Matematika Integral

Makalah matematikaMakalah matematikaMakalah matematikaMakalah matematika

““““

BAGUS GELIS PRATAMA PUTRABAGUS GELIS PRATAMA PUTRABAGUS GELIS PRATAMA PUTRABAGUS GELIS PRATAMA PUTRA

SMAN 3 SIDOARJOSMAN 3 SIDOARJOSMAN 3 SIDOARJOSMAN 3 SIDOARJO

JL. DRJL. DRJL. DRJL. DR


““““IntegralIntegralIntegralIntegral””””

Di Susun Oleh:

BAGUS GELIS PRATAMA PUTRABAGUS GELIS PRATAMA PUTRABAGUS GELIS PRATAMA PUTRABAGUS GELIS PRATAMA PUTRA

XII IPA 4 / 07

SMAN 3 SIDOARJOSMAN 3 SIDOARJOSMAN 3 SIDOARJOSMAN 3 SIDOARJO

JL. DRJL. DRJL. DRJL. DR.... WAHIDIN NO. 130WAHIDIN NO. 130WAHIDIN NO. 130WAHIDIN NO. 130

SIDOARJOSIDOARJOSIDOARJOSIDOARJO

www.sman3sda.sch.id


INTEGRAL | Matematika

2

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika tentang integral ini.

Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunya tentang integral, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber. Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.

Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudi selaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jam pelajaran maupun diluar jam pelajaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini.

Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada para pembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulis menerima berbagai saran dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Sidoarjo,November 2010

Penulis


3

DAFTAR ISI

INTEGRAL

KATA PENGANTAR ................................................................................................................... 2

DAFTAR ISI ............................................................................................................................... 3

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................................. 4

A. LATAR BELAKANG ......................................................................................................... 4

B. TUJUAN .......................................................................................................................... 4

BAB II MATERI POKOK ............................................................................................................ 5

A. PENGERTIAN INTEGRAL ............................................................................................... 5

B. INTEGRAL TAK TENTU .................................................................................................. 6

1. Penyelesaian cara biasa .............................................................................................. 7

2. Penyelesaian cara subtitusi .......................................................................................... 8

3. Integral Parsial ............................................................................................................. 8

C. Integral Tertentu ........................................................................................................... 9

D. Integral Luas Daerah .................................................................................................. 11

1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x ............................................................... 11

2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x............................................................ 12

3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X ..................... 14

4. Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva ............................................................. 15

E. Menentuka Volume Benda Putar ................................................................................... 17

1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X ...................... 17

2. Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y ....................... 18

3. Volume Benda Putar antara Dua Kurva...................................................................... 20

BAB III PARADE LATIHAN SOAL ............................................................................................ 22

A. Parade Soal ................................................................................................................... 22

B. Kunci jawaban ............................................................................................................... 27

BAB IV PENUTUP .................................................................................................................... 28

A. Rangkuman ................................................................................................................... 28

B. Rekomendasi ................................................................................................................. 31


4

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematika

ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan

penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran

dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika

secara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,

termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi,

dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan

pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan

temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-

disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan

juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu

sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi

latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral

adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu

dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral

tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan.

Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik

juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian. Dengan mengajarkan Matematika

khususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupan

sehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebih

tinggi.

B. TUJUAN

Adapun beberapa tujuan dari dibuatnya makalah Matetatika Bab Integral ini pada peserta didik adalah sebagi berikut :

1. Agar Peserta didik dapat memahami konsep intrgral tak trentu dan integral tentu. 2. Agar peserta didik dapat menghitung Integral tak tentu dan integral tentu dari fingsi

aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana. 3. Agar peserta didik dapat menggunakan Integral untuk menghitung luas daerah di bawah

kurva dan volume benda putar. 4. Membantu peserta didik dalam memahami dan menguasai materi Integral. 5. Sebagai sumber informasi tentang integral bagi para pembacanya,

BAB II MATERI POKOK

Mind Map

A. PENGERTIAN INTEGRAL

Integral dapat di artikan sebagai

menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir

bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang

integral adalah ‘ ∫ ’ . Agar lebih dapat di mengerti perhatikan pernyataan berikut :

F1(x) = x2 + 5x – 6 maka

F2(x) = x2 + 5x + 12 maka

F3(x) = x2 + 5x + maka

Pada fungsi-fungsi yang berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan / derivatif yang

sama.

