Matematika preddiplomski

7/17/2019 Matematika preddiplomski

http://slidepdf.com/reader/full/matematika-preddiplomski 1/89

ODGOVORI NA PITANJA ZA

PREDDIPLOMSKI ZAVRSNI ISPITIZ MATEMATIKE



Sadrzaj

1 Skupovi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Relacije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Ogranicenost skupova. Nizovi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Neprekidnost funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Granicna vrijednost ili limes funkcije. . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Derivacija funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8 Neodredeni integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Odredeni integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

10 Parcijalna derivacija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

11 Diferencijal funkcije vise varijabli. . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12 Algebarske strukture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

13 Klasicna algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

14 Vektorski ili linearni prostor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

15 Linearni operatori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

16 Sustavi linearnih jednadzbi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

17 Unitarni prostori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

18 Polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

19 Prosti brojevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

20 Osnovne trigonometrijske funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . 64

1



21 Razni oblici jednadzbe pravca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

22 Konike. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

23 Cetiri osobite tocke trokuta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

24 Izometrije ravnine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

25 Sukladnost i slicnost trokuta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

26 Matematicka logika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2



1 Skupovi.

Pojam skupa se intuitivno definira. Mozemo smatrati skupom bilo kakvukolekciju elemenata s odredenim svojstvom. Kazemo da je x element skupaA i pisemo: x ∈ A, u suprotnom x /∈ A.

Definicija 1. Podskup.

Ako su A i B skupovi, kazemo da je A podskup skupa B, ako za ∀x ∈ Aslijedi da je x ∈ B. Oznaka: A ⊆ B, gdje je A podskup, a B nadskup.

U slucaju da se radi o pravom podskupu ( A ⊆ B i A = B), pisemo:A ⊂ B.

Definicija 2. Jednakost skupova.

Ako vrijedi da je A ⊆ B i B ⊆ A tada su skupovi A i B jednaki.

Definicija 3. Partitivni skup.

Neka je A proizvoljan skup. Skup svih podskupova skupa A zovemo parti-

tivnim skupom skupa A i pisemo: P (A) = X |X ⊆ A. Partitivni konacni skup A ima 2n elemenata.

Primjer 1.1. Neka je zadan skup A = 1, 2, 3, partitivan skup od A sastoji se od sljedecih podskupova:

P (A) = Ø, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 3, A.

Definicija 4. Uredeni par skupova.

Uredeni par skupova je definiran kao:

(A, B) = A, A, B.

Definicija 5. Kartezijev produkt skupova.

Kartezijev produkt skupova je definiran kao:

A × B = (x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B.Primjer 1.2. Neka su zadani skupovi A = 1, 2, 3 i B = 1, 2, Kartezijev produkt ova dva skupa je:

A × B = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2).

3



Napomena 1. Operacije sa skupovima.

1. Presjek: A ∩ B = x|x ∈ A ∧ x ∈ B.

2. Unija: A ∪ B = x|x ∈ A ∨ x ∈ B.

3. Razlika: A \ B = x|x ∈ A ∧ x /∈ B.

4. Simetricna razlika: AB = (A \ B) ∪ (B \ A).

5. Komplement: Ac = x|x ∈ U ∧ x /∈ A, A ⊆ U , gdje U je univerzalni skup.

6. Disjunktni skupovi: A∩

B = Ø.

Definicija 6. Familija skupova.

Neka je A proizvoljan:

Za svaki skup A podskup A ⊆ P (A) zovemo familijom skupova .A = x|∃y(x ∈ y ∈ A) i

A = x|(∀y ∈ A)(x ∈ y) su presjek i

unija familije skupova .

Primjer 1.3. Primjeri skupova.

1. Prirodni brojevi: N = 0, 1, 2,....

2. Cijeli brojevi: Z = ..., −2, −1, 0, 1, 2,....

3. Racionalni brojevi: Q = mn|m ∈ Z ∧ n ∈ N \ 0.

4. Realni brojevi: R = Q ∪ I.

5. Kompleksni brojevi: C = (x, y)|x, y ∈ R.

Napomena 2. vrijedi: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CDefinicija 7. Ekvipotentni skupovi. Skupovi A i B su ekvipotentni akopostoji barem jedna bijekcija f : A

→ B.

Oznaka: A ∼ B.

Relacija ekvipotencije je relacija ekvivalencije, pa se skupovi svrstavaju u disjunktne klase - klasa kojoj pripada skup A zove se kardinalni broj skupa Ai oznacava se s |A| ili cardA ili k(A).

4



Primjer 1.4. Neki ekvipotentni skupovi.

1. N ∼ Z.

2. Svi zatvoreni segmenti skupa R brojeva su medusobno ekvipotentni.

Neka je za ∀k ∈ N \ 0 = Nk = 1, 2,...,k, a N0 = Ø.

Teorem 1.1. Neka je k ∈ N proizvoljan, ako je f : Nk → Nk injekcija, tada je f i surjekcija.

Definicija 8. Konacan skup.

Skup A je konacan ako ∃k ∈ N takav da je A ∼ Nk.

Korolar 1.2. Za svaki konacan skup A ∃!k ∈ N takav da je A ∼ Nk.

To znaci da za svaki konacan skup A definiramo broj elemenata, u oznacik(A) = n, gdje je A ∼ Nn

Teorem 1.3. Za (∀A ⊆ Nm)(∃k ∈ Nk) takav da je k ≤ m i k(A) = k.

Korolar 1.4. Svaki podskup konacnog skupa je konacan.

Definicija 9. Beskonacan skup.

Skup A je beskonacan ako nije konacan.

Teorem 1.5. Neka je A neki skup, sljedece tvrdnje su ekvivalentne:

1. Skup A je beskonacan.

2. Postoji injekcija f : N → A.

3. Postoji injekcija f : A → A koja nije surjekcija.

4. Skup A je ekvipotentan s nekim svojim pravim podskupom.

Korolar 1.6. Skup A je konacan ako i samo ako svaka injekcija f : A → A je ujedno i surjekcija.

5



Definicija 10. Prebrojivi skupovi

Skup A je prebrojiv ako je A ∼ N. Ako je skup A beskonacan i nije prebrojiv, onda je neprebrojiv.

Oznaka: k(A) = ℵ0.

Primjer 1.5. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi.

1. Z i Q su prebrojivi: Skup svih tocaka ravnine i skup svih intervala s racionalnim koordinatama, skup svih polinoma nad poljem Q.

2. R nije prebrojiv pa je k(A) = c.

Ako postoji injekcija f : A → B, tada je k(A) ≤ k(B), a ako jek(A) ≤ k(B) i k(A) = k(B), tada je k(A) < k(B).

Teorem 1.7. Osnovni Cantorov teorem.

Za svaki skup A vrijedi:

k(A) < k(P (A)).

.

Teorem 1.8. Cantor-Schr oder-Bernestein.

Ako postoji injekcija f : A → B i postoji injekcija g: B → A, tada postoji i bijekcija izmedu skupova A i B.

Odnosno, ako za kardinalitete skupova A i B vrijedi: k(A) ≤ k(B) ik(B) ≤ k(A), tada ti skupovi imaju jednake kardinalitete: k(A) = k(B).

Teorem 1.9. Svaki beskonacan skup sadrzi prebrojiv podskup.

Teorem 1.10. Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

Teorem 1.11. Neka je A neprebrojiv i B

⊆ A konacan i prebrojiv, tada je

A ∼ A \ B.

6



2 Relacije.

Definicija 11. Binarna relacija.

Neka su A i B proizvoljni skupovi. Svaki podskup R od Kartezijevog produkta A × B zovemo binarnom relacijom :

R = (x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B ⊆ A × B.

Oznaka: (x, y) ∈ R ili xRy.

Neka je R ⊆ A × B proizvoljna relacija, domena relacije je skup:

D(R) =

x|x ∈

A∧ ∃

y ∈

B t.d. (x, y) ∈

R

, dok je kodomena ili slika:

R(R) = y|y ∈ B ∧ ∃x ∈ A t.d. (x, y) ∈ R.

Inverz relacije R je: R−1 = (y, x)|(x, y) ∈ R.

Neka je R ⊆ A × B te neka je Q ⊆ B × C , kompozicija relacije je:

Q R = (x, z )|∃y ∈ B t.d. (x, y) ∈ R ∧ (y, z ) ∈ Q.

Relacija identitete je:

I A = (x, x)|x ∈ A, gdje je R0 = I A, Rn+1 = R Rn.

Definicija 12. Neka je R ⊆ A × A proizvoljna relacija. Relacija R je:

Refleksivna ako za ∀x ∈ A je (x, x) ∈ R.Irefleksivna ako za x ∈ A je (x, x) ∈ R.

Simetricna ako za ∀x, y ∈ A za koji je (x, y) ∈ R slijedi da je (y, x) ∈ R.

Asimetricna ako za ∀x, y ∈ A za koji je (x, y) ∈ R slijedi da je (y, x) /∈R.

Antisimetricna ako za ∀x, y ∈ A za koji je (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ Rslijedi da je x = y.

Tranzitivna ako za ∀x,y,z ∈ A za koji je (x, y) ∈ R ∧ (y, z ) ∈ R slijedi da je (x, z ) ∈ R.

Konveksna ako za ∀x, y ∈ A, x = y slijedi da je (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R.

Definicija 13. Relacija ekvivalencije.

Ako je relacija R ⊆ A × A refleksivna, simetricna i tranzitivna, onda takvu relaciju zovemo relacijom ekvivalencije. Oznaka: ∼.

7



Definicija 14. Klasa ekvivalencije.

Klasa ekvivalencije s obzirom na relaciju ekvivalencije ∼ je podskupod A koji cine svi oni elementi koji su medusobno u relaciji ∼. Klasu ekvi-valencije generirane elementom x ∈ A je oznacavamo s [x] pa je:

[x] = y ∈ A|x ∼ y.

Unija svih klasa ekvivalencije je citav skup A. Time se dobiva particija skupa A na klase ekvivalencije.

Definicija 15. Kvocijentni skup.

Kvocijentni skup je skup ciji su elementi klase ekvivalencije s obzirom

na relaciju ekvivalencije ∼ na skupu A, oznaka A/∼, odnosno:

A/∼ = [x]∼|x ∈ A.

Neka je R ⊆ A × A, tada za ∀x,y, ∈ A vrijedi:

[x] = [y] ∨ [x] ∩ [y] = Ø.

Definicija 16. Particija.

Neka je A

= Ø proizvoljan. Familija

A ⊆ P (A) je particija skupa A

ako vrijedi:

1. za ∀x ∈ A slijedi da je x = Ø.

2. za ∀x, y ∈ A takve da je x = y vrijedi: x ∩ y = Ø.

3. x∈A

x = A.

Svaka relacija ekvivalencije definira jednu particiju skupa (vrijedi i obrat).

Definicija 17. Relacija parcijalnog uredaja.

Relacija koja je refleksivna, antisimetricna i tranzitivna je relacija par-

cijalnog uredaja . Ako se radi o standardnom uredaju < tada je relacija parcijalnog uredaja antirefleksivna i tranzitivna.

8



Definicija 18. Relacija potpunog uredaja.

Relacija koja je refleksivna, antisimetricna i tranzitivna, te vrijedi da su svaka dva razlicita elementa usporediva tj. za (∀x, y ∈ A)((x, y) ∈ R∨(y, x) ∈R) je lanac ili relacija potpunog, totalnog ili linearnog uredaja .

Primjer 2.1. RST, PUS i TUS

1. Relacije ekvivalencije su: Relacija ”biti paralelan”, relacija ≤ u R,Kartezijev skup uredenih parova, sukladnost trokuta, slicnost trokuta.

2. Relacije parcijalnog uredaja nalazimo u parcijalno uredenim skupovima:N,Z,Q,R s relacijom ”biti strogo manji” <, skup N s relacijom ”di-

jeli” (m dijeli n i m = n) i partitivan skup P (A) s relacijom stroge podskupovnosti ⊂.

3. Relacije totalnog uredaja nalazimo u totalno uredenim skupovima: N,Z,Q,R.

9



3 Ogranicenost skupova. Nizovi.

Definicija 19. Odozgo ogranicen skup.

Za neprazan realan skup S kazemo da je odozgo ogranicen ako postoji realan broj M takav da vrijedi da je x ≤ M za svaki x ∈ S. Realan broj M zovemo majorantom ili gornjom ogradom nepraznog odozgo ogranicenog skupa S . Takvih brojeva ima beskonacno mnogo.

Definicija 20. Supremum.

Realan broj L je supremum nepraznog odozgo ogranicenog realnog skupa S , ako L ima sljedeca svojstva:

1. L je majoranta od S , tj. vrijedi da je x ≤ L, za svaki x ∈ S

2. L je najmanja majoranta od S tj. vrijedi da za svaki realan broj a koji je manji od L postoji element x ∈ S takav da je a manji od x.

Oznaka:sup x = L,

za ∀x ∈ S ili sup S = L

Ako je L ∈ S tada je sup x maksimum (najveci element skupa S ). Oznaka:

max S = L

ili maxx∈S

x = L

Tocka 2. definicije 20. moze se interpetirati kao za: (∀ε ∈ R, ε > 0)(∃x ∈S ) takav da je L − ε < x tj. barem jedan element iz S biti ce lijevo od L.

Definicija 21. Odozdo ogranicen skup.

Za neprazan realan skup S kazemo da je odozdo ogranicen ako postoji realan broj m takav da vrijedi da je x ≥ m za svaki x ∈ S. Realan broj mzovemo minorantom ili donjom ogradom nepraznog odozdo ogranicenog skupa S . Takvih brojeva ima beskonacno mnogo.

10



Definicija 22. Infimum.

Realan broj m je infimum nepraznog odozdo ogranicenog realnog skupa S , ako m ima sljedeca svojstva:

1. m je minoranta od S , tj. vrijedi da je x ≥ m, za svaki x ∈ S

2. m je najveca minoranta od S tj. vrijedi da za svaki realan broj a koji je veci od m postoji element x ∈ S takav da je a veci od x.

Oznaka:inf x = m,

za ∀

x ∈

S ili inf S = m

Ako je m ∈ S tada je inf x minimum (najmanji element skupa S ). Oznaka:

min S = m

ili minx∈S

x = m

Tocka 2. definicije 22. moze se interpetirati kao za: (∀ε ∈ R, ε > 0)(∃x ∈S ) takav da je m + ε > x tj. barem jedan element iz S biti ce desno od m.

Ako S nije odozdo ili odozgo ogranicen, onda je neogranicen.

Definicija 23. Niz.

Neka je S neprazan skup, funkcija f : N → S se zove niz u S . xn je opci clan niza, a n ∈ N indeks clana niza. Oznaka: (xn)n∈N.

Primjer 3.1. 1, 2, 4, 8,..., 2n

Definicija 24. Monotonost niza.

Ako za ( ∀i, j ∈ N)(i < j) vrijedi da je xi ≤ x j odnosno xi ≥ x j, tada niz (xn) raste, odnosno pada . Kada stoji da je xi < x j, odnosno xi > x j tada

niz (xn) strogo raste, odnosno strogo pada .

Definicija 25. Podniz.

Neka je zadan niz (xn) i strogo rastuci niz (nk) prirodnih brojeva, tada niz (xnk) zovemo podnizom niza (xn).

11



Definicija 26. Ogranicenost niza.

