Embed Size (px)
Citation preview
1. POJAM DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. REŠENJE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE, OPŠTE, PARTIKULARNO, SINGULARNO REŠENJE. DEF: Diferencijalnom jednačinom nazivamo jednačinu koja izražava neku vezu između nezavisno promenljive, nepoznate funkcije i njenih izvoda:
; najviši red izvoda u toj jednačini
nazivamo redom te diferencijalne jednačine.
( )( , , ', '',..., ) 0nF x y y y y =DEF: Rešenje
diferencijalne jednačine je svaka funkcija koja identički zadovoljava tu jednačinu. DEF: Jednoparametarsku porodicu funkcija , odn. , koja identički
zadovoljava diferencijalnu jednačinu prvog reda ,
odn. , nazivamo opštim rešenjem (opštim
integralom) te jednačine.
( , )y x Cϕ= ( , , ) 0x y Cφ =
' ( , )y f x y=
( , , ') 0F x y y =DEF: Partikularno rešenje
(partikularni integral) diferencijalne jednačine je svaka ona funkcija koja se dobija iz opšteg rešenja te
jednačine za odgovarajuće posebne vrednosti integracionih konstanata. ▪ Ako datu diferencijalnu jednačinu identički zadovoljava i funkcija koja nija sadržana u njenom
opštem rešenju tada se ova funkcija naziva singularno rešenje (singularni integral) te jednačine.
( )y y x=
( )y x
( )y x
2. JEDNAČINE S RAZDVOJENIM PROMENLJIVIM. U jednačini: ( ) ( )g y dy f x dx= promenljive su razdvojene –
svaka se nalazi na onoj strani jednačine na kojoj je njen diferencijal; treba odrediti promenljivu kao funkciju od y x .
Integracijom dobijamo: ( ) ( )g y dy f x dx C= +∫ ∫ , ako se
zada početni uslov , odrediće se konstanta ;
njoj odgovarajuće partikularno rešenje koje zadovoljava početni
uslov ima oblik:
0 0( )y x y= C
0 0
( ) ( )y x
y x
g y dy f x dx=∫ ∫ (*). Očigledno,
jednakost (*) se pretvara u identitet ako se gornje granice i y
x zamene sa i 0y 0x . DEF: Diferencijalna jednačina I reda
čije se promenljive mogu razdvojiti neposredno ili ako se obe strane pomnože istim izrazom, zove se diferencijalna jednačina sa razdvojenim promenljivim. 3. HOMOGENA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG
REDA. DEF: Jednačina zove se homogena
diferencijalna jednačina ako se funkcija
' ( , )y f x y=
( , )f x y može
predstaviti u obliku ( , ) yf x yx
ϕ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
. DEF: Funkciju ( , )f x y
nazivamo homogenom funkcijom m -tog stepena po
promenljivim x i ako je za svako y 0λ ≠
( , ) ( , ) ( )mf x y f x y m Qλ λ λ= ∈ . 4. JEDNAČINA PRVOG REDA KOJA SE SVODI NA HOMOGENU JEDNAČINU. DEF: Diferencijalnu jednačinu prvog reda nazivamo homogenom u odnosu na ' ( , )y f x y=
x i ako je y ( , )f x y homogena funkcija nultog stepena u
odnosu na x i , tj. y 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x y f x yλ λ λ= ≡ . 5. LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA. DEF: Linearnom diferencijalnom jednačinom prvog reda nazivamo jednačinu (◊) koja je linearna u
odnosu na traženu funkciju i njen izvod; pri tom su
i zadate neprekidne funkcije nezavisno
promenljive
' ( ) ( )y p x y q x+ =
( )y x
( )p x ( )q xx . ▄ Napišimo traženu f-ju u obliku , gde
su i f-je od kojih jedna može biti izabrana
proizvoljno, a druga treba da zavisi od prve u tom smislu da njihov proizvod zadovoljava linearnu jednačinu (◊). Dakle, ako je , tada je , pa zamenom u (◊)
dobijamo . Ako kao
izaberemo neko partikularno rešenje jednačine
(*) tada treba da odredimo iz jednačine
(**). U jednačini (*) promenljive se razdvajaju:
y uv=
( )u u x= ( )v v x=
y uv= ' ' 'y u v uv= +
' ' ( ) ( )u v uv p x uv q x+ + = ( )v x
' ( ) 0v p x v+ =
( )u x ' ( )u v q x=
( )dv p x dxv= − ,
pa je njeno opšte rešenje 1ln ( )v p x dx C= − +∫ potrebno
partikularno rešenje imamo za - to je f-ja: 1 0C =
( )p x dxv e
−∫= . Uvršćujući nađenu vrednost f-je u (**) dobijamo
( )( ) ( )p x dxdu q x q x e
dx v∫= = , ; dakle
. Opšte rešenje (◊) prema tome je
i dobija se pomoću dveju
integracija. Partikularno rešenje koje odgovara početnom uslovu dobija se kada se u opštem rešenju stavi
( )( )
p x dxdx q x e dx∫=
( )( )
p x dxu q x e dx C∫= ∫ +
⎤+ ⎥( ) ( )
( )p x dx p x dx
y e q x e dx C− ⎡∫ ∫= ⎢⎣ ⎦∫
0 0( )y x y=
0x x= , . 0y y=
6. BERNULIJEVA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA. RIKATIJEVA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA. Na linearne jednačine se svode i složenije jednačine kao recimo
Bernulijeva: , koja za
predstavlja linearnu jednačinu, a za
' ( ) ( ) , ( )y p x y q x yα α+ = ∈
0α = 1α = jednačinu u
kojoj se promenljive mogu razdvojiti. Za proizvoljno
primenjujemo sledeći postupak: obe strane delimo sa
{0,1}α ≠
yα :
i uvodimo pomoćnu f-ju
,
1' ( ) ( )y y p x y q xα α− − ++ =
1y zα− + = ' ( 1) 'z y yαα −= − + , čime se data jednačina
svodi na linearnu po z : ' ( 1) ( ) ( 1) ( )z p x z q xα α+ − + = − + .
Opšte rešenje ove jednačine je: (1 ) ( ) (1 ) ( )
(1 ) ( )p x dx p x dx
z e q x eα α
α− − −
dx C⎡ ⎤∫ ∫= − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ,
pa opšte rešenje Bernulijeve jednačine glasi: (1 ) ( ) (1 ) ( )
(1 ) ( )p x dx p x dx
y y e q x e dx Cα αα α
− − −⎡ ⎤∫ ∫= − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ . DEF:
Diferencijalna jednačina prvog reda oblika
(*) u kojoj su 2' ( ) ( ) ( )y p x y q x y r x+ + = ( )p x i
neprekidne funkcije u intervalu
( )r x
a x b≤ ≤ , ( ( ) 0)p x ≠ zove
se Rikatijeva diferencijalna jednačina. Za ( ) 0p x ≡ ,
jednačina (*) je linearna, a za ( ) 0r x ≡ Bernulijeva jednačina. 7. JEDNAČINA S TOTALNIM DIFERENCIJALOM. DEF: Jednačina ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = (*) predstavlja
jednačinu s totalnim diferencijalom ili egzaktnu diferencijalnu jednačinu ako su ( , )P x y i neprekidne i
diferencijabilne funkcije koje zadovoljavaju uslov
( , )Q x y
P Qy x
∂ ∂=
∂ ∂
(**), gde su parcijalni izvodi P Qy x
∂ ∂=
∂ ∂ neprekidni u nekoj
datoj oblasti D . ▪ Ako je leva strana jednačine (*) totalni diferencijal, tada važi uslov (**), i obrnuto ako je uslov ispunjen, tada je leva strana totalni diferencijal neke funkcije , tj.
jednačina (*) ima oblik:
( , )u x y
( , ) ( , ) ( , ) 0du x y P x y dx Q x y dy= + = , pa je njen opšti
integral ( , )u x y C= . Pokažimo da integracija jednačine (*)
daje: 0 0
( , ) ( , )yx
x y
P x y dx Q x y dy C+ =∫ ∫ , gde je 0 0( , )x y
proizvoljna tačka u oblasti D . Pre svega, imamo da je
( , ) ( , ) ( , )u udu x y dx dy P x y dx Q x y dyx x∂ ∂
= + = +∂ ∂
(1) ; u
tom slučaju je: ( , ) uP x yx∂
=∂
i ( , ) uQ x yy∂
=∂
(2), iz ove
jednakosti nalazimo da je: (3); pri
tome s obzirom da smatramo da je
0
( , ) ( )x
x
u P x y dx yϕ= +∫
y const= integraciona
konstanta zavisi od . Izaberimo f-ju iz (2) tako da
važi druga od jednakosti (1), diferencirajmo izraz (2) i izjednačimo dobijeni rezultat sa :
y ( )yϕ
( , )Q x y
0
'( ) ( , )x
x
u P dx y Q x yy y
ϕ∂ ∂= + =
∂ ∂∫ ,
0
'( ) ( , )x
x
Q dx y Q x yx
ϕ∂+ =
∂∫ , što znači da je:
0( , ) '( ) ( , )x
xQ x y y Q x yϕ+ = , tj.
, dakle,
, (4). Uzimajući
u obzir (3) i (4) možemo napisati da je:
. Izjednačavajući ovaj
izraz sa C dobijamo upravo (1).
0( , ) ( , ) '( ) ( , )Q x y Q x y y Q x yϕ− + =
0'( ) ( , )y Q x yϕ =0
0( ) ( , )y
y
y Q x y dy Cϕ = ∫ 0+
0+0 0
0( , ) ( , )yx
x y
u P x y dx Q x y dy C= +∫ ∫
8. INTEGRACIONI FAKTOR KOD JEDNAČINE SA TOTALNIM DIFERENCIJALOM. Integracioni faktor obeležavamo sa λ . ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ =
{ {1 1
( , ) : 0P Q
P Q x y Pdx Qdyy x
λ λ λ∂ ∂≠ ⇒ + =
∂ ∂. 1 1P Q
y x∂ ∂
=∂ ∂
;
( ) ( )P Qy xλ λ∂ ∂
=∂ ∂
, P QP Q
y y xλ λλ λ
x∂ ∂ ∂ ∂
+ = +∂ ∂ ∂ ∂
. (1)
( ) 0xyλλ λ ∂
= ⇒ =∂
, d
x dxλ λ∂→
∂,
P Q d Qy x dx
λλ⎛ ⎞∂ ∂
− = ⇒⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ # # # (2) ( ) 0y
xλλ λ ∂
= ⇒ =∂
,
y dyλ λ∂ ∂=
∂,
P Qd y x dy
Pλλ
∂ ∂− +∂ ∂= .
9. SVOĐENJE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE OBLIKA ( , ', '') 0F x y y = NA DIFERENCIJALNU JEDNAČINU
PRVOG REDA. smena: ''' ( , , ')y f x y y= y z y z' ''= ⇒ =
1 1 2' ( , ) ( , )y x C y x C dx Cϕ ϕ= ⇒ = +∫
,
.
10. SVOĐENJE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE OBLIKA
( , ', '') 0F y y y = NA DIFERENCIJALNU JEDNAČINU
PRVOG REDA. f smena '' ( , ')y f y y= 'z y= , ( )z z y= ,
'' 'dz dz dy dz dzy y zdx dy dx dy dy
⇒ = = ⋅ = ⋅ = ⋅
'' dz dzy zdx dy
⇒ = = − , tj. ( , )zdz f y zdy
= .
11. DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA. OPŠTE REŠENJE. SVOĐENJE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE
( ) ( 1) ( )( , , ,..., ) 0k k ny y y+ =F x NA DIFERENCIJALNU
JEDNAČINU PRVOG REDA. Diferencijalna jednačina -tog reda koja se može rešiti u odnosu na -ti izvod može se napisati u obliku
. Opšte rešenje te jednačine zavisi
od proizvoljnih integracionih konstanata:
, pa je za određivanje partikularnog
rešenja neophodno dati početne uslove ,
. Ako se nađeno opšte
rešenje diferencira put i u dobijeni rezultat unose početni uslovi, dobija se sistem od jednačina sa nepoznatih
, pa ove nepoznate određujemo iz tog sistema.
Linearna diferencijalna jednačina višeg reda je jednačina linearna po nepoznatoj funkciji i njenim izvodima; takva jednačina ima oblik:
nn
( ) ( 1)( , , ',..., )ny f x y y y −= n
n−
+
n
1 2( , , ,..., )ny x C C Cϕ=
0 0( )y x y=
( 1) ( 1)0 0 0 0'( ) ' ,..., ( )ny x y y x y−= =
1n −n n
1 2, ,..., nC C C
( ) ( 1) ( 2)1 2( ) ( ) ...n n ny p x y P x y− −+ + +
1( ) ' ( ) ( )n np x y p x y f x− + = gde su 1 ( ),..., ( )np x p x
neprekidne funkcije. ( ) ( 1) ( )( , , ,..., ) 0k k nF x y y y− = , smena: 1' kz y += ,...,
( ) ( )n k kz y− = , kz y= . ( )( , , ',..., ) 0n kF x z z z − = .
12. HOMOGENA LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA DRUGOG REDA. LINEARNO NEZAVISNA REŠENJA. DETERMINANTA VRONSKOG. OPŠTE REŠENJE. DEF: Linearna diferencijalna jednačina drugog reda je jednačina linearna u odnosu na nepoznatu f-ju i njene izvode prvog i drugog reda: (☼). Ako je
(identički) , jednačina (☼) je nehomogena, a ako je
, tada je ona homogena linearna diferencijalna
jednačina. ▄ Rešiti homogenu linearnu diferencijalnu jednačinu znači naći sva njena netrivijalna rešenja, tj. sva rešenja
(identički).
'' ( ) ' ( ) ( )y p x y q x y f x+ + =
( ) 0f x ≠
( ) 0f x ≡
( ) 0y x ≠ TEO: Ako je neko rešenje
homogene linearne diferencijalne jednačine, onda je i ,
gde je proizvoljna konstanta, rešenje te jednačine.
( )y x
( )Cy x
0C ≠
TEO: Ako su i rešenja homogene linearne
diferencijalne jednačine tada je i svaka njihova linearna kombinacija rešenje jednačine.
1 ( )y x 2 ( )y x
1 1 2 2( ) ( ) ( )y x C y x C y x= +
DOKAZ Ako dva puta diferenciramo f-ju ,
dobićemo: , . Ako sada
stavimo i u (☼) imaćemo:
jer su, po
pretpostavci, i rešenja jednačine (☼) , pa su
oba izraza u zagradama identički jednaki nuli. Prema tome i linearna kombinacija je takođe rešenje date
jednačine. ♦
1 1 2 2y C y C y= +
' '1 1 2 2'y C y C y= + '' ''
1 1 2 2''y C y C y= +
, 'y y ''y'' '' ' '
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )C y C y p C y C y q C y C y+ + + + +
'' ' '' '1 1 1 1 2 2 2( ) ( )C y py qy C y py qy= + + + + + ≡ 0
1( )y x 2 ( )y x
1 1 2 2C y C y+
DEF: Dva rešenja i jednačine (☼)
su linearno zavisna ako je
1 ( )y x 2 ( )y x
2
1
.y
consty
= odnosno
(1 2 0y yα β+ = α ili β različito od nule), a linearno
nezavisna ako je 2
1
( ) ( .)y
u x consty
= ≠ , odnosno
(1 2 0y yα β+ ≠ α ili β različito od nule). DEF: Ako su
i dva rešenja homogene jednačine (☼) tada se
funkcionalna determinanta
1( )y x 2 ( )y x
1 2' '1 2
( )y y
W xy y
= zove
determinanta Vronskog odnosne jednačine. TEO: Ako su i dva linearno nezavisna rešenja jednačine (☼)
tada je odgovarajuća determinanta Vronskog , a ako su i linearno
zavisna rešenja te jednačine, tada je .
1( )y x 2 ( )y x
( ) 0, ( , )a b∈W x x≠ ∀ 1 ( )y x 2 ( )y x
( ) 0W x = DOKAZ
Pođimo od suprotne pretpostavke: u tački 0( ) 0W x =
0 ( , )x a b∈ . To znači da je 10 200
10 20
( )' '
y yW x
y y= , gde je
, , ,
. Posmatrajmo homogeni sistem linearnih
algebarskih jednačina (□) čija je
determinanta te sistem osim trivijalnog ima i
netrivijalno rešenje { ,
10 1 0( )y y x= 10 1 0' ' (y y x= )
)
x =
20 2 0( )y y x=
20 2 0' ' (y y x=
10 20
10 20
00
y yy y
α βα β
+ =⎧⎪⎨ + =⎪⎩
0( ) 0D W=
}α β , pomoću koga ćemo obrazovati
novu f-ju 1 2( ) ( ) ( )y x y x y xα β= + . S obzirom na sistem (□) u
tački 0x važi uslov 0 1 0 2 0( ) ( ) ( )y x y x y xα β= + (□□).
