Upload
others
View
21
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
abcαMATEMATIKA S STATISTIKO
UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMALABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN
KOZMETOLOGIJA1. LETNIK
MATEMATIKA S STATISTIKO 2
ODVOD
1. Definicija in pomen, lastnosti odvedljivih funkcij
2. Računanje odvodov, višji odvodi, parcialni odvodi
3. Lokalni ekstremi, Lagrangev izrek, gradient
4. Računanje limit, risanje grafov, globalni ekstremi
5. Izravnavanje podatkov, Newtonova metoda, numerično odvajanje
Kako primerjamo hitrost spreminjanja funkcije glede s spremembo argumenta?
Diferenčni količnik
je povprečna hitrost spreminjanja funkcije f na intervalu med x0 in x1.
‘Trenutna’ hitrost v času x0 je
MATEMATIKA S STATISTIKO
ODVOD DEFINICIJA IN POMEN
3
ODVOD
1 0
1 0
( ) ( )f x f xx x
−−
0
00
0
( ) ( )( ) lim
x x
f x f xdf x
x x→
−=−
0( ) , 2f x x x= =
2 2
2 1 1(2) lim lim
2 2 2 2x x
xdf
x x→ →
−= = =− +
x=x(t) pot v odvisnosti od časa t
v(t) hitrost gibanja v času t dv(t0) pospešek
W(t) toplotna energija telesa v času t dW(t0) toplotni tok
Q(t) električni naboj na prevodniku v času t dQ(t0) električni tok
ODVOD DEFINICIJA IN POMEN
4
FIZIKALNI POMEN
f naraščajoča na intervalu I, ki vsebuje točko x0 (tj. lokalno naraščajoča pri x0)
ANALITIČNI POMEN
Podobno, če je f lokalno padajoča okoli x0
MATEMATIKA S STATISTIKO
1 00 1
1 0
( ) ( )x t x tx t t
t t−=−
povprečna hitrost v času med in
0
00 0
0
( ) ( )( ) lim
t t
x t x tdx t t
t t→
−=−
trenutna hitrost v
0
0
( ) ( )0
f x f xx I
x x−⇒ ≥ ∈−
za 0( ) 0df x⇒ ≥
0( ) 0df x⇒ ≤
T0
T1
x0 x1
je smerni koeficient premice, ki seka graf funkcije f v točkah T0(x0, f(x0)) in T1(x1, f(x1)).
df(x0) je smerni koeficient tangente na graf funkcije f v točki T0.
ODVOD DEFINICIJA IN POMEN
5
GEOMETRIJSKI POMEN
MATEMATIKA S STATISTIKO
1 0
1 0
( ) ( )f x f xx x
−−
0
0 0 0( ( )) ( ) ( )
f T
y f x df x x x− = ⋅ −Enačba tangente na graf v točki :
ODVOD
6
ODVEDLJIVOST
Kjer je funkcija f odvedljiva, je njen graf gladek. V teh točkah ima natančno določeno tangento.
Leva limita se razlikuje od desne limite.
Diferenčni količnik gre proti neskončnosti.
Limita ne obstaja.
tangenta v točki 0 je navpična
LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
MATEMATIKA S STATISTIKO
0
00
0
( ) ( )limx x
f x f xf x
x x→
−−
Funkcija je v točki , če obstaja limita diferenčnega količnika odvedljiva
0
0
( )
0lim 1
0lim 1
x
x
f x x
xx
xx
−
+
→
→
=− = −
− =
3
3 3
3 20 0
( )
0 1lim limx x
f x x
xx x→ →
=
− = = ∞
0 0
1( ) sin
1sin 0 1
lim limsinx x
f x xx
xx
x x→ →
=
−=
ZVEZNOST IN ODVEDLJIVOST
V točkah, kjer je f odvedljiva, je tudi zvezna.
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
7
Obratno seveda ni res kot kažejo primeri zveznih in obenem neodvedljivih funkcij:
0
MATEMATIKA S STATISTIKO
( )( )0
0 0 0lim ( ) ( ) ( ) 0→
⇒ − − ⋅ − =x x
f x f x df x x x
0
00
0
( ) ( )lim ( )→
− =−x x
f x f xdf x
x x
00lim ( ) ( )
→⇒ =
x xf x f x
RAČUNANJE ODVODOV
I. korak: funkcija odvod
odvod funkcije f
Predpis x ↦ df(x) določa funkcijo f ’: A → ℝ
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV
8
točke, kjer je f odvedljiva
MATEMATIKA S STATISTIKO
0
( ) ( )( ) lim
h
f x h f xf x
h→
+ −′ =
( )f x x=0 0
0
( ) lim lim( )
1 lim
1
2
h h
h
x h x x h xf x
h h x h x
x h x x
→ →
→
+ − + −′ = = =+ +
= =+ +
II. korak: računske operacije in sestavljanje
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV
9
III. korak: odvodi osnovnih funkcij
In še...
