Matematika i nogometFranka Miriam Brückler

Osijek, 1.6.2006.

Je li nogomet glup sport?

• jedan od najpopularnijih sportova

• za razliku od mnogih drugih manje popularnih sportova (npr. golfa), znanstvena pozadina je slabo istražena

• dobra nogometna momčad ne podrazumijeva samo fizičke kvalitete, nego i ljudske kvalitete (suradnju) i inteligenciju (pitanja taktike i strategije)

• nogomet je zapravo igra osvajanja terena

Može li nogomet koristiti matematici?

• čest problem: zainteresirati djecu za matematičke zadatke

• aritmetika: brojanje, zbrajanje i oduzimanje (broja 1 ), uspoređivanje brojeva po veličini, račun s postocima

• geometrijski elementi nogometnog terena i lopte• vjerojatnost i statistika, teorija odlučivanja,

matematička fizika

Elementarna matematika nogometa

• 2 momčadi s po 11 igrača• 1 lopta promjera 22cm (službeno pravilo: “kuglastog

oblika, iz kože ili drugog pogodnog materijala, opsega najmanje 68 i najviše 70 centimetara, na početku utakmice mase najmanje 410 i najviše 450 grama te tlaka između 0,6 i 1,1 atmosfere” (misli se na višak tlaka u odnosu na okolinu)

• pravokutni teren• dimenzije: razlozi praktične i matematičko-fizičke

prirode

Gustoća igrača na terenu• po N igrača bez

golmana• znači: po jedinici

površine ima ih n=N/P0,0014

• prosječna udaljenost do protivnika je onda

m5,13n21d

• prosječno vrijeme potrebno da protivnik dotrči je

]s[N53,9

]m[7350N]ms[5,42

1nv2

1vdt

21

]s[3t10N

Geometrija nogometne lopte

• kugla ili poliedar?• 12 pravilnih 5-erokuta, 20 pravilnih 6-erokuta• Buckminsterfulleren• izvorni materijal: kravlji ili svinjski mjehur

obložen kožom koji se napuhao kroz jednu rupu koja bi se na kraju zašila; unutrašnjost je zamijenjena gumenim mjehurom, a kožna vanjština zadržala se do 1960ih; no, koža upija vodu... 1980ih se prelazi na sintetske materijale i višeslojnu ovojnicu; klasični dijelovi iz kojih se šiva vanjština čine krnji ikozaedar

Tlak i skakutanje lopte• kad se lopta odbije od terena lopta se nakratko deformira• promotrimo elastičan vertikalni pad ...• rezultirajuća sila: F=pA (p = višak tlaka u lopti u odnosu na

okolinu, a on po pravilima iznosi prosječno 0,86 bara tj. 0,86105 Nm-2, A = površina dodira)

• u praksi je deformacija premala da bi imala utjecaj na unutrašnji tlak

]N[s7656,118877dspFdsrs2A

m22,0rs)srs2())sr(r(xA 2222

Newton i nogomet• kad se lopta odbije od zemlje, s ovisi o brzini njenog težišta

(dakle, približno središta)• stoga s možemo odrediti iz drugog Newtonovog zakona tj.

diferencijalne jednadžbe (minus jer je ovdje brzina jednaka minus derivaciji puta, O je opseg lopte, a t=0 je trenutak kad lopta dodirne teren)

smvmmaF

]cm[7,9v]m[v107,2stm

OpsinOpmvs

Opssm0

03

max0

slijedi da lopta napušta teren (s=0) u nakon vremena Opmt

zanimljivo: trajanje dodira sa terenom (ako lopta pada vertikalno) ovisi samo o svojstvima lopte koja su zadana pravilima (t8,4 ms)!

Nije sve savršeno elastično• dolazi do gubitka kinetičke energije

(na odbijanje od podloge, ali i na savijanje vlati trave kod nogometa dolazi do većeg gubitka energije nego npr. kod sportova na tvrdoj podlozi)

• koeficijent elastičnosti e je omjer brzine poslije i prije odbijanja od podloge; na kratko šišanoj travi on iznosi oko 0,6

• kako računamo maksimalnu visinu na koju će odskočiti lopta?

002

20

21

1

20

0020

h36,0heg2)ev(

g2vh

g2vhmghmv5,0

VT

A još se k tome i vrti...• čak i ako nogometaš svojim udarcem nije dodao

vrtnju lopti, ona se u pravilu nakon odbijanja počinje vrtiti – zašto? Zato što ne pada vertikalno, a postoji trenje!