Međutim, osim f-je ( )y x početni uslov (□□) zadovoljava i f-ju
koja odgovara trivijalnom rešenju sistema (□), a to
protivereči Peanovoj teoremi. Dakle, .
Ako je, u drugom slučaju
0y =
( ) 0, ( , )W x x a b≠ ∀ ∈
2
1
( 0)y ky= ≠ , tj. , tada je
očigledno
2y ky= 1
1 1
1 1
( ) 0' '
y kyW x
y ky= = . TEO: Ako su i
dva linearno nezavisna rešenja, tj. takva rešenja jednačine (☼)
da je uvek
1y 2y
2
1
.y
consty
≠ , tada netrivijalna linearna kombinacija
tih f-ja predstavlja opšte rešenje jednačine
(☼). Ako bi bilo
1 1 2 2y C y C y= +
2
1
.y
C consty
= = tj. , tada bi
linearna kombinacija sadržala
samo jednu konstantu, te ne bi mogla predstavljati opšte rešenje jednačine (☼). ▄ Iz teoreme zaključujemo da od bilo koja dva linearno nezavisna partikularna rešenja homogene linearne diferencijalne jednačine drugog reda možemo formirati njeno opšte rešenje. Zato kažemo da svaka dva linearno nezavisna partikularna rešenja čine fundamentalni sistem rešenja homogene linearne diferencijalne jednačine drugog reda.
2y Cy= 1
1 1 2 2 1 2 1( )C y C y C CC y+ = +
13. NALAŽENJE OPŠTEG REŠENJA HOMOGENE LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE DRUGOG REDA, AKO JE POZNATO JEDNO NJENO PARTIKULARNO REŠENJE. STRUKTURA OPŠTEG REŠENJA NEHOMOGENE LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. TEO: Ako je
jedno partikularno rešenje jednačine drugog reda
, onda se drugo, linearno nezavisno
rešenje nalazi iz jednačine prvog reda.
1 ( )y x'' '( ) ( ) 0y p x y q x y+ + =
2 ( )y x DOKAZ Prema
pretpostavci je 2y u y1= ⋅ , pa je ' '2 1 1'y u y u y= ⋅ + ⋅
2 ' ''y u y u y u y= ⋅ + + + ⋅
'' ' '' ' ' ''2 2 2 1 1 1 1 1 1[ ] '(2 )y py qy u y py qy u y py u y+ + = + + + + +
,
, tako da je
gde su leva strana i izraz u srednjoj zagradi na desnoj strani
identički jednaki 0. Zato ostaje:
'' '' '2 1 1 1
'' '1 1 1'(2 ) 0u y u y py+ + = , to
jest '1
1
' 2 'ydu p udx y
⎛ ⎞0+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠, a to je jednačina prvog reda po
. Odatle nalazimo (razdvajanjem promenljivih) i
zatim neposredno , a time smo dobili i . ♦
'u '( )u x
( )u x 2 1y y u=TEO: Opšte rešenje nehomogene linearne diferencijalne
jednačine '' '( ) ( ) 0y p x y q x y+ + = je zbir opšteg rešenja
odgovarajuće homogene jednačine i proizvoljnog partikularnog rešenja date nehomogene jednačine:
.
( )py x
1 1 2 2 ( )py C y C y y x= + + DOKAZ Neka je opšte
rešenje odgovarajuće homogene jednačine, a
proizvoljno malo partikularno rešenje date nehomogene jednačine. Diferenciranjem f-je dobijamo
, , pa s obzirom
na to leva strana jednačine postaje: , gde
je izraz u prvoj zagradi identički jednak nuli, a izraz u drugoj zagradi je jednak
( )hy x
( )py x
( ) ( )h py y x y x= +
' ' '( ) ( )h py y x y x= + '' '' ( ) '' ( )h py y x y x= +
[ '' ( ) ' ( ) ] [ '' ( ) ' ( ) ]h h h p py p x y q x y y p x y q x y+ + + + + p
( )f x jer je rešenje nehomogene
jednačine. Prema tome, f-ja zaista je
rešenje jednačine. Opšte rešenje ima oblik .
( )y x
( ) ( )h py y x y x= +
1 1 2 2 ( )py C y C y y x= + +
14. HOMOGENA LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA DRUGOG REDA S KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA. Razmatraćemo homogenu linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda: 1 2'' ' 0y a y a y+ + = (*) u
kojoj su koeficijenti i konstantni. Potražimo jedno
rešenje te jednačine u obliku , gde konstantu treba
odrediti tako da f-ja identički zadovoljava tu jednačinu.
Kako je i , znači da treba da bude
zadovoljen identitet ili, s obzirom da je
, (♫). Dakle, možemo
zaključiti da će eksponencijalna f-ja biti rešenje homogene
jednačine ako i samo ako je koren (rešenje) kvadratne jednačine – tzv. karakteristične jednačine date homogene jednačine. Da bismo obrazovali karakterističnu jednačinu (♫) za datu homogenu jednačinu treba da u (*) umesto stavimo 1,
a izvode i zamenimo sa konstantom odn. .
Razlikujemo tri moguća slučaja za korene karakteristične jednačine:
1a 2akxy e= k
kxe
' kxy ke= 2'' kxy k e=
21 2( )kxe k a k a+ + = 0
0,kxe k≠ ∀ 21 2 0k a k a+ + =
kxe
k
y
'y ''y k 2k
1. , i realni brojevi, 1 2k k≠ 1k 2k 2. 1 2k k=
( , realan broj), k≡ k 3. i su konjugovano
kompleksni koreni, tj.
1k 2k
1k iα β= + , 2k iα β= − , 0β ≠ .
Slučajevi: ( 1 ) Ako su 1 2,k k R∈ i 1 2k k≠ tada odmah
dobijamo dva rešenja jednačine: i . Očigledno je
njihov količnik:
1k xe 2k xe2
2 1
1
( ) .k x
k k xk x
e e conste
−= ≠ što znači da su ta
rešenja linearno nezavisna. Opšte rešenje u ovom slučaju je:
. ( 2 ) 11 2
k x k xy C e C e= + 21 2k k k= = , k R∈ . U tom
slučaju dobijamo samo jedno rešenje: . Po teoremi po
kojoj se drugo rešenje jednačine drugog reda nalazi iz jednačine prvog reda, linearno partikularno rešenje
nalazimo koristeći za nepoznatu f-ju diferencijalnu
jednačinu:
1kxy e=
2 1y y u=
( )u x
11
1
'' 2 'ydu a udx y
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
0 , gde je ,
,
1kxy e=
1'kxy ke= 1
1
'yk
y= , a iz karakteristične jednačine
1
2a
k−
= tako da dobijamo: ' 0du
dx=
11 1
1
'2 2 0⎟y
a k ay
⎛ ⎞+ = + =⎜
⎝ ⎠'u C u Cx= ⇒ =, , tj. u x=
(za ). Sada je , te je
. Dakle, opšte rešenje ima
oblik: .
1C = 2 1kxy xy xe= =
1 1 2 2 1 2kx kxC y C y C e C xe+ = +
1 2( ) kxy C C x e= + TEO: Ako homogenu linearnu
diferencijalnu jednačinu sa realnim koeficijentima zadovoljava kompleksna f-ja: tada i svaka od funkcija
i za sebe zadovoljava tu jednačinu, tj. i
su rešenja te jednačine.
( ) ( )u x i v x+ ⋅
( )u x ( )v x ( )u x
( )v x DOKAZ Iz uslova da f-ja
zadovoljava našu jednačinu proizilazi
, odakle zaključujemo
(na osnovu ,
( ) ( )u x i v x+ ⋅
1 2 1 2( '' ' ) ( '' ' ) 0u a u a u i v a v a v+ + + + + =
0a ib+ = 0 0a b= ∧ = ), da je i
i , što znači da su zaista
i i rešenja date jednačine. ♦ ( 3 ) Ako su koreni
karakteristične jednačine konjugovano kompleksni:
1 2'' ' 0u a u a u+ + = 1 2'' ' 0v a v a v+ + =
( )u x ( )v x
1k iα β= + , 2k iα β= − , 0β ≠ , tada imamo dva
rešenja: i , gde je: ( )1
i xy e α β+= ( )2
i xy e α β−=
( )i x x i xe e eα β α β± ±= (cos sin )xe x iα xβ β= ±
cos sinx xe x ieα α xβ β= ± . Na osnovu prethodne teoreme:
1 2cos sinx xy C e x C e xα αβ β= + to jest
1 2( cos sin )xy e C x C xα β β= + .
15. METODA NEODREĐENIH KOEFICIJENATA ZA REŠAVANJE NEHOMOGENE LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE DRUGOG REDA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA. Razmatraćemo nehomogenu jednačinu: (☺) sa
konstantnim koeficijentima i , čije je opšte rešenje zbir
opšteg rešenja odgovarajuće homogene jednačine i nekog partikularnog rešenja. Razmotrićemo specijalne slučajeve kad se partikularno rešenje date jednačine nalazi pomoću metode
neodređenih koeficijenata. ( 1 ) Ako je
1 2'' ' ( )y a y a y f x+ + =
1a 2a
( ) ( ) xf x P x e= , gde je
( )P x polinom, tada jednačina (☺) ima partikularno rešenje
oblika: , gde je polinom istog stepena
kao i
( )n mpy x Q x e= x ( )Q x
( )P x i uz to, ako nije koren karakteristične
jednačine , tada je , a ako je
koren karakteristične jednačine, tada označava višestrukost
tog korena (tj. ). Kad se pomenuto rešenje unese u
jednačinu (☺) koeficijenti polinoma se određuju po
principu neodređenih koeficijenata. ( 2 ) Ako je u jednačini (☺)
m2
1 2 0k a k a+ + = 0n = mn
{1,2}n∈
( )Q x
( ) cos sinf x a x b xβ β= + . Ako brojevi iβ± nisu koreni
odgovarajuće karakteristične jednačine tada jednačina (☺) ima partikularno rešenje oblika: cos sinpy A x B xβ β= + , a ako
su brojevi iβ± koreni karakteristične jednačine, tada
partikularno rešenje jednačine ima oblik ( cos sin )py x A x B xβ β= + . ( 3 ) Neka je u jednačini (☺)
( ) [ ( )cos ( )sin ]xf x e P x x Q x xα β β= + gde su ( )P x i
polinomi. Ako ( )Q x iα β± nisu koreni karakteristične
jednačine, tada partikularno rešenje ima oblik
[ ( ) cos ( )sin ]xpy e R x x S x xα β β= + , a ako su brojevi
iα β± koreni odgovarajuće karakteristične jednačine, tada
partikularno rešenje treba tražiti u obliku:
[ ( ) cos ( )sin ]xpy xe R x x S x xα β β= + .
16. METODA VARIJACIJE KONSTANTI ZA REŠAVANJE NEHOMOGENE LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE DRUGOG REDA SA KONSTANTIM KOEFICIJENTIMA. Ova metoda omogućuje nalaženje partikularnog rešenja nehomogene linearne diferencijalne jednačine
, pri tom je potrebno znati opšte
rešenje odgovarajuće homogene jednačine. Pretpostavimo da smo za našli opšte rešenje
. Partikularno rešenje tražićemo u obliku:
(*) (variraćemo konstante), gde su
i nepoznate funkcije koje treba odrediti iz
uslova da identički zadovoljava datu nehomogenu
jednačinu, a i poznata linearno nezavisna partikularna
rešenja homogene jednačine sa početka. Diferenciranjem (*) dobijamo:
. Ako su
i tako odabrane f-je da izraz
'' ( ) ' ( ) ( )y p x y q x y f x= + =
'' ( ) ' ( ) 0y p x y q x y+ + =
1 1 2 2hy C y C y= +
1 1 2 2( ) ( )py C x y C x y= +
1( )C x 2 ( )C x
( )py x
1y 2y
1 1 1 1 2 2 2 2' ' ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) 'py C x y C x y C x y C x y= + + +
1( )C x 2 ( )C x 'py ima isti oblik
kao i kad zavisi od običnih konstanata i . tj. ako je:
, tada se dobija:
,
pomnožimo li
1C 2C
1 1 2 2' ( ) ' ( ) 0C x y C x y+ =
1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
' ( ) ' ( ) '
'' ( ) '' ( ) '' ' ( ) ' ' ( ) 'p
p
y C x y C x y
y C x y C x y C x y C x y
= +⎧⎪⎨ = + + +⎪⎩
py sa q(x), a 'py sa p(x), dobićemo:
gde su izrazi u zagradama
jednaki nuli jer su i homogene jednačine. Da bi f-ja
predstavljala
partikularno rešenje nehomogene diferencijalne jednačine mora biti zadovoljen i uslov: . Ovaj i
uslov (**) čija je
determinanta, kao što smo i dokazali,
1 1 1 1 2 2 2 2( )[ '' ' ] ( )[ '' ' ]C x y py qy C x y py qy+ + + + +
1 1 2 2' ( ) ' ' ( ) ' ( )C x y C x y f x+ + =
1y 2y
1 1 2 2' ( ) ' ' ( ) ' ( )py C x y C x y f x= + =
1 1 2 2' ( ) ' ' ( ) ' ( )C x y C x y f x+ =
1 1 2 2
1 1 2 2
' ( ) ' ( ) 0,' ( ) ' ' ( ) ' ( )
C x y C x yC x y C x y f x
+ =⎧⎪⎨ + =⎪⎩
1 2
1 2
( )' '
y yW x
y y= . To
znači da prvo možemo iz prethodnog sistema naći i
:
1' ( )C x
2' ( )C x 1 21' ( ) ( ( ))( )
C x y f xW x
= − ⋅ ,
2 11' ( ) ( )( )
C x y f xW x
= ⋅ , a zatim integracijom i f-je i
.
1 ( )C x
2 ( )C x
17. HOMOGENE LINARNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA. FUNDAMENTALNI SISTEM REŠENJA. DETERMINANTA VRONSKOG. Nehomogena linearna diferencijalna jednačina -tog reda ima oblik:
, a
odgovarajuća homogena jednačina ima oblik:
. Ako su svi
imamo nehomogenu, odnosno homogenu
jednačinu sa konstantim koeficijentima.
n( ) ( 1) ( 2)
1 2 1... ' ( )n n nn ny p y p y p y p y f x− −−+ + + + + =
( ) ( 1) ( 2)1 2 1... ' 0n n n
n ny p y p y p y p y− −−+ + + + + =
.ip const=
TEO: Ako je
jedno rešenje homogene jednačine tada je i
( proizvoljna konstanta) takođe rešenje te jednačine.
1 ( )y x
1 1 ( )C y x
1 0C ≠
TEO: Ako su , ,..., rešenja homogene
jednačine tada je i svaka njihova netrivijalna linearna kombinacija
( ) rešenje te jednačine.
1( )y x 2 ( )y x ( )ny x
1 1 2 2 ... n nC y C y C y+ + +
., 1,2,...,iC const i n= =
DEF: Sistem od funkcija n 1( )xϕ , 2 ( )xϕ ,..., ( )n xϕ je
linearno zavisan ako se bilo koja od tih funkcija može predstaviti kao netrivijalna linearna kombinacija ostalih, a linearno nezavisan ako se nijedna od tih funkcija ne može predstaviti kao netrivijalna linearna kombinacija ostalih funkcija. DEF: Sistem od među sobom linearno nezavisnih partikularnih rešenja homogene linearne diferencijalne jednačine -tog reda zove se fundamentalni sistem rešenja te jednačine.
n
nTEO: Opšte rešenje homogene jednačine -tog
reda ima oblik , gde je ,
,..., fundamentalni sistem rešenja te jednačine, a
su integracione konstante.
n
1 1 2 2 ...h ny C y C y C y= + + + 1 ( )y xn
2 ( )y x ( )ny x
1 2, ,..., nC C C TEO: Ako se zna
jedno partikularno rešenje homogene jednačine -tog reda, onda se red te jednačine može sniziti za 1.
nDEF: Ako su
, ,..., partikularna rešenja homogene
linearne diferencijalne jednačine -tog reda, onda odgovarajuća determinanta Vronskog glasi:
1 ( )y x 2 ( )y x ( )ny xn
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1)1 2
...' ' ... '
( )... ... ... ...
