Click here to load reader

Matematika 3 - Пушкице | ФОН Андерграунд - Факултет ... 1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje · 2013-5-24

  • View
    229

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Matematika 3 - Пушкице | ФОН Андерграунд - Факултет ... 1 Matematika 3...

  • www.puskice.org

    1

    Matematika 3

    zbirka zadataka sa reenjima i uputstvima za reavanje

    Hijavata

    mailto:[email protected]

  • www.puskice.org

    2

    Predgovor

    Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata 4 zadatka. Ova zbirka e biti odraena tematski, za svaki tip

    zadatka ponaosob.

    Prvi zadatak

    Obine diferencijalne jednaine prvog reda:

    Jednaina sa razdvojenim promenljivim

    Homogene diferencijalne jednaine prvog reda

    Linearne diferencijalne jednaine prvog reda

    Bernulijeva jednaina prvog reda

    Jednaina sa totalnim diferencijalom (sa/bez integracionog faktora)

    Prvi zadatak je uvek jedna diferencijalna jednaina prvog reda. Najee dolaze Bernulijeva i

    Jednaina sa totalnim diferencijalom, mada nema pravila.

    Drugi zadatak

    Diferencijalne jednaine vieg reda:

    Diferencijalna jednaina oblika

    Diferencijalna jednaina oblika

    Homogene diferencijalne jednaine vieg reda

    Nehomogene diferencijalne jednaine vieg reda

    Sistemi obinih diferencijalnih jednaina prvog reda:

    Homogeni sistemi odj

    Nehomogeni sistemi odj

    Nelinearni sistemi odj

    Parcijalne diferencijalne jednaine

    Linearne parcijalne diferencijalne jednaine

    Kvazilinearne parcijalne diferencijalne jednaine

  • www.puskice.org

    3

    Trei zadatak

    Trei zadatak je neto vezano za funkciju kompleksne promenljive. Dolaze ravnopravno dva tipa

    zadatka:

    Koi-Rimanovi uslovi

    Izraunavanje integrala funkcije kompleksne promenljive (Reziduum)

    etvrti zadatak

    etvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju

    Reavanje diferencijalne jednaine vieg reda primenom Laplasove transformacije

    Reavanje sistema diferencijalnih jednaina primenom Laplasove transformacije

  • www.puskice.org

    4

    Prvi zadatak

    Jednaina sa razdvojenim promenljivima

    Najjednostavniji tip diferencijalne jednaine. Treba imati na umu da vai

    Reavanje jednaina:

    reenje dobijamo iz:

    reenje dobijamo iz:

    Dakle, razdvajamo x i y (i njihove diferencijale) na razliite strane znaka jednakosti i

    nalazimo integrale.

    Pri reavanju diferencijalnih jednaina, moe se dogoditi da reenje ima drugaiji

    oblik nego ono dato u ovoj zbirci. Zato pokuajte da transforma cijama, vae reenje

    svedete na ono dato u zbirci kako biste proverili da li ste tano uradili zadatak.

    U sluaju da je opte reenje jednaine u zadacima gde se trai partikularno reenje

    drugaijeg oblika od opteg reenja datog u zbirci, to znai da e najverovatnije i

    konstanta C biti drugaija nego ovde u zbirci, ali mora se dobiti isto opte reenje.

  • www.puskice.org

    5

    Postoje tri osnovna tipa zadataka:

    1. Obina diferencijabilna jednaina sa razdvojenim promenljivima ( ili )

    2. ODJ sa razdvojenim promenljivima - partikularno reenje

    3. ODJ sa razdvojenim promenljivima - smena za svoenje na 1. tip zadatka

    Zadaci:

    Reenje:

    Transformiemo konstantu na sledei nain: ime dobijamo novu konstantu

  • www.puskice.org

    6

    za uslov imamo:

  • www.puskice.org

    7

    vratimo u opte reenje:

    dakle, Partikularno reenje je:

    Odrediti partikularno reenje pri uslovu

    za uslov

    imamo:

    kad vratimo u opte reenje, dobijamo Partikularno reenje:

  • www.puskice.org

    8

    kad vratimo u opte reenje, dobijamo Partikularno reenje:

    (smena , )

  • www.puskice.org

    9

    Zadaci za samostalan rad:

    Odredi opte reenje jednaine:

    1.

