől 3 cm-re egy P pontot! Keresd meg az egyenesnek azokat a pontjait, melyek a P ponttól 5 cm távolságra vannak! Színezd zölddel az egyenesnek azokat a pont-jait, melyek P ponttól 5 cm-nél kisebb, kékkel azokat, melyek 5 cm-nél nagyobb távolságra vannak!

6. Vegyél fel egymástól 5 cm távolságra egy A és egy B pontot! Keresd meg azokat a pontokat, melyek A-tól 3 cm, B-től 4 cm távolságra vannak! Hány megoldást találtál?

Válaszd ki az egyik kapott pontot, és kösd össze A és a B pontokkal, valamint az A-t is a B ponttal! Milyen alakzatot kaptál?

7. Egy háromszög egyik oldala 2 cm-rel rövidebb, mint a másik, és 3 cm-rel hosszabb, mint a harma-dik. Kerülete 20 cm. Szerkeszd meg a háromszöget!

8. Egy háromszög minden oldalának hossza cm-ekben mérve egész szám. Két oldala 3 cm és 4 cm. Mekkora lehet a harmadik oldal? Szerkeszd meg a háromszögeket! Add meg fajtájukat is!

9. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, ha a) alapja 5 cm, az alapon lévő szög 45°-os b) szára 6 cm, szárszöge 75°!


10. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, melynek oldalai a) 5 cm és 4 cm b) 3,5 cm és 6 cm c) két általad előre megadott hosszúságú szakasz Hányféle háromszöget kaptál az egyes esetekben?

11 Szerkessz derékszögű háromszöget, ha befogói 3 cm és 5 cm!

12. Szerkessz egy 3 cm sugarú körbe olyan háromszöget, amelynek csúcsai a körvonalon vannak, és adott két oldala! Mérd meg a harmadik oldalt, és számítsd ki a háromszög kerületét!

a) 3 cm és 5 cm b) 3 cm és 3 cm c) 4 cm és 5 cm

13. Vegyél fel tetszőlegesen egy AB szakaszt! Hol legyen a C pont, ha azt szeretnénk, hogy az A, B, C pontok által meghatározott háromszög egyenlőszárú legyen, és az AB szakasz a háromszög alapja?

14. Vegyél fel tetszőlegesen egy AB szakaszt! Hol legyen a C pont, ha azt szeretnénk, hogy az A, B, C pontok által meghatározott háromszög egyenlő szárú, és az AB szakasz a háromszög szára?

A lehetséges pontok közül jelöld kékkel azokat, melyek hegyesszögű, feketével azokat, melyek derékszögű és zölddel azokat, melyek tompaszögű háromszög csúcsai!

Hol legyen a C pont, hogy az ABC háromszög egyenlő oldalú legyen?

15. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott egy oldala és az arra illeszkedő két szöge a) 6 cm; 45° és 30°, b) 4,5 cm;75° és 60°, c) 5 cm; 15° és 75° Milyen típusú háromszögeket kaptál az egyes esetekben?

16. A koordináta-rendszerben adott az A(–5; 4) pont. Add meg az x tengelyen két olyan további pont jelzőszámait, melyek az A ponttal együtt hegyesszögű, derékszögű, illetve tompaszögű háromszö-get adnak meg! Keress olyan megoldásokat is, melyeknél az előbbi feltételek mellett egyenlő szárú háromszöget kapsz!

17. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha befogói 3 cm és 4,2 cm! Tükrözd a háromszöget először egyik, majd másik befogójának, végül átfogójának egyenesére (minden tükrözést külön-külön háromszögekkel végezz)! Milyen síkidomot alkot együtt az eredeti alakzat és a tükörképe?

18. A koordináta-rendszerben megadott A(0; 5), B(–4; 0), C(0; –8) pontok egy négyszög csúcsai. Keresd meg az x tengelyen a negyedik csúcsot (jelzőszámaival add meg), úgy, hogy a négyszög

a) konvex legyen; b) konkáv legyen; c) deltoid legyen.

19. Rajzolj két párhuzamos egyenest egymástól 25 mm távolságra! Rajzolj négyszögeket úgy, hogy csúcsaik az egyeneseken legyenek, és

a) a négyszögnek legyen derékszöge; b) a négyszögnek legyen két egyenlő oldala; c) a négyszögnek legyen homorúszöge; d) a négyszögnek legyen két szimmetriatengelye; e) a négyszögnek két szomszédos szöge hegyesszög legyen.


20. Szerkeszd meg azokat a tükrös háromszögeket, melyeknek néhány részlete adott! Fejezd be a raj-zot! Hányféle megoldást találtál?

21. Rajzolj egy 3 cm sugarú körbe négyszögeket úgy, hogy csúcsai a körön legyenek, és megfeleljenek az alábbi feltételeknek is! Van

a) két egyenlő oldala; b) két tompaszöge; c) párhuzamos oldal párja; d) szimmetriatengelye; e) homorúszöge.

22. Tedd igazzá a nyitott mondatokat! A következő nevek közül válogass: trapéz, deltoid, rombusz, húrtrapéz, téglalap, négyzet

– Van olyan téglalap, ami nem …………………? .

– Minden téglalap …………………? .

– Nincs olyan rombusz, ami ne lenne …………………? .

– Ha egy négyszög átlói merőlegesek egymásra, akkor az …………………? .

– Minden húrtrapéz …………………? .

– Ha egy deltoid átlói felezik egymást, akkor az …………………? .

23. Készíts halmazábrát, és minden tartományába rajzolj sokszöget! Az üres tartományokat satírozd be!

a) A: húrtrapéz; B: deltoid b) A: téglalap; B: deltoid c) A: rombusz; B: deltoid d) A: négyzet; B: húrtrapéz

a

b

C


24. Döntsd el a 13+1-es kérdéssor nyitott mondatairól, hogy igazak vagy hamisak! 1. Minden trapéz négyszög. 2. A paralelogramma tengelyesen szimmetrikus sokszög. 3. Minden rombusz deltoid. 4. Van olyan húrtrapéz, ami deltoid. 5. Ha a négyszögnek két szimmetriatengelye van, akkor téglalap. 6. Ha a négyszögnek négy szimmetriatengelye van, akkor négyzet. 7. A deltoid felbontható két, szimmetrikus háromszögre. 8. Minden négyzet téglalap. 9. Minden rombusz trapéz. 10. Ha egy négyszög átlói egyenlő hosszúak, akkor húrtrapéz. 11. Ha egy négyszög minden oldala egyenlő, akkor deltoid. 12. Ha egy négyszög átlói merőlegesek egymásra, akkor rombusz. 13. A négyzet szimmetriaátlóinak száma egyenlő oldalainak számával. 13+1. Van olyan négyszög, aminek három szimmetriatengelye van.

25. Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(2; 1), B(5; 4), C(8; 1)! Keress olyan negyedik pontot, hogy a négy pont együtt olyan négyszöget határozzon meg, amelynek egy szimmetriatengelye van!

Lehet-e olyan négyszöget találni, amelynek négy szimmetriatengelye van?

26. Szerkessz deltoidot, ha a) egyik oldala 5 cm, az oldalon lévő két szög 120°, illetve 45°; b) szimmetriaátlója 8 cm, a másik átló 5 cm, egyik oldala 35 mm; c) oldalai 4 cm, illetve 6 cm, egyik átlója 5 cm.

27. Szerkessz húrtrapézt, amelynek a) egyik alapja 8 cm, szára 4 cm, az erre illeszkedő szög 60°; b) alapja 9 cm, szára 4 cm, átlója 8 cm; c) alapjai 5 cm és 3 cm, szára 4 cm.

28. Szerkessz rombuszt, amelynek a) átlói 7 cm és 4 cm; b) oldala 45 mm, egyik szöge 75°; c) rövidebbik átlója 5 cm, egyik szöge 105°.

29. Szerkessz négyzetet, ha átlója 6 cm!

30. Szerkessz téglalapot, ha egyik oldala 6 cm, átlója 8 cm!

31. Vágj ki papírból szimmetrikus háromszögeket, melyeknek adatai: 1. alapja 3 cm, szára 2 cm; 2. alapja 3 cm, szára 4 cm; 3. alapja 2 cm, szára 3 cm; 4. minden oldala 3 cm 5. minden oldala 2 cm! Rakj ki ezek segítségével deltoidokat!

0665. MODULsíKIDOMOKGyakorlás, mérés



GYaKorlÓ FeladatoK

1. a) Derékszögű vonalzóval rajzold meg, majd mérd meg a P pontnak a háromszög oldalaitól mért távolságát!

b) Rajzold meg és mérd meg, mekkora távolságra van a P pont a háromszög csúcsaitól? c) Szerkeszd meg az A és B csúcstól azonos távolságra lévő pontok halmazát! d) Mérd meg a háromszög belső szögeit!

2. Rajzolj egy Q pontot, majd rajzold meg azokat a pontokat, amelyek a) Q-tól 2 cm távolságra vannak; b) Q-tól 3 cm távolságra vannak. Jelöld zölddel azokat a pontokat, amelyek Q ponttól 2 cm-nél nagyobb és 3 cm-nél nem nagyobb

távolságra vannak! Nevezd meg a zölddel színezett ponthalmazt!

3. Rajzolj egy 7 cm hosszúságú AB szakaszt! Szerkeszd meg azokat a pontokat, amelyek a szakasztól 3 cm távolságra vannak!

a) Színezd sárgával azokat a pontokat, amelyek AB szakasztól mért távolsága maximum 2 cm! b) Színezd kékkel azokat a pontokat, amelyek az AB szakasztól mért távolsága 1 cm-nél nem

nagyobb! c) Milyen közös tulajdonsággal rendelkeznek az ábrádon azok a pontok, amelyek csak sárga szí-

nezést kaptak?

4. Szerkessz derékszögű egyenlőszárú háromszöget, ha alapja 5 cm, az alapon fekvő szögek 45°-osak! Tükrözd a háromszöget az 5 cm-es oldalára! Milyen alakzatot alkot együtt az eredeti háromszög és a tükörképe? Rajzold meg pirossal a szimmetriatengelyét!

5. Szerkessz húrtrapézt, ha egyik alapja 6 cm, szárai 4 cm-esek, az alapon fekvő szöge 60°! Rajzold meg a szimmetriatengelyét!

6. Döntsd el, hogy az alábbi állítások igazak vagy hamisak! Van olyan háromszög, amelynek pontosan két szimmetriatengelye van: Van olyan háromszög, amelynek oldalai 4 cm, 6 cm, 10 cm: A húrtrapéz átlói egyenlő hosszúak: A deltoid átlói felezik egymást: A sugár hossza fele az átmérő hosszának: A szögfelező pontjai azonos távolságra vannak a szög két szárától:

A B

P

C

tanulói munKafüzet 0665. gyakorlás, mérés 57

7. A derékszögű koordináta-rendszerben jelöld zölddel az x tengelytől 4 egységre lévő pontokat, illetve jelöld pirossal az y tengelytől 3 egységre lévő pontokat!

Fogalmazd meg, milyen tulajdonsággal rendelkeznek azok a pontok, melyeket mindkét színnel megjelöltél!

8. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, ha alapja 6 cm, az alapon lévő szög 75°. Határozd meg (szög-mérő használata nélkül) a hiányzó belső szögeket és a külső szögeket! Szerkeszd meg a belső szö-gek szögfelezőit!

9. Számítsd ki a háromszögek, illetve négyszögek hiányzó belső és külső szögeit!

10. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Jelöld a következő pontokat: A(1; 4), B(5; 1), C(1; –5)! Add meg a D pont jelzőszámait úgy, hogy a négy pont együtt egy deltoidot határozzon meg! Raj-zold meg a deltoidot!

11. a) Szerkessz szimmetrikus háromszöget, melynek alapja 4 cm, szára 6 cm. Tükrözd a háromszöget alapjának az egyenesére! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti

háromszög és a tükörképe együtt?

b) Szerkessz derékszögű háromszöget, melynek befogói 3 cm, illetve 4 cm! Tükrözd a háromszöget az átfogójának egyenesére! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti

háromszög és a tükörképe együtt?

t

88°132°45°

t

50°

a

a

12. Szerkessz háromszöget, amelynek két oldala 5 cm és 6 cm, a két oldal által bezárt szög a megadott szög! Szerkeszd meg a háromszög oldalainak felező merőlegeseit!

067. AráNy, AráNyOssáG, sTATIsZTIKA0671. Arányos osztás

Készítették: Benczédy-Laczka Krisztina, Malmos Katalin

60 matematiKa „a” – 6. évfolyam – 067. arány, arányosság… tanulói munKafüzet

1. Feladatlap

Nézzük meg, hogy Magyarország különböző városában milyen adatokat találhatunk a munkanélkü-liségre vonatkozóan. Két város munkanélküliség helyzetét vizsgáljuk a következő feladatban.1. Mit gondolsz, melyik városban nagyobb a munkanélküliség? a) Az A városban 330 000-rel több a munkanélküli, mint B városban. b) Az A városban 480 000-rel több ember lakik, mint B városban, és A városban 330 000-rel több a

munkanélküli, mint B városban. c) Az A városban 450 000, a B városban 120 000 munkanélküli van. d) A munkanélküliek száma A városban 35% fölött, B városban 20% alatt van.

e) Az A városban a lakosság 924

-ed, B városban 424

-ed része munkanélküli.

f) Az A városban 9 : 24, a B városban 4 : 24 a munkanélküliek és a dolgozók aránya.

ARÁNY, ARÁNYOSSÁG (olvasmány)

Az arány, arányos szavak hallatán nemcsak matematikára gondolunk, sokkal tágabban is értelmez-hetők ezek a szavak. Az arányos szó alapvetően pozitív értelmezéssel bír. Ha egy épület nem ará-nyos, hanem aránytalan, azt nem szoktuk szépnek látni. Egy lakásvásárlásnál, ha azt mondjuk, hogy aránytalanul sokba kerül, azt is mondjuk, hogy az ára nincs arányban az épület állagával, túl drágán adják a lakást. Ha az iskolában fegyelmező intézkedést kap egy diák, és azt mondjuk, hogy arányta-lanul szigorú döntés, akkor ez azt jelenti, hogy a beírás nincs arányban az elkövetett vétséggel, azaz igazságtalan. Ezek a példák mutatják, hogy a matematikai tartalmon túl valami egyebet – szépérzék, igazságérzet … – is kifejezünk ezekkel a szavakkal. A görögök ebben az értelemben az arányt erkölcsi kategóriának tekintették, és tekinthetjük mi is.Az ókori matematikusok a test és lélek harmóniáját az arányok helyes megválasztásában látták.

Arisztotelész (Kr. e. 384–322) görög filozófus és matematikus az arányt a szépség elengedhetetlen feltételének tartotta.Eukleidész (Kr. e. 365?–300?) görög matematikus „Elemek” című könyvében összefoglalta elődei arányelméletét.

A középkorban élő művészek az arányt, mint emberfeletti dolgot emlegették. Már régtől ismert, a természetben is megfigyelhető az az arány, amit aranymetszési aránynak vagy „Divina pro-portio” (ejtsd: divina proporció), „isteni arány” neveztek az ókori matematikusok.Egy szakasz vagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztása-kor a keletkező kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez. Ezt az arányt annyira szépnek tartották, hogy nagyon sok

műemlék arányaiban is felfedezhető. Így például a Belvederei Apollón szobron, amely Kr. e. 350 körül készült. Az „I” vel jelölt vonal az egész testet az aranymetszés arányának megfelelően osztja fel.

Az aranymetszést már az ókor-ban is előszeretettel használták a képzőművészetekben. Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszés-sel osztott távolságok általában kellemes hatást keltenek a szem-lélőben. Az ókori Egyiptomban még valószínűleg nem tudato-san alkalmazták a módszert,

A

I

B

tanulói munKafüzet 0671. arány, arányos osztás 61

bár a Gízai piramisokon felfedezhetők az aranymetszésre jellemző arányok. A gö rögök már szilárd matematikai alapokra helyezték építészetüket. Az athéni Akropolisz főépítésze, Pheidias a Tympanon tervezésekor számtalan helyen élt az aranymetszés lehetőségével. Az állat- és növényvilág is rengeteg lehetőséget nyújt az aranymetszés megfigyelésére. Tesztmódsze-rekkel végzett vizsgálatokkal kimutatták, hogy a legtöbben az aranymetszési arányt hordozó, vagy az ahhoz közelálló alakzatokat tartják leginkább esztétikusnak. Ez azzal magyarázható, hogy közvet-len környezetünk, maga a természet ehhez számos mintával szolgál. Ezzel találkozunk számos virág mintázatában, fák leveleinek méretarányaiban, az ágak és levelek elhelyezkedési viszonyaiban…

2. Feladatlap

1. Különböző áruházakban a férfiak és nők számát vizsgálták. 1 nap alatt az I. áruházban 100 vásárló közül 75 nő volt, a II. áruházban 120 vásárló közül 100 férfi volt.Válaszolj az alábbi kérdésekre!

a) A kiválasztott napon melyik áruházban vásárolt több nő és mennyivel? b) Hányszor több férfi vásárolt a II. áruházban, mint az elsőben? c) A vásárlók mekkora része volt nő az egyes áruházakban? d) Melyik áruházban nagyobb a férfi vásárlók százaléka? e) Mennyi a férfi vásárlók és a női vásárlók aránya az egyes áruházakban?

2. Számítsd ki, hogyan aránylik a 28 a 4-hez, mondj olyan számpárokat, melyek aránya ugyanennyi!

3. Hogyan aránylik a 4 a 28-hoz? Számítsd ki, majd írj olyan számpárokat, amelyek aránya ugyanennyi!

TUDNIVALÓAz arány két szám hányadosát jelenti. Az osztandó mutatja meg, hogy melyik számot hasonlítjuk a másikhoz (az osztóhoz).

például: 5 és 2 aránya 52

= 2,5. A 2 és 5 aránya 25

= 0,4. A példából is látszik, hogy az arányban szereplő

számok nem felcserélhetőek.

4. Olvasd el az alábbi szöveget, majd válaszolj a kérdésekre!

A kelet-közép-európai országok és fővárosaik lakosságának számát hasonlították össze, melyek mind történelmi múltjukat, mind társadalmi-gazdasági helyzetüket tekintve lényegesen különböznek egymástól. Németországban a fővároson kívül élők száma 79269 ezer fő, míg Ausztriában ugyanez ez a szám 6559 ezer fő. A vizsgált országok közül Magyarország összlakossága 10 088 ezer fővel a harma-

dik helyen szerepel. Lettországban az ország 13

-a, Lengyelországban az 5113

-a él a fővárosában. Észt-országban a fővárosban élők aránya 9 : 31. Az egykori Csehszolvákia területén Csehországban 10228 ezer fő, Szlovákiában pedig 5392 ezer fő él. A kisebb területű Pozsonyban 426 ezer fő él 368 km2-en, míg közel 500 km2-en Prágában 2,7-szer többen élnek. Az EU negyedik legnépesebb városa, a 3389 ezer fő lakosú, egyesített Berlin éppúgy, mint a volt Jugoszláv utódállam, Szlovénia 266 ezer lelket számláló fővárosa, Ljubjana. Budapest a tíz nagyváros között 1 millió 705 ezer lakosával népességszáma alapján a második. Budapest után 1690 ezer fővel Varsó a harmadik, Bécs 1599 ezer fővel a negyedik helyen következik a vizsgált fővárosok közül. A legkisebb területű Tallinnban 158 km2-en 396 ezer fő, a közel kétszer akkora


területű Rigán 740 ezer fő él. Litvánia fővárosában, Vilniusban 553 ezer fő, az ország 16%-a, Szlo-véniában ugyanez az érték 13,3%. E két ország fővárosaiban az 1995-től rendelkezésre álló adatok alapján összességében természetes fogyásról beszélhetünk. A vizsgált fővárosok közül ebben az időszakban e kettőben volt a fogyás mértéke a legalacsonyabb, és mindkét nagyvárosnál 1996 után is volt olyan esztendő, amikor a születések száma meghaladta a halálozásokét.

a) Mit tudunk az egyes országokról? b) Mit tudunk az egyes fővárosokról? c) Mely országok, illetve fővárosok lakosságának arányát tudjuk összehasonlítani számolás nél-

kül? d) Mit tudunk az egyes országok és azok fővárosainak lélekszámáról?