...
n
n
n n nn
y y yy y y
W x
y y y− − −
= . TEO: Da bi sistem od
partikularnih rešenja , ,..., homogene
jednačine -tog reda bio linearno nezavisan (tj. fundamentalni sistem) neophodno je da i dovoljno da determinanta Vronskog bude za sve dopustive
n 1 ( )y x 2 ( )y x ( )ny xn
x različita od 0: ( ) 0W x ≠ . 18. OPŠTE REŠENJE NEHOMOGENE LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE - n TOG REDA. METODA
VARIJACIJE KONSTANATA. TEO: Opšte rešenje nehomogene jednačine -tog reda je zbir opšteg rešenja
odgovarajuće homogene jednačine i jednog, bilo kojeg
partikularnog rešenja te homogene jednačine:
, tj. s obzirom na
. Metoda varijacije
konstanata: kao i u slučaju nehomogene jednačine drugog reda polazi se od pretpostavke da, ako su u opštem rešenju odgovarajuće homogene jednačine umesto integracionih konstanata funkcije
tada može, pod
određenim uslovima zadovoljavati polaznu nehomogenu jednačinu. Dakle, partikularno rešenje te nehomogene
jednačine tražimo u obliku
n
( )hy x
( )py x
h py y y= +
1 1 2 2 ... n n py C y C y C y y= + + + +
1 2, ,..., nC C C 1 2( ), ( ),..., ( )nC x C x C x
1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nC x y C x y C x y+ + +
( )py x
1 1 2 2( ) ( ) ... ( )p n ny C x y C x y C x y= + + + , gde f-je
zadovoljavaju
uslove:
ovaj sistem ima determinantu
1 2( ), ( ),..., ( )nC x C x C x
1 1 2 2
1 1 2 2
( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2
' ' ... ' 0' ' ' ' ... ' ' 0... ... ... ...
' ' ... ' ( )
n n
n n
n n nn n
C y C y C yC y C y C y
C y C y C y f x− − −
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩
( ) 0W x ≠ za sve dopustive x ,
tako da odatle nalazimo , pa zatim i
i traženo partikularno rešenje
.
1 2' ( ), ' ( ),..., ' ( )nC x C x C x
1 2( ), ( ),..., ( )nC x C x C x
( )py x
19. LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA -n TOG
REDA S KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA. ( I ) Neka je data homogena linearna diferencijalna jednačina -tog reda:
sa
konstantnim koeficijentima . U tom slučaju će
karakteristična jednačina biti:
.
n( ) ( 1) ( 2)
1 2 1... ' 0n n nn ny a y a y a y a y− −−+ + + + + =
1 2, ,..., na a a
1 21 2 1... 0n n n
n nk a k a k a k a− −−+ + + + + = TEO-1: Svakom
-tostrukom realnom korenu karakteristične jednačine
odgovara partikularnih rešenja .
m k
m 1, ,...,kx kx m kxe xe x e−
TEO-2: Svakom paru -trostrukih konjugovano kompleksnih
korena
r
1k iα β= + , 2k iα β= − karakteristične jednačine
odgovara partikularnih rešenja oblika: 2r cosxe xα β ,
1cos ,..., cosx r xxe x x eα α xβ β− , i sinxe xα β ,
1sin ,..., sinx r xxe x x eα α xβ β− . ▄ Pri tom opšti zbir reda
višestrukosti svih korena treba da bude jednak stepenu
karakteristične jednačine:
n
2m r n+ = . Opšte rešenje predstavlja linearnu kombinaciju navedenih partikularnih rešenja. ( II ) Ako je data nehomogena jednačina -tog reda
sa konstantnim
koeficijentima, tada se u nekim slučajevima može koristiti metoda neodređenih koeficijenata. Ako je desna strana
jednačine oblika
n( ) ( 1)
1 1... ' ( )n nn ny a y a y a y f x−−+ + + + =
( ) [ ( )cos ( )sin ]xf x e P x x Q x xα β β= +
može se pokazati da partikularno rešenje nehomogene jednačine ima oblik kao i kod nehomogene jednačine drugog
reda: [ ( )cos ( )sin ]r xpy x e R x x S x xα β β= + , gde je red
višestrukosti korena
r
iα β+ karakteristične jednačine, a
( )R x i su polinomi istog stepena čije koeficijente treba
odrediti.
( )S x
20. PIKAROVA TEOREMA O EGZISTENCIJI I JEDINOSTI PARTIKULARNOG REŠENJA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA. dasdasdas das asda d 21. POJAM SISTEMA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA. RAZNI ZAPISI SISTEMA. REŠENJE, OPŠTE REŠENJE I
PROBLEM S POČETNIM USLOVOM. Neka su 1 ,..., nx x
n
nepoznate f-je nezavisno promenljive t . Sistem od jednačina koje uspostavljaju vezu između nezavisno promenljive, nepoznatih f-ja i njihovih prvih izvoda:
, ... 1 1 1( , , ' ,..., , ' ) 0n nF t x x x x = 1 1( , , ' ,..., , ' ) 0n n nF t x x x x =
naziva se sistem diferencijalnih jednačina prvog reda. Ako se sistem može rešiti po izvodima nepoznatih f-ja dobija se sistem diferencijalnih jednačina 1 1 1' ( , ,..., )nx f t x x= ...
1' ( , ,..., )n nx f t x x= . Za ovaj sistem kaže se da je u
normalnom obliku. S obzirom da je ' ii
dxx
dt=
sistem se može pisati i kao produžena proprocija
1,...,i n=
1
1 1 1
...( , ,..., ) ( , ,..., ) 1
n
n n n
dxdx dtf t x x f t x x
= = = ; to je tzv.
simetrični oblik sistema. DEF: Funkcije
1 1 ( ),..., ( )n nx x t x x t= = definisane i diferencijabilne na
intervalu nazivaju se rešenje sistema na ako i
samo ako identički zadovoljavaju sistem, tj. ako je
( , )a b ( , )a b
1 1 1' ( ) ( , ( ),..., ( ))nx t f t x t x t= ...
1' ( ) ( , ( ),..., ( ))n n nx t f t x t x t= za sve a t b< < . Svako
rešenje sistema određuje tzv. integralnu krivu u (n+1)-dimenzionom prostoru. ▄ Pod opštim rešenjem podrazumevamo -parametarsku familiju f-ja: n
1 1 1( , ,..., )nx x t C C= ... 1( , ,..., )n n nx x t C C= koja identički
zadovoljava sistem za sve vrednosti nezavisno promenljive t i
konstanti iz neke oblasti. Svako rešenje koje se
dobija iz opšteg rešenja za fiksirane vrednosti konstanti naziva se partikularno rešenje sistema.
1 ,..., nC C
1 ,..., nC C
22. EGZISTENCIJA I JEDINOST REŠENJA PROBLEMA S POČETNIM USLOVOM ZA SISTEM DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA. Neka je dat sistem diferencijalnih jednačina prvog reda u normalnom obliku: 1 1 1' ( , ,..., )nx f t x x= ...
1' ( , ,..., )n n nx f t x x= (♀) i neka tačka
pripada oblasti definisanosti f-ja
0 00 1( , ,..., )nt x x
1 ,..., nf f . Osnovni problem iz
teorije sistema diferencijalnih jednačina može se formulisati na sledeći način: da li postoji rešenje sistema (♀) 1 1( )x x t= ,...,
( )n nx x t= koje zadovoljava uslov 01 0 1( )x t x= ,...,
00( )n nx t x= (☺). Ako postoji, da li je takvo rešenje jedinstveno
ili ih ima više? Uslov (☺) se obično naziva početni uslov, a problem nalaženja rešenja sistema koje zadovoljava dati početni uslov naziva Košijev problem. TEO: (Peanova teorema) Neka su f-je 1 ,..., nf f definisane i neprekidne na
-dimenzionom paralelepipedu: ( 1)n +0
1 0{( , ,..., ) | , , 1,..., }n i iP t x x t t a x x b i n= − ≤ − ≤ = , gde
su i pozitivni brojevi. Neka je takvo da je a b 0M >
1( , ,..., )i nf t x x M≤ , , . Neka
je, najzad
1( , ,..., )nt x x P∈ ,...,i i n=
min , bh aM
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
. Tada sistem (♀) na intervalu
ima bar jedno rešenje koje zadovoljava uslov
(☺). 0 0( ,t h t h− + )
TEO: (Pikarova teorema). Neka su ispunjeni uslovi
Peanove teoreme i neka je, uz iste oznake, min{ , }bh aM
= .
Pretpostavimo dalje da na paralelepipedu P postoje parcijalni
izvodi , 1,..., 1,...,i
j
fi n j
x∂
= =∂
n . Pretpostavimo, osim toga,
da su navedeni izvodi ograničeni na P, tj. da postoji
tako da je
0K >
i
j
fK
x∂
≤∂
, , . Tada
sistem na intervalu ima jedno i samo jedno
rešenje koje zadovoljava uslov (☺).
1( , ,..., )nt x x P∈ , 1,...,i j n=
0 0( ,t h t h− + )
23. VEZA SISTEMA n DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA
PRVOG REDA SA DIFERENCIJALNOM JEDNAČINOM n -TOG REDA. Neka je data diferencijalna jednačina -tog
reda rešena po najvišem izvodu:
(♣). Uvedimo nove nepoznate funkcije na sledeći način:
n( ) ( 1)( , , ',..., )n nx f t x x x −=
1x x= , 2 'x x= , 3nx x= ,.., , . S
obzirom na način uvođenja f-ja
( 2)1
nnx x −− = ( 1)n
nx x −=
1 ,..., nx x imamo da je:
1 2' 'x x x= = , 2 3' nx x x= = ,..., ( 1)1' n
n nx x x−− = = ;
( ) ( 1)1 2' ( , , ',..., ) ( , , ,..., )n n
n nx x f t x x x f t x x x−= = = . Prema
tome, dobijen je sledeći sistem diferencijalnih jednačina u normalnom obliku: 1 2'x x= , 2 3'x x= , ... 1'n nx x− = . Jasno
je da je ( )x x t= rešenje jednačine (♣) ako i samo ako je
1 ( )x x t= , 2 '( )x x t= ,..., ( 1) ( )nnx x t−= rešenje sistema.
Prema tome, rešavanje jednačine (♣) možemo zameniti rešavanjem sistema i obratno.
24. PRVI INTEGRALI SISTEMA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA. NEZAVISNOST PRVIH INTEGRALA, POTREBAN I DOVOLJAN USLOV. Neka je dat sistem diferencijalnih jednačina u normalnom obliku:
1 1 1' ( , ,..., )nx f t x x= ,..., 1' ( , ,..., )n n nx f t x x= i neka su na
oblasti D ispunjeni uslovi postojanja i jedinstvenost rešenja Košijevog problema za dati sistem. DEF: Funkcija
neprekidno diferencijabilna i različita od
konstante na oblasti
1( , ,..., )nt x xϕ
D naziva se integral sistema na oblasti
D ako i samo ako je: 1( , ( ),..., ( )) ,nt x t x t C t Iϕ = ∈ , gde je
1 1( )x x t= ,..., ( )n nx x t= , t I∈ , ma koje rešenje sistema
takvo da , a je
odgovarajuća konstanta.
1( , ( ),..., ( )) , ,nt x t x t D t I∈ ∈ C
TEO: Neka je f-ja
neprekidno diferencijabilna i različita od konstante na oblasti 1( , ,..., )nt x xϕ
D . Potreban i dovoljan uslov da ϕ predstavlja integral
sistema na oblasti D je da sa
11
... 0nn
f ft x xϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂, . DOKAZ #
# #
1( , ,..., )nt x x D∈
DEF: Jednakost 1( , ,..., )nt x x Cϕ = , gde je
integral sistema, a proizvoljna konstanta,
naziva se prvi integral sistema. 1 ,..., )nt x x( ,ϕ C
DEF: Prvi integrali ,..., , sistema
nazivaju se nezavisnim na oblasti
1 1 1( , ,..., )nt x x Cϕ = 1( , ,..., )k n kt x x Cϕ =
D ako i samo ako ni za
jedno ne postoji neprekidno diferencijabilna f-ja 1,...,i = k φ
i oblast 'D D⊆ tako da je: 1 1 1( ,..., , ,..., )i i i nϕ φ ϕ ϕ ϕ ϕ− += ,
. U suprotnom se kaže da su dati prvi
integrali zavisni. TEO: Neka su f-je
1( , ,..., ) 'nt x x D∈
1 ,..., nϕ ϕ definisane i
neprekidno diferencijabilne na oblasti D i neka su:
,..., n , prvi integrali
sistema: (1) Ako je
1 1 1( , ,..., )nt x x Cϕ = 1( , ,..., )n nt x x Cϕ =
1 1
1
1
0n
n n
n
x x
x x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂∂ ∂
≠∂ ∂∂ ∂
L
M
L
, ,
tada su prvi integrali ,..., nezavisni na
1( , ,..., )nt x x D∈
1 1Cϕ = n nCϕ = D .
(2) Ako je
1 1
1
1
0n
n n
n
x x
x x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂∂ ∂
=∂ ∂∂ ∂
L
M
L
, gde je 1( , ,..., ) 'nt x x D∈
'D D⊆ proizvoljna podoblast oblasti D , tada su prvi
integrali ,..., zavisni na 1 1Cϕ = n nCϕ = D . 25. NALAŽENJE OPŠTEG I KOŠIJEVOG REŠENJA SISTEMA POMOĆU PRVIH INTEGRALA. Neka je dat sistem diferencijalnih jednačina: 1 1 1' ( , ,..., )nx f t x x= ...
1' ( , ,..., )n n nx f t x x= (*) . Ako je poznato nezavisnih prvih
integrala datog sistema, sistem se smatra u potpunosti rešenim. Zaista neka su: ...
(**) nezavisni prvi integrali sistema i neka je
n
n1 1 1( , ,..., )nt x x Cϕ = 1( , ,..., )n nt x x Cϕ =
D oblast na kojoj
je:
1 1
1
1
0n
n n
n
x x
x x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂∂ ∂
≠∂ ∂∂ ∂
L
M
L
; Tada se za svako
0 00 1( , ,..., )nt x x D∈ problem nalaženja onog rešenja sistema
koje zadovoljava uslov 0 01 0 1 0( ) ,..., ( )n nx t x x t x= = , svodi na
rešavanje sistema nelinearnih algebarskih jednačina:
...
. Rešavanjem sistema (**)
može se doći do opšteg rešenja sistema (*). ▄ Ukoliko je poznato nezavisnih prvih integrala sistema (*) u pojedinim
slučajevima red je moguće sniziti za , neka su
... (♪) nezavisni
prvi integrali sistema (*). Ako se sistem nelinearnih jednačina (♪) može rešiti, npr. po
0 01 1 1 0 1( , ,..., ) ( , ,..., )nt x x t x xϕ ϕ= n
n
k
0 01 1( , ,..., ) ( , ,..., )n n nt x x t x xϕ ϕ=
k
k
1 1 1( , ,..., )nt x x Cϕ = 1( , ,..., )k nt x x Cϕ =
1 ,..., kx x dobija se:
1 1 1 1( , ,..., , ,..., )k n kx t x x C Cψ += ...
1 1( , ,..., , ,..., )k k k n kx t x x C Cψ += (♪♪). Uvrštavanjem dobijenih
vrednosti u poslednjih n k− jednačina sistema (*) dobija se
sistem od n k− jednačina sa n k− nepoznatih f-ja
1 1 1 1' ( , ,..., , ,..., )k k k k nx f t x xψ ψ+ + += ...
1 1' ( , ,..., , ,..., )n n k k nx f t x xψ ψ += (♪♪♪). Ako je
1 1 1( , ,..., )k k nx x t C C+ += ... 1( , ,..., )n n nx x t C C= opšte
rešenje sistema (♪♪♪), uvrštavanjem u (♪♪) dobijamo 1 ,..., kx x
izraženo u f-ji od i na taj način dolazimo do opšteg
rešenja polaznog sistema. 1, ,..., nt C C
26. SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA VIŠEG REDA. SNIŽAVANJE REDA. Opšti oblik sistema diferencijalnih jednačina višeg reda je:
1 ( )( )1 1 1 1( , , ' ,..., ,..., , ' ,..., ) 0nkk
n n nF t x x x x x x = ...
1 ( )( )1 1 1( , , ' ,..., ,..., , ' ,..., ) 0nkk
n n nF t x x x x x xn = (*). Ako se
sistem (*) može rešiti po najvišim izvodima, dobija se tzv. normalni oblik sistema višeg reda:
...