I je zakretni moment, I je moment tromosti (konstantan za tijela s fiksnom raspodjelom mase), a je kutna brzina

horizontalna i vertikalna brzina: u,vkutna brzina: koeficijent trenja pri klizanju: prije sudara: indeks 0, poslije sudara: indeks 1

Odbijanje s klizanjem

000

01

v)e1()vev())v(v(vu

3/mr2I,rFI 2T moment) (zakretni

r2v3)e1(uI

mruImr 0

01 evv

e

11tge1

uvtg

1

1

vmFum T

grubo tlo, mali upadni kut trenje nakratko zaustavi loptu kotrljanje uz uvjet

Odbijanje s kotrljanjem

11 ru

001 ur53

52

ur23

01

001

evv5r2u5

3u

0

0

1

1v

re5

2tge53

uvtg

Leti, leti... lopta• ako nema otpora zraka ni vjetra kosi

hitac putanja je parabola, a jednadžbe gibanja su

mgvm0um

• ako ima otpora zraka (iznos sile otpora: FZ), bez vjetra

mgsinFvmcosFum

Z

Z

• ako ima i vjetra brzine (wx,0,wz),gdje je z-smjer okomit na ravninu putanje bez vjetra:

rz

r

rx

v)ww(kwgkvvv

v)wu(ku

011,0mAc5,0k

)ww(v)wu(v

R

2z

22x

2r

u

v

x

z

y0.5 1 1.5 2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 1 1.5 2

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

0.5 1 1.5 2

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

w(t)

v(t)

u(t) rješenja prethodnih diferencijalnih jednadžbi(rješive numerički, ne i analitički) – iznosi komponenti brzine u ovisnosti o vremenu

0x

t

ox

z uw

utwtwzwz

0x

xz

xzzx

x

z

rz

r

rx

uwuw1ww0)0(w

)wu(Cww.constw,w

wuww

dudw

v)ww(kwgkvvv

v)wu(ku

0x

0xzz uw

Tudwd

odstupanje u stranu na kraju leta:

Kako uloviti loptu?• uvjet da “plavi” protivnik presiječe

put lopti koju je uputio “crveni” je očito y/ux/v, gdje je u brzina “plavog”, a v brzina lopte

• kosinusov poučak • ako gledamo samo najkreće vrijeme potrebno plavom imamo

kvadratnu jednadžbu

• nužan uvjet dobivamo zahtjevom da diskriminanta bude nenegativna:

• ako prema lopti trči još i crveni suigrač (po pravcu kojim se kreće lopta) možemo promatrati koji je uvjet da on stigne do lopte prije plavog

)cos(xd2dxy 222

)cos(xd2dxvxu 222

22

)sin(vu

)(sinv

u)cos(

vu1

dD 22

2

2

2

suigrač ako želi spriječiti presjecanje puta lopte mora do neke točke, koja je prvom igraču bliža od najbliže A na kojoj protivnik presijeca put lopti, doći u vremenu koje ne premašuje ono potrebno protivniku da dođe do A

u)cos(xd2dx

uyt

22

P

(x=ona udaljenost koja daje protivniku najraniju mogućnost presijecanja)

wxDtC

(D=početni razmak između oba crvena, w=brzina crvenog suigrača)

)cos(xd2dxw)xD(u 22

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

t

mogućnost presretanja pri kutevima od 30 (plavo) i 15 (sivo), brzini protivnika 4m/s, brzini

lopte 9m/s i početnoj udaljenosti 10m

Tko će dati gol?

promatranjem prethodnih utakmica utvrdili smo da jedna momčad daje

u prosjeku r1, a druga r2 golova na sat

uzmimo da prednost domaćeg terena neznatno utječe na ratu golova

neka je r1>r2 pa označimo s R=r1:r2vjerojatnost da će prva momčad dati idući gol je

p=R/(R+1), a da će ga dati druga je 1-p=1/(R-1)

ako je dosad palo n golova, vj. da ih je sve dala prva momčad je pn, a da ih je sve dala druga je (1-p)n

vjerojatnost da je prva dala k od n golova knn )p1(pk

n

Vjerojatnost n golova u vremenu t

• ako je momčad dosad postizala u prosjeku r golova na sat, onda je vjerojatnost da će ta momčad u vremenu t [h] dati n golova jednaka

rtne!n

)rt(p

30 60

0.2

0.4

0.6

0.8

t

p

n=2

n=1

n=3n=4

n=6

n=0

Vjerojatnost davanja zadanog broja golova tokom utakmice za tim koj i u prosjeku daje 1 gol na sat

