Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi

Matematika 1

Bozidar Ivankovic

Zima, 2010

Bozidar Ivankovic Matematika 1

Ukratko

Matematika 1 sadrzi odabrana poglavlja matematike:

Determinante

Vektori u ravnini i prostoru

Funkcije

Limesi

Derivacija i primjene

Integrali i primjene


Literatura

Marusic: Matematika 1

Minorski: Zbirka zadataka iz vise matematike

Demidovic: Zbirka zadataka iz vise matematike s primjenomna tehnicke nauke


Studentske obaveze

Redovita prisutnost

Obavezne domace zadace

Kolokviji

Pismeni dio ispita

Usmeni dio ispita


VEKTORI U RAVNINI I PROSTORU

Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Uobicajena oznaka vektora je ~a,~b . . ..

Primjer

U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).



Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.

Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).


Primjer




Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:

Primjer:~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).


Primjer





~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).


Primjer





~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).


Primjer





~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).


Primjer





~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).


Primjer





~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).


Primjer



Zbrajanje i oduzimanje vektora

Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.

Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.

Zadatak

Odredite ~a + ~b, ako je

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)



Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.

Zadatak


~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)




Zadatak


~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)




Zadatak


~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)




Zadatak


~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)


Mnozenje vektora skalarom

Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.

Tada jeλ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak

Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:

4~a

−3~a

−~a



Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je

λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak


4~a

−3~a

−~a




λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak


4~a

−3~a

−~a




λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak


4~a

−3~a

−~a




λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak


4~a

−3~a

−~a




λ~a = (λa1, λa2, λa3).

Zadatak


4~a

−3~a

−~a


Linearna kombinacija vektora

Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c

i skalara λ, µ, νjest vektor

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.

Zadatak

Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.

Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama



Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, ν

jest vektorλ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak


Zadatak





Linearna kombinacija vektora ~a,~b,~c i skalara λ, µ, νjest vektor

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak


Zadatak






λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak


Zadatak






λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak


Zadatak






λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak


Zadatak




Linearna nezavisnost vektora

Vektori ~a1,~a2, . . . ,~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:

λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Pitanje

Da li su vektori ~a = (1, 3),~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?


Linearna nezavisnost vektora

Vektori ~a1,~a2, . . . ,~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:

λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Pitanje

Da li su vektori ~a = (1, 3),~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?


Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.

Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a

2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a +~b) = α~a +α~b

3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a

4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.


Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.

Mnozenje vektora skalarima je




4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0



Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je




4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0



Vektorski prostor





4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0



Vektorski prostor





4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0



Vektorski prostor





4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0



Vektorski prostor





4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0



Vektorski prostor





4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0



Vektorski prostor





4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0

Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora.

Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.


Vektorski prostor





4 1 ·~a = ~a

5 0 ·~a = ~0



Usmjerena duzina

Zadatak

U koordinatnom sustavu X 0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).

Definicija

Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:

~rA =−→OA = A.

Zadatak

Istaknite orijentirane duzine−→OA i

−→OB.


Usmjerena duzina

Zadatak


Definicija


~rA =−→OA = A.

Zadatak


−→OB.


Usmjerena duzina

Zadatak


Definicija


~rA =−→OA = A.

Zadatak


−→OB.


Usmjerena duzina

Zadatak


Definicija


~rA =−→OA = A.

Zadatak


−→OB.


Zbrajanje usmjerenih duzina

Zadatak

Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i

−→OB = (−2, 5). U

koordinatnom sustavu X 0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +

−→OB.

Zadatak

Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u

smjerovima vektora−→OA i

−→OB.

Rjesenje:−→OC = 3

16

−→OA + 9

16

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 37.5%

−→OB



Zadatak


−→OB = (−2, 5). U


−→OB.

Zadatak



−→OB.


16

−→OA + 9

16

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 37.5%

−→OB



Zadatak


−→OB = (−2, 5). U


−→OB.

