Matematika · 2021. 2. 4. · Baze Nakon što ste detaljno prešli lekciju iz skripte, izvežbajte baze za ovu lekciju iz naših Baza za za prijemni ispit 2021. godine iz Matematike

Matematika

Skripta za prijemni ispit 2021. Detaljno objašnjene lekcije i rešeni zadaci

Dodatno

Rešeni rokovi (prethodni prijemni ispiti)

skripteekof.com

Gradivo

SKRIPTE EKOF 2021/22

Skripta

© 2021 Skripte Ekof. Sva prava su zadržana. Autor zabranjuje beleženja i umnožavanja svog dela u

celosti ili delimično, bilo kojim sredstvima, u bilo kom obliku, na bilo koji trajni ili privremeni,

posredni ili neposredni način. (član 20. Zakona o autorskom i drugim srodnim pravima „Službeni

glasnik RS“, br. 104/2009, 99/2011, 119/2012, 29/2016 - Odluka US RS i 66/2019)

SVI MATERIJALI – MATEMATIKA ZA PRIJEMNI 2021.

SKRIPTU NAPRAVIO TIM:

Baze

Online kurs

NAŠI MATERIJALI ZA MATEMATIKU:

SKRIPTE ONLINE KURSEVI

Sve informacije na skripteekof.com/matematika

NAJČEŠĆA PITANJA

SADRŽAJ SKRIPTE

Skripta obuhvata lekcije, kao i detaljno objašnjene zadatke za prijemni ispit iz

Matematike na Ekonomski fakultet u Beogradu.

1. Brojevni izrazi (str.1-10) 8. Logaritamska funkcija (str.81-94)

2. Polinomi (str.11-20) 9. Trigonometrija (str.95-107)

3. Funkcije (str.21-35) 10. Nizovi (str.108-121)

4. Racionalni algebarski izrazi (str.36-46) 11. Analitička geometrija (str-122-134)

5. Apsolutna vrednost (str.47-53) 12. Procentni račun (str.135-148)

6. Iracionalni algebarski izrazi (str.54-67) 13. Logika, skupovi i relacije (str.149-159)

7. Eksponencijalna funkcija (str.68-80) 14. Kombinatorika (str.160)

Ukoliko primetite određene greške u skripti, obavezno nam javite kako bismo ih

ispravili. Takođe, proverite da li već postoje određene ispravke preko našeg sajta:

skripteekof.com/matematika-skripte

Ova skripta obuhvata lekcije 1-14 za prijemni ispit iz Matematike.

Za prijemni ispit je neophodno da uvežbate i baze za prijemni ispit iz Matematike.

Svi naši proizvodi dostupni su isklјučivo u fotokopirnici Minerva!

Gradivo

Skripta Baze

Fotokopirnica Minerva Gavrila Principa 44a, Beograd

[email protected]

Fotokopirnica Minerva

@skripteekof

Pomoću preko 200 video klipova, 20 sati video sadržaja i rešene prijemne ispite

po lekcijama spremite prijemni ispit za maksimum poena!

Više informacija o sadržini i načinu prijave na skripteekof.com/matematika-kursevi

SKRIPTE IZ MATEMATIKE ZA PRIJEMNI 2021.

Rešeni rokovi

KURSEVI IZ MATEMATIKE ZA PRIJEMNI 2021.

Dodatno

skripteekof.com

mailto:[email protected]

SAVETI ZA PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA 2021. IZ MATEMATIKE

Skripte ne pokazujte profesorima na zvaničnoj pripremnoj nastavi na fakultetu!

Iako često efikasnije od zvaničnih materijala, skripte nisu zvanična literatura za pripremu.

Skripta Prvo pređite lekciju iz

naše Skripte prijemni ispit

2021. godine iz

Matematike. Ovo je važno

da biste naučili suštinu

gradiva i razne tipove

zadataka, kao i da biste

provežbali osnovne

primere. Skripta vam

omogućava da ovo

učinite na lak i efikasan

način, kroz jasna

objašnjenja, ilustrativne

primere i dopunske

korisne linkove. Takođe,

imate detaljno urađene

primere zadataka za

vežbanje, u cilju

savladavanja gradiva kroz

samostalno vežbanje.


[email protected]


@skripteekof

skripteekof.com

Baze Nakon što ste detaljno

prešli lekciju iz skripte,

izvežbajte baze za ovu

lekciju iz naših Baza za za

prijemni ispit 2021.

godine iz Matematike.

Ovo predstavlja veoma

važnu vežbu za prijemni

ispit! Baze sadrže stotine

zadataka koji su poređani

po lekcijama, te nakon

svake lekcije možete da

dodatno izvežbate

gradivo. Zadaci su rešeni

relativno postupno (ali

bez objašnjenja kao u

skripti), tako da možete

samostalno da vežbate i

uporedite vaša rešenja sa

onima iz baza.

Online kurs Koristeći naš Online kurs

za prijemni ispit 2021.

godine iz Matematike

pored skripti i baza

dobijate i preko 200 video

klipova, 20 sati video

sadržaja i puno dodatnih

zadataka za vežbanje.

Ono što je najvažnije od

svega jeste što u online

kursu imate detaljno

urađene zadatke sa

prethodnih prijemnih

ispita, poređane po

lekcijama, tako da nakon

prelaska svake lekcije

odmah direktno vežbate i

za prijemni ispit. Kurs je

besplatan te se obavezno

prijavite!

Iako izgleda kao puno, ne brinite, ovo nije ništa teško, a obezbediće vam budžet na Ekofu!

GR

AD

IVO

D

OD

AT

NO

Rešeni rokovi (prethodni prijemni ispiti) Konačno, pred sam prijemni, u našim Rešenim rokovima iz Matematike možete provežbati

prethodne prijemne ispite. Iako ste ovo već prešli kroz online kurseve detaljno po lekcijama,

važno je da i vežbate rešavanje celih prijemnih ispita odjednom pod uslovima koji će važiti kao

i na prijemnom (izrada 2h, bez korišćenja pomoćnih materijala ili podsećanja iz skripti i kursa).

Shodno tome, nemojte nikako na kraju preskočiti ovaj korak! Uvežbajte lepo što više

prethodnih prijemnih ispita.


SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi

© 2021 Skripte Ekof. Sva prava zadržana. 1 skripteekof.com

Lekcija 1: Brojevni izrazi

Pregled lekcije

U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:

➢ osnovni pojmovi o razlomcima – proširivanje, skraćivanje, upoređivanje;

➢ zapis razlomka u okviru mešovitog broja i decimalnog broja;

➢ operacije sa razlomcima – sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje;

➢ operacije sa decimalnim brojevima – sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje;

➢ prioritet računskih operacija – tzv. „ZEMDOS“.

Uvod

U okviru prve lekcije ponovićemo neka osnovna pravila za izračunavanje vrednosti

brojevnih izraza, od kojih ste većinu zasigurno savladali još u osnovnoj školi. Iako možda

izgledaju banalno, ova pravila je veoma važno da ponovite i uvežbate za svaku lekciju koju

predstoji.

1. Uvod u razlomke

Ono što je potrebno da obnovite za prijemni ispit je sledeće:

1) Proširivanje razlomaka

Razlomak proširujemo tako što pomnožimo i brojilac i imenilac istim brojem.

Primer. 1

2=

2

4 (množimo sa 2 i gore i dole)

2) Skraćivanje razlomaka

Razlomak skraćujemo tako što podelimo i brojilac i imenilac istim brojem.

Primer. 6

10=

3

5 (delimo sa 2 i gore i dole)

3) Upoređivanje razlomaka

Funkcioniše suprotno od celih brojeva. Na primeru pozitivnih brojeva, 3 < 5, međutim 1/3

> 1/5. Isto važi i za negativne brojeve: -3 > -5, međutim -1/3 < -1/5.

Možete nacrtati ove vrednosti na brojevnoj pravoj kako biste lakše videli suštinu.



4) Zapis u obliku mešovitog broja

Ukoliko razlomak sadrži više od „jednog celog“ (što znači da mu je brojilac veći od

imenioca. tj. „ono iznad crte“ je veće od „onoga ispod crte“), onda razlomak možemo

zapisati u obliku mešovitog broja.

Primer. 5

4= 1

1

4 (jedan ceo je

4

4 i ostaje nam

1

4)

17

8= 2

1

8 (dva cela je

16

8 i ostaje nam

1

8)

5) Zapis u obliku decimalnog broja

Razlomak možemo uvek zapisati u obliku decimalnog broja, tako što podelimo brojilac

(„ono iznad crte“) sa imeniocem („onim ispod crte“).

Primer. 3

4= 3 ∶ 4 = 0,75

17

8= 17 ∶ 8 = 2,125

2. Sabiranje i oduzimanje razlomaka

Razlomke sabiramo i oduzimamo tako što ih svodimo na zajednički imenilac - drugim

rečima, cilj nam je da svim razlomcima koje sabiramo ili oduzimamo "broj ispod crte" bude

jednak.

Primer.

Izračunaj vrednost izraza 3

5+

4

10.

3

5+

4

10 (proširićemo prvi razlomak sa 2)

=6

10+

4

10 (sad možemo da saberemo brojioce)

=10

10 (možemo da skratimo rezultat sa 10)

= 𝟏 (ovo je naš konačan rezultat)



3. Množenje razlomaka

Razlomke množimo vrlo jednostavno - brojilac množimo sa brojiocem (ono iznad

razlomačke crte), a imenilac množimo sa imeniocem (ono ispod razlomačke crte). Naravno,

razlomke možemo da kratimo kako bismo olakšali postupak, ukoliko je to moguće.

Primer.


5∙

4

10.

3

5∙

4

10 (množimo gore sa gore, dole sa dole)

=12

50 (možemo da skratimo rezultat sa 2)

=𝟔

𝟐𝟓 (ovo je naš konačan rezultat)

4. Deljenje razlomaka

Deljenje razlomaka svodi se na množenje razlomaka. Samo je potrebno da zamenimo

mesta brojioca i imenioca kod razlomka sa kojim delimo, tj. deliocem (tzv. recipročna

vrednost razlomka).

Primer.


5:

4

10.

3

5:

4

10 (svedimo prvo ovo deljenje na množenje)

=3

5∙

10

4 (sad primenjujemo množenje)

=30

20 (možemo da skratimo sa 10)

=𝟑

𝟐 (ovo je naš konačan rezultat)

BITNA NAPOMENA

Recipročna vrednost razlomka 4

10 je

10

4. Samo smo zamenili mesta brojiocu i imeniocu.



5. Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva

Decimalne brojeve sabiramo i oduzimamo tako što ih potpišemo pa prosto

sabiramo/oduzimamo jedinice sa jedinicama, desetice sa deseticama, stotine sa stotinama,

kao i svaku decimalu sa odgovarajućom decimalom.

Primer.

Izračunaj vrednost izraza 5,65 − 3,44.

5, 6 5

− 3, 4 4

2, 2 1

Vrednost zadatog izraza je 2,21.

6. Množenje decimalnih brojeva

Link: rebrand.ly/decimalni2

Množenje decimalnih brojeva svodi se na množenje prirodnih brojeva. Samo je bitno da

pazite na zareze, prođite gore navedeni link i sve će vam biti jasno.

7. Deljenje decimalnih brojeva

Link: rebrand.ly/decimalni3

Deljenje decimalnih brojeva svodi se na deljenje prirodnih brojeva. Samo je bitno da pazite

na zareze, prođite gore navedeni link i sve će vam biti jasno.

8. Prioritet računskih operacija

Bitno je da zapamtite kakav je redosled izvođenja računskih operacija u matematici, a pri

tome vam može pomoći sledeća skraćenica: ZEMDOS.

1. Z = zagrade

2. E = eksponenti (stepenovanje, korenovanje)

3. M = množenje i D = deljenje (s leva na desno)

4. O = oduzimanje i S = sabiranje (s leva na desno)

Primer.

Izračunaj vrednost izraza (3 − 2) × 52 + 4: 2.

https://www.youtube.com/watch?v=raghCQcRrRs

https://www.youtube.com/watch?v=aCme1ucBTIM



(3 − 2) × 52 + 4: 2 (prvo zagrade)

= 1 × 52 + 4: 2 (sad eksponenti)

= 1 × 25 + 4: 2 (sad množenje i deljenje)

= 25 + 2 (sad oduzimanje i sabiranje)

= 𝟐𝟕 (ovo je naš konačan rezultat)

Link za dodatnu vežbu

Link: rebrand.ly/dodatnavezba

Primeri rešenih zadataka iz ove lekcije

1. Izračunati vrednost sledećeg izraza:

(1,2 ∶ 36 + 1,2 ∶ 0,25 − 15

16) :

169

24=

Rešenje sa postupkom:

Pretvaramo sve u razlomke kako bismo olakšali postupak izračunavanja vrednosti izraza.

= (12

10∶

36

1+

12

10∶

25

100−

21

16) :

169

24

Potom, sređujemo izraz tako što skraćujemo razlomke gde to možemo da učinimo:

= (6

5∶

36

1+

6

5∶

1

4−

21

16) :

169

24

Sada možemo operaciju deljenja da zamenimo operacijom množenja, koristeći recipročne

vrednosti:

= (6

5∙

1

36+

6

5∙

4

1−

21

16) ∙

24

169

Primenjujemo množenje i vršimo ponovo skraćivanje razlomaka tamo gde je to moguće:

= (1

30+

24

5−

21

16) ∙

24

169

Sada primenjujemo sabiranje i oduzimanje razlomaka. Prvo saberimo prva dva razlomka.

Ako proširimo drugi razlomak sa 6, možemo ih lako sabrati:

= (1

30+

144

30−

21

16) ∙

24

169

= (145

30−

21

16) ∙

24

169

Skratimo sad taj razlomak sa 5:

= (29

6−

21

16) ∙

24

169

https://www.youtube.com/watch?v=RUQFqRH64HU



Najmanji zajednički sadržalac za 6 i 16 je 48. Prvi razlomak množimo sa 8, dok drugi

množimo sa 3:

= (232

48−

63

48) ∙

24

169

=169

48∙

24

169

=1

2


(7 − 6,35) ∶ 6,5 + 9,9 =


S obzirom da nam je sve dato u decimalnim brojevima, nema potrebe da pretvaramo

decimalne brojeve u razlomke. Odmah vršimo operacije na decimalnim brojevima. Prvo

ćemo oduzeti 7 i 6,35:

= 0,65 ∶ 6,5 + 9,9

Kako ćemo podeliti 0,65 i 6,5? Ovo deljenje se svodi na isto kao i deljenje 65 sa 650

(pomeramo zarez dva mesta udesno kod oba elementa). Stoga, dalje pišemo sledeće:

= 0,1 + 9,9

= 10


(1

2∶ 1,25 + 1,4 ∶ 1

4

7−

3

11) ∙ 3 =


Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u

razlomke:

= (1

2∶

125

100+

14

10∶

11

7−

3

11) ∙ 3

Standardno, skratimo ono što se može skratiti:

= (1

2∶

5

4+

7

5∶

11

7−

3

11) ∙ 3

BITNA NAPOMENA: DECIMALNI ZAPIS I RAZLOMCI

Kad god imate u brojevnom izrazu mešano decimalni zapis i razlomke, savetujemo da

sve pretvorite u razlomke, kako biste lakše skratili ono što se može skratiti i smanjili

mogućnost greške. Traži se tačna vrednost izraza, tako da ukoliko pretvorite sve u

decimalni zapis možete dovesti sebe u situaciju da morate da zaokružujete brojeve, a

to ovde nije dozvoljeno. Samo kada je sve dato na početku zadatka u

decimalnom zapisu, možete raditi bez problema sa decimalnim brojevima do

kraja zadatka!



Umesto deljenja, zapisujemo množenje, koristeći recipročne vrednosti:

= (1

2 ∙

4

5+

7

5 ∙

7

11−

3

11) ∙ 3

= (4

10+

49

55−

3

11) ∙ 3

= (2

5+

49

55−

3

11) ∙ 3

Primenjujemo sabiranje i oduzimanje razlomaka, sa najmanjim zajedničkim sadržaocem 55.

Prvi razlomak množimo sa 11, drugi razlomak sa 1, a treći razlomak sa 5:

= (22

55+

49

55−

15

55) ∙ 3

=56

55∙ 3

=168

55


(3

2+ 0,25) : 18

1

3=



razlomke:

= (3

2+

25

100):

55

3

= (3

2+

1

4):

55

3

Zamenimo operaciju deljenja množenjem, koristeći recipročne vrednosti:

= (3

2+

1

4) ∙

3

55

Primenimo operaciju sabiranja razlomaka. Najmanji zajednički sadržalac je 4, tako da prvi

razlomak množimo sa 2, a drugi razlomak ostaje isti. Potom, da bismo dobili konačni

rezultat, primenićemo operaciju množenja razlomaka:

= (6

4+

1

4) ∙

3

55

=7

4∙

3

55=

21

220




(21

6+ 4,5) ∙ 0,375 =



razlomke:

= (13

6+

45

10) ∙

375

1000

= (13

6+

9

2) ∙

3

8

Primenjujemo operaciju sabiranja razlomaka. Najmanji zajednički sadržalac za 6 i 2 jeste 6.

Prvi razlomak ostaje isti, dok drugi razlomak množimo sa 3:

= (13

6+

27

6) ∙

3

8

=40

6∙

3

8

Konačno, primenjujući skraćivanje i operaciju množenja razlomaka dobijamo finalni

rezultat:

=40

2∙

1

8

=5

2


313 − 2

12 ∶

12

310 ∶ 0,1 − 1

=



razlomke:

=

103 −

52 ∶

12

310 :

110 −

11

Potom možemo da zamenimo operaciju deljenja množenjem koristeći recipročne

vrednosti, kao i da skratimo ono što možemo:



=

103 −

52 ∙

21

310 ∙

101 −

11

=

103 − 5

3 − 1

=

103 − 5

2

Primenimo operaciju oduzimanja razlomaka u brojiocu velikog razlomka. Najmanji

zajednički sadržalac je 3. Prvi razlomak ostaje isti, dok drugi množimo sa 3:

=

103 −

153

2

=−

53

2

Ovo možemo transformisati u dvojni razlomak, koji možemo lako rešiti:

=−

53

21

= −5

6


213 − (1

25

∙ 53 −

13)

53 ∶

35

−29 ∶

23

=



razlomke:

=

73 − (

75

∙ 53 −

13)

53 ∶

35

−29 ∶

23

BITNA NAPOMENA: KAKO SE REŠAVA DVOJNI RAZLOMAK?

Spoljašnji članovi se množe i daju brojilac, a unutrašnji se množe i daju imenilac.

−53

21

= −5 ∙ 1

2 ∙ 3



Potom možemo da zamenimo operaciju deljenja množenjem koristeći recipročne

vrednosti, kao i da skratimo ono što možemo:

=

73 − (

75

∙ 53 −

13)

53 ∙

53 −

29 ∙

32

=

73 − (

73 −

13)

259 −

13

=

73 −

63

259 −

13

Primenjujemo operaciju oduzimanja razlomaka i u donjem i u gornjem delu velikog

razlomka. U gornjem delu, dovoljno je da oduzmemo brojioce, jer su imenioci isti. U

donjem delu razlomka, najmanji zajednički sadržalac je 9, te prvi razlomak ostaje isti dok

drugi množimo sa 3:

=

13

259 −

39

=

13

229

Kao u prethodnom zadatku, rešavamo dvojni razlomak poznatim postupkom:

=

13

229

=1 ∙ 9

3 ∙ 22=

9

66=

3

22

Naši online kursevi

Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika-kursevi

http://www.skripteekof.com/matematika

SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 2: Polinomi


Lekcija 2: Polinomi

Pregled lekcije


➢ osnovni pojmovi o polinomima – monom, polinom, koeficijent, stepen,

promenljiva, sabiranje i oduzimanje polinoma;

➢ faktorizacija polinoma – osnovno pravilo, posebna pravila, faktorizacija punog

kvadratnog polinoma;

➢ deljenje polinoma – šta predstavlja, za šta nam koristi i kako se sprovodi;

➢ Bezuova teorema – šta predstavlja, za šta nam koristi i kako se primenjuje.

Uvod

U okviru prve lekcije ponovićemo osnovno gradivo iz polinoma, od kojih ste većinu

zasigurno savladali još u osnovnoj školi. Iako možda izgledaju banalno, ova pravila je

veoma važno da ponovite i uvežbate za svaku lekciju koju predstoji.

1. Uvod u polinome

Link: rebrand.ly/polinomi1

Ovo je jedan mali uvod u polinome iz osnovne škole, za one koji baš žele da zađu u same

temelje i ako treba da ih popune. Preporučujemo da svi pročitate ovaj tekst i pogledate i

ukoliko je potrebno uradite navedene primere iz teksta, kako bismo bili sigurni u osnovu

znanja iz oblasti polinoma. Ovaj tekst nije naš autorski, ali preporučujemo ga jer je

kvalitetan i sadrži sve potrebne informacije.

Najbitnije šta treba da znate je sledeće:

- šta je monom, šta je polinom;

- šta je stepen, šta je koeficijent, šta je promenljiva (primer 1 i 2 na linku);

- znate da sa lakoćom sabirate i oduzimate polinome sa jednom ili više promenljivih

(primer 7 na linku).

2. Faktorizacija polinoma

1) Osnovno pravilo

Faktorizacija polinoma je drugi naziv za ono što vam je verovatno već vrlo poznato –

rastavljanje polinoma na proste činioce. Napomena: činioci su elementi koje množimo

(npr. 2 × 3, ovde su 2 i 3 činioci a 6 je proizvod). Dakle, kada govorimo o činiocima

govorimo o operaciji množenja.

https://profesorka.wordpress.com/2013/04/06/polinomi/



Rastavljanje polinoma na proste činioce radimo tako što izvučemo „zajednički element

ispred zagrade“, a u zagradu stavljamo sve ono što ostaje.

Primer.

Rastaviti na proste činioce izraz: 2𝑥2 + 𝑥 .

2𝑥2 + 𝑥 (zajednički element je x)

= 𝑥(2𝑥 + 1) (ostatak ostavljamo u zagradi)

2) Posebna pravila

Postoje određena posebna pravila za faktorizaciju polinoma kako bi nam olakšala posao.

Pravila koja treba da zapamtite su:

- razlika kvadrata: 𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵)

- kvadrat razlike: (𝐴 − 𝐵)2 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2

- kvadrat zbira: (𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2

Primeri.

- razlika kvadrata: 9𝑎2 − 4𝑏2 = (3𝑎)2 − (2𝑏)2 = (3𝑎 + 2𝑏)(3𝑎 − 2𝑏)

- kvadrat razlike: (2𝑥 − 1)2 = (2𝑥)2 − 2 × 2𝑥 × 1 + 12 = 4𝑥2 − 4𝑥 + 1

- kvadrat zbira: (2𝑥 + 1)2 = (2𝑥)2 + 2 × 2𝑥 × 1 + 12 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1

3) Faktorizacija punog kvadratnog polinoma

U prevodu, ovo znači - kako rastaviti kvadratnu jednačinu na činioce? Ono što treba

da znate je kako izgleda kvadratna jednačina, kako se rešava, i šta su kod nje a, b i c.

Mislimo da ste ovo svi dovoljno puta ponavljali u srednjoj, ali za svaki slučaj pročitajte o

obliku kvadratne jednačine (uvod članka) i kvadratnoj formuli (podnaslov):

rebrand.ly/kvadratnajednacina

Nakon što ste pročitali i utvrdili ovo, ono što nam je bitno jeste kako sad faktorišemo

kvadratnu jednačinu? Nakon što smo rešili jednačinu pomoću kvadratne formule, vrlo

jednostavno to činimo prema sledećem obrascu:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐)

gde su 𝒙𝟏 i 𝒙𝟐 rešenja kvadratne jednačine.

Primer.

Rastaviti na proste činioce izraz: 𝑥2 + 3𝑥 + 2 .

Rešavamo kvadratnu jednačinu 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0.

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

https://sr.wikipedia.org/wiki/Квадратна_једначина



𝑥1,2 =−3 ± √32 − 4 ∗ 1 ∗ 2

2 ∗ 1

𝑥1,2 =−3 ± √1

2

𝑥1,2 =−3 ± 1

2

𝒙𝟏 = −𝟐

𝒙𝟐 = −𝟏

Dakle, samo zamenimo vrednosti 𝑥1 i 𝑥2, kao i koeficijenta 𝑎, u obrazac za rastavljanje

kvadratne jednačine na proste činioce:

𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

1(𝑥 − (−2))(𝑥 − (−1)) (– i – daje +)

1(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)

(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟏)

BITNA NAPOMENA

Obavezno pazite na minuse kod rastavljanja na činioce! Ovo je jedna od vrlo čestih grešaka

studenata.

Korisni linkovi:

- vežba za rastavljanje kvadratne na činioce (samo pogledajte primere i uradite ih):

rebrand.ly/polinomi2

- koristan video da generalno ponovite faktorizaciju polinoma:

rebrand.ly/polinomi3

3. Deljenje polinoma


Pre nego što krenemo na nešto zastrašujuće, hajde da vidimo kako se dele polinomi. Ovo

često ostane nejasno među mnogim učenicima, naročito u srednjim školama gde nije bio

toliki fokus na matematici, a i nije se toliko to vežbalo kao kvadratna jednačina da bi se

zapamtilo.

Ovako u rečima, ne znam kako bismo vam objansili, a da vam bude jasno. Zaista je

potreban video zapis za to, tako da preporučujemo da detaljno pogledajte i

provežbate primere iz videa na linku iznad.

Ukoliko vam nešto nije jasno, obavezno nam se obratite!

https://www.youtube.com/watch?v=G3NhpBUbqRE

https://www.youtube.com/watch?v=aNsSv4nt_8Y

https://www.youtube.com/watch?v=SXzJV0FxCE8



4. Bezuova teorema (Bezuov stav)


E sad to zastrašujuće. Šala naravno, nije ništa strašno, ali učenici i studenti čim čuju reč

„teorema“, padaju u nesvest. Nemojte i vi to činite, jer zaista nema potrebe!

Bezuova teorema je vrlo jednostavna. Služi nam da rastavimo na činioce polinom koji je

većeg stepena od 2, tj. kada ne možemo primeniti „izvlačenje ispred zagrade“ ili rešavanje

kvadratne jednačine. Prostim jezikom, Bezu nam kaže:

„Videćeš kako da rastaviš taj komplikovani polinom kad naš sa čime treba da ga podeliš. A

kako to da nađeš? Sve x-eve u polinomu zameni nekim brojem koji će dati rezultat

polinoma NULA. Onda podeli taj polinom sa 𝒙 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒔 𝒕𝒂𝒌𝒂𝒗 𝒃𝒓𝒐𝒋.“

Rečima možda ipak ne tako prosto, ali u praksi logika je jasna:

1) Imate komplikovan polinom većeg stepena od 2. Odlučujete da ne odustanete već da

date sve od sebe da rastavite polinom na proste činioce.

2) Umesto nepoznatih promenljivih u tom polinomu, pokušajte da zamenite neki mali broj,

poput 1, -1, 2, -2 (najčešće su ovi brojevi u opticaju). Tu malo nagađate koji je broj koji vam

treba. Zamenivši taj broj u polinom, dobijate određeni rezultat.

3) Kada dobijete rezultat 0, to je broj koji vam treba.

4) Podelite polinom sa (x minus taj broj) i rešenje tog deljenja je praktično rastavljeni činilac

koji vam je potreban.

Teško je razumeti ovako bez primera, zato obavezno detaljno pređite bar video na linku

iznad.

Postoje i drugi i treći deo videa na istom jutjub kanalu, može vam i to značiti ukoliko

pogledate. Takođe, pogledajte primere u našem online kursu za prijemni iz Matematike.

Ukoliko vam nešto nije jasno, obavezno nam se obratite.