Na podlagi odvodov osnovnih funkcij in računskih pravil lahko rutinsko izračunamo odvod poljubne elementarne funkcije.
MATEMATIKA S STATISTIKO
( ) ( )( ) ( ) ( )′ ′ ′± = ±f x g x f x g x
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅f x g x f x g x f x g x
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )2
′ ′ ′⋅ − ⋅
=
f x f x g x f x g x
g x g x
( ( )) ( ( )) ( )′ ′ ′= ⋅f g x f g x g x
( )x xe e′ =
1( )r rx rx −′ = 1(ln )x
x′ =
(sin ) cosx x′ =
2
1(arcsin )
1x
x′ =
−
2
1(arctg )
1x
x′ =
+
(cos ) sinx x′ = − 2
1(tg )
cosx
x′ =
2
1 1
x x
′ = −
1( )
2x
x′ = ( ) lnx xa a a′ = ⋅
VIŠJI ODVODI
S pomočjo višjih odvodov je mogoče natančneje opredeliti obnašanje funkcije.
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV
10MATEMATIKA S STATISTIKO
( )
( )
f f
f f
′ ′ ′′=′′ ′ ′′′=
3
2
(4)
( ) 2 4
( ) 3 2
( ) 6
( ) 6
( ) 0
f x x x
f x x
f x x
f x
f x
= − +′ = −′′ =′′′ =
=
( ) sin
( ) sin cos
( ) cos cos sin
2cos sin
( ) 2sin sin cos
3sin cos
f x x x
f x x x x
f x x x x x
x x x
f x x x x x
x x x
=′ = +′′ = + −
= −′′′ = − − −
= − −
ODVOD
11
PARCIALNI ODVODIKoličino, ki je odvisna od več spremenljivk, pogosto
obravnavamo kot funkcijo vsake spremenljivke posebej.
odvod po spremenljivki T
odvod po spremenljivki V
V plinski enačbi je tlak P odvisen od spremembe temperature T in volumna V.
Z naraščanjem temperature narašča tudi tlak, z naraščanjem volumna pa tlak upada.
MATEMATIKA S STATISTIKO
ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK
nRTP
V=
2( )
nRTP V
V′ = −
:TP′( )nR
P TV
′ =
:VP′
nRTP
V=
ODVOD
12
i -ti parcialni odvod
funkcija n spremenljivk
Uporabljamo tudi oznako
MATEMATIKA S STATISTIKO
ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK
1 2( , , , )nf f x x x=
1 11 2
0
( , , , , ) ( , , , , )( , , , ) lim
i
i n i nx n
h
f x x h x f x x xf x x x
h→
+ −′ =
( , , ) siny
f x y z xz
=
( , , ) sinx
f yf x y z
x z
∂ ′= =∂
1( , , ) cos cosy
f y x yf x y z x
y z z z z
∂ ′= = ⋅ ⋅ = ∂
2 2( , , ) cos cosz
f y y xy yf x y z x
z z z z z
∂ ′= = ⋅ ⋅ − =− ∂
1 2( , , , )ix n
i
ff x x x
x
∂ ′=∂
ODVEDLJIVOST IN LOKALNI EKSTREMI
f(x0) lokalni maksimum v notranjosti intervala definicije
f odvedljiva pri x0
Če ima odvedljiva funkcija lokalni ekstrem v notranjosti intervala, je tam njen odvod enak 0.
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
13
Opozorilo: premislek ne deluje, če je ekstrem na robu definicijskega območja.
MATEMATIKA S STATISTIKO
0 00 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )0 0
f x f x f x f xx x x x
x x x x− −⇒ ≥ < ≤ >− −
za in za
0 0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim 0 lim 0x x x x
f x f x f x f xx x x x− +→ →
− −⇒ ≥ ≤− −
in
0( ) 0 (stacionarna točka)′⇒ =f x
Lokalni ekstrem ni nujno tudi globalni ekstrem.
Če je ekstrem v notranjosti, je tam stacionarna točka.
Ekstremi so lahko na robu ali pa v notranjosti definicijskega območja.
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
14
Kandidati za globalne ekstreme so stacionarne točke in točke na robu definicijskega območja.
Stacionarna točka ni nujno lokalni ekstrem, lahko je tudi prevoj.
MATEMATIKA S STATISTIKO
LOKALNI EKSTREMI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK
vsi parcialni odvodi so enaki 0
Kandidati za lokalne ekstreme so v stacionarnih točkah, tj. v točkah, kjer so vsi parcialni odvodi
enaki 0.