Zadatak



−→OB.


16

−→OA + 9

16

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 37.5%

−→OB



Zadatak


−→OB = (−2, 5). U


−→OB.

Zadatak



−→OB.


16

−→OA + 9

16

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 37.5%

−→OB


Koordinatni sustavi

Definicija (Bazicni vektori)

Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i

−→OC iz zadatka 5 kao linearne

kombinacije vektora ~i i ~j .

Napomena

U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).


Koordinatni sustavi



~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer




Napomena



Koordinatni sustavi



~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer




Napomena



Koordinatni sustavi



~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer




Napomena



Od tocke do tocke

Zadatak

Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).

Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.

Izracunajte−→OB −

−→OA.

Izrazite−→OB −

−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .

Teorem

Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli

−→AB =

−→OB −

−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).


Od tocke do tocke

Zadatak




−→OA.



Teorem


−→AB =

−→OB −



Od tocke do tocke

Zadatak




−→OA.



Teorem


−→AB =

−→OB −



Od tocke do tocke

Zadatak




−→OA.



Teorem


−→AB =

−→OB −



Od tocke do tocke

Zadatak




−→OA.



Teorem


−→AB =

−→OB −



Od tocke do tocke

Zadatak




−→OA.



Teorem


−→AB =

−→OB −



Problem

Zadatak

Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.

Rjesenje: D = (0,−2)


Problem

Zadatak




Problem

Zadatak




Skalarni produkt vektora

Definicija

Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar

~a · ~b =n∑

k=1

akbk .

Zadatak

Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1



Definicija


~a · ~b =n∑

k=1

akbk .

Zadatak


1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1



Definicija


~a · ~b =n∑

k=1

akbk .

Zadatak


1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1



Definicija


~a · ~b =n∑

k=1

akbk .

Zadatak


1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1



Definicija


~a · ~b =n∑

k=1

akbk .

Zadatak


1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1



Definicija


~a · ~b =n∑

k=1

akbk .

Zadatak


1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1



Definicija


~a · ~b =n∑

k=1

akbk .

Zadatak


1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1



Definicija


~a · ~b =n∑

k=1

akbk .

Zadatak


1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1Bozidar Ivankovic Matematika 1

Skalarni kvadrat i duljina vektora

Zadatak

Izracunajte ~c2 ako je

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:

|~c | =√~c2.

Primjer

Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1



Zadatak


1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),


|~c | =√~c2.

Primjer


Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1



Zadatak


1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),


|~c | =√~c2.

Primjer


Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1



Zadatak


1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),


|~c | =√~c2.

Primjer


Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1



Zadatak


1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),


|~c | =√~c2.

Primjer


Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1



Zadatak


1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),


|~c | =√~c2.

Primjer


Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1



Zadatak


1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),


|~c | =√~c2.

Primjer


Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1



Zadatak


1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),


|~c | =√~c2.

Primjer


Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1Bozidar Ivankovic Matematika 1

Jedinicni vektor

Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak

Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Jedinicni vektor

Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.

Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:

~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak


~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Jedinicni vektor


~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak


~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Jedinicni vektor


~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak


~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Jedinicni vektor


~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak


~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Jedinicni vektor


~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak


~a = (2,−1, 3,−9)

−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Jedinicni vektor


~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak


~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Jedinicni vektor


~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak


~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),

−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Jedinicni vektor


~c0 =1

|~c |· ~c .

Zadatak


~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).


Skalarna projekcija vektora

Definicija

Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar

a~b =~a · ~b|~b|

.

Zadatak

Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→

AB

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95



Definicija


a~b =~a · ~b|~b|

.

Zadatak


a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak


AB

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95



Definicija


a~b =~a · ~b|~b|

.

Zadatak


a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak


AB

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95



Definicija


a~b =~a · ~b|~b|

.