(**). Sistem
(**) se uvek može svesti na sistem od
1 1 ( 1)( ) ( 1)1 1 1 1 1( , , ' ,..., ,..., , ' ,..., )nkk k
n n nx f t x x x x x x −−=
1 1 ( 1)( ) ( 1)1 1 1( , , ' ,..., ,..., , ' ,..., )nkk k
n n n n nx f t x x x x x x −−=
1 ... nk k+ + jednačina
prvog reda. Uvedimo smene:
, iz uvedenih smena
sledi
1
1
1
1
1,1 1 1,
2,1 1 2,
( 2)( 2)1,1 1 1,
( 1)( 1),1 1 ,
' '
n
n
n
n
n n
n n
kkk k n
kkk k n
x x x xx x x x
x x x x
x x x x
−−− −
−−
= == =
= =
= =
L
M
n
n
M
n
x
1 1
1,1 1, 2,
1,1 ,1 1, ,
' '
' 'n n
n n
k k k n k
x x
x x x x− −
=
= =
L
M M
n n
k n
što predstavlja
diferencijalnih
jednačina. Osim toga, na osnovu uvedenih smena i sistema (**) dobijamo još diferencijalnih jednačina
...
. Sada je
dat sistem od diferencijalnih jednačina prvog reda
sa nepoznatih f-ja.
1 1( 1) ... ( 1) ...nk k k k− + + − = + + −
n
1 1
',1 1 1,1 2,1 ,1 1, 2, ,( , , ,..., ,..., , ,..., )
nk k n nx f t x x x x x x=
1
',1 1,1 2,1 ,1 1, 2, ,( , , ,..., ,..., , ,..., )
n nk n k n n k nx f t x x x x x x=
1 ... nk k+ +
1 ... nk k+ +
27. SISTEMI LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA. EGZISTENCIJA I JEDINSTVENOST REŠENJA. Sistem linearnih diferencijalnih jednačina prvog reda je sistem oblika
1 11 1 1 1' ( ) ... ( ) ( )n nx a t x a t x b t= + + + ...
1 1' ( ) ... ( ) ( )n n nn n nx a t x a t x b t= + + + (*). Ako bar jedna od f-
ja nije identički jednaka nuli, sistem (*) se
naziva nehomogeni sistem. U suprotnom sistem (*) se svodi na:
1( ),..., ( )nb t b t
1 11 1 1' ( ) ... ( )n nx a t x a t x= + + ...
1 1' ( ) ... ( )n n nn nx a t x a t x= + + i naziva se homogeni sistem.
Košijev problem za ove sisteme se sastoji u nalaženju rešenja
1 1 ( )x x t= ,..., ( )n nx x t= koje zadovoljava uslov
0 01 0 1 0( ) ,..., ( )n nx t x x t x= = , gde su dati brojevi. 0 0
0 1, ,..., nt x x
TEO: Neka su f-je , , ,
neprekidne na , neka i neka su
( )ija t ( )ib t 1,...,i n= 1,...,j n=
( , )a b 0 ( , )t a b∈ 0 01 ,..., nx x
proizvoljni realni brojevi. Tada sistem (*) ima jedno i samo jedno
rešenje 01 0 1( )x t x= ,..., 0
0( )n nx t x= i ono je definisano na
čitavom intervalu ( , . )a b
28. HOMOGENI SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA. OSNOVNA SVOJSTVA. OPŠTE REŠENJE HOMOGENOG SISTEMA. Osobine homogenog sistema diferencijalnih
jednačina: ( )dX A t Xdt
= (○), gde je matrica reda
čiji su elementi neprekidne f-je.
( )A t
n n× TEO: Neka je dat
homogeni sistem (○) i neka su elementi matrice
neprekidne f-je na intervalu . Ako je rešenje
sistema (○) i ako je za neko tada je
, .
( )A t
( , )a b ( )X t
0 ( , )t a b∈ 0( ) 0X t =
( ) 0X t = a t b< < DOKAZ Neposredno se može
dokazati da je konstantni vektor 0 takođe rešenje sistema (○). Kako rešenja i 0 imaju istu vrednost u tački i kako su
na intervalu ispunjeni uslovi za jedinstvenost rešenja to
se i 0 moraju poklapati na čitavom intervalu tj.
, .
( )X t 0t
( , )a b
( )X t ( , )a b
( ) 0X t = a t b< < TEO: Neka je dat homogeni sistem (○)
ako su 11
1
1
( )( )
( )n
x tX t
x t
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M ,..., 1 ( )
( )( )
m
m
nm
x tX t
x t
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
M⎥⎥ rešenja
sistema (○) na i su proizvoljne konstante,
tada je i ( , )a b 1,..., mC C
1 11 1
1 1
1 1
( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )
( ) ... ( )
m m
m m
n m nm
C x t C X tX t C X t C X t
C x t C X t
+ +⎡ ⎤⎢ ⎥= + + = ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
M
rešenje sistema na ( , . )a b DOKAZ Kako su
rešenja sistema (○) imamo da je: 1( ),..., ( )mX t X t
11
( )( ) ( ) ... mm
dX tdX t dX tC Cdt dt dt
= + +
1 1( ) ( ) ... ( ) ( )m mC A t X t C A t X t= + +
1 1( )( ( ) ... ( )) ( ) ( )m mA t C X t C X t A= + + t X t= , ,
pa je i rešenje datog sistema. ♦
a t b< <
( )X t DEF: Za rešenja
sistema (○) kažemo da su linearno zavisna
na ako i samo ako postoje konstante , od
kojih je bar jedna različita od nule, tako da je , . U suprotnom, tj.
ako je iz , sledi da je
, kažemo da su rešenja
linearno nezavisna na .
m
1( ),..., ( )mX t X t
( , )a b 1,..., mC C
1 1 ( ) ... ( ) 0m mC X t C X t+ + = a t b< <
1 1 ( ) ... ( ) 0m mC X t C X t+ + = a t b< <
1 0,..., 0mC C= = 1( ),..., ( )mX t X t
( , )a b TEO: Neka su
11
1
1
( )( )
( )n
x tX t
x t
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M ,...,1 ( )
( )( )
n
n
nn
x tX t
x t
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
M⎥⎥ rešenja sistema (○) i
neka su elementi matrice neprekidne f-je na .
Tada je potreban i dovoljan uslov za linearnu nezavisnost
rešenja ,..., dat sa
( )A t ( , )a b
1( )X t ( )nX t11 1
1
( ) ( )0
( ) ( )
n
n nn
x t x t
x t x t≠
L
M
L
,
. a t b< < TEO: Neka su elementi matrice neprekidne
f-je na ( , i neka su
( )A t
)a b11
1
1
( )( )
( )n
x tX t
x t
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
M⎥⎥ ,..,
1 ( )( )
( )
n
n
nn
x tX t
x t
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
M⎥⎥ linearno nezavisna rešenja sistema (○).
Tada je svako rešenje sistema (○) oblika , , gde su
odgovarajuće konstante. 1 1( ) ( ) ( )n nX t C X t C X t= + +L a t b< <
1,..., nC C 29. FUNDAMENTALNE MATRICE HOMOGENOG SISTEMA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA. POTREBAN I DOVOLJAN USLOV. OPŠTE REŠENJE SISTEMA IZRAŽENO PREKO
FUNDAMENTALNE MATRICE. DEF: Matrica reda
naziva se fundamentalna matrica sistema
( )tΦn n×
( )dX A t Xdt
= (○) ako i samo ako su kolone matrice
linearno nezavisna rešenja sistema.
( )tΦ
TEO: Neka je matrica rešenje matrične diferencijalne jednačine ( )tΦ
( )d A tdtΦ
= Φ i neka su elementi matrice neprekidni na
. Tada je fundamentalna matrica sistema ako i
samo ako je: , .
( )A t
( , )a b ( )tΦ
det ( ) 0tΦ ≠ a t b< < TEO: Neka su
elementi matrice neprekidni na ( , . Ako je
fundamentalna matrica sistema (○) i
( )A t )a b ( )tΦ
P je proizvoljna konstantna nesingularna matrica reda , tada je i
fundamentalna matrica sistema (○).
n n×
( ) ( )t tψ = Φ P
30. NEHOMOGENI SISTEMI. OPŠTE REŠENJE
NEHOMOGENOG SISTEMA. Neka je ( ) ( )dX A t X B tdt
= +
(▲) vektorski zapis nehomogenog sistema linearnih diferencijalnih jednačina. Sistemu (▲) pridružujemo homogeni
sistem: ( )dX A t Xdt
= (▲▲). TEO: Pretpostavimo da su
elementi matrice i vektora ( )A t ( )B t neprekidni na ( , .
Neka su linearno nezavisna rešenja
homogenog sistema (▲▲) i neka je jedno partikularno
rešenje nehomogenog sistema (▲). Tada je svako rešenje sistema (▲) oblika: ,
gde su odgovarajuće konstante.
)a b
1( ),..., ( )nX t X t
( )Y t
1 1( ) ( ) ... ( ) ( )n nX t C X t C X t Y t= + + +
1,..., nC C DOKAZ Neka je
proizvoljno rešenje nehomogenog sistema i neka
. Mogu se odrediti konstante tako da je:
. Osim toga je:
( )X t
0 ( , )t a b∈ 1,..., nC C
1 1 0 0 0 0( ) ... ( ) ( ) ( )n nC X t C X t Y t X t+ + + =
1 1( ( ) ... ( ) ( ))n nd C X t C X t Y tdt
+ + +
11 ... n
ndXdX dYC C
dt dt dt= + + +
1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nC A t X t C A t X= + +
1 1( )( ( ) ... ( )
t A t Y t B t+ +
( )) ( )n nA t C X t C X t Y t B t= + + + + . Dakle,
je rešenje sistema (▲) koje
zadovoljava isti početni uslov kao rešenje . Na osnovu
teoreme o jedinstvenosti rešenja je: ,
1 1 ( ) ... ( ) ( )n nC X t C X t Y t+ + +
( )X t
1 1( ) ( ) ... ( ) ( )n nX t C X t C X t Y t= + + + a t b< < .
31. METODA VARIJACIJE KONSTANATA ZA NEHOMOGENI SISTEM. Opšte rešenje nehomogenog sistema može se dobiti metodom varijacije konstanata. Neka su
11
1
1
( )( )
( )n
x tX t
x t
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M ,..., 1 ( )
( )( )
n
n
nn
x tX t
x t
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M linearno nezavisna
rešenja sistema ( )dX A t Xdt
= (☼). Potražimo opšte rešenje.
Jasno je da je rešenje sistema ako i samo ako je za
( )X t
a t b< <
1 11 1 ... n n
n ndC dXdC dX
X C X Cdt dt dt dt
+ + + +
1 1( )( ... ) ( )n nA t C X C X B t= + + + . Uzimajući u obzir da su
rešenja homogenog sistema, dobijamo: 1( ),..., ( )nX t X t
11 ...
dCdCX
dt dt+ + ( )n
nX B t= , tj.
111 1 1
11
... ( )
... ( )
nn
nn nn
dCdC
n
x x b tdt dt
dCdCx x b t
dt dt
+ + =
+ + =
M . Kako su
linearno nezavisna rešenja homogenog sistema, determinanta sistema linearnih algebarskih jednačina je različita od nule, pa sistem ima jedinstveno rešenje.
1( ),..., ( )nX t X t
11( )
dCv t
dt= ,..., ( )n
ndC
v tdt
= . F-je se sada
određuju integracijom:
,..., C t pritom f-je
zavise i od konstanti koje se javljaju pri integraciji.
Za tako određene f-je je jasno da je:
1 ( ),..., ( )nC t C t
1 1 1( ) ( )C t v t dt C= +∫ ( ) ( )n n nv t dt C= +∫( )iC t iC
( )iC t
1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n nX t C t X t C t X t= + +
( ) ( )1 1 1( ) ( ) ... ( ) ( )n n nv t dt C X t v t dt C X t= + + + +∫ ∫
rešenje sistema. Kako je pritom:
, imamo da je
zbir opšeg rešenja homogenog sistema i partikularnog rešenja nehomogenog sistema. Radi se dakle o opštem rešenju nehomogenog sistema. ▄ U matričnom obliku: neka je
fundamentalna matrica homogenog sistema (☼) i neka je C
konstantan vektor. Tada je, kao što je poznato
opšte rešenje homogenog sistema. Potražimo opšte rešenje
nehomogenog sistema
1 1( ) ( ) ... ( )n nX t C X t C X t= + +
1 1 1( ) ( ) ... ( ) ( )nX t v t dt X t v t dt+ + +∫ ∫ ( )X t
( )tΦ
( ) ( )t CX t = Φ
( ) ( )dX A t X B tdt
= + u obliku
. Pritom će biti rešenje
nehomogenog sistema ako i samo ako je
( ) ( ) ( )X t t C t= Φ ( )X t
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )d t C t A t t C t B tdt
Φ = Φ + , a t b< < , tj. s
obzirom da za diferenciranje proizvoda matrice i vektora važi analogna formula kao u skalarnom slučaju,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d t dC tC t t A t t C t B tdt dtΦ
+Φ = Φ + (☼☼),
. Kako je fundamentalna matrica sistema (☼)
biće
a t b< < ( )tΦ
( ) ( ) ( )d t A t tdtΦ
= Φ , pa je ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d t C t A t t C t
dtΦ
= Φ ,
i (☼☼) svodi se na ( )( ) ( )dC tt B
dtΦ = t odakle sledi
1( ) ( ) ( )dC t t B tdt
−= Φ tj. 1( ) ( ) ( )C t t B t dt C−= Φ∫ + gde je
konstantni vektor. Opšte rešenje je tako
.
C1( ) ( ) ( ) ( ) ( )X t t t B t dt t C−= Φ Φ +Φ∫
32. REŠAVANJE HOMOGENOG SISTEMA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA. KARAKTERISTIČNA JEDNAČINA I KARAKTERISTIČNE VREDNOSTI SISTEMA. JEDNOSTRUKI REALNI KORENI. Razmatramo rešavanje sistema linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima 1 11 1 1 1' ... ( )n nx a x a x b t= + + + ...
1 1' ... ( )n n nn n nx a x a x b t= + + + (*), gde su ,
konstante, a , f-je neprekidne
na intervalu . Rešavanje nehomogenog sistema svodi se
na rešavanje odgovarajućeg homogenog sistema:
ija
, 1,...,i j n= ( )ib t 1,...,i = n
( , )a b
1 11 1 1' ... n nx a x a x= + + ... 1 1' ...n n nn nx a x a x= + + (**). Da
bi smo odredili opšte rešenje sistema (**) dovoljno je naći linearno nezavisnih rešenja ovog sistema. Potražimo ta rešenja
u obliku:
n
1 1tx A eλ= ,..., t
n nx A eλ= , gde su i 1,..., nA A λ
konstante. Tada je: 1 1' ,..., 't tn nx A e x A eλ λλ λ= = . Smenom
u (**) dobijamo: odakle,
posle skraćivanja sa
1 11 1 1
1 1
( )
( )
t tn n
t tn n nn
A e e a A a A
A e e a A A A
λ λ
λ λ
λ
λ
= + +
= + +
L
M
L n
teλ dobijamo homogeni sistem linearnih
algebarskih jednačina po :
(***). Interesuju nas samo
netrivijalna rešenja ovog sistema. Sistem (***) ima netrivijalna rešenja ako i samo ako je njegova determinanta jednaka nuli, tj.
1,..., nA A
11 1 1
1 1
( )
( )
n n
n nn n
a A a A
a A a A
λ
λ
− + + =
+ + − =
L
M
L
0
0
11 1
1
0n
n nn
a a
a a
λ
λ
−=
−
L
M
L
(****) . Jednačina (****) se naziva
karakteristična jednačina sistema (**). Razvojem navedene determinante dobija se polinom -tog stepena po n λ , pa
jednačina (****) ima rešenja n 1 ,..., nλ λ , koja se nazivaju
karakteristične vrednosti sistema (**). ▄ Karakteristična jednačina se može zapisati u obliku: det( , gde je
matrica sistema, a
) 0A Iλ− =
A I je jedinična matrica reda , tj.
, . Razmotrimo slučaj
kada su koreni karakteristične jednačine jednostruki i realni. Tada, za svako rang
matrice jednak . Pa se za
svako sistem
može dovesti u kvazitrougaoni oblik (npr. primenom Gausove metode) sa jednom slobodnom i vezanih promenljivih.
Obeležimo sa jedno netrivijalno rešenje sistema.
