Upload
alen-alic
View
242
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
8/9/2019 Matematika 3/1
1/154
O G L E D N I
P R I M J E R
A KBranimir Daki´cNeven Elezovi´c
MATEMATIKA 3ud
ˇ
zbenik i zbirka zadatakaza 3. razred prirodoslovno--matemati
ˇ
cke gimnazije1. dio
8/9/2019 Matematika 3/1
2/154
O G L E D N I
P R I M J E R
A K
Intelektualno je vlasniˇ
stvo, poput svakog drugog vlasniˇ
stva, neotu -divo, zakonomza
ˇ
stićeno i mora se poˇ
stivati. Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati nitiumna
ˇ
zati na bilo koji naˇ
cin, bez pismenog dopuˇ
stenja nakladnika.
ISBN 978-953-197-839-2 (cjelina)ISBN 978-953-197-840-8 (Dio 1)
8/9/2019 Matematika 3/1
3/154
O G L E D N I
P R I M J E R
A KBranimir Daki´ cNeven Elezovi´ c
MATEMATIKA 3
ud
ˇ
zbenik i zbirka zadatakaza 3. razred prirodoslovno-matemati
ˇ
cke gimnazije
1. dio
1. izdanje
Zagreb, 2013.
8/9/2019 Matematika 3/1
4/154
O G L E D N I
P R I M J E R
A Kc Branimir Daki´ c, prof.
prof. dr. sc. Neven Elezovi´ c, 2013.
UrednicaSandra Gra
ˇ
can, dipl. ing.
Recenzentiˇ
Zeljka Frkovi´c, prof.prof. dr. sc. Ljubo Maranguni´ c
LektoricaDunja Apostolovski, prof.
Crte ˇ zi, slog i prijelom
Element d.o.o., Zagreb
Dizajn
Edo Kadi ć
Nakladnik Element d.o.o., Zagreb, Men
ˇ
ceti ćeva 2tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701
faks 01/ 6008-799www.element.hr
Tisak Element d.o.o., Zagreb
8/9/2019 Matematika 3/1
5/154
O G L E D N I
P R I M J E R
A KSadr ˇ zaj
1. Kut i brojevna kru ˇznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Radijanska mjera kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Brojevna kru
ˇ
znica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1. Definicije trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Odre -divanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Odre -divanje vrijednosti kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Osnovni trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5. Svojstva trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1. Adicijski teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2. Trigonometrijske funkcije dvostrukog i polovi
ˇ
cnog kuta . . . . . . . . . . . 683.3. Formule pretvorbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4. Grafovi trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1. Grafovi funkcija sinus i kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2. Grafovi funkcija tangens i kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3. Primjeri primjene trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5. Trigonometrijske jednad ˇzbe i nejednad ˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1. Trigonometrijske jednad
ˇ
zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2. Trigonometrijske nejednad
ˇ
zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6. Pou ˇcci o trokutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.1. Pou
ˇ
cak o sinusima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2. Pou
ˇ
cak o kosinusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3. Trigonometrija trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.4.
ˇ
Cetverokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.5. Primjene trigonometrije u stereometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Rje
ˇ
senja i upute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Odgovori na zadatke unutar gradiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641. Kut i brojevna kru
ˇ
znica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692. Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713. Trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744. Grafovi trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775. Trigonometrijske jednad
ˇ
zbe i nejednad ˇ
zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786. Pou
ˇ
cci o trokutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Rje
ˇ
senja toˇ
cno-netoˇ
cno pitalica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8/9/2019 Matematika 3/1
6/154
O G L E D N I
P R I M J E R
A K
8/9/2019 Matematika 3/1
7/154
O G L E D N I
P R I M J E R
A K
8/9/2019 Matematika 3/1
8/154
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
O G L E D N I
P R I M J E R
A K1.1. Kut
Ivana Brkljaˇ
ci´ c i Sandra Perkovi´ c pripadaju skupini najuspjeˇ
snijih hrvatskih at-leti
ˇ
carki. Ivana se bavila bacanjem kladiva, a Sandra baca disk i kuglu. Sigurnoste primijetili kako se atleti
ˇ
carke prije nego ˇ
sto izbace kladivo, disk ili kuglu zavrte oko svoje osi. Koliki kut pritom opi
ˇ
su? Ima li smisla ovo pitanje? Da,ima, i upravo o tome ´ ce biti govora u ovom odjeljku.
Denicija kuta
U dosadaˇ
snjem smo ˇ
skolovanju kut definirali kao dio ravnine odre -den dvjemazrakama (polupravcima) sa zajedni
ˇ
ckim poˇ
cetkom. Oznaˇ
cavali smo ga simbo-lom
8/9/2019 Matematika 3/1
9/154
8/9/2019 Matematika 3/1
10/154
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
O G L E D N I
P R I M J E R
A K60
390
360V p
Neka se vrtnja u kutu odvija u pozitiv-
nom smjeru. Puni kut ima mjeru 360 ◦ .Kod njega se zraka q nakon jednog pu-nog okreta podudara sa zrakom p . Nas-tavi li se zraka q vrtjeti u istom smje-ru, dobit ćemo kut s mjerom ve´ com od360◦ .
Zadatak 1. Na slici lijevo nacrtana je kruˇ
znica i istaknute toˇ
cke A, B , C , D , E . Ako je mjera kuta
8/9/2019 Matematika 3/1
11/154
KUT 1.1
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Odre d̄ivanje mjere kuta. Glavna mjera
Nacrtajmo sad po volji odabrani kut
8/9/2019 Matematika 3/1
12/154
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Formulu za raˇ
cunanje glavne mjere napisat ´ cemo rabe´ci funkciju najve ći cjelo-brojni dio .
Za svaki realni broj x s x oznaˇ
cavamo najve´ci cijeli broj manji ili jednak broju x . Funkciju f ( x ) = x nazivamo najve´ci cjelobrojni dio.Za pozitivne brojeve x vrijedi primjerice 2.3403 = 2 , = 3.1415 . . . =3 , 4 = 4 . Dakle, najve´ci cjelobrojni dio pozitivnog broja dobijemo tako dazanemarimo decimalni dio broja.Ako je argument ove funkcije negativan, onda je primjerice −3.232 = −4 ,−√ 5 = −2.236 . . . = −3 , ali −5 = −5 .
Glavna mjera kuta
Glavna mjera kuta odre -duje se formulom = −k ·360◦,
gdje je k = 360
.
Primjer 2. Odredimo glavnu mjeru kuta za koji je = 1276◦ .
Imamo 360
= 1276
360 = 3.54 . . . pa je k =
360
= 3.54 . . . = 3 i = 1276◦ −3 ·360◦ = 196◦.
Primjer 3. Odredimo glavnu mjeru kuta za koji je = −5320 ◦ .
Sad je k =
360 = −5320
360 = −14
.77
. . . = −15
pa dobivamo = −5320 ◦ −(−15) ·360◦ = 80◦.
Zadatak 2. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:
1) = 788◦ ; 2) = −2310 ◦ ; 3) = 3000◦20 ;4) = −3450 ◦40 ; 5) = 1390◦15 35 ; 6) = −2820 ◦35 20 .
6
8/9/2019 Matematika 3/1
13/154
KUT 1.1
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Zadatci 1.1.1. Dva kuta, i , 0◦ < , < 90◦ kom- plementarna su ako je + = 90◦ . Odredi
komplement kuta ako je:
1) = 38◦ ; 2) = 47◦15 ;3) = 82◦49 33 ; 4) = 11 ◦11 11 ;5) = 75◦43 45 ; 6) = 10◦59 01 .
2. Dva kuta, i , 0◦ < , < 180 ◦ suplemen-tarna suako je
+ =
180◦
. Odredisuplementkuta ako je:
1) = 33◦ ; 2) = 48◦25 ;3) = 121 ◦44 33 ; 4) = 111 ◦11 11 ;5) = 79◦59 59 ; 6) = 100 ◦01 01 .
3. Koliki su vanjski kutovi trokuta ako su dva unu-tarnja kuta 112 ◦44 38 i 28◦52 13 ?
4. Odredi kut za koji je + = 360 ◦ ako je:1) = 220 ◦35 ; 2) = 115 ◦47 ;3) = 299 ◦40 55 ; 4) = 11 ◦22 33 ;5) = 89◦59 59 .
5. Mjere unutarnjih kutova trokuta u omjeru su4 : 5 : 6 . Koliki su ti kutovi? Odredi mjerevanjskih kutova tog trokuta.
6. Omjer veliˇ
cina unutarnjih kutova trokuta je3 : 4 : 5. Koliki su ti kutovi?
7. Omjer veli ˇcina vanjskih kutova trokuta je4 : 5 : 6. Koliki su unutarnji kutovi tog trokuta?
8. Mjere unutarnjih kutova konveksnog ˇcetverokutau omjeru su 5 : 7 : 8 : 12 . Koliki su ti kutovi?
9. Ako je mjera kuta , izrazi tu mjeru u stupnje-
vima, minutama i sekundama:1) = 13 .715 ◦ ; 2) = 73 .87◦ ;3) = 44 .3358 ◦ ; 4) = −122 .4445 ;5) = 133 .2345 ◦ ; 6) = −47 .6534 ◦ .
10. Zapi ˇsi u decimalnom obliku mjeru kuta:1) 45◦15 33 ; 2) 95◦27 18 ;3) 75◦24 48 ; 4) 101◦11 10 .
11. Koliki kut opiˇ
se velika kazaljka sata u vremenuod 7 h 10 min do 13 h 45 min?
12. Odredi mjeru i glavnu mjeru kuta ˇsto ga opi ˇsevelika kazaljka sata u vremenu od 8 h 52 do15 h 13 .
13. Odredi mjeru i glavnu mjeru kuta ˇsto ga opi ˇsevelika kazaljka sata u vremenu od 19 h 31 do6 h 56 sljedećeg dana.
14. Odredi mjeru i glavnumjeru kuta ˇsto gaopi ˇsema-la kazaljka sata u vremenu od 9 h 15 u utorakdo 23 h 37 sljede će subote.
15. Odredi najmanju pozitivnu mjeru kuta :1) = −825 ◦ ; 2) = −477 ◦ .
16. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:
1) = 555 ◦ ; 2) = 2000 ◦ ;3) = 7770 ◦ ; 4) = 678 ◦ ;5) = 1987 ◦ ; 6) = 3600 ◦ .
17. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:1) = −414 ◦ ; 2) = −990 ◦ ;3) = −3130 ◦ ; 4) = −678 ◦55 32 ;5) = −1987 ◦12 56 .
18. Odredi glavnu mjeru kuta ako je:1) = 555 ◦ ; 2) = −1210 ◦ ;3) = 2000 ◦ ; 4) = 7770 ◦ ;5) = −990 ◦45 15 ; 6) = −2121 ◦21 21 .
19. CD se u ure -daju okre´ce 480 puta u jednoj minuti.Koliki kut opi
ˇ
se neka toˇ
cka na CD-u u 1 sekundi?
20. Koliki kut opi ˇse minutna kazaljka za vrijeme od10 h 15 42 ?
21. Koliki kut opi ˇse to ˇcka na vrhu elise helikopterau 1/2 sekunde ako se elisa okre´ ce 1000 puta uminuti?
22. Ako baca ˇcica kladiva na ˇcini 4 .5 okretaja prijenego
ˇ
sto ga ispusti, koliki kut pritom opiˇ
se kladi-vo?
7
8/9/2019 Matematika 3/1
14/154
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
1.2. Radijanska mjera kuta
ˇ Sto je radijan?