Zadatak


a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak


AB

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95



Definicija


a~b =~a · ~b|~b|

.

Zadatak


a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak


AB

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95



Definicija


a~b =~a · ~b|~b|

.

Zadatak


a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak


AB

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95



Definicija


a~b =~a · ~b|~b|

.

Zadatak


a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak


AB

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95Bozidar Ivankovic Matematika 1

Vektorska projekcija vektora

Definicija

Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

43 )

Zadatak

Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).

Odredite−→AC−→

AB

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)



Definicija


~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak


~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

43 )

Zadatak



AB

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)



Definicija


~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak


~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

43 )

Zadatak



AB

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)



Definicija


~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak


~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

43 )

Zadatak



AB

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)



Definicija


~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak


~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

43 )

Zadatak



AB

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)



Definicija


~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak


~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

43 )

Zadatak



AB

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)Bozidar Ivankovic Matematika 1

Kut koji zatvaraju vektori

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

.

Zadatak

Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.

Zadatak

Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.



Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|


vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

.

Zadatak


Zadatak




Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|


vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

.

Zadatak


Zadatak




Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|


vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

.

Zadatak

Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)

140.

Zadatak




Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|


vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

.

Zadatak


Zadatak




Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|


vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

.

Zadatak


Zadatak

Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4).

980.



Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|


vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

.

Zadatak


Zadatak



Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta

Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:

komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2

~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.




~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ







~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

gdje je ϕ kut medu vektorima.

Svojstva skalarnog produkta:






~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ







~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ


komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~a

distributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2





~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ


komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~c

kvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2





~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ


komutativnost: ~a · ~b = ~b ·~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b +~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b

~a2 = |~a|2





~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ







~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ





Primjena skalarnog produkta

Zadatak

Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.

Zadatak

Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?

rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.



Zadatak


Zadatak


rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.



Zadatak


Zadatak


rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.



Zadatak


Zadatak


rjesenja:

127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.



Zadatak


Zadatak


rjesenja: 127 N,

210~F = 6 kN, µ = 0.06.



Zadatak


Zadatak


rjesenja: 127 N, 210

~F = 6 kN, µ = 0.06.



Zadatak


Zadatak


rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN,

µ = 0.06.



Zadatak


Zadatak


rjesenja: 127 N, 210~F = 6 kN, µ = 0.06.


Domaca zadaca

1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih

dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i

−→BD, pa pomocu

njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.

2 Zadani su vektori ~a = −2~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.

3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore~i , ~j i ~k .

4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).

5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.


Domaca zadaca



−→BD, pa pomocu







Domaca zadaca



−→BD, pa pomocu







Domaca zadaca



−→BD, pa pomocu







Domaca zadaca



−→BD, pa pomocu







Domaca zadaca



−→BD, pa pomocu







Rjesenja

1−→AS =~i + 3~j , C = (4, 7), D = (1, 1).

2 ~c = −2~a + 3~b.

3 ~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1; ~i ·~j =~i · ~k =~j · ~k = 0.

4 Dvije su stranice po 3.3, jedna je 3.5 jedinicne duljine, kutevi: dva po58.5o , jedan od 63o .

5 ~R = 143 N, ϕ = 630.


DETERMINANTE

Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.

Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci

|a11| = a11

gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.


DETERMINANTE



|a11| = a11



DETERMINANTE



|a11| = a11



Determinante drugog reda

Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

Izracunajte vrijednost determinante

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

1 Izracunajte determinantu:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ . Rjesenje: -2

2 Izracunajte vrijednost determinanti:

a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ .

rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ .

Rjesenje: -2


a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ;

b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ;

c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣

Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0




a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak


∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:


∣∣∣∣ 1 23 4



a)

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)


∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0


...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:

∣∣∣∣ sin x cos x−4 1

∣∣∣∣ = 3.

Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x

2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.


...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:


∣∣∣∣ = 3.


2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.