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
15
lokalni maksimum lokalni
maksimum
sedlo
MATEMATIKA S STATISTIKO
( )1,..., lokalni ekstrem v notranjosti definicijskega območjanf x x
( )1
1
,...,
... 0
je v vsaki smeri lokalni ekstrem ⇒∂ ∂⇒ = = =∂ ∂
n
n
f x x
f fx x
4 2( , ) 8 4f x y xy x y= − −
38 4 00, 2, 2
8 8 0
y xx y
x y
− =⇒ = = − +
− =
( ) ( ) ( )0,0,0 , 2, 2,4 , 2, 2,4− −
Stacionarne točke:
Ali obstaja tudi točna formula?
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
16
Za vsako sekanto lahko najdemo vzporedno tangento (npr. povprečna hitrost na danem časovnem intervalu je vedno enaka hitrosti v nekem vmesnem trenutku).
LAGRANGEV IZREK
Iz definicije odvoda sledi približna formula
Za odvedljivo funkcijo f velja: med vsakim parom točk x0,x1 obstaja vsaj en tak t, da je
MATEMATIKA S STATISTIKO
( ) ( ) ( )′+ ≈ + ⋅f x h f x f x h
0x1xt
( ) ( )1 0
1 0
( )f x f x
f tx x
−′=
−
( ) ( )1 0
1 0
( )f x f x
f tx x
−′ =
−
Za točki x in x+h dobimo:
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
17
Posledice:
MATEMATIKA S STATISTIKO
( ) ( ) ( ) za nek med in′+ = + ⋅ +f x h f x f t h t x x h
0 [ , ] [ , ]f a b f a b′ = ⇒na je konstantna na
[ , ] f g a b f g C C′ ′= ⇒ = +na za neko konstanto
( )( ) 1 1ln 5 5
5′ = ⋅ =x
x x ( )ln ′= x
( )ln 5 ln⇒ = +x x C ln 5=C
f ’>0 na [a,b] f je strogo naraščajoča na [a,b].
f ’<0 na [a,b] f je strogo padajoča na [a,b].
Obratno ne velja: f(x)=x3 strogo narašča okoli 0, vendar je f ’(0)=0.
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
18
PREDZNAK ODVODA IN NARAŠČANJE FUNKCIJE
f ’0 na [a,b] f je naraščajoča na [a,b].
f ’0 na [a,b] f je padajoča na [a,b].
MATEMATIKA S STATISTIKO
0 1 1 0 1 0 00 na [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f a b x x f x f x x x f t f x′ ′> ⇒ < = + − ⋅ >za velja
0 1 1 0 1 0 00 na [ , ] za velja ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f a b x x f x f x x x f t f x′ ′≥ ⇒ ≤ = + − ⋅ ≥
ODVOD ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK
19
GEOMETRIČNI POMEN PARCIALNIH ODVODOV
x x+h
y
y+k
Če se temperatura spremeni za ΔT, volumen pa za ΔV, potem se tlak idealnega plina spremeni za približno
MATEMATIKA S STATISTIKO
( , )+ +f x h y k
( , )f x y
( , ) ( , )+ + − =f x h y k f x y
( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )= + + − + + + −f x h y k f x h y f x h y f x y
( ) ( ), ,∂ ∂≈ ⋅ + ⋅∂ ∂f f
x y h x y kx y
( ) ( )( , ) ( , ) , ,∂ ∂+ + ≈ + ⋅ + ⋅∂ ∂f f
f x h y k f x y x y h x y kx y
2∆ ≈ ×∆ − ×∆nR nRT
P T VV V
ODVOD ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK
20
x
y
Skalarni produkt je največji, če vektorja kažeta v isto smer.
Skalarni produkt je nič, če sta vektorja pravokotna.
skalarni produkt
MATEMATIKA S STATISTIKO
, ( , ).je vektor, ki v vsaki točki kaže v smer najhitrejšega naraščanja funkcije ∂ ∂ ∂ ∂
f ff x y
x y
( ) ( ), , ,Sprememba vrednosti funkcije v smeri ∂ ∂ ∂ ∂≈ ⋅ + ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂
f f f fh k h k h k
x y x y
( , )h k
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV
21
Nivojnice funkcije f :¡ n¡ so krivulje, ki povezujejo točke, v katerih ima f isto vrednost (izohipse, izobate, izoterme,...). Podane so z enačbami f(x1,..., xn)=c.
Gradientni vektor je pravokoten na nivojnico, ki gre skozi dano točko. Njegova velikost je sorazmerna s hitrostjo naraščanja vrednosti funkcije.