Mjere kutova dosad smo izraˇ
zavali u stupnjevima. Me -dutim, osim stupnjevamo
ˇ
zemo odabrati i drugu jedinicu za mjerenje. Uobiˇ
cajena je druga jedinicaradijan 1 .
Nacrtajmo kruˇ
znicu polumjera r sa srediˇ
stem u vrhu kuta. Izdvojimo luk l tekru
ˇ
znice ˇ
cija je duljina r . Taj luk odre -duje kut za koji kaˇ
zemo da ima mjeru 1radijan. Pi
ˇ
semo = 1 rad , ili kratko, = 1 .
= 1 rad
r
r l r =
Ako je duljina l luka kru ˇ znice jednaka polumjeru r , tada sredi ˇ snji kut ima mjeru 1 radijan. Njegova mjera u stupnjevima je pribli ˇ zno 57◦ .
r P
l
r
Op ćenito, radijanska mjera kuta odre--duje se kao omjer duljine luka prema
polumjeru luka:
rad = lr
.
Tako primjerice, pravom kutu odgovara mjera od
14 ·2r
r =
2
= 1.5707 . . .radijana, ispru
ˇ
zenom = 3.14159 . . . radijana, dok punom kutu odgovara mjera
od 2r
r = 2 = 6.2831 . . . radijana.
Ako je mjera kuta izraˇ
zena u radijanima, tada je duljina l kruˇ
znog luka nakruˇ
znicipolumjera r jednaka ·r .1 U uporabi je (sve rje -de) i tre ća jedinica grad ; puni kut ima 400 grada.
8
8/9/2019 Matematika 3/1
15/154
1
8/9/2019 Matematika 3/1
16/154
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Napiˇ
simo te vrijednosti u tablicu:
stupnjevi 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦
radijani
6 4
3
2
2 3
3 4
5 6
stupnjevi 210◦ 225◦ 240◦ 270◦ 300◦ 315◦ 330◦ 360◦
radijani 7
65 4
4 3
3 2
5 3
7 4
11 6
2
Primjer 2. Kutu mjere = 20◦ odgovara radijanska mjera
= 20180 · =
9
= 0.34906 . . . rad.
Kutu mjere 45◦
odgovara radijanska mjera
= 45180 · =
4
= 0.78539 . . . rad.
Kutu mjere = 201◦ odgovara radijanska mjera
= 201180 · = 3.50811 . . . rad.
Zadatak 1. Prepi ˇsi u bilje ˇznicu i popuni sljede´cu tablicu:
stupnjevi 15 ◦ 22.5◦ 157.5◦ 97.5◦ 198◦radijani
Primjer 3. Pretvorimo u stupnjeve sljede´ ce kutove:
5◦8 26 = 5 + 860
+ 263600
= 5.14056 ◦
29◦0 12 = 29 + 123600
= 29 .00333 ◦
47◦14 2 = 47 + 1460
+ 23600
= 47 .23389 ◦.
10
1 2
8/9/2019 Matematika 3/1
17/154
RADIJANSKA MJERA KUTA 1.2
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Zadatak 2. Odredi radijanske mjere kutova u tablici
10◦
38◦
12 34 423◦
12 33
33◦ −78◦4 21 1220◦124◦ −245◦13 2 1◦
Na ve ćini dˇ
zepnih raˇ
cunala postupak pretvorbe stupnjeva u radijane je programi-ran. Prou
ˇ
cite stoga upute koje ste dobili uz svoje raˇ
cunalo.
Pretvorba radijana u stupnjeve
Ako je zadana mjera kuta u radijanima, tada se mjera u stupnjevima raˇ
cuna nana
ˇ
cin
◦ = rad ·180◦.
Primjer 4. Odredimo mjeru u stupnjevima ako je = 8
te = 7
3.
Iz navedene formule slijedi:
=
8 ·180◦ =
180◦8
= 22 .5◦ = 22◦30 ,
=7 3 ·180 ◦ =
7 ·180◦3
= 420◦.
Primjer 5. Odredimo mjeru u stupnjevima kuta mjere 1 rad.
Sad je
1 rad = 1 ·180◦ = 57 .295779 . . . ◦.
Decimalni dio stupnja pretvaramo u minute i sekunde. To radimo nauobi
ˇ
cajeni naˇ
cin: mnoˇ
zeći decimalni dio sa 60 dobit ´ cemo broj minuta, adecimalni dio minuta ´ cemo na isti na
ˇ
cin pretvoriti u sekunde:0.295779 ◦ = ( 0.295779 ·60) = 17 .74670.7467 = ( 0.7467 ·60) = 44 .80Dakle, 1 rad = 57◦17 45 .
11
1
8/9/2019 Matematika 3/1
18/154
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Zadatak 3. Prepi ˇsi u bilje ˇznicu i popuni sljede´cu tablicu:
radijani 1.5
−2 3.14
7
7
10
stupnjevi
Zadatak 4. Ako vrh minutne kazaljke sata duge 8 cm, prije -de put od 12 cm, koliko je pritompro
ˇ
slo vremena?
Primjer 6. Manji zup ˇcanik ima polumjer r = 0.2 m ,veći R = 0.5 m .
1) Ako se ve ći kotaˇ
c zakrene za 135 ◦ , zakoliko se stupnjeva zakrene manji?
2) Ako se manji kotaˇ
c zakrene za 135 ◦ ,za koliko se zakrene ve´ ci?
1) Kadseve ći kotaˇ
c zakrene za 135 ◦ , to ˇc-ka na njegovom rubu prije -de put od l =r · = 0.5 ·135 ·
180 ≈ 1.178 metara.
Isti put prije -de i toˇ
cka na rubu manjeg kotaˇ
ca pa iz r · = 1.178dobijemo = 337 .5◦ .Kad se ve ći kota
ˇ
c zakrene za 135 ◦ , manji se zakrene za = 337 .5◦ .
2) Oznaˇ
cimo sada = 135◦ pa iz · 0.5 = 135◦ · 0.2 dobijemo = 54◦ .
Zadatak 5. Najpoznatijaanalogna urana svi- jetu zasigurno je londonski BigBen. Njegovamanjakazaljkadu-ga je 2 .7 metara, a duljina ve´ ceiznosi 4 .3 metra.
1) Koliki put opiˇ
se vrh ve će ka-zaljke tijekom 24 sata?
2) Koliko vremena treba manjojkazaljci da njezin vrh prije -deput od 10 metara?
12
1 2
8/9/2019 Matematika 3/1
19/154
RADIJANSKA MJERA KUTA 1.2
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Primjer 7. Najsjevernija to ˇcka Hrvatske je mjesto ˇ
Zabnik kod Sv. Martina na Muriu Me -dimurju. Njegova je geografska du
ˇ
zina 46 ◦33 . Najju ˇznija je to ˇc-ka Hrvatske na oto
ˇ
ciću Galijula blizu Palagruˇ
ze s geografskom duˇ
zinom42◦23 . Oba mjesta imaju istu geografsku
ˇ
sirinu 16 ◦22 . Koliko je ˇ
sirokaHrvatska?
r
d
ˇ
Zabnik i Galijula imaju istu geograf-sku
ˇ
sirinu, ta su dva mjesta na istommeridijanu. Uzmemo li da je polu-mjer Zemlje R = 6378 km , tada jeˇ
sirina Hrvatske jednaka duljini luka
kruˇ
znice ovog polumjera sa srediˇ
s-njim kutom = 46◦33 −42◦23 = 4◦10
= 4.1˙
6 · 180 ≈ 0.072722 rad .
ˇ
Sirina Hrvatske iznosi: d 1 = R ·0.072722 ≈ 464 km.A koliko je duga Hrvatska?
Kolika je udaljenost Iloka, njene najistoˇ
cnije toˇ
cke i rta Lako kod Savudrijekoji je najzapadnija to
ˇ
cka Hrvatske? Ilok i Savudrija imaju istu sjevernugeografsku
ˇ
sirinu ( ≈ 45◦20 ) , na istoj su paraleli. No geografskadu ˇzina Iloka je 1 = 19◦27 , a Savudrije 2 = 13◦30 .
Dok meridijani imaju jednaku duljinu, s paralelama to nije sluˇ
caj. Zbogtoga najprije valja izra
ˇ
cunati polumjer 45. paralele.r = R cos 45 ◦ = 4510 km .
I sada raˇ
cunamo duljinu luka kruˇ
znice sa srediˇ
snjim kutom 1
− 2 = 19◦27
−13◦30 = 5◦57 = 5.95◦
≈ 0.103847 rad .
Duljina Hrvatske je d 2 = 4510 ·0.103847 ≈ 468 km.
13
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
8/9/2019 Matematika 3/1
20/154
1 KUT I BROJEVNA KRU ZNICA
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Primjer 8. Pri kru ˇznom gibanju kutna brzina je omjer prirasta kuta i prirastavremena: =
t
. Pritom se izra ˇzava u radijanima.
Koja je veza izme -du kutne ( ) i linearne (v) brzine? Pogledajmo:
v = st =
r · t
= r ·
t = r .
Rijeˇ
simo sljede´ci zadatak.
Na visini 1500 km iznad Zemlje kruˇ
zi satelit. Za jedan njegov pun obilazakpotrebno je 2.5 sata. Polumjer Zemlje iznosi oko 6400 km .
1) Kolika je kutna brzina satelita?2) Kolika je linearna brzina satelita?
1) Iz =
t slijedi =
2 2.5
= 0.8 ≈ 2.513 rad/h . Primijetimo kakokutu od 2.513 radijana odgovara kut od 144 ◦ .
2) Polumjer r kruˇ
zne putanje satelita iznosi r = 1500 + 6400 =7900 km. Iz v = r
· dobijemo v = 7900
·2.513 = 19 853 km/h .
Kutak plus
NAUTI ˇ
CKA MILJA
U mjerenju udaljenosti izme -du dviju toˇ
caka tijekom vremena pojavljivale su se razne mjerne jedinice. Sve od starog
pa do novijeg doba bile su utemeljene na prosjeˇ
cnim duljinama dijelova ljudskog tijela (palac, stopa, lakat). Danas je osnovna mjera za duljinu metar. Uvedena je 1791., a bila je vezana uz duljinu meridijana koji prolazi kroz Pariz.Godine 1960. prihva´ cena je nova definicija metra preko valne duljine naran
ˇ
casto-crvene zrake u spektru Kriptona-86,a od 1983. definicija metra vezana je uz laser.
U zrakoplovstvu i pomorstvu i danas je ustaljena mjera nauti ˇ cka milja .Kako je ta mjera bila neusugla
ˇ
sena, a zbog njezine vaˇ
znosti, 1929. go-dine velik je broj zemalja prihvatio dogovor po kojem jedna nauti
ˇ
ckamilja iznosi 1852 m . Dogovor nisu prihvatile velike dr
ˇ
zave kao ˇ
sto suVelika Britanija, Sovjetski Savez i SAD, no ova posljednja ipak ga jeusvojila 1954. godine.
Nautiˇ
cka milja se definira kao luk na glavnoj kruˇ
znici Zemlje kojempripada sredi
ˇ
snji kut od 1 minute.
Kako Zemljina kugla nije idealna sfera, srediˇ
snjem kutu od 1 odgo-varaju razli
ˇ
citi lukovi na njezinoj povrˇ
sini. Njihova duljina varira od1843 na polu do 1862 metra na ekvatoru. Duljina tog luka u Doverskomkanalu je otprilike 1853 metra. Zato Englezi definiraju nauti
ˇ
cku miljukao iznos od (to
ˇ
cno) 6080 stopa, odnosno 1853.184 metra.
Kako se dobivaju ove veliˇ
cine? Spomenuti meridijan koji prolazi kroz Pariz ima duljinu od toˇ
cno 20 000 000 metara.
