Matematika I...Sadrzajˇ Sadrzaj:ˇ 1 Sustav linearnih jednadˇzbi Matricni zapisˇ Gaussova metoda eliminacije Operacije s retcima Esalonska formaˇ Reducirana esalonska formaˇ Algoritam

Matematika ISustav linearnih jednadzbi

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 25

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Ekvivalentnost matricnog zapisa i linearnog sustavaEsalonska forma-svodenje Gaussovom metodomOcitavanje rjesenja iz esalonske forme i broj rjesenja


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Sustav linearnih jednadzbiMatricni zapisGaussova metoda eliminacijeOperacije s retcimaEsalonska formaReducirana esalonska formaAlgoritam svodenja na esalonsku formuBroj rjesenja sustava


Sustav linearnih jednadzbi Matricni zapis

Sustav linearnih jednadzbi

x1 −2x2 +x3 = 02x2 −8x3 = 8

−4x1 +5x2 +9x3 = −9

SUSTAVLINEARNIH JEDNADZBI

MATRICNI ZAPIS: 1 −2 10 2 −8−4 5 9

x1x2x3

=

08−9

A−→x =

−→b




x1 −2x2 +x3 = 02x2 −8x3 = 8

−4x1 +5x2 +9x3 = −9


MATRICNI ZAPIS: 1 −2 10 2 −8−4 5 9

x1x2x3

=

08−9

A−→x =−→b




x1 −2x2 +x3 = 02x2 −8x3 = 8

−4x1 +5x2 +9x3 = −9


MATRICNI ZAPIS: 1 −2 10 2 −8−4 5 9

x1x2x3

=

08−9

A−→x =

−→b



Matricni zapis

1 −2 1 00 2 −8 8−4 5 9 −9

PROSIRENAMATRICASUSTAVA


Sustav linearnih jednadzbi Gaussova metoda eliminacije

GAUSSOVA METODA ELIMINACIJE

x1 −2x2 +x3 = 0/4 · I + III/2x2 −8x3 = 8

−4x1 +5x2 +9x3 = −9

1 −2 1 00 2 −8 8−4 5 9 −9

x1 −2x2 +x3 = 02x2 −8x3 = 8/: 2 :/−3x2 +13x3 = −9

1 −2 1 00 2 −8 80 −3 13 −9

x1 −2x2 +x3 = 0

x2 −4x3 = 4−3x2 +13x3 = −9

1 −2 1 00 1 −4 40 −3 13 −9




x1 −2x2 +x3 = 0/4 · I + III/2x2 −8x3 = 8

−4x1 +5x2 +9x3 = −9

1 −2 1 00 2 −8 8−4 5 9 −9

x1 −2x2 +x3 = 0

2x2 −8x3 = 8/: 2 :/−3x2 +13x3 = −9

1 −2 1 00 2 −8 80 −3 13 −9

x1 −2x2 +x3 = 0x2 −4x3 = 4

−3x2 +13x3 = −9

1 −2 1 00 1 −4 40 −3 13 −9




x1 −2x2 +x3 = 0/4 · I + III/2x2 −8x3 = 8

−4x1 +5x2 +9x3 = −9

1 −2 1 00 2 −8 8−4 5 9 −9

x1 −2x2 +x3 = 0

2x2 −8x3 = 8/: 2 :/−3x2 +13x3 = −9

1 −2 1 00 2 −8 80 −3 13 −9

x1 −2x2 +x3 = 0

x2 −4x3 = 4−3x2 +13x3 = −9

1 −2 1 00 1 −4 40 −3 13 −9




x1 −2x2 +x3 = 0/4 · I + III/2x2 −8x3 = 8

−4x1 +5x2 +9x3 = −9

1 −2 1 00 2 −8 8−4 5 9 −9

x1 −2x2 +x3 = 0

2x2 −8x3 = 8/: 2 :/−3x2 +13x3 = −9

1 −2 1 00 2 −8 80 −3 13 −9

x1 −2x2 +x3 = 0

x2 −4x3 = 4/3 · II + III/−3x2 +13x3 = −9

1 −2 1 00 1 −4 40 −3 13 −9




