MATEMATIKA S STATISTIKO

UNIVERZITETNI ŠTUDIJ BIOKEMIJE

1. LETNIK

ŠTEVILA IN FUNKCIJE

1.Računanje s pribliţki

2.Realna števila

3.Funkcije

Avogadrovo število je 6.023x1023 molekul/mol. Kaj to pomeni?

V enem molu snovi je natanko 602300000000000000000000 molekul?

Seveda ne, vse količine, ki jih dobimo z merjenjem so pribliţne.

6.02300

decimalna mesta

pravilna mesta

Število decimalnih mest je odvisno od zapisa:

203.55=2.0355x102=2035.5x10-1

število pravilnih mest pa je vedno enako.

Pribliţne količine

Pomemben dogovor:

v zapisu obdrţimo le značilna mesta, tj. če zapišemo N0=6.0230x10

23 pomeni, da je tudi zadnja ničla značilna.

Vsaka količina je rezultat zaokroţanja. Pri tem števke 0,1,2,3,4 zaokroţamo navzdol, 5,6,7,8,9 pa navzgor.

PRIMER

1.08462 = 1.085 zaokroţeno na tri decimalke

= 1.08 zaokroţeno na dve decimalki

Zato N0=6.0230x1023 pomeni

6.02295x1023 ≤ N0 < 6.02305x1023, oziroma (6.0230 ± 0.00005)x1023

medtem ko N0=6.023x1023 pomeni

6.0225x1023 ≤ N0 < 6.0235x1023 oziroma (6.023 ± 0.0005)x1023

Računanje s pribliţnimi količinami

praktična pravila:

(1.2846+21.72) / 13.14=? kalkulator: 1.750730594

Katere decimalke je smiselno obdrţati?

• natančnost rezultata ne more biti večja od natančnosti podatkov

• pri seštevanju in odštevanju naj bo število decimalnih mest rezultata enako najmanjšemu številu decimalnih mest faktorjev

(npr. 1.2846+21.72=23.00 in ne 23.0046)

• pri mnoţenju in deljenju naj bo število značilnih mest rezultata enako najmanjšemu številu značilnih mest faktorjev

(npr. 23.0046/13.14=1.751 in ne 1.75 ali 1.750730594)

PRIMERI

S titracijo smo 25 cm3 raztopine NaOH nevtralizirali z 12.21 cm3 raztopine

HCl. Izračunaj koncentracijo NaOH, če je koncentracija HCl 0.0942 mol/dm3.

c = (12.21 x 0.0942)/25.00 = 0.04600728

Upoštevamo tri značilna mesta ⇒ c = 0.0460 mol/dm3

Koliko ţeleza nastane, če se pri redukcijski reakciji

Fe2O3 + 3 CO 2 Fe + 3 CO2

porabi 503 g ogljikovega monoksida? (Fe 55.85 g/mol, CO 28.01 g/mol)

m = 503/28.01 x 2/3 x 55.85 = 668.634412

Števila molekul, ki nastopajo v reakciji (2 Fe, 3 CO) so cela, tj. točna, zato štejemo, da je število značilnih decimalk neskončno.

m = 669 g

(12.215 x 0.09425)/24.995=0.046059761

(12.205 x 0.09415)/25.005=0.045954839

Realna števila

Realna števila so vsa (končna in neskončna) decimalna števila.

Realna števila so teoretični konstrukt, ki nam omogoča, da točno izrazimo vse količine.

Ker ni mogoče napisati neskončnega zaporedja decimalk, sloni zapis in računanje z realnimi števili na pribliţkih.

Le nekatera realna števila (npr. koreni, število π ...) so podana implicitno in z njimi lahko računamo točno, brez zaokroţevanja (npr. √2 x√3 =√6).

Če na premici označimo enotsko dolţino, lahko točke premice enačimo z mnoţico realnih števil ℝ.

0 1

(pravimo, da smo na premici vpeljali koordinate)

Realno število lahko podamo z vedno boljšimi pribliţki, npr. 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, ... , π.

Sčasoma se je izkazalo, da je podajanje realnih števil z eksplicitnim navajanjem decimalk preveč okorno in da je boljše, če realno število podamo kot “največji” element neke (navzgor) omejene mnoţice realnih števil.

Pri računanju z realnimi števili si prav tako pomagamo s pribliţki:

če a,b ∈ ℝ nadomestimo pribliţno nadomestimo z a’,b’, potem soa’+b’, a’-b’, a’b’ in a’/b’ pribliţki za a+b, a-b, ab in a’/b’.

(vendar pozor, to niso vedno decimalni pribliţki!)

npr.2.56 x 3.17 = 8.1152, medtem ko je 2.5 x 3.1 = 7.75

Naj bo A, mnoţica naravnih števil, katerih kvadrat je manjši od 5:

2.2

2.23

2.236

2.2360

Vsaka navzgor omejena mnoţica realnih števil določa zaporedje decimalk in s tem neko realno število

PRIMER

5| 2xRxA

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3

2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24

2.226 2.227 2.228 2.229 2.230 2.231 2.232 2.233 2.234 2.235 2.236 2.237

2.2350 2.2351 2.2352 2.2353 2.2354 2.2355 2.2356 2.2357 2.2358 2.2359 2.2360 2.2361

5

Tako določeno število a, presega vse elemente mnoţice A, kar ne velja za nobeno od a manjše število, zato pravimo, da je anatančna zgornja meja mnoţice A.

Vsaka navzgor omejena mnoţica realnih števil ima natančno zgornjo mejo

latinsko: a je supremum mnoţice A, pišemo a=sup A

Kadar je a=sup A ∈ A, pravimo, da je a maksimum mnoţice A in pišemo a=max A. Navzgor omejena mnoţica ima vedno supremum, lahko pa se zgodi, da nima maksimuma.

Vsaka navzdol omejena mnoţica realnih števil ima natančno spodnjo mejo, ki ji pravimo tudi infimum in pišemo a=inf A.

Kadar je a=inf A element mnoţice A, pravimo, da je a minimum mnoţice A in pišemo a=min A. Navzdol omejena mnoţica ima vedno infimum, lahko pa se zgodi, da nima minimuma.

PRIMERI

11|sup1|sup xQxxRx (maksimuma ni)

01|sup xZx max=0

24|sup 2xRx

nn aaxRx |sup

55|sup 2xRx

sup {ploščine krogu vrisanih mnogokotnikov}

= ploščina kroga =

inf {ploščine krogu orisanih mnogokotnikov}

dolţina krivulje = sup {dolţine „lomljenk‟ ob krivulji}

Angleška 1. liga 2005-2006

Topnost kisika v vodi

pri tlaku 760 mmHg

FUNKCIJE

7,04359,3717

7,13349,5616

7,22339,7615

7,32329,9814

7,423110,2013

7,533010,4312

7,642910,6711

7,752810,9210

7,862711,199

7,992611,478

8,112511,767

8,252412,066

8,382312,375

8,532212,704

8,682113,053

8,842013,402

9,011913,771

9,181814,160

Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Kisik (mg/L)Temperatura (oC)Premier League Final table

Chelsea 95

Arsenal 83

Manchester United 77

Everton 61

Liverpool 58

Bolton Wanderers 58

Middlesbrough 55

Mancester City 52

Tottenham Hotspur 52

Aston Villa 47

Charlton Athletic 46

Birmingham City 45

Fulham 44

Newcastle United 44

Blackburn Rovers 42

Portsmouth 39

West Bromwich Albion 34

Crystal Palace 33

Norwich City 33

Southampton 32

x je argument,

f(x) je funkcijska vrednost.

f: x ↦ f(x)

))((: xfgxfg

Funkciji f in g lahko sestavimo, če sovrednosti f vsebovane med argumenti g.

Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Arsenal

Aston Villa

Birmingham City

Blackburn Rovers

Bolton Wanderers

Charlton Athletic

Chelsea

Crystal Palace

Everton

Fulham

Liverpool

Mancester City

Manchester United

Middlesbrough

Newcastle United

Norwich City

Portsmouth

Southampton

Tottenham Hotspur

West Bromwich Albion

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Grafična predstavitev funkcije

Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi.

Podajanje s formulo

53)( xxf linearna funkcija

2

2gts pot pri prostem padcu

razdalja točke do izhodišča22),( vuvud

))()()((4

1cbacbacbacbaS Herenova formula

n

xxx n

1 povprečna vrednost

Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk.

Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo.

Graf

RARAf ,:

Graf f je mnoţica točk v ravnini, ki so oblike (x, f (x)) za x∈A.

x

xxl

1

1)(

1

1

2,: RARAf

Graf f je mnoţica točk v prostoru, ki so oblike (x, y,f(x,y)) za (x,y)∈A.

221),( yxyxf

Odsekoma definirane funkcije

PVT-diagram idealnega plina

PVT-diagram realne snoviV

nRTP

Značilnosti grafa odraţajo naravo funkcijske zveze.

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti

2. Naraščanje in padanje, ekstremi

3. Ukrivljenost

4. Trend na robu definicijskega območja

5. Periodičnost in simetrije

V posodo točimo vodo iz pipe. Kateri graf prikazuje spreminjanje gladine hvode v odvisnosti od časa t ?

PRIMERI

t

hA

t

hB

t

hC

t

hD

Ker so stene posode navpične, gladina narašča enakomerno - linearno.

Kateri graf ponazarja kinetično energijo E telesa, ki se giblje s hitrostjo v?

v

EA

v

EB

v

EC

v

ED

Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv2/2.

Kateri graf prikazuje spremembo prostornine V zraka v posodi ob spreminjanju pritiska p?

p

VB

p

VD

p

VA

p

VC

Boyle-Mariottov zakon: pV=konst., zato je V~1/p.

Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?

t

yA

t

yC

t

yB

t

yD

Fizikalno: amplituda eksponentno pada, frekvenca se ne spreminja.

Matematično: y=e-at sin(bt), a je dušenje, b je frekvenca nihanja.

Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?

Nihanje napete strune je primer dušenega nihanja:

moč zvoka hitro upade, višina pa ostane nespremenjena.

Kateri graf prikazuje spremembo temperature T ogrevane posode v odvisnosti od časa t, če je posoda prazna, in kateri, če je posoda polna vode?

Posoda se ogreje do temperature vira toplote. Hitrost segrevanja je sorazmerna razliki temperatur (Newtonov zakon), zato razlika temperatur eksponentno upada. Temperatura polne posode se ne povečuje dokler vsa voda ne povre.

t

TB

t

TC

t

TA

t

TD

prazna posodaposoda z vodo

Kateri graf ponazarja število sekund, ki ga kaţe sekundni kazalec na uri?

t

A

t

B

t

C

t

D

Definicijsko območje in zaloga vrednosti

x

xxf

1

1)(

Definicijsko območje Df je „senca‟ (tj. slika projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.