1. Rastaviti sledeći polinom na proste činioce:

𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥


Prvo izvlačimo ono što je zajedničko za svaki monom. U ovom slučaju, to je x:

= 𝑥(𝑥2 + 5𝑥 + 6)

https://www.youtube.com/watch?v=_g3zSKnbLJ0



Zatim, potrebno je da rastavimo kvadratnu jednačinu. Ovo činimo pomoću sledećeg

obrasca:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

Naša kvadratna jednačina izgleda ovako:

𝑥2 + 5𝑥 + 6

S obzirom da uz 𝑥2 ne stoji ništa, to je zapravo isto kao 1 ∙ 𝑥2. Dakle, 𝑎 = 1. Potrebna su

nam i rešenja kvadratne jednačine 𝑥1 i 𝑥2:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−5 ± √52 − 4 ∙ 1 ∙ 6

2

𝑥1,2 =−5 ± 1

2

𝑥1 = −3

𝑥2 = −2

Dakle, zadatu kvadratnu jednačinu možemo da rastavimo na proste činioce kao:

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 1(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

= (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

Konačno, naše finalno rešenje je:

𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥

= 𝑥(𝑥2 + 5𝑥 + 6)

= 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)

2. Faktorisati polinom:

−𝑥3 − 𝑥2 + 6𝑥


Prvo izvlačimo ono što je zajedničko za svaki monom. U ovom slučaju, to je −x:

= −𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 6)

Zatim, potrebno je da rastavimo kvadratnu jednačinu. Ovo činimo pomoću sledećeg

obrasca:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)


𝑥2 + 𝑥 − 6

S obzirom da uz 𝑥2 ne stoji ništa, to je zapravo isto kao 1 ∙ 𝑥2. Dakle, 𝑎 = 1. Potrebna su

nam i rešenja kvadratne jednačine 𝑥1 i 𝑥2:



𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−6)

2

𝑥1,2 =−1 ± 5

2

𝑥1 = 2

𝑥2 = −3


𝑥2 + 𝑥 − 6 = 1(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

= (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

Konačno, naše finalno rešenje je:

−𝑥3 − 𝑥2 + 6

= −𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 6)

= −𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

3. Izračunati:

(𝑥4 + 1) ∶ (𝑥 + 3) =


(𝑥4 + 1) ∶ (𝑥 + 3) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 − 27

−𝑥4 − 3𝑥3

−3𝑥3 + 1

+3𝑥3 + 9𝑥2

9𝑥2 + 1

−9𝑥2 − 27𝑥

−27𝑥 + 1

+27𝑥 + 81

82

Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo

𝑥4 sa 𝑥. Rezultat tog deljenja je 𝑥3, što upisujemo desno od znaka jednakosti.

Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači:

- množimo 𝑥3 sa 𝑥, čime dobijamo 𝑥4

- množimo 𝑥3 sa 3, čime dobijamo 3𝑥3

Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo:

−𝑥4 − 3𝑥3

Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu.



Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle,

sabiramo 𝑥4 + 1 i −𝑥4 − 3𝑥3 . Rezultat je −3𝑥3 + 1. Ovaj rezultat upisujemo ispod crte.

Ovaj postupak ponavljamo sve dok ne dođemo do situacije da dobijeni rezultat

ispod crte jeste nižeg stepena od prvog elementa delioca, zbog čega ne možemo da

nastavimo deljenje.

U ovom zadatku ćemo proći i kroz ove korake detaljno:

Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo

−3𝑥3 sa 𝑥. Rezultat tog deljenja je −3𝑥2, što upisujemo desno od znaka jednakosti.


- množimo −3𝑥2 sa 𝑥, čime dobijamo −3𝑥3

- množimo −3𝑥2 sa 3, čime dobijamo −9𝑥2


+3𝑥3+9𝑥2



sabiramo −3𝑥3 + 1 i +3𝑥3 + 9𝑥2. Rezultat je 9𝑥2 + 1. Ovaj rezultat upisujemo ispod

crte.

Ponavljamo postupak dalje. Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim

elementom delioca. Znači, delimo 9𝑥2 sa 𝑥. Rezultat tog deljenja je 9𝑥, što upisujemo

desno od znaka jednakosti.


- množimo 9𝑥 sa 𝑥, čime dobijamo 9𝑥2

- množimo 9𝑥 sa 3, čime dobijamo 27𝑥


−9𝑥2 − 27𝑥



sabiramo 9𝑥2 + 1 i −9𝑥2 − 27𝑥. Rezultat je −27𝑥 + 1. Ovaj rezultat upisujemo ispod

crte.

Ponavljamo postupak dalje. Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim

elementom delioca. Znači, delimo −27𝑥 sa 𝑥. Rezultat tog deljenja je −27, što upisujemo

desno od znaka jednakosti.




- množimo −27 sa 𝑥, čime dobijamo −27𝑥

- množimo −27 sa 3, čime dobijamo −81


+27𝑥 + 81



sabiramo −27𝑥 + 1 i +27𝑥 + 81. Rezultat je 82. Ovaj rezultat upisujemo ispod crte.

Primećujemo da ne možemo dalje da nastavimo deljenje, jer ne možemo da podelimo 82 sa

x. Time, ostatak zadatog deljenja je 82, a ono što smo upisali sa desne strane jednakosti je rešenje našeg

deljenja. Dakle rezultat deljenja je 𝑥3 − 3𝑥2 + 9𝑥 − 27, sa ostatkom 82.

4. Skratiti razlomak:

2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1

𝑥4 − 1 =


Da bismo skratili razlomak, potrebno je da rastavimo i gornji i donji deo razlomka na

proste činioce, da bismo videli šta sve može da se skrati. Odvojeno ćemo ovo obaviti za

gornji i donji deo razlomka.

Gornji deo razlomka rastavićemo na činioce pomoću Bezuove teoreme, jer je u pitanju puna

funkcija sa stepenom iznad 2 (imamo i 𝑥3, i 𝑥2, 𝑥, i slobodan član). Prvo, moramo da

vidimo koji „mali“ broj (najčešće 1, -1, 2, ili -2) se može zameniti u ovu jednačinu umesto x

pa da vrednost izraza bude 0. Probajmo da učinimo ovo za 𝑥 = 1 :

2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1 =

= 2 ∙ 13 − 12 − 2 ∙ 1 + 1

= 2 − 1 − 2 + 1

= 0

Odlično, sa 𝑥 = 1 uspeli smo da dobijemo rezultat nula! Znači, 𝑎 = 1. Prema Bezuovoj

teoremi, naš polinom 2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1 treba da delimo sa (𝑥 − 𝑎) , tj. (𝑥 − 1).

Dalje, treba da izračunamo (2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1) ∶ (𝑥 − 1). Znamo za sigurno da će

ostatak deljenja biti nula, jer smo našli pravi broj prema Bezuovoj teoremi. Rezultat deljenja

će nam koristiti kao osnovna informacija za rastavljanje polinoma na činioce.



(2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1) ∶ (𝑥 − 1) = 2𝑥2 + 𝑥 − 1

−2𝑥3 + 2𝑥2_______

𝑥2 − 2𝑥 + 1

−𝑥2 + 𝑥____

−𝑥 + 1

+𝑥 − 1

0

Ukoliko posmatramo ovo deljenje s desna na levo, vidimo da možemo da zapišemo naš

deljenik (2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1) kao:

2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (2𝑥2 + 𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

Time smo veliki polinom rastavili na činioce. Ono što je još potrebno da uradimo je da

proverimo da li možemo i kvadratnu jednačinu 2𝑥2 + 𝑥 − 1 rastaviti na činioce.

Ovo činimo pomoću sledećeg obrasca:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)


2𝑥2 + 𝑥 − 1

Uz 𝑥2 stoji dvojka, tako da 𝑎 = 2. Potrebna su nam i rešenja kvadratne jednačine 𝑥1 i 𝑥2:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∙ 2 ∙ (−1)

4

𝑥1,2 =−1 ± 3

4

𝑥1 = −1

𝑥2 =1

2


2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 2(𝑥 + 1)(𝑥 −1

2)

= (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)

Konačno, gornji deo razlomka potpuno rastavljen na čionice izgleda ovako:

2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(𝑥 − 1)



Ne zaboravimo da rastavimo na činioce i donji deo razlomka. Imamo 𝑥4 − 1, što možemo

rastaviti putem razlike kvadrata, tj. 𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵). Štaviše, primenićemo

razliku kvadrata duplo. Prvo, imaćemo da su nam elementi 𝑥2 i 1:

𝑥4 − 1 =

= (𝑥2)2 − 12

= (𝑥2 + 1)(𝑥2 − 1)

(𝑥2 + 1) ne možemo dalje da rastavimo, ali (𝑥2 − 1) možemo, i to pomoću ponovne

primene razlike kvadrata, gde su nam sada elemeneti 𝑥 i 1:

= (𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

Dakle, ovako izgleda u potpunosti rastavljen donji deo razlomka:

𝑥4 − 1 = (𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

Konačno, naš početni razlomak u potpunosti rastavljen na činioce je:

2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1

𝑥4 − 1=

(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

(𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

Očigledno, možemo skratiti (𝑥 + 1) sa (𝑥 + 1), i (𝑥 − 1) sa (𝑥 − 1):

2𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 + 1

𝑥4 − 1=

(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

(𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

=2𝑥 − 1

𝑥2 + 1

Finalni rezultat našeg zadatka je:

2𝑥 − 1

𝑥2 + 1



http://www.skripteekof.com/matematika-kursevi

SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 3: Funkcije


Lekcija 3: Funkcije

Pregled lekcije


➢ oblast definisanosti funkcije – šta predstavlja i kako ga izračunati;

➢ preseci funkcije sa osama – šta predstavljaju i kako doći do tačaka koje ih

određuju;

➢ eksplicitni i implicitni oblik funkcije – zašto je to bitno i kako dolazimo do njih;

➢ skiciranje linearnih i kvadratnih funkcija – kako ih predstaviti u koordinatnom

sistemu;

➢ minimalna i maksimalna vrednost funkcije – u okviru čega ćemo ponoviti

izvode;

➢ funkcija funkcije – kako računamo ovu neobičnu funkciju.

1. Oblast definisanosti (domen) funkcije

Verovatno već znate šta otprilike funkcija predstavlja. Funkcija nam jednostavno opisuje

način na koji neki „input“ pretvaramo u određeni „autput“. Matematički rečeno, funkcija

𝑓(𝑥) nam opisuje način na koji promenljivu 𝑥 („input“) pretvaramo u određenu vrednost

𝑦 („autput“).

Primer.

Imamo funkciju 𝑓(𝑥) = 1

𝑥 . Ukoliko 𝑥 = 1, onda će vrednost funkcije biti 1. Ukoliko

𝑥 = 2, onda će vrednost funkcije biti 1/2. Ukoliko je x = 3, onda će vrednost funkcije biti

1/3 itd.

Svaka funkcija ima svoj domen, tj. oblast definisanosti. Domen funkcije predstavlja sve

vrednosti 𝑥 za koje je vrednost funkcije 𝑓(𝑥) definisana u skupu realnih brojeva. Veoma

bitno je da znate tri osnovna slučaja kada postoji ograničenje na domen funkcije.

1) Kod razlomaka, imenilac mora biti različit od nule

Drugim rečima, kada vidite razlomak u okviru funkcije, sve ono što je „ispod razlomačke

crte“ ne sme biti jednako nuli.

Primer.

Imamo funkciju 𝑓(𝑥) = 𝑥2+1

𝑥−1 . Imenilac mora biti različit od nule, dakle:

𝑥 − 1 ≠ 0

𝑥 ≠ 1

Dakle, ova funkcija je definisana u skupu realnih brojeva, osim broja 1. Matematički:

𝑥 ∈ ℝ ∖ {1}



2) Kod logaritama, ono što se logaritmuje mora biti > 0 i

osnova logaritma mora biti > 0 i različita od 1

Pokažimo ovo odmah na primeru.

Primer.

Imamo funkciju 𝑓(𝑥) = log5(6𝑥 + 6). Pod logaritmom imamo 6𝑥 + 6, znači:

6𝑥 + 6 > 0

6𝑥 > −6 /∶ 6

𝑥 > −1

Takođe, bitno je da je osnova logaritma (u ovom slučaju 5) veća od nule i različita od 1.

Ukoliko bi se nepoznata x javila u osnovi logaritma, i ovaj uslov bi uticao na oblast

definisanosti funkcije.

Dakle, ova funkcija je definisana samo ako je x veće od -1. Matematički:

𝑥 ∈ (−1, +∞)

3) Kod parnih korena, ono pod korenom mora biti ≥ 0

Pokažimo ovo odmah na primeru.

Primer.

Imamo funkciju 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2. U pitanju je kvadratni koren što je parni koren, tako da

postoji ograničenje za domen funkcije. Pod korenom imamo 𝑥 + 2, znači:

𝑥 + 2 ≥ 0

𝑥 ≥ −2

Dakle, ova funkcija je definisana samo ako je x veće ili jednako od -2. Matematički:

𝑥 ∈ [−2, +∞)

BITNA NAPOMENA

Gore navedeno ograničenje važi samo za parne korene. Ukoliko imamo funkciju sa

neparnim korenom, ne postoji ograničenje za domen funkcije.

Primer.

Imamo funkciju 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 23

. U pitanju je kubni koren što je neparni koren, tako da

ne postoji ograničenje za domen funkcije.

Dakle, ova funkcija je definisana na celom skupu realnih brojeva. Matematički:

𝑥 ∈ ℝ



2. Preseci funkcije sa osama

Funkcije najčešće seku i horizontalnu osu (x-osu) i vertikalnu osu (y-osu). Za vas je bitno

da znate kako da odredite koordinate tačaka gde funkcija seče ose.

1) Presek sa y-osom

Dobijamo kada zamenimo u funkciju da je 𝑥 = 0.

Primer.

Imamo funkciju 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 . Da bismo našli presek sa y-osom, zamenjujemo u

funkciju da je vrednost 𝑥 = 0:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑓(0) = 2 ∗ 0 + 1

𝑓(0) = 1

Dobili smo da je vrednost funkcije 1 kada je x = 0, tako da presek sa y-osom jeste u tački:

𝐴(0, 1)

2) Presek sa x-osom

Dobijamo kada zamenimo u funkciju da je 𝑦 = 0.

Primer.

Imamo funkciju 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 . Da bismo našli presek sa x-osom, zamenjujemo u

funkciju da je vrednost 𝑦 = 0:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑦 = 2𝑥 + 1 (jer f(x) je isto što i y)

0 = 2𝑥 + 1 (jer zamenjujemo da je 𝑦 = 0)

−2𝑥 = 1

𝑥 = −1

2

Dobili smo da je vrednost funkcije -1/2 kada je y = 0, tako da presek sa x-osom jeste u

tački:

𝐵(−1

2, 0)

3. Eksplicitni i implicitni oblik funkcije

Bitno je da znamo da postoje dva različita oblika funkcije. Kada budemo skicirali grafike

linearnih funkcija, biće nam lakše da utvrdimo brojne značajne informacije o funkciji iz

eksplicitnog oblika funkcije. Stoga, hajmo da naučimo šta predstavljaju ovi jednostavni

koncepti:



1) Implicitni oblik funkcije

Implicitni oblik funkcije jeste onaj oblik funkcije gde su x i y na istoj strani jednakosti.

Ovaj oblik nam ne govori puno o funkciji, niti nam pomaže da skiciramo funkciju. On je

vrlo „implicitan“ – ne govori nam skoro ništa o karakteristikama naše funkcije.

Primer.

Imamo funkciju 𝑥 + 𝑦 = 1. Da li vam ovo uopšte liči na funkciju? Svakako nije oblik koji

smo navikli da viđamo, gde je sa leve strane 𝑓(𝑥) tj. 𝑦, a sa desne strane neki izraz sa

promenljivom 𝑥.

2) Eksplicitni oblik funkcije

Eksplicitni oblik funkcije jeste onaj oblik funkcije gde na levoj strani jednakosti imamo

f(x) tj. y, a na desnoj strani jednakosti imamo neki izraz sa promenljivom x. Ovaj

oblik linearne funkcije je prilično „eksplicitan“, jer nam daje informacije o koeficijentu

pravca (nagibu) funkcije, direktno nam govori koji je presek funkcije sa y-osom, i time nam

puno pomaže u skiciranju grafika.

Primer.

Imamo funkciju 𝑥 + 𝑦 = 1. Rekli smo da je ovo implicitni oblik. Da bi nam život bio lakši

i da bismo rešili zadatak na kolokvijumu, hajmo da prebacimo ovu funkciju u eksplicitni

oblik.

𝑥 + 𝑦 = 1

𝑦 = 1 − 𝑥 (treba samo y da bude levo)

𝑦 = −𝑥 + 1 (x na prvo mesto da bi bilo lakše)

Sada možemo videti mnoge stvari iz naše funkcije, a to su:

a) pored x stoji -1, što je koeficijent pravca tj. nagib funkcije.

b) slobodan član u funkciji je +1, što predstavlja vrednost y gde funkcija seče y-osu tj.A(x,

y)

4. Skiciranje linearnih i kvadratnih funkcija

Za prijemni ispit vrlo je bitno da znamo da skiciramo funkcije. Sad ćemo naučiti kako da

skiciramo linearne i kvadratne funkcije.

1) Linearne funkcije

Linearne funkcije su one funkcije gde je najveći stepen 1. Prosto rečeno, u okviru

funkcije ne postoje x2, x3 itd.



Primeri linearnih funkcija.

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6

Kako skiciramo linearne funkcije? Primenimo znanje iz drugog dela ove lekcije, preseci

funkcije sa osama:

a) odredimo presek funkcije sa y-osom i x-osom

b) ucrtamo ove tačke u koordinatni sistem

c) spojimo ove tačke kako bismo dobili traženu linearnu funkciju

Primer.

Uzmimo primer sledeće funkcije: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

Faza a): Određujemo presek funkcije sa y-osom i x-osom.

Imamo funkciju 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 . Da bismo našli presek sa y-osom, zamenjujemo u

funkciju da je vrednost 𝑥 = 0:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑓(0) = 2 ∗ 0 + 1

𝑓(0) = 1

Dobili smo da je vrednost funkcije 1 kada je x = 0, tako da presek sa y-osom jeste u tački:

𝑨(𝟎, 𝟏)

Da bismo našli presek sa x-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost 𝑦 = 0:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑦 = 2𝑥 + 1 (jer f(x) je isto što i y)

0 = 2𝑥 + 1 (jer zamenjujemo da je 𝑦 = 0)

−2𝑥 = 1

𝑥 = −1

2

Dobili smo da je vrednost funkcije -1/2 kada je y = 0, tako da presek sa x-osom jeste u

tački:

𝑩(−𝟏

𝟐, 𝟎)

Faza b) : Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu.



Faza c): Spajamo ove tačke kako bismo dobili traženu funkciju.

2) Kvadratne funkcije

Kvadratne funkcije su one funkcije gde je najveći stepen 2. Prosto rečeno, u okviru

funkcije ne postoje x3, x4 itd.

Primeri kvadratnih funkcija.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 − 6

Kako skiciramo kvadratne funkcije? Potrebno je da prođemo sledeće korake:

a) odredimo koliko iznosi 𝑎, tj. broj koji stoji uz x2 – ovo će nam reći da li se naša

kvadratna funkcija „smeje“ ili „plače“. Drugim rečima:

A(0,1)

B(-1/2,0)

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏



ako je a > 0, funkcija se „smeje“ :) ako je a < 0, funkcija „plače“ :(

Napomena: Ukoliko je a = 0, onda se kvadratna funkcija svodi zapravo na linearnu

funkciju.

b) rešimo kvadratnu jednačinu i time odredimo njena rešenja – ova rešenja će nam reći koji

su to preseci sa x-osom:

dva realna rešenja jedno realno rešenje kompleksna rešenja

imamo dva preseka sa x-osom imamo jedan presek sa x-osom nema preseka sa x

Primer.

Uzmimo primer funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6. Hajmo da prođemo korake kako bismo došli

do njene skice.

Faza a): Određujemo koliko iznosi a. U ovoj funkciji, uz x2 stoji koeficijent 1. Dakle, a = 1.

S obzirom da je a > 0, zaključujemo da se naša kvadratna funkcija „smeje“.

Faza b): Rešavamo kvadratnu jednačinu 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∗ 1 ∗ (−6)

2 ∗ 1

𝑥1,2 =−1 ± √25

2



𝑥1,2 =−1 ± 5

2

𝒙𝟏 = −𝟑

𝒙𝟐 = 𝟐

Imamo dva realna i različita rešenja, tako da imamo dva preseka sa x-osom, i to -3 i 2.

Dakle, možemo skicirati našu kvadratnu funkciju:

NAPOMENA

Ukoliko želite da budete još precizniji u skiciranju kvadratne funkcije, možete odrediti i

presek sa y-osom tako što ćete zameniti u funkciju da je x = 0, kao i ekstremnu vrednost.

5. Ekstremna vrednost funkcije

Za prijemni je vrlo bitno da znamo da odredimo minimalnu odnosno maksimalnu vrednost

funkcije. Ovo ćemo vrlo lako postići primenom izvoda. Izvodi su jedna vrlo obimna tema

u matematici, koje je potrebno dosta da vežbate. Ovde ćemo se zadržati na onome što nam

je neophodno za prijemni ispit, a kasnije za ispit iz Matematike ćemo dosta detaljnije

obrađivati ovu oblast. Smatramo da za prijemni ispit nije najbitnije da naučite samu suštinu

izvoda, već šablon kako da nalazite minimalne i maksimalne vrednosti funkcije. Kasnije će

već sve doći na svoje. Da ne bismo komplikovali stvari, za prijemni ispit je neophodno da

naučite:

➢ izvode elementarnih funkcija – drugim rečima, tablicu elementarnih izvoda i

kako to da primenjujete u zadacima;

➢ izvode zbira, razlike, proizvoda i količnika

➢ izvod pomoću smene

Ovo je vrlo elementarno gradivo iz izvoda koja je velika većina vas prešla u srednjoj školi.

Takođe, u čistoj pismenoj formi je malo komplikovano za objasniti, tako da ćemo vam

ostaviti da izvode naučite iz elektronskih izvora. Preporučujemo:

➢ rebrand.ly/izvodi1 (ne morate učiti definisanje izvoda, priraštaj i slično)

➢ rebrand.ly/izvodi2

https://youtu.be/LtYiN74Ik8k

http://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/cetvrti-razred-srednje-skole/funkcije-izvod-funkcije-1-257.html



Nemojte nastavljati pre nego što naučite i dobro izvežbate ovo iznad! Kada ste

sigurni da ste to dobro savladali, spremni ste da naučite kako odrediti minimalnu odnosno

maksimalnu vrednost funkcije.

Koraci koje prelazimo kada određujemo minimalnu odnosno maksimalnu vrednost

funkcije su sledeći:

a) određujemo prvi izvod funkcije

b) izjednačavamo prvi izvod funkcije sa nulom – time dobijamo vrednost x gde postoji

ekstrem funkcije (minimum ili maksimum)

c) ubacujemo dobijenu vrednost x u početnu funkciju – time dobijamo maksimalnu

odnosno minimalnu vrednost funkcije y

Primer.

Uzmimo primer funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6. Hajmo da prođemo korake kako bismo došli

do njene ekstremne vrednosti.

Faza a: Određujemo prvi izvod funkcije:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 1

Faza b: Izjednačavamo prvi izvod funkcije sa nulom:

𝑓′(𝑥) = 0

2𝑥 + 1 = 0

2𝑥 = −1

𝒙 = −𝟏

𝟐

Faza c: Da bismo dobili ekstremnu vrednost funkcije, dobijenu vrednost x zamenjujemo u

početnu funkciju (NE U PRVI IZVOD!):

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑓 (−1

2) = (−

1

2)2 −

1

2− 6

𝑓 (−1

2) =

1

4−

1

2− 6

𝒇 (−𝟏

𝟐) = −

𝟐𝟓

𝟒

Ekstremna vrednost funkcije je -25/4. Tačka ekstrema je u tački E(-1/2, -25/4).

BITNA NAPOMENA

Na prijemnom često neće biti potrebno da odredite da li je ovo minimum ili maksimum

funkcije. Međutim, inače ponekad će to i biti potrebno, a to vrlo lako možete učiniti:

a) odrediti drugi izvod funkcije

b) ukoliko je pozitivan u pitanju je minimum; ukoliko je negativan u pitanju je maksimum



Primer.

Drugi izvod dobijamo kada radimo izvod prvog izvoda funkcije. Drugi izvod gore

pomenute funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6 je 2. S obzirom da je ovaj izvod pozitivan, u

pitanju je minimum funkcije.

6. Funkcija funkcije

Za kraj, pređimo ovaj vrlo kratki koncept u vezi funkcija. Suština je da argument funkcije

postaje cela druga funkcija. Drugim rečima, umesto promenljive 𝑥 u funkciji 𝑓(𝑥), imamo

npr. funkciju 𝑔(𝑥) – matematički zapisano: 𝑓(𝑔(𝑥)). Izgleda malo rogobatno, ali sve će

biti jasnije kada pogledamo primer.

Primer.

Uzmimo da je 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1, dok je 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 5. Zadatak može da nam traži sledeće

varijante:

a) Odredite 𝒇(𝒈(𝒙)).

Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati 𝑔(𝑥) kao ceo argument za 𝑓(𝑥):

𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(4𝑥 + 5) -zamenimo g(x)

= 3(4𝑥 + 5) + 1 -zamenimo u f(x)

= 12𝑥 + 15 + 1

= 12𝑥 + 16

b) Odredite 𝒈(𝒇(𝒙)).

Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati 𝑓(𝑥) kao ceo argument za 𝑔(𝑥):

𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(3𝑥 + 1) -zamenimo f(x)

= 4(3𝑥 + 1) + 5 -zamenimo u g(x)

= 12𝑥 + 4 + 5

= 12𝑥 + 9


1. Koja je najmanja vrednost sledeće funkcije:

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 − 4


Prvo tražimo vrednost nepoznate x u kojoj će funkcija biti u ekstremnoj vrednosti. To

činimo tako što prvi izvod funkcije izjednačavamo sa nulom:

𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 6

𝑓′(𝑥) = 0

6𝑥 + 6 = 0

6𝑥 = −6

𝑥 = −1



Utvrdili smo da će funkcija imati ekstrem za 𝑥 = −1. Da bismo dobili ekstremnu vrednost

funkcije f(x), ubacujemo vrednost 𝑥 = −1 u jednačinu funkcije:

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 − 4

𝑓(−1) = 3 ∙ (−1)2 + 6 ∙ (−1) − 4

𝑓(−1) = 3 ∙ 1 − 6 − 4

𝑓(−1) = −7

Konačno rešenje zadatka je −7. Funkcija 𝑓(𝑥) dostiže minimum za 𝑥 = −1, i ta

minimalna vrednost iznosi −7.

Proverimo da je ovo minimalna vrednost (minimum), a ne maksimalna vrednost

(maksimum) funkcije. Ovo činimo računajući drugi izvod funkcije. Ukoliko dobijemo

pozitivnu vrednost, u pitanju je minimum; ukoliko dobijemo negativnu vrednost, u pitanju

je maksimum.

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 − 4

𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 6

𝑓′′(𝑥) = 6

Dobili smo pozitivnu vrednost, čime smo dokazali da naša funkcija zaista ima minimum, a

ne maksimum.

2. Funkcija 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 ima najveću vrednost za x = ____ i ona iznosi y = _____.


Prvo tražimo vrednost nepoznate x u kojoj će funkcija biti u ekstremnoj vrednosti. To

činimo tako što prvi izvod funkcije izjednačavamo sa nulom:

𝑓′(𝑥) = −2𝑥 + 6

𝑓′(𝑥) = 0

−2𝑥 + 6 = 0

2𝑥 = 6

𝑥 = 3

Utvrdili smo da će funkcija imati ekstrem za 𝑥 = 3. Da bismo dobili ekstremnu vrednost

funkcije f(x), ubacujemo vrednost 𝑥 = 3 u jednačinu funkcije:

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥

𝑓(3) = −32 + 6 ∙ 3

𝑓(3) = −9 + 18

𝑓(3) = 9

Maksimalna vrednost funkcije je 9. Funkcija 𝑓(𝑥) dostiže maksimum za 𝑥 = 3, i ta

maksimalna vrednost iznosi 9.



Proverimo da je ovo maksimalna vrednost (maksimalna), a ne minimalna vrednost

(minimum) funkcije. Ovo činimo računajući drugi izvod funkcije. Ukoliko dobijemo

pozitivnu vrednost, u pitanju je minimum; ukoliko dobijemo negativnu vrednost, u pitanju

je maksimum.

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥

𝑓′(𝑥) = −2𝑥 + 6

𝑓′′(𝑥) = −2

Dobili smo negativnu vrednost, čime smo dokazali da naša funkcija zaista ima maksimum,

a ne minimum.

3. Neka je:

𝑞1(𝑝) = 12 − 3𝑝

𝑞2(𝑝) = 𝑞1(2 − 𝑝)

U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafike ovih funkcija.


Odvojeno ćemo skicirati grafik za funkciju 𝑞1(𝑝) i grafik za funkciju 𝑞2(𝑝) = 𝑞1(2 − 𝑝).

Takođe, odvojeno ćemo tražiti i potrebne informacije za skiciranje ovih funkcija.

Kada govorimo o funkciji 𝑞1(𝑝), primećujemo da je ovo jedna „obična“ linearna funkcija,

koju odmah možemo skicirati poznatim postupkom ranije prikazanim na str.27 u odeljku 4

ove lekcije. p tretiramo kao x, a q kao y, jer imamo koordinatni sistem pOq (p je

horizontalna osa, a q je vertikalna osa).

Faza a): Određujemo presek funkcije sa q-osom i p-osom.

