maTematika VII - მთავარიold.eqe.ge/uploads/Grifireba/GRIFIREBULEBI_2012/... · gegmis mixedviT Sedgenili maTematikis VII klasis saxelmZRvanelosTvis (guram gogiSvili,

gamomcemloba inteleqtiTbilisi 2012

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe

ia mebonia, lamara qurCiSvili

maTematika VII

maswavleblis wigni

(meTodikuri rekomendaciebi, sakontrolo weris

variantebis nimuSebi da miTiTebebi amocanebis amosaxsnelad)

redaqtori Teimuraz vefxvaZe

grifi mieniWa 2012 wels ssip ganaTlebis xarisxis ganviTarebis

erovnuli centris (brZaneba # 375, 18. 05. 2012) mier

ISBN 978-9941-439-08-7

© gamomcemloba ìnteleqti~, 2012.

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,


m a T e m a t i k a

VII klasi

maswavleblis wigni

gamomcemloba inteleqti

Tbilisi 2012

Guram Gogishvili, Teimuraz Vepkhvadze, Ia Mebonia, Lamara Kurchishvili

MaThs VII Teacher's Book

InTeLeKTI PublishersTbilisi 2012

gamomcemloba inteleqtiTbilisi, ilia WavWavaZDis gamz. 5. tel.: 2-25 05 22, 2-91 22 83.www.intelekti.ge [email protected] [email protected]

intelekti Publishers5 ilia Chavchavadze Ave., Tbilisi, Georgia. Tel.: (995 32) 2-25 05 22, 2-91 22 83.

3

s a r G e v i

Sesavali ................................................................................................................................ 7

VII klasis maTematikis erovnuli saswavlo gegma ................................................13

Sinaarsisa da miznebis ruka ........................................................................................21

saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis dagegmvis

zogadi principebi ........................................................................................................... 25

Sefasebis zogadi principebi.......................................................................................29

Sefaseba maTematikaSi .................................................................................................... 30

sanimuSo gakveTilebi ...........................................................................................................33

I Tavi. gameoreba. naturaluri ricxvebi, geometriuli figurebi.

1.1. naturaluri ricxvebi. naturaluri ricxvis Caweris sxvadasxva forma ........44

jgufuri muSaobis proeqti ..............................................................................................48

1.2. naturaluri ricxvebis gayofa. gayofadobis niSnebi ............................................49

1.3. martivi da Sedgenili ricxvebi. udidesi saerTo gamyofi da

umciresi saerTo jeradi ...................................................................................................53


sakontrolo wera ............................................................................................................ 57

1.4. simravle. qvesimravle .........................................................................................................59

amocanebi gameorebisTvis ..................................................................................................61

1.5. simravleTa gaerTianeba da TanakveTa. venis diagramebi ......................................62



damoukidebeli samuSao ......................................................................................................66

1.6. geometriuli figurebi .......................................................................................................68

1.7. kuTxe. kuTxeTa urTierTganlageba................................................................................71

1.8. monakveTis da kuTxis gazomva ....................................................................................73

1.9. kuTxeTa klasifikacia. or wrfes Soris kuTxe ....................................................76



sakontrolo wera ..................................................................................................................80

II Tavi. racionaluri ricxvebi. monacemTa analizi da statistika.

zogierTi geometriuli figura

2.1. mTeli ricxvebi ......................................................................................................................83

2.2. mTeli ricxvis moduli (absoluturi mniSvneloba).

mTeli ricxvebis Sedareba .................................................................................................85

damoukidebeli samuSao ......................................................................................................87

4

2.3. mTeli ricxvebis Sekreba da gamokleba .......................................................................88

2.4. mTeli ricxvebis gamravleba da gayofa ......................................................................90


damoukidebeli wera .............................................................................................................92

2.5. dadebiTi racionaluri ricxvebi ...................................................................................93

jgufuri muSaobis proeqti ......................................................................................... 95

2.6. racionaluri ricxvebi .......................................................................................................96

2.7. racionaluri ricxvis naturalurmaCvenebliani xarisxi ......................................97

sakontrolo wera ............................................................................................................ 98

2.8. monacemTa analizi da statistika ...............................................................................101

2.9. texili, mravalkuTxedi ....................................................................................................104

jgufuri muSaobis proeqti ....................................................................................... 107

2.10. oTxkuTxedebi .......................................................................................................................108

damoukidebeli wera ...........................................................................................................109

amocanebi gameorebisTvis ................................................................................................110

III Tavi. cvladiani gamosaxuleba. wrfivi erTucnobiani gantoleba

3.1. cvladiani gamosaxuleba.

cvladiani gamosaxulebis mniSvnelobis povna ........................................................112

jgufuri muSaobis proeqti ............................................................................................114

3.2. naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi ...........................................................116

jgufuri muSaobis proeqti ....................................................................................... 118


3.3. erTwevri. mravalwevri. moqmedebebi mravalwevrebze ..........................................120

3.4. Semoklebuli gamravlebis formulebi .......................................................................121

3.5. mravalwevris mamravlebad daSla .................................................................................124

sakontrolo wera .......................................................................................................... 127

3.6. gantoleba. gantolebis fesvi ........................................................................................129

3.7. wrfivi erTucnobiani gantoleba .................................................................................132

sakontrolo wera ................................................................................................................133

amocanebi maTematikuri SejibrebebisTvis ................................................................135

IV Tavi. koordinatebi. geometriuli gardaqmnebi

4.1. koordinatebi wrfeze. ricxviTi Sualedebi ............................................................139

4.2. wertilis koordinatebi sibrtyeze .............................................................................145

4.3. sakoordinato meoTxedebi ...............................................................................................148

sakontrolo wera ................................................................................................................149

4.4. amocanebis amoxsna gantolebis saSualebiT ............................................................152

4.5. amocanebis amoxsnis sxvadasxva xerxi .........................................................................155


jgufuri muSaobis proeqti ............................................................................................161

sakontrolo wera .......................................................................................................... 162

4.6. RerZuli simetria ...............................................................................................................165

5

4.7. paraleluri gadatana ........................................................................................................168


proeqti ...................................................................................................................................171


V Tavi. sidideebs Soris damokidebulebebi.

samkuTxedebis tolobis niSnebi

5.1. Sefardeba ...............................................................................................................................177

5.2. ricxvis dayofa proporciul nawilebad ...................................................................179

5.3. proporcia ..............................................................................................................................182

5.4. pirdapirproporciuli damokidebuleba ....................................................................184

sakontrolo wera ................................................................................................................187

5.5. samkuTxedi. samkuTxedis saxeebi kuTxeebis mixedviT ..........................................190

jgufuri muSaobis proeqti .......................................................................................192

5.6. samkuTxedis elementebi ...................................................................................................193

5.7. mimdevrobebi .........................................................................................................................197

5.8. samkuTxedebis tolobis niSnebi ....................................................................................199

amocanebi jgufuri muSaobisTvis ................................................................................202

5.9. procenti ................................................................................................................................202

5.10. vaMgrZelebT procMentze amocanebis ganxilvas .........................................................204

jgufuri muSaobis proeqti .......................................................................................207


amocanebi maTematikuri SejibrebisTvis ....................................................................210

sakontrolo wera ................................................................................................................211

VI Tavi. statistikis elementebi. amocanebi agebaze

6.1. monacemTa Semajamebeli ricxviTi maxasiaTeblebi ...............................................214


6.2. samkuTxedis saxeebi gverdebis mixedviT. tolferda samkuTxedi ..................216

6.3. paraleluri wrfeebi .........................................................................................................217


6.4. samkuTxedis kuTxeebis jami............................................................................................219

6.5. marTkuTxa samkuTxedi ......................................................................................................222

6.6. monakveTis SuamarTobis Tviseba, wrewiris qorda da mxebi .............................224

individualuri muSaobis proeqti ................................................................................226

sakontrolo wera ................................................................................................................226

6.7. amocanebi agebaze ................................................................................................................229


amocanebi maTematikuri SejibrebisTvis ....................................................................236

maTematikuri terminebis leqsikoni da maTematikuri niSnebi ..........................237

literatura .................................................................................................................... 241

boloTqma ......................................................................................................................... 243

7

Sesavali

wigni Seicavs meTodikur rekomendaciebs 2011-2016 wlebis erovnuli saswavlo

gegmis mixedviT Sedgenili maTematikis VII klasis saxelmZRvanelosTvis (guram

gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe, ia mebonia, lamara qurCiSvili, maTematika VII).

erovnuli saswavlo gegmis wina redaqciebiT Sedgenilma Cvenma saxelmZRvanelom

warmatebiT gaiara pilotireba, mieniWa grifi da damkvidrda skolebSi. maswavleb-

leb Tan Sexvedrisas da maTTan konsultaciebis dros gamoiTqva saintereso

mosazrebebi wignis Semdgomi gaumjobesebis Sesaxeb. gvqonda konsultaciebi erov-

nu li saswavlo gegmebisa da Sefasebis centris eqspertebTan. erovnul saswavlo

geg maSi Setanili cvlilebebis Sesaxeb. axali saxelmZRvanelo am cvlilebaTa da

Se xvedrebis gaTvaliswinebiTaa Sedgenili.wignSi gadmocemulia meTodikuri rekomendaciebi yoveli Temis gadacemis,

gakveTilebis dagegmvisa da warmarTvis, sa var jiSoebis SerCevis Sesaxeb.mocemulia miTiTebebi amocanaTa amosaxsnelad.wignSi gaecnobiT Cvens mosazrebebs axali masalis axsnis Sesaxeb; mocemuli

iqneba Sesabamisi axsna-ganmartebebi masalis wardgenis fazebis Sesaxeb _ motiva-cia, sakiTxis dasma, amo ca nis gansazRvra, ZiriTadi saswavlo masalis gamoyofa, sawyis etapze Sesasrulebeli savarjiSoebi da maTi analizi, dama gvir gvinebel etapze Sesasrulebeli amocanebi da maTi ana li zi, damoukidebeli samuSaoebis gansazRvra da maTi Semow me bis formebi. mocemuli iqneba gakveTilebis dagegmvis sqemebi da ramdenime sanimuSo gakveTilis scenari.

wignSi Tavebi da paragrafebi moswavlis wignis analo gi u radaa warmodgenili.gaecnobiT komentarebs TiToeuli Tavis, paragrafis mi xed viT, masalis

gadmocemis Taviseburebebis motivacias, am masa lis Sesabamis mecnierul da meTodologiur safuZvlebs; miTi Te buli iqneba Sesabamisi literatura yvela am Temis mixedviT codnis gasaRrmaveblad; wigns Tan erTvis samecniero da meTo-di kuri literaturis sia.

mocemulia moswavleTa mier masalis Seswavlis aRricx vi sa da Sefasebis xerxebi; es rekomendaciebi xels Seuwyobs maswavlebels Sefasebis procesis dagegmvasa da warmarTvaSi. Se fasebis ZiriTadi mdgenelebi da am mdgenelebis mixedviT Se fasebis sistemis SemuSavebaSi dagexmarebaT is masala, romelic erovnuli saswavlo gegmebisa da Sinaarsisa da miz ne bis rukis Semdeg aris moce-muli. xsenebuli sami kom po nen ti mTeli saswavlo wlis ganmavlobaSi gamoiyeneba, mas wav lebels aZlevs masalis gadacemis orientirebsa da Se fa sebis formebs _ moswavleebis muSaobaze dakvirveba, maTi aq ti vobebis Sefaseba yovel gakveTilze mimdinareobs da wliuri Sefasebis safuZvels warmoadgens.

8

amasTanave, Cven mier mocemul rekomendaciebs calkeuli gakveTilebis dagegmvisa da warmarTvis Sesaxeb maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges _ swavleba, cnobil maTematikoss d. poias Tu daveTanxmebiT, xelovnebaa da SesaZlebelia bevrma maswavlebelma gakveTilis warmarTvis, moswavleTa aqti-vobis dagegmvis originaluri xerxebic moifiqros. Cven yovelTvis mzad varT daveswroT novatorul gakveTilebs da monawileoba miviRoT maT ganxilvasa da analizSi.

swavlebis procesSi meTodikuri orientirebis garkvevis sakiTxSi dagexmarebaT meTodikuri literatura, romlebic wignis bolos aris mocemuli; magaliTad, dRevandel situacias kargad exmaureba citatebi h. froidentalis wignidan ([38], gv. 97): `maswavlebels unda SeeZlos swavlebis warmarTva programiT, romelic kardinalurad gansxvavdeba imisgan, romliTac mas aswavlidnen...

... moTxovna, rom ganaTleba gardaqmnis Canasaxsac Sei cav des swrafad cva-lebad sazogadoebaSi ara marto maTe ma tikis swavlebas exeba. ... feliqs klaini laparakobda ormag da viwyebaze: universitetSi swavlisas saskolo maTematikis daviwyebaze, Semdeg _ sauniversiteto maTematikis daviwyebaze, skolaSi mas-wavleblad dabrunebisas~.

Cven SevecdebiT yoveli Temis warmodgenas axldes deta lu ri komentarebi da masalis mecnieruli da meTodologiuri safuZvlebis mimoxilva.

swavlebis procesSi meTodikuri orientirebis garkvevis sakiTxebSi daxmarebas gagiwevT masala, romlis gacnobas in ter netis saSualebiT SeZlebT (magaliTad, http://www.mccme.ru/edu).

maswavlemeli kargad unda icnobdes erovnul saswavlo gegmas da iq war-modgenil rekomendaciebs.

ZiriTadi aqcenti am rekomendaciebSi keTdeba moswavlis aqtiur Cab ma ze swavlebis procesSi, rom swavleba Ziebisa da dasa bu Te bebis gziT unda mim-dinareobdes, moswavle TviT unda aRmoa Cendes WeSmaritebas motivirebuli situaciis dagegmvis Semdeg; mTavaria kvlevis procesi _ ara marto pasuxebis mosmena kiTxva ze _ `ra~, aramed _ `rogor~, an _ `kidev rogor~. amas Ta nave, mniSvnelovania imis codnac _ `ratom~ da pasuxebi kiTx vaze _ `me es risTvis mWirdeba~. yvelaferi es auci le belia moswavleTa momavali profesiuli saqmi-anobisTvis, demokratiul procesebSi aqtiuri monawileobisTvis _ dRevan del sazogadoebaSi, romelic sul ufro metad aris damo kide buli maTematikaze.

wigni dagexmarebaT zemoTxsenebuli orientirebis ganxor cie lebis meTodikur xerxebis gacnobaSi _ kvlevis procesi SeiZleba individualuri iyos, SeiZleba jgufuri muSaobiT xorcieldebodes. iqneba rekomendaciebi sxvadasxva tipis sas wav lo procesis ganxorcielebisTvis. moswavlis saxel mZRva nelo am procesis erT-erTi damxmare saSualebaa. amitom sa Wi roa misi agebis principebi da masalis struqturirebis sakiTxebic gagacnoT.

moswavlis saxelmZRvanelos Sedgenisas gaviTvaliswineT is ZiriTadi ori-entirebi, romlebic erovnul saswavlo gegmebSia miTi Te buli _ orientireba Sedegze da am Sedegebis demonst ri re baze, informaciis gamoyenebis SesaZle-blobis demonst ri reba. kavSiri sagnebs Soris da TviT erTi sagnis SigniT mis sxvadasxva nawilebs Soris (maTematikaSi warmod ge nil mimar Tu lebebs Soris);

9

saklaso da klasgareSe muSaobis saqmia no bis erTianoba; orientacia uklebliv yvela moswav leze (sa ku Tari SesaZleblobebidan gamomdinare, yoveli mos wavle sxvadasxva xarisxiT miaRwevs Sedegebs); maswavlebelTa in di vi dualuri Tavise-burebebis gamovlenis SesaZleblobebi _ erovnuli saswavlo gegmis Sesruleba sxvadasxva gziT Se iZ leba.

me-7 klasis saxelmZRvanelos Sedgenisas gaviTvaliswineT, rom igi sabazo safexuris pirvel etaps Seesabameba; amasTanave aris mosamzadebeli etapi moma-vali arCevanis (swavlis gagr Ze leba, profesiaTa daufleba) winapirobebis Ses-aqmnelad; am periodSi iwyeba informaciis, unar-Cvevebisa da damoki debu lebebis gasaviTareblad saWiro pirobebis Seqmna; farTov deba Tanamimdevruli, logikurd gamarTuli msjelobis unaris gamo muSavebis procesis CarCoebi.

saxelmZRvanelos Sinaarss, rogorc cnobilia, unda gan saz Rvravdes rogorc praqtikuli moTxovnebi, aseve maTema tikis ganviTarebis Sinagani kanonzomiere-bebi. im SemTxvevaSic ki, roca raime axali sakiTxis SemoRebas es ukanaskneli pi ro bebi ufro gansazRvravs, mainc vcdilobT praqtikuli sa xis sakiTxebTan maT dakavSirebas. aseT SemTxvevaSi saWiroa zo mierebis dacva _ praqtikasTan yoveli mimarTeba unda iyos ga mar Tlebuli, moswavleTaTvis gasagebi da xels uwyobdes mo tivaciis process.

Sinaarsis SerCevas Sesabamisi asakis moswavleTaTvis mi sawv domobis principi udevs safuZvelad; es SerCeva _ Camoyalibebuli stabiluri birTvis bazaze xdeba. igi ga fil trulia maTematikis swavlebis gamocdilebiT; tradiciuli Temebis Tanamimdevrobis axleburi gaazrebiT, maTematikis erTianobidan gamomdinare integraciis xarisxis gazrdisa da axali sakiTxebiT Sevsebis aucileblobis gaTvaliswinebiT. Sinaarsobrivi mimarTulebebi saswavlo gegmaSia Camoyali be bu-li; maTgan maswavleblebisTvis ukve nacnobia wina saxel mZRva neloebis mixedviT: monacemTa analizi, aRweriTi statis tikis elementebis cnebebi da maTi praq-tikuli ilustraciebi. Tumca, midgoma da gadmocemis meTodika axleburia _ gazr dilia mimarTulebebis integraciis procesi; orientirebulia Sedegebze. maswavlebels mudmivad unda axsovdes, rom maTematika erTiani mecnierebaa da ara misi sxvadasxva nawilis xelovnuri gaerTianeba. amitom gadmocemis meTodika iTva lis wi nebs sakiTxebis urTierTkavSirSi, araizolirebulad gad mo cemas. siste-maturia wina masalis gameorebisa da ganmtki ce bis momentebis gaTvaliswineba. es xels uwyobs kursis erTiani koncefciis ganxorcielebas. pirveli Tavic ki, rome lic TiTqos gasul wlebSi Seswavlili sakiTxebis gameorebas moicavs, mo-mavali sakiTxebis gaTvaliswinebiTaa agebuli.

yoveli siaxle isea gadmocemuli, rom ukve ganxiluli sa kiTxebis codnas emyareba. xSiria mimarTeba sabunebis mety ve lo sagnebTan. TiTqmis yovel para-grafSia mocemuli Teo riu li masalis komentarebi, saintereso mecnieruli faqtebi, terminebis warmoSobis istoria, maTi xmarebis sxvadasxva aspeqtebi, cnobil mecnierTa biografiuli monacemebi.

moswavleebSi maTematikis, rogorc zogadsakacobrio kul tu ris nawilis Sesaxeb warmodgenis Camoyalibebas xels uw yobs SinaarsSi CarTuli epizodebi mecnierebis istoriidan. isi ni moswavleebs im adamianTa saxelebs acnobs, vinc qmnida ma Te matikas. maT Sorisaa saxelovani qarTveli maTe ma ti ko se bic.

10

kacobriobis inteleqtualuri istoriis SesaniSnavi faq te bis gacnoba swav-lebaSi kulturul-istoriul tradiciebs qmnis. vcdilobT gavufrTxildeT da ganvaviTaroT es tradi ciebi.

saxelmZRvanelos Sedgenis erT-erTi principi moswavleTa asakobrivi Tavise-burebebis gaTvaliswinebaa. vcdilobT davic vaT zomiereba, ar gadavtvirToT saxelmZRvanelo rTuli dam tkicebebiT; moswavle unda grZnobdes dasabuTebis auci leb lo bas. es gansakuTrebiT geometriuli sakiTxebis gadmocemas exeba.

dResac aqtualuria profesor iaglomis [41] sityvebi: `Cven me TodikaSi arse-bobda araswori warmodgena, rom mxolod geo met ria uwyobs xels logikuri mom-Txovnelobis aRzrdas da geometriaa maTematikuri disciplinebis agebis nimuSi. sinam dvi leSi maTematikis sxva nawilebSi debulebaTa umetesobis dasabuTebis sizuste metic ki aris geometriaSi mocemul damtkicebebze~. axali moTxovnebis Sesabamisadaa gadmocemuli geometriuli masala _ suraTebis gamoyenebiT, rom-lebic saSualebas aZlevs moswavles ifiqros, aRmoaCinos faqtebi, gamoiyenos es faqtebi sayofacxovrebo saqmianobaSi, gana viTaros sivrculi orientacia, intuicia. WeSmaritebisadmi pativiscema, dasabuTebis saWiroebis gaazreba, das-abuTebisadmi moTxovnilebis gamomuSaveba mniSvnelovani zneobrivi aspeqtebia da maTze muSaoba VII klasSi arc iwyeba da arc mTavrdeba.

Tumca `maTematikuri azrovneba ar daiyvaneba mxolod deduqciur msjelo-bebze, formalur damtkicebebze ...

cnebis gamoyofa, romelic konkretul situacias esa da geba, konkretuli SemTxvevebis dakvirvebis Sedegad gan z o ga debebis povna, induqciis saSualebiT msjelobebis Catareba, ana logiiT da intuiciiT daskvnis povna _ yvelaferi es _ ma Te matikuri azrovnebis nawilia [41].

am mosazrebebs Cven mTlianad veTanxmebiT; iseve, rogorc adamaris azrs: `maTematikuri simkacris roli SemdegSia _ dakanondes intuiciis monapovari, mas sxva mizani arasdros hqonia!~

zemoTqmuli martiv deduqciur msjelobebze uaris Tqmas ar niSnavs. viziarebT burbakis gamonaTqvams [13]: `berZ nebidan moyolebuli _ vityviT `maTematika~ _ vgulisxmobT `damtkicebas~.

siZneleebi moswavleebs martividan rTulisken mimaval gzaze unda SexvdeT. magram Tu masala rTulia, zogjer _ da uZlevelic, maSin codnas moCvenebiTi daufleba cvlis.

saxelmZRvaneloSi zomieradaa gamoyenebuli Teoriul-sim rav luri simbolika _ igi damxmare masalis rols asrulebs.

Teoriuli masalis gaazrebasa da aTvisebas xels uwyobs savarjiSoebis sistema. isini Teoriul masalasTan mWidrod aris dakavSirebuli, aiZulebs moswavles moZebnos paragrafSi Sesabamisi Teoriuli sakiTxi. raime cnebis aTvisebis mniSvne-lovani niSani misi konkretizaciis unaria. aRniSnuli unaris gamomuSavebas em-saxureba saxelmZRvaneloSi warmodgenili is savarjiSoebi, romelTa saSualebiT axali cnebebi martivad, sakmaod damaxasiaTebel situaciebSia gamoyenebuli, CarTulia axal kavSirebSi.

savarjiSoTa mravalferovani sistema (`testebi~, amo ca ne bi, amocanebi jgu-furi da individualuri muSaobisTvis, amocanebi gameorebisTvis), Teoriul nawilSi mocemuli analizuri msje lobis magaliTebi xels uwyobs moswavleebSi

11

analizuri az r ovnebis ganviTarebas. sistematurad aris warmodgenili amo canebi, romlebic Teoriis aTvisebas, moswavlis kritikuli azrovnebis ganviTarebasa da maTematikis Segnebulad Seswavlas uwyobs xels. praqtikasTan xSiri mimarTeba (axali sakiTxis motivaciisas, swavlebisa da codnis ganmtkicebis procesSi) xels uwyobs praqtikuli gamoyenebis unar-Cvevebis gamo mu Savebasa da maTematikis Seswavlisadmi interesis gaRrmavebas.

TiTqmis yovel paragrafs Tan axlavs sakontrolo kiTxvebi, amo ca nebi pa-suxebis variantebis miTiTebiT (e. w. testebi); isini xels uwyobs moswavleTa mier TviTkontrolis ganxorci elebas.

`testebi~ isea warmodgenili, rom igi moswavleTa si tu aciaSi swrafad garkvevisa da pasuxebis sworad SerCevis unars amowmebs da ara amoxsnebis Cat-arebis siswores. `didi xania mimdinareobs dava am tipis savarjiSoTa dadebiTi da uaryofiTi mxareebis Sesaxeb. Cven viziarebT im Tvalsazriss, rom Tu pasuxis SerCevas amoxsnis na wilad CavTvliT, maSin Sesabamisi amocana gamodgeba sas wav-lo miznebisTvisac da zog jer _ SemowmebisTvisac.

maTematika, SesaZlebelia, erTaderTi saskolo dis cip linaa, romelic dam-axsovrebisa da gameorebis garda zogadi ganaTlebis iseT mniSvnelovan el-ementebs Seicavs, rogoricaa amocnoba, analizi, mixvedra, arCeva, ganzogadeba.

axla SevexoT moswavlis saxelmZRvanelos agebulebas. wignis dasawyisSi gamovxatavT madlierebas yvelas mimarT, vinc Tavisi yuradRebiT wvlili Seitana wignis daxvewaSi. gan sakuTrebiT mniSvnelovania saswavlo gegmebisa da saxel-mZRvaneloebis SemmuSavebeli jgufis eqspertebis Rvawli; isini maswavlebleTan erTad aqamde gamocemuli yvela Cveni saxelmZRvanelos Seqmnis Tanamonawileni arian; miwodebuli masalis Sesabamisad iZleodnen mniSvnelovan miTiTebebs; Ziri Ta di iyo masalis gadmocemis integraciis xarisxi. Tqvenc Seam CnevT, rom es xarisxi saxelmZRvaneloSi TandaTanobiT izrdeba, sasurvel dones aRwevs (mag-aliTad, aRweriTi statis tikis elementebis gadmocema geometriul da algebrul mimarTulebebTan integraciiT; koordinatTa meTodis, simetri ebis gamoyenebebi) da sistematur xasiaTs atarebs.

avtorTa madlobas misalmeba da keTili survilebi mos devs. aqvea rCevebi wigniT sargeblobis Sesaxeb.

saxelmZRvanelo 6 Tavisgan Sedgeba, TiToeuli Tavi _ para gra febisgan. xSirad paragrafi ramdenimenawiliania. daskvniT na wilSi damxmare masalaa gadmocemuli _ istoriuli cno be bi, damatebiTi sakiTxebi klasgareSe da moswavleTa indivi-dua luri muSaobisTvis.

saxelmZRvanelo moswavlis wignisadmi wayenebuli yvela moTxovnis Sesabami-sadaa agebuli. sarCevi wignis dasaw yis Sia mocemuli, maTematikuri terminebis leqsikoni, maTe ma tikuri niSnebi da maTi gamoyenebis magaliTebi, sagnobrivi saZiebeli _ wignis boloSi.

moswavlis saxelmZRvanelo swavlebis procesis dagegmvis da warmarTvis erT-erTi saSualebaa. moswavleebTan saubari SeiZleba wignis teqstisgan gansxvave-buladac aagos maswav le belma. saxelmZRvanelo exmareba maswavlebels _ masSi dafiqsirebulia SemecnebiTi saqmianoba, romelic maswav le belma unda awarmoos. maswavleblis saqmianoba ki sxva saSua le bebis gamoyenebasac gulisxmobs _ mas-wavleblis wigni, Tval saCino masala. Tumca, SevecadeT, rom ar Seqmniliyo sa var-

12

jiSoTa sxva krebulebis gamoyenebis saWiroeba; moswavlis wignSi SemoTavazebuli savarjiSoebi moswavleTa sxvadasxva SesaZleblobebis gaTvaliswinebiTaa Sedge-nili; saWiroa SerCeva da konkretuli situaciis mixedviT maTi swori gamo yeneba. gakveTilebis warmarTvisadmi momzadebis sxvadasxva eta pebi (saswavlo wlisadmi momzadeba, mocemuli gakveTi lisadmi momzadeba) maswavlebelma nayofierad unda gamoiyenos. masalis sworad SerCevis sakiTxSi Cvenc gexmarebiT _ amox s nilia moswavlis wignSi mocemuli TiTqmis yvela amocana, mi Ti Tebulia meTodikuri rekomendaciebi masalis wardgenisa da axsnis fazebis Sesaxeb. unda gvaxsovdes, rom maTematika yve las sWirdeba da amitom is unda Seiswavlos yvela moswav lem (Seswavlis xarisxi SeiZleba iyos sxvadasxva _ igi Se fa se bebSi aisaxeba).