Gradient določa polje smeri, ki je v vsaki točki pravokotno na nivojnice.
gradientni vektor
MATEMATIKA S STATISTIKO
1
grad ,..., ∂ ∂= ∂ ∂ n
f ff
x x
POVZETEK
Odvod je limita diferenčnega količnika.Odvod meri spreminjanje funkcije, hitrost, smerni koeficient,... Funkcijo odvod računamo z uporabo računskih pravilOdvedljivost ima za posledico zveznost.Lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah.Lagrangev izrek.Če je odvod funkcije na intervalu negativen/nič/pozitiven, potem je funkcija padajoča/konstantna/naraščajoča.Geometrični pomen parcialnih odvodov, gradient.
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ
22
UPORABA ODVODA
Računanje limitNatančno risanje grafov
Ekstremi funkcij ene in več spremenljivkIzravnananje numeričnih podatkov
Newtonova metoda za reševanje enačbNumerično odvajanje
MATEMATIKA S STATISTIKO
RAČUNANJE LIMIT
L’Hospitalovo pravilo
Če pa kvocient odvodov ni definiran, potem velja:
ODVOD L’HOSPITALOVO PRAVILO
23MATEMATIKA S STATISTIKO
( ) ( )( ) ( ) ( )
.( ) ( )( ) ( ) (
( ) ( )lim
( ) ( ))Iz sledi
x a
u x u au x u x u a x a
v x v au x u av xv x v x v
xva
aa→
′−
− −− =
′= =
−−
( ) ( )lim lim
( ) ( )
x a x a
u x u xv x v x→ →
′=
′
00
( )lim ( ) ( ) 0
( )Računamo pri pogoju (nedoločena oblika ).
x a
u xu a v a
v x→= =
20 0 0
1 cos sin cos 1lim lim lim
2 2 2x x x
x x xx x→ → →
− = = =2 2
sin cos 1lim
2 2x
xxπ
ππ π π→
= = −−
( )lim
( )( )
lim lim ( ) lim ( ) .( )
L'Hospitalovo pravilo lahko uporabimo tudi za računanje
ter za računanje , ko je
x
x a x a x a
u xv xu x
u x v xv x
→∞
→ → →= = ∞
RISANJE GRAFOV
1. Definicijsko območje: določimo na podlagi lastnosti osnovnih funkcij.2. Obnašanje na robu: trend (pole, asimptote) izrazimo s pomočjo limit; pri računanju si pomagamo z L’Hospitalovim pravilom.
3. Ničle: določimo s pomočjo raznih (točnih ali približnih) metod za reševanje enačb.
ODVOD RISANJE GRAFOV
24
4. Naraščanje in padanje, ekstremi: funkcijo odvajamo; kjer je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti naraščajo, kjer je negativen padajo. V ničlah odvoda so lokalni ekstremi ali prevoji.
Če vrednosti odvoda pri prehodu čez ničlo spremenijo predznak, je v stacionarni točki lokalni ekstrem. Če se predznak ne spremeni, je v
stacionarni točki prevoj.
funkcija
+_
+_odvod
+ +
_ _
MATEMATIKA S STATISTIKO
5. Ukrivljenost: kjer je drugi odvod pozitiven, je graf konveksen, kjer je negativen, je graf konkaven. Prevoji so točke, kjer graf spremeni ukrivljenost, torej ničle drugega odvoda, pri katerih drugi odvod spremeni predznak.
6. Periodičnost in simetrije: odvod periodične funkcije je periodičen; odvod sode funkcije je lih, odvod lihe pa sod.
ODVOD RISANJE GRAFOV
25
prevoj
MATEMATIKA S STATISTIKO
( ) 0′′ <konkavna
f x
( ) 0′′ >konveksna
f x
Ničle funkcije, 1. in 2. odvoda:
ODVOD RISANJE GRAFOV
26MATEMATIKA S STATISTIKO
2ln( ) =Nariši graf funkcije
xf x
x(0, )+∞Definicijsko območje:
2
0
lnlim 0
→= +∞ = navpična asimptota (pol)
x
xx
x2
1 12ln 2ln 2ln
lim lim lim lim 0 01 1→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞
⋅= = = = = vodoravna asimptota
x x x x
xx xx x yx x
( ) 0 1= ⇒ =f x x
2
ln (2 ln )( )
−′ = x xf x
x2( ) 0 1 7.38′ = ⇒ = = ≈ ali f x x x e
2
3
2ln 6ln 2( )
− +′′ = x xf x
x
3 5( ) 0 ln 1.46 13.70
2
±′′ = ⇒ = ⇒ ≈ ≈ ali f x x x x
(1,0), (7.38,0.54)min max
(1.46,0.1), (13.70,0.5)prevoja
ODVOD RISANJE GRAFOV
27MATEMATIKA S STATISTIKO
2ln( ) = x
f xx
(7.38,0.54)max
(1,0)min
(13.70,0.5)prevoj
(1.46,0.1)prevoj
(0, )+∞definicijsko območje:
0, 0= =asimptoti x y
GLOBALNI EKSTREMI
Globalni ekstrem je lahko…
v notranjosti območja
na robu območja
(če je funkcija odvedljiva)
v stacionarni točki
Vedno premislimo, ali funkcija sploh zavzame ekstrem!
funkcija odvisna od manj spremenljivk(rob tvorijo točke/krivulje/ploskve/...)