Imamo funkciju 𝑞(𝑝) = 12 − 3𝑝. Da bismo našli presek sa q-osom, zamenjujemo u

funkciju da je vrednost 𝑝 = 0:

𝑞(𝑝) = 12 − 3𝑝

𝑞(0) = 12 − 3 ∙ 0

𝑓(0) = 12

Dobili smo da je vrednost funkcije 12 kada je p = 0, tako da presek sa q-osom jeste u tački:

𝑨(𝟎, 𝟏𝟐)

Da bismo našli presek sa p-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost 𝑞 = 0:

𝑞(𝑝) = 12 − 3𝑝

𝑞 = 12 − 3𝑝

0 = 12 − 3𝑝 (jer zamenjujemo da je 𝑞 = 0)

3𝑝 = 12

𝑝 = 4



Dobili smo da je vrednost funkcije 4 kada je q = 0, tako da presek sa p-osom jeste u tački:

𝑩(𝟒, 𝟎)

Faza b): Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu.


Kada govorimo o funkciji 𝑞2(𝑝), primećujemo da je ovo malo neobična funkcija. Međutim,

kada zamenimo funkciju 𝑞1(𝑝) u nju i izrazimo sve preko 𝑝, dobijamo kvadratnu funkciju

koju poznatim postupkom možemo skicirati. Kao i kod prve funkcije, p tretiramo kao x, a

q kao y, jer imamo koordinatni sistem pOq (p je horizontalna osa, a q je vertikalna osa):

𝑞1(𝑝) = 12 − 3𝑝

𝑞2(𝑝) = 𝑞1(2 − 𝑝)

𝑞2(𝑝) = 12 − 3(2 − 𝑝)

𝑞2(𝑝) = 12 − 6 + 3𝑝 = 6 + 3𝑝

A(0,12)

B(4,0)

A(0,12)

B(4,0)

𝒒𝟏(𝒑) = 𝟏𝟐 − 𝟑𝒑



Faza a): Određujemo presek funkcije sa q-osom i p-osom.

Imamo funkciju 𝑞(𝑝) = 6 + 3𝑝. Da bismo našli presek sa q-osom, zamenjujemo u

funkciju da je vrednost 𝑝 = 0:

𝑞(𝑝) = 6 ∓ 3𝑝

𝑞(0) = 6 + 3 ∙ 0

𝑓(0) = 6

Dobili smo da je vrednost funkcije 6 kada je p = 0, tako da presek sa q-osom jeste u tački:

𝑨(𝟎, 𝟔)

Da bismo našli presek sa p-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost 𝑞 = 0:

𝑞(𝑝) = 6 + 3𝑝

𝑞 = 6 + 3𝑝

0 = 6 + 3𝑝 (jer zamenjujemo da je 𝑞 = 0)

3𝑝 = −6

𝑝 = −2

Dobili smo da je vrednost funkcije -2 kada je q = 0, tako da presek sa p-osom jeste u tački:

𝑩(−𝟐, 𝟎)

Faza b): Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu.


A(0,6)

B(-2,0)



NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P

Kada su u pitanju funkcije q i p, bitno je da znate osnovne uslove: q > 0 i p > 0. Ovi uslovi

postoje iz razloga što se q odnosi na količinu proizvoda, a p na cenu. Nema ekonomskog

smisla da se dobije negativna količina i cena.

4. Ako je 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , odrediti koliko iznosi 𝑓(𝑓(𝑥)).


Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati 𝑓(𝑥) kao ceo argument za 𝑓(𝑥):

𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓 (1

𝑥)

=1

1𝑥

Znamo kako se rešava dvojni razlomak, tako da ovo vrlo jednostavno rešavamo:

=1 ∙ 𝑥

1 ∙ 1= 𝒙

5. Odrediti oblast definisanosti sledećih funkcija:

a) 𝑓(𝑥) =𝑥2+1

𝑥2+𝑥−6

b) 𝑓(𝑥) = ln (3𝑥 + 3)

c) 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 133

d) 𝑓(𝑥) = √x + 16


Kada su u pitanju funkcije q i p, bitno je da znate osnovne uslove: q > 0 i p > 0. Ovi

uslovi postoje iz razloga što se q odnosi na količinu proizvoda (quantity), a p na cenu

(price). Nema ekonomskog smisla da se dobije negativna količina i cena. Na gornjim

grafikonima podebljanom linijom smo označili delove funkcija koji su ekonomski

definisani, tj. ispunjavaju ove uslove.

NAPOMENA br.2: RAZLIČITI KOORDINATNI SISTEMI

U ovakvim zadacima često je dato kakav koordinatni sistem da crtate, u okviru zapisa

„Dekartov koordinatni sistem pOq“. Prvi element tretirate kao x-osu (ujedno i kao

nepoznatu x), a drugi element kao y-osu (ujedno kao nepoznatu y). U zadacima se

najčešće javljaju sistemi pOq, qOp, xOy i yOx.

A(0,6)

B(-2,0)

𝒒𝟐(𝒑) = 𝟔 + 𝟑𝒑




a) Imenilac razlomka mora biti različit od nule. Znači:

𝑥2 + 𝑥 − 6 ≠ 0

Kada rešimo ovu kvadratnu jednačinu pomoću formule, rešenja koja ćemo dobiti za x su -3

i 2. Dakle, oblast definisanosti funkcije je:

𝑥 ∈ ℝ ∖ {−3,2}

b) Ono pod logaritmom mora biti veće od nule. Znači:

3𝑥 + 3 > 0

𝑥 > −1

Dakle, oblast definisanosti funkcije je:

𝑥 ∈ (−1, +∞)

c) Kada imamo neparne korene, nema ograničenja za x. Dakle, oblast definisanosti funkcije

je:

𝑥 ∈ ℝ

d) Kada imamo parne korene, ono pored korenom mora biti veće ili jednako od nule.

Znači:

𝑥 + 1 ≥ 0

𝑥 ≥ −1

Dakle, oblast definisanosti funkcije je:

𝑥 ∈ [−1, +∞)




SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi


Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi

(jednačine i nejednačine)

Pregled lekcije


➢ linearne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

➢ kvadratne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

➢ linearne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;

➢ kvadratne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo.

Uvod

Imamo divnu vest za vas. Sigurni smo da već znate da rešavate linearne jednačine, jer ste

ovo radili još kod učiteljice, kvadratne jednačine takođe, a i većina vas verovatno je dosta

dobro izvežbana u oblasti linearnih i kvadratnih nejednačina. Svakako ćemo ponoviti kako

se to radi i preći nekoliko primera, a i pre svega uputićemo vas na ono što velika većina

studenata zaboravi da uradi.

Zlatno pravilo

Čim vidite u zadatku jednačinu ili nejednačinu, odredite ograničenja za x u pogledu

domena (ona tri pravila koja smo naučili u prethodnoj lekciji). Ovo je ključno da

zapamtite, jer čak ukoliko šablonskim postupkom i dođete do pravih rešenja jednačine ili

nejednačine, može se desiti da ta rešenja ne pripadaju domenu. Tada rešenja zapravo nisu

rešenja, i ukoliko to ne naznačite, neće vam biti priznat zadatak na prijemnom ispitu!

Mala pomoć

- Linearno znači da nigde ne možete da vidite x2, x3 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je

jedan.

- Kvadratno znači da nigde ne možete da vidite x3, x4 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je

dva, tj. x2.

- Jednačina znači da tražimo određenu nepoznatu x (postoji znak jednakosti =).

- Nejednačina znači da tražimo određenu oblast rešenja za x (postoji znak nejednakosti).

Znakovi nejednakosti mogu biti:

< manje

> veće

≤ manje ili jednako

≥ veće ili jednako

≠ različito



1. Linearne jednačine

Ovo je najjednostavniji oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.

Postupak za rešavanje je sledeći:

1) obavezno proveravamo koji je domen za x

2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti

Primer.

Reši jednačinu 3𝑥– 1 = −6𝑥 + 2.

3𝑥 − 1 = −6𝑥 + 2

9𝑥 = 3 (prebacujemo x na levu stranu)

𝒙 =𝟏

𝟑

U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja

za domen i time 𝑥 =1

3 jeste rešenje ove jednačine.

Primer.

Reši jednačinu 6𝑥+1

2𝑥+1= 0.

6𝑥+1

2𝑥+1= 0 (množimo sa 2𝑥 + 1)

6𝑥 + 1 = 0

6𝑥 = −1

𝒙 = −𝟏

𝟔

U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.

2𝑥 + 1 ≠ 0

2𝑥 ≠ −1

𝒙 ≠ −𝟏

𝟐

𝑥 = −1

6 spada u domen i pored ovog ograničenja, tako da 𝑥 = −

1

6 jeste rešenje ove

jednačine.

2. Kvadratne jednačine

Ovo je vrlo jednostavan oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x dva.



2) sredimo jednakost ako je potrebno i rešimo kvadratnu jednačinu putem formule



Primer.

Reši jednačinu 𝑥2 + 𝑥 − 12 = −6.

Kada prebacimo šesticu na levu stranu, naša jednačina svodi se na 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0.

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∗ 1 ∗ (−6)

2 ∗ 1

𝑥1,2 =−1 ± √25

2

𝑥1,2 =−1 ± 5

2

𝒙𝟏 = −𝟑

𝒙𝟐 = 𝟐


za domen i time -3 i 2 zaista jesu rešenja ove kvadratne jednačine.

3. Linearne nejednačine

Ovo je najjednostavniji oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.



2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti

*) kod razlomaka, na desnoj strani ne ostavljamo ništa tj. ostavljamo nulu (vidi drugi

primer)

3) u slučaju razlomaka, analiziramo kada funkcija zadovoljava nejednakost, putem tabele

BITNA NAPOMENA

Kod nejednačina je ključno da pazite na MINUSE. Ukoliko množite ili delite čitavu

nejednakost sa negativnim brojem, znak nejednakosti se obrće.

Primer.

Reši nejednačinu 3𝑥– 1 > −6𝑥 + 2.

3𝑥 − 1 > −6𝑥 + 2

9𝑥 > 3 (prebacujemo x na levu stranu)

𝒙 >𝟏

𝟑


za domen i time skup rešenja ove nejednačine jeste 𝑥 >1

3.



Primer.

Reši nejednačinu 6𝑥+1

2𝑥+1> 1.

6𝑥+1

2𝑥+1> 1 (prebacujemo 1 na levu stranu)

6𝑥+1

2𝑥+1− 1 > 0 (sređujemo razlomak)

6𝑥+1

2𝑥+1−

2𝑥+1

2𝑥+1> 0

4𝑥

2𝑥+1> 0

-∞ −1

2 0 +∞

4𝑥 ─ ─ +

2𝑥 + 1 ─ + +

𝒇(𝒙) + ─ +

Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim

negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.

4𝑥 je nula u 𝑥 = 0. Ako je 𝑥 manji od 0, i 4𝑥 će biti negativan. Ako je 𝑥 veći od nule, i

4𝑥 će biti pozitivan.

2𝑥 + 1 je nula u 𝑥 = −1

2. Ako je 𝑥 manji od −

1

2, 2𝑥 + 1 će biti negativno. Ako je 𝑥

veći od −1

2, 2𝑥 + 1 će biti pozitivno.

𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 4𝑥

2𝑥+1. Minus i minus daju plus, minus i plus daju

minus, a plus i plus daju plus.

Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija veća

od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −1

2) ∪ (0, +∞).


2𝑥 + 1 ≠ 0

2𝑥 ≠ −1

𝒙 ≠ −𝟏

𝟐

Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje

je sledeće:

𝑥 ∈ (−∞, −1

2) ∪ (0, +∞).



BITNA NAPOMENA

- Kod < i >, svakako ne uračunavamo u rešenje granične vrednosti (npr. ovde −1

2)

- Kod ≤ i ≥ se može desiti da uračunamo u rešenje granične vrednosti, ukoliko i ona

pripadaju domenu

4. Kvadratne nejednačine

Ovo je relativno jednostavan oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x

dva. Postupak za rešavanje je sledeći:


2) sve prebacujemo na jednu (levu) stranu, dok na desnoj strani ostavljamo nulu

3) analiziramo kada je nejednakost zadovoljena, preko skice i/ili tabele

Primer.

Reši nejednačinu −𝑥2−3𝑥+4

𝑥≥ 0.

Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu iz brojioca, jer će nam to biti potrebno da bismo

analizirali znak funkcije:

−𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =+3 ± √(−3)2 − 4 ∗ (−1) ∗ 4

2 ∗ (−1)

𝑥1,2 =3 ± √9 + 16

−2

𝑥1,2 =3 ± √25

−2

𝑥1,2 =3 ± 5

−2

𝒙𝟏 = −𝟒

𝒙𝟐 = 𝟏

Pravimo tabelu da bismo analizirali znak funkcije. Popunjavamo informacije za svaki činilac.

-∞ -4 0 1 +∞

-x2-3x+4 ─ + + ─

x ─ ─ + +

f(x) + ─ + ─





𝑥 je nula u 𝑥 = 0. Ako je 𝑥 manji od 0, i 𝑥 će biti negativan. Ako je 𝑥 veći od nule, i 𝑥

će biti pozitivan.

−𝑥2 − 3𝑥 + 4 je nula u 𝑥 = −4 i 𝑥 = 1. S obzirom da je 𝑎 < 0, funkcija „plače“ (vidi

skicu ispod tabele). Samo u oblasti između -4 i 1 vrednost funkcije je pozitivna.

f(x) predstavlja celu našu funkciju −𝑥2−3𝑥+4

𝑥. Minus i minus daju plus, plus i minus

daju minus, plus i plus daju plus, i minus i plus daju minus.

Nejednakost zahteva da naša funkcija veća ili jednaka nuli. Iz tabele vidimo da je funkcija

veća ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −4] ∪ [0,1]


𝑥 ≠ 0


je sledeće:

𝑥 ∈ (−∞, −4] ∪ (0, 1]


1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:

1

𝑥 − 2≤ −2


Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da

sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:

1

𝑥 − 2+ 2 ≤ 0

Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je (𝑥 − 2), prvi razlomak ostaje isti,

dok drugi množimo sa (𝑥 − 2):

1

𝑥 − 2+

2(𝑥 − 2)

𝑥 − 2≤ 0

1

𝑥 − 2+

2𝑥 − 4

𝑥 − 2≤ 0

-4 1 ─ ─

+ −𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒



2𝑥 − 3

𝑥 − 2≤ 0

Sada možemo da napravimo tabelu:

−∞ 3

2 2 +∞

2𝑥 − 3 ─ + +

𝑥 − 2 ─ ─ +

𝒇(𝒙) + ─ +



2𝑥 − 3 je nula u 𝑥 =3

2. Ako je 𝑥 manji od

3

2, 2𝑥 − 3 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći od

3

2, 2𝑥 − 3 će biti pozitivno.

𝑥 − 2 je nula u 𝑥 = 2. Ako je 𝑥 manji od 2, 𝑥 − 2 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći od

2, 𝑥 − 2 će biti pozitivno.

𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 2𝑥−3

𝑥−2. Minus i minus daju plus, minus i plus daju


Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je

funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ [3

2, 2].


𝑥 − 2 ≠ 0

𝑥 ≠ 2


je sledeće:

𝑥 ∈ [3

2, 2)


17 − 8𝑥 ≤ 2 − 𝑥2


Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:

𝑥2 − 8𝑥 + 15 ≤ 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =8 ± √(−8)2 − 4 ∙ 1 ∙ 15

2



𝑥1,2 =8 ± √64 + 60

2

𝑥1,2 =8 ± 2

2

𝒙𝟏 = 𝟓

𝒙𝟐 = 𝟑

Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj

funkciji 𝑎 > 0, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 3 i 5:

Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Sa skice grafika

vidimo da je funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ [3, 5].

U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.

𝑥 ∈ ℝ

Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno

rešenje je sledeće:

𝑥 ∈ [3, 5].


1

𝑥 + 2≥ −1


Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da

sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:

1

𝑥 + 2+ 1 ≥ 0

Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je (𝑥 + 2), prvi razlomak ostaje isti,

dok drugi množimo sa (𝑥 + 2):

1

𝑥 + 2+

1(𝑥 + 2)

𝑥 + 2≥ 0

1

𝑥 + 2+

𝑥 + 2

𝑥 + 2≥ 0

𝑥 + 3

𝑥 + 2≥ 0

3 5 ─

+

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 +



Sada možemo da napravimo tabelu:

−∞ −3 −2 +∞

𝑥 + 3 ─ + +

𝑥 + 2 ─ ─ +

𝒇(𝒙) + ─ +



𝑥 + 3 je nula u 𝑥 = −3. Ako je 𝑥 manji od −3, 𝑥 + 3 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći

od −3, 𝑥 + 3 će biti pozitivno.

𝑥 + 2 je nula u 𝑥 = −2. Ako je 𝑥 manji od −2, 𝑥 + 2 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći

od −2, 𝑥 + 2 će biti pozitivno.

𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 𝑥+3

𝑥+2. Minus i minus daju plus, minus i plus daju


Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je

funkcija veća ili jednaka od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, −3] ∪ [−2, +∞).


𝑥 + 2 ≠ 0

𝑥 ≠ −2


je sledeće:

𝑥 ∈ (−∞, −3] ∪ (−2, +∞).


𝑥2 − 4𝑥 + 6 > 2𝑥 + 1



𝑥2 − 6𝑥 + 5 > 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5

2

𝑥1,2 =6 ± √36 − 20

2

𝑥1,2 =6 ± 4

2



𝒙𝟏 = 𝟓

𝒙𝟐 = 𝟏



Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je

funkcija veća od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞).


𝑥 ∈ ℝ



𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (5, +∞)


𝑥2 − 4𝑥 + 2 < 2𝑥 − 3



𝑥2 − 6𝑥 + 5 < 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 5

2

𝑥1,2 =6 ± √36 − 20

2

𝑥1,2 =6 ± 4

2

𝒙𝟏 = 𝟓

𝒙𝟐 = 𝟏

1 5 ─

+

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓

+





Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Sa skice grafika vidimo da je

funkcija manja od nule ukoliko je 𝑥 ∈ (1, 5).


𝑥 ∈ ℝ



𝑥 ∈ (1, 5)

6. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:

2𝑥 + 4

𝑥 − 3= 1


Prvo sređujemo izraz, tako što sve prebacujemo sa leve strane, kako bi na desnoj strani

ostala samo nula:

2𝑥 + 4

𝑥 − 3− 1 = 0

2𝑥 + 4

𝑥 − 3−

𝑥 − 3

𝑥 − 3= 0

2𝑥 + 4 − 𝑥 + 3

𝑥 − 3= 0

𝑥 + 7

𝑥 − 3= 0

Razlomak će da bude nula onda kada mu je brojilac nula. Tako da iz ovoga sledi:

𝑥 + 7 = 0

𝑥 = −7

Uslov za oblast definisanosti koji ne smemo da zaboravimo jeste da 𝑥 − 3 ≠ 0, odnosno

𝑥 ≠ 3. Naše rešenje zaista ispunjava ovaj uslov, tako da konačno rešenje zadatka je:

𝑥 = −7



1 5 ─

+

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓

+


SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 5: Apsolutna vrednost


Lekcija 5: Apsolutna vrednost

Pregled lekcije


➢ apsolutna vrednost broja - šta predstavlja i koja je njena suština;

➢ skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću;

➢ primena apsolutne vrednosti na jednačine i nejednačine.

Uvod

Apsolutna vrednost je jedan vrlo jednostavan koncept za razumeti, što ćemo videti kada

budemo definisali šta on predstavlja. Međutim, ono na šta bismo da vam skrenemo pažnju

jeste da nikako ne preskočite primenu apsolutne vednosti na jednačine i nejednačine

i skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću. Ovo se često previdi jer nema

tu mnogo gradiva i dosta liči na ono što smo već naučili u lekcijama 3 i 4, ali je zapravo

veoma bitno da uradite dosta primera i dobro izvežbate baratanje sa apsolutnim

vrednostima.

1. Apsolutna vrednost broja

Najjednostavnije rečeno, apsolutna vrednost broja je njegova numerička vrednost, ukoliko

ignorišemo predznak minus ili plus.

Primer.

- Apsolutna vrednost broja -3 je 3. Matematički zapisano: |−3| = 3.

- Apsolutna vrednost broja 5 je 5. Matematički zapisano: |5| = 5

Koja bi bila apsolutna vrednost broja x? Imamo dva slučaja, koja je ključno da zapamtite.

|𝑥| = {𝑥, 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑥 < 0

Šta znači ovaj matematički zapis?

- Apsolutna vrednost broja 𝑥 iznosi 𝑥, ukoliko je 𝑥 veće ili jednako od nule (npr. ukoliko je

𝑥 = 5, to znači da je 𝑥 veće ili jednako od nule, tako da je apsolutna vrednost 5).

- Apsolutna vrednost broja 𝑥 iznosi – 𝑥, ukoliko je 𝑥 manje od nule (npr. ukoliko je 𝑥 =

−3, to znači da je 𝑥 manje od nule, tako da je apsolutna vrednost – (– 3) = 3).

BITNA NAPOMENA

Upravo zbog toga, jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo na isti

način kao i one bez apsolutnih vrednosti, uz jednu razliku – raščlanjavamo ih na 2 dela.



2. Skiciranje grafika

U lekciji 3 smo naučili da skiciramo grafike linearnih i kvadratnih funkcija. Koja bi razlika

bila kod skiciranja funkcije sa apsolutnom vrednošću?

Zapravo, grafik se skicira identično. Prvo zanemarite da postoji apsolutna zagrada i

normalno nacrtajte funkciju, a zatim učinite nešto vrlo bitno – izbacite sve negativne

vrednosti sa vašeg grafika, preslikavajući ih na pozitivne. Pokazaćemo ovo na primeru

kako bi bilo jasno na šta se misli.

Primer.

Skiciraj grafik funkcije 𝑦 = |𝑥|.

Prvo zanemarimo da postoje apsolutne zagrade. Skicirajmo grafik funkcije 𝑦 = 𝑥.

Šta treba da promenimo na grafiku kako bismo došli do grafika funkcije 𝑦 = |𝑥|? Levo od

nule, imamo negativne vrednosti funkcije, što kod apsolutne vrednosti nije moguće jer je

ona uvek veća ili jednaka od nule. Potrebno je samo da preslikamo ove negativne vrednosti

na pozitivne, kao da je x-osa ogledalo. To bi izgledalo ovako:

𝒚 = 𝒙

𝒚 = |𝒙|



3. Primena na jednačine i nejednačine

Jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo gotovo identično kao

jednačine i nejednačine bez apsolutnih vrednosti. Jedino što treba da uradimo zbog

apsolutnih vrednosti jeste da raščlanimo jednačinu ili nejednačinu na dva slučaja:

1) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću veći ili jednak 0, izraz ima predznak +

2) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću manji od 0, izraz ima predznak –

Konačno rešenje je unija rešenja koje nađemo u svakom od ovih slučajeva pojedinačno.

Primer.

Reši jednačinu |2𝑥 + 1| = 1.

Prvi slučaj: 2𝑥 + 1 ≥ 0, izraz ima predznak +

2𝑥 + 1 = 1

2𝑥 = 0

𝒙 = 𝟎

Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:

2𝑥 + 1 ≥ 0

2𝑥 ≥ −1

𝒙 ≥ −𝟏

𝟐

Naše rešenje jeste veće ili jednako od −1

2, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u

konačni skup rešenja.

Drugi slučaj: 2𝑥 + 1 < 0, izraz ima predznak –

−(2𝑥 + 1) = 1

−2𝑥 − 1 = 1

−2𝑥 = 2

𝒙 = −𝟏


2𝑥 + 1 < 0

2𝑥 < −1

𝒙 < −𝟏

𝟐

Naše rešenje jeste manje od -1

2, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u konačni skup

rešenja.

Dakle, konačno rešenje ove jednačine je 𝑥 ∈ {−1, 0}.

BITNA NAPOMENA

Isti postupak bismo radili i kod nejednačina, samo za skup rešenja. Kada razdvojimo

nejednačinu na pojedinačne slučajeve, skup rešenja za svaki slučaj pojedinačno dobijamo

kao presek uslova za taj slučaj i dobijenog rešenja. Konačno rešenje je unija rešenja

svih pojedinačnih slučajeva.

Primer možete pogledati na sledećem linku: rebrand.ly/apsolutno

https://youtu.be/TIoxTAYTOuo





|𝑥 − 1| < 2 − 𝑥


Prvi slučaj: x − 1 ≥ 0, izraz ima predznak +

𝑥 − 1 < 2 − 𝑥

2𝑥 < 3

𝒙 <𝟑

𝟐


𝑥 − 1 ≥ 0

𝒙 ≥ 𝟏

Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše

možemo da vidimo preko brojevne prave:

Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i

>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i

≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:

𝒙 ∈ [𝟏,𝟑

𝟐)

Drugi slučaj: x − 1 < 0, izraz ima predznak −

−(𝑥 − 1) < 2 − 𝑥

−𝑥 + 1 < 2 − 𝑥

1 < 2

Dobili smo tačan iskaz, koji važi za svako x iz realnih brojeva. Znači naše rešenje je:

𝒙 ∈ ℝ


𝑥 − 1 < 0

𝒙 < 𝟏

1 3

2

−∞ +∞



Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Jasno je da je presek skupa svih

brojeva i 𝑥 < 1 prosto ceo uslov 𝑥 < 1. Dakle rešenje za drugi slučaj je:

𝒙 < 𝟏

Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.

Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:

Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:

𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ [1,3

2)

𝑥 ∈ (−∞,3

2)


|2𝑥 − 2| ≤ 4𝑥


Prvi slučaj: 2x − 2 ≥ 0, izraz ima predznak +

2𝑥 − 2 ≤ 4𝑥

−2𝑥 ≤ 2

𝒙 ≥ −𝟏


2𝑥 − 2 ≥ 0

2𝑥 ≥ 2

𝒙 ≥ 𝟏

Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše

možemo da vidimo preko brojevne prave:



≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:

𝒙 ∈ [𝟏, +∞)

1 3

2

−∞ +∞

−1 1 −∞ +∞



Drugi slučaj: 2x − 2 < 0, izraz ima predznak −

−(2𝑥 − 2) ≤ 4𝑥

−2𝑥 + 2 ≤ 4𝑥

−6𝑥 ≤ −2

3𝑥 ≥ 1

𝒙 ≥𝟏

𝟑


2𝑥 − 2 < 0

2𝑥 < 2

𝒙 < 𝟏

Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Šta presek obuhvata možemo lakše da

vidimo na brojevnoj pravoj:



≥. Dakle, rešenje za drugi slučaj jeste:

𝒙 ∈ [𝟏

𝟑, 𝟏)

Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.

Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:

Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:

𝑥 ∈ [1

3, 1) ∪ [1, +∞)

𝑥 ∈ [1

3, +∞)

1

3

1 −∞ +∞

1

3

1 −∞ +∞




𝑥 − 1 = |2𝑥|


Prvi slučaj: 2𝑥 ≥ 0, izraz ima predznak +

𝑥 − 1 = 2𝑥

−𝑥 = 1

𝒙 = −𝟏


2𝑥 ≥ 0

𝒙 ≥ 𝟎

Naše rešenje nije veće ili jednako od 0, te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga

u konačni skup rešenja.

Drugi slučaj: 2𝑥 < 0, izraz ima predznak −

𝑥 − 1 = −2𝑥

3𝑥 = 1

𝒙 =𝟏

𝟑


2𝑥 < 0

𝒙 < 𝟎

Naše rešenje nije manje od 0, te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga u konačni

skup rešenja.

Konačni skup rešenja je 𝑥 ∈ ∅. Alternativni zapis praznog skupa je 𝑥 ∈ { }.




SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi


Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi


Pregled lekcije


➢ iracionalne jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;

➢ iracionalne nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.

Uvod

Iracionalni algebarski izrazi su zapravo one jednačine i nejednačine gde imamo koren, i

pod korenom neki izraz sa nepoznatom x. Ovde ćemo se baviti samo rešavanjem prostih

slučajeva iracionalnih jednačina i nejednačina.

Obavezno detaljno pređite ovu lekciju. Zadaci iz ove oblasti se gotovo uvek javljaju na

prijemnom ispitu, a tematika se dosta slabo obradi i izvežba. Vrlo često ostane i nejasna,

zbog čega se lako gube poeni na prijemnom ispitu. Ne dozvolite ovo sebi, detaljno pređite i

dobro izvežbajte ovu relativno kratku lekciju!

1. Iracionalne jednačine

Iracionalne jednačine su one jednačine gde se nepoznata x javlja pod korenom. Opšti

princip kako ćemo rešavati ove jednačine je sledeći:

1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti;

2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena;

3. rešimo jednačinu poznatim postupcima;

4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!)

Primer.

Rešiti iracionalnu jednačinu √𝑥 + 7 = 𝑥 + 1.

