Matematika 9 Heuréka

A tanknyv a kzpszint rettsgi tananyaghoz igazodik, korszer, tanulbart tartalommal. Fokozatosan nehezed kidolgozott pldk vezetik be a tanulkat az elsajttand tananyagba. A szerzk szndka szerint a gyakorlst, s az otthoni felkszlst a kvetkezk segtik:

bartsgos hangvtel;tudomnytrtneti rdekessgek; valsgkzeli feladatok; motivl, figyelemfelkelt fotk.

A leckk vgn kitztt feladatok rszletes megoldsa megtallhat az interneten, a www.ntk.hu weboldalon. Az rdekldk, gyakorolni vgyk szmra mg tovbbi feladatokat is ajn-lunk, amelyeket a Nemzeti Tanknyvkiad MATEMATIKA Gyakorl s retts gire felkszt feladatgyjtemny csaldjbl jelltnk ki.

Dr.

Fri

ed K

atal

in

Dr.

Ger

cs

Lsz

l

Szm

ad

Lsz

l

Mat

emat

ika

16102 mat.indd 1 2/2/10 4:41:10 PM

Nemzeti Tanknyvkiad Budapest

A kzpiskolk 9. vfolyama szmra

MATEMATIKA

Dr. Fried Katalin Dr. Gercs Lszl Szmad Lszl

16102_Metematika9_0_cimnegyed_m1_a2 2009.10.20. 11:33 Page 1

A kiadvny 2010. 02. 09-tl tanknyvv nyilvntsi engedlyt kapott a KHF/9343/2010 szm hatrozattal.

A knyv megfelel az Oktatsi Minisztrium kerettantervnek [17/2004. (V. 20.)], [17/2004. (V. 20.) 3. sz. mellklet] s az rettsgi vizsga kvetelmnyeinek [40/2004. (V. 24.)].

Lektorok: PLFALVI JZSEFNKONCZ LEVENTE

Felels szerkeszt: TTHN SZALONTAY ANNA

Tipogra: LRINCZ ATTILA

Fedl: KORDA GNES

Illusztrci: SZCS DUA

Szakgraka: DR. FRIED KATALIN

Fot: Dreamstime.com, Flickr.com, Nemzeti Tanknyvkiad archvuma

A tanknyvv nyilvntsi eljrsban kzremkd szakrtk neve:DR. HILLN BENK KATALIN, VECSEIN DR. MUNKCSY KATALIN, KARCSONY ORSOLYA

Dr. Fried Katalin, Dr. Gercs Lszl, Szmad Lszl, Nemzeti Tanknyvkiad Zrt., 2009

ISBN 978-963-19-5993-2

Nemzeti Tanknyvkiad Zrt.a Sanoma company

www.ntk.huVevszolglat: [email protected]: 06 80 200 788

A kiadsrt felel: Kiss Jnos Tams vezrigazgatRaktri szm: 16102Mszaki igazgat: Babicsn Vasvri EtelkaMszaki szerkeszt: Marcsek IldikGrakai szerkeszt: Grg Istvnn, Mikes VivienTerjedelem: 28,84 (A/5) vTmeg: 630 gramm1. kiads, 2012Nyomdai elkszts: PGL Graka Bt.Nyomtatta s kttte a Relszisztma Dabasi Nyomda Zrt.Felels vezet: Vg Magdolna vezrigazgatwww.dabasinyomda.hu


9 . V F O L Y A M

MATEMATIKA 3

Tartalom

Jelmagyarzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Bevezets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I. Halmazok1. Halmazok, jellsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Specilis halmazok, intervallum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. Halmazok unija, metszete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184. Halmazok klnbsge, komplementer halmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. A matematikai logika elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II. Algebra s szmelmletHogyan is kezddtt? (Olvasmny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301. A hatvnyozs s azonossgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322. A hatvnyozs azonossgainak kiterjesztse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373. Gyakorlati szmtsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394. Algebrai kifejezsek sszevonsa, szorzsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415. Nevezetes szorzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456. Tovbbi nevezetes szorzatok (Emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477. sszegek szorzatt alaktsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508. Algebrai trtek egyszerstse, sszevonsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529. Algebrai trtek szorzsa, osztsa, sszetett mveletek algebrai trtekkel . . . . 56

10. Oszthatsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911. Prmszmok, a szmelmlet alapttele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212. Legnagyobb kzs oszt, legkisebb kzs tbbszrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6413. Osztk szma, ngyzetszmok (Emelt szint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714. Szmrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

III. Fggvnyek, sorozatok1. Hozzrendelsek, fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742. Ponthalmazok a koordinta-rendszerben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793. A lineris fggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834. Az abszoltrtk-fggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905. Az f : x 7 x2 fggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956. A msodfok fggvny sszetett transzformcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997. Tovbbi fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

IV. Bevezets a geometriba1. Pontok, egyenesek, skok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112. Szakasz, flegyenes, szg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143. Hromszgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204. Tovbbi sszefggsek a hromszg alapadatai kztt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235. sszefggs a derkszg hromszg oldalai kztt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266. Geometriai szmtsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297. Geometriai szerkesztsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328. Thalsz-ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349. A hromszg oldalfelez merlegesei s kr rt kre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

10. A hromszg szgfelezi, bert s hozzrt krei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311. Sokszgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


9 . V F O L Y A M

T A R T A L O MMATEMATIKA4

V. Egyenletek, egyenletrendszerek1. Elsfok egyismeretlenes egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502. Szveges feladatok megoldsa egyenletekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553. Egyenletek megoldsi mdszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584. Egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615. Abszolt rtket tartalmaz egyenletek, egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . 1656. Elsfok ktismeretlenes egyenletrendszerek s megoldsuk behelyettest

mdszerrel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687. Elsfok ktismeretlenes egyenletrendszerek megoldsa egyenl

egytthatk mdszervel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728. Elsfok ktismeretlenes egyenletek megoldsa grakus mdszerrel . . . . . . . . 1749. Egyenletrendszerrel megoldhat szveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

VI. Geometriai transzformcik1. Nhny geometriai transzformci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802. Egybevgsgi transzformcik a skon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833. Alakzatok egybevgsga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874. Szimmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895. Tovbbi nevezetes pontok s vonalak a hromszgben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936. Vektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967. Ponthalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998. Szg, krv, krcikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

VII. Kombinatorika1. Sorrendek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2062. Leszmllsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