1

1

)1,1[fD

),0[fZ

Naraščanje in padanje funkcije

Pri stalni temperaturi je tlak padajoča funkcija prostornine.

naraščajoča padajoča

Lokalno naraščanje in padanje funkcije

pri b je funkcija naraščajoča

pri a je funkcija padajoča

a b

Globalni ekstremi

(globalni) minimum

(globalni) maksimum

Lokalni ekstremi

lokalni minimum

lokalni maksimum

ravnovesne lege so tipični primeri

lokalnih ekstremov

Konveksnost in konkavnost

Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol.

konkavnost grafa ponazarja pojemanje procesa

konveksnost grafa ponazarja

pospeševanje procesa

konveksna

konkavna

Prevoji

Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno.

Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno.

Asimptote

npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira

npr. dušeno nihanje

Vodoravna asimptota

Linearna asimptota

Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida

Periodičnost in simetrija

soda

liha

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti

2. Naraščanje in padanje, ekstremi

3. Ukrivljenost

4. Trend na robu definicijskega območja

5. Periodičnost in simetrije

Predstavitev značilnosti funkcije na grafu

Elementarne funkcije

Kotne in

ločne funkcije

Polinomi

Racionalne funkcije

Algebrajske funkcije

Eksponentne in

logaritmske funkcije

17)( 23 xxxp

1

53)(

3

2

xx

xxxQ

5 2

3 2 11)(

xxx

xxxA

xx eexf 2)( 2

)1ln()( 2xxxg

)cos(3)12sin()(2

xxxu

x

xxv

1

1arcsin)( )1arctg()( 2xxw

Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.

Osnovne funkcije:

potence Znxn ,

koreni Znxn ,

eksponentna ex

logaritemska ln x

sinus sin x

arkus sinus arcsin x

arkus tangens arctg x

Funkcija f:AB je predpis, ki vsakemu elementu domene A priredi en element kodomene B.

Krivulja v ravnini je graf neke funkciječe jo vsaka navpična premica seka največ enkrat.

Funkcije podane z grafom

Obratne funkcije

Praslika f -1(b)={a∈A| f(a)=b} (rešitve enačbe f(a)=b)

Predpis b ↦ f -1(b) določa funkcijo, če imajo mnoţice f -1(b) natanko en element za vse b∈B.

Tedaj pravimo, da je f bijektivna, predpis

f -1:BA, b ↦ f -1(b)

pa je obratna (inverzna) funkcija za f.

Funkcijo, ki ni bijektivna po potrebi popravimo s spremembo domene ali kodomene.

f je surjektivna, če imajo f -1(b) vsaj en element.

f je injektivna, če imajo f -1(b) največ en element.

f :AB

Eksponentna funkcija

injektivna

surjektivna

Zoţimo kodomeno na (0,+).

Obratna funkcija je

exp-1=ln: (0,+)

PRIMERI

exp: (0,+) je bijektivna.

Tangens

injektivna

surjektivna

Zoţitev

je bijektivna.

R)2

,2

(:tg

je strogo naraščajoča, ima

vodoravni asimptoti y= π/2

)2

,2

(:tgarctg 1 R

Obratna funkcija

je bijektivna.

]1,1[]2

,2

[:sin

]2

,2

[]1,1[:sinsinarc 1Obratna funkcija je

2

2

1 1

2 2

1

1

Ločne funkcije (ciklometrične funkcije)

arcsin(x) „arkus sinus‟

inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x)

definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval

[-π/2,π/2 ]

xexy

yeyx

xexxf )(

bijekcija je :f

Obratna funkcija

ni elementarna funkcija.

:1f

Funkcijske enačbe, implicitne funkcije

Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno.

F(x,y)=0

f : AB je rešitev funkcijske enačbe če je F(x,y)definirana za x ∈ A, y ∈ B in je F(x,f(x))=0 za vse x∈A.

322 yxyx

]2,2[:, 21 ff

2

312)(

2

1

xxxf

2

312)(

2

2

xxxf

PRIMER

133 4224 yyxx

6

3123)(

42

1

xxxf

6

3123)(

42

2

xxxf

6

3123)(

42

3

xxxf

6

3123)(

42

4

xxxf

1

2a 2b

3a 3b

4

Implicitna enačba določa funkcijo na odseku med dvema navpičnima tangentama

)arctg()( xxf

xxf )(1

3)(

3

2

xxxf

53)(

53

3

xxxxf

753)(

753

4

xxxxxf

Zaporedja funkcij

Taylorjevi pribliţki za funkcijo arctg(x)

)sin(19.1)(1 xxf

xxxxf 3sin29.02sin38.0sin19.1)(2

xx

xxxxf

5sin16.04sin20.0

3sin29.02sin38.0sin19.1)(3

xx

xx

xxxxf

7sin12.06sin13.0

5sin16.04sin20.0

3sin29.02sin38.0sin19.1)(4

)arctg()( xxf

Fourierjevi pribliţki za funkcijo arctg(x)

Limita zaporedja

Število L je limita zaporedja (xn), če so števila xn blizu L za vse dovolj velike n.

Bolj natančno, L je limita zaporedja (xn) če velja naslednje: za vsako pozitivno število ε obstaja tako naravno število N, da je xn∈(L-ε,L+ε), za vse n, ki so večji od N.

Pišemo . nn

x L lim

Število L je limita funkcije f pri točki a če velja naslednje: za vsako pozitivno

število ε obstaja interval I okoli točke a, da je f(x)∈(L-ε,L+ε) za vse x iz I.

LIMITE

Limita funkcije

f(x) Lax

limPišemo .

Zaporedja, podana s rekurzivnim pravilom

xn+1=xn+3 rekurzivno pravilo

x0=1 začetni člen

x1=1+3=4

x2=4+3=7

x3=7+3=10

. . . 1,4,7,10,… aritmetično zaporedje

xn+1=3xn rekurzivno pravilo

x0=1 začetni člen

x1=3

x2=9

x3=27. . .

1,3,9,27,… geometrično zaporedje

x0=0.1 xn+1=2xn(1-xn)

x1=2 · 0.1 · (1-0.1)=0.18

x2=2 · 0.18 · (1-0.18)=0.2952

x3=2 · 0.2952 · (1-0.2952)=0.41611392

0.1, 0.18, 0.2952, 0.41611392, ... ?

0.1

0.18

0.2952

0.4161

0.4859

0.4996

0.4999

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

. . . Limita je 0.5

x0=0.2 xn+1= 2.9 xn(1-xn)

0.2

0.464

0.7212

0.5830

0.7049

0.6031

0.6941

0.6156

0.6861

0.6244

0.6800

0.6309

0.6752

0.6359

0.6714

0.63970.6551724182

Limita je 19/29!

x0=0.2222 xn+1= 4 xn(1-xn)

0.2222

0.691308

0.853604

0.499856

0.999999

0.0835

0.3063

0.8500

0.5099

Zaporedje je kaotično – ni limite!

x0=0.2

xn+1= 4 xn(1-xn)

x0=0.21

Zaporedje je zelo občutljivo na začetno vrednost (in torej tudi na računske napake)!

Poskakujoča ţoga

višina ţoge

hitrost

pospešek

t

Višina se spreminja zvezno, hitrost pa nezvezno. Pospešek se prav tako spreminja nezvezno, vendar ga lahko dopolnimo do zvezne funkcije.

Vsako naraščajoče, navzgor omejeno zaporedje ima limito.

Naj bo ε pozitiven: potem je L-ε manj od L.

Zaradi lastnosti natančne zgornje meje obstaja tak N, da je xN>L-ε

(xn) je naraščajoče, zato za vsak n ≥ N velja L-ε < xn ≤ L.

Zaporedje (xn) je naraščajoče, če je xn≤xn+1.

Če je (xn) navzgor omejeno, ima natančno zgornjo mejo L.

Pokaţimo, da je nxL lim

Za poljuben ε so pozni členi zaporedja ε-blizu L, torej je L limita zaporedja.

Primer

x0=0.2 xn+1=2xn(1-xn)

xn+1-xn = 2xn(1-xn)-xn = xn(1-2xn)

Če je 0 ≤ xn ≤ 0.5, je xn ≤ xn+1.Povrhu, če je 0 ≤ xn ≤ 0.5,

je xn+1 = 2xn(1-xn) ≤ 0.5

0.5

0 1y =2x (1-x)

Zaporedje je naraščajoče in omejeno, torej ima limito.

Računska pravila za limite(za zaporedja in za funkcije)

2211 limlim LfLf ,

2121 )lim LLff(

2121 )lim LLff(

2121 )lim LLffA

(

2

1

2

1limL

L

f

f(če je L2≠0)

Pravila smemo uporabiti le kadar limite obstajajo!

Zvezne funkcije

Primeri: vse elementarne funkcije, večina funkcij, ki nastopajo pri modeliranju naravnih procesov.

Alternativna definicija:

Funkcija f je zvezna pri točki a, če je v tej točki definirana in če za vsak

pozitiven ε obstaja tak interval I okoli točke a, da je |f(a)-f(x)|

Vse osnovne funkcije so zvezne, računske operacije in sestavljanje funkcij pa ohranjajo zveznost.

Podobno sklepamo za ostale računske operacije.

Zveznost elementarnih funkcij

Vse elementarne funkcije so zvezne.

f,g: A → B zvezni funkciji

))(()()()(lim)(lim))((lim agfagafxgxfxgfaxaxax

f+g je zvezna.

f: A → B, g: B → C zvezni funkciji

))(())(lim())(((lim afgxfgxfgaxax

gof je zvezna.

Pomoţni rezultat:

Če se dolţine intervalov

[a1,b1] ⊇ [a2,b2] ⊇ [a3,b3] ⊇ ...

manjšajo proti 0 (tj. lim(bn-an)=0),

potem je v njihovem preseku natanko ena točka

a1 b1a2 b2a3 b3

Leva krajišča intervalov so naraščajoče omejeno zaporedje, zato imajo limito A. Desna krajišča so padajoče omejeno zaporedje in imajo limito B. Presek vseh intervalov je ravno interval [A,B].

Ne more biti A < B, ker v zaporedju obstaja interval krajši od B-A. Zato je A=B in v preseku je samo ena točka.

Lastnosti zveznih funkcij

f: [a,b] → ℝ zvezna f je omejena

[a,b] razpolovimo. Če bi bila f neomejena, bi morala biti neomejena vsaj na eni od polovic. To polovico razpolovimo naprej in sklepamo enako: vsaj na enem delu je f neomejena. Z nadaljevanjem postopka dobimo padajoče zaporedje intervalov na katerih je f neomejena in je vsak polovica prejšnjega. Naj bo p točka, ki je presek teh intervalov. Po konstrukciji je f neomejena na vsakem intervalu, ki vsebuje p. To je v nasprotju s privzetkom, da je f zvezna pri p, saj bi na nekem intervalu okoli p moralo veljati |f(p)-f(x)|

f: [a,b] → ℝ zvezna f zavzame maksimum in minimum

Ker je zaloga vrednosti funkcije f omejena, ima natančno zgornjo mejo M. Če M ne bi bila doseţena v nobeni točki domene [a,b] potem bi predpis g(x)=1/(M-f(x)) podal zvezno neomejeno funkcijo g:[a,b] → ℝ. To ni mogoče, zato sklepamo, da je f(x)=M za nek x∈[a,b], torej f zavzame maksimum M na [a,b].