3. Feladatlap

1. Julcsi születésnapi zsúrján a meghívottakat meglepte Julcsi anyukája 15 lufival, amit nekik kellett felfújni. A fiúk kétszer annyi lufit tudtak felfújni, mint a lányok. Hány lufit fújtak fel a lányok, és hány lufit fújtak fel a fiúk?

2. Osszunk fel egy 12 cm hosszú szakaszt 1 : 3 arányban.

3. Egy esküvői vacsorára 68 vendéget várnak. A menyasszonynak háromszor annyi meghívottja van, mint a vőlegénynek. (Azaz a vendégek 3:1 arányban vannak a vacsoraasztalnál.) Hány vendéget vár a jegyespár külön-külön az emlékezetes eseményre?

4. Budapest–Szentendre távolsága légvonalban 20 km. A térképen 4 cm. Mekkora a térkép méretará-nya?

5. A boltban kapható falfestéket 1:5 arányban kell hígítani. 2 liter vízhez mennyi festéket keverjek?

6. Zsuzsi és Peti elhatározták, hogy anyukájukat együtt lepik meg születésnapja alkalmából. Össze-adták megspórolt pénzüket, így 5100 Ft-juk volt az ajándékra. Zsuzsi kétszer annyi pénzt takarított meg, mint Peti. Külön-külön mennyi pénzük volt?

7. Nyáron egy gyümölcsöskert „Szedd magad” akciót hirdetett. Két család együtt ment almát szedni. Megegyeztek, hogy a leszedett almát együtt méretik le, s abból mindenki ugyanannyit kap. Milyen arányban osztozkodott a két család, ha összesen 54 kg almát szedtek, és az egyik család négytagú, a másikban öten vannak? Mennyi jutott egy-egy családtagnak?

8. Egy kosárlabda meccsen az egyik csapatból 7 játékos lépett pályára. Összesen 88 pontot szerez-tek. Három játékos nem szerzett pontot. Két játékos ugyanannyi pontot dobott. Az egyik társuk háromszor annyit dobott, a másik társuk pedig fele annyi pontot szerzett, mint ők ketten külön-külön. Hány pontot dobtak a játékosok külön-külön?


4. Feladatlap

1. a) A 6. c osztályban a legutolsó matematika felmérésen az 5, 4, 3, 2, 1-es jegyeket 3 : 5 : 7 : 8 : 2 arány-ban kaptak a tanulók. Az ábra segítségével határozd meg az osztály jegyeit, ha a 6. c osztályba 25 tanuló jár!

b) Négy hatodikos osztályban 100 tanulóval központi matematika felmérést készítettek. Az 5, 4, 3, 2, 1-es jegyeket a következő arányban kaptak a tanulók: 12 : 23 : 31 : 25 : 9. Az ábra segítségével határozd meg, hány darab 5, 4, 3, 2, 1-es jegyeket kaptak a tanulók!

c) Melyik feladatban kaptak a tanulók nagyobb arányban 5-ös osztályzatot?

d) Melyik feladatban kaptak a tanulók nagyobb részben 3-as osztályzatot?

Határozd meg, hogy az egyes esetekben a tanulók hány százaléka kapott 3-ast! Melyik esetben tudod könnyen meghatározni?

e) A tanulók hány százaléka ért el közepesnél jobb eredményt az egyes esetekben?


2. Olvasd el az újságcikket figyelmesen!

a) Rendszerezd és tedd áttekinthetővé az adatokat a táblázatban! Ahol szükséges, végezd el a meg-felelő számításokat.

2002. negyedik negyedév 2003. negyedik negyedév

Vezetékes telefonvonalak száma 3,613 millió

Vezetékes hívások száma

Vezetékes hívások időtartama 2,5 milliárd perc

Mobil előfizetők száma

Mobilhívások száma

Mobilhívások időtartama

b) Ellenőrizd, hogy az adatok alapján valóban annyi-e a százalékos változás!

c) Miért van jóval több mobil előfizető, mint vezetékes telefon előfizető? Szerinted mi az oka annak, hogy csökkent a vezetékes előfizetők száma, míg a mobiltelefonok esetében éppen ellentétes változás figyelhető meg?


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Keresd a párját! a)

b)

c)

2. Egy téglalap oldalainak aránya 1 : 3. Kerülete 24 cm. Mekkorák az oldalai? Mekkora a területe?

3. Számítsd ki, hogyan aránylik a 27 a 3-hoz, majd írj olyan számpárokat, melyek aránya ugyanennyi!

4. Számítsd ki, hogyan aránylik a 3 a 27-hez, majd írj olyan számpárokat, melyek aránya ugyanennyi!

5. Mennyi a) 250 Ft-nak az 1%-a, 20%-a, 30%-a? b) 1500 m-nek a 20%-a, 18%-a, 50%-a? c) 12 liternek a 80%-a, 150%-a, 3000%-a?

6. Hány százaléka a) a 100-nak a 2, 50, 77, 78? b) 1 órának a 30 perc, 15 perc, 45 perc? c) 1 km-nek az 500 m, a 300 m, a 230 m?

27100

A

0,28

C

0,6

B

725

D

60%

F

27%

E

2 : 3

A

35%

C

0,7

B

7 : 10

D23

F7

20

E

2 : 3

A

10 : 8

C

2 : 3 : 5

B

6 : 9 : 15

D

14 : 21

F

5 : 4

E


7. Hány százaléka a) a 2 a 2-nek, a 8-nak, a 20-nak és az 50-nek? b) a 150 a 300-nak, a 450-nek, a 900-nak és a 150 000-nek? c) az 1 km a 200 m-nek, a 4 km-nek, az 1500 m-nek?

8. A málnaszörpöt 1:10 arányba hígítottam. 2 cl szörphöz mennyi vizet öntöttem?

9. A kutyusom magassága a valóságban fél m, az enyém 1,5 m. A rólunk készült képen a kutyusom 5 cm. Milyen magas vagyok én a képen?

10. Egy háromszög kerülete 20 cm, oldalainak aránya 2 : 3 : 5. Mekkorák az egyes oldalak? Szerkeszd meg a háromszöget a füzetedben!

11. Egy négyszög oldalainak aránya 1 : 2 : 2 : 3. A kerülete 16 cm. Mekkorák a négyszög oldalai?

12. Egyik nap Szilvi és Lali 3500 forintot szeretne szétosztani 2:3 arányban! Mennyit kap egy-egy gye-rek? Másnap ismét ugyanennyi pénzen osztoznak, most a Lalinak és Szilvinek jutó pénz aránya 2:3. Mennyit kapott ezen a napon Szilvi és mennyit Lali?

13. A 6. a osztályosoknak papírgyűjtést szerveztek az osztályfőnökök. Az egyik osztály 120 kg, a másik osztály 60 kg papírt gyűjtött. Az értük járó pénzt a papír tömegének arányában osztják fel. Mennyi ez az arány? Mekkora részét kapják az egyes osztályok a pénznek?

14. János és Károly felásták a szomszéd kertjét, ketten együtt 10 000 forintért. Károly erősebb, így többet dolgozott, mint János, ezért a munkájukért kapott pénzt 4:6 arányban osztották szét. Hány forintot kaptak külön-külön?

15. Két festő együtt elvállalta egy lakás kifestését. Az egyik 4 napig, a másik 12 napig dolgozott a lakás kifestésén. Ezen a munkán 32 000 Ft volt a hasznuk. A pénzt a ledolgozott napok számának ará-nyában osztották el egymás között. Mennyi ez az arány?

Mekkora részét kapja egy-egy festő a 32 000 Ft-nak? Hány forintot kapnak a festők?

16. Két szám összege 896, arányuk 3 : 4. Melyek ezek a számok?

17. Két szám különbsége 150, arányuk 19 : 4. Melyek ezek a számok?

18. Négy természetes szám úgy aránylik egymáshoz, mint 2 : 4 : 5 : 9. Közülük a legkisebb a 42. Melyek ezek a számok?

19. Egy baráti társaságban a lányok és fiúk aránya 4 : 3. Hány lány és hány fiú van a társaságban, ha a társaság összesen 28 fős?

067. AráNy, AráNyOssáG, sTATIsZTIKA0672. Egyenes arányosság



1. Feladatlap

1. Végezd el a következő vizsgálatokat! a) Az iskolai büfében 65 Ft-ba kerül egy pogácsa. Töltsd ki a táblázat hiányzó adatait!

Vásárolt pogácsák száma (db) Fizetendő összeg (Ft)

1 65

2

5

7

11

12

20

b) Egy gyertya égését vizsgáld! Mérd meg percenként, hogy hány cm a gyertya magassága! A mért adatokat rögzítsd a következő táblázatban!

Idő (perc) Gyertya magassága (cm)

tanulói munKafüzet 0672. egyenes arányosság 69

c) Gyűjtsd össze az osztályban (környezetedben) mindenkinek a testsúlyát és cipőméretét! Az adatokat a következő táblázatba rögzítsd!

Testsúly (kg) Cipőméret

d) Figyeld meg az összegyűjtött adatpárokat! Megfigyeléseid alapján döntsd el, hogy a következő állítások melyik csoport táblázatára igaz! A vizsgált két mennyiség együtt csökken, vagy együtt nő: A vizsgált két mennyiség közül az egyik mennyiség nő, a másik csökken: Az előző két kapcsolat nem jellemző a két vizsgált mennyiség változására:


2. Feladatlap

Töltsd ki a TOTÓ-t!

1 – ha olyan összefüggést találsz, hogy a két mennyiség együtt csökken, vagy együtt nő2 – ha olyan összefüggést találsz, hogy ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik csökkenX – ha nem található az 1.-hez és a 2.-höz hasonló összefüggés (vagy csak nagyon távoli)

van-e összefüggés? 1 2 X

1 Egy karácsonyfa ára és magassága között.

2 Aliz cicáinak száma és Aliz életkora között.

3 Gábor otthon eltöltött ideje és az iskolában eltöltött ideje között.

4 Táblás csokoládé tömege és a csoki íze között.

5Egy csúszda hossza és a rajta végigmenő csiga haladási ideje között.

6 Egy könyv elolvasott és el nem olvasott lapjainak száma között.

7 Bence bácsi testsúlya és életkora között.

8A családtagok száma és a család élelmiszerre költött pénzének mennyisége között.

9A CD-n már meghallgatott dalok és a még nem meghallgatott dalok között.

10 A sütemények száma és a felhasznált liszt mennyisége között.

11 Egy épület magassága és kora között.

12A lakásban elfogyasztott víz mennyisége és a vízszámla végösszege között.

13 A villanykörte korának és fényének erőssége között.

13+1A nyomtatott lapok száma és a nyomtató patronjában levő tinta mennyisége között.


3. Feladatlap

1. Az 1. Feladatlapon kitűzött a) és b) vizsgálatokat mi is elvégeztük és a két mennyiség közötti össze-függést grafikusan ábrázoltuk.

a) Az iskolai büfében kapható pogácsa mennyisége és annak ára:

Egy gyertya égésekor eltelt idő és a gyertya magassága:

Az osztályban (környezetedben) összegyűjtötted mindenkinek a testsúlyát és cipő méretét. A harmadik táblázatban rögzített adatokat ábrázold koordinátarendszerben!

b) Mit olvashatunk le az egyes grafikonokról?


4. Feladatlap

1. Gyűjtsél minél több példát a következőkre: a) A két mennyiség között olyan összefüggés van, hogy vagy együtt csökkennek, vagy együtt

nőnek; b) A két mennyiség között olyan összefüggés van, ha az egyik nő, akkor a másik csökken; c) A két mennyiség között nincs az a) feladatban vagy a b) feladatban felsorolt összefüggés.

2. A következő grafikonon egy csecsemő tömegének gyarapodását ábrázoltuk. A grafikon alapján vála-szolj a következő kérdésekre!

a) Mikor volt a legkönnyebb a csecsemő? b) Hányadik héten haladta meg tömege az 5000 g-

ot? c) Hány gramm volt a tömege a 14. héten a csecse-

mőnek? d) Hányadik héten érte el a csecsemő tömege a

6600 g-ot?

3. 1 liter tej árát több üzletben is megvizsgálták. A következő grafikonon ábrázolták az eredménye-ket. A grafikon alapján válaszolj a kérdésekre!

a) Melyik üzletben a legdrágább 1 l tej?

b) Melyik üzletben a legolcsóbb 1 l tej?

c) Mely üzletekben drágább 200 Ft- nál 1 l tej?

d) Melyik üzletben vásárolhatunk 189 Ft -ért 1 l tejet?

e) Mennyibe kerül 1 l tej a 3. üzlet-ben?

f) Átlagosan mennyibe kerül 1 l tej? g) Töltsd ki a következő táblázatot a

grafikon alapján!

Üzletek 1 l tej ára (Ft)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


5. Feladatlap

1. 10 dkg téliszalámit 402 Ft-ért árulnak a sarki boltban. Határozd meg, mennyit fizetnénk, ha 20, 30, 40, 80 dkg-ot vásárolnánk?

a) Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Keress összefüggéseket a táblázat adatai között!

Mennyiség (dkg) Ár (Ft) Tömeg (dkg) / ár (Ft) Ár (Ft) / tömeg (dkg)

10 400

20

30

40

80

b) Írd föl az ár és mennyiség arányát többféleképpen! Számítsd ki az arányok értékét!

TUDNIVALÓegyenes arányosságHa két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy ahányszorosára változik az egyik mennyiség, a másik ugyanannyiszorosára változik, akkor a két mennyiség egyenesen arányos.Másképpen megfogalmazva:Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy az összetartozó értékek aránya egy nullától különböző állandó, akkor a két mennyiség egyenesen arányos.

6. Feladatlap

1. Egy csomag mosópor 3,6 kg. a) Mekkora a tömege fél, 2, 3, 5, 10, 12, 20 csomag mosópornak? Töltsd ki a táblázat hiányzó

részeit!

csomagok száma mosópor tömege

fél

1

2

3

5

10

12

20

b) Add meg a mosópor tömegének és a csomagok számának arányát! c) Egy bolt raktárában összesen 216 kg mosópor van. Hány csomag ez, ha egy csomagba 3,6 kg fér?

Többféleképpen oldd meg!

∙ 2

∙ 2

∙ 2

∙ 3

∙ 2

∙

∙

∙


7. Feladatlap

1. Válaszd ki az alábbi mennyiségpárok közül azokat, amelyek között egyenes arányosság van! Egye-nes arányosság esetén számítsd ki a hiányzó mennyiséget!

a) Piri néni 2 éves korában 12 kg volt. Ha most 65 éves, akkor mennyi a súlya? b) Fél kg pulykamell 456 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül 1,5 kg ugyanilyen egységárú pulykamell? c) Egy adag palacsintához 20 dkg liszt kell. Mennyi liszt kell négy adag palacsintához? d) Egy téli reggelen 8 órakor –5 °C volt a hőmérséklet? Ugyanaznap délben hány fokot mutattak a

hőmérők? e) 2 ember egy kert felásásával 5 óra 25 perc alatt végez. Mennyi idő alatt ásná fel ugyanezt a kertet

4 ember, ha mindenki ugyanolyan tempóban ás? f) Egy tojás tömege 6 dkg. Mennyi a súlya 10 db ugyanakkora tojásnak?

2. Döntsd el, melyik állítás igaz! A hamis állításokat tedd igazzá! a) Ha egy alma 40 Ft-ba kerül, akkor négy alma négyszer annyiba kerül. b) Ha egy telefonbeszélgetés csúcsidőben 240 Ft-ba kerül percenként, akkor egy órai beszélgetés

100-szor annyiba kerül. c) Ha egy filmsorozat két része 90 percig tart, akkor egy rész fele annyi ideig tart. d) Ha négy adag kávé elkészítéséhez 4 dl víz szükséges, akkor 10 adag kávé elkészítéséhez kétszer

annyi víz szükséges. e) Ha kétszer annyi pogácsát veszünk ugyanabból a pogácsából, akkor kétszer annyit kell fizet-

nünk.

3. 1,5 liter narancslevet 5 kg narancsból tudunk kifacsarni. a) Töltsd ki a táblázatot!

Narancslé mennyisége (l)

Narancs mennyisége (kg)

12

1

2

3,5

1

15

b) Mennyi narancslevet fogyaszt el egy hét alatt az a felnőtt ember, aki minden nap 2 litert iszik meg? Hány kg narancsot kell megvásárolnia, ha a lét maga facsarja ki a gyümölcsből?

c) Egy háromfős család minden tagja reggelire 2,5 dl narancslevet fogyaszt el. Hány kg narancsot kell kifacsarniuk ehhez egy hét alatt? Egy családtag a napi szükséglet hány %-át fedezi narancs-lével? (A napi folyadékszükséglet kb. 2 liter.)

d) Egy családi ünnepségre a nagymama 20 kg narancsot vásárolt. Hány liter narancslevet tudott kifacsarni a gyerekeinek és unokáinak? Hány liter narancslé maradt meg, ha a család a 80%-át fogyasztotta el a gyümölcslének?


8. FELADATLAP

1. Keress egyenes arányosságot! Az összetartozó mondatokat kösd össze!

2. Fejezd be a mondatot úgy, hogy a mondat két részében megfogalmazott mennyiségek között egye-nes arányosság legyen!

a) Ha 1 kg kenyér 165 Ft-ba kerül, akkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Ha 8 bundás kenyér sütéséhez 3 db tojást használtunk fel, akkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Ha 3 darab bonbon van egy kisebb csomagolású dobozban, akkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Ha egy karkötő elkészítéséhez fél gombolyag hímzőfonal szükséges, akkor . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) Ha 20 dkg cukorból 2 liter limonádét tudunk készíteni, akkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f) Ha Gödöllőre a kedvezményes diákjegy 121 Ft-ba kerül egy útra, akkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) Ha az őszi kiárusításon „Egyet fizet, kettőt kap!” akcióban 3500 Ft-ért lehetett vásárolni két pár

cipőt, akkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fogalmazz meg olyan mondatokat, ahol a mondat két részében megfogalmazott mennyiségek

között egyenes arányosság van!

h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Óriásgombóc cukrászdában 1 gombóc fagylalt 120 Ft-ba kerül.

A felszolgálók 1 óra alatt 790 Ft-otkeresnek.

A fagylaltkeverő gép 40 perc alatt készít el 24 darab gombócnyi fagylaltot.

Egy útépítő naponta 8 órai munkával 3500 Ft-ot keres.

Az útépítők 3 nap alatt 500 m utat tudtak kijavítani.

Egy útépítő naponta 8 órai munkával 4500 Ft-ot keres.

Sanyi bácsi az előző hónapban 15 nap munkával 52 500 Ft-ot keresett.

Petra 1 óra alatt 24 gombóc fagylaltot adott el 2400 Ft-ért.

A Soroksári út 2 km-es szakaszát 12 nap alatt újították fel.

Vanília, puncs, rumosdió, kávé és pisztácia ízű fagylaltot 3 óra 20 perc alatt készítik el.

Peti a 8 órás munkával 6320 Ft-ot keresett.

Julcsa 3 óra alatt 8640 Ft-ért adott el 72 gombóc fagylaltot.


9. Feladatlap

1. 14 kg sárgabarackból 7 db literes üveg lekvárt tudunk főzni. a) 20 kg sárgabarackból hány db literes üveg lekvárt tudunk főzni? b) 17 üveg lekvárt mennyi sárgabarackból tudunk főzni?

2. Egy egyenletesen mozgó busz percenként 0,7 km-t tesz meg. a) Mekkora utat tesz meg 4 perc, 6 perc, 8,5 perc alatt? b) Hány percig ment a busz, ha az eltelt idő alatt 4,9 km-t, 14 km-t tett meg?

3. 2 liter pattogatott kukorica elkészítéséhez 10 dkg kukoricára van szükség. Mennyi kukoricára van szükség 1 l, 5 l, 12 l pattogatott kukorica elkészítéséhez?

4. A 4. a osztályban anyák napjára minden gyerek láncot fűz az édesanyjának. Hány csomag gyön-gyöt kell vennie a tanító néninek, ha a láncok egyforma hosszúak lesznek, 3 db lánc elkészítéséhez 2 csomag gyöngyre van szükség és az osztályba 24 tanuló jár?

5. Interneten keresztül 34 db fénykép előhívását rendeltük meg. Az előhívásért összesen 850 Ft-ot kell fizetni. Mennyibe kerül 1 db fénykép előhívása?