Vjerojatnost rezultata n:m• recimo da jača momčad daje jedan gol na sat (r1=1), a

slabija 1 gol po utakmici (r2=0,67)

t)rr(m

2n

1m,n

21e!m!n)tr()tr(p

Rezultat Vjerojatnost Rezultat Vjerojatnost1:0 12,3% 3:0 4,6%0:1 8,2% 2:1 9,2%2:0 9,2% 1:2 6,2%1:1 12,3% 0:3 1,4%0:2 4,1% 0:0 8,2%

Koja je vjerojatnost davanja prvog gola u

ostatku utakmice?• vjerojatnost da momčad s prosječnom ratom od r1 golova na sat u trenutku t još nije dala gol je p0=e-rt

• stoga je vjerojatnost da u tom vremenu nijedna momčad nije dala gol jednaka p00=e-(r1+r2)t

• vjerojatnost da prva momčad dade gol u vremenu dt je r1dt, dakle je vjerojatnost da ako još nije pao gol ta momčad u preostalom vremenu dade gol jednaka

t)rr(

21

11

1t)rr(

1

21

21

e1rrrp

dtredp

vjerojatnost raste s vremenom!

-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

t

%

vjerojatnost da će momčadkoja daje 1 gol na sat dati gol u ostatku utakmice akoigra protiv momčadi koja daje1 gol po utakmici

Teorem: Nogomet je najzanimljiviji sport.• recimo da se susreću dvije momčadi od kojih za bolju kažemo

da je bolja po tome što je u zadnjih godinu dana dala dvostruko više golova od slabije

• ako u utakmici padne samo 1 gol, vjerojatnost da je pobijedila slabija momčad je 33,33%; u slučaju da padnu 3 gola, vjerojatnost pobjede slabijeg (rezultati 3:0 ili 2:1 za njih) je (1/3)3+3(2/3)(1/3)2=25,92%, u slučaju 5 golova vjerojatnost pobjede slabijeg je 20,99% itd.

• u slučaju 2 gola slabiji pobjeđuje s vjerojatnosti (1/3)2=11,11%; u slučaju 4 gola slabiji pobjeđuje s vjerojatnosti (1/3)4+4(2/3)(1/3)3=11,11%, u slučaju 6 golova ta je vjerojatnost 10%, ...

vjerojatnosti da dvaput slabiji tim nije izgubio ako je u utakmici palo n golova:

http://www.rogerkaufmann.ch/dsaWC06_r.htm

Raspon bodova u tablici• raspon bodova u konačnoj tablici nekog prvenstva

ovisi djelomično o slučajnosti, a djelomično o snazi momčadi u ligi

• standardna devijacija:• hipotetska liga s momčadima jednake snage

prosječno 11/8 bodova svake momčadi po utakmici te se dobiva

• ako N=38 (liga s 20 momčadi) dobije se standardna devijacija od otprilike 8,1 bodova

• realno: veća (niža i šira krivulja funkcije gustoće)

N32,1

n

2nn )xx(N

1

Literatura• A. Beutelspacher In Mathe war ich immer schlecht, Vieweg, 2000.• P. Maidment Do The Math: Soccer More Exciting Than Football,

http://www.forbes.com/2006/01/04/soccer-football-baseball-cx_pm_0104soccer.html

• J. Richter Erste Bundesliga mathematisch, http://www.zahlensalat.de/_bl.htm • L. E. Sadovskiĭ, A. L. Sadovskiĭ Mathematics and Sports, AMS, 1993.• J. Wesson Fußball – Wissenschaft mit Kick, Elsevier, 2006.• D. Zeillinger Wie wählt man eine Fußballmanschaft? Spektrum der

Wissenschaft Online http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/index.php?action=rubrik_detail&artikel_id=6991

• The Math & Physics of Soccer, http://www.oceansiderevolution.com/EINSTEIN.HTM

• Fachhochschule Stuttgart, Hochschule für Technik: World Mathematical Year – Ideen und Anregungen zur Umsetzung an Schulen, Stuttgart, 1999.

• The Official Soccer Site for Officials, Referees, Players, and Fans – Laws of the Game, http://www.drblank.com/slaws.htm

• Dynamische Sport-Analyse (DSA) http://www.rogerkaufmann.ch/dsa.htm