Podobno sklepamo, da f zavzame tudi minimum na intervalu [a,b].

f: [a,b]ℝ zvezna f zavzame vse vrednosti med min f in max f

Privzemimo f(a)

Zvezna funkcija na zaprtem intervalu zavzame minimum, maksimum in vse vmesne vrednosti.

Njena zaloga vrednosti je zaprti interval

[min f, max f ].

3 6

Bisekcija - določanje ničel zveznih funkcij

55 23 xxxf )(

4.5

5.25

4.85

4.67

4.76

4.80

Ničla je ≈ 4.78

PRIMER

Enačbo x=e-x reši na dve decimalki natančno.

y=xy=e-x

y=x-e-x

Prevedemo na: x-e-x=0

Iščemo ničlo funkcije f(x)=x-e-x

f(0)=-1, f(0)=1-1/e≈0.63, torej ima f ničlo na intervalu [0,1]

f(0.5)=-0.106, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,1]

f(0.75)=0.277, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,0.75]

f(0.62)=0.082, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,0.62](ker iščemo rešitev na dve decimalki natančno, ni potrebno računati f(0.625))

f(0.56)=-0.011, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.62]

f(0.59)=0.035, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.59]

f(0.57)=0.004, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.57]

Prvi dve decimalki vseh števil na intervalu [0.56,0.57] se ujemata, zato lahko postopek bisekcije ustavimo in za pribliţno rešitev vzamemo x=0.56 .(natančnejša rešitev je x = 0.5671432986 – računanje z bisekcijo bi zahtevalo še dodatnih 25 korakov)

Ekstrem na polodprtem intervalu

Funkcija nima maksimuma, ima pa minimum.

Ekstrem na neomejenem intervalu

Funkcija nima maksimuma, ima pa minimum.

Ekstrem in asimptota

Funkcija, ki ima vodoravno asimptoto, zavzame vsaj enega izmed ekstremov.

Ekstremi funkcij več spremenljivk

je omejena, če so vse točke oddaljene od izhodišča za manj kot neko število M;

je zaprta, če vsebuje vse točke, ki so na njenem robu;

Točka a je na robu A če so v njeni bliţini tako točke, ki so v A, kot točke, ki niso v A.

A⊆ℝn

omejena

zaprta

omejena

zaprta

omejena

zaprta omejena

zaprta

Zvezna funkcija na omejeni in zaprti mnoţici zavzame maksimum in minimum.

Če je mnoţica povezana, potem funkcija

zavzame tudi vse vmesne vrednosti.

(Mnoţica je povezana, če lahko poljubni dve točki poveţemo s krivuljo, ki leţi v celoti znotraj mnoţice.)

Ekstrem funkcije več spremenljivk na neomejeni mnoţici:

Funkcija zavzame minimum.

Naj bo f: ℝ2→ℝzvezna

in naj velja y x yxf aliza),(

Asimptote

Pol pri b:

Vodoravna asimptota:

)(limali)(lim xf xfbxbx

kxfx

)(lim

Poševna asimptota

0)()(lim lkxxfx

kxxfl

x

xfk

x

x

)(lim

)(lim

8

9

2

353

4

95

2

353

4

9353

2

353

23

2

23

2343

23

xxxx

x

xxxx

xxxxxxxxxl

4x4

4

x

4

xlimlimlim

Primer

234 53 xxxf(x)

2

3

153

53

53

53

53

5353

4

3

23

3

23

4323

)

lim)(

lim)(

limlim

xx1

x

xxxx

x

xxxx

xxx

x

xxxk

x4x4

4

x

4

x

Rekurzivna zaporedja

(geometrično zaporedje)

(aritmetično zaporedje)

,...),( 32110 ,,n xfx ax nn

10 2511 nn xx x .

501 10 .nn xx x

61

6

176.0 110

nnn

xx xx

1

21

02

420

n

nn

x

xx x .

negibne točke

Naj bo f zvezna.

Če obstaja

,lim xa nn

potem za x velja:

)()lim()lim xfa faf( x nn

nn

11

Edine moţne limite so rešitve enačbe f(x)=x.

x

xy

2

42

Obstoj limite: grafično1

21

02

450

n

nn

x

xx x .

2422

422

2

x xx x

xx

xy

2

2.07 2.59 4.25

0.50

n xn

0 0.50

1 4.25

2

5

3

4

…

2.59

2.07

2.00

2.00…

Obstoj limite: analitično

Funkcija f je skrčitev na intervalu I, če za k

)( 11 1 nnn xaxx

))()(( xaxxf 1

axfa

ax 2

1)(

privlačni

odbojna4

922

a

a .,

Vrste

?...321 xxx

132

1

16

1

8

1

4

1

2

1...

...321 xxx

.....

.....

nn xxxs

xxxs

xxs

xs

...21

3213

212

11

zaporedje delnih vsot

nn

sxxx lim...321

Vsota vrste je, po definiciji, enaka limiti zaporedja delnih vsot.

(geometrijska vrsta)?...... 12 naqaqaqa

Primeri

q

qaaqaqaqas

nn

n1

112 ...

za obstaja ne

za

),(

lim

11

111

1

1

q

qq

a

q

qa

n

n

?...)(

...1

1

20

1

12

1

6

1

2

1

kk

1

11

1

1

kkkk )(

1

11

1

11

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11

nnnsn ...)()()(

11

11

nn lim

Harmonična vrsta

Vsota je neskončna!

?......k

1

4

1

3

1

2

11

n

kn

kns

1

11

4

1

3

1

2

11 ...

.........32

1

17

1

16

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1

Primerjalni kriteriji za konvergenco vrst

Vrste s pozitivnimi členi: xn ≥ 0

Zaporedje delnih vsot je naraščajoče.

I.

II. (Vrsti sta primerljivi.)

Limito ima, ko je navzgor omejeno.

nn yx0

obstaja obstaja 11

nn xy

,0lim,,0 Cy

xyx

n

n

nnn

obstaja obstaja 11

nn xy

Geometrijska vrsta:

Harmonična vrsta:

Primer

1

11

rnr

za vsoto ima

1

1qqn za vsoto ima

1

33 11 ?- nn

2

3

1

11

1111

33

3333

nnn

nnnn z aprimerljiv -

)()(

vsota obstaja1

33 024311 .nn -

Vrsto lahko seštejemo, če splošni člen dovolj hitro konvergira proti 0.

Hitrost konvergence ocenimo tako, da poiščemo primerljivo geometrijsko ali harmonično vrsto.

Splošne vrste:

Alternirajoče vrste:

obstaja obstaja 11

nn xx ||

?...4

1

3

1

2

11 pa Kaj

0321 nn

xxxx lim...,

14321 nn xsSxxxxS ||... in obstaja

Odvod

Kako merimo hitrost spreminjanja funkcije glede na spremembo argumenta?

Diferenčni količnik01

01

xx

xfxf )()(

je povprečna hitrost spreminjanja funkcije f na intervalu med x0 in x1.

„Trenutna‟ hitrost je

0

00

0 xx

xfxfxDf

xx

)()(lim)(

Primer:

20xxxf ,)(

22

1

2

1

2

22

22 xx

xDf

xxlimlim)(

Alternativni zapis: vpeljemo novo spremenljivko h=x-x0

h

xfhxfxDf

h

)()(lim)( 00

00

x=x(t) pot v odvisnosti od časa t

01

01

tt

txtxx

)()(povprečna hitrost v času od t0 do t1

0

00

0 tt

txtxtDx

tt

)()(lim)( trenutna hitrost v t0

v(t) hitrost gibanja v času t

Dv(t0) pospešek

FIZIKALNI

POMEN

ODVODA

W(t) toplotna energija telesa v času t

DW(t0) toplotni tok

Q(t) električni naboj na prevodniku v času t

DQ(t0) električni tok

GEOMETRI J SKI

POMEN

ODVODA

T0

T1

x0 x1

01

01

xx

xfxf )()( smerni koeficient premice, ki seka graf funkcije f v točkah T0(x0, f(x0))in T1(x1, f(x1)).

Df(x0) je smerni koeficient tangente na graf funkcije f v točki T0.

Enačba tangente: ))(())(( 000 xxxDfxfy

ANALITIČNI

POMEN

ODVODA

f naraščajoča na intervalu I okoli točke x0

Ixxx

xfxf za 0

0

0)()(

00)(xDf

Opozorilo: obratno ni res!

00)(xDf f lokalno naraščajoča pri x0

xx

xxf

1

2

2 sin)( npr.

Računanje odvodov

I. korak: funkcija odvod

odvod funkcije f

Predpis x ↦ Df(x) določa funkcijo f ’: A → ℝ

točke, kjer je f odvedljiva

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

xxf )(

xxhx

xhxh

xhx

h

xhxxf

h

hh

2

11

0

00

lim

)(limlim)(

II. korak: računske operacije in sestavljanje

gfgf )(

gfgfgf )(

2g

gfgf

g

f

)())(())(( xgxgfxgf ggfgf )()(

III. korak: odvodi osnovnih funkcij

xx ee )(

1rr rxx )(

xx

1)(ln

xx cos)(sin

xx sin)(cosx

x2

1

cos)(tg

21

1

xx)(arcsin

21

1

xx)(arctg

2

11

xx xx

2

1)( aaa xx ln)(

In še...

Višji odvodi

ff

ff

)(

)(

0

6

6

23

42

4

2

3

)(

)(

)(

)(

)(

)( xf

xf

xxf

xxf

xxxfPrimeri

Vrednosti višjih odvodov v neki točki

f(x0), f '(x0), f ''(x0), f '''(x0), ...

določajo celotno funkcijo

xxx

xxxxxf

xxx

xxxxxf

xxxxf

xxxf

cossin3

cossinsin2)(

sincos2

sincoscos)(

cossin)(

sin)(

Parcialni odvodi

V

nRTP

i -ti parcialni odvod

2)(

V

nRTVP

:TP odvod po spremenljivki TV

nRTP )(

:VP odvod po spremenljivki V

),,,( 21 nxxxff funkcija n spremenljivk

h

xxxfxhxxfxxxf nini

hnxi

),,,,(),,,,(lim),,,( 11

021

Primer

z

yxzyxf sin),,(

z

yzyxf x sin),,(

z

y

z

x

zz

yxzyxf y cos

1cos),,(

z

y

z

xy

z

y

z

yxzyxf z coscos),,( 22

Zveznost in odvedljivost

)()()(

lim 00

0

0

xDfxx

xfxf

xx

000

00

00

0

00

)(lim)(

)()()(

lim))()((lim

xxxDf

xxxx

xfxfxfxf

xx

xxxx

)()(lim 00

xfxfxx

Kjer je f odvedljiva je tudi zvezna.