ODVOD EKSTREMI
28
minimum maksimum
MATEMATIKA S STATISTIKO
22
2 2
( 2 ) 1 2( ) 1
2 1 1
⋅ − −′ = − + =− −
x x xf x x
x x
[ ]1,1 ,− ⇒Definicijsko območje je je zvezna zavzame maksimum in minimumf
2( ) 1= −Določi globalne ekstreme funkcije f x x x
1,2
2( ) 0
2′ = ⇒ = ±f x x
2 22 2, +Kandidati za ekstreme: robne točke -1,+1; stacionarne točke -
2 21 12 2 2 2( 1) (1) 0, ( ) , ( )− = = − = − = f f f f
Poišči ekstreme funkcije f(x,y)=2x2+xyy22x+4y na trikotniku z oglišči A(0,1), B(3,4), C(-1,4).
stacionarna točka T1(0,2); f(0,2)=4.
A
BC
min
max
ODVOD EKSTREMI
29MATEMATIKA S STATISTIKO
4 2 0
2 4 0
+ − = − + =
x y
x y
4 2
2 4
′ = + −′ = − +x
y
f x y
f x y0
2
==
x
y
4
21− 240
3
20169−
: 1,
[0,3]
= +∈
AB y x
x
22 3
4 1 0 [0,3]
= + +′ ′= + ⇒ ≠ ∈ za
f x x
f x f x
: 4,
[ 1,3]
=∈ −
BC y
x
2
1 1 12 2 2 2
2 2
4 2 ( ,4), ( , 4)
= +′ = + ⇒ − − = −
f x x
f x T f
: 3 1,
[ 1,0]
= − +∈ −
CA y x
x
2
7 7 16941 413 20 20 20 20 20
10 7 3
20 7 ( , ), ( , )
= − − +′ = − − ⇒ − − = −
f x x
f x T f
: (0,1) 3= A f : (3, 4) 24= B f : ( 1,4) 0− = C f
IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
Naloga: iz tabele numeričnih podatkov (xi,yi) določi funkcijsko zvezo y=f(x), ki se s temi podatki najbolje ujema.
V tabeli so podane vrednosti količine y v odvisnosti od x. a. Določi ustrezno funkcijsko zvezo y=f(x). b. Oceni vrednost y pri x =1.5 (interpolacija). c. Oceni vrednost y pri x=2 (ekstrapolacija).
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
30
Podatke predstavimo v koordinatnem sistemu:
Zveza med x in y je približno linearna. Kako bi dobili enačbo premice, ki se tem podatkom najbolje prilega?
MATEMATIKA S STATISTIKO
x y1,07 3,351,11 3,501,23 3,691,24 3,701,24 3,771,26 3,801,30 3,981,35 4,011,41 4,121,42 4,121,44 4,201,48 4,281,57 4,411,57 4,441,61 4,601,63 4,581,69 4,701,75 4,781,75 4,831,79 4,90
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80
y
Enačba premice y=A+Bx je odvisna od parametrov A in B. Ustreznost parametrov preskusimo na množici podatkov (xi,yi), i=1,2,...,n, s pomočjo testne funkcije
Če so vsi podatki na premici y=A+Bx, potem je F(A,B)=0. V splošnem primeru iščemo vrednosti A in B, pri katerih testna funkcija zavzame minimum.
Lastnosti funkcije F:
F je zvezna in odvedljiva za vse (A,B) ℝ∊ 2
Ko gre A,B ∞ → narašča F čez vsako mejo, zato F zavzame minimum na ℝ2Ker ℝ2 nima robnih točk, je minimum F v stacionarni točki.
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
31MATEMATIKA S STATISTIKO
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1 1 2 2
2
1
( , ) ( ) ( ) ... ( )
( )
n n
n
i ii
F A B A Bx y A Bx y A Bx y
A Bx y=
= + − + + − + + + −
= + −∑
Testna funkcija po kriteriju najmanjših kvadratov
Dobljeni sistem dveh linearnih enačb in dveh neznank ima natanko eno rešitev, ki ustreza globalnemu minimumu testne funkcije.