Taj okrugli broj je posljedica definicije metra, a ne ˇ
cudne podudarnosti.Da dobijemo nauti
ˇ
cku milju, duljinu meridijana moramo podijeliti sa 180 ×60 . Dobiva se broj 1851.85. Zato jeme -dunarodnim dogovorom uzeto da nauti ˇcka milja iznosi (to ˇcno) 1852 metra.
14
RADIJANSKA MJERA KUTA 1 2
8/9/2019 Matematika 3/1
21/154
RADIJANSKA MJERA KUTA 1.2
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Zadatci 1.2.
1. Odrediglavnu mjeru kuta ako je njegova mjerau radijanima jednaka:
1) 55
8 ; 2) −
113 12
; 3) 1234
3 ;
4) −33 ; 5) 531
4 ; 6) 1000 .
2. Odredi u radijanima mjeru komplementa kuta ako je:
1) = 3
; 2) = 5 12
;
3) = 3
8 ; 4)
4 9
.
3. Odredi u radijanima mjeru kuta od:1) 30◦ , 45◦ , 75◦ , 120 ◦ , 135 ◦ ;2) 210◦ , 225 ◦ , 300 ◦ , 330 ◦ , 360 ◦ ;3) 7◦30 , 15◦ , 20◦ , 22◦30 , 25◦ ;4) 220◦ , 400 ◦ , 480 ◦ , 570 ◦ , 720 ◦ .
4. Prepi ˇsi u bilje ˇznicu i popuni tablicu:
stupnjevi 22◦30 187◦30 108◦45 192◦ 316◦15 270◦
radijani
5. Odredi u stupnjevima mjeru kuta zadanu u radi- janima:
1)
4 ,
5
, 3
7 ,
5 8
, 2
9 ;
2) 4
3 ,
7 3
, 11
3 ,
14 3
, 22
3 ;
3) , 5 , 3 , 0.35, 4 .28 .
6. Prepi ˇsi u bilje ˇznicu i popuni tablicu:
radijani 3 2.22 5.62 11 0.7
stupnjevi
7. Duljina tetive dane kruˇ
znice jednaka je duljinipolumjera kru
ˇ
znice. Izrazi u radijanima mjerusredi
ˇ
snjeg kuta koji pripada toj tetivi.
8. Na danoj kruˇ
znici istaknut je luk ˇ
cija je dulji-na jednaka duljini promjera kru
ˇ
znice. Izrazi ustupnjevima sredi
ˇ
snji kut koji pripada tom luku.
9. To ˇckama A, B , C i D kru ˇznica je podijeljenana lukove
ˇ
cije su duljine u omjeru 6 : 3 : 4 : 5 .Izrazi u radijanima glavne mjere sredi
ˇ
snjih kuto-va koji pripadaju lukovima
ˇ
sto su odre -deni toˇ
c-kama A, B , C i D .
Izrazi u radijanima glavne mjere unutarnjih ku-tova ˇ
cetverokuta ABCD .
10. Duljina polumjera kru ˇznice je 5 cm. Izrazi u ra-dijanima i stupnjevima glavne mjere sredi
ˇ
snjihkutova koji pripadaju lukovima te kru
ˇ
znice akosu duljine lukova 12 cm, 18 cm i 31 cm.
11. Polumjer kru ˇznice iznosi 25 cm. Odredi duljinukru
ˇ
znog lukate kruˇ
znice akomu pripada srediˇ
snji
kut od 1 .25 radijana.
12. Kolika je zra ˇcna udaljenost Osijeka i Budimpe ˇs-te ako je geografska duljina Osijeka i Budimpe
ˇ
s-te pribli
ˇ
zno jednaka (oko 19 ◦ isto ˇcne duljine) iako je geografska
ˇ
sirina Osijeka 45 ◦33 , a Bu-dimpe
ˇ
ste 47 ◦30 ? Uzmi da je polumjer Zemljer = 6380 km.
13. Split i i Be ˇc imaju pribli ˇzno istu geografskudulji-nu (Split 16 ◦28 , Be
ˇ
c 16◦22 ). Ako je geograf-ska ˇsirina Splita 43 ◦31 , a Be ˇca 48 ◦12 , kolika je zra
ˇ
cna udaljenost Splita i Beˇ
ca?
15
8/9/2019 Matematika 3/1
22/154
8/9/2019 Matematika 3/1
23/154
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
8/9/2019 Matematika 3/1
24/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Primjer 2. U kojem se kvadrantu nalazi to ˇcka pridru ˇzena broju t = 100?
Neka je T = E (t ) . Mjera kuta
8/9/2019 Matematika 3/1
25/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Kutak plus
DU ˇ
ZINA DULJINE π
Pri crtanju grafa funkcije f ( x ) = sin x , ali i mnogih drugih trigonometrijskih funkcija, na brojevni pravac (os apscisa)potrebno je smjestiti broj . Kako to u ˇciniti?
Zadatak nije nov, on je vezan uz rjeˇ
senje i nekih drugih problema od kojih je svakako najpoznatiji kvadratura kruga ,konstrukcija kvadrata
ˇ
cija je povrˇ
sina jednaka povrˇ
sini danoga kruga. Upravo ovaj problem doveo je do spoznaje kakouz danu jedini
ˇ
cnu duˇ
zinu nije mogu´ce konstruirati duˇ
zinu duljine jedinica. A kad ka ˇzemo konstruirati, onda se mislina konstrukciju pri kojoj mo
ˇ
zemo rabiti samo ravnalo i ˇ
sestar.
Matematiˇ
cari su tijekom godina nastojali prona´ ci ˇ
sto bolju pribli ˇ znu konstrukciju duˇ
zine duljine . Neke su uistinuvrlo dojmljive jer su jednostavne, a to
ˇ
cnost im je priliˇ
cno velika.
1. Adam A. Kochansky (1685.): 2. Jacob de Gelder (1849.):
| DE | = 3.141533 ≈ | AB| = 16113
= 0.14159292 . . . ≈ −3
Toˇ
cno-netoˇ
cno pitalice
1. Glavna mjera kuta = 1395 ◦ je 4
.
2. Ako je 17
6 < < 19
6 , onda je 5
6 < < 7
6 .
3. Na kru ˇznici polumjera 10 cm sredi ˇsnjem kutu od 1 rad pripada lukduljine 10 cm.
4. Mjera kuta ˇsto ga velika kazaljka sata prije -de za jednu minutu pribli ˇzno je jednaka 0.1 rad.
5. Glavna mjera kuta od 99 rad je 272 ◦16 56 .6. To ˇcka T = E (
−25 ) smje ˇstena je na brojevnoj kru ˇznici u IV. kvadrantu.
7. To ˇcka E (88 ) smje ˇstena je na brojevnoj kru ˇznici izme -du to ˇcaka E (0) iE (0.1) .
19
1 KUT I BROJEVNA KRU ˇZNICA
8/9/2019 Matematika 3/1
26/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Zadatci 1.3.
1. Odredi na brojevnoj kruˇ
znici toˇ
cke E (t ) pridru-ˇzene realnim brojevima t :3 , −6 , 11 , −13 , 22 , 100 .
2. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcke E (t ) pridru-ˇ
zene realnim brojevima t :
− 2
, 5
2 , −
11 2
, 17
2 ,
101 2
, −45
2 .
3. Odredi na brojevnoj kruˇ
znici to
ˇ
cke:E (15 ) , E −
9 2
, E (−12 ) , E 33
2,
E (−43 ) .4. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcke:
E 5 6
, E 3 4
, E 4 3
, E 11
6,
E 7 4 , E
2 3 .
5. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcke E (t ) pridru-ˇ
zene realnim brojevima t :7 3
, −5 6
, −3 4
, 9
2 , −
11 3
, 17
4 , −
17 6
,
119 3
, 99
4 , −
119 3
.
6. Smjesti na brojevnu kru ˇznicu to ˇcke:E (−1), E (4), E (6.5), E (−12 ), E (5), E (−44 ).
7. Odredi cijeli broj k tako da je k · 2
< t <
(k + 1) · 2
, za sljede će toˇ
cke E (t ) : E (10 ) ,
E (8) , E (2) , E (3.3) , E (√ 33) . Smjesti sve teto
ˇ
cke na brojevnu kruˇ
znicu.
8. Nacrtaj pravilni ˇsesterokut upisan brojevnoj kru-ˇ
znici i s vrhovima u toˇ
ckama Ak = E k · 3
,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Na kojem luku ˇsto je odre -dendvama susjednim vrhovima tog
ˇ
sesterokuta leˇ
ze
toˇ
cke: E (3√ 3) , E (−15 ) , E 23
4, E (−313 ) ,
E (17 .2) ?
9. Nacrtaj pravilni osmerokut upisan brojevnoj kru-ˇ
znici i s vrhovima u toˇ
ckama Ak = E k · 4
,k = 0, 1, 2, . . . , 7 . Na kojem luku ˇsto je odre -dendvama susjednim vrhovima tog osmerokuta le-ˇ
ze toˇ
cke: E (1) , E (−2) , E 33
4, E (−√ 22) ,
E (111 ) , E (−10 .22 )?10. Ozna ˇci na brojevnoj kru ˇznici sljede´ce intervale
realnih brojeva:
1) 3
, 3
4; 2)
5 6
, 5
3;
3) − 2
, 6
; 4) −2 3
, 6
;
5) −13
3 ,−
19 6
.
11. Odredi na brojevnoj kru ˇznici sve to ˇcke E (t ) zakoje je:
1) t = (−1)n · 6
+ n , n Z ;2) t = (−1)n+ 1
3
+ n , n Z ;3) t = (−1)k ·
12
+ k · 2
, k Z ;4) t = (−1)k + 1 12 + k · 3 , k Z .
12. Odredi na brojevnoj kru ˇznici sljede´ce intervalerealnih brojeva:
1) k , 2
+ k , k Z ;2) (2k −1)
4
, (4k −1) 8
, k Z ;3) (4k −1) 8 , k 2 , k Z ;4) k
2
, (4k + 1) 8
, k Z .
20
8/9/2019 Matematika 3/1
27/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
8/9/2019 Matematika 3/1
28/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
U drugom smo razredu definirali trigonometrijske funkcije ˇ
siljastog kuta pravo-kutnog trokuta kao omjere duljina stranica trokuta. Prikazali smo i primjenetih funkcija, prije svega u geometriji ravnine, ali i pri rje
ˇ
savanju brojnih drugih problema. No time nisu ni izbliza prikazane sve mogu´ cnosti koje nam u primjeni pru
ˇ
zaju trigonometrijske funkcije.
Kako bismo barem djelomice ukazali na veliku ulogu ovih funkcija u matemati-ci, ali i izvan nje, najprije ´ cemo trigonometrijske funkcije definirati kao realne funkcije i time pro
ˇ
siriti njihove definicije iz drugog razreda. Za taj “skok”matemati
ˇ
carima je trebalo viˇ
se od dva tisu´ clje´ ca.
2.1. Denicije trigonometrijskih funkcija
Definirat ćemo sada ˇ
cetiri osnovne trigonometrijske funkcije; sinus, kosinus, tan-gens i kotangens. Pri definiciji koristit ´ cemo se brojevnom kru
ˇ
znicom na kojusmo smjestili sve realne brojeve.
Sinus i kosinus
Neka je t po volji odabran realan broj i T = E (t ) tom broju pridru ˇzena to ˇcka nabrojevnoj kru
ˇ
znici. Na slici je odabrana toˇ
cka T u prvom kvadrantu.