Odvedljivost in lokalni ekstremi

f ima lokalni maksimum pri x0(tj. f(x0) je maksimum f na intervalu I okoli x0)

00

0 0 xxxx

xfxf za

)()(0

0

0 0 xxxx

xfxf za

)()(in

Če je f odvedljiva pri x0

000

0

0

0

00 xx

xfxf

xx

xfxf

xxxx

)()(lim

)()(lim in

Df(x0) =0

Če je funkcija v lokalnem ekstremu odvedljiva, je tam njen odvod enak 0.

(stacionarna točka)

Lokalni ekstremi odvedljive funkcije so v stacionarnih točkah.

Lokalni ekstrem NI nujno tudi globalni ekstrem.

Stacionarne točke so lahko lokalni ekstremi ali pa prevoji.

lok. minimum

lok. maksimum

prevoj

Vsi lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah.

globalni minimum(globalnega maksimuma ni)

Lokalni ekstremi funkcij več spremenljivk

f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn)

f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn)

za vsako spremenljivko posebej

vsi parcialni odvodi so enaki 0

kandidati za lokalne ekstreme so rešitve sistema enačb

00021 nxxx

fff ,...,,

sedlolokalni maksimum

Stacionarne točke funkcije več spremenljivk

vrednosti odvoda (predznak, ničle)

Ali lahko s pomočjo odvoda izrazimo

točno vrednost diferenčnega količnika?

..........

lastnosti funkcije (naraščanje, padanje, lokalni ekstremi)

?

)()()(

00

00 xDf

xx

xfxfxx

Za vsako sekanto lahko najdemo vzporedno tangento,

oziroma

povprečna hitrost na časovnem intervalu je enaka hitrosti v nekem vmesnem trenutku.

Če je f odvedljiva, potem med poljubnima x0,x1 lahko najdemo tak t, da je

01

01

xx

xfxftf

)()()(

Pomoţna funkcija:

Privzemimo, da je f odvedljiva na intervalu I in izberimo x0,x1∊I.

)()()(

)()( 001

01 xxxx

xfxfxfxg

g je odvedljiva,

g(x0)=g(x1)g je zvezna

g zavzame minimum in maksimum na [x0,x1]

max > min max = min

vsaj en ekstrem

g je v t∊(x0,x1)f je linearna

0)(tg

01

01

xx

xfxfxfxg

)()()()(

01

01

xx

xfxftf

)()()(

Lagrangev izrek:

f odvedljiva na intervalu I

za poljubni točki x0,x1∊I obstaja tak t med x0 in x1 , da je 01

01

xx

xfxftf

)()()(

alternativni opisi:

xxttfxxxfxf in med nek za 000 )()()()(

),()()()( 10000 thtxfhxfhxf nek za

Posledice:

Primer

],[],[ bafbaf na konstantna je na 0

))()()()(],[ aftfaxafbax velja (za

CCgfbagf konstanto neko za na ],[

x

xxf

1

1arctg)(

222 1

1

1

11

1

11

1

xx

xx

x

xxf

)(

))(()()(

Cxx

xarctgarctg

1

1

4010 CCx arctgarctg

41

1x

x

xarctgarctg

)()) velja za

na

0010110

0

xftfxxxfxfxx

baf

()()((

],[

f narašča na [a,b]

na

na

If

If

0

0 f je naraščajoča na I

f je padajoča na I

)()) velja za

na

0010110

0

xftfxxxfxfxx

baf

()()((

],[

f strogo narašča na [a,b]

Podobno: f ’

V nadaljevanju bomo praviloma obravnavali zvezno odvedljive funkcije.

00 0 xfxf pri zvezna in )(

00 xf okoli intervalu nekem na

⇒ f strogo narašča pri x0

(nasprotno: za je

f ’(0)=1/2, vendar f ni naraščajoča pri 0.)x

xx

xf1

2

2 sin)(

Posredno odvajanje funkcij več spremenljivk

f=f(u,v) +u=u(x) v=v(x)

Kako bi odvajali f(u(x),v(x))?

h

xvhxvtvxuf

h

xuhxuhxvtuf

h

xvxufhxvxuf

h

hxvxufhxvhxuf

h

xvxufhxvhxuf

vu ))()(())(),(())()(())(),((

))(),(())(),(())(),(())(),((

))(),(())(),((

21

)())(),(()())(),(())(),(())(),((

lim xvxvxufxuxvxufh

xvxufhxvhxufxvxu

h 0

Če je funkcija f=f(u1,...,un) zvezno odvedljiva in če so vsi ui odvedljive funkcije spremenljivke x, potem velja

xnuxux ufuff n )(...)( 11

Primer: posredni odvod

2

1 xxxf )()(

xxu 1)(

vuvug ),(

2xxv )( ))(),(()( xvxugxf

uug

vug

vv

vu

ln

1

xv

u

x

x

2

1

)ln()()( xxxxxvgugf xxxvxux 112122 12

Primer: batni motor

zapleten račun

(kotna hitrost)

cm R cm, 1040Lobr./min 200

Kolikšna je hitrost bata pri =75o ?

cosRxxRL 2222 x(t) x ’(t)

tt RxxRx sin)cos( 2220

posredni odvod na t

75201040 222 cosxx

R=10 cm, 75o

x=42.75 cm

rad/s 942060

2200.t

cm/s 48212.tx

Implicitne funkcije

Privzemimo:

)(),(?

xfyyxF 0

0

0

00

00

),(

),(

yxF

F

yxF

y

odvedljiva zvezno je

pozitiven na nekem pravokotnikuyF

),( yxFy 0 strogo narašča

00 00 ),(),( dxFcxF in

),(],[ yxFybax je za

zvezna

strogo naraščajoča

spremeni predznak

za vsak x∊[a,b] obstaja natanko določen y, da je F(x,y)=0

Rešitev okoli T(0,1) lahko podaljšamo do točk v kateri je tangenta navpična.

Dobimo jih iz pogoja F ’y=0

Iz enačbe F(x,y)=0 lahko izrazimo y kot funkcijo x, če so v neki točki (x0,y0) izpolnjeni naslednji pogoji:

• F(x0,y0)=0

• F je zvezno odvedljiva okoli (x0,y0) in F ’y(x0,y0) ≠ 0

S temi podatki je na nekem intervalu okoli x0 natanko določena funkcija f,za katero je f(x0)=y0 in F(x, f(x))=0.

Primer

12 22 yxyx(0,1)

02102

010

12 22

),(,

),(

),(

yy FyxF

F

yxyxyxF

02

12 22

yx

yxyx

7

2x

Odvod: povzetek

Odvod je limita diferenčnega količnika.

Odvod meri spreminjanje funkcije, hitrost, smerni koeficient...

Funkcijo odvod računamo z uporabo računskih pravil (odvodi osnovnih funkcij, odvajanje računskih operacij, posredno odvajanje).

Odvedljivost ima za posledico zveznost.

Lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah.

Lagrangev izrek.

Če je odvod funkcije na intervalu negativen/nič/pozitiven, potem je funkcija padajoča/konstantna/naraščajoča.

Posredno odvajanje funkcij več spremenljivk.

Implicitno podane funkcije.

Uporaba odvoda:

Računanje limit

Natančno risanje grafov

Ekstremi funkcij ene in več spremenljivk

Vezani ekstremi

Izravnananje numeričnih podatkov

Newtonova metoda za reševanje enačb

Numerično odvajanje

Računanje limit

Velja:

L‟Hospitalovo pravilo

ax

avxvax

auxu

avxv

auxu

xv

xu

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)(

Računamo pri pogoju)(

)(lim

xv

xu

ax0)()( avau

(Nedoločena oblika )0

0

)(

)(lim

)(

)(lim

xv

xu

xv

xu

axax

Primeri:

2

1

22

1

0020

x

x

x

x

x

xxx

coslim

sinlim

coslim

01

2

1

22

x

x

x

xx

coslim

sinlim

L‟Hospitalovo pravilo uporabimo tudi za

in ko je )(

)(lim

xv

xu

x, )(

)(lim

xv

xu

ax )(lim)(lim xvxu

axax

12

2

111

1

12

2 2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxxxxlimlimlim

)arctg(lim)arctg(lim

01

1

1 02

000)(limlim

lnlimlnlim x

x

x

x

xxx

xxxx

Risanje grafov

1. Definicijsko območje: določimo na podlagi lastnosti osnovnih funkcij.

2. Rob definicijskega območja: obnašanje funkcije (pole, asimptote) izrazimo s pomočjo limit; pri računanju si pomagamo z L‟Hospitalovim pravilom.

(Območje definicije, obnašanje na robu, ničle, območja naraščanja in padanja, stacionarne točke, ukrivljenost, prevoji, simetrije.)

3. Ničle: določimo s pomočjo raznih, tudi pribliţnih, metod za reševanje enačb.

Če vrednosti odvoda pri prehodu čez ničlo spremenijo predznak, je v stacionarni točki lokalni ekstrem. Če se predznak ne spremeni, je

v stacionarni točki prevoj.

funkcija

odvod

4. Naraščanje in padanje, ekstremi: funkcijo odvajamo; kjer je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti naraščajo, kjer je negativen padajo. V ničlah odvoda so lokalni ekstremi ali prevoji.

5. Ukrivljenost: kjer je drugi odvod pozitiven, je graf konveksen, kjer je negativen, je graf konkaven. Prevoji so točke, kjer graf spremeni ukrivljenost, torej ničle drugega odvoda, pri katerih drugi odvod spremeni predznak.

6. Periodičnost in simetrije: odvod periodične funkcije je periodičen; odvod sode funkcije je lih, odvod lihe pa sod.

)(xf

)(xf

)(xf

konveksnakonkavna

prevoj

Definicijsko območje:

Nariši graf

Ničle funkcije, 1. in 2. odvoda:

x

xxf

2ln)(

),(0

x

x

x

2

0

lnlim navpična asimptota (pol) x=0

01

12

2

1

122

xx

xxx

x

x

xxxxlim

lnlim

lnlim

lnlim vodoravna asimptota y=0

10 xxf )(

2

2

x

xxxf

)ln(ln)( 38710

2 .)( exxxf ali

3

2 262

x

xxxf

lnln)( 7013461

2

530 ..ln)( xxxxf ali

Globalni ekstremi

Globalni ekstrem

v notranjosti območja na robu območja

(če je funkcija odvedljiva)

v stacionarni točki

Vedno premislimo, ali funkcija sploh zavzame ekstrem.

funkcija odvisna od manj spremenljivk

(rob tvorijo točke/krivulje/ploskve/...)

Primeri

Funkcija l je zvezna in ima vodoravno asimptoto, zato zavzame oba globalna ekstrema.

max

min

Nihanje je podano z Določi največji odmik od ravnovesne lege.

)sin()( . tettl t 410

10

1010 ttttetl tsin)(

cos)( .