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
32MATEMATIKA S STATISTIKO
( ) 2
1
( , ) ( )n
i ii
F A B A Bx y=
= + −∑
( )1
( , ) 2 ( ) n
A i ii
F A B A Bx y=
′ = ⋅ + −∑
( )1
( , ) 2 ( ) n
B i i ii
F A B A Bx y x=
′ = ⋅ + − ⋅∑
( )
( )1
1
2 ( ) 0
2 ( ) 0
n
i ii
n
i i ii
A Bx y
A Bx y x
=
=
⋅ + − = ⋅ + − ⋅ =
∑
∑1 1
2
1 1 1
n n
i ii i
n n n
i i i ii i i
n A x B y
x A x B x y
= =
= = =
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
33MATEMATIKA S STATISTIKO
x y1,07 3,351,11 3,501,23 3,691,24 3,701,24 3,771,26 3,801,30 3,981,35 4,011,41 4,121,42 4,121,44 4,201,48 4,281,57 4,411,57 4,441,61 4,601,63 4,581,69 4,701,75 4,781,75 4,831,79 4,90
i xi
yi
xi2 x
iy
i
1 1,07 3,35 1,1890 3,58452 1,11 3,50 1,2321 3,88503 1,23 3,69 1,5129 4,53874 1,24 3,70 1,5376 4,58805 1,24 3,77 1,5376 4,67486 1,26 3,80 1,5876 4,78807 1,30 3,98 1,6900 5,17408 1,35 4,01 1,8225 5,41359 1,41 4,12 1,9881 5,809210 1,42 4,12 2,0164 5,850411 1,44 4,20 2,0736 6,048012 1,48 4,28 2,1904 6,334413 1,57 4,41 2,4649 6,923714 1,57 4,44 2,4649 6,970815 1,61 4,60 2,5921 7,406016 1,63 4,58 2,6569 7,465417 1,69 4,70 2,8561 7,943018 1,75 4,78 3,0625 8,365019 1,75 4,83 3,0625 8,452520 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
i xi yi xi2 xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,58452 1,11 3,50 1,2321 3,88503 1,23 3,69 1,5129 4,53874 1,24 3,70 1,5376 4,58805 1,24 3,77 1,5376 4,67486 1,26 3,80 1,5876 4,78807 1,30 3,98 1,6900 5,17408 1,35 4,01 1,8225 5,41359 1,41 4,12 1,9881 5,809210 1,42 4,12 2,0164 5,850411 1,44 4,20 2,0736 6,048012 1,48 4,28 2,1904 6,334413 1,57 4,41 2,4649 6,923714 1,57 4,44 2,4649 6,970815 1,61 4,60 2,5921 7,406016 1,63 4,58 2,6569 7,465417 1,69 4,70 2,8561 7,943018 1,75 4,78 3,0625 8,365019 1,75 4,83 3,0625 8,452520 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
i xi yi xi2 xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,58452 1,11 3,50 1,2321 3,88503 1,23 3,69 1,5129 4,53874 1,24 3,70 1,5376 4,58805 1,24 3,77 1,5376 4,67486 1,26 3,80 1,5876 4,78807 1,30 3,98 1,6900 5,17408 1,35 4,01 1,8225 5,41359 1,41 4,12 1,9881 5,809210 1,42 4,12 2,0164 5,850411 1,44 4,20 2,0736 6,048012 1,48 4,28 2,1904 6,334413 1,57 4,41 2,4649 6,923714 1,57 4,44 2,4649 6,970815 1,61 4,60 2,5921 7,406016 1,63 4,58 2,6569 7,465417 1,69 4,70 2,8561 7,943018 1,75 4,78 3,0625 8,365019 1,75 4,83 3,0625 8,452520 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
i xi yi xi2 xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,58452 1,11 3,50 1,2321 3,88503 1,23 3,69 1,5129 4,53874 1,24 3,70 1,5376 4,58805 1,24 3,77 1,5376 4,67486 1,26 3,80 1,5876 4,78807 1,30 3,98 1,6900 5,17408 1,35 4,01 1,8225 5,41359 1,41 4,12 1,9881 5,809210 1,42 4,12 2,0164 5,850411 1,44 4,20 2,0736 6,048012 1,48 4,28 2,1904 6,334413 1,57 4,41 2,4649 6,923714 1,57 4,44 2,4649 6,970815 1,61 4,60 2,5921 7,406016 1,63 4,58 2,6569 7,465417 1,69 4,70 2,8561 7,943018 1,75 4,78 3,0625 8,365019 1,75 4,83 3,0625 8,452520 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
i xi yi xi2 xiyi