Zvirfaso maswavlebelo!warmatebebs gisurvebT Tqvens sapatio da mniSvnelovan saq mia nobaSi. gvigu-

leT Tqvens erTgul da saimedo kolegebad.

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe


13

VII klasis maTematikis erovnuli saswavlo gegma

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით:

რიცხვები და მოქმედებები

კანონზომიერებები და ალგებრა

გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

მათ. VII.1. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალური რიცხვების წაკითხვა, გამოსახვა, შედარება და დალაგება პოზიციური სისტემის გამოყენებით; რიცხვების თვისებების გამოკვლევა პოზიციური სისტემის გამოყენებით.

მათ. VII.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების სხვადასხვა ხერხით შესრულება.

მათ. VII.3. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებათა შედეგის შეფასება.

მათ. VII.4. მოსწავლეს შეუძლია ზომის სხვადასხვა ერთეულების ერთმანეთთან დაკავშირება და მათი გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.

მათ. VII.5. მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის პირდაპირპროპორციული დამოკიდებულების ამოცნობა და გამოსახვა.

მათ. VII.6. მოსწავლეს შეუძლია სიმრავლური ცნებებისა და ოპერაციების გამოყენება ამოცანის ამოხსნისას.

მათ. VII.7. მოსწავლეს შეუძლია ალგებრული გამოსახულების გამარტივება და წრფივი განტოლების ამოხსნა.

მათ. VII.8. მოსწავლეს შეუძლია ობიექტთა პერიოდული მიმდევრობის და მუდმივი ნაზრდის მქონე რიცხვითი მიმდევრობის გავრცობა და გაანალიზება.

მათ. VII.9. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული ფიგურების ამოცნობა, მათი სახეობების შედარება და კლასიფიცირება.

მათ. VII.10. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული ობიექტების წარმოდგენა ამოცანის კონტექსტის შესაბამისად.

მათ. VII.11. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების განხორციელება და მათი გამოყენება ფიგურათა თვისებების დასადგენად.

მათ. VII.12. მოსწავლეს შეუძლია კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება ორიენტირებისათვის.

მათ. VII.13. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნა სამკუთხედებთან დაკავშირებული ცნებებისა და ფაქტების გამოყენებით.

მათ. VII.14. მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემების მოპოვება.

მათ. VII.15. მოსწავლეს შეუძლია თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემების მოწესრიგება და წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.

მათ. VII.16. მოსწავლეს შეუძლია თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემთა ინტერპრეტაცია და ანალიზი ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით.

14

wlis bolos misaRwevi Sedegebi da maTi indikatorebi

მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებებიმათ. VII.1. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალური რიცხვების წაკითხვა, გამოსახვა, შედარება და

დალაგება პოზიციური სისტემის გამოყენებით; რიცხვების თვისებების გამოკვლევა პოზიციური სისტემის გამოყენებით.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • ათწილადის ჩანაწერში უთითებს თანრიგებს და ასახელებს თანრიგებში მდგომ ციფრთა

მნიშვნელობებს; იყენებს ამ ცოდნას ათწილადების შედარების ან (ზრდადობით/კლებადობით) დალაგებისას. (მაგალითად, გაშლის სასრულ ათწილადს სათანრიგო შესაკრებების ჯამის სახით, «დაალაგე კლებით 2.9259, 3.1, 2.93, და 2.899»);

• გამოსახავს და ადარებს უარყოფით რიცხვებს პოზიციური სისტემის გამოყენებით; ახდენს მოპირდაპირე რიცხვის და რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის ცნებების მოდელზე დემონსტრირებას (მათ შორის რიცხვით ღერძზე);

• ეკვივალენტური ფორმით წერს შერეულ რიცხვებს, ათწილადებსა და წილადებს; ადარებს და ალაგებს სხვადასხვა სახით მოცემულ რიცხვებს (მაგალითად, ათწილადი * წილადი);

• პოზიციური სისტემის გამოყენებით, კონკრეტულ მაგალითებზე ახდენს გაყოფადობის ნიშნებიდან ზოგიერთის დემონსტრირებას (მაგალითად, 3ზე და 9ზე გაყოფადობის ნიშნებს); პოულობს მოცემული ნატურალური რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადსა და უდიდეს საერთო გამყოფს.

მათ. VII.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების სხვადასხვა ხერხით შესრულება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • ახდენს მთელ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების დემონსტრირებას მოდელზე;• იყენებს რიცხვის ჩაწერის ეკვივალენტურ ფორმებს, მოქმედებათა შესრულების

თანმიმდევრობას, მათ თვისებებსა და დაჯგუფებას გამოთვლების გასამარტივებლად;• ყოფს რიცხვს პროპორციულ ნაწილებად და პოულობს რიცხვს მისი მოცემული ნაწილის

მიხედვით;• ახდენს ნატურალურმაჩვენებლიანი ხარისხის თვისებების დემონსტრირებას;• ზეპირი ანგარიშისას იყენებს პროცენტის კავშირს რიცხვის ნაწილთან; პოულობს მოცემული

რიცხვის პროცენტს და ხსნის შებრუნებულ ამოცანებს;• ირჩევს და იყენებს რაციონალურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების

ხერხს (ზეპირი, ტექნოლოგიების გამოყენებით, წერითი ალგორითმები);• ხსნის პრაქტიკულ საქმიანობასთან დაკავშირებულ ან სხვა სასწავლო დისციპლინებიდან

მომდინარე ამოცანებს გამოთვლებზე (მაგალითად, უმარტივესი ხარჯთაღრიცხვა; ისტორიული ეპოქის ხანგრძლივობის განსაზღვრა; ამოცანები პროცენტებზე და პროპორციაზე: ხსნარები, შენადნობები და სხვა).

15

მათ. VII.3. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებათა შედეგის შეფასება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანის ამოხსნისას იყენებს ზეპირი ანგარიშის ხერხებს

და მოქმედებათა შედეგის შეფასებას;• აფასებს რაციონალურ რიცხვებზე არითმეტიკულ მოქმედებათა შედეგს, ასრულებს

მოქმედებებს და ამოწმებს საკუთარ ვარაუდს;• ამრგვალებს რაციონალურ რიცხვებს მითითებული სიზუსტით; მიახლოებით პოულობს

(სიზუსტის მითითების გარეშე) არითმეტიკული გამოსახულების მნიშვნელობას;• იყენებს შეფასებას ათწილადებზე (წერითი ალგორითმის ან კალკულატორის გამოყენებით)

ჩატარებული გამოთვლების შედეგის ადეკვატურობის შესამოწმებლად.

მათ. VII.4. მოსწავლეს შეუძლია ზომის სხვადასხვა ერთეულების ერთმანეთთან დაკავშირება და მათი გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • ირჩევს და იყენებს შესაფერის ერთეულებს სიდიდის ცვლილების, მოძრაობის სიჩქარის,

მასშტაბისა და რუკაზე მანძილის პოვნასთან დაკავშირებულ ამოცანების ამოხსნისას;• მოცემული წრფივი დამოკიდებულების გამოყენებით გამოსახავს ერთ სისტემაში მოცემულ

ერთეულს სხვა სისტემის ერთეულით;• გამოსახავს მოცემულ ერთეულს იგივე სისტემის სხვა ერთეულის საშუალებით (მაგალითად,

კმ/სთ ებში მოცემულ სიჩქარეს გამოსახავს მ/წმ ით).

მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრამათ. VII.5. მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის პირდაპირპროპორციული დამოკიდებუ

ლების ამოცნობა და გამოსახვა.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• მოცემული დამოკიდებულებისათვის თვისობრივად და რაოდენობრივად აღწერს, თუ რა გავლენას ახდენს ერთი სიდიდის ცვლილება მეორის მნიშვნელობაზე; მოყავს მუდმივი და არამუდმივი რაოდენობრივი ცვლილების მაგალითები ყოველდღიური ცხოვრებიდან;

• სიტყვიერად ჩამოყალიბებულ დებულებას სიდიდეებს შორის დამოკიდებულებისა და მიმართების შესახებ გამოსახავს გრაფიკულად ან ცხრილით და პირიქით – გრაფიკულად ან ცხრილით გამოსახულ დამოკიდებულებას აღწერს სიტყვიერად;

• სხვადასხვა ხერხით (გრაფიკულად, ცხრილის სახით, სიტყვიერად, ალგებრულად) გამოსახულ დამოკიდებულებებს შორის მიუთითებს ერთსა და იმავე დამოკიდებულებებს.

მათ. VII.6. მოსწავლეს შეუძლია სიმრავლური ცნებებისა და ოპერაციების გამოყენება ამოცანის ამოხსნისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • სხვადასხვა ხერხით მოცემული სიმრავლისათვის განსაზღვრავს მოცემული ელემენტის

კუთვნილებას ამ სიმრავლისადმი;• პრობლემის გადაჭრისას, იყენებს ზოგიერთ დამხმარე ხერხს სიმრავლეთა შორის

მიმართებების დასადგენად და სიმრავლური ოპერაციების შესასრულებლად;• სწორად იყენებს სიმრავლეთა თეორიის ცნებებს და შესაბამის აღნიშვნებს სასრულ

სიმრავლეებზე ოპერაციების (ორი სიმრავლის თანაკვეთა და გაერთიანება), სასრულ სიმრავლეთა შორის მიმართების, ელემენტსა და სიმრავლეს შორის მიმართების გამოსახვისას.

16

მათ. VII.7. მოსწავლეს შეუძლია ალგებრული გამოსახულების გამარტივება და წრფივი განტოლების ამოხსნა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • ტექსტური ამოცანის ამოსახსნელად ადგენს და ხსნის ერთუცნობიან წრფივ განტოლებას;• იყენებს მოქმედებათა თვისებებს, მათ თანმიმდევრობას და დაჯგუფებას ალგებრული

(არაუმეტეს ორი ცვლადის შემცველი წრფივი ან მეორე ხარისხის) გამოსახულების გასამარტივებლად და მისი მნიშვნელობის გამოსათვლელად ცვლადების მოცემული მნიშვნელობებისათვის;

• ალგებრული გარდაქმნებისა და ლოგიკური მსჯელობის გამოყენებით ასაბუთებს ან უარყოფს ორი ალგებრული (არაუმეტეს ორი ცვლადის შემცველი წრფივი ან მეორე ხარისხის) გამოსახულების იგივურ ტოლობას.

მათ. VII.8. მოსწავლეს შეუძლია ობიექტთა პერიოდული მიმდევრობის და მუდმივი ნაზრდის მქონე რიცხვითი მიმდევრობის გავრცობა და გაანალიზება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • პერიოდულ მიმდევრობაში გამოყოფს მიმდევრობის პერიოდს;• წარმოადგენს მიმდევრობის მოცემული ფრაგმენტის გავრცობის ორ ან მეტ ვარიანტს,

განმარტავს გავრცობის ვარიანტებს და ადარებს მათ;• დასმული ამოცანის კონტექსტიდან გამომდინარე ირჩევს მიმდევრობის გავრცობის

ვარიანტს და ასაბუთებს თავის არჩევანს;• განავრცობს მუდმივი ნაზრდის მქონე რიცხვით მიმდევრობას; ასახელებს რეალურ

ვითარებაში ისეთი პროცესის მაგალითებს, რომლებიც ასეთი მიმდევრობით აღიწერება.

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმამათ. VII.9. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული ფიგურების ამოცნობა, მათი სახეობების

შედარება და კლასიფიცირება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • არქიტექტურისა და ხელოვნების ნიმუშებში ან მათ ილუსტრაციებში, ყოფითი

დანიშნულების საგნებში ასახელებს მისთვის ნაცნობ გეომეტრიულ ფიგურებს ან მათ ნაწილებს;

• აყალიბებს მიმართებებს (მაგალითად, ზოგადობაკერძოობა) ფიგურათა სახეობებს შორის;• ასახელებს ფიგურას მისი ნიშანთვისებების მიხედვით, მსჯელობს ფიგურის ამოსაცნობად

მათი საკმარისობის/არასაკმარისობის შესახებ.

მათ. VII.10. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული ობიექტების წარმოდგენა ამოცანის კონტექსტის შესაბამისად.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • აგებს დასმული ამოცანის შესაბამის ნახაზს და ადეკვატურად იყენებს ასოით აღნიშვნებს;• აღწერს გეომეტრიულ ობიექტთა მოცემულ გრაფიკულ გამოსახულებებს ან ობიექტთა

ურთიერთმდებარეობას შესაბამისი ტერმინოლოგიის გამოყენებით. (მაგალითად, მართკუთხა პარალელეპიპედის რომელ წახნაგებს ეკუთვნის მითითებული წვერო);

• გამოსახავს ბრტყელ ფიგურებს ისე, რომ მათი თანაკვეთა/გაერთიანება იყოს მითითებული ფორმის ან თვისებების მქონე ფიგურა.

17

მათ. VII.11. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების განხორციელება და მათი გამოყენება ფიგურათა თვისებების დასადგენად.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • გარემომცველ ობიექტებს შორის მოიძიებს სიმეტრიულ ობიექტებს;• ხაზავს ბრტყელი ფიგურის (ტეხილი, მრავალკუთხედი) სიმეტრიულ ფიგურას

მითითებული სიმეტრიის ღერძის მიმართ; ახდენს ბრტყელი ფიგურის (ტეხილი, მრავალკუთხედი) პარალელურ გადატანას;

• უთითებს ბრტყელი ფიგურის სიმეტრიის ღერძს/ღერძებს; ახდენს სიმეტრიულობის დემონსტრირებას; იყენებს ფიგურის სიმეტრიულობას ფიგურის თვისების დასადგენად.

მათ. VII.12. მოსწავლეს შეუძლია კოორდინატთა მეთოდის ორიენტაციისათვის გამოყენება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ორიენტირებს რუკაზე ან საკოორდინატო სიბრტყეზე კოორდინატების გამოყენებით

(მაგალითად ასახელებს მოცემული წერტილის კოორდინატების მიახლოებით ან ზუსტ მნიშვნელობას; პოულობს წერტილს მოცემული მთელრიცხოვანი კოორდინატების მიხედვით);

• ასახელებს საკოორდინატო ღერძების მიმართ მოცემული წერტილის ღერძულად სიმეტრიული წერტილის კოორდინატებს;

• პოულობს პარალელური გადატანით მიღებული ფიგურის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს მისი წინასახის კოორდინატებისა და მითითებული პარალელური გადატანის მეშვეობით.

მათ. VII.13. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნა სამკუთხედებთან დაკავშირებული ცნებებისა და ფაქტების გამოყენებით.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • იყენებს სამკუთხედების ტოლობის ნიშნებს ფიგურათა თვისებების დასადგენად,

ფიგურათა უცნობი ელემენტების მოსაძებნად ან რეალურ ვითარებაში მანძილის არაპირდაპირი გზით დასადგენად;

• ხსნის აგების მარტივ ამოცანებს;• პოულობს მიზეზშედეგობრივ კავშირებს სამკუთხედთან და მის ელემენტებთან

დაკავშირებულ დებულებებს შორის.

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკამათ. VII.14. მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო თვისობრივი და

რაოდენობრივი მონაცემების მოპოვება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • განასხვავებს თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემებს, იყენებს მონაცემთა შეგროვების

შესაფერის საშუალებას (გაზომვა, დაკვირვება);• მოცემულ თემასთან დაკავშირებით სვამს კითხვებს, განსაზღვრავს რესპონდენტებს და

მოიპოვებს საჭირო მონაცემებს;• მოცემული ამოცანისთვის დამოუკიდებლად გეგმავს და ატარებს სტატისტიკურ

ექსპერიმენტს და აგროვებს მონაცემებს.

18

მათ. VII.15. მოსწავლეს შეუძლია თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემების მოწესრიგება და წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • ახდენს თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემთა დალაგებას/კლასიფიკაციას, წარმოადგენს

მონაცემებს სიის/პიქტოგრამის სახით, მსჯელობს დალაგების/კლასიფიკაციის პრინციპზე;• ქმნის მოწესრიგებულ მონაცემთა ცხრილებს და ასაბუთებს შერჩეული დიზაინის

მიზანშეწონილობას;• აგებს სხვადასხვა დიაგრამებს ერთიდაიგივე თვისობრივი ან რაოდენობრივი

მონაცემებისთვის და მსჯელობს, თუ მონაცემთა რამდენად მნიშვნელოვან ასპექტებს წარმოაჩენს თითოეული და რა უპირატესობა გააჩნია თითოეულს.

მათ. VII.16. მოსწავლეს შეუძლია თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემთა ინტერპრეტაცია და ანალიზი ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: • სვამს კითხვებს მონაცემების შესახებ ან ახასიათებს მონაცემებს, რომლებიც

წარმოდგენილია სიის, ცხრილის, პიქტოგრამის ან დიაგრამის სახით, მსჯელობს არსებულ კანონზომიერებებსა და გამორჩეულ მონაცემებზე;

• ირჩევს შესაფერის შემაჯამებელ რიცხვით მახასიათებლებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს, ითვლის და იყენებს მათ მონაცემთა ჯგუფის დასახასიათებლად;

• ადარებს მონაცემთა რამდენიმე ჯგუფს და წარმოაჩენს თვისობრივ და რაოდენობრივ მსგავსებასა და განსხვავებას მათ შორის (შემაჯამებელი რიცხვითი მახასიათებლების გარეშე).

პროგრამის შინაარსი1. მთელი რიცხვები და არითმეტიკული მოქმედებები მთელ რიცხვებზე.2. წილადები, ათწილადები და ზოგიერთი კავშირი მათ შორის.3. პროცენტი: მთელი პროცენტი, რომელიც მეტია ან ტოლი 1ზე და ნაკლებია ან ტოლი 100

ზე.4. კავშირი სიდიდის პროცენტსა და ამ სიდიდის ნაწილს შორის.5. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით ან ნაწილით.6. რაციონალური რიცხვების შედარება.7. რიცხვითი შუალედები. რიცხვის მოდული.8. რიცხვითი შუალედების გაერთიანება და თანაკვეთა.9. რიცხვის მოდულის გეომეტრიული აზრი.10. რაციონალურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შედეგის შეფასება. 11. რაციონალური რიცხვის დაყოფა პროპორციულ ნაწილებად.12. ნატურალური რიცხვის დაშლა მარტივ მამრავლებად.13. რამდენიმე ნატურალური რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი და უდიდესი საერთო

გამყოფი.14. მარტივი და შედგენილი ნატურალური რიცხვები. გამყოფი და ჯერადი.15. რაციონალური რიცხვის ნატურალურმაჩვენებლიანი ხარისხი.16. ნაშთით გაყოფა, ნაშთი და გაყოფადობის ნიშნებიდან ზოგიერთი.

19

17. ზომის ერთეულები, კავშირები ზომის ერთეულებს შორის და ზომის ერთეულების გამოყენება: მასშტაბი; ერთი სისტემის ერთეულის სხვა სისტემის შესაბამისი ერთეულით გამოსახვა.

18. ფასდაკლება/ფასის გაზრდა (თანმიმდევრობითი და ერთჯერადი ფასდაკლებების/ფასების ზრდის ერთმანეთთან შედარება) და მარტივი ხარჯთაღრიცხვა.

19. სიდიდეებს შორის პირდაპირპროპორციული დამოკიდებულება და ამ დამოკიდებულების გამოსახვა გრაფიკის და ცხრილის საშუალებით.

20. სიმრავლეთა თეორიის ცნებები, ოპერაციები და შესაბამისი აღნიშვნები სასრული სიმრავლეების შემთხვევაში: ელემენტის სიმრავლისადმი კუთვნილება, ქვესიმრავლე, ორი სიმრავლის თანაკვეთა და გაერთიანება.

21. ტექსტური ამოცანების ამოხსნა წრფივი განტოლებების გამოყენებით.22. ტოლფასი განტოლებები და უტოლობები.23. არაუმეტეს ორი ცვლადის შემცველი წრფივი ან მეორე ხარისხის გამოსახულებების

გამარტივება და მნიშვნელობის გამოთვლა.24. მრავალწევრი. მოქმედებები მრავალწევრებზე: შეკრება, გამოკლება და გამრავლება.25. საერთო მამრავლის გატანა ფრჩხილებს გარეთ. დაჯგუფების წესი, მამრავლებად დაშლა

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით.26. პერიოდული მიმდევრობები და მუდმივი ნაზრდის მქონე რიცხვითი მიმდევრობები

(არითმეტიკული პროგრესია).27. წერტილები, წრფეები და სიბრტყეები: მიმართებები მათ შორის.28. გეომეტრიული ფიგურები: კლასიფიკაცია სხვადასხვა ნიშნით (მაგალითად ამოზნექილი

და არაამოზნექილი, ბრტყელი და სივრცული).29. კუთხე: კუთხის ელემენტები, კუთხის გრადუსული ზომა.30. კუთხეების კლასიფიკაცია: მართი, მახვილი, ბლაგვი და გაშლილი კუთხეები; კუთხის

თვისებები.31. კუთხე ორ წრფეს შორის.32. სამკუთხედი: სამკუთხედის ელემენტები, სამკუთხედების კლასიფიკაცია (მართკუთხა

სამკუთხედი, მახვილკუთხა სამკუთხედი, ბლაგვკუთხა სამკუთხედი, ტოლფერდა სამკუთხედი, ტოლგვერდა სამკუთხედი), სამკუთხედის თვისებები, სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები.

33. პარალელოგრამი. პარალელოგრამის თვისებები.34. მართკუთხედი. მართკუთხედის თვისებები.35. რომბი. რომბის თვისებები.36. წესიერი მრავალკუთხედი.37. გეომეტრიული გარდაქმნები სიბრტყეზე: პარალელური გადატანა, ღერძული სიმეტრია.38. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე. ორიენტირება სიბრტყეზე

კოორდინატების საშუალებით, გეომეტრიული გარდაქმნების გამოსახვა კოორდინატებში.39. აგების უმარტივესი ამოცანები: მოცემული სამკუთხედის ტოლი სამკუთხედის აგება,

კუთხის ბისექტრისის აგება, მონაკვეთის შუამართობის აგება.40. წრეწირის ქორდა. წრეწირის მხები.41. მონაცემთა შეგროვების საშუალებანი: გაზომვა და დაკვირვება; გამოკითხვა;სტატისტიკური

ექსპერიმენტი.42. თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემების ორგანიზაცია: მონაცემების კლასიფიკაცია

(გარდა ინტერვალებად დაჯგუფებისა); მონაცემთა დალაგება ზრდადობაკლებადობით ან ლექსიკოგრაფიული მეთოდით.

20

43. მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისობრივი ნიშნები: მონაცემთა რაოდენობა, პოზიცია და თანმიმდევრობა ერთობლიობაში, მონაცემთა სიხშირე; განმეორების ტიპის კანონზომიერებანი; გამორჩეული (მაგალითად: ექსტრემალური, იშვიათი) მონაცემები.

44. მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი რაოდენობრივი და თვისობრივი მონაცემებისთვის: სია, ცხრილი, პიქტოგრამა, წერტილოვანი, მესერული, ხაზოვანი, სვეტოვანი დიაგრამები.

45. მონაცემთა შემაჯამებელი რიცხვითი მახასიათებლები თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემებისთვის: ცენტრალური ტენდენციის საზომები საშუალო, მოდა; მონაცემთა გაფანტულობის საზომი გაბნევის დიაპაზონი.

21

Sinaarsisa da miznebis ruka

Temebis Camona Tvalimiznebi; Sinaarsis gardaqmna miznad; erovnul saswavlo gegmaSi miTiTe-

buli Sesabamisi punqtebi

sa vara u do sas wav lo

dro

1

naturalur ricxvTa mwkrivi; naturaluri ricx vis Caweris sxva-dasxva forma.

naturaluri ricxvebisa da maTi Tvise-bebis Sesaxeb codnis gaRr ma ve ba; pozici-uri sistemis warmodgena; Tvlis siste-mebi (arasavaldebulo) didi ricxvebi da maTi Caweris xer xe bi. es masala wina wlebSi Seswav li li sakiTxebis gameo-rebasa da gan m tkicebas emsaxureba. VII.1

5 sT

2xa ris xis Tviseba

kanonzomierebebis aRmoCenis unaris ganviTareba axarisxebisas e. w. `bo lo cifris~ cxrilis saSualebiT. VII.1

1 sT

3

gayofa, gayofadobis Tvisebebi gayofadobis niSnebi;udidesi saerTo gam yo-fi, umciresi saerTo je ra di.

poziciuri sistemis gamoyenebis unaris ganviTareba, naSTiani gayofis Tvisebebis gamoyenebiT kanonzo mie re bebis gansaz-Rvra. poulobs mocemuli ricxvebis udides saerTo gamyofsa da umcires saerTo jerads, iyenebs maT praqtikuli amocanebis amoxs ni sas. VII.1, VII.2

7 sT

4 proeqtixarjTaRricxvis Sedgenis unaris gamo-muSaveba, arCevanis dasabuTeba, cno-barebis gamoyeneba VII.3, VII.4

1 sT

5

simravle, qve sim rav-le, simravleTa gaer-Tianeba, TanakveTa. ve-nis diagramebi

Teoriul-simravluri cnebebi da maTi gamoyenebis unari (amocanebis amoxs na venis diagramebis gamo ye ne biT) VII.6

4 sT

6

geometriuli fig-urebi; kuTxe; kuTxeTa urTierTganlageba; monakveTisa da kuTxis gazomva; kuTxeTa kla-sifikacia. or wrfes Soris kuTxe.

geometriuli figurebis warmod ge nis, urTierTganlagebis SemTxve ve bis aT-viseba, gazomvis operaciis arsis Sesaxeb warmodgenis Camoya li be ba (monakveTis sigrZe, kuTxis zo ma); kuTxeebis zomebis mixedviT kla si fikaciis warmodgena. nac-nobi geo met riuli figurebis amocnobis una ris gamomuSaveba. VII.9; VII.10

8 sT

7

mTeli ricxvebi mTeli ricxvis mo du li, mTeli ricxve bis Se-darebamTeli ricxvebis Se krebamTeli ricxvebis ga-mok lebamTeli ricxvebis gam-rav leba da gayofa

naturaluri ricxvis cnebis ga far Toebis algebruli gzis gacno bi ereba, geome-triuli gamosaxvisa da misi gamoyenebis unaris gamomuSaveba; Sedareba, moduli. mTel ricxvebze moqmedebebis Tval-saCino warmodgena (sxvadasxva modelis gamoyenebis unari). VII.1, VII.2

9 sT

22

8dadebiTi racio na luri ricxvebi

aTwiladis CanawerSi Tanrigebis miTi-Tebisa da cifrebis mniSvne lo be bis codnis gamoyeneba aTwiladebis Se-darebisas. VII.1

2 sT

9 aTwiladebis gamoyenebaxarjTaRricxvis dagegmva, Sefa se ba, SerCeva. VII. 3

1 sT

10

racionaluri ricxve bimoqmedebebi racio-nalur ricxvebze.racionaluri ricx vis natura lurmaCve neb -liani xarisxi

racionalur ricxvTa simravlis gaaz-reba, Tvisebebi, moqmedebebi, gamoyeneba sayofacxovrebo amocanebis amoxsnisas. VII.2, VII.3

6 sT

11

monacemTa analizi da statistika1. monacemTa Segro veba2. monacemTa war mod ge-na xelsayreli for mi T3. piqtograma

miznobrivi informaciis Segro ve bi sa da damuSavebis xerxebis Sed ge nis unaris gamomuSaveba.VII.14, VII.15

3 sT

12texili. mra val kuTxe di.oTxkuTxedebi

asaxelebs da amoicnobs geomet ri ul figurebs: texils, mraval ku Txeds. gamo-saxavs brtyel figurebs ise, rom maTi TanakveTa (gaerTianeba miTiTebuli formis an Tvisebebis mqone figura iyos). VII.10; VII.11

5 sT

13

cvladiani gamosa xu le-ba. cvladiani gamosax-ulebis mniSvnelobis povna. ga mo saxulebis gar daqmna.

cvla diani gamosaxulebis Sedgenis Cve-vebi, cvladiani gamosaxulebebis gar-daqmnis sxvadasxva wesis dauf le ba (moqmedebaTa Tvisebebi). geometriuli TvalsaCinoebis gamo ye ne ba. VII. 7

8 sT

14geometriuli Tvalsa-Cinoebis gamo ye ne ba

algebruli amocanebis geometriuli xe-rxebiT amoxsnis Cvevebis daufleba. VII. 6

1 sT

15 naturalurmaCvenebli-ani xarisxis Tvisebebi

naturalurmaCvenebliani xarisxis Tvise-bebis warmodgena da gamoyeneba. VII.2

2 sT

16naturalurmaCvenebli-ani xarisxis Tvise-bebis gamoyeneba

naturalurmaCve neb li ani xarisxis Tvise-be bis gamoyeneba. kombinatorikis amo-canis amoxsna xisebri diagramis saSu-alebiT VII.2

1 sT

17

erTwevri. mravalwevri. moqmedebebi mravalw-evrebze; Semoklebuli gamravlebis formule-bi; mravalwevris mam-ravlebad daSla

cvladiani gamosaxulebis gardaqmnis sxvadasxva xerxis daufleba. VII.7

6 sT

23

18

gantoleba. ganto le bis fesvi wrfivi erTucno-biani gantoleba

gantolebis, rogorc bunebasa da sa-zo gadoebaSi mimdinare mraval fe ro van movlenaTa aRweris ZiriTadi mo delis Sesaxeb, modelirebis meTo de bis Sesaxeb warmodgenebis gaazreba; gan tolebis, rogorc maTematikis erT-erTi ZiriTadi enis dauflebis unar ze muSaoba. VII.7

4 sT

19

koordinatebi wrfeze. ricxviTi Sualedebi; wertilis koordinate-bi sibrtyeze; sakoor-dinato meoTxedebi

maTematikis mniSvnelovani aparatis _ koordinatTa meTodis gacnoba; mis gamoyenebis unarze muSaoba; ko or di na-tebis gamoyenebiT amocanebis amox snis xerxebis Seswavla. VII.12

3 sT

20

amocanebis amoxsna gan-tolebis saSua le biTamocanebis amoxsnis sxva dasxva xerxi

teqsturi amocanebis amosaxsnelad gan-tolebis Sedgenisa da amoxsnis unaris gamomuSaveba amocanebis amoxsnis sxvadasxva xerxebis warmodgena VII.7, VII.6

7 sT

21RerZuli simetriaparaleluri gada ta naamocanebis amoxsna

iyenebs paralelur gadatanas, Rer Zul simetrias figuraTa Tvisebebis dasa-dgenad; garemomcvel obieqtebs Soris moiZiebs si metriul obieq tebs; xazavs texilis, mraval kuTxe dis simetriul figuras mi Ti Te bu li RerZis mimarT da axdens maT pa ra lelur gadatanas.VII.11, VII.12

6 sT

22individualuri mu Sa-obis proeqti

ùmok lesi marSruti~ _ te xilis sig-rZe. VII.12

1 sT

23

Sefardeba. pro por cia. proporciis gamo ye ne-ba. procenti amo ca ne-bis amoxsna procen tis gamoyenebaze.

iyenebs proporcias, procents praq ti-kuli amocanebis amoxsnisas (xsna re bi, Senadnobebi, ....); xsnis praq ti kul amo-canebs umartives xarjT aRricxvasTan dakavSirebiT; iyenebs ricxvis proporci-uli gayofis wess amocanebis amoxsnisas.iyenebs proporcias masStabTan da ru-kaze manZilis povnasTan dakavSi re buli amocanebis amoxsnisas. akav Sirebs zomis sxvadasxva erTeulebsVII.2, VII.4, VII.5.