Kazemo da je niz (xn) redom ogranicen, ogranicen odozdo, ogranicen odozgo, ako je skup xn|n ∈ N ogranicen, ogranicen odozdo, ogranicen odozgo. Infimum i supremum niza ako postoje oznacavaju se s:

inf n∈N

xn,

supn∈N

xn

Definicija 27. Konvergencija niza.

Niz (xn) konvergira k x ∈ R ako za (∀ε > 0)(∃n0(ε) > 0) takav da za (

∀n ∈ N)(n > n0(ε)) slijedi da je

|xn

− x

| < ε. Realan broj x zovemo

granicnom vrijednosti ili limesom niza i oznacavamo ga s:

limn→∞

xn = x.

Za x = 0, (xn) je nula-niz. Dakle, ako je niz (xn) konvergentan, tadase clanovi niza priblizavaju broju x u ε-okolini, odnosno clanova niza (xn)izvan ε-okoline ima konacno mnogo, dok unutar ε-okoline ih ima beskonacnomnogo.

Teorem 3.1. Ako je niz (xn) rastuci (padajuci) i ogranicen odozgo (odozdo),

tada takav niz ima limes, tj:limn→∞

xn = sup xn,

limn→∞

xn = inf xn.

Dokaz. Niz (xn) je odozgo ogranicen, pa postoji realan broj a koji je upravosup xn. Zbog definicije supremuma, za ∀ε > 0, ∃xn ∈ xn|n ∈ R takav da

je a − ε < xn, pa je a − ε < xn < n i zbog cinjenice da je (xn) rastuci nizgotovo svi clanovi niza upadaju u ε-okolinu:a

−ε < xn

≤ xn+1

≤ xn+2

≤ ...

≤ a

≤ a +ε, tj.

|xk

−a

| < ε za k = n, n+1,...,

pa je upravo realan broj a limes niza (ε je proizvoljan).

Napomena 3. 1. Prethodni teorem nam govori da niz (xn) koji je rastuci (padajuci) i ogranicen odozgo (odozdo) je ujedno i konvergentan.

12



2. Granicna vrijednost konvergentnog niza je ujedno i tocka gomilanja.

U nastavku pogledajmo alternativne definicije konvergencije niza:

Definicija 28. Konvergencija u topoloskom prostoru.

Neka je X topoloski prostor, kazemo da neki niz (xn) ∈ X konvergira k x0 ∈ X ako za ∀ okolinu N (x0), ∃n0 ∈ N takav da za n ≥ n0 slijedi da je xn ∈ N (x0).

Definicija 29. Konvergencija u metrickom prostoru.

Niz (xn) konvergira k x0 ako za (∀r > 0)(∃n0 ∈ N) takav da za n ≥ n0

slijedi da je xn ∈ K (x0, r) ili d(x, xn) < r.

Primjer 3.2. Neki nizovi:

1. Fibonaccijev niz : Ovaj niz je definiran s prva dva clana a0 = 0 i a1 = 1, svaki sljedeci clan nastaje sumom prethodna dva, tj. vrijedi da

je: an+2 = an + an+1.

2. Aritmeticki niz : Definiran je tako da clan niza koji se nalazi u slijedu izmedu dvaju susjednih clanova je dobiven kao aritmeticka sredina ta dva clana, tj.: an = an−1+an+1

2 . Razlika izmedu dvaju uzastopnih clanova je konstantna i iznosi: d = an − an−1, za ∀n ∈ N, dok je opci clan jednak an = a1 + (n − 1)d, gdje je n broj clanova u nizu. Za ovaj niz mozemo izracunati i sumu n clanova: S n = a1 + a2 + ... + an. Svaki

od clanova mozemo zapisati pomocu prvog clana i njegove razlike pa dobijemo: S n = n ·a1 + ( 1 + 2 + ... + n − 1) ·d = n · a1 + d · n(n−1)

2 = ... =

pa je suma:

S n = n

2(2a1 + (n − 1)d), n ∈ N.

3. Geometrijski niz : Definiran je tako da clan niza koji se nalazi u slijedu izmedu dvaju susjednih clanova je dobiven kao geometrijska sredina ta dva clana, tj.: a2

n = an−1 · an+1. Kvocijent izmedu dvaju susjednih clanova je konstantan i iznosi: q = an

an−1, za ∀n ∈ N, opci clan jednak

an = a1 · q n−1, a sumu dobijemo na sljedeci nacin:

S n = a1 + a1q + ... + a1q n−1/ · q S nq = a1q + a1q 2 + ... + a1q n, oduzmemo ta dva izraza i dobijemo sumu:

S n = a1 · q n − 1

q − 1 , n ∈ N.

13



4 Funkcije.

Definicija 30. Funkcija.

Neka su A i B dva neprazna skupa na kojima je definiran Kartezijev produkt A × B. Relaciju f ⊆ A × B zovemo funkcijom ako je:

1. totalna: (∀x ∈ A)(∃y ∈ B) takav da je (x, y) ∈ f .

2. funkcionalna: za (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f slijedi da je y1 = y2.

odnosno: (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) takav da je (x, y) ∈ f (tj.f (x) = y).

Oznaka: f : A → B.

Dakle, funkcija je svako preslikavanje koje jednom elementu x ∈ A pri-druzuje jedan element y ∈ B . Element x koji preslikavamo zovemo prasli-

kom, originalom, argumentom ili nezavisnom varijablom, a element u kojegpreslikavamo y = f (x) zovemo slikom od x ili zavisnom varijablom. SkupA koji se preslikava zovemo domenom funkcije ili podrucjem definicije

od f , a skup B kodomenom funkcije f ili podrucjem vrijednosti.

A = D(f ) = x|x ∈ A.

B =

R(f ) =

f (x)

|x

∈ A

.

Definicija 31. Jednakost funkcija.

Za funkcije f i g kazemo da su jednake, tj. f = g ako imaju:

1. jednake domene: D(f ) = D(g).

2. jednake kodomene: R(f ) = R(g).

3. isti nacin preslikavanja: f (x) = g(x), za ∀x ∈ D(f ) = D(g).

Definicija 32. Graf funkcije.

Graf funkcije je: Γ(f ) = (x, f (x))|x ∈ A ⊆ A × B.

Definicija 33. Svojstva funkcije.

Funkcija f je identiteta , ako je A = B i tada je f (x) = x, za ∀x ∈ A.Oznaka: idA.

14



Funkcija je konstantna ako ∃b ∈ B takav da za ∀x ∈ A vrijedi f (x) = b.

Funkcija je injekcija ili jedan-jedan preslikavanje ako za ∀x1, x2 ∈ Aiz nejednakosti x1 = x2 slijedi nejednakost f (x1) = f (x2). Svaka slika ima samo jedan original. Odnosno f (x1) = f (x2) slijedi x1 = x2.

Funkcija je surjekcija ili ”na” preslikavanje ako za (∀y ∈ B)(∃x ∈A) takav da je f (x) = y. Vrijedi da je R(f ) ⊆ B. Svaki element iz B je necija slika.

Funkcija je bijekcija ako za (∀y ∈ B)(∃!x ∈ A) takav da je f (x) = y.Funkcija je bijekcija, ako je i injekcija i surjekcija.

Funkcija je parna ako za ∀x ∈ D(f ) slijedi da je −x ∈ D(f ) te ako je f (

−x) = f (x). U suprotnom je neparna. Graf parne funkcije je simetrican

u odnosu na y-os. Npr. D(f ) = [−1, 1] \ 0 je parna funkcija.

Funkcija f : A → R je redom ogranicena odozgo, ogranicena odozdo,ogranicena ako je redom: sup f < ∞, inf f > −∞, −∞ < inf f ≤ sup f <∞ Ako je funkcija f ogranicena na skupu A, onda ∃a, b ∈ R takvi da je:a ≤ f (x) ≤ b odnosno ako oznacimo da je M veci od |a| i |b| mozemo tvrditi da je −M ≤ f (x) ≤ M tj. |f (x)| ≤ M , za ∀x ∈ A. Ako je |f (x)| ogranicena,tada je i f (x) ogranicena. Za ogranicenu funkciju a ≤ f (x) ≤ b, graf funkcije se nalazi unutar pruge R× [a, b].

Funkcija f : A → R, A ⊆ R, raste na A ako za svaka dva x1, x2 ∈A, za koje je x1 < x2 slijedi da je f (x1)

≤ f (x2), a strogo raste ako je

f (x1) < f (x2). Funkcija f : A → R, A ⊆ R, pada na A ako za svaka dva x1, x2 ∈ A, za koje je x1 < x2 slijedi da je f (x1) ≥ f (x2), a strogo pada

ako je f (x1) > f (x2). Svaka takva funkcija je monotona funkcija. Ako je funkcija strogo monotona, tada je injekcija.

Funkcija f : A → B je periodicna s periodom τ > 0 ako je:

1. za ∀x ∈ A, x + τ ∈ B.

2. za ∀x ∈ A, f (x) = f (x + τ ).

Definicija 34. Kompozicija funkcije.

Neka su zadani neprazni skupovi A, B i C te funkcije f : A → B i g: B → C . Kada je uspostavljen lanac x → f (x) → g[f (x)], x ∈ A, g[f (x)] ∈C , tj. definiriana je nova funkcija s A na C koja je slozena iz funkcija f i g, onda tu novu funkciju zovemo slozenom ili kompozicijom funkcija f i g i pisemo: g f , te je (g f )(x) = g[f (x)], za ∀x ∈ A, g[f (x)] ∈ C .

15



Postojanje kompozicije pretpostavlja:

1. inkluziju: R(f ) ⊆ D(f ).

2. nekomutativnost: g f = f g. Ako postoje g f i f g te kompozicijene moraju biti iste.

Definicija 35. Inverz funkcije.

Ako je funkcija f bijekcija onda svakoj pojedinoj slici y ∈ R(f ) odgovara jedinstven original x te slike u odnosu na f . Time je definirana nova funkcija f −1: R(f ) → D(f ) takva da je f −1(y) = x, y ∈ R(f ) koja je slika pri preslikavanju f (x) = y. Domena od f −1 je R(f ), a kodomena je D(f ), tj.

D(f −1

) = R(f ) i R(f −1

) = D(f ).

Primjer 4.1. Kompozicija, inverz.

Neka je f (x) = x, g(x) = x2, nadimo kompozicije f g, g f :

g f = g[f (x)] = g(x) = x2

f g = f [g(x)] = f (x2) = x2

Nadimo inverz od funkcije g(x):

x2 = y, pa je x = ±√ y, vidimo da svaka slika nema jedinstveni original,

pa onda takva funkcija nije injekcija, pa inverz ne postoji.

Neka je h(x) = sin x, inverz dobijemo djelovanjem s funkcijom arcsin:sinx = y/ arcsin, x = arcsiny = f −1(y).

16



5 Neprekidnost funkcije.

Neka je okolina tocke c ∈ R polumjera ε skup x : |x − c| < ε.

Definicija 36. Neprekidnost funkcije u tocki.

Funkcija f : I → R je neprekidna u tocki c ∈ I = a, b, ako za: (∀ε >0)(∃δ ε > 0) takav da za (∀x ∈ I )(|x−c| < δ ε) slijedi da je (|f (x)−f (c)| < ε).Inace ima prekid.

Definicija 37. Prekid funkcije.

Funkcija f ima prekid u c ∈ I ako: (∃ε > 0)(∀δ > 0) takav da (∃xδ ∈ I )za koji slijedi da je (

|xδ

−c| < δ ) i (

|f (xδ)

−f (c)

| ≥ ε).

Napomena 4. Svojstva neprekidne funkcije u tocki:

Lema 5.1. Ako je funkcija f : I → R neprekidna u c ∈ I = a, b onda je i ogranicena na nekom intervalu oko c, tj. ∃µ > 0 takav da za (x ∈ I , |x−c| <µ) slijedi da je |f (x)| ≤ µ.

Teorem 5.2. Kompozicija neprekidnih funkcija je opet neprekidna funkcija.

Teorem 5.3. Neka su funkcije f, g: I → R neprekidne u c ∈ I tada su neprekidne i: f ± g, f · g, λ · f , f

g (g = 0), |f | i vrijedi:

1. (f ± g)(x) = f (x) ± g(x),

2. (f · g)(x) = f (x) · g(x),

3. (λ · f ) = λ · f (x), λ ∈ R,

4. (f g

)(x) = f (x)g(x)

, g(x) = 0,

5. |f |(x) = |f (x)|.Definicija 38. Neprekidnost funkcije na segmentu.

Funkcija f : [a, b] → R je neprekidna na segmentu [a, b], ako je f nepre-kidna u svakoj tocki intervala a, b, te ako je neprekidna s lijeva u b i s desna u a.

Napomena 5. Svojstva neprekidne funkcije na segmentu:

17



Teorem 5.4. Neka j funkcija f : I → R strogo monotona na I te neka je

I 1 = f (I ), tada je f neprekidna na I .Teorem 5.5. Bolzano-Weierstrassov teorem.

Neka je funkcija f : [a, b] → R neprekidna na I , tada:

1. i funkcija f je ogranicena na I ,

2. ∃ m, M ∈ R i xm, xM ∈ I takvi da je m = f (xm) ∧ M = f (xM ),odnosno funkcija na segmentu poprima minimum i maksimum,

3. za ∀c ∈< m,M > ∃ barem jedna tocka c ∈ a, b takva da je f (c) =c, tj. neprekidna funkcija na segmentu poprima sve meduvrijednosti

izmedu najmanje i najvece,

4. ako je f (a) < 0 i f (b) > 0 ili f (a) > 0 i f (b) < 0 onda ∃ barem jedna c ∈ a, b takva da je f (c) = 0.

Primjer 5.1. Neprekidne funkcije.

1. Svaki polinom je neprekidan na R.

2. Svaka racionalna funkcija f (x)g(x)

je neprekidna na R osim u tockama gdje

je g(x) = 0.

3. Eksponencijalna funkcija ex je neprekidna na R.

4. Logaritamska funkcija ln x je neprekidna na < 0, ∞ >.

5. Funkcije sin x i cos x su neprekidne na R.

6. Funkcija tg x je neprekidna na R \ π2

+ kπ|k ∈ Z.

7. Funkcija ctg x je neprekidna na R \ kπ|k ∈ Z.

Definicija 39. Uniformna neprekidnost.

Funkcija f je uniformno neprekidna na A ⊆ D(f ) ako za:

(

∀ε > 0)(

∃δ ε > 0) takav da za (

∀x, y

∈ A)(

|x

− y

| < δ ε) slijedi da je

(|f (x) − f (y)| < ε).

Napomena 6. 1. Uniformna neprekidnost povlaci obicnu.

2. Kod obicne neprekidnosti δ ovisi o odabranoj tocki.

18



6 Granicna vrijednost ili limes funkcije.

Definicija 40. Granicna vrijednost ili limes funkcije.

Neka je funkcija f : I → R, c ∈ I = a, b definirana u svakoj tocki intervala I osim mozda u c. Za L ∈ R kazemo da je limes funkcije f u tocki c ako za:

(∀ε > 0)(∃δ ε > 0) takav da za (∀x ∈ I \ c)(|x − c| < δ ε) slijedi da je (|f (x) − L| < ε).

Oznaka:limx→c

f (x) = L.

Napomena 7. 1. Navedena definicija je Cauchijeva definicija limesa.