1 1,07 3,35 1,1890 3,58452 1,11 3,50 1,2321 3,88503 1,23 3,69 1,5129 4,53874 1,24 3,70 1,5376 4,58805 1,24 3,77 1,5376 4,67486 1,26 3,80 1,5876 4,78807 1,30 3,98 1,6900 5,17408 1,35 4,01 1,8225 5,41359 1,41 4,12 1,9881 5,809210 1,42 4,12 2,0164 5,850411 1,44 4,20 2,0736 6,048012 1,48 4,28 2,1904 6,334413 1,57 4,41 2,4649 6,923714 1,57 4,44 2,4649 6,970815 1,61 4,60 2,5921 7,406016 1,63 4,58 2,6569 7,465417 1,69 4,70 2,8561 7,943018 1,75 4,78 3,0625 8,365019 1,75 4,83 3,0625 8,452520 1,79 4,90 3,2041 8,7710
28,91 83,76 42,6977 122,9859
20 28.91 83.76
28.91 42.70 122.99
A B
A B
+ = + =
1.148
2.103
A
B
==
interpolirana vrednost: f(1.5)=4.303 ekstrapolirana vrednost: f(2)=5.354
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
34MATEMATIKA S STATISTIKO
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80
1.148 2.103 y x= +
Obe enačbi delimo z n in vpeljemo oznake:
V praksi sistem rešujemo takole:
povprečje argumentov
povprečje funkcijskih vrednosti
povprečje kvadratov argumentov
povprečje produktov
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
35MATEMATIKA S STATISTIKO
1 1
2
1 1 1
n n
i ii i
n n n
i i i ii i i
n A x B y
x A x B x y
= =
= = =
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
1
1
n
ii
x xn =
= ∑
1
1
n
ii
y yn =
= ∑
2 2
1
1
n
ii
x xn =
= ∑
1
1
n
i ii
xy x yn =
= ∑
2
A x B y
x A x B xy
+ ⋅ =
⋅ + ⋅ =
2
xy x yB
x x xA y B x
− ⋅=− ⋅
= − ⋅
NELINEARNE ZVEZE
V tabeli je predstavljena kinetika razpada N2O5 v raztopini CCl4. c je koncentracija N2O5 po preteku t sekund.
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
36MATEMATIKA S STATISTIKO
t(s) c (mol/ l) t(s) c (mol/ l)100 2,19 1600 0,85200 2,05 1700 0,80300 1,92 1800 0,75400 1,81 1900 0,70500 1,70 2000 0,66600 1,59 2100 0,62700 1,50 2200 0,58800 1,41 2300 0,54900 1,33 2400 0,51
1000 1,25 2500 0,481100 1,17 2600 0,461200 1,10 2700 0,431300 1,03 2800 0,411400 0,97 2900 0,391500 0,91 3000 0,37
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
(zveza med logaritmom koncentracije in časom je linearna)
Dobimo:
Funkcijska zveza ni linearna, temveč eksponentna:
Računanje s testno funkcijobi bilo zamudno, zato raje lineariziramo.
Vpeljemo novo količino in uporabimo prejšnje formule.
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV
37MATEMATIKA S STATISTIKO
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Btc Ae=
( ) 2
1
( , ) i
nBt
ii
F A B Ae y=
= −∑
ln ln c A Bt= +
ln c c′ =
tec ⋅−= 000603152 ..
tc ⋅−= 0006094751 ..
NEWTONOVA METODA ZA REŠEVANJE ENAČB
ODVOD NEWTONOVA METODA
38
Pri reševanju enačbe f(x)=0 izberemo približek x0 in izračunamo točko kjer tangenta na graf f(x) pri x0 seka absciso. Dobljeno vrednost označimo z x1 in vzamemo za naslednji približek ter ponovimo postopek...
x1
x2
x0
x3
Zaporedne približke za rešitev enačbe f(x)=0 dobimo s formulo:
MATEMATIKA S STATISTIKO
1
( )
( )+ = −′
nn n
n
f xx x
f x
0 0 0( ) ( ) ( )Enačba tangente: ′= + × −y f x f x x x
0 0 10
10
0 00 ( ) ( ) ()
)(
( )Ničla: ′= + × − ⇒ = −
′f x f x x
f xx x
f xx
12 1
1
( ),
( )= −
′f x
x xf x
23 2
2
( ),...
( )= −
′f x
x xf x
RAČUNANJE KORENOV
1, 5.5, 3.659090, 3.196005, 3.162455, 3.162277
1, 5, 3.784, 2.916439, 2.358658, 2.092880, 2.033273, 2.030548, 2.030543
2, 2.03125, 2.030543 Dober začetek je zlata vreden!