9 sT

24

samkuTxedi. samku Txe-dis elementebi. sam-kuTxedebis klasi fi-ka cia

samkuTxedisa da misi elementebis war-modgena; klasifikacia sxvadasxva niSnis mixedviT. asaxelebs misTvis nacnob geo-metriul figuras yofiTi daniSnulebis sagnebSi VII. 9

4 sT

24

25 mimdevrobebi

mimdevrobis mocemuli fragmen te bis mixedviT gavrcobaTa warmodgena. obi-eqtebis perioduli mimdevrobebi. mud-mivi nazrdis mqone ricxviTi mimdevro-bebis warmodgena; periodul mimdevro-baSi periodis dasaxeleba. VII.8

3 sT

26

tolferda samkuT xedi samkuTxedebis to lo bis niSnebisamkuTxedis kuTxee bis jamimarTkuTxa samkuT xedi monakveTis SuamarTo bis Tviseba

samkuTxedebis tolobis niSnebis war-modgena da maTi gamoyeneba praqtikuli amocanebis amoxsnisas tolferda samkuTxedis Tvisebebis das-abuTebasamkuTxedis kuTxeebis jamis for mu lis gamoyvana, TvalsaCino war mod gena. marT-kuTxa samkuTxedis Tvi se be bis warmod-gena da gamoyeneba praq ti kuli amocanis amoxsnisas. mona kve Tis SuamarTobis Tvisebis gamo ye neba. VII.9, VII.10

10 sT

27samkuTxedis Tvi se be bis gamoyeneba praq ti kuli amocanis amoxsnisas

sam kuTxedebis tolo bis niSnebis gamo-yeneba. VII.10

1 sT

28

statistikis elemen te-bi. monacemTa Sema ja -mebeli ricxviTi ma xa -siaTeblebi.

avlens Tvisebriv da raodenobriv mo-nacemTa interpretaciisa da anali zis unars, Semajamebeli ricxviTi ma xa-siaTeblebis warmodgenis da gamo ye nebis unars VII. 16

2 sT

29 amocanebi agebazesamkuTxedis toli samkuTxedis age ba monakveTis SuamarTobis agebis amocanebi VII.13

4 sT

30 gameoreba 6 sT

25

saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis dagegmvis zogadi principebi

saswavlo procesis organizaciis ZiriTadi forma gakve Ti lia; saganmanaTleblo,

aRmzrdelobiTi da praqtikuli miz ne bis ganxorcieleba gakveTilze xdeba. amitom

maTematikis swav lebis ZiriTadi sakiTxi gakveTilis kargi momzadeba da Cata rebaa.

meTodikur literaturaSi didaqtikuri cneba _ `gakve Ti li~ ZiriTadad ase

aRiwereba: gakveTili logikurad das ru lebuli, mTliani saswavlo-aRmzrdelo-

biTi procesis gar kve uli SemosazRvruli monakveTia. masSi rTul urTierT da mo-

kidebulebaSia procesis yvela ZiriTadi elementi: Sinaarsi, mizani, saSualebebi,

meTodebi, organizacia; yovel gakveTilze gansazRvruli saganmanaTleblo da

aRmzrdelobiTi amocanebi wydeba; am amocanebis gadawyveta konkretuli saswavlo

ma sa lis ganxilvis procesSi mimdinareobs.

maTematikis gakveTilisadmi wayenebuli mTavari moTxov naa ZiriTadi didaqti-

kuri amocanis arseboba _ im Temis Ses wav lis miznis arseboba, romlis gadawyvetis

procesi mo ce mul gakveTilze mimdinareobs. yoveli gakveTilis win kargad unda

gaiazroT misi Sinaarsi da mizani, amaSi Cven mier mo wo debuli ruka dagexmarebaT.

miznis Sesabamisi unda iyos kar gad gaazrebuli da dagegmili saswavlo masalis

wardgenis fazebi:

• motivacia; ar aris sakmarisi, rom maswavlebels gaaz re buli hqondes mizani;

saWiroa, rom igi moswavleebisTvisac gax des ZiriTadi mizani. moswavleebTan sau-

bari unda daviwyoT ara imiT, Tu ras vaswavliT, aramed mniSvnelovania Tavidanve

interesis aRZvra da iseTi situaciis Seqmna, roca moswavle motivirebulia da pou-

lobs pasuxebs kiTxvaze _ `risTvisaa saWiro~. motivacia SesaZlebelia praqtikuli

amocanis dayenebiTa da misi amoxsnis xerxebis ZiebiT daviwyoT, an maTematikis Siga

kanonzomierebis gaazrebiT, problemuri situaciis Seqmnis xelSewyobiT; mxolod

amis Semdeg xdeba Sesabamisi amocanis dasma da misi amoxsnis Zieba.

• amocanis gansazRvris Semdeg mimdinareobs misi amoxsnis gzis Ziebis procesi.

amoxsnis Ziebis procesis warmarTvis sxvadasxva meTodikuri saSualeba arsebobs.

yovel amocanas, rogorc wesi, amoxsnis Ziebis garkveuli forma miesadageba. es

formebia _ muSaoba jgufebad (SesaZlebelia or-oradac), mTeli klasis erToblivi

monawileobiT, individualuri muSaoba da a. S. im SemTxvevaSic ki, roca amocanis

amoxsnis ZiebaSi mTeli klasi erTdrouladaa Cabmuli, maswavlebelma swavleba ise

unda warmarTos (moxerxubuli kiTxvis dasmis saSualebiT), rom Temis Seswavlis

procesis ZiriTadi Semoqmedebi Tavad moswavleebi aRmoCndnen; maswavlebeli am

SemTxvevaSi warmarTvelis, diriJoris funqcias unda asru lebdes.

moswavlis saxelmZRvanelos teqsti mogcemT aseTi gakve Ti lebis Catarebis sa-

Sualebas. igi ZiriTadi saswavlo saSua le baa da amitom gakveTilisTvis mzadebis

procesSi teqs tebis, ilustraciebis, savarjiSoebis gacnobas, daxarisxebas didi

26

dro unda dauTmoT. Tumca, maswavleblis wignic dagex ma rebaT TiToeul etapze

(sawyisi, damagvirgvinebeli) Sesas rulebeli savarjiSoebis SerCevis sakiTxSi.

Sinarsisa da miznebis rukaSi ver mivuTiTeT Temis Seswav lis yvela mizani,

romelic saganmanaTleblo da aRmzrde lo biTi amocanebis gadawyvetis komponen-

tebisgan Sedgeba. ar unda gavaigivoT mizani SinaarsTan. magaliTad, samkuTxedis

kuTxeebis jamis formulis gamoyvana saxelmZRvaneloSi isea warmodgenili, rom

igi am Temis Sinaarsis miznad gardaqmnis process kargad warmogvidgens; dasmuli

amocanis amoxsna kritikuli azrovnebis, msjelobisa da dasabuTebis unaris gamo-

muSaveba, geometriul figuraTa gamosaxvis da am figu raTa Tvisebebis SeswavlaSi

eqsperimentis gamoyenebis unaris gamomuSavebaa. am miznebis gansaxorcieleblad qa-

Raldisgan gamoWril samkuTxedze (modelze) Catarebuli eqsperimentis (gamoiyeneba

ramdenime RerZuli simetria) an dasabuTebis xer xia mowodebuli. meore maTgani

dasmul kiTxvebze pasuxis SerCevis, msjelobisa da dasabuTebebis fonze mimdin-

areobs. aq maswavlebelma SeiZleba sxva eqsperimentic daamatos (tran s portiris

gamoyenebiT). ufro dawvrilebiT am gakveTilis Sesaxeb qvemoT mogaxsenebT.

am konkretuli magaliTidan Cans, rom aqtivobis mizani saganmanaTleblo da

aRmzrdelobiTi miznebis erTobliobaa.

gakveTilze Seswavlili faqtebi TavisTavad aris mniSv ne lovani; Tumca, kidev

ufro mniSvnelovania is, rom maTi Ses wav lis dros ganxorcielebuli procesi Ta-

vis kvals tovebs _ kritikuli azrovnebis ganviTareba, msjeloba da dasabuTebis

unaris gamomuSaveba. amasTanave, moswavleTa gonebaSi gaiazreba mniSvnelovani

sakiTxebi: adamianis mier faqtebis aRmoCena, aRmocenebuli amocanebis amoxsna da

Sedegebis dafiqsireba azrovnebaSi. konkretuli deduqciuri msjeloba, dasabuTeba

im SemTxvevaSi atarebs aRmzrdelobiT funqcias, roca mos wav les gavagebinebT misi

Catarebis mniSvnelobas.

axla davasaxelebT ramodenime sasargeblo zogad reko men dacias, romelic

meTodikis sakiTxebs ganekuTvneba:

• maswavlebeli cdilobs, rom yoveli axali SemecnebiTi amo cana TviT moswav-

lem Camoayalibos;

• maswavleblis xelmZRvanelobiT da moswavleTa Za lis xme viT _ dakvirvebis,

cdis, konkretuli SemTxvevebis ana li zis Sedegad iqmneba warmodgena, hipoTeza

arsebul kanon zomierebaze.

• maswavleblis xelmZRvanelobiT mimdinareobs dasa bu Te biT gzis Zieba, amo-

canis amoxsnis gegmis Sedgena; rasac xSi rad mosdevs TviT moswavleebis mier am

gegmis realizacia.

axla SevexoT saswavlo procesisTvis mzadebis zogad sqemas:

• maswavleblis muSaoba saswavlo wlis win.

• gakveTilTa sistemis gaazreba saswavlo wlis win;

• konkretuli gakveTilisTvis momzadeba.

momzadebisas maswavlebelma unda gamoiyenos moswavlis wigni, maswavlebelis

sarekomendacio wigni da, saWiroebis SemTxvevaSi, iq miTiTebuli literatura.

sarekomendacio wig nis mixedviT, sasurvelia, maswavlebeli Tavdapirvelad sas wav -

lo gegmas, Sefasebis sistemas da gakveTilebis Semo Ta va zebul nimuSebs gaecnos.

sarekomendacio wignis Sesavali mas gaacnobs avtorTa mier saxelmZRvanelos agebis

ZiriTad prin cipebs.

27

maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges Cvens reko men da ciebs; igi

safuZvlad iRebs Cven mier SemoTavazebul gegmas da azustebs mas sakuTari

gamocdilebiTa da klasis Tavise bu rebebis gaTvaliswinebiT. es dazustebebi

gansakuTrebiT mniSv nelovania sawyis etapze Sesasrulebeli savarjiSoebis da

damamTavrebel etapze Sesasrulebeli savarjiSoebisa da sakontrolo weris

variantebis SerCevisas.

gakveTilis dagegmva iTvaliswinebs Casatarebeli procesis tips:

• axali masalis gacnoba

• masalis ganmtkiceba

• codnis Semowmeba

• sxva tipis gakveTilebi (gakveTili bunebaSi, gakveTili-proeqti ...)

Tumca, zogierTi tipis procesi (axali masalis gacnoba, gan mtkiceba, Semow-

meba), rogorc wesi, yovel gakveTilze mim di nareobs, SesaZlebelia _ sxvadasxva

moculobiT.

moswavleTa codnis Semowmeba, moswavleTa muSaobaze dak vir veba yovel gakveTil-

ze mimdinareobs. gakveTilze mTavaria vaswavloT da aRvzardoT. swavleba ar

niSnavs mxolod codnis gadacemas _ swavleba codnis SemoqmedebiTad dauf lebas

unda niSnavdes, misi gamoyenebis unaris ganviTarebaze unda iyos mogebuli. moswav-

leTa Sefaseba swavlis procesze maswavleblis dakvirvebebiT, moswavleTa mier

sakontrolo da damoukidebeli samuSaoebis Sesrulebis xarisxiT gani saz Rv reba.

yoveli gakveTilis Semdeg sakuTar wignakSi Cai niS neT moswavleebze dakvirvebebis

Sedegebi, gaiTvaliswineT mos wavleTa SemoqmedebiTi aqtiuroba (masalis aTvisebis

done kargad Cans savarjiSoebis amoxsnis drosac _ ganmtkicebis pro cesSi).

saswavlo masalis dasabuTebuli SerCeva iTvaliswinebs Sem deg moTxovnebs:

• saswavlo masalis Sesabamisoba Temis mizanTan

• gakveTilze Sesasrulebeli samuSaos moculobis swori gansazRvra

• optimaluri Tanafardoba konkretulsa da zogads Soris

• Teoriasa da praqtikas Soris aucilebeli urTierT kav Siris ganxorcieleba

maswavlebelma, rogorc wesi, Tavidan bolomde deta lu rad unda gaiazros

gakveTili, winaswar, drois mixedviT unda iyos ganawilebuli mTeli samuSao.

magaliTad, Tu gakveTilze axal Temaze gadasvlac aris gaT valiswinebuli,

maSin SeiZleba im sakiTxebis Sesaxeb msje loba, romelTa bunebriv da kanonzomier

gagrZelebis axali sa kiTxebi Seicavs, SeiZleba gakveTili pirdapir im praqtikuli

amocanis ganxilviT daviwyoT, romlis maTematikuri modelis Seswavla axali maTema-

tikuri faqtebis aRmoCenas, hipoTezis Camoyalibebasa da dasabuTebebs moiTxovs.

am procesis buneb rivi gagrZeleba Sesabamisi savarjiSoTa sistemis ganxilvaa.

kiTxvebze pasuxebis gacemis sistema ar unda iyos erT fe rovani _ mxolod

warmatebuli moswavleebTan mimarTebiT ar unda SemoifargloT; moswavlis raime

mosazrebas myisve nu upasuxebT. swor pasuxsac ki maSinve nu daeTanxmebiT xol me

_ gaakeTeT pauza, iqneb garkveuli eWvic ki gamoTqvaT misi mosazrebis sisworis

mimarT. amiT miaRwevT imas, rom bavSvebi daubrundebian dasmuli kiTxvis analizs

da male WeSmariti daskvna _ swori pasuxi klasis dominantur mosazrebad gadaiq-

ceva. klasi, erToblivi ZalisxmeviT, `gaiZulebT~ daeTanxmoT mis pozicias. es ax-

arebs, amxnevebs da aerTianebs axal gazr debs. es maTi erToblivi azris gamarjvebaa.

Tqvens mizansac xom es warmoadgens _ moswavle CamoayaliboT Semoqmed, codniT

28

aRWurvil, iniciativian, xalisian axalgazrdad. maTematika mZlavri emociuri mux-

tis matarebelia da misi amoqmedeba Tqveni ZalisxmeviT miiRweva~.

yuradRebiT unda movisminoT yvela pasuxi, uxeSi Sec do mis SemTxvevaSic ki

dauSvebelia mkacri uaryofiTi Sefa se bebis gamoTqma.

yuradReba miaqcieT, rom terminebi, cnebebi da movlenebi sworad iyos ganmarte-

buli.

gakveTilebis dagegmvasa da warmarTvaSi xels SegiwyobT sanimuSo gakveTilebis

scenarebi.

axali masalis ganmtkicebis procesi SeiZleba e. w. `tes turi~ amocanebis àmox-

sniT~ daviwyoT, maTi Sesruleba swori pasuxis SerCeviT unda Semoifarglos _

zogjer SeiZleba komentarebis gakeTebac gaxdes saWiro. yovel paragrafSi mo ce-

muli masala, rogorc wesi, 2 gakveTilzea gaTvalis wi ne buli; meore gakveTilze

codnis ganmtkicebaze zrunviT Semo vifarglebiT.

swavlebis erT-erTi saintereso da mniSvnelovani forma jgu furi muSaobaa.

es muSaoba SeiZleba gakveTilis procesis erT-erTi Semadgeneli nawili iyos _

daukavSirdes axali ma salis gaazrebas, praqtikuli saqmianobis (eqsperimentis) an

Semajamebeli daskvnebis gamotanas, an, SesaZlebelia, mas mTe li gakveTilic da-

vuTmoT. mis warmarTvaSi moswavlis sa xel mZRvaneloSi warmodgenili amocanebis

sistema dagex ma rebaT (magaliTad, amocanebi jgufuri muSaobisTvis). am Sem TxvevaSi

jgufur muSaobas SeiZleba Sejibris saxec ki miv ceT.

organizaciulad jgufuri muSaobis es varianti _ paeq ro ba _ jgufuri muS-

aoba SeiZleba ase movawyoT:

winaswar vacxadebT Catarebis dRes; moswavleebs vavalebT samuSao rveulis

ormagi furceli iqonion. paeqroba mos wav leTagan kapitnebisa da maTi TanaSemweebis

dasaxelebiT iwyeba. optimaluria 4-5 moswavlisgan Semdgari jgufebi _ gundebi.

gun debis dakompleqteba SeiZleba kapitnebsac miandoT. mTa varia, àrCevnebma~ didi

dro ar wagarTvaT.

mas Semdeg, rac gundebi dakompleqtdeba, winaswar gamrav le buli amocanebi

daurigeT gundebs (an dafaze amowereT pirobebi). am SemTxvevaSi yvela gunds

erTnairi davaleba miecema.

gakveTilis dasrulebamde 10-12 wuTiT adre kapitnebs eva lebaT warmoadginon

maTi gundebis Sedegebi _ maTi amocanebis amoxsnebi. CaibareT es amoxsnebi winas-

wari komentarebis gareSe da saukeTeso amoxsnebis avtorebi rigrigobiT miipatiJeT

dafasTan naSromTa mokle prezentaciisTvis. cxadia, kritika da polemika, Tu amis

safuZveli arsebobs, unda iyos uSeRa vaTo, magram koreqtuli. am bWobaSi Tqvenc

mogiwevT xandaxan Cabma; zogjer mediatoris rolis Sesrulebac. es procedura

aRniSnul droze mets ar moiTxovs, radgan amocanebi yvelas kar gad aqvs gaazre-

buli da mxolod sakvanZo punqtebia xaz gasasmeli.

am gansjis dasrulebisTanave unda aRdges merxebis Tavda pirveli ganlageba,

Semdeg acxadebT gundebis mier mopovebul qulebs (TiToeuli amocana SeiZleba

2-quliani skaliT Sefasdes) da dakavebul adgilebs am paeqrobaSi. SeiZleba daawe-

soT damatebiTi qulebi prezentaciis Sesafaseblad.

jgufuri muSaobisTvis amocanebi SeiZleba SeirCes saxel mZRva neloSi Sesabamisi

niSnakiT gamoyofili adgilidan. Tumca, winaswar yvela amocana rom ar iyos `gaSi-

29

fruli~, iqneb maTi pirobebi odnav SecvaloT, an, zogierTi amocana pa rag rafis

damatebiTi savarjiSoebis krebulidan airCioT.

moswavlis saxelmZRvaneloSi SemoTavazebuli jgufuri mu Saobis zogierTi

proeqti raime erTi axali Temis Sesabamisi struq turirebuli kiTxvebisgan Sedge-

nili amocanaa _ yoveli kiTxva winas ukavSirdeba _ kiTxvebze pasuxebis sistema

raime erTi axali Temis Sesabamisi problemis dasmas da amoxsnas gulisxmobs. am

SemTxvevaSi pasuxebis sistema, romelic mos wav leTa jgufis erToblivi Zalisxmevis

Sedegia, maTi ko leq tiuri SemoqmedebiTi naSromia da misi Sefaseba prezen ta ciisas

ganxorcieldeba.

zogjer jgufebs sxvadasxva saxis davalebebi SeiZleba mivceT _ gansxvavebuli

eqsperimentis Catareba (magaliTad, geometriuli obieqtis Tvisebebis dasadgenad

an dasabuTebis gziT geometriuli faqtis ganxilva-dasabuTeba, Sedegis war modgena.

am SemTxvevaSi moswavleebi msjeloben warmodgenili varaudebis koreqtulobaze da

adareben maT. aseTi tipis jgufuri muSaobebi, rogorc zemoT aRvniSneT, gakveTi-

lis fragmenti SeiZleba iyos da xSirad unda gamoviyenoT.

Teoriuli masalis gadmocemis Cveneuli meTodika saSua lebas gaZlevT airCioT,

yvelaze ufro mosaxerxebeli forma Sinaarsisa da miznebis rukaSi miTiTebuli

moTxovnebis Sesas ruleblad.

amrigad, gakveTilis dagegmva SesaZlebelia Semdegi sqemiT mimdinareobdes.

• saswavlo miznebi _ gakveTilis ideuri Sinaarsi; is, rasac unda miaRwioT, ra

codna da unar-Cvevebi unda SeiZinon moswavleebma am gakveTilze;

• Sefaseba _ ra kriteriumebiT SevafasebT dagegmilis Sesrulebis xarisxs da

ra SemTxvevaSi vityviT, rom gakveTilma warmatebulad Caiara;

• miRwevis saSualebebi _ ra meTodebiT, moswavleTaA ra organizebiTa da

ra damatebiTi resursebis saSualebiT apirebT dasaxuli amocanebis gadaWras;

sasurvelia winaswar gaTvaloT drois savaraudo xarji; aucileblad winaswar

gansazRvreT saSinao davalebis xasiaTi da moculoba.

Sefasebis zogadi principebi

saskolo Sefasebis axali sistema, romelic erovnuli saswavlo gegmiT aris

gansazRvruli, iTvaliswinebs Semdeg aucilebel midgomebs: akademiuri moswrebis

Sefaseba unda iyos xSiri da mravalmxrivi. unda Sefasdes ara marto informaciis

floba, aramed SeZenili unar-Cvevebi. ar aris sakmarisi moswavle mxolod sakon-

trolo werebis safuZvelze Sefasdes. maswavlebeli unda afasebdes prezentaciebis,

mos wav lisave TviTSefasebis, jgufuri muSaobis, Tu sxva tipis aqti vobebis mixed-

viT. maswavlebelma Sefasebisas unda gaiT valiswinos saganmanaTleblo procesSi

moswavlis CarTulobis xarisxi (saxlSi micemuli davalebis Sesrulebis xarisxi,

gak ve Tilze aqtiuroba, SemoqmedebiToba da sxva), amasTanave, mi zan Sewonilia mo-

swavlesac gavacnoT winaswar Sefasebis kri te riumebi. am kriteriumebis SedgenaSi

SeiZleba moswavleTa Car Tvac.

sakontrolo werebis Sefasebis sqemebs am wignSi gaec no biT. dauSvebelia mo-

swavleTa qcevis gaTvaliswineba akade miuri moswrebis Sefasebisas _ gakveTilze

arasaTanadod moqceva, rogorc wesi, TavisTavad aisaxeba akademiur moswrebaze.

moswavlis niSani unda gamomdinareobdes mis mier sagnis Seswavlis sxvadasxva

komponentisgan _ sakontrolo weris Sesruleba, gakveTilze msjeloba, jgufuri

30

muSaoba, prezen tacia da sxva. unda gvaxsovdes, rom semestris niSa ni (umaRlesi qu-

laa 10) aucileblad sxvadasxva komponen tis Sefasebebisgan unda gamomdinareobdes.

axla gTavazobT erovnuli saswavlo gegmiT warmodgenil moTxovnebs maTemti-

kaSi moswavlis Sefasebis Sesaxeb.

შეფასება მათემატიკაში

შეფასების კომპონენტები მათემატიკაში1) საშინაო და საკლასო დავალებათა კომპონენტები

შეიძლება შეფასდეს შემდეგი ცოდნა და უნარჩვევები1. მათემატიკური ცნებებისა და დებულებების გამოყენება;2. კავშირებისა და მიმართებების დადგენა;3. მათემატიკური ობიექტების წარმოდგენა და მათემატიკური ენის ფლობა;4. მსჯელობა დასაბუთება;5. ამოცანის ჩამოყალიბება;6. მოდელირება;7. ამოცანის ამოხსნის გზა და მისი რეალიზება;8. გამოთვლები;9. დამხმარე ტექნიკური საშუალებებისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების გამოყენება.

სასიცოცხლო უნარჩვევები

1. შემოქმედებითობა;2. თანამშრომლობა (მეწყვილესთან, ჯგუფის წევრებთან);3. სტრატეგიების გააზრებულად გამოყენება სასწავლო საქმიანობის ხელშეწყობის მიზნით;4. სასწავლო აქტივობებში მონაწილეობის ხარისხი.

უნარჩვევები ფასდება შემდეგი კრიტერიუმებით:

1. მოსწავლე აღიქვამს ამოცანის შინაარსს, გაიაზრებს და გამიჯნავს ამოცანის მონაცემებსა და საძიებელ სიდიდეებს. ახდენს მონაცემების (მათ შორის პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო მონაცემების) ორგანიზებას და მათ წარმოდგენას;

2. გადმოცემისას სწორად და ეფექტიანად იყენებს მათემატიკურ ტერმინებსა და აღნიშვნებს. ადეკვატურად ირჩევს სიმკაცრის დონეს და როდესაც საჭიროა, დასაბუთებისას იყენებს მკაცრ მათემატიკურ მსჯელობას (მათ შორის ინდუქციურ და დედუქციურ მსჯელობას);

3. პოულობს, არჩევს და იყენებს გზებსა და მეთოდებს (მათ შორის ტექნოლოგიებს) ფიგურების და ობიექტების ზომების, აგრეთვე მათ შორის მანძილების, მასის, ტემპერატურის და დროის გასაზომად. არჩევს და მოიპოვებს პროცესის ან რეალური ვითარების მოდელირებისათვის საჭირო მონაცემებს;

4. ახდენს მოცემული მოდელის ელემენტების ინტერპრეტირებას იმ რეალობის კონტექსტში, რომელსაც მოდელი აღწერს და პირიქით – რეალური ვითარების დაკვირვების შედეგად მიღებული მონაცემების ინტერპრეტირებას შესაბამისი მოდელის ენაზე. განსაზღვრავს მოდელის ვარგისიანობას და აფასებს მისი გამოყენების საზღვრებს;

5. კომპლექსურ (რთულ) პრობლემას ყოფს საფეხურებად, მარტივ ამოცანებად და ჭრის

31

ეტაპობრივად (ამოხსნა), მათ შორის სტანდარტული მიდგომებისა და პროცედურების გამოყენებით;

6. ამოცანების ამოხსნისას, იყენებს მათემატიკურ ობიექტებს, პროცესებს და მათ თვისებებს;7. ირჩევს ეფექტიან სტრატეგიას და მოკლედ აღწერს პრობლემის გადაჭრის საფეხურებს.