2. Ako je c ∈ D(f ) i L = f (c), tada je f neprekidna u c.

3. Funkcija i limes komutiraju: limx→c

f (x) = f (limx→c

x).

4. x − c = ∆x je prirast argumenta x , dok je f (x) − f (c) = ∆f (c)prirast funkcije f u c. Vrijedi: lim

∆x→0f (c) = 0.

Teorem 6.1. Svojstva limesa.

Neka su funkcije f, g: I →

R, c ∈

I =

a, b

definirane u svakoj tocki intervala I osim mozda u c. Pretpostavimo da postoje limesi: lim

x→cf (x) i

limx→c

g(x), tada postoje i: limx→c

(f ± g)(x), limx→c

(f · g)(x), limx→c

(λ · f )(x), (λ ∈ R) i

vrijedi:

1. limx→c

(f ± g)(x) = limx→c

f (x) ± limx→c

g(x),

2. limx→c

(f · g)(x) = limx→c

f (x) · limx→c

g(x),

3. limx→c

(λ · f ) = λ · limx→c

f (x),

ako jos je i g(x) = 0, onda i (f g ) ima limes u c:

4. limx→c

(f g

)(x) =limx→c

f (x)

limx→c

g(x),

Funkcija x → |f (x)| ima limes u c:

19



5. limx→c

|f (x)| = | limx→c

f (x)|.

Napomena 8. Jos neka svojstva limesa.

1. Ako je x ∈ I \ c i x < c onda je L lijevi limes od f u c:

limx→c−

f (x) = limx→c−0

f (x) = L.

2. Ako je x ∈ I \ c i x > c onda je D desni limes od f u c:

limx→c+

f (x) = limx→c+0

f (x) = D.

3. Ako postoje lijevi i desni limes i oni su razliciti tada funkcija f ima

prekid prve vrste (sve ostale prekide zovemo prekidima druge vrste).Ako su lijevi i desni limesi jednaki, tada funkcija f ima limes u c.

4. Neka je funkcija f : I → R \ c, I = a, b, ako za:

(∀M > 0)(∃δ > 0) takav da za (∀x ∈ I \ c)(|x − c| < δ ) slijedi da je f (x) > M tada je lim

x→cf (x) = +∞.

5. Neka je funkcija f : I → R \ c, I = a, b, ako za:

(∀M > 0)(∃δ > 0) takav da za (∀x ∈ I \ c)(|x − c| < δ ) slijedi da je f (x) < −M tada je lim

x→cf (x) = −∞.

Napomena 9. Neki vazni limesi.

1. limx→∞

(1 + 1x

)x = e.

2. limx→0

ln(1+x)x

= 1.

3. limx→0

ax−1x

= ln a.

4. limx→0

sinxx

= 1.

5. Neodredeni oblici limesa: 00 , 0 · ∞, ∞ · ∞, 1∞, ∞0, 00.

20



7 Derivacija funkcije.

Definicija 41. Diferencijabilnost funkcije u tocki.

Funkcija f : I → R, I = a, b, je diferencijabilna (derivabilna) u c ∈ I

ako funkcija: x → f (x)−f (c)x−c

ima limes u c (u suprotnom nije diferencija-

bilna). Realan broj f (c) = limx→c

f (x)−f (c)x−c

je derivacija funkcije f u tocki c.

Oznake:f (c), df dx

(c), ddx

.

Definicija 42. Diferencijabilnost funkcije na intervalu.

Funkcija f je diferencijabilna na intervalu I ako je diferencijabilna u sva-koj tocki x

∈ I . Ako je f diferencijabilna na I tada za

∀x,

∃f (x)

∈ R.

Definicija 43. Derivacija funkcije.

Ako je funkcija f diferencijabilna u svakoj tocki x ∈ I , onda kazemo da je ona diferencijabilna na I . Funkciju x → f (x) definiranu na I oznacavamos f i nazivamo je derivacijom funkcije na I .

Neka je zadana funkcija f : I → R, I = a, b. Ako je ta funkcija

diferencijabilna u I , tada realan broj f (c) = limx→c

f (x)−f (c)

x−c zovemo drugom

derivacijom od f .

Analogno n-ta derivacija je prva derivacija funkcije f

(n

−1)

tj:f (n)(c) = lim

x→c

f (n−1)(x)−f (n−1)(c)x−c

.

Napomena 10. Nulta derivacija je: f 0 = f .

Primjer 7.1. 1. f (x) = x2 je derivabilna i f (x) = 2x.

2. f (x) = |x|, nije derivabilna, jer limesi nisu jednaki.

Definicija 44. C n klasa.

Funkcija f : I → R je klase C n(I ) ako f ima n-tu derivaciju u ∀x ∈ I i

ta derivacija je neprekidna.

Definicija 45. C ∞ klasa.

Funkcija f : I → R je klase C ∞(I ) ako f ima n-tu derivaciju svakog reda i te derivacije su neprekidne.

21



Stavimo li u definiciju derivacije da je ∆x = x − c, tada imamo:

limx→cf (c+∆x)−f (c)∆x = limx→c

∆f (c)∆x = f (c), odnosno: f (c) = lim∆x→0∆f (c)∆x .

Napomena 11. Geometrijska interpretacija derivacije.

1. Neka je zadana funkcija f : I → R neprekidna u c ∈ a, b. Jednadzba sekante na tu funkciju je:

y − f (c) = f (x−c)−f (c)x−c

(x − c), uvrstimo x = ∆x + c,

y − f (c) = f (c+∆x)−f (c)∆x

(x− c), stavimo da je f (c + ∆x) −f (c) = ∆f (c),

y − f (c) = ∆f (c)∆x

(x − c), djelujemo na taj izraz s limx→c

, te dobijemo

y = limx→c

∆f (c)∆x

(x − c) + f (c), odnosno

y = f (c)(x − c) + f (c), gdje dobijemo jednadzbu tangente na graf funk-cije u T (c, f (c))

2. Za f (c) =

∞ za tangentu uzimamo pravac x = c.

3. Broj f ’(c) je koeficijent smjera tangente.

4. lim∆x→0

∆f (c)∆x

= limϕ→α

tan ϕ, gdje je α kut koji zatvara tangenta s x-osi, dok

je ϕ kut koji zatvara sekanta s x-osi.

22



5. Ako graf funkcije ima siljke tada funkcija nije derivabilna.

Teorem 7.1. Diferencijabilnost povlaci neprekidnost funkcije.Ako je funkcija f : I → R diferencijabilna u c ∈ I = a, b onda je ona i

neprekidna.

Dokaz. Treba pokazati da je limx→c

f (x) = f (c).

Za neki x ∈ I , x = c vrijedi:

f (x) − f (c) = f (x)−f (c)x−c

(x − c) = (funkcija je diferencijabilna pa postojelimesi i djelujemo s lim

x→c),

= limx→

c[f (x)

−f (c)] = lim

x→

c

f (x)−f (c)x

−c

·limx→

c(x

−c) =, odnosno

= limx→c

[f (x) − f (c)) = f (c) · 0 = 0, pa slijedi da je:

limx→c

f (x) = f (c): f je neprekidna u c.

Teorem 7.2. Svojstva derivacije.

Neka su funkcije f, g: I → R diferencijabilne u x ∈ I , I = a, b tada su diferencijabilne i: f ± g, f · g, λ · f (λ ∈ R) i vrijedi:

1. (f ± g)(x) = f (x) ± g(x),

2. (f · g)(x) = f (x) · g(x) + f (x) · g(x),

3. (λ · f ) = λ · f (x), λ ∈ R,Ako pretpostavimo da je g(x) = 0, onda je diferencijabilna i f

g:

4. (f g

)(x) = f (x)g(x)−f (x)g(x)[g(x)]2

.

Teorem 7.3. Derivacija kompozicije.

Neka su I 1, I 2 ⊆ R, f : I 1 → I 2, g: I 2 → R. Ako je f diferencijabilna u x ∈ I 1 i g u f (x) ∈ I 2, tada je g f : I 1 → R diferencijabilna u x i vrijedi:

(g f )(x) = g [f (x)]f (x).

Teorem 7.4. Derivacija inverzne funkcije.

Neka je funkcija f : I → R injekcija i diferencijabilna u x ∈ I = a, b,f (x) = 0. Tada je njena inverzna funkcija diferencijabilna u f (x) i vrijedi:

[f −1(f (x))] = 1

f (x).

23



8 Neodredeni integral.

Motivacija za uvodenje integrala: Postoji li funkcija F : a, b → R za cijuderivaciju vrijedi da je F (x) = f (x)?

Definicija 46. Primitivna funkcija.

Neka je zadana funkcija f na I = a, b. Svaku funkciju F zovemo primi-

tivnom funkcijom od funkcije f na I ako za ∀x ∈ I vrijedi: F (x) = f (x).Dvije primitivne funkcije iste funkcije se razlikuju za konstantu: F 1(x) −F 2(x) = c na I .

Definicija 47. Neodredeni integral.

Skup svih primitivnih funkcija od f na I = a, b zovemo neodredenim

integralom funkcije f na I : f (x)dx = F (x) + c|c ∈ R.

Odnosno: a,b

f (x)dx =

f (x)dx = F (x) + c.

Teorem 8.1. Svojstva neodredenog integrala.

Ako su F i G redom primitivne funkcije od f i g na I = a, b i c je proizvoljna konstanta, tada za ∀x ∈ I i ∀α, β ∈ R \ 0 vrijedi:

1. Derivacija neodredenog integrala: (

f (x)dx) = f (x).

2. Diferencijal: d(

f (x)dx) = f (x)dx.

3. Integral diferencijala primitivne funkcije:

dF (x) = F (x) + c.

4. Linearnost neodredenog integrala:

(αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx.

Napomena 12. Razne metode pri rjesavanju integrala.

1. Metoda supstitucije:

24



(a) Varijablu x zamijenimo funkcijom varijable t: x = g(t), a potom

nademo diferencijal dx = g (t)dt.(b) Novonastali integral je oblika:

f [g(t)]g(t)dt, rjesavanjem tog in-

tegrala dobijemo: ϕ(t) + c.

(c) vratimo supstituciju t = g−1(x) pa dobijemo:

f (x)dx = ϕ[g−1(x)]+c.

2. Metoda parcijalne integracije:

Dobijemo je iz derivacije produkta funkcija x → u(x) i x → v(x):

[u(x) · v(x)] = u(x)v(x) + u(x)v(x),

u(x)v(x) = [u(x) · v(x)] − u(x)v(x)/ , u(x)v(x) = u(x) · v(x) −

u(x)v(x), pa dobijemo:

udv = uv −

vdu.

3. Racionalne funkcije: Algebarskim postupcima ih racionaliziramo u ele-mentarne razlomke, pa onda integriramo.

4. Transcendentne funkcije i algebarske iracionalne funkcije: Koristimospec. supstitucije.

25



9 Odredeni integral.

Neka je f : [a, b] → R neprekidna, f (x) ≥ 0, za ∀x ∈ [a, b]. Neka je zadankrivolinijski trapez (pseudotrapez): S = (x, y)|a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ f (x)te neka je zadan segment I = [a, b]. Podijelimo taj segment na n segmenatatako da imamo n − 1 tocku iz tog segmenta, pa imamo:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b

Na ta j nacin dobijemo podsegmente, odnosno skup segmenata koji zovemosubdivizijom od I . Oznaka: ∆. Dobijemo i duljine segmenata: x2−x1, x3−x2,...,xn − xn−1 i najveci broj medu njima zovemo normom subdivizije:

maxx2 − x1, x3 − x2,...,xn − xn−1 = (∆).Neka je zadana neprekidna f : [a, b] → R f (x) > 0, za ∀x ∈ [a, b]. Odre-

dimo jednu subdiviziju segmenta I . Na svakom segmentu [xi−1, xi], i =1, 2,...n odaberimo bilo koju tocku ξ i te tako dolazimo do f (ξ i), i = 1, 2,...,n.Funkcija f je neprekidna pa je i njezina restrikcija neprekidna na [xi−1, xi],pa ∃mi, M i ∈ R takvi da je mi minimum, a M i maksimum segmenta i vrijedi:

mi ≤ f (x) ≤ M i, ∀x ∈ [xi−1, xi].

Za povrsinu skupa S i vrijedi:

mi(xi − xi−1) < P (S i) < M i(xi − xi−1)

tj.mi(xi − xi−1) < f (ξ i)(xi − xi−1) < M i(xi − xi−1)

Time dolazimo do sljedecih suma:

s =n

i=1

mi(xi − xi−1)

i

S =n

i=1

M i(xi − xi−1),

gdje je s suma povrsina upisanih pravokutnika ili donja integralna suma, dok je S suma povrsina opisanih pravokutnika ili gornja integralna suma, te je

26



σ =

ni=1

f (ξ i)(xi − xi−1)

integralna suma, i vrijedi:

s ≤ σ ≤ S.

Neka je funkcija f : [a, b] → R ogranicena: ∃c, d ∈ R takvi da je c ≤f (x) ≤ d, za ∀x ∈ [a, b], pa je i skup svih slika R(f ) = f (x)|x ∈ [a, b]ogranicen pa ∃m, M ∈ R koji su infimum odnosno supremum funkcije f .Ako je f neprekidna, tada su m i M minimum odnosno maksimum funkcije

f , pa vrijedi:m(b − a) ≤ s ≤ σ ≤ M (b − a).

Neka je A skup svih brojeva s koje dobivamo za razne subdivizije ∆, a Bskup svih brojeva S te C skup svih brojeva ξ koje dobivamo za razne sub-divizije ∆ i izbora tocaka. Navedeni skupovi su ograniceni odozgo i odozdopa postoje sup A = I ∗(f, [a, b]) i inf B = I ∗(f, [a, b]) i njih zovemo donjim igornjim Riemannovim integralom funkcije f na segmentu [a, b] i vrijedi:

s ≤ I ∗ ≤ I ∗ ≤ S.

Definicija 48. Odredeni integral.Za ogranicenu funkciju f : [a, b] → R kazemo da je Reimann-integrabilna

na [a, b], ako vrijedi:I ∗ = I ∗.

Riemannov integral funkcije f na segmentu [a, b] je tada broj: I ∗ = I ∗ = I i oznacavamo ga s:

I =

b a

f (x)dx ∈ R.

Takav izraz zovemo odredenim integralom na [a, b].

Napomena 13. Uvjeti za odredeni integral:

1. Ako je funkcija f neprekidna na segmentu, onda je integrabilna.

27



2. Ako je funkcija ogranicena na segmentu s konacno prekida.

3. Ako je funkcija monotona i ogranicena na segmentu.

Definicija 49. Newton-Leibnizova formula.

Neka je funkcija f : [a, b] → R integrabilna na [a, b] i neka je F primitivna funkcija od f tada vrijedi da je:

b a

f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x)ba

.

Izvod:Neka je F (x) =

xa

f (t)dt, F (x) je primitivna funkcija od f . Znamo da se F (x) od druge primitivne funkcije razlikuje samo za konstantu. Neka je φdruga primitivna funkcija od f tj. φ(x) = f (x), tada postoji veza izmedu F i φ: F (x) = φ(x)+c. Kako je F (a) = 0 slijedi da je φ(a)+c = 0 tj. c = −φ(a),dobili smo c, uvrstimo u pocetnu jednakost i imamo: F (x) = φ(x) − φ(a) te

je: xa

f (t)dt = φ(x) − φ(a).