Tom rešenju odgovara rešenje
n n×
11 1
1
n
n nn
a aA
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L
M
L
1 0
0 1I
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L
M
L
n
k⎢⎢ ⎥−⎣ ⎦
L
M
L
1n −
n0
0
k
1,...,k =
11 1
1
n
n nn
a k a
a a
λ
λ
−⎡ ⎤⎢ ⎥
⎥
1,...,k =11 1 1
1 1
( )
( )
k n n
n nn k n
a A a A
a A a A
λ
λ
− + + =
+ + − =
L
M
L
1n −
1 ,...,k nA A
1 1 ,...,k kt tk n nkx A e x A eλ λ= =
sistema. Kako navedeno razmatranje važi za svako , na taj način dobijamo n rešenja sistema (**),
koja vektorski možemo zapisati:
1,...,k = n
e 1
11
1
1
t
n
AX
A
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M ,...,
1n
nt
n
nn
AX
Aeλ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M . S obzirom na učinjenu pretpostavku da su
1 ,..., nλ λ međusobno različiti, rešenja su linearno
nezavisna na intervalu ( , . Fundamentalna matrica
sistema (**) je data sa: , a
opšte rešenje sa , gde je C konstantan
vektor.
1 ,..., nX X
)−∞ +∞
1
1
11 1
1
( )
n
n
ttn
ttn nn
A e A et
A e A e
λλ
λλ
⎡ ⎤⎢ ⎥
Φ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L
M
L
( ) ( )X t t C= Φ
33. REŠAVANJE HOMOGENOG SISTEMA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA. KARAKTERISTIČNA JEDNAČINA I KARAKTERISTIČNE VREDNOSTI SISTEMA. JEDNOSTRUKI KOMPLEKSNI KORENI. U slučaju kada je
kλ kompleksni koren karakteristične jednačine višestrukosti
, slično kao i u slučaju višestrukog realnog korena odgovara
mu rešenje oblika:
r
1 1( ) k tx P t eλ= ,..., ( ) ktn nx P t eλ= , gde su
1( )P t ,..., ( )nP t polinomi stepena . Koeficijenti ovih
polinoma takođe se određuju uvrštavanjem u sistem
1r −
1 11 1 1' ... n nx a x a x= + + ... 1 1' ...n n nn nx a x a x= + + (*). Sada
se dobija sistem linearnih jednačina sa kompleksnim koeficijentima, koji se, slično kao i u slučaju višestrukih realnih korena, može svesti na oblik sa slobodnih i
vezanih promenljivih. Razdvajanjem realnih i imaginarnih delova ovih rešenja dobija se realnih rešenja sistema, za koja se može pokazati da su linearno nezavisna; -tostrukom konjugovano-kompleksnom paru korena karakteristične jednačine odgovara linearno nezavisnih rešenja sistema (*).
r ( 1)r n −
2rr
2r
34. REŠAVANJE HOMOGENOG SISTEMA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA. KARAKTERISTIČNA JEDNAČINA I KARAKTERISTIČNE VREDNOSTI SISTEMA. REALNI VIŠESTRUKI KORENI. Razmotrimo sada nehomogeni sistem sa konstantnim koeficijentima
1 11 1 1 1' ... ( )n nx a x a x b t= + + + ...
1 1' ... ( )n n nn n nx a x a x b t= + + + (*). Ukoliko je
opšte rešenje pridruženog
homogenog sistema
1 1( ) ( )n nX C X t C X t= + +L
1 11 1 1' ... n nx a x a x= + + ...
1 1' ...n n nn nx a x a x= + + (**) opšte rešenje je oblika:
, gde je jedno
partikularno rešenje sistema (**). S obzirom da se radi o sistemu sa konstantim koeficijentima u nekim slučajevima se do partikularnog rešenja može doći i metodom neodređenih
koeficijenata. Neka je:
1 1( ) ( ) ( )n nX C X t C X t Y t= + + +L ( )Y t
( )Y t
1 1 1( ) ( ( )cos ( )sin )tb t e P t t Q t tα β β= +
... ( ) ( ( )cos ( )sin )tn n nb t e P t t Q t tα β β= + gde su 1( )P t ,..,
( )nP t , ,..., polinomi stepena 1( )Q t ( )nQ t 1 ,..., np p ,
, respektivno. Neka je
. Partikularno rešenje se traži u
obliku
1 ,..., nq q
1 1max{ ,..., , ,..., }n nr p p q q=
1( ) ( ( )cos ( )sin )ty t e R t t Q t tα1 1 β β= +
( ) ( ( )cos ( )sin )tny t e R t t Q t tα
...
n n β β= +
1 ( ),..., ( )n
, gde su
R t R t , polinomi stepena 1 ( ),..., ( )nQ t Q t r s+ sa
neodređenim koeficijentima, a s je ili nula (ako iα β± nije
koren karakteristične jednačine) ili je jednako višestrukosti korena iα β± (ako iα β± jeste koren karakteristične
jednačine). Neodređeni koeficijenti se određuju iz uslova da predstavlja rešenje sistema (*). Metoda neodređenih
koeficijenata se može primeniti i u slučaju kada su f-je zbirovi f-ja navedenog oblika.
( )Y t
1( ),..., ( )nb t b t 35. ODREĐIVANJE FUNDAMENTALNE MATRICE POMOĆU MATRIČNOG EKSPONENTA. Neka je dat linearni
homogeni sistem sa konstantnim koeficijentima dX AXdt
=
(♀). Pokažimo da je: fundamentalna matrica
sistema. Zaista kako je po definiciji matričnog eksponenta
( ) Att eΦ =
At Atd e Aedt
= to matrica zadovoljava matričnu
diferencijalnu jednačinu
( ) Att eΦ =
d AdtΦ
= Φ . Kako je osim toga
, fundamentalna matrica sistema (♀).
Opšte rešenje sistema (♀) dato je prema tome sa:
, gde je C konstantan vektor. Rešenje
Košijevog problema
det 0Ate ≠ ( ) Att eΦ =
( ) AtX t e C=
dX AX=dt 0
0
, može se
takođe napisati pomoću matričnog eksponenta. Kako je
fundamentalna matrica, traženo rešenje je
. Kako je i
, rešenje Košijevog problema dato je sa:
.
0( )X t X=
( ) Att eΦ =
0 10( ) ( )AtAtX t e e X−= 0 1( )At Ate e−− =
0 0 0( )At At A t te e e− −=0( )
0( ) A t tX t e X−=
36. STABILNOST REŠENJA SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA S KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA. DEF:
Neka je 0 01 1 0 1( , , ,..., )nx x t t x x= ,..., 0 0( , , ,..., )n0 1n nx x t t x x=
1 11 1 1 1' ... ( )n n
ono rešenje sistema x a x a x b t= + + + ...
1 1' ... ( )n n nn n nx a x a x b t= + + + (*) koje zadovoljava početni
uslov 0 01 0 0 1 1( , , ,..., )n
0x t t x x x= ,..., 0 0 0
0 0 1( , , ,..., )n n nx t t x x x= .
Dato rešenje je stabilno u smislu Ljapunova ako i samo ako
svakom odgovara tako da iz 0ε > 0∂ >00iix x− < ∂ ,
sledi 1,...,i = n 0 0 0 00 1 0 1( , , ,..., ) ( , , ,..., )i n i nx t t x x x t t x x ε− < ,
za sve 1,...,i = n 0t t≤ ≤ ∞ , gde je
0 01 1 0 0 1( , , ,..., )nx x t t x x= ,..., 0 0 0
0 0 1( , , ,..., )n n n nx x t t x x x= =
ono rešenje sistema (*) koje zadovoljava početni uslov 0 0 0
1 0 0 1 1( , , ,..., )nx t t x x x= = ,..., 0 0 00 0 1( , , ,..., )n n nx t t x x x= . ▄
Neka je dat homogeni sistem: 1 11 1 1' ... n nx a x a x= + + ...
1 1' ...n n nn nx a x a x= + + (♫) DEF: Trivijalno rešenje sistema
(♫) je stabilno u smislu Ljapunova ako i samo ako svakom
odgovara tako da iz 0ε > 0δ > 0ix δ< ,
sledi
1,...,i n=
0 0 00 1( , , ,..., )i n nx t t x x x ε= < , , 1,...,i n= 0t t≤ < ∞ ,
gde je dato, a 0t0 0
0 1( , , ,..., )i i nx x t t x x= , je ono
rešenje sistema (♫) koje zadovoljava početni uslov
1,...,i = n
0 0 00 0 1( , , ,..., )n n ix t t x x x= 1,...,n=, i . DEF: Trivijalno rešenje
sistema (♫) je asimptotski stabilno ako i samo ako je stabilno i,
osim toga, postoji tako da iz 0 0∂ > 00ix < ∂ ,
sledi
1,...,i n=
0 00 1lim ( , , ,..., ) 0i nt
x t t x x→∞
= , . 1,...,i = n TEO: Trivijalno
rešenje sistema (♫) je asimptotski stabilno ako i samo ako svi
koreni karakteristične jednačine: 11 1
1
0n
n nn
a a
a a
λ
λ
−=
−
L
M
L
(▲) imaju negativne realne delove. TEO: (Hurvicov kriterijum)
Svi koreni jednačine imaju
negativne realne delove ako i samo ako je
11 0n na a aλ λ λ−+ + + + =L
1 0,..., 0n
1n n−
∆ > ∆ > .
TEO: Ako bar jedan koren jednačine (▲) ima pozitivan realni deo onda trivijalno rešenje sistema nije stabilno u smislu Ljapunova.
37. LINEARNE HOMOGENE PARCIJALNE JEDNAČINE. OSNOVNE TEOREME. OPŠTE REŠENJE. Neka je data
jednačina 1 1 1( ,..., ) ( ,..., ) 0n n nn
u uP x x P x xx x∂ ∂
+ + =∂ ∂
L
1 ,..., n
1
(*), i
pretpostavimo da su f-je P P definisane i neprekidno
diferencijabilne na -dimenzionoj oblasti n D , a pritom je
za 1( ,..., ) 0n nP x x ≠ 1( ,..., )nx x D∈ . Rešenje (*) je
, gde je proizvoljna konstanta. Da bi smo došli do drugih netrivijalnij rešenja jednačini pridružujemo sistem: u C≡ C
1
1 1 1( ,..., ) ( ,..., )n
n n
dxdx
nP x x P x x= =L (**). TEO: F-ja
1( ,..., )nx xϕ neprekidno diferencijabilna i različita od
konstante na oblasti D je rešenje jednačine (*) ako i samo
ako je 1( ,..., )nx x Cϕ = prvi integral sistema (**). DOKAZ
Kako je , 1( ,..., ) 0n nP x x ≠ 1( ,..., )nx x D∈ , sistem (**) se
može napisati u obliku: 1
1
( ,..., )( ,..., )
i i n
n n n
dx P x xdx P x x
= (***),
. Pretpostavimo da je 1,..., 1i n= − 1( ,..., )nx x Cϕ = prvi
integral sistema (**) tj. sistema (***). Kako je onda za
1( ,..., )nx x D∈ , 11
1 1
0n
n n n n
PPx P x P xϕ ϕ ϕ−
−
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂L , tj.
1 11 1
0n nn n
P P Px x xϕ ϕ ϕ
−−
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂L , što znači da f-ja
1( ,..., )nx xϕ zadovoljava jednačinu (*). Pretpostavimo sada
da je f-ja 1( ,..., )nx xϕ rešenje jednačine (*), tj. da je za
1( ,..., )nx x D∈ 1 11 1
0n nn n
P P Px x xϕ ϕ ϕ
−−
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂L . Kako
je , dalje je: 1( ,..., ) 0n nP x x ≠
11
1 1
0n
n n n n
PPP x P x x
ϕ ϕ ϕ−
−
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂L 1 ,..., )n, (x x D∈ , odakle
zaključujemo da je 1( ,..., )nx x Cϕ = prvi integral sistema (**).
TEO: Neka su ,..., prvi integrali sistema (**) i
neka je
1 1Cϕ = k kCϕ =
F proizvoljna neprekidno diferencijabilna f-ja
promenljivih. Tada je f-ja
k
1( ,..., )ku F ϕ ϕ= rešenje jednačine
(*). DOKAZ Na osnovu pravila diferenciranja složenih f-ja je:
1
1 1 1 1
1
1
k
k
k
n n k
u F F
n
x x x
u F Fx x x
ϕϕϕ ϕ
ϕϕϕ ϕ
∂∂∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∂∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
L
L
L
stoga je
11
nn
u uP Px x∂ ∂
+ + =∂ ∂
L 11
1 1 1
k
k
F FPx x
ϕϕϕ ϕ
⎛ ⎞∂∂∂ ∂+ + +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠L L
1
1
kn
n k n
F FPx x
ϕϕϕ ϕ
⎛ ⎞∂∂∂ ∂+ + +⎜
∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠L =⎟ (****)
11
1 1
kn
n
F P Px x
ϕϕϕ
⎛ ⎞∂∂∂+ + +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠L
11
kn
k n
F P P k
x xϕ ϕ
ϕ⎛ ⎞∂ ∂∂
+ + +⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠
L L ⎟
C
. Kako su
prvi integrali sistema (**) tada je 1 1 ,..., k kCϕ ϕ= =
1 11
1
0nn
P Px xϕ ϕ∂ ∂
+ + =∂ ∂
L , , pa iz (****) sledi da je 1,...,i = k
11
0nn
u uP Px x∂ ∂
+ + =∂ ∂
L tj. da f-ja 1( ,..., )ku F ϕ ϕ=
zadovoljava jednačinu (*). ♦ Familija f-ja 1( ,..., )ku F ϕ ϕ=
naziva se opštim rešenjem linearne homogene jednačine (*).
38. PROBLEM S POČETNIM USLOVOM ZA LINEARNU HOMOGENU JEDNAČINU. Neka je data linearna homogena parcijalna jednačina:
1 1 11
( ,..., ) ( ,..., ) 0n n nn
u uP x x P x xx x∂ ∂
+ +∂ ∂
L = (♥), neka su
f-je 1 ,..., nP P neprekidno diferencijabilne na oblasti D i neka
je, npr. 1( ,..., ) 0n nP x x ≠ za 1( ,..., )nx x D∈ . Pretpostavimo
da 0 01( ,..., )nx x D∈ . Košijev problem ili problem sa početnim
uslovom za jednačinu (♥) je sledeći: naći ono rešenje jednačine
(♥) koje za 0n nx x= zadovoljava uslov
(♥♥), gde je 01 1 1 1( ,..., , ) ( ,..., )n n nu x x x x xϕ− = − ϕ data
neprekidno diferencijabilna f-ja. Pritom (♥♥) važi za sve
1 ,..., n 1x x − takve da 01 1( ,..., , )n nx x x D− ∈ . Pokazaćemo da
pod navedenim pretpostavkama o jednačini (♥) Košijev problem (♥♥) ima rešenja. S obzirom na pretpostavke sistem
1
1 1 1( ,..., ) ( ,..., )n
n n
dxdx
nP x x P x x= =L ima 1n − prvih integrala
definisanih i nezavisnih u okolini tačke 0 01( ,..., )nx x . Neka su:
1 1 1 1( ,..., , )n nx x x Cϕ − = ... 1 1 1 1( ,..., , )n n n nx x x Cϕ − − −=
nezavisni prvi integrali. Za 0n nx x= dobijamo sistem:
01 1 1 1( ,..., , )n nx x x Cϕ − = ... 0
1 1 1 1( ,..., , )n n n nx x x Cϕ − − −=
1 1 1 1( ,..., )nx C Cλ −= 1 1 1 1( ,..., )n n nx C Cλ− − −=
(♥♥♥).
Neka je: ...
rešenje sistema (♥♥♥). Razmotrimo složenu f-ju:
(♥♥♥♥). (♥♥♥♥) jeste
rešenje (♥), osim toga je za
1 1 1 1 1[ ( ( ,..., ),..., ( ,..., )),...,n n nu x x x xϕ λ ϕ ϕ −=
1 1 1 1 1( ( ,..., ),..., ( ,..., ))]n n n nx x x xλ ϕ ϕ− −
0n nx x=
pa je sa (♥♥♥♥) zaista dato
rešenje postavljenog Košijevog problema.