1
cos t
sin t
T E = ( )t
Toˇ
cki E (t ) pridru ˇzen je ure -deni par ( x , y) realnih brojeva. Kosinus broja t jebroj x , apscisa to
ˇ
cke E (t ) . Ordinata y to ˇcke E (t ) je sinus broja t .
Sinus i kosinus po volji odabranog kuta
Neka je t po volji odabran realni broj, T = E (t ) njemu odgovaraju´ca
toˇ
cka na brojevnoj kruˇ
znici. Tada je T = ( cos t , sin t ) . Dakle, vri- jednost funkcije kosinus: cos t je apscisa , a vrijednost funkcije sinus:sin t je ordinata to
ˇ
cke T = E (t ) .
22
DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.1
8/9/2019 Matematika 3/1
29/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Primjer 1. Razmotrimo pozorno sljede´ ce tri slike. Na njima su redom prikazani sinusi kosinus brojeva koji su na brojevnoj kru
ˇ
znici smjeˇ
steni u II., III. i IV.kvadrantu. Pritom je sinus nazna
ˇ
cen crvenom, a kosinus plavom bojom.
E t ( )
E t ( )
E t ( )
Najve ću vrijednost, koja je 1, funkcija sinus prima za t = 2
te za sve brojevekoji su smje
ˇ
steni u istoj toj toˇ
cki. Najmanja vrijednost sinusa je −1 . Ona seposti
ˇ
ze za t = 3
2 i za sve brojeve koji su smje
ˇ
steni u toˇ
cku E 3 2
.
Najve ća vrijednost kosinusa tako -der je 1, a najmanja
−1 . Za koje se brojeve
postiˇ
zu te vrijednosti?
Ome -denost sinusa i kosinusa
Za svaki realni broj t vrijedi:
|sin t | 1, |cos t | 1.Ka
ˇ
zemo da su funkcije sinus i kosinus ome -dene .
Zadatak 1. Koje od sljede´cih jednakosti nisu to ˇcne ni za koji realni broj t :
1) sin t = 0.715; 2) cos t = 0 ; 3) sin t = −1 ;4) cos t =
1√ 3 ; 5) sin t =
2
; 6) cos t = 1 −√ 2 ?
Primjer 2. Za koji realni broj m postoji realni broj t za koji je sin t = 1m −1 ?
Kako je |sin t | 1 za svaki realni broj t , mora biti1
m −1=
1
|m −1| 1.
Slijedi |m − 1| 1 . Dakle, m − 1 −1 ili m − 1 1 . Konaˇ
c-
no, jednakost sin t = 1m −1 ima smisla za svaki realni broj m 0 ilim 2 .
23
8/9/2019 Matematika 3/1
30/154
8/9/2019 Matematika 3/1
31/154
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
8/9/2019 Matematika 3/1
32/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Predznaci trigonometrijskih funkcija
Koordinate toˇ
caka na brojevnoj kruˇ
znici mijenjaju predznak pri prijelazu u novikvadrant. Zato ´ce i sinus i kosinus mijenjati svoj predznak kada to
ˇ
cka T obi--de brojevnu kruˇ
znicu. Korisno je zapamtiti kakvi su predznaci tih funkcija upojedinom kvadrantu.
+ + + + +
+++
sinus kosinus tangens kotangens
Prikazani su predznaci trigonometrijskih funkcija. Sinus je pozitivan u prvom i drugom,kosinus u prvom i ˇ cetvrtom kvadrantu, a tangens i kotangens u prvom i tre´ cem kvadrantu.
I II III IV
sin + +
− −cos + − − +tg + − + −ctg + − + −
Povijesni kutak
O IMENIMA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Naziv sinus u europske je jezike stigao tehnikom ‘pokvarenog telefona’. Prvi naziv za sinus i kosinus, jiva i kotijiva ,dali su stari Indijci. Jiva na sanskrtu zna
ˇ
ci ‘tetiva’ (zato se najprije rabi naziv ordhajiva , ‘polovica tetive’) i to je imeu skladu sa zna
ˇ
cenjem sinusa. Arapi tu rijeˇ
c prenose kao jiba , ˇ
sto na arapskom nema znaˇ
cenja pa je zamjenjuju sistozvu
ˇ
cnicom d ˇ zaib (ˇ
sto se piˇ
se kao i d ˇ ziba ), a znaˇ
ci ‘zaljev, pazuh’. Europski srednjovjekovni prevoditelj ( Robert izChestera ) tu rije
ˇ
c doslovno prevodi latinskom rijeˇ
ci sinus (zaljev).
Naziv tangens (zbog veze s tangentom) uvodi 1583. Fincke.
Naziv kosinus nastao je poˇ
cetkom 17. st. ( E. Gunter 1620.) kao kratica od complementi sinus . Kosinus prema tome uprijevodu zna
ˇ
ci: sinus komplementarnog kuta. Iz istog su razloga imena dobili kotangens i kosekans.
Naziv trigonometrijske funkcije stvorio je Kl ügel 1770. Oznake za trigonometrijske funkcije uvodi u 17. st. J. Bernoulli.Otada se rabe razli
ˇ
cite oznake, a najˇ
ceˇ
sće su s, sc, t, tc. Danaˇ
snje oznake potjeˇ
cu od Eulera (sin, cos, tan, cot). Oznakeza stupnjeve, minute i sekunde uvodi Pitiscus krajem 16. st.
Dodajmo na kraju kako su u nekim zemljama, primjerice SAD-u, u uporabi joˇ
s dvije funkcije. To su funkcije sekans ,
sec x = 1cos x te funkcija kosekans , csc x =
1sin x .
26
DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.1
8/9/2019 Matematika 3/1
33/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Zadatci 2.1.
1. Opiˇ
si tijek funkcija sinus i kosinus pri jednomprolasku intervalom [0, 2 ] , odnosno pri jednomobilasku brojevne kru
ˇ
znice.
2. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcku E (t ) ako je:
1) sin t = −12
, cos t < 0 ;
2) cos t = 23
, sin t < 0 ;
3) sin t = 34
, cos t > 0 ;
4) cos t = −14
, sin t > 0 ;
5) cos t = −34
, sin t < 0 ;
6) sin t = −√ 32
, cos t > 0 .
3. Odredi na brojevnoj kru ˇznici to ˇcku E (t ) ako je:1) tg t = −2, cos t > 0 ;2) ctg t =
34
, cos t < 0 ;
3) tg t = −32
, sin t < 0 ;
4) ctg t = −3, sin t > 0 ;5) tg t = 1
2 , sin t < 0 ;
6) ctg t = 1, cos t > 0 .
4. Koliko je:
sin0 , cos − 2
, sin −9 2
,
cos 11 , sin 5
2 , cos(−11 )?
5. Bez uporabe d ˇzepnog ra ˇcunala odgovori koji jebroj ve ći:
1) sin1 ili sin2; 2) cos1 ili cos2?
6. Za koji realni broj m postoji realni broj t za koji je sin t =
11 −m
?
7. Za koje realne brojeve m postoji realan broj x takav da je cos x =
2m −1m + 2
?
8. Za sve realne brojeve x je cos(sin x ) > 0. Do-ka
ˇ
zi!Vrijedi li za sve realne brojeve x i sin(cos x )> 0 ?Za
ˇ
sto?
9. Nazna ˇci na brojevnoj kru ˇznici skup svih rje ˇsenjanejednad
ˇ
zbe:
1) |sin t |12
; 2) |cos x |12
;
3) |tg x | < 1 ; 4) |ctg x |32
.
10. Prika ˇzi na brojevnoj kru ˇznici skup rje ˇsenja sus-tava nejednad
ˇ
zbi:
1) 2sin x −1 0,2cos x + 1 0; .2) 3sin x + 2 0,4cos x −3 0.
11. Za koje realne brojeve t [0, 2 ] vrijedi sin t =cos t ?12. Za koji je x , x [0, 2 ] , sin x < cos x ?13. Na intervalu [0, 2 ] rije ˇsi nejednad ˇzbu
sin x + cos x < 0.
14. Odredi predznak umno ˇska:1) sin 1 ·cos1 ·tg 1 ·ctg1;2) sin 1
·cos2
·tg 3
·ctg4.
15. Rije ˇsi na intervalu [0, 2 ] nejednad ˇzbusin x + √ 3cos x > 0.
16. Prika ˇzi na brojevnoj kru ˇznici skup to ˇcaka E (t ) ,t [0, 2 ] za koje je:1) sin x > cos x ; 2) sin x > |cos x |;3) |sin x | > cos x ; 4) |sin x | > |cos x | .
27
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
8/9/2019 Matematika 3/1
34/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
2.2. Odre d̄ivanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija
Kao i kod ostalih realnih funkcija, tako je i kod trigonometrijskih potrebno od-re -divati njihove vrijednosti. Za neke posebne realne brojeve to mo
ˇ
zemo uˇ
ciniti jednostavno i potpuno to
ˇ
cno. Pa pogledajmo neke najjednostavnije primjere.
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke posebne brojeve
U drugom smo razredu raˇ
cunali vrijednosti trigonometrijskih funkcija za kutoveod 30◦ , 45◦ i 60◦ promatraju´ci jednakostrani ˇcan i jednakokra ˇcan pravokutnitrokut. Ovim kutovima odgovaraju radijanske mjere od
6
, 4
i 3
.
30
P
1
O
E 6( )
Odredimo na brojevnoj kruˇ
znici toˇ
cku E 6
.
Pritom je trokut OPE polovina jednakostraniˇ
cnog
trokuta,
8/9/2019 Matematika 3/1
35/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Primjer 1. Promotri pozorno sljede´ cu tablicu. U nju su unesene vrijednosti trigo-nometrijskih funkcija koje se mogu izra
ˇ
cunati iz podataka za prethodnoobra -dena tri slu
ˇ
caja.
t 0
6 4
3
2
2 3
3 4
5 6
sin t 0 1
2
√ 22
√ 32
1√ 32
√ 22
12
0
cos t 1√ 32
√ 22
12
0 −12 −
√ 22 −
√ 32 −1
t 7
65 4
4 3
3 2
5 3
7 4
11 6
2
sin t 0 −12 −
√ 22 −
√ 32 −1 −
√ 32 −
√ 22 −
12
0
cos t −1 −√ 32 −
√ 22 −
12
0 1
2
√ 22
√ 32
1
Uoˇ
cimo u ovoj tablici da sinus i kosinus funkcija za svaki od ovih brojeva
t prima samo pet razliˇ
citih vrijednosti: 0 , 12
,√ 22
,√ 32
i 1 , kojima se
mijenjaju poredak i predznaci.
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija realnog broja
Vrijednostneke trigonometrijske funkcije za dani realnibrojodre -duje se znanstve-nim d
ˇ
zepnim raˇ
cunalom . To je isto ono raˇ
cunalo kojim smo se koristili u drugomrazredu.
Joˇ
s ne tako davno u uporabi su bile tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija.Povijest tih tablica u dobroj je mjeri i povijest razvitka trigonometrije, pa
ˇ
cak inekih primijenjenih znanosti kao
ˇ
sto je astronomija.
Postoji mnoˇ
stvo raznovrsnih dˇ
zepnih raˇ
cunala. Stoga je vaˇ
zno pozorno prouˇ
citiupute koje se dobiju uz ra
ˇ
cunalo. No ipak navedimo neke vaˇ
zne napomene.
1. Pri odre -divanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija provjeri u kojem je mo-du ra
ˇ
cunalo. Naime, kut kojem odre -dujeˇ
s vrijednost funkcije moˇ
ze biti zadan ustupnjevima, radijanima ili ( rijetko) u gradima. Obrati na to pozornost i postavira
ˇ
cunalo u odgovaraju´ ce stanje.