VIII. Statisztika1. Adatok gyjtse, rendszerezse, jellemzse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2142. Adatok szemlltetse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173. A ktarc statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Fontosabb j fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

16102_Metematika9_0_cimnegyed_m1_a 2009.10.17. 12:37 Page 4

Az A pont s az e egyenes tvolsga: d(A; e) vagy Ae

Az A s B pont tvolsga: AB vagy vagy d(A; B)

Az A s B pont sszekt egyenese: e(A; B)

Az f1 s f2 egyenesek szge: vagy

A C cscspont szg, melynek egyik szrn azA, msik szrn a B pont tallhat:

A C cscspont szg:

Szg jellse:

Az A, B s C cscsokkal rendelkez hromszg:

Az ABC9 terlete: T(ABC) vagy TABCAz a, b s c oldal hromszg fl kerlete:

A derkszg jele: *

Az e egyenes merleges az f egyenesre:

Az e egyenes prhuzamos az f egyenessel:

Egybevgsg: ,;

A hasonlsg arnya: m

Az A pontbl a B pontba mutat vektor:

Egyenl, nem egyenl: ;

Azonosan egyenl: ;

Kzeltleg egyenl: ; ;

Kisebb, kisebb vagy egyenl: , $; 6 > 4, a $ 2

A termszetes szmok halmaza: N; {0; 1; 2; }

Az egsz szmok halmaza: Z;{; 2; 1; 0; 1; 2; }

A pozitv, a negatv egsz szmok halmaza: Z+, Z;{1; 2; 3; }, {1; 2; 3; }

A racionlis, az irracionlis szmok halmaza: Q, Q*

A pozitv, a negatv racionlis szmok halmaza:Q+, Q

A vals szmok halmaza: R

A pozitv, a negatv vals szmok halmaza: R+, R

Eleme, nem eleme a halmaznak: !, "; ,

Rszhalmaz, valdi rszhalmaz: 3, 1; ,

Nem rszhalmaza a halmaznak: j;

Halmazok unija, metszete: ,, +;

Halmazok klnbsge: \; A \ B

res halmaz: Q, { }

Az A halmaz komplementere:

Az A halmaz elemszma: ;

Zrt intervallum: [a; b]

Balrl zrt, jobbrl nylt intervallum: [a; b[

Balrl nylt, jobbrl zrt intervallum: ]a; b]

Nylt intervallum: ]a; b[

Az x szm abszolt rtke: ;

Az x szm egsz rsze, trt rsze: [x], {x}; [2,3] = 2, {2,3} = 0,3

Az a osztja b-nek: ;

Az a s b legnagyobb kzs osztja: (a, b); (4, 6) = 2

Az a s b legkisebb kzs tbbszrse: [a, b]; [4, 6] =12

Az f fggvny hozzrendelsi szablya: ; vagy

;

Az f fggvny helyettestsi rtke az x0 helyen:;

f x x2 3= +] gf x y=] g

(5), 5f xha 0 =( )f x0

: 2 3f x x7 +:f x f x7 ] g

2 8a b

, 3,13 1 =-x

, , 30 1 2 =" ,A

A

,A B A B, +

Z Q1 +Y

N Q1A R3

2 Zg- +5 N!

8,54 8,5.2,3a ..

5a b /+/

2, 5a b !=,!=

AB

ABC A B C9 9, l l l

e f 2 egyszerre teljesl, azaz 2 < x < 2. a) Az egsz szmok krben a megoldsok halmaza: {1; 0; 1}. b) A pozitv vals szmok halmazn a megoldsok halmaza a ]0; 2[ intervallum. c) Az 5-nl nagyobb szmok krben a feladatnak nincsen megoldsa, a megoldsok halmaza

res.

Lthatjuk, hogy ugyanannak a feladatnak klnbz alaphalmazon klnbz megoldsalehet.

Minden res halmaznak ugyanazok az elemei (nincsenek elemei). Vagyis egyetlen res halmaz van.

Egy A halmaznak rszhalmaza minden olyan B halmaz, amelynek minden eleme az A-ban isbenne van. Azt, hogy a B halmaz az A halmaz rszhalmaza, gy jelljk: B 3 A vagy A 4 B.

Rszhalmaz

Az res halmaz olyan halmaz, amelynek nincsen egyetlen eleme sem. Jellse: Q vagy { }.

res halmaz

Azt a halmazt, amely egy feladatnak a megoldsait tartalmazza, a feladat megoldshalma-znak nevezzk.

Megoldshalmaz

2x 1

Azt a halmazt, amelynek elemein vizsgldunk, alaphalmaznak (vagy ms nven univer-zumnak) nevezzk.

Alaphalmaz

14

9 . V F O L Y A M

1. plda Oldjuk meg az feladatot a) az egsz szmok halmazn;b) a pozitv vals szmok halmazn;c) az 5-nl nagyobb vals szmok halmazn!

2x 1

res halmaz jellse: Q vagy { }.

Alaphalmaz

Megoldshalmaz

B 3 A vagy A 4 B.

Rszhalmaz

16102_Metematika9_1_m 2009.12.22. 18:38 Page 14

MATEMATIKAI . H A L M A Z O K

Eszerint az A rszhalmazaiban nincs olyan elem, amely ne lenne az A-ban. Azok a halmazok,amelyekben van olyan elem, amely nincs az A-ban, nem rszhalmazai az A-nak.

Ha B rszhalmaza az A-nak, azt gy is mondhatjuk, hogy A tartalmazza a B-t. (13.a s 13.bbrk)

MegoldsA B halmaz minden eleme az A-nak is eleme, ezrt rszhalmaza A-nak.

A C halmaz elemei nincsenek az A-ban, ezrt C nem rszhalmaza A-nak. A D halmazban vannak olyan elemek, amelyek A-ban vannak, de nem mind ilyen. Ezrt a D

nem rszhalmaza A-nak. Az E halmaz minden eleme az A halmazban van, teht rszhalmaza az A-nak. Az E halmaz

egyenl az A halmazzal. Az F halmazban nem tallhat olyan elem, amely nincs benne az A-ban. Vagyis az F halmaz

rszhalmaza A-nak. A G halmaz nem rszhalmaza az A halmaznak, mert van olyan eleme, amely A-nak nem eleme.

Figyeljk meg, hogy minden halmaz rszhalmaza sajt magnak. Az is knnyen belthat,hogy az res halmaz minden halmaznak rszhalmaza.