მიჰყვება არჩეულ სტრატეგიას. აანალიზებს არჩეულ სტრატეგიას და ასაბუთებს არჩეული სტრატეგიის ეფექტიანობას, მიმოიხილავს შესაძლო ალტერნატიულ სტრატეგიებს და მსჯელობს მათ უპირატესობებსა და ნაკლზე;

8. ირჩევს გამოთვლების ადეკვატურ / ოპტიმალურ ხერხს და ახდენს მის რეალიზებას;9. ამყარებს კავშირებს (მაგალითად, სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან

სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;

10. ახდენს მიღებული შედეგების განზოგადებას, ამყარებს კავშირებს (მაგალითად სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;

11. ირჩევს დასაბუთების ხერხს (მაგალითად: საწინააღმდეგოს დაშვების გამოყენება დამტკიცებისას, ევრისტული მეთოდის გამოყენება დასაბუთებისას);

12. ინფორმაციის გადაცემისას წარმოაჩენს საკითხის არსს (მაგალითად, მათემატიკური ობიექტის არსებით თვისებებს);

13. კორექტულია მასწავლებელთან და მეგობრებთან მიმართებაში. იგებს და აანალიზებს სხვის ნააზრევს;

14. თანამშრომლობს თანაკლასელებთან ჯგუფური სამუშაოების შესრულებისას;15. აუდიტორიისა და საპრეზენტაციო მასალის მიხედვით ირჩევს პრეზენტაციის ფორმას და

დამხმარე საშუალებებს (მათ შორის საინფორმაციო ტექნოლოგიებს). ეფექტიანად იყენებს პრეზენტაციისათვის განკუთვნილ დროს;

16. ახდენს პრობლემის ფორმულირებას აუდიტორიისათვის გასაგები ფორმით. ასაბუთებს პრობლემის აქტუალურობას და მნიშვნელობას (იგულისხმება პრობლემის პრაქტიკული ან/და წმინდა მეცნიერული აქტუალურობა);

17. სადემონსტრაციოდ იყენებს მაგალითებს, როგორც რეალური ვითარებიდან ასევე მათემატიკიდან;

18. კეთილსინდისიერად ასრულებს დავალებებს (ვადებისა და რაოდენობის თვალსაზრისით).

2) შემაჯამებელი დავალებების კომპონენტი

შემაჯამებელი დავალების კომპონენტი უკავშირდება სწავლასწავლების შედეგს. ამ კომპონენტში უნდა შეფასდეს ერთი სასწავლო მონაკვეთის (თემა, თავი, პარაგრაფი, საკითხი) შესწავლადამუშავების შედეგად მიღწეული შედეგები. კონკრეტული სასწავლო ერთეულის დასრულებისას მოსწავლემ უნდა შეძლოს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრული ცოდნისა და უნარების წარმოჩენა. შესაბამისად, შემაჯამებელი დავალებები უნდა აფასებდეს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრულ შედეგებს.შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები:

სტანდარტის მოთხოვნათა დასაფარად, რეკომენდებულია შემაჯამებელ დავალებათა მრავალფეროვანი ფორმების გამოყენება. მათემატიკის შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები შეიძლება იყოს:1. ტექსტურ ამოცანასთან დაკავშირებული ღია ან დახურული (რამდენიმე შესაძლო პასუხს

შორის სწორი პასუხის შერჩევა, შესაბამისობის დამყარება, სწორი თანმიმდევრობით დალაგება) ტიპის დავალება;

32

2. ტექსტის წაკითხვა და მონაცემთა ანალიზით (გამოთვლების ან ლოგიკური მსჯელობის საფუძველზე) მიღებული დასკვნის გადმოცემა და დასაბუთება (მათ შორის ისეთი ტექსტის, რომელიც შეიცავს დიაგრამებს და ცხრილებს);

3. განტოლების ამოხსნა, ასოითი გამოსახულების გამარტივება, რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობის გამოთვლა;

4. გეომეტრიული ამოცანა, რომელშიც მოსწავლეს მოეთხოვება ფიგურის თვისებების დადგენა, ზომების განსაზღვრა, ფიგურის აგება;

5. ამოცანა, რომელშიც წინასწარ განსაზღვრული მონაცემების საფუძველზე მოსწავლეს მოეთხოვება მოცემული ფაქტის დასაბუთება ან უარყოფა (მაგალითად, თეორემის დამტკიცება).

მოთხოვნები, რომლებსაც უნდა აკმაყოფილებდეს შემაჯამებელი დავალებები:

• დავალების თითოეულ ტიპს უნდა ახლდეს თავისი შეფასების ზოგადი რუბრიკა;• ზოგადი რუბრიკა უნდა დაზუსტდეს კონკრეტული დავალების პირობისა და განვლილი

მასალის გათვალისწინებით;• 10 ქულა უნდა გადანაწილდეს რუბრიკაში შემავალ კრიტერიუმებზე;• მითითებული უნდა იყოს სტანდარტის ის შედეგები, რომელთა შეფასებასაც ემსახურება

შემაჯამებელი დავალება.

ზოგადი რუბრიკის ნიმუში:

შეფასების ზოგადი რუბრიკა ტექსტური ამოცანისათვის (წერითი დავალება)• ამოცანის მონაცემების ორგანიზება;• ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანა;• ამოხსნის გზის მოძებნა;• ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღება.

კონკრეტული რუბრიკის ნიმუში

ტექსტური ამოცანა, რომლის ამოხსნა მოითხოვს განტოლების შედგენას და ამოხსნასსაფეხურები ქულაამოცანის მონაცემების ორგანიზებაამოხსნისათვის საჭირო მონაცემების ამოკრეფა ამოცანის ტექსტიდან 0 1მონაცემების ორგანიზება და ისეთი ხერხით ჩაწერა, რომელიც აადვილებს ამოხსნის გზის მოძებნას

0 1

ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანასაძიებელი სიდიდეების გამოყოფა 0 1საძიებელი სიდიდეებისათვის ასოითი აღნიშვნების შემოღება 0 1მათემატიკური ობიექტებისა და პროცედურებისათვის სწორი აღნიშვნების გამოყენება (მაგალითად: ფუნქციის, ალგებრული მოქმედების)

0 1

ამოხსნის გზის მოძებნაგანტოლების შედგენის წინმსწრები მსჯელობა 0 1განტოლების შედგენა 0 – 1ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღებაგანტოლების ამოხსნის ხერხის მოძებნა 0 1განტოლების ამოხსნა და პასუხის მიღება 0 – 1 2

33

sanimuSo gakveTilebi

I gakveTilia q i t i v o b a:

naturaluri ricxvebis gayofadobis Tvisebebis gamokvleva da gamoyeneba praqtikuli amocanebis amoxsnisas (Tavi I, $2).

reziume:

moswavleebi praqtikuli amocanebis amoxsnisas, eqspe ri mentis Catarebisas aRmoaCenen naturaluri ricxvebis gayofis Tvisebas: erTi naturaluri ricxvis meore naturalur ricxv ze gayofisas miiReba ganayofi da naSTi, romelic zogjer nu lis tolia _ aseT SemTxvevaSi erTi naturaluri ricxvi iyo fa meoreze; ayalibeben sakuTar pozicias am operaciis ga mo saxvisa da dasabuTebis Sesaxeb.

aqtivobis mizani:

• moswavleebi gaiwafon praqtikuli amocanebis amoxsnisas varaudebis gamoTq-masa da maT SemowmebaSi.

• CamouyalibdeT kritikuli azrovneba, msjelobis, dasa bu Tebis unari.• ukeT aiTvison ricxvebis geometriuli warmodgenebi.

savaraudo dro:

1 gakveTili

masala:

• saskolo saxelmZRvanelo• saweri saSualebebi• Cxirebi (an kenWebi)

aucilebeli wina codna:

• gayofadobis niSnebi• gayofadoba. gayofadobis Tvisebebi

aqtivobis aRwera

mimarTeT moswavleebs:• ramdeni 5-kaciani gundi SeiZleba Sedges klasis moswav le ebis gan?• ramdeni 6-kilogramiani amanaTi SeiZleba gaamzadon mzru n velobas mokle-

bul bavSvTa saxlisTvis, Tu TiToeuli mos wavle TiTo kilogram xils miitans?• sul mcire ramdeni yuTi iqneba saWiro bavSvTa sax lis Tvis wignebis ga-

dasacemad, Tu TiToeuli moswavle TiTo wigns mo itans da TiToeul yuTSi 4 wigni eteva?

34

sTxoveT moswavleebs gayofis procesi ricxviTi tolobiT Caweron.CaatareT fragmentuli muSaoba jgufebTan; erT jgufs gar kveuli raodeno-

bis kenWebi daurigeT, meore jgufs _ sxva ra odenobis kenWebi, mesame jgufs daavaleT saskolo saxel mZRva nelos teqstis mixedviT gaarCios raime magali-Tze (roca ga sayofi metia gamyofze) ricxviTi wrfis gamoyenebis SesaZ leb loba. sTxoveT am ukanaskneli jgufis wevrebs ricxviTi wrfis saSualebiT aRweron gayofis procesi nebismieri a naturaluri ricxvisa da b naturaluri ricxvis SemTxvevaSi (a>b). sTxoveT jgufebs Seadginon ricxviTi tolobebi da Sesa ba misi tolobebi asoebis gamoyenebiT. SeiZleba Tqveni Carevac gaxdes saWiro moswav-leTa Sedegebis dazustebis mizniT an am Sedegebis prezentaciisas.

ganixileT is magaliTic, romelic saxelmZRvaneloSia da praqtikuli Sinaar-sis amocanas ukavSirdeba.

aqtivobis gaRrmaveba-gafarToeba

daavaleT jgufebs ganixilon is SemTxvevebi, roca gasa yo fi naklebia gamyofze, gasayofi udris gamyofs. SeiZleba daviw yoT ricxviTi magaliTebiT, Sesabamisi ricxviTi tolo be bis CaweriT. Semdeg _ gayofis procesis aRmweri formula Caiweros asoebis gamoyenebiT.

SeecadeT kiTxva-pasuxis saSualebiT SeajamoT yvela Sem Txve va. SeamowmoT aTvisebis xarisxi kiTxvebis dasmis saSua lebiT;

_ ra naSTi SeiZleba miviRoT 5-ze gayofisas?_ vTqvaT, ricxvi iyofa 5-ze, risi tolia am SemTxvevaSi naSTi? _ rogor

CavwerT formuliT im ricxvebs, romlebic 5-ze iyofa?_ ra formuliT SeiZleba Caiweros is ricxvebi, romlebic 5-ze gayofisas

naSTSi 1-s iZleva?_ daakvirdiT tolobis 43=4·8+11. rogor CawerdiT mas, rom gamoikveTos

43-is 8-ze gayofisas miRebuli ganayofi da naSTi.Semdeg gadavdivarT `testebSi~ pasuxebis SerCevis pro ces ze (moswavlis sax-

elmZRvanelo _ savarjiSoebi 1 - 17 )

mizanSewonilad migvaCnia klasSi amovxsnaT 23 , 24 , 26 da 29 amocanebi, romlebic codnis ganmtkicebis, da sa buTebis, msjelobis unaris ganviTarebisT-visaa mocemuli. yve la es amocana iseve, rogorc am paragrafis sxva amocanebi dawv rilebiTaa amoxsnili $1.2-is warmodgenisas.

35

II gakveTilia q i t i v o b a:

simravlis klasifikacia mTel ricxvTa simravlis klasebad dayofis mag-aliTebis mixedviT

forma:

jgufuri muSaoba

reziume:

ganixileba mTel ricxvTa Z simravlis sxvadasxva kla si fikaciis magaliTebi:• mTeli dadebiTi ricxvebi, mTeli uaryofiTi ricxvebi, nuli.• mTel ricxvTa simravlis dayofa raime konkretul 1-is gan gansxvavebul

naturalur ricxvze gayofisas miRebuli naSTebis mixedviT.• ganzogadeba _ nebismieri naturaluri ricxvis (mo du lis) SemTxvevis gan-

xilva.

aqtivobis mizani.

propedevtikuli muSaoba swori kla si fikaciis (raime erTi niSnis mixedviT da a. S.) Sedgenis Cve vebis misaRebad. msjelobis, dasabuTebis, kritikuli az rov-nebis unaris gan vi Tareba; ganzogadebis procesis Catarebis una ris ganviTareba.

savaraudo dro:

1 gakveTili

samuSao masala:

• moswavlis saxelmZRvanelo, $ 1.5. jgufuri muSaobis proeqti

aucilebeli wina codna

• naturaluri ricxvebi• moqmedebebi naturalur ricxvebze• ricxvis naturalur ricxvze gayofisas naSTis miTiTeba• simravle. moqmedebebi simravleebze

aqtivobis aRwera

gakveTils viwyebT saWiro wina masalis gaxsenebiT, codnis ganmtkicebisa da gafarToebis procesiT, romelic naturaluri ricxvis naturalur ricxvze gayo-fasa da naSTis miTiTebas Seexeba. sasargebloa aseTi saxis savarjiSoebis winaswari ganxilva:

_ miuTiTeT ganayofi da naSTi 37-is 5-ze gayofisas:37=5·7+2_ miuTiTeT ganayofi da naSTi 40-is 6-ze gayofisas:40=6·6+4_ vTqvaT, a naturaluri ricxvis b naturalur ricxvze gayo fi sas miiReba

ganayofi q da naSTi r, CawereT es faqti for mulis saxiT. SeiZleba Tu ara r nulis toli iyos? SeiZleba Tu ara r ricxvi b-s toli an b-ze meti iyos?

36

winaswari `moTelvis~ Semdeg klass vyofT jgufebad da vavalebT saxelmZ-RvaneloSi mocemuli proeqtis Sesrulebas. erTi jgufi asrulebs davalebas, roca xdeba 5-ze gayofa, meore _ 4-ze gayofis SemTxvevas ixilavs, mesame _ 6-ze gayofis SemTxvevas.

TiToeuli jgufi warmoadgens pasuxebis variantebisgan Sedgenil moxsenebas. am moxsenebebis prezentacias axdenen jgufebis warmomadgenlebi.

Semdeg erToblivad mimdinareobs msjeloba miRebuli Sedegebis Sesaxeb; _ ramdeni qvesimravlis gaerTianebad warmovadgineT TiToeul SemTxvevaSi

mTel ricxvTa simravle?_ amowuravs Tu ara am qvesimravleebis gaerTianeba mTlianad naturalur

ricxvTa simravles?_ aqvs Tu ara saerTo elementebi nebismier or qve sim ravles?_ SeiZleba Tu ara raime sxva niSnis mixedviT analogiuri we siT warmovadgi-

noT naturalur ricxvTa simravle?_ SeiZleba Tu ara moviyvanoT raime sxva magaliTi, roca sim ravle warmod-

genilia aRniSnuli wesiT.aq SeiZleba moswavleebs daxmareba dasWirdeT (SeiZleba miuTiToT raime

cxovrebiseuli magaliTi, magaliTad, cxo ve lebis dayofa raime niSniT da a. S.).SeiZleba vimsjeloT ganzogadebaze, ramdeni qvesimravle miiReba nebismieri

n naturaluri ricxvis SemTxvevaSi?

III gakveTili

aqtivoba:

kvadratebis sxvaobis formula da marTkuTxa miwis nakveTebis farTobebis Sedareba.

reziume:

marTkuTxedis farTobisa da kvadratebis sxvaobis formulis erTmaneTTan dakavSireba. sidideebs Soris damokidebulebebis kvleva marTkuTxedis farTobis magaliTze. iyeneben dakvirvebis Sedegebs algebruli Tanafardobis misaRebad, realur viTarebasTan dakavSirebuli amocanis amoxsnisas.

savaraudo dro:

1 gakveTili.

aqtivobis mizani.

algebruli gamosaxulebebis igivuri tolobis miReba wminda algebruli gziT, romelic dakavSirebulia ope ra ciaTa Catarebis unaris ganviTarebasTan da am tolobis geometriuli Sinaarsis warmodgena. sxvadasxva (algebrul da geome-triul) obieqtebsa da operaciebs Soris kavSirebis gacnobiereba. geometriulad warmodgenili optimizaciis amocanasTan algeb ru li igiveobis dakavSireba.

37

aqtivobis aRwera.

gakveTils viwyebT im kvadratisa da marTkuTxedis far-Tobebis Seda re biT, romelTac toli perimetrebi aqvs.

_ am figurebs toli perimetrebi aqvs. SeecadeT Seada-roT maTi far To bebi.

_ ramdeni kvadratuli erTeuliTaa meti kvadratis far To bi marTkuTxedis farTobze?

_ SeadareT marTkuTxedis gverdebi kvadratis gverdebs.am faqtis ganzogadebis mizniT SevTavazoT moswavleebs (Se saZlebelia maT

wyvilebSi imuSaon), Seavson cxrili imave kanonzomierebiT (marTkuTxedis sigrZe kvadratis gverdze 2-iT metia, sigane _ 2-iT naklebi).

kvadrati marTkuTxedi farTobebis sxvaoba

gverdis sigrZe

farTobi sigrZe sigane farTobi

456789

16 6 2 12 4

_ ra kanonzomierebas amCnevT Sevsebuli cxrilis mi xed viT?diskusiis Semdeg moswavleebi midian daskvnamde, rom Ziri Ta di kanonzomiereba

aris is, rom farTobebis sxvaoba mudmivia da 4-is tolia.SeiZleba sxva magaliTis ganxilvac, roca kvadratis gver di sxva ricxviT

icvleba (magaliTad, ganvixilavT marT kuTxe debs, romelTa sigrZe 3-iT metia kvadratis gverdis sigrZeze, sigane _ 3-iT naklebia).

amis Semdeg klass vTavazobT miRebuli kanonzomiereba for mulis saxiT Caweros _ magaliTad,

(a+2)(a–2)=a2–4, (a+3)(a–3)=a2–9.am tolobebis Cawera kvlav kiTxva-pasuxis procesiT SeiZ le ba ganxorcieldes._ vTqvaT, kvadratis gverdis sigrZe a-s tolia, risi to lia, misi farTobi?_ Tu marTkuTxedis sigrZe 2-iT metia kvadratis gverdze, si gane _ 2-iT

naklebi, risi tolia misi farTobi?_ risi tolia miRebuli marTkuTxedis farTobi?moswavleebi advilad SeZleben am igiveobebisa da misi ganzogadoebis miRebas

algebruli xerxiTac (frCxilebis gaxsnis wesis gamo ye nebiT).axla SeiZleba gamoviyenoT formulis geometriuli dasa bu Tebis xerxi.SevTavazoT moswavleebs daxazon kvadrati, romlis gverdi a-s tolia.Semdeg SeiZleba davsvaT kiTxvebi:_ ra figuris farTobi SeiZleba iyos warmodgenili

(a+b)(a–b) formuliT._ risi tolia daStrixuli figuris farTobi?_ (a2–b2)-is.

38

_ tolia Tu ara daStrixuli fi gu ris farTobi im marTkuTxedis farTobis, romlis gverdebia a+b da a-b?

_ ra tolobis dawera SeiZleba?am kiTxvebisa da pasuxebis sistema warmoadgens (a+b)(a-b)=a2-b2 tolobis miRebis

process. Semdeg SeiZleba igive to lo ba moswavleTaTvis cnobili algebruli xerxebiTac miviRoT (frCxi lebis gaxsnis wesi).

am procesis Catarebis Semdeg moswavleebs vekiTxebiT:_ risi tolia mocemuli kvadratis perimetri?_ risi tolia misi erTi gverdis b-Ti SemcirebiTa da meore gver dis b-Ti

gazrdis Semdeg miRebuli marTkuTxedis peri met ri?_ kvadratsa da marTkuTxeds toli perimetrebi aqvs; rom lis farTobia

metia da ramdeniT?am kiTxva-pasuxis procesSi moswavleebi aRmoaCenen mniS vne lovan faqts:

mocemuli perimetris mqone marTkuTxedebs So ris udidesi farTobi aqvs kvad-rats. aq SeiZleba yuradReba mi vaqcioT kvadratis `met~ simetriulobazec marTkuTxedTan Se darebiT.

saxelmZRvaneloSi mocemuli ($3.4) amocanebis amoxsna xels uwyobs codnis

gan mtki cebas, formulis gamoyenebis unaris gamomuSavebas. amo canebi 20* - 22* kvlav geometriul interpretacias Seexeba da sasur ve lia maTi amoxsna klasSi.

IV gakveTili

aqtivoba:

proporcia. proporciis gamoyenebebi.

reziume:

moswavleebi euflebian proporciis gamoyenebas sxvadasxva sayofacxovrebo an maTematikis momijnave disciplinebidan amocanebis amosaxsnelad. ecnobian proporciul sidideebs da maT geometriul gamosaxvas.

savaraudi dro:

1 gakveTili.

aqtivobis mizani:

• moswavleebma ganiviTaron Sefardebisa da proporciis gamoyenebis unar-Cvevebi amocanaTa amosaxsnelad.

• moswavleebi daeuflon proporciuli sidideebis cnebas, proporciuli damokidebulebis cnebasa da saTanado geometriul warmodgenas.

aucilebeli wina codna:

• Sefardeba• proporcia. proporciis ZiriTadi Tviseba• sakoordinato sibrtye

39

ativobis aRwera

muSaoba SeiZleba daviwyoT im ori praqtikuli amocanis gan xilviT, romelic moswavlis saxelmZRvanelos $5.3-is Teoriul nawilSi aris warmodgenili. isini rukis mixedviT manZilis gansazRvras da sayofacxovrebo amocanis amox snas ukavSirdeba. Tu saskolo oTaxSi kedelze saqarT ve los rukaa Camokiduli, maSin SeiZleba aRniSnuli amocanis mi xedviT maswavlebelma am rukis mixedviT saqa-rTvelos raime or qalaqs Soris manZilis povnis amocana dasvas.

Semdeg moswavleebs davyofT ramdenime jgufad da Sev Ta vazebT amocanebs proporciul sidideebze.

• magaliTad, erT-erT jgufs vTxovT Seavsos cxrili

vaSlis masam (kg)

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

m kg vaSlisRirebudeba p(lari)

0,8

• ipovos mp

sididis ricxviTi mniSvnelobebi.

• ipovos sakoordinato sibrtyeze (m; p) wyvilebis Sesabamisi ricxvTa wyvilebis gamomsaxveli wertilebi.

sxva jgufs SeiZleba mivceT Sesavsebad cxrili, romelic Tanabari moZrao-bisas gavlil manZilsa (S km) da dros (t sT) Soris damokidebulebas Seesabameba, SeiZleba aseTi amocanac Sev TavazoT: vixilavT marTkuTxedebs, romelTa erT-erTi gver dia a. SeavseT cxrili, romelic meore gverdis sididesa da saTanado marTkuTxedis farTobs Soris damokidebulebas See sabameba.

erT-erT jgufs SeiZleba davusvaT iatakis Tanabrad Se Reb visas S farTobsa da daxarjuli saRebavis odenobis Sesa ba misi cxrilis Sevsebisa da sakoordinato sibrtyeze am damo kid ebulebis mixedviT wertilebis agebis amocana.

jgufebis mier warmodgenili cxrilebisa da sako or di na to sibrtyeze Sesa-bamisi damokidebulebis Sesabamisad age bu li wertilebis mixedviT mimdinareobs msjeloba da vara udis gamoTqma aRniSnuli damokidebulebebis Tvisebebisa da geometriuli gamosaxvis Sesaxeb.

proporciis gamoyenebiT mimdinareobs Semzadeba Senad no beb ze, narevebze amocanebis amosaxsnelad.

am SemTxvevaSi gamoiyeneT saxelmZRvaneloSi mocemuli me-3 magaliTi, roca cnobilia ori biznesmenis saerTo Tanxa (10 000 lari) da am Tanxebis Sefardeba:

ba= 3

2

proporciul nawilebad gayofis procesi SeiZleba kiTxva-pasuxis reJimSi gavagrZeloT:

_ kidev ra proporciis dawera SeiZleba mocemuli pro por ciis mixedviT (a b2 3= )?

_ ra SeiZleba vTqvaT a da b ricxvebis Sesaxeb (a da b aris 2 da 3-is pro-

porciuli)?

40

_ vTqvaT, toli Sefardebebi k-s tolia (proporciulobis koeficienti). ris tolia a, b? (a=2k, b=3k).

_ 10 000 larSi ra wilia erTi biznesmenis da ra wilia meore biznesmenis?_ sul ramden wils warmoadgens 10000?_ ra Tanxa modis 1 wilze?_ ra Tanxa Seesabameba 2 wils, 3 wils?aqtivobis Semdgomi gafarToeba-gaRrmaveba 2 an 2-ze meti Sesakrebis povnis

zogadi wesis Camoyalibebaa, roca cnobilia maTi jami da ricxvebi, romelTa proporciulia mocemuli ricx vebi. arasavaldebulo nawilad SeiZleba CaiTvalos sa xel mZRvaneloSi mocemuli is nawili, romelic oqros kve Tas _ harmoniul proporcias exeba.

sakontrolo kiTxvebi da `testebi~ moswavleTa TviT Se mowmebis kargi saSu-alebaa.

sasargebloa klasSi gavarCioT da amovxsnaT amocanebi Se nad no bebze, xsnare-bze, masStabis gamoyenebaze.

34 amocana proporciuli sidideebis geometriuli ga mosaxvis gamoyenebis kargi magaliTia;

V gakveTili

aqtivoba:

samkuTxedis kuTxeebis jamis formulis gamoyvana sxva da sxva gziT.

reziume:

moswavleebi aRmoaCenen samkuTxedis Tvisebas (samkuTxedis kuTxeebis jamis Sesaxeb) modelebze, asabuTeben am Tvisebas sxvadasxva xerxiT, msjeloben das-abuTebis xerxebis sarwmunoobis Sesaxeb.

savaraudo dro:

1 gakveTili.

aqtivobis mizani:

• miiRos eqsperimentis Catarebis Cvevebigaiwafos amocanis konteqstis Sesabamisad geometriul obieqtTa gamosaxvaSi• Camouyalibdes kritikuli azrovneba, msjelobisa da dasabuTebis unari

ZiriTadi SekiTxvebi:

1. SeiZleba Tu ara figuris Tvisebis aRmoCena misi mo de lis mixedviT?2. SesaZlebelia Tu ara sazomi xelsawyoebis gamoyenebiT fi guris raime

Tvisebis Sesaxeb varaudis gamoTqma?3. debulebis samarTlianobis dadgenis romeli xerxia uf ro sarwmuno _

dasabuTebis gziT miRebuli, Tu sazomi xel saw yoebis gamoyenebiT?