2. Na većini dˇ
zepnih raˇ
cunala za odre -divanje tangensa broja rabi se tipka na kojojpi
ˇ
se tan , a ne tg , kako se najˇ
ceˇ
sće zapisuje oznaka za ovu funkciju.
29
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
8/9/2019 Matematika 3/1
36/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
3. Na raˇ
cunalima nema posebne tipke za kotangens. To je zbog toga ˇ
sto je
ctg t = 1tg t
, pa se za dani broj t odredi tangens i potom pritiskom na tipku 1 / x
odredi kotangens broja t .
Povijesni kutak
O TRIGONOMETRIJSKIM TABLICAMA
Ne baˇ
s tako davno u srednjim su se ˇ
skolama pri izuˇ
cavanjutrigonometrijskih funkcija i njihovih primjena rabile tablicevrijednosti tih funkcija. No te je tablice pregazilo vrijemepa su ih zamijenila prakti
ˇ
cnija i toˇ
cnija dˇ
zepna raˇ
cunala.Ipak nije naodmet baciti pogled i na ve´ c pomalo zaborav-ljene tablice,
ˇ
ciju jednu stranicu vidimo na slici. Iz ovogsvojevrsnog (tabli
ˇ
cnog) prikaza trigonometrijskih funkcijaˇ
stoˇ
sta se moˇ
ze iˇ
sˇ
citati. Primjerice:
Tablicesu naˇ
cinjene za I. kvadrant (za kutove od 0 ◦ do 90◦i daju vrijednosti svih
ˇ
cetiriju trigonometrijskih funkcija.To je dostatno za odre -divanje vrijednosti trigonometrijskihfunkcija bilo kojega kuta.
U prvom stupcu su vrijednosti sinusa i one rastu s porastomveli
ˇ
cina kuta. Kako se odvijaju promjene ostalih trigono-metrijskih funkcija? Obrazlo
ˇ
zite!
Nadalje, uz lijevi rub tablice zapisani su stupnjevi, do njihsu navedene minute u intervalima po deset. Spu
ˇ
staju ći sepo lijevom rubu, dolazimo do posljednjeg broja 45 ◦ pa sepo desnom rubu vra´ camo prema gore za kutove od 45 ◦ do90◦ . Primijetimo kako je pritom zbroj dvaju kutova slijevai zdesna u istom retku jednak 90 ◦ . Na vrhu prvog stupcastoji sin , a na dnu istog stupca zapisano je cos .
ˇ
Sto toznaˇ
ci?Kako je s ostalim stupcima?
Brojevi u uˇ
zim stupcima naslovljeni s D.1’ sluˇ
ze za inter-polaciju vrijednosti pojedine funkcije za 1 . Razmislite i otoj interpolaciji.
Moˇ
zete li izvesti joˇ
s koji zanimljiv zakljuˇ
cak?
30
ODRE D̄IVANJE VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.2
8/9/2019 Matematika 3/1
37/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Zadatci 2.2.
1. Koriste ći se tablicom provjeri sljede´ ce jednakos-
ti:
1) sin 6 ·cos
6
= 12
sin 3
;
2) cos2 3 −sin
2 3
= −cos 2
3 ;
3) sin 2
3 ·cos 5
6 + cos
2 3 ·sin
5 6
= −1 ;4) cos
2
3 ·cos
5
6 −sin
2
3 ·sin
5
6 = 0 .
5)1 + sin
3 −cos
3
1 + sin 3
+ cos 3
= tg 6
.
2. Izra ˇcunajvrijednostbrojevnogizraza sin x −sin ycos x + cos y
ako je x = 3
4 , y =
5
4 .
3. Doka ˇzi:
1) sin 3
+ sin 6
> 1 ; 2) cos 7
4 + cos
11 6
> 1 .
Prepiˇ
si u biljeˇ
znicu i popuni sljede´ ce tablice:
4. sin cos tg ctg
1.50.23
−3.8610 .2
5. sin cos tg ctg
44◦1578◦4531◦25 48
13◦52 36
6. sin cos tg ctg
105 ◦35188 ◦9
−21◦55 12−112 ◦2 23
7. Ako se vrijednost kuta promijeni za 1 , za koli-ko će se promijeniti vrijednost trigonometrijskihfunkcija? Izra
ˇ
cunaj za sluˇ
caj kada je kut 0 ◦ ,30◦ i 60◦ . (Uputa: izra ˇcunaj sin 1 − sin 0◦ ,sin 30 ◦1 −sin 30 ◦ , sin 60 ◦1 −sin 60 ◦ i sli
ˇ
cnoza druge funkcije.)
8. Koordinate to ˇcke na brojevnoj kru ˇznici su kosi-nus i sinusbroja koji je smje
ˇ
stenututoˇ
cku. Obi -disve to
ˇ
cke i upiˇ
si nepoznate koordinate.
31
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
8/9/2019 Matematika 3/1
38/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
2.3. Odre d̄ivanje vrijednosti kuta
Opisali smo kako se za zadani realni broj odre -duje vrijednost neke trigonomet-rijske funkcije.
ˇ
Cesto moramo rjeˇ
savati obrnut zadatak: ako je dana vrijednosttrigonometrijske funkcije za neki broj, odnosno kut, kako odrediti taj broj, od-nosno kut?
Taj je zadatak ve´ c malo sloˇ
zeniji.
Primjer 1. Neka je sin = 12
. Koliki je kut ?
Nacrtajmo brojevnu kruˇ
znicu. Jednadˇ
zbu sin = 12
zadovoljavat ´ce sve
toˇ
cke brojevne kruˇ
znice ˇ
cija je ordinata 12
. Povucimo pravac y = 12
. On
sijeˇ
ce brojevnu kruˇ
znicu u dvije toˇ
cke T 1 i T 2 . Odgovaraju´ci kutovi su
1 = 6 i 2 = 5 6
. Prema tome, dobili smo dvije vrijednosti za kut .Jesu li to jedine dvije vrijednosti?
x
y
T 2 T 1
1
2
O
y = 12
Odgovor je dakako: ne. Za sve
kutove 1 + 2k = 6
+ 2k i
2 + 2k = 5
6 + 2k , k Zsinus će tako -der imati vrijednost12
, jer tim brojevima odgova-
ra ista toˇ
cka brojevne kruˇ
znice.Dakle, sve mogu´ce vrijednosti
ˇ
cine skup
6 + 2k ,
5
6 + 2k , k
Z .
Ovaj primjer pokazuje kako odre -divanje vrijednosti kuta iz poznate vrijednostisinusa nije potpuno jednostavan posao. Poka
ˇ
zimo sad detaljno koje postupketrebamo u
ˇ
ciniti u tom raˇ
cunu.
32
ODRE D̄IVANJE VRIJEDNOSTI KUTA 2.3
A k i
8/9/2019 Matematika 3/1
39/154
O G L E D N
I P R I M
J E R A K
Arkus sinus
Ako je zadana vrijednost y sinus funkcije, onda se kut za koji je sin = y
odre -duje ovako.Nacrtajmo brojevnu kru
ˇ
znicu. Traˇ
zimo one toˇ
cke na brojevnoj kruˇ
znici ˇ
cija jeordinata jednaka broju y . Nacrtajmo horizontalni pravac
ˇ
ciji je odsjeˇ
cak na osiordinata jednak y . On sije
ˇ
ce brojevnu kruˇ
znicu op ćenito u dvjema toˇ
ckama,od kojih se jedna nalazi na lijevoj, a jedna na desnoj polukru
ˇ
znici. Te se dvijeto
ˇ
cke podudaraju samo ako je y = −1 ili y = 1 . Izabrat ´ cemo onu toˇ
cku T koja le
ˇ
zi na desnoj polukruˇ
znici . Mjera pripadnog kuta nalazi se u granicama
−
2
2.
Prikazano je raˇ
cunanje kuta iz poz-nate vrijednosti sinusa. Ako je za-dana vrijednost y sinusa, tada pos-toji samo jedna to ˇ cka T = T ( )na desnoj polukru ˇ znici za koju jesin = y . Vrijednost kuta oz-na ˇ cava se s arcsin y .
y
T
T
O
y
y
= arcsin y
( > 0) y
( < 0) y
x
Zakljuˇ
cujemo:
Arkus sinus
Za svaki broj y iz intervala [−1, 1] postoji samo jedan kut za kojivrijedi sin = y i −
2
2
. Taj se kut oznaˇ
cava s
= arcsin y.(
ˇ
Citaj: arkus sinus ipsilon.) Vrijednost arkus sinusa dobivamo uz
pomo ć raˇ
cunala pritiskom na tipku oznaˇ
cenu s SIN −1 ili ASIN .
Primjer 2. Neka je sin = −0.4371. Koliki je kut , − 2
2
?
Unesimovrijednost u raˇ
cunalo: 0.4371 ± . Pritisnimo tipku SIN −1 .na zaslonu ćemo dobiti broj −0.452371 . . . To je vrijednost tra
ˇ
zenog kuta(u radijanima).
33
8/9/2019 Matematika 3/1
40/154
ODRE D̄IVANJE VRIJEDNOSTI KUTA 2.3
8/9/2019 Matematika 3/1
41/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Primjer 3. Odredi kut u drugom kvadrantu za koji vrijedi sin = 0.8 .
Postavimo raˇ
cunalo za raˇ
cunanje u stupnjevima. Unesimo vrijednost si-nusa u ra
ˇ
cunalo: 0.8 . Pritisnimo tipku SIN −1 . Na zaslonu ćemodobiti broj 53 .130102354 . To je vrijednost kuta (u stupnjevima), koji le ˇziu prvom kvadrantu .
Kut u drugom kvadrantu, koji ima isti sinus, raˇ
cunamo ovako: = 180◦ −53 .130102354 ◦ = 126 .869897646 ◦ = 126 ◦52 12 .
Izvedi ovaj raˇ
cun tako da bez potrebe ne unosiˇ
s me -durezultate u raˇ
cunalo!(To uno
ˇ
senje je najˇ
ceˇ
sći uzrok pogreˇ
skama u raˇ
cunu.)
Zadatak 1. 1) Odredi broj t u drugom kvadrantu za koji vrijedi sin t = 0.1125.
2) Odredi broj t u trećem kvadrantu ako je sin t = −0.9758.
Sve ostale vrijednosti kuta , za koji je sin = y , dobiju se dodavanjem vi ˇse-kratnika broja 2 na neku od ovih dviju izra ˇcunanih vrijednosti. Prema tome,skup svih vrijednosti je
{ + 2k ,
− + 2k , k
Z
},
pri ˇ
cemu je = arcsin y .
Ra ˇ
cunanje kuta iz zadane vrijednosti sinusa
Iz zadane vrijednosti y sinusa raˇ
cunamo kut za koji je sin = yovako:
1. Ako je y = 1 , onda je =
2 + 2k , k
Z .
2. Ako je y = −1 , onda je = − 2
+ 2k , k Z .3. Ako je −1 < y < 1, onda izra
ˇ
cunamo vrijednost = arcsin y iz
intervala − 2
, 2
, a potom izraˇ
cunamo − . Sve vrijednostikuta su
{ + 2k ,
− + 2k , k
Z
}.
35
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
i j
ˇ
8/9/2019 Matematika 3/1
42/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Primjer 4. Odredi najmanji realni broj x za koji vrijedi sin x = 0.4 ako je jo s k tome x > 8 .
Postavimo raˇ
cunalo za rad u radijanima.
Unesemo vrijednost sinusa: 0.4 . Izra ˇcunamo odgovaraju´ ci kut0.411516846 i ozna ˇcimo taj broj s x 1 . Na trigonometrijskoj kru
ˇ
zniciovaj broj le
ˇ
zi u prvom kvadrantu.