Enačbo

rešimo numerično in izračunamo ustrezne funkcijske vrednosti:

010

10 tttt

sin)(cos

l(x)

Poišči ekstreme funkcije f(x,y)=2x2+xy-y2-2x+4y na trikotniku z oglišči A(0,1), B(3,4), C(-1,4).

042

024

yx

yx

42

24

yxf

yxf

y

x

2

0

y

x stacionarna točka T1(0,2); f(0,2)=4.

A

BC

4

21 240

3

20169

],[

,:

30

1

x

xyAB

],[ 30014

32 2

xfxf

xxf

za

],[

,:

31

4

x

yBC

21

21

21

2

2

4424

22

),(),,( fTxf

xxf

],[

,:

01

13

x

xyCA

20169

2041

207

2041

207

3

2

720

3710

),(),,( fTxf

xxf

310 ),(: fA 2443 ),(: fB 041 ),(: fC

min

max

Vezani ekstremi

Iščemo ekstreme funkcije f(x,y) med vsemi (x,y), ki zadoščajo pogoju G(x,y)=0.

Poišči točko na elipsi, določeni z enačbo

(x-2)2+2(y-3)2=1, ki je najbolj oddaljena od izhodišča.

Drugače povedano: poišči maksimum funkcije

f(x,y) =x2+y2

pri pogoju

G(x,y)=(x-2)2+2(y-3)2-1=0

Primer

Običajni postopek: iz enačbe G(x,y)=0 izrazimo yin ga vstavimo v funkcijo f(x,y), ki jo potem odvajamo na x.

brezupno!

2

21301322

222 )()()(

xyyx

22

2

2

213

)()(

xxxh

2

21

2

2

21322

2

2

)(

)()(

x

xxxxh

.....)( 0xh

Drugačen pristop:

Vzdolţ G(x,y)=0 je y=y(x);

f(x,y(x)) odvajamo na x: odvod je xyx yff

izračunamo s posrednim odvajanjem G(x,y)=0;xy

y

xxxyx

G

GyyGG 0

V stacionarni točki (x0,y0) velja

),(

),(),(),()(),(),(

00

000000000000

yxG

yxGyxfyxfxyyxfyxf

y

xyxxyx

),(

),(

),(

),(

00

00

00

00

yxG

yxf

yxG

yxf

y

y

x

x (=-t)

Vpeljemo novo funkcijo

),(),(),,( yxGtyxftyxF Lagrangeva funkcija

Pogoj za lokalni ekstrem f(x,y), vzdolţ G(x,y)=0:

0

0

0

t

y

x

F

F

F

)),(( 0yxG

tj., kandidati za lokalne ekstreme f(x,y), vzdolţ G(x,y)=0 so stacionarne točke Lagrangeve funkcije F=f+tG

Primer

))()((),,( 1322 2222 yxtyxtyxF

1322

12122342

412222

22 )()(

)()(

)()(

yxF

ttyytyF

ttxxtxF

t

y

x

V stacionarni točki je

12

6

1

2

t

ty

t

tx

1312

622

1

222

t

t

t

t

Enačba je 4. stopnje, rešujemo jo numerično:

maksimum

minimum

5919471374623523

877447237717171

1

1

.).,.(.

.).,.(.

ft

ft

Geometrični premislek: v ekstremih se

krivulja G(x,y)=0 dotika nivojnic funkcije f(x,y).

V teh točkah je normala na krivuljo G(x,y)=0

vzporedna z normalo na nivojnico f(x,y)=konst.

)),(),,(( 0000 yxGyxG yx

)),(),,(( 0000 yxfyxf yx

)),(),,(()),(),,(( 00000000 yxGyxGtyxfyxf yxyx

Splošno pravilo:

Če iščemo ekstreme funkcije f(x1,...,xn)pri pogojih Gi(x1,...,xn) =0 za i=1,...,m

vpeljemo Lagrangevo funkcijo

)...(

),...,(...),...,(),...,(),...,,,...,(

mm

nmmnnmn

GtGtfF

xxGtxxGtxxfttxxF

11

1111111

Vezani ekstremi f so v stacionarnih točkah Lagrangeve funkcije F.

Izravnavanje numeričnih podatkov

Naloga: iz tabele numeričnih podatkov (xi,yi)določi funkcijsko zvezo y=f(x), ki se s temi podatki najbolje ujema.

Primer:

v tabeli so podane vrednosti količine y v odvisnosti od x. Določi ustrezno funkcijsko zvezo y=f(x).

Oceni vrednost y pri x =1.5 (interpolacija)in pri x=2 (ekstrapolacija).

x y

1,07 3,35

1,11 3,50

1,23 3,69

1,24 3,70

1,24 3,77

1,26 3,80

1,30 3,98

1,35 4,01

1,41 4,12

1,42 4,12

1,44 4,20

1,48 4,28

1,57 4,41

1,57 4,44

1,61 4,60

1,63 4,58

1,69 4,70

1,75 4,78

1,75 4,83

1,79 4,90

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80

y

Podatke predstavimo v koordinatnem sistemu:

Zveza med x in y je pribliţno linearna. Kako bi dobili enačbo premice, ki se tem podatkom najbolje prilega?

Enačba premice y=A+Bx je odvisna od parametrov A in B. Ustreznost parametrov preskusimo na mnoţici podatkov (xi,yi), i=1,2,...,n, s pomočjo testne funkcije

n

iii

nn

yBxA

yBxAyBxAyBxABAF

1

2

2222

211

)(

)(...)()(),(

Če leţijo vsi podatki na premici y=A+Bx je F(A,B)=0, kar je najboljši moţni rezultat. V splošnem primeru iščemo vrednosti A in B, pri katerih testna funkcija zavzame minimum.

Lastnosti funkcije F:

F je zvezna in odvedljiva za vse (A,B)∊ℝ2

Ko gre A,B → ∞ narašča F čez vsako mejo, zato F zavzame minimum na ℝ2

Ker ℝ2 nima robnih točk, je minimum F v stacionarni točki.

Testna funkcija po kriteriju najmanjših kvadratov

Sistem dveh linearnih enačb in dveh neznank: ima natanko eno rešitev, ki ustreza globalnemu minimumu testne funkcije.

n

iii yBxABAF

1

2)(),(

n

iiiA yBxABAF

1

2 )(),(

i

n

iiiB xyBxABAF

1

2 )(),(

02

02

1

1

i

n

iii

n

iii

xyBxA

yBxA

)(

)(

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxBxAx

yBxAn

11

2

1

11

x y

1,07 3,35

1,11 3,50

1,23 3,69

1,24 3,70

1,24 3,77

1,26 3,80

1,30 3,98

1,35 4,01

1,41 4,12

1,42 4,12

1,44 4,20

1,48 4,28

1,57 4,41

1,57 4,44

1,61 4,60

1,63 4,58

1,69 4,70

1,75 4,78

1,75 4,83

1,79 4,90

i xi yi xi2

xiyi

1 1,07 3,35 1,1890 3,5845

2 1,11 3,50 1,2321 3,8850

3 1,23 3,69 1,5129 4,5387

4 1,24 3,70 1,5376 4,5880

5 1,24 3,77 1,5376 4,6748

6 1,26 3,80 1,5876 4,7880

7 1,30 3,98 1,6900 5,1740

8 1,35 4,01 1,8225 5,4135

9 1,41 4,12 1,9881 5,8092

10 1,42 4,12 2,0164 5,8504

11 1,44 4,20 2,0736 6,0480

12 1,48 4,28 2,1904 6,3344

13 1,57 4,41 2,4649 6,9237

14 1,57 4,44 2,4649 6,9708

15 1,61 4,60 2,5921 7,4060

16 1,63 4,58 2,6569 7,4654

17 1,69 4,70 2,8561 7,9430

18 1,75 4,78 3,0625 8,3650

19 1,75 4,83 3,0625 8,4525

20 1,79 4,90 3,2041 8,7710

28,91 83,76 42,6977 122,9859

i xi yi xi2

xiyi

1 1,07 3,35 1,1890 3,5845

2 1,11 3,50 1,2321 3,8850

3 1,23 3,69 1,5129 4,5387

4 1,24 3,70 1,5376 4,5880

5 1,24 3,77 1,5376 4,6748

6 1,26 3,80 1,5876 4,7880

7 1,30 3,98 1,6900 5,1740

8 1,35 4,01 1,8225 5,4135

9 1,41 4,12 1,9881 5,8092

10 1,42 4,12 2,0164 5,8504

11 1,44 4,20 2,0736 6,0480

12 1,48 4,28 2,1904 6,3344

13 1,57 4,41 2,4649 6,9237

14 1,57 4,44 2,4649 6,9708

15 1,61 4,60 2,5921 7,4060

16 1,63 4,58 2,6569 7,4654

17 1,69 4,70 2,8561 7,9430

18 1,75 4,78 3,0625 8,3650

19 1,75 4,83 3,0625 8,4525

20 1,79 4,90 3,2041 8,7710

28,91 83,76 42,6977 122,9859

i xi yi xi2

xiyi

1 1,07 3,35 1,1890 3,5845

2 1,11 3,50 1,2321 3,8850

3 1,23 3,69 1,5129 4,5387

4 1,24 3,70 1,5376 4,5880

5 1,24 3,77 1,5376 4,6748

6 1,26 3,80 1,5876 4,7880

7 1,30 3,98 1,6900 5,1740

8 1,35 4,01 1,8225 5,4135

9 1,41 4,12 1,9881 5,8092

10 1,42 4,12 2,0164 5,8504

11 1,44 4,20 2,0736 6,0480

12 1,48 4,28 2,1904 6,3344

13 1,57 4,41 2,4649 6,9237

14 1,57 4,44 2,4649 6,9708

15 1,61 4,60 2,5921 7,4060

16 1,63 4,58 2,6569 7,4654

17 1,69 4,70 2,8561 7,9430

18 1,75 4,78 3,0625 8,3650

19 1,75 4,83 3,0625 8,4525

20 1,79 4,90 3,2041 8,7710

28,91 83,76 42,6977 122,9859

i xi yi xi2

xiyi

1 1,07 3,35 1,1890 3,5845

2 1,11 3,50 1,2321 3,8850

3 1,23 3,69 1,5129 4,5387

4 1,24 3,70 1,5376 4,5880

5 1,24 3,77 1,5376 4,6748

6 1,26 3,80 1,5876 4,7880

7 1,30 3,98 1,6900 5,1740

8 1,35 4,01 1,8225 5,4135

9 1,41 4,12 1,9881 5,8092

10 1,42 4,12 2,0164 5,8504

11 1,44 4,20 2,0736 6,0480

12 1,48 4,28 2,1904 6,3344

13 1,57 4,41 2,4649 6,9237

14 1,57 4,44 2,4649 6,9708

15 1,61 4,60 2,5921 7,4060

16 1,63 4,58 2,6569 7,4654

17 1,69 4,70 2,8561 7,9430

18 1,75 4,78 3,0625 8,3650

19 1,75 4,83 3,0625 8,4525

20 1,79 4,90 3,2041 8,7710

28,91 83,76 42,6977 122,9859

i xi yi xi2

xiyi

1 1,07 3,35 1,1890 3,5845

2 1,11 3,50 1,2321 3,8850

3 1,23 3,69 1,5129 4,5387

4 1,24 3,70 1,5376 4,5880

5 1,24 3,77 1,5376 4,6748

6 1,26 3,80 1,5876 4,7880

7 1,30 3,98 1,6900 5,1740

8 1,35 4,01 1,8225 5,4135

9 1,41 4,12 1,9881 5,8092

10 1,42 4,12 2,0164 5,8504

11 1,44 4,20 2,0736 6,0480

12 1,48 4,28 2,1904 6,3344

13 1,57 4,41 2,4649 6,9237

14 1,57 4,44 2,4649 6,9708

15 1,61 4,60 2,5921 7,4060

16 1,63 4,58 2,6569 7,4654

17 1,69 4,70 2,8561 7,9430

18 1,75 4,78 3,0625 8,3650

19 1,75 4,83 3,0625 8,4525

20 1,79 4,90 3,2041 8,7710

28,91 83,76 42,6977 122,9859

9912270429128

7683912820

...