41

masala:

furclebi, transportiri, saxelmZRvanelo.

aqtivobis aRwera:

muSaoba iwyeba gavlili masalis gameorebiT: paraleluri wrfeebis Tvise-bebi, ori wrfis paralelurobis niSani, samkuTxedebis klasifikacia kuTxeebis mixedviT.

klasis moswavleebs vyofT jgufebad: erT-erTi jgufis mos wavleebs vTxovT gamoiyenon transportiri da sxva da sxva gva ri samkuTxedebis kuTxeebis zomis mixedviT gamoTqvan va ra udi kuTxeebis jamis Sesaxeb.

meore jgufi iye nebs samkuTxedis mo de-lebs, gamoWris sam tol samkuTxeds da mi ad-gams maT ise, ro gorc suraTzea gamo saxu li.

mesame jgufi iyenebs saxelmZRvaneloSi war modgenil su raTs da iq dasmul kiTxvaze pa suxebis Ziebis procesSi cdi lobs gamo-Tqvas vara udi samkuTxedebis kuTxeebis jamis Se sa xeb.

meoTxe jgufi iyenebs saxel mZRvanelos mixedviT ABC sam kuTxedis models, aagebs mis si maRles _ BD-s; poulobs AD da CD monakveTebis Sua mar To bebs da gadakecvebis sa Sua lebiT (ise, ro gorc saxel mZRva-neloSia miTi Te buli) cdi lobs gamoTqvas vara udi samkuTxedebis kuTxeebis ja mis Se saxeb.

oTxive jgufi axdens Tavisi namuSevris prezentacias. imar Teba diskusia _ romeli xerxia ufro ioli, romeli uf ro sarwmuno?

saxelmZRvaneloSi mocemuli sxva Teoriuli sakiTxebi (marT kuTxa samkuTxe-dis maxvili kuTxeebis jami, tolgverda sam kuTxedis TiToeuli kuTxis sidide, gare kuTxis Tviseba) Se iZ leba davalebad mivceT moswavleebs.

samkuTxedis aRniSnuli Tvisebis aTvisebis TviTkont rolisTvis sasargebloa $ 6.4-is `testebis~ pasuxebis SerCeva. dasabuTebisa da msjelobis unaris ganviTarebas emsaxureba amave paragrafis amocanebis amoxsnis proce si. sasurvelia damtkicebis

amocanebi (magaliTad, 31 ) maswavleblis xelmZRvanelobiT Sesruldes.

42

I Tavi.

gameoreba. naturaluri ricxvebi,geometriuli figurebi.

I Tavi wina wlebSi Seswavlili zogierTi sakiTxis gameorebas, naturaluri ricxvebis Caweris, dalagebis da gayofadobis niSnebis warmodgenas eTmoba. aqve sawyisi geometriuli cnebebicaa warmodgenili.

simravleTa Teoriis sawyisebis CarTva xels uwyobs Teoriul-simravluri koncefciis gamoyenebas _ geometriuli figuris warmodgenas wertilTa simrav-lis saxiT. geometriuli masalis gadmocema am etapze intuiciur doneze, aqsi-o muri meTodis gamoyenebis gareSe mimdinareobs. Tumca, sawyis geometriul cne bebs Soris mimarTebebi, romlebic intuiciur donezea axsnili, geometriis age bis saerTo kanonzomierebebis mixedviTaa warmodgenili _ gamoyofilia win-adadebebi, romlebic aqsiomuri meTodis gamoyenebisas WeSmaritad miiCneva _ sibrtyis yovel or wertilze erTaderTi wrfe gadis; sibrtyis wertilze, ro-melic mocemul wrfes ar ekuTvnis, gadis am wrfis paraleluri erTaderTi wrfe.

saxelmZRvanelos am nawilSi brtyeli geometriuli figurebi da sivrculi figurebi erTdroulad aris warmodgenili. moswavleTa sivrculi warmodgenebis ganviTarebas emsaxureba sivrcul figurebSi paraleluri wrfeebis `modelebis~ aRmoCena, aqve sibrtyeTa urTierTganlagebis SemTxvevebicaa warmodgenili.pirveli Tavis sawyisi paragrafebi naturaluri ricxvebis mwkrivis ganxilviT iwyeba, naturaluri ricxvebis Caweris xerxebisa da poziciuri sistemis gamoy-enebis magaliTebis ganxilvas eZRvneba.

maswavleblebs SevaxsenebT, rom naturalur ricxvTa dafuZnebis Teoriis gac-nobisas, maT, ZiriTadad, or midgomaze miuTiTebdnen _ aqsiomuri midgoma, ro-melic peanos saxelTan aris dakavSirebuli da simravluri koncefcia (kantoris mier dafuZnebuli).

pirveli midgomisas naturalur ricxvTa mwkrivi esaa {n, 1, F} struqtura, romelic

1. Sedgeba n simravlisgan (am simravlis elementebs naturaluri ricxvebi hqvia);

2. gamoyofilia elementi, romelsac erTi (1) hqvia;3. gvaqvs mimarTeba F(x; y), y aris x-is momdevno. garda amisa mocemuli struqturis Tvisebebia (aqsiomebi);1) 1 ar aris raime naturaluri ricxvis momdevno;2) nebismieri naturaluri ricxvisTvis arsebobs erTi da mxolod erTi misi

momdevno;

43

3) yoveli naturaluri ricxvi araumetes erTi naturaluri ricxvis momdevnoa;4) (induqciis aqsioma) n-is yoveli qvesimravle, romelSic Sedis 1 da yovel

x-Tan erTad Sedis misi momdevno naturaluri ricxvi, n-s emTxveva.aqsiomuri meTodis Tanmimdevruli gatarebisas asec amboben: elementebis

buneba, romlebisganac n Sedgeba, araa arsebiTi.amis Semdeg SeiZleba SemoviRoT naturalur ricxvTa monakveTis cneba, Semdeg

masze dafuZnebiT sasruli simravlisa da sasrul simravleSi elementTa odeno-bis (simZlavris) cnebebi.

naturaluri ricxvis cnebis dafuZnebis meore midgoma kantoris saxelTan aris dakavSirebuli. aq elementebis ricxvi gaigeba, rogorc simravlis simZlavris kerZo SemTxveva. safuZvlad erTi simravlis meore simravleze urTierTcal-saxa Sesabamisobis cneba aiReba. am mimarTebiT xdeba simravleTa faqtorizacia, klasebad dayofa. am koncefciis Sesabamisad TiToeuli klasi xasiaTdeba misi simZlavriT. aracarieli sasruli simravlis simZlavre, gansazRvrebis Tanaxmad, naturaluri ricxvia.

aseTi Semotanisas sasruli simravle ganusazRvrelia. kidev erTi daSveba am dros aris usasrulo simravlis arseboba (magaliTad, mimdevrobis usasrulo gagrZelebadobis daSveba).

peanos Tvalsazrisis Sesabamisad ki saWiroa imis daSveba, rom aqsiomuri sistemis modeli arsebobs. es daSveba bevr maTematikoss (ix. mag., [21]) ufro bunebrivad miaCnia.

cxadia, rom skolaSi ariTmetikis sawyisi Seswavla TvalsaCino unda iyos. igi ar unda misdevdes arc aqsiomur meTods da arc sxva logikuri agebis sqemas. es ar niSnavs imas, rom ricxvTa sistemis swavlebas ar unda hqondes Tavisi logi-kuri agebuleba.

ricxvis cnebis gafarToebas meTodikur literaturaSi [21] xSirad sqematu-rad ase warmoadgenen:

(1) arauaryofiTi mTeli ricxvebi

(2) mTeli ricxvebi

(3) racionaluri ricxvebi

(4) algebruli ricxvebi

(8) kompleqsuri ricxvebi

(5) arauaryofiTi racionaluri ricxvebi

(6) arauaryofiTi namdvili ricxvebi

(7) namdvili ricxvebi

44

algebris TvalsazrisiT ganzogadebis bunebrivi gza aseTia: (1) → (2) → (3) → (4)skolaSi ki Tanmimdevroba aseTia: (1) → (5) → (3) → (7)

axali erovnuli saswavlo gegmac ricxvis cnebis gafarToebis am Tanamimdev-robas gvTavazobs: Tumca, uaryofiTi ricxvebis Seswavla me-7 klasidan aris gaTvaliswinebuli.

sayuradRebo rekomendaciebi gvaqvs jgufuri muSaobis warmarTvisa da Sefasebis mimarTac (ixileT wignis Sesaval nawilSi `gakveTilis dagegmvis zogadi principebi~)O. jgufuri muSaobis warmarTvas, axlavs garkveuli sirTuleebi, magram am formis didi aRmzrdelobiTi, ganmaviTarebeli, emociuri mxare migvaniSnebs, rom is aucileblad da jerovnad unda tardebodes.

wignis Teoriul nawilSia agreTve ganxiluli moswavleTa mier proeqtis Sesrulebis da am naSromis SefasebasTan dakavSirebuli sakiTxebi, dro da dro daubrundiT xolme SefasebasTan dakavSirebuli Cvens am rekomendaciebs, gaamdidreT es masala Tqveni gamocdilebis kvalobaze aRmoCenili detalebiT. Cven ki gzadagza kvlav SegaxsenebT xolme SefasebasTan dakavSirebul zogierT mosazrebas, konkretuli amocanebis Sefasebis kriteriumis dadgenasTan dakavSirebul sakiTxebs.

unda gvaxsovdes, rom moswavleTa SefasebaSi daSvebulma Secdomebma SeiZleba

arsebiTad daakninos sxva mimarTulebiT mopovebuli warmatebebi.

§ 1.1. naturaluri ricxvebi. naturaluri ricxvis Caweris sxvadasxva forma

mizani:• naturaluri ricxvebis Caweris sxvadasxva formis gaxsenebiT, moswavleebma

ganiviTaron Caweris formebis, poziciuri sistemis gamoyenebis unar-Cvevebi.• xarisxis cnebis gamoyenebiT moswavleebi gaiwafon ricxvebis, kerZod ki

`giganturi~ ricxvebis Caweris xerxebis gamoyenebebSi.• naturalur ricxvTa mwkrivis Tvisebebis gamoyenebiT moswavleebs eqmnebaT

pirveli warmodgenebi usasrulobis (usasrulod gagrZelebadobis) Sesaxeb.erovnuli saswavlo gegmis im moTxovnebis Sesasruleblad, romlebic indi-

katorebiTaa warmodgenili, saWiroa CavataroT Semamzadebeli muSaoba, rac wina wlebSi Seswavlili sakiTxebis Sesaxeb codnis gafarToebas gulisxmobs.

pirvel paragrafSi warmodgenili masala moswavleebisTvis SeiZleba ar iyos axali. aseTi dasawyisi bunebrivia, radgan saswavlo wlis pirveli gakveTilebi mizanSewonilia da sasurvelia ucnobi maTematikuri faqtebis gadmocemiT ar daviwyoT.

calkeuli gakveTilebis dagegmvisa da warmarTvisTvis konkretuli miTiTe-bebis garda, mizanSewonilad vTvliT zogadi saxis zogierTi rekomendaciis Ses-axeb saubarsac, romlebic momavalSi SeiZleba aRar gavimeoroT.

saswavlo masalis aTvisebisa da ganmtkicebisTvis saWiro muSaobis ZiriTadi nawili gakveTilze unda modiodes; gakveTili saswavlo procesis organizaciis

45

ZiriTadi formaa; gakveTilze xdeba saganmanaTleblo miznebis ganxorcieleba. xSirad saukeTeso Sedegamde mivyavarT aseT zogad rekomendaciebs swavlebis meTodikidan:

1) maswavlebeli unda cdilobdes, rom yoveli axali SemecnebiTi amocana TviT moswavleebma Camoayalibon,

2) maswavleblis da moswavleebis erToblivi ZalisxmeviT, dakvirvebis, konkretuli SemTxvevebis analizis Sedegad iqmneba garkveuli warmodgena arse-bul maTematikur kanonzomierebebze,

3) maswavleblis xelmZRvanelobiT moswavleebi eZeben amocanis amoxsnis geg-mas da xSirad TviT axdenen gegmis realizacias.

maswavleblebs kargad moexsenebaT, rom saswavlo procesisTvis mzadebis zogadi sqema gulisxmobs:^

1) saswavlo wlis dawyebamde Catarebul muSaobas, 2) gakveTilebis sistemis gaazrebas, 3) konkretuli gakveTilisTvis momzadebas.

axali saxelmZRvaneloebis SemoRebis procesSi saswavlo wlis dawyebamde muSaobaSi igulisxmeba erovnuli saswavlo gegmis moTxovnebis kargad gaazreba. ZiriTadi masala, romelsac unda daeyrdnos maswavlebeli saswavlo procesSi, erovnuli saswavlo gegmaa. saxelmZRvanelo mxolod damxmare saSualebaa erovnu-li saswavlo gegmis moTxovnebis Sesasruleblad. saxelmZRvanelo erovnuli sas-wavlo gegmis mixedviT iqmneba, Tumca misi Sinaarsi, sakiTxebis Tanamimdevroba xSirad avtoris SexedulebebiTaa Sedgenili da rekomendaciebis doneze unda aRiqvas maswavleblebma. erovnuli saswavlo gegmis Sesabamisad, maswavlebels SeuZlia damoukideblad SearCios sakiTxebi da maTi gadacemis Tanamimdevroba. moswavlis saxelmZRvanelo, maswavleblis sarekomendacio wigni exmareba maswav-leblebs moswavleze da Sedegze orientirebuli saswavlo procesis dagegmvasa da warmarTvaSi.

saswavlo wlis pirveli gakveTilebis specifikidan gamomdinare mocemuli masala moswavleTaTvis SeiZleba nacnobic iyos, amitom maswavlebels meti saSu-aleba aqvs gakveTilebi moswavleTa aqtiuri monawileobiT, interaqtiuli meTo-diT warmarTos. aqcenti gakeTdes swavlebis iseT formebze, roca yvela moswav-le aqtiurad erTveba swavlis procesSi. gakveTilebi ise SeiZleba daigegmos, rom yovelma moswavlem ipovos Tavisi adgili, ar darCes pasiuri an gariyuli. maswavlebeli da moswavleebi aqtiurad urTierToben erTmaneTTan. moxerxebu-lad SerCeuli kiTxvebis dasmis saSualebiT moswavleebi Cabmuli arian saswavlo procesSi. Tumca, ar igulisxmeba mxolod kiTxva-pasuxis reJimis damkvidreba _ moswavle TviTon monawileobs saganmanaTleblo procesis mimdinareobaSi; monaw-ileobs diskusiaSi _ icavs sakuTar mosazrebebs da oponirebas uwevs sxvebs. erT-erTi sadiskusio Tema pirvel paragrafSi SeiZleba iyos naturalur ricx-vTa mwkrivis usasrulod gagrZelebadobis SesaZlebloba, potenciuri usasru-lobis Sesaxeb diskusia; SeiZleba gamoviyenoT hilbertis magaliTi rubrikidan `sxvadasxva~.

SeiZleba gaimarTos diskusia poziciuri da arapoziciuri sistemebisa da maTi Taviseburebebis Sesaxeb.

46

paragrafSi da `sxvadasxvaSi~ ganxilulia Tvlis arapoziciuri sistemis maga-

li Tebi. erT-erTi aseTia romauli sistema. paragrafs am TemasTan dakavSi re buli

savar jiSoebic axlavs, riTac moswavle iwafeba romauli sistemiT ricxvebis

warmodgenaSi. maTSi unda gaviTvaliswinoT, rom Tu raime cifri Cawerilia

masze naklebi an misi toli cifris win, maSin es cifrebi ikribeba. magaliTad, MMDLI aris 1000+1000+500+50+1=2551. Tu adgili aqvs inversias, anu raime cifri

masze didi cifris winaa Cawerili, maSin mcire cifri akldeba dids. magaliTad,

MLD=1000–50+500=1450. savaraudoa, rom moswavleebi Tavad moaxdenen Tvlis

poziciuri da arapoziciuri sistemebis SedarebiT analizs.maswavlebeli warmarTavs gakveTils, SearCevs sadiskusio Temas, Tumca dis-

kusia SeiZleba daugegmavadac _ gakveTilze wamoWrili problemis irgvliv gaimarTos. moswavleebi monawileoben diskusiaSi, avseben erTmaneTis pasuxebs; magaliTad, naturaluri ricxvebis Tanrigebis saSualebiT Cawerisas, sxvadasxva Tvisebis CamoTvlis dros, damrgvalebis wesebis warmodgenisas. maTematikuri faqtebis codnis Sesamowmeblad SeiZleba gamoviyenoT amocanebi savaraudo pa-suxebiT. maswavleblebi am tipis davalebebis Sesrulebis sxvadasxva meTods mimarTaven xolme. rac mTavaria, am davalebebis Sesrulebas SeiZleba drois mcire monakveTi davuTmoT da SeiZleba garkveuli TanamimdevrobiT yvela mo-swavle CavrToT am procesSi. araswori pasuxis miTiTebis SemTxvevaSi SeiZleba gaimarTos msjeloba Secdomis mizezebis Sesaxeb.

pirvel gakveTilze SeiZleba amoixsnas 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , 21 amo-

canebic. maTi momdevno amocanebi moswavleebs saSinao davalebad miecemaT.

meore gakveTilze vagrZelebT amocanebis amoxsnas. sruldeba 22 , 24 , 26 ,

28 , 30 , 32 , 34 , 36 , 38 , 40 , 42 , 44 amocanebi. maTi `mezobeli~ _ kentnom-

riani amocanebi moswavleebs saSinao davalebad SeiZleba mivceT.

pasuxebi da miTiTebebi

8 96-gverdian wignSi 9 gverdi TiToO cifriTaa gadanomrili, danarCeni 87 gverdidan TiToeuli _ ori cifriT. sul gamoyenebulia 9⋅1 + 87⋅2 =183 cifri.

13 didgoris brZola gaimarTa 1121 wels _ me-12 saukuneSi.

17 testis pasuxis dafiqsirebisas kidev erTxel gavamaxviloT yuradReba: xarisxis maCvenebeli gviCvenebs, ramdenjeraa aRebuli Tanamamravlad fuZe; nebismieri ricxvi pirvel xarisxSi TviT am ricxvis tolia: a1=a.

18 am kubis erT wibosTan 1 sm-iani wibos mqone 5 cali kubi ganTavsdeba. mis erT waxnagze erT fenad 5⋅5=25 cali kubi ganTavsdeba. sul aseTi 5 fenaa _ 5⋅25 =125 kubi.

19 nebismieri raodenobis erTianebis namravli kvlav 1-ia, anu 1-is nebismieri xarisxi aris 1.

22 klasma SeiZleba ricxvis martiv mamravlebad daSla gaixsenos, 81-is martiv mamravlebad daSlisas miiReben: 81=34.

47

23 miaqcieT yuradReba, rom ricxv 81452-Si 5 aris aTeulis Tanrigis cifri, xolo am ricxvSiU aTeulebis raodenoba aris 8145. aseulis TanrigSi aris 4, xolo ricxvSi aseulebis raodenoba _ 814. 81452-Si aris sul 81 aTaseuli.

24 b) 41 aseuli aris 4100, 15 aTeuli _ 150. pasuxi: 4100+150=4250. g) 100 aseuli =10000, 100 aTeuli =1000. pasuxi: 10000+1000=11000.

26 515=5⋅100+1⋅10+5. am ricxvs 10000-mde aklia 10000–515=9485.

28 gaiTvaliswineT, rom udidesi ricxvis Sesadgenad cifrebi klebis mixedviT unda Caiweros. magaliTad, a) 9753.

29 umciresi ricxvis Sesadgenad cifrebiA zrdiT unda CavweroT. b) da g) SemTxvevebSi gaviTvaliswinoT, rom es ricxvi 0-iT ar daiwyeba. amitom Caweras viwyebT 0-sgan gansxvavebuli umciresi cifriT da darCenil cifrebs CavwerT zrdiT. magaliTad, g) 30689.

33 999999-Si aris 99999 aTeuli; masSi aris 9999 aseuli. 1000000-is misaRebad am ricxvs unda mivumatoT 1.

34 amocana kalkulatoris optimalurad gamoyenebis unaris ganviTarebas emsaxureba. ricxvis kvadratSi asayvanad ar aris saWiro klaviSebiT am ricxvis orjer àkrefa~. sakmarisia ricxvi erTxel àkrifoT~, Semdeg ki daaWiroT × da = Rilakebs.

37 mefe daviT IV (aRmaSenebeli) daibada 1073 wels. is 16 wlisa gamefda. XII saukuneSi saqarTvelos aRorZineba daviTis saxels ukavSirdeba. 1121 wels did-gorSi didi gamarjvebis Semoqmedi mefe daviTia.

39 saqarTvelos damoukideblobis gamocxadebis welia 1918, xolo aRdgenis welia 1991. 1918 _ MCMXVIII, 1991 _ MCMXCI.

40 1969 wels amerikuli kosmosuri xomaldi àpolo 11~ mTvareze daeSva. nil armstrongi da edvin oldrini iyvnen pirveli adamianebi, romlebmac fexi dadges mTvareze.

42 unda SevasruloT gamokleba: 32a – 23a . SeiZleba a-s nacvlad raime cifri CavsvaT da SevasruloT gamokleba, magaliTad, 320–230=90;

SeiZleba gamokleba SevasruloT qveSmiweriT: 32a23a90

SeiZleba ricxvebi warmovadginoT gaSlili saxiT da gamovakloT. 300+20+a–(200+30+a)=90.

43 ab1 0 saxis ricxvebis odenoba ase davTvaloT: cifri a SeiZleba SeirCes nebismierad aTi cifridan _ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 _ sul 10 SesaZlebloba.

48

aseve aTi SesaZlebloba aqvs b cifris arCevasac. amitom sul asi ricxvi gveqneba _ 10⋅10=100.

44 amowerilia pirveli eqvsi naturaluri ricxvis kvadratebi.

45 amowerilia pirveli eqvsi naturaluri ricxvis kubebi.

47 aq ar viyenebT xarisxis axarisxebis Tvisebas _ (an)m=anm. moswavleebi amisTvis mzad ar arian, swored mis Sesaswavlad propedevtikas/Semzadebas emsaxureba es savarjiSo. 212-s warmovadgenT 12 cali Tanamamravlis saxiT da vajgufebT amocanis moTxovnis Sesabamisad:

a) 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=46.

b) 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=84.

g) 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=642.

49 36=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3=93. 36=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3=272.

50 CavweroT 6 wlis ganmavlobaSi babuas naCuqari wignebis raodenoba: 1, 2, 4, 8, 16, 32. roca zurabi 6 wlis gaxda, mas babuam aCuqa 32 wigni, 6 weliwadSi aCuqa sul 63 wigni.

51 a) kubis TiToeuli waxnagis farTobia a2, eqvsive waxnagis _ 6a2. b) kubis moculobaa a⋅a⋅a=a3.

g) d) Tu kubis wibo gaxdeba 3a, maSin misi moculoba gaxdeba 3a⋅3a⋅3a=27a3 _ gaizrdeba 27-jer. yoveli waxnagis farTobi gaxdeba 3a⋅3a=9a2, eqvsive waxnagis farTobi anu zedapiris farTobi gaxdeba 6⋅9a2=54a2 _ gaizrdeba 9-jer.

moswavlem unda miaqcios yuradReba, rom wibos 3-jer gazrdiT zedapiris farTobi gaizrdeba 32-jer, moculoba _ 33-jer.

jgufuri muSaobis proeqti

mizani:

• kanonzomierebis aRmoCena da gavrceleba;• kritikuli azrovnebis, msjelobisa da dasabuTebis unaris gamomuSaveba.

jgufuri muSaoba aris saswavlo procesis organizaciis iseTi forma, roca xdeba moswavleTa jgufebad dayofa da jgufebs eZleva saziaro kompleqsuri davaleba. davaleba miznad isaxavs moswavleebis CarTvas TanamSromlobaSi. jgufuri davaleba moswavleebisgan amocanis erToblivad gadaWras, an saerTo produqtis Seqmnas unda moiTxovdes. jgufSi moswavleTa odenoba davalebis specifikiT unda ganisazRvros.

moswavleebi SeiZleba daiyos sam jgufad. jgufebs erTnairi davaleba eZl-eva _ Seadginon ricxvebis xarisxebis `bolo cifris~ cxrili. TiToeul jgufSi

49

davalebebis ganawileba jgufis moswavleebzea damokidebuli. SeiZleba erTma moswavlem cxrilis romelime erTi striqonis Sedgenasa da Sesabamisi kanonzo-mierebis aRmoCenaze ifiqros; Semdeg moxdes am striqonebis `gaerTianeba~ erT cxrilSi da kanonzomierebebis erToblivi prezentacia. amrigad, am jgufuri muSaobis Sesrulebisas TiToeul jgufSi moswavleTa ricxvi SeiZleba 6-s ar aRematebodes. maswavlebeli afasebs mTlianad jgufis muSaobas. Tumca, is val-debulia Tvali adevnos am muSaobis process da gamorCeviT aRniSnos yvelaze produqtiuli monawileebi. prezentacias jgufis erT-erTi wevri warmoadgens. sxvadasxva jgufis Sedegebi Sedardeba erTmaneTs da imarTeba diskusia mTeli klasis monawileobiT. mxedvelobaSi SeiZleba miviRoT warmodgenili magaliTebis odenobac, romlebic kanonzomierebebis gamoyenebiT xarisxebis bolo cifrebis povnas exeba. gamarTuli diskusiisas deduqciuri dasabuTebis elementebic iqneba gamoyenebuli, romlebsac maswavlebelma unda yuradReba miaqcios da Se-fasebisas gaiTvaliswinos.

§ 1.2. naturaluri ricxvebis gayofa. gayofadobis niSnebi

mizani.

• poziciuri sistemis gamoyenebiT naturaluri ricxvis gayofis proce-durebis Catarebis unarebis ganviTareba; gamoyeneba praqtikul amocanebSi.

• deduqciuri msjelobis Catarebis unaris ganviTareba gayofadobis niSnebis ganxilviT.

gakveTils teqstSi SemoTavazebuli samotivacio amocanis ganxilviT viwyebT. misi amoxsnisas moswavleebi gayofis operacias Seasruleben. moswavleebTan erTad vixsenebT 1-ze, ricxvis Tavis Tavze, 0-is ricxvze gayofis Tvisebebs. am Tvisebebis cvladebiT warmodgenas jer-jerobiT Tavs varidebT.

gayofis sxva Tvisebebis Camoyalibebamde, sasurvelia, jer magaliTebis ganxilva da Semdeg maTi ganzogadeba. magaliTad, me-2 Tvisebis Camoyalibebamde SeiZleba davusvaT kiTxvebi:

• iyofa Tu ara 5-ze 120, 75?• iyofa Tu ara 5-ze am ricxvebis jami, sxvaoba? momavalSi es Tviseba SeiZleba ase davasabuToT:vTqvaT, a da b naturaluri ricxvebidan TiToeuli iyofa c-naturalur

ricxvze. maSin a=cn, b=cm, sadac n da m naturaluri ricxvebia. amrigad, a+b=cn+cm=c(n+m) _ iyofa c-ze.Tu a>b, maSin n>m da vRebulobTa–b=cn–cm=c(n–m) _ iyofa c-ze.mTeli ricxvebis SemTxvevaSi dasabuTebas a>b (Sesabamisad, n>m) SezRudva

moexsneba.eqspertTa mosazrebebis gaTvalis wine biT gayofis algoriTmi calke ar aris

warmodgenili. viziarebT maT mosazrebas, rom am algori Tmis warmodgena a=bq+r, 0≤r<b saxiT gansazRvravs operacias (e. w. evklides operacias), romelic natu-

50

ralur ricxva yovel (a; b) wyvils Seusaba mebs (q; r) wyvils; sadac a aris gasay-ofi, b aris gamyofi, q _ ganayofi, r _ naSTi. am warmodgenas, cxadia, Tan unda sdevdes Sesabamisi Tvisebebis ganxilvac, rac me-7 klasSi ar aris mizanSewonili. amasTanave, gadmocemis gamartivebis mizniT ganzogadeba (cvladebiT warmodgena) momavlisTvis gadavdoT.

SemovifargleT mxolod a naturaluri ricxvis b naturalur ricxvze Cveu-lebrivi, `grZeli~ (ix., mag. [8], gv. 75) gayofis proceduris gaxsenebiT. moswav-leebma ician, rom procedura manamde gagrZeldeba, vidre naSTi gamyofze na-klebi ar gaxdeba. magaliTad, Tu a=648 da b=7, vRebulobT ganayofs q=92 da naSTs r=4; 648=7.92+4.

648 7 63 92 18 14 4erovnuli saswavlo gegmis Sesabamisad, warmodgenilia gayofadobis niSnebis

dasabuTebis elementebi _ konkretul ricxvebze (`specializaciis~ meTodi) Cat-arebis saSualebiT. momavalSi cvladebze gadasvliT (`ganzogadebis~ procesi) es Tvisebebi SeiZleba nebismier naturalur ricxvebze gadavitanoT.

paragrafs SeiZleba sami gakveTili davuTmoT pirvel nawils da Sesabamis amocanebs _ 1 gakveTili, meore da mesame nawilebs (Sesabamisi amocanebiT) _ TiTo-TiTo gakveTili.

klasSi SeiZleba Sesruldes savarjiSoebi: #1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 27, 28, 33, 35*, 37. danarCeni savarjiSoebi sasurvelia moswavleebs saSinao davalebad mieces.


6 pirvel adgilze (aTaseulis TanrigSi) cifris Caweris 3 SesaZleblobaa (0-is garda), danarCen TanrigebSi oTx-oTxi. miviReT: 3⋅4⋅4⋅4=192 SesaZlebloba.

7 x=7q+2, x+3=7q+5 — naSTia 5. 8 x=3·5·7+1=106.