Definicija 50. Svojstva odredenog integrala.

1. −a

a f (x)dx = 0.

2. ba

f (x)dx = − ab

f (x)dx.

3. Homogenost: ba

cf (x)dx = c ba

f (x)dx,c ∈ R.

4. Aditivnost: ba

[f (x) ± g(x)]dx = ba

f (x)dx ± ba

g(x)dx.

5. Aditivnost po podrucju integracije: ba

f (x)dx = ca

f (x)dx + bc

f (x)dx.

6. Neka je f (x) > 0, za ∀x ∈ [a, b] je

b

a f (x)dx > 0.

7. Monotonost: Ako je f (x) ≤ g(x) tada je ba f (x)dx ≤ ba g(x)dx.

8. Vrijedi: | ba

f (x)dx| ≤ ba |f (x)|dx.

28



Teorem 9.1. Teorem srednje vrijednosti.

Ako je f neprekidna na segmentu i ako su joj m i M minimum odnosnomaksimum na I = [a, b], tada je m ≤ f (x) ≤ M :

m ≤ 1

b − a

b a

f (x)dx ≤ M

i postoji barem jedna c ∈ I takva da je:

f (c) = 1

b−

a

b

a f (x)dx.

29



10 Parcijalna derivacija.

Definicija 51. Parcijalni i totalni prirastaj.

Neka su T 0 = (x1, x2,...,xn) i T 1 = (x1, x2,...,xn) tocke iz Rn i neka je zadana funkcija f : Rn → R i promjena varijabli ∆xi = xi−xi, i = 1, 2,...,n,tada ∆f (T 0) = f (x1, x2,...,xi−1, xi + ∆xi, xi+1,...,xn) − f (x1, x2,...,xn) zo-vemo parcijalnim prirastajem funkcije f u T 0. A ∆f (T 0) = f (x1 +∆x1, x2+∆x2,...,xn+∆xn)−f (x1, x2,...,xn) zovemo totalnim prirastajem

funkcije f u T 0.

Definicija 52. Parcijalna derivacija.

Neka je Ω otvoren skup u Rn

te T 0 = (x1, x2,...,xn), T 1 = (x1, x2,...,xi−1, xi+∆xi, xi+1,...,xn) ∈ Ω. Funkcija f : Ω → R ima parcijalnu derivaciju povarijabli xi u tocki T 0 ako postoji:

lim∆xi→0

f (x1, x2,...,xi−1, xi + ∆xi, xi+1,...,xn) − f (x1, x2,...,xn)

∆xi

= lim∆xi→0

∆if (T 0)

∆xi

.

Oznake: ∂ if (T 0), ( ∂f ∂xi

)T 0, Dif (x1, x2,...,xn), f xi(T 0)

Sve varijable imaju fiksnu vrijednost, osim varijable po kojoj deriviramo,te kazemo da je f derivabilna po varijabli xi.

Napomena 14. Geometrijska interpretacija parcijalne derivacije.

30



Neka je f : R2

→ R, Γ

f ploha u prostoru, a tocka T = (x

0, y

0,

z0

f (x0, y

0))

sjeciste tangenti krivulja Γ1 i Γ2. Presjek plohe z = f (x, y) i ravnine x =x0 je krivulja Γ1 koja je definirana kao y → f (x0, y), a presjek plohe z =f (x, y) i ravnine y = y0 je krivulja Γ2 koja je definirana kao x → f (x, y0).Tako dobijemo vrijednosti: ∂f

∂x(x0, y0) i ∂f

∂y(x0, y0) koje su koeficijenti smjera

tangenti postavljenih na krivulje Γ1 i Γ2 u tocki (x0, y0).

Postojanje parcijalne derivacije ovisi samo o ponasanju funkcije na kri-vulji odredenoj s:

z = f (x, y)

x = x0 ∨

z = f (x, y)

y = y0 ,

pri tome nije uopce vazno kako izgleda graf funkcije u drugim smjerovima.Sama funkcija moze biti prekinuta u T 0 pa ce parcijalne derivacije ipak pos-tojati po svim varijablama u T 0.

Dakle, parcijalne derivacije drugog reda u tocki T 0 = (x0, y0) izgledaju ovako:

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f (x0 + h, y0) − f (x0, y0)

h ,

∂f

∂y(x0, y0) = lim

k→0

f (x0, y0 + k) − f (x0, y0)

k .

Parcijalne derivacije su opet funkcije vise varijabli pa i one mogu imati svoje parcijalne derivacije, odnosno radi se o parcijalnim derivacijama drugog reda:

∂ 2f ∂xi∂xj

= ∂ ∂xi

( ∂f ∂xj

) ili ∂ 2f

∂ 2xi= ∂

∂xi( ∂f ∂xi

),

redoslijed je nebitan. Tako ce derivacije viseg reda biti:

∂ mf ∂ kx∂ m−ky

(f (x, y)) ili ∂ k1+k2+...+kmf

∂ k1x1∂ k2x2...∂ kmxm

(f (x1, x2,...,xm)).

31



11 Diferencijal funkcije vise varijabli.

Definicija 53. Diferencijabilnost funkcije vise varijabli.

Funkcija f : Ω → R je diferencijabilna (derivabilna) u tocki (x0, y0) ∈Ω ⊆ R2 ako postoji polinom koji uredenom paru pridruzuje linearnu kombi-naciju:

(t, s) → At + Bs, (1)

A, B ∈ R, takav da je:

lim(h,k)→(0,0)

|f (x0 + h, y0 + h) − f (x0, y0) − Ah − Bk|√ h2 + k2

= 0 (2)

i (1) zovemo diferencijalom funkcije f u (x0, y0).

Funkcija f : Ω → R je diferencijabilna u tocki P 0 = (x01, x0

2,...,x0n) ∈

Ω ⊆ Rn, Ω je otvoren, ako postoji polinom koji uredenoj n-torci pridruzuje linearnu kombinaciju:

(t1, t2,...,tn) → A1t1 + A2t2 + ... + Antn, (3)

Ai ∈ R, i = 1, 2,...,n, takav da je:

limn

i=1t2i→0

|f (x0

1 + t1, x02 + t2,...,x0

n + tn)

−f (x0

1, x02,...,x0

n)

−

n

i=1

Aiti

| ni=1

t2i

= 0 (4)

i (3) zovemo diferencijalom funkcije f u P 0.

Oznake: df (P 0), f (P 0).

Definicija 54. C 1 klasa.

Funkcija f je klase C 1 na Ω ⊆ Rn ako su f i sve njezine parcijalne derivacije neprekidne.

Definicija 55. C ∞ klasa.Funkcija f je klase C ∞ na Ω ⊆ Rn ako su sve njezine parcijalne derivacije

reda k ∈ N neprekidne na Ω.

Napomena 15. Svojstva diferencijala u Rn:

32



1. Diferencijabilnost povlaci nepekidnost u tocki P 0.

2. Diferencijabilnost povlaci postojanje parcijalnih derivacija u tocki P 0.

3. Ako parcijalne derivacije postoje i one su neprekidne, tada je funkcija diferencijabilna u tocki P 0.

4. Ako su funkcije f, g: Ω → R diferencijabilne u P ∈ Ω, tada su diferen-cijabilne i: f + g, f · g, f

g (g = 0) i vrijedi:

(a) d(f + g)(P ) = df (P ) + dg(P ),

(b) d(f · g)(P ) = df (P ) · dg(P ),

(c) d(f

g )(P ) = df (P )g(P )

−f (P )dg(P )

[g(P )]2 , g(P ) = 0.

33



12 Algebarske strukture.

Definicija 56. Binarna operacija.

Neka je zadan neprazan skup A. Binarna operacija je : A × A → A, funkcija koja uredenom paru pridruzuje neki element iz A.

Definicija 57. Zatvorenost.

Skup A je zatvoren s obzirom na binarnu operaciju, ako se rezultat te operacije nalazi u tom istom skupu.

Definicija 58. Grupoid.

Algebarska struktura definirana na nekom skupu A s binarnom operacijom, odnosno par (A, ) koji ima svojstvo zatvorenosti zovemo grupoidom .

Primjer 12.1. Grupoidi.

1. (P (A), ), gdje je binarna operacija bilo koja operacija nad skupovima:∪, ∩, \, .

2. Skup funkcija s operacijom kompozicije funkcija.

3. S S = f |f : S → S , (S S , )(Caylijeva tablica ).

Ako vrijedi da je binarna operacija komutativna, tada se radi o komu-tativnom grupoidu.

Definicija 59. Asocijativnost.

Neka je (A, ) grupoid s binarnom operacijom na A. Kazemo da je bi-narna operacija asocijativna ako vrijedi:

a(bc) = (ab)c, za ∀a,b,c, ∈ A.

Definicija 60. Polugrupa.

Grupoid (A,

) koji ima svojstvo asocijativnostii zovemo polugrupom .

Ako vrijedi da je binarna operacija komutativna, tada se radi o komu-

tativnoj polugrupi.

Primjer 12.2. Polugrupe.

34



1. (P (A), ∩).

2. (N, +).

Definicija 61. Neutralni element.

Neka je (A, ) grupoid, ako ∃l ∈ A takav da je: la = a, ∀a ∈ A, l je lijeva jedinica , odnosno ako ∃d ∈ A takav da je: ad = a, ∀a ∈ A, d je desna jedinica . Ako ∃e ∈ A takav da je: ea=ae=a, za ∀a ∈ A, tada je eneutralni element .

Primjer 12.3. Neutralni elementi.

1. (P (A), ∪) neutral je prazan skup, Ø.2. (N, ·), neutral je jedinica.

3. (f (x), ), neutral je identiteta. Znamo da je id(x) = x, pa je:

(id f )(x) = id[f (x)] = f (x), (f id)(x) = f [id(x)] = f (x)

Propozicija 12.1. Neutral je jedinstven.

Ako u grupoidu (A, ) binarna operacija ima neutralni element, tada je on jedinstven.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, neka postoje dva neutrala iz A, pa ce ∀a ∈A vrijediti: ea = ae = a i ea = ae = a tj. biti ce: ee = e i ee = e ako isamo ako e = e.

Definicija 62. Monoid.

Grupoid s asocijativnom operacijom i neutralnim elementom zovemo kva-

zigrupom ili monoidom .

Monoid s komutativnom binarnom operacijom je komutativni monoid.

Primjer 12.4. Komutativni monoidi.

1. (N0, ·), (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) ,(C, ·).

2. (P (A), ∩), (P (A), ∪).

35



3. (Zm, +m).

Definicija 63. Invertibilni element.

Neka je (A, ) grupoid sa svojstvom da binarna operacija ima neutral.Neka je a ∈ A, ako ∃u ∈ A takav da je ua = e onda je u lijevi inverz u (A, ), ako ∃v ∈ A takav da je av = e onda je v desni inverz u (A, ). Akopostoji element y ∈ A takav da je ya = ay = e onda je to inverz elementa a u strukturi (A, ).

Propozicija 12.2. Neka je (A, ) monoid, te a ∈ A njegov element, ako je a invertibilan tada je njegov inverz jedinstven.

Dokaz. Neka su y, y inverzi u S od a, pa po definiciji invertibilnog elementavrijedi: ya = ay = e i y a = ay = e. Zbog asocijativnosti vrijedi:

yay = (ya)y = ey = y

yay = y(ay) = ye = y

slijedi da je y = y .

Napomena 16. Reciprocni element je a−1, dok je −a suprotni ele-

ment .

Definicija 64. Grupa.

Monoid u kojem je svaki element invertibilan.

Grupa u kojoj je binarna operacija komutativna zovemo komutativnomili Abelovom grupom.

Primjer 12.5. Grupe.

1. Aditivni monoidi su skupovi Z, Q, R i C, s operacijom zbrajanja ujednosu i komutativni.

2. Multiplikativne grupe: Q

\ 0

, Q+, R

\ 0

, C

\ 0

= C ∗.

3. Neka je p: R → R u varijabli t s realnim koeficijentima:

p(t) = m

k=0 aktk, a ∈ R. P n = p|st( p) < n ∪ 0 je skup svih polinoma, s operacijom zbrajanja P n je grupa polinoma (Abelova grupa)i vrijedi: P =

∞n=0 P n.

36



Svojstva grupe: asocijativnost, neutralni i invertibilni element zovemo

aksiomima grupe.Definicija 65. Homomorfizam grupa.

Neka su G i H grupe. Preslikavanje f : G → H koje komutira za binar-nom operacijom

f (ab) = f (a)f (b), ∀a,b, ∈ G

zovemo homomorfizmom grupe G u grupu H , tj. f (a ·G b) = f (a) ·H f (b).

Napomena 17. Homomorfizmi.

1. Trivijalni homomorfizam: f (x) = e, e ∈ H , e je jedinica.

2. Injektivni homomorfizam: Monomorfizam.

3. Surjektivni homomorfizam: Epimorfizam.

4. Bijektivni homomorfizam: Izomorfizam.

5. Homomorfizam kada su domena i kodomena jednake: Endomorfizam.

6. Bijektivni homomorfizam kada su domena i kodomena jednake: Auto-

morfizam.

Definicija 66. Prsten.

Neka je P = Ø, P je prsten ako:

1. (P, +) je Abelova grupa,

2. (P, ·) je polugrupa,

3. operacije + i · su povezane zakonom distribucije: a(b + c) = ab + ac i (a + b)c = ac + bc, ∀a,b,c ∈ P.

Ova tri svojstva zovemo aksiomima prstena.

Primjer 12.6. Prstenovi.

1. Skupovi Q, R i C, s operacijama + i · su prstenovi.

37



2. (Zm, +m, ·m) je komutativni prsten s jedinicom. To znaci da je (Zm, ·m)

polugrupa koja posjeduje i neutralni element.Definicija 67. Tijelo.

Neka je P = Ø, P je tijelo ako:


2. (P, ·) je grupa,


Definicija 68. Polje.

Neka je P = Ø, P je polje ako:


2. (P, ·) je Abelova grupa,


Najpoznatija polja su polja R i C brojeva. Oznaka: F.

38



13 Klasicna algebra.

Definicija 69. Orijentirana duzina.

Neka su A, B ∈ E3 gdje je E3 trodimenzionalni prostor. Uredeni par (A, B) zovemo orijentiranom duzinom za koju je A pocetak, a B kraj.

Oznaka: −→AB.

Definicija 70. Ekvivalencija duzina.

Neka je D = E3 ×E3 skup svih orijentiranih duzina. Definirajmo relaciju

ekvivalencije ≡: −→AB ≡ −−→

CD. Duzine su ekvivalentne ako imaju isto poloviste.

Klasa ekvivalencije odredena je s −→AB, oznaka:

[−→AB] = −→

P Q ∈ D|−→P Q ≡ −→

AB.

Definicija 71. Prostor V 3.

Skup svih klasa ekvivalencije je skup V 3 = [−→AB]|−→

AB ∈ D.

Definicija 72. Vektor.

Klasu ekvivalencije orijentiranih duzina zovemo vektorom .

Ako je −→AB ∈ a, tj. orijentirana duzina koja generira vektor a, tada pisemoda je:

a = −→AB

i kazemo da je −→AB predstavnik (reprezentant) vektora a, a

−→BA predstavnik

od −a.

Nul-vektor definiramo kao [−→AA] = −→AA|A ∈ E3, oznaka:

−→0 .