MegoldsMivel minden egsz szm vagy pros, vagy pratlan (de nem mindkett), ilyen egsz szm nincs. Az a halmaz,amelynek nincs eleme, az res halmaz.

Teht azon egsz szmok halmaza, amelyek egyszerre prosak s pratlanok, az res halmaz.

3. plda Keressk meg az egsz szmoknak azt a rszhalmazt, amelynek elemeire teljesl, hogy egyszerre p-rosak s pratlanok!

2. plda Legyen az A halmaz az {1, 2, 3} halmaz! Melyek rszhalmazai az A halmaznak azalbbiak kzl? B = {1, 3}, C = {4, 6}, D = {1, 3, 4, 6}, E = {1, 2, 3}, F = { }, G = {0, 1, 2, 3, 4}.

15

9 . V F O L Y A M

13.a

A

B

B rszhalmaza A-nak

13.b

A

B

B nem rszhalmaza A-nak


MATEMATIKA I . H A L M A Z O K16

9 . V F O L Y A M

INTERVALLUMOK

Az intervallumok is halmazokat jellnek. Ezeket azonban olyan gyakran hasznljuk, hogy specilisjellseket alkalmazunk rjuk.

A kvetkez pldban megmutatjuk az intervallumok klnbz fajtit.

Megoldsa) Az A halmaz a 2 s a 3 kztti szmok intervalluma, de a 2 s a 3 nem tartozik hozz.

(Ilyenkor azt mondjuk, hogy az A intervallum nylt.) Jellse: A = ]2; 3[. Szemlltetse (14. bra):

b) A B halmaz is a 2 s a 3 kztti szmok intervalluma, a 2 hozztartozik, de a 3 nem. (Eztgy mondjuk, hogy a B intervallum balrl zrt, jobbrl nylt.) Jellse: B = [2; 3[. Szemllte-tse (15. bra):

c) C is a 2 s a 3 kztti szmok intervalluma. A 3 hozztartozik, de a 2 nem. (Azt mondjuk,hogy a C intervallum balrl nylt, jobbrl zrt.) Jellse: C = ]2; 3]. Szemlltetse (16. bra):

d) A D is a 2 s a 3 kztti szmok intervalluma, belertve a 2-t s a 3-at is. (Azt mondjuk, hogya D intervallum zrt.) Jellse: D = [2; 3]. Szemlltetse (17. bra):

17.

16.

15.

14.

Azokat a vals szmokbl ll szmhalmazokat, amelyekbe az sszes, kt adott rtk kzes szm beletartozik, intervallumnak (vges intervallumnak) nevezzk.

Intervallum

4. plda Jelljk s szemlltessk szmegyenesen a kvetkez halmazokat:a) A = {x | 2 < x < 3, x vals szm};b) B = {x | 2 # x < 3, x vals szm};c) C = {x | 2 < x # 3, x vals szm};d) D = {x | 2 # x # 3, x vals szm}!

Intervallum



A vges intervallum nem azt jelenti, hogy vges sok eleme van, hanem csak annyit, hogyvges a hosszsga.

Akkor is intervallumrl beszlnk, ha valamely szmnl nagyobb, nagyobb vagy egyenl, ki-sebb, kisebb vagy egyenl szmok halmazt tekintjk.

A vgtelen jele: 3. Ez nem szm, hanem egy jel. Azt jelenti, hogy minden vals szmnl na-gyobb. A 3 a mnusz vgtelen jele, a 3 ellentettje. Minden vals szmnl kisebb. Ez semszm. Sem a 3, sem a 3 nincs rajta a szmegyenesen.

Megoldsa) Az A halmaz a 3-nl kisebb vals szmok intervalluma. Jellse: ]3; 3[. Szemlltetve

(18. bra):

b) A B halmaz a 3-nl kisebb vagy azzal egyenl vals szmok intervalluma. Jellse: ]3; 3].Szemlltetve (19. bra):

c) A C halmaz a 2-nl nagyobb vals szmok intervallumt jelenti. Jellse: ]2; 3[. Szemll-tetve (20. bra):

d) A D halmaz a 2-nl nagyobb vagy azzal egyenl vals szmok intervallumt jelenti. Jellse: [2; 3[. Szemlltetve (21. bra):

21.

20.

19.

18.

5. plda Szemlltessk a szmegyenesen a kvetkez intervallumokat! a) A = {x | x < 3, x vals szm}; b) B = {x | x # 3, x vals szm};c) C = {x | x > 2, x vals szm}; d) D = {x | x $ 2, x vals szm}.

Ha egy intervallum valamely szmnl nagyobb; nagyobb vagy egyenl; kisebb; kisebb vagyegyenl vals szmokbl ll, akkor vgtelennek nevezzk. Pldul: 0 < x, x < 0 vagy x $ 1.

Vgtelen intervallum

17

9 . V F O L Y A M

A 3 nem szm.

Vgtelen intervallum


MATEMATIKA I . H A L M A Z O K

brzoljuk szmegyenesen a kvetkez intervallumokat! a) ]10; 6]; b) ]3; 10[; c) ]3; 5]; d) ]4,5; 3[; e) [2,25; 7,5]; f) ]6; 3[.

Adjuk meg s szemlltessk a kvetkez egyenltlensgek megoldshalmazt, ha azalaphalmaz A) a termszetes szmok; B) az egsz szmok; C) a nemnegatv vals szmok hal-maza!a) x < 10; b) x > 5; c) ; d) 2x < 0.

Az albbi egyenltlensgek alaphalmaza a vals szmhalmaz. A megoldshalmazokatrjuk olyan sorrendben, hogy mindegyik halmaz utn kvetkez halmaz rszhalmaza legyen neki! a) x2 > 5; b) x 10 $ 15; c) x < 10; d) 25 < x; e) .

rjuk fel az brval adott intervallumokat, illetve azt a halmazt, amely azon elemekbl ll,amelyek nincsenek az adott halmazban! (22. bra)

a)

b)

c)

d)

e)

3. Halmazok unija, metszete

Az ltalnos iskolban mr megismerkedtnk a halmazokkal, a halmazok kztti egyszerbb m-veletekkel. Most az ezen a tren szerzett ismereteinket fogjuk gazdagtani, elmlyteni. Mint k-sbb ltni fogjuk, e mveletek biztos ismerete s alkalmazsa sokat segt majd neknk a ksbbialgebrai, fggvnytani vagy ppen geometriai tanulmnyaink sorn. A halmazok szemlltetsvel,a mveletek alkalmazsval bizonyos nehznek tn logikai feladatok is jval egyszerbb, kezel-hetv vlnak.

