Upload
irisa
View
317
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematika i nogomet. Franka Miriam Br ü ckler Osijek, 1.6.2006. Je li nogomet glup sport?. dobra nogometna momčad ne podrazumijeva samo fizičke kvalitete, nego i ljudske kvalitete (suradnju) i inteligenciju (pitanja taktike i strategije) nogomet je zapravo igra osvajanja terena. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Matematika i nogomet
Franka Miriam BrücklerOsijek, 1.6.2006.
Je li nogomet glup sport?
• jedan od najpopularnijih sportova
• za razliku od mnogih drugih manje popularnih sportova (npr. golfa), znanstvena pozadina je slabo istražena
• dobra nogometna momčad ne podrazumijeva samo fizičke kvalitete, nego i ljudske kvalitete (suradnju) i inteligenciju (pitanja taktike i strategije)
• nogomet je zapravo igra osvajanja terena
Može li nogomet koristiti matematici?
• čest problem: zainteresirati djecu za matematičke zadatke
• aritmetika: brojanje, zbrajanje i oduzimanje (broja 1 ), uspoređivanje brojeva po veličini, račun s postocima
• geometrijski elementi nogometnog terena i lopte• vjerojatnost i statistika, teorija odlučivanja,
matematička fizika
Elementarna matematika nogometa
• 2 momčadi s po 11 igrača• 1 lopta promjera 22cm (službeno pravilo: “kuglastog
oblika, iz kože ili drugog pogodnog materijala, opsega najmanje 68 i najviše 70 centimetara, na početku utakmice mase najmanje 410 i najviše 450 grama te tlaka između 0,6 i 1,1 atmosfere” (misli se na višak tlaka u odnosu na okolinu)
• pravokutni teren• dimenzije: razlozi praktične i matematičko-fizičke
prirode
Gustoća igrača na terenu• po N igrača bez
golmana• znači: po jedinici
površine ima ih n=N/P0,0014
• prosječna udaljenost do protivnika je onda
m5,13n2
1d
• prosječno vrijeme potrebno da protivnik dotrči je
]s[N
53,9
]m[7350N
]ms[5,42
1nv2
1vd
t
21
]s[3t10N
Geometrija nogometne lopte
• kugla ili poliedar?• 12 pravilnih 5-erokuta, 20 pravilnih 6-erokuta• Buckminsterfulleren• izvorni materijal: kravlji ili svinjski mjehur
obložen kožom koji se napuhao kroz jednu rupu koja bi se na kraju zašila; unutrašnjost je zamijenjena gumenim mjehurom, a kožna vanjština zadržala se do 1960ih; no, koža upija vodu... 1980ih se prelazi na sintetske materijale i višeslojnu ovojnicu; klasični dijelovi iz kojih se šiva vanjština čine krnji ikozaedar
Tlak i skakutanje lopte• kad se lopta odbije od terena lopta se nakratko deformira• promotrimo elastičan vertikalni pad ...• rezultirajuća sila: F=pA (p = višak tlaka u lopti u odnosu na
okolinu, a on po pravilima iznosi prosječno 0,86 bara tj. 0,86105 Nm-2, A = površina dodira)
• u praksi je deformacija premala da bi imala utjecaj na unutrašnji tlak
]N[s7656,118877dspF
dsrs2A
m22,0rs
)srs2())sr(r(xA 2222
Newton i nogomet• kad se lopta odbije od zemlje, s ovisi o brzini njenog težišta
(dakle, približno središta)• stoga s možemo odrediti iz drugog Newtonovog zakona tj.
diferencijalne jednadžbe (minus jer je ovdje brzina jednaka minus derivaciji puta, O je opseg lopte, a t=0 je trenutak kad lopta dodirne teren)
smvmmaF
]cm[7,9
v]m[v107,2st
mOp
sinOpm
vs
Opssm
00
3max0
slijedi da lopta napušta teren (s=0) u nakon vremenaOpm
t
zanimljivo: trajanje dodira sa terenom (ako lopta pada vertikalno) ovisi samo o svojstvima lopte koja su zadana pravilima (t8,4 ms)!
Nije sve savršeno elastično• dolazi do gubitka kinetičke energije
(na odbijanje od podloge, ali i na savijanje vlati trave kod nogometa dolazi do većeg gubitka energije nego npr. kod sportova na tvrdoj podlozi)
• koeficijent elastičnosti e je omjer brzine poslije i prije odbijanja od podloge; na kratko šišanoj travi on iznosi oko 0,6
• kako računamo maksimalnu visinu na koju će odskočiti lopta?