Neka je O ∈ E3 i neka je V 3(O) = −−→OX |X ∈ E3 skup svih orijentira-nih duzina koje imaju pocetak u tocki O. Svaki element tog skupa zovemo

radijvektorom u tocki O . Oznaka: −−→OX = rx.

Svaki vektor je jednoznacno odreden s:

1. Modulom ili duljinom vektora |a|. Ne ovisi o izboru predstavnika.

39



2. Smjerom: smjer pravca na kojem lezi −−→OX vektor. Ne ovisi o izboru

predstavnika, npr. paralelni pravci imaju isti smjer.

3. Orijentacijom: Vektori imaju istu orijentaciju ako tocke A i B kojeleze na nekom pravcu s iste strane neke tocke O, inace su suprotneorijentacije. Vektori suprotne orijentacije imaju isti modul i smjer.

Definicija 73. Zbrajanje vektora.

Zbrajanje vektora je definirano kao funkcija: s: V 3 × V 3 → V 3, odnosno

s(a, b) = a + b = c. Koristimo pravilo trokuta [−→AB] + [

−−→BC ] = [

−→AC ]. V 3 s

operacijom zbrajanja vektora cini Abelovu grupu.

Definicija 74. Mnozenje vektora skalarom.Mnozenje vektora skalarom definirano je kao funkcija: m: R3×V 3 → V 3,

odnosno m(λ,a) = λa.

Svojstva:

1. kvaziasocijativnost λ(µa) = (λµ)a,

2. mnozenje s jedinicom: 1 · a = a,

3. distributivnost s obzirom na zbrajanje skalara: (λ + µ)a = λa + µa,

4. distributivnost s obzirom na zbrajanje vektora: λ(a + b) = λa + λ b.

(V 3, +, ·) je vektorski prostor nad poljem R.

Jedinicni vektor je definiran kao a0 = 1|a|a, a = 0.

Definicija 75. Kolinearni vektori.

Vektori a, b ∈ V 3, a = 0, su kolinearni ako ∃!λ ∈ R takav da je:

b = λa.

Definicija 76. Komplanarni vektori.

Nekolinearni vektori a, b ∈ V 3 su komplanarni s c ako ∃!α, β ∈ R takvi da je:

c = αa + β b.

40



Baza od V 3 je BV 3 = a1, a2, a3. Osnovno svojstvo baze je da svaki

vektor ima jedinstven prikaz pomocu vektora iz baze: a = α1 a1+α2 a2+α3 a3.Vektore mozemo zapisati i pomocu koordinata: k(a) = k(α1 a1 + α2 a2 +α3 a3) = (α1, α2, α3).

Vektori su okomiti ako je kut ∠(a, b) = π , ako je ∠(a, b) = 0 tada su tadva vektora kolinearna.

Definicija 77. Skalarni produkt.

Skalarni produkt vektora je definiran kao funkcija u: V 3 × V 3 → R3, te vrijedi:

1. ako je barem jedan od vektora nul-vektor, tada je skalarni produkt

ua, b = 0.

2. ako su oba vektora razlicita od nul-vektora onda racunamo kut:

ua, b = |a|| b|cos∠(a, b) = a · b .

Propozicija 13.1. Uvjet okomitosti vektora.

Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov skalarni produkt jednak 0.

Teorem 13.2. Svojstva skalarnog produkta.

1. komutativnost: a b = ba, ∀a, b ∈ V 3,

2. kvaziasocijativnost: (λa) b = λ(a b), ∀λ ∈ R, ∀a, b ∈ V 3,

3. distributivnost mnozenja prema zbrajanju: a( b + c) = a b + ac,

4. pozitivna definitnost: a2 ≥ 0, a2 = 0 ako i samo ako je a = 0.

V 3 sa skalarnim mnozenjem je realni unitarni prostor.

Definicija 78. Ortonormirana baza.

Neka je zadana baza vektorskog prostora V 3, i, j, k sa svojstvom da za koordinantne vektore vrijedi:

41





Napomena 19. Svojstva vektorskog produkta.

1. antikomutativnost: b × a = −(a × b), ∀a, b ∈ V 3.

2. a × b = 0 ako i samo ako je a = λ b, ∀λ ∈ R.

3. a × a = 0.

4. povrsina paralelograma: P = |a|| b|∠ sin(a, b) = |a × b|.5. kvaziasocijativnost: (λa) × b = λ(a × b), ∀λ ∈ R, ∀a, b ∈ V 3,

6. distributivnost mnozenja prema zbrajanju:

a × ( b + c) = (a × b) + (a × c), za ∀a, b, c ∈ V 3.(V 3, v) je algebra nad skupom realnih brojeva: neasocijativna, nekomu-tativna i bez jedinice.

7. vrijedi:

(a × b) × c = (ac) b − ( bc)a,

a × ( b × c) = (ac) b − (a b)c.

8. koordinatni prikaz:

|(a × b)| = i j kα1 α2 α3

β 1 β 2 β 3

Definicija 80. Mjesoviti produkt.

Neka je:

m: V 3 × V 3 × V 3 → R

preslikavanje definirano s m(a, b, c) = (a × b)c, za ∀a, b, c ∈ V 3, onda je to mjesovito ili vektorsko-skalarano mnozenje, a rezultat mjesoviti

produkt . Oznaka: m(a, b, c) = (a, b, c).

Napomena 20. Svojstva mjesovitog produkta.

1. m(a, b, c) = 0 ako i samo ako a, b, c su komplanarni.

43



2. (a, b, c) =

α1 α2 α3

β 1 β 2 β 3γ 1 γ 2 γ 3 .

3. (a, b, c) = ( b, c, a) = (c, a, b) = −(a, c, b) = −( b, a, c) = −(c, b, a).

4. (a × b)c = a( b × c).

5. Volumen paralelpipeda: V= |a × b||c|∠ cos(a × b, c), gdje je (a × b)c > 0.

44



14 Vektorski ili linearni prostor.

Definicija 81. Hibridno mnozenje.

Neka je (V, +) Abelova grupa, a (F, +, ·) bilo koje polje, tada je

h: F× V → V

hibridno ili vanjsko mnozenje. Oznaka: h(α,a) = αa.

Napomena 21. Svojstva vanjskog mnozenja.

1. kvaziasocijativnost: α(βa) = (αβ )a, za ∀

α, β ∈ F, a

∈ V,

2. sadrzi jedinicu: 1 · a = a, 1 ∈ F, a ∈ V,

3. distributivnost u odnosu na zbrajanje u polju: (α + β )a = αa + βa, za ∀α, β ∈ F, a ∈ V .,

4. distributivnost u odnosu na zbrajanje vektora: α(a + b) = αa + α b, za

∀α ∈ F, a, b ∈ V .

Definicija 82. Vektorski ili linearni prostor.

Uredenu trojku (V, F, h) zovemo vektorskim ili linearnim prostorom .

V je linearni prostor nad poljem F u odnosu na vanjsko mnozenje h. Ele-mente od V zovemo vektorima, a elemente od (osnovnog) polja F skalarima.

Napomena 22. Svojstva u linearnom prostoru.

1. Za ∀a ∈ V vrijedi da je 0 · a = 0.

2. Za ∀α ∈ F vrijedi da je α · 0 = 0.

3. Za ∀α ∈ F i ∀a ∈ V vrijedi da je (−α)a = −(αa).

Primjer 14.1. Linearni prostori.

1. Skup svih klasa orijentiranih duzina u prostoru: V 3.

2. Realni n-dimenzionalni koordinatni prostor: Rn = (α1, α2,...,αn)|αi ∈R.

45



3. Prostor svih polinoma P n.

Definicija 83. Linearna nezavisnost.

Neka je V linearni prostor nad F, ako su a1, a2, ...ak ∈ V , a α1, α2,...αk ∈F onda je jednoznacno odreden vektor:

α1a1 + α2a2 + ... + αkak ∈ V . (linearna kombinacija vektora).

Neka je S = a1, a2, ...ak konacan skup vektora ai ∈ V . Skup S je linearno

nezavisan ako se 0 ∈ V moze na jedinstven nacin prikazati kao linearna kombinacija vektora iz S . Odnosno ako iz α1a1 + α2a2 + ... + αkak = 0 slijedi da je αi = 0, za

∀i = 1, 2,...k.

Vrijedi: Svaki podskup linearno nezavisnog skupa je linearno nezavisan, a svaki nadskup linearno nezavisnog skupa je linearno zavisan.

Definicija 84. Skup izvodnica.

Neka je V vektorski prostor nad poljem F, G ⊂ V . G je skup izvodnica

ako je svaki vektor iz tog prostora moguce prikazati kao linearnu kombinaciju konacnog broja vektora iz G, odnosno, G je skup izvodnica ako za ∀a ∈ V ,∃k ∈ N i ai ∈ G, i = 1, 2,...,k takvi da je:

a =k

i=1

αiai.

Kazemo tada da G razapinje V , gdje je G skup generatora.

Definicija 85. Baza prostora.

Za uredeni podskup B ⊂ V je baza prostora (Hamelova ili algebarska baza prostora ) od V ako je:

1. skup izvodnica od V ,

2. linearno nezavisan skup u V .

Primjer 14.2. Baze.

1. BV 3 = i, j, k.

2. BR2 = (0, 1), (1, 0).

46



3. BPn = 1, t , t2,...tn−1.

Napomena 23. Za bazu prostora vrijedi:

1. Svaki netrivijalni linearni prostor ima barem jednu bazu.

2. Svake dvije baze prostora su ekvipotentne.

Definicija 86. Neka je L = Ø, L ⊂ V je potprostor od V ako i samo akovrijedi zatvorenost s obzirom na operacije:

1. za ∀a, b ∈ L slijedi da je a + b ∈ L,

2. za ∀a ∧ ∀α ∈ F slijedi da je αa ∈ L

47



15 Linearni operatori.

Definicija 87. Linearni operatori.

Neka su U i V vektorski prostori nad poljem F, a

f : U → V

preslikavanje sa sljedecim svojstvima:

1. Aditivnost: f (a + b) = f (a) + f ( b), za ∀a, b ∈ U ,

2. Homogenost: f (αa) = αf (a), za

∀a

∈ U ,

∀α

∈ F.

Odnosno oba svojstva se mogu objediniti s izrazom:

f (αa + β b) = αf (a) + βf ( b), za ∀a, b ∈ U , ∀α, β ∈ F.

koje zovemo linearnost operatora. Linearni operator zovemo jos i linearnim preslikavanjem ili homomorfizmom linearnog prostora.

Poopcenje:

f (n

i=1

αiai) =n

i=1

αif (ai), za∀

ai

∈ U,

∀αi

∈ F, i = 1, 2, ...n.

Primjer 15.1. Linearni operatori.

1. Homotetija: h: V → V , h(x) = λx, λ ∈ F,

h(αx + βy) = λ(αx + βy) = λ(αx) + λ(βy) = (λα)x + (λβ )y = α(λx) +

β (λy) = αh(x) + βh(y), odnosno u V 3:

λ 0 0

0 λ 00 0 λ

.

2. Zrcaljenje: z : R2

→ R2, z (x, y) = (y, x).

3. Operator deriviranja: d( p) = d(k

i=0 αiti) =

ki=0 iαit

i−1

4. Operator integriranja: s( p) = s(k

i=0 αiti) =

ki=0 αi

ti+1

i+1

Primjeri linearnih operatora na V 3:

48



5. Nuloperator: n(a) = 0, odnosno

0 0 0

0 0 00 0 0.

6. Jedinicni operator: e(a) = a, odnosno

1 0 0

0 1 00 0 1

.

7. Centralna simetrija: c(a) = −a, odnosno

−1 0 0

0 −1 00 0 −1

.

8. Zrcaljenje: a = α1 i + α2

j + α3 k,

s1(a) = −α1 i + α2

j + α3 k,

s2(a) = α1 i − α2

j + α3 k,

s3(a) = α1 i + α2

j − α3 k, odnosno

−1 0 00 1 00 0 1

,

1 0 0

0 −1 00 0 1

,

1 0 0

0 1 00 0 −1

.

9. Rotacija oko zadanog pravca:

r1(a) = α1(cos ϕ − sin ϕ) i + α2(sin ϕ + cos ϕ) j + α3 k,r2(a) = α1(cos ϕ − sin ϕ) i + α2

j + α3(sin ϕ + cos ϕ) k,

r3(a) = α1 i + α2(cos ϕ − sin ϕ) j + α3(sin ϕ + cos ϕ) k.

Definicija 88. Svojstvena vrijednost.

Skalar λ ∈ F je svojstvena vrijednost linearnog operatora f ako ∃a ∈V , a = 0 takav da je:

f (a) = λa.

Svaki vektor a = 0 za koji vrijedi prethodna tvrdnja zovemo svojstvenimvektorom od f pridruzen svojstvenoj vrijednosti λ. Skup svih svojstvenihvektora zajedno s 0 je skup S (λ) = a ∈ V : f (a) = λa ≤ V kojeg zovemosvojstvenim potprostorom i taj skup je linearno nezavisan. Dimenzija togskupa je geometrijska kratnost od λ.

49



Teorem 15.1. λ ∈ F je svojstvena vrijednost linearnog operatora f ako i

samo ako je korijen karakteristicne jednadzbe kf (λ) = 0 tog operatora.Napomena 24. 1. Skup svih svojstvenih vrijednosti zove se spektar : σ(f ).

2. Linearni operator koji djeluje na n-dimenzionalnom linearnom prostoru nad algebarski zatvorenim poljem ima tocno n svojstvenih vrijednosti.

3. F je algebarski zatvoreno polje ako svaki polinom s koeficijentima iz tog polja dopusta faktorizaciju na linearne faktore:

p(λ) = αm(λ − λ1)(λ − λ2) · ... · (λ − λm).

4. Neka je A matricni zapis operatora f , a I jedinicna matrica, tada koristenjem definicije svojstvene vrijednosti imamo:

C (λ0)X = (A − λI )X = 0

gdje je C (λ0) svojstvena matrica od A, a karakteristicni polinom dobijemo ako je det C (λ0) = 0 karakteristicna jednadzba.

50



16 Sustavi linearnih jednadzbi.

Neka je F polje. Linearna jednadzba nad F u nepoznanicama x1, x2,...,xn jeizraz

α1x1 + α2x2 + ... + αnxn = β

Sustav m linearnih jednadzbi s n nepoznanica:

α11x1 + α12x2 + ... + α1nxn = β 1

α21x1 + α22x2 + ... + α2nxn = β 2...

αm1x1 + αm2x2 + ... + αmnxn = β m

Mozemo pisati i:n

k=1

αikxk = β i, i = 1, 2,...,m.

Nas zanima ju rjesenja sustava, tj. uredene n-torke (γ 1, γ 2,...,γ n), te jeono rjesenje sustava ako i samo ako zadovoljava svaku jednadzbu sustava.Koeficijente tog sustava mozemo zapisati u obliku matrice i zovemo je osnov-nom matricom sustava: A = [αik],

α11 α12 ... α1n

α12 α22 ... α2n...

... ...

αm1 αm2 ... αmn

,

Prosirena matrica sustava je A p = [αik

...β i],

α11 α12 ... α1n β 1α12 α22 ... α2n β 2

... ... ... ...αm1 αm2 ... αmn β m

,

slobodni clanovi su elementi stupcane matrice B = [Bi],

51



β 1

β 2...β m

,

kao i nepoznanice xi: X = [xk],

x1

x2...

xn

,

odnosno sustav u matricnom obliku izgleda: AX = B, a rjesenje ce bitiC = [γ k],

γ 1γ 2...