Operasi dari F(x) menjadi F’(x) mer

sebaliknya dari F’(x) menjadi F(x) disebuit dengan INTEGRAL (anti turunan)

Turunan

Y Integral

PengertianCara

integral

parsial subtitusi

INTEGRAL

BAB II MATERI POKOK

PENGERTIAN INTEGRAL

Integral dapat di artikan sebagai kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan



Agar lebih dapat di mengerti perhatikan pernyataan berikut :

maka F1’(x) = 2x + 5

maka F2’(x) = 2x + 5

maka F3’(x) = 2x + 5

fungsi yang berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan / derivatif yang

Operasi dari F(x) menjadi F’(x) merupakan operasi turunan. Sedangkan untuk operasi

F(x) disebuit dengan INTEGRAL (anti turunan)

Turunan Turunan

Y’ Y” Integral Integral

Integral

biasa

aplikasi

panjang

busur

luas

volume


5

. Integral ditemukan



fungsi yang berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan / derivatif yang

upakan operasi turunan. Sedangkan untuk operasi

volume


6

B. INTEGRAL TAK TENTU

Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi

yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel),

atau batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak

tentu ini disebut integral tak tentu.

Adapun beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral :

• � = � �

• ��(�) � �(�)� � = �(�)� � �(�)�

• �� = ��

• �� = ��

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Untuk merancang aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingat

kembali turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana diperlihatkan dalam tabel berikut

Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang mempunyai sifat bahwa:

F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam table di atas, maka integral tak tentu

dari fungsi-fungsi trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut :

No F(x) F’(x) = f(x)

1 Sin x Cos x

2 Cos x -Sin x

3 Tan x Sec2x

4 Cot x -Cosec2x

5 Sec x Tan x.Secx

6 Cosec x -Cot x.Cosec x

� cos � � = sin � �

� sin � � = " cos � �

� sec$� � = tan � �

� csc$ � � = " cot �+c

� tan � csc � � = " csc � �


7

Sedangkan aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut

ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut :

Dalam penyelesaiannya integral tak tentu memiliki 3 cara penyelesaian :

1. Penyelesaian cara biasa

Secara umum:

jika ' ′ = ()(� atau dy= y’ dx maka ./ = / = /0 .1

Jadi dapat disimpulkan :

Dengan x ≠ -1 Untuk mencari integral dari fungsi trigonometri perlu diingat kembali tentang turunan fungsi

trigonometri, maka :

= sin 5� = " �6 cos 5� � 7

= cos 5� = �6 sin 5� � 7

Contoh soal :

1. √2 : � = �;: � = �

;:�� ;

:�� = 115 �5

3 � = 53 � =23 �

2. 2 �(3� " 1) = (6�$ " 2�)� = 2�? " �$ �

@ �� = 1A � 1 ��

� cos(5� � B) � = �6 sin(5� � B) �

� sin(5� � B)� = " �6 cos(5� � B) �

� sec$(5� � B)� = �6 tan(5� � B) �

� cosec$(5� � B) � = " �6 cot(5� � B) �

� tan(5� � C) sec(5� � B)� = �6 sec(5� � B) �

� cot(5� � B) csc(5� � B)� = " �6 csc(5� � B) �


8

2. Penyelesaian cara subtitusi

Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral pemisalan. Prinsip integral Subtitusi

ada 2 yaitu salah satu bagian dimisalkan dengan u ,sisanya yang lain (termasuk dx) harus

diubah dalam du.