Isti sinus ima i kut iz drugog kvadranta kojem je mjera u radijanima: x 2 =
− x 1 = 2.730075808 .
Svi brojevi za koje je sinus 0.4 dobivaju se sad ovako:0.411516846 + 2k , 2.730075808 + 2k , k Z .
Najmanji me -du njima, a ve ći od 8, je broj2.730075808 + 2 ·1 · = 9.01326115 .
Rjeˇ
senje zadatka je broj x = 9.01326115.
Zadatak 2. Odredi:
1) arc sin 0 .5 ; 2) arcsin (−1) ; 3) arc sin 4 .55 ; 4) arcsin (−0.429 ) .
Zadatak 3. 1) Odredi najmanji pozitivan broj t veći od 10 ako je sin t = −0.7568.2) Odredi najve´ci negativan broj t za koji je sin t = −0.35 .
Napomena. Za neke istaknute vrijednosti t rjeˇ
senje jednadˇ
zbe sin = t pi-ˇ
semo u drugom obliku. Tako na primjer, ako je sin = 0.5, tada umjesto = arc sin 0 .5 = 0.523598 . . . pisat ćemo radije =
6
.
Zato, ako odre -dujemo iz uvjeta
sin = ±12
, sin = ±√ 22
, sin = ±√ 32
, sin = ±1pi
ˇ
semo toˇ
cne vrijednosti arkus sinusa:
= ± 6
, = ± 4
, = ± 3
, = ± 2
.
36
ODRE D̄IVANJE VRIJEDNOSTI KUTA 2.3
Arkus kosinus
8/9/2019 Matematika 3/1
43/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Ako je zadana vrijednost x kosinus funkcije, onda se kut za koji je cos = x
raˇ
cuna na sljede´ci naˇ
cin.Nacrtajmo brojevnu kru
ˇ
znicu. Na brojevnoj kruˇ
znici traˇ
zimo one toˇ
cke ˇ
cija jeapscisa jednaka broju x . Nacrtajmo vertikalni pravac
ˇ
ciji je odsjeˇ
cak na osiapscisa jednak x . On sije
ˇ
ce brojevnu kruˇ
znicu op ćenito u dvjema toˇ
ckama, odkojih je jedna na donjoj, a jedna na gornjoj polukru
ˇ
znici. Izabrat ´ cemo onu toˇ
ckuT koja le
ˇ
zi na gornjoj polukruˇ
znici . Za pripadni kut vrijedi 0 .
Ra ˇ cunamo kut iz poznatevrijednosti kosinusa. Ako je zadana vrijednost x ko-sinusa, tada postoji samo jedna to ˇ cka T = T ( ) nagornjoj polukru
ˇ
znici za ko- ju je cos = x. Vrijed-nost kuta ozna ˇ cava se sarccos x .
= arccos x
( > 0) x( < 0) x
x x x
T T
O
y
Arkus kosinus
Za svaki broj x iz intervala [−1, 1] postoji samo jedan kut za koji je cos = x i 0 . Taj se kut ozna ˇcava s = arc cos x .
(ˇ
citaj: arkus kosinus iks.) Vrijednost arkus kosinusa dobivamo uzpomo ć ra
ˇ
cunala pritiskom na tipku oznaˇ
cenu s COS −1 ili ACOS .
Zadatak 4. Bez uporabe ra ˇcunala izra ˇcunaj:arc cos1 + arc cos0 + arc cos (−1).
Primjer 5. Neka je cos = 0.23714 . Koliki je kut , 0 ?
Postavimo raˇ
cunalo za rad u stupnjevima. U raˇ
cunalo unesimo vrijed-nost 0.23684 . Pritisnimo tipku COS −1 . Na zaslonu ćemo dobiti broj76 .282197903 . To je vrijednost tra ˇzenog kuta (u stupnjevima). Pretvori-
mo dijelove stupnja u minute i sekunde pritiskom na D.MS
: 76◦16 56
37
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Primjer 6
Neka je cos t = 0 3 Koliki je broj t ako je 0 t ?
8/9/2019 Matematika 3/1
44/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Primjer 6. Neka je cos t = −0.3 . Koliki je broj t ako je 0 t ?
Sada ćemo raˇ
cunati kut u radijanima, pa provjerimo stanje raˇ
cunala iliodmah pritisnimo RAD . U ra
ˇ
cunalo unesimo vrijednost .3 ± . Pri-tisnimo tipku COS −1 . Na zaslonu ćemo dobiti broj 1 .875488981 . . .Rezultat ćemo zapisati na pet decimala 3 , t = 1.87549 . To je vrijednosttra
ˇ
zenog kuta (u radijanima).
Zadatak 5. Odredi:
1) arc cos (−0.5) ; 2) arc cos0 .3324; 3) arc cos (−1.255 ) .
Sve vrijednosti kuta za koji je cos = x nalazimo sli ˇcno kao i za funkcijusinus.
1. Ako je x = 1, onda je = 2k , k Z .2. Ako je x = −1, onda je = + 2k , k Z .3. Neka je sad −1 < x < 1 . Nacrtajmo brojevnu kru
ˇ
znicu. Povucimo vertikalnipravac
ˇ
ciji je odsjeˇ
cak na osi apscisa jednak x . On sijeˇ
ce brojevnu kruˇ
znicu uto
ˇ
cki T 1 u gornjoj poluravnini, kojoj odgovara kut 1 = , te u toˇ
cki T 2 udonjoj poluravnini, kojoj odgovara kut 2 .
O x x
y
T 1
T 2
Rje ˇ savamo jednad ˇ zbu cos = x . Ako je x razli ˇ cit od 1 ili
−1 , tada
vertikalni pravac sijeˇ
ce brojevnu kru-ˇ znicu u dvjema to ˇ ckama, T 1 i T 2 ,koje su simetri ˇ cne s obzirom na osapscisa. Za pripadne kutove 1 i 2vrijedi 2 = − 1 .
Toˇ
cka T 2 simetriˇ
cna je toˇ
cki T 1 s obzirom na os apscisa. Zato za 1 i 2 vrijedi 2 = − 1 .
3 Broj decimala nije unaprijed odre -den, ovisi o ostalim podatcima u zadatku.
38
ODRE D̄IVANJE VRIJEDNOSTI KUTA 2.3
Sva ostala rjeˇ
senja jednadˇ
zbe cos = x dobiju se dodavanjem vi ˇsekratnika brojaˇ ˇ
8/9/2019 Matematika 3/1
45/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
2 na neku od ovih dviju izra cunanih vrijednosti. Prema tome, skup svih rje senjapromatrane jednad
ˇ
zbe je
{ + 2k ,
− + 2k , k
Z
},
pri ˇ
cemu je = arc cos x .
Ra ˇ
cunanje kuta iz zadane vrijednosti kosinusa
Iz zadane vrijednosti x kosinusa raˇ
cunamo kut za koji je cos = x ovako:
1. Ako je x = 1, onda je = 2k , k Z .2. Ako je x = −1 , onda je = ( 2k + 1) , k Z .3. Ako je −1 < x < 1 , onda izra
ˇ
cunamo vrijednost = arc cos x izintervala 0, . Sve vrijednosti kuta su
{ + 2k , − + 2k , k Z}.
Primjer 7. Za koji kut vrijedi cos = −0.8 ?
Raˇ
cunamo u radijanima. Unesemo vrijednost kosinusa: .8 ± . Od-redimo kut pritiskom na COS −1 . Dobivamo rezultat 2 .49809 . Svevrijednosti kuta (u radijanima) su
{2.49809 + 2k , −2.49809 + 2k , k Z}.
Zadatak 6. Odredi kut u stupnjevima ako je:
1) cos = 0.44678; 2) cos = −3.14159; 3) cos = −0.8957.
Arkus tangens i arkus kotangens
Sliˇ
cnu situaciju imamo pri odre -divanju kuta iz poznate vrijednosti tangensa ilikotangensa.
Dovoljno je nauˇ
citi kako se odre -duje kut ako je tg = y . Naime, ako je zadanavrijednost kotangensa, tada je recipro
ˇ
cni broj vrijednost tangensa.
Tangens poprima sve realne vrijednosti. Zato ´ ce za svaki realni broj y postojatikut za koji je tg = y .
39
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Nacrtajmo brojevnu kruˇ
znicu i prislonimo tangentu u toˇ
cki (1, 0) . Vrijednosttangensa je ordinata to
ˇ
cke na tom pravcu Zato odredimo toˇ
cku T s ordinatom
8/9/2019 Matematika 3/1
46/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
tangensa je ordinata to cke na tom pravcu. Zato odredimo to cku T s ordinatom y . Zraka OT sije
ˇ
ce desnu polukruˇ
znicu u jednoj toˇ
cki, T .
Arkus tangens
Za svaki realni broj y postoji samo jedan kut za koji je tg = y i
− 2
< < 2
. Taj se kut oznaˇ
cava s
= arc tg y.(
ˇ
citaj: arkus tangens ipsilon.) Arkus tangens dobivamo na raˇ
cunalu
pritiskom na tipku oznaˇ
cenu s TAN −1 ili pak s ATAN .
Ra ˇ cunamo kut iz poznate vrijednosti tan-gensa. Ako je zadana vrijednost y tangen-sa, tada postoji samo jedna to ˇ cka T nadesnoj polukru ˇ znici za koju je tg = x .Vrijednost kuta ozna ˇ cava se s arc tg y .
x
y
T , y(1 )T'
y
1O
= arctg y
Primjer 8. Odredimo kut za koji je tg = 2.35113.
Unesimo broj u raˇ
cunalo i odredimo vrijednost arkus tangensa:
2.35113 TAN −1 (= 1.168648 . . .)Dobili smo vrijednost u radijanima. Pretvorimo ga u stupnjeve:
× 180 : = (= 66 .95862 . . . ◦)
→D.MS (= 66◦57 31 .03 )Dakle, = 66◦57 31 .
Na ovaj smo naˇ
cin dobili jednu vrijednost 1 = za koju je tg = y . Isto ćevrijediti za svaki iz skupa
+ k , k
Z .
40
ODRE D̄IVANJE VRIJEDNOSTI KUTA 2.3
Ra ˇ
cunanje kuta iz zadane vrijednosti tangensa
8/9/2019 Matematika 3/1
47/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Iz zadane vrijednosti y tangens raˇ
cunamo kut za koji je tg = yovako:
1. Izraˇ
cunamo vrijednost = arc tg y iz intervala − 2
, 2
.
2. Sve vrijednosti kuta su { + k , k Z}.
Zadatak 7. Izra ˇcunaj kut ako je:
1) tg = −0.1156; 2) tg = −1 ; 3) tg = 99 .5498.Ra
ˇ
cunanje kuta iz zadane vrijednosti kotangensa
Iz zadane vrijednosti y kotangens raˇ
cunamo kut za koji jectg = y ovako:
1. Izraˇ
cunamo reciproˇ
cnu vrijednost x = 1 y
.
2. Izraˇ
cunamo vrijednost = arc tg x iz intervala − 2
, 2
.
3. Sve vrijednosti kuta su
{ + k , k Z}.
Primjer 9. Izra ˇcunajmo sve kutove za koje je ctg = −2.36 .
Najprije odredimo vrijednost tangensa:
tg = 1ctg
= − 12.36
= −0.42372 . . .(rezultat zapisujemo s pet decimala, a to
ˇ
cniji broj pamtimo u raˇ
cunalu).
Sad odre -dujemo vrijednost arkus tangensa:
−0.42372 . . . TAN −1 (= −0.40079 . . .)Prema tome, sva su rje
ˇ
senja jednadˇ
zbe ctg = −2.36{−0.40079 ±k , k Z}.