(3.162277 2=9.99999582)
(2.030543 4=16.99999380)
ODVOD NEWTONOVA METODA
39MATEMATIKA S STATISTIKO
2 0 je rešitev enačbe a x a− =2( ) = −f x x a
2 2
1 2 2+− += − =n n
n nn n
x a x ax x
x x2
110 . 1.2
Npr., za dobimo Iteracijo lahko začnemo z ++= = =n
nn
x aa x x
x
( ) = −rf x x a( )
( )1 1
( 1)+ −
− +=
rn
n rn
r x ax
r x
0 je rešitev enačbe − =rr a x a
( )( )
4
41 3
3 1717
4Npr., za dobimo +
+= n
n
n
xx
x
Določi prostornino enega mola CO2 pri temperaturi 50oC in pritisku 20 atmosfer.
Pri teh pogojih se CO2 ne obnaša kot idealni plin z enačbo pV=nRT, zato potrebujemo Van der Waalsovo korekcijo:
Prostornina je 1.23 litra.
a interakcija med molekulami, ∼ b velikost ∼molekule
Kot začetni približek vzamemo prostornino po enačbi idealnega plina pV=nRT
ODVOD
40
p=20 · 1.013 · 105 Pa = 2 026 000 Pa
T=323 K
aCO2=0.3643 Jm3/mol2
bCO2=4.269 · 10 -5 m3/mol
R=8.314 J/mol K
(enačba 3. stopnje za V)
MATEMATIKA S STATISTIKO
NEWTONOVA METODA
( )2
2
× = ÷
+ −n
a nV bV
p nRT
( ) ( ) ( )2 22
0 + × − = ⇒ + × − − = ÷ a
p V b RT pV a V b RTVV
( )3 2( ) = − + + −f V pV bp RT V aV ab
( )( )1+ = −
′n
n nn
f VV V
f V
0
8.314 3230.0013254
2026000
×= =V
( )2( ) 3 2′ = − + +f V pV bp RT V a
1 0.0012274=V 2 0.0012266=V
NUMERIČNO ODVAJANJE
Kako bi iz izmerjenih vrednosti funkcije (xi ,yi ) določili točke prevoja?
Koncentracijo c merimo v odvisnosti od temperature T. Prevojna točka ustreza temperaturi, pri kateri pride do reakcije.
Prevoji so točke, v katerih drugi odvod spremeni predznak, zato potrebujemo neko oceno za odvod.
ODVOD NUMERIČNO ODVAJANJE
41
Če poznamo obliko funkcije, jo določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov in dobljeno funkcijo odvajamo analitično.
V splošnem poiščemo polinom, ki gre skozi nekaj zaporednih točk in ga potem odvajamo. Vrednosti odvoda lahko izračunamo neposredno iz podatkov.
odsekoma linearna odsekoma kvadratična
T c 1 0.145 1.5 0.150 2 0.160 2.5 0.175 3 0.190 3.5 0.210 4 0.232 4.5 0.276 5 0.342 5.5 0.502 6 1.217 6.5 2.405 7 2.990 7.5 3.400 8 3.664 8.5 3.856 9 3.990 9.5 4.110 10 4.200 10.5 4.270 11 4.330
T
c
MATEMATIKA S STATISTIKO
Formule se poenostavijo, če so točke na enakomernih razdaljah (npr. h).
za dve zaporedni točki za tri zaporedne točke za pet zaporednih točk
Numerično odvajanje je zelo občutljivo na napake v podatkih.
ODVOD NUMERIČNO ODVAJANJE
42
T y 1 0.145 1.5 0.150 2 0.160 2.5 0.175 3 0.190 3.5 0.210 4 0.232 4.5 0.276 5 0.342 5.5 0.502 6 1.217 6.5 2.405 7 2.990 7.5 3.400 8 3.664 8.5 3.856 9 3.990 9.5 4.110 10 4.200 10.5 4.270 11 4.330
0.015 0.015 0.030 0.035 0.042 0.066 0.110 0.226 0.875 1.903 1.773 0.995 0.674 0.456 0.326 0.244 0.210 0.160 0.130
0.015 0.020 0.012 0.031 0.068 0.160 0.765 1.677 0.898 -0.908 -1.099 -0.539 -0.348 -0.212 -0.116 -0.084 -0.080
MATEMATIKA S STATISTIKO
1 00
y yy
h
−′ ≈ 2 01 2
y yy
h
−′ ≈ 0 1 3 42
8 8
12
y y y yy
h
− + −′ ≈
1 1
2i i
i
y yy
h+ −−′ ≈ 1 1
2i i
i
y yy
h+ −′ ′−′′ ≈