Prvi korak: Sa leve strane već imamo samo koren, a sa desne strane sve ostalo, tako da nam

je ovde posao već olakšan i prvi korak urađen za nas.

Drugi korak:

Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo

samo jednom:

√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1 /2

𝑥 + 7 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1



Treći korak:

Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.

𝑥 + 7 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∗ 1 ∗ (−6)

2 ∗ 1

𝑥1,2 =−1 ± √25

2

𝑥1,2 =−1 ± 5

2

𝒙𝟏 = −𝟑

𝒙𝟐 = 𝟐

Četvrti korak:

S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune),

obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju jednačinu.

√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1

√−3 + 7 = −3 + 1

2 = −2 𝒙 = −𝟑 nije rešenje

√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1

√2 + 7 = 2 + 1

3 = 3 𝒙 = 𝟐 jeste rešenje

2. Iracionalne nejednačine

Sa iracionalnim nejednačinama stvari su nešto komplikovanije, iz razloga što ne možemo da

„prevarimo sistem“ proveravanjem dobijenih rešenja. Drugim rečima, ovde moramo da se

pozabavimo određenim uslovima. Srećom, nije ništa toliko strašno – potrebno je da

naučite samo ovo:

Slučaj 1: √𝑃(𝑥) < 𝑄(𝑥)

uslovi:

1) 𝑄(𝑥) > 0

2) 𝑃(𝑥) < 𝑄2(𝑥)

3) 𝑃(𝑥) ≥ 0

konačno rešenje =

presek ova 3 uslova

(+provera granica)

Slučaj 2: √𝑃(𝑥) > 𝑄(𝑥)

uslovi:

1) 𝑄(𝑥) ≥ 0

2) 𝑃(𝑥) > 𝑄2(𝑥)

3) 𝑄(𝑥) < 0

4) 𝑃(𝑥) ≥ 0

presek

presek

konačno

rešenje =

unija ova

dva

preseka



Primer za slučaj 1.

Rešiti iracionalnu jednačinu √𝑥 + 6 < 𝑥 − 6.

Po gore navedenoj šemi, konačno rešenje ćemo dobiti kao presek sledeća tri uslova:

Prvi uslov:

𝑥 − 6 > 0

𝒙 > 𝟔

Drugi uslov:

𝑥 + 6 < (𝑥 − 6)2

𝑥 + 6 < 𝑥2 − 12𝑥 + 36

𝑥2 − 13𝑥 + 30 > 0

Rešenja kvadratne jednačine su 3 i 10. Skiciranjem grafika bismo dobili rešenje da je izraz

pozitivan za:

𝒙 ∈ (−∞, 𝟑) ∪ (𝟏𝟎, +∞)

Treći uslov:

𝑥 + 6 ≥ 0

𝒙 ≥ −𝟔

Možete skicirati ova tri uslova na brojevnoj pravoj kako biste lakše videli koji je presek sva

tri rešenja. To je 𝑥 ∈ (10, +∞) i to je konačno rešenje naše iracionalne nejednačine.

Primer za slučaj 2.

Rešiti iracionalnu jednačinu √𝑥 + 7 > 2𝑥 − 1.

Po gore navedenoj šemi, konačno rešenje ćemo dobiti kada nađemo uniju preseka para

uslova. Jednostavnije rečeno, tražimo presek prvog i drugog uslova, potom presek trećeg i

četvrtog uslova, a konačno rešenje je unija ova dva preseka.

Prvi uslov:

2𝑥 − 1 ≥ 0

2𝑥 ≥ 1

𝒙 ≥ 𝟏/𝟐

Drugi uslov:

𝑥 + 7 > (2𝑥 − 1)2

𝑥 + 7 > 4𝑥2 − 4𝑥 + 1

0 > 4𝑥2 − 5𝑥 − 6

4𝑥2 − 5𝑥 − 6 < 0

Rešenja kvadratne jednačine su 2 i -3/4. Skiciranjem grafika bismo dobili rešenje da je izraz

negativan za:

𝒙 ∈ (−𝟑

𝟒, 𝟐)



Presek prvog i drugog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste

lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja.

𝒙 ∈ [ 𝟏

𝟐, 𝟐)

Pređimo na treći i četvrti uslov.

Treći uslov:

2𝑥 − 1 < 0

2𝑥 < 1

𝒙 <𝟏

𝟐

Četvrti uslov:

𝑥 + 7 ≥ 0

𝒙 ≥ −𝟕

Presek trećeg i četvrtog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste


𝒙 ∈ [−𝟕,𝟏

𝟐)

Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao uniju ova dva

preseka:

𝒙 ∈ [−𝟕, 𝟐)

BITNA NAPOMENA

Obratite pažnju da u poslednjem koraku kod slučaja 2 računamo UNIJU, a ne presek

skupova rešenja. Ovo je jedna od najčešćih grešaka na prijemnom ispitu.



√−𝑥 + 4 > −𝑥 + 2


Ukoliko pogledamo šemu na str.55 koju je bitno da znate u pola noći, primetićemo da je

ovo slučaj 2 iracionalnih nejednačina, gde imamo četiri uslova, i naš konačni skup rešenja

jeste unija preseka prvog i drugog uslova, i preseka trećeg i četvrtog uslova. Postavka našeg

zadatka bi bila sledeća:

𝑃(𝑥) = −𝑥 + 4

𝑄(𝑥) = −𝑥 + 2



Prvi uslov:

Prvi uslov koji postavljamo jeste da je 𝑄(𝑥) ≥ 0:

−𝑥 + 2 ≥ 0

−𝑥 ≥ −2

𝒙 ≤ 𝟐

Drugi uslov:

Drugi uslov koji postavljamo jeste da je 𝑃(𝑥) > 𝑄2(𝑥)

−𝑥 + 4 > (−𝑥 + 2)2

−𝑥 + 4 > (2 − 𝑥)2

−𝑥 + 4 > 4 − 4𝑥 + 𝑥2

−𝑥2 + 3𝑥 > 0 / ∙ (−1)

𝑥2 − 3𝑥 < 0

𝑥(𝑥 − 3) < 0

Za ovo pravimo tabelu:

-∞ 0 3 +∞

𝑥 ─ + +

𝑥 − 3 ─ ─ +

𝒇(𝒙) + ─ +



𝑥 je nula u 𝑥 = 0. Ako je 𝑥 manji od 0, i 𝑥 će biti negativan. Ako je 𝑥 veći od nule, i 𝑥

će biti pozitivan.

𝑥 − 3 je nula u 𝑥 = 3. Ako je 𝑥 manji od 3, 𝑥 − 3 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći od 3,

𝑥 − 3 će biti pozitivno.

𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 𝑥(𝑥 − 3). Minus i minus daju plus, minus i plus

daju minus, a plus i plus daju plus.

Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija

manja od nule ukoliko je 𝒙 ∈ (𝟎, 𝟑).

Presek prvog i drugog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste


0 2 −∞ +∞ 3





≥. Dakle, skup rešenja je:

𝒙 ∈ (𝟎, 𝟐]

Pređimo na treći i četvrti uslov.

Treći uslov:

Treći uslov koji postavljamo jeste da je 𝑄(𝑥) < 0:

−𝑥 + 2 < 0

−𝑥 < −2 /∙ (−1)

𝒙 > 𝟐

Četvrti uslov:

Četvrti uslov koji postavljamo jeste da je 𝑃(𝑥) ≥ 0:

−𝑥 + 4 ≥ 0

−𝑥 ≥ −4 /∙ (−1)

𝒙 ≤ 𝟒

Presek trećeg i četvrtog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste




≥. Dakle, skup rešenja je:

𝒙 ∈ (𝟐, 𝟒]

Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao uniju ova dva

preseka:

𝒙 ∈ (𝟎, 𝟒]

2 −∞ +∞ 4 0

2 −∞ +∞ 4




√4𝑥 − 3 = −𝑥


Ukoliko pogledamo šemu na str.55, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne

jednačine uvek isti:





Prođimo sad ove korake.

Prvi korak:

Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde

posao već olakšan i prvi korak urađen za nas.

Drugi korak:


samo jednom:

√4𝑥 − 3 = −𝑥 /2

4𝑥 − 3 = 𝑥2

Treći korak:

Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija..

−𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0 /∙ (−1)

𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =4 ± √(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3

2 ∙ 1

𝑥1,2 =4 ± √4

2

𝑥1,2 =4 ± 2

2

𝒙𝟏 = 𝟑

𝒙𝟐 = 𝟏

Četvrti korak:


obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu.

√4𝑥 − 3 = −𝑥

√4 ∙ 3 − 3 = −3

3 = −3 𝒙 = 𝟑 nije rešenje



√4𝑥 − 3 = −𝑥

√4 ∙ 1 − 3 = −1

1 = −1 𝒙 = 𝟏 nije rešenje

Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste:

𝑥 ∈ ∅.

Alternativni zapis praznog skupa je 𝑥 ∈ { }.


√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3









Prvi korak:



Drugi korak:


samo jednom:

√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3 /2

𝑥 + 9 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9

Treći korak:


𝑥2 − 7𝑥 = 0

𝑥(𝑥 − 7) = 0

Kada će ovaj izraz biti jednak nuli? Naravno, ukoliko je bilo koji od činilaca jednak nuli.

Znači:

𝒙𝟏 = 𝟎

𝒙𝟐 = 𝟕



Četvrti korak:



√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3

√0 + 9 = 0 − 3

3 = −3 𝒙 = 𝟎 nije rešenje

√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3

√7 + 9 = 7 − 3

4 = 4 𝒙 = 𝟕 jeste rešenje


𝑥 ∈ {7}.


𝑥 − √𝑥 > 2


Sredimo ovu nejednačinu kako bismo je sveli na slučaj 1 iracionalnih jednačina (šema na

str.55), da bi nam postupak bio lakši.

𝑥 − √𝑥 > 2

𝑥 − 2 > √𝑥

√𝑥 < 𝑥 − 2

Ukoliko pogledamo šemu na str.55 koju je bitno da znate u pola noći, primetićemo da je

ovo slučaj 1 iracionalnih nejednačina, gde imamo tri uslova, i naš konačni skup rešenja

jeste presek ova tri uslova. Postavka našeg zadatka bi bila sledeća:

𝑃(𝑥) = 𝑥

𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2

Prvi uslov:

Prvi uslov koji postavljamo jeste da je 𝑄(𝑥) > 0:

𝑥 − 2 > 0

𝒙 > 𝟐

Drugi uslov:

Drugi uslov koji postavljamo jeste da je 𝑃(𝑥) < 𝑄2(𝑥):

𝑥 < (𝑥 − 2)2

𝑥 < 𝑥2 − 4𝑥 + 4

0 < 𝑥2 − 5𝑥 + 4

𝑥2 − 5𝑥 + 4 > 0

Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.



𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =5 ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 4

2 ∙ 1

𝑥1,2 =5 ± √9

2

𝑥1,2 =5 ± 3

2

𝒙𝟏 = 𝟒

𝒙𝟐 = 𝟏



Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je funkcija

veća od nule ukoliko je:

𝒙 ∈ (−∞, 𝟏) ∪ (𝟒, +∞)

Treći uslov:

Treći uslov koji postavljamo jeste da je 𝑃(𝑥) ≥ 0:

𝒙 ≥ 𝟎

Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao presek ova tri uslova:

𝒙 ∈ (𝟒, +∞)


√6𝑥 − 8 = 𝑥






1 4 ─

+

𝑥2 − 5𝑥 + 4

+

2 −∞ +∞ 4 0 1






Prvi korak:



Drugi korak:


samo jednom:

√6𝑥 − 8 = 𝑥 /2

6𝑥 − 8 = 𝑥2

Treći korak:


−𝑥2 + 6𝑥 − 8 = 0 /∙ (−1)

𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 8

2 ∙ 1

𝑥1,2 =6 ± √4

2

𝑥1,2 =6 ± 2

2

𝒙𝟏 = 𝟒

𝒙𝟐 = 𝟐

Četvrti korak:



√6𝑥 − 8 = 𝑥

√6 ∙ 4 − 8 = 4

4 = 4 𝒙 = 𝟒 jeste rešenje

√6𝑥 − 8 = 𝑥

√6 ∙ 2 − 8 = 2

2 = 2 𝒙 = 𝟐 jeste rešenje


𝑥 ∈ {2, 4}.




√𝑥 + 18 = 𝑥 − 2









Prvi korak:



Drugi korak:


samo jednom:

√𝑥 + 18 = 𝑥 − 2 /2

𝑥 + 18 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4

Treći korak:


−𝑥2 + 5𝑥 + 14 = 0 /∙ (−1)

𝑥2 − 5𝑥 − 14 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =5 ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−14)

2 ∙ 1

𝑥1,2 =5 ± √81

2

𝑥1,2 =5 ± 9

2

𝒙𝟏 = 𝟕

𝒙𝟐 = −𝟐

Četvrti korak:



√𝑥 + 18 = 𝑥 − 2

√7 + 18 = 7 − 2




√𝑥 + 18 = 𝑥 − 2

√−2 + 18 = −2 − 2

4 = −4 𝒙 = −𝟐 nije rešenje


𝑥 ∈ {7}.


𝑥 − √𝑥 − 3 = 5









Prvi korak:

Sa desne strane treba da imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo. Uradimo ovo tako

što ćemo prebaciti x na desnu stranu:

𝑥 − √𝑥 − 3 = 5

−√𝑥 − 3 = 5 − 𝑥

Drugi korak:


samo jednom:

−√𝑥 − 3 = 5 − 𝑥 /2

𝑥 − 3 = (5 − 𝑥)2

Treći korak:


𝑥 − 3 = 25 − 10𝑥 + 𝑥2

0 = 28 − 11𝑥 + 𝑥2

28 − 11𝑥 + 𝑥2 = 0

𝑥2 − 11𝑥 + 28 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =11 ± √(−11)2 − 4 ∙ 1 ∙ 28

2 ∙ 1



𝑥1,2 =11 ± √9

2

𝑥1,2 =11 ± 3

2

𝒙𝟏 = 𝟕

𝒙𝟐 = 𝟒

Četvrti korak:



𝑥 − √𝑥 − 3 = 5

7 − √7 − 3 = 5


𝑥 − √𝑥 − 3 = 5

4 − √4 − 3 = 5

3 = 5 𝒙 = 𝟒 jeste rešenje


𝑥 ∈ {7}.




SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija


Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija


Pregled lekcije


➢ eksponencijalna funkcija - šta predstavlja i koje su njene osobine;

➢ eksponencijalne jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;

➢ eksponencijalne nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.

Uvod

U ovoj lekciji bavićemo se eksponencijalnom funkcijom i rešavanjem jednačina i

nejednačina u vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na prijemnom

ispitu. Smatramo da je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i praćenje

video zapisa, nego kroz puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta. Stoga

ćemo vas ovde uputiti i do linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju. Video

zapise obavezno gledajte pažljivo i detaljno. Dok gledate video zapis, radite i

primere koji su u njemu obrađeni dok niste sigurni da ste u potpunosti savladali

gradivo. Video lekcije je izradila „Škola Rajak“ (www.rajak.rs) na vrlo kvalitetan način i na

sličnom nivou koji je potreban vama za prijemni ispit iz Matematike.

Linkovi

Ukoliko smatrate da je potrebno, ponovite pravila za stepenovanje i korenovanje. Biće

ključno da baratate ovim kod eksponencijalnih funkcija, kao i eksponencijalnih jednačina i

nejednačina. Ostale video lekcije (u vezi eksponencijalne funkcije, jednačina i nejednačina)

obavezno sve detaljno pređite!

- Link plejliste: rebrand.ly/ekspo

➢ Stepenovanje – video 1, 2, 3, 4

➢ Korenovanje – video 5, 6, 7, 8, 9

➢ Eksponencijalna funkcija – video 39

➢ Eksponencijalne jednačine – video 40, 41, 42, 43, 44

➢ Eksponencijalne nejednačine – video 45, 46, 47, 48, 49

1. Stepenovanje

Pogledajte video 1, 2, 3, 4 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.

http://www.rajak.rs/

https://www.youtube.com/playlist?list=PLD5454C7B019BD248



Bitno je da naučimo sledeće osnovne osobine operacija kod stepenovanja.

Kad imamo iste brojeve, a različite stepene:

1) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Suština: Kada množimo dva ista broja sa različitim stepenima, možemo im sabrati stepene.

Primer: 23 ∙ 24 = 23+4 = 27

2) 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

Suština: Kada delimo dva ista broja sa različitim stepenima, možemo im oduzeti stepene.

Primer: 25: 22 = 25−2 = 23

3) (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑛

Suština: Kada stepenujemo neki broj sa stepenom, stepeni se množe.

Primer: (25)3 = 25 ∙ 3 = 215

Kad imamo različite brojeve, a iste stepene:

4) 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑚

Suština: Kada množimo dva različita broja sa istim stepenima, brojeve množimo.

Primer: 23 ∙ 53 = (2 ∙ 5)3 = 103

5) (𝑎

𝑏)

𝑚

=𝑎𝑚

𝑏𝑚

Suština: Kada imamo razlomak koji se stepenuje, možemo odvojeno stepenovati njegov

brojilac i imenilac.

Primer: (2

3)

3

=23

33

Specijalne osobine:

6) 𝑎−𝑚 =1

𝑎𝑚

Primer: 3−2 =1

32

Drugim rečima, kada imate minus kod stepena, on čini to da zamenite mesto brojiocu i

imeniocu:

Primer: (5

6)

−2

= (6

5)

2

7) 𝑎0 = 1

Primer: 30 = 1

Drugim rečima, kada bilo koji broj stepenujete nulom, dobićete vrednost 1.



2. Korenovanje

Pogledajte video 5, 6, 7, 8, 9 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.

Bitno je da naučimo osnovno pravilo za pretvaranje korena u stepene, kao i sledeće

osnovne osobine operacija kod korenovanja.

Osnovno pravilo za pretvaranje korena u stepene:

1) √𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚

𝑛

Suština: Koren možemo da prebacimo u stepen na navedeni način, prilično je jasan.

Primer: √235= 2

3

5

Kad imamo različite brojeve, a iste stepene:

2) √𝑎𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

Suština: Kada množimo dva broja pod istim korenom, možemo ih odvojiti kao proizvod

korena tih brojeva.

Primer: √2 ∙ 65

= √25

∙ √65

3) √𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

Suština: Kada korenujemo ceo razlomak, možemo to razdvojiti tako što ćemo korenovati

zasebno imenilac i brojilac razlomka.

Primer: √2

6

5=

√25

√65

4) 𝑎 ∙ √𝑏𝑛

= √𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

Suština: Kada imamo neki broj koji množi koren, broj praktično može da „pobegne pod

koren“, jedino je bitno da mu dodamo stepen isti kao koeficijent korena.

Primer: 7 ∙ √35

= √75 ∙ 35

Kad imamo iste brojeve, a različite stepene:

5) ( √𝑎𝑛

)𝑚

= √𝑎𝑚𝑛

Suština: Kada stepenujemo neki koren, taj stepen može da „pobegne pod koren“, tako što

stepenuje ono što je pod korenom.

Primer: (√75

)2

= √725

6) √𝑎𝑛

= √𝑎𝑚𝑛𝑚

Suština: Koren možemo da proširimo tako što ćemo sa istim brojem pomnožiti stepen

korena i stepenovati ono što je pod korenom.

Primer: √83

= √823∙2



7) √ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎𝑛𝑚

Suština: Ukoliko imamo koren pod korenom, možemo da im pomnožimo stepene i

svedemo ih na jedan zajednički koren.

Primer: √√243

= √23∙4

Specijalne osobine:

8) ( √𝑎𝑛

)𝑛

= 𝑎

Suština: Ako n-ti koren nečega stepenujemo sa n, rezultat je samo a.

Primer: (√35

)5

= 3

9) (ako je n neparan broj) √𝑎𝑛𝑛= 𝑎

Primer: √(−3)55= −3

10) (ako je n paran broj) √𝑎𝑛𝑛= |𝑎|

Primer: √(−3)66= |−3| = 3

3. Eksponencijalna funkcija

Pogledajte video 39 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.

Eksponencijalna funkcija označava funkciju koja ima nepoznatu x kao eksponent (u

stepenu). Ukoliko je rastuća, označava da vrednost funkcije raste sve brže i brže, a ukoliko

je opadajuća, označava da vrednost funkcije pada sve sporije i sporije. Zapis

eksponencijalne funkcije je sledeći:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

Obavezni uslovi: 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1

Imamo dva slučaja, a to su:

1) 𝑎 > 1 → ovo znači da je funkcija rastuća i raste sve brže i brže;

2) 0 < 𝑎 < 1 → ovo znači da je funkcija opadajuća i opada sve sporije i sporije;

Takođe, nema preseka sa x-osom i presek sa y-osom je uvek u 𝒚 = 𝟏. Grafički:


0 < 𝑎 < 1


𝑎 > 1



4. Eksponencijalne jednačine

Pogledajte video 40-44 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.

Kako rešavamo eksponencijalne jednačine? U svim eksponencijalnim jednačinama, cilj nam

je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu 𝑎, pa izjednačimo ono što se

nalazi u stepenu. Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih lekcija kako bismo

rešili jednačinu.

𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Primer.

Reši jednačinu 3𝑥 =1

9

Prvo, svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu:

3𝑥 =1

9

3𝑥 = 9−1

3𝑥 = (32)−1

3𝑥 = 3−2

Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji kao stepen. Direktno

dobijamo da je rešenje:

𝑥 = −2

Specijalni slučaj 1: Uvođenje smene za kvadratnu jednačinu

Suština je da uvodimo određenu smenu, kako bismo učinili da naša jednačina može da se

svede na običnu kvadratnu jednačinu. Pogledajmo primer.

Primer.

Reši jednačinu 10 ∙ 2𝑥 − 4𝑥 = 16

Prvo, svedimo 4𝑥 na osnovu 2:

10 ∙ 2𝑥 − 4𝑥 = 16

10 ∙ 2𝑥 − (22)𝑥 = 16

10 ∙ 2𝑥 − (2𝑥)2 = 16

Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu 2𝑥 = 𝑡:

10 ∙ 𝑡 − 𝑡2 = 16

−𝑡2 + 10𝑡 − 16 = 0



Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine,

koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za 𝑡:

−𝑡2 + 10𝑡 − 16 = 0

𝑡1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑡1,2 =−10 ± √102 − 4 ∙ (−1) ∙ (−16)

2 ∙ (−1)

𝑡1,2 =−10 ± √100 − 64

−2

𝑡1,2 =−10 ± √36

−2

𝑡1,2 =−10 ± 6

−2

𝒕𝟏 = 𝟐

𝒕𝟐 = 𝟖

Vratimo sada ova rešenja u našu smenu 2𝑥 = 𝑡. Prvo rešenje jeste da je 𝑡 = 2. Znači:

2𝑥 = 2

2𝑥 = 21

𝑥 = 1

Drugo rešenje jeste da je 𝑡 = 8. Znači:

2𝑥 = 8

2𝑥 = 23

𝑥 = 3

Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste:

𝑥 ∈ {1, 3}

Specijalni slučaj 2: Svođenje dve različite osnove na zajednički razlomak

Suština je da nakon što sredimo jednačinu, imamo dve različite osnove. Deljenjem sa

određenim deliocem, moći ćemo svesti te dve osnove na jednu zajedničku koja je razlomak,

čime ćemo svesti jednačinu na specijalni slučaj 1.

Primer.

Reši jednačinu 9𝑥 + 6𝑥 = 2 ∙ 4𝑥

Prvo, svedimo celu jednačinu na osnovu 2 i osnovu 3:

9𝑥 + 6𝑥 = 2 ∙ 4𝑥

32𝑥 + (3 ∙ 2)𝑥 = 2 ∙ 22𝑥

32𝑥 + 3𝑥 ∙ 2𝑥 = 2 ∙ 22𝑥



Sada možemo da podelimo celu jednačinu sa 22𝑥 ili 32𝑥 kako bismo sveli sve na jedan

zajednički razlomak. Učinimo ovo sa 22𝑥:

32𝑥 + 3𝑥 ∙ 2𝑥 = 2 ∙ 22𝑥 / :22𝑥

32𝑥

22𝑥+

3𝑥 ∙ 2𝑥

22𝑥=

2 ∙ 22𝑥

22𝑥

Malo sve izgleda konfuzno, pa hajde da prođemo sabirak po sabirak. Prvi sabirak možemo

svesti na:

32𝑥

22𝑥= (

3

2)

2𝑥

Drugi sabirak izgleda najkonfuznije. Šta ovde možemo učiniti? Možemo primetiti da 2𝑥

22𝑥

jeste deljenje koje možemo da uprostimo, jer su iste osnove. Koristimo osnovnu osobinu

stepenovanja, čime se deljenje svodi na oduzimanje eksponenata:

2𝑥

22𝑥= 2𝑥−2𝑥 = 2−𝑥 =

1

2𝑥

Dakle, naš drugi sabirak se svodi na:

3𝑥 ∙ 2𝑥

22𝑥=

3𝑥

2𝑥= (

3

2)

𝑥

Sa desne strane, vrlo očigledno je da treba da skratimo 22𝑥 i 22𝑥:

2 ∙ 22𝑥

22𝑥= 2

Kada sve zamenimo u naš izraz, dobijamo sledeće:

(3

2)

2𝑥

+ (3

2)

𝑥

= 2

Kada sve zamenimo u naš izraz, dobijamo sledeće:

(3

2)

2𝑥

+ (3

2)

𝑥

= 2

Očigledno je da smo sveli jednačinu na specijalni slučaj 1. Da bismo rešili ovu jednačinu,

uvedimo smenu (3

2)

𝑥

= 𝑡:

𝑡2 + 𝑡 = 2

𝑡2 + 𝑡 − 2 = 0





𝑡2 + 𝑡 − 2 = 0

𝑡1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑡1,2 =−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−2)

2 ∙ 1

𝑡1,2 =−1 ± √1 + 8

2

𝑡1,2 =−1 ± √9

2

𝑡1,2 =−1 ± 3

2

𝒕𝟏 = 𝟏

𝒕𝟐 = −𝟐

Vratimo sada ova rešenja u našu smenu (3

2)

𝑥

= 𝑡. Prvo rešenje jeste da je 𝑡 = 1. Znači:

(3

2)

𝑥

= 1

(3

2)

𝑥

= (3

2)

0

𝑥 = 0

Drugo rešenje jeste da je 𝑡 = −2. Znači:

(3

2)

𝑥

= −2

Bilo koji pozitivan broj kada se stepenuje bilo čime ne može da daje vrednost koja je

negativna, tako da ovde nemamo rešenja za x.


𝑥 ∈ {0}

Specijalni slučaj 3: Izvlačenje zajedničkog elementa ispred zagrade

Suština je da nakon što malo sredimo jednačinu, možemo da izvučimo zajednički element

ispred zagrade i time lako dođemo do rešenja početne jednačine.

Primer.

Reši jednačinu 2𝑥 + 2𝑥+1 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 60



Prvo, raščlanimo ono što možemo putem osnovnih osobina stepenovanja:

2𝑥 + 2𝑥+1 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 60

2𝑥 + 2𝑥 ∙ 2 + 2𝑥 ∙ 22 + 2𝑥 ∙ 23 = 60

2𝑥 + 2𝑥 ∙ 2 + 2𝑥 ∙ 4 + 2𝑥 ∙ 8 = 60

Zajednički element koji može izvući ispred zagrade jeste 2𝑥:

2𝑥 ∙ (1 + 2 + 4 + 8) = 60

Sređivanjem izraza poznatim postupcima dolazimo do rešenja:

2𝑥 ∙ 15 = 60

2𝑥 = 4

2𝑥 = 22

𝑥 = 2

5. Eksponencijalne nejednačine


Kako rešavamo eksponencijalne nejednačine? Skoro identično kao i eksponencijalne

jednačine. Cilj nam je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu 𝑎, pa

izjednačimo ono što se nalazi u stepenu. Zatim primenjujemo poznate metode iz

prethodnih lekcija kako bismo rešili nejednačinu.

Jedina ključna razlika jeste što nemamo znak jednakosti, već znak veće ili manje,

pa pazite na sledeće pravilo:

- ukoliko je osnova veća od 1, znak nejednakosti se ne menja;

- ukoliko je osnova između 0 i 1, znak nejednakosti menja smer.

Primer.

Reši jednačinu 3𝑥 >1

9


3𝑥 >1

9

3𝑥 > 9−1

3𝑥 > (32)−1

3𝑥 > 3−2

Osnove su jednake, i veće su od 1, tako da znak nejednakosti ostaje isti:

𝑥 > −2



Primer.