10 I xerxi: ricxvis luwobis moTxovna niSnavs, rom bolo cif ri luwi unda iyos — Cvens SemTxvevaSi, 2 — erT-erTi cif ri oTxi mocemulidan. amrigad, ricxvebis meoTxedi luwia — 24:4=6.

II xerxi: ricxvis luwobis moTxovna niSnavs, rom bolo cifri luwi unda iyos — Cvens SemTxvevaSi, 2. danarCeni sami cifriT samniSna ricxvis Sedgenis 3·2·1=6 SesaZlebloba arsebobs.

13 Tu k naturaluri ricxvia, 3k da 3k+1 ricxvebi SeiZleba iyos luwic da kentic _ damokidebulia k-s luw-kentovnebaze. 2k+1 da 2k–1 aucileblad kenti ricxvebia, magram 2k+1-iT ar moicema nebismieri kenti ricxvi. saxeldobr, 1-s ver miviRebT. 2k–1-iT moicema nebismieri kenti ricxvi: k=1, 2k–1=1; k=2, 2k–1=3; k=3, 2k–1=5 da a.S.

51

17 gaiTvaliswinon, rom 2n luwia nebismieri naturaluri n-isTvis.

18 TiToeuls imdeni moneta aqvs, ramdenjerac 150 TeTri metia (10+20) TeTrze: 150:30=5 — xuT-xuTi moneta hqoniaT.

19 wina amocanis analogiuria, 200:(20+5)=8 — rva-rva mo neta.

21 am ricxvTagan umciresi aRvniSnoT x-iT, maSin x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)+(x+10)=1326 6x+30=1326 x=216.

22 a) 13·4=52; b) 13·4+1=53.

23 mocemulobis Tanaxmad, yuTebis odenobaze erTiT naklebi ricxvi 6-is jeradicaa da 7-isac, Tanac 50-ze naklebia. aseTi ricxvia 42. maSasadame, 43 yuTi yofila.

24 25-is 7-ze gayofisas naSTi 4-ia, e. i. nika meoTxe yofila.

25 366=7·52+2.

26 radgan nebismier weliwadSi dReebis raodenoba ar iyofa 7-ze, erTmaneTis momdevno ori wlis ori pirveli ianvari ar SeiZleba iyos kviris erTi da igive dRe.

27 isargebleT Semdegi informaciiT _ nakian weliwadSi 366 dRea, aranakianSi _ 365 dRe. 2010 weli aranakiania.

28 gamoiyeneT jgufuri muSaobisas miRebuli cxrili da SeamowmeT 4-iT

daboloebuli ricxvis axarisxebisas bolo cifrisTvis SemCneuli kanonzomiereba

— kentmaCvenebliani xarisxis bolo cifria 4, luwmaCveneblianisa ki — 6. amitom

a) 10-ze gayofisas naSTi 4-ia, Tu xarisxis maCvenebeli kentia — aseTi

xarisxebis odenoba 15-ia;b) luwmaCvenebliani xarisxebis odenoba 14-ia;g) naSTi 8 arc erT SemTxvevaSi ar gvxvdeba — rviT daboloebuli oTxis

xarisxi ar arsebobs.

29 wina amocanis analogiurad gamoiyeneT `bolo cifris cxrili~.a) 1-iT bolovdeba 7-is is xarisxebi, romelTa maCve neb lebi 4-is jeradia,

aseTi (mocemul SemTxvevaSi) 11-ia;b) 9-iT bolovdeba 7-is is xarisxebi, romelTa maCve neb lebi 4k+2 saxisaa —

aseTi 11-ia;g) 3-iT bolovdeba 7-is is xarisxebi, romelTa maC ve neb lebi 4k+3 saxisaa —

aseTic 11-ia;d) 7-iT bolovdeba 7-is is xarisxebi, romelTa maCve neb lebi 4k+1 saxisaa —

aseTi 12-ia;

52

e) 7-is arc erTi xarisxi 6-iT ar bolovdeba.

30 Tu a=5n+r, b=5q+r, maSin a–b=5(n–q) — iyofa.

31 vTqvaT, samive biWs erTad n burTi ergo, maSin n iyofa 3-ze; cxrave gogonas ki — m burTi, maSin m iyofa 9-ze da, amitom, m iyofa 3-zec. Tu n+m=20, maSin 20-ic unda iyofodes 3-ze, rac ar sruldeba. amrigad, SeuZlebelia maT hqonodaT 20 burTi.

32 fanqris fasic da kalmis fasic luwi ricxvebia, lu wia nayidi rveulebisa da albomebis odenobebic. amrigad, na vaW ris Rirebulebac, rogorc luwi ricx-vebis jami — luwia; 557 ki kentia. amrigad, gamyidveli Secda.

33 a) TiToeuli ricxvi iyofa 3-ze — cifrebis jami iyofa 3-ze; b) 6-ze gaiyofa mxolod 132 da 312 — orive luwicaa da 3-is jeradic; g) 9-ze arc erTi ar gaiyofa — cifrTa jami (6) ar iyo fa 9-ze.

34 a) 999998; b) 999999; g) 999995; d) 999999; e) 999990.

35 1·2·3·4·5· ... ·10·11·12·13 — am TanamamravlTa Soris aris 2, 5 da 10, romelTa namravlia 100. amitom namravlis bolo ori cifri nulebia.

36 a) dasaxelebul Tanamamravlebs Soris gamovyoT iseTi wyvilebi, romlebic nuliT daboloebul ricxvebs mogvcemen: 2 da 5; 4 da 15; 1 da 10 — sul sami. isini mxolod sami nuliT daboloebul ricxvs warmogvidgenen.

37 ricxvi rom iyofodes 45-ze, is 9-zec unda iyofodes da 5-zec, amitom cifrTa jami 9-is jeradi unda iyos da bolo cifri ki — 0 an 5. saZiebeli ricxvebia: 123840, 123345.

38 gamoviyenoT 3-ze gayofadobis niSani da miviRebT, rom 3-is jeradia 8·107+1; 3·104+2·102+1; 2·10n+1.

53

§ 1.3. martivi da Sedgenili ricxvebi. udidesi saerTo gamyofi da umciresi saerTo jeradi

mizani

• naturalur ricxvTa klasifikaciis warmodgena da misi gamoyeneba.• ariTmetikis ZiriTadi Teoremis propedevtika. misi gamoyeneba umciresi

saerTo jeradisa da udidesi saerTo gamyofis povnisas.• praqtikuli amocanebis amoxsnisas udidesi saerTo gamyofisa da umciresi

saerTo jeradis gamoyenebis unaris ganviTareba.

gakveTili SeiZleba ramdenime ricxvis, magaliTad, 2-is, 3-is, 4-is, 8-is, 42-is, 19-is, 29-is gamyofebis warmodgeniT daviwyoT.

• maTgan romlebs aqvs zustad ori gamyofi? 2-s, 3-s, 19-s, 29-s _ eseni martivi ricxvebia.

• romlebs aqvs orze meti gamyofi? 4-s, 8-s, 42-s _ isini Sedgenili ricxvebia.moswavleebi ayalibeben martivi da Sedgenili ricxvebis cnebebs.• ramdeni gamyofi aqvs 1-s? is arc martivia, arc Sedgenili.

naturalur ricxvTa klasebad dayofa _ martiv ricxvTa klasi, ricxvi 1, Sedgenil ricxvTa klasi _ mniSvnelovan rols TamaSobs ricxvTa Teoriasa da mis gamoyenebebSi. amitom maT Sesaxeb warmodgenebis gaRrmavebasa da gafarToe-bas me-7 klasSic vagrZelebT.

erT-erTi mniSvnelovani sakiTxi, romelic martiv ricxvTa klasTan aris da-kavSirebuli, aris imis dadgena, martiv ricxvTa klasi usasruloa, Tu ara.

maswavleblebi sasurvelia icnobdnen evklides Teoremis damtkicebas ([5], gv. 49), romelic sawinaaRmdegos daSvebis meTodiT tardeba.

savarjiSoebiT martivi da Sedgenili ricxvebis amocnobaSi gawafvis Semdeg moswavleebi ixseneben ramdenime ricxvis usg-s cnebas. ricxvTa ramdenime wyvilis usg-s gamoTvlis Semdeg gamovyofT ricxvTa wyvilebs, romelTa usg 1-is tolia _ es urTierTmartivi/Tanamartivi ricxvebia.

savarjiSoebiT gaiwafebian ori am meti ricxvis usg-s povnaSi. miaqcion yuradReba _ Tu wiladis mricxveli da mniSvneli Tanamartivi ricxvebia da mniSvneli metia 1-ze, wiladi ukvecia.

magaliTebiT gaiwafebian ori an meti ricxvis usj-s povnaSic.aqtivobis gafarToeba SeiZleba `sxvadasxvaSi~ SemoTavazebuli ori ricxvis

usj-sa da usg-s Soris damokidebulebis formulis gacnobiTa da gamoyenebiT: a⋅b=usg(a; b) ⋅ usj(a; b).paragrafi sami nawilisgan Sedgeba; TiToeul nawils Sesabamis amocanebTan

erTad SeiZleba TiTo gakveTili davuTmoT.

pasuxebi da miTiTebebi:

7 Tu p da q gansxvavebuli martivi ricxvebia, maSin pq-s gamyofebia 1, p, q da pq.

54

8 Tu p martivi ricxvia, p3-is gamyofebia 1, p, p2, p3.

27 28–1=256–1=255 _ 5-is jeradia;56 bolovdeba 5-iT, 56–103 =56–1000 bolovdeba 5-iT, e. i. 5-is jeradia. moswavleebma (36–1)-is Semowmebis ramdenime gza SeiZleba SemogvTavazon. erT-

erTi gza aseTia: 36=27⋅27 _ bolovdeba 9-iT, 36–1 bolovdeba 8-iT. amitom ar iyofa 5-ze.

30 Tu ori naturaluri ricxvis jami kentia, am ricxvebidan erTi luwia, meore kenti. luwi da kenti ricxvebis namravli luwia.

31 a) arasworia. magaliTad, 11 kentia da ar aris 3-is jeradi. b) arasworia. magaliTad, 9 kentia da ar aris martivi. g) arasworia. magaliTad, 2 martivia da ar aris kenti.

36 pirvel rva aTeulSi cxriani rvajer gvxvdeba 9; 19; ...; 79; mecxreSi — orjer: 89; 90; meaTeSi — aTjer; 91, 92, ..., 99, e. i. sul ocjer.

37 am ricxvs 5-is garda sxva martivi gamyofic Tu aqvs, maSin mas oTxi gamyofi eqneba (ix. amocana 7). amrigad, es ricxvia mxolod 52, anu 25 — gamyofe-bia 1; 5; 25.

38 ricxvi, romelic 21-ze iyofa, gaiyofa 3-zec da 7-zec. amrigad, misi gamyofebia 1; 3; 7; 21. am ricxvebisgan gansxvavebuli p martivi gamyofi rom hqonoda, kidev sul cota oTxi gamyofic eqneboda — p, 3p, 7p, 21p. amrigad, saZiebeli ricxvis martiv mamravlebad daSlaSi 3 an 7 orjer monawileobs. 3 unda gamoiricxos — maSin ricxvi 9-ze gaiyofoda. amrigad, gameordeba 7. Sesa-bamisad, gamyofebi iqneba: 1; 3; 7; 21; 49; 147, TviT ricxvia 147.

39 radgan x ricxvi orze metia, x–1 da x+1 ricxvebi erTze metia da (x–1)(x+1) namravls sami gamyofi mainc aqvs: 1, x–1, x+1 — amitom Sedgenili ricxvia.

40 m=n+14 — amis gaTvaliswinebiT gveqneba.

A B Sedarebis Sedegi SeniSvnebi

m–10 n A>B m–10=n+14–10=n+4

m n+20 A<B n+14<n+20

m–10 n+10 A<B m–10=n+4<n+10

m–7 n+7 A=B m–7=n+14–7=n+7

(m+n)-is 2-ze gayo fisas

miRebuli naSTi0 A=B

m+n=2m+14=2(m+7)naSTia 0

(3m+5n)-is 2-zegayofisas

miRebuli naSTi1 A<B

3m+5n=8n+42=2(4n+21)naSTia 0

55

m-is 7-ze gayofisas

miRebuli naSTi

n-is 7-ze gayofisas

miRebuli naSTiA=B

Tu n=7k+r, maSin m=n+14=

=7k+r+14=7(k+2)+r

(m–n)-is 7-ze gayo fisas

miRebuli naSTi0 A=B

m–n=14=7·2naSTia 0

42 ar aris swori, radgan ricxvi ar SeiZleba Tavis gam yof ze naklebi iyos.

43 gaviTvaliswinoT, rom 322=46·7 da 230=46·5. Tu Ti To eul amanaTSi movaT-avsebT 7 mandarinsa da 5 vaSls, 46 ama na Tis Sedgenas SevZlebT. 46-ze meti amana-Tis Sedgena SeuZ le belia — 46 aris udidesi saerTo gamyofi 322-isa da 230-is.

44 a) SesaZlebelia. magaliTad, usg (2; 12)=2;b) ar SeiZleba — Tu b kentia, maSin 3b-c kentia da 2 misi gamyofi ar iqneba;g) SeiZleba. magaliTad, usg (4; 6)=2;d) SeiZleba. magaliTad, usg (2; 6)=2;e) SeiZleba. magaliTad, usg (14; 12)=2.

46 pq2-is gamyofebia 1, p, q, q2, pq, pq2 _ 6 gamyofi. pedagogebs ki SevaxsenebT, rom, Tu p da q martivi ricxvebia, pn-s aqvs n+1 cali gamyofi (1, p, p2, ..., pn), qm-s aqvs m+1 cali gamyofi, pnqm-s aqvs (n+1)(m+1) cali gamyofi. marTlac, pn-is (n+1) cali gamyofidan yovelis namravli qm-is (m+1) gamyofidan yovelze qmnis pnqm-is

gamyofs. amasTanave, (n+1)(m+1) odenobis gamyofebSi toli ricxvebi ar gvxvdeba.

47 sami gamyofi aqvs nebismieri martivi ricxvis kvadrats: Tu p martivia, p2-is gamyofebia mxolod 1, p da p2 (Tu raime ricxvs ori gansxvavebuli martivi gamyofi mainc aqvs, maSin misi gam yofebis odenoba ≥4. Tu gamyofia martivi ricxvis kubi, gam yo fTa ricxvi kvlav ≥4). martiv ricxvTa kvadratebi uam ra via, radgan uamravia TviT martivi ricxvebic.

48 a) usg (p; q)=1; b) usg (p2; pq)=p;g) usg (p–q, 2)=2 – p da q kenti ricxvebia, maTi sxva oba — luwi;d) usg (q+1; 2p)=2 — radgan q martivia da 2-ze me tia, amitom q kentia, maSin

q+1 — luwia; 2p-c luwia. am ri gad, 2 aris (q+1)-isa da 2p-s saerTo gamyofi; is udidesic iq ne ba saerTo gamyofebs Soris, radgan 2p-s gamyofebia mxo lod 1, 2, p da 2p, q+1 ki arc p-ze da arc 2p-ze ar gaiyofa — q<p, orive kentia, e. i. q+1<p.

49 usj (60; 28)=420, e. i. pirveli disko unda mobrundes 420:60=7-jer, meore ki — 420:28=15-jer.

50 es ricxvi iqneba usj(4;5;7)+3=143.

51 374 -sa da

415 -ze gayofa

437 -sa da

541-ze gamrav le bas niSnavs, amitom saZie-

beli ricxvi 4-zec unda iyofodes da 5-zec — aseT ricxvebSi umciresia 20.52 Tu a ar aris p-s jeradi, maSin usg(a; p)=1, usj(a; p)=ap; Tu a aris p-s

jeradi, maSin usg(a; p)=p, usj(a; p)=a.

56

53 mocemuli ricxvebi unda iyos 9m da 9n saxis, sadac m da n Tanamartive-bia. vTqvaT, 9m<9n, maSin m=5m1 da vRebulobT 9·5m1·9n=3645; m1·n=9; m1=1 da n=9.

amrigad, mocemuli ricxvebia 45 da 81.

54 movZebnoT usj (400; 600; 900)=3600, radgan 3600 metrs TiToeuli morbenali 5 m/wm siCqariT faravs, amitom Sexvedra Sedgeba 3600:5=720 wamSi, anu 12 wuTSi.

55 pirobis Tanaxmad, Tu mocemul ricxvs x-iT aRv niS navT, maSin x+3 iyofa 5-zec, 8-zec, 10-zec da 15-zec. umciresi aseTi ricxvi 120-ia, e. i. saZiebeli ricxvi x=117.

56 Tu ricxvi iyofa 36-ze, is iyofa 9-zec da 4-zec. aTive SesaZlebeli ci-friT Sedgenili aTniSna ricxvis cifrTa jami 45-ia, amitom aseTi ricxvi 9-is jeradia. 4-ze gayo fa do bisTvis ricxvis Canaweris bolo ori cifriT (aTeulebisa da erTeulebis) Sedgenili orniSna ricxvi unda iyofodes oTx ze. aRniSnuli Tvisebis aTniSna ricxvebs Soris umciresia 1023457896.

57 radgan 0 da 6 raime naturaluri ricxvis kvadrati ar aris, amitom, vTq-vaT, gansaxilveli ricxvis aTobiT CanawerSi ori cifri mainc aris. ganvixiloT bolo ori cifri. pirobis gaTvaliswinebiT, vixilavT oTx SemTxvevas: 66, 06, 60, 00 — sinjvis meTodiT mivagnebT, rom naturaluri ricxvis kvadrati ver dabolovdeba 66-iT, 06-iTa da 60-iT. amrigad, is unda bolovdebodes 00. axla gansaxilveli ricxvi ase warmovadginoT 100·a, an 102·a da a-s mimarT igive msj-eloba CavataroT. daskvna — CanawerSi SesaZlebelia mxolod 0-ebis arseboba — es ricxvi naturaluri ricxvis kvadrati ar aris.

pasuxi. ar SeiZleba.

58 Tu oTxniSna ricxvi iyofa 12-ze, maSin is unda iyofodes 3-zec da 4-zec. pirobiT, ricxvis cifrebis jami 3-ia _ is iyofa 3-ze. 4-ze gayofadoba ki niS-navs, rom am ricxvis bolo ori cifriT Sedgenili orniSna ricxvi iyofa oTxze _ Tumca es niSani ar aris savaldebulo da Tqven SegiZliaT sinjvis meTodi gamoiyenoT: 1020, 1200, 2100, 3000.

sul oTxi aseTi ricxvia.

jgufuri muSaoba _ proeqti

mizani• cnobarebis gamoyenebis Cvevebis daufleba.• maTematikis gamoyenebiT optimaluri (Rirebulebisa da sxva garemoebebis

gaTvaliswinebiT) variantis SerCeva.proeqtis Sesruleba SeiZleba jgufuri muSaobis formiT CavataroT. jgufebs

evalebaT Seiswavlon SemoTavazebuli variantebi, warmoadginon sakuTari vari-anti, daasabuTon arCevani.

prezentaciis dros mimdinareobs diskusia, msjeloba arCevanis dasabuTebis Sesax eb. swored amas isaxavs miznad am amocanis ganxilva. SesaZlebelia orive arCe-vans, saTanado dasabuTebisas, pedagogma da moswavleebma umaRlesi Sefaseba miscen.

57

sakontrolo wera

(sakontrolo weris variantebis nimuSebi)

I varianti

1. ipoveT 76-is 12-ze gayofisas miRebuli ganayofisa da naSTis jami. 1) 6 2) 8 3) 12 4) 10.

2. x ricxvis 5-ze gayofisas naSTSi miiReba 2. ipoveT (x+6)-is 5-ze gayofisas miRebuli naSTi.

1) 2 2) 4 3) 1 4) 3.

3. x martivi ricxvia, x≠2 da x≠3. ipoveT 6x-is gamyofebis ricxvi. 1) 4 2) 8 3) 12 4) 16.

4. a da b gansxvavebuli martivi ricxvebia. mocemulia tolobebi:

I. usg (a; b)=1, II. usj (a; b)=ab,

III. usg (a; b)=a, IV. usj (a; b)=1.

maTgan WeSmaritia

1) mxolod I 2) III 3) IV 4) I da II.

5. ipoveT umciresi naturaluri ricxvi, romelic 3-ze, 5-ze da 7-ze gayofisas naSTSi 2-s iZleva.

6. saskolo Sejibrebaze 36 gogona da 96 vaJi gundebadaa dayofili. gundebSi mxolod gogonebi an mxolod vaJebia.

gundebSi moTamaSeTa odenobebi erTi da igivea. moTamaSeTa ra udidesi o de no-ba SeiZleba iyos TiToeul gundSi? ramdeni gundi Camoyalibdeba am Sem Txve vaSi?

II varianti1. ipoveT is a ricxvi, romlis 17-ze gayofisas miiReba ganayofi 3 da naSTi 2. 1) 51 2) 50 3) 53 4) 54.

2. x ricxvis 7-ze gayofisas miiReba naSTi 6. ra naSTi miiReba (x+2)-is 7-ze gayofisas?

1) 1 2) 8 3) 2 4) 3.

3. x martivi ricxvia, x≠3 da x≠7. ipoveT 21x-is gamyofebis ricxvi. 1) 2 2) 8 3) 4 4) 16.

4. x da y gansxvavebuli martivi ricxvebia. mocemulia tolobebi:

I. usg (x; y)=y II. usg (x; y)=xy, III. usj (x; y)=xy,

IV. usg (x; y)=1, V. usj (x; y)=1.

maTgan WeSmaritia:

1) II da III 2) III da IV 3) I 4) V.

5. ipoveT umciresi naturaluri ricxvi, romelic 5-ze, 7-ze da 11-ze gayo-fisas naSTSi 2-s iZleva.

6. or punqts Soris boZebi yovel 45 m-is manZilze iyo gan la gebuli. es bo-Zebi axliT Secvales da isini erTmane Tis gan yovel 60 m-Si ganalages. ipoveT manZili pirveli punq ti dan uaxloes axal boZamde, romelic Zveli boZis adgi-lasaa dar Wo bili.

58

Sefasebis sqema pirveli oTxi amocanidan TiToeulSi swori pasuxis Ser Ceva Sefasdeba 1

quliT. me-5 da me-6 amocanebidan Ti To euli – 3 quliT. am ori amocanis Sefasebi-sas Se iZ le ba gamoviyenoT 1 an 2 qulac im SemTxvevaSi, roca amocanis na wilia amox s nili – amoxsna bolomde ar aris miyvanili.

magaliTad, Tu me-5 amocanaSi napovnia dasaxelebuli Tvisebis raime natu-raluri ricxvi (romelic umciresi ar aris), SeiZleba es amoxsna 2 quliT Se-fasdes.

Sefasebis es sqema (an ufro detalurad Cawerili) maswavlebelma mTel klass unda gaacnos SefasebaTa gamocxadebamde.

sakontrolo weris variantebis nimuSebSi SemoTavazebuli zogierTi amocanis amoxsnebi:

I varianti

5. aseTi ricxvia 3·5·7+2=107.

6. movZebnoT 36-isa da 96-is saerTo gamyofebs Soris udidesi:

usg (36; 96)=2·2·3=12.maSasadame, gundebSi SeiZleba iyos sul didi 12-12 moTa-

maSe. am SemTxvevaSi gundebis odenoba iqneba 11. maTgan 3 — gogonebisa da 8 — vaJebis.

II varianti

5. aseTi ricxvia 5·7·11+2=387.

6. unda movZebnoT 45-isa da 60-is umciresi saerTo jeradi.

usj (45; 60)=( ; )45 60

45 6015

45 60 180usg

$ $= = .

(SeiZleba es usj movZebnoT 45-isa da 60-is martiv mamravlebad daSlis gziTac).saZiebeli manZili 180 metria.

36 2 18 2 9 3 3 3 1

96 2 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1

59

§ 1.4. simravle. qvesimravle

mizani

• simravlis, qvesimravlis, carieli simravlis cnebebis aRwera da maTi sx-vadasxva gamoyenebis unaris ganviTareba;

• ricxviT simravleebs Soris mimarTebebis warmodgenisas simravluri enis gamoyenebis daufleba.

paragrafs SeiZleba ori gakveTili davuTmoT. pirveli gakveTili SeiZleba Sereuli tipis iyos; mimdinareobs wina gakveTilze axsnili masalis aTvisebis Semowmeba, ganmtkiceba. SeiZleba amoixsnas gameorebis amocanebidan ramdenime Sesabamisi amocana. amis Semdeg gadavdivarT simravlis cnebis aRweris procesze. es procesic SeiZleba moswavleTa monawileobiT daigegmos. Tavidanve miaqcieT yuradReba imas, rom simravle SeiZleba erTi, ori, an meti elementisgan Sedge-bodes, an ar hqondes elementi, rom simravle ganisazRvreba raRac TvisebiT, romelic axasiaTebs gansaxilvel obieqtebs da mxolod maT (maxasiaTebeli Tviseba). garkveuli Tvisebebis miTiTebiT moswavleebi asaxeleben simravles, romelsac am Tvisebis mqone yvela obieqti qmnis. magaliTad, SeiZleba moswav-leebTan ganvixiloT naturaluri ricxvebi da mivuTiToT Tviseba _ ìyos mar-tivi~. moswavleebi TviTon adgenen simravles, romelic Sedgeba yvela martivi ricxvisgan _ 2; 3; 5; 7; .... es usasrulo simravlis magaliTia.

simravleTa Teoriis sawyisi elementebis swavleba xels uwyobs maTematikis sxvadasxva nawilis erTianobis gaazrebas. zogierTi simravlisTvis specialuri aRniSvnebi Semogvaqvs. am aRniSvnebis gamoyeneba momavalSi moswavleebs xSirad mouwevT. maswavlebelma ar unda ifiqros, rom aRniSnuli masaliT moswavleebs simravleTa Teorias vaswavliT skolaSi _ am Teoriis sawyisi cnebebis gadmoce-ma damxmare saSualebaa. simravleebTan dakavSirebiT asoebis gamoyeneba maTema-tikuri niSnebis gamoyenebis erT-erTi mniSvnelovani magaliTia _ aso aRniSnavs, gansazRvravs `sagans~ _ konkretul simravles an am simravlis elements. mo-mavalSi ufro xSirad mogviwevs im SemTxvevebis ganxilva, roca aso simravlis nebismieri elementebis aRsaniSnavad gamoiyeneba (cvladi; ix., mag. [11]); magali-Tad, Canaweri `x nebismieri naturaluri ricxvia~, niSnavs, rom x SeiZleba iyos 1, 2, 3 an romelime sxva naturaluri ricxvi, erT-erTi yvelaze gavrcelebuli Secdoma, rac simravleTa swavlebisas gvxvdeba es erTelementiani simravlis Ta-vis elementTan gaigivebaa _ xSirad moswavle fiqrobs, rom {a} da a erTsa da imave obieqts warmogvidgens. saTanado amocanebis ganxilviT mniSvnelovania am sakiTxze moswavleTa yuradReba gansakuTrebiT gaamaxviloT _ a∈{a}. am momen-tis aTvisebis xarisxs me-6 testis amoxsniT SeamowmebT.

meore gavrcelebuli Secdomaa simravluri CarTvisa da mikuTvnebis niSnebis araswori gamoyenebebi _ moswavleebs erTmaneTSi erevaT ⊂ da ∈ niSnebi. am Sec-domis prevencias movaxdenT 1-5, agreTve, 16 savarjiSoebis SesrulebiT.


5 am savarjiSos amoxsnisas kidev erTxel davafiqsiroT, rom Tu A da B simravleebi erTi da imave elementebisgan Sedgeba, maSin maT toli simravleebi

60

ewodeba. amrigad, Tu A⊂B da B⊂A, maSin A=B.amocanaSi aRwerili A da B ricxviTi simravleebi tolia, e. i. A=B, A⊂B da B⊂A

_ swori pasuxia 4). Tu A da B-s ganvixilavT, rogorc simboloebis simravleebs, maSin, cxadia, A≠B.

8 Tu ricxvi iyofa 6-ze, is gaiyofa 3-zec. amitom B-s yoveli elementi Sedis A-Si, B aris A-s qvesimravle _ B⊂A.

15 pasuxi:

0 2 4 5 6 7 9 12O∈A 2∈A 4∈A 5∉A 6∈A 7∉A 9∉A 12∈A0∉B 2∉B 4∉B 5∈B 6∉B 7∈B 9∈B 12∉B

moswavleebma yuradReba unda miaqcion faqts: yoveli mocemuli ricxvi an kentia, an luwi. kenti da luwi ricxvebis simravleebs saerToO elementi ara aqvs.