002
20
21
1
20
0020
h36,0he
g2)ev(
g2v
h
g2v
hmghmv5,0
VT
A još se k tome i vrti...• čak i ako nogometaš svojim udarcem nije dodao
vrtnju lopti, ona se u pravilu nakon odbijanja počinje vrtiti – zašto? Zato što ne pada vertikalno, a postoji trenje!
I je zakretni moment, I je moment tromosti (konstantan za tijela s fiksnom raspodjelom mase), a je kutna brzina
horizontalna i vertikalna brzina: u,vkutna brzina: koeficijent trenja pri klizanju: prije sudara: indeks 0, poslije sudara: indeks 1
Odbijanje s klizanjem
000
01
v)e1()vev(
))v(v(vu
3/mr2I,rFI 2T moment) (zakretni
r2v3
)e1(uI
mru
Imr 0
01 evv
e1
1tge1
uv
tg1
1
vmFum T
grubo tlo, mali upadni kut trenje nakratko zaustavi loptu kotrljanje uz uvjet
Odbijanje s kotrljanjem
11 ru
001 ur5
352
ur2
3
01
001
evv5r2
u53
u
0
0
1
1
vr
e52
tge53
uv
tg
Leti, leti... lopta• ako nema otpora zraka ni vjetra kosi
hitac putanja je parabola, a jednadžbe gibanja su
mgvm
0um
• ako ima otpora zraka (iznos sile otpora: FZ), bez vjetra
mgsinFvm
cosFum
Z
Z
• ako ima i vjetra brzine (wx,0,wz),gdje je z-smjer okomit na ravninu putanje bez vjetra:
rz
r
rx
v)ww(kw
gkvvv
v)wu(ku
011,0mA
c5,0k
)ww(v)wu(v
R
2z
22x
2r
u
v
x
z
y0.5 1 1.5 2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 1 1.5 2
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
0.5 1 1.5 2
-12.5
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
w(t)
v(t)
u(t) rješenja prethodnih diferencijalnih jednadžbi(rješive numerički, ne i analitički) – iznosi komponenti brzine u ovisnosti o vremenu
0x
t
ox
z uw
utw
twzwz
0x
xz
xzzx
x
z
rz
r
rx
uwuw
1ww0)0(w
)wu(Cww.constw,w
wuww
dudw
v)ww(kw
gkvvv
v)wu(ku
0x
0xzz uw
Tudwd
odstupanje u stranu na kraju leta:
Kako uloviti loptu?• uvjet da “plavi” protivnik presiječe
put lopti koju je uputio “crveni” je očito y/ux/v, gdje je u brzina “plavog”, a v brzina lopte
• kosinusov poučak • ako gledamo samo najkreće vrijeme potrebno plavom imamo
kvadratnu jednadžbu
• nužan uvjet dobivamo zahtjevom da diskriminanta bude nenegativna:
• ako prema lopti trči još i crveni suigrač (po pravcu kojim se kreće lopta) možemo promatrati koji je uvjet da on stigne do lopte prije plavog
)cos(xd2dxy 222
)cos(xd2dxvxu 222
22
)sin(vu
)(sin
vu
)cos(
vu
1
dD 2
2
2
2
2
suigrač ako želi spriječiti presjecanje puta lopte mora do neke točke, koja je prvom igraču bliža od najbliže A na kojoj protivnik presijeca put lopti, doći u vremenu koje ne premašuje ono potrebno protivniku da dođe do A
u)cos(xd2dx
uy
t22
P
(x=ona udaljenost koja daje protivniku najraniju mogućnost presijecanja)
wxD
tC
(D=početni razmak između oba
crvena, w=brzina crvenog suigrača)
)cos(xd2dxw)xD(u 22
2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x
t
mogućnost presretanja pri kutevima od 30 (plavo) i 15 (sivo), brzini protivnika 4m/s, brzini
lopte 9m/s i početnoj udaljenosti 10m
Tko će dati gol?