Mennyibe kerülne 50 db fénykép előhívása?

6. Egy társasházban felújítják az erkélyek korlátját. Egy erkély korlátjának felújításához 7,8 m kor-látra van szükség. Hány méter korlátra van szükség, ha a házban 12 db ugyanolyan erkély van? Mennyibe kerül a háznak a korlát, ha 1 m korlát 2500 Ft-ba kerül?

7. Zsófi születésnapi zsúrjára anyukája süteményt készít. A zsúron 8 gyerek lesz, ezért 1,3 kg lisztből süti Zsófi anyukája a süteményt. Mennyi liszt kellene ugyanilyen sütemény elkészítéséhez, ha 10 gyerek jönne el a születésnapi ünnepségre?

8. Egy esküvői lagzin 72 ember vett részt. A lagzi utáni mosogatást Anna vállalta, mert van egy moso-gatógépe, amelybe egyszerre 48 pohár fér. Ha minden meghívott 2 poharat használt, akkor hány-szor kellett beindítania a mosogatógépet Annának?


10. FELADATLAP

1. Egy háznak az alapját markolóval ássák ki, a kiásott földet teherautóval szállítják el. A következő grafikonon ábrázoltuk az eltelt időt és azt, hogy ez alatt az idő alatt hány teherautót rakott meg a markoló. A grafikon alapján töltsd ki a táblázatot!

Eltelt idő (perc) Teherautók száma (darab)

a) Mennyi idő alatt tölt meg a markoló 1 teherautót?

b) 2 óra alatt hány teherautót tölt meg a markoló?

c) Az alap teljes kiásásához 120 teherautónyi földet kell kiásni. Hány óra alatt végez a markoló?

d) Egy nap a markolóval 8 órát dolgoznak. Hány nap alatt ássák ki az alapot?


2. A következő táblázatban egy egyenletes sebességgel haladó személyautó megtett útját és az eltelt időt tüntettük fel. Egészítsd ki a táblázatot! A táblázat alapján készíts grafikont, majd válaszolj a következő kérdésekre!

Eltelt idő (perc) Megtett út (km)

15

50

75

60 100

75

90

175

200

135

a) Fél óra alatt hány kilométert tesz meg a személyautó? b) Mennyi idő alatt teszi meg a személyautó a Budapest–Sopron távolságot, ha tudjuk, hogy az út

216 km (feltételezzük, hogy egyenletes tempóban halad, és nem áll meg sehol)? c) Hány kilométerre van Nyíregyháza Egertől, ha a személyautó 97,2 perc alatt teszi meg az utat és

feltételezzük, hogy egyenletes tempóban halad, és nem áll meg sehol?

3. Egy modellügynökségen egy bemutatkozó anyaghoz 8 darab fényképet kell csatolni. Hány db képet lehet megtekinteni a modellügynökség honlapján, ha 8, 10, 12, 14, 20, 25 modellel állnak szerződésben? (A honlapon a nyilvántartásban szereplő képek mind szerepelnek.) Készíts tábláza-tot, majd a táblázat alapján grafikont!

TUDNIVALÓEgyenes arányosság grafikonjaAz egyenes arányosság grafikonjának pontjai az origón áthaladó egyenesre illeszkednek


11. Feladatlap

1. A táblázat alapján fogalmazd meg egy feladat szövegét, tegyél fel kérdéseket, válaszolj a feltett kérdésekre, és készíts grafikont!

1 7

2 14

5 35

10 70

11 77

2. A grafikon alapján fogalmazd meg egy feladat szövegét, tegyél fel kérdéseket, válaszolj a feltett kérdésekre, és készíts táblázatot!



12. Feladatlap

1. Egyik évben a 95-ös benzin literje 201 Ft-ba került. Ma ugyanez a benzin 251 Ft-ba kerül. a) Készíts táblázatot és grafikont, hogy mennyibe került 1l, 5l, 10l, 20l, 30l benzin 5 éve és ma! b) Egy tank (40 l) benzin mennyibe került régen és most? c) A 95-ös oktánszám azt jelenti, hogy 95% izooktánt és 5% egyéb szénhidrogént tartalmaz. Szá-

mítsd ki, hogy egy tank benzin mennyi izooktánt tartalmaz!

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Egy tábla csokoládé 230 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül 1,2,3,4,5,10,20 tábla ugyanilyen csokoládé? Írd fel a csokoládé ára és a mennyisége közötti arányt!

2. Egy 1,5 m széles függöny métere 1400 Ft-ba kerül. a) Mennyibe kerül 1, 2, 4, 5 10, 12 méter ilyen függöny? b) Hány méter függönyt vásárolhatunk 5600 Ft-ért?

3. Az Erzsébet kenyér tömege 34

kg. Mennyi a tömege 2, 3, 9, 11 darab ugyanilyen Erzsébet kenyér-nek?

4. 1 másodperc alatt 4,3 dl víz folyik ki a csapból. a) Mennyi víz folyik ki 2, 7, 62, 80 másodperc alatt? b) Mennyi víz folyik ki a csapból 1 perc alatt? c) Hány perc alatt folyik ki 129 l víz?

5. Egy régi építésű kollégiumban a földszinten található az étkezőkonyha, a klubhelyiség, a könyv-tár, a gépterem és a tanári szobák. Az emeleten 12 szoba volt, ebben laktak a diákok.

Nyáron még egy emeletet ráépítettek az épületre. (Így a második emeleten szintén 12 szoba talál-ható.)

Hány lakója volt a kollégiumnak tavaly, illetve idén, ha minden szobában három tanulónak tud-nak szállást biztosítani?

Hány lakója lenne a kollégiumnak, ha minden szobában négyen lakhatnának?

6. Olajat melegítünk, és percenként megmérjük a hőmérsékletét. Hány °C-os lesz az olaj 1, 2, 3 perc múlva, ha a kezdeti hőmérséklete 15 °C, és az olaj hőmérsékletének növekedése percenként 3 °C?

Ábrázold grafikonon az összetartozó értékpárokat!


7. A következő grafikon ábrázolja, hogy egy hírlapárusnál a különböző hónapokban hány vásárlót szolgáltak ki.

a) Melyik hónapban szolgálták ki a legtöbb vásárlót? b) Melyik hónapban szolgálták ki a legkevesebb vásárlót? c) Átlagosan hány embert szolgáltak ki a téli, illetve a nyári hónapokban? d) A vásárlók hány százalékát szolgálták ki októberben?

8. Egy egyenletesen haladó kerékpáros mozgását szemlélteti a következő grafikon.

a) Töltsd ki a táblázatot!

Idő (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Távolság (m) 350

b) Hány óra alatt teszi meg a kerékpáros a maratoni távot (42 km), ha ugyanolyan tempóban halad végig?

c) 1 óra alatt a táv mekkora részét teszi meg?


9. Egy benzinkútnál a kút feltöltésénél a tartálykocsiból a csövön keresztül másodpercenként 1,5 l benzin folyik ki.

a) Mennyi benzin van a kút tartályában 1, 2, 30, 60, 100... másodperc múlva, ha üres volt a tartály? Készíts táblázatot majd grafikont a megfelelő értékpárokkal!

b) Mennyi idő alatt ürül ki a tartálykocsi, ha egyszerre 6000 l benzint tud szállítani? c) Mennyi benzin van a kút tartályában 1, 2, 30, 60, 100... másodperc múlva, ha a feltöltés előtt a

tartályban 2500 l benzin volt?

067. AráNy, AráNyOssáG, sTATIsZTIKA0673. Fordított arányosság



1. Feladatlap

1. Julcsi néni elment a piacra almát venni, 500 Ft-ot vitt magával. Hány darab almát tudott venni, ha egy darab alma 10 Ft, 20 Ft, 50 Ft, 100 Ft, 250 Ft, 500 Ft-ba került?

a) Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Keress összefüggéseket a megfelelő mennyiségek között! Próbáld meg az összefüggéseket nyilakkal jelölni! Erre többféle lehetőség is van, arra szolgál a három táblázat, hogy mindegyikre berajzolhass példákat!

Alma Alma Alma

ára (Ft) mennyisége (db) ára (Ft) mennyisége (db) ára (Ft) mennyisége (db)

10 10 10

20 20 20

50 50 50

100 100 100

250 250 250

b) Írd föl a megfelelő mennyiségek szorzatát többféleképpen! Számítsd ki a szorzatok értékét!

2. Feladatlap

1. 8 báránynak 12 napig elegendő a széna, amit a gazda vásárol. Hány napig elegendő ugyanez a szénamennyiség, ha 1, 2, 3… bárányt tart?

a) Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!

Bárányok száma (darab)

idő (nap)

1

2

3

4

6

8 12

12

b) Írd fel a bárányok számának és az időnek a szorzatát többféleképen! Számítsd ki a szorzatok értékét!

c) Hány napig elegendő a széna 24 bárány számára, ha feltesszük, hogy egy napra minden bárány ugyanannyi szénát fogyaszt el? Számolj többféleképen!

∙∙

∙∙

∙∙

tanulói munKafüzet 0673. fordított arányosság 85

3. Feladatlap

1. 10 ember 36 óra alatt végez el egy munkát. Hány óra alatt készült volna el ezzel a munkával ugyan-ilyen tempóban haladva 8; 6; 5; 4; 2; 1 ember?

Egészítsd ki a táblázatot! Írd fel az emberek számának és a munka elvégzéséhez szükséges időnek a szorzatát többféleképpen!

emberek számaa munka elvégzéséhez

szükséges idő (óra)

1

2

90

72

6

8

10 36

2. Ferenc egy 35 km-es futóversenyen indul vasárnap délelőtt. Hány km-t kell még lefutnia, ha már lefutott 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35 km-t?

Készíts táblázatot! Írd fel a megtett út és a hátralévő út szorzatát többféleképpen! Keress alkalmas összefüggést a lefutott és a hátralévő út között!

4. Feladatlap

1. Keress összefüggést az alábbi mennyiségpárok között! Válaszd ki közülük a fordított arányosságo-kat! Fordítottan arányos mennyiség esetén számítsd ki a hiányzó mennyiséget!

a) 300 Ft-ból 6 tollat vásároltunk tavaly. Hány tollat tudunk vásárolni ugyanennyi pénzért idén, ha a tollak ára 10 Ft-tal emelkedett?

b) 1 kg pulykamell filé 900 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül fél kg ugyanilyen egységárú pulykamell filé?

c) 4 ember egy kert felásásával 10 óra alatt végez. Mennyi idő alatt ásná fel ugyanezt a kertet 5 ember, ha mindenki ugyanolyan tempóban ás?

d) A 37-es cipő 9600 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül a 39-es méretű cipő?

2. Döntsd el, melyik állítás igaz! A hamis állításokat tedd igazzá! a) 400 Ft-ért 2 kg körtét tudunk venni. Ha a körte fele annyiba kerülne, akkor kétszer annyi körtét

tudnánk vásárolni. b) Egy épület kitakarítását egy 8 fős takarítócég 6 óra alatt tudja kitakarítani. Ha a takarítócég

dolgozóinak a fele szabadságra megy, akkor fele annyi idő alatt végeznek a takarítással. (Ha feltételezzük, hogy a takarítócég embereinek teljesítménye állandó.)

c) Két adag fagylaltkehely elkészítéséhez fél liter fagylaltra van szükségünk. Akkor kétszer annyi fagylaltkehely elkészítéséhez fele annyi fagylaltra van szükségünk.

d) 900 cukorkát harmincasával csomagolnak be, így 30 dobozba fér bele. Ha háromszor annyi cukorkát tesznek egy dobozba, akkor harmad annyi dobozt kell felhasználni.

e) Ha fél óra alatt 60 km-t teszünk meg autóval az autópályán, akkor háromszor annyi idő alatt, háromszor annyi utat teszünk meg. (Feltételezzük, hogy egyenletes tempóban haladtunk.)

∙

∙

∙ ∙∙

∙


3. Keress egyenes és fordított arányosságot! Az összetartozó mondatokat kösd össze!

5. Feladatlap

1. A 6. a az osztálykirándulást egy kulcsos házba szervezi. A ház kibérlése 37500 Ft-ba kerül. Mennyit kell fizetnie egy tanulónak a szállás bérléséért, ha az osztályból 15; 20; 25; 30 tanuló tud elmenni a kirándulásra?

Készíts táblázatot! Számolj többféleképpen! a) Ha a 6. a, a 6. b és a 6. c osztály együtt menne el kirándulni, akkor fejenként 625 Ft-ot kellene

fizetni a szállásért. Hányan mehetnének a kirándulásra a 6. évfolyamból? b) A kirándulás előtt három tanár a családjával együtt (összesen 12 fő) megnézte a kulcsos házat és

környékét. Mennyit kellett fizetniük a szállásért fejenként?

2. Viktor az iskolába gyalog vagy kerékpárral szokott menni. Gyalog 1 óra alatt 4 km-t, kerékpárral 1 óra alatt 8 km-t tesz meg. (Feltételezzük, hogy Viktor egyenletes sebességgel halad minden eset-ben.)

Mennyi idő alatt ér Viktor az iskolába kerékpárral, ha gyalog negyedóra alatt ér be?

3. Lajos bácsi kertjében lévő medencéjét szombaton fel akarta tölteni vízzel. Ha a csapot teljesen kinyitja, akkor egy óra alatt 321 liter víz kerül a medencébe, így 4 óra alatt megtelik a medence. Lajos bácsi véletlenül nem teljesen nyitotta ki a csapot, így a medence 12 óra alatt telt meg. Hány liter víz került a medencébe óránként ezen a szombaton?

4. Egy csomagolóüzembe nagy mennyiségű mosópor érkezett. Az üzem vezetői még nem döntötték el, hogy mekkora adagokba csomagolják a mosóport. Az utazó csomag 0,8 kg; a normál csomag 3,6 kg; az óriás csomag pedig 15 kg tömegű. Az utazó csomagból 54 000 db-ot tudnának leszállítani.

a) Hány darab normál, illetve óriás csomagot tudna leszállítani az üzem, ha egyszerre csak egyféle kiszerelést tud leszállítani?

b) Hány kg mosópor érkezett az üzembe?

Az érdi fagylaltozóban 300 Ft-ért 3 ízű fagylaltot ehetünk.

Pali bácsi nagyon szereti a szőlőt, ezért szőlőt termeszt. Egyedül 3 nap alatt szokta leszüretelni a telkén a termést.

Józsi bácsi, ha 2 csappal töltené fel a medencéjét, akkor 6 óra alatt telik meg vízzel.

Két ember egy munkát 3 hét alatt tudott megcsinálni.

Egy 20 000 literes medence feltöltéséhez 12 órára van szükség.

A Szabó család a kerti medencét 6 óra alatt tölti fel félig 10 000 l vízzel.

Béla bácsi egy tetőfedési munkát 4 hét alatt végez el.

Az a fagylaltkehely, amelyben 7 gom-bóc fagylalt van, 700 Ft-ba kerül.

Laci bácsi és Pali bácsi másfél nap alatt szüretelték le a szőlőt.

Ha fél gombóc fagylaltokat kérünk, akkor 6 különböző ízűt ehetünk.


5. Egy német márkájú autó egyenletesen haladva 60 km/h sebességgel bizonyos távolságot 4 óra alatt tesz meg.

a) Mennyi idő alatt tenné meg ugyanezt a távolságot, ha 100 km/h sebességgel haladna egyenlete-sen?

b) Mekkora sebességgel kellene haladnia az autónak, hogy ugyanezt az utat 3 óra alatt tegye meg?

6. 37500 darab vasaló legyártását 75 ember 20 nap alatt végzi el.

a) Hány darab vasalót gyárt ugyanennyi ember 15 nap alatt?

b) Hány nap alatt gyárt ugyanennyi vasalót 20%-kal kevesebb ember?

6. Feladatlap

1. Egy hajó zátonyra futott egy lakatlan sziget mellett. A hajószakács épségben partot ért, és a roncs-ról szerencsésen kimenekítette a hajó ételkészletének egy részét. Még nem tudta, hányan marad-tak rajta kívül életben a hajó személyzete és utasai közül. A következő grafikonon azt ábrázoltuk, hogy az emberek számától hogyan függ, hogy hány napig elegendő a táplálékuk. A grafikon alap-ján készíts táblázatot, és válaszolj a kérdésekre!

a) 1 embernek hány napig elegendő az élelem?

b) 30 napig hány embernek elegendő az élelem?

c) Ha 20 ember maradt életben akkor legkésőbb hány nap múlva kell jönni segítségnek ahhoz, hogy ne éhezzenek?

d) 24 napig hány embernek elegendő az élelem?


2. Egy lakótelepen különböző méretű házakat terveznek. A következő táblázatban azt tüntettük fel, hogy a lakások számának változásától hogyan függ, hogy mennyit kell fizetni a lift üzemeltetésére havonta. Egészítsd ki a táblázatot! A táblázat alapján készíts grafikont, majd válaszolj a következő kérdésekre!

Lakások száma (darab)

Lift lakásonkénti havidíja (Ft)

4

5

2500

1875

1500

12

15 1000

750

600

30

a) Egy 4 lakásos társasházban lakásonként mennyit kell fizetni havonta a lift üzemeltetéséért? b) Hány lakás van abban a házban, ahol havonta a lift üzemeltetése lakásonként 1250 Ft-ba

kerül? c) Egy 50 lakásos társasházban mennyit kell havonta lakásonként fizetni a lift üzemeltetéséért?

3. A következő táblázatban azt tüntettük fel, hogy Gábor különböző sebességgel, egyenletes tempó-ban haladva, mennyi idő alatt teheti meg az otthona és a nagyszülei lakása közötti utat. Egészítsd ki a táblázatot! A táblázat alapján készíts grafikont, majd válaszolj a következő kérdésekre!

1 óra alatt megtett út (km)

Az út megtételéhez szükséges idő (óra)

2

3 12

9

6

9

12

2

a) Ha Gábor kerékpárral megy a nagyszüleihez, akkor 1 óra alatt 6 km-t tud haladni. Hány óra alatt ér a nagyszüleihez?

b) Ha Gábor 4 óra alatt teszi meg az utat, akkor hány km-t tesz meg 1 óra alatt? c) Hány km-re lakik Gábor a nagyszüleitől? d) Ha 72 km-t tenne meg 1 óra alatt, akkor hány óra alatt tenné meg az utat a nagyszüleihez?


TUDNIVALÓFordított arányosságHa két változó mennyiség olyan, hogy ahányszorosára változik az egyik, a másik ugyanannyiad részére vál-tozik, akkor azt mondjuk, hogy azok fordítottan arányosak.Másképpen megfogalmazva:Ha két változó mennyiség kapcsolata olyan, hogy a megfelelő értékek szorzata egy nullától különböző állandó, akkor a két mennyiség fordítottan arányos.A fordított arányosság képe nem egyenes.

7. Feladatlap

1. A táblázat alapján fogalmazd meg egy feladat szövegét, tegyél fel kérdéseket, válaszolj a feltett kérdésekre, és készíts grafikont!

180 20

90 40

60 60

45 80

30 120




8. FELADATLAP

1. Egy kert területe 4200 m2. Milyen hosszú a kert, ha a szélessége 60 m? a) Milyen hosszú egy ugyanekkora területű kert, ha a szélessége fele az előzőnek? b) Milyen széles az ugyanekkora területű kert, ha a hosszúsága fele az előzőnek? c) Készíts táblázatot és grafikont, hogy hogyan változhat az ugyanekkora területű kert hosszúsága

és szélessége? d) Mekkora az ugyanekkora területű kert szélessége, ha hossza 210 m?

2. Egy üzletközpontot 30 ember 15 hónap alatt épít fel. a) Hány embernek kell dolgoznia a legújabb üzletközpont felépítésénél, ha az üzletközpontnak

9 hónap alatt fel kell épülnie? b) Hány hónapig tart az üzletközpont felépítése, ha csak 20-an tudnak dolgozni az építkezésen? c) Mennyi idővel hamarabb fejezik be az üzletközpont építését, ha az eredeti létszámnál 20%-kal

több embert foglalkoztat az építtető? d) Készíts táblázatot és grafikont, hogy hogyan befolyásolja a munkások száma az üzletközpont

felépítésének idejét?