γ n

,

tj. AC = B, odnosno: AX = B ako i samo ako nk=1 αikxk = β i, i =

1, 2,...,m.

Napomena 25. Problemi kod rjesavanja sustava jednadzbi.

1. postojanje rjesenja, rjesiv ili nerjesiv sustav: zanimaju nas kriteriji postojanja rjesenja,

2. jedinstvenost rjesenja: ako postoji rjesenje, je li jedinstveno i koji su to uvjeti,

3. ako sustav ima vise rjesenja u kakvoj su vezi,

4. ucinkovito pronalazenje rjesenja sustava (metode rjesavanja).

Rjesenja jednadzbe su skup praslika u jezgri.

52



Definicija 89. Rang matrice.

Najveci broj linearno nezavisnih stupaca (rang stupaca i rang redaka svake matrice su jednaki).

Teorem 16.1. Kronecker-Cappelli.

Da bi sustav linearnih jednadzbi bio rjesiv nuzno je i dovoljno da matrica tog sustava i njegova prosirena matrica imaju isti rang, tj: Za r(A p) = m i r(A) = n slijedi da je:

r(A p) = r(A)

Dokaz. Trebamo pokazati ako sustav ima rjesenja tada su rangovi osnovnematrice sustava i njene prosirene matrice jednaki:

”⇒”

Znamo da sustav AX = B ima rjesenja, to znaci da B mozemo prikazatikao linearnu kombinaciju stupaca od A:

b = (λ1 + x1)a1 + (λ2 + x2)a2 + ... + (λn + xn)an, pa je λ + x rjesenjesustava: λ + x = x ako i samo ako je λ = 0 i slijedi da je svaki λi = 0,i = 1, 2,...,n. Pa su svi stupci linearno nezavisni pa je m = n.

”⇐”

Sada je m = n, tada postoji jedinstveno rjesenje, a to znaci da je matrica

A regularna pa postoji inverz A−1

takav da za AX = B vrijedi: AXA−1

=BA−1, AA−1X = BA−1 i slijedi da je X = BA−1, pa je X rjesenje jednadzbe.

53



17 Unitarni prostori.

Definicija 90. Unitarni prostor.

Neka je polje F kompleksnih ili realnih brojeva, neka je U linearni prostor nad F, a s preslikavanje sa sljedecim svojstvima:

1. hermitska komutativnost: s b, a = sa, b,

2. kvaziasocijativnost: sαa, b = αsa, b,

3. distributivnost: sa + b, c = sa, c + s b, c,

4. pozitivna definitnost: a = 0, slijedi da je sa, a > 0,

za ∀a, b, c ∈ U , α ∈ F gdje je potez operacija konjugiranja i preslikavanje szovemo skalarnim mnozenjem na U , a rezultat s b, a ∈ F skalarnim

produktom od a, b ∈ U . Uredeni par (U, s) zovemo unitarnim prostorom

nad poljem F.

Definicija 91. Norma vektora.

Neka je U unitarni prostor nad realnim ili kompleksnim poljem F. Za ∀a ∈ U njegov skalarni kvadrat a, a ≥ 0 realni broj |a, a| = a, a je

duljina , modul ili norma vektora a.

Definicija 92. Ortogonalni i ortonormirani vektori.

Neka su a, b ∈ U . Vektor a je ortogonalan na vektor b (a ⊥ b) ako i

samo ako je s b, a = 0.

Nul-vektor je ortogonalan na ∀a ∈ U .

Neka je S = a1, a2, ..., as skup vektora iz U u kojem je svaki vektor razlicit od nul-vektora. Skup S je ortogonalan skup vektora ako za ∀i, j ∈N, i = j vrijedi da je svaki par razlicitih vektora me dusobno ortogonalan, tj.:ai

⊥ a j, ako je jos i svaki vektor normiran:

|ai, ai

| = 1, za

∀i, onda je S

ortonormiran skup vektora.

Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije je postupak koji nam omogucavada dodemo do ortonormirane baze.

54



Neka je a, b ⊂ V 3 linearno nezavisni skup i zelimo ga nadomjestiti

ortonormiranim skupom e1, e2 ⊂ V 3

, ali tako da e1 bude kolinearan s a, ae2 komplanaran s a i b

Definirajmo e1, = 1|a|a i konstruirajmo x: x = b − b, e1e1 = b − b,aa

|a|2 , tj.

oduzimamo od b njegovu ortogonalnu projekciju na vektor a. Vrijedi da jex ⊥ e1 pa je e2 = 1

|x|x i dobijemo ortonormirani skup e1, e2.

Neka je a, b, c ⊂ V 3 linearno nezavisni skup i zelimo ga nadomjestitiortonormiranim skupom e1, e2, e3 ⊂ V 3, ali tako da e1 bude kolinearan s

a, a e2 komplanaran s a, i b , te e3 linearno nezavisan s a, b i c

Definirajmo y = c

− (

c, e1

e1 +

c, e2

e2). Vrijedi da je

y, e1

= 0 i

y, e2 = 0 pa je y ⊥ e1 i y ⊥ e2, te je e3 = 1| y|y i dobijemo ortonormiranutrojku vektora.

Tako dolazimo do Gram-Schmidtovog teorema:

Teorem 17.1. Gram-Schmidt.

Neka je S = a1, a2, ..., as skup vektora iz unitarnog prostora U , taj skupse moze ortonormirati (zamijeniti novim skupom)

T = e1, e2, ..., ek ⊂ U

tako da je (1) T ortonormiran i (2) prvih j vektora iz T razapinje isti pot-prostor od U kao i prvih j vektora iz S za ∀ j = 1, 2,...,n.

Dokaz. Neka je e1 = a1||a1|| , (1) i (2) vrijedi. Pretpostavimo da smo kons-

truirali skup e1, e2, ..., ek s (1) i (2), zelimo definirati ek+1: bk+1 = ak+1 −k j=1ak+1, e je j. Pretpostavimo da ak+1 /∈ [a1, a2, ..., ak] = [e1, e2, ..., ek],

pa je [ak+1, e1, ..., ek] linearno nezavisan skup. bk+1 = 0 pa je: ek+1 = bk+1

|| bk+1||. Tvrdimo da e1, e2, ..., ek, ek+1 ima svojstva (1) i (2) . Po pretpos-

tavci je vec ortonormiran, a sam ek+1 je normiran, pa treba pokazati da jetaj vektor ortogonalan sa svim ostalima u tom skupu, tj.

ek+1, ei

= 0, za

∀i = 1, 2,...,k.

Pa je: ek+1, ei = bk+1,ei|| bk+1||

= 1

|| bk+1||ak+1−

k j=1ak+1, e je j, ei = 1

|| bk+1||(ak+1, ei−k

j=1ak+1, e j e j, ei zaj=i,0,zaj=i,1

. Pa slijedi: 1

|| bk+1||(ak+1, ei − ak+1, ei). Zbog

55



pretpostavke i definicija bk+1 i ek+1: e1, e2, ..., ek, ek+1 ∈ a1, a2, ..., ak, ak+1,

vrijedi da je: e1, e2, ..., ek, ek+1 = a1, a2, ..., ak, ak+1.Napomena 26. U svakom unitarnom netrivijalnom prostoru uvijek postoje ortonormirane baze.

56



18 Polinomi.

Definicija 93. Polinom.

Polinom n-tog stupnja je realna ili kompleksna funkcija f : X → X takva da je:

f (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0, (5)

gdje su an = 0, ai ∈ C, i = 0, 1,...,n, a (5) kanonski oblik polinoma, an

vodeci ili najstariji koeficijent, a a0 slobodni koeficijent .

Definicija 94. Stupanj polinoma.

Stupanj polinoma , u oznaci st(P ), je najveca potencija nepoznanice x

u kanonskom obliku.

Definicija 95. Jednakost polinoma.

Dva polinoma su jednaka, ako za ∀x ∈ C vrijedi: P (x) = Q(x).

Teorem 18.1. Kriterij jednakosti.

P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stupnja i ako im se koeficijenti u kanonskom prikazu podudaraju.

Napomena 27. Algebra polinoma.

1. (f ± g)(x) = f (x) ± g(x),

2. (f · g)(x) = f (x) · g(x),

3. f g

(x) = f (x)g(x)

, g(x) = 0,

4. Polinom P je djeljiv s polinomom Q ako ∃ polinom P 1 takav da za ∀xvrijedi: P (x) = P 1(x) · Q(x).

Djeljenjem polinoma mozemo dobiti potpuni ili djelomicni kvocijent:P (x)Q(x)

= P 1(x) + R(x)Q(x)

, odnosno P (x) = P 1(x)Q(x) + R(x), gdje je R

ostatak pri dijeljenju.

Ako je st(P ) = n, st(Q) = m, n ≥ m, tada je st(P 1) = n − m. Za polinom R vrijedi da je st(Q) > st(R).

57



Definicija 96. Nul-tocka.

Broj x0 ∈ C za koji vrijedi da je P (x0) = 0 zovemo nul-tockom polinoma P .

Napomena 28. Nul-tocka.

1. Za P (x) = 0, anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 = 0 zovemo algebarskom

jednadzbom .

2. Ako je x0 ∈ C nul-tocka polinoma, onda je takav polinom djeljiv s (x − x0) pa je P (x) = (x − x0)P 1(x).

3. x0 je nul-tocka kratnosti k ∈ N polinoma P (x) ako se on moze zapisati u obliku: P (x) = (x − x0)kQ(x), Q(x0) = 0.

4. Polinom koji ima n + 1 nul-tocku, a st(P 0) nije veci od n, svi ai i za ∀x ∈ C njegova vrijednost je jednaka 0 zovemo nul-polinomom .

5. Nul-tocke za st(P ) ≥ 3 se odreduju pomocu:

(a) kriterija suprotnih predznaka,

(b) metode raspolavljanja,

(c) metode iteracije.

Teorem 18.2. Skup svih polinoma nad poljem C (oznaka: C n[X ]) s opera-cijama zbrajanja i mnozenja polinoma je komutativni prsten s jedinicom.

Dokaz. (P, +) je Abelova grupa:

zatvorenost: zbrajanjem dvaju polinoma dobijemo opet polinom,

asocijativnost: [P + Q](x) + R(x) = [P (x) + Q(x)] + R(x) = P (x) +[Q(x) + R(x)] = P (x) + [Q + R](x),

neutralni element je nul-polinom: P (x) + = + P (x) = P (x), = 0,

invertibilni element je

−P (x): P (x) + = + P (x) = 0, =

−P (x),

komutativnost (P + Q)(x) = P (x) + Q(x) = Q(x) + P (x) = [Q + P ](x)

(P, ·) je komutativni monoid:

zatvorenost: mnozenjem dvaju polinoma dobijemo opet polinom,

58



asocijativnost: [P ·Q](x)·R(x) = [P (x)·Q(x)]·R(x) = P (x)·[Q(x)·R(x)] =

P (x) · [Q · R](x),neutralni element je e(x) = 1, P (x) · e(x) = e(x) · P (x) = P (x),

invertibilni element ne postoji: P (x)Q(x) = e(x), f (x) = 1g(x)

, za f (x) =

x, g(x) = 1x

/∈ P,

komutativnost (P · Q)(x) = P (x) · Q(x) = Q(x) · P (x) = [Q · P ](x)

(P, +, ·) je komutativni prsten s jedinicom:

distributivnost mnozenja prema dijeljenju:

[P + Q](x) · R(x) = P (x)R(x) + Q(x)R(x) = (P · R)(x) + (Q · R)(x).

Teorem 18.3. Osnovni teorem algebre.

Svaki polinom s kompleksnim koeficijentima i st(P ) ≥ 1 ima barem jednu nul-tocku z 0 ∈ C.

Dokaz. Neka je zadan polinom f (z ) = anz n+an−1z n−1+...+a1z +a0, stupnjast(f ) ≥ 1, ai ∈ C, i = 0, 1,...,n. Pretpostavimo da je polinom f (z ) normiran,tj. an = 1, pa je

f (z ) = z n(1 + an−1z

+ ... + a0z )

|f (z )

| ≥ |z

|n(1 + |an−1|

z + ... + |a0|

z )

Neka je µ = inf z∈C |f (z )|, pa ∃R > 0 takav da je |z | > R gdje je |f (z )| >max1, 2µ, pa zbog definicije infimuma: ∃(z k) u |z | ≤ R takav da je 0 <|f (z k)| − µ < 1

k, k ∈ N

Pokazimo da postoji u C takva tocka z 0 da je f (z 0) = µ.

Neka je z k = xk+iyk, k ∈ N, max|xk|, |yk| ≤ |z k| ≤ R. Nizovi (xk) i (yk)su omedeni pa imaju konvergentan podniz redom: (xkl) i (ykl), z kl = xkl +iykl

je konvergentan niz kompleksnih brojeva ciji je limes: liml→∞

z kl = liml→∞

xkl +

i liml→∞

ykl = x0 + iy0 = z 0.

Stavimo da (z k) ide u z 0, tj. |z k| → |z 0| za k → ∞ slijedi da je |z 0| ≤ R.f (z ) je neprekidna u z 0 ∈ C pa je lim

k→∞f (z k) = f (z 0) te je |f (z 0)| =

limk→∞

|f (z k)| = µ.

59



Dokazimo da je µ = 0, neka je µ > 0, znamo da je f (z 0) = 0 slijedi da je

g(z ) = f (z+z0)

f (z0) polinom stupnja n i da je g(0) = 1. Kako u z 0 dostize infimumod |f (z )| pa je |g(z )| ≥ 1. Zbog g(0) = 1, g(z ) = 1+bkz k+bk+1z k+1+...+bnz n,bk = 0, 1 ≤ k ≤ n.

Neka je bk = ρeiϕ i ϕ = π−ψk

, tada je bk(eiϕ)k = ρeiψei(πψ) = ρeiπ =ρ · (−1) = −|bk|.

Neka je z = reiϕ: |g(z )| = |g(reiϕ)| ≤ |1+bkz k|+(|bk+1z k+1|+...+|bnz n|) =(1−rk|bk|)+rk+1(|bk+1|+...+|bn|rn−k−1) = 1−rk(|bk|−r|bk+1|−...−rn−k|bn|) <1

Sada imamo dvije tvrdnje: |g(z )| < 1 i g(0) = 1 koje su u kontradikciji,pa je µ = 0 te

|f (z 0)

| = 0 pa je i f (z 0) = 0, odnosno z 0 = 0.

Odnosno:

Svaki polinom stupnja n s koeficijentima u polju C ima n nul-tocaka.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno: P n(z ) = 0, za ∀z ∈ C.

Promatramo funkciju f (z ) = 1P n(z)

koja je holomorfna (jer je diferencija-

bilna na nekoj otvorenoj okolini tocke z) na cijelom C.

Ako |z | → ∞ tada f (z ) → 0, pa je f ogranicena. Zbog Louvillevogteorema, holomorfna i ogranicena funkcija je konstanta, pa je onda i polinom

P n(z ) konstanta, a zbog definicije polinoma to je u kontradikciji s an = 0 papostoji nul-tocka pa je P n(z ) = (z − z 0)P n−1(z ).

Ovaj postupak ponavljamo n-1 puta i dobijemo da polinom P n ima nnul-tocaka.