...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:


∣∣∣∣ = 3.


2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.


Determinante treceg reda

Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

h k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

g k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

g h

∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

2 Rijesite determinantu

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

√3

6 −16 i , z2 = −

√3

6 −16 i .Rj: 3



Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

h k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

g k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

g h

∣∣∣∣ .

1 Izracunajte vrijednost determinante:

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38


∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

√3

6 −16 i , z2 = −

√3

6 −16 i .Rj: 3




a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

h k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

g k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

g h


∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣

Rj: -38


∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

√3

6 −16 i , z2 = −

√3

6 −16 i .Rj: 3




a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

h k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

g k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

g h


∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38


∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

√3

6 −16 i , z2 = −

√3

6 −16 i .Rj: 3




a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

h k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

g k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

g h


∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38


∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣

Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

√3

6 −16 i , z2 = −

√3

6 −16 i .Rj: 3




a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

h k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

g k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

g h


∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38


∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

√3

6 −16 i , z2 = −

√3

6 −16 i .Rj: 3




a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

h k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

g k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

g h


∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38


∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

√3

6 −16 i , z2 = −

√3

6 −16 i .

Rj: 3




a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e f

h k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d f

g k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d e

g h


∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38


∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

√3

6 −16 i , z2 = −

√3

6 −16 i .Rj: 3


Primjena determinanti

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.



Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1




Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1




Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse

Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.



Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima.

Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.



Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1



VEKTORSKI PRODUKT

Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ .Zadatak

Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odredite

komponente vektora ~c = ~a× ~b. (8, 12,−6)


VEKTORSKI PRODUKT

Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.

Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:

~a× ~b =






VEKTORSKI PRODUKT

Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.

Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:

~a× ~b =






VEKTORSKI PRODUKT

Vektorski produkt definiran je samo za 3-dimenzionalne vektore.Rezultat vektorskog produkta opet je 3-dimenzionalni vektor.Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).

Vektorsko mnozenje koordinatno zapisanih vektora racuna seformalno kvazideterminantom:

~a× ~b =






VEKTORSKI PRODUKT


~a× ~b =


∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak




VEKTORSKI PRODUKT


~a× ~b =




komponente vektora ~c = ~a× ~b.

(8, 12,−6)


VEKTORSKI PRODUKT


~a× ~b =






Geometrija vektorskog produkta

Primjer

Neka je ~c = ~a×~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite

a) Komponente vektora ~c.

b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a,~b).

e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.

f) Odredite komponente vektora ~b ×~a.



Primjer



b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).






Primjer



b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).






Primjer



b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).

c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.

d) Kut ϕ = ](~a,~b).





Primjer



b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).






Primjer



b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).






Primjer



b) Kutove α = ](~c ,~a) i β = ](~c ,~b).





Geometrijska definicija vektorskog produkta

Vektorski produkt u R3 binarna je operacija

× : R3 × R3 → R3

definirana opisom vektora

~c = ~a× ~b

koji ima smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:

1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b

2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu

3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelogramarazapetog vektorima ~a i ~b.




× : R3 × R3 → R3


~c = ~a× ~b

koji ima

smjer, orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:







× : R3 × R3 → R3


~c = ~a× ~b

koji ima smjer,

orijentaciju i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:







× : R3 × R3 → R3


~c = ~a× ~b

koji ima smjer, orijentaciju

i iznos opisan slijedecim tvrdnjama:







× : R3 × R3 → R3


~c = ~a× ~b








× : R3 × R3 → R3


~c = ~a× ~b








× : R3 × R3 → R3


~c = ~a× ~b








× : R3 × R3 → R3


~c = ~a× ~b






Svojstva vektorskog produkta

Svojstva vektorskog produkta su

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0




1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a

2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0




1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c

3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0




1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b

4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0




1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b ×~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b +~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a×~a = ~0


...da li razumijemo?