Zadatak 8. Odredi broj t ako je:
1) ctg t = −4.1338; 2) ctg t = 1 ; 3) ctg t = 7.1528.
41
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Zadatci 2.3.
8/9/2019 Matematika 3/1
48/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
adatc .3.1. Odredi arkus sinus iz zadane vrijednosti sinusa.
Rezultate zapiˇ
si u stupnjevima.1) sin = 0.19118 ; 2) sin = 0.87451;3) sin = 0.55 ; 4) sin = 0.33126;5) sin = −0.45245; 6) sin = −0.9987.
2. Odredi arkus sinus iz zadane vrijednosti sinusa.Rezultate zapi
ˇ
si u radijanima.
1) sin = 0.19118 ; 2) sin = 0.87451;3) sin = 0.55 ; 4) sin = 0.33126;5) sin = −0.45245; 6) sin = −0.9987.
3. Odredi arkus kosinus iz zadane vrijednosti kosi-nusa. Rezultate zapi
ˇ
si u stupnjevima.
1) cos = 0.23974; 2) cos = 0.55245 ;3) cos = 0.03355; 4) cos = 0.89547 ;5) cos = −0.25252 ; 6) cos = −0.987.
4. Odredi arkus kosinus iz zadane vrijednosti kosi-nusa. Rezultate zapi
ˇ
si u radijanima.
1) cos = 0.23974; 2) cos = 0.55245 ;3) cos = 0.03355; 4) cos = 0.89547 ;5) cos = −0.25252 ; 6) cos = −0.987.
5. Konstruiraj sljede´ ce kutove:
1) arc sin 3
5 ; 2) arc cos
−1
2; 3) arc tg
5
6 .
6. Izra ˇcunaj:
1) arc sin −12
+ arc sin√ 22
;
2) arc sin −√ 22 −arc sin
√ 32
;
3) arc sin 1
2 + arc cos
√ 32
+ arctg√ 33
;
4) arc sin √ 32
+ arc cos −√ 32
+ arctg −√ 33
.
7. Koliko je:
1) cos arc cos −12
+ 3
;
2) tg 2 arc tg − 1√
3
+ 3
;
3) tg 2 −arc sin√ 32
;
4) ctg3 2 −arc cos
√ 22 ?
8. Koliko je:
1) tg arcsin −12
+ arc sin (−1) ;2) ctg arc sin
√ 32
+ arccos√ 32
?
9. Odredi sve realne brojeve t ako je poznato:1) sin t = 0.2 ; 2) sin t = 0.3 ;3) sin t = 0.4 ; 4) sin t = 0.9 ;5) sin t = −0.6 ; 6) sin t = −0.7 .
10. Odredi sve realne brojeve t ako je poznato:1) cos t = 0.12 ; 2) cos t = 0.37 ;3) cos t = 0.54 ; 4) cos t = 0.71 ;
5) cos t = −0.37 ; 6) cos t = −0.75 .11. Odredi arkus tangensiz zadane vrijednosti tagen-sa:1) tg = 0.53554 ; 2) tg = 1.25222;3) tg = 0.09 ; 4) tg = 3.89334;5) tg = −1.35353 ; 6) tg = −10 .987.
12. Odredi arkus kotangens iz zadane vrijednosti ko-tagensa:
1) ctg = 3.51551; 2) ctg = 0.11226 ;3) ctg = 0.097; 4) ctg = 1.38934 ;5) ctg = −0.75353; 6) ctg = −13 .3567 .
13. Odredi sve vrijednosti realnog broja t ako je za-dano:1) tg t = 0.25 ; 2) tg t = 0.75 ;3) tg t = 3.60 ; 4) tg t = 15 .2 ;5) tg t = −2.5 ; 6) tg t = −7.5 .
14. Odredi sve vrijednosti realnog broja t ako je za-dano:1) ctg t = 0.25 ; 2) ctg t = 1.55 ;3) ctg t = 10 .24 ; 4) ctg t = −0.1 ;5) ctg t = −1.25 ; 6) ctg t = −25 .6 .
15. Izrazi u radijanima:1) arcsin0 .33 ; 2) arccos (−0.412 ) ;3) arc tg(−3.14 ) ; 4) arcctg1 .193.
42
8/9/2019 Matematika 3/1
49/154
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
PAko je T = E (t ) u prvom kvadrantu, onda
8/9/2019 Matematika 3/1
50/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A KO B At
T
P j ( ) p ,
vrijedi tg t = | AP| . Iz sliˇ
cnih trokuta OAPi OBT (slika desno) vidimo da je
| AP||OA|
= | BT ||OB|
i odavde, jer je |OA| = 1, slijeditg t = | AP| = |
BT ||OB|
= sin t cos t
.
Ako je T = E (t ) u nekom od triju ostalihkvadranata, dokaz se provodi na isti na
ˇ
cin.
Potpuno na isti naˇ
cin kao i za funkciju tangens moˇ
zemo pokazati da za ovakodefiniranu funkciju kotangens vrijedi temeljna veza
ctg t = cos t sin t
za svaki t takav da je ovaj koliˇ
cnik definiran.
Dakle, vrijedi
ctg t = 1tg t
za svaki t za koji su obje funkcije definirane.
Zadatak 2. Koriste ći se identitetima tg t = sin t cos t
, tg t ·ctg t = 1 i tablicom na str. 29 proˇ
siri
istu tablicu vrijednostima tangensa i kotangensa.
Temeljne veze izme d̄u trigonometrijskih funkcija
Ako znamo vrijednost jedne trigonometrijske funkcije za neki broj t , onda izosnovnih identiteta mo
ˇ
zemo odrediti vrijednost bilo koje druge funkcije istog togbroja. Poka
ˇ
zimo najprije kako se iz poznatog sinusa raˇ
cuna kosinus i obratno. Iztemeljnog identiteta slijedi
sin t = ±
1 −cos 2 t ,
cos t = ± 1 −sin2 t ,
Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi toˇ
cka E (t ) .
44
OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI 2.4
Primjer 2.
Odredi vrijednost sin t ako je cos t = 45
, a kut t se nalazi u ˇ
cetvrtom
8/9/2019 Matematika 3/1
51/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
5kvadrantu.
0 1
cos t
sin t
E t ( )
Za kutove u ˇ
cetvrtom kvadrantu sinus jenegativan. Zato je
sin t = − 1 −cos 2 t = − 1 − 45 2=
−3
5.
Pokaˇ
zimo sada kako se s pomo´ cu vrijednosti jedne od ˇ
cetiriju trigonometrijskihfunkcija mo
ˇ
ze izraziti vrijednost bilo koje druge funkcije.
1. Poznat je sin t .
cos t = ± 1 −sin 2 t ,tg t = sin t cos t
= sin t
±√ 1 −sin 2 t ,
ctg t = cos t sin t
= ±√ 1 −sin 2 t sin t
.
2. Poznat je cos t .
sin t = ± 1 −cos 2 t ,tg t =
sin t cos t
= ±√ 1 −cos 2 t cos t
,
ctg t = cos t sin t
= cos t
±√ 1 −cos 2 t .
3. Poznat je tg t . Iz sin 2 t + cos2 t = 1 dijeljenjem s cos 2 t dobivamo
tg2 t + 1 = 1cos 2 t
= cos2 t = 1
1 + tg2 t te je
cos t = 1
±
1 + tg2 t
,
sin t = tg t ·cos t = tg t
± 1 + tg2 t .
Sliˇ
cno se izvode veze i ako je poznat ctg t .
45
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Dobivene identitete navest ´ cemo u sljede´coj tablici:
8/9/2019 Matematika 3/1
52/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
sin t cos t tg t ctg t
sin t − ±√ 1 −cos 2 t tg t ± 1 + tg2 t 1
± 1 + ctg2 t cos t ±√ 1 −sin 2 t −
1
± 1 + tg2 t ctg t
± 1 + ctg2 t tg t
sin t
±√ 1
−sin 2 t
±√ 1 −cos 2 t cos t −
1ctg t
ctg t ±√ 1 −sin 2 t sin t
cos t
±√ 1 −cos 2 t 1
tg t −
Primjer 3. Odredi vrijednost cos t ako je tg t = 13
, a kut t se nalazi u tre ćem
kvadrantu.
Za kutove u tre ćem kvadrantu kosinus je negativan. Zato je
cos t = 1
− 1 + tg2 t = −
1
1 + 19= −
3√ 10 .
Zadatak 3. Ako je ctg t = −1.875 i cos t > 0, izraˇ
cunaj sin t .
Primjer 4. Za kut iz prvog kvadranta sinus je utvr -den u granicama 0 .15 < sin t <0.16 . U kojim se granicama nalazi tangens tog kuta?
Tangens kuta je pozitivan. Moˇ
zemo koristiti formulu
tg t = sin t
√ 1 −sin 2 t .
Uvrˇ
stavaju ći graniˇ
cne vrijednosti za sinus, dobit ´ cemo ove ograde za tan-gens:
0.15√ 1 −0.152
< tg t < 0.16
√ 1 −0.162,
0.152 < tg t < 162 .
46
OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI 2.4
Zadatci 2.4.
8/9/2019 Matematika 3/1
53/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
1. Pojednostavni:1) 1 −cos 2 x ; 2) sin2 x −1 ;3) (1 −sin x )(1 + sin x ) ;4) (1 −cos x )(1 + cos x ) ;5) 1 + sin2 x + cos 2 x ;6) 1 −sin 2 x −cos 2 x ;7) sin4 x −cos 4 x + sin2 x ;8) cos4 x
−sin 4 x
−cos 2 x ;
9) (1 + tg2 x ) ·cos 2 x ;10) (1 + ctg2 x ) ·sin 2 x .
2. Pojednostavni:
1) 1 −sin 2 x cos 2 x −1
; 2) sin2 x sin 2 x −1 ·
ctg 2 x ;
3) cos2 x
1 −cos 2 x ·tg2 x ; 4)
sin3 x + cos 3 x 1 −sin x ·cos x
;
5) sin3 x −cos 3 x 1 + sin x ·cos x
; 6) 1 −sin 4 x −cos 4 x
cos 4 x ;
Dokaˇ
zi sljede će identitete:
3. 1) (sin x + cos x )2 + ( sin x −cos x )2 = 2 ;2) 1 −sin
2
x cos x = cos x ;
3) cos2 x 1 −sin x
= 1 + sin x ;
4) 1 + cos x
sin x =
sin x 1 −cos x
;
5) cos x sin x ·ctg x
= 1 ;
6) sin x cos x ·tg x = 1 ;
7) sin x + tg x
tg x = 1 + cos x ;
8) tg x
tg x + ctg x = sin 2 x ;
9) ctg x tg x + ctg x
= cos 2 x ;
10) cos2 x −sin 2 x sin x ·cos x = ctg x −tg x .
4. 1) sin x + tg x
cos x + 1 = tg x ;
2) cos x + ctg x
1 + sin x = ctg x ;
3) 1 + tg x 1 + ctg x
= tg x ;
4) 1
1 + cos x +
11 −cos x
= 2sin 2 x
;
5) tg x 1 + tg x =
sin x sin x + cos x ;
6) 1 − 1
1 + tg2 x =
11 + ctg2 x
.
5. 1) tg2 x −sin 2 x = tg2 x ·sin 2 x ;2) ctg2 x −cos 2 x = ctg 2 x ·cos 2 x ;3) (tg2 x
−sin 2 x )
·ctg 2 x = sin 2 x ;
4) (1 + ctg2 x )(1 −sin 2 x ) = ctg 2 x ;5) sin4 x + cos 4 x = 1 −2cos 2 x + 2 cos 4 x .