..

BA

BA

1032

1481

.

.

B

A

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80

interpolirana vrednost: f(1.5)=4.303

ekstrapolirana vrednost: f(2)=5.354

xy 10321481 ..

Obe enačbi delimo z n in vpeljemo oznake:

V praksi sistem rešujemo takole:

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxBxAx

yBxAn

11

2

1

11

n

iix

nx

1

1 povprečje argumentov

n

iiy

ny

1

1 povprečje funkcijskih vrednosti

n

iix

nx

1

22 1 povprečje kvadratov argumentov

n

iiiyx

nxy

1

1 povprečje produktov

xyBxAx

yBxA

2

xByA

xxx

yxxyB

2

Nelinearne zvezet(s) c (mol/l) t(s) c (mol/l)

100 2,19 1600 0,85

200 2,05 1700 0,80

300 1,92 1800 0,75

400 1,81 1900 0,70

500 1,70 2000 0,66

600 1,59 2100 0,62

700 1,50 2200 0,58

800 1,41 2300 0,54

900 1,33 2400 0,51

1000 1,25 2500 0,48

1100 1,17 2600 0,46

1200 1,10 2700 0,43

1300 1,03 2800 0,41

1400 0,97 2900 0,39

1500 0,91 3000 0,37

V tabeli je predstavljena kinetika razpada N2O5 v raztopini CCl4. c je koncentracija N2O5 po preteku t sekund.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

(zveza med logaritmom koncentracije in časom je linearna)

Dobimo:

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Funkcijska zveza ni linearna, temveč eksponentna: BtAec

Računanje s testno funkcijo

je zamudno, zato raje lineariziramo.

n

ii

Bt yAeBAF i

1

2),(

BtAc lnln

Vpeljemo novo količino in uporabimo prejšnje formule.cc ln

tec 000603152 ..

tc 0006094751 ..

Numerično reševanje enačb

Spomnimo se:

x je negibna točka funkcije f, če velja f(x)=x.

Če je f zvezno odvedljiva in če za negibno točko velja f ’(x)

Ideja:

Newtonova iteracijska

metoda

Enačbo g(x)=0 rešimo tako, da jo preoblikujemo v ekvivalentno enačbo oblike f(x)=x, kjer ima f čim bolj privlačne negibne točke.

)(xg)(

)()(

xg

xgxxf

xxfxg )()( 0

221

))((

)()(

))((

)()()()()(

xg

xgxg

xg

xgxgxgxgxf

00 )()( xfxg

Primeri:

Računanje korenov:

1, 5.5, 3.659090, 3.196005, 3.162455, 3.162277

1, 5, 3.784, 2.916439, 2.358658, 2.092880, 2.033273, 2.030548, 2.030543

2, 2.03125, 2.030543

Dober začetek je zlata vreden!

a je rešitev enačbe x2=a

axxg 2)(x

ax

x

axxxf

22

22

)(

Npr. a=10. Iteracijo začnemo z x0=1:x

axx

2

2

(3.1622772=9.99999582)

n a je rešitev enačbe xn=a

axxg n)(1

1n

n

nx

axnxf

)()(

:4 17

3

4

4

173

x

xxf )(

(2.0305432=16.99999380)

2, 1.9605, 1.9600

3, 1.6459, 2.0235, 1.9612, 1.9600

4, 5.4917, 4.783, 4.8197, 4.8194

5, 4.8233, 4.8194

6, 4.1469, 5.1394, 4.8262, 4.8194

7, 8.4857, 7.8431, 7.8810, 7.8808

8, 7.8820, 7.8808

9, 7.2832, 8.0366, 7.8825, 7.8808

10, 11.8023, 10.8227, 10.9906, 10.9865

11, 10.9866, 10.9865

12, 10.5722, 11.0315, 10.9867, 10.9865

........

Ekstremi )sin()( . tettl t 410

Enačba:

010

10 tttt

sin)(cos

Rekurzija:

tttt

ttttttf

sin)(cos)(

sin)(cos)()(

11020

11010 2

l(x)

Določi prostornino enega mola CO2 pri temperaturi 50oC in pritisku 20 atmosfer.

Pri teh pogojih se CO2 ne obnaša kot idealni plin, zato uporabimo Van der Waalsovo enačbo:

0.0013254, 0.0012274, 0.0012266 Prostornina je 1.23 litra.

nRTnbVV

nap

2

2

a ∼ interakcija med molekulami

b ∼ velikost molekule

Nova spremenljivka: RTbxx

ap

n

Vx

2

p=20 • 1.013 • 105 Pa = 2 026 000 Pa

T=323 K

aCO2=0.3643 Jm3/mol2

bCO2=4.269 • 10 -5 m3/mol

R=8.314 J/mol K

323314800004269036430

20260002

...

)( xx

xg

11336430002026000000

6654728602771911943

2

.

).()(

xx

xxxxf

Kot začetni pribliţek vzamemo prostornino po enačbi idealnega plina:p

RT

n

V

001325402026000

32331480 ..

x

Numerično odvajanje

Kako bi iz izmerjenih vrednosti funkcije (xi ,yi ) določili točke prevoja?

Koncentracijo c merimo v odvisnosti od temperature T. Prevojna točka ustreza temperaturi, pri kateri pride do reakcije.

c

T

Prevoji so točke, v katerih drugi odvod spremeni predznak, zato potrebujemo neko oceno za odvod.

Če poznamo obliko funkcije, jo določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov in dobljeno funkcijo odvajamo analitično.

Odsekoma linearna

Odsekoma kvadratična

V splošnem poiščemo polinom, ki gre skozi nekaj zaporednih točk in ga potem odvajamo. Vrednosti odvoda lahko izračunamo neposredno iz podatkov.

Formule se poenostavijo, če so točke na enakomernih razdaljah (npr. h).

Za dve zaporedni točki:

Za tri zaporedne točke:

Za pet zaporednih točk:

Numerično odvajanje je zelo občutljivo na napake v podatkih.

h

yyy 010

h

yyy

2

021

h

yyyyy

12

88 43102

Primer:

T y

1 0.145

1.5 0.150

2 0.160

2.5 0.175

3 0.190

3.5 0.210

4 0.232

4.5 0.276

5 0.342

5.5 0.502

6 1.217

6.5 2.405

7 2.990

7.5 3.400

8 3.664

8.5 3.856

9 3.990

9.5 4.110

10 4.200

10.5 4.270

11 4.330

0.015

0.015

0.030

0.035

0.042

0.066

0.110

0.226

0.875

1.903

1.773

0.995

0.674

0.456

0.326

0.244

0.210

0.160

0.130

h

yyy iii

2

11

0.015

0.020

0.012

0.031

0.068

0.160

0.765

1.677

0.898

-0.908

-1.099

-0.539

-0.348

-0.212

-0.116

-0.084

-0.080

h

yyy iii

2

11

Elementarni študij funkcije: enačbe, neenačbe, lastnosti osnovnih funkcij in računskih operacij.

Lokalne lastnosti funkcije: zveznost, odvedljivost.

(lokalne lastnosti se lahko zelo spremenijo ţe ob majhni spremembi funkcijskih vrednosti)

zvezna nezvezna

majhna razlika pri funkcijskih vrednostih

velika razlika pri vrednostih odvoda

Katere lastnosti funkcije so neobčutljive za majhne spremembe?

Povprečna vrednost funkcije je primer globalne lastnosti.

10.9166

10.9195

povprečna vrednost osnovne funkcije:

povprečna vrednost „zanihane‟ funkcije

p je povprečna vrednost funkcije f na intervalu [a,b], če je ploščina pod grafom enaka ploščini pravokotnika.

p = (ploščina pod grafom funkcije f ) : (b-a)

p

a b

a ba bx

y

x

y

1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 4x

Ploščino pod grafom funkcije ocenimo s pomočjo pravokotnikov:

4m1m2m

3m5m 4M

2M3M

5M1M

Vsota ploščin včrtanih pravokotnikov je manjša od ploščine pod grafom.

Vsota ploščin očrtanih pravokotnikov je večja od ploščine pod grafom.

Intuitivno, z delitvijo [a,b] na dovolj drobne podintervale je razlika med včrtano in očrtano ploščino poljubno majhna, zato dobimo poljubno dobro oceno za ploščino pod grafom.

Formalizem:

Pri vseh delitvah D je S( f,D) ≤ ploščina pod grafom f ≤ Z( f,D).

Privzemimo f:[a,b]→ℝ omejena ( m ≤ f(x) ≤ M za vse x∈[a,b] ).

bxxxxaD nn 110 ...: delitev intervala [a,b]

mi: natančna spodnja meja

f na intervalu [xi-1, xi]

Mi: natančna zgornja meja

f na intervalu [xi-1, xi]

a bx

y

1x 2x 3x 4x

4m1m2m

3m5m

a bx

y

1x 2x 3x 4x

4M2M

3M5M1

M

n

iiii xxmDfS

1

1)(),(spodnja integralska vsotafunkcije f pri delitvi D

n

iiii xxMDfZ

1

1)(),(zgornja integralska vsotafunkcije f pri delitvi D

(vsota ploščin včrtanih pravokotnikov)

(vsota ploščin očrtanih pravokotnikov)

Mnoţica spodnjih integralskih vsot je navzgor omejena, zato ima natančno zgornjo mejo (supremum), ki jo označimo S(f ) in imenujemo spodnji integral funkcije f

Mnoţica zgornjih integralskih vsot pa je navzdol omejena, zato ima natančno zgornjo mejo (infimum), ki jo

označimo Z( f ) in imenujemo zgornji integral funkcije f

Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f).