    Odredi partikularno reenje jednaine pri uslovu:

  • www.puskice.org

    10

    Jednaine koje slede svesti smenom na jednaninu sa razdvojenim

    promenljivim a zatim nai opte reenje

  • www.puskice.org

    11

    Homogena diferencijalna jednaina prvog reda

    Reavanje jednaina:

    Polazna jednaina

    smena

    vratimo u polaznu jednainu

    reenje dobijamo iz integrala

    zatim vratimo smenu u reenje

    Ova vrsta jednaine se svodi na jednainu sa razdvojenim promenljivim. Vrlo esto, diferencijalna

    jednaina se transformacijama izraza (deljenje sa x ili y) svodi na homogenu.

  • www.puskice.org

    12

    Zadaci za samostalan rad:

  • www.puskice.org

    13

  • www.puskice.org

    14

    Linearna diferencijalna jednaina prvog reda

    Opti oblik:

    Reenje:

    Ova vrsta jednaine je lako prepoznatljiva. Reava se primenom ove formule ije izvoenje nije

    potrebno znati za praktini deo ispita.

    Koraci:

  • www.puskice.org

    15

    Zadaci za samostalan rad:

  • www.puskice.org

    16

    Odrediti partikularno reenje date linearne diferencijalne jednaine

    Odredi reenje linearne jednaine po x

  • www.puskice.org

    17

    Bernulijeva diferencijalna jednaina

    Koraci:

  • www.puskice.org

    18

    Zadaci za samostalan rad:

  • www.puskice.org

    19

  • www.puskice.org

    20

    Jednaine sa totalnim diferencijalom

    Algoritam reavanja:

    Postupak reavanja:

  • www.puskice.org

    21

    Ukoliko na ispitu doe ovaj zadatak, obino napomenu da treba da se trai odreeni faktor

    (po x ili y). Ako ne napomenu, svejedno je koji ete, procenite sami koji je lake izraunati.

  • www.puskice.org

    22

  • www.puskice.org

    23

    Zadaci za samostalan rad:

  • www.puskice.org

    24

    Odredi integracioni faktor, i rei jednainu:

  • www.puskice.org

    25

    Reenja zadataka:

    jedan #6 i jedan tablini integral

    tri tablina integrala

    dva #7

    dva #1

    jedan #1 i jedan #8

    jedan tablini i jedan slian #2

    smena -y=t, pa #1

    dva #1

    , C=1

    jedan tablini i jedan #8

    , C=0

    #6 i jedan tablini

    dva tablina

    izvlaenjem 1/3 ispred integrala, dobiju se dva #1

    #1 i #8

    tablini i #1

  • www.puskice.org

    26

    smena , integral #7

    smena , integral slino kao #7

    smena #7

    smena , slino #7

    tablini i #9

    tablini i #10

    tablini i #1

    tablini i #1

    dva tablina

    #11 i tablini

    dva tablina

    tablini i #1

    tablini

    tablini i #12

    #6 i tablini

    #13 i tablini

    #14 i tablini

    tablini i smena

    tablini integrali

    tablini integrali

  • www.puskice.org

    27

    tablini integrali

    tablini i #15

    tablini i #16

    tablini i #17

    #1 i #18

    slian #8 i tablini

    #1 i tablini

    #1 i tablini

    slian #5 i 2 tablina

    tablini i #19

    slian #5 i tablini

    tablini integrali

    2 tablina i #15

    tablini i #20

    tablini i #21

    #1 i tablini

    tablini i #22

    tablini i #23

    tablini i #23

    tablini i #24

    tablini i #25

    svi tablini

    svi tablini

    tablini i #26

  • www.puskice.org

    28

    svi tablini

    tablini i #23

    #1 i tablini

    #8 i tablini

    tablini

    tablini i #23

    tablini i #23

    tablini i slian #26

    #1 i #27

    tablini i #28

    tablini i #29

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini i #29

    #30 i tablini

    #31 i tablini

  • www.puskice.org

    29

    tablini

    tablini i slian #27

    tablini i slian #27

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini i slian #3

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini

    tablini i slian #3

    tablini

    tablini

    tablini, #32, i slian #16,

    tablini

    tablini

    tablini

    tab

Search related