promatranjem prethodnih utakmica utvrdili smo da jedna momčad daje
u prosjeku r1, a druga r2 golova na sat
uzmimo da prednost domaćeg terena neznatno utječe na ratu golova
neka je r1>r2 pa označimo s R=r1:r2
vjerojatnost da će prva momčad dati idući gol je p=R/(R+1), a da će ga dati
druga je 1-p=1/(R-1)ako je dosad palo n golova, vj. da ih je sve dala
prva momčad je pn, a da ih je sve dala druga je (1-p)n
vjerojatnost da je prva dala k od n golova knn )p1(p
k
n
Vjerojatnost n golova u vremenu t
• ako je momčad dosad postizala u prosjeku r golova na sat, onda je vjerojatnost da će ta momčad u vremenu t [h] dati n golova jednaka
rtn
e!n)rt(
p
30 60
0.2
0.4
0.6
0.8
t
p
n=2
n=1
n=3n=4
n=6
n=0
Vjerojatnost davanja zadanog broja golova tokom utakmice za tim koj i u prosjeku daje 1 gol na sat
Vjerojatnost rezultata n:m• recimo da jača momčad daje jedan gol na sat
(r1=1), a slabija 1 gol po utakmici (r2=0,67)
t)rr(m
2n
1m,n
21e!m!n
)tr()tr(p
Rezultat Vjerojatnost Rezultat Vjerojatnost1:0 12,3% 3:0 4,6%0:1 8,2% 2:1 9,2%2:0 9,2% 1:2 6,2%1:1 12,3% 0:3 1,4%0:2 4,1% 0:0 8,2%
Koja je vjerojatnost davanja prvog gola u
ostatku utakmice?• vjerojatnost da momčad s prosječnom ratom od r1 golova na sat u trenutku t još nije dala gol je p0=e-rt
• stoga je vjerojatnost da u tom vremenu nijedna momčad nije dala gol jednaka p00=e-(r1+r2)t
• vjerojatnost da prva momčad dade gol u vremenu dt je r1dt, dakle je vjerojatnost da ako još nije pao gol ta momčad u preostalom vremenu dade gol jednaka
t)rr(
21
11
1t)rr(
1
21
21
e1rr
rp
dtredp
vjerojatnost raste s vremenom!
-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
t
%
vjerojatnost da će momčadkoja daje 1 gol na sat dati gol u ostatku utakmice akoigra protiv momčadi koja daje1 gol po utakmici
Teorem: Nogomet je najzanimljiviji sport.• recimo da se susreću dvije momčadi od kojih za bolju kažemo
da je bolja po tome što je u zadnjih godinu dana dala dvostruko više golova od slabije
• ako u utakmici padne samo 1 gol, vjerojatnost da je pobijedila slabija momčad je 33,33%; u slučaju da padnu 3 gola, vjerojatnost pobjede slabijeg (rezultati 3:0 ili 2:1 za njih) je (1/3)3+3(2/3)(1/3)2=25,92%, u slučaju 5 golova vjerojatnost pobjede slabijeg je 20,99% itd.
• u slučaju 2 gola slabiji pobjeđuje s vjerojatnosti (1/3)2=11,11%; u slučaju 4 gola slabiji pobjeđuje s vjerojatnosti (1/3)4+4(2/3)(1/3)3=11,11%, u slučaju 6 golova ta je vjerojatnost 10%, ...
vjerojatnosti da dvaput slabiji tim nije izgubio ako je u utakmici palo n golova:
http://www.rogerkaufmann.ch/dsaWC06_r.htm
Raspon bodova u tablici• raspon bodova u konačnoj tablici nekog prvenstva
ovisi djelomično o slučajnosti, a djelomično o snazi momčadi u ligi
• standardna devijacija:• hipotetska liga s momčadima jednake snage
prosječno 11/8 bodova svake momčadi po utakmici te se dobiva
• ako N=38 (liga s 20 momčadi) dobije se standardna devijacija od otprilike 8,1 bodova
• realno: veća (niža i šira krivulja funkcije gustoće)
N32,1
n
2nn )xx(
N1
Literatura• A. Beutelspacher In Mathe war ich immer schlecht, Vieweg, 2000.• P. Maidment Do The Math: Soccer More Exciting Than Football,
http://www.forbes.com/2006/01/04/soccer-football-baseball-cx_pm_0104soccer.html
• J. Richter Erste Bundesliga mathematisch, http://www.zahlensalat.de/_bl.htm • L. E. Sadovskiĭ, A. L. Sadovskiĭ Mathematics and Sports, AMS, 1993.• J. Wesson Fußball – Wissenschaft mit Kick, Elsevier, 2006.• D. Zeillinger Wie wählt man eine Fußballmanschaft? Spektrum der
Wissenschaft Online http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/index.php?action=rubrik_detail&artikel_id=6991
• The Math & Physics of Soccer, http://www.oceansiderevolution.com/EINSTEIN.HTM
• Fachhochschule Stuttgart, Hochschule für Technik: World Mathematical Year – Ideen und Anregungen zur Umsetzung an Schulen, Stuttgart, 1999.
• The Official Soccer Site for Officials, Referees, Players, and Fans – Laws of the Game, http://www.drblank.com/slaws.htm
• Dynamische Sport-Analyse (DSA) http://www.rogerkaufmann.ch/dsa.htm