Reši jednačinu (1

3)

𝑥

>1

9


(1

3)

𝑥

>1

9

(1

3)

𝑥

> (1

3)

2

Osnove su jednake, i manje su od 1, tako da znak nejednakosti menja smer:

𝑥 < 2



2−𝑥 − 2𝑥 ≥ 0


Prvo, primenimo osnovne osobine operacija kod stepenovanja:

1

2𝑥− 2𝑥 ≥ 0

Sada možemo da pomnožimo nejednačinu sa 2𝑥: 1

2𝑥 − 2𝑥 ≥ 0 /∙ 2𝑥

1 − 2𝑥 ∙ 2𝑥 ≥ 0

1 − 2𝑥+𝑥 ≥ 0

1 − 22𝑥 ≥ 0

Na kraju, dovoljno je da sredimo izraz i primenimo osnovno pravilo za rešavanje

eksponencijalnih jednačina i nejednačina:

1 ≥ 22𝑥

22𝑥 ≤ 1

22𝑥 ≤ 20

2𝑥 ≤ 0

𝑥 ≤ 0

Dakle, konačno rešenje naše eksponencijalne nejednačine je sledeće:

𝑥 ∈ (−∞, 0]




4𝑥 − 4−𝑥 ≥ 0


Prvo, primenimo osnovne osobine operacija kod stepenovanja:

4𝑥 −1

4𝑥≥ 0

Sada možemo da pomnožimo nejednačinu sa 4𝑥:

4𝑥 −1

4𝑥≥ 0 /∙ 4𝑥

4𝑥 ∙ 4𝑥 − 1 ≥ 0

4𝑥+𝑥 − 1 ≥ 0

42𝑥 − 1 ≥ 0

Na kraju, dovoljno je da sredimo izraz i primenimo osnovno pravilo za rešavanje

eksponencijalnih jednačina i nejednačina:

42𝑥 ≥ 1

42𝑥 ≥ 40

2𝑥 ≥ 0

𝑥 ≥ 0

Dakle, konačno rešenje naše eksponencijalne nejednačine je sledeće:

𝑥 ∈ [0, +∞)


52𝑥+1 = 5𝑥 + 4


Sredimo prvu ovu jednačinu koliko god možemo, koristeći osnovne osobine operacija kod

stepenovanja. Čim vidimo da imamo 2 kod stepena, 1 kod stepena i slobodan član,

pretpostavljamo da će se raditi o specijalnom slučaju 1 gde ćemo ovu eksponencijalnu

jednačinu svesti na kvadratnu jednačinu.

Prvo, sredimo izraz koliko možemo:

52𝑥+1 = 5𝑥 + 4

52𝑥 ∙ 51 = 5𝑥 + 4

52𝑥 ∙ 5 = 5𝑥 + 4

5 ∙ 52𝑥 = 5𝑥 + 4

5 ∙ 52𝑥− 5𝑥 − 4 = 0

Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu 5𝑥 = 𝑡:

5𝑡2 − t − 4 = 0




koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za 𝑡 :

5𝑡2 − t − 4 = 0

𝑡1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑡1,2 =1 ± √(−1)2 − 4 ∙ 5 ∙ (−4)

2 ∙ 5

𝑡1,2 =1 ± √1 + 80

10

𝑡1,2 =1 ± √81

10

𝑡1,2 =1 ± 9

10

𝒕𝟏 = 𝟏

𝒕𝟐 = −𝟒

𝟓

Vratimo sada ova rešenja u našu smenu 5𝑥 = 𝑡. Prvo rešenje jeste da je 𝑡 = 1. Znači:

5𝑥 = 1

5𝑥 = 50

𝑥 = 0

Drugo rešenje jeste da je 𝑡 = −4

5. Znači:

5𝑥 = −4

5

Bilo koji pozitivan broj stepenovan bilo kojim brojem daće pozitivan broj, tako da u ovom

slučaju nemamo rešenja za x.


𝑥 ∈ {0}


2𝑥2+5𝑥 =1

64


Primećujemo da je jednačina relativno jednostavna i da sve možemo svesti na osnovu 2:

2𝑥2+5𝑥 =1

64

2𝑥2+5𝑥 =1

26

2𝑥2+5𝑥 = 2−6



Osnove su iste, tako da možemo da izjednačimo eksponente leve i desne strane:

𝑥2 + 5𝑥 = −6

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

S obzirom da nismo uvodili nikakve smene, rešenja ove kvadratne jednačine biće upravo

rešenja naše eksponencijalne jednačine.

𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =−5 ± √52 − 4 ∙ 1 ∙ 6

2 ∙ 1

𝑥1,2 =−5 ± √25 − 24

2

𝑥1,2 =−5 ± √1

2

𝑥1,2 =−5 ± 1

2

𝒙𝟏 = −𝟐

𝒙𝟐 = −𝟑


𝑥 ∈ {−3, −2}

Naši online kursevi - Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika-kursevi

BITNA NAPOMENA: RAZLIČITE VRSTE ZAGRADA

Primetili ste već u prethodnih nekoliko lekcija da koristimo različite vrste zagrada kada

zapisujemo skup rešenja za nepoznatu x. Ovde ćemo napomenuti šta koje od njih

znače:

1) velika („vitičasta“) zagrada { }

Suština: skup rešenja su samo konkretne vrednosti unutar ove zagrade

Primer: 𝑥 ∈ {−3, −2} - ovo znači da x može biti ili -3 ili -2

2) srednja zagrada [ ] Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, uključujući i granice

Primer: 𝑥 ∈ [−3, −2] - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, a i -3 i -2

3) mala zagrada ( )

Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, ali ne i granice

Primer: 𝑥 ∈ (−3, −2) - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, ali ne -3 i -2

4) kombinovana zagrada ( ] 𝑖𝑙𝑖 [ )

Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, a i vrednost kod srednje zagrade

Primer: 𝑥 ∈ [−3, −2) - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, kao i -3, ali ne -2


SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 8: Logaritamska funkcija


Lekcija 8: Logaritamska funkcija


Pregled lekcije


➢ logaritamska funkcija - šta predstavlja i koje su njene osobine;

➢ logaritamske jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;

➢ logaritamske nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.

Uvod

U ovoj lekciji bavićemo se logaritamskom funkcijom i rešavanjem jednačina i nejednačina u

vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na prijemnom ispitu.

Smatramo da je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i praćenje video

zapisa, nego kroz puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta. Stoga ćemo vas

ovde uputiti i do linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju. Video zapise

obavezno gledajte pažljivo i detaljno. Dok gledate video zapis, radite i primere koji

su u njemu obrađeni dok niste sigurni da ste u potpunosti savladali gradivo. Video

lekcije je izradila „Škola Rajak“ (www.rajak.rs) na vrlo kvalitetan način i na sličnom nivou

koji je potreban vama za prijemni ispit iz Matematike.

Linkovi

Ukoliko smatrate da je potrebno, ponovite pravila logaritmovanja. Biće ključno da baratate

ovim kod logaritamskih funkcija, kao i logaritamskih jednačina i nejednačina. Ostale video

lekcije (u vezi logaritamske funkcije, jednačina i nejednačina) obavezno sve detaljno

pređite!

- Link plejliste: rebrand.ly/logaritam

➢ Logaritmi – video 50, 51, 52

➢ Logaritamska funkcija – video 53

➢ Logaritamske jednačine – video 54, 55, 56, 57, 58

➢ Logaritamske nejednačine – video 59, 60, 61, 62

1. Logaritmi

Pogledajte video 50, 51, 52 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.





Logaritam suštinski predstavlja suprotnu operaciju od stepenovanja. Bitno je da naučimo

sledeće osnovne osobine operacija kod logaritmovanja.

Osnovna veza stepenovanja i logaritmovanja:

1) log𝑎 𝑏 = 𝑥 je identično sa 𝑎𝑥 = 𝑏

Suština: Vezu stepenovanja i logaritmovanja možemo posmatrati kao jedan krug:

log𝑎 𝑏 = 𝑥

Primer: log3 9 = 𝑥 je identično sa 3𝑥 = 9

Osnovne osobine logaritmovanja:

2) log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 = log𝑎 𝑥𝑦

Suština: Kada sabiramo dva logaritma sa istim osnovama, možemo im pomnožiti ono pod

logaritmom (numeruse).

Primer: log5 8 + log5 4 = log5 32

3) log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 = log𝑎𝑥

𝑦

Suština: Kada oduzimamo dva logaritma sa istim osnovama, možemo im podeliti ono pod

logaritmom (numeruse).

Primer: log5 8 − log5 4 = log5 2

4) log𝑎 𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑎 𝑥

Suština: Kada imamo stepenovanje u numerusu, taj stepen može da „iskoči“ ispred

logaritma bez da promeni svoju vrednost.

Primer: log5 34 = 4 ∙ log5 3

5) log𝑎𝑛 𝑥 =1

𝑛∙ log𝑎 𝑥

Suština: Kada imamo stepenovanje u osnovi, taj stepen može da „iskoči“ ispred logaritma

kao recipročna vrednost.

Primer: log52 3 =1

2∙ log5 3

6) log𝑎 𝑏 =1

log𝑏 𝑎

Suština: Osnova i numerus mogu da zamene mesta, tako što ćemo onda imati recipročnu

vrednost logaritma.

Primer: log3 5 =1

log5 3

na stepen

jednako je



7) log𝑎 𝑏 =log𝑐 𝑏

log𝑐 𝑎=

log(𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠)

log(𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)(𝑠𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)

Suština: Suština je slikovito prikazana u gornjem redu. Možemo da stavimo novu osnovu za

logaritam, tako što ćemo napraviti razlomak. Brojilac će da bude log(𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠), a

imenilac će da bude log(𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)(𝑠𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎).

Primer: log3 5 =log8 5

log8 3

8) 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏

Suština: Znamo da su stepenovanje i logaritmovanje suprotne operacije. Ukoliko imamo

neki broj na logaritam sa osnovom koja je jednaka tom broju, oni mogu da se skrate.

Primer: 7log7 9 = 9

Specijalne osobine logaritmovanja:

9) log𝑎 1 = 0

Suština: Logaritam sa numerusom 1 je jednak nuli. Ovo direktno sledi iz osnovne veze

stepenovanja i logaritmovanja, jer 𝑎0 = 1

Primer: log25 1 = 0

10) log𝑎 𝑎 = 1

Suština: Logaritam koji ima isti numerus i osnovu jednak je 1. Ovo direktno sledi iz

osnovne veze stepenovanja i logaritmovanja, jer 𝑎1 = 𝑎

Primer: log25 25 = 1

BITNA NAPOMENA: UOBIČAJENI ZAPISI

1) log10 𝑎 = log 𝑎

Suština: Kada nije zapisana osnova logaritma, podrazumeva se da se misli na osnovu 10.

Primer: log10 3 = log 3

2) log 𝑎 = lg 𝑎

Suština: Običan logaritam može biti zapisan kao „log“ ili skraćeno kao „lg“. Preporučujemo

da za kolokvijum koristite oznaku „log“.

Primer: log 3 = lg 3

3) log𝑒 𝑥 = ln 𝑥

Suština: e je tzv. „Ojlerov broj“, koji iznosi oko 2,72. Logaritam sa osnovom e naziva se

prirodni logaritam i možemo ga označiti kao „ln“ (logarithm natural).

Primer: log𝑒 5 = ln 5

2. Logaritamska funkcija




Logaritamska funkcija označava funkciju koja sadrži logaritam. Zapis logaritamske funkcije

je sledeći:

𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥

Obavezni uslovi: 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0

Imamo dva slučaja, a to su:

1) 𝑎 > 1 → onda funkcija počinje iz minus beskonačno i ide na gore kao na slici;

2) 0 < 𝑎 < 1 → onda funkcija počinje iz plus beskonačno i ide na dole kao na slici.

Takođe, nema preseka sa y-osom i presek sa x-osom je uvek u 𝒙 = 𝟏. Grafički:

Sličnosti i razlike eksponencijalne i logaritamske funkcije je lako uočiti:

3. Logaritamske jednačine


𝒇(𝒙) = log𝑎 𝑥

𝑎 > 1

𝒇(𝒙) = log𝑎 𝑥

0 < 𝑎 < 1



Kako rešavamo logaritamske jednačine? U svim logaritamskim jednačinama, cilj nam je da i

levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu 𝑎, pa izjednačimo ono što se nalazi pod

logaritmima (njihove numeruse). Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih

lekcija kako bismo rešili jednačinu.

log𝑎 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Primer.

Reši jednačinu log3(𝑥 − 1) = 2

Obavezno prvo postavljamo uslove.

Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:

3 > 0

Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:

3 ≠ 1

Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle:

𝑥 − 1 > 0

𝑥 > 1

Sada možemo da rešavamo jednačinu.

Način 1: Treba da svedemo i levu i desnu stranu jednakosti tako da na obe strane imamo

logaritam sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a

to je da log𝑎 𝑎 = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod dvojke dodati logaritam sa osnovom

3 i numerusom 3, bez da promenimo vrednost izraza:

log3(𝑥 − 1) = 2

log3(𝑥 − 1) = 2 ∙ log3 3

Dalje, znamo da slobodan član ispred logaritma može da uskoči kao stepen numerusa

(osobina 4):

log3(𝑥 − 1) = 2 ∙ log3 3

log3(𝑥 − 1) = log3 32

log3(𝑥 − 1) = log3 9

Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji pod logaritmima

(numeruse). Direktno dobijamo da je rešenje:

𝑥 − 1 = 9

𝑥 = 9 + 1

𝑥 = 10

Rešenje koje smo dobili za x ispunjava početni uslov da je 𝑥 > 1, tako da konačno rešenje:

𝑥 ∈ {10}



Način 2: U ovom zadatku možemo doći do rešenja i jednostavnijim putem. Koristeći

osnovnu vezu logaritmovanja i stepenovanja (osobina 1) možemo da zapišemo sledeće:

log3(𝑥 − 1) = 2

32 = 𝑥 − 1

Direktno možemo rešiti ovu jednostavnu linearnu jednačinu po x:

𝑥 − 1 = 9

𝑥 = 9 + 1

𝑥 = 10


𝑥 ∈ {10}

Specijalni slučaj 1: Uvođenje smene za kvadratnu jednačinu

Suština je da uvodimo određenu smenu, kako bismo učinili da naša jednačina može da se

svede na običnu kvadratnu jednačinu. Pogledajmo primer.

Primer.

Reši jednačinu log𝑥 2 − log4 𝑥 +10

6= 0.5

Obavezno prvo postavljamo uslove za svaki logaritam.

Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 4 je svakako veće od nule, a imamo i:

𝑥 > 0

Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 4 je svakako različito od 1, a imamo i:

𝑥 ≠ 1

Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. 2 je svakako veće od nule,

a imamo i:

𝑥 > 0


Prvo, prebacimo sve sa leve strane, ostavljajući na desnoj strani jednakosti nulu:

log𝑥 2 − log4 𝑥 +10

6= 0.5


6=

1

2


6=

3

6


6= 0



Sredimo prvi logaritam. Ovo možemo učiniti tako što ćemo zameniti mesta osnovi i

numerusu (osobina 6):


6= 0

1

log2 𝑥− log4 𝑥 +

7

6= 0

Drugi logaritam možemo da sredimo tako što ćemo izbaciti stepen iz osnove ispred

logaritma kao recipročnu vrednost, da bismo sveli i drugi logaritam na osnovu 2 (osobina

5):

1


7

6= 0

1


7

6= 0

1

log2 𝑥−

1

2∙ log2 𝑥 +

7

6= 0

Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu log2 𝑥 = 𝑡:

1

log2 𝑥−

1

2∙ log2 𝑥 +

7

6= 0

1

𝑡−

1

2∙ 𝑡 +

7

6= 0

Pomnožimo sve sa 𝑡 :

1

𝑡−

1

2∙ 𝑡 +

7

6= 0 /∙ 𝑡

1 −1

2∙ 𝑡2 +

7

6𝑡 = 0

Pomnožimo izraz sa 6, čisto da ne bismo morali da radimo sa razlomcima:

1 −1

2∙ 𝑡2 +

7

6𝑡 = 0 /∙ 6

6 − 3𝑡2 + 7 𝑡 = 0

− 3𝑡2 + 7 𝑡 + 6 = 0



− 3𝑡2 + 7 𝑡 + 6 = 0

𝑡1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎



𝑡1,2 =−7 ± √72 − 4 ∙ (−3) ∙ 6

2 ∙ (−3)

𝑡1,2 =−7 ± √49 + 72

−6

𝑡1,2 =−7 ± √121

−6

𝑡1,2 =−7 ± 11

−6

𝒕𝟏 = −𝟐

𝟑

𝒕𝟐 = 𝟑

Vratimo sada ova rešenja u našu smenu log2 𝑥 = 𝑡. Prvo rešenje jeste da je 𝑡 = −2

3. Znači:

log2 𝑥 = −2

3

2−23 = 𝑥

𝑥 =1

223

𝑥 =1

√43

Ovo rešenje ispunjava početne uslove, tako da ga svrstavamo u konačni skup rešenja.

Drugo rešenje jeste da je 𝑡 = 3. Znači:

log2 𝑥 = 3

23 = 𝑥

𝑥 = 8

Ovo rešenje ispunjava početne uslove, tako da ga svrstavamo u konačni skup rešenja.

Dakle, konačni skup rešenja za našu jednačinu jeste:

𝑥 ∈ {1

√43 , 8}

BITNA NAPOMENA

Za složenije primere pogledajte video zapise 56, 57 i 58 sa linka u odeljku Linkovi. Nećemo

ih obraditi ovde u skripti, jer uglavnom ne dolaze na prijemnom ispitu. Međutim, svakako

je poželjno da pogledate ove video zapise i provežbate primere bar jednom.



4. Logaritamske nejednačine


Kako rešavamo logaritamske nejednačine? Skoro identično kao i logaritamske jednačine.

Cilj nam je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu 𝑎, pa izjednačimo ono

što se nalazi u numerusima. Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih lekcija

kako bismo rešili nejednačinu.

Ključna razlika jeste što nemamo znak jednakosti, već znak veće ili manje, pa

pazite na sledeće pravilo:

- ukoliko je osnova veća od 1, znak nejednakosti se ne menja;

- ukoliko je osnova između 0 i 1, znak nejednakosti menja smer.

Još jedna ključna razlika (a veoma je logična) jeste da konačni skup rešenja

nejednačine jeste presek uslova i rešenja koje dobijemo postupkom rešavanja

nejednačine.

Primer.

Reši jednačinu log3 𝑥 > 0


Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 3 je svakako veće od nule:

3 > 0

Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 3 je svakako različito od 1:

3 ≠ 1

Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule:

𝑥 > 0


Svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu:

log3 𝑥 > 0

log3 𝑥 > log3 1


𝑥 > 1



Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći:

Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je:

𝑥 ∈ (1, +∞)

Primer.

Reši jednačinu log1

3

𝑥 > 0


Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 1

3 je svakako veća od nule:

1

3> 0

Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 1

3 je svakako različita od 1:

1

3≠ 1

Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule:

𝑥 > 0


Svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu:

log13

𝑥 > 0

log13

𝑥 > log13

1

Osnove su jednake, i između 0 i 1 su, tako da znak nejednakosti menja smer:

𝑥 < 1


0

1 −∞ +∞




𝑥 ∈ (0, 1)



log2 𝑥 = −2




2 > 0


2 ≠ 1


𝑥 > 0


Treba da svedemo i levu i desnu stranu jednakosti tako da na obe strane imamo logaritam

sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a to je da

log𝑎 𝑎 = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod -2 dodati logaritam sa osnovom 2 i

numerusom 2, bez da promenimo vrednost izraza:

log2 𝑥 = −2

log2 𝑥 = −2 ∙ log2 2


(osobina 4):

log2 𝑥 = −2 ∙ log2 2

log2 𝑥 = log2 2−2

log2 𝑥 = log2

1

22

log2 𝑥 = log2

1

4

0

1 −∞ +∞



Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji pod logaritmima

(numeruse). Direktno dobijamo da je rešenje:

𝑥 =1

4


𝑥 ∈ {1

4}


log3 𝑥 < 2




3 > 0


3 ≠ 1


𝑥 > 0


Treba da svedemo i levu i desnu stranu nejednakosti tako da na obe strane imamo

logaritam sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a

to je da log𝑎 𝑎 = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod 2 dodati logaritam sa osnovom 3 i

numerusom 3, bez da promenimo vrednost izraza:

log3 𝑥 < 2

log3 𝑥 < 2 ∙ log3 3


(osobina 4):

log3 𝑥 < 2 ∙ log3 3

log3 𝑥 < log3 32

log3 𝑥 < log3 9


𝑥 < 9





𝑥 ∈ (0, 9)


log3(𝑥 + 4) > log3(2𝑥 + 12)




3 > 0


3 ≠ 1


𝑥 + 4 > 0

𝑥 > −4

2𝑥 + 12 > 0

2𝑥 > −12

𝑥 > −6


Već sa obe strane nejednakosti imamo iste osnove. Osnove su veće od 1, tako da se smer

nejednakosti ne menja:

log3(𝑥 + 4) > log3(2𝑥 + 12)

𝑥 + 4 > 2𝑥 + 12

−8 > 𝑥

𝑥 < −8


−6

−8 −∞ +∞ −4

0

9 −∞ +∞



Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je prazan skup:

𝑥 ∈ ∅

4. Izračunaj vrednost sledećeg izraza:

log10

√0.25

5=


Sredimo prvo koren u brojiocu:

= log10

√ 25100

5

= log10

√14

5

= log10

125

Sada možemo da sredimo dvojni razlomak poznatim postupcima, koje smo naučili u

prethodnim lekcijama:

= log10

1251

= log10

1 ∙ 1

5 ∙ 2

= log10

1

10

Konačno, izraz možemo ovako da sredimo:

= log10 10−1

= −1 ∙ log10 10

= −1 ∙ 1 = −𝟏

Dakle, konačna vrednost zadatog izraza iznosi −1.




SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 9: Trigonometrija


Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije

(svojstva, jednačine i nejednačine)

Pregled lekcije


➢ merenje uglova - pretvaranje stepena u radijane i obrnuto;

➢ merenje uglova - šta je pozitivan, a šta negativan ugao i kako ih crtamo;

➢ trigonometrijske funkcije - sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg) i kotangens

(ctg) – šta predstavljaju, koja je tablica osnovnih vrednosti i znakovi ovih funkcija u

svakom kvadratnu koordinatnog sistema;

➢ osnovne relacije trigonometrijskih funkcija;

➢ svođenje trigonometrijskih funkcija na prvi kvadrant;

➢ adicione formule, trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla i poluugla;

➢ trigonometrijske jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;

➢ trigonometrijske nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.

Uvod

U ovoj lekciji bavićemo se mnogim stvarima u vezi trigonometrijskih funkcija i rešavanjem

jednačina i nejednačina u vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na

prijemnom ispitu. Smatramo da je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i

praćenje video zapisa, nego kroz puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta.

Stoga ćemo vas ovde uputiti i do linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju,

kao i kratke preglede gradiva uz to. Video zapise obavezno gledajte pažljivo i detaljno.

Dok gledate video zapis, radite i primere koji su u njemu obrađeni dok niste sigurni

da ste u potpunosti savladali gradivo. Video lekcije je izradila „Škola Rajak“

(www.rajak.rs) na vrlo kvalitetan način i na sličnom nivou koji je potreban vama za prijemni

ispit iz Matematike. Postoje i drugi video zapisi iz ove oblasti koje možete preći a nisu

navedeni ovde, ali smatramo da je ovo minimum minimuma koji je potreban za prijemni

ispit, a ukoliko bude potrebno, lako ćemo naučiti i malo dodatnog gradiva.

Linkovi

- Link plejliste: rebrand.ly/trigonom

➢ Radijani, pozitivni i negativni uglovi – video 63

➢ Funkcije sin, cos, tg, ctg, trigonometrijski krug i znakovi funkcija – video 64

➢ Osnovne relacije trigonometrijskih funkcija – video 66

➢ Svođenje trigonometrijskih funkcija na prvi kvadrant – video 66 i video 67

➢ Trigonometrijske jednačine – video 78, 79, 80





1. Radijani, pozitivni i negativni uglovi


1) Kako pretvaramo stepene u radijane? Tako što podelimo stepene sa 180 i dodamo „pi“.

Primer.

Koliko iznosi ugao od 240° u radijanima?

240° =240

180𝜋 =

𝟒

𝟑𝝅

2) A kako pretvaramo radijane u stepene? Samo umesto „pi“ zamenimo 180°.

Primer.

Koliko iznosi ugao od 4

3𝜋 u stepenima?

4

3𝜋 =

4

3× 180° = 𝟐𝟒𝟎°

3) Šta znači pozitivan ugao? To znači da merimo ugao u smeru suprotnom od kazaljke na

satu.

Primer.

4) Šta znači negativan ugao? To znači da merimo ugao u smeru kazaljke na satu.

Primer.

0

𝜋

2𝜋

𝜋

2

3𝜋

2

45°

0

𝜋

2𝜋 −45°

𝜋

2

3𝜋

2



Primeri.

Dodatne primere pogledajte u videu 63 navedene plejliste (od 04:05 pa na dalje).

BITNA NAPOMENA

U zadacima na prijemnom preporučujemo da sve radite preko pozitivnog uglova, manje su

šanse da dođe do zabune kada imate više rešenja, npr. u trigonometrijskim jednačinama.

2. Trigonometrijske funkcije


Da biste imali dobar temelj znanja iz trigonometrijskih funkcija, obavezno pogledajte

navedeni video 00:00-03:05, koji definiše funkcije sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) i

kotagensa (ctg).

Ono što je za vas najbitnije u praktičnoj primeni za prijemni, a i posle, jeste sledeće:

1) Gde se crta koja funkcija u trigonometrijskom krugu? (03:35-10:00).

Najbolje ćete ovo naučiti prateći ovaj deo navedenog video zapisa. Ključno je da zapamtite

da se sinus crta na vertikalnoj osi, a kosinus na horizontalnoj osi!

2) Znakovi osnovnih trigonometrijskih funkcija u različitim kvadrantima

koordinatnog sistema (10:00-11:14).

U ovom delu video zapisa imate pregled za ovo, kao i oblasti definisanosti za svaku

trigonometrijsku funkciju, što može da bude korisno kasnije za ispit, kada se budemo bavili

trigonometrijskim funkcijama. Ključno je da vidite logiku – kada nacrtate sinus ili kosinus

(što smo naučili u stavci pod 1), koji je znak vrednosti tu? To vrlo lako možete videti sa

punog koordinatnog sistema.

3) Tablica osnovnih vrednosti trigonometrijskih funkcija (03:05-03:35).

Kako zapamtiti ovo? Tangens i kotangens nije potrebno da pamtite napamet, jer ih lako

možete izvesti iz vrednosti sinusa i kosinusa. Za sinus i kosinus je ključno da zapamtite tri

vrednosti: 1

2,

√3

2.

√2

2. A raspoređujete ih preko ove šeme:

Prvi kvadrant: (sinus pozitivan, kosinus pozitivan)

- 𝑠𝑖𝑛60° =√3

2 ista vrednost je i za ... 𝑐𝑜𝑠30° =

√3

2

- 𝑐𝑜𝑠60° =1

2 ista vrednost je i za ... 𝑠𝑖𝑛30° =

1

2

- 𝑠𝑖𝑛45° =√2

2 ista vrednost je i za ... 𝑐𝑜𝑠45° =

√2

2

Drugim rečima, zapamtite koliko je sin60, pa znate već cela prva dva reda. A kada je u

pitanju ugao od 45 stepeni, uvek je vrednost koren iz dva kroz dva. Ovo isto možete da

primenite i na druge kvadrante, što bude očigledno sa trigonometrijskog kruga. Videćete

primenu ovog u trigonometrijskim jednačinama.



3. Osnovne relacije trigonometrijskih funkcija

Pogledajte video 66 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“ (00:00-01:55)

U suštini, osnovne relacije koje je neophodno da znate u pola noći kada vas probude jesu

sledeće:

1) sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

2) 𝑡𝑔𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

3) 𝑐𝑡𝑔𝑥 =𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥

4. Svođenje trigonom. funkcija na I kvadrant

Pogledajte video 66 (01:55 pa do kraja) i video 67 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.

Ovde je u praksi najbitnije da zapamtite sledeće tri vrlo bitne stavke:

1) Kada imate izraz oblika 𝑓(𝛼), onda pratite sledeću šemu:

sin(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼

cos(−𝛼) = +𝑐𝑜𝑠𝛼

tg(−𝛼) = −𝑡𝑔𝛼

ctg(−α) = −𝑐𝑡𝑔𝛼

Formalno rečeno, samo kosinus funkcija je parna, a ostale su neparne.

Primer.

sin (−𝜋

2) = −𝑠𝑖𝑛

𝜋

2= −1

2) Kada imate izraz oblika 𝑓(𝑘𝜋 ∓ 𝛼), gde je 𝛼 oštar ugao i 𝑘 ∈ ℤ, onda radimo sledeće:

1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz 𝑘𝜋 ∓ 𝛼, čime vidimo znak rezultata

2. rezultat izražavamo kao funkciju 𝒇(𝜶)

Primer.

sin(𝜋 + 𝛼) = ?