9. Feladatlap

1. Egy szabályos háromszög oldalai 4 cm hosszúak. Ha a háromszög minden oldalát 25%-kal meg-hosszabbítjuk, akkor mennyivel lesz hosszabb a kerülete az új háromszögnek? Írd fel, hogyan aránylik a két szabályos háromszög kerülete egymáshoz! Hány százalékkal lesz nagyobb az új háromszög kerülete?

2. Egy kereskedő a nagybani piacon 31500 Ft-ért vásárolt kesudiót, kilogrammját 1200 Ft-ért. Legközelebb ugyanennyi pénzért hány kilogramm kesudiót vásárolhatott, ha a kesudió kilogram-

monkénti árát 5%-kal megemelték a nehezebb szállítási körülmények miatt?

3. Egy 8 fős csoport 10 nap alatt csomagol be 15 000 t vaníliáscukrot. Mennyi vaníliáscukrot csomagol be 3 fő 7 nap alatt?

4. Egy strandon a nagymedencébe 960 m3 víz fér. 3 ugyanolyan teljesítményű csap 4 óra alatt tölti fel. Mennyi víz fér az élményfürdős medencébe, ha azt 6 ugyanolyan csap két és fél óra alatt tölti fel?

10. FELADATLAP

1. A nyári táborban 3 gyerek 15 perc alatt 6 nyársat farag ki az esti szalonnasütéshez. Hányan farag-janak az előkészületeknél, ha 1 óra alatt kell 32 nyársat elkészíteni?

2. Józsi bácsi tanyáján teheneket tenyészt. 3 tehene 5 nap alatt 54 l tejet ad. Hány liter tejet adnának 1 hónap (30 nap) alatt a tehenei, ha vásárolna még két tehenet? (Minden tehén átlagban ugyanannyi tejet ad naponta.)

3. Egy játékgyárban 10 dolgozó 3 nap alatt 150 dömpert rak össze. Hány dömpert rak össze a kará-csony előtti készülődésben 15 dolgozó 7 nap alatt?


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. A következő mennyiségpárok közül válaszd ki az egyenesen és fordítottan arányos mennyiségpá-rokat! A hiányzó értékeket számítsd ki!

a) 20 dkg mák 320 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül 1,5 kg mák? b) Egy farmon 25 nyúlnak 5 napig elegendő 1 zsák nyúltáp. Hány napig elegendő az 1 zsák nyúl-

táp 125 nyúlnak? c) 30 dkg dió 420 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül 1,5 kg dió? d) Egy farmon 10 lónak 5 napig elegendő a széna. Hány napig elegendő ugyanennyi széna 5 ló-

nak? Egyenesen arányos mennyiség párok: Fordítottan arányos mennyiség párok:

2. Egy bevásárlóközpontnak 240 darab karácsonyi dísze van a karácsonyi dekorációhoz. Hány darab díszt tudnak felrakni egy fenyőfára, ha 2, 3, 4, 5, 6, 8 darab karácsonyfát akarnak állítani?

Készíts táblázatot!

3. 8 szobafestő 12 nap alatt végezte el egy ház kifestését. Hány nap alatt készült volna el a festés, ha ugyanilyen teljesítménnyel 6; 4; 2; 1 festő dolgozott volna?

4. Egy 500 m3-es medencét 4 csap 6 óra alatt tud teljesen feltölteni. a) Hány óra alatt telne meg a medence, ha csak 3 csapot nyitnánk meg a feltöltéskor? b) Hány csap tudná feltölteni a medencét 1 óra alatt? c) Mennyi idő alatt telne félig a medence, ha 4 csapot használnánk a feltöltéskor?

5. Egy pályázat megírásához 138 600 karakter leütése szükséges. Mennyi idő alatt gépeli le ezt a pályázatot egy gyorsan, közepesen, lassan gépelő gépíró, ha

– a gyorsan gépelő 840 karaktert üt le percenként, – a közepesen gépelő 792 karaktert üt le percenként, – a lassan gépelő 700 karaktert üt le percenként?

6. A mandarin kilója 180 Ft, ekkor 8 kg tudunk vásárolni az erre szánt pénzből. Mennyi mandarint tudunk vásárolni, ha 240, 200, 90 Ft-ra változott kilónkénti ára?

Készíts táblázatot, és ábrázold grafikonon a mandarin mennyisége és ára közötti összefüggést! a) Mennyi pénzt szánunk a mandarin vásárlására? b) Hány kiló mandarint tudunk venni, ha kilója 300 Ft?

067. AráNy, AráNyOssáG, sTATIsZTIKA0674. Bevezetés a statisztikába



1. Feladatlap

1. Ne nullázd le magad! Dobjatok fel egy kockát! – A játék kezdetekor az 1. játékosnak 2 pontja, a 2. játékosnak 1 pontja van. – Ha a kockadobás eredménye legfeljebb 4, akkor az 1. játékos ad 1 pontot a 2. játékosnak. – Ha a kockadobás eredménye 5 vagy 6, akkor a 2. játékos ad 1 pontot az 1-nek. A játék addig folytatódik, amíg valamelyik játékosnak el nem fogy a pontja. Akinek elfogynak a

pontjai, az veszít.

dobásszám 1. játékos 2. játékos

0. 2 pont 1 pont

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

dobásszám 1. játékos 2. játékos

0. 2 pont 1 pont

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

a) Elképzelhető-e, hogy a játék sohasem fejeződik be? b) Melyik játékos nyer többször? c) Átlagosan hányadik dobásig tart a játék? d) Ha a játékban választhatnál, hányadik játékosként kezdenél? Miért?

tanulói munKafüzet 0674. Bevezetés a statisztikába 95

2. Feladatlap

1. LóversenyA lóversenypályán válassz egy pályát, melyről a lovadat indítod! Dobjál két dobókockával, és add össze a dobott értékeket! Az összeadás eredményeként kapott érték adja meg azt a pályát, amelyiken a ló egyet léphet előre. A verseny menetét jelöld a lóverseny-pályán!Játszd le a játékot 5-ször!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

CÉL

A verseny eredményéről készíts jegyzőkönyvet!

Ló 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Lépésekszáma

Ló 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Lépésekszáma


Ló 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Lépésekszáma

Ló 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Lépésekszáma

Ló 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Lépésekszáma

3. Feladatlap

1. Egy dobozba tegyél 6 db számkártyát, melyeken a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek szerepeljenek! Egymás után húzz ki 3 számkártyát úgy, hogy minden húzás után visszateszed az előzőleg kihúzott szám-kártyát! A kísérletet ismételd meg 20-szor egymás után!

Az egyes húzások eredményeit rögzítsd a jegyzőkönyvben! Legyen A esemény: a kihúzott számok összege legalább 8 (vagyis 8 vagy annál több); B esemény: az A ellentettje (vagyis B akkor következik be, ha a kihúzott számok összege kisebb

8-nál)!

Húzott számokHúzott számok összege

Esemény

Húzott számokHúzott számok összege

Esemény

a) Írd fel, hogyan aránylik egymáshoz az A és a B esemény előfordulásainak a száma!

b) Írd fel, hogyan aránylik egymáshoz az A, illetve az összes esemény előfordulásainak a száma!

c) Írd fel, hogyan aránylik egymáshoz a B, illetve az összes esemény előfordulásainak a száma!

d) A kísérletek eredménye alapján mire következtetsz, az A vagy B esemény bekövetkezése a való-színűbb?

e) Hányszor kaptál pontosan 8-at eredményül?

f) A húzások hány százalékában kaptál páros számot összegül?


4. Feladatlap

1. Dobjál fel három pénzérmét! Legyen: A esemény: Az eredmény három fej vagy három írás. B esemény: Az eredmény két fej és egy írás. C esemény: Az eredmény két írás és egy fej. A kísérletet 20-szor egymás után ismételd meg! A kísérletek alapján készíts jegyzőkönyvet!

Kísérlet 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Esemény

Kísérlet 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Esemény

a) Írd fel, hogyan aránylik egymáshoz az A, B és a C események előfordulásának a száma! Mennyi az A, B, C események gyakorisága ( azaz, hány ilyen dobás volt)?

b) Melyik esemény következett be a legtöbbször?

c) Milyen a dobás kimenete, ha nem tartozik egyik esemény közé sem?

d) A dobások hányad részében fordult elő A esemény? Vagyis mennyi az A esemény relatív gyako-risága 20 dobásból?

5. Feladatlap

1. Lóverseny A legutóbbi versenyről csak a jegyzőkönyv alapján elkészített diagram maradt meg. A diagram alapján készítsd el a célfotót, a jegyzőkönyvet, és válaszolj a kérdésekre!


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

CÉL

Ló 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Lépésekszáma

a) Melyik pályáról indult a nyertes ló?

b) Hányadik lépésnél ért célba a nyertes ló?

c) Melyik pályáról induló lovak jutottak túl az 5. lépesen?

d) Melyik pályáról induló lovak jutottak túl a 10. lépesen?


2. Peti feldobott három pénzérmét 20-szor egymás után. A jegyzőkönyvben az egyes események a következőket jelentik:A esemény: Az eredmény három fej vagy három írás.B esemény: Az eredmény két fej és egy írás.C esemény: Az eredmény két írás és egy fej.Egészítsd ki a hiányos jegyzőkönyvet a következő diagram alapján, majd válaszolj a kérdésekre!

Esemény A B C

Gyakoriság a) Írd fel, hogyan aránylik egymáshoz az A, B és a C esemény! b) Melyik esemény következett be a legkevesebbszer?


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Lóverseny A diagram alapján készítsd el a célfotót, a jegyzőkönyvet, és válaszolj a kérdésekre!

1 2 3 4 5 6

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

CÉL

Ló 1 2 3 4 5 6Lépések száma


a) Melyik pályáról indult a nyertes ló? b) Hányadik lépésnél ért célba a nyertes ló? c) Melyik pályáról induló lovak jutottak túl a 10. lépésen? d) Melyik pályáról induló lovak jutottak túl a 15. lépésen? e) Egy dobókocka segítségével játszhatsz Te is! Játékod alapján készíts jegyzőkönyvet és diagra-

mot!

1 2 3 4 5 6

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

CÉL

Ló 1 2 3 4 5 6Lépések száma


2. Dobjál fel négy pénzérmét! Legyen: A esemény: Az eredmény négy fej vagy négy írás. B esemény: Az eredmény két fej és két írás. C esemény: Az eredmény három írás és egy fej vagy három fej és egy írás.

A kísérletet 20-szor egymás után ismételd meg! A kísérletek alapján készíts jegyzőkönyvet!

Kísérlet 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Esemény

Kísérlet 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Esemény

a) Írd fel, hogyan aránylik egymáshoz az A, B és a C események előfordulásának a száma! Mennyi az A, B, C események gyakorisága?


c) Kaphatunk-e olyan eredményt, mely nem tartozik egyik esemény közé sem?

d) A dobások hányad részében fordult elő a C esemény, vagyis mennyi a C esemény relatív gyako-risága 20 dobásból?

3. Egy dobókockával kétszer dobj egymás után, és a dobott számokat sorrendben írd fel egymás mellé. Legyen:

A esemény: Az így kapott kétjegyű szám páros. B esemény: Az így kapott kétjegyű szám páratlan és osztható 3-mal. C esemény: Az így kapott kétjegyű szám páratlan és nem osztható 3-mal.

A kísérletet 20-szor egymás után ismételd meg! A kísérletek alapján készíts jegyzőkönyvet!

Kísérlet 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Esemény

Kísérlet 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Esemény



c) Az eredmények hányad részében fordult elő az A esemény? (Mennyi az A esemény relatív gya-korisága?)


4. A következő oszlopdiagram egy szálloda a tavaszi-nyári bevételeinek megoszlását mutatja.

a) Töltsd ki a táblázatot a diagram alapján, ha az összes bevétel 927 millió forint volt!

HónapokBevétel

(millió forint)

Március

Április

Május

Június

Július

Augusztus

b) Mekkora volt a szállodának az átlagos havi bevétele a tavaszi-nyári időszak alatt?

067. AráNy, AráNyOssáG, sTATIsZTIKA0675. Gyakorlás, mérés



1. Feladatlap

1. Döntsd el az alábbi mennyiségekről, hogy van-e közöttük összefüggés vagy nincs. Ha van, akkor milyen?

a) Ági súlya és magassága között. b) A szaloncukor tömege és az érte fizetendő összeg között. c) Az 1 literes dobozból kifogyott tej és a megmaradt tej mennyisége között. d) A tengerpart hossza és a homok mennyisége között. (Feltételezzük, hogy a tengerpart végig

homokos és azonos mélységű.) e) Egy telek felásását végző emberek száma és a munkával eltöltött idő között (feltételezzük, hogy

minden munkás egyforma teljesítménnyel dolgozik).

A) Két mennyiség együtt csökken vagy együtt nő.Ilyen összefüggés van:

B) Ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik csökken.Ilyen összefüggés van:

Nincs sem A), sem B) típusú összefüggés a mennyiségek közt (vagy csak igen távoli):

2. Egy teherautó mozgását szemlélteti a következő grafikon. (A távolságot a 0 km-től mérjük.)

a) Tölts ki a táblázatot!

Idő (perc) 0 10 20 30 40 50 60

Távolság (km)

b) Mekkora távolságra lesz a teherautó 15, illetve 25 perc múlva, ha ugyanolyan sebességgel mozog?


3. A következő grafikon az UNO kártyapakli darabszáma és ára közötti összefüggést mutatja.

a) Egészítsd ki a táblázatot!

Darabszám 1 2 3 4 5 6 7

Ár (Ft)

b) Mennyibe kerül egy pakli UNO-kártya?

c) Mennyibe kerül 8 pakli UNO-kártya?

d) Akciósan 3 pakli UNO-kártyát 5700 Ft-ért vettünk. Mennyibe került így egy pakli UNO-kár-tya?

4. András akváriumában halakat tart. Haltáppal eteti őket, melyből egy adag 10 halnak 3 napig elég. Hány napig elég ugyanennyi haltáp mennyiség, ha 1, 2, 3,… halat tart az akváriumban? (Feltéte-lezzük, hogy az egyes halak ugyanannyi táplálékot fogyasztanak naponta.)Töltsd ki a táblázatot!

Halak száma (db) 1 2 3 5 10 15 30

Idő (nap)

a) Egy halnak hány napig elegendő ugyanennyi haltáp?

b) Hány napra mehet el András nyaralni, ha 6 hala van, és az anyukája megeteti a halakat, de hal-tápot nem vesz?

c) András a 10 halához kapott még 5 halat. Így mennyi ideig elég egy adag haltáp?

5. Egy babagyárban 15 munkás dolgozik. 5 nap alatt 120 babát tudnak elkészíteni.

a) Hány nap alatt tudnak 240 babát készíteni, ha csak 12-en dolgoznak? (Felételezzük, hogy meg-egyező a teljesítményük.)

b) Hány babát tudnak 20-an (ugyanolyan munkatempóban) 13 nap alatt elkészíteni?


2. Feladatlap

1. Döntsd el, melyik állítás igaz! A hamis állításokat tedd igazzá!

a) 2 kilogramm paradicsom 480 Ft-ba kerül, akkor négy kilogramm ugyanolyan paradicsom két-szer annyiba kerül.

b) Ha egy munkát 5 ember 10 nap alatt végez el, akkor ugyanazt a munkát kétszer annyi ember kétszer annyi nap alatt végez el. (Feltételezzük, hogy megegyező a teljesítményük.)

c) Ha ugyanolyan pogácsából kétszerannyit veszünk, akkor fele annyit kell fizetnünk.

d) Egy 32 szeletes torta elkészítéséhez 70 dkg liszt szükséges, akkor két ugyanilyen torta elkészíté-séhez kétszer annyi liszt szükséges.

2. Egy kémcsőben desztillált vizet melegítettünk, majd elzártuk a borszeszégőt. A víz hőmérsékletét folyamatosan mértük. Az eredményeket a következő grafikon szemlélteti.

a) Mikor zártuk el a borszeszégőt?

b) Írd be a táblázatba a víz hőmérsékletét az egyes időpontokban!

Idő (perc) 0 5 10 15 20

Hőmérséklet (°C)

c) A melegedés vagy a lehűlés folyamata volt gyorsabb?

d) Percenként hány fokot nőtt a hőmérséklet, amíg melegítettük?

e) Percenként hány fokot csökkent a hőmérséklet, miután elzártuk a borszeszégőt?

3. Hány darab 1,5 literes üveg ásványvízre lenne szükség, ha

a) azzal mosnánk? Egy adag mosáshoz a mosógép 60 l vizet fogyaszt.

b) azzal mosogatnánk? Egy adag mosogatáshoz a mosogatógép 15 l vizet fogyaszt.

c) Egy mosáshoz szükséges 1,5 literes üveges ásványvíz mennyiséggel hányszor tudnánk elmoso-gatni?

d) Hogyan aránylik a mosáshoz használt víz mennyisége a mosogatáshoz elfogyasztott vízhez?


4. Az 1. a osztályban a tanító néni gyereknapra egy fejlesztő játékot szeretne vásárolni, amire a tanu-lók szülei adják össze a pénzt. A játék 45 000 Ft-ba kerül. Mennyit kell egy-egy diák szüleinek befizetni, ha 30-an járnak az osztályba?

a) Mennyit kell a szülőknek befizetni, ha az osztályba járó tanulók szüleinek 50%-a fizeti ki az ajándékot?

b) Hány szülő fizette ki az ajándékot, ha fejenként 1800 Ft-ot kellett befizetni?

c) Készíts táblázatot a befizetendő összeg és a tanulók számának változásáról!

5. 16 tanuló egy foglalkozáson (45 perc alatt) 40 darab karácsonyfadíszt készít.

a) Hány karácsonyfadíszt tudnának készíteni ugyanilyen tempóval dolgozva, ha két tanulóval több venne részt a foglalkozáson, és 40 percük lenne a díszek elkészítésére?

b) Ha a tanulók 75%-a vesz részt a foglalkozáson, akkor hány perc alatt készítenek el 30 darab karácsonyfadíszt?

3. Feladatlap

1. Keress egyenes és fordított arányosságot! Az összetartozó mondatokat kösd össze!

Egy fafaragó 8 órai munkával 5600 Ft-ot keres.

Egy épület kitakarítását 5 ember 4 óra alatt végzi el.

Egy kiállítást átlagosan naponta 1045 ember látogat, így a napi átlagos bevétel 627000 Ft.

A medencénket 2 csappal szok-tuk feltölteni, így 5 és fél óra latt megtelik.

Három ember egy munkát 10 nap alatt tud elvégezni.

Az otthoni kenyérsütő gép két és fél óra alatt süt meg egy fél kilogrammos magos kenyeret.

A legutóbbi kiállításra ketten 1200 Ft-ért tudtunk bemenni.

1 kg kenyeret otthon 5 óra tudtunk legutóbb megsütni.

Egy medencét 11 óra alatt tud rendesen feltölteni egy csap.

Egy belépőjegy 600 Ft-ba kerül.

Egy munkát legutóbb 10 ember 2 óra alatt teljesített.

Pista bácsi hetente (5 nap alatt) 28 000 Ft-ot keres.


2. Egy diák azt a feladatot kapta, hogy figyelje meg egy teljes napon keresztül a hőmérséklet változá-sát. A megfigyelés után a következő eredményt kapta:

Hőmérséklet (°C) 10 7 5 6 10 12 15 18 20 21 22 21 18 14 12 10 8 8

Idő (óra) 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 22 24

a) Ábrázold a következő grafikonon a hőmérséklet változását!

b) Hány órakor volt a leghidegebb? c) Hány órakor volt a legmelegebb? d) Hány fok volt a hőmérséklet 10 órakor? e) Hány órakor volt a hőmérséklet 11 °C? f) A nap mely időszakában csökkent a hőmérséklet? g) A nap mely időszakában emelkedett a hőmérséklet?

3. Mini pékségben egy zsemle előállítási költsége 2 Ft. Ha 5 zsemlét akarunk vásárolni, akkor 40 Ft-ot kell fizetni érte.

a) Mennyibe kerül 100 db zsemle? b) Mennyi az üzlet haszna, ha egy nap alatt 300 zsemlét adnak el? c) A Mini pékség nyitásának első évfordulóján olcsóbban árulta a zsemlét. 15 darab zsemle 90 Ft-

ba került. Hány százalékos árcsökkenés volt? Mennyi hasznuk volt a zsemlék eladásában, ha ezen a napon 520 darab zsemlét adtak el?

d) Ábrázold grafikonon a zsemle előállítási, illetve eladási árát és a darabszám közötti összefüg-gést!