Teht az A , B halmaz tartalmazza mindazokat az elemeket, melyek vagy az A, vagy a B hal-mazba beletartoztak (gy termszetesen azokat az elemeket is, melyek mindkt halmazba bele-tartoznak).

Kt halmaz unija (vagy ms nven egyestse) olyan halmaz, melynek elemei vagy az egyik,vagy a msik halmazba tartoznak. Az uni jele: ,. (23. bra)

Kt halmaz unija (egyestse)

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

4. K2

2 5x 2-

3. E1

3x $

2. K1

1. K1

Feladatok

18

9 . V F O L Y A M

Tovbbi feladatok: Matematika gyakorl

s rettsgire felkszt feladatgyjtemny I.

154157.,164166.

Az uni jele: U.

23.

22.

Halmazok unija


MATEMATIKA

Ha pldul az A halmaz a 10-nl nem nagyobb pozitv pros szmok halmaza, a B halmaz pediga 20-nl nem nagyobb pozitv 3-mal oszthat szmok halmaza, akkor az A , B halmaz elemei:

A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18},A , B = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18}.A fenti dencibl egyenesen kvetkeznek az unikpzs mint mvelet tulajdonsgai.

Nyilvnval, hogy brmely A halmaz esetben A , A = A, tovbb, ha B 3 A, akkor A , B = A.

Mivel az res halmaz minden halmaznak rszhalmaza, gy ebbl az is kvetkezik, hogy A , Q = A.

Az A + B halmaz teht olyan halmaz, melynek elemei az A halmazba is s a B halmazba is be-letartoznak.

Ha pldul az A halmaz a 10-nl nem nagyobb pozitv pros szmok halmaza, a B halmazpedig a 20-nl nem nagyobb pozitv 3-mal oszthat szmok halmaza, akkor az A + B halmaz-nak egyetlen eleme van:

A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18},A + B = {6}.

Az unikpzshez hasonlan:

Brmely A halmaz esetben A + A = A.Ha valamely B halmazra B 3 A, akkor A + B = B. Ebbl az is kvetkezik, hogy A + Q = Q.Kimutathatk az albbi halmazazonossgok.

A mveletek alkalmazsra nzznk nhny kidolgozott pldt!

MegoldsAz A + B halmaz elemei: A + B = {2, 4}. gy az (A + B) , C halmaz elemei:

(A + B) , C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 10}.

1. plda Adottak az A, B, C halmazok: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {1, 3, 6, 9, 10}.Hatrozzuk meg az (A + B) , C halmaz elemeit!

A metszetkpzs kommutatv mvelet: A + B = B + A.A metszetkpzs asszociatv mvelet: A + (B + C) = (A + B) + C.

Kt halmaz metszete (ms nven kzs rsze) olyan halmaz, melynek elemei mindkt hal-mazba beletartoznak. A metszet jele: +. (24. bra)

Kt halmaz metszete (kzs rsze)

Az unikpzs kommutatv (felcserlhet) mvelet: A , B = B , A.Az unikpzs asszociatv (csoportosthat) mvelet: A , (B , C) = (A , B) , C.

I . H A L M A Z O K 19

9 . V F O L Y A M

Az uni a metszetre nzve disztributv mvelet, azazA , (B + C) = (A , B) + (A , C). (25. bra)A metszet az unira nzve disztributv, azazA + (B , C) = (A + B) , (A + C). (26. bra)

A , B = B , AA , (B , C) = (A , B) , C

A metszet jele: +

A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C

A , (B + C) = (A , B) + (A , C)

A + (B , C) = (A + B) , (A + C)

24.

25.

26.

A B

C

A B

C



Megoldsrdemes mindhrom halmazt egy szmegyenesen szemlltetni, majd onnan leolvasni a hromhalmaz kzs rszt. (27. bra)

Az bra alapjn A + B + C = {2 # x # 1 vagy 1 # x < 3}.

MegoldsAz (A , C ) + B halmaz elemei: (A , C ) + B = {1, 2, 4, 8}. (28. bra)

Egy sporttagozatos osztly ltszma 24 f. Az osztlyban mindenki atletizl vagy kosrlabd-zik. 16-an atletizlnak, 14-en kosaraznak. Hny olyan tanul van az osztlyban, aki csak kosarazik?

Egy osztly minden tanulja elment a tanv hrom iskolai koncertjnek valamelyikre. Azels koncerten 12-en voltak, a msodik koncerten ugyancsak 12-en vettek rszt, a harmadikkoncerten pedig 13-an. Mindhrom koncerten 3 dik vett rszt. Azok szma, akik csak egy kon-certen voltak: 14. Mennyi az osztlyltszm?

Legyen A halmaz a 2-vel, B halmaz a 3-mal, C halmaz a 4-gyel oszthat szmok halmaza.Ksztsnk halmazbrt, s helyezzk el benne a kvetkez szmokat: 0, 4, 6, 8, 12, 15, 18, 27, 162, 300!

Adjunk meg 5 halmazt gy, hogy kzlk brmely 4-nek a metszete ne legyen az reshalmaz, de az t halmaz metszete az res halmaz legyen!

Egy zeneiskola egyik vfolyamnak 56 dikja hegedlni, zongorzni vagy csellzni tanul.(Mindenki jtszik valamelyik hangszeren.) Azok szma, akik pontosan kt hangszeren jtszanak,ngyszer, akik pedig pontosan egy hangszeren jtszanak, kilencszer annyi, mint azok szma,akik mindhrom hangszeren jtszanak. Hnyan vannak azok, akik csak egy hangszeren jtszanak?

Az iskolai traszakosztly mind a 42 tagja rszt vett az idei hrom tra valamelyikn. A msodik kirndulson 1-gyel, a harmadikon pedig 5-tel tbben vettek rszt, mint az elsn.Azok szma, akik kt trn vettek rszt, 3-szor, akik pedig egy trn vettek rszt, 10-szer annyi,mint azok szma, akik mindhrom trn rszt vettek. Hnyan vettek rszt az els, a msodik, il-letve a harmadik kirndulson?

27.

6. E1

5. K2

4. E1

3. K2

2. K1

1. K1

Feladatok

3. plda Legyen A halmaz a 24 pozitv osztinak a halmaza, B halmaz a 32 pozitv osztinaka halmaza, C halmaz pedig a 36 pozitv osztinak a halmaza. Ksztsnk halmazbrt, s ha-trozzuk meg az (A , C ) + B halmaz elemeit!