1. 𝜋 + 𝛼 pripada trećem kvadrantu, gde je funkcija sinus negativna

2. rezultat je funkcija 𝒔𝒊𝒏𝜶

Konačno rešenje:

sin(𝜋 + 𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼



3) Kada imate izraz oblika 𝑓 (𝑘𝜋

2∓ 𝛼), gde je 𝛼 oštar ugao i 𝑘 ∈ ℤ, onda radimo sledeće:

1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz 𝑘𝜋

2∓ 𝛼, čime vidimo znak rezultata

2. rezultat izražavamo kao kofunkciju 𝒇(𝜶)

Primer.

sin (𝜋

2+ 𝛼) = ?

1. 𝜋

2+ 𝛼 pripada drugom kvadrantu, gde je funkcija sinus pozitivna

2. rezultat je kofunkcija 𝒔𝒊𝒏𝜶, dakle 𝒄𝒐𝒔𝜶

Konačno rešenje:

sin (𝜋

2+ 𝛼) = +𝑐𝑜𝑠𝛼

5. Adicione formule i trigonometrijske funkcije

dvostrukog ugla i poluugla

Pogledajte video 69-74 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“

Ovo su, prosto, neke formule koje treba da naučite napamet kako biste mogli da ih

primenjujete u zadacima da biste došli do rešenja. Međutim, primena ovih formula vrlo je

retko potrebna za prijemni ispit, a takođe nisu obuhvaćene ni gradivom za ispit. Stoga,

ukoliko vam baš ostane vremena nakon što ste sve drugo lepo provežbali (uključujući

sledeći odeljak u vezi trigonometrijskih jednačina i nejednačina, koji i jeste najbitniji deo

ove lekcije) savetujemo vam da tek onda pređete na ovaj deo u vezi adicionih formula i

trigonometrijskih funkcija dvostrukog ugla i poluugla, jer nije prevelika korist od

poznavanja ovih formula, bar na Ekofu. Naravno ukoliko imate vremena i volje, slobodno

naučite formule i provežbajte primere iz navedenih videa.

6. Trigonometrijske jednačine i nejednačine

Pogledajte video 78, 79, 80 i 81 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.

Ukoliko ste sve prethodno iz ove lekcije do sada savladali, trigonometrijske jednačine i

nejednačine biće vam vrlo jednostavne. A ovo je najvažniji deo lekcije, za koji su profesori i

napomenuli da će gotovo sigurno doći na prijemnom ispitu iz oblasti trigonometrije.

Postupak sređivanja jednačine je isti kao kod „normalnih“ jednačina i nejednačina, poput

linearnih i kvadratnih. Ono što je ključna razlika ovde jeste kako dolazite do vrednosti x

(putem trigonometrijskog kruga) i u samoj prirodi rešenja (trigonometrijske funkcije su

periodične, odnosno rešenja se ponavljaju na pola kruga 𝑘𝜋 ili na ceo krug 2𝑘𝜋). Ovo je

nekako previše komplikovano da bismo vam ovako „napamet“ to napisali u vidu pregleda



ovde, ali verujte nam, sve će vam biti prilično jasno kada detaljno pređete navedene video

zapise. Obavezno to učinite, odmah! Ovde ćemo vam staviti samo jedan primer pre ispitnih

zadataka, kako biste shvatili logiku (nejednačine vrlo retko dolaze, to možete samo preći

putem video zapisa).

Primer.

Rešavamo jednačinu 2 cos 𝑥 − √3 = 0.

Prvo što treba da uradimo jeste da sa jedne strane ostavimo samo cos 𝑥, a sa druge sve

prebacimo sve ostalo:

2 cos 𝑥 − √3 = 0

2 cos 𝑥 = √3

cos 𝑥 =√3

2

Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za 𝑥:

Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 30° =√3

2 tako

da je 30° svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko 𝜋:

𝑥 = 30°

𝑥 =30𝜋

180

𝑥 =𝜋

6

Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i

kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje

povećamo za ceo krug (koji iznosi 2𝜋) dobićemo praktično isti ugao – znači da je i takav

ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug

0

𝜋

2𝜋

3𝜋

2

𝜋

2

30°

𝒄𝒐𝒔𝒙



na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti

kompletno prvo rešenje naše trigonometrijske jednačine:

𝑥 =𝜋

6+ 2kπ, k ∈ ℤ

A sada drugi deo – da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da

iz trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 30 stepeni? Svakako, i

to možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga:

Ugao 330° se identično preslikava u isti kosinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje.

Možemo ga zapisati preko 𝜋:

𝑥 = 330°

𝑥 =330𝜋

180

𝑥 =11𝜋

6





na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti

kompletno drugo rešenje naše trigonometrijske jednačine:

𝑥 =11𝜋

6+ 2kπ, k ∈ ℤ

Dakle, konačni skup rešenja zadate jednačine jeste:

𝑥 ∈ {𝜋

6+ 2kπ,

11𝜋

6+ 2kπ} , k ∈ ℤ



2 sin(2𝑥) = √3

𝜋

2

0

𝜋

2𝜋

3𝜋

2

30°

𝒄𝒐𝒔𝒙 330°




Prvo što treba da uradimo jeste da sa jedne strane ostavimo samo sin 2𝑥, a sa druge sve

prebacimo sve ostalo:

2 sin(2𝑥) = √3

sin(2𝑥) =√3

2

Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za 2𝑥:

Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je sin 60° =√3

2 tako


2𝑥 = 60°

2𝑥 =60𝜋

180

2𝑥 =𝜋

3

𝑥 =𝜋

6





na naše rešenje. Međutim, ovde smo podelili celu jednačinu sa 2, pa i taj ceo krug.

Stoga, funkcije su periodične na pola kruga (koji iznosi 𝜋). To ćemo matematički

zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti kompletno prvo rešenje naše trigonometrijske

jednačine:

𝑥 =𝜋

6+ 𝑘π, k ∈ ℤ

0

3𝜋

2

𝜋

2

60°

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝜋

2𝜋



A sada drugi deo – da li imamo još mogućih rešenja za 2𝑥? Odnosno, da li još neki ugao da

iz trigonometrijskog kruga daje istu vrednost sinusa kao i ugao od 60 stepeni? Svakako, i to

možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga:

Ugao 120° se identično preslikava u isti sinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje.


2𝑥 = 120°

2𝑥 =120𝜋

180

2𝑥 =2𝜋

3

𝑥 =𝜋

3





na naše rešenje. Međutim, ovde smo podelili celu jednačinu sa 2, pa i taj ceo krug.

Stoga, funkcije su periodične na pola kruga (koji iznosi 𝜋). To ćemo matematički

zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti kompletno drugo rešenje naše trigonometrijske

jednačine:

𝑥 =𝜋

3+ kπ, k ∈ ℤ


𝑥 ∈ {𝜋

6+ kπ,

𝜋

3+ kπ} , k ∈ ℤ

2. U intervalu (𝟎, 𝟐𝝅), rešiti sledeću jednačinu:

(cos 𝑥)2 =3

4

𝜋

2

60°

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

120°

0 𝜋

2𝜋

3𝜋

2




Prvo što treba da uradimo jeste da vidimo koliko 𝑐𝑜𝑠𝑥 možemo da iznosi:

(cos 𝑥)2 =3

4

(cos 𝑥)2 = (√3

2)

2

𝑐𝑜𝑥 = ±√3

2

Prvi slučaj ( 𝑐𝑜𝑥 =√3

2)


Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 30° =√3

2 tako


𝑥 = 30°

𝑥 =30𝜋

180

𝑥 =𝜋

6

Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2𝜋) u rešenje, jer smo ograničeni na interval

(𝟎, 𝟐𝝅) u pogledu rešenja koja se traže od nas.

Da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da iz

trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 30 stepeni? Svakako, i to

možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga:

0

𝜋

2𝜋

3𝜋

2

𝜋

2

30°

𝒄𝒐𝒔𝒙





𝑥 = 330°

𝑥 =330𝜋

180

𝑥 =11𝜋

6



Drugi slučaj ( 𝑐𝑜𝑥 = −√3

2)


Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 150° = −√3

2

tako da je 150° svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko 𝜋:

𝑥 = 150°

𝑥 =150𝜋

180

0

𝜋

2

150°

0 𝜋

2𝜋

3𝜋

2

30°

𝒄𝒐𝒔𝒙


𝜋

2𝜋

3𝜋

2

𝜋

2



𝑥 =5𝜋

6



Da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da iz

trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 150 stepeni? Svakako, i

to možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga:



𝑥 = 210°

𝑥 =210𝜋

180

𝑥 =7𝜋

6




𝑥 ∈ {𝜋

6,5𝜋

6,7𝜋

6,11𝜋

6 }


sin(𝜋

2+

𝜋

3) − sin (𝜋 +

𝜋

6) =


U ovom zadatku je potrebno da koristimo svođenje na prvi kvadrant koje smo naučili u

ovoj lekciji. Idemo sabirak po sabirak.

Prvi sinus prati slučaj 3 iz odeljka o svođenju na prvi kvadrant (odeljak 4 ove lekcije).

Kada imate izraz oblika 𝑓 (𝑘𝜋

2∓ 𝛼), gde je 𝛼 oštar ugao i 𝑘 ∈ ℤ, onda radimo sledeće:

3𝜋

2

𝜋

2

0

𝜋

2𝜋

150°




1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz 𝑘𝜋

2∓ 𝛼, čime vidimo znak rezultata

2. rezultat izražavamo kao kofunkciju 𝒇(𝜶)

U našem slučaju:

sin(𝜋

2+

𝜋

3) = ?

1. 𝜋

2+

𝜋

3 pripada drugom kvadrantu, gde je funkcija sinus pozitivna

2. rezultat je kofunkcija 𝒔𝒊𝒏𝜋

3, dakle 𝒄𝒐𝒔

𝜋

3

Konačno rešenje za prvi sabirak:

sin (𝜋

2+

𝜋

3) = +𝑐𝑜𝑠

𝜋

3

Drugi sinus prati slučaj 2 iz odeljka o svođenju na prvi kvadrant (odeljak 4 ove lekcije).

Kada imate izraz oblika 𝑓(𝑘𝜋 ∓ 𝛼), gde je 𝛼 oštar ugao i 𝑘 ∈ ℤ, onda radimo sledeće:

1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz 𝑘𝜋 ∓ 𝛼, čime vidimo znak rezultata

2. rezultat izražavamo kao funkciju 𝒇(𝜶)

U našem slučaju:

sin (𝜋 +𝜋

6) = ?

1. 𝜋 +𝜋

6 pripada trećem kvadrantu, gde je funkcija sinus negativna

2. rezultat je funkcija 𝒔𝒊𝒏𝜋

6

Konačno rešenje za drugi sabirak:

sin(𝜋 + 𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝜋

6

Dakle, kada ovo zamenimo u naš početni izraz, dobijamo:

sin(𝜋

2+

𝜋

3) − sin (𝜋 +

𝜋

6) =

= 𝑐𝑜𝑠𝜋

3− (−𝑠𝑖𝑛

𝜋

6)

= 𝑐𝑜𝑠𝜋

3+ 𝑠𝑖𝑛

𝜋

6

=1

2+

1

2

= 1


BITNA NAPOMENA: SINUS I KOSINUS OD 0°, 90°, 180°, 270°

Osim vrednosti za 30, 45 i 60 stepeni, bitno nam je da znamo i vrednosti sinusa i

kosinusa za sledeće uglove:

sin 0° = 0 cos0° = 1

sin 90° = 1 cos 90° = 0

sin 180° = 0 cos 180° = −1

sin 270° = −1 cos 270° = 0

Ukoliko nacrtate trigonometrijski krug, lako ćete uočiti zašto su to baš ove vrednosti.


SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 10: Nizovi


Lekcija 10: Nizovi (progresije)

Pregled lekcije


➢ aritmetički nizovi – oznake, razlika aritmetičkog niza i zbir članova;

➢ geometrijski nizovi – oznake, količnik geometrijskog niza i zbir članova.

Uvod

U ovoj lekciji bavimo se nizovima, tj. progresijama (ovi pojmovi su sinonimi). Lekcija je

relativno jednostavna, ali nemojte je zapostaviti – dobro provežbajte zadatke iz ove oblasti.

Oblast se javlja ređe od raznih jednačina i nejednačina na prijemnom ispitu, ali je šteta da je

dobro ne naučite kada ne predstavlja toliki izazov, a može da vam donese određene poene

na prijemnom ispitu.

Šta su nizovi?

Da vas ne bismo davili sa formalnim definicijama i sličnim, recimo da je brojevni niz lista

nekih brojeva koji prate određeno pravilo. Primeri su sledeći:

- Primer 1: niz 3, 5, 7, 9, 11...

- Primer 2: niz 5, 10, 20, 40, 80...

Razmotrimo sad osnovne karakteristike ovih nizova koje ćemo dalje izučavati.

1) Prvi član niza (𝒂𝟏)

- Kao što mu samo ime kaže, prvi član niza jeste početni član datog niza. Označavamo ga

kao 𝑎1. Za primer 1, 𝑎1 = 3. Za primer 2, 𝑎1 = 5.

2) Opšti (n-ti) član niza (𝒂𝒏)

- Opštim članom niza izražavamo pravilo koje prati svaki član niza. Označavamo ga kao

𝑎𝑛. Za primer 1, vidimo da je svaki sledeći član niza za 2 veći od prethodnog. To možemo

izraziti putem opšteg člana niza:

𝑎𝑛 = 2 + 𝑎𝑛−1

Stoga, imamo da je npr. 𝑎2 = 5, 𝑎3 = 7, 𝑎4 = 9 itd.

Za primer 2, vidimo da je svaki sledeći član niza dupliran prethodni član. To možemo

izraziti kao:

𝑎𝑛 = 2 × 𝑎𝑛−1

Stoga, imamo da je npr. 𝑎2 = 10, 𝑎3 = 20, 𝑎4 = 40 itd.



3) Zbir n-tih članova niza (𝑺𝒏)

- Ovo je zbir određenog broja članova niza. Za primer 1, uzmimo zbir prvih 5 članova niza

– to je 3+5+7+9+11=35. Za primer 2, zbir prva tri člana je 5+10+20=35.

1. Aritmetički nizovi

Aritmetički niz je onaj gde je razlika između svaka dva susedna člana konstanta. Drugim

rečima, postoji konzistentno pravilo da svaki sledeći član niza jeste veći ili manji od

prethodnog člana niza za određenu istu vrednost.

Primer aritmetičkog niza jeste upravo primer 1 iz uvodnog odeljka:

3, 5, 7, 9, 11...

Razmotrimo sad osnovne karakteristike aritmetičkih nizova.


- Prvi član aritmetičkog niza označavamo sa 𝑎1, kao i za svaki drugi niz. Konkretno za ovaj

primer, 𝑎1 = 3.

2) Razlika (𝒅)

- Osnovna karakteristika koja je specifična za aritmetičke nizove jeste da je svaki sledeći

član niza veći ili manji za određenu vrednost od prethodnog, i ova vrednost je ista kroz celi

niz. Drugim rečima, ova vrednost predstavlja razliku između susednih članova niza, i

označavamo je sa 𝑑. Konkretno za ovaj primer, uzmimo drugi i prvi član niza:

𝑎1 = 3

𝑎2 = 5

Razlika između ova dva člana je 𝑑 = 5 − 3 = 2.


Za aritmetičke progresije imamo sledeću formulu za opšti član niza:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Na primer, peti član niza (𝑛 = 5) u primeru bio bi:

𝑎5 = 3 + (5 − 1) × 2

𝑎5 = 11

Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer peti član jeste 3+2+2+2+2=11.


Za aritmetičke progresije imamo sledeću formulu za zbir n-tih članova niza:

𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1 + 𝑎𝑛)

Na primer, zbir prvih pet članova niza (𝑛 = 5) u primeru bio bi (koristimo i formulu za

opšti član spomenutu iznad):



𝑆5 =5

2(3 + 11)

𝑆5 = 35

Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer zbir prvih pet članova jeste 3+5+7+9+11=35.

2. Geometrijski nizovi

Geometrijski niz je onaj gde je količnik između svaka dva susedna člana konstantan.

Drugim rečima, postoji konzistentno pravilo da svaki sledeći član niza jeste veći ili

manji od prethodnog člana niza određeni broj puta.

Primer geometrijskog niza jeste upravo primer 2 iz uvodnog odeljka:

5, 10, 20, 40, 80...

Razmotrimo sad osnovne karakteristike geometrijskih nizova.


- Prvi član geometrijskog niza označavamo sa 𝑎1, kao i za svaki drugi niz. Konkretno za

ovaj primer, 𝑎1 = 5.

2) Količnik (𝒒)

- Osnovna karakteristika koja je specifična za geometrijske nizove jeste da je svaki sledeći

član niza veći ili manji određeni broj puta od prethodnog, i ovo pravilo je konzistentno

kroz celi niz. Drugim rečima, ova vrednost predstavlja količnik između susednih članova niza, i

označavamo je sa 𝑞. Konkretno za ovaj primer, uzmimo drugi i prvi član niza:

𝑎1 = 5

𝑎2 = 10

Količnik ova dva člana je 𝑞 =10

5= 2. Svaki sledeći član niza je 2 puta veći od prethodnog.


Za geometrijske progresije imamo sledeću formulu za opšti član niza:

𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1

Na primer, peti član niza (𝑛 = 5) u primeru bio bi:

𝑎5 = 5 × 24

𝑎5 = 80

Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer peti član jeste 5 × 2 × 2 × 2 × 2 = 80.


Za geometrijske progresije imamo sledeću formulu za zbir n-tih članova niza:

𝑆𝑛 = 𝑎1 ×𝑞𝑛−1

𝑞−1

Na primer, zbir prvih pet članova niza (𝑛 = 5) u primeru bio bi:



𝑆5 = 5 ×25−1

2−1

𝑆5 = 155

Vidimo da formula funkcioniše, jer zbir prvih pet članova jeste 5+10+20+40+80=155.

Korisni linkovi

- rebrand.ly/nizovi1

- rebrand.ly/nizovi2


1. Izračunati 2017. član niza:

−3, −1, 1, 3, …


Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog

za 2, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz.

Formula za izračunavanje n-tog člana niza je:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑑.

Prvi član ovog niza jeste -3, odnosno imamo da je:

𝑎1 = −3

𝑛 jeste redni broj člana kojeg tražimo. Znači imamo da je:

𝑛 = 2017

𝑑 jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je:

𝑑 = 2

Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

𝑎2017 = −3 + (2017 − 1) ∙ 2

𝑎2017 = −3 + 2016 ∙ 2

𝑎2017 = −3 + 4032

𝑎2017 = 4029

https://www.mathos.unios.hr/matefos/Files/zadaci/zad3_r.pdf

http://www.matf.bg.ac.rs/p/files/1397051238-55-Prijemni_Zlatko.pdf



2. Izračunati zbir prvih 2017 članova niza:

−2, 0, 2, 4, …




Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je:

𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1 + 𝑎𝑛)

Formula za opšti član niza je:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Dakle, imamo:

𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)



𝑎1 = −2

𝑛 jeste broj članova. Znači imamo da je:

𝑛 = 2017


𝑑 = 2


𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)

𝑆2017 =2017

2(2 ∙ (−2) + (2017 − 1) ∙ 2)

𝑆2017 =2017

2(−4 + 2016 ∙ 2)

𝑆2017 =2017

2(−4 + 4032)

𝑆2017 =2017

2∙ 4028

𝑆2017 = 2017 ∙ 2014

𝑆2017 = 2017 ∙ 2014

𝑆2017 = 4 062 238


NAPOMENA: VELIKI BROJEVI

Na prijemnom nije potrebno da računate tačnu vrednost ovoliko velikih brojeva.



3. Izračunati opšti član niza:

−2, 4, −8, 16, −32, …


Primetimo da razlika između susednih članova ovoga niza nije identična. Stoga,

zaključujemo da se ne radi o aritmetičkom nizu, već o geometrijskom nizu.


𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1

Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1 i 𝑞. Podatak za n nam nije potreban, jer

jednostavno tražimo formulu za opšti član ovog konkretnog niza, a ne neki konkretni član na

određenom rednom mestu.


𝑎1 = −2

𝑞 jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog

prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo veći od prethodnog, a pritom

menja znak. To znači da:

𝑞 = −2


𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1

𝑎𝑛 = −2 × (−2)𝑛−1

Ovo čak možemo dalje i srediti, korišćenjem pravila za stepenovanje:

𝑎𝑛 = −2 × (−2)𝑛−1

𝑎𝑛 = (−2)1+𝑛−1

𝑎𝑛 = (−2)𝑛

4. Naći zbir prvih sedam članova aritmetičke progresije, čiji je prvi član jednak 1, a

međusobna razlika susednih članova je 5.


U zadatku nam je dato da je reč o aritmetičkoj progresiji.


𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1 + 𝑎𝑛)


𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑



Dakle, imamo:

𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)

𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)


Prvi član ovog niza jeste 1, odnosno imamo da je:

𝑎1 = 1


𝑛 = 7


𝑑 = 5


𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)

𝑆7 =7

2(2 ∙ 1 + (7 − 1) ∙ 5)

𝑆7 =7

2(2 + 6 ∙ 5)

𝑆7 =7

2(2 + 30)

𝑆7 =7

2∙ 32

𝑆7 = 7 ∙ 16

𝑆7 = 112

5. Za dati niz odrediti proizvod 19. i 21. člana:

−1

2,1

4, −

1

8,

1

16, −

1

32, …


Primetimo da razlika između susednih članova ovoga niza nije identična. Stoga,

zaključujemo da se ne radi o aritmetičkom nizu, već o geometrijskom nizu.

Šta se nama zapravo traži u zadatku? Proizvod 19. i 21. člana, što možemo zapisati na

sledeći način:

𝑎19 ∙ 𝑎21 = ?


𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1

Znači, potrebni su nam podaci za 𝑎1, 𝑞, i 𝑛.



Tražimo devetnaesti član niza. To znači da je:

𝑛 = 19

Prvi član ovog niza jeste -1/2, odnosno imamo da je:

𝑎1 = −1

2


prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo manji od prethodnog, a pritom


𝑞 = −1

2


𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1

𝑎19 = −1

2× (−

1

2)19−1

𝑎19 = −1

2× (−

1

2)18

𝑎19 = −1

2×

1

218

𝑎19 = −1

219

Zatim, tražimo dvadesetprvi član niza. To znači da je:

𝑛 = 21

Prvi član ovog niza jeste -1/2, odnosno imamo da je:

𝑎1 = −1

2


prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo manji od prethodnog, a pritom


𝑞 = −1

2


𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1

𝑎21 = −1

2× (−

1

2)21−1

𝑎21 = −1

2× (−

1

2)20

𝑎21 = −1

2×

1

220

𝑎21 = −1

221



Naš finalni rezultat jeste proizvod ovih članova. Dakle:

𝑎19 ∙ 𝑎21 =

= −1

219∙ (−

1

221)

= 1

219∙

1

221

= 1

240


2, 5, 8, 11, …





𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑



𝑎1 = 2


𝑛 = 2016


𝑑 = 3


𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

𝑎2016 = 2 + (2016 − 1) ∙ 3

𝑎2016 = 2 + 2015 ∙ 3

𝑎2016 = 2 + 6045

𝑎2016 = 6047


−4, 1, −1

4 ,

1

16…


Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste 4 puta manji od

prethodnog po apsolutnoj vrednosti, a takođe menja i znak. Time, zaključujemo da je ovo

geometrijski niz tj. geometrijska progresija.




𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1


Tražimo 100. član niza. To znači da je:

𝑛 = 100


𝑎1 = −4


prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste 4 puta manji od prethodnog, a pritom


𝑞 = −1

4


𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1

𝑎100 = −4 × (−1

4)100−1

𝑎100 = −4 × (−1

4)99

𝑎100 = −4 × (−1

499)

𝑎100 = 4 ×1

499

𝑎100 =1

498

NAPOMENA: PARNO I NEPARNO STEPENOVANJE NEGATIVNOG

BROJA

Veoma je bitno da ovo razlikujete:

1) Ukoliko negativni broj stepenujemo parnim koeficijentom, minus se gubi.

Primer iz 5. zadatka:

(−1

2)

20

=1

220

2) Ukoliko negativni broj stepenujemo neparnim koeficijentom, minus ostaje.

Primer iz 7. zadatka:

(−1

4)

99

= −1

499




−5, −2, 1, 4, …





𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑



𝑎1 = −5


𝑛 = 201


𝑑 = 3


𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

𝑎201 = −5 + (201 − 1) ∙ 3

𝑎201 = −5 + 200 ∙ 3

𝑎201 = −5 + 600

𝑎201 = 595


−5, −2,1, 4, …





𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1 + 𝑎𝑛)


𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Dakle, imamo:

𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)



𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)



𝑎1 = −5


𝑛 = 200


𝑑 = 3


𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)

𝑆200 =200

2(2 ∙ (−5) + (200 − 1) ∙ 3)

𝑆200 =200

2(−10 + 199 ∙ 3)

𝑆200 =200

2(−10 + 597)

𝑆200 =200

2∙ 587

𝑆200 = 100 ∙ 587

𝑆200 = 58 700


2, 1,1

2 ,

1

4…


Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste 2 puta manji od

prethodnog po apsolutnoj vrednosti, i da ne menja znak. Time, zaključujemo da je ovo

geometrijski niz tj. geometrijska progresija.


𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1


Tražimo 25. član niza. To znači da je:

𝑛 = 25


𝑎1 = 2




prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste 2 puta manji od prethodnog, a pritom

ne menja znak. To znači da:

𝑞 =1

2


𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1

𝑎25 = 2 × (1

2)25−1

𝑎25 = 2 × (1

2)24

𝑎25 = 2 ×1

224

𝑎25 =1

223


2, 1,1

2,1

4, …


Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član manji od prethodnog dva

puta, iz čega možemo zaključiti da je ovo geometrijski niz.


𝑆𝑛 = 𝑎1 ×𝑞𝑛−1

𝑞−1

Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑞.


𝑎1 = 2


𝑛 = 25

𝑞 jeste količnik između susednih članova geometrijskog niza. Svaki sledeći član dobijamo

tako što prethodni umanjimo za pola. Znači imamo da je:

𝑞 =1

2




𝑆𝑛 = 𝑎1 ×𝑞𝑛 − 1

𝑞 − 1

𝑆25 = 2 ×(

12)

25

− 1

12 − 1

𝑆25 = 2 ×

1225 − 1

12 − 1

𝑆25 = 2 ×

1225 − 1

12 − 1

𝑆25 = 2 ×

1225 − 1

−12

𝑆25 = −4 ×

1225 − 1

1

𝑆25 = −4 × (1

225− 1)

𝑆25 = −4

225+ 4

𝑆25 = −22

225+ 4

𝑆25 = −1

223+ 4

𝑆25 = −1 − 4 ∙ 223

223

𝑆25 = −1 − 225

223




SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 11: Analitička geometrija


Lekcija 11: Analitička geometrija

Pregled lekcije


➢ koeficijent pravca (nagib funkcije) – kako ga određujemo i šta predstavlja, kao i

kako preko njega izražavamo paralelne i normalne prave;

➢ odsečak funkcije na y-osi – kako ga određujemo i šta predstavlja;

➢ jednačina prave koja prolazi kroz tačke – kako je određujemo;

➢ tačke preseka funkcija – kako ih određujemo;

➢ kružnica – oblik funkcije, šta je centar a šta poluprečnik i kako ih određujemo.

➢ elipsa, hiperbola i parabola

Uvod

U ovoj lekciji bavimo se analitičkom geometrijom, odnosno raznim stvarima u vezi funkcija

u pogledu njihovog skiciranja, određivanja osobina itd. Postoje još neki delovi ove oblasti

koje nismo ovde obradili, a koji se dosta ređe javljaju na prijemnom (elipsa, hiperbola i

parabola). Naznačili smo vam linkove na kojima možete efikasno naučiti i ovaj deo gradiva.

1. Koeficijent pravca (nagib) funkcije i odsečak

Koeficijent pravca, tj. nagib funkcije govori nam, najjednostavnije rečeno, koliko se

vrednost Y promeni kada se vrednost X poveća za 1. Označavamo ga sa slovom 𝑘, i

možemo lako da ga dobijemo iz eksplicitnog oblika linearne funkcije.

Odsečak na y-osi govori nam kolika je vrednost funkcije kada je X = 0. Oznčaavamo ga

sa slovom 𝑛, i možemo lako da ga dobijemo iz eksplicitnog oblika linearne funkcije.