Skupno vrednost imenujemo integral funkcije f na

intervalu [a,b] in označimo z

b

a

f

Vedno je S( f) ≤ Z( f).

Kaktere funkcije so integrabilne?

Za vsako delitev D velja

S( f,D) ≤ S( f) ≤ Z( f) ≤ Z( f,D),

zato je dovolj, če pokaţemo, da vedno lahko

izberemo delitev D, da bo razlika

majhna kolikor ţelimo.

n

iiiii xxmMDfSDfZ

1

1)()(),(),(

Monotone funkcije so integrabilne.

Privzamemo f:[a,b]→ℝ naraščajoča, predpišemo ɛ>0:

bxxxxaD nn 110 ...:

Vzamemo delitev

)()( afbfxx ii 1pri kateri je

)()(

))()(()()(

)())()((),(),(

afbf

n

iii

n

iiiii xfxf

afbfxxxfxfDfSDfZ

1

1

1

11

Privzamemo f:[a,b]→ℝ zvezna, predpišemo ɛ>0:

Zaradi zveznosti obstaja tak d, da je kakor hitro je ab

xfxf )()( dxx

bxxxxaD nn 110 ...:

Vzamemo delitev

dxx ii 1pri kateri je

ab

n

iii

n

iiiii xx

abxxmMDfSDfZ

1

1

1

1 )()()(),(),(

Zvezne funkcije so integrabilne.

Ali obstajajo funkcije, ki niso integrabilne?

Primer

f:[0,1]→ℝ je dana s predpisom

x

xxf

eiracionaln za

racionalne za

1

0)(

Za vsako delitev D je S( f,D)=0 in Z( f,D)=1

S( f)=0 in Z( f)=1, torej f ni integrabilna

Velja:

f:[a,b]→ℝ je integrabilna če ima največ števno mnogo točk nezveznosti.

?

Lastnosti integrala

a bx

y

f pozitivna na [a,b]

je enak ploščini lika pod grafom funkcije f

b

a

f

b

a

fpl

b

a

b

a

fkkf (k∈ℝ)

b

a

b

a

b

a

gfgf )(

c

a

c

b

b

a

fffb

a

fc

b

f

a b c

Dogovor:

b

a

a

b

ffOb upoštevanju tega dogovora veljajo vse zgornje formule tudi takrat, ko je spodnja meja integrala večja od zgornje.

M,m: natančna zgornja in spodnja meja f na [a,b]

)()( abMfabmb

a

a b

M

m

Povprečna vrednost leţi na intervalu [m,M].

b

aab

f1

Če je f zvezna, zavzame vse vrednosti med m in M.

)()( tfabfb

a

Tedaj je za nek

t∈[a,b].

f zvezna ⇒ f zavzame svojo povprečno vrednost

a b

1. Po definiciji

f integrabilna

Predpis je neroden za računanje: običajno je teţko določiti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na delilnih intervalih.

Pomagamo si takole: na vsakem intervalu delitve izberemo po eno točko ti∈[xi-1,xi].

f integrabilna

),(lim),(lim),(),(

DfZDfSfbaba

b

aDD

Na podlagi delilnih točk D:x0,...,xn in vmesnih točk T:t1,...,tn tvorimo Riemannovo vsoto

n

iiii xxtfTDfR

1

1)()(),,(

Za vse delitve D velja: S( f,D) ≤ R( f,D,T) ≤ Z( f,D)

),,(lim),(

TDfRfba

b

aD a b

x

y

1x 2x 1nx1t 2t nt

Računanjeb

a

f

...

Primeri

f(x)=x na [a,b]

D poljubna, za T izberemo:2

1iii

xxt

222

1

22

2

2

3

2

1

2

2

2

0

2

1

1

1

1

2

1

2

1

2

abxxxxxxxx

xxxx

TDfR

nn

n

iii

ii

...

)(),,(

2

22 abx

b

a

Podobno dobimo:1

11

n

abx

nnb

a

n

a b

f(x)=ex na [0,1]

Podobno dobimo:

D : n enakih delov, ; T : leva krajišča, n

ixi

n

iti

1

)(

)(...),,(

1

1

1

11111111

1121

0

nn

n

en

e

e

e

nne

ne

ne

neTDfR

nn

n

nn

11

11

10e

en

eTDfR

nn )(lim),,(lim

),(D1

11

0

1

x

een

x

xn

n)(

lim)(lim

1

1

0

eex

abb

a

x eee

2. Analitično

Ali je F zvezna?

f omejena

f omejena ⇒ F zvezna

Računanjeb

a

f

Tvorimo novo funkcijo

x

a

fxF )(

Primeri: za

za

2

22 axxFxxf )()( je

axx eexFexf )()( je

x

x

x

a

x

a

fffxFxF )()(

0

x

xxx

flim )()(lim xFxFxx

f zvezna F odvedljiva in F ’=f

hx

f zvezna

osnovni izrek analize

Ali je F odvedljiva?

a xx

y

)(tf

hx

x

x

a

hx

a

fffxFhxF )()(

)(tfhfhx

x

za nek t med x in x+h.

)()(lim)(

lim)()(

lim xftfh

tfh

h

xFhxF

hhh 000

Newton-Leibnizova formula

Primitivna funkcija ni enolično določena, vsaki dve primitivni funkciji dane funkcije se razlikujeta za neko konstanto.

F je primitivna funkcija za f

Obratno, če je F ’=f dobimo

0)()()( xFxfxFfx

a

CxFfx

a

)(

CaFfa

a

)( )()( aFxFfx

a

)()( aFbFffFb

a

Primeri

„uganemo‟ primitivno funkcijo FRačunanje :b

a

f

izračunamo )()( aFbFfb

a

xexf )( xexF )( abb

a

x eee

xxf sin)( xxF cos)( 200

)cos()cos(sin x

2xxf )(3

33

23 xxFxx )(,)( 3

26

3

1

3

273

1

2x

xxf

1)( )ln()( xxF 3

xxx

13

3

13 ))(ln(

2361

2

1

lnlnlnx

3. Numerično

Numerično računamo, če ne znamo določiti primitivne funkcije ali če je integrand znan le v posameznih točkah.

Integrand f nadomestimo s pribliţkom g, ki ga znamo dovolj preprosto integrirati.

Pribliţek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov).

napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk

pribliţna vrednost integrala

Računanjeb

a

f

Rgfb

a

b

a

Metoda trapezov: integrand nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo.

[a,b] razdelimo na n enakih delov:

g je odsekoma linearna funkcija, določena s točkami (xk ,yk), k=0,1,...,n

trapezna formulanapaka trapezne metode

),...,, nkn

abkaxk 10(

)( kk xfy

2

11

kk

x

x

yy

n

abg

k

k

)(...)()( nn

b

a

yyyyyyn

abg 12110

2

nnn

b

a

Ryyyyyn

abf 1210 222

2...

)(max)(

],[xf

n

abR

baxn 2

3

12

Simpsonova metoda: integrand nadomestimo z odsekoma kvadratično funkcijo.

[a,b] razdelimo na n enakih delov; vsakega razpolovimo in čez tako dobljene tri točke potegnemo parabolo.

Simpsonova formula

),...,, nkn

abkaxk 210

2(

)( kk xfy

3

4

2

2212222

2

kkk

x

x

yyy

n

abg

k

k

...)()( 432210 446

yyyyyyn

abg

b

a

nnnn

b

a

Ryyyyyyyyn

abf 2122243210 422424

6...

)(max)(

],[xf

n

abR

baxn

4

4

5

2880

Primer

Trapezna metoda:

Simpsonova metoda:

n=2 (4 delilne točke)

dejanska napaka 0.0025

dejanska napaka 0.0001

Izračunaj z napako < 0.01.1

01

1

x

1

0

693102121

1

1

11 .lnlnln)ln(

xxx

1. Iz pogoja določimo primeren n:01012 2

3

.)(max)(

],[xf

n

ab

bax

501012

22

1

22310

nnxx

.,)(

max],[

2. Določimo delilne točke in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti:

xk 0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000

yk 1.0000 0.8333 0.7143 0.6250 0.5555 0.5000

3. Vstavimo v trapezno formulo:1

0

6956050000555502625002714302833302000110

1

1

1.)......(

x

1

0

6932050000571404666602800004000112

1

1

1.).....(

x

http://math.fullerton.edu/mathews/a2001/Animations/Animations.html

183 2 )sin()( xexf x

Primer

Oceni ploščino kosa pločevine:

24900125045525146212

100cm )(P

Računanje primitivnih funkcij

xx

xx

xx

xx

ee

xx

r

xx

xFxf

xx

r

rr

arctg

arcsin

sincos

cossin

ln

)()(

)(

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

F primitivna funkcija za f

F primitivna funkcija za f,

G primitivna funkcija za g

kF primitivna funkcija za kf

F+G primitivna funkcija za f+g

Primer2

1

xxxf )(

221

2 xxx

xx

xxF

14

22

12

)(

funkcije diferenciali

d

)()( xfdxxf

Primitivne funkcije produkta, kvocienta ali kompozituma dveh funkcij v splošnem ni mogoče izraziti s pomočjo primitivnih funkcij faktorjev.

Primitivna funkcija elementarne funkcije pogosto ni elementarna.

xxxx

extg,sin,

2(Npr. integrali niso elementarne funkcije.)

Diferenciranjef(x) f ’(x)dx diferencial

Obratno operacijo imenujemo nedoločeni integral.

Cxfxdf )()( C neko število

(odvajanje ni injektivno, zato obrat ni enoličen)

delna integracija(per partes)

uvedba nove spremenljivke(substitucija)

duvvudvu

dttxtxfdxxf )())(()(

dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()(

dxxukdxxku )()(

dxxvdxxudxxvxu )()())()((

rx edxe

xdxx cossin

xdxx sincos

1

11

1

rx

rr

xdxx

r

r

ln

xdxx

arcsin 1

21

xdxx

arctg 1

21

dvvuvud

dvuduvvud

dukkud

dvduv)d(u

)())((

)(

)(

dxxvxvuxvud

dxxvxudxxvxuxvud

dxxukxkud

dxxvdxxuxvxud

)())(())(((

)()()()())((

)())((

)()())()((

Pravila za diferenciranje:

Pravila za integriranje:

Primeri

dxexx

xvdxdv

dxx

duxu

1

ln

xev

dxdu

xxxx eexdxeex

Podobno za ,...,cos,sin dxexdxxxdxxx xn

dxx ln

dxedv

xu

x

xxxdxxxdxx lnlnln

Podobno za dxxxn ln

dxx )sin( 12 )cos(cossin 122

1

2

1

2xt

dtt

dtdx

xt

2

1

12

Splošno pravilo: )()()()( baxFa

dxbaxfxFdxxf1

dxxx 123

dxxxx 122

dxxdt

xt

2

12

dttt )( 121 2

3

2

5

2

3

2

5

11 2312

51

31

51 )()( xxtt

dxx tg dxx

x

cos

sinxt

t

dtcoslnln

dxxdt

xt

sin

cos

Uspešna je tudi substitucija t2=x2+1.

dxx 214

2

22

211 22

ttdt

tdttdttt

sincoscoscossin

dttdx

tx

cos

sin

Integriranje racionalnih funkcij

1.korak Če je potrebno, z deljenjemprevedemo na primer, ko je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca.