Bentuk umumnya: D E�(�)F. �0(�) �

Misal G = �(�) dan G = �H(�)� didapat

Contoh:

1. 4� (�$ � 9)K� = L

Misal : G = �$ � 9 dan G = 2� �

Di dapat : 2 (�$ � 9)K 2� � = 2(G)$ G = �? GM � = �

? (�$ � 6)M

2. sin?� cos � � = L

Misal : G = sin � dan G = cos � �

Di dapat : sin?� cos � � = G?G = �N GN � = �

N (sinN) �

3. Integral Parsial

Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil

kali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagian

operasi Integral.

Bentuk rumus :

Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral, dengan bentuk

O .P lebih sederhana dari bentuk P .P.

@ D(G)G

@ G Q = G Q " @ Q G


9

Contoh :

1. 3� cos 2� � = L

= GQ " Q G

= (3�) R�$ sin 2�S " R�

$ sin 2�S (3 �) = ?$ � sin 2� " ?

$ sin 2� �

= ?$ � sin 2� � ?N cos 2�

2. ∫(3x + 1)cos 2x dx = ...

Diferensial Integral

3x + 1 Cos 2x

3 �$ sin 2x

0 " �NCos 2x

∫(3x + 1)cos 2x dx = 1/2(3x +1)sin 2x - (-3/4 cos 2x) + C

= 1/2(3x +1)sin 2x + 3/4 cos 2x) + C

C. Integral Tertentu

Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz.

Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann.

Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Pada

beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas

inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu.

Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu

ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta

) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.

Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan

sebagai berikut :

Jika f kontinu pada [a,b], maka )()()]([)( aFbFa

bxFdxxf

b

a

−==∫ dengan F antiturunan

sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.

u = 3x dan du = 3 dx

dv = cos 2x dan v = �$ sin

2x


10

Suatu fungsi f yang kontinu terdefinisi untuk Interval [a,b] kita bagi menjadi n bagian yang

sama dengan lebar.

Jika di dalam subinterval ke-I [xi-1, xi] dan ada, maka limit itu dapat dinyatakan dengan

yang didefinisikan sebagai integral tertentu f dari a sampai b

SIFAT :

Jika f(x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka ≥ 0

Jika f(x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ 0, maka ≤ 0

Contoh :

1. 5 " � � = E5� " �$

?T �$ F ?

T = 15 " 4 �$ = 10 �

$

2. (4� " 3)� =$�

= E2x2 – 3x)2 = { 2 (2)2 – 3(2)} – { 2(1)2 – 3(1)}

= {8-6} – {2-3} = 2�1 = 3

∫b

a

dxxf )( xfi

n

in

∆= ∑=∞→

)(1

lim ε

∫ ∫ ∫

∫∫

∫

<<+=

=

=

b

a

c

a

b

c

b

a

b

a

b

a

bcadxxfdxxfdxxf

dxxfkdxxkf

dxxf

,)()()(

)()(

0)(

∫ ∫

∫ ∫∫

−=

±=±

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfdxxf

dxxgdxxfdxxgxf

)()(

)()())()((


11

D. Integral Luas Daerah

Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperoleh

sebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana dalam Gambar 12.2.

Maka ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) mestilah lebih besar daripada setiap

anggota L. Tampaknya masuk akal untuk mendefinisikan ‘luas daerah’ di bawah

kurva y = f (x) sebagai bilangan terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L,

yakni sup L.

1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Misalkan R adalah daerah yang di batasi oleh kurva y=f(x) , garis x=a, dan raris x=b ,

dengan F(x) ≥ 0 pada [a,b] maka luas daerah R adalah sebagai berikut.


12

Contoh :

1. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x , sumbu X , garis x = 1 dan garis x = 2!

Jawab :

jadi, luasny adalah satuan luas

2. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi kurva y=x+4, sumbu x, dan sumbu y

Jawab:

= -{8-16}

= 8 SL

2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Misalnya S adalah daerah yg dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a , dan garis x = b, dengan F(x) ≤ 0 pada [a,b] maka luas daerah S seperti yg telah di bahas pada subbab sebelumnya adalah sebagai berikut


13

Contoh :

1. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis , sumbu x, garis x=4, dan

sumbu y.