Dakle, eksplicitni oblik funkcije opšte možemo prikazati sledećim iskazom:

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛

BITNA NAPOMENA

Eksplicitni oblik funkcije smo objasnili u lekciji 3, odeljak 3. Obavezno ponovite.

Primer. Imamo funkciju 𝑦 = 3𝑥 − 2

Koeficijent pravca iznosi 𝑘 = 3, dok je odsečak na y-osi jednak 𝑛 = −2.



2. Paralelne i normalne prave

Na osnovu koeficijent pravca jedne prave (odnosno linearne funkcije), možemo odrediti i:

a) koliki je koeficijent pravca prave koja je njoj paralelna

b) koliki je koeficijent pravca prave koja je normalna na nju

Pravilo glasi:

1) Paralelne prave imaju isti koeficijent pravca.

𝑘1 = 𝑘2

2) Normalne prave imaju koeficijent pravca suprotnog znaka i recipročne vrednosti.

𝑘1 = −1

𝑘2

Pogledajmo ovo na primerima.

Primer 1.

Imamo funkciju 𝑦 = 3𝑥 − 2. Koliko iznosi koeficijent pravca paralelne prave na ovu

funkciju?

- Koeficijent pravca funkcije 𝑦 = 3𝑥 − 2 je 𝑘1 = 3. Paralelne prave imaju isti koeficijent

nagiba, tako da će i koeficijent pravca paralelne prave biti 𝑘2 = 3.

Primer 2.

Imamo funkciju 𝑦 = 3𝑥 − 2. Koliko iznosi koeficijent pravca normalne prave na ovu

funkciju?

- Koeficijent pravca funkcije 𝑦 = 3𝑥 − 2 je 𝑘1 = 3. Normalne prave imaju koeficijent

nagiba suprotnog znaka i recipročne vrednosti, tako da će koeficijent pravca normalne

prave biti 𝑘2 = −1

3.

3. Jednačina prave koja prolazi kroz tačke

VARIJANTA 1: JEDNAČINA KOJA PROLAZI KROZ DVE TAČKE

Ovo je jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Potrebno je da zapamtimo

formulu:

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

𝑥1 = x koordinata prve tačke

𝑦1 = y koordinata prve tačke

𝑥2 = x koordinata druge tačke

𝑦2 = y koordinata druge tačke



Primer.

Kako glasi jednačina prave koja prolazi kroz tačke A(2,3) i B(1,5)? Ono što je potrebno da

uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo o koordinatama ovih tačaka i

zamenimo ih u formulu.

𝑥1 = 2

𝑦1 = 3

𝑥2 = 1

𝑦2 = 5

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 =5−3

1−2(𝑥 − 2)

Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik:

𝑦 − 3 = −2(𝑥 − 2)

𝑦 − 3 = −2𝑥 + 4

𝑦 = −2𝑥 + 7

VARIJANTA 2: JEDNAČINA KOJA PROLAZI KROZ TAČKU I IMA DATI

KOEFICIJENT PRAVCA

Ovo je takođe jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Potrebno je da

zapamtimo formulu:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)



𝑘 = dati koeficijent pravca

Primer.

Kako glasi jednačina prave koja prolazi kroz tačke A(1,1) i ima koeficijent pravca 3? Ono

što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i


𝑥1 = 1

𝑦1 = 1

𝑘 = 3

𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 1 = 3(𝑥 − 1)


𝑦 − 1 = 3𝑥 − 3

𝑦 = 3𝑥 − 2



4. Tačke preseka funkcija

Ovo je takođe jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Koordinate tačke

(ili tačaka) preseka funkcija dobijamo kao rešenja sistema jednačina.

Primer.

Imamo sledeće linearne funkcije:

𝑥 + 3𝑦 = 25

2𝑥 − 5𝑦 = −27

Koje su koordinate tačke preseka ovih funkcija?

Ovo dobijamo rešavanjem datog sistema jednačina, putem metode zamene ili metodom

suprotnih koeficijenata. Dobićete rešenje:

𝑥 = 4

𝑦 = 7

odnosno, tačka preseka datih funkcija je P(4,7).

BITNA NAPOMENA

Više i mnogo detaljnije o odeljku 1-4, kao i brojne primere za vežbu, možete pronaći na

sledećem linku:

rebrand.ly/geom1

(video 75-87)

5. Kružnica

Određivanje centra i poluprečnika kružnice je jedan od najčešćih zadataka na kolokvijumu

iz oblasti analitičke geometrije. Postoji odličan niz videa koje je snimila Škola Rajak u vezi

ovoga, i najbolje ćete ih naučiti putem njih.

Link: rebrand.ly/geom22

(video 88 i video 89)

6. Elipsa, hiperbola i parabola

Ove oblasti se mnogo retko javljaju na prijemnom, tako da nećemo obraditi u ovoj skripti.

Međutim, pružamo vam korisne linkove na kojima možete preći i izvežbati ovo.

- Elipsa, hiperbola i parabola: rebrand.ly/geom3

- Elipsa video: rebrand.ly/elipsa

- Hiperbola video: rebrand.ly/hiperbola

- Parabola video: rebrand.ly/parabolaa

https://www.youtube.com/playlist?list=PLFcvPzGOoOADCnxqIj_UwhtL8KLY7OM9e

https://www.youtube.com/playlist?list=PLFcvPzGOoOADCnxqIj_UwhtL8KLY7OM9e

http://alas.matf.bg.ac.rs/~ml09185/strana3.html#3.4

https://youtu.be/JySfTIgWcFo

https://youtu.be/QPAIgB2izj4

https://youtu.be/7NCVtv7JYW4




1. Napiši jednačinu prave koja sadrži tačku A(-3,1) i paralelna je sa sledećom

pravom:

𝑞: 2𝑥 + 3𝑦 = 5


Konkretno, zadatak nam je da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz neku tačku i ima

koeficijent pravca isti kao i prava q (jer to znači da su ove prave paralelne).

Prebacimo jednačinu prave q u eksplicitni oblik kako bismo lakše utvrdili šta je koeficijent

pravca ove funkcije:

2𝑥 + 3𝑦 = 5

3𝑦 = 5 − 2𝑥

𝑦 =5

3−

2

3𝑥

𝑦 = −2

3𝑥 +

5

3

Odavde su očigledni podaci za koeficijent pravca i odsečak na y-osi ove funkcije:

𝑘 = −2

3

𝑛 =5

3

Naša tražena jednačina prave treba da bude paralelna sa ovom pravom, što znači da ima isti

koeficijent pravca. Znači, naš zadatak je da utvrdimo jednačinu prave koja prolazi kroz

tačku A(-3,1) i ima koeficijent pravca 𝑘 = −2

3. Za to primenjujemo sledeću formulu:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)




Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i


𝑥1 = −3

𝑦1 = 1

𝑘 = −2

3



𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 1 = −2

3∙ (𝑥 + 3)


𝑦 − 1 = −2

3𝑥 − 2

𝑦 = −2

3𝑥 − 1

2. Napiši jednačinu prave koja sadrži tačku A(1,3) i normalna je sa sledećom

pravom:

𝑞: 2𝑥 + 3𝑦 = 5


Konkretno, zadatak nam je da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz neku tačku i ima

koeficijent pravca recipročne vrednosti i suprotnog znaka u odnosu na pravu q (jer to

znači da su ove prave normalne).

Prebacimo jednačinu prave q u eksplicitni oblik kako bismo lakše utvrdili šta je koeficijent

pravca ove funkcije:

2𝑥 + 3𝑦 = 5

3𝑦 = 5 − 2𝑥

𝑦 =5

3−

2

3𝑥

𝑦 = −2

3𝑥 +

5

3

Odavde su očigledni podaci za koeficijent pravca i odsečak na y-osi ove funkcije:

𝑘 = −2

3

𝑛 =5

3

Naša tražena jednačina prave treba da bude normalna na ovu pravu, što znači da ima

koeficijent pravca recipročne vrednosti i suprotnog znaka. Znači, naš zadatak je da

utvrdimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1,3) i ima koeficijent pravca 𝑘 =3

2. Za

to primenjujemo sledeću formulu:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)






Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i


𝑥1 = 1

𝑦1 = 3

𝑘 =3

2

𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 =3

2∙ (𝑥 − 1)


𝑦 − 3 =3

2𝑥 −

3

2

𝑦 =3

2𝑥 +

3

2

3. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice:

𝑥2 + 𝑦2 = −14y + 15


U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu

kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

𝑟 = poluprečnik kružnice

𝑎 = x-koordinata tačke centra kružnice

𝑏 = y-koordinata tačke centra kružnice

Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog

člana na levu stranu:

𝑥2 + 𝑦2 = −14y + 15

𝑥2 + 𝑦2 + 14y = 15

(𝑥 − 0)2 + 𝑦2 + 14y = 15

Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš

izraz do „punog kvadrata“, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike.

Znači, imamo 𝑦2 + 14y. Ako bismo ovde dodali +49, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko

ovo učinimo, moramo i da dodamo −49, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:

(𝑥 − 0)2 + 𝑦2 + 14y + 49 − 49 = 15

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 7)2 − 49 = 15

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 7)2 = 15 + 49

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 7)2 = 64

Odnosno:

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 7)2 = 64

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − (−7))2 = 64



Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna:

𝑟 = 8

𝑎 = 0

𝑏 = −7

Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 8, a centar je u tački 𝐶(0, −7).



𝑥2 + 𝑦2 = −4𝑥

a potom odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz centar ove kružnice i tačku A(1,3).




(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2






𝑥2 + 𝑦2 = −4𝑥

𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦2 = 0

𝑥2 + 4𝑥 + (𝑦 − 0)2 = 0

Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod x. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš


Znači, imamo 𝑥2 + 4𝑥. Ako bismo ovde dodali +4, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo

učinimo, moramo i da dodamo −4, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:

𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4 + (𝑦 − 0)2 = 0

(𝑥 + 2)2 − 4 + (𝑦 − 0)2 = 0

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 0)2 = 4

NAPOMENA: KANONSKI OBLIK FUNKCIJE

Kada u ovakvim zadacima sa kružnicom dopunjavamo izraz do „punog kvadrata“,

kako bismo imali elemente za kvadrat zbira ili razlike, mi zapravo deo funkcije

prebacujemo u tzv. kanonski oblik.

Primeri:

1) Eksplicitni oblik funkcije: 𝑦 = 𝑥2 + 14𝑥

2) Implicitni oblik fukcije: 𝑦 − 𝑥2 − 14𝑥 = 0

3) Kanonski oblik fukcije: 𝑦 = 𝑥2 + 14𝑥 + 49 − 49, tj. 𝑦 = (𝑥 + 7)2 − 49



Odnosno:

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 0)2 = 4

(𝑥 − (−2))2 + (𝑦 − 0)2 = 4


𝑟 = 2

𝑎 = −2

𝑏 = 0

Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 2, a centar je u tački 𝐶(−2,0).

Sada, treba da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz ovaj centar 𝐶(−2,0) i tačku

𝐴(1,3).

Potrebno je da primenimo formulu:

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)



𝑥2 = x koordinata druge tačke

𝑦2 = y koordinata druge tačke

Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo o

koordinatama ovih tačaka i zamenimo ih u formulu.

𝑥1 = −2

𝑦1 = 0

𝑥2 = 1

𝑦2 = 3

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 0 =3−0

1−(−2)(𝑥 − (−2))


𝑦 =3

1+2(𝑥 + 2)

𝑦 =3

3(𝑥 + 2)

𝑦 = 𝑥 + 2

5. Odrediti tačke preseka sledećih funkcija:

𝑦 = 2 − 𝑥

𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10


Znamo da koordinate tačke (ili tačaka) preseka funkcija dobijamo kao rešenja sistema

jednačina. Potrebno je da rešimo sledeći sistem jednačina.



𝑦 = 2 − 𝑥

𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10

Upotrebimo metod zamene, zamenivši prvu jednačinu u drugu:

𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10

2 − 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10

2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10

0 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8

𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0

Poznatim postupcima iz prethodnih lekcija, rešimo ovu kvadratnu jednačinu:

𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 8

2 ∙ 1

𝑥1,2 =6 ± √4

2

𝑥1,2 =6 ± 2

2

𝒙𝟏 = 𝟒

𝒙𝟐 = 𝟐

Time smo dobila dva rešenja za x koordinatu naše tačke preseka – znači imamo dve tačke

preseka.

Prva tačka preseka

Ako uzmemo da je 𝑥 = 4, računamo sledećim postupkom vrednost koordinate 𝑦:

𝑦 = 2 − 𝑥

𝑦 = 2 − 4

𝑦 = −2

Dakle, prva tačka preseka jeste tačka:

𝐴1(4, −2)

Druga tačka preseka

Ako uzmemo da je 𝑥 = 2, računamo sledećim postupkom vrednost koordinate 𝑦:

𝑦 = 2 − 𝑥

𝑦 = 2 − 2

𝑦 = 0

Dakle, druga tačka preseka jeste tačka:

𝐴2(2, 0)




𝑥2 + 𝑦2 = 24 + 2𝑥



(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2






𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 = 24

𝑥2 − 2𝑥 + (𝑦 − 0)2 = 24

Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod x. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš


Znači, imamo 𝑥2 − 2𝑥. Ako bismo ovde dodali +1, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo


𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1 + (𝑦 − 0)2 = 24

(𝑥 − 1)2 − 1 + (𝑦 − 0)2 = 24

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 0)2 = 25


𝑟 = 5

𝑎 = 1

𝑏 = 0

Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 5, a centar je u tački 𝐶(1 ,0).


𝑥2 + 𝑦2 = 8𝑦 − 12




(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2








𝑥2 + 𝑦2 = 8𝑦 − 12

𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑦 = −12

(𝑥 − 0)2 + 𝑦2 − 8𝑦 = −12

Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš


Znači, imamo 𝑦2 − 8𝑦. Ako bismo ovde dodali +16, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko

ovo učinimo, moramo i da dodamo −16, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:

(𝑥 − 0)2 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 16 = −12

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2 − 16 = −12

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2 = −12 + 16

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2 = 4


𝑟 = 2

𝑎 = 0

𝑏 = 4

Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 2, a centar je u tački 𝐶(0, 4).


𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0




(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2




Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo treba da imamo na levoj strani sve

nepoznate, a na desnoj strani da imamo samo slobodan član:

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 = −4

𝑥2 − 4𝑥 + 𝑦2 + 2𝑦 = −4

Nemamo zagradu koja nam je potrebna i kod x i kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo

dopuniti naš izraz do „punog kvadrata“, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat

zbira ili razlike.



Za nepoznatu x:

Imamo 𝑥2 − 4𝑥. Ako bismo ovde dodali +4, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo


𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4 + 𝑦2 + 2𝑦 = −4

(𝑥 − 2)2 − 4 + 𝑦2 + 2𝑦 = −4

(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + 2𝑦 = −4 + 4

(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + 2𝑦 = 0

Za nepoznatu y:

Imamo 𝑦2 + 2𝑦. Ako bismo ovde dodali +1, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo


(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 1 = 0

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 − 1 = 0

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 0 + 1

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 1


𝑟 = 1

𝑎 = 2

𝑏 = −1

Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 1, a centar je u tački 𝐶(2, −1).




SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 12: Procentni račun


Lekcija 12: Proporcionanost i procentni

račun

Pregled lekcije


➢ direktna i obrnuta proporcionalnost – šta predstavlja i kako se rešavaju zadaci;

➢ proporcionalnost sa koeficijentom 𝒌 – kako se rešavaju ovakvi zadaci;

➢ procentni račun – šta predstavlja procenat i kako rešavamo zadatke.

Uvod

Ovo je jedna vrlo kratka i jednostavna lekcija. Uglavnom ponavljamo sve što ste zasigurno

već radili u srednjoj školi – direktnu i obrnutu proporcionalnost, kao i procente.

Zadržaćemo se na vrlo jednostavnim zadacima, jer takvi dolaze i na prijemnom ispitu. Ona

što će za vas možda biti novo jeste proporcionalnost sa koeficijentom k, mada je dosta vas i

ovo verovatno obradilo u srednjoj školi.

1. Direktna i obrnuta proporcionalnost

Proporcionalnost iskazuje između dve veličine, i ukazuje nam na to da je ta veza

proporcionalna – drugim rečima, kada promenimo jednu veličinu za određeni iznos, za

proporcionalno isti iznos će se promeniti druga veličina. Na primer, uzmimo da su

promenljive sati učenja i ocena na ispitu. Ukoliko učite više sati, biće vam proporcionalno veća

i ocena na ispitu.

Postoje dve osnovne vrste proporcionalnosti:

1) direktna – kad se jedna promenljiva poveća, druga promenljiva se povećava (oznaka: )

2) obrnuta – kad se jedna promenljiva poveća, druga promenljiva se smanjuje (oznaka: )

Primeri.

Kada učite više sati, veća će vam biti ocena na ispitu – direktna proporcionalnost

Kada učite više sati, manje ćete gledati televizor – obrnuta proporcionalnost

Pokažimo sad opšti postupak rešavanja zadataka iz direktne i obrnute proporcionalnosti.

Primer 1.

Marko za tačno 500 dinara može da kupi 2 kg jabuka. Koliko jabuka može da kupi za 800

dinara?

Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. X je ono što tražimo.



kg jabuka količina novca

2 500

x 800

Zatim određujemo vezu između ove dve promenljive – kg jabuka i količina novca. Da li je

u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Logično je da što više novca imamo, to

ćemo moći više kilograma jabuka da kupimo – stoga, u pitanju je direktna

proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.

kg jabuka količina novca

2 500

x 800

Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:

𝑥 ∶ 2 = 800 ∶ 500

Proporciju rešavamo tako što množimo međusobno spoljašnje članove i međusobno

unutrašnje članove. Mala slika kao pomoć:

𝑥 ∶ 2 = 800 ∶ 500

Dakle:

500𝑥 = 2 × 800

500𝑥 = 1600

𝒙 = 𝟑. 𝟐 𝒌𝒈

Interpretacija: Marko za 800 dinara može da kupi 3.2 kg jabuka.

Primer 2.

Pet radnika će izraditi proizvod za 3 sata. Koliko radnika je potrebno da se proizvod izradi

za 1 sat?

Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. X je ono što tražimo.

broj radnika potrebno vreme u satima

5 3

x 1

Zatim određujemo vezu između ove dve promenljive – broja radnika i potrebnog vremena

za izradu proizvoda. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Logično je da

što je više radnika tu i radi na izradi proizvoda, to će biti potrebno manje vremena da se

proizvod izradi – stoga, u pitanju je obrnuta proporcionalnost, i crtamo strelice u

suprotnom smeru.



broj radnika potrebno vreme u satima

5 3

x 1


𝑥 ∶ 5 = 3 ∶ 1

Proporciju rešavamo tako što množimo međusobno spoljašnje članove i međusobno

unutrašnje članove. Mala slika kao pomoć:

𝑥 ∶ 5 = 3 ∶ 1

Dakle:

1𝑥 = 5 × 3

𝒙 = 𝟏𝟓 radnika

Interpretacija: 15 radnika je potrebno da radi kako bi se proizvod izradio za 1 sat.

2. Proporcionalnost sa koeficijentom 𝒌

U suštini, ovde ćemo vam samo pokazati kako se rešavaju ovakvi zadaci. Znaćete da ih

prepoznate jer će biti zadato da su delovi nečega u određenom odnosu, i najčešće biće

data vrednost celine. Sad ćemo odmah ovo da vidimo na primeru.

Primer.

Broj 2420 podeljen je na četiri broja koji stoje u odnosu 1:2:3:5, koji je tada najveći broj od

tih četiri?

Ovde je celina broj 2420. Celina je podeljena na četiri dela. Delovi su u odnosu 1:2:3:5.

Koristićemo koeficijent k kako bismo odredili koliko iznose ovi delovi.

1𝑘

2𝑘

3𝑘

5𝑘

11𝑘 = 2420 𝒌 = 𝟐𝟐𝟎

Ovim smo odredili koeficijent k. Sada samo zamenimo vrednost k da bismo dobili iznos

svakog dela:

1𝑘 = 1 × 220 = 𝟐𝟐𝟎

2𝑘 = 2 × 220 = 𝟒𝟒𝟎

3𝑘 = 3 × 220 = 𝟔𝟔𝟎

5𝑘 = 5 × 220 = 𝟏𝟏𝟎𝟎

U zadatku se tražio najveći broj. To je 1100, tako da je to naše konačno rešenje.



3. Procentni račun

Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Oznaka za procenat

je %. Na primer, 50% od 400 iznosi 200. Pogledajmo kako rešavamo zadatke koji

kombinuju proporcije i procentni račun, a koji su nam bitni za kolokvijum.

Primer.

Posle smanjenja od 10%, cena neke robe je 5400. Koliko je iznosila cena pre smanjenja

cene?

Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički

razmišljate. X je ono što tražimo.

cena robe %

5400 90

x 100

Malo objašnjenje: Cena posle sniženja je 5400. Znači od pune cene od 100%, oduzeto je

10% popusta, tako da 5400 dinara predstavlja 90% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno

100% cene.

Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna

ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna


cena robe %

5400 90

x 100


𝑥 ∶ 5400 = 100 ∶ 90

90𝑥 = 5400 × 100

90𝑥 = 540000

𝒙 = 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏

Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre sniženja robe, iznosi 6000 dinara.

Korisni linkovi

- Proporcionalnost (video 14, 15, 16): rebrand.ly/proporcionalnost

- Procentni račun: rebrand.ly/procenti

https://www.youtube.com/playlist?list=PL7BA284215603BE32

https://www.youtube.com/watch?v=uQjMfpLTNgg




1. Ako je broj 1210 podeljen na četiri broja koji stoje u odnosu 1 : 2 : 3 : 5, koji je tada

najveći od ovih brojeva?


Ovde je celina broj 1210. Celina je podeljena na četiri dela. Delovi su u odnosu 1:2:3:5.


1𝑘

2𝑘

3𝑘

5𝑘

11𝑘 = 1210 𝒌 = 𝟏𝟏𝟎


svakog dela:

1𝑘 = 1 × 110 = 𝟏𝟏𝟎

2𝑘 = 2 × 110 = 𝟐𝟐𝟎

3𝑘 = 3 × 110 = 𝟑𝟑𝟎

5𝑘 = 5 × 110 = 𝟓𝟓𝟎


2. Posle povećanja od 10% cena neke robe je 5500 dinara. Koliko je iznosila cena pre

povećanja cene?




cena robe %

5500 110

x 100

Malo objašnjenje: Cena posle povećanja je 5500. Znači od pune cene od 100%, dodato je

10% poskupljenja, tako da 5500 dinara predstavlja 110% cene. Tražimo prvobitnu cenu,

odnosno 100% cene.






cena robe %

5500 110

x 100


𝑥 ∶ 5500 = 100 ∶ 110

110𝑥 = 5500 × 100

110𝑥 = 550 000

𝒙 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏

Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre poskupljenja robe, iznosi 5000 dinara.

3. Odrediti 15% od broja 0,5.


Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Dakle, ovo možemo

zapisati i ovako:

15% ∙ 0,5 =

=15

100∙ 0,5

Daljim postupkom, koji nam je već poznat iz prve lekcije Brojevni izrazi, rešavamo zadatak:

=15

100∙

1

2

=3

20∙

1

2

=3

40

4. U obliku decimalnog broja zapisati 15% od broja 𝟐

𝟕𝟓.



zapisati i ovako:

15% ∙2

75=

15

100 ∙

2

75


=3

20∙

2

75

=1

20∙

2

25



=1

10∙

1

25

=1

250

= 1 ∶ 250

= 0,004

5. Ako je na račun uloženo 10.000 dinara i ako je godišnja kamatna stopa 4%,

izračunati koliko će novca biti na računu posle 7 godina (napomena: kamata se

računa na kamatu, na kraju svake godine).


Ovo je malo specifičan tip zadatka, ali je samo potrebno da malo razmislite. Ako imamo na

računu 10.000 dinara, ova suma se svake godine uvećava za kamatnu stopu od 4%. Ono

što je ključno – kamata se ne obračunava svake godine na 10.000 dinara, već na ukupni

iznos iz prethodne godine. Evo primera za prvu, drugu i treću godinu, da biste videli na šta

konkretno mislimo:

𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑎𝑗𝑢 𝑝𝑟𝑣𝑒 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑛𝑒 ∶ 10.000 + 10.000 ∙ 4% = 10.400

𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑎𝑗𝑢 𝑑𝑟𝑢𝑔𝑒 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑛𝑒 ∶ 10.400 + 𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟎 ∙ 4% = 10.816

𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑎𝑗𝑢 𝑡𝑟𝑒ć𝑒 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑛𝑒 ∶ 10.816 + 𝟏𝟎. 𝟖𝟏𝟔 ∙ 4% = 11.248,64

itd.

Drugim rečima, uvek prethodni iznos uvećavamo za 4%. Trećim rečima, na kraju svake

godine imamo 104% od iznosa od iznosa u prošloj godini. Ovo možemo zapisati kao:

𝑝𝑟𝑒𝑡ℎ𝑜𝑑𝑛𝑖 𝑖𝑧𝑛𝑜𝑠 ∙ 1,04

Znači, kada nešto pomnožimo sa 1,04 – zapravo ga uvećavamo za 4% (drugačije zapisano

kao: 4/100 ili 0,04).

U našem zadatku, treba uvek prethodni iznos da uvećavamo za 4%, 7 puta, na kraju

svake godine. Počinjemo svakako sa početnom sumom od 10.000 dinara. To zapisujemo

ovako:

10.000 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04

Naravno, ovo možemo zapisati u skraćenom obliku:

10.000 ∙ 1,047

Iznos koji ćemo imati u banci na kraju 7 godine jeste upravo ovaj iznos, te je ovo konačno

rešenje zadatka.



6. Posle poskupljenja od 20% cena neke robe je 9600 dinara. Koliko je iznosila cena

pre poskupljenja?




cena robe %

9600 120

x 100



odnosno 100% cene.




cena robe %

9600 120

x 100


𝑥 ∶ 9600 = 100 ∶ 120

120𝑥 = 9600 × 100

120𝑥 = 960 000

𝒙 = 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏


7. Ako je broj 7500 podeljen na pet brojeva koji stoje u odnosu 5 : 4 : 3 : 2 : 1, koji je

tada najveći od ovih brojeva?


Ovde je celina broj 7500. Celina je podeljena na pet delova. Delovi su u odnosu 5:4:3:2:1.


5𝑘

4𝑘

3𝑘

2𝑘

1𝑘

15𝑘 = 7500 𝒌 = 𝟓𝟎𝟎




svakog dela:

5𝑘 = 5 × 500 = 𝟐𝟓𝟎𝟎

4𝑘 = 4 × 500 = 𝟐𝟎𝟎𝟎

3𝑘 = 3 × 500 = 𝟏𝟓𝟎𝟎

2𝑘 = 2 × 500 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

1𝑘 = 1 × 500 = 𝟓𝟎𝟎


8. Posle poskupljenja od 25% cena neke robe je 625 dinara. Koliko je iznosila cena

pre poskupljenja?




cena robe %

625 125

x 100



odnosno 100% cene.




cena robe %

625 125

x 100


𝑥 ∶ 625 = 100 ∶ 125

125𝑥 = 625 × 100

125𝑥 = 62 500

𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏


9. Posle sniženja od 10% cena neke robe je 1080 dinara. Koliko je iznosila cena pre

sniženja?






cena robe %

1080 90

x 100

Malo objašnjenje: Cena posle sniženja je 1080. Znači od pune cene od 100%, oduzeto je

10% popusta, tako da 1080 dinara predstavlja 90% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno

100% cene.




cena robe %

1080 90

x 100


𝑥 ∶ 1080 = 100 ∶ 90

90𝑥 = 1080 × 100

90𝑥 = 108 000

𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏

Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre sniženja robe, iznosi 1200 dinara.

10. Ako je cena proizvoda sa 72 dinara snižena za 25%, koliko cena iznosi sada?




cena robe %

72 100

x 75

Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 72 dinara, odnosno početnih 100%. Od ove cene,

oduzeto je 25% popusta. Tražimo novu cenu, odnosno 75% prvobitne cene.






cena robe %

72 100

x 75


𝑥 ∶ 72 = 75 ∶ 100

100𝑥 = 72 × 75

100𝑥 = 5400

𝒙 = 𝟓𝟒 𝒅𝒊𝒏

Interpretacija: Nova cena robe, posle sniženja, iznosi 54 dinara.

11. Ako je cena proizvoda sa 200 dinara snižena za 35%, koliko cena iznosi sada?




cena robe %

200 100

x 65

Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 200 dinara, odnosno početnih 100%. Od ove cene,

oduzeto je 35% popusta. Tražimo novu cenu, odnosno 65% prvobitne cene.




cena robe %

200 100

x 65


𝑥 ∶ 200 = 65 ∶ 100

100𝑥 = 200 × 65

100𝑥 = 13 000

𝒙 = 𝟏𝟑𝟎 𝒅𝒊𝒏

Interpretacija: Nova cena robe, posle sniženja, iznosi 130 dinara.