Primer

2.korak Imenovalec razcepimo na faktorje, potem pa integrand razcepimo na delne ulomke oblike

in

3.korak Integriramo dobljeni izraz.

dxxQ

xP )(

)(P(x),Q(x) polinoma dx

x

x

1

22

3

1

2

1

222

3

x

xx

x

x

nax

A

)( nbaxx

BAx

)( 2

))(( 1112 xxx

1111

2

x

B

x

A

xx

x

))((

)()( 112 xBxAx

2

3

2

1BA ,

1

1

2

3

1

1

2

1

1

22

3

xxx

x

x

)ln()ln( 12

31

2

1

21

2 2

2

3

xxx

dxx

x

Izlimitirani integrali

Primer

integrand je neomejen, ne ustreza zahtevam za integrabilnost

Formalno uporabimo Newton-Leibnizovo formulo:

Kako bi razširili pojem integrabilnosti na tovrstne primere?

dxx

1

0

1

221 1

0

1

0

xdxx

Osnovna primera:

f zvezna na [a,b), pri b ima pol

f zvezna na

[a,+∞)

t

a

f obstaja za vse t∈[a,b)

b

a

t

abt

ff lim

t

a

f obstaja za vse t∈[a,+∞)

a

t

at

ff lim

Primeri

limita ne obstaja

2

1

2

1

2

1

2

2

0

2)(lim

)( tdx

x t

2

1

2

12 x

dxx

)(

110

1

0

)ln(limln tttdxxt

xxxdxx lnln

limita ne obstaja

)cos(sinsin xxe

dxxex

x 2225

2

dxxe x

0

2sin

5

2

5

2222

5))cos(sin(lim tt

e t

t

1

0

)cos(limsin tdxxt

Ocenjevanje konvergence: obstoj limite pri izlimitiranem integralu lahko ugotovimo na podlagi primerjave z znanimi integrali.

Primeri

1

11

1

rx

rdxx r

xr

r

ln

dxx

a

r

0

1 obstaja za r1

ne obstaja za r ≤ 1

dxxx

x

13 1

1Za x → ∞ je primerljiva z

1

1

3xx

x

2

3

1

xintegral obstaja

dxx

2

13 1

1Za x → 1 je primerljiva z ,

1

1

3x 1

1

x

ki je primerljiva z pri x → 0x

1 integral obstaja

Uporaba integrala

Ploščine likov

b

a

fgploščina

Ploščina v polarnih koordinatah

ploščina=n

i

iiitr

0

1

2

2

))((

To je Riemannova vsota

za funkcijo 2

2 )(r

2

2

1rploščina

Dolţina krivulje

Vsaka delitev intervala določa neko lomljenko. Dolţina krivulje je natančna zgornja meja dolţin lomljenk.

(če je f zvezno odvedljiva)

dolţina lomljenken

iiiii xfxfxx

0

21

21 ))()(()(

n

iiixx

xfxfxx

ii

ii

0

121

2

11 )()(

))()((

n

iiii xxtf

0

121 )())((

Riemannova vsota za funkcijo 21 )( f

b

a

f 21 )(dolţina krivulje

Prostornina telesa

Riemannova vsota za funkcijo P

(če je P zvezna)

ploščina prereza na nivoju x)(xP

n

iiii xxtP

0

1))((

Prostornina telesa = b

a

P

VrtenineVrtenina je telo, ki ga zaobjamemo z vrtenjem krivulje okoli neke osi.

Prerez na nivoju x je krog s ploščino P(x)=f(x)2 π.

Prostornina vrtenine = b

a

f 2

Nekatere fizikalne količine, ki se izraţajo z integralom

(Integriramo funkcije ene spremenljivke, zato se zaenkrat omejimo na primere, ki so „enodimenzionalni‟.)

Dolţina poti, ki jo točka, ki se giblje premočrtno s hitrostjo v=v(t) prepotuje v času od t1 do t2 je

2

1

t

t

dttvs )(

Masa krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a,b]in z dolţinsko gostoto r=r(x) je dxxfxm

b

a

21 ))(()(

Teţišče krivulje, dane z enačbo y=f(x) na[a,b] in z dolţinsko gostoto r=r(x) je

dxxfxxfm

y

dxxfxxm

x

b

a

T

b

a

T

2

2

11

11

))(()()(

))(()(

Delo, ki ga sila F=F(x) opravi vzdolţ osi x dxxFAb

a

)(

Teţišče n točk, katerih mase so mi, koordinate

pa (xi,yi) jen

iiiT

n

iiiT

mym

y

mxm

x

1

1

1

1

Funkcije definirane z integralom

Vsaka integrabilna funkcija f :[a,b]→ℝ določa zvezno funkcijo F :[a,b]→ℝ:

Lastnosti F lahko razberemo iz lastnosti f, npr:

če je f zvezna je F odvedljiva in velja F ’=f;

če je f pozitivna, je F naraščajoča...

x

a

fxF )(

Primer

je zvezna l je odvedljiva

je > 0 je strogo naraščajoča

x↦l(x) je alternativna definicija funkcije ln(x).

Za vsak x>0 je definirana funkcija x

dtt

xl1

1)(

tt

1

x xy

x

xy

t

dt

t

dt

t

dtxyl

11

)(

duxdt

xut

yy

u

du

xu

dux

11

)()( ylxl

0)1(l )()( xlnxln )1(lim

0l

x)1(lim l

x

x↦l -1(x) pa je alternativna definicija funkcije ex

Nove funkcije dobimo tudi z integriranjem funkcij več spremenljivk:

Primer

Kdaj je tako definirana funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna?Kaj je njen odvod, integral?

integral s parametrom

Pravilo določa funkcijo F :[a,b]→ℝ.

d

c

dyyxfxF ),()(

f :[a,b]ⅹ[c,d]→ℝ:

11

0

1

0

xy

y

xyxy eedyxe

Zveznostd

c

dyyxfxF ),()(

Izberimo natančnost in privzemimo, da je f zvezna:

,),(),(cd

yxfyxf 01če je x1 dovolj blizu x0 , je

d

c

d

c

d

c

dyyxfyxfdyyxfdyyxfxFxF ),(),( ),( ),()()( 010101

zato je dycd

dyyxfyxfd

c

d

c

),(),( 11

f zvezna zvezna

d

c

dyyxfxF ),()(

odvajanje integrala po parametru

Odvedljivostd

c

dyyxfxF ),()(

d

c

dyh

yxfyhxf

h

xFhxF ),(),()()(

Lagrange: ),(),(),(

xtfh

yxfyhxfx

zvezna za dovolj majhen h jecd

yxfytf xx ),(),(xf

za vse y∈[c,d]

d

c

x

d

c

dyyxfdyh

yxfyhxf ),(

),(),(

f(x,y) zvezno odvedljiva na x odvedljiva

d

c

dyyxfxF ),()(

d

c

x dyyxfxF ),()(

Primer

3

1

3

)1(

3

)(3

31

0

3

xxxxyx

y

y

1

0

2 )()( dyyxxF

1

0

2

1)(2)( dy

xyxxF

xx

yydy

x

yy

y2

11

2 1

1

0

21

0

xxx

2

11

3

1

Integrabilnost

f zvezna integrabilna

Primerjajmo funkciji

in

posebej: G1(b)=G2(b)

zamenjava vrstnega reda integriranja

zvezna

d

c

dyyxfxF ),()(

t

a

d

c

dxdyyxftG ),()(1

d

c

t

a

dydxyxftG ),()(2

d

c

dyytftG ),()(1

d

c

dyytftG ),()(2

0)(1 aG 0)(2 aGG1=G2

d

c

b

a

b

a

d

c

dydxyxfdxdyyxf ),( ),(

Primer

6

25

323

3

1 )(

2

1

232

1

2

2

1

1

0

2

x

x

xxxdxxxdxdyyx

6

25

3

7

2

3

3

3

73

3

1

0

23

1

0

2

1

0

2

1

31

0

2

1

2

y

y

x

x

yyy

dxyydxyx

dydxyx (

)

)(

Formula o zamenjavi vrstnega reda integriranja velja tudi za funkcije f(x,y), ki so nezvezne v nekaj točkah ali celo vzdolţ neke gladke krivulje.

Primer

nezvezna vzdolţ premice y=x

yx

yxxyxf

za 0

za ),(

1

0

1

0

32

1

0

0

1

0 0

1

0

1

03

1

3 ),(

xdxxdxxydxdyxdxdyyxf

xy

y

x

1

0

1

0

321

0

121

0

11

0

1

03

1

62

2

1

2 ),(

yydy

ydy

xdydxxdydxyxf

x

yxy

Dvojni integral

Prostornino pod ploskvijo ocenimo s pomočjo kvadrov. Pravokotnik[a,b]x[c,d] razdelimo na mreţo manjših pravokotnikov. Vsota prostornin včrtanih kvadrov je manjša, vsota prostornin očrtanih kvadrov pa večja od prostornine pod ploskvijo.

f(x,y) omejena na pravokotniku [a,b] [c,d]

delitev:

dyyyyc

bxxxxaD

mm

nn

110

110

...

...:

mij,Mij natančna spodnja in zgornja meja na pravokotniku [xi-1,xi] [yi-1,yi]

Δxi= xi – xi-1, Δyj= yj – yj-1

n

i

m

jjiij yxmDfS

1 1

),( spodnja integralska vsotafunkcije f pri delitvi D

zgornja integralska vsotafunkcije f pri delitvi D

n

i

m

jjiij yxMDfZ

1 1

),(

a b

c

d

x

y

Δxi

Δyj

spodnji integral funkcije f

zgornji integral funkcije f

Zvezne funkcije so integrabilne.

(Integrabilne so tudi funkcije, pri katerih je mnoţica točk nezveznosti majhna,npr. če so nezvezne le v nekaj točkah, ali pa vzdolţ neke gladke krivulje.)

),(sup)( DfSfSD

),(inf)( DfZfZD

Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f).

Skupno limito imenujemo dvojni integral funkcije f na

območju [a,b] [c,d] in označimo z],[],[ dcba

f

Vedno je S( f) ≤ Z( f).

Dvojni integral je enak dvakratnemu.

Prostornina pod grafom z=f(x,y) je , kjer je P(x)ploščina prereza na nivoju x.

b

a

dxxP )(

d

c

dyyxfxP ),()(

b

a

d

c

dxdyyxffdcba

),(],[],[

P(x) je ploščina pod grafom funkcije y↦f(x,y):

Primer

ali pa

],[],[ 1031

21 y

yx

214

1

24

21

1

1

1

0

2

1

0

1

0

2

1

0