01 1 1 1( ,..., , ) ( ,..., )n n nu x x x x xϕ− −=
39. KVAZILINEARNE PARCIJALNE JEDNAČINE. SVOĐENJE NA HOMOGENU JEDNAČINU. TEO: Neka je f-ja
neprekidno diferencijabilna na oblasti 1( ,..., , )v v x x u= n D i
neka je na D 0vu∂
≠∂
. F-ja je rešenje
jednačine
1( ,..., , )nv x x u
1 1 11
( ,..., , ) ( ,..., , )n n nn
v vP x x u P x x ux x∂ ∂
+ +∂ ∂
L
1 1( ,..., , ) 0n nvP x x uu+
∂+ =
∂ (♂) ako i samo ako je f-ja
, implicitno zadata sa 1( ,..., )nu x x 1( ,..., , ) 0nv x x u = rešenje
jednačine
1 1 1( ,..., , ) ( ,..., , )n n nn
v vP x x u P x x ux x∂ ∂
1
+ + =∂ ∂
L
1 1( ,..., , )n nP x x u+ (♂♂). DOKAZ Nađimo prvo parcijane
izvode implicitno zadate f-je. Ako je sa 1( ,..., , ) 0nv x x u = (*)
implicitno zadata f-ja , iz (*) je: 1( ,..., )nu x x
0i i
v v ux u x∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂
, . pa je 1,...,i = n i
i
vxuvxu
∂∂∂
= −∂∂∂
, (**)
. Pretpostavimo da je rešenje
jednačine (♂) tj. da je
1,...,i = n 1( ,..., , )nv v x x u=
1 11
0n nn
v v vP P Px x u+
∂ ∂ ∂+ + + ≡
∂ ∂ ∂L .
Deljenjem poslednjeg identiteta sa vu∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂⎝ ⎠
dobijamo
ekvivalentan identitet 11 1 0n
n n
vvxx
P P Pv vu u
+
∂∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + + − − ≡⎜ ⎟⎜ ∂ ⎟ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(***) . Na osnovu (**), (***) je jednako sa
1 11
n nn
u uP P Px x +∂ ∂
+ + ≡∂ ∂
, što znači da f-ja zadata sa (*)
zadovoljava jednačinu (♂♂). ▄ Neka je
u
1( ,..., )nv F ϕ ϕ=
opšte rešenje linearne homogene jednačine (♂) gde su
1 1 1( ,..., , )nx x u Cϕ = ,..., 1( ,..., , )n n nx x u Cϕ = nezavisni prvi
integrali pridruženog sistema 1
1 1
ndxdx du
n nP P P +
= = =L
1 1 1( ( ,..., , ),..., ( ,..., , )) 0n n nF x x u x x uϕ ϕ
. Tada je
sa = implicitno
zadato opšte rešenje kvazilinearne jednačine (♂♂).
40. PROBLEM SA POČETNIM USLOVOM ZA KVAZILINEARNU JEDNAČINU. Neka je data kvazilinearna jednačina
1 1 11
( ,..., , ) ( ,..., , )n n nn
u uP x x u P x x ux x∂ ∂
+ + =∂ ∂
L
1 1( ,..., , )n nP x x u+ (☼), neka su f-je 1,..., n 1P P + neprekidno
diferencijabilne na oblasti D i neka je npr.
, 1( ,..., , ) 0n nP x x u ≠ 1( ,..., )nx x D∈ . Pretpostavimo
0 0 01( ,..., , )nx x u D∈ . Košijev problem ili problem sa početnim
uslovom za jednačinu (☼) je sledeći: naći ono rešenje
jednačine (☼) koje za 0n nx x= zadovoljava uslov
(☼☼), gde je 01 1 1 1( ,..., , ) ( ,..., )n n nu x x x x xϕ− = − ϕ data
neprekidno diferencijabilna f-ja, pritom (☼☼) važi za sve
1,..., n 1x x − takve da 01 1 1 1( ,..., , , ( ,..., ))n n nx x x x x Dϕ− − ∈ .
Pokažimo da Košijev problem ima rešenje. Sistem:
1
1 1
n
n n
dxdx duP P P +
= = =L ima u okolini tačke 0 0 01( ,..., , )nx x u
nezavisnih prvih integrala n 1 1 1( ,..., , )nx x u Cϕ = ...
1( ,..., , )n n nx x u Cϕ = . Za 0n nx x= dobijamo sistem
01 1 1 1( ,..., , , )n nx x x u Cϕ − = n ... 0
1 1( ,..., , , )n n nx x x u Cϕ − =
(☼☼☼) koji zbog nezavisnosti prvih integrala, ima rešenje po
1 1,..., ,nx x u− ; neka je 1 1( ,..., )nx C Cλ= ...
1 1( ,..., )n nx C Cλ− = , rešenje sistema
(☼☼☼). Razmotrimo f-ju implicitno definisanu sa 1( ,..., )nu C Cλ= n
u
1 1 1( ( ,..., , )),..., ( ,..., , ))n n n nx x u x x uλ ϕ ϕ =
1 1 1 1( ( ( ,..., , ),..., ( ,..., , ))n n nx x u x x uϕ λ ϕ ϕ ,...,
1 1 1 1( ( ,..., , ),..., ( ,..., , )))n n n nx x u x x uλ ϕ ϕ− (☼☼☼☼) rešenje
jednačine
1 1 11
( ,..., , ) ( ,..., , )n nP x x u P x x ux x∂ ∂
+ +∂ ∂
L
1 1( ,..., , )n n
nn
v v=
P x x u+ , pod pretpostavkom da je u okolini tačke
0 0 01( ,..., , )nx x u 0v
u∂
≠∂
, sledi da je sa 0v = sa (☼☼☼☼)
dato rešenje jednačine (☼). Za 0n nx x=
uslov (☼☼) je zadovoljen. Zaključujemo da je sa (☼☼☼☼) dato rešenje Košijevog problema.
1 1( ,..., )nu x xϕ −=
41. ELEMENTARNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. Ako je zadato pravilo kojim se svakom z D∈ dodeljuje određeni kompleksni broj , kažemo da je
na
w
D zadata kompleksna f-ja kompleksne promenljive i
pišemo: . Proizvoljnu f-ju kompleksne promenljive
možemo dakle zadati na sledeći način: . ▄ Elementarne f-je kompleksne
promenljive: (1) Polinom stepena se definiše
sa
( )w f z=
( , ) ( , )w u x y iv x y= +
n ( )w P z=
10 1 1( ) n n
n nP z a z a z a z a−−= + + + +L , gde su 0 0a ≠ ,
kompleksne promenljive, . (2) Racionalna
f-ja definiše se sa
1,..., na a n∈
( )w R z=( )( )( )
P zR zQ z
= , gde su ( )P z i
polinomi stepena i . (3) Eksponencijalna f-ja ( )Q z n mzw e= definiše se sa . (4)
Trigonometrijske f-je i
(cos sin )z x iy xe e e y i y+= = +
sinw z= cosw z= definišu se sa
sin2
iz ize ezi
−−= , cos
2
iz ize ez−+
= . (5) Inverzna f-ja f-je
nz w= označava se sa n z i naziva se -ti koren. Imajući
u vidu da je
n
, argz zρ ϕ= = je:
arg 2 arg 2cos sinn nz k z kw z z i
n nπ π⎛ + +⎛ ⎞ ⎛= = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠
⎞⎞⎟⎠
,
. (6) Inverzna f-ja eksponencijalne f-je 0,..., 1k n= − wz e=
naziva se logaritamska f-ja i označava ln z . (7) Opšta
stepena f-ja , gde može biti kompleksan broj,
definiše se sa: . (8) Ako je kompleksan
broj opšta eksponencijalna f-ja
aw z= aln , 0a a zz e z= ≠ a
( 0,1, )a e≠ zw a= definiše
se pomoću lnz z aa e= . 42. GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST FUNKCIJE
KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. DEF: Broj je granična
vrednost f-je
0w
( )f z u tački 0z ako i samo ako za svako
postoji tako da za svako 0ε > ( ) 0ε∂ > z D∈
0 0( ) ( )z z f z wε ε− < ∂ ⇒ − < . DEF: Broj je granična
vrednost f-je
0w
( )f z u tački 0z ako i samo ako za svaki niz
( nz ) tačaka iz D koji konvergira ka 0z odgovarajući niz
vrednosti f-je ( ( )nf z ) konvergira ka . 0w DEF: F-ja ( )f z je
neprekidna u tački 0z D∈ ako i samo ako je
00lim ( ) ( )
z zf z f z
→= .
43. IZVOD FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. KOŠI – RIMANOVI USLOVI. POJAM ANALITIČKE
FUNKCIJE. DEF: F-ja ( )f z je diferencijabilna u tački 0z
ako i samo ako postoji konačna granična vrednost količnika
0 0( ) ( )f z z f zz
+ ∆ −∆
kad . 0z∆ → TEO: Neka je f-ja
( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + diferencijabilna u tački
0 0 0z x iy= + . Tada u tački 0 0( , )x y postoje prvi parcijalni
izvodi f-ja i i pritom je: ( , )u x y ( , )v x y
0 0 0 0( , ) ( , );u vx y x yx y∂ ∂
=∂ ∂ 0 0 0 0( , ) ( , );u vx y x y
y x∂ ∂
= −∂ ∂
(Koši-Rimanovi uslovi). TEO: Ako su f-je i
diferencijabilne u tački
( , )u x y ( , )v x y
0 0( , )x y i u tački 0 0( , )x y su
ispunjeni Koši-Rimanovi uslovi, tada je f-ja ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y= + diferencijabilna u tački
0 0 0z x iy= + . 44. INTEGRALI FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. DEFINICIJA I SVOJSTVA. DEF: Ako postoji granična
vrednost sume , kada i nS n →∞ max 0kz∆ → , koja je
nezavisna od načina podele krive i izbora tačaka C kz , onda
se ta granična vrednost naziva integral f-je ( )f z duž krive C
i obeležava sa ( )C
f z dz∫ ili ( )AV
f z dz∫ .
45. KOŠIJEVA TEOREMA ZA JEDNOSTRUKO I
VIŠESTRUKO POVEZANU OBLAST. Oblast D ćemo zvati jednostruko povezanom ako svaka prosta zatvorena kriva koja pripada oblasti D može biti skupljanjem deformisana u tačku
bez napuštanja oblasti D . U suprotnom, oblast D ćemo zvati višestruko povezanom.
Neka se granica oblasti D sastoji od jedne ili više kontura.
Rećićemo da se granica oblasti D obilazi u pozitivnom smeru
ako pri tom oblast D ostaje s leva. TEO: (Košijeva teorema)
Neka je jednostruko povezana oblast D ograničena konturom
i neka je f-ja C ( )f z analitička na D i na . Tada je
.
C
( ) 0C
f z dz+
=∫ TEO: Neka je višestruko povezana oblast D
ograničena spolja konturom , a iznutra konturama
. Neka je f-ja
0C
1 ,..., nC C ( )f z analitička na D i na
. Tada je: , gde je granica
oblasti
0 1, ,..., nC C C ( ) 0C
f z dz+
=∫ C
D , koja se sastoji od konture . 0 ,..., nC C
DOKAZ Neka su krive koje spajaju sa konturom
. Može se pokazati da je oblast ograničena krivom
1 ,..., nG G 1 ,..., nC C
0C C ,
sastavljenom od krivih , , pri čemu se
svaka od krivih obilazi dva puta jednostruko povezana. Pa
je zato
0 1, ,... nC C C 1 ,..., nG G
iG
( ) 0C
f z dz+
=∫ . Kako se integrali duž krivih
računaju po dva puta u međusobno suprotnim smerovima oni se potiru i imamo da je:
1 ,..., nG G
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nC C C CC
f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz+ + − − +
= + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫L
♦ 46. NEODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE KOMPLEKSNE
PROMENLJIVE I OSNOVNA SVOJSTVA. TEO: Ako je ( )f z
analitička f-ja na jednostruko povezanoj oblasti D i ako
0z D∈ tada je f-ja: 0
( ) ( )z
z
F z f z dz= ∫ analitička na D i
'( ) ( )F z f z= , z D∈ . ▄ Svaku f-ju ( )F z sa osobinom
'( ) ( )F z f z= , z D∈ , nazivamo primitivna f-ja f-je ( )f z .
Može se pokazati da je skup svih primitivnih f-ja date f-je ( )f z
dat sa ( )F z c+ , gde je ( )F z proizvoljna primitivna f-ja, a
kompleksna konstanta. Skup svih primitivnih f-ja date f-je c
( )f z nazivamo neodređeni integral f-je ( )f z i
označavamo sa ( )f z dz∫ .
47. KOŠIJEVE FORMULE ZA FUNKCIJE KOMPLEKSNE
PROMENLJIVE. TEO: Neka je f-ja ( )f z analitička na
jednostruko povezanoj oblasti D . Neka je 0z D∈ i neka je
proizvoljna kontura oko tačke G 0z koja pripada oblasti
D . Tada je: 00
1 ( )( )2 G
f zf zi z zπ +
=−∫ dz . TEO: Neka je
jednostruko povezana oblast D ograničena konturom i
neka je
C
( )f z analitička f-ja na D i na . Tada postoje svi
izvodi f-je
C
( )f z na D i za 0z D∈ je
( )0 1
0
! ( )( )2 ( )
nn
C
n f zf z dzi z zπ +
+=−∫ 1,2,...n =, TEO: Ako je f-ja
( )f z neprekidna na jednostruko povezanoj oblasti D i ako
je ( ) 0G
f z dz =∫ za svaku konturu sadržanu u G D , tada
je ( )f z analitička f-ja na D . 48. REZIDUUM FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. Neka je 0z z= izolovani singularitet f-je ( )f z . Reziduum f-je
( )f z u tački 0z definiše se formulom
01Res[ ( ), ] ( )
2 C
f z z f z dziπ +
= ∫ gde je C proizvoljna
kontura koja pripada oblasti u kojoj je f-ja ( )f z analitička i
koja u svojoj unutrašnjosti osim 0z nema drugih singulariteta
f-je ( )f z .
TEO: Neka je jednostruko povezana oblast D ograničena
konturom C i neka je ( )f z analitička f-ja na D i C , osim
u konačno mnogo singularnih tačaka 1,..., kz z koje pripadaju
D . Tada je 1
( ) 2 Res[ ( ), ]k
iiC
f z dz i f z zπ+ =
= ∑∫ . # # #DOKAZ.
49. DEFINICIJA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE I
DOVOLJNI USLOVI ZA POSTOJANJE. Neka je ( )f t f-ja
realne promenljive. Laplasovom transformacijom L se datoj
f-ji pridružuje f-ja kompleksne promenljive ( )F s po formuli:
0
( ) [ ( )] ( )def
stF s L f t e f t dt∞
−= = ∫ . Pretpostavimo da ( )f t
zadovoljava sledeće uslove: (1) ( )f t je definisana na
intervalu [0, ]∞ , (2) ( )f t ima najviše konačno mnogo
prekida prve vrste na svakom konačnom podintervalu intervala , (3) [0, )∞ ( )f t je eksponencijalnog reda rasta, tj. postoji
realna konstanta i pozitivna konstanta a M tako da je za
sve , 0t > ( ) atf t Me≤ . ▪ Pod navedenim pretpostavkama
Laplasova transformacija f-je ( )f t postoji. TEO: Neka f-ja
( )f t zadovoljava uslove (1), (2) i (3). Tada (*)
konvergira za sve
0
( )ste f t dt∞
−∫s za koje je Res a> . DOKAZ Neka je
s iα β= + , tj. Res α= , Im s β= . Za t je 0>
( )( ) ( )st t ae f t e f t Meα− − −= ≤ tα (**). Za 0a α− < je
( ) ( ) ( )
0 0 00 0
1 1lim lim |T T
a t a t a t
T Te dt e dt e
a aα α α
α α
∞− − −
→ →= = =
− −∫ ∫ tj.
konvergira. Na osnovu (**) odatle sledi
konvergencija integrala (*).
( )
0
a te dtα∞
−∫TEO: Neka f-ja ( )f t zadovoljava
uslove (1),(2) i (3). Tada je 0
( ) ( )stF s e f t dt∞
−= ∫ analitička f-ja
u oblasti Res a> .
50. LAPLASOVA TRANSFORMACIJA FUNKCIJE
( ) btf t e= . Eksponencijalna f-ja ( ) btf t e= , 0b ≠ realan
broj. Imamo da je
( )
0 0
( ) st bt b s tF s e e dt e dt∞ ∞
− −= =∫ ∫ =
( ) ( )
0
1 1lim | (lim 1)T
b s t b s T
T Te e
b s b s− −
→∞ →∞= −
− −. Neka je Res α= ,
Im s β= , tj. s iα β= + . Kako je
( ) ( ) ( ) (cos sin )b s T b T i T b Te e e e T i Tα β α β β− − − −= = − , imamo da
je ( ) ( )1( ) (lim cos lim sin 1)b T b T
T TF s e T i e T
b sα αβ β− −
→∞ →∞= −
−− .