2. plda Legyen A halmaz azon x vals szmoknak a halmaza, melyekre 2 # x # 4, a B hal-maz azoknak az x vals szmoknak a halmaza, melyekre | x | $ 1, vgl a C halmaz azon xvals szmoknak a halmaza, melyekre x < 3. Hatrozzuk meg az A + B + C halmaz elemeit!

20

9 . V F O L Y A M

28.

A B

C

21 43 612

24 3216

18 369

8



Egy autjavt zemben 49 szakmunks dolgozik: autszerelk, lakatosok s autvilla-mossgi szerelk. 5 olyan szakmunks van kzttk, aki mindhrom szakmban jrtas. Azok azautszerelk, akik nem rendelkeznek a lakatos szakmval is, hromszor annyian vannak, mintakik csak a lakatos szakmval rendelkeznek. Ht olyan szakmunks van az sszes kztt, akik azautszerel s a lakatos szakmt is tudjk. Azok a villamossgi szerelk, akik nem rtenek az au-tszerelshez, 14-gyel kevesebben vannak, mint azok az autszerelk, akik nem rtenek a la-katos munkhoz. Hnyan vannak, akik csak a lakatos szakmval rendelkeznek?

4. Halmazok klnbsge, komplementer halmaz

Az elz leckben megismerkedtnk kt halmaz egyestsvel, illetve metszetvel. Ebben a lec-kben elszr kt halmaz klnbsgt rtelmezzk, majd megismerkednk a komplementerhalmaz fogalmval.

Az A \ B halmaz elemeit teht gy kpezhetjk, hogy az A halmazbl kivesszk mindazokataz elemeket, amelyek a B halmaznak is elemei.

Ha pldul az A halmaz egy adott osztly tanulinak a halmaza, a B halmaz ugyanezen osz-tly szemveges tanulinak a halmaza, akkor az A \ B halmaz elemei azok a k, akik nem szem-vegesek; a B \ A halmaz elemei pedig a szemveges lnyok.

A fenti dencibl egyenesen kvetkeznek az albbi halmazegyenlsgek:A \ Q = A, Q \ A = Q, (A \ B) , (B \ A) = (A , B) \ (A + B).

MegoldsKsztsnk egy halmazbrt a feltteleknek megfelelen (30. bra). Elszr az A + B, majd az A \ B halmaz elemeit rdemes berajzolni.

Az A s B halmaz elemei: A = {1, 2, 3, 4, 6}, B = {1, 3, 5}.

Megoldsbrzoljuk a megadott halmazokat egy szmegyenesen! (31. bra)

31.

7. E1

2. plda Legyen A halmaz azon x vals szmoknak a halmaza, melyekre 3 # x # 5, a B hal-maz azoknak az x vals szmoknak a halmaza, melyekre | x | $ 1, a C halmaz pedig azon xvals szmok halmaza, melyekre |x | < 3. Hatrozzuk meg az (A + B) \ C halmaz elemeit!

1. plda Az A s B halmazokrl az albbiakat tudjuk:A , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A + B = {1, 3}, A \ B = {2, 4, 6}.

Hatrozzuk meg az A s B halmazt!

Az A s B halmaz klnbsge olyan halmaz, melynek elemei az A halmazban benne vannak,de a B halmazban nem. Az A s B halmazok klnbsgnek jele: A \ B. (29. bra)

21

9 . V F O L Y A M

Kt halmaz klnbsge

A s B halmazok klnbsgnek jele: A \ B.

29.

30.

A B

13

542

6


33.

MATEMATIKA I . H A L M A Z O K22

9 . V F O L Y A M

Az A + B halmaz elemei: 3 # x # 1 , 1 # x # 5. E vals szmok kzl kell kivennnk azo-kat a szmokat, melyek a C halmaznak is elemei. gy ki kell vennnk a 3 s 1 kztti szmo-kat (magt a 3-at nem, de a 1-et igen), valamint az 1-tl 3-ig terjed szmokat (az 1-etigen, de a 3-at nem). Teht az (A + B) \ C halmaz elemei: (A + B) \ C = {x = 3 vagy 3 # x # 5}.

MegoldsA zlddel jellt halmazt tbbflekppen is felrhatjuk. Az egyik lehetsges felrs:

[A \ (B , C )] , (B + C ).

Gyakran fordul el, hogy egy halmaz vizsglatakor egy bvebb halmazt (alaphalmazt) adunkmeg, melynek a vizsgland halmaz egy rszhalmaza. Ha pldul egy osztly tanulinak hal-mazt vizsgljuk valamilyen szempontbl, akkor a bvebb halmaz (vagyis az alaphalmaz) lehetaz vfolyam tanulinak a halmaza, de lehet az iskola tanulinak a halmaza is. Sokszor lehetnekfontosak szmunkra az alaphalmaznak azok az elemei, melyek az ltalunk vizsglt halmazbannincsenek benne.

Megolds= {1, 3, 5, 7, 9}, = {1, 2, 4, 5, 7, 8}. Ezek szerint

a) = {3, 9}; b) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}.A B+ A B,A B

3. plda rjuk le halmazmveleti jelekkel a 32. brn zlddel jellt tartomnyt!

Legyen adott egy U alaphalmaz. Egy A halmaznak az U halmazra vonatkoz komplementerhalmazn azt a halmazt rtjk, melynek elemei az U halmaznak elemei, de az A halmazbannincsenek benne. Az A halmaz komplementernek a jele: . (33. bra)

Knnyen meggondolhatk az albbi egyenlsgek:, , .

Az A s B halmazokrl, illetve azok komplementereirl szlnak a knnyen igazolhat DeMorgan-azonossgok:

s .A B A B+ ,=A B A B, +=

UQ =U Q=A A=

A

4. plda Legyen az U alaphalmaz a pozitv egsz egyjegy szmok halmaza, A halmaz a 10-nl nem nagyobb pros szmok halmaza, B pedig a 10-nl nem nagyobb 3-mal oszthat sz-mok halmaza. Hatrozzuk meg az albbi kt halmazt!

a) ; b) .A B,A B+

5. plda Legyen az alaphalmaz a sk pontjainak a halmaza. Adott e skon kt prhuzamosegyenes, e s f egymstl 2 cm tvolsgra. Az A halmaz a sk azon pontjainak halmaza, me-lyek e-tl legfeljebb 1 cm tvolsgra vannak, a B halmaz a sk azon pontjainak a halmaza, me-lyek f-tl legfeljebb 1 cm tvolsgra vannak. Hatrozzuk meg az halmazt!A B+

Az A halmaz komple-menternek jele: A

.