4. Krisztián Budapestről Körösladányba megy nagymamájához autóval. Ha óránként 70 km-t tesz meg, akkor 3 óra 20 perc alatt ér oda.

a) Ha óránként 20%-kal több utat tesz meg, akkor mennyi idő alatt ér a nagymamájához? b) Hány km-t tegyen meg óránként, ha az út menetidejét 15%-kal szeretné lerövidíteni?


5. Egy medencébe 1000 m3 víz fér. 2 ugyanolyan teljesítményű csap 6 óra alatt tölti fel. a) Ez a két csap hány százalékáig tölti meg vízzel a medencét, ha csak 3 és fél órára nyitották meg

őket? b) Hány óra alatt tölti fel

34 részéig 3 csap a medencét?

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Két közértben azt vizsgálták, hogy a vásárlók közül hányan fizettek a kasszánál 1000 Ft alatti, illetve 1000 Ft fölötti összeget. Egy nap alatt az I. közértben 900 vásárló közül 540-en, a II. közért-ben 750 vásárló közül 600-an fizettek 1000 Ft feletti összeget.

Válaszolj az alábbi kérdésekre!

a) A kiválasztott napon melyik közértben fizettek többen 1000 Ft alatti összeget?

b) A vásárlók mekkora része fizetett 1000 Ft alatti összeget az egyes közértekben?

c) Melyik közértben nagyobb az 1000 Ft feletti fizetések százaléka?

d) Mennyi az 1000 Ft alatt, illetve az 1000 Ft felett fizető vásárlók aránya az egyes közértekben?

2. Egy háromszög kerülete 21 cm, oldalainak aránya 2 : 2 : 3. Mekkorák az egyes oldalak? Szerkeszd meg a háromszöget a füzetedbe!

3. Piroska kerékpárjával 0,2 km-t tett meg percenként a kerékpártúra alatt (ahol egyenletesen haladt).

a) Mekkora utat tett meg 4 perc, 6 perc, 8,5 perc, 20 perc, illetve 25 perc alatt? Töltsd ki a táblázatot!

Eltelt idő (perc) 1 4 6 8,5 20 25

Megtett út (km)

b) Mennyi ideig tartott a kerékpártúra, ha a táv 15 km?

4. 6 közvéleménykutató 10 nap alatt végezte el egy tejtermék reklámjának elégedettség mérő vizsgá-latát. Hány nap alatt készült volna el ugyanezzel a teszteléssel ugyanilyen tempóban haladva 3; 4; 5; 8; 12 közvéleménykutató? Egészítsd ki a táblázatot!

Közvéleménykutatók száma (db) 3 4 5 6 8 12

Idő (nap) 10

5. Egy gyárban naponta 1000 ember dolgozik, napi 8 órában. A hét 5 napja alatt 10 000 db alkat-részt gyártanak le. Hány darab alkatrészt tudna legyártani 800 ember napi 6 órában 3 nap alatt? (A dolgozók teljesítményét egyenlőnek tekintjük.)

6. Egy dobókockával háromszor dobj egymás után, és a dobott számokat sorrendben írd fel egymás mellé. Legyen:A esemény: Az így kapott háromjegyű szám páratlan.B esemény: Az így kapott háromjegyű szám osztható 3-mal.C esemény: Egyik sem.

A kísérletet 20-szor egymás után ismételd meg!A kísérletek alapján készíts jegyzőkönyvet!

Kísérlet 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Esemény

Kísérlet 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Esemény



c) Az eredmények hányad részében fordult elő az A esemény? (Mennyi az A esemény relatív gya-korisága?)

068. GEOMETrIAI sZáMíTásOK0681. Vegyes kerület- és területszámítási feladatok


114 matematiKa „a” – 6. évfolyam – 068. geometriai… tanulói munKafüzet

1. Feladatlap

1. Kerületük alapján állítsd növekvő sorrendbe a tanárotok által kiosztott sokszögeket!

2. Váltsd át méterbe! a) 56 dm = b) 1350 cm= c) 483 mm = d) 10,8 dm =

3. Váltsd át centiméterbe! a) 13 m = b) 440 mm = c) 0,92 km = d) 5 m 32 mm =

4. Területük alapján állítsátok növekvő sorrendbe az 1. feladatban használt alakzatokat!

5. Váltsd át cm2-be! a) 2 500 mm2 = b) 34,9 dm2 = c) 7,06 m2 = d) 8 dm2 5 mm2 =

6. Váltsd át m2-be! a) 3 km2 = b) 456,78 cm2 = c) 88,9 dm2 = d) 6 500 dm2 314 cm2 =

összegzésa kerület a síkidom határvonalának a hosszát jelenti. A sokszögek kerülete a határoló szakaszok hosszának az összegével egyezik meg.

A kerület mértékegysége megegyezik a hosszúság mértékegységével.· 10 · 10 · 10 · 1000

1 mm 1 cm 1 dm 1 m 1 km

a terület megmutatja, hogy egy adott alakzat a síknak mekkora részét foglalja el. Egy alakzat területét úgy határozhatjuk meg, hogy összehasonlítjuk az egységül választott területtel.A területmérés egységéül az egységnyi oldalhosszúságú négyzet területét szoktuk választani.

A terület mértékegységei· 100 · 100 · 100 · 1 000 000

1 mm2 1 cm2 1 dm2 1 m2 1 km2

A téglalap kerülete K = 2 · (a + b)

A téglalap területe T = a · b

tanulói munKafüzet 0681. vegyes kerület- és területszámítási feladatok 115

2. Feladatlap

1. a) Kerületük nagysága szerint írd fel növekvő sorrendben a téglalapok betűjelét! b) Területük nagysága szerint írd fel csökkenő sorrendben a téglalapok betűjelét!

2. Határozd meg a következő alakzatok kerületét, területét! Az egység a rácsnégyzet oldalhossza (k. e.), illetve területe (t. e.).

a

d

B C

e

a B C

e

Fd


3. A következő ábrák épületek alaprajzát szemléltetik. Mekkora az alapterületük?a) b)

4. Mekkora az egyes betűk kerülete, területe?

a) b) c)

3. Feladatlap

Vágj ki papírból 5 db téglalapot, melyeknek oldalai 6 cm és 8 cm! Az egyik téglalapot ragaszd be a munkafüzetedbe, majd egy másikat vágj szét két, tetszőleges méretű téglalapra, s az így kapott dara-bokból állíts elő bármilyen összefüggő sokszöget, melyet szintén ragassz be a munkafüzetedbe! Ismé-teld meg a darabolást (újabb téglalappal) többször is, és az új alakzatokat is ragaszd be!Mekkora a kapott alakzatok kerülete, területe? Hasonlítsd össze az új alakzatok területét az eredeti téglalapéval! Indokolj!

Legkevesebb hány csúcsa, illetve oldala lehet egy ilyen sokszögnek? Mennyi lehet a maximális oldal-szám?Tudsz-e 40 cm-nél nagyobb kerületű sokszöget létrehozni?

10 m

3 m

3 m2 m

15 m

15 m

4 m

9 m

3,5 cm

3 cm

1,5 cm0,5 cm

2 cm

7 cm

6 cm

3 cm

3 cm

3 cm

2 cm

7 cm

2 cm

2,5 cm

7,5 cm

8 cm


4. Feladatlap

1. Vágj ki papírból 2 db téglalapot, melyeknek oldalai 6 cm és 8 cm! Az egyik téglalapot ragaszd be a munkafüzetedbe, a másikat vágd szét az egyik átlója mentén!

Milyen sokszögeket kaptál? Mekkorák az oldalai? Ragaszd be a munkafüzetedbe ezeket is az előző téglalap mellé! Határozd meg kerületüket, területüket!

2. Egészítsd ki a derékszögű háromszögeket téglalappá, majd határozd meg a háromszögek terüle-tét! Az egység a rácsnégyzet oldathossza (k.e.), illetve területe (t.e.). Fejezd ki a területet cm2-ben is, ha egy rácsnégyzet oldalhossza fél cm! Fogalmazd meg, hogyan tudnád kiszámítani a derékszögű háromszög területét!

3. Válassz az asztalodon található háromszögek közül egyet! Mérd meg a háromszög kerületét! Hogyan tudnád leírni a matematika nyelvén a tükrös háromszög kerületének a kiszámítását?

4. Vágj ki rajzlapból 4 db, az előző feladatban kiválasztott háromszöggel egybevágó háromszöget! Egyet ragassz be a munkafüzetedbe! Próbálj téglalapot létrehozni egy másik tükrös háromszög szétvágásával! Keress több megoldást! Ragaszd be a kapott téglalapokat a munkafüzetbe!

a

B

C

e

d


5. Mekkora a háromszögek területe? Egy kis négyzet területe a területegység. Fogalmazd meg, hogyan tudnád kiszámítani a tükrös háromszög területét!

összegzésA derékszögű háromszög területeA derékszögű háromszög területe fele egy olyan téglalap területének, amelynek oldalai a háromszög befogó-ival egyenlők, tehát a befogók szorzatának a fele a terület.

Tükrös háromszöge területeHa a tükrös háromszöget a szimmetriatengelye mentén kettévágjuk, két, egybevágó derékszögű háromszö-get kapunk, melyekből téglalapot illeszthetünk össze.A téglalap egyik oldala az egyenlő szárú háromszög alapjának a fele, másik oldala az alaphoz tartozó magas-ság.A tükrös háromszögben az alaphoz tartozó magasságnak (ma) nevezzük az alappal szemközti csúcsból az alapra bocsátott merőleges szakasz hosszát.

a B

C

a2

ma

a

d


egy másik módszer:A tükrös háromszöget kiegészíthetjük téglalappá. A téglalap egyik oldala a háromszög alapja, a másik oldala a háromszög alaphoz tartozó magassága.A tükrös háromszög területe fele a téglalap területének.

A tükrös háromszög területe az alap és az alaphoz tartozó magasság szorzatának a fele.

T = a ∙ ma

2

5. Feladatlap

1. A szükséges adatok megmérése után határozd meg a derékszögű háromszögek kerületét, terüle-tét!

a) b) c)

2. A szükséges adatok megmérése után számítsd ki az egyenlő szárú háromszögek területét!

a) b)

mama

a

•

••


3. A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a tükrös háromszögek kerületét és területét! Szerkeszd meg a szimmetriatengelyt is!

a) b)

4. Szerkeszd meg a derékszögű háromszöget! Mekkora a háromszög kerülete, illetve területe? a) Az egyik befogó 6 cm, az átfogó 7,5 cm. b) Az egyik befogó 4 cm, a hozzátartozó magasság 3 cm.

5. Szerkeszd meg az egyenlőszárú háromszöget! Mekkora a háromszög kerülete, illetve területe?

a) alapja 5 cm, az alapon lévő szögek 45°-osak?

b) alapja és az alaphoz tartozó magassága 4,5 cm ?

6. A derékszögű koordináta-rendszerben adott egy A(4; 3) pont, amely egy tükrös háromszög egyik csúcsa. Add meg a háromszög hiányzó két csúcsának jelzőszámait, ha a háromszög területe 15 rácsegység, és a háromszög alapja az x vagy az y tengellyel párhuzamos! Keress több megoldást!

6. Feladatlap

1. Szerkessz derékszögű háromszöget, melynek befogói 3 cm és 4 cm! Tükrözd a háromszöget az átfogójára! Milyen síkidomot kaptál? Számítsd ki a síkidom kerületét és a területét!

2. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, ha alapja 5 cm, az alaphoz tartozó magassága 3 cm! Tükrözd a háromszöget az alapjára! Milyen síkidomot alkot az eredeti háromszög és a tükörképe?

Hány szimmetriatengelye van? Hogyan tudnád kiszámítani a síkidom területét? A szükséges adatok megmérése után számítsd is

ki a területet!

3. Négyzetrácsos lapra rajzolj 3 db deltoidot (szimmetriaátló 7 cm, a másik átló 5 cm, és ez az átló a szimmetriaátlót 3 cm, illetve 4 cm-es részekre osztja), majd vágd ki a deltoidokat! Egy deltoidot ragassz a füzetedbe, a többi deltoidot pedig próbáld egyenként egy-egy téglalappá átalakítani, majd ragaszd be ezeket a téglalapokat is a füzetedbe! Hogyan tudnád meghatározni a deltoid területét? Milyen kapcsolatban van a deltoid és a belőle származtatott téglalap területe között? Mekkorák a téglalap oldalai?

4. Ismételd meg a 4. feladatot

a) rombusszal (átlói 6 cm és 8 cm)! Határozd meg a rombusz területét!

b) négyzettel (oldalai 5 cm-esek)! Határozd meg a négyzet területét a belőle létrehozott téglalap adatainak segítségével!

•


összegzésA konvex deltoid területeA konvex deltoid területe felírható két, közös alapú egyenlő szárú háromszög területének összegeként.

A konvex deltoidot egy olyan téglalapba foglalhatjuk, melynek területe kétszerese a deltoidénak, oldalai pedig megegyeznek a deltoid átlóinak hosszával, illetve olyan téglalappá darabolhatjuk át, melynek egyik oldala egyenlő a deltoid szimmetriaátlójának hosszával, másik oldala pedig a másik átló hosszának a felével egyezik meg.

A konvex deltoid területe kiszámítható átlói segítségével

T = e ∙ f2

7. Feladatlap

1. Szerkessz közös alapra, az alap ugyanazon oldalára két egyenlőszárú háromszöget a következő adatokkal! A közös alap 5 cm, az egyik háromszög szárai 7 cm-esek, a másiké 3,5 cm-esek. Színezd be azt az alakzatot, amely a két háromszög különbségeként állítható elő! Mi a neve a beszínezett alakzatnak?

Hogyan tudnád kiszámítani a síkidom területét? A szükséges adatok megmérése után számítsd is ki a területet!

2. Átlátszó papír segítségével másold át a négyzethálós lapra az 1. feladatban megszerkesztett két, közös alapú tükrös háromszöget háromszor, majd színezd be a konkáv deltoidokat! (A közös alap illeszkedjék a négyzetháló valamelyik vonalára!) Ezután vágd ki a konkáv deltoidokat, és a kisebbik tükrös háromszöget is! Egy deltoidot ragassz a füzetedbe, a többi deltoidot pedig prób-áld egyenként egy-egy téglalappá átalakítani, vagy próbáld a deltoidot téglalapba foglalni, majd ragaszd be a téglalapokat is a füzetedbe! Hogyan tudnád meghatározni a deltoid területét? Milyen kapcsolatban van a deltoid és a belőle származtatott téglalap területe között? Mekkorák a téglalap oldalai?

f

ef

e2


3. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, amelynek szárai 4 cm hosszúak, a szárszög 120°! Tükrözd a háromszöget az egyik szárára! Milyen síkidomot alkot az eredeti háromszög és a tükörképe? Hány szimmetriatengelye van?

Hogyan tudnád kiszámítani a síkidom területét? A szükséges adatok megmérése után számítsd is ki a területet!

összegzésA konkáv deltoid területeA konkáv deltoid területe felírható két közös alapú, egyenlő szárú háromszög területének különbsé-geként.

A konkáv deltoid ugyancsak befoglalható egy olyan téglalapba, melynek oldalai a konkáv deltoid átlóinak hosszával egyenlők, és területe kétszerese a deltoid területének, illetve átdarabolható egy, a deltoid területével megegyező területű téglalappá, melynek oldalai a deltoid szimmetriaátlójával és a másik átló hosszának felével egyenlők.


8. FELADATLAP

1. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, ha alapja 5 cm, szára 3 cm! Tükrözd a háromszöget az alapjára! Milyen síkidomot alkot az eredeti háromszög és a tükörképe?

Hány szimmetriatengelye van? Rajzold be őket! A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a területet!

2. Szerkeszd meg a deltoidot, ha a) e = 4 cm, f = 7 cm b) e = 3,5 cm, f = 45 mm; c) e = 25 cm, f = 0,9 dm Az e és az f a deltoid átlói. Darabold át a deltoidot téglalappá, s ennek segítségével határozd meg a deltoid területét!

3 Szerkessz rombuszt, melynek átlói 6 cm és 8 cm! Számítsd ki a területét! Határozd meg a rombusz kerületét is!

4. Szerkeszd meg a deltoidot, és a szükséges adatok megmérése után számítsd ki a területét és a kerü-letét!

a) A deltoid oldalai 3 cm és 5 cm, a két oldal által bezárt szög 120°; b) A deltoid egyik oldala 3 cm, átlói 5 cm és 8 cm; c) A deltoid szimmetriaátlója 7 cm, két szöge, melyen a tükörtengely áthalad, 60°, illetve 75°.

5. Mekkora a téglalapba írt deltoidnak a területe, ha a téglalap oldalai a) 28 cm és 45 cm? b) 57 mm és 1,2 dm?

6. Szerkessz húrtrapézt, amelynek alapjai 5,5 cm és 3,5 cm, magassága 3 cm. Számítsd ki a területét!

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Számítsd ki a téglalap kerületét és területét, ha oldalai a) 6 cm és 8 cm; b) 12 cm és 5 dm; c) 10 cm és 2 dm 4 cm!

2. Mekkora a négyzet kerülete és területe, ha oldala 3 m 6 dm?

3. Mekkora a téglalap ismeretlen oldala, ha a) ismert oldala 65 cm, területe 52 dm2? b) ismert oldala 15 dm, kerülete 5400 mm?

4. Számítsd ki a négyzet oldalát, ha a) kerülete 480 cm! b) területe 400 cm2!


5. Végezd el a mértékváltásokat! 450 cm2 = …………… mm2 = …………… dm2 = …………… m2

80 dm2 = …………… cm2 = …………… mm2 = …………… m2

0,012 m2 = …………… dm2 = …………… cm2 = …………… mm2

6. A rajz egy medence alaprajzát mutatja. Sajnos a tél folyamán feltöredezett az alja, ezért újból kell csempézni. Mekkora a csempézendő terület? Hány darab négyzet alakú csempét kell vásárolni, ha a csempe oldala 15 cm? Mennyibe fog kerülni, ha a csempe darabja 254 Ft?

7. Mekkora a területe a következő alakzatnak? A területegység egy rácsnégyzet területe.

27 m

12 m

2 m2 m

2 m6 m

6 m 15 m


8. Területük alapján állítsd növekvő sorrendbe a következő háromszögeket!

9. Számítsd ki az egyenlőszárú háromszög területét, ha a) alapja 4 cm, magassága 5 cm; b) alapja 4,3 cm, magassága 33 mm!

10. Szerkeszd meg a háromszögeket, majd átdarabolással készíts belőlük téglalapot! A szükséges ada-tok megmérése után számítsd ki kerületüket, területüket!

11. Egy négyzet alakú kert oldala 15 m. A kertész négyféle növényt szeretne benne termeszteni, ezért az átlók mentén kerítést épített.

Milyen alakú részekre osztotta a kertet? Számítsd ki az egyes kertrészek területét!

12. Jelölj ki a koordináta-rendszerben olyan egyenlőszárú háromszöget, amelynek az egyik csúcsa az A(3; –2) pont, a többi csúcsa is rácspont, alapja párhuzamos az x vagy az y tengellyel, és területe 12 kis rácsnégyzet! Keress minél több megoldást!

a B C

d

e

FG

4 cm 8 cm 5 cm

5 cm

6 cm

6 cm


13. Az alábbi állításokról döntsd el, melyik igaz, melyik hamis!A deltoidnak van csúcson átmenő szimmetriatengelye:Van olyan deltoid, melynek négy szimmetriatengelye van:A deltoid átlói felezik egymást:Nem minden négyzet rombusz:A négyzet átlói szimmetriaátlók:Ha egy rombusz átlói egyenlő hosszúak, akkor négyzet: Nincs olyan deltoid, melynek két szimmetriatengelye van:A négyzet olyan deltoid, melynek minden szöge, minden oldala egyenlő:

14. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 8 cm. Az alapon lévő szögek 45°-osak. Tükrözd a háromszöget az alapjára! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti háromszög és a tükörképe? Mekkora a terü-lete?

15. Határozd meg a négyszögek területét! Egy rácsnégyzet területe az egység.

16. Szerkessz derékszögű háromszöget, melynek befogói 3 cm és 4 cm! Tükrözd a háromszöget az átfogójára! Milyen síkidomot kaptál? Számítsd ki a síkidom kerületét és a területét!

