Matematika A final - drzavnamatura.hrdrzavnamatura.hr/wp-content/uploads/2016/01/Matematika-A-viša.pdf · 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q, R i C ... Q > ® ? Kažemo da skup } ima svojstvo

Matematika Via razina

Marina Ninkovi, prof.

Vesna Ovina, prof.

Zagreb, 2015.

Autor: Marina Ninkovi, prof. Vesna Ovina, prof.

Naslov: Matematika Via razina

Izdanje: 4. izdanje

Urednica: Ana Belin, prof.

Voditelj projekta: Domagoj Mak

Struni recenzent: doc. dr. sc. Petar Javor

Nakladnik: Algebra d.o.o., 2015.

Za nakladnika: mr.sc. Mislav Balkovi

Mjesto i godina izdanja: Zagreb, 2015.

www.drzavnamatura.hr [email protected]

U ovom izdanju koriteni su zadaci prolih rokova dravne mature, Nacionalnog centra za vanjsko vrednovanje obrazovanja koji su javno objavljeni i dostupni na www.ncvvo.hr, uz odobrenje NCVVO-a.

Sva prava pridrana. Niti jedan dio ove knjige ne smije se reproducirati ili prenositi u bilo kojem obliku, niti na koji nain. Zabranjeno je svako kopiranje, citiranje te upotreba knjige u javnim i privatnim edukacijskim organizacijama u svrhu organiziranih kolovanja, a bez pisanog odobrenja nositelja autorskih prava.

Copyright Algebra d.o.o.

SADRAJ

1. POGLAVLJE: BROJEVI I ALGEBRA ......................................................................................................................................................... 3 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q, R i C ............................................................................................................ 4 1.2 Elementarno raunanje ................................................................................................................... 18 1.3 Postotci i omjeri .............................................................................................................................. 38 1.4 Algebarski izrazi i algebarski razlomci ............................................................................................. 46 1.5 Mjerne jedinice ............................................................................................................................... 59

2. POGLAVLJE: FUNKCIJE .......................................................................................................................................................................... 65 2.1 Definicija funkcije ............................................................................................................................ 66 2.2 Linearna funkcija ............................................................................................................................. 81 2.3 Kvadratna funkcija ........................................................................................................................... 90 2.4 Funkcija apsolutne vrijednosti (modul) ......................................................................................... 105 2.5 Funkcija drugi korijen .................................................................................................................... 112 2.6 Polinomi i racionalne funkcije ....................................................................................................... 116 2.7 Eksponencijalna i logaritamska funkcija ........................................................................................ 128 2.8 Trigonometrijske funkcije .............................................................................................................. 145 2.9 Nizovi ............................................................................................................................................. 165 2.10 Derivacija funkcije ......................................................................................................................... 174

3. POGLAVLJE: JEDNADBE I NEJEDNADBE ................................................................................................................................. 197 3.1 Linearne jednadbe i nejednadbe ................................................................................................ 198 3.2 Kvadratne jednadbe i nejednadbe ............................................................................................. 206 3.3 Jednadbe i nejednadbe s apsolutnim vrijednostima i drugim korijenom .................................. 217 3.4 Jednostavnije polinomske i racionalne jednadbe i nejednadbe ................................................ 226 3.5 Eksponencijalne i logaritamske jednadbe i nejednadbe ............................................................ 233 3.6 Trigonometrijske jednadbe .......................................................................................................... 245 3.7 Sustavi jednadbi i nejednadbi .................................................................................................... 257

4. POGLAVLJE: GEOMETRIJA ................................................................................................................................................................. 269 4.1 Elementarna geometrija likova u ravnini ...................................................................................... 270 4.2 Odnos meu geometrijskim objektima u prostoru ....................................................................... 295 4.3 Prizma, piramida, valjak, stoac, kugla .......................................................................................... 305

5. POGLAVLJE: TRIGONOMETRIJA TROKUTA ................................................................................................................................ 325 5.1 Trigonometrija pravokutnoga trokuta i trigonometrija raznostraninog trokuta ......................... 326