12. Ako je cena proizvoda sa 60 dinara uvećana na 135 dinara, za koliko se to

procenata promenila?






cena robe %

60 100

135 x

Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 60 dinara, odnosno početnih 100%. Ova cena je

poskupila na 135 dinara. Nepoznata x nam ovde predstavlja kolika je nova cena procenat

od prvobitne cene.




cena robe %

60 100

135 x


𝑥 ∶ 100 = 135 ∶ 60

60𝑥 = 100 × 135

60𝑥 = 13 500

𝒙 = 𝟐𝟐𝟓 %

Interpretacija: Ova veličina predstavlja kolika je nova cena procenat od prvobitne cene, a

ne promenu! Nova cena robe je 225% od prvobitne cene, a to znači povećanje cene od

125%, što je naše konačno rešenje.

13. Odrediti broj čiji 18% iznosi 0,324.




naš broj %

0,324 18

x 100

Malo objašnjenje: 18% našeg traženog broja iznosi 0,324. Zadatak nam je da utvrdimo

koliko iznosi ovaj broj, odnosno 100% tog broja.



Određujemo vezu između ove dve promenljive – broja i %. Da li je u pitanju direktna ili

obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna


naš broj %

0,324 18

x 100


𝑥 ∶ 0,324 = 100 ∶ 18

18𝑥 = 0,324 × 100

18𝑥 = 32,4

𝒙 = 𝟏, 𝟖

Interpretacija: Naš traženi broj jeste broj 1,8.

14. Odrediti broj čiji 14% iznosi 1,96.




naš broj %

1,96 14

x 100

Malo objašnjenje: 14% našeg traženog broja iznosi 1,96. Zadatak nam je da utvrdimo

koliko iznosi ovaj broj, odnosno 100% tog broja.

Određujemo vezu između ove dve promenljive – broja i %. Da li je u pitanju direktna ili

obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna


naš broj %

1,96 14

x 100


𝑥 ∶ 1,96 = 100 ∶ 14

14𝑥 = 1,96 × 100

14𝑥 = 196

𝒙 = 𝟏𝟒

Interpretacija: Naš traženi broj jeste broj 14.



15. Odrediti C, ukoliko je poznato da je 𝑩 = 𝟑𝟔 i da:

𝐴 ∶ 𝐵 ∶ 𝐶 = 2 ∶ 1

3∶

13

4


Ovde imamo neku nepoznatu celinu. Celina je podeljena na tri dela – A, B, C. Delovi su u

odnosu 2 ∶ 1

3∶

13

4. Koristićemo koeficijent k kako bismo rešili zadatak. Naši delovi jesu:

𝐴 = 2𝑘

𝐵 =1

3𝑘

𝐶 =13

4𝑘

Dat nam je podatak u zadatku da je 𝐵 = 36, te odatle možemo da odredimo koliko iznosi

koeficijent k.

𝐵 =1

3𝑘

36 =1

3𝑘

𝑘 = 108

U zadatku nam se traži da odredimo koliko iznosi deo C. Zamenivši vrednost k, to

možemo direktno izračunati:

𝐶 =13

4𝑘

𝐶 =13

4∙ 108

𝐶 = 13 ∙ 27

𝐶 = 351

16. U obliku decimalnog broja zapisati 15% od broja 𝟏

𝟑.



zapisati i ovako:

15% ∙1

3=

15

100 ∙

1

3


=15

100 ∙

1

3

=3

20 ∙

1

3

=1

20



SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije


Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije

Pregled lekcije


➢ potreban i dovoljan uslov – šta predstavljaju i kako u principu rešavamo zadatke

takvog tipa.

Uvod

Verovatno najkraća lekcija koju ćete raditi za prijemni ispit jeste ova, a i svesni smo da ste

verovatno umorni od brojnih lekcija koje smo već prešli. I dalje, ovo je veoma bitna lekcija,

jer se zadaci ovakvog tipa vrlo često javljaju na prijemnom. Potrebno je da naučite šta je

dovoljan i šta je potreban uslov (što mnogi nisu prešli u srednjoj školi) i kako rešavamo

relativno jednostavne zadatke iz ove oblasti. Potrebno je i da uvek malo razmislite logički,

tako da budite koncentrisani dok radite ovu oblast!

Dovoljan i potreban uslov

1. Kažemo da je USLOV 1 dovoljan uslov za USLOV 2 ukoliko važi sledeće:

𝑼𝑺𝑳𝑶𝑽 𝟏 ⇒ 𝑼𝑺𝑳𝑶𝑽 𝟐 𝒋𝒆 𝒕𝒂č𝒂𝒏 𝒊𝒔𝒌𝒂𝒛

Jednostavnije rečeno: Da li uslov 2 mora uvek da važi ukoliko važi uslov 1?

Na primer, ukoliko je uslov 1: x > 2, a uslov 2: x ≠ 1, imamo da:

𝑥 > 2 ⇒ 𝑥 ≠ 1

Ovo jeste tačan iskaz. Ukoliko razmislimo malo o tome: ako je x veće od 2, svakako sledi

da x mora biti različito od 1 (jer je to manje od 2). Time, zaključujemo da 𝑥 > 2 jeste

dovoljan uslov za 𝑥 ≠ 1.

2. Kažemo da je USLOV 1 potreban uslov za USLOV 2 ukoliko važi sledeće:

𝑼𝑺𝑳𝑶𝑽 𝟐 ⇒ 𝑼𝑺𝑳𝑶𝑽 𝟏 𝒋𝒆 𝒕𝒂č𝒂𝒏 𝒊𝒔𝒌𝒂𝒛

Jednostavnije rečeno: Da li uslov 1 mora uvek da važi ukoliko važi uslov 2?

Na primer, ukoliko je uslov 1: x > 2, a uslov 2: x ≠ 1, imamo da:

𝑥 ≠ 1 ⇒ 𝑥 > 2

Ovo nije tačan iskaz. Ukoliko razmislimo malo o tome: ako je x različito od 1, da li to

znači da x mora biti veće od 2? Naravno da ne. Time, zaključujemo da 𝑥 > 2 nije

potreban uslov za 𝑥 ≠ 1.



Primer zadatka.

Ako su 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 onda je uslov 𝑥 = 2𝑦 za uslov 𝑥2 = 4𝑦2 :

a) samo dovoljan b) samo potreban

c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan

Postupak:

1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 = 2𝑦 dovoljan uslov za 𝑥2 = 4𝑦2. Ovo činimo tako što

proveravamo da li važi 𝑥 = 2𝑦 ⇒ 𝑥2 = 4𝑦2. Treba da odgovorimo na pitanje da li važi

drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti tako što ćemo zameniti

prvi uslov u drugi:

𝑥2 = 4𝑦2

(2𝑦)2 = 4𝑦2

4𝑦2 = 4𝑦2

Dobijamo tačan iskaz, tako da 𝑥 = 2𝑦 jeste dovoljan uslov za 𝑥2 = 4𝑦2.

2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 = 2𝑦 potreban uslov za 𝑥2 = 4𝑦2. Ovo činimo

tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥2 = 4𝑦2 ⇒ 𝑥 = 2𝑦. Treba da odgovorimo na pitanje da

li važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti tako što ćemo

korenovati drugi uslov:

𝑥2 = 4𝑦2 /√

±𝑥 = ±2𝑦

S obzirom da je dato da 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁, zanemarićemo negativne brojeve i dobijamo izraz:

𝑥 = 2𝑦

Ovo je upravo naš prvi uslov, tako da 𝑥 = 2𝑦 jeste i potreban uslov za 𝑥2 = 4𝑦2.

BITNA NAPOMENA

Kod ovakvih zadataka, bitno je da:

1) sredite uslove koliko god to možete

2) dobro znate šta predstavlja dovoljan a šta potreban uslov

3) obratite pažnju u kojem skupu su definisane promenljive x, y (ili druge). Rešenje se

najčešće razlikuje ukoliko je tu skup prirodnih brojeva (𝑥 ∈ 𝑁), celih brojeva (𝑥 ∈ 𝑍) ili

drugi.

SAVET

Iz ove oblasti je najbitnije da razmišljate logički i da pređete što više zadataka, jer iako se

svaki rešava po istom principu, svaki donosi i nešto novo u načinu razmišljanja. Stoga,

obavezno pređite sve rešene primere koji slede, kao i primere iz online kurseva.




1. Ako su 𝒙, 𝒚 ∈ 𝒁 onda je uslov 𝒙 < 𝒚 + 𝟏 za uslov 𝒙 < 𝒚 :




1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 < 𝑦 + 1 dovoljan uslov za 𝑥 < 𝑦 . Ovo činimo tako što

proveravamo da li uvek važi 𝑥 < 𝑦 + 1 ⇒ 𝑥 < 𝑦 . Treba da odgovorimo na pitanje da li

uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?

x i y su neki celi brojevi (mogu biti negativni i pozitivni, ali ne mogu biti razlomci, nerešivi

koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi 𝑥 < 𝑦 + 1 ⇒ 𝑥 < 𝑦. Dovoljno je da

nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne važi, da bismo zaključili da nije

dovoljan uslov.

Uzmimo na primer, x = 3 i y = 3. Ukoliko to zamenimo u naše iskaze:

𝑥 < 𝑦 + 1 ⇒ 𝑥 < 𝑦

3 < 3 + 1 ⇒ 3 < 3

3 < 4 ⇒ 3 < 3

Prvi uslov je tačan, a drugi nije tačan, jer tri nije manje od tri. Stoga, zaključujemo da 𝑥 <

𝑦 + 1 nije dovoljan uslov za 𝑥 < 𝑦.

2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 < 𝑦 + 1 potreban uslov za 𝑥 < 𝑦. Ovo činimo

tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 < 𝑦 + 1. Treba da odgovorimo na pitanje da

li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?


koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 < 𝑦 + 1. Dovoljno je da


potreban uslov.


𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 < 𝑦 + 1

3 < 4 ⇒ 3 < 4 + 1

3 < 4 ⇒ 3 < 5

Dobili smo tačan iskaz. Ukoliko malo razmislimo, naš iskaz 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 < 𝑦 + 1 nam

govori:

„ Ako je neki broj manji od nekog drugog broja, taj broj će svakako biti manji od tog

drugog broja uvećanog za 1.“



Ako pažljivo pročitate ovu rečenicu, shvatićete da je uvek tačna. Stoga, zaključujemo da

𝑥 < 𝑦 + 1 jeste potreban uslov za 𝑥 < 𝑦.

Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban.

2. Ako su 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹 onda je uslov 𝒙𝒚 > 𝟏 za uslov 𝒙 > 𝟎 :




1) Prvo, proverimo da li je 𝑥𝑦 > 1 dovoljan uslov za 𝑥 > 0 . Ovo činimo tako što

proveravamo da li uvek važi 𝑥𝑦 > 1 ⇒ 𝑥 > 0 . Treba da odgovorimo na pitanje da li

uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?

x i y su neki realni brojevi (mogu biti pozitivni i negativni, mogu biti i razlomci pa i

nerešivi koreni – ne mogu biti samo kompleksni brojevi). Sada proveravamo da li uvek važi

𝑥𝑦 > 1 ⇒ 𝑥 > 0. Dovoljno je da nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne

važi, da bismo zaključili da nije dovoljan uslov.

Sredimo prvo malo prvi uslov, da bi nam bilo lakše da uočimo pravilnost.

𝑥𝑦 > 1

𝑦 >1

𝑥

Naše pitanje je sada – ukoliko važi ovaj uslov, da li će x uvek biti pozitivno?

Uzmemo primer nekog x koje nije pozitivno. Na primer: x = -3, a neka y = 3. Ukoliko to

zamenimo u naše iskaze:

3 > −1

3

Iskaz je tačan, a za x nismo uzeli da je pozitivan broj.

Stoga, zaključujemo da 𝑥𝑦 > 1 nije dovoljan uslov za 𝑥 > 0.

2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥𝑦 > 1 potreban uslov za 𝑥 > 0. Ovo činimo

tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥𝑦 > 1. Treba da odgovorimo na pitanje da li

uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?


koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥𝑦 > 1. Dovoljno je da


potreban uslov.



Koristimo opet sređeni vid našeg uslova:

𝑥𝑦 > 1

𝑦 >1

𝑥

Iskaz 𝑥 > 0 ⇒ 𝑦 >1

𝑥 nam praktično govori:

„ Ukoliko je X pozitivan broj, da li Y mora biti veće od njegove recipročne vrednosti?“


𝑦 >1

𝑥

4 >1

3

Dobili smo tačan iskaz. Međutim, budimo oprezni. Možemo uzeti bilo koju vrednost Y iz

skupa realnih brojeva. Umesto ovoga, uzmimo na primer x = 3 i y = -4.

𝑦 >1

𝑥

−4 >1

3

Dobili smo netačan iskaz. Stoga, zaključujemo da 𝑥𝑦 > 1 nije potreban uslov za 𝑥 > 0.

Dakle, konačni odgovor je d) ni potreban ni dovoljan.

3. Uslov 𝒙 = 𝟑 je za uslov 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 :




1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 = 3 dovoljan uslov za 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0. Ovo činimo tako

što proveravamo da li važi 𝑥 = 3 ⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0. Treba da odgovorimo na pitanje

da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?

Ovo ćemo proveriti nakon što sredimo drugi uslov, gde imamo kvadratnu jednačinu.

𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =4 ± √(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3

2 ∙ 1

𝑥1,2 =4 ± √4

2

𝑥1,2 =4 ± 2

2



𝒙𝟏 = 𝟑

𝒙𝟐 = 𝟏

Drugim rečima, rešenje naše kvadratne jednačine je 𝑥 = 3 ILI 𝑥 = 1.

Zašto nam je ovo bitno? Pogledajmo sada naš iskaz:

𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1

Iskaz nam praktično govori:

„ Ako je 𝑥 = 3, da li je tačno da je 𝑥 = 3 ILI 𝑥 = 1 ?“

Svakako je tačno. Ovo možemo da proverimo i putem osnovnih operacija u logici.

Pretpostavljamo da je 𝑥 = 3 tačno, što svakako znači da x nije 1, odnosno 𝑥 = 1 je

netačno. Da li će drugi iskaz biti tačan?

𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1

𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜 𝑖𝑙𝑖 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜

𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜

𝑇𝑎č𝑛𝑜

Tačno ILI netačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi tačno

(operacija implikacije) u logici daje tačan iskaz. Naša tvrdnja jeste tačna.

Stoga, zaključujemo da 𝑥 = 3 jeste dovoljan uslov za 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0.

2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 = 3 potreban uslov za 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0. Ovo

činimo tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3. Treba da

odgovorimo na pitanje da li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?

Već smo utvrdili da drugi iskaz možemo da zapišemo ovako:

𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1

Znači, sad se pitamo da li je ovo uvek tačna tvrdnja:

𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 3

Tvrdnja nam praktično govori:

„Ukoliko je 𝑥 = 3 ili je 𝑥 = 1, da li x mora biti baš 𝑥 = 3?“

Logika nam naravno govori da ne mora. Ako je 𝑥 = 1, svakako neće biti tačno da je 𝑥 = 3.

To možemo proveriti i putem operacija u logici:

𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 3

𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑖𝑙𝑖 𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜

𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜

𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜



Netačno ILI tačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi netačno

(operacija implikacije) u logici daje netačan iskaz. Naša tvrdnja nije tačna.

Stoga, zaključujemo da 𝑥 = 3 nije potreban uslov za 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0.

Dakle, konačni odgovor je a) samo dovoljan

4. Uslov 𝒙𝟐 > 𝟎 je za uslov 𝒙 > 𝟎 :




1) Prvo, proverimo da li je 𝑥2 > 0 dovoljan uslov za 𝑥 > 0. Ovo činimo tako što

proveravamo da li važi 𝑥2 > 0 ⇒ 𝑥 > 0. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi

drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?

Ovo je relativno lak zadatak. Prvi uslov će biti zadovoljen ako uzmemo pozitivan broj za x,

ali biće zadovoljen i ako uzmemo negativan broj. Kada kvadriramo negativan broj,

dobijamo i dalje pozitivno rešenje. Stoga, ako važi prvi uslov, ne mora da važi i drugi uslov.

Time, zaključujemo da 𝑥2 > 0 nije dovoljan uslov za 𝑥 > 0.

2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥2 > 0 potreban uslov za 𝑥 > 0. Ovo činimo tako

što proveravamo da li važi 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥2 > 0. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek

važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?

Ako je x pozitivno, svakako će biti pozitivan i kvadrat pozitivnog broja. Kada kvadriramo

neki pozitivan broj, dobijamo uvek pozitivno rešenje. Stoga, ako važi prvi uslov, uvek mora

da važi i drugi uslov.

Time, zaključujemo da 𝑥2 > 0 jeste potreban uslov za 𝑥 > 0.

Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban

5. Uslov 𝒙 = 𝟐 je za uslov 𝒙𝟐 = 𝟒 :




1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 = 2 dovoljan uslov za 𝑥2 = 4. Ovo činimo tako što

proveravamo da li važi 𝑥 = 2 ⇒ 𝑥2 = 4. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi

drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?

Ovo ćemo proveriti nakon što sredimo drugi uslov, gde imamo kvadratnu jednačinu.



𝑥2 = 4

𝑥2 − 4 = 0

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0

Drugim rečima, rešenje naše kvadratne jednačine je 𝑥 = 2 ILI 𝑥 = −2.

Zašto nam je ovo bitno? Pogledajmo sada naš iskaz:

𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2

Iskaz nam praktično govori:

„ Ako je 𝑥 = 2, da li je tačno da je 𝑥 = 2 ILI 𝑥 = −2 ?“

Svakako je tačno. Ovo možemo da proverimo i putem osnovnih operacija u logici.

Pretpostavljamo da je 𝑥 = 2 tačno, što svakako znači da x nije -2, odnosno 𝑥 = −2 je

netačno. Da li će drugi iskaz biti tačan?

𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2

𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜 𝑖𝑙𝑖 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜


𝑇𝑎č𝑛𝑜

Tačno ILI netačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi tačno

(operacija implikacije) u logici daje tačan iskaz. Naša tvrdnja jeste tačna.

Stoga, zaključujemo da 𝑥 = 2 jeste dovoljan uslov za 𝑥2 = 4.

2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 = 2 potreban uslov za 𝑥2 = 4. Ovo činimo

tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥2 = 4 ⇒ 𝑥 = 2. Treba da odgovorimo na pitanje da li

uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?

Već smo utvrdili da drugi iskaz možemo da zapišemo ovako:

𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2

Znači, sad se pitamo da li je ovo uvek tačna tvrdnja:

𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2 ⇒ 𝑥 = 2

Tvrdnja nam praktično govori:

„Ukoliko je 𝑥 = 2 ili je 𝑥 = −2, da li x mora biti baš 𝑥 = 2?“

Logika nam naravno govori da ne mora. Ako je 𝑥 = −2, svakako neće biti tačno da je 𝑥 =

2. To možemo proveriti i putem operacija u logici:



𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2 ⇒ 𝑥 = 2

𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑖𝑙𝑖 𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜



Netačno ILI tačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi netačno

(operacija implikacije) u logici daje netačan iskaz. Naša tvrdnja nije tačna.

Stoga, zaključujemo da 𝑥 = 2 nije potreban uslov za 𝑥2 = 4.


6. Ako su A i B proizvoljni skupovi, onda je uslov 𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 je za uslov 𝒙 ∈ 𝑨 :




1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 dovoljan uslov za 𝑥 ∈ 𝐴. Ovo činimo tako što

proveravamo da li važi 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek

važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?

Ovo ćemo proveriti nakon što detaljnije pogledamo prvi uslov 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵. Presek znači da

x pripada i skupu A i skupu B. Da li to znači da x mora pripadati skupu A? Svakako važi.

Ovo možemo lakše uočiti i preko Venovog dijagrama – svaki element iz osenčenog dela

mora pripadati skupu A:

Stoga, zaključujemo da 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 jeste dovoljan uslov za 𝑥 ∈ 𝐴.

2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 potreban uslov za 𝑥 ∈ 𝐴. Ovo činimo

tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 Treba da odgovorimo na pitanje da

li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?



Ovo ćemo proveriti nakon što detaljnije pogledamo uslov 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵. Presek znači da x

pripada i skupu A i skupu B. Ako x pripada skupu A, da li to znači da će zasigurno

pripadati i preseku? Svakako ne važi. Ovo možemo lakše uočiti i preko Venovog dijagrama

– x jednostavno može da bude u delu skupa A koji nije uključen u presek.

Stoga, zaključujemo da 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 nije potreban uslov za 𝑥 ∈ 𝐴


7. Ako su p i q proizvoljni iskazi, onda uslov 𝒑 ⇒ 𝒒 je za uslov 𝒒 :




1) Prvo, proverimo da li je 𝑝 ⇒ 𝑞 dovoljan uslov za 𝑞. Ovo činimo tako što proveravamo

da li važi ( 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑞. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov

ukoliko je prvi uslov zadovoljen?

Kada u zadacima imamo iskaze i operacije sa iskazima kao ovde, najbolje je da do zaključka

dođemo čistom primenom operacija u logici.

Prvi iskaz nije tačan samo ukoliko je p tačno i q netačno (jer tačno sledi netačno daje

netačno, kao operacija implikacije u logici).

Uzmimo slučaj da je p tačno i q tačno. Onda imamo:

( 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑞

( 𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜) ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜


𝑇𝑎č𝑛𝑜

Uzmimo slučaj da je p netačno i q tačno. Onda imamo:

( 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑞



( 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜) ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜


𝑇𝑎č𝑛𝑜

Uzmimo slučaj da je p netačno i q netačno. Onda imamo:

( 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑞

( 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜) ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜



Ups, u poslednjem slučaju smo dobili da tvrdnja ne važi. Prvi uslov je zadovoljen, a ukupna

tvrdnja nije.

Stoga, zaključujemo da ( 𝑝 ⇒ 𝑞) nije dovoljan uslov za q.

2) Sada proverimo da li je 𝑝 ⇒ 𝑞 potreban uslov za 𝑞. Ovo činimo tako što proveravamo

da li važi 𝑞 ⇒ ( 𝑝 ⇒ 𝑞) . Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov

ukoliko je prvi uslov zadovoljen?

Kada u zadacima imamo iskaze i operacije sa iskazima kao ovde, najbolje je da do zaključka

dođemo čistom primenom operacija u logici.

Uzimamo samo slučajeve kada je q tačno. Znači:

Uzmimo slučaj da je p tačno i q tačno. Onda imamo:

𝑞 ⇒ ( 𝑝 ⇒ 𝑞)

𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ ( 𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜)


𝑇𝑎č𝑛𝑜

Uzmimo slučaj da je p netačno i q tačno. Onda imamo:

𝑞 ⇒ ( 𝑝 ⇒ 𝑞)

𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ ( 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜)


𝑇𝑎č𝑛𝑜

Odlično, u oba slučaja smo dobili da tvrdnja važi. Prvi uslov je zadovoljen, a i ukupna

tvrdnja je, u oba slučaja.

Stoga, zaključujemo da ( 𝑝 ⇒ 𝑞) jeste potreban uslov za q.

Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban



SKRIPTE EKOF 2021/22 skripteekof.com Lekcija 14: Kombinatorika


Lekcija 14: Kombinatorika

Pregled poglavlja


➢ permutacije – bez i sa ponavljanjem;

➢ varijacije – bez i sa ponavljanjem;

➢ kombinacije – bez i sa ponavljanjem.

Uvod

Kombinatorika je jedna oblast koja se vrlo retko javlja na prijemnom. Upravo zbog toga

prepustićemo vam da naučite ovu oblast putem jednog vrlo dobrog pregleda koji je napisao

Bojan Bogdanović iz Brestovca, profesor matematike koji je završio Prirodno-matematički

fakultet u Nišu. Ispod vam postavljamo link njegovog bloga na kojem možete pronaći ovaj

pregled.

Link bloga

Link bloga: rebrand.ly/kombinatorika



https://matematikon.wordpress.com/2012/02/18/kombinatorika-na-laksi-nacin/


SAVETI ZA PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA 2021. IZ MATEMATIKE

Skripte ne pokazujte profesorima na zvaničnoj pripremnoj nastavi na fakultetu!

Iako često efikasnije od zvaničnih materijala, skripte nisu zvanična literatura za pripremu.

Skripta Prvo pređite lekciju iz

naše Skripte prijemni ispit

2021. godine iz

Matematike. Ovo je važno

da biste naučili suštinu

gradiva i razne tipove

zadataka, kao i da biste

provežbali osnovne

primere. Skripta vam

omogućava da ovo

učinite na lak i efikasan

način, kroz jasna

objašnjenja, ilustrativne

primere i dopunske

korisne linkove. Takođe,

imate detaljno urađene

primere zadataka za

vežbanje, u cilju

savladavanja gradiva kroz

samostalno vežbanje.


[email protected]


@skripteekof

skripteekof.com

Baze Nakon što ste detaljno

prešli lekciju iz skripte,

izvežbajte baze za ovu

lekciju iz naših Baza za za

prijemni ispit 2021.

godine iz Matematike.

Ovo predstavlja veoma

važnu vežbu za prijemni

ispit! Baze sadrže stotine

zadataka koji su poređani

po lekcijama, te nakon

svake lekcije možete da

dodatno izvežbate

gradivo. Zadaci su rešeni

relativno postupno (ali

bez objašnjenja kao u

skripti), tako da možete

samostalno da vežbate i

uporedite vaša rešenja sa

onima iz baza.

Online kurs Koristeći naš Online kurs

za prijemni ispit 2021.

godine iz Matematike

pored skripti i baza

dobijate i preko 200 video

klipova, 20 sati video

sadržaja i puno dodatnih

zadataka za vežbanje.

Ono što je najvažnije od

svega jeste što u online

kursu imate detaljno

urađene zadatke sa

prethodnih prijemnih

ispita, poređane po

lekcijama, tako da nakon

prelaska svake lekcije

odmah direktno vežbate i

za prijemni ispit. Kurs je

besplatan te se obavezno

prijavite!

Iako izgleda kao puno, ne brinite, ovo nije ništa teško, a obezbediće vam budžet na Ekofu!

GR

AD

IVO

D

OD

AT

NO

Rešeni rokovi (prethodni prijemni ispiti) Konačno, pred sam prijemni, u našim Rešenim rokovima iz Matematike možete provežbati

prethodne prijemne ispite. Iako ste ovo već prešli kroz online kurseve detaljno po lekcijama,

važno je da i vežbate rešavanje celih prijemnih ispita odjednom pod uslovima koji će važiti kao

i na prijemnom (izrada 2h, bez korišćenja pomoćnih materijala ili podsećanja iz skripti i kursa).

Shodno tome, nemojte nikako na kraju preskočiti ovaj korak! Uvežbajte lepo što više

prethodnih prijemnih ispita.


KOJA SKRIPTA JE NASTAVAK?

Svi naši proizvodi dostupni su isklјučivo u fotokopirnici Minerva!

WHATSAPP GRUPA Na raspolaganju vam je i grupa na

whatsapp-u, u kojoj možete diskutovati

sa kolegama i dobiti odgovor na svako

vaše pitanje! Tu su i admini iz našeg

tima koji su vam uvek na raspolaganju.

Da biste se pridružili grupi, preko

mobilnog idite na sledeći link:

grupa.skripteekof.com/prijemni

BUDITE U TOKU! Zapratite nas na instagramu i fejsbuku

kako biste bili prvi koji će saznati kada

izađu nove skripte, testovi, pripreme, i

drugo!

Instagram: skripteekof

Fejsbuk: facebook.com/skripteekof

facebook.com/skripte.ekof.98

BAZE ZA VEŽBANJE Za prijemni je veoma važno da ne

naučite samo lekcije i tipove zadataka,

već da i puno vežbate. Brojne zadatke

za vežbanje, poređane po lekcijama,

imate u našim bazama za prijemni.

Baze za prijemni ispit iz

Matematike dostupne su u

fotokopirnici Minerva.


[email protected]


@skripteekof

skripteekof.com

Gradivo

Skripta Baze

Pomoću preko 200 video klipova, 20 sati video sadržaja i rešene prijemne ispite

po lekcijama spremite prijemni ispit za maksimum poena!

Više informacija o sadržini i načinu prijave na skripteekof.com/matematika-kursevi

SKRIPTE IZ MATEMATIKE ZA PRIJEMNI 2021.

Dodatno

Rešeni rokovi

KURSEVI IZ MATEMATIKE ZA PRIJEMNI 2021.


Documents

Matematika · 2021. 2. 4. · Baze Nakon što ste detaljno prešli lekciju iz skripte, izvežbajte baze za ovu lekciju iz naših Baza za za prijemni ispit 2021. godine iz Matematike