17. Szerkessz négyzetet, melynek oldala 6 cm! Szerkeszd meg a négy oldal felezőpontját, és kösd össze a szomszédos felezőpontokat! Milyen négyszöget kaptál? Milyen hosszúak az átlói? Mekkora ennek a négyszögnek a területe? Határozd meg a területet többféleképpen!

a B

C d

Ge F


18. Számítsd ki a téglalapba írt négyszögek területét!

19. Számítsd ki a háromszögek területét!

20. Határozd meg a deltoid területét, ha átlóik a) 5 cm és 8 cm; b) 35 mm és 2 cm; c) 660 mm és 1,8 m!

21. Területük alapján állítsd csökkenő sorrendbe a következő deltoidokat! Egy rácsnégyzet a terület-egység.

1,5 m

18 dm 5 m

1 m

4 m

a B C d

e F G

36 mm

72 mm

35 mm

46 mm


22. Szerkeszd meg a deltoidot, és a szükséges adatok megmérése után számítsd ki a kerületét és a terü-letét!

a) oldalai 3 cm és 5 cm, szimmetriaátlója 7 cm; b) a szimmetriaátlója 8 cm, két szöge, melyen a szimmetriaátló áthalad, 60° és 30°!

23. A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a négyszögek kerületét, területét!

24. Szerkeszd meg a rombuszt, és számítsd ki a területét (mérd meg a szükséges adatokat), ha a) átlói 5 cm és 6 cm; b) oldala 4 cm, egyik szöge 75°!

25. Szerkeszd meg azt a deltoidot, melynek átlói 4 cm hosszúak? Milyen deltoidot kaptál? Számítsd ki a területét kétféleképpen!

26. A rombusz egyik átlója 10 cm. Hogyan változik a rombusz területe, ha a másik átlója 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm?

27. Egy négyzet egyik oldalának felezőpontját összekötjük a szemközti két csúccsal. Milyen alakzato-kat kaptál? Ezek területe hányadrésze a négyzet területének? Számítsd ki az egyes területeket, ha a négyzet oldala 14 cm!

28. Hogyan változik a négyzet területe, ha oldalát kétszeresére, háromszorosára, négyszeresére növel-jük?

29. Rajzolj téglalapot 4 cm és 8 cm oldalakkal! Rajzold meg az átlóit! Milyen síkidomokat kaptál? Mek-kora ezeknek a síkidomoknak a területe?


30. A Tangram nevű kirakós játék elemeiből rakj ki a) húrtrapézt b) deltoidot c) téglalapot! (Nem kell minden elemet felhasználnod!) Milyen fajta négyszöget tudsz kirakni, ha az összes elemet felhasználod?

31. Hány m2 üveget használtak fel ehhez a színes ablakhoz? 1 rácshossz a valóságban 5 cm-nek felel meg.


32. a) Számítsd ki az AB oldal hosszát! b) Szerkeszd meg a háromszöget!

33. Egy téglalap alakú szántóföld méretei: 3 km és 4,5 km. A szántóföldet az átlója mentén két részre osztották, az egyik részt pihentették, a másikat bevetették búzával. Hány hektár területen termel-nek búzát? Hányad része ez a terület az eredeti téglalapnak?

34. Egy rombusz alakú virágágyást átlóival négy részre osztottak, az egyes részekbe piros, fehér, kék és sárga színű virágokat ültettek.

a) Mekkora a különböző színű virágos részek területének aránya?

b) Mekkora része a kék és sárga virágágyás együttes területe az egész virágágyás területéhez ké- pest?

c) Mekkora az egyes részek területe, ha az eredeti ágyás átlói 0,4 km, illetve 630 m? Fejezd ki a területet km2-ben, m2-ben és hektárban!

35. Szerkessz húrtrapézt! A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a kerületét és a területét!

a) alapja 5 cm, az alapon lévő szög 60°, szára 2,5 cm.

b) alapja 6,3 cm, magassága 4 cm, szára 4,1 cm.

c) A húrtrapéz köré írható kör sugara 4 cm, egyik alapja 6 cm, magassága 3,5 cm.

36 cm2

12 cm2

4 cmA B

068. GEOMETrIAI sZáMíTásOK0682. Testek térfogata és felszíne



1. Feladatlap

1. Építsetek 1, 2, 3, 4 5, … db egységkockából összetett téglatestet, majd határozzátok meg a testek fel-színét, térfogatát! Az egységkockák lapjai teljes felülettel érintkezzenek egymással! Hasonlítsátok össze az így kapott testek felszínét, térfogatát a külön álló kockákéval!

2. a) Az egységkockák felhasználásával építsetek kockákat! Hány darab kocka felhasználásával lehet újabb kockát építeni? Keressetek szabályszerűséget!

b) Határozzátok meg a felépített kockák felszínét, térfogatát! Hasonlítsátok össze az így kapott testek felszínét, térfogatát a külön álló kockákéval!

c) Válasszatok ki egy összetett kockát! Emeljetek le egy, majd kettő stb. egységkockát valamelyik csúcsáról! Határozzátok meg az így kapott testek felszínét, térfogatát! Keressetek szabályszerű-séget!

3. Építsetek 1, 2, 3, 4 db egységkockából összetett testeket, majd határozzátok meg a testek felszínét, térfogatát! Az egységkockák lapjai teljes felülettel érintkezzenek egymással! Hasonlítsátok össze az így kapott testek felszínét, térfogatát a külön álló kockákéval!

Különálló kockák összetett test

lapszáma A (cm2) V (cm3) lapszáma A (cm2) V (cm3)

1 kocka

2 kocka

3 kocka

4 kocka

4. Válasszatok ki a színesrúd-készletből egy tetszőleges színű rudat, ez lesz most az egység!

a) Építsetek 2, 3, 4, 5 db ilyen egységből összetett téglatestet! Hasonlítsátok össze az így kapott összetett téglatestek felszínét, térfogatát a külön álló egység téglatestekével! Észrevételeiteket vessétek össze az 1. feladatban tapasztaltakkal!

b) Építsetek 2, 3 db ilyen egységből összetett testet úgy, hogy az összetett test ne legyen téglatest, és az egyes egységek teljes lapjaikkal érintkezzenek! Hasonlítsátok össze az így kapott összetett téglatestek felszínét, térfogatát a külön álló egység téglatestekével!

c) Építsetek 3 egységből olyan testet, amelynek felszíne feleannyi, mint a különálló egységek össz-felszíne!

tanulói munKafüzet 0682. testek térfogata és felszíne 133

13+1-ES TOTÓ

1. Minden kocka téglatest. Az állítás1. igaz 2. hamis X. nem lehet eldönteni

2. Bármely test felszínének meghatározásakor összeadjuk a határoló lapok1. kerületét 2. területét X. átlóinak hosszát

3. A téglatest különböző területű lapjainak a száma legfeljebb1. 3 2. 6 X. 12

4. Az 1 cm élű kocka felszíne1. 1 cm2 2. 6 cm2 X. 8 cm2

5. 1 liter víz éppen teletölt egy olyan kockát, amelynek éleinek hossza1. 1000 mm 2. 10 cm X. 10 dm

6. A 3 cm élű kocka térfogata1. 9 cm3 2. 18 cm3 X. 27 cm3

7. A téglatestet határoló lapok és élek számának aránya1. 2 : 3 2. 1 : 2 X. 1

8. A téglatest lapjainak és csúcsai számának az aránya1. 2 : 3 2. 1 : 2 X. 3 : 4

9.Ha egy téglatest egy csúcsba összefutó éleinek a hossza: 2 cm, 3 cm, 4 cm, akkor a felszíne1. 24 cm2 2. 48 cm2 X. 52 cm2

10.Ha egy téglatest egy csúcsba összefutó éleinek a hossza: 3 cm, 4 cm, 5 cm, akkor a térfogata1. 60 cm3 2. 45 cm3 X. 12 cm3

11. Ha egy kocka térfogata 64 cm3, akkor éleinek hossza1. 8 cm 2. 4 cm X. 16 cm

12. Melyik mértékváltás helyes?1. 85 cm3 = 0,085 dm3 2. 1078 dm3 = 10,78 m3 X. 2, 3 dm3 = 2 300 mm3

13.Ha egy téglatest térfogata 48 cm3, akkor van olyan határoló lapja, melynek területe 6 cm2.1. igaz 2. hamis X. lehet, de nem biztos

13+1.Egy téglatest egy csúcsba összefutó éleinek a hossza 4 cm, 6 cm, 9 cm. Térfogata egyenlő annak a kockának a térfogatával, melynek éle1. 4 cm 2. 6 cm X. 9 cm hosszú

összegzésa FeLszíN a testet határoló lapok területeinek az összege. A felszín mértékegységei megegyeznek a terület mértékegységeivel.a TérFogAT megmutatja, mekkora helyet foglal el a test a térből.A téglatest felszíne A = 2 · (a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c) térfogata V = a ∙ b ∙ cA kocka felszíne A = 6 · a ∙ a térfogata V = a ∙ a ∙ a

A térfogat mértékegységei· 1000 · 1000 · 1000 · 1 000 000 000

1 mm3 1 cm3 1 dm3 1 m3 1 km3

Az űrtartalom mértékegységei

· 10 · 10 · 10 · 1001 ml 1 cl 1 dl 1 l 1 hl

1 liter = 1 dm3


2. Feladatlap

1. Számítsd ki annak az 5 cm élű kockának a felszínét és a térfogatát, amelynek egy csúcsánál kimet-szettünk egy 2 cm élű kockát!

2. A strandon az egyik medence szélessége 15 méter, hosszúsága 30 méter, mélysége 2 méter. A medence felújításakor mekkora felületet kell újracsempézni? Mennyi víz fér a medencébe?

3. Az ábra egy úszómedence alaprajzát mutatja. Mekkora nagyságú falfelületet kell kicsempézni, ha a medence mélysége 2 m? Hány m3 víz fér bele? Mennyi idő alatt telik meg, ha a csapokon összesen 500 liter víz folyik be percenként?

4. Négy darab 2 cm élű kockából hányféle téglatest készíthető? A kockák lapjai teljes felülettel érint-keznek egymással! Használd a színesrúd-modellt! Rajzold le ezek testhálóját! Számítsd ki felszínü-ket, térfogatukat!

5. Egy téglatest egy csúcsba futó élei 5 cm, 6 cm és 8 cm. a) Hány darab 1 cm, 2 cm, élű kockából lehet megépíteni? b) Hány darab 6 cm3 térfogatú téglatestből lehet megépíteni? Milyen hosszúak lehetnek ezeknek a

téglatesteknek az élei (az élek mérőszáma egész szám)? c) Mekkora lesz annak a testnek a felszíne és a térfogata, melyet úgy kaptunk, hogy a nagy tégla-

test egyik csúcsáról leemelünk két darab egységkockát? Számít-e az, hogy egymás alatti vagy egymás melletti egységkockákat választunk le? Válaszodat indokold!

d) Hogyan változik a test felszíne, térfogata, ha most két darab 6 cm3 térfogatú téglatestet emelünk ki egy csúcsáról?

2 m5 m

25 m

12 m

30 m15 m

2 m

5 cm

2 cm


GYaKorlÓ Feladatlap

1. Építs két gyufásdobozból testet! Keress több megoldást! Hasonlítsd össze a kapott test felszínét térfogatát a két, különálló gyufásdoboz felszínével, térfogatával!

2. Építs gyufásdobozokból tetszőlegesen testeket! (Ragaszd össze a dobozokat!) Készítsd el az így megalkotott testek alaprajzát, elölnézetét, oldalnézetét! Hogyan változott a megépített test felszíne, illetve térfogata a különálló gyufásdobozokhoz képest?

3. a) Egységkockákból áll az a test, amelynek alaprajzán számok jelölik az egymás tetejére rakott kockák számát. Építsd meg a testeket! Rajzold meg a testek elöl- és oldalnézetét! Számítsd ki felszínüket és térfogatukat!

b) Építs tornyot az alaprajzokra, mindenütt három egység magasan! Számítsd ki a tornyok térfo-gatát!

c) Hogyan változik az egyes esetekben a torony térfogata, ha kétszer, háromszor olyan magasra építed?

d) Hogyan változik a torony térfogata, ha az a) esetben az alapterületet a harmadára; a b)-ben a felére; a c)-ben az ötödére; a d)-ben a negyedére csökkented?

a) b)

c) d)

4. Az asztalra tettünk néhány egyenlő méretű kockát. Ha ezeket elölről nézzük, ezt látjuk: oldalról pedig ezt:

a) Építs olyan testet, amelyek megfelelnek a feltételnek! Keress több megoldást! b) Legkevesebb hány kocka lehet az asztalon? Készíts alaprajzot! c) Legfeljebb hány kockából áll az építmény?

5. Építs téglatesteket 27 db egyforma kockából, és rajzold le a testek határoló lapjait!

6. Padtársaddal felváltva színezzétek pirosra, illetve kékre ugyanazon téglatest 3-3 élét! Az nyer, aki-nek sikerül a téglatest valamely lapjának mind a négy élét saját színével kiszíneznie. (A játék során mindkettőtökre legfeljebb kétszer kerülhet sor, hiszen 12 él van.) A kezdő játékos megakadályoz-hatja-e, hogy játszótársa nyerjen?

1

2

3

1

1

1 2 1

1 4 3

2

1

1

3 2 1

2

1 2


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Végezd el a mértékváltást!

65 dm2 = …………… cm2 = …………… m2

1,7 km2 = …………… m2 = …………… ha

0,46 ha = …………… km2 = …………… dm2

3 560 cm2 = …………… mm2 = …………… m2

900 cm3 = …………… dm3 = …………… ml

0,0216 m3 = …………… liter = …………… hl

70 hl = …………… cm3 = …………… m3

5 555 mm3 = …………… dm3 = …………… ml

2. Számítsd ki a téglatest felszínét és térfogatát, ha az egy csúcsba futó élei a) 5 cm; 7 cm; 9 cm; b) 2 dm; 35 cm; 40 cm; c) 6 m; 5 dm; 150 cm.

3. Számítsd ki a kocka felszínét és térfogatát, ha élei a) 8 cm; b) 6,2 dm.

4. Mekkora a téglatest harmadik éle, ha a) a = 12 cm b = 5 cm V = 900 cm3

b) a = 23 cm b = 8 dm V = 64,4 dm3

c) a = 450 cm b = 18 dm V = 24,3 m3

5. Egy téglatest alakú akvárium éleinek a hossza 40 cm, 55 cm és a magassága 7 dm. Hány négyzet-centiméter üveg szükséges az elkészítéséhez?

Hány liter víz fér bele?

6. Rajzolj olyan testet, melyet csak négyzetek határolnak! Keress többféle megoldást!

7. Rajzolj olyan testet, melyet csak téglalapok határolnak! Keress többféle megoldást!

8. Legkevesebb hány egységkockából építhetünk egy nagyobb kockát? Számítsd ki ennek a testnek a felszínét és a térfogatát!

9. Építs 8 egyforma kockából téglatesteket! Rajzold le ezek határoló lapjait!


10. Számítsd ki a rajzon látható testek felszínét és térfogatát! A kockák élei 2 cm hosszúak.

a) b)

11. Számítsd ki a rajzon látható test felszínét és térfogatát!

12. Egy téglatest három különböző élének hosszúsága 2 cm, 4 cm, 5 cm. A tetejére teszünk egy másik téglatestet, melynek élei 1 cm, 2 cm, 3 cm.

Mekkora az így kapott test térfogata és a felszíne? Változik-e valamelyik mennyiség, ha a kisebb téglatestet különböző lapjaival helyezzük a másikra? Hány megoldás lehetséges? Hány darab 1 cm élű kockából rakhatnánk ki ezt az összetett testet?

13. Egységkockákból piramist építünk úgy, hogy a tetején 1 darab kocka legyen. Hány darab kocka lesz a második, harmadik, negyedik stb. sorokban? Milyen szabályszerűséget veszel észre?

Hány kockából áll az 1, 2, 3, 4 réteget tartalmazó test? Számítsd ki ezek felszínét, térfogatát!

14. Az ábra egy lakás alaprajzát mutatja. Hány m3 a lakás légtere, ha magassága 2,5 m? Hány ember tartózkodhat egyszerre a lakásban szellőztetés nélkül, ha fejenként 3 m3 levegőt használnak el az adott idő alatt?

15. Egy úszómedence egyik oldala mentén 15 db, másik oldala mentén 7 db 40 cm oldalú négyzet alakú csempelapokból készült a burkolat.

a) Körülbelül hány m2 fóliával fedhető le a medence vízfelülete?

b) A medencét belül is 40 cm oldalú lapokkal burkolták. Hány m2 csempére volt szükség, ha a medence mélysége 120 cm?

2 m

2 m

10 m

3 m

12 m

2 cm

2 cm

4 cm



61 cm3 = …………… mm3 = …………… dm3 = …………… ml

456 mm3 = …………… cm3 = …………… dm3 = …………… l

0,01213 m3 = …………… dm3 = …………… cm3 = …………… hl

58 dl = …………… hl = …………… cm3

17. Melyik a nagyobb? Mennyivel? a) 0,068 ha –24 m2 vagy 49 000 dm2 + 2 000 000 cm2

b) 0,22 hl +8,3 dm3 vagy 48 000 ml – 0,015 m3

18. Mennyi víz van abban a kádban, amelybe 65 másodperc alatt 154,5 litert engedtek, de 15 másod-perc alatt kifolyt 56 000 cm3, és eredetileg már volt benne 2,3 hl víz?

19. Hány ragasztással lehet egy kockát valamely hálózatából elkészíteni?

20. Egy téglatest élei 3 cm, 5 cm és 7 cm hosszúak. Hány cm hosszú drótból készülhet el az élváza? Legkevesebb hány darab drótból kell készíteni a vázat?

21. Egy kocka élvázát 48 cm hosszú drótból lehetett elkészíteni. a) Hány cm a kocka éle? b) Hány cm2 papírral lehet egyrétegűen beborítani?

22. Egy téglatest két éle 5 cm és 8 cm. Harmadik éle is egész szám centiméterben mérve. Van 24 cm2 területű lapja. Számítsd ki a felszínét!

23. Négy egybevágó téglából hányféle különböző téglatest készülhet? Számítsd ki egynek a felszínét!

24. Ha a süteményt a szokásos módon párhuzamos vágásokkal felszeletelik, lesznek belső darabok (oldalai vágottak), és lesznek szélső darabok (van olyan oldaluk, amelyik nem vágott). Hány darab szélső sütemény lesz, ha a belső sütemények száma pontosan

a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 8? Lehet-e egyenlő a szélső és a belső darabok száma?

25. 64 darab 1 cm élű kockát kell téglatest alakú dobozba csomagolnunk úgy, hogy a kockák teljesen kitöltsék a dobozt. Milyen méretű dobozokat használhatunk erre a célra? Melyik doboz elkészíté-séhez kell a legkevesebb papírt felhasználnunk?

A doboz méretei (cm):

Papírméret (cm2):

26. Egy fakocka éle 7 cm. Minden csúcsából kivágunk egy-egy 1 cm élű kockát. Számítsd ki az így kapott test felszínét és a térfogatát!

Befestjük a testet piros színűre, majd szétvágjuk 1 cm élhosszúságú kis kockákra. Milyen színűek lesznek az egységkockáknak a lapjai? Hány darabot kapunk az egyes fajtákból?

27. Tervezz épületet, rajzold le az elöl-, oldal- és felülnézetét! Készítsd el az épület makettjét építőkoc-kából!

068. GEOMETrIAI sZáMíTásOK0683. Gyakorlás, mérés



GYaKorlÓ Feladatlap

1. Határozd meg az alakzatok területét! A területegység egy rácsnégyzet területe.

2. A rajz egy kert alaprajzát ábrázolja, a sárga részben tulipánokat ültettek, a kékbe rózsákat. Mekkora területű a virágos kert?

3. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Jelöld a következő pontokat: A(3; 0), B(0; 4), C(–3; 0)!

a) Add meg a D pont jelzőszámát úgy, hogy a négy pont együtt egy rombuszt határozzon meg, és a D pont rácspont legyen! Rajzold meg a rombuszt! Számítsd ki a rombusz területét (egy kis négyzet területe az egység)!

b) Hol lehet a D pont, hogy a négy pont együtt konkáv deltoidot határozzon meg? A D pont most is rácspont legyen! Mekkora az így kapott deltoidok területe?

de

CaB

1 m 4 m

7 m4 m

tanulói munKafüzet 0683. geometriai számítások – gyakorlás, mérés 141

4. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, melynek alapja 6 cm, szára 5 cm. a) Mekkora a háromszög magassága? Számítsd ki a háromszög kerületét és területét! b) Tükrözd a háromszöget alapjának az egyenesére! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti

háromszög és a tükörképe együtt? Számítsd ki az alakzat kerületét, területét!

5. Szerkessz derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója 5 cm, a rajta fekvő szög 30°! a) A szükséges adatok megmérése után számítsd ki a háromszög kerületét és területét! b) Tükrözd a háromszöget az átfogójának egyenesére! Milyen alakzatot határoz meg az eredeti

háromszög és a tükörképe együtt? Számítsd ki az alakzat kerületét és területét!

6. a) Végezd el a mértékváltásokat!

345 cm2 = …………… m2 = …………… mm2

5,6 km2 = …………… m2 = …………… ha

4560 dm2 = …………… cm2 = …………… ha

76 liter = …………… dl = …………… ml = …………… hl

888 cl = …………… ml = …………… v = …………… hl

9,3 dm3 = …………… cm3 = …………… m3 = …………… liter

0,45 hl = …………… dm3 = …………… ml =

452 cm3 = …………… m3 = …………… liter =

b) Melyik a nagyobb?

12 300 dm2 – 820 000 cm2 vagy 0,0045 ha

2,5 hl + 345 dm3 vagy 663 000 cm3 – 68 dm3

7. Keresd meg az összetartozó párokat!

8. Egy gyufásdoboz éleinek hossza: 2,5 cm; 5 cm; 7 cm. Mekkora a felszíne, illetve a térfogata? Két gyufásdobozt összeragasztunk a legnagyobb területű lapjával. Mekkora lesz az így létrejött

testnek a felszíne, illetve a térfogata?

9. Az iskolai sportnap eredményhirdetéséhez emelvényt kell készíteni, melyre az 1., 2. és a 3. helye-zett áll fel. Hány m2 falemezre van szükség, ha minden helyezett szintkülönbsége 30 cm, az emel-vény hosszúsága 3 m, szélessége 1 m (az egyes szintek egyforma méretűek, és az emelvénynek nem kell alaplapot készíteni)? Készíts rajzot!

A: 68 liter B: 680 cm3 C: 0,68 m3

D: 680 dm3 e: 0,068 m3 F: 68 cl

g: 0,068 hl H: 6800 mm3 I: 6,8 cm3

J: 6800 liter K: 6800 cm3 L: 6800 dm3


10. Az ábra egy virágos kert alaprajzát mutatja. Mekkora területen nevel virágot a kertész? Hány darab palántát kell elültetnie, ha négyzetméterenként 9 darab virággal számol?

30 m

35 m

65 m

30 m

069. EGyENLETEK, egyenlőtlenségek0691. Nyitott mondat, egyenlet, egyenlőtlenség

Készítette: Orosházi Katalin

144 matematiKa „a” – 6. évfolyam – 069. egyenleteK… tanulói munKafüzet

1. Feladatlap

1. Állapítsd meg a következő állítások közül, melyik igaz (i), melyik hamis (h)! a) Az 5 nagyobb, mint a 2. b) A „fácán” szó ige. c) 2 ∙ 3 – 1 = 5 d) Törökország …-i állam. e) 11 11 f) A Föld leghosszabb folyója a Duna. g) 2 ∙ x – 4 = 2 h) … a legjobb matekos az osztályban.

2. Állapítsd meg, hogy a nyitott mondatokat a megadott halmazok mely elemei teszik igazzá! a) Arany János „Toldi” című elbeszélő költeményének egyik szereplője:…… A = {V. László; Bence; Nagy Lajos; Jóka; Toldi György} b) A … a Naprendszer bolygója. B = {Hold; Mars; Göncöl-szekér; Föld; Plútó} c) C = {–3; 3; 0; 5; 6; –1} d) z – 4 > 0 D = {–1; 0; 2; 4; 6} e) 2 ∙ x – 1 < 5 E = {2; 1; 0; –1; –2} f) A … Magyarországon honos állat. F = {zebra; fácán; feketerigó; víziló; vízisikló} g) … európai állam. G = {Ausztria; Argentína; Szlovénia; Örményország; Románia; Tunézia} h) A … prímszám. H = {5; 9; 8; 11; 29; 51; 23} i) … 11 I = {5; 9; 7; 2; 3; 8; 10; 4; 1} j) 5 ∙ y 15 J = { –3 ; –2; –1; 0; 1; 2; 3} k) A … összetett szám. K = {8; 12; 26; 6548; 57490023} l) A … összetett szín. L = {sárga; kék; piros}

tanulói munKafüzet 0691. nyitott mondat, egyenlet, egyenlőtlenség 145

3. A következő feladatban az alaphalmazunkat A betűvel jelöltük. Az alaphalmazban megadtuk azo-kat a számokat, amelyeket a nyitott mondatokba behelyettesíthetsz.

Határozd meg a következő egyenletek és egyenlőtlenségek megoldását az adott alaphalmazon!

a) 4 ∙ a – 2 = 2 ∙ (2 ∙ a – 1) A = {–1; 0; 1; 0,5}

b) 3 ∙ b – 5 < 2 ∙ b + 1 A = {–1; 0; 2; 0,1}

c) –2 ∙ c + 3 = 4 ∙ c – 9 A = {–2; 0; 2; 1}

d) 2 ∙ d + 1 d + 5 A = {–1; 0; 4; 5}

4. Csoportosítsd az órán előforduló matematikai nyitott mondatokat!

2. Feladatlap

1. Állapítsátok meg, hogyan épültek fel a következő nyitott mondatok! Oldjátok meg ezeket lebon-togatással, majd ellenőrizzétek behelyettesítéssel! Írjátok a nyilakra a műveleteket! Tegyétek ki a relációs jeleket ott, ahol hiányozna!

a) 3 ∙ x + 5 = 26

b) 2 ∙ y – 1 = 9

c) –3 ∙ x – 9 = 15

d) 5 ∙ (x – 4) + 7 = 32

egyenlet egyenlőtlenség= < >

azonosság nem azonosság azonos egyenlőtlenség

nem azonos egyenlőtlenség

∙ 3 +5x 3 ∙ x 3 ∙ x + 5|| || ||7 21 26

∙ 2 –1y 2 ∙ y 2 ∙ y – 1|| || ||5 10 9

∙ (–3) –9x –3 ∙ x –3 ∙ x – 9|| || ||8 24 15

–4 ∙ 5 +7x x – 4 5 ∙ (x – 4) 5 ∙ (x – 4) + 7|| || || ||9 5 25 32


2. Építsetek fel egyenleteket és egyenlőtlenségeket az útmutatások szerint, majd oldjátok meg azokat lebontogatással! Ellenőrizzétek a megoldások helyességét behelyettesítéssel!a)

∙ (–3) +12

∙ 2 –1

a = –3

b)

+0,5 ∙ 2 –7

b = –3

c)

: 2 +3 ∙ 4 –1

c = 19

d)

∙ 5 –3 : 2

d >3,5

3. Oldjátok meg lebontogatással! Ellenőrizzétek a megoldások helyességét! A megoldáshalmazt ábrá-zoljátok számegyenesen!

a) 5 ∙ (4 : 2 + 3) = 15 5 ∙ (4 : 2 + 3) < 15

b) (5 ∙ x + 3) : 2 = 14 (5 ∙ x + 3) : 2 14

c) 5 ∙ (x + 3) : 2 = 5 5 ∙ (x + 3) : 2 > 5

d) 5 ∙ x : 2 + 3 = 13 5 ∙ x : 2 + 3 13

e) {(4 ∙ x – 3) : 5 } : 5 = 0,2 {(4 ∙ x – 3 ) : 5 } : 5 < 0,2

f) 4 ∙ x : 5 – 3 = – 0,2 4 ∙ x : 5 – 3 > – 0,2

g) 2 ∙ (x – 3) + 5 =17 2 ∙ (x – 3) + 5 17

3. Feladatlap

1. Vizsgáld meg a következő példákat!a) Ázsia a Föld legnagyobb kontinense. b) 19 < 17c) A …… bogár. {katica, légy, szúnyog, cserebogár, szitakötő}d) 2 ∙ x < 3 ∙ x {pozitív számok}e) 2 ∙ x < 3 ∙ x {racionális számok}f) 2 ∙ x = 3 ∙ x {0}g) Dr. Bubó okos ember.h) 2 ∙ x = 3 ∙ x {racionális számok}i) Az …… a legkisebb természetes szám. {–2; 0; 5; 2

3 ; – 1

2}

j) Minden egész szám felírható tört alakban.k) –2 ∙ x + 3 = 3 ∙ x {az egész számok}l) –2 ∙ x + 3 = 3 ∙ x {a pozitív számok}


Az előbbi példák közül melyekre igazak a következő állítások? Válaszolj a példa betűjelével!(1) Kijelentés:(2) Nyitott mondat:(3) Egyenlet:(4) Egyenlőtlenség:(5) Azonosság:(6) Azonos egyenlőtlenség:

2. Oldd meg lebontogatással a következő nyitott mondatokat, majd ellenőrizd a megoldások helyes-ségét behelyettesítéssel! Az egyenlőtlenségek megoldáshalmazát ábrázold számegyenesen!

a) 4 ∙ x + 8 = 12

b) 4 ∙ (x + 8) = –24

c) (x – 3) : 6 = 1

d) (x + 6) – 5 = –4

e) 2 ∙ x + 5 < 2

f) 3 ∙ (5 – x) > 9

3. Oldjátok meg a következő egyenleteket! Ellenőrizzétek a megoldások helyességét behelyettesítés-sel!

a) 2 ∙ x – 3 =7

b) 2 ∙ (y – 3) = 8

c) –1 ∙ (v + 2) = 9

d) 5 – (p + 4) – 7 = – 5

e) – 3 ∙ (9 – 4 ∙ z) + 2 = –1

f) 2 ∙ q – 7

3 + 5 = 7

g) –3 ∙ (4 – r)

2 – 1 = 5

4. Oldd meg a nyitott mondatokat, és ellenőrizd a megoldások helyességét!

a) 4 ∙ x + 5 = 17

b) 3 ∙ (x – 1) – 6 = –12

c) (2 ∙ x + 3) : 2 – 6 = – 4

d) [(x – 2) ∙ 5 + 13] : 2 = 4

e) {(5 – 3 ∙ x) : 4 – 3} ∙ 2 – 5 = –5,5

f) 3 ∙ x –2 < 5

g) (3 + 2 ∙ x) : 6 + 3 > 1


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Vizsgáld meg a következő példákat!

a) 5 < 7

b) x + 8 > 3 {A –5-nél nagyobb, de +5-nél kisebb egész számok}

c) 2 ∙ y – 0,4 = –2 ∙ (0,2 – y) {–1; – 12

; 0; 12

; 1}

d) z – 5 > 2 ∙ z – 7 {100; 11; 5; 0; –10}

e) A 2 a legkisebb prímszám

f) 3 ∙ p – 6 = 5 {Az egész számok}

g) 2 ∙ q + 1 = 21 {Az egész számok}

Az előbbi példák közül melyekre igazak a következő állítások? Válaszolj a példa betűjelével!1. Kijelentés:2. Nyitott mondat: 3. Egyenlet: 4. Egyenlőtlenség: 5. Azonosság:6. Azonos egyenlőtlenség:

2. Oldd meg lebontogatással a következő nyitott mondatokat, majd ellenőrizd a megoldások helyes-ségét behelyettesítéssel!

a) – 3 ∙ a – 8 = 1

b) –2 ∙ (b + 6) = 18

c) c + 9

2 = 5

d) 2 ∙ d – 73

= 3

3. Oldd meg a nyitott mondatokat, és ellenőrizd a megoldások helyességét!

a) 2 ∙ (k – 7) = 6

b) 5 ∙ l – 2

9 = 2

c) (–2 ∙ m + 5) ∙ 32

= –6

d) –2 ∙ (7 – n) + 13

–8= –7


4. Alaphalmaz U = {–5; –3; –1; 0; 1; 3; 5; 8}Keresd meg az alábbi nyitott mondatok igazsághalmazát:

a) |x| = x

b) x – 3 = 5

c) 1

x + 3 = 0

d) 2 ∙ x – 4 = 2 ∙ (x – 2)

e) 2 ∙ x – 4 = x + (–4)

f) 3 ∙ (x – 1) – 1 = 3 ∙ x – 4

g) x < | x |

h) (x + 1) ∙ (x – 3) = 0

i) – |x + 1| = x + 1

j) x

x + 1 > 0

Állapítsd meg, hogy az előbbi nyitott mondatok közül melyik azonosság, melyik azonos egyenlőt-lenség az adott alaphalmazban?

5. A következő szöveges feladatoknak megfelelő nyitott mondatokat találhatsz a 4. feladatban. Keresd meg, hogy az egyes szöveges feladatoknak melyik nyitott mondat felel meg!

p) Gondoltam egy számot. A nála 3-mal nagyobb szám reciproka 0. Melyik számra gondoltam? q) Melyik az a szám, amelyre igaz, hogy a nála 1-gyel nagyobb és a nála 3-mal kisebb szám szor-

zata 0? r) Mely számokra igaz, hogy ha elosztjuk őket a náluk 1-gyel nagyobb számmal, akkor pozitív

számhoz jutunk? s) Gondoltam egy számot. Ha a nála 1-gyel kisebb szám háromszorosából kivonok 1-gyet, akkor a

szám 3-szorosánál 4-gyel kisebb számot kapok. Melyik számra gondoltam?

6. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) x + 9 = 11

1,9 + y = 7,8

v + 23

= 53

z + 14

= – 23

b) x – 7 = 5

5 – y = 9

v – 12

= 34

35

– z = 12


c) –4 ∙ x = 12

2,5 ∙ y = –15

57

∙ v = – 12

–5 ∙ z = 2,5

d) x4

= –0,25

15 : y = 6

9v

= –1

z : 7 = 34

7. Oldd meg, és ellenőrizd!

a) 2 ∙ a + 9 = 11

b) –5 ∙ b – 7 = – 17

c) 2 ∙ (c – 1) + 9 = 13

d) –3 ∙ (2 ∙ d + 1) – 11 = 10

e) 27

e – 3 = 1

f) 35

∙ f + 3 = 0

g) 45

∙ g + 34

– 35

= 1

h) (h – 5) : (–9) + 1,5 = 2

069. EGyENLETEK, egyenlőtlenségek0692. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása mérleg elvvel



1. Feladatlap

1. Határozd meg, hány fehér egységgel lehet egyenlő a csomag? a)

b)

4 csom. + 5 fehér 17 fehér

4 csom. + 5 fehér25 fehér

tanulói munKafüzet 0692. egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása mérleg elvvel 153

2. Mi lehet a megoldása a képes nyitott mondatoknak?

a)

b)

c)

d)

3. Oldd meg mérlegelvvel, majd ellenőrizd behelyettesítéssel!a) x + 4 = 9 b) 3 ∙ x + 7 = 19 c) 2 ∙ (x + 1) = 3 d) 3 ∙ (5 ∙ x – 3) + 2 = 8 e) 5 ∙ x – 2 = 2 ∙ x + 7

1 saláta = …… répa

1 mackó = …… búgócsiga

1 kisautó = …… üveggolyó

1 kisegér = …… sajtszelet


2. Feladatlap

1. Határozd meg, hogy a színes téglalapok hány fehér egységgel egyenértékűek!

1 lila (l.) =

1 bordó (b.) =

1 sötétkék (sk.) =

1 fekete (fk.) =

1 világoskék (vk.) =

1 piros (p.) =

1 rózsaszín (rzs.) =


2. Mi lehet a megoldása a képes nyitott mondatoknak?

e)

f)

g)

h)

i)

1 sál = …… sapka

1 katicabogár = …… falevél

1 gomba = …… virág

1 alátét … …… számítógépegér

1 paletta … …… ecset


j)

k)

3. Feladatlap

1. Oldjátok meg, és ellenőrizzétek a következő feladatokat.

a) 3 ∙ x – 2 = 4

b) 3 ∙ x + 5 = 2 ∙ x

c) 2 ∙ x + 4 = 3 ∙ x – 2

d) 5 ∙ x – 8 = x + 12

e) 3 ∙ (x – 1) + 9 = 27

f) 12 – 3 ∙ x = x – 12

g) 4 ∙ x + 6 =2 ∙ (x + 3)

h) 2 ∙ x – 13

= x + 12

2. Oldjátok meg az egyenlőtlenségeket, és ábrázoljátok a megoldások halmazát számegyenesen!a) 12 – 3 ∙ x x – 12 b) 4 ∙ x + 6 2 ∙ (x + 3)

1 alma = …… csiga

3 cipő = …… zokni


3. Oldd meg és ellenőrizd!

a) x : 56

+ 25

= 2 45

b) 47

∙ (x – 10) = 0,2

c) 4 ∙ x – 2,5 x – 1

4. Feladatlap

1. Oldjuk meg a következő egyenleteket, és gondolkodjunk el a megoldásokon!

a) 3 x + 5 = 3 x – 5

b) – 2 x + 7 = 5 x + 7

c) 5 x + 23

= 2 x + 23

+ 3 x

2. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket, és gondolkodjunk el a megoldásokon! Ábrázoljuk a megoldáshalmazokat számegyenesen!

a) 2 x + 5 < 3 x + 6

b) 2 x + 5 < 3 x + 5

c) 2 x + 5 < 2 x – 5

d) 2 x – 5 < 2 x + 5

2. Írd fel a zárójelest zárójel nélkül!

a) a – (5 + a) =

b) 9 – (b – 1) =

c) c + (8 + c) =

d) d + (2 ∙ d – 3) =

e) 3 ∙ (e + 4) =

f) –9 ∙ (7 – f) =

g) 5 ∙ (4 ∙ g – 3) =

h) (6 ∙ h – 9) : 3 =

i) 15 ∙ i – 205

= Másképpen: (15 ∙ i – 20) : 5


3. A zárójel felbontása után kaptuk a következő kifejezéseket. Milyen lehetett a zárójeles alakjuk?

a) 3 ∙ x – 15 =

b) 11 – y + 7 =

c) 23

v – 2 =

d) 3 ∙ z + 1,5 =

4. Oldd meg és ellenőrizd a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket! Ábrázold számegyenesen a megoldáshalmazukat!

a) 9 – (b – 1) =3

b) 3 ∙ (e + 4) = 2 ∙ e + 15

c) –9 ∙ (7 – f) =7 ∙ f – 59

d) 5 ∙ (4 ∙ g – 3) + 3 = 13 ∙ g + 16


a) x – 7 = –1

b) 5 ∙ x – 3 = –23

c) 3 ∙ x + 9 = 44 – 4 ∙ x

d) 2 ∙ (x – 3) = 8

e) 58

x – 12

= 2 ∙ x – 1 78

f) 2 ∙ x – 3 < x + 2

5. Feladatlap

1. Két egyenlet megoldásának sorai összekeveredtek. Válogassátok külön az összetartozó sorokat, és rakjátok helyes sorrendbe. A sorok mellett jelöljétek a szokott módon, hogy milyen változtatás lesz a következő sorban?

2 = x + 3

3 ∙ y = 12

2 + x = 2 ∙ x + 3

x = – 1

2 ∙ y – 7 = 5 – y

y = 4

3 ∙ y – 7 = 5

2. A felsorolt kifejezések felhasználásával készítsetek minél több egyenletet, oldjátok meg, és ellen-őrizzétek azokat!

x + 5 3 x + 9 2 x + 10 x + 3



a) 3 ∙ a –2 = 5 ∙ a – 10

b) – 2 ∙ b + 5 = 3 ∙ b – 10

c) 9 ∙ c – 2 = 4

d) 5 = 7 – 2,5 ∙ d

e) 34

– e = 2 14

f) 4 ∙ ( f + 1) + 3 = 10

6. Feladatlap

1. Szundi és Morgó munkát kerestek. Már az első napon alkalmazták őket egy bányában. Este, ami-kor hazafelé bandukoltak, Szundi talált egy bugyellárist, amiben 12 peták lapult. Amikor más-nap Morgó munkába indult, Szundi nem ment vele, hanem beverte a szundit. Morgó még két napig dolgozott, így 4 petákkal több pénze lett, mint Szundinak. Mennyi a vagyonuk a három nap után?