Dokaz. P n(z ) = anz n + ... + a1z + a0, an = 0,

P n(z ) = f (z ) + ig(z ),

f (z ) = anz n (anz n = 0 ima ih n),

g(z ) = an−1z n−1 + ... + a1z + a0,

Bilo koji R uzeli obuhvaca tocku 0 te nam mora vrijediti:

|g(z )| ≤ |f (z )|,| g(z)f (z)

| ≤ |an−1||an| · 1

R + ... + |a1|

|an| · 1Rn < 1,

60



R > 1, R > 1n

M , gdje je M = sup |an−1||an| ,..., |a1||an| , |a0||an|, pa zbog Rouche-

ovog teorema (za svake dvije funkcije koje su analiticke (mogu se prikazatiredom potencija) na konturi i unutar konture ako za svaku tocku konturevrijedi |g(z )| < |f (z )| onda i f i f + g imaju jednak broj nul-tocaka unutarkonture) f i f + g = P n(z ) imaju unutar kruga K (0, R) n nul-tocaka.

Teorem 18.4. Nul-tocke sa cjelobrojnim koeficijentima I.

Neka je f (x) = anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0, gdje su ai ∈ Z, i = 0, 1,...n.Ako je α ∈ Z nul-tocka polinoma f (x) tada α|a0.

Dokaz. Neka je α nul-tocka:

f (α) = anαn + an−1αn−1 + ... + a1α + a0 = 0,anαn + an−1αn−1 + ... + a1α = −a0

α (anαn−1 + an−1αn−2 + ... + a1) ∈Z

= −a0,

α i a0 su cijeli brojevi pa je i izraz kojeg mnozi α cijeli broj pa slijedi da α|a0.

Teorem 18.5. Nul-tocke sa cjelobrojnim koeficijentima II.

Neka je f (x) = anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0, gdje su ai

∈ Z, i = 0, 1,...n.

Ako je α = pq ∈ Q nul-tocka polinoma f (x) tada p|a0 i q |an.

Dokaz. Neka su p i q relativno prosti tj. m( p, q ) = 1:

an( pq

)n + an−1( pq

)n−1 + ... + a1( pq

) + a0 = 0/q n

an pn + an−1 p

n−1q + ... + a1 pq n−1 + a0q n = 0

p (an pn−1 + an−1 p

n−2q + ... + a1q n−1) ∈Z

= −a0q n, pa p|a0

an pn =

−q (an−1 p

n−1 + ... + a1 pq n−2 + a0q n−1) ∈Z

, pa q

|an,

pa p|a0 ∧ q |an.

61



19 Prosti brojevi.

Definicija 97. Prost broj.

Prirodni broj p > 1 je prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Prirodni broj a > 1 je slozen ako nije prost.

Teorem 19.1. Faktorizacija prostog broja.

Svaki prirodni broj n > 1 moze se prikazati kao umnozak prostih brojeva s jednim ili vise faktora.

Dokaz. Postojanje faktorizacije.

Neka je M = n ∈ N|n = p1 · p2 · ... · pkBaza. Za n > 1, n = 2, 2 je prost broj.

Pretpostavka. Neka je n > 2 i neka vrijedi tvrdnja teorema za svakiprirodni broj takav da je 2 ≤ m < n

Korak. Dokazimo da vrijedi to za svaki prirodni broj n. Ako je taj brojprost, dokaz je gotov, ako je slozen tada n = n1 · n2, n1, n2 ∈ N i vrijedi1 < n1 < n i 1 < n2 < n, koristenjem pretpostavke brojevi n1 i n2 se moguzapisati kao umnozak prostih brojeva, pa tvrdnja teorema vrijedi za svakiprirodni broj n pa je M = N.

Napomena 29. 1. Posljedica teorema (kanonski rastav na proste fak-tore):

n = pα11 · pα2

2 · ... · pαkk =

ni=1

pαii

p1, p2,...,pn, pi = p j , i = j, αi ∈ N, i = 1, 2,...,n.

Primjer 19.1. 120 = 23 · 3 · 5.

2. Ako je p prost broj i p|ab tada p|a ∧ p|b.

3. (Generalizacija prethodne tvrdnje): Ako p

|a1a2...an; a1, a2, ...an

∈ Z,

tada p dijeli barem jedan faktor ai.

Teorem 19.2. Fundamentalani teorem aritmetike.

Faktorizacija svakog prirodnog broja n > 1 na proste faktore jedinstveno je do na poredak prostih faktora.

62



Dokaz. Jedinstvenost faktorizacije prirodnog broja.

Pretpostavimo da postoje dvije faktorizacije te nakon sto su ostali prostifaktori imamo: p1 · p2 · ... · pk = q 1 · q 2 · ... · q s i vrijedi pi = q j za ∀i, j. Akovrijedi ova jednakost onda zbog tvrdnje (2) u prethodnoj napomeni p1 dijelibarem jedan q i, i = 1, 2,...,s pa je p1 = q j za neki j ∈ 1, 2,...s sto je ukontradikciji s pi = q j, pa je faktorizacija prirodnog broja n jedinstvena.

Zapis:

a = p

pα( p)

63



20 Osnovne trigonometrijske funkcije.

U funkciji f (x) = a sin(bx + c), a je jacina, b je visina, a c je pocetna fazatitraja. Duljina titraja je T = 2π

b .

Funkcija sinus.

f (x) = sin x, D(f ) = R, I m(f ) = [−1, 1], x0 = kπ, ∀k ∈ Z. T = 2π, pa je sin(x + 2π) = sinx, ∀x ∈ R. Graf funkcije se zove sinusoida.

Funkcija kosinus.

f (x) = cos x, D(f ) = R, I m(f ) = [−1, 1], x0 = π2

+ kπ, ∀k ∈ Z. T = 2π,pa je cos(x + 2π) = cos x, ∀x ∈ R. Graf funkcije se zove kosinusoida.

Funkcija tangens.

f (x) = tgx = sinxcosx

, cosx = 0, ∀x = π2

+ kπ, k ∈ Z, D(f ) = ∪k∈Z,

−π2 +kπ,

π2 +kπ, I m(f ) = R, x0 = kπ, ∀k ∈ Z. T = π, pa je tg(x+π) = tgx,∀x ∈ D(f ) ⊆ R. Graf funkcije se zove tangesoida.

64



Funkcija kotangens.

f (x) = ctgx = cosxsinx

, sinsx = 0, ∀x = kπ, k ∈ Z, D(f ) = ∪k∈Z, kπ,π +kπ, I m(f ) = R, x0 = π

2 + kπ , ∀k ∈ Z. T = π, pa je ctg(x + π) = ctgx,

∀x ∈ D(f ) = R. Graf funkcije se zove kotangesoida.

Teorem 20.1. Adicijski teorem.

Vrijedi:

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ,

cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β ,

tg(α ± β ) = tgα±tgβ1∓tgαtgβ

, ctg(α ± β ) = ctgαctgβ∓1ctgα±ctgβ

.

65



Dokaz. |OB| = 1, sin β = |AB||OB| = |AB|, cos β = |OA|

|OB| = |OA|, sin(α + β ) =

|BD| = |BC | + |CD| = |BC | + |AE |, cos α = |BC ||AB| = |BC |

sinβ pa dobijemo

cos α sin β = |BC |, sin α = |AE |cosβ

pa dobijemo sin α cos β = |AE |. Za sin(α +

β ) = sin α cos β + cos α sin β , a za sin(α

− β ) = sin α cos β

− cos α sin β , je

projekcija kuta β s obzirom na x-os.

cos(α + β ) = |OD||OB| = |OD|, |OD| = |OE | − |ED| = |OE | − |CA|, cos α =

|OE |cosβ

, sin α = |CA|sinβ

, pa je cos(α + β ) = sin α sin β −cos α cos β i projekcija kuta

β , cos(α − β ) = sin α sin β + cos α cos β .

tg(α ± β ) = sin(α±β)cos(α±β)

=...raspisemo po adicijskim formulama za sinus i

kosinus i podijelimo brojnik i nazivnik s cos α cos β (analogno za ctg; dijelimoizraz sa sin α sin β ).

Definicija 98. Sredisnji kut.

Kut ciji je vrh u sredistu kruznice zovemo sredisnjim kutem .

66



Definicija 99. Obodni kut.

Kut ciji vrh se nalazi na kruznici i ciji krakovi sijeku kruznicu zovemoobodnim kutem .

Teorem 20.2. Talesov teorem o obodnom kutu nad promjerom kruznice.

Ako su A, B i C tocke na kruznici gdje su A i C promjer kruga tada je ∠ABC pravi. Odnosno: obodni kut nad promjerom kruznice je pravi.

Teorem 20.3. Talesov teorem o obodnom kutu.

Obodni kutevi nad istim lukom su jednaki.

Teorem 20.4. Poucak o sinusima.

Omjer stranice trokuta i sinusa nasuprotnog kuta jednak je za sve stranice trokuta i jednak je promjeru kruznice opisane trokutu:

a

sin α

= b

sin β

= c

sin γ

= 2R.

67



Dokaz. γ = γ (obodni kutevi nad istim lukom su jednaki), pa je sin γ =

sin γ = |AB||AC | =

|AB|2R

i slijedi:

c = |AB| = 2R sin γ ,b = |AC | = 2R sin β ,

a = |BC | = 2R sin α.

Teorem 20.5. Poucak o kosinusu.

Neka je zadan tupokutan trokut. Tada za svaku stranicu vrijedi:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α,

b2 = a2 + c2 − 2bc cos β ,

c2 = a2 + b2 − 2bc cos γ .

Dokaz. a2 = |BB |2 + |BC |2 = (|AB|− |AB|)2 + (b sin α)2 = (b cos α − c)2 +(b sin α)2, sredimo izraz i slijedi tvrdnja iz teorema (analogno za ostale).

Napomena 30. Pitagorin poucak je specijalan slucaj poucka o kosinusu za α = 90.

68



21 Razni oblici jednadzbe pravca.

1. Implicitna.Ax + By + C = 0,

A,B,C ∈ R i barem jedan od A ili B = 0.

By = −Ax − C/ : B

y = −AB

x − C B

i dobijemo:

2. Eksplicitna.y = kx + l,

gdje je k koeficijent smjera, a l odsjecak na y-osi.

3. Jednadzba pravca kroz jednu tocku.

y − y1 = k(x − x1),

odredena je jednom tockom T 1(x1, y1) i koeficijentom smjera k koji jetangens kuta koji zatvara pravac s x-osi.

4. Jednadzba pravca kroz dvije tocke.

T 1(x1, y1), T 2(x2, y2), pa oduzmemo y1 = kx1 + l i y2 = kx2 + l pa jey1

−y2 = k(x1

−x2) tj. y1−y2

x1−x2= k = tgα (α je kut koji zatvara pravac

s x-osi), pa kada uvrstimo u y − y1 = k(x − x1):

y − y1 = y1 − y2x1 − x2

(x − x1)

kroz dvije tocke. Ako podijelimo tu jednadzbu s y1 − y2 dobijemo:

69



5. Kanonski oblik.

x − x1

x1 − x2=

y − y1

y1 − y2.

Ako stavimo da je x1 − x2 = a i y1 − y2 = b dobijemo:

6. Parametarski oblik.

x − x1

a =

y − y1b

= t

odnosno:

x = x1 + aty = y1 + bt

7. Segmentni oblik.

y = kx + l

−kx + y = l/ : lx−lk

+ yl = 1 gdje su −l

k = a i l = b odsjecci na osima. tj.

x

a +

y

b = 1

8. Normalni ili Hesseov oblik.

70



Specijalna vrsta implicitnog oblika.

sin ϕ1 = yr1 , cos ϕ2 = rr1 , cos ϕ1 = xr1 , pa jecos ϕ2 = cos(ϕ − ϕ1) = cos ϕ cos ϕ1 + sin ϕ sin ϕ1, uvrstimo i sredimo idobijemo:

x cos ϕ + y sin ϕ − r = 0

9. Veza normalnog i implicitnog oblika.

Ax + By + C = 0

x cos ϕ + y sin ϕ − r = 0

Koeficijenti moraju biti proprocionalni da bi se radilo o istoj jednadzbipravca pa je:cosϕA

= sinϕB

= −rC

= k

cos ϕ = kA/2

sin ϕ = kB/2

+

−r = kC

pa je 1 = k2(A2+B2) tj k = ± 1√ A2+B2 , gdje je k normirajuci koeficijent ,

podijelimo s k implicitnu jednadzbu i dobijemo:

Ax

±√ A2 + B2

+ By

±√ A2 + B2

+ C

±√ A2 + B2

= 0

,

gdje za C = 0 predznak korijena suprotan je od predznaka od C , a zaC = 0 predznak korijena je jednak predznaku od B.

10. Vektorski oblik.

Skup [a] = ta|t ∈ R se zove smjer odreden vektorom a ∈ R2, gdje jea = 0. Pravac p odreden tockom T i smjerom [a] je skup p = X ∈

R

2

| T X ∈ [a], pa je vektorska jednadzba pravca: p = rT + [a] gdje jerT radij-vektor tocke T .

71



22 Konike.

Definicija 100. Konike.

Skup tocaka ravnine za koju je omjer udaljenosti od fiksne tocke do fiks-nog pravca konstantan. Fiksnu tocku zovemo zaristem ili fokusom, a pravac ravnalicom ili direktrisom. Omjer udaljenosti zovemo numerickim ekscentri-citetom koji je za svaku koniku razlicit:

kruznica: ε = 0,

elipsa: 0 < ε < 1,

parabola: ε = 1,

hiperbola: ε > 1.

Kruznica.

Neka je zadana kruznica k(S, r), sa sredistem S = ( p, q ) i polumjerom r =d(S, T ). Jednadzbu kruznice dobijemo koristeci formulu za udaljenost izmedudvije tocke:

(x − p)2 + (y − q )2 = |T S |2 = r2.

Napomena 31. Svaka tocka kruznice zadovoljava ovu jednakost.

Za S (0, 0) imamo jednadzbu sredisnje ili centralne kruznice:

x2 + y2 = r2.

Napomena 32. Svaka kruznica je odredena jednoznacno trima nekolinear-nim tockama.

72



Pravac i kruznica.

p...y = kx + l,k...(x − p)2 + (y − q )2 = r2.

Pravac i kruznica imaju:

1. dvije tocke zajednicke ako je udaljenost S od p manja od njezinogpolumjera, tj. d(S, p) < r,

2. jednu tocku zajednicku ako je udaljenost S od p jednaka polumjeru, tj.d(S, p) = r,

3. niti jednu tocku za jednicku ako je udaljenost S od p veca od polumjera,tj. d(S, p) > r.

Uvjet tangencijalnosti.

(q − kp − l)2 = r2(1 + k2), za p = q = 0 je l2 = r2(1 + k2).

Jednadzba tangente.

(x − p)(x1 − p) + (y − q )(y1 − q ) = r2 u T (x1, y1).

Kut izmedu kruznica.

Definiran je samo kada se kruznice sijeku, a radi se o kutu izmedu tangentina te kruznice u sjecistima tih kruznica:

d(S 1, S 2)2 = r21 + r22 − 2r1r2 cos α, cos β = cos(π − α) = −cosα.

73



Elipsa.

Skup tocaka u ravnini kojima je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih tocakastalan i iznosi 2a. Te fiskne tocke su fokusi parabole.

e2 = a2 − b2, e je linearni ekscentricitet.