Zadatak

Nadite duljinu krace visine i povrsinu paralelograma razapetog

vektorima 2~b −~a i 3~a + 2~b, ako je |~a| = 5, |~b| = 4 i kut

∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.

Rjesenje je tablica:

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0



Zadatak



∠(~a,~b) = π4 .

P = 80√

2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak



× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0



Zadatak



∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14;

v ≈ 5.28

Zadatak



× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0



Zadatak



∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak



× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0



Zadatak



∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak



× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0



Zadatak



∠(~a,~b) = π4 . P = 80

√2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak



× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0


... a koordinate?

Zadatak

Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k. Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.

Zadatak

Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica

Zadatak

Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√

11(−~i + 3~j − ~k)


... a koordinate?

Zadatak

Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b =~i + 2~k.

Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.

Zadatak


Zadatak


11(−~i + 3~j − ~k)


... a koordinate?

Zadatak


Zadatak


Zadatak


11(−~i + 3~j − ~k)


... a koordinate?

Zadatak


Zadatak

Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2).

Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica

Zadatak


11(−~i + 3~j − ~k)


... a koordinate?

Zadatak


Zadatak


Zadatak


11(−~i + 3~j − ~k)


... a koordinate?

Zadatak


Zadatak


Zadatak

Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a =~i +~j + 2~k i~b = 2~i +~j + ~k.

Rjesenje: ~n0 = ± 1√11

(−~i + 3~j − ~k)


... a koordinate?

Zadatak


Zadatak


Zadatak


11(−~i + 3~j − ~k)


Domaca zadaca

1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.

2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .

3 Zadani su vektori ~a =~i +~j , ~b =~i −~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d ×~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.

4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.

5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je|~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠(~m,~n) = π/3.


Domaca zadaca







Domaca zadaca







Domaca zadaca







Domaca zadaca







Domaca zadaca







Rjesenja

1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).

2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).

4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90

5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√

3 ∼ 7, |~b| = 2√

13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20

√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.


Rjesenja

1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).

2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).

4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90

5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√

3 ∼ 7, |~b| = 2√

13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20

√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.


Mjesoviti produkt

Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:

(~a× ~b) · ~c =

∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bz

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣Zadatak

Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c, ako je zadano:

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt

Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru.

Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:

(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz



1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt


(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz



1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt


(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz

∣∣∣∣∣∣

Zadatak


1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt


(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz



1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt


(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz



1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt


(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz



1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt


(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz



1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt


(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz



1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt


(~a× ~b) · ~c =


cx cy cz



1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)


Mjesoviti produkt, geometrijski

Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a,~b i ~c .

Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a,~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1

6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:

a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.

b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja

c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.





















6 |(~a× ~b) · ~c |.

Svojstva mjesovitog produkta:





































Domaca zadaca

1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima

~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)

2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)

3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)

4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))


Domaca zadaca


~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)





Domaca zadaca


~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)





Domaca zadaca


~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)

2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka?

(rj: V = 5.5)




Domaca zadaca


~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)





Domaca zadaca


~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)


3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b.

(rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)



Domaca zadaca


~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)





Domaca zadaca


~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)



4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.

(rj: ~c = (4,−5, 1))


Domaca zadaca


~a = 2~i −~j − ~k~b =~i + 3~j − ~k~c =~i +~j + 4~k

.

(rj: V = 33, v = 4.4)





Ispitni zadaci

1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.

2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut

medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.

3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).

4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).

5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.


Ispitni zadaci

1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora.

Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.







Ispitni zadaci








Ispitni zadaci



medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?

Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.





Ispitni zadaci








Ispitni zadaci




3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2).

Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).




Ispitni zadaci








Ispitni zadaci






Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).



Ispitni zadaci








Ispitni zadaci







Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.