6. POGLAVLJE: ANALITIKA GEOMETRIJA ...................................................................................................................................... 343 6.1 Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini ....................................................................................... 344 6.2 Vektori ........................................................................................................................................... 356 6.3 Jednadba pravca .......................................................................................................................... 372 6.4 Krivulje drugog reda ...................................................................................................................... 386

7. POGLAVLJE: MODELIRANJE ............................................................................................................................................................. 407 7.1 Ponavljanje .................................................................................................................................... 408

7.2 Rijeeni primjeri ............................................................................................................................ 408 7.3 Zadaci s ranije odranih dravnih matura ..................................................................................... 415 7.4 Dodatni zadaci ............................................................................................................................... 422

RJEENJA: MATEMATIKA VIA RAZINA .............................................................................................................................................................. 429 PRILOG 1: ZADACI S JESENSKOG I LJETNOG ROKA DRAVNE MATURE 2015. .............................................................................................. 483

U ovom poglavlju nauit ete:

o skupovima N, Z, Q, R, C usporeivanje brojeva intervale postotke i omjere raunanje s algebarskim izrazima i razlomcima pretvarati mjerne jedinice raunati te kako koristiti kalkulator

1. poglavlje: BROJEVI I ALGEBRA

Str. 4 1. poglavlje: Brojevi i algebra

1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q, R i C

1.1.1 Ponavljanje

1.1.1.1 Pojam skupa i osnovne skupovne operacije

Skup je osnovni matematiki pojam koji se ne definira, ali je intuitivno jasan (objedinjuje objekte koji imaju neka zajednika svojstva).

Primjer 1. Skup svih polaznika ovog teaja. Skup svih dravljana Hrvatske. Skup svih viekratnika broja 3.

Skupove oznaavamo velikim slovima abecede: te oznakom . Unutar vitiastih zagrada ispisujemo sve lanove koji pripadaju skupu ili svojstvo koje zadovoljavaju lanovi (elementi) tog skupa.

Primjer 2.

U primjeru 2. skup zadan je ispisivanjem svih njegovih elemenata, dok su skupovi i zadani navoenjem svojstava njihovih elemenata.

Lako moemo ispisati elemente zadanih skupova:

injenicu da broj 1 pripada skupu A zapisujemo i itamo: 1 je element skupa A. injenicu da broj 2 ne pripada skupu B zapisujemo i itamo: 2 nije element skupa B. Za dva skupa i kaemo da su jednaka i piemo ako je svaki element skupa ujedno i element skupa , odnosno ako je svaki element skupa ujedno i element skupa , tj. ako ti skupovi sadre sve iste elemente.

Ako skupovi nisu jednaki, kaemo da su razliiti i piemo .

Primjer 3. Jesu li skupovi i iz primjera 2 jednaki? Odgovor: jesu, jer sadre sve iste elemente. Dakle .

Prazan skup je skup koji ne sadrava niti jedan element. Oznaavamo ga simbolom .

Primjer 4. je skup svih ljudi koji su vii od 3 m. Oito je .

Ako je svaki element skupa ujedno i element skupa , kaemo da je podskup od i piemo . Ako je i ( tj. skup sadri jo barem jedan element koji ne pripada skupu ), kaemo da je

pravi podskup od i piemo .

Primjer 5. Promotri skupove u primjeru 2. Jesu li istinite tvrdnje: a) , b) ?

Pripreme za dravnu maturu MMatematika (A) Str. 5

Odgovor: tvrdnja pod a) je istinita; tvrdnja pod b) nije istinita.

Odnos skupova moemo prikazati Euler Vennovim dijagramom:

Univerzalni skup je skup ije podskupove promatramo i s kojima raunamo.

Skupovne operacije (algebra skupova):

Unija skupova je skup koji sadri sve elemente koji pripadaju skupu ili skupu

Presjek skupova je skup koji sadri sve elemente koji pripadaju skupu i skupu .

Razlika skupova je skup koji sadri sve elemente koji pripadaju skupu , a ne pripadaju skupu .


Komplement skupa je skup koji sadri sve elemente univerzalnog skupa koji ne pripadaju skupu .