Za , tj. 0b α− < Res b> biće ( )lim cos 0b T
Te Tα β−
→∞= ,
. Pa je za ( )lim sin 0b T
Te Tα β−
→∞= Re 0s > 1( )F s
s b=
−. Za
Res b≤ navedene granične vrednosti ne postoje pa ni
Laplasova transformacija f-je nije definisana. bte 51. LAPLASOVA TRANSFORMACIJA FUNKCIJE
1 2( ) sin , ( ) cosf t bt f t b= = t . Trigonometrijske f-je sin i
, realan broj. Kako je
bt
cosbt 0b ≠ sin2
ibt ibte ebti
−−= biće
( ) ( )1
0 0
1( ) sin ( )2
st ib s t ib sF s e btdt e e dti
∞ ∞− − −= = −∫ ∫ − =
( ) ( )
0
1 1 1lim |2
Tib s t ib s t
Te e
i ib s ib s− − −
→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
( ) ( )1 1 1lim2
ib s T ib s T
Te e
i ib s ib s− −
→∞
⎛ ⎞= −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠1 1
ib s ib s−⎛ ⎞
− +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
β
Kako je ,
, gde je
( ) (cos( ) sin( ) )ib s T Te e b T i b Tα β β− −= − + −
( ) (cos( ) sin( ) )ib s T Te e b T i b Tα β− −= + − +
Resα = , Im sβ = , imamo da je za
;
Re 0s >( )lim 0ib s T
Te −
→∞= ( )lim 0ib s T
Te − −
→∞= . Prema tome, za
dobijamo
Re 0s >
1 2 2
1 1 1( )2
bF si ib s ib s s b⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠
. Koristeći
formulu cos2
ibt ibte ebt−+
= analogno se pokazuje da je za
Re 0s > 2 2 20
( ) cosst sF s e btdts b
∞−= =
+∫ .
52. LAPLASOVA TRANSFORMACIJA FUNKCIJE ( ) nf t t= .
Stepena f-ja , Neka je nt 0,1,2,...n =0
st nnI e t dt
∞−= ∫ . Za
imamo da je 0n =
000
1 1lim | (lim 1)T
st st sT
T TI e dt e e
s s
∞− − −
→∞ →∞
⎛ ⎞= = − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ . Slično
kao malopre, iz (cos sin )sT Te e T i Tα β β− −= − gde je
Resα = , Im sβ = , zaključujemo da je za
. Dakle, za
Re 0s >
lim 0sT
Te−
→∞= Re 0s > 0
1Is
= . Za ,
primenjujući parcijalnu integraciju , pod
uslovom dobijamo
1n ≥
,n stt u e dt dv−= =
Re 0s >
1
00 0
1 |st n st n st nn
nI e t dt e t e t dts s
∞ ∞∞− − − −= = − +∫ ∫ =
1 10
1 1lim | limT
st n sT nn nT
n ne t I e T I Is s s s s
− −− −→∞
⎛ ⎞− + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1nn
−
jer je zbog (cos sin )sT n T ne T e T T i Tα β β− −= − za
ispunjeno Re 0sα = > lim 0sT n
Te T−
→∞= . Iz date rekurentne
veze je 0 1
( 1) 1 !n n
n n nI I ns s +
−= =
L. Dakle, za i
je
Re 0s >
0,1,2,...n = 10
!( ) st nn
nF s e t dts
∞−
+= =∫ .
53. DEFINICIJA JEDINIČNE ODSKOČNE FUNKCIJE ( ) ( )f t u t b= − . LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
FUNKCIJE )(f t . Neka je . Jedinična odskočna f-ja
definiše se sa .
0b >
0,( )
1,t b
U t bt b<⎧
− = ⎨ ≥⎩
Imamo da je
0 0
( ) ( ) ( )b
st stF s e U t b dt e U t b dt∞
− −= − = −∫ ∫ +
0
1( ) lim |T
st st st
Tb b
e U t b dt e dt es
∞ ∞− −
→∞
⎛ ⎞− = = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ −
1 (lim )sT sb
Te e
s− −
→∞= − − , odakle za dobijamo Re 0s >
1( ) sbF s es
−= .
54. OSOBINA LINEARNOSTI ZA LAPLASOVU
TRANSFORMACIJU. DOKAZ. Neka 1 1( ) ( )f t E a∈
( ) ( )
,
2 2f t E a∈ 1 1[ ( )] ( ),Re i neka je 1L f t F s s a= >
[ ( )] ( ),Re
,
2 2 2L f t F s s a= >
1 1 2 2[ ( ) ( )] ( ) ( )
. Tada je
1 1 2 2L c f t c f t c F s c F s+ = +
1 2Re max{ , }
,
s a a> . DOKAZ. S obzirom na definiciju
Laplasove transformacije i osobinu linearnosti određenih integrala imamo da je za 1 2Re max{ , }s a a>
1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]L c f t c f t c L f t c L f t+ = +
1 1 2 2( ) ( )c F s c F s= + . ♦ Ova osobina važi i za f-je koje nisu
eksponencijalno ograničene. 55. AKO JE { ( )} 1/ F( / ),ReL f bt b s b s ab= > AKO JE
{F( )} F( ),ReL t s s a= > . Neka ( ) ( )f t E a∈ i neka je
[ ( )] ( )L f t F s= , Res a> . Neka je . Tada je 0b >
1[ ( )] ,ResL f bt F s abb b
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
> . DOKAZ. Koristeći smenu
imamo da je bt x=
0 0
1[ ( )] ( ) ( )s xst bL f bt e f bt dt e f x dx
b
∞ ∞−−= = =∫ ∫
1 sFb b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
,
Re( )Re s s ab b
⎛ ⎞ = >⎜ ⎟⎝ ⎠
. ♦
56. AKO JE { ( )} F( ),ReL F t s s a= > DOKAZATI DA VAŽI
{ ( )} F( ), RebtL e f t s b s a b= − > + . Neka ( ) ( )f t E a∈ i
neka je [ ( )] ( )L f t F s= , Res a> . Tada je
[ ( )] ( ),RebtL e f t F s b s a b= − > + , gde je proizvoljan
realan broj.
bDOKAZ.
( )
0 0
[ ( )] ( ) ( )bt st bt s b tL e f t e e f t dt e f t dt∞ ∞
− − −= = =∫ ∫( ),Re( ) ReF s b s b s b a− − = − > . ♦
57. NEKA JE { ( )} F( ),ReL f t s s a= > . TADA JE
{ ( ) ( )} F( ), RebsL f t b u t b e s s a−− − = > , GDE JE , 0b > A
( )t t b− JE JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKCIJA. Neka
( ) ( )f t E a∈ i neka je [ ( )] ( ),ReL f t F s s a= > . Tada je
[ ( ) ( )] ( ),RebsL f t b U t b e F s s a−− − = > , gde je , a
je jedinična odskočna f-ja.
0b >
( )U t b− DOKAZ S obzirom na
definiciju jedinične odskočne f-je je
0
[ ( ) ( )] ( ) ( )stL f t b U t b e f t b U t b dt∞
−− − = − −∫
0
( ) ( )b
ste f t b U t b dt−= − − +∫
( ) ( ) ( )st st
b b
e f t b U t b dt e f t b dt∞ ∞
− −− − = −∫ ∫ , odakle, koristeći
smenu , dobijamo t b x− =
( )
0
[ ( ) ( )] ( )s b xL f t b U t b e f x dx∞
− +− − = ∫
( ) ( )bs sx bs
b
e e f x dx e F s∞
− − −=∫
=
, Res a> . ♦
58. OSOBINA IZVODA ZA LAPLASOVU
TRANSFORMACIJU. Osobina izvoda. Neka ( ) ( )f t E a∈
'( ) ( )
,
f t E a∈ i neka je [ ( )] ( )L f t F s= , Res a> ,
[ '( )] ( )L f t G s= , Res a> . Tada je , ( ) ( ) (0)G s sF s f= −
Res a> , tj. , [ '( )] [ ( )] (0)L f t sL f t f= − Re .s a>
DOKAZ Koristeći parcijalnu integraciju
( '( ) , )stf t dt du e v−= = imamo da je za Res a>
00 0
[ '( )] '( ) ( ) | ( )st st stL f t e f t dt e f t s e f t dt∞ ∞∞
− − −= = +∫ ∫
lim ( ) | [ ( )] [ ( )] (0)st
Te f t sL f t sL f t f−
→∞= + = − , jer je zbog
( ) aTf t Me≤ ispunjeno lim ( ) 0,ResT
Te f T s a−
→∞= > . ♦
59. OSOBINA INTEGRALA ZA LAPLASOVU
TRANSFORMACIJU. Osobina integrala. Neka ( ) ( )f t E a∈
[ ( )] ( )
i
neka je L f t F s= , Res a> . Tada je
1
0
[ ( )] ( )( ) ,ReL f t F sL f x dx s as s
⎡ ⎤= = >⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ . DOKAZ
Dokažimo prvo da 0
( ) ( )t
f x dx E a∈∫ . Zaista, zbog
( ) axf x Me≤ sledi da je za 0a ≠
10 0 0
( ) ( ) ( 1)t t t
ax at atMf x dx f x dx M e dx a M ea
≤ ≤ = − ≤∫ ∫ ∫ .
Koristeći parcijalnu integraciju
imamo da je, za
0
, ( )t
ste dt du f x dx v−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
Res a>
0 0 0
( ) ( )t t
stL f x dx e f x dx dt∞
−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
00 0
1 1( ) | ( )t
st ste f x dx e f t dts s
∞∞− −⎛ ⎞
− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
00
1 1lim ( ) | [ ( )]t T
st
Te f x dx L f t
s s−
→∞
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
0
1 [lim ( )T
sT
T
( )] ( )L f te f x dx F ss s s
−
→∞
⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ jer zbog
10
( )T
aTf x dx M e≤∫ sledi da je
0
lim ( ) 0,ReT
sT
Te f x dx s−
→∞
⎛ ⎞a= >⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ . ♦
60. DEFINICIJA KONVOLUCIJE. KOMUTATIVNOST KONVOLUCIJE. OSOBINA KONVOLUCIJE ZA
LAPLASOVU TRANSFORMACIJU. Konvolucija f-ja 1( )f t i
2 ( )f t je f-ja ( )g t definisana sa
1 2 1 20
( ) ( ) ( )tdef
g t f f f x f t x dx= ∗ = −∫ . Koristeći smenu
dobijamo 't x x− =0
2 1 2 1 1 20
( ) ( ) ( ') ( ') 't
t
f f f x f t x dx f x f t x dx∗ = − = − − =∫ ∫
1 2 1 20
( ') ( ') 't
f x f t x dx f f− = ∗∫ DOKAZ Dokazaćemo da važi
sledeća osobina konvolucije: neka 1 1( ) ( )f t E a∈ ,
2 2( ) ( )f t E a∈ 1 i neka je 1 1[ ( )] ( ),ReL f t F s s a= > ,
2 2 2[ ( )] ( ),ReL f t F s s a= >
[ ] ( ) ( ),Re max{ , }
. Tada je
1 2 1 2 1 2L f f F s F s s a a∗ = >
( ) ( )
. Pokažimo prvo
da je 1 2g t f f E a= ∗ ∈ max{ , }a a a=, gde je . Zbog, 1 2
11 1( ) a tf t M e≤ , 2
2 2( ) a tf t M e≤ 1 2a a≠ imamo da je za :
1 2 ( )1 2 1 2( ) ( ) ( )
ta x a t x
0
g t f x f t x dx M M e e dx−≤ − ≤∫ ∫
1 21 2 1 2
1 2 1 2
2( )a t a t at atM M M Me e e Mea a a a
= − ≤ =− −
. Laplasova
transformacija ( )g t definisana je za Res a> . Promenom
poretka integracije ( 0 x t≤ < < ∞ ), imamo da je za Res a>
1 20 0
[ ( )] ( ) ( )t
stL g t e f x f t x dt∞
− ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
1 20
( ) ( )st
x
f x e f t x dt dx∞ ∞
−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ odakle, smenom 't x t− = u
unutrašnjem integralu dobijamo
( ' )1 2
0 0
[ ( )] ( ) ( ') 's t xL g t f x e f t dt dx∞ ∞
− +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
'1 2
0 0
( ) ( ') 'sx ste f x e f t dt dx∞ ∞
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
'1 2 1 2
0 0
( ) ( ') 'sx ste f x dx e f t dt∞ ∞
− −⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝∫ ∫ ( ) ( ),ReF s F s s a
⎞= = >⎟⎟
⎠. ♦
61. AKO JE { ( )} F( ),ReL f t s s a= > , DOKAZATI
{ f( )} F '( ), ReL t t s s a= − > ( ) ( )f t E a∈. Neka je i neka je
[ ( )] ( )L f t F s= , Res a> . Tada je
[ ( )] '( ),ReL tf t F s s a= − > . DOKAZ F-ja
0
( ) ( )stF s e f t dt∞
−= ∫ je analitička u oblasti Res a> .
Diferenciranjem dobijamo
0 0
'( ) ( ) ( )st std dF s e f t dt e f t dtds ds
∞ ∞− −= =∫ ∫
0
( ) [ ( )],Reste tf t dt L tf t s a∞
−− = − >∫
=
, odnosno
[ ( )] '( ),ReL t f t F s s a= − > . ♦ 62. DOKAZATI DA JE
{f( ) / } F( ) ,Res
L t t p dp s a∞
= >∫, AKO
JE {f( )} F( ), ReL t s s a= > . Neka
( )( ) ( ), ( )f tf t E a E at
∈ ∈ , i neka je
[ ( )] ( ),ReL f t F s s a= > , ( ) ( ),Ref tL G s s at
⎡ ⎤ = >⎢ ⎥⎣ ⎦, tada
je tj. ( ) ( ) ,Res
G s F p dp s a∞
= ∫ >
( ) ( ) ,Res
f tL F p dp s at
∞⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ > . DOKAZ Diferenciranjem
analitičke f-je 0
( )( ) pt f tG p e dtt
∞−= ∫ dobijamo
0
( )'( ) ( )pt f tG p e t dt F pt
∞−= − = −∫ . Integracijom u granicama
od do S s dolazimo do , tj.
. Prelaskom na granicu kad
dobijamo . pa je zbog
'( ) ( )s s
S S
G p dp F p dp= −∫ ∫
( ) ( ) ( )S
s
G s G S F p dp− = ∫
ReS →∞ ( ) ( )s
G s F p dp∞
= ∫
( ) atf t Met
≤ ,
( Re )
0 0
( )( )Re
St a S tf t MG S e dt M e dtt S
∞ ∞− −≤ ≤ =
a−∫ ∫ pa je
. Relim ( ) 0
SG S
→∞=
63. INVERZNA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA. JEDNOZNAČNOST. Neka je ( )F s data f-ja kompleksne
promenljive. Ako postoji f-ja realne promenljive ( )f t tako da
je [ ( )] ( )L f t F s= , f-ju ( )f t nazivamo inverznom
Laplasovom transformacijom f-je ( )F s i koristimo oznaku
1( ) [ ( )]f t L F s−= . Može se pokazati da se inverzne
Laplasove transformacije f-je ( )F s ne mogu "mnogo"
razlikovati među sobom. TEO: Ako ( ) ( )f t E a∈ i
( ) ( )g t E a∈ i ako je 1( ) [ ( )]f t L F s−= ,
tada ne postoji interval dužine veće od nule na kome je
1( ) [ ( )]G t L F s−=
( , )c d
( ) ( )f t g t≠ za svako . ♦ Posledica ove teoreme je
sledeća: ako
( , )t c d∈
( )f t i ( )g t zadovoljavaju uslove teoreme i uz
to su neprekidne f-je, tada je ( ) ( ), 0f t g t t= > .
64. EGZISTENCIJA INVERZNE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE I MELINOVA FORMULA. TEO: (Melinova formula) Neka f-ja ( )F s kompleksne promenljive
s x iy= + zadovoljava sledeće uslove: (1) ( )F s je analitička
f-ja u oblasti Res x a= > , (2) lim ( ) 0s
F s→∞
= , uniformno po
arg s , (3) za svako x a> integral ( )x i
x i
F s dy+ ∞
− ∞∫ konvergira.
Tada je f-ja ( )F s za Res a> Laplasova transformacija f-je
( )f t , i pritom je za 0t > 1( ) ( )2
x ist
x i
f t e F siπ
+ ∞
− ∞
= ∫ ds ,
x a> . TEO: Neka f-ja ( )F s zadovoljava uslove Melinove
formule. Neka je, osim toga, f-ja ( )F s analitička za Res a≤ ,
osim u konačno mnogo izolovanih singulariteta 1,..., ks s . Tada
je za x a> 1
1 ( ) Re [ ( ), ]2
x i kst st
iix i
e F s ds s e F s siπ
+ ∞
=− ∞
=∑∫ .
