Matematika - Technical University of Liberec€¦ · Fakultapřírodovědně-humanitníapedagogickáTUL ZS2012-2013–1/13 Matematika Petr Salač Fakulta přírodovědně-humanitní

Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 1 / 13

Matematika

Petr SalačFakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická

Technická univerzita v [email protected]

17. 12. 2012

Neurčitý integrál


Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí,



Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí, (říkáme vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru).




Definice

Množinu všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu J zapíšeme symbolem

∫

f(x) dx




Definice


∫

f(x) dx

a nazýváme neurčitý integrál funkce f na intervalu J ,




Definice


∫

f(x) dx

a nazýváme neurčitý integrál funkce f na intervalu J , tj.

∫

f(x) dx = F (x) + C .




Definice


∫

f(x) dx


∫

f(x) dx = F (x) + C .

Konstantu C nazýváme integrační konstanta.




Definice


∫

f(x) dx


∫

f(x) dx = F (x) + C .


Příklad




Definice


∫

f(x) dx


∫

f(x) dx = F (x) + C .


Příklad∫

2x dx = x2 + C

Základní vzorce pro integraci




∫

xs dx =xs+1

s+ 1+ C s 6= −1 ,



∫

xs dx =xs+1

s+ 1+ C s 6= −1 ,

∫

1

xdx = ln |x|+ C ,



∫

xs dx =xs+1

s+ 1+ C s 6= −1 ,

∫

1

xdx = ln |x|+ C ,

∫

ex dx = ex + C ,



∫

xs dx =xs+1

s+ 1+ C s 6= −1 ,

∫

1

xdx = ln |x|+ C ,

∫

ex dx = ex + C ,

∫

ax dx =ax

ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,



∫

xs dx =xs+1

s+ 1+ C s 6= −1 ,

∫

1

xdx = ln |x|+ C ,

∫

ex dx = ex + C ,

∫

ax dx =ax

ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,

∫

sinx dx = − cosx+ C ,



∫

xs dx =xs+1

s+ 1+ C s 6= −1 ,

∫

1

xdx = ln |x|+ C ,

∫

ex dx = ex + C ,

∫

ax dx =ax

ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,

∫

sinx dx = − cosx+ C ,∫

cosx dx = sinx+ C ,



∫

xs dx =xs+1

s+ 1+ C s 6= −1 ,

∫

1

xdx = ln |x|+ C ,

∫

ex dx = ex + C ,

∫

ax dx =ax

ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,

∫


cosx dx = sinx+ C ,

∫

1

cos2 xdx = tgx+ C ,



∫

xs dx =xs+1

s+ 1+ C s 6= −1 ,

∫

1

xdx = ln |x|+ C ,

∫

ex dx = ex + C ,

∫

ax dx =ax

ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,

∫


cosx dx = sinx+ C ,

∫

1

cos2 xdx = tgx+ C ,

∫

1

sin2 xdx = −cotgx+ C ,



∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C ,



∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C ,

∫

1

1 + x2dx = arctgx+ C ,



∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C ,

∫

1


∫

1√x2 + 1

dx = ln|x+√

x2 + 1|+ C ,



∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C ,

∫

1


∫

1√x2 + 1

dx = ln|x+√

x2 + 1|+ C ,∫

1√x2 − 1

dx = ln|x+√

x2 − 1|+ C ,



Poznámka



Poznámka

Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.



Poznámka

Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.(odtud název určitý či neurčitý integrál)



Poznámka


Věta 9.5.



Poznámka


Věta 9.5.

Jestliže existují integrály na pravé straně následujících rovností, potom platí:



Poznámka


Věta 9.5.


∫

Kf(x) dx = K

∫

f(x) dx , kde K je konstanta



Poznámka


Věta 9.5.


∫

Kf(x) dx = K

∫


∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫

f(x) dx+

∫

g(x) dx .



Poznámka


Věta 9.5.


∫

Kf(x) dx = K

∫


∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫

f(x) dx+

∫

g(x) dx .

Příklad.



Poznámka


Věta 9.5.


∫

Kf(x) dx = K

∫


∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫

f(x) dx+

∫

g(x) dx .

Příklad.∫

(2x3 − 34x−√x) dx =



Poznámka



Poznámka

a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.



Poznámka

a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.



Poznámka


Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)



Poznámka


Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci,



Poznámka


Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí



Poznámka


Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí (tj. pomocí elementárních funkcí).



Poznámka



Příklad.



Poznámka



Příklad.∫ x

asin tt

dt,



Poznámka



Příklad.∫ x

asin tt

dt,∫ x

acos tt

dt,



Poznámka



Příklad.∫ x

asin tt

dt,∫ x

acos tt

dt,∫ x

aet2

dt,



Poznámka



Příklad.∫ x

asin tt

dt,∫ x

acos tt

dt,∫ x

aet2

dt,∫ x

asin t2 dt,

Integrování po částech


Věta 9.6 (per partes)



Věta 9.6 (per partes)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce mající derivaci v intervalu I.



Věta 9.6 (per partes)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce mající derivaci v intervalu I.Pak platí

∫

uv′ dx = uv −∫

u′v dx pro x ∈ I .




∫



Důkaz :




∫



Důkaz :Vzorec pro derivaci součinu

(u.v)′ = u′v + uv′




∫




(u.v)′ = u′v + uv′

integrujeme




∫




(u.v)′ = u′v + uv′

integrujeme

u.v + C =

∫

u′v dx +

∫

uv′ dx .



