www.puskice.org
1
Matematika 3
zbirka zadataka sa reenjima i uputstvima za reavanje
Hijavata
mailto:[email protected]
www.puskice.org
2
Predgovor
Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata 4 zadatka. Ova zbirka e biti odraena tematski, za svaki tip
zadatka ponaosob.
Prvi zadatak
Obine diferencijalne jednaine prvog reda:
Jednaina sa razdvojenim promenljivim
Homogene diferencijalne jednaine prvog reda
Linearne diferencijalne jednaine prvog reda
Bernulijeva jednaina prvog reda
Jednaina sa totalnim diferencijalom (sa/bez integracionog faktora)
Prvi zadatak je uvek jedna diferencijalna jednaina prvog reda. Najee dolaze Bernulijeva i
Jednaina sa totalnim diferencijalom, mada nema pravila.
Drugi zadatak
Diferencijalne jednaine vieg reda:
Diferencijalna jednaina oblika
Diferencijalna jednaina oblika
Homogene diferencijalne jednaine vieg reda
Nehomogene diferencijalne jednaine vieg reda
Sistemi obinih diferencijalnih jednaina prvog reda:
Homogeni sistemi odj
Nehomogeni sistemi odj
Nelinearni sistemi odj
Parcijalne diferencijalne jednaine
Linearne parcijalne diferencijalne jednaine
Kvazilinearne parcijalne diferencijalne jednaine
www.puskice.org
3
Trei zadatak
Trei zadatak je neto vezano za funkciju kompleksne promenljive. Dolaze ravnopravno dva tipa
zadatka:
Koi-Rimanovi uslovi
Izraunavanje integrala funkcije kompleksne promenljive (Reziduum)
etvrti zadatak
etvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju
Reavanje diferencijalne jednaine vieg reda primenom Laplasove transformacije
Reavanje sistema diferencijalnih jednaina primenom Laplasove transformacije
www.puskice.org
4
Prvi zadatak
Jednaina sa razdvojenim promenljivima
Najjednostavniji tip diferencijalne jednaine. Treba imati na umu da vai
Reavanje jednaina:
reenje dobijamo iz:
reenje dobijamo iz:
Dakle, razdvajamo x i y (i njihove diferencijale) na razliite strane znaka jednakosti i
nalazimo integrale.
Pri reavanju diferencijalnih jednaina, moe se dogoditi da reenje ima drugaiji
oblik nego ono dato u ovoj zbirci. Zato pokuajte da transforma cijama, vae reenje
svedete na ono dato u zbirci kako biste proverili da li ste tano uradili zadatak.
U sluaju da je opte reenje jednaine u zadacima gde se trai partikularno reenje
drugaijeg oblika od opteg reenja datog u zbirci, to znai da e najverovatnije i
konstanta C biti drugaija nego ovde u zbirci, ali mora se dobiti isto opte reenje.
www.puskice.org
5
Postoje tri osnovna tipa zadataka:
1. Obina diferencijabilna jednaina sa razdvojenim promenljivima ( ili )
2. ODJ sa razdvojenim promenljivima - partikularno reenje
3. ODJ sa razdvojenim promenljivima - smena za svoenje na 1. tip zadatka
Zadaci:
Reenje:
Transformiemo konstantu na sledei nain: ime dobijamo novu konstantu
www.puskice.org
6
za uslov imamo:
www.puskice.org
7
vratimo u opte reenje:
dakle, Partikularno reenje je:
Odrediti partikularno reenje pri uslovu
za uslov
imamo:
kad vratimo u opte reenje, dobijamo Partikularno reenje:
www.puskice.org
8
kad vratimo u opte reenje, dobijamo Partikularno reenje:
(smena , )
www.puskice.org
9
Zadaci za samostalan rad:
Odredi opte reenje jednaine:
1.
Odredi partikularno reenje jednaine pri uslovu:
www.puskice.org
10
Jednaine koje slede svesti smenom na jednaninu sa razdvojenim
promenljivim a zatim nai opte reenje
www.puskice.org
11
Homogena diferencijalna jednaina prvog reda
Reavanje jednaina:
Polazna jednaina
smena
vratimo u polaznu jednainu
reenje dobijamo iz integrala
zatim vratimo smenu u reenje
Ova vrsta jednaine se svodi na jednainu sa razdvojenim promenljivim. Vrlo esto, diferencijalna
jednaina se transformacijama izraza (deljenje sa x ili y) svodi na homogenu.
www.puskice.org
12
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
13
www.puskice.org
14
Linearna diferencijalna jednaina prvog reda
Opti oblik:
Reenje:
Ova vrsta jednaine je lako prepoznatljiva. Reava se primenom ove formule ije izvoenje nije
potrebno znati za praktini deo ispita.
Koraci:
www.puskice.org
15
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
16
Odrediti partikularno reenje date linearne diferencijalne jednaine
Odredi reenje linearne jednaine po x
www.puskice.org
17
Bernulijeva diferencijalna jednaina
Koraci:
www.puskice.org
18
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
19
www.puskice.org
20
Jednaine sa totalnim diferencijalom
Algoritam reavanja:
Postupak reavanja:
www.puskice.org
21
Ukoliko na ispitu doe ovaj zadatak, obino napomenu da treba da se trai odreeni faktor
(po x ili y). Ako ne napomenu, svejedno je koji ete, procenite sami koji je lake izraunati.
www.puskice.org
22
www.puskice.org
23
Zadaci za samostalan rad:
www.puskice.org
24
Odredi integracioni faktor, i rei jednainu:
www.puskice.org
25
Reenja zadataka:
jedan #6 i jedan tablini integral
tri tablina integrala
dva #7
dva #1
jedan #1 i jedan #8
jedan tablini i jedan slian #2
smena -y=t, pa #1
dva #1
, C=1
jedan tablini i jedan #8
, C=0
#6 i jedan tablini
dva tablina
izvlaenjem 1/3 ispred integrala, dobiju se dva #1
#1 i #8
tablini i #1
www.puskice.org
26
smena , integral #7
smena , integral slino kao #7
smena #7
smena , slino #7
tablini i #9
tablini i #10
tablini i #1
tablini i #1
dva tablina
#11 i tablini
dva tablina
tablini i #1
tablini
tablini i #12
#6 i tablini
#13 i tablini
#14 i tablini
tablini i smena
tablini integrali
tablini integrali
www.puskice.org
27
tablini integrali
tablini i #15
tablini i #16
tablini i #17
#1 i #18
slian #8 i tablini
#1 i tablini
#1 i tablini
slian #5 i 2 tablina
tablini i #19
slian #5 i tablini
tablini integrali
2 tablina i #15
tablini i #20
tablini i #21
#1 i tablini
tablini i #22
tablini i #23
tablini i #23
tablini i #24
tablini i #25
svi tablini
svi tablini
tablini i #26
www.puskice.org
28
svi tablini
tablini i #23
#1 i tablini
#8 i tablini
tablini
tablini i #23
tablini i #23
tablini i slian #26
#1 i #27
tablini i #28
tablini i #29
tablini
tablini
tablini
tablini
tablini
tablini
tablini
tablini
tablini
tablini
tablini i #29
#30 i tablini
#31 i tablini
www.puskice.org
29
tablini
tablini i slian #27
tablini i slian #27
tablini
tablini
tablini
tablini i slian #3
tablini
tablini
tablini
tablini
tablini i slian #3
tablini
tablini
tablini, #32, i slian #16,
tablini
tablini
tablini
tab