x1 −2x2 +x3 = 0x2 −4x3 = 4

x3 = 3

1 −2 1 00 1 −4 40 0 1 3

ESALONSKA FORMA




x1 −2x2 +x3 = 0x2 −4x3 = 4

x3 = 3

1 −2 1 00 1 −4 40 0 1 3

ESALONSKA FORMA




x1 −2x2 +x3 = 0x2 −4x3 = 4

x3 = 3/4 · III + II/

1 −2 1 00 1 −4 40 0 1 3




x1 −2x2 +x3 = 0x2 −4x3 = 4

x3 = 3/4 · III + II/

1 −2 1 00 1 −4 40 0 1 3




x1 −2x2 +x3 = 0x2 = 16

x3 = 3/(−1) · III + I/

1 −2 1 00 1 0 160 0 1 3




x1 −2x2 = −3x2 = 16

x3 = 3

1 −2 0 −30 1 0 160 0 1 3




x1 −2x2 = −3x2 = 16/2 · II + I/

x3 = 3

1 −2 0 −30 1 0 160 0 1 3




x1 = 29x2 = 16

x3 = 3

1 0 0 290 1 0 160 0 1 3




x1 = 29x2 = 16

x3 = 3

1 0 0 290 1 0 160 0 1 3

REDUCIRANA ESALONSKA FORMA




x1 = 29x2 = 16

x3 = 3

1 0 0 290 1 0 160 0 1 3


Rjesenje: x1x2x3

=

29163


Sustav linearnih jednadzbi Operacije s retcima

Operacije s retcima

SKALIRANJE:MNOZENJE RETKA BROJEM(DJELJENJE JE MNOZENJE SRECIPROCNIM BROJEM)DODAVANJE:PRIBRAJANJE SKALIRANOG RETKA DRUGOM RETKUZAMJENA:ZAMJENA REDAKA

OPERACIJE SUSTAV PREVODE U EKVIVALENTAN SUSTAV TJ.SUSTAV S ISTIM RJESENJIMA


Sustav linearnih jednadzbi Esalonska forma

Esalonska forma

OPERACIJAMA SUSTAV PREVODIMO NA REDUCIRANUESALONSKU FORMU CIJA RJESENJA VIDIMO NEPOSREDNO.

ESALONSKA FORMA:

”STEPENICE” VISOKE 1 DUGE ≥ 1ISPOD STEPENICA SU NULE

� x x x x x x x x x0 0 � x x x x x x x0 0 0 � x x x x x x0 0 0 0 0 0 � x x x

� JE PIVOT=POCETAK STEPENICE


Sustav linearnih jednadzbi Reducirana esalonska forma

Reducirana esalonska forma

REDUCIRANA ESALONSKA FORMA:

PIVOTI SU 1IZNAD PIVOTA SU NULE

1 x 0 0 x x 0 x x x0 0 1 0 x x 0 x x x0 0 0 1 x x 0 x x x0 0 0 0 0 0 1 x x x


Sustav linearnih jednadzbi Reducirana esalonska forma

Zadatak 1.Koje su od matrica u esalonskoj formi?

(1)

−1 0 3 40 2 1 −10 0 4 0

(2)

1 3 4 0 20 −2 1 3 −10 0 3 2 42 0 0 −1 5

(3)[

1 0 5 10 7 3 2

](4)

2 1 1 −5 00 3 2 4 10 0 0 3 50 0 0 0 0

(5)

2 0 7 4 30 0 1 2 −30 0 −1 0 50 0 0 0 10 0 0 0 0

(6)

1 0 3 40 2 1 −10 4 3 0


Sustav linearnih jednadzbi Algoritam svodenja na esalonsku formu

Algoritam svodenja na esalonsku formu

1 SVE 0-RETKE STAVI NA DNO

2 U PRVOM NE-NUL STUPCU POSTIGNI VRH 6= 0 (TO JE PIVOT)3 PONISTI SVE ISPOD PIVOTA4 DALJE RADI S MATRICOM ISPOD PIVOTNOG RETKA

DALJNJE SVODENJE NA REDUCIRANU ESALONSKU FORMU:5 SVE PIVOTE (MNOZENJEM/DJELJENJEM) PRETVORI U 16 PONISTI SVE IZNAD PIVOTA