18 Nm–1 simravleSi m–1 elementia; pirobiT, m–1=9, m=10.

19 Nk⊂N7 ⇒ k≤7, anu k=1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

20 Nm⊂Nn⊂N6, e. i. 1≤m≤n≤6; gveqneba (m; n) SesaZlo wyvilebi: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6); (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6); (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6); (4; 4), (4; 5), (4; 6); (5; 5), (5; 6); (6; 6).

21 a) 3-ze gayofisas naSTi SeiZleba iyos 0, 1 an 2. Sesabamisad, arsebobs sami qvesimravle, romelTagan TiToeulis elementebi 3-ze gayofisas erTsa da imave naSTs iZleva.

SemoviRoT aRniSvnebi: qvesimravle, romlis elementebi 3-ze gayofisas naSTSi 0-s iZleva aRvniSnoT A0-iT; A1-iT aRvniSnoT qvesimravle, romlis elementebi 3-ze gayofisas naSTSi 1-s iZleva, A2-iT _ 2-s.

A0={12; 15; ... ; 99}, A1={10; 13; ... ; 97}, A2={11; 14; ... ; 98}.momavalSi es simravleebi SeiZleba asec CavweroT: A0={3k | k∈n, 4≤k≤33}; A1={3k+1 | k∈n, 3≤k≤32}; A2={3k+2 | k∈n, 4≤k≤32}.b) A0, A1, A2 simravleTagan TiToeulis nebismieri ori elementi 3-ze gayo-

fisas erTsa da imave naSTs iZleva, amitom am elementebis sxvaoba iyofa 3-ze — naSTi nulia.

22 A={1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}; B={1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}; a) saerTo elementebis simravlea {1; 2; 3; 6}; b) {1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 42}; g) {5; 10; 15; 30}; d) {7; 14; 21; 42}.

61

amocanebi gameorebisTvis

3 SeiZleba moswavlem ipovos oTxive gamosaxulebis mniSvneloba da daadginos, rom maTgan 10-ze iyofa mxolod 2); magram ufro dakvirvebuli moswavleebi dainteresdebian Sesakrebebis bolo cifrebiT. 1) savaraudo pasuxSi saklebi 5-iT bolovdeba, maklebi 2-iT, sxvaoba 0-iT ver dabolovdeba (bolovdeba 3-iT). 2) pasuxSi saklebic da maklebic 1-iT bolovdeba, amitom sxvaoba bolovdeba 0-iT da is iyofa 10-ze. zogierTebma SeiZleba danarCeni pasuxebi arc Seamowmon, radgan savaraudo pasuxebidan mxolod erTia swori. miuxedavad amisa, klasma unda gaagrZelos dawyebuli msjeloba da Semdeg gamoacxados pasuxi.

4 147*2 SeiZleba CavweroT gaSlili formiT: 14000+700+*2.aq I da II Sesakrebi iyofa 7-ze. mocemuli ricxvic iyofa 7-ze, amitom *2 orniSna

ricxvic unda iyofodes 7-ze. amrigad, *-iT Secvlilia cifri 4.

5 moswavleebi aseTi tipis amocanebs sxvadasxva gziT xsnian. magaliTad,• rveulebis saerTo raodenoba aRvniSnoT x-iT. pirobiT x ⋅45=20, saidanac x=25.

e. i. gasasworebeli darCa 25–20=5 rveuli.

• gasasworebeli darCa rveulebis 15 nawili. TuU 20 aris 4

5 nawili, 15 nawili

iqneba 20:4=5 rveuli.

6 amocanis amoxsnis erT-erTi gzaa: levanma II dRes waikiTxa 47-is naxevari

_ 27. mesame dRes darCenili 2

7, rac 32 gverdi aRmoCnda. Tu x-iT aRvniSnavT wignis

gverdebis raodenobas, miviRebT: x ⋅27=32, saidanac x=112.

7 pirobiT, a+1 iyofa 2-ze, 3-ze, 4-ze, 5-ze da 6-ze, anu iyofa 60-ze. 60-is jeradi umciresi samniSna ricxvia 120, a+1=120, a=119.

8 SeiZleba siCqare gzis I naxevarze aRvniSnoT x km/sT-iT, II naxevarze _ (x+4)-iT. pirobiT, 3x=2(x+4), saidanac x=8 km/sT. mTeli gzis sigrZea 6x=48 km.

SeiZleba mTeli gzis sigrZe (saZiebeli sidide) aRvniSnoT x km-iT; maSin, pirobiT,

x2: 3+4=x

2: 2,

x6+4=x

4, saidanac x=48.

zogjer moswavleebi ase msjeloben:gzis II naxevarSi yovel 1 sT-Si 4 km-iT mets gadioda I naxevarTan SedarebiT.

2 sT-Si 8 km-iT meti gaiara da aanazRaura I naxevarze 1 sT-Si gavlili manZili. e. i. I naxevarze siCqare iyo 8 km/sT, II naxevarze _ 12 km/sT. manZili: 3⋅8+2⋅12=48 km.

62

§ 1.5. simravleTa gaerTianeba da TanakveTa. venis diagramebi

mizani

• simravleebis, simravleebze operaciebis (gaerTianeba, TanakveTa) TvalsaC-inod warmodgenis unaris ganviTareba

• amocanebis amoxsnis TvalsaCino xerxebis gamoyenebis unarebis ganviTareba.

vecnobiT simravleebis TvalsaCino gamosaxvis xerxs _ venis daigramebs. venis diagramebiT warmovadgenT simravleTa gaerTianebasa da TanakveTas. venis dia-gramebs didi gamoyeneba aqvs _ maTi saSualebiT mravali amocana TvalsaCinod da martivad ixsneba.

simravleebze operaciebis venis diagramebiT warmodgenisas yuradReba miaqci-eT, rom yvela logikuri SesaZlebloba iyos ganxiluli; magaliTad, roca sau-baria ori simravlis saerTo elementebis arsebobaze, an erT simravleSi iseTi elementebis arsebobaze, romlebic meore simravleSi ar Sedis. magaliTad, ori simravlis TanakveTis ama Tu im SemTxvevis gamosaxvasTan erTad moswavleebi ganixilaven sxva SemTxvvebsac da TanakveTis sxva SesaZleblobebsac Tavad war-moadgenen venis diagramebiT.

simravleebis gaerTianebis SesaZlo SemTxvevebis ganxilvisas sayuradReboa saerTo elementebis arseboba _ isini axal simravleSi TiTojer moiazreba. am SemTxvevaze yuradRebis miqceva momavalSi _ logikuri amocanebis amoxsnisas swori daskvnebis gamotanis sawindaria.

paragrafis amocanebSi, garda ZiriTadi Temisa, mniSvnelovani yuradReba eqce-va gayofadobasa da naSTebs. Tematikis mravalferovneba saSualebas mogcemT gakveTili ise warmarToT, rom is ar iyos erTferovani, mosawyeni, amasTanave, SeZlebT gaiTvaliswinoT Tqveni klasis momzadebis specifika da meti yuradRe-ba miaqcioT im masalas, romelic moswavleebs naklebad aqvT aTvisebuli. mo-swavleebTan mudmivi kontaqtiT, sakiTxebis erToblivi ganxilvebiT kidev ufro daazustebT arsebul xarvezebs moswavleTa codnaSi, codnis gamovlenis unarSi. es informacia Tqvens samomavlo muSaobas ufro mizanmimarTuls gaxdis.


testuri amocanebi diagramebis gamoyenebaSi gawafvas emsaxureba. magaliTad, 3 piroba diagramiT ase gamoisaxeba

AB an A, B

orive SemTxvevaSi A-s elementebi B-Sic Sedis, isini orive simravlisTvis saerToa. amitom A∩B=A.

9 A={0; 1; 2; 3; 4}, B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, A∩B={0; 1; 2; 3; 4}.

10 A={1; 2; 7; 9; 10; 12; 15}, B={0; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 11}.

63

a) A∪B={0; 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 15}; A∩B={7, 9};b) C SeiZleba SeirCes A∩B simravlis qvesimravleebidan: ∅, {7}, {9}, {7; 9};g) radgan C aris A∩B-s qvesimravle, C∩(A∩B)=C (ix. me-3 testi).

12 A={12; 15; 18; 21; ...; 99}; B={14; 21; 28; ...; 98}. A∩B={21; 42; 63; 84} — sul oTxi elementi.

13 orive mocemuli ricxvi warmovadginoT martivi mam rav le bis namravlis saxiT:

210 231

2 105 3 77

2 3 35

2 3 5 7 3 7 11

210=2·3·5·7 231=3·7·11A da B, Sesabamisad, 210-is da 231-ia martiv gamyofTa simravle iyos: A={2; 3; 5; 7} B={3; 7; 11}

A∩B={3; 7}.

14 warmovadginoT mocemuli ricxvebis gamyofTa simrav le ebi: 36 — A={1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}; 40 — B={1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}. A∩B={1; 2; 4}.

15 • A∪B aris 3k+1 an 3k+2 saxis yvela orniSna ricxvis simravle, anu im orniSna ricxvebis simravle, romlebic ar aris 3-is jeradi.

16 amocaniT moswavle iwafeba informaciis mogrovebis formis SerCevaSi. Tu klasSi aRmoCndeba erTi mainc moswavle, romelsac xatva, simRera da cekva erTdroulad exerxeba, maSin venis diagramas eqneba saxe:

17 pirobiT, B simravlis yoveli elementi (bankis TanamSromeli) Sedis A simravleSi (avtomobilebis mflobelebis), anu B⊂A. venis diagramiT es faqti ase gamoisaxeba

an A, B .

64

Tumca, realur pirobebSi II SemTxveva gamoricxulia, magram amocanis piroba mas ar gamoricxavs da Cven valdebuli varT isic ganvixiloT.

SevaferadoT diagramebze

A∩B: A, B

suraTidan Cans, rom orive SemTxvevaSi A∩B=B, A∪B=A.A∪B: A, B

A

B


es proeqti naSTTa ariTmetikis mniSvnelovani propedevtikaa. amitom klasma mis Sesrulebas jerovani yuradReba unda dauTmos!

1. • am simravleebs saerTo elementi ara aqvs _ raime naturaluri ricxvis 5-ze gayofisas ori gansxvavebuli naSTi ar miiReba.

• arsebobs _ 5-is jeradi ricxvebi arc erT mocemul simravleSi ar Sedis.• magaliTad, ase: `simravle im naturaluri ricxvebisa, romlebic ar iyofa

5-ze~.• magaliTad, ase: `5-is jeradi ricxvebi~. aRniSvnis SerCeva naSTis (0-is)

mixedviT SeiZleba _ A0.• naturalur ricxvTa simravle gamovsaxoT marTkuTxediT

n A0 A1 A2 A3 A4

2. wina amocanis analogiurad, n (n>2) ricxvisTvis Sedgeba simravleebi:A1 _ nk+1 saxis ricxvTa simravle,A2 _ nk+2 saxis ricxvTa simravle,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .An-1 _ nk+n-1 saxis ricxvTa simravle,aq yvelgan k nulia an k∈n.

amocanebi gameorebisTvis.

1 a) mosalodnelia, rom ricxvebis zrdis mixedviT dalagebisas umcires

ricxvs moswavleebi 1-ze nakleb 56-sa da 2

5-s Soris SearCeven. 25 naxevarze naklebia,

56 _ naxevarze meti. e. i. 2

5<56. Semdeg 11

2, 1,25 da 123 unda davalagoT. Tu maT

aTwiladis saxiT CavwerT, miviRebT 112=1,5, 12

3≈1,6.

pasuxi: 25<5

6<1,25<112<12

3<4,6.

zogierTma moswavlem SeiZleba yvela ricxvi aTwiladis saxiT warmoadginos, an gaerTmniSvnelianebis Semdeg daiwyos Sedareba.

b) 12=0,5, 2

3≈0,6.

pasuxi: 0<13<1

2<23<1,7<2,3<6,5.

65

2 procentebze amocanebs momavalSic amovxsniT, gaviwafebiT formulebis gamoyenebaSi. aq aseTi msjelobiT SeiZleba SemovifargloT:

8 biWi klasis 40%-s Seadgens, 10%-s _ 2 moswavle, 100%-s _ 20 moswavle.

3 am amocanaSi SeiZleba vimsjeloT:

gogonebi biWebis 25%-ia, anu 14-ia. e. i. biWebi gogonebze 4-jer metia. klasSi

biWebis raodenobis Sefardeba gogonebis raodenobasTan aris 4:1. diagrama

TvalsaCinod warmogvidgens, rom gogonebi klasis moswavleTa mexuTedia: 20⋅15=4.

biWebi gogonebi

4 samniSna ricxvebis odenoba 900-ia, samniSna nomriani gverdebis gada-nomvras 900⋅3=2700 cifrze meti ar sWirdeba. aq 2292 cifria gamoyenebuli. e. i. am wignSi oTxniSna nomriani gverdebi ar aris. aris mxolod erTniSna, orniSna da samniSna.

erTniSna nomrebs 9 cifriT CavwerT. orniSnebis raodenoba 90-ia, amitom saWiroa 90⋅2=180 cifri. samniSna nomriani gverdebisTvis darCa 2292–(180+9)=2103 cifri, rac 2103:3=701 gverds eyofa. e. i. wignSi aris 701+90+9=800 danomrili gverdi _ 400 furceli.

5 jer frCxilebSi moqmedeba SevasruloT:

1225– 4

25= 3675– 20

75= 1575.

Semdegi moqmedeba gayofaa:

445:

1675= 4

45⋅ 7516= 5

12.

pasuxi: 512+ 15

16⋅ 415= 5

12+ 14= 512+ 3

12= 812= 23.

66

damoukidebeli samuSao

SearCieT swori pasuxi

1. 3⋅103-is momdevno naturaluri ricxviaa) 301 b) 4⋅103 g) 3001 d) 3⋅104

2. CamoTvlili ricxvebidan 3-ze iyofaa) 1⋅1015 b) 5⋅1014+1 g) 4⋅1015+1 d) 1015+1

3. Tu a kenti ricxvia, maSin aucileblad luwiaa) 2a+3 b) 3a+1 g) 3a+2 d) a+4.

4. vTqvaT, a ricxvis 7-ze gayofisas miRebuli naSTia 4. maSin 2a ricxvis 7-ze gayofisas miRebuli naSTia

a) 1 b) 8 g) 6 d) 0.

5. samelementian simravles aqvsa) 4 qvesimravle b) 3 qvesimravle g) 9 qvesimravle d) 8 qvesimravle.

6. A simravleSi 10 elementia, A da B simravleebis TanakveTaSi _ 3 elementi. ipoveT im elementebis odenoba, romlebic ekuTvnis A-s da ar ekuTvnis B-s.

a) 13 b) 7 g) 4 d) 3

amoxseniT amocanebi

7. A simravlis elementebi orniSna ricxvebia, romelTa CanawerSi cifri 3 ar aris gamoyenebuli. ipoveT A simravlis elementebis odenoba.

8. ipoveT 432-is gamyofebis odenoba.

miTiTebebi amocanebis amosaxsnelad:1. 3⋅103=3000. misi momdevno ricxvia 3001.

2. 1015 aris 1-ianiT da 15 nuliT Cawerili ricxvi. misi cifrTa jamia 1 da is ar iyofa 3-ze.

5⋅1014+1 aris 5-iT, 0-ebiTa da 1-iT Cawerili ricxvi. misi cifrTa jamia 6 da is iyofa 3-ze.

3. 2a luwia, 2a+3 kentia; 3a kentia, 3a+1 _ luwi; 3a+2 _ kenti. a+4 _ kenti. pasuxi: 3a+1.

4. pirobiT, a aris 7k+4 saxis ricxvi (k=0, 1, 2,...). 2a=14k+8=14k+7+1=7(2k+1)+1. 7(2k+1) iyofa 7-ze, e. i. 2a-s 7-ze gayofisas miRebuli naSTia 1.

67

5. amovweroT raime samelementiani simravlis {1; 2; 3} qvesimravleebi:∅{1}, {2}, {3},{1; 2}, {1; 3}, {2; 3},{1; 2; 3}.maTi raodenoba aris 8.momavalSi moswavleebi iswavlian, rom n-elementiani simravlis qvesimravleTa

raodenoba aris 2n. 6. venis diagramis gamoyenebiT martivad aRmovaCenT, rom

im elementebis odenoba, romlebic mxolod A-s ekuTvnis aris 7.

7. dasaxelebuli orniSna ricxvis aTeulis TanrigSi cifri SeiZleba SeirCes rva cifrs Soris (0-is da 3-is garda), erTeulis TanrigSi _ cxra cifrs Soris (3-is garda). sul aris 8⋅9=72 orniSna ricxvi, romelTa CanawerSi 3-iani ar monawileobs.

8. 432=33⋅24. 33-s aqvs 4 gamyofi, 24-s _ 5 gamyofi, maT namravls aqvs 4⋅5=20 gamyofi.

pasuxebi:

1 2 3 4 5 6g b b a d b

7. 72. 8. 20 gamyofi.

A B

37

68

§ 1.6. geometriuli figurebi

mizani

• geometriul figuraTa klasifikaciis unaris ganviTareba (sxvadasxva niS-

niT _ magaliTad, sivrculi, brtyeli).

• geometriuli figurebis gazomvis Cvevebis gamyareba.

• sivrculi warmodgenebis gaRrmaveba.

• deduqciuri msjelobis unaris ganviTareba.

• geometriul figuraTa aRniSvnebis daufleba da gamoyeneba.

geometriuli masalis warmodgena axali erovnuli saswavlo gegmis mixedviT

arsebiTad gansxvavdeba im midgomisgan, rac gulisxmobs ukve me-7 klasSi sawy-

isi winadadebebis warmodgenas, maTze dayrdnobiT Teoremebis damtkicebas. am

principebiT iyo Sedgenili pogorelovis saxelmZRvaneloebi, romlebiTac CvenSi

iswavleboda geometria da romlebiTac dResac iswavleba geometria ruseTSi.

principebi, romlebic safuZvlad daedo gadmocemis Cvens stils, efuZneba

erovnul saswavlo gegmas da ZiriTadad, frangi mecnieris Jan dalamberis Tval-

sazriss iziarebs; am koncefciis amosavali wertili masalis martivad da gas-

agebad gadmocema, gazomvebze, geometriul figuraTa urTierTganlagebaze yur-

adRebis gamaxvileba. amasTanave, sivrculi da brtyeli figurebis Tvisebebi mar-

tivi formiT erTdroulad ganixileba. zogierTi mecnieri miiCnevda, rom erTian

kursSi geometriis moqceva realur samyarosTan kavSirs Seamcirebda. situaciis

maTematikuri aRweris sxvadasxva mxare moiTxovs misi sxvadasxva nawilis gamoy-

enebas, sxvadasxva midgomas.

ZiriTadi aqcenti CvenTan keTdeba imaze, rom moswavlem damoukideblad

SeZlos masalis aTviseba. es rodi akninebs maswavleblis rols. mas evaleba

gakveTilebis dagegmvisa da warmarTvis uaRresad mniSvnelovani misia, romli-

danac gamoricxulia gakveTilze Teoriuli masalis `mecnieruli~ damuSaveba.

gadmocema damyarebulia TvalsaCinoebis, praqtikuli gamocdilebis xSir

gamoyenebaze, TvalsaCinoebisa da logikis zomier Serwymaze.

paragrafSi warmodgenili masalis Seswavlas SeiZleba 3 gakveTili davuTmoT.

paragrafSi warmodgenili masala erovnuli saswavlo gegmiT dasaxuli

miznebis Sesrulebas emsaxureba: geometriuli figurebis Sedareba, amocnoba,

warmodgena, geometriul figuraTa urTierTmdebareobis aRweris, Sesabamisi

terminologiis gamoyenebis unaris ganviTareba.

1. wertili, wrfe, monakveTi, sxivi. wrfeebis urTierT gan la gebis

SemTxvevebi

vixsenebT zogierT geometriul figuras — brtyelsac da sivrculsac. am

etapze, ZiriTadad, brtyel figurebs gan vixilavT: monakveTebs, sxivebs, wrfeebs. ganvixilavT agreTve sib rtyeze wrfeTa ganlagebis SesaZlo SemTxvevebs da, Se sa-

bamisad, ganvsazRvravT gadamkveTi da paraleluri wrfeebis cnebebs, viRrmavebT

maTi TvalsaCinod warmodgenis unars.

69

2. wrfeebisa da sibrtyeebis urTierTganlagebis SemTx ve vebi

ganvixilavT sivrcul figuras — marTkuTxa para le le pipeds, vixsenebT

masTan dakavSirebul cnebebs: wvero, wibo, waxnagi. marTkuTxa paralelepipedis

wiboebisa da waxnagebis urTierTganlagebis ganxilvis safuZvelze ganvsazRvravT

ac de nil wrfeebs, paralelur da gadamkveT sibrtyeebs, sibrtyis para lelur da

sibrtyis gadamkveT wrfeebs, veuflebiT maT TvalsaCinod gamosaxvas.

paragrafs mosdevs sakontrolo kiTxvebi, romelTa ganxilviT maswavlebeli Seafasebs moswavleTa mier masalis aTvisebis xarisxs. moswavleTa pasuxebi kiTxvebze savaraudod aseTi iqneba:

1. or wrfes SeiZleba saerTod ar hqondes saerTo wertili _ paraleluri an acdenili wrfeebi; SeiZleba hqondes erTaderTi saerTo wertili _ gadamkveTi wrfeebi; an uamravi saerTo wertili _ TuU wrfeebi emTxveva.

2. ori wrfe gadamkveTia, Tu maT zustad erTi saerTo wertili aqvs.3. gadamkveTi wrfeebis saerTo nawili/TanakveTa wertilia.4. moswavles ar moeTxoveba mkacrad Camoyalibebuli ganmartebebi, SeiZleba

monakveTic da sxivic man suraTze gviCvenos, aRweros: aRniSnos, rom isini wrfis nawilebia; monakveTi orive mxridan SemosazRvrulia; sxivi _ mxolod erTi mxridan da a. S. SemoiRos aRniSvnebi suraTze gamosaxuli monakveTisa da sxivisTvis, daasaxelos isini, es suraTebi mas 5-8 kiTxvebze pasuxisas gamoadgeba.

5. sxivi cali mxridan saTaviTaa SemosazRvruli.6. • sxivi wrfe ar aris, is wrfis nawilia. • sxivi ar aris monakveTi, is ar aris orive mxridan SemosazRvruli. • monakveTi ar aris wrfe, is wrfis nawilia. • monakveTi wrfis nawilia.7. aq moswavle monakveTis ornair dasaxelebaSi iwafeba.8. monakveTis msgavsad sxivis ornairad dasaxeleba ar SeiZleba. AB sxivis

saTave A wertilia, BA sxivis saTave _ B wertili.9. wrfis dasaxeleba misi raime ori wertilis mixedviT (monakveTis msgavsad)

ornairad SeiZleba _ CD da DC erTi da igive wrfea.


10 , 11 , 13 da 14 savarjiSoebiT moswavleebi wrfeebis da wertilebis urTierTganlagebis aRqmaSi iwafebian, isini pirobis mixedviT naxazis Sedgenas swavloben, rac momavalSi geometriuli amocanebis amoxsnis aucilebeli winapirobaa.

15 nebismier or wertilze erTaderTi wrfe gadis. amrigad, Tu or wrfes ori an meti saerTo wertili aqvs isini erT wrfed warmogvidgeba.

17 moswavleebma miaqcion yuradReba frazas: `moniSnul wertilebze gamavali wrfe~. suraTze aseTi wrfe SeiZleba arc iyos gamosaxuli. magaliTad, AC1, A1C, AB1 da sxva wrfeebi. AB1, AD1 da sxva wrfeebi kveTs BB1D1D sibrtyes,

70

magram isini suraTze ar aris gavlebuli. es savarjiSo moswavleTa warmosaxvis unars anviTarebs.

21 - 25 amocanebi kombinatoruli xasiaTis amocanebia. moswavles mouwevs 3-dan, 4-dan, 10-dan ori elementis amorCevaTa odenobis dadgena, rac kombinatorikis formulebis (wyoba, jufTeba) SeswavlisTvis winapirobas qnis.

21 mocemul wrfes ori didi laTinuri asoTi vasaxelebT, e. i. moswavlem unda airCios C, A da B wertilebidan ori nebismieri (CA, CB, AB) da gaiTvaliswinos, rom wrfis dasaxelebisas asoebis mimdevrobas mniSvneloba ar aqvs. e. i. mocemul wrfes 6-nairad davasaxelebT (CA, AC, CB, BC, AB, BA).

22 wina amocanis msgavsad, aqac moswavlem mocemuli wrfis dasaxelebisTvis unda amoirCios 4-dan 2 aso. SeiZleba ase imsjelos: pirvel asod virCevT 4-dan nebismiers, meore asod virCevT darCenili 3-dan nebismiers. miviRebT 4⋅3=12 SesaZleblobas.

23 21-e da 22-e amocanebis msgavsad, moswavlem aqac wrfis dasaxelebisTvis 2 aso unda amoirCios, pirvel asod SeiZleba avirCioT 10-dan nebismieri, meore asod _ darCenili 9-dan nebismieri, miviReT sul 10⋅9=90 SesaZlebloba.

am amocanebSi moswavleebi momavalSi wyobaTa ricxvis formulas gamoiyeneben. rogorc pedagogebisTvis cnobilia, n elementidan m-elementiani dalagebuli qvesimravlis SerCevaTa raodenoba (AB da BA erTi da imave wrfis gansxvavebuli

dasaxelebebia) tolia ricxvis: Amn = 10!

8! _ n elementidan m elementian wyobaTa ricxvis.

magaliTad, 23 amocanaSi A 210= 10!8! =90.

24 sxivis dasaxelebisas I aso aucileblad saTaves aRniSnavs. II aso saTavisgan gansxvavebul nebismier wertils SeiZleba aRniSnavdes. am amocanaSi mocemuli sxivi SeiZleba 3-nairad davasaxeloT: AB, AD an AC.

25 yoveli wertili ori sxivis saTave SeiZleba iyos. erT wrfeze mdebare 4 wertiliT 8 gansxvavebuli sxivia gamosaxuli.

71

§ 1.7. kuTxe. kuTxeTa urTierTganlageba

am paragrafSi ganvsazRvravT kuTxes, kuTxis elementebs (kuTxis gverdebi, wvero), gaSlil kuTxes, mosazRvre da vertikalur kuTxeebs. maTi gamoyenebiT amovxsniT sxvadasxva saxis amocanebs. daveuflebiT kuTxeTa Caweris formebs.

SeiZleba gakveTili daviwyoT wina gakveTilis masalis gameorebiT da paralelurad kuTxis cnebis SemotaniT: moswavles vTxovoT moniSnos dafaze raime wertili da gaavlos am saTavis mqone ori sxivi. ramden nawilad gaiyo sibrtye? or nawilad.

amis Semdeg ganvsazRvravT kuTxes. sayuradReboa, rom sibrtyis orive nawili dasaxelebul sxivebTan erTad qmnis kuTxes, anu iqmneba ori kuTxe, magram, Cven ufro xSirad ganvixilavT xolme im kuTxes, romelic kuTxis gverdebze aRebuli TiTo wertilis SeerTebiT miRebul monakveTs Seicavs.

teqstis mixedviT SeiZleba gaSlili, mosazRvre da vertikaluri kuTxeebis cnebebis Semotana.

sakontrolo kiTxvebiT vamowmebT masalis aTvisebis xarisxs. moswavleebma unda gaixsenon:

1. kuTxes ori gverdi aqvs, gverdebi sxivebia, wvero _ wertili.

me-2, me-3 da me-4 kiTxvebiT ukeT gaiazreben mosazRvre kuTxeTa cnebas da gaiwafebian maT amocnobasa da wakiTxvaSi.

me-5 kiTxviT gaiwafebian vertikaluri kuTxeebis amocnobaSi. vertikalur kuTxeTa wyvilebia, magaliTad, ∠AOB da ∠EOF; ∠AOC da ∠DOF; ∠DOB da ∠COE...


2 garkveulobis mizniT rkalebiT movniSnoT ∠AOB da ∠COD. swori pasuxia _ erTi saerTo wertili.

5 gaiTvaliswineT — marT kuTxe dis (sazogadod, nebis-mi eri amozne qi li mravalkuTxedis) kuTxe moicavs am marT-kuTxeds (mravalkuTxeds).

suraTze gamosaxulia erT-erTi maTgani: ∠ABC.