Ha az alaphalmazt U-valjelljk, akkor teht

A = U \ A.

32.

A B

C

U

A

A



MegoldsAz halmaz elemei a kt prhuzamos egyenes e s f kztti kzpprhuzamos egyenespontjai, melyek mindkt egyenestl 1 cm tvolsgra vannak. Ezek szerint az halmaz ele-mei a sk sszes pontja, kivve az e s f egyenesek kzpprhuzamos egyenest. (34. bra)

Legyenek az A, B s C halmazok rendre a 3-mal, 6-tal, illetve 5-tel oszthat szmok hal-maza. Mely szmok tartoznak az albbi halmazokba?a) (A \ B) + C; b) A \ B \ C.

Adottak az U alaphalmazon az A, B s C halmazok. Szemlltessk egy halmazbrn azalbbi halmazokat!a) ; b) .

Adottak az U alaphalmazon az A s B halmazok. Igazoljuk, hogy!

rjuk fel az A , B, A + B s A \ B halmazok elemeit, haA = {a, b, c, g, h, j}, B = {a, c, f, h, k}!

Adott hrom halmaz:A = {1, 2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 3, 5, 6, 7, 11, 12}, C = {4, 5, 6, 7, 10, 13}.Adjuk meg az albbi halmazok elemeit!a) (A , B) \ C; b) (A + B) , (B + C ); c) A + (B \ C ).

Igazoljuk halmazbrk segtsgvel az albbi egyenlsgeket!a) A \ (B , C ) = (A \ B) + (A \ C ); b) A \ (B + C ) = (A \ B) , (A \ C ).

Igazoljuk, hogy nem minden esetben igaz az albbi egyenlsg!A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C.

Legyen az alaphalmaz a vals szmok halmaza. Az A halmaz az x $ 2, a B halmaz az, a C halmaz az x # 6 vals szmok halmaza. Hatrozzuk meg az albbi halmazokat!

a) ; b) ; c) .

Egy ltalnos iskola fels tagozatn hromfle szakkr mkdik: fotszakkr, biolgia-szakkr s barlangsz szakkr. E szakkrk ltszmt a 35. bra mutatja vfolyamokra lebontva.Azok szma, akik pontosan kt szakkrre jrnak ktszer, akik pedig pontosan egy szakkrre jr-nak, hromszor annyi, mint azok szma, akik mindhrom szakkr munkjban rszt vesznek. Aziskola fels tagozata 216 dikjnak kb. hny szzalka nem jr semmilyen szakkrre?

34.

A B+A B+

9. E1

A B, \B A A C+

10x #8. K2

7. K2

6. K1

5. K1

4. K1

\B A A B A B A B+ , + , +=] ] ] ]g g g g3. E1

A B C, ,] g \A B C,] g

2. E1

1. K2

Feladatok

23

9 . V F O L Y A M

Tovbbi feladatok: Matematika gyakorl s rettsgire felkszt feladatgyjtemny I.171., 175., 177.,180.,182., 185., 187.,191.,201., 202., 211.,213.,222., 228., 229., 230.

35.

8. vf.

7. vf.

6. vf.

5. vf.

Fot

Biol

gia

Barla

ngs

z

7 5 7

8 6 17

14 18 12

12 16 8



5. A matematikai logika elemei

Korbban emltettk, hogy a matematikban az lltsokat megengedett logikai eszkzkkeligazoljuk. A matematikai nyelvezet sokszor nagyon eltr a kznapi szhasznlattl.

Ha pldul valamire azt mondjuk, hogy nem j, akkor azt rendszerint gy rtjk, hogy rossz. A matematikban ezzel szemben a nem j tnyleg csak annyit jelent, hogy nem j.

Kznapi rtelemben: Matematikai rtelemben:

A kznyelv nem tesz klnbsget egy llts tagadsa s az ellentte kztt.Pldk:

Az llts: tagadsa: ellentte: pedig ez is lehetne:j nem j rossz kzmbsesik az es nem esik az es st a nap havazik(valami) fehr nem fehr fekete pirospozitv nem pozitv negatv nullapratlan nem pratlan pros trtszm

A kznyelvben gyakran mondjuk: igaz is meg nem is. A matematikban azonban egy lltsvagy igaz, vagy nem igaz (hamis).

Ami nem igaz (hamis), annak a tagadsa igaz, ami pedig igaz, annak a tagadsa hamis. Ha egy matematikai llts el odatesszk: nem igaz, hogy, akkor az llts tagadst kapjuk. Pldul: az 5 nem oszthat 3-mal (igaz llts) tagadsa Nem igaz, hogy az 5 nem oszt-

hat 3-mal. Ezt lehet egyszerbben is mondani: Az 5 oszthat 3-mal. (Hamis llts.) A kt llts (az eredeti s tagadsa) kzl az egyik s csak az egyik igaz, a msik viszont

hamis.

Megolds a) Nem igaz, hogy esik az es. Ms szval: Nem esik az es. b) Nem igaz, hogy minden hzban van elad laks. Ms szval: Van olyan hz, amelyben nincs

elad laks. c) Nem igaz, hogy minden bartom klfldn van. Ms szval: Van olyan bartom, aki nincs

klfldn. d) Nem igaz, hogy van olyan nap, amikor minden rosszul sikerl, mert (ms szval) minden nap

van valami, ami jl sikerl.

1. plda Adjuk meg a kvetkez lltsok tagadst! a) Esik az es. b) Minden hzban van elad laks. c) Minden bartom klfldn van. d) Van olyan nap, amikor minden rosszul sikerl.

J ROSSZ J NEM J

24

9 . V F O L Y A M

Ha valami nem j, az nem biztos hogy rossz.

Lehet, hogy ppen ellenkezleg: kivl.


MATEMATIKA

A matematikban ha egy llts egy halmaz minden elemre vonatkozik, akkor az igazolshozbizonytst kell adnunk, a cfolathoz elegend egyetlen ellenpldt mutatnunk! (Pldul: Min-den, a 10-es szmrendszerben 0-ra vgzd szm oszthat 5-tel. Igaz, mert minden, a 10-esszmrendszerben 0-ra vgzd szm oszthat 10-zel, teht 5-tel is.