2. Egészítsétek ki a táblázatot a hiányzó szám kifejezésével!

a) Két szám összege 27 Az egyik szám: a A másik:

b) Két szám szorzata 24 Az egyik szám: b A másik:

c) Két szám hányadosa –2 Az egyik szám: c A másik:

d) Két szám különbsége 11 A kisebbik szám: d A nagyobbik:

e) Két szám különbsége 3 A nagyobbik szám: e A kisebbik:

f) Két szám összege: f Az egyik szám: 5 A másik:

g) Két szám szorzata: g Az egyik szám: –5 A másik:

h) Két szám hányadosa: h Az egyik szám: 2 A másik:

i) Két szám különbsége: i Az egyik szám: 4 A másik:

j) Két szám összege: 38 Az egyik szám: j A másik:

k) Két szám különbsége: 37 Az egyik szám: k A másik:

l) Két szám szorzata: 59 Az egyik szám: l A másik:

m) Két szám hányadosa: 56 Az egyik szám: m A másik:


FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Oldd meg és ellenőrizd a következő egyenleteket:

a) a – 7 = – 5

b) 7 ∙ b + 5 = 26

c) – c + 9 = 11

d) – 3 ∙ d – 2 = –17

e) 9 – 5 ∙ e = 14

f) 18 = 2 ∙ f + 9

g) 0 = – 3 ∙ g – 30


a) 8 ∙ a – 9 = 7 ∙ a

b) 29 – 5 ∙ b = 1 – 3 ∙ b

c) 11 ∙ c + 5 = 9 ∙ c

d) 23

+ d = 2 ∙ d

e) 3 ∙ e – 14

= 5 ∙ e – 32

f) 45

– f = 2 ∙ f – 115

g) 3 + g2

= 2 ∙ g


a) 3 – a = –3

b) 2 + 3 ∙ b – 3 = 5

c) 24 + 4 ∙ c = 5 – c – 1

d) 13 – 5 + 2 ∙ d = 3 ∙ d – 3

e) 7 ∙ e – 5 + 3 ∙ e = 5 ∙ e – 10 + 7

f) 5 + 7 – 2 ∙ f = 11 – 3 ∙ f – 6

g) 6 ∙ 2 ∙ g – 18 – 7 ∙ g –9 = 14 ∙ g – 8 – 2 ∙ g + 2


a) – 3 ∙ x + 9 = 3

4 ∙ x + 4 = 3 ∙ x – 1

3 ∙ x + 3 = 9 ∙ x – 1

5 – 4 + x = 1,75 + 2 ∙ x

2 ∙ x – 4 + 1 = – 5 ∙ x + 2,6

5 – 3 ∙ 4 ∙ x – 15 = 8 ∙ x

7 + 2 ∙ x – 18 = 5 ∙ 15

∙ x + 5 – 6


b) 3 ∙ x + 4 = – 11

9 ∙ x – 5 = x + 13

8 ∙ x + 10,5 = 2 ∙ x + 6

1 – 3 + 5 ∙ x = 2

12 ∙ x + 3 = 4 ∙ x – 1

–5 ∙ 15

∙ x – 15 = 12

∙ x – 30

–3 ∙ x – x – 4 = 2 ∙ x – 16

c) 9 ∙ x + 1 = 7

2 ∙ x + 5 34

= x + 5

–5 ∙ x – 0,4 =5 ∙ x – 8,4

9 – x – 3,5 = 4 ∙ x + 8

2 ∙ x – 18 + 1 = x – 7

– 15 + 9 ∙ x + 1 = – 3 ∙ x + 10

3 ∙ x + x + 3 = 3 ∙ x + 30 – 32

d) 2 ∙ x + 5 = 3,5

2 ∙ x – 3,6 = – 5 ∙ x + 2

12

∙ x + 54

= 2 ∙ x + 2

3 – x – 1 = 15

∙ x – 10

28 – 12 ∙ x = 2 ∙ x

3 ∙ x + 20 = –2 ∙ x – 12 + 7

–3 ∙ x – 1 = 18 ∙ x – 15

e) – 5 ∙ x + 5 = 1

4 ∙ x + 8 = 3 ∙ x + 7,5

15

∙ x + 3 = x – 5

7 – 4 + 3 ∙ x = 9

6 ∙ x + 42 = 12

9 ∙ x + 4 = 4 – 2 ∙ 3 ∙ x + 10

5 – 4 ∙ x – 3 = 10 ∙ x + 12,5

f) 4 ∙ x + 9 = 7

25

∙ x – 1 = 15

∙ x + 1

–3 ∙ x + 11 = 3 ∙ x – 1

– 9 ∙ x – 40 = 5

3 ∙ x + 3 – 5 = 9 ∙ x – 6

5 – 8 ∙ x +8 = 2 ∙ x + 20,5

5 ∙ x – 10 ∙ x + 7 = 18 – 10 ∙ x – 7


g) 15

∙ x – 13 = –11

– 3 ∙ x + 7 = – 5 ∙ x + 11

3 ∙ x – 9 = 5 ∙ x + 1

– 9 ∙ x – 5 + 3 = 2

12 ∙ x + 15 = 2 ∙ x + 7,5

10 – 2 ∙ x – 2 = –5 ∙ x + 10,4

3 + x + 32

= 1 – 4 ∙ x – 1

5. Gondoltam egy számot. Ha a kétszeresét elosztom 3-mal, és az eredményhez 2-t adok, akkor a gondolt számnál 2-vel kisebb számot kapok. Melyik számra gondoltam?

6. Egy szép számot választottam,azt még öttel megtoldottam,amit kaptam ezután,öttel osztom szaporán.Hozzáteszek ötöt még,amit kapok, tizenhét.Mondd meg gyorsan pajtikám:Melyik ez a titkos szám?

069. EGyENLETEK, egyenlőtlenségek0693. szöveges feladatok megoldása



1. Feladatlap

1. Írd fel nyitott mondattal, oldd meg, és ellenőrizd! a) Andi és Bandi nagyon szerettek dámázni. Egyszer egy héten át statisztikát is vezettek a játékaik

eredményéről. A hét végére kiderült, hogy Andinak 7-tel több győzelme volt, mint Bandinak. Hány játszmát nyert Bandi, ha összesen 23 játékot játszottak, és döntetlen nem volt?

b) Dávid találkozott horgász barátjával, aki meglehetősen lógatta az orrát. Megkérdezte tőle, hogy hány halat fogott? A szomorú horgász így felelt: Ha 5-ször annyit fogtam volna, mint amennyit fogtam, sőt még annál is 5-tel többet, akkor is 20-nál kevesebb hal lenne a vödrömben. Hány halat fogott a „nagy” horgász?

2. Oldd meg a feladatokat, és ellenőrizd szöveg szerint!a) Ha egy szám 5-szöröséhez 20-at adok, akkor –30-at kapok. Melyik lehet ez a szám?b) Gondoltam egy számot. Ha a nála 4-gyel nagyobb számot megszorzom 5-tel, akkor –30-at

kapok. Melyik számra gondolhattam?c) Egy tálban 4-szer annyi szilva van, mint ahány dió. Ha levennénk a tálról 18 szilvát, ugyan-

annyi szilva lenne rajta, mint ahány dió.d) Egy villamos második kocsijában 4-szer annyi utas van, mint az elsőben. Ha a második kocsiból

kilencen átszállnának az elsőbe, mindkét kocsiban ugyanannyian utaznának. Hányan utaztak a villamoson összesen?

3. a) A testnevelés szertárban, két kosárban ugyanannyi labda van. Ha az egyik kosárból ötöt átten-nénk a másikba, akkor ott háromszor annyi labda lenne. Hány labda volt eredetileg egy-egy kosárban?

b) Enikő minden nap egy szendvicset és egy almát vesz az iskolai büfében tízóraira. A szendvics 24 Ft-tal drágább az almánál. 2006 februárjában – ebben a hónapban nem volt iskolai szünet, és Enikő sem hiányzott – a kislány 1280 Ft-ot fizetett összesen a büfében. Mennyibe kerül Enikőék büféjében egy szendvics?

2. Feladatlap1. Oldd meg, és ellenőrizz szöveg szerint!

Két üveg közül az elsőben 3-szor annyi narancslé van, mint a másodikban. Ha az elsőből 6 dl-t áttöltünk a másodikba, akkora) Mindkét üvegben ugyanannyi lesz. Mennyi narancslé volt eredetileg az üvegekben?b) A második üvegben 1 dl-rel több narancslé lesz, mint az elsőben. Mennyi volt eredetileg az üve-

gekben?c) A másodikban feleannyi lesz, mint az elsőben. Mennyi narancslé volt eredetileg az üvegek-

ben?

2. Oldd meg, és ellenőrizd!a) Egy kosárban 2-szer annyi körte van, mint egy másikban. Ha az első kosárba 3, a másodikba

pedig 13 körtét tennénk, akkor mindkét kosárban ugyanannyi lenne. Mennyi van bennük most?

b) Ábelnek 210 Ft-tal több pénze van, mint Somának. Ábel pénzének 64%-a annyi, mint Soma pénzének 71%-a. Mennyi pénze van a két fiúnak külön-külön?

c) Gábor és Zoli a szépen felújított Természettudományi Múzeumban jártak Budapesten. Mind-ketten a kedvenceiknél időztek legtöbbet. Gábor a pókokat csodálta, Zoli a cserebogarakért rajongott. Otthon összevitatkoztak azon, hogy melyikük kedvencéből volt több a kiállításon. Gábor nővére megelégelte a vitát, és úgy döntött, megdolgoztatja egy kicsit a fiúkat. Elárulta nekik, hogy összesen 150 cserebogarat és pókot láttak, és ezeknek összesen 1044 lábuk volt. Számítsák ki, hogy melyik állatból mennyi volt a tárlókban! Segíts nekik!

tanulói munKafüzet 0693. szöveges feladatok megoldása 165

3. Oldd meg egyenlettel, és ellenőrizd a szöveg szerint!a) A hatodik évfolyamon 3 párhuzamos osztály van. Az egyik testnevelés, a másik zene, a harma-

dik pedig matematika tagozatos. A matekosok 3-mal többen, a zenei tagozatosok pedig 5-tel kevesebben vannak, mint azok, akik testnevelés tagozatra járnak. Hányan járnak az egyes osz-tályokba, ha tudjuk, hogy az iskolában 73 hatodikos tanuló van?

b) Csaba szeptemberben 7 db füzetet vett, és mindjárt borítót is mindegyikhez. A borítók 18 Ft-tal kevesebbe kerültek, mint a füzetek. Mennyibe került egy-egy füzet, illetve borító, ha Csaba összesen 294 Ft-ot fizetett?

c) Egy téglalap egyik oldala 5 cm-rel hosszabb, mint a másik. Mekkorák a téglalap oldalai, ha a kerülete 24 cm?

3. Feladatlap

1. Oldd meg egyenlettel, és ellenőrizd!a) A gólya 10 évvel tovább él, mint az állatok királya. Kettejük életkora összesen is 20 évvel keve-

sebb, mint az elefánt átlagosan 150 éve. Meddig él a gólya?b) Ha a madárinfluenza vagy más kór nem szól közbe, egy hattyú 4-szer olyan sokáig él, mint egy

leopárd. Életkoruk különbsége 75 év. Meddig él egy hattyú?c) Egy varjú akár 4-szer annyi ideig is elél, mint egy tehén, egy krokodil pedig 2-szer annyi ideig,

mint egy varjú. Ha a felsorolt állatok élettartamát összeadod, az még mindig 5-tel kevesebb, mint a teknősé, amely 200 évig is elélhet. Átlagosan hány év az említett állatok életének hossza?

2. Oldd meg egyenlettel, és ellenőrizd!

a) Melyik az a szám, amelynek a fele 5-tel több, mint a harmada? b) Édesanya szilvás gombóca messze földön híres. Amikor gombóc van ebédre, Péter mindig meg-

hívhatja a barátját, Pált, testvére, Anna pedig a barátnőjét, Anikót. Legutóbb a fiúk a gombócok harmadánál 1-gyel többet, a lányok pedig a gombócok felénél 7-tel kevesebbet ettek meg. Vajon hány gombócot készített édesanya, ha a szülőknek 11 maradt?

c) Az osztálykiránduláson délelőtt megtettük az út 37

részét. Ebéd után gyalogoltunk 9 km-t, majd

megpihentünk. Ekkor már csak az út 17

része állt előttünk. Milyen hosszú volt a tervezett útvo-

nal?d) A nyúl 3-szor, a puskagolyó 100-szor olyan gyors, mint a könnyű szél. A nyúl 20 másodperc

alatt 240 méter előnyre tesz szert a széllel szemben. Mennyi lehet a puskagolyó sebessége (hány métert tesz meg a puskagolyó másodpercenként)?

e) Egy téglalap egyik oldala 3-szor akkora, mint a másik. A téglalap területe 192 dm2. Számítsd ki a kerületét!

3. Oldd meg, és ellenőrizd!a) A könyvszekrény két polcán összesen 47 könyv van. Ha az első polcról két könyvet átteszünk a

másodikra, a három könyvtári könyvet pedig visszavisszük a könyvtárba, akkor mindkét pol-con ugyanannyi könyv lesz.

Hány könyv volt eredetileg az egyes polcokon?b) Egy téglalap kerülete a hosszabbik oldal háromszorosa. Mekkora a téglalap területe, ha a rövi-

debbik oldal 7,5 cm hosszú?c) A világ nagy madarai a struccok, a nanduk, a kazuárok és az emuk. A legnagyobb közülük a

strucc, amely repülni nem tud ugyan, de futni kitűnően. 60 km/h-nál is nagyobb sebességre képes. Nem egészen ezer éve azonban még a struccoknál is nagyobb madarak éltek Madagasz-káron, az elefántmadarak.


– Az elefántmadár tömege 30 kg-mal kisebb a strucc tömegének kétszeresénél. Ha egy strucc és egy elefántmadár együtt 390 kg, akkor mennyit nyomnának külön-külön?

– A strucc tojásának tömege hatodrésze az ezer éve még élt elefántmadár tojásáénak. Ha egyet-egyet mérlegre teszünk belőlük – tehetjük, mert még manapság is kerülnek elő elefántmadár tojások –, a két tojás együtt 10,5 kg-ot nyom. Mennyi a tömegük külön-külön? (Természetesen a feladatokban szereplő adatok átlagos értékek.)

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Írd fel a következő feladatokat a matematika nyelvén, nyitott mondattal, oldd meg, és ellenőrizd szöveg szerint.

a) Két szám összege 38

, az egyik szám legyen a. Melyik ez a két szám, ha tudjuk, hogy különbsé-

gük háromszorosa 2?

b) Két szám különbsége 37

, az egyik számot jelölje b. Melyik ez a két szám, ha tudjuk, hogy össze-

gük 70%-a 8,7?

c) Két szám hányadosa 56

, az egyik számot jelölje g. Melyik ez a két szám, ha összegük 5-tel

nagyobb, mint a különbségük?

2. Oldd meg, és ellenőrizd! a) Egy prímszámot választottam, azt még néggyel megtoldottam, s amit kaptam ezután, nem más, mint a hetes szám. Melyik prímszámra gondoltam?b) Gondoltam egy számot. Hozzáadtam 12-t, és így a gondolt szám négyszeresét kaptam. Melyik

számra gondoltam?c) Egy szám nyolcszorosa 29-cel nagyobb, mint 71. Melyik ez a szám?d) Ha egy szám ötszöröséből kivonjuk a számnál 5-tel nagyobb számot, akkor 411-et kapunk.

Melyik ez a szám?e) Ha egy szám kilencszereséből kivonjuk a számnál 7-tel kisebb számot, akkor a szám ötszörösé-

nél 37-tel nagyobb számhoz jutunk. Melyik ez a szám?

3. Oldd meg, és ellenőrizd!a) Egy háromszög legnagyobb oldala 2 cm-rel hosszabb, legkisebb oldala pedig 3 cm-rel rövidebb,

mint a középső oldal. Mekkorák a háromszög oldalai, ha a kerülete 17 cm?b) Egy háromszög egyik szöge 2-szeres, másik szöge pedig háromszorosa a harmadik szögnek.

Mekkorák a háromszög szögei? Milyen háromszög ez?c) Egy deltoid egyik oldala 3 dm-rel hosszabb a másik oldal felénél. Mekkorák a deltoid oldalai, ha

kerülete 210 cm?d) Egy téglalap egyik oldala 3,2-szer akkora, mint a másik. A téglalap kerülete 2,4 cm-rel rövidebb,

mint a hosszabbik oldal háromszorosa. Számítsd ki a téglalap területét!

tanulói munKafüzet 0693. szöveges feladatok megoldása 167

4. Oldd meg, és ellenőrizd!a) Dóri az őszi befőzések idején az eltennivaló lecsóhoz vásárolt. Paprikából 2-szer annyit, hagy-

mából 1,5 kg-mal kevesebbet vásárolt, mint paradicsomból. Mennyit vásárolt az egyes zöldség-félékből külön-külön, ha összesen 8,5 kg-ot cipelt haza?

b) Egy napon belül Anna 5-ször annyi időt tölt iskolai tanulással, mint tisztálkodással. Étkezéssel ugyanannyit, mint tisztálkodással, otthoni tanulással 2-szer ennyit. A többi 15 órát utazás és pihenés tölti ki. Hány órát tanul Anna otthon naponta?

c) Bélának 42 jegye volt az első félévben. 1-gyel több ötöse volt, mint négyese, kétszer annyi hár-masa, mint ötöse, és három kettese. Egyese nem volt. Hány ötös, négyes és hármas osztályzata volt?

d) Áron minden nap egy 45 Ft-os gyümölcslét és egy szendvicset vett az iskolai büfében tízóraira. Mennyi volt a szendvics ára, ha hetente 375 Ft-jába került a tízórai?

e) Eszter, Ferkó és Géza, a három testvér a nagymamájánál nyaralt. Nagyi 30 db palacsintát sütött nekik. A gyerekek versenyeztek, hogy ki tud többet megenni? Eszter 3-mal többet, Géza 5-tel kevesebbet evett, mint Ferkó, így a nagyinak is maradt 5 db. Ki mennyi palacsintát evett?

f) Egy apa a három gyermekével gombászni ment az erdőbe. Csak pöfeteget gyűjtöttek. Találtak is sokat, mert az elmúlt napokban sok eső esett, és a nap is sütött eleget. A legkisebb gyerek 2-szer annyit talált, mint a középső, a legnagyobb annyit, mint a két kicsi együtt, az apa pedig 12-t. Így összesen 30 db gombát vittek a gombavizsgálóba. Ugye te is tudod, hogy csak szakértő által megvizsgált gombát szabad fogyasztani? Hát azt ki tudod-e számítani, hogy a családban ki hány gombát talált?

5. Oldd meg, és ellenőrizd!a) A piacon elköltöttem a pénzem 3

5 részét, és még 250 Ft-ot. Így 550 Ft-om maradt. Mennyi pénz-

zel mentem a piacra?b) Az asztalon 5 tányér van. A másodikban 3-mal több, a harmadikban 2-vel kevesebb, a negyedik-

ben kétszer annyi, az ötödikben harmadannyi sütemény van, mint az elsőben. Állítsd sorba a tányérokat a rajtuk lévő sütemények mennyiségének növekvő sorrendjében, ha összesen 33 süti van a tányérokon!

c) Két bélyeggyűjtő fiúnak ugyanannyi bélyege volt. Az egyik eladott a bélyegeiből tizennyolcat, a másik pedig csak hármat, így az utóbbinak 3-szor annyi bélyege maradt, mint a társának. Hány bélyegük volt eredetileg?

d) Két fán összesen 18 veréb ül. Ha az egyik fáról 2 veréb átrepülne a másikra, mindkét fán ugyan-annyi veréb lenne. Hány veréb ül a két fán külön-külön?

Documents

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A”tancsics16.hu/matematika/doc/taneszkozok/h-amat0603_diak... · 2018-01-07 · 8 matematiKa „a” – 6. évfolyam – 066. síKidomoK tanulói