F 1(−e, 0), F 2(e, 0) su fokusi i vrijedi: d(T, F 1) = r1 =

(x + e)2 + y2,

d(T, F 2) = r2 =

(x − e)2 + y2 i r1 + r2 = 2a, pa je: (x + e)2 + y2 = 2a +

(x − e)2 + y2/2...kvadriramo i sredimo,

ex = a2 − a

(x − e)2 + y2,

ex−

a2 = − (x

−e)2 + y2/2...kvadriramo i sredimo,

x2b2 + a2y2 = a2b2/ : a2b2 i dobijemo:

x2

a2 +

y2

b2 = 1,

osnu jednadzbu elipse.


x2b2 + a2y2 = a2b2/ : a2b2,

y = kx + l,

b2x2 + a2(kx + l)2 = a2b2,

(b2 + a2k2)x2 + 2a2klx + (a2l2 − a2b2) = 0, treba biti zadovoljen uvjetD = 0, pa kada uvrstimo u b2−4ac = 0 dobijemo da je uvjet tangencijalnosti:b2 + a2k2 = l2, a jednadzba tangente:

t...yy1a2 + xx1b2 = a2b2 u T (x1, y1).

74



Direktrise elipse.

Vrijedi d(T 1,F 1)d(T 1,d1)

= d(T 2,F 2)d(T 2,d2)

= aa+µ

= a−eµ

, pa je µ = a(a−e)e

.

Numericki ekscentricitet je: ε = d(T 2,F 2)d(T 2,d2)

= ea

.

c = a + µ,

direktrise elipse su: x = ±c = ±(a + µ) = ±(a + a2−aee

) = ±a2

e = ±a

ε.

75



Parabola.

d...x = − p2

, p > 0, d(T,F )d(T,d)

= 1, pa dobijemo: ( p2 − x)2 + y2 = p

2 + x/2 i nakon kvadriranja i sredivanja dobijemo osnu jednadzbu parabole:

y2 = 2 px(x2 = 2 py).


y2

= 2 px,y = kx + l,

analogno kao i za elipsu...dobijemo p = 2kl, a jednadzba tangente:

t...yy1 = p(x + x1) u T (x1, y1) u T (x1, y1).

Napomena 33. Promjer parabole je pravac paralelan s osi parabole. Tan-genta i normala u T (x1, y1) simetrale su kutova izmedu F T i promjera kroz tocku T . Os parabole je okomica na direktrisu kroz fokus parabole.

76



Hiperbola.

Skup tocaka ravnine cija je razlika udaljenosti od dviju fiksnih tocaka kons-tanta 2a. Te fiksne tocke se zovu fokusi.

Vrijedi:

d(T 1, F 1) − d(T 1, F 2) = 2a,

(x + e)2 + y2

− (x

−e)2 + y2 = 2a/2,

ex − a2 = a

(x − e)2 + y2/2,

x2

a2 − y2

e2−a2 = 1, tj. dobijemo osnu jednadnzbu hiperbole:

x2

a2 − y2

b2 = 1.

Asimptote hiperbole.

y = ± ba

x.

77



Direktrise hiperbole.

d1, d2...x = ±aε

.


k2a2

−b2 = l2, a tangenta t...yy1a2

−xx1b2 = a2b2 u T (x1, y1).

78



23 Cetiri osobite tocke trokuta.

Definicija 101. Konveksan skup.

Neka je S skup tocaka. Ako su P = Q, P, Q ∈ S i P Q ∈ S tada je S konveksan skup . Inace je konkavan.

Definicija 102. Kolinearne tocke.

Ako bilo koje tri tocke pripadaju pravcu odreden s dvije tocke tada kazemoda su te tocke kolinearne. Inace su nekolinearne.

Definicija 103. Trokut.

Najmanji konveksan skup koji sadrzi tri nekolinearne tocke zovemo tro-kutom .

Definicija 104. Tezisnica.

Duzina koja spaja vrhove trokuta s polovistima nasuprotnih stranica.

Napomena 34. Svaka tezisnica dijeli trokut na dva trokuta jednakih povrsina,a sve tezisnice dijele trokut na sest trokuta jednakih povrsina.

Definicija 105. Teziste.

Tocka u kojoj se sijeku sve tezisnice, a dijeli tezisnicu u omjeru 2 : 1promatrajuci od vrha:

|AT | : |T D| = |BT | : |T E | = |CT | : |T F | = 2 : 1

Definicija 106. Simetrala polovista stranica.

Skup tocaka ravnine jednako udaljen od oba kraja duzine.

79



Definicija 107. Sjeciste simetrala stranica.

Simetrale polovista stranica se sijeku u jednoj tocki koja je srediste opisane kruznice trokuta.

Definicija 108. Simetrala polovista kutova.

Skup tocaka ravnine jednako udaljen od oba kraka kuta.

Definicija 109. Sjeciste simetrala kutova.

Simetrale polovista kutova se sijeku u jednoj tocki koja je srediste upisane kruznice trokuta.

Napomena 35. Srediste trokutu upisane kruznice dijeli odrezak simetrale kuta povucene iz jednog vrha, a koji se nalazi unutar trokuta, i omjer je zbroja duljina stranica kojima je taj vrh zajednicki i duljine trece stranice tj.:

|AS | : |SD| = (b + c) : a

|BS | : |SE | = (c + a) : b

|CS | : |SF | = (a + b) : c

Definicija 110. Ortocentar.

Sjeciste okomica visina trokuta povucenih na stranice trokuta iz suprotnog vrha zovemo ortocentrom .

80



Napomena 36. Udaljenost ortocentra od jednog vrha trokuta jednaka je

dvostrukoj udaljenosti sredista trokutu opisane kruznice od nasuprotne stra-nice trokuta.

81



24 Izometrije ravnine.

Izometrija je preslikavanje: f : E2 → E2, ako vrijedi:

d(f (X ), f (Y )) = d(X, Y ),

za ∀X, Y ∈ E2. Odnosno, izometrija je preslikavanje koje cuva udaljenost.

Skup E2 = R2 = (X, Y ) : X, Y ∈ R2 na kojem je definirana udaljenostd: R2 × R2 → R0.

Definicija 111. Osna simetrija.

Za

∀ p

∈ E2,

∃!s p : E2

→ E2 razlicito od identitete za koju je s p(T ) =

T, ∀T ∈ p i takvu izometriju zovemo osnom simetrijom s obzirom na pravac p koji zovemo osi simetrije. Sve tocke pravca p su fiksne.

Definicija 112. Fiksna tocka.

Za tocku T ∈ E2 kazemo da je fiksna ako vrijedi da je f (T ) = T .

Napomena 37. Svojstva izometrija:

1. Svaka izometrija je bijekcija.

2. Kompozicija izometrija je opet izometrija.

3. Osnovni teorem o izometrijama: Svaka izometrija je kompozicija najvise triju osnih simetrija.

4. Skup izometrija ravnine M s obzirom na kompoziciju funkcija je grupa.

5. Svaka izometrija ravnine M bijektivno preslikava pravac u pravac.

6. Neka je f : M → M izometrija tada:

(a) Slika od AB je f (A), f (B),

(b) Slika od polupravca s pocetnom tockom u O je polupravac s pocetkom

u f (O),(c) Slika od poluravnine odredena s pravcem p je poluravnina odredena

s f ( p).

7. Neka je f : M → M izometrija tada:

82



(a) ako su A i B fiksne tada je i ∀T ∈ AB pravca fiksna tocka,

(b) ako je f (A) = B i f (B) = A onda je poloviste od AB fiksna tocka,(c) ako su A, B,C ∈ M nekolinearne tada je f identiteta iM ,

(d) ako je s p = s p tada je p = p.

8. Za svaku osnu simetriju s p s p = iM (involucija) s p nema drugih fik-snih tocaka osim osi simetrije, a poluravnine odredene s osi simetrije preslikava jednu u drugu. Specijalno: s p je bijekcija koja je jednaka svom inverzu, tj s p = s−1

p .

9. Neka su A, B ∈ M , A = B, tada ∃! p takav da je s p(A) = B.

10. Neka su A, B ∈ M , A = B, tada skup svih tocaka iz M koje su jednakoudaljene od A i B je os od p jedinstvene osne simetrije koja zamijeni mjesta A i B (taj pravac je simetrala od AB).

11. Neka su A, B ∈ M , A = B, fiksne, i f : M → M i p = AB, tada je f = iM ili f = s p.

12. Ako f, g: M → M se podudaraju u trima nekolinearnim tockama tada f = g i slijedi da je svaka izometrija ravnine potpuno odredena s tri para pridruzenih tocaka koje su nekolinearne.

13. (posljedica osnovnog teorema): Svaka izometrija je bijekcija ravnine same na sebe.

Definicija 113. Rotacija.

Rotacija s centrom O je izometrija ravnine M cija je jedina fiksna tocka O tj. f (O) = O ili je ta rotacija identiteta.

Napomena 38. Svojstva rotacije.

1. Neka su p, p ∈ M koji se sijeku u tocki O tada je rotacija r = s p s protacija sa centrom u O. Obrat: Za svaku rotaciju r: M → M s centrom u O i svakim pravcem p

∈ M kroz O

∃ p, p koji se sijeku u O

i takvi da je s p s p = r = s p s p.

2. Rotacija r oko O povlaci rotaciju r−1 oko O.

3. Skup rotacija oko O s obzirom na kompoziciju funkcija je grupa.

83



Definicija 114. Centralna simetrija ili poluokret.

Neka je O ∈ M , centralna simetrija je bijekcija sO: M → M definirana tako ako je T ∈ M , a T = sO(T ) tada je O poloviste od T T .

Napomena 39. Centralna simetrija je kompozicija s p sq s bilo kojim oko-mitim osima p i q koje prolaze kroz O. Vrijedi da je s p sq = sq s p.

Definicija 115. Translacija.

Neka je a = P Q vektor ravnine M . Translacija je funkcija ta: M → M takva da je ta(T ) = T i T T = a.

Napomena 40. Vrijedi da je ta t b = ta+ b i t 0 = iM .

84



25 Sukladnost i slicnost trokuta.

Definicija 116. Sukladnost ili kongruentnost trokuta.

Trokuti ABC i ABC su sukladni ili kongruentni ako postoji bijekcija f : A,B,C → A, B, C takva da je f (A) = A, f (B) = B i f (C ) = C i tako da je a = a, b = b, c = c i α = α, β = β i γ = γ .oznaka: ABC ∼= ABC

Napomena 41. 1. Trokuti su jednake povrsine.

2. Relacija ∼= je relacija ekvivalencije na skupu svih trokuta ravnine:

Refleksivnost: Identiteta,

Simetricnost: Po definiciji sukladnost je bijekcija, pa onda postoji i inverz koji je isto bijektivan,

Tranzitivnost: Kompozicija bijekcija je opet bijekcija.

Dva su trokuta sukladna ako:

1. (KSK): se podudaraju u jednoj stranici i dvama kutovima uz tu stra-nicu,

2. (SKS): se podudaraju u dvjema stranicama i kutu sto ga odreduju te

stranice,

3. (SSS): se podudaraju u svim trima stranicama,

4. (SSK): se podudaraju u dvjema stranicama i kutu nasuprot vecoj odtih stranica.

Definicija 117. Slicnost

Trokuti ABC i ABC su slicni ako postoji bijekcija f : A,B,C →A, B, C takva da je f (A) = A, f (B) = B i f (C ) = C , α = α, β = β

i γ = γ te aa

= bb

= cc

= k, k

∈ N

oznaka: ABC ∼ ABC

Napomena 42. 1. Kutovi trokuta su jednaki, a stranice proporcionalne,

2. Sukladnost je specifican slucaj slicnosti (1 : 1), obrat ne vrijedi,

85



3. Relacija ∼ je relacija ekvivalencije na skupu svih trokuta ravnine:

Refleksivnost: Identiteta, k = 1Simetricnost: Po definiciji sukladnost je bijekcija, pa onda postoji i inverz koji je isto bijektivan,

Tranzitivnost: Kompozicija bijekcija je opet bijekcija.

Dva su trokuta slicna ako:

1. (KKK): su svi kutovi jednaki,

2. (SSS): su sve stranice proporcionalne,

3. (SKS): su dvije stranice proporcionalne, a kutovi medu njima jednaki,

4. (SSK): su im dvije stranice proporcionalne, a kutovi nasuprot vecimstranicama se podudaraju.

86



26 Matematicka logika.

Definicija 118. Relacija logicke posljedice.

Neka je S skup formula, a F neka formula. Kazemo da formula F logicki slijedi iz skupa S u oznaci: S |= F ako za svaku interpretaciju I , za koju je I (S ) = 1, vrijedi I (F ) = 1. Relacija |= je relacija logicke posljedice.

Ako je S = A, tada A |= B zapisujemo kao A ⇒ B i kazemo da Aimplicira B.

Teorem 26.1. Teorem adekvatnosti za prirodnu dedukciju.

Neka je S skup formula i F neka formula. Ako vrijedi S

PD

F tada vrijedi

S |= F . Posebno: Svaki teorem prirodne dedukcije je valjana formula.

Dokaz. Neka je S D pripadni skup pretpostavki, a F D formula korijena (naj-manji element) stabla proizvoljnog izvoda D. Matematickom indukcijom povisini stabla (duljina najduzeg puta) dokazujemo da je S |= F .

Baza. Ako je visina od D, 1 tada se D sastoji samo od jednog cvoraS D = F D pa je S D |= F D

Pretpostavka. Neka je n ∈ N , n > 1 koji ima svojstvo da za svako stabloizvoda visine strogo manje od n vrijedi tvrdnja teorema.

Korak. Neka je stablo D visine n. Promatramo slucajeve s obzirom napravilo izvoda pomocu kojeg je dobiven korijen F D.

Promotrimo (∧I )

D D

A BF ≡ A ∧ B

Koristeci pretpostavku dobijemo S D |= A i S D |= B slijedi da je S D ∪S D = S D pa je S D |= A i S D |= B i slijedi da je S D |= F D.

(analogno za ostala prirodna pravila).Za (→ I )

87



−Ak

DB

A → B

Koristeci pretpostavku dobijemo da je S D |= B ⇒ S D ∪ A |= B ⇒S D ∪ A = S D ∪ A ⇒ S D ∪ A |= B ⇒ S D |= A → B

Za (¬I )

−Ak

D

⊥¬A

Koristeci pretpostavku dobijemo da je S D |= ⊥ ⇒ S D ∪ A |= ⊥ ⇒S D ∪ A = S D ∪ A ⇒ S D ∪ A nije ispunjiv pa je S D |= ¬A

Za (∨I )

−Ak

−Bl

D1 D2 D3

A ∨ B C C C

Koristeci pretpostavku dobijemo da je S D1 |= A ∨ B, S D2 |= C, S D3 |=C ⇒ S D1 ⊆ S D, S D2 ⊆ S D ∪ A, S D3 ⊆ S D ∪ B ⇒ S D nije ispunjiv pa jeS D |= C .

Neka je S D ispunjiv, I (S D) = 1, tada je S D1 |= A ∨ B i S D1 ⊆ S D ⇒I (A ∨ B) = 1. Neka je I (A) = 1, tada je I (S D ∪ A) = 1, S D2 ⊆ S D ∪ A iSD |= C pa je I (C) = 1

Documents

Matematika preddiplomski