1.1.1.2 Skupovi brojeva

Skup prirodnih brojeva

Prethodnik broja je broj . Svaki prirodni broj, osim broja 1, ima svog prethodnika.

Sljedbenik broja je broj . Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika.

Najmanji prirodni broj je 1, ne postoji najvei prirodni broj.

Prirodni broj djeljiv je prirodnim brojem ako postoji prirodni broj takav da je .

Tada je broj viekratnik broja , odnosno broj je djelitelj (faktor) broja .

Najvei zajedniki djelitelj ili najvea zajednika mjera brojeva . je najvei prirodni broj koji ima svojstvo da dijeli brojeve ...

Oznaavamo ga sa ili

Prirodni broj vei od 1 je prost ako je djeljiv samo sa jedan i sa samim sobom.

Prirodni broj vei od 1 je sloen ako nije prost.

Broj 1 nije niti prost niti sloen.

Prostih prirodnih brojeva ima beskonano mnogo.

Svaki sloeni prirodni broj moemo prikazati u obliku produkta prostih faktora. Kaemo da ga moemo rastaviti na proste faktore.

Relativno prosti brojevi su oni brojevi iji jedini zajedniki djelitelj je broj 1.


Zbroj i umnoak prirodnih brojeva ponovno je prirodni broj, dok razlika i kolinik prirodnih brojeva ne moraju biti prirodni brojevi.

Zbroj (sumu) brojeva oznaavamo sa . Zbroj je rezultat raunske operacije zbrajanja.

Razliku (diferenciju) brojeva oznaavamo sa . Razlika je rezultat raunske operacije oduzimanja.

Umnoak (produkt) brojeva oznaavamo s ili . Umnoak je rezultat raunske operacije mnoenja.

Kolinik (kvocijent) brojeva oznaavamo s ili ili . Kolinik je rezultat raunske operacije dijeljenja.

Skup cijelih brojeva

Zbroj, razlika i umnoak cijelih brojeva ponovno je cijeli broj. Kolinik cijelih brojeva ne mora biti cijeli broj.

Svaki cijeli broj ima svog prethodnika i sljedbenika.

Ne postoji niti najmanji niti najvei cijeli broj.

Skup racionalnih brojeva

Broj oblika naziva se razlomak je brojnik, je nazivnik.

Nazivnik razlomka uvijek mora biti razliit od nule, jer se nulom ne smije dijeliti.

Razlomaka crta ima ulogu dijeljenja, .

Svaki racionalni broj moemo prikazati i u decimalnom obliku tako da brojnik podijelimo nazivnikom, , k=kolinik i r ostatak pri dijeljenju m sa n, .

Decimalni zapis racionalnog broja moe biti konaan (ima konano mnogo decimala)

Npr. ; ;

ili beskonaan periodiki decimalan broj (ima beskonano mnogo decimala, koje se periodiki ponavljaju odmah iza decimalne toke ili se periodiki ponavljaju nakon konanog broja decimalnih mjesta).

Npr. ; ;

Skupina znamenaka koja se ponavlja naziva se period. U zapisu ga oznaavamo tako da iznad prve i zadnje znamenke perioda napiemo toku.

Vrijedi i obratno, tj. svaki konani decimalni broj i svaki beskonani periodiki decimalni broj moemo napisati u obliku razlomka. Dakle to su racionalni brojevi.

Jednakost racionalnih brojeva

Usporeivanje racionalnih brojeva

Kaemo da skup ima svojstvo gustoe: izmeu svaka dva racionalna broja postoji beskonano mnogo racionalnih brojeva.

Skup iracionalnih brojeva


Iracionalni brojevi su svi decimalni beskonani neperiodiki brojevi.

Npr.

Njih ne moemo zapisati u obliku razlomka.

Kaemo da su kupovi i su disjunktni, tj. .

Iracionalne brojeve moemo aproksimirati (zaokruiti na odreen broj decimala) pomou racionalnih brojeva.

Kaemo da skup ima svojstvo gustoe: izmeu svaka dva iracionalna broja postoji beskonano mnogo iracionalnih brojeva.