De: A 10-es szmrendszerben 0-ra vgzd termszetes szmok oszthatk 3-mal. Nemigaz, mert pldul a 10 is 0-ra vgzdik, de nem oszthat 3-mal.)

Ha viszont csak egy adott tulajdonsg elem ltezst lltjuk, akkor a bizonytshoz elegendegyetlen pldt mutatni, a cfolathoz viszont be kell bizonytani, hogy semelyik elemre sem igaza tulajdonsg. (Pldul: Van derkszg hromszg. Igaz, mert a tglalapot az tljval ket-tvgva keletkez kt hromszg derkszg.

De: Van kt derkszggel rendelkez skbeli hromszg. Nem igaz, mert ha ltezne, akkorannak a hromszgnek a szgsszege 180-nl nagyobb lenne.)

Megolds a) Nem minden hromszg hegyesszg, vagyis van olyan hromszg, amely nem hegyesszg.

Az eredeti llts hamis, a tagads igaz. b) Nem igaz, hogy nem minden arany, ami fnylik, vagyis ami fnylik, az mind arany. Az eredeti

llts igaz, a tagads hamis. c) Nem igaz, hogy van olyan szm, amely nem pros, vagyis nincs nem pros szm, teht esze-

rint minden szm pros. Az eredeti llts igaz, a tagads hamis. d) Nem igaz, hogy van olyan skbeli ngyszg, amelynek hrom tompaszge van, vagyis nincs

olyan skbeli ngyszg, amelynek hrom tompaszge van. Az eredeti llts hamis, a tagadsigaz.

A matematikai kvetkeztetsek sorn gyakran fogalmazunk meg ha , akkor szerkezetlltsokat, pldul ha egy ngyszgnek hrom szge derkszg, akkor a ngyszg tglalap.Ilyen mondatokat a kznyelvben is gyakran mondunk. A kvetkeztetseink azonban nem ugyan-azok a kznyelvben, mint a matematikban. Elfordulhat, hogy azt mondom: Ha vasrnap nemesik az es, akkor kirndulni megynk. s hozzgondolom: Ha viszont esik, akkor nem me-gynk. A matematikban azonban a gondolatokat nem vehetjk tekintetbe, amit nem mon-dunk, az nincs. A matematikban az is lehetsges, hogy esett az es, mgis elmentnk kirn-dulni, mert ezt a lehetsget nem zrja ki az llts.

3. plda Tegyk fel, hogy mindig igaz az az llts, hogy Ha hes vagyok, akkor eszem. Mirekvetkeztethetnk az albbiakbl? a) Ettem. b) Nem ettem. c) hes vagyok. d) Nem vagyok hes.

Mindegyikrl rjunk 1-2 mondatot!

2. plda rjuk fel a kvetkez lltsok tagadst, s dntsk el, hogy melyik az igaz, melyika hamis a kett kzl! a) Minden hromszg hegyesszg. b) Nem minden arany, ami fnylik. c) Van olyan szm, amely nem pros. d) Van olyan skbeli ngyszg, amelynek hrom tompaszge van.

I . H A L M A Z O K 25

9 . V F O L Y A M



Megolds a) Lehet, hogy hes voltam, ezrt ettem. Lehet, hogy vacsorra voltam hivatalos, nem voltam

hes, de udvariassgbl mgis ettem. Abbl, hogy ettem, nem kvetkezik sem az, hogy hesvoltam, sem az, hogy nem voltam hes.

b) Nem ettem, mert nem voltam hes. Hiszen ha hes vagyok, akkor eszem. De nem ettem.Abbl teht, hogy nem ettem, arra kvetkeztethetnk, hogy nem voltam hes.

c) Eszem. Hiszen ha hes vagyok, akkor eszem. Abbl, hogy hes vagyok, arra kvetkeztethe-tnk, hogy eszem.

d) Lehet, hogy nem eszem, hiszen nem vagyok hes. De az is lehet, hogy mgis eszem, mert pl-dul hivatalos vacsorn veszek rszt. Abbl, hogy nem vagyok hes, nem kvetkezik sem az,hogy eszem, sem az, hogy nem eszem.

Ha egy Ha , akkor igaz lltsnak az els tagja teljesl, akkor a msodik is. Ha a mso-dik tagja nem teljesl, akkor az els sem, hiszen ha az els teljeslne, akkor a msodik is telje-slne.

Ha egy Ha , akkor igaz lltsnak az els tagja nem teljesl vagy a msodik tagja tel-jesl, abbl semmire nem kvetkeztethetnk.

Megolds Arra nem kvetkeztethetnk, hogy a kolaj nem fogy el, mert errl nem is szl az eredeti ll-ts. (Persze tudjuk, hogy elfogy a kolaj, de az nem ebbl az lltsbl kvetkezik.)

Abbl, hogy az eredeti llts nem igaz, az sem felttlen kvetkezik, hogy nem tallnak msenergiaforrst, hiszen errl sem szl az llts.

Ha az eredeti llts nem igaz, akkor ebbl csak az kvetkezik, hogy elfogy a kolaj, s mg-sem tallnak helyette mst. (Hiszen ha tallnnak, akkor igaz lenne az eredeti llts.)

Ha a Ha , akkor llts nem igaz, akkor ez csak gy lehet, hogy az llts els rsze igaz,a msodik azonban nem. (Hiszen ha igaz lenne a msodik rsz, akkor igaz lenne az llts.)

Amikor a kznyelvben gy fogalmazunk, hogy Ha vasrnap nem esik, akkor kirndulni me-gynk, akkor ebbe legtbbszr belertjk, hogy ha pedig esik, akkor nem megynk kirndulnivagy nem kirndulni megynk.

A matematikban ezt pontosan meg kell fogalmaznunk! Vagyis azt kell mondanunk, hogyHa vasrnap nem esik, akkor kirndulni megynk, azonban ha esik, akkor nem megynk ki-rndulni. Ezt gy is ki lehet fejezni, hogy Vasrnap akkor s csakis akkor megynk kirn-dulni, ha nem esik. Vagy: Vasrnap akkor s csak akkor megynk kirndulni, ha nem esik.Vagy: Pontosan akkor megynk vasrnap kirndulni, ha nem esik.

Most mr pontosan tudjuk, hogy ez mit jelent. Mindezeket jelenti: ha esik, akkor nem me-gynk; ha nem esik, akkor megynk; ha elmentnk, akkor nem esett; ha nem mentnk el, akkoresett.