Jawab:

Daerah diatas adalah daerah S, luas daerah S adalah

(2-8)

2. Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y=4-2x, sumbu X dan

garis x=4.

Jawab:


14

3.3.3.3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X)Y=F(X)Y=F(X)Y=F(X) Dan Sumbu XXXX

Misalkan T adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=c, dengan f(x)>= 0 pada [a,b] dan f(x)<=0 pada [b,c], maka luas daerah T adalah sebagai berikut:

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x, 0≤x≤2 dan sumbu x.

Jawab:

luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x,

0≤x≤2 dan sumbu x adalah :

=

=

=

=

= 4


15

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=4x-x2, sumbu X, garis x=0, dan garis

x=6!

Jawab:

L1=

L2=

Jadi, luas total adalah:

4. Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva

Luas Daerah U pada gambar diatas adalah

L(U) = Luas ABEF – Luas ABCD

ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x=a, x=b, dan y=0 sehingga

Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x=a, x=b, dan y=0

sehingga

Dengan demikian, luas daerah U adalah :


16

Contoh:

1. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Jawab:

Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih dahuli

titik poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas

atas dan batas bawhnya:

Sehingga batas-batasbnya adalah , maka luasnya adalah:

=

2. Tentukan Luas daerah yang diarsir !

Jawab: Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x

Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih dahuli titik

poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas atas

dan batas bawhnya:

3x = x 2 - 2x

x 2 - 5x = 0

x(x - 5) = 0

didapat titik potong di x = 5 dan x = 0, sehingga luasnya adalah


17

E. Menentukan Volume Benda Putar Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis :

Dengan demikian volumrnya dapat dinyatakan sebagai berikut:

A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam misalnya f(x).

Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai :

1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y =

f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=b, dengan a<b, maka

volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah

R mengelilingi sumbu X adalah :

Contoh:

1. Tentukan volum benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva

Jawab:

V = A . h


18

e

2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y=x2 dan y= x2 dan

y=x+6. Diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360°

Jawab :

2. Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y

Kita tidak hanya dapat menentukan volume benda putar dengan sebuah bidang yang mengelilingi sumbu X saja, namun dapat pula menentukan volume benda putar sebuah bidang yang diputar mengelilingi sumbu Y. Untuk Itu perhatikan daerah yang dibatasi kurva x=f(y), sumbu y, garis x=a, dan garis x=b yang diputar dengan sumbu Y sebesar 360o. Dengan cara yang sama dengan penentuan volume benda putar yang diputar mengelilngi sumbu X , maka volume benda putaryang diperoleh adalah :


19

Contoh:

1. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva y , sumbu y,

garis x=2, dan y=-1 diputar 360o terhadap sumbu x!

Jawab :

2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva ,

sumbu Y, garis y=0, dan y=2 diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360o.

Jawab :

V=

=

=

=

Jadi, volumenya adalah 4 satuan volume.


20

3. Volume Benda Putar antara Dua Kurva

Misalkan f dan g merupakan fungsi yang kontinu dan nonnegativ sedemikian sehingga untuk [a,b]. L adalah daerah yang di batasi dan garis

x=a serta x=b . Maka, bila daerah tersebut di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360o , maka volume benda yang ter jadi dapat dinyatakan dengan bentuk berikut.

Contoh :

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva dan

di putar mengelilingi sumbu X satu putaran penuh.

Jawab:

Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut.

Sehingga batas-batas daerahnya adalah dan dengan dem,ikian volume

yang dimaksud adalah:

V=

=

=

=

Jadi , volumenya adalah satuan volume


21

2. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu

x, garis x=0, dan garis x=4 diputar 360o terhadap sumbu y

Jawab: Cari Titik Potong

dan garis x=4

Substitusi x=4 ke persamaan sehingga diperoleh

Jadi, batas pengintegralannya adalah y=-1 sampai y=0.

Ubah persamaan menjadi persamaan dalam variabel y sehingga

Jadi, volumenya adalah satuan volume.