Skup realnih brojeva

- algebarski pristup - realni brojevi su svi decimalni brojevi (konani, beskonani, periodiki, neperiodiki)

(Pri tome, prirodne, odnosno cijele brojeve moemo tumaiti kao decimalne sa svim decimalama jednakim nula koje se ne piu.)

- geometrijski pristup - skup realnih brojeva identificiramo s brojevnim pravcem

Brojevni pravac je pravac na kojeg su bijektivno preslikani svi realni brojevi. (Svakom realnom broju pridruena je tono jedna toka pravca. Razliiti brojevi preslikani su u razliite toke pravca i u svaku toku pravca preslikan je tono jedan realni broj.)

- aksiomatski pristup- Skup opsujemo skupinom aksioma koji vrijede za raunske operacije zbrajanja i mnoenja:

A1 Komutativnost zbrajanja A2 Asocijativnost zbrajanja A3 Neutralni element za zbrajanje je broj 0 A4 Suprotni element Za svaki realni broj postoji realni broj takav da vrijedi . A5 Komutativnost mnoenja A6 Asocijativnost mnoenja A7 Neutralni element za mnoenje je broj 1. . A8 Inverzni element Za svaki realni broj , osim nule, postoji realni broj takav da vrijedi

. A9 Distributivnost mnoenja prema zbrajanju . A10 Za svaka dva realna broja vrijedi . A11 Ako za realne brojeve vrijedi , onda je (simetrinost). A12 Ako za realne brojeve vrijedi onda je (tranzitivnost). A13 Ako je onda za svaki realni broj vrijedi . A14 Ako je tada je . Aksiomi A1 do A9 nazivaju se aksiomi polja. Aksiomi A10 do A14 nazivaju se aksiomi ureaja.

Koordinatni sustav na brojevnom pravcu odreen je tokom O (ishoditem) u koju je preslikan broj 0 i tokom u koju je preslikan broj 1.


Duina je jedinina duina pomou koje vrimo mjerenja na pravcu.

Toku u koju se preslikao realni broj najee oznaavamo sa . Kaemo da je koordinata toke na brojevnom pravcu.

Pozitivni brojevi na brojevnom pravcu smjeteni su desno od ishodita, a negativni lijevo od ishodita koordinatnog sustava.

Ako je , toka koja je na brojevnom pravcu pridruena broju nalazi se lijevo u odnosu na toku koja je pridruena realnom broju .

Intervali su posdkupovi skupa realnih brojeva.

otvoreni interval

(skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo vei od i strogo manji od )

poluotvoreni interval s lijeva

(skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo vei od i manji ili jednaki od )

poluotvoreni interval zdesna

(skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su vei ili jednaki od i strogo manji od )

zatvoreni interval ili segment

(skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su vei ili jednaki od i

manji ili jednaki od )

Realni brojevi su rubovi intervala. je poetak, je kraj intervala.

Neka granica intervala moe biti i beskonana, piemo .

(skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo manji od )


(skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su manji ili jednaki od )

(skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo vei od )

(skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su vei ili jednaki od )

Skup kompleksnih brojeva

Kompleksne brojeve najee oznaavamo slovima i .

standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja.

Realni dio kompleksnog broja je .

Imaginarni dio kompleksnog broja je .

je imaginarna jedinica. To je broj koji ima svojstvo da je njegov kvadrat jednak broju .

.

Ako je tada je , takav broj nazivamo (isto) imaginarni kompleksni broj.

Ako je tada je . Dakle, realni brojevi su kompleksni brojevi iji imaginarni dio je jednak nuli.

Oito vrijedi .

Odnos skupova brojeva


Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja je

.

je modul kompleksnog broja , a je argument kompleksnog broja.

je kut kojeg zatvara polupravac i pozitivni dio -osi.

1.1.2 Rijeeni primjeri

Koja od sljedeih tvrdnji nije istinita?

A. B. C. D.

Rjeenje: C. Jasno je da . Broj 5 je kompleksni broj jer je

Kompleksne brojeve i prikaite u trigonometrijskome obliku.

a) , b) .