4. plda Van, aki gy vlekedik: Ha elfogy a kolaj, tallnak helyette ms energiaforrst.Sokan nem hisznek benne. Mit hisznek akkor? Vlaszd ki az albbi lehetsgek kzl! a) Nem fogy el a kolaj. b) Elfogy a kolaj, s mgsem tallnak helyette ms energiaforrst. c) Nem tallnak ms energiaforrst.

26

9 . V F O L Y A M

Ha nem vagyok hes,nem eszem. Ettem, mert

hes voltam.Ha nem lettem volna

hes, nem ettem volna.



A kvetkez kt pldban legyen a termszetes szmok halmaza az alaphalmaz. Ezek kzla tulajdonsgok kzl vlaszthatunk:

A tulajdonsgok sszekapcsolsra hasznlhatod a vagy s az s ktszavakat.

MegoldsIgaz s hamis lltsra is nagyon sok lehetsg van. Pldul: a) Igaz lltsok: Ha egy termszetes szm oszthat 4-gyel, akkor pros az utols szmjegye.

Ha egy termszetes szm szmjegyeinek sszege oszthat 3-mal, akkor a szm oszthat 3-mal. Ha egy termszetes szm oszthat 3-mal, akkor a szmjegyei sszege oszthat 3-mal. Ha egy termszetes szmnak 0 az utols szmjegye, akkor a szm pros.

b) Hamis lltsok: Ha egy termszetes szmnak pros az utols szmjegye, akkor oszthat 4-gyel. Ha egy termszetes szm pros, akkor 0 az utols szmjegye. Ha egy termszetes szmnak pros az utols szmjegye, akkor oszthat 3-mal. (Hamis, hiszenpldul a 2, 4, 8 stb. is pros szmjegyre vgzdnek, mgsem oszthatk 3-mal.)

Megolds Sok megolds lehetsges, pldul:

Egy termszetes szm akkor s csak akkor oszthat 3-mal, ha szmjegyeinek sszege oszthat3-mal.

Egy termszetes szm akkor s csak akkor oszthat 4-gyel, ha a fele pros szm. Egy termszetes szmnak akkor s csak akkor 0 az utols szmjegye, ha oszthat 5-tel s

oszthat 2-vel. Egy termszetes szm akkor s csak akkor oszthat 5-tel s 2-vel, ha 0 az utols szmjegye.

(Ez pontosan ugyanazt fejezi ki, mint az elz llts!) Egy termszetes szm akkor s csak akkor oszthat 6-tal, ha oszthat 2-vel s oszthat 3-mal. Egy termszetes szm akkor s csak akkor oszthat 6-tal, ha oszthat 2-vel, s szmjegyei-

nek sszege oszthat 3-mal.

6. plda Alkossunk a fenti tulajdonsgokkal a termszetes szmokrl szl akkor s csakakkor , ha alak igaz lltsokat a 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal val oszthatsg tu-lajdonsgaibl!

5. plda Alkossunk a fenti tulajdonsgok segtsgvel termszetes szmokrl szl Ha , akkor alak a) igaz lltsokat! b) hamis lltsokat!

0 az utols szmjegye pros az utols szmjegyeszmjegyeinek sszege

oszthat 3-mal

oszthat 5-tel oszthat 6-tal a fele pros szm

oszthat 4-gyel oszthat 2-vel oszthat 3-mal

27

9 . V F O L Y A M



Ha az egyik llts igaz, de a fordtott llts nem, akkor az llts nem megfordthat. Ha mind a kt llts igaz, akkor a kt lltst egytt akkor s csak akkor alakban fel-

rva ismt igaz lltst kapunk.

rjuk fel a kvetkez jelzk tagadst, valamint kt, klnbz jelentst kifejez ellenke-zjt! a) szp; b) nagy; c) okos; d) vastag; e) kerek; f) homor.

rjuk fel a kvetkez kijelentsek tagadst! Dntsk el, hogy melyik igaz; az llts vagya tagads! a) Minden termszetes szm nagyobb, mint 0. b) Vannak pratlan egsz szmok. c) Minden hromszgnek van legalbb kt hegyesszge. d) Minden tengelyesen szimmetrikus ngyszgnek van kt-kt egyenl szgprja. e) Van olyan skngyszg, amelyben a derkszgek szma 3. f) Brmely kt nem prhuzamos egyenes metszi egymst.

Ttelezzk fel, hogy igaz az az llts, hogy Ha fttyentesz, elhallgatok.. Mi kvetkezikabbl, hogy a) nem hallgattam el; b) nem fttyentettl; c) elhallgattam; d) fttyentettl?

Ha megnyitom a csapot, folyik a vz. Az albbiak kzl melyik llts fejezi ki pontosanugyanezt? a) Ha nem nyitom meg a csapot, nem folyik a vz. b) Ha folyik a vz, megnyitottam a csapot. c) Ha nem folyik a vz, nem nyitottam meg a csapot.

rjuk fel a kvetkez lltsok megfordtst! a) Ha havazik, akkor fagy. b) Ha pntek van, akkor moziba megyek. c) Ha nincs kifogsod ellene, akkor ablakot nyitok. d) Ha rrsz, akkor eljhetsz.

Dntsk el, hogy igazak-e az albbi lltsok! rjuk fel az lltsok megfordtst, s azok-rl is dntsk el, hogy igazak-e! a) Ha egy egsz szm pros, akkor 2-esre vgzdik. b) Ha egy egsz szm oszthat 9-cel, akkor a szmjegyeinek az sszege 9. c) Ha egy hromszg derkszg, akkor a kt rvidebb oldalra emelt ngyzet terletsszege

egyenl a leghosszabb oldalra emelt ngyzet terletvel.

6. K2

5. K1

Egy Ha , akkor alak llts megfordtsa az az llts, amit gy kapunk, hogy a kttulajdonsgot felcserljk. Pldul: Ha esik, akkor moziba megyek. Megfordtsa: Ha mo-ziba megyek, akkor esik.

llts megfordtsa

Ha egy Ha , akkor alak igaz llts megfordtsa is igaz, akkor azt mondjuk, hogy azllts megfordthat.

Megfordthat llts

2. K1

1. K1

Feladatok

4. K2

3. K2

28

9 . V F O L Y A M

Tovbbi feladatok: Matematika gyakorl

s rettsgire felkszt feladatgyjtemny I.14., 6., 17., 19., 27.,

29., 30., 32.

llts megfordtsa

Megfordthat llts


Documents

Matematika 9 Heuréka