Příklady



Příklady∫

xex dx



Příklady∫

xex dx∫

lnx dx



Příklady∫

xex dx∫

lnx dx∫

sin2 x dx



Příklady∫

xex dx∫

lnx dx∫

sin2 x dx

Poznámka



Příklady∫

xex dx∫

lnx dx∫

sin2 x dx

Poznámka

Integrační konstantu neuvádíme, dokud se na pravé straně vyskytuje nějaké znaménkointegrálu.



Věta 9.7 (per partes pro určitý integrál)



Věta 9.7 (per partes pro určitý integrál)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce definované v [a, b] a jsou tam spojité i se svýmiderivacemi u′, v′.



Věta 9.7 (per partes pro určitý integrál)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce definované v [a, b] a jsou tam spojité i se svýmiderivacemi u′, v′.Pak platí

∫ b

a

uv′ dx = [uv]ba −∫ b

a

u′v dx .




∫ b

a


a

u′v dx .

Příklad




∫ b

a


a

u′v dx .

Příklad∫ π

0x sinx dx

Substituce v integrálech


Věta 9.8 (1. věta o substituci)



Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť

∫

f(u) du = F (u) + C v intervalu I.




∫


Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′




∫


Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .




∫


Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .Pak

∫

f(g(x)).g′(x) dx = F (g(x)) + C v intervalu J.




∫



∫


Důkaz :




∫



∫


Důkaz :Vzorec pro derivaci složené funkce




∫



∫



(F (g(x))′ = F ′(g(x)).g′(x) = f(g(x)).g′(x)




∫



∫



(F (g(x))′ = F ′(g(x)).g′(x) = f(g(x)).g′(x)

a nyní integrujeme




∫



∫



(F (g(x))′ = F ′(g(x)).g′(x) = f(g(x)).g′(x)

a nyní integrujeme

F (g(x)) + C =

∫

f(g(x)).g′(x) dx .



Schéma výpočtu



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u = g(x)du = g′(x) dxdu

g′(x) = dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =

∣

∣

∣

∣

∣

∣


g′(x) = dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫

f(u).g′(x)du

g′(x)



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =

∣

∣

∣

∣

∣

∣


g′(x) = dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫

f(u).g′(x)du

g′(x)=

∫

f(u) du



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =

∣

∣

∣

∣

∣

∣


g′(x) = dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫

f(u).g′(x)du

g′(x)=

∫

f(u) du = · · · = F (u) + C



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =

∣

∣

∣

∣

∣

∣


g′(x) = dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫

f(u).g′(x)du

g′(x)=

∫

f(u) du = · · · = F (u) + C =

=∣

∣ u = g(x)∣

∣



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =

∣

∣

∣

∣

∣

∣


g′(x) = dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫

f(u).g′(x)du

g′(x)=

∫

f(u) du = · · · = F (u) + C =

=∣

∣ u = g(x)∣

∣ = F (g(x)) + C



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =

∣

∣

∣

∣

∣

∣


g′(x) = dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫

f(u).g′(x)du

g′(x)=

∫

f(u) du = · · · = F (u) + C =

=∣

∣ u = g(x)∣

∣ = F (g(x)) + C

Příklad



Schéma výpočtu

∫

f(g(x)).g′(x) dx =

∣

∣

∣

∣

∣

∣


g′(x) = dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫

f(u).g′(x)du

g′(x)=

∫

f(u) du = · · · = F (u) + C =

=∣

∣ u = g(x)∣

∣ = F (g(x)) + C

Příklad∫

sin2 x cosx dx



Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)



Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b].



Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Nechť funkce g je spojitá v intervalu [α, β]a má tam spojitou derivaci g′.



Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Nechť funkce g je spojitá v intervalu [α, β]a má tam spojitou derivaci g′. Nechť g(α) = a, g(β) = b



Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Nechť funkce g je spojitá v intervalu [α, β]a má tam spojitou derivaci g′. Nechť g(α) = a, g(β) = b a nechť g(t) ∈ [a, b] provšechna t ∈ [α, β].



Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Nechť funkce g je spojitá v intervalu [α, β]a má tam spojitou derivaci g′. Nechť g(α) = a, g(β) = b a nechť g(t) ∈ [a, b] provšechna t ∈ [α, β].Pak platí

∫ β

α

f(g(t)).g′(t) dt =

∫ b

a

f(x) dx .



Schéma výpočtu



Schéma výpočtu

∫ β

α

f(g(t)).g′(t) dt



Schéma výpočtu

∫ β

α

f(g(t)).g′(t) dt =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x = g(t)dx = g′(t) dtt = α . . . x = g(α) = at = β . . . x = g(β) = b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣



Schéma výpočtu

∫ β

α

f(g(t)).g′(t) dt =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫ b

a

f(x) dx = . . .



Schéma výpočtu

∫ β

α

f(g(t)).g′(t) dt =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫ b

a

f(x) dx = . . .

Příklad



Schéma výpočtu

∫ β

α

f(g(t)).g′(t) dt =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫ b

a

f(x) dx = . . .

Příklad∫ e

1ln2 x dx =



Schéma výpočtu

∫ β

α

f(g(t)).g′(t) dt =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫ b

a

f(x) dx = . . .

Příklad∫ e

1ln2 x dx =

Poznámka



Schéma výpočtu

∫ β

α

f(g(t)).g′(t) dt =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=

∫ b

a

f(x) dx = . . .

Příklad∫ e

1ln2 x dx =

Poznámka

Na rozdíl od neurčitého integrálu se k původní proměnné x již nevracíme.

Documents

Matematika - Technical University of Liberec€¦ · Fakultapřírodovědně-humanitníapedagogickáTUL ZS2012-2013–1/13 Matematika Petr Salač Fakulta přírodovědně-humanitní