22

BAB III PARADE LATIHAN SOAL

A. Parade Soal

1. Nilai dari (3�$ " 3� � 7)$T � adalah...

a. 12

b. 16

c. 10

d. 6

e. 4

2. Jika �(�) = (�$ " 2� � 5) � dan �(0) = 5 maka �(�) =...

a. �? �? " �$ � 5� � 5

b. �? �? " 2�$ � 5� � 5

c. $? �? " 2�$ � 5� � 5

d. $? �? " �$ � 5� � 5

e. N? �? " �$ � 5� � 5

3. Jika B _ 0 dan (2� " 3)� = 12`� , maka nilai b adalah...

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

e. 6

4. Jika (1 � �)� = ab� maka nilai a adalah...

a. √3

b. √2

c. √5

d. 1

e. �$

5. Nilai dari (2 sin �c;c

d� cos �) � adalah…

a. "1 " �$ √2

b. 1 � �$ √2

c. "2 � �$ √2

d. 2 � �$ √2

e. 2 " �$ √2

6. Luas bidang yang dibatasi oleh grafik ' = 6�$ " � dan sumbu x adalah…

a. �

?M e5fG5A gG5e

b. �

h$ e5fG5A gG5e

c. �

�Ti e5fG5A gG5e

d. �

$�M e5fG5A gG5e

e. �

N?$ e5fG5A gG5e


23

7. Daerah yang bi batasi oleh kurva yan diputar mengalilingi

sumbu- sejauh 360o. Volume benda yang terjadi adalah...

a.

b.

c.

d.

e.

8. Lua daerah yang terbatas dibawah ini adalah...

a.

b.

c.

d. 2

e. 1

9. Panjang busur kurva dari sampai adalah...

a.

b.

c.

d. 16

e.

10. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu kurva , dan kurva

adalah...

a. 3

b. 36

c. 54

d. 60

e. 72


24

11. Hasil dari (cos � Sin$�)c;T � adalah...

a. �?

b. $?

c. N?

d. " �?

e. " $?

12. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva ' = �$ " 2� " 3 , garis

5� " 3' " 5 = 0, dan sumbu � adalah..

a. 6 �M e5fG5A gG5e

b. 5 �M e5fG5A gG5e

c. 4 $? e5fG5A gG5e

d. 3 $? e5fG5A gG5e

e. 2 KM e5fG5A gG5e

13. Hasil ∫ = ....2

1cos.2 xdxx

a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C

14. Nilai ∫ =+ ....)1sin(.2

dxxx

a. cos ( x2 + 1 ) + C

b. cos ( x2 + 1 ) + C

c. –½ cos ( x2 + 1 ) + C

d. ½ cos ( x2 + 1 ) + C

e. 2cos ( x2 + 1 ) + C

15. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva ' = �$ " 1 dan

sumbu k dari � = "1 sampai � = 1 dipurar mengelilingi sumbu k sejauh 360o adalah..

a. N

�K l e5fG5A QmgGn

b. i

�K l e5fG5A QmgGn

c. �M�K l e5fG5A QmgGn

d. $N�K l e5fG5A QmgGn

e. ?$�K l e5fG5A QmgGn


25

16. Nilai dari adalah...

a.

b.

c.

d.

e.

17. Daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis diputar

mengelilingi sumbu sejauh 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah..

a.

b.

c.

d.

e.

18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a. 2/3

b. 3

c. 3

15

d. 3

26

e. 9


26

19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a. 2

14

b. 6

15

c. 6

55

d. 6

113

e. 6

130

20. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.

a. 5

b. 3

27

c. 8

d. 3

19

e. 3

110


27

B. Kunci jawaban

1. B

2. A

3. D

4. A

5. B

6. D

7. C

8. D

9. B

10. B

11. C

12. B

13. A

14. C

15. C

16. B

17. D

18. D

19. C

20. D

Nb : Kunci jawaban yang tersedia tidak memiliki nilai kebenaran absolut. Untuk itu, mohon koreksinya jika ada jawaban yang salah.