7 a) SeiZleba; magaliTad,

b) SeiZleba; magaliTad,

72

8 OA da OB sxivebze nebismierad aviRoT O-sgan gansxvavebuli TiTo-TiTo wertili (ixileT suraTi), maTze gavlebuli wrfe gadakveTs AOB kuTxis orive gverds, es wrfe

SeiZleba miviCnioT a wrfed.

b wrfe kuTxis erT-erTi gverdis nebismier wertilze meore gverdis paralelurad gavlebuli

wrfe SeiZleba iyos, an iseTi wrfe, romelic kveTs erT-erT sxivs, meores ki _ ara (ixileT suraTi).

c wrfis mdebareobaze warmodgenas es suraTi gviqmnis:

9 am amocanaSi moswavle teqstis mixedviT naxazis agebaSi, pirobis mixedviT wertilebis moniSvnaSi iwafeba. figuraTa saerTo wertilebis simravle simravleTa TanakveTas warmoadgens.

11 g) gaiTvaliswineT — kuTxesa da mis vertikalur kuTxes sa erTo mosaz-Rvre kuTxeebi aqvs. maSasadame, saZiebeli kuTxe ebia: ∠ABF da ∠NBE.

15 kanonzomiereba SeiZleba ase gamoiTqvas — saaTis is ris moZraobis mimarTulebiT moniSnulia jer kvadratis Ti Tod aRebuli kuTxeebi (zeda marcxeniT dawyebuli), Semdeg — or-orad aRebuli...

am kanonzomierebis mixedviT, Sem de gi ori kvadratia:

17 pirvel suraTze figurebi aseTi monacvleobiTaa ganlagebuli erTmaneTSi:

wrewiri, samkuTxedi, wrewiri, oTxkuTxedi.yovel momdevno suraTze figurebis Tanamimdevroba ase icvleba:

wina suraTze gamosaxuli gare (pirveli) figura ganTavsdeba Siga (meoTxe) figurad. danarCen figuraTa saxeebi ar icvleba. am wesiT IV suraTze figurebi ase ganlagdeba:

oTxkuTxedi, wrewiri, samkuTxedi, wrewiri.

18 mosazRvre kuTxe aqvs mxolod im kuTxeebs, romelTa erTi gverdi SerCeulia OA da OF sxivebidan, meore ki OB, OC, OD da OE sxivebidan. yovel aseT kuTxes erTi mosazRvre kuTxe aqvs (sazogadod, yovel kuTxes ori mosazRvre kuTxe aqvs). amitom sakmarisia davTvaloT im kuTxeebis raodenoba, romelTa

73

erTi gverdia, magaliTad, OA sxivi da ar aris gaSlili. aseTi oTxia: ∠AOB, ∠AOC, ∠AOD da ∠AOE.

19 magaliTad, SemoviRoT aRniSvnebi ise, rogorc es suraTzea gakeTebuli. gadakveTis yovel wertilTan (B da D) aris vertikaluri kuTxeebis 2 wyvili, sul 4 wyvilia: ∠GBC da ∠ABD, ∠ABG da ∠CBD, ∠BDC da ∠FDE, ∠CDF da ∠BDE.


1 moswavlem unda gamoTvalos, ramdenjer eteva 6 lari da 75 TeTri 33,5 larSi. amisaTvis man SeiZleba ipovos bileTis fasis jeradebi da Seadaros is 33,5 lars, an Seasrulos gayofa: 3350:675. miiRebs: am TanxiT SeiZleba mxolod 4 bileTis yidva.

9 testiT moswavleebi 0-is Tvisebas ixseneben, 10 testiT _ damrgvalebis wesebs.

6 moswavleebma ori monakveTis urTierTganlagebis SemTxvevebi unda ganixilon.

am SemTxvevebSi monakveTebs 1 saerTo wertili aqvs.

am monakveTebs saerTo wertilebi ara aqvs.

AB da CD monakveTebs uamravi saerTo wertili aqvs.or monakveTs ar SeiZleba hqondes zustad 2 saerTo

wertili _ swori pasuxia 3) 2.

§ 1.8. monakveTis da kuTxis gazomva

warmodgenilia monakveTebisa da kuTxeebis gazomvis pro ce sebi. moswavleebi

sxvadasxva saxis amocanebis amoxsniT ikvleven: raime wertili aris Tu ara or

mocemul wertils Soris.sigrZis ZiriTadi erTeulia metri, zogierT sxva er Te uls is ase ukavSirdeba:1 m=10 dm=100 sm, 1 m=0,001 km.kuTxis zomis ZiriTadi erTeulia gradusi; 10=60′ (60 mi nuts);1′=60′′ (60 sekunds).gaSlili kuTxis zoma 1800-ia; mosazRvre kuTxeebis zo ma Ta jami 1800-ia.yuradReba gavamaxviloT sibrtyeze sami wertilis ganlagebis SemTxvevebze:

Tu C wertili AB monakveTis wertili ar aris, maSin AC+CB>AB; Tu C wertili AB monakveTze Zevs, maSin AC+CB=AC. amrigad, sibrtyeze am sami wertilis nebismieri

74

ganlagebisas AC+CB≥AB.AC+CB<AB SemTxveva SeuZlebelia!moswavleebs vacnobT kuTxis sazom erTeuls. sigrZis gazomvis analogiurad

(roca monakveTis sigrZes vadarebT sigrZis erTeuls, magaliTad, 1 sm-s), kuTxis

gazomvisas kuTxis zomas vadarebT kuTxis sazom erTeuls, gaSlili kuTxis 1180

nawils _ 1 graduss (10).kuTxis gazomvaSi gawafvas arsebiTad Seuwyobs xels, Tu moswavleebi

TvalzomiT daxazaven mocemuli zomis kuTxes, imsjeleben warmodgenil figurebze da Semdeg transportiriT Seamowmeben savaraudo pasuxebis sizustes.

am paragrafSi moswavleebi gaecnobian mosazRvre da vertikaluri kuTxeebis Tvisebebs: mosazRvre kuTxeebis jami 1800-ia; vertikaluri kuTxeebi tolia.

kiTxvebze pasuxiT moswavleebi uRrmavdebian paragrafSi naswavl masalas.1. biseqtrisa sxivia, sworia b), ar aris swori a) da g).

2. a)-Si ar aris dafiqsirebuli wiris saxe.b)-Si ar aris dafiqsirebuli sxivis saTave.g) zustad aRwers biseqtrisis cnebas.me-3 da me-5 kiTxvebze pasuxi uSualod paragrafis teqstSia.

4. moswavlem SeiZleba suraTiT ivaraudos, rom vertikaluri kuTxeebis biseqtrisebi gaSlil kuTxes qmnis.

SeiZleba dasabuTebac vcadoT:pirobiT, OM da ON aris AB da CD wrfeebiT

Seqmnili vertikaluri kuTxeebis biseqtrisebi. amitom ∠1, ∠2, ∠3 da ∠4 toli kuTxeebia, ∠AOC da ∠COB mosazRvre kuTxeebia, maTi jami 1800-ia. miviReT, ∠AOC+∠COB=∠3+∠4+∠COB=∠1+∠4+∠COB=∠NOM=1800, e. i. ∠NOM gaSlilia.


3 wertilebis ricxviT wrfeze ganlagebiT davadgenT, rom A Zevs C da B wertilebs Soris.

6 CB=20–7,2=12,8 (m).

7 12,6–2,4=10,2 (m).

9

x=4,6:2+9,8:2=2,3+4,9=7,2 (m).

10

OK=12+(19,1–12):2=12+3,55=15,55 (sm).

75

11 SeuZlebelia, radgan C wertili rom yofiliyo A da B wertilebs Soris, maSin miviRebdiT: AC+CB=AB, rac pirobas ewinaaRmdegeba. e. i. C ar aris A da B-s Soris.

12 arsebobs sami wertilis erT wrfeze ganlagebis 6 SemTxveva: (A, B, C); (A, C, B); (B, A, C); (B, C, A); (C, A, B) da (C, B, A). momavalSi moswavleebi iswavlian, rom arsebobs 3 elementis gadanacvlebis PP3=3!=6 SesaZlebloba.

B wertili A da C-s Soris aris or SemTxvevaSi: (A, B, C) da (C, B, A).

13 SemTxvevaTa ganxilvis kvalobaze moswavleebi aRmoaCenen, rom sakmarisia yvelaze didi monakveTis sigrZe SevadaroT danarCenebis jams. tolobis SemTxvevaSi davaskvniT, rom es wertilebi Zevs erT wrfeze _ yvelaze didi monakveTis boloebs Soris Zevs III wertili.

a) AM +MB >AB _ M wertili ar ekuTvnis AB monakveTs, ar Zevs AB wrfeze;b) AM+MB=17,6=AB _ M wertili ekuTvnis AB monakveTs, e. i. AB wrfesac;g) AB+AM=38=MB _ A wertili Zevs M da B wertilebs Soris, e. i. M ar

ekuTvnis AB monakveTs, magram M ekuTvnis AB wrfes.

14 BD=AB+DC–AC=6+7–8=5 (sm).

16 SesaZlebelia ganlagebis ori SemTxveva:

BC=4 sm

C A

BC=10 sm

17 pirobiT, A, B da C wertilebi erT wrfeze Zevs. a, b da c wrfeebi ga dav kveToT raime wrfiT da A, B, C wertilebad miRebuli ga dakveTis wertilebi Se var Ci oT.

19 ABM kuTxe ABC kuTxis naxevaria, MBE kuTxe _ ABC kuTxis naxevris

naxevari, anu 14-ia. miviReT, ∠ABE aris ∠ABC-s 34, anu ∠ABE= 34⋅840=630.

20 pirobiT, mcire kuTxe gaSlilis 15-ia, anu 360-ia. am mosazRvre kuTxeebis zomebia 360 da 1440.

moswavleebma SeiZleba mosazRvre kuTxeebis x da 4x-iT aRniSvnas mianiWon upiratesoba da amoxsnan gantoleba:

x+4x=1800.

21 SeiZleba mosazRvre kuTxeebi x da x+20-iT aRvniSnoT. miviRebT, x+x+20=1800, saidanac x=890. es kuTxeebia 890 da 910.

22 ∠COB=1800–1300=500, ∠DOB=250.

76

§ 1.9. kuTxeTa klasifikacia. or wrfes Soris kuTxe

moswavleebTan erTad vixsenebT kuTxis cnebis gansazRvras. maT vTxovoT dafaze gamosaxon marTi kuTxe, masze zomiT naklebi da meti kuTxeebi, gaSlili kuTxe. saxelmZRvanelos teqstSi warmodgenilia kuTxeTa klasifikacia zomebis mixedviT.

toli mosazRvre kuxeebidan TiToeuli marTia _ 900-s udris. Tu ori wrfis gadakveTisas miRebuli oTxive kuTxe tolia, maSin TiToeuli 900-ia da aseT wrfeebs marTobuli wrfeebi ewodeba.

Semdeg ganvixiloT SemTxvevebi, roca wrfeebi ar aris marTobuli da moswavleebs gavacnoT or wrfes Soris kuTxis cneba.

1-3 kiTxvebze pasuxebs moswavleebi teqstSi amoikiTxaven.

4. pirobiT, OM aris ∠AOB-s biseqtrisa, ON _ ∠BOC-s biseqtrisa. toli kuTxeebi erTnairi asoebiT aRvniSneT. gvaqvs: x+x+y+y=1800, x+y=900, x+y=∠MON. e. i. mosazRvre kuTxeebis biseqtrisebs Soris kuTxe marTia.

zogierTi moswavle SearCevs mosazRvre kuTxeebis raime mniSvnelobebs da amoxsnis amocanas. cxadia, is swor pasuxs miiRebs da waxalisebasac imsaxurebs, Tumca aseTi midgomisas zogadoba izRudeba da umaRles Sefasebas am SemTxvevaSi Tavi unda avaridoT.

5. ix. § 1.8 me-4 kiTxvaze pasuxi.


2 Tu ∠A=1200, maSin misi mosazRvre kuTxe 600-ia — maxvili kuTxea.

5 Tu ori wrfis gadakveTisas miRebuli sami kuTxis jami 2120-ia, maSin meoTxe kuTxe 3600–2120=1480-ia — blagvi kuTxea.

8 daSvebulia Secdoma — Skalis nulovani niSnuli OA sxivis damatebiT sxivzea, anu 600 aris AOB kuTxis mosazRvre kuTxis zoma.

12 ∠MAK=900–300=600.

13 CAB kuTxis mosazRvre kuTxis zomaa 1800–450=1350.

14 moswavleebs davavaloT amocanis pirobis mixedviT Seasrulon naxazi, C, P da B wertilebi am mimdevrobiTaa ganlagebuli b

wrfeze. PM biseqtrisaa, amitom

∠MPA=∠MPB=450, ∠MPC=1350.

77

15 m, n, k wrfeebidan TiToeuli kveTs a, b, c, d wrfe ebi dan TiToeuls, e. i. ga da kve Tis wertilTa odenoba iqneba 3·4=12.

Tu 4-is nacvlad gvaqvs p cali pa ra le lu ri wrfe da maTi marTobuli n cali wrfe, maSin gadakveTis wertilTa odenobaa pn.

16 dagvWirdeba 9 gaxerxva, raSic mxerxavi 9·5=45 lars miiRebs.

18 a) AC=4,5 km, CB=10 km. es ar niSnavs, rom A-dan C-mde da C-dan B-mde gzebi wrfis monakveTebad SeiZleba miviCnioT da turistis mier gavlili manZili CavTvaloT 4,5+10=14,5 km-is tolad.

b) mocemuli pirobebi arasakmarisia amocanis amosaxsnelad. g) magaliTad, SeiZleba davamatoT piroba: À-dan B-mde da B-dan C-mde da gza

miiCnioT wrfis monakveTebad. am SemTxvevaSi davadgenT: turistma gaiara 14,5 km.

19 es savarjiSo moswavles mniSvnelovnad ganuviTarebs garemoSi orientirebisa da TvalzomiT kuTxis sididis Sefasebis unars. suraTis mixedviT es kuTxe 450-ze naklebi unda iyos, miaxloebiT 300. es varaudi SeiZleba

transportiriT SevamowmoT.


mizani

• geometriuli warmodgenebis gamoyenebiT amocanebis amoxsna.

• deduqciuri msjelobis, dasabuTebis unaris ganviTareba.

• kritikuli azrovnebis ganviTareba.

amocanis amoxsnis sxvadasxva xerxis Zieba da warmodgena moswavleTa kriti-

kuli azrovnebis ganviTarebis sawindaria.

logikuri Sinaarsis amocanis amoxsnisas geometriuli TvalsaCinoebis gamoy-

eneba maTematikis sxvadasxva nawilis erTianobisa da mniSvnelobis gaazrebas em-

saxureba.

jgufebis Sefasebebi damokidebulia amocanis sxva xerxebis povnasa da analo-

giuri amocanebis warmodgenaze _ im amocanebisa, romlebic SeiZleba wrfeze

modelirebis gamoyenebiT amoixsnas.

wrfeze modelirebis gamoyenebiT SemoTavazebuli amocana ase amoixsneba:

• mariami paataze adre movida.

• nika yvelaze gvian movida.

• mariami yvelaze adre ar mosula, Tanac marto movida.

amrigad, amxanagebi aseTi TanamimdevrobiT mosulan: kote, mariami, paata, nika.

78


5 orive Sesakrebi iyofa 3-ze, amitom maTi jamic iyofa 3-ze da es ricxvi Sedgenilia.

6 gayofisas SeiZleba moswavleebma kalkulatori gamoiyenon da miiRon 186,75:66,75≈2,8 _ sakvebze daixarja miaxloebiT 2,8-jer, 3-jer meti. ajobebs, TuU moswavleebi am Sedegs zepiri miaxloebiTi gamoTvlebiT miiReben. cxadia, 66,75⋅2 da 66,75⋅4 `mniSvnelovnad~ gansxvavdeba 186-sgan.

16 7-is xarisxebis bolo (erTeulebis) cifrebze dakvirvebiT moswavle aRmoaCens kanonzomierebas: maTgan yovel meoTxeSi erTeulebis cifrebi erTnairia, xarisxebis aTobiT CanawerSi erTeulis TanrigSi Tanamimdevrulad meordeba cifrebi 7, 9, 3, 1. roca xarisxis maCvenebeli 4-is jeradia, xarisxebi bolovdeba 1-iT. 724 bolovdeba 1-iT, 723 _ 3-iT.

17 testis amoxsnamde gavixsenoT (an gamovikvlioT), rom 5-ze daboloebuli ricxvis nebismieri xarisxis aTobiTi Canaweri bolovdeba 5-iT; 9-is nebismieri kenti xarisxisa _ 9-iT, luwi xarisxis _ 1-iT; 7-is xarisxebis erTeulis TanrigSi Tanamimdevrulad meordeba cifrebi: 7, 9, 3, 1.

2521 – 918 sxvaoba bolovdeba 4-iT, ar iyofa 10-ze.



teqstis specifikidan gamomdinare, bolo savaraudo pasuxi swori unda iyos, magram mainc SevamowmoT:

919 – 714 sxvaoba bolovdeba 0-iT, iyofa 10-ze.

18 cxadia, rom sworia me-4 savaraudo pasuxi: sandros kbili stkiva, e. i. sandros raime tkiva da, pirobiT, is moRuSulia.

20 gavixsenoT, rom wrfis gareT mdebare wertilze gaivleba mocemuli wrfis paraleluri erTaderTi wrfe. amitom, radgan b||a, amave wertilze gavlebuli c wrfe ar iqneba a-s paraleluri. swori pasuxia 2).

bolovdeba 5-iT

bolovdeba 9-iT

bolovdeba 9-iT

bolovdeba 9-iT

bolovdeba 1-iT

bolovdeba 1-iT

bolovdeba 3-iT

bolovdeba 9-iT

79

21 147*3=14700+*3.I Sesakrebi iyofa 7-ze, amitom *3 unda gaiyos 7-ze, *-is nacvlad unda Caiweros

6.22 da 23 amocanebis amoxsnisas M da P simravleebi venis diagramebiT

gamovsaxoT.suraTidan Cans, rom Tu a∈M, maSin a∈P, e. i. 22 amocanis

kiTxvaze pasuxi dadebiTia, xolo 23 amocanis pirobis mixedviT b SeiZleba ekuTvnodes M-s, SeiZleba arc ekuTvnodes; mimarTeT moswavleebs uCvenon b-s SesaZlo `mdebareoba~ suraTze.

25 toloba SeiZleba ase gadavweroT.i SeiZleba aRniSnavdes 0-s an 5-s.ganvixiloT orive SemTxveva.I. i=0. maSin 5⋅a bolovdeba a-Ti, e. i. a=5. pasuxi: 50⋅5=250, anu i=0, a=5, h=2.II. i=5. maSin 5⋅a+2 unda bolovdebodes 2-iT an 7-iT, e. i. a=2 an a=7. amrigad,

25⋅5=125 an 75⋅5=375. anu i=5, a=2, h=1 an i=5, a=7, h=3.pasuxi: 250:50=5; 125:25=5, 375:75=5.

26 Tanamamravlebidan erT-erTSi mainc erTeulis TanrigSi 5-ia. I Tanamam-ravlis erTeulebis cifri rom 5 iyos, IV striqoni 7-iT ar dabolovdeboda. amrigad, II Tanamamravli 5-iT bolovdeba. radgan I Tanamamravlis 5-ze gamravlebiT oTxniSna ricxvi miiRes, amitom I Tanamamravli 1-iT iwyeba.

V striqoni aTeulis Tanrigis 1-iT aRvadgenT III striqonSi aTeulis TanrigSi 4-s. Semdeg ki pirveli Tanamamravlis erTeuls _ 9-s. am etapze gamravlebis komponentebi ase warmogvidgeba.

axla meore Tanamamravls srulad aRvadgenT _ es ricxvia 35. Seivseba IV striqonSi aTeulis Tanrigi, rac V striqonis daxmarebiT aRgvadgeninebs III striqonis aseulebis cifrs, Semdeg srulad gairkveva I Tanamamravli da iolad davasrulebT amocanas.

P

M

ai5

hai

×

1*29*5

**45*0*7

3*015

×

+1*29

35*145

*0873*015

×

+

80

sakontrolo wera

varianti I

SearCieT swori pasuxi:

1. wrfeze sami wertilia moniSnuli. ramdeni monakveTia wrfeze, romelTa boloebi moniSnuli wertilebia?

1) 2 2) 3 3) 4 4)5.

2. sami wrfe erT wertilSi ikveTeba. vertikalur kuTxeTa ramdeni wyvili miiReba?

1) 3 2) 4 3) 6 4) 2.

3. mosazRvre kuTxeebidan erT-erTis zoma marTi kuTxis zomis 45-ia. ipoveT am kuTxeebis zomebi.

1) 450 da 1350 2) 360 da 1440 3) 720 da 1080 4) 180 da 450.

4. ∠ABC=600, BK misi biseqtrisaa. ipoveT KBC da ABK kuTxeebis biseqtrisebs Soris kuTxis zoma.

1) 150 2) 300 3) 450 4) 350.

5. Tu ∠ADB=200, ∠BDC=550, maSin ∠ADC= 1) 350 2)750 3) 700 4) 250.

6. ipoveT mosazRvre kuTxeebis biseqtrisebs Soris kuTxis zomis naxevari1) 920 2) 880 3) 900 4) 450.

amoxseniT amocanebi

7. vTqvaT, A aris 3-is jeradi orniSna ricxvebis simravle, B _ luwi orniSna ricxvebis simravle. gamosaxeT es simravleebi venis diagramiT. daadgineT, ramden elementiania A da B simravleebi da maTi TanakveTa _ A∩B.

8. ∠AOB da ∠BOC mosazRvre kuTxeebia, ∠BOC=280. OD sxivi AC wrfis marTo-bulia. aageT naxazi da ipoveT ∠DOB.

varianti IISearCieT swori pasuxi:

1. wrfeze oTxi wertilia moniSnuli. ramdeni iseTi mo na kveTia wrfeze, romelTAa boloebi moniSnuli wertilebia?

1) 6 2) 3 3) 4 4) 5.

81

2. ori wrfe erT wertilSi ikveTeba. vertikalur kuTxeTa ramdeni wyvili

miiReba?1) 3 2) 4 3) 6 4) 2.

3. mosazRvre kuTxeebidan erT-erTis zoma marTi kuTxis zomis 25-ia. ipoveT

am ku Txe ebis zomebi.1) 450 da 1350 2) 360 da 1440

3) 720 da 1080 4) 180 da 1620.

4. ∠ABC=800, BK misi biseqtrisaa. ipo veT KBC da ABK kuTx-

eebis biseqtrisebs So ris kuTxis zoma.1) 150 2) 300 3) 400 4) 350.

5 . Tu ∠ADB=240, ∠BDC=460, maSin ∠ADC= 1) 350 2) 750 3) 700 4) 250.

6. ipoveT mosazRvre kuTxeebis biseqtrisebs Soris kuTxis zomis mesamedi.1) 300 2) 600 3) 900 4) 450.

amoxseniT amocanebi

7. vTqvaT, A aris 3-is jeradi orniSna ricxvebis simravle, B _ luwi orniSna ricxvebis simravle. gamosaxeT es simravleebi venis diagramiT. daadgineT, ramdenelementiania A da B simravleebi da maTi gaerTianeba _ A∪B.

8. ∠AOB da ∠BOC mosazRvre kuTxeebia, ∠BOC=1280. OD sxivi AC wrfis marTo-bulia. ipoveT ∠DOB.


I varianti

1 2 3 4 5 62 3 3 2 2 4

7. orniSna 3-is jeradi ricxvebis raodenoba 30-ia, orniSna luwi ricxvebis _ 45. A da B simravleebis saerTo elementebi 6-is jeradi orniSna ricxvebia, maTi raodenobaa 15. gamovsaxoT venis diagramiT es simravleebi da diagramaze mivuTiToT TiToeuli nawilis elementebis raodenoba.

diagramidan TvalsaCinoa, rom A∩B 15-elementiani simravlea.

82

8. mniSvnelovania pirobis mixedviT naxazis ageba. ase ufro TvalnaTliv Cans ori SemTxvevis SesaZlebloba.

I SemTxvevaSi ∠DOB=900–280=620.

II SemTxvevaSi ∠DOB=900+280=1180.

II varianti

1 2 3 4 5 61 4 2 3 3 1

7. Sesadgenia I variantis me-7 amocanis msgavsi diagrama. aq TvalsaCinoa, rom AB simravlis elementebis raodenobaa 15+15+30=60.

8. I variantis msgavsad, aqac mniSvnelovania naxazis ageba. SesaZloa ori SemTxveva:

I SemTxvevaSi ∠DOB=1280–900=380.II SemTxvevaSi ∠AOB=1800–1280=520, ∠DOB=900+520=1420.SeiZleba asec vimsjeloT: ∠DOB=3600–(1280+900).

Sefasebis sqema SeiZleba aseTi iyos:

testuri (daxurulboloiani) amocanebidan TiToeulis swori pasuxi SeiZleba Sefasdes TiTo quliT. me-7 da me-8 amocanebis srulyofili amoxsnebi _ or-ori quliT.

me-7 amocanaSi daiweros 1 qula, Tu moswavlem:a) Seadgina diagrama da ar miuTiTa masze elementebis raodenoba,

anb) daadgina TiToeuli simravlis elementebis raodenoba.

ang) daadgina am simravleebis saerTo elementebis raodenoba da ar Seadgina

diagrama.

me-8 amocanaSi daiweros 1 qula, Tu:a) sworadaa Sesrulebuli orive naxazi, ∠DOB-s zoma ki araa napovni.

anb) srulyofiladaa amoxsnili mxolod erTi SemTxveva.SeiZleba pedagogma ixelmZRvanelos sxva damajerebeli mosazrebebiTac da 0,5

qulac gamoiyenos.

an

83

II Tavi

racionaluri ricxvebi. monacemTa analizi da statistika. zogierTi geometriuli figura

meore TavSi racionalur ricxvTa simravlis agebas vasrulebT. sakiTxebi imave TanamimdevrobiTaa gadmocemuli, ra TanamimdevrobiTac naturaluri ricxvebi iyo Seswavlili _ ricxvebis wakiTxva, gamosaxva, dalageba, ricxvebze moqmedebebi da moqmedebaTa sxvadasxva xerxis ilustrireba, moqmedebaTa Tvisebebis gamoyeneba, sxvadasxva praqtikuli amocanis amoxsna. Cveni saxelmZRvanelos meTodikuri Tavisebureba mTel ricxvTa simravlis winaswari gacnoba, mTeli ricxvebze moqmedebebis, Sedarebisa da mTeli ricxvis modulis geometriuli warmodgenis winaswari gamoyofaa. mravalkuTxedebis simravleebidan oTxkuTxedebis gamoyofa da maTi klasifikacia erovnuli saswavlo gegmis axali variantis mixedviTaa gaTvaliswinebuli. gadmocemis meTodika induqciuria, TvalsaCinoebisa da sxvadasxva modelis gamoyenebas eyrdnoba.

amave TavSi aRweriTi statistikis elementebis Seswavlac iwyeba. dasaxelebul Temebs Cven SemdgomSic davubrundebiT (magaliTad, zogierTi

oTxkuTxedis Tvisebebs mogvianebiT ganvixilavT).

§ 2.1. mTeli ricxvebi

mizani• mTeli ricxvis Sesaxeb pirveli warmodgenebis Seqmna• mTeli ricxvebis praqtikuli interpretaciebis gaazreba urTierTmopirda-

pire situaciebis aRwerisas. mTeli ricxvebis gamoyenebis unaris ganviTareba• mTeli ricxvebis TvalsaCino warmodgenis gaazreba.

erovnuli saswavlo gegmis mixedviT paragrafSi mocemuli masala axali unda iyos moswavleTaTvis, Tumca, yoveldRiur cxovrebaSi maT aucileblad Sexve-driaT situaciebi, roca uaryofiTi mTeli ricxvebis gamoyeneba xdeboda, am gam-oyenebebze saubriT iwyeba paragrafis Teoriuli nawili da igi moswavleebTan saubrisTvis SeiZleba gamoviyenoT. saubaric moswavleTa monawileobiT SeiZleba warimarTos. magaliTad, visaubroT moswavleebTan zamTarSi haeris temperatu-ris Sesaxeb, xom ar icnoben isini Termometrs, romliTac haeris temperaturas vzomavT? ra SemTxvevaSi vityviT, rom haeris temperatura –50-ia _ Termometri am dros 0-s qvemoT 50-s uCvenebs. gadacemis meTodika konkretul-induqciuri

Documents

maTematika VII - მთავარიold.eqe.ge/uploads/Grifireba/GRIFIREBULEBI_2012/... · gegmis mixedviT Sedgenili maTematikis VII klasis saxelmZRvanelosTvis (guram gogiSvili,