6. 1) tg x 1 −tg2 x ·
ctg2 x −1ctg x
= 1 ;
2) 1
sin 2 x −cos 2 x =
1 + ctg 2 x 1 −ctg 2 x
;
3) tg x 1 −tg2 x ·
ctg2 x −1ctg x = 1 ;4)
sin x 1 + ctg x
+ cos x 1 + tg x
= 1
sin x + cos x ;
5) sin x ·tg x sin x + tg x
= tg x −sin x
sin x ·tg x .
7. 1) 1 + cos x
sin x
2+ 1 :
1 + cos x
sin 2 x = 2 ,
x = k , k Z ;2)
(1 −sin x −cos x )(1 −sin x + cos x )sin x (1 −sin x )
= −2 , x = k , x =
2
+ k ·2 , k Z .
8. 1)
1 + sin x 1
−sin x
= 1 + sin x
|cos x
| ;
2) 1 −cos x 1 + cos x = 1 −cos x |sin x | .47
8/9/2019 Matematika 3/1
54/154
SVOJSTVA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.5
2.5. Svojstva trigonometrijskih funkcija
8/9/2019 Matematika 3/1
55/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Parnost i neparnost
Pri izuˇ
cavanju svojstava neke realne funkcije izme -du ostalog se ispituje je lifunkcija parna ili neparna.
Funkcija f je parna ako za svaki t za koji je funkcija definirana vrijedi: f (−t )postoji i pritom je f (−t ) = f (t ) . Ona je neparna ako za svaki t za koji jefunkcija definirana vrijedi: f (−
t ) postoji i pri tom je f (
−t ) =
− f (t ) .
Primijetimo da funkcija ne mora biti niti parna niti neparna.
Jesu li moˇ
zda trigonometrijske funkcije parne ili neparne funkcije?
O x
E t t t ( )= (cos , sin )
E t (- )= (cos , sin )(- ) (- )t t
t -t
Toˇ
cke T 1 = E (t ) i T 2 = E (−t )simetri ˇcne su s obzirom na os Ox .Zato se njihove apscise podudaraju,a ordinate razlikuju u predznaku. To
znaˇ
ci da je cos (− x ) = cos x , te jekosinus parna funkcija, a sin (− x ) =−sin x te je sinus neparna funkcija.Je li tangens parna ili neparna funk-cija? Mo
ˇ
zemo to provjeriti na sli-ci, sli
ˇ
cno kao ˇ
sto smo radili za sinusi kosinus, a mo
ˇ
zemo postupiti i naovaj na
ˇ
cin:
tg(−t ) = sin(−t )cos (−t )
= −sin t cos t
= −sin t cos t
= −tg t .
Kako je ctg t = 1tg t
, funkcije tg t i ctg t iste su parnosti. A kako je tangens
neparan, neparan je i kotangens.
Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija
Sinus je neparna , a kosinus parna funkcija :cos (−t ) = cos t , sin(−t ) = −sin t ,
za svaki realni broj t .
Tangens i kotangens neparne su funkcije i vrijedi:tg(
−t ) =
−tg t , ctg(
−t ) =
−ctg t
za svaki realni broj t za koji su funkcije definirane.
49
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Zadatak 1. Naslikama su redom grafovi funkcija f ( x ) = x 4− x 2−1 , f ( x ) = ||| x −1|−1|−1|, f ( x ) = −0.5 x 3 + x i f ( x ) = − x 2 + x + 1 . Ima li me -du njima koja parna i kojaneparna?
8/9/2019 Matematika 3/1
56/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
neparna?
1) 2)
1
1
2
20
1
1
2
2 x
y
1
1
2
2 3
3
40
1
12 x
y
3) 4)
1
1
2
20
1
1
2
2 x
y
1
1 20
1
1
2
3
x
y
Primjer 1. Funkcije f ( x ) = sin | x | i g( x ) = |sin x | su parne. Provjerimo to! Vrijedili sin | x | = |sin x | za svaki realni broj x ?
Provjerimo najprije je li sin | x | = sin | − x |. Kako suprotni brojevi imaju jednake apsolutne vrijednosti ( | x | = |− x |), odgovor je potvrdan. Funkcija f parna je funkcija.Ajeli g parna, tj. vrijedi li
|sin x
| =
|sin(
− x )
| za svaki realanbroj x ? Ka-
ko je sin (− x ) = −sin x , onda je to zapravo pitanje je li |sin x | = |−sin x |.Odgovor je potvrdan, razlog je i opet taj ˇsto suprotni brojevi imaju jednakeapsolutne vrijednosti. Dakle, i g je parna funkcija.
Jednakost sin | x | = |sin x | općenito ne vrijedi za svaki realni broj x , od-nosno funkcije f i g nisu jednake funkcije. To je lako obrazlo ˇziti: svevrijednosti od g su u intervalu [0, 1] , dok su vrijednosti od f u intervalu[−1, 1] .
Zadatak 2. Vrijedi li jednakost cos | x | = |cos x | za svaki realni broj x ?50
SVOJSTVA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.5
Periodi ˇ cnost trigonometrijskih funkcija
ˇ ˇ
8/9/2019 Matematika 3/1
57/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Periodi cnost je pojava s kojom se
cesto susre´cemo. Promotri primjerice sljede´ cu
sliku.
2700
2200
0 5 10 15vrijeme (s)
o b u j a m
( m l )
Na njoj je dijagram koji prikazujekako se tijekom vremena mijenja ko-li
ˇ
cina zraka u ˇ
covjekovim plu´cima.ˇ
Sto primje ćujemo?
Pluća nikada nisu bez zraka i tije-kom jednog udisaja, koji traje otpri-like dvije sekunde, koli
ˇ
cina zraka se
penje od najmanje do najve´ ce vrijed-nosti, a potom opada.
Disanje je periodiˇ
cna pojava.
Premda je intuitivno jasno ˇ
sto to znaˇ
ci, opiˇ
simo ipak periodiˇ
cnost matematiˇ
cki.
Periodi ˇ
cne funkcije
Za funkciju f kaˇ
zemo da je periodi ˇ
cna ako postoji realni broj P > 0
takav da za svaki t za koji je funkcija definirana, ona je definirana i ut + P i vrijedi f (t ) = f (t + P). (1)
Broj P zove se period funkcije f . Najmanji takav pozitivni broj zovese temeljni period funkcije f .
Zadatak 3. Na crte ˇzima su prikazani grafovi ˇcetiriju funkcija. Ima li me -du njima periodi ˇcnih?Ako ima, koliki je temeljni period?
1) y
x
2
1
01
2
1 55
2) y
x
2
1
0
2
1
3) y
x
2
1
0
2
1 5
4) y
x
2
1
0
2
1 5
51
8/9/2019 Matematika 3/1
58/154
SVOJSTVA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.5
Primjer 4.
Dokaˇ
zimo da je funkcija f ( x ) = sin( x + ) periodi ˇcna i da je njezin
temeljni period 2
.
8/9/2019 Matematika 3/1
59/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Pri dokazu tvrdnje primijenit ´ cemo definiciju periodiˇ
cnosti funkcije. Pi-tamo se, dakle, postoji li takav pozitivan broj P da je jednakost
sin ( ( x + P) + ) = sin ( x + )ispunjena za svaki x .
Onda je ona ispunjena i za x = −
pa nakon uvrˇ
stavanja dobijemo:
sin ( P ) = 0.Period P valja tra
ˇ
ziti me -du brojevima P = k ·
, k Z .
Pokazuje se da za k = 1 broj P =
nije period funkcije f . Za k = 2
provjera pokazuje da P = 2
jest period funkcije f . To je onda i njezin
temeljni period.
Zadatak 5. Pozorno prou ˇci sljede će slike. ˇ
Sto zakljuˇ
cujeˇ
s?
1
1
2
y x=sin y x=sin 2
1
1
y= xsin y=sin x2
2 3 4
1
1
2
y= xcos y= xcos 3
23
1
1
y= xcos
2 3 4
y=cos x3
Zadatak 6. Odredi temeljne periode sljede´ cih funkcija:
1) f ( x ) = 2 sin 4 x ; 2) f ( x ) = cos 23 x ;
3) f ( x ) = −cos 5 x ; 4) f ( x ) = 12
sin ( x −3) .
53
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Periodi ˇ
cnost funkcija sinus i kosinus
Funkcije sinus i kosinus su periodiˇ
cne funkcije s temeljnim periodomP = 2 :
8/9/2019 Matematika 3/1
60/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
P 2 :
sin (t + 2 ) = sin t , cos(t + 2 ) = cos t .
I funkcije f (t ) = sin( t + ) i f (t ) = cos( t + ) , za svaki i
> 0 su tako -der periodi ˇcne, a njihov je temeljni period 2
.
Zadatak 7. Na slikama su dani grafovi nekih trigonometrijskih funkcija. Za svaku od njihodredi period.
1) 2)
x2
22
2
x2
2
4 4
2
4
3) 4)
x2
22
2
x2 22
2
Periodi ˇ cnost funkcija tangens i kotangens
Toˇ
cke T 1 = E (t ) i T 2 = E (t + ) simetriˇ
cne su s obzirom na ishodiˇ
ste O .Zato T 1 , O i T 2 le
ˇ
ze na istom pravcu. Drugim rijeˇ
cima, pravci OT 1 i OT 2 sepodudaraju, pa se podudara i vrijednost tangensa: tg t = tg(t + ) . Isto vrijedi iza funkciju kotangens. Zato je:
tg(t + ) = tg t , ctg(t + ) = ctg t
za svaki t za koji su funkcije definirane.
Dakle, tangens i kotangens su periodiˇ
cne funkcije s temeljnim periodom .
54
SVOJSTVA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 2.5
Q
8/9/2019 Matematika 3/1
61/154
O G L E D N
I P R I M J
E R A K
Na slici je prikazana pe-riodi ˇ cnost tangensa i ko-tangensa. To ˇ cke E (t ) iE (t + ) simetri ˇ cne su sobzirom na ishodi ˇ ste, pa suvrijednosti tangensa za t i t + jednake. Isto vri- jedi i za kotangens. Zato je temeljni period ovih funkcija.
P
xt
t +
O
Općenitije, za svaki cjelobrojni k i za svaki t , za koji su funkcije definirane,vrijedi:
tg(t + k ) = tg t , ctg(t + k ) = ctg t .
Kao i za funkcije sinus i kosinus, moˇ
zemo pokazati sljede´ ce svojstvo funkcijatangens i kotangens:
Periodi ˇ
cnost funkcija tangens i kotangens
Neka su i > 0 po volji odabrani realni brojevi. Funkcijet → tg( t + ) i t → ctg ( t + ) su periodi
ˇ
cne, s temeljnim periodom
.
Kutak plus
FUNKCIJE SEKANS I KOSEKANS
U zapadnom svijetu uz funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens ˇ
cesto se uvode joˇ
s dvije funkcije, sekans i kose-
kans . Njihove su definicije: sec x = 1cos x
; cosec x = 1sin x
. Na dvjema slikama prikazani su grafoviovih funkcija: sekans je slika lijevo, kosekans je slika desno.
x
y
1
23
-3-2
-4
4
-10
2 2-
2-
2- - x
y
1
23
-3-2
-4
4
-10
2 2-
2-
2- -
1) Za koje su realne brojeve x definirane funkcije sec x i cosec x ? 2) Jesu li ove funkcije parne? Jesu li neparne?
3) Jesu li ove funkcije periodiˇ
cne? 4) Obrazloˇ
zi: sec x = cosec
„
2 − x
«.
55
2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Zadatci 2.5.1 Pozorno promotri dane grafove Jesu li funkci- 7
8/9/2019 Matematika 3/1
62/154