28

BAB IV PENUTUP

A. Rangkuman

I. Integral tak tentu

Beberapa aturan dalam penyelesaian integral:

• � = � �

• ��(�) � �(�)� � = �(�)� � �(�)�

• �� = ��

• �� = ��

Integral trigonometri

Fungsi-fungsi integral trigonometri:

� Penyelesaian cara biasa

� cos � � = sin � �

� sin � � = " cos � �

� sec$� � = tan � �

� csc$ � � = " cot �+c

� tan � csc � � = " csc � �

� cos(5� � B) � = �6 sin(5� � B) �

� sin(5� � B)� = " �6 cos(5� � B) �

� sec$(5� � B)� = �6 tan(5� � B) �

� cosec$(5� � B) � = " �6 cot(5� � B) �

� tan(5� � C) sec(5� � B)� = �6 sec(5� � B) �

� cot(5� � B) csc(5� � B)� = " �6 csc(5� � B) �

@ �� = 1A � 1 ��


29

� Penyelesaian cara subtitusi

Misal G = �(�) dan G = �H(�)� didapat :

� Integral Parsial

Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral,

dengan bentuk O .P lebih sederhana dari bentuk P .P.

II. Integral Tertentu

1. Bentuk umum integral tertentu

@ �(�)� = D(B) " D(5)`

6

Rumus-rumus integral tertentu:

@ � �(�)� = � @ �(�)�`

6

`

6

@ (�(�) � �(�))�`

6

@ (�(�) " �(�))�`

6

@ (�(�)� = 0`

6

@ �(�)� = " @ �(�)�`

6

`

6

@ �(�)� = @ �(�)� � @ �(�)�o

`

`

6

o

6

@ D(G)G

@ G Q = G Q " @ Q G


30

� �(�)� = 2 �(�)�$T

6p6 di mana f fungsi genap

� �(�)� = 06p6 di mana f fungsi ganjil

2. Rumus Luas Daerah (L) yang terletak

a. Di atas sumbu x

q(r) = @ �(�)�`

6

b. Di bawah sumbu x

q(s) = " �(�)�`6

c. Di atas dan di bawah sumbu x

q(s) = �(�)� " �(�)�o`

`6

d. Di antara 2 kurva

q(t) = @(�(�) " �(�))�`

6

3. Volume Benda Putar (V) yang Diputar Mengelilingi

a. Sumbu x

u = l @(�(�))$�`

6

b. Sumbu y

u = l @��(')�$'`

6

c. Sumbu x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)

u (v) = l @��(�)�$`

6� " (�(�))$ �

d. Sumbu y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)

u (t) = l @��(')�$`

6' " (�('))$ '


31

B. Rekomendasi

Beberapa saran saya kepada pihak guru,siswa,sekolah terhadap pembelajaran matematika pada umumnya dan integral pada khususnya :

� Hendaknya dalam proses belajar mengajar matematika integral, lebih sering di

beri tugas. Dan hendaknya tugas yang di berikan tidak terlalu menyulitkan bagi

peserta didik. Sehingga para peserta didik bisa menyelesaikan tugas dengan

baik dan termotivasi untuk mempelajari Matematika Integral ini.

� Hendaknya dalam proses belajar mengajar pihak guru memberikan

pembelajaran yang merata bagi seluruh siswa di kelas. Dan hendaknya pihak

guru tidak hanya memperhatikan bagian sudut kelas tertentu, sehingga bagian

sudut kelas yang lainnya sering terbengkalai sehingga dalam proses

pembelajaran bagian sudut kelas tersebut tidak bisa mengikuti dengan baik. � Hendaknya dalam proses evaluasi pembelajaran tidak memberikan jenis-jenis

soal yang terlalu rumit/susah dan terkesan sangat berbeda dengan soal-soal

latihan yang sederhana dan diberikan selama proses pembelajaran. Sehingga

soal-soal evaluasi yang di berikan selama ini sulit untuk di selesaikan oleh

peserta didik.


32

Terkadang bukannya kita tidak mampu melakukan sesuatu, tapi kita hanya terlalu enggan untuk mencoba

Documents

Matematika Integral