Rjeenje: Broj oblika treba zapisati u obliku , pri emu je , , .

( je udaljenost od od ishodita, je kut kojeg zatvara polupravac i pozitivni dio -osi. )

a) Nacrtamo u kompleksnoj ravnini, vidimo , .

Odgovor: b) Nacrtamo u kompleksnoj ravnini, je u . kvadrantu.


Po slici vidimo pa je .

Koji je podskup skupa zadan nejednadbama : i ?

A. B. C. D.

Rjeenje: C. Trai se podskup skupa cijelih brojeva.

Koliko prirodnih brojeva ima u skupu ?

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

Rjeenje: B. Prirodni brojevi iz ovog skupa su 1,2, 3,12,13 i ima ih 5. Za odreivanje decimalnog oblika brojeva prikazanih razlomcima moemo koristiti kalkulator.

Unija skupova je :

A. zatvoren interval B. otvoren interval C. interval poluotvoren sdesna D. interval poluotvoren slijeva

Rjeenje: je otvoreni interval.

Broj prikazan je u kompleksnoj ravnini. Zapiite ga ili u trigonometrijskome ili u standardnome obliku.

Rjeenje: Sa slike vidimo pa je trigonometrijski oblik:


.

Standardni oblik raunamo iz trigonometrijskog

.

Koji je od brojeva racionalan?

A. B. C. D.

Rjeenje: , su iracionalni brojevi, je kompleksan broj, je racionalan broj.

1.1.3 Zadaci s ranije odranih dravnih matura

09/10 ljeto

Koja je od navedenih tvrdnji istinita?

A. B. C. D.

09/10 jesen

Koja je od navedenih tvrdnji istinita?

A. Svaki kompleksan broj je ujedno i realan broj. B. Svaki racionalan broj je ujedno i cijeli broj. C. Svaki racionalan broj je ujedno i realan broj. D. Svaki kompleksan broj je ujedno i iracionalan broj. 12/13 jesen

Koliko cijelih brojeva ima u intervalu ?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 09/10 zima

Interval podskup je skupa realnih brojeva. to od navedenoga vrijedi za elemente toga intervala?

A. B. C. D.


10/11 ljeto

Koji je skup realnih brojeva zadan nejednadbama ili ?

A. B. C. D.

11/12 ljeto

Koliko ima cijelih brojeva takvih da je ?

A. dva B. tri C. etiri D.pet

Kompleksan broj prikaite u trigonometrijskome obliku.

Odgovor: ___________________________________________

Kompleksan broj prikaite u trigonometrijskome obliku

Odgovor: ________________________________________________

12/13 ljeto

Zapiite kompleksan broj u trigonometrijskome obliku.

Odgovor: ______________________________________________

Broj prikazan je u kompleksnoj ravnini. Zapiite ga ili u trigonometrijskome ili u standardnome obliku.


Odgovor: __________________________________________________

1.1.4 Dodatni zadaci

Koji je od brojeva iracionalan:

A. B.

C. D.

Koji od brojeva nije realan?

A. B. C. D.

Koji je od brojeva kompleksni imaginarni broj:

A. B. C. D.

Koja je od sljedeih tvrdnji neistinita:

A. B. C. D.

Koja je od sljedeih tvrdnji istinita:

A. B. C. D.

Koliko prirodnih brojeva ima u skupu ?

A. 6 B. 5 C. 4 D.3

Koliko cijelih brojeva ima u skupu ?

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

Koje dvije tvrdnje nisu istinite za svaka dva skupa

A. B. C. D.

Za zadane intervale i odredi , :

a) b) c)

Zapii kompleksni broj u trigonometrijskom obliku.



Koji je skup realnih brojeva zadan nejednadbama ili ?

A. B. C. D.

Broj napii u standardnom obliku i prikai u kompleksnoj ravnini.



Documents

Matematika A final - drzavnamatura.hrdrzavnamatura.hr/wp-content/uploads/2016/01/Matematika-A-viša.pdf · 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q, R i C ... Q > ® ? Kažemo da skup } ima svojstvo