1 SVE 0-RETKE STAVI NA DNO2 U PRVOM NE-NUL STUPCU POSTIGNI VRH 6= 0 (TO JE PIVOT)

3 PONISTI SVE ISPOD PIVOTA4 DALJE RADI S MATRICOM ISPOD PIVOTNOG RETKA





1 SVE 0-RETKE STAVI NA DNO2 U PRVOM NE-NUL STUPCU POSTIGNI VRH 6= 0 (TO JE PIVOT)3 PONISTI SVE ISPOD PIVOTA

4 DALJE RADI S MATRICOM ISPOD PIVOTNOG RETKA





1 SVE 0-RETKE STAVI NA DNO2 U PRVOM NE-NUL STUPCU POSTIGNI VRH 6= 0 (TO JE PIVOT)3 PONISTI SVE ISPOD PIVOTA4 DALJE RADI S MATRICOM ISPOD PIVOTNOG RETKA

DALJNJE SVODENJE NA REDUCIRANU ESALONSKU FORMU:

5 SVE PIVOTE (MNOZENJEM/DJELJENJEM) PRETVORI U 16 PONISTI SVE IZNAD PIVOTA





DALJNJE SVODENJE NA REDUCIRANU ESALONSKU FORMU:5 SVE PIVOTE (MNOZENJEM/DJELJENJEM) PRETVORI U 1

6 PONISTI SVE IZNAD PIVOTA








Primjer 1.Svedite sustav na esalonsku i reduciranu esalonsku formu.

x2 −4x3 = 82x1 −3x2 +2x3 = 15x1 −8x2 +7x3 = 1



Rjesenje. 0 1 −4 82 −3 2 15 −8 7 1



Rjesenje. 0 1 −4 82 −3 2 15 −8 7 1

zamjena I↔ II



Rjesenje. 2 −3 2 10 1 −4 85 −8 7 1



Rjesenje. 2 −3 2 10 1 −4 85 −8 7 1

(−52) · I + III



Rjesenje. 2 −3 2 10 1 −4 80 −1

2 2 −32



Rjesenje. 2 −3 2 10 1 −4 80 −1

2 2 −32

12· II + III



Rjesenje. 2 −3 2 10 1 −4 8

0 0 052

ESALONSKA FORMA



Rjesenje. 2 −3 2 10 1 −4 8

0 0 052

12· I, 2

5· III



Rjesenje. 1 −32 1 1

20 1 −4 80 0 0 1



Rjesenje. 1 −32 1 0

0 1 −4 00 0 0 1



Rjesenje. 1 0 −5 00 1 −4 00 0 0 1



Rjesenje. 1 0 −5 00 1 −4 00 0 0 1




Zadatak 2.(a) Svedi matricu na esalonsku formu:

(1)

1 2 3 32 3 8 43 2 17 1

(2)

2 3 −2 53 1 −1 4−1 2 −1 3

(3)

1 2 3 3−2 0 1 −21 2 −1 3−1 2 12 1

(b) Matricu pod (1) svedi na reduciranu esalonsku formu.



Rjesenje.(a)

(1)

1 2 3 30 −1 2 −20 0 0 0

(2)

−1 2 −1 30 7 −4 130 0 0 −2

(3)

1 2 3 30 4 7 40 0 −4 00 0 0 0

(b)

1 0 7 −10 1 −2 20 0 0 0


Sustav linearnih jednadzbi Broj rjesenja sustava

Broj rjesenja sustava-3 mogucnosti

JEDNO RJESENJENpr.

1 0 0 −10 1 0 70 0 1 4

x1 =−1x2 = 7x3 = 4 tj . x1

x2x3

=

−174




BESKONACNO RJESENJANpr.

1 0 3 −10 1 2 70 0 0 0

x1 =−1−3tx2 = 7−2tx3 = t tj . x1

x2x3

=

−170

+ t

−3−21




NEMA RJESENJANpr.

1 0 0 −10 1 0 70 0 0 3

x1 =−1x2 = 7

0 ·x3 = 3 ⇒⇐



Zadatak 1.Iz reducirane na esalonske forme ocitaj rjesenja sustava:

(1)

1 0 0 50 1 0 −20 0 1 3

(2)

1 0 0 50 1 0 −20 0 1 0

(3)

1 0 0 30 1 0 70 0 0 1

(4) 1 0 0 5

0 1 1 −20 0 0 0

(5)

1 0 1 50 1 0 40 0 0 0

(6) 1 2 −3 4

0 0 0 00 0 0 0

(7)