DOKAZ Posmatrajmo konturu koja sastoji od polukruga
radijusa
RC
R i odsečka dužine 2R na pravoj Res x= .
Označimo polukrug sa . Imamo da je:
.
'RC
'
( ) ( ) ( )R R
x iRst st st
x iRC C
e F s ds e F s ds e F s ds+
+
−
= +∫ ∫ ∫
Za R
dovoljno veliko svi singulariteti f-je ( )F s (koji su istovremeno i
singulariteti f-je ) nalaze se unutar konture . Stoga
je . Pokazuje se da je pod
navedenim pretpostavkama za .
Prelaskom na granicu, kad dobijamo
( )ste F s RC
1
( ) 2 Re [ ( ), ]R
kst st
iiC
e F s i s e F s sπ+ =
= ∑∫
0t >'
lim ( ) 0R
st
RC
e F s ds→∞
=∫
R →∞
1
1 ( ) Re [ ( ), ]2
x i kst st
iix i
e F s ds s e F s siπ
+ ∞
=− ∞
=∑∫ . ♦
65. NALAŽENJE 1{P( ) / Q( )}L s s− . Nalaženje inverzne
Laplasove transformacije količnika ( )( )
P sQ s
. Neka je
( )( )( )
P sF sQ s
= , gde su ( )P s i polinomi kompleksne
promenljive
( )Q s
s sa realnim koeficijentima, a stepen polinoma
je veći od stepena polinoma ( )Q s ( )P s . Svakom
višestrukom korenu jednačine odgovara po
sabiraka oblika
a ( ) 0Q s = k
1 22, ,...,
( ) ( ) ( )k
k
AA As a s a s a− − −
, gde je
višestrukost korena . Svakom paru jednostrukih
konjugovano-kompleksnih korena
k
a
iα β+ i iα β− jednačine
odgovara po jedan sabirak oblika ( ) 0Q s = 2 2( )As B
s α β+
− +.
Svakom paru višestrukih konjugovano kompleksnih korena iα β+ i iα β− jednačine odgovara po
sabiraka oblika
( ) 0Q s = k
1 1 2 22 2 2 2 2 2 2, ,...,
( ) (( ) ) (( ) )k k
k
A s BA s B A s Bs s sα β α β α β
++ +− + − + − +
, gde je
višestrukost korena k iα β+ tj. korena iα β− . Nalaženje
inverzne transformacije svodi se, na osnovu linearnosti Laplasove transformacije, na nalaženje inverzne transformacije
količnika oblika A
s a−,
( )n
As a−
, 2 2( )As B
s α β+
− +,
2 2(( ) )n
As Bs α β
+− +
. Inverzna Laplasova transformacija ovih
izraza se uvek može naći direktno iz tabele Laplasovih transformacija. 66. NALAŽENJE 1{F( ) G( )}L s s− ⋅ . Nalaženje inverzne
Laplasove transformacija proizvoda 1
2
( )( )
F sF s
. Neka je
1 2( ) ( ) ( )F s F s F s= , a pritom je poznato da je
11 1[ ( )] ( )L F s f t− = , 1
2 2[ ( )] ( )L F s f t− = . U tom slučaju je
11 2 1 2
0
[ ( ) ( )] ( ) ( )t
L F s F s f x f t x dx− = −∫
67. PRIMENA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE NA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Neka je dat Košijev problem
,
)
( ) ( 1) ' ( )n na x a x a x a x f t−+ + + + =L
( 1) ( 10 0 0(0) , '(0) ' ,..., (0)n nx x x x x x
0 1 1n n−
− −= = = . Pretpostavimo da
f-ja ( )f t ima eksponencijalni red rasta. Može se pokazati da
tada rešenje Košijevog problema ( )x t takođe ima
eksponencijalni red rasta. Primenom Laplasove transformacije na levu i desnu stranu diferencijalne jednačine dobijamo algebarsku jednačinu:
1 ( 2) (0 0 0
1)( ( ) )n n n na s X s s x sx x− − −− − − −L 0
1 2 ( 3) ( 2)1 0 0 0( ( ) )n n n na s X s s x sx x− − − −− − − − + +L L
1 0( ( ) ) ( ) ( )n na sX s x a X s F s− − + = , gde je , ( ) [ ( )]X s L x t=
( ) [ ( )]F s L f t= . Rešavanjem po dobijamo ( )X s
( )( )( )
( )F s PX sQ s+
=s
0
(*), gde je
1 ( 1)0 0 0 1( ) ( )n n
nP s a s x x a x− −−= + + + +L L ,
. Primenom inverzne
Laplasove transformacije na (*) dobijamo
10 1 1( ) n n
nQ s a s a s a s a−−= + + + +L n
1 ( ) ( )( )( )
F s P sx t LQ s
− ⎡ ⎤+= ⎢ ⎥
⎣ ⎦.
68. PRIMENA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE NA SISTEME DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA. Primenom Laplasove transformacije na svaku od jednačina sistema dobija se sistem linearnih algebarskih jednačina po transformacijama nepoznatih f-ja. Rešavanjem ovog sistema i nalaženjem odgovarajućih inverznih transformacija dobija se rešenje. (1) Homogeni linearni sistemi diferencijalnih jednačina prvog reda:
neka je dat Košijev problem dX AXdt
= , , gde je 0(0)X X=
1
n
xX
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M , 1'
'n
xdXdt
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M , 11 1
1
n
n n
a aA
a a n
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
L
M
L
,
10
0
0n
xX
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M . Primenom Laplasove transformacije na dati
sistem dobijamo 0( ) ( )sH s X AL s− = , gde je
1[ ]( ) [ ( )]
[ ]n
L xH s L X t
L x
⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M . Dalje je 0( ) ( )sI A H s X− = ,
gde je I jedinična matrica reda n n× . Odavde je 1
0( ) ( )H s sI A X−= − . Primenom inverzne Laplasove
transformacije dobijamo
; pritom se
inverzna transformacija matrice
1 1 1 10 0( ) [( ) ] [( ) ]X t L sI A X L sI A X− − − −= − = −
1( )sI A −− dobija nalaženjem
inverzne transformacije svake njene komponente. Primetimo da
je fundamentalna matrica datog sistema. (2) nehomogeni linearni sistemi diferencijalnih jednačina prvog
reda: neka je dat Košijev problem
1[( ) ]L sI A− − 1−
( )dX Ax B tdt
= + ,
, gde su 0(0)X X= 0, , ,dXX A Xdt
kao u homogenom
slučaju, a 1( )
( )( )n
b tb t
b t
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M . Imamo da je
0( ) ( ) ( )sH s X AH s B s− = + , gde je ( ) [ ( )]H s L X t= ,
( ) [ ( )]B s L B t= . Odavde je 10( ) ( ) ( ( ) )H s sI A B s X−= − + ,
tj. . 1 10( ) [( ) ( ( ) )]X t L sI A B s X− −= − +
69. PROSTORI C( , )a b I .
1C ( , )a b POJAM OKOLINE.
POJAM LINEARNOG FUNKCIONALA I PRVE VARIJACIJE FUNKCIONALA ϕ . Varijacioni račun je oblast matematike u
kojoj se razmatra problem određivanja ekstremuma funkcionala. DEF: Za funkcional [ ( )]J y x kažemo da je linearan ako je
1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]J y x y x J y x J y xα β α β+ = + , . ,α β ∈DEF: Ako se priraštaj funkcionala može napisati u obliku
[ ( ) ] [ ( )]J J y x y J y xδ∆ = + − =
[ ( ), ] ( ( ), ) ( , )L y x y y x y y y yδ β δ ρ δ+ + gde je L linearni
funkcional u odnosu na yδ i kad
, tada se glavni, linearni deo priraštaja
funkcionala
( ( ), ) 0y x yβ δ →
( , ) 0y yρ δ+ →
[ ( ), ]L y x yδ označava Jδ i naziva prvom
varijacijom funkcionala [ ( )]J y x .
70. OSNOVNI PROBLEM VARIJACIONOG RAČUNA I OJLEROVA JEDNAČINA. Funkcional
1
[ ( )] [ , ( ), '( )]x
x0
J y x F x y x y x dx= ∫ (☺), 0 0( )y x y= ,
, i određivanje ekstremuma funkcionala (☺) se
naziva osnovnim problemom varijacionog računa. Pretpostavićemo da je integrand
1 1( )y x y=
F dva puta diferencijabilna
f-ja po argumentu za sve vrednosti y x i u nekoj
oblasti , i da je f-ja neprekidno
diferencijabilna na odsečku
( )y x2U R⊂ ( )y y x=
0 1[ , ]x x .
Skup tzv. dopustivih f-ja M definisaćemo:
. Pretpostavićemo da
postoji dopustiva f-ja za koju funkcional (☺) dostiže
ekstremnu vrednost. Razmotrimo klasu f-ja
, gde je
(1)0, 1
0 0 1 1
( ) [ ],( )
( ) , ( )y x C x x
y x My x y y x y
⎧ ∈⎪∈ ⇐ ⎨= =⎪⎩
( )y x
*( ) ( ) ( )y x y x xαη= + Rα ∈ , ( )xαη varijacija
argumenata . Da bi f-ja pripadala skupu ( )y x *( )y x M
dopustivih f-ja Rα∀ ∈ , pomoćna f-ja ( )xη mora
zadovoljavati uslove (1)0 1( ) [ , ]x C x xη ∈ , 0 1( ) ( ) 0x xη η= =
(☺☺). U tom slučaju i f-ja jer
i
*( )y x M∈
* (1)0 1( ) [ , ]y x C x x∈ *
0 0( ) ( )y x y x y0= = ,
. Za fiksirane vrednosti i *1 1( ) ( )y x y x y= = 1 ( )y x x
funkcional *( )J y će predstavljati f-ju realnog parametra α :
1 1
0 0
* * *'( ) ( , , ) ( , , ' ') ( )x x
x x
J y F x y y dx F x y y dxαη αη α= = + + =∫ ∫ Φ
Kako po pretpostavci integral *( )J y dostiže ekstremnu
vrednosti za f-ju to će f-ja * ( )y y x= ( )αΦ imati ekstremnu
vrednost za 0α = , tj.
(☺☺☺), za
svaku f-ju
1
0
''(0) [ ( , , ')] ( , , ') '] 0x
y yx
F x y y F x y y dxη ηΦ = + =∫
( )xη koja zadovoljava uslove (☺☺). Ako integral
(☺☺☺) napišemo u obliku 1 1 1
0 0 0
'[ ']x x x
y y y yx x x
' 'F F dx F dx F dxη η η η+ = +∫ ∫ ∫ i primenimo
parcijalnu integraciju kod drugog integrala 1 1 11
00 0 0
' '' |x x xx
y y y yxx x x
d d'F dx F F dx F dx
dx dxη η η η= − = −∫ ∫ ∫ , jer je
tada se uslov (☺☺☺) može napisati u
obliku
0 1( ) ( ) 0x xη η= =
1
0
''(0) 0x
y yx
dF F dxdx
η⎛ ⎞Φ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (▼). Lagranžova
lema: Neka f-ja ( ) [ , ]f x C a b∈ , a f-ja (1)( ) ( , )x C a bη ∈ i pri
tome . Ako je za svaku takvu f-ju ( ) ( ) 0a bη η= = ( )xη
ispunjen uslov ( ) ( ) 0b
a
f x x dxη =∫ tada je ( ) 0f x ≡ ,
[ , ]x a b∀ ∈ . DOKAZ Ako se pretpostavi da je u nekoj tački
, , , npr. , tada, s obzirom
na neprekidnost f-je
c a c b< < ( ) 0f c ≠ ( ) 0f c >
( )f x , postoji interval ( , )α β :
, u kome je , a cα β< < < < b ( ) 0f x > [ , ]x α β∀ ∈ . Ako
sada konstruišemo dopustivu f-ju ( ) :xη
2 2
0, ,( )
( ) ( )a x x b
xx x x
α βη
α β α β≤ ≤ ∨ ≤ ≤⎧
= ⎨ − − < <⎩, tada je
što je u protivrečnosti sa
pretpostavkom leme, odakle sledi da je
( ) ( ) ( ) ( ) 0b
a
f x x dx f x x dxβ
α
η η=∫ ∫ >
( ) 0f x ≡ ,
[ , ]x a b∀ ∈ .
Ako se dokazana lema primeni na izraz (▼) dobija se da izraz (▼) važi samo u slučaju
kada je ' 0yy
dFF
dx− = , ' ' ' '' ''y xy yy y yF F F y F y 0− − ⋅ − ⋅ = .
Ovaj izraz predstavlja neophodan uslov za ekstremum funkcionala (☺) napisan u obliku diferencijalne jednačine drugog reda u odnosu na argument i naziva se
Ojlerovom jednačinom. ( )y x
71. OJLEROVA JEDNAČINA KADA JE F( , )F x y= . S
obzirom na to da je u ovom slučaju , odgovarajuća
Ojlerova jednačina ima konačni oblik , tj. ne
sadrži integracionu konstantnu, pa u opštem slučaju ne mora zadovoljavati granične uslove i .
Prema tome, rešenje razmatranog varijacionog problema u opštem slučaju ne postoji; ekstremala postoji samo u specijalnim slučajevima kada kriva prolazi kroz
granične tačke
' 0yF ≡
( , ) 0yF x y =
0 0( )y x y= 1 1( )y x y=
( , ) 0yF x y =
0 0( , )x y i 1 1( , )x y . 72. OJLEROVA JEDNAČINA KADA JE F( , ')F x y= . U
ovom slučaju je , pa se Ojlerova jednačina svodi na
jednačinu
0yF =
0ydFdx
= , čiji je prvi integral 'yF C= . Rešivši ovu
jednačinu prvog reda (koja ne sadrži ) po , dobijamo da
je odakle se dobija u kvadraturama.
y 'y
' ( , )y f x C= y 73. OJLEROVA JEDNAČINA KADA JE F( , ')F y y= .
Odgovarajuća Ojlerova jednačina ima oblik:
'' ' '' ''y
y y yy y y
dFF F F y F y
dx− = − ⋅ − ⋅ = 0 . Ako dobijeni izraz
pomnožimo sa dobićemo potpuni izvod 'y '( )yd F yFdx−
jer
je
' '2' ' ' ' '
( ' )' '' '' ''y
y y y yy y y
d F y F'F y F y y F F y F y y
dx−
= ⋅ + ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅
tj. '' ' '
( ' )'( ' '') 0y
y yy y y
d F y Fy F F y F y
dx−
= − ⋅ − ⋅ = . Prema
tome, prvi integral je '' yF y F C− = , što predstavlja
diferencijalnu jednačinu prvog reda koja ne sadrži x i koja se
može rešiti po ili uvođenjem parametra. 'y 74. OJLEROVA JEDNAČINA KADA JE F( ')F y= . Ojlerova
jednačina ima oblik ' ( ')0ydF y
dx= , tj. , što znači
da je ili , ili . Ako je , tada je
, a - porodica pravih linija koju određuju
dva parametra. Ako je , tada imamo jedan ili više
realnih korena , kojima odgovara jednoparametarska
porodica pravih koja se sadrži u porodici pravih sa
dva parametra . Dakle, u ovom slučaju
ekstremale predstavljaju sve moguće prave .
' ' '' 0y yf y⋅ =
'' 0y = ' ' 0y yF = '' 0y =
1'y C= 1 2y C x C= +
' ' ( ') 0y yF y =
' iy r=
iy r x C= +
1 2y C x C= +
1 2y C x C= +
75. OJLEROVA JEDNAČINA KADA JE
( , ) ( , ) 'F A x y B x y y= + ⋅ . Odgovarajuća Ojlerova jednačina
ima oblik ( , )'y y
dB x yA B ydx
+ ⋅ − = 0
0
ili
, što predstavlja konačnu, a ne
diferencijalnu jednačinu, pa u opštem slučaju ne mora zadovoljavati postavljene granične uslove, što znači da razmatrani varijacioni problem nema rešenja u klasi neprekidnih f-ja u opštem slučaju. Ako je , tada je
potpuni diferencijal i integral
' 'y y x yA B y B B y+ ⋅ − − ⋅ =
0y xA B− ≡
Adx Bdy+
1 1
0 0
( ( , ) ( , ) ) ( )x x
x x
dyJ A x y B x y dx Adx Bdydx
= + = +∫ ∫ ne zavisi od
krive na kojoj se vrši integracija, tj. vrednost funkcionala J je konstanta na svim dopustivim krivama, te odgovarajući varijacioni problem postaje bespredmetan.