1 0 2 −10 0 0 10 0 0 0



Primjer 2.Rijesite sustav. 3 −9 12 −9 6 15

3 −7 8 −5 8 90 3 −6 6 4 −5



Rjesenje. 3 −9 12 −9 6 153 −7 8 −5 8 90 3 −6 6 4 −5

(−1) · I + II



Rjesenje. 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −60 3 −6 6 4 −5



Rjesenje. 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −60 3 −6 6 4 −5

(−32) · II + III



Rjesenje. 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −60 0 0 0 1 4



Rjesenje. 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −60 0 0 0 1 4

ESALONSKAFORMA



Rjesenje. 3 −9 12 −9 6 150 2 −4 4 2 −60 0 0 0 1 4

I/3

II/2



Rjesenje. 1 −3 4 −3 2 50 1 −2 2 1 −30 0 0 0 1 4

−III+II

−2III+I



Rjesenje. 1 −3 4 −3 0 −30 1 −2 2 0 −70 0 0 0 1 4



Rjesenje. 1 −3 4 −3 0 −30 1 −2 2 0 −70 0 0 0 1 4

3II+I



Rjesenje. 1 0 −2 3 0 −240 1 −2 2 0 −70 0 0 0 1 4

REDUCIRANA ESALONSKAFORMA



Rjesenje. 1 0 −2 3 0 −240 1 −2 2 0 −70 0 0 0 1 4

x1 −2x3 +3x4 = −24

x2 −2x3 +2x4 = −7x5 = 4



Rjesenje.

x1 = 2x3−3x4−24x2 = 2x3−2x4−7x5 = 4



Rjesenje.

x1 = 2x3−3x4−24x2 = 2x3−2x4−7x5 = 4

x3, x4 su proizvoljni tj. x3 = u,x4 = v , (u,v ∈ R).Rjesenje sustava je

x1x2x3x4x5

=

2u−3v −242u−2v −7

uv4



Zadatak 2.Rijesi sustav 1 2 −1 0

−2 3 2 −71 0 −3 2

Rjesenje. x1x2x3

=

2−10




−2 3 2 −71 0 −3 2

Rjesenje. x1x2x3

=

2−10



Zadatak 3.Zadan je sustav 1 2 3 3

2 3 8 43 2 17 1

1 Je li

x1x2x3

=

−120

rjesenje ovog sustava?

2 Rijesi sustav.

Rjesenje. 1 2 32 3 83 2 17

−120

=

341

; x1

x2x3

=

−1−7t2+2t

t



Zadatak 3.Zadan je sustav 1 2 3 3

2 3 8 43 2 17 1

1 Je li

x1x2x3

=

−120

rjesenje ovog sustava?

2 Rijesi sustav.

Rjesenje. 1 2 32 3 83 2 17

−120

=

341

; x1

x2x3

=

−1−7t2+2t

t




3 1 −1 4−1 2 −1 3

Rjesenje.Sustav nema rjesenja.




3 1 −1 4−1 2 −1 3

Rjesenje.Sustav nema rjesenja.



Zadatak 5.Rijesi sustav

1 2 3 3−2 0 1 −21 2 1 3−1 2 12 1

Rjesenje. x1x2x3

=

110



Zadatak 5.Rijesi sustav

1 2 3 3−2 0 1 −21 2 1 3−1 2 12 1

Rjesenje. x1x2x3

=

110



Zadatak 6.Rijesi sustav 1 2 3 0

4 5 6 07 8 9 0

NAPOMENA: ovo je jedan HOMOGENI SUSTAV (sustav komu su sdesne strane jednadzbe sve 0) i on uvijek ima tzv. trivijalno rjesenje

Rjesenje. x1x2x3

=

t−2t

t

, t ∈ R.



Zadatak 6.Rijesi sustav 1 2 3 0

4 5 6 07 8 9 0

NAPOMENA: ovo je jedan HOMOGENI SUSTAV (sustav komu su sdesne strane jednadzbe sve 0) i on uvijek ima tzv. trivijalno rjesenje

Rjesenje. x1x2x3

=

t−2t

t

, t ∈ R.


Documents

Matematika I...Sadrzajˇ Sadrzaj:ˇ 1 Sustav linearnih jednadˇzbi Matricni zapisˇ Gaussova metoda eliminacije Operacije s retcima Esalonska formaˇ Reducirana esalonska formaˇ Algoritam