Ispitni zadaci








Prva obavezna domaca zadaca iz Matematike 1

1 Trokut je zadan tockama A(3, 1, 2), B(0,−1,−2) i C(−1,−2, 1).

Odredite vektore−→AB,−→BC i

−→AC . Izracunajte kut α. Koliki je opseg

trokuta? Koja je najdulja stranica trokuta? Koliki je najveci kut trokuta?

2 Poznati su vektori ~a i ~b. Kut izmedu vektora je 200, a iznosi vektora su|~a| = 1.2 i |~b| = 2.5. Izracunajte ~a · ~b, (~a + ~b)2, |~a + ~b| i konacno

|(~a · ~b)(~a + ~b)|.3 Zadani su vrhovi paralelograma A(1,−1, 0), B(1, 1, 2), C(−1,−2, 1) i

D(−1,−4,−1). Odredite vektore−→AB,−→BC ,−→DC i

−→AD. Odredite

−→AB ×

−→BC

i izracunajte |−→AB ×

−→BC |. Skicirajte paralelogram. Kolika je povrsina

paralelograma? Kolika je duljina najdulje stranice u paralelogramu?Koliko je dugacka najkraca visina u paralelogramu?

4 U prostoru su zadane tocke A(1, 1, 0),B(2, 1,−3),C(−1, 2, 1) i

D(−1, 4,−1). Odredite vektore−→AB,−→AC ,−→AD. Izracunajte

(−→AB ×

−→AC) ·

−→AD. Odredite

−→AB ×

−→AC i izracunajte |

−→AB ×

−→AC |. Koliki je

volumen tetraedra odredenog tockama A,B,C i D? Koliku povrsinu imatrokut ABC? Koliko je visoko tocka D iznad trokuta baze ABC?.

5 Zadane su tocke A(3,−5, 0) i B(2, 4, 6). Zadan je vektor ~c = 3~i −~j + ~k.

Izracunajte−→AB × (~c −

−→AB)× ~c.


Rjesenja prve obavezne domace zadace izMatematike 1

1 α = 370, O = 13.8, γ = 760.

2 ~a · ~b = 2.8, (~a + ~b)2 = 13.34, |~a + ~b| =3.65, |(~a · ~b)(~a + ~b)| = 10.28.

3−→AB×

−→BC = (4,−4, 4), |

−→AB×

−→BC | = 6.9, P = 6.9, vmin = 1.85

4 (−→AB ×

−→AC ) ·

−→AD = 8,

−→AB ×

−→AC = (3, 5, 1), |

−→AB ×

−→AC | =

5.9, V = 1.33, P∆ = 2.96, h = 1.35.

5 −7~i − 93~j − 72~k .


FUNKCIJE

Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:

Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.

Pravilo pridruzivanja:

f : D → K,

sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak

Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.


FUNKCIJE




f : D → K,


Zadatak



FUNKCIJE




f : D → K,


Zadatak



FUNKCIJE




f : D → K,


Zadatak



FUNKCIJE




f : D → K,

sa svojstvima:

1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak



FUNKCIJE




f : D → K,

sa svojstvima:1 svakom elementu iz D

2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak



FUNKCIJE




f : D → K,


Zadatak



FUNKCIJE




f : D → K,


Zadatak



Graf funkcije

Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:

Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom

f (x) = log x .


Graf funkcije

Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:

Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom

f (x) = log x .


Osobine pridruzivanja

Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:

Injektivnost:

f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.

Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)

Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost

Pitanje

Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?




Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.

Surjektivnost:

za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)


Pitanje







Bijektivnost:

injektivnost i surjektivnost

Pitanje








Pitanje








Pitanje



Inverz

Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija

g : K → D,

s pravilom preslikavanja:

∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .

Ouobicajena oznaka

x = f −1(y) = g(y).

Zadatak

Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x.


Inverz

Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija

g : K → D,

s pravilom preslikavanja:

∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .

Ouobicajena oznaka

x = f −1(y) = g(y).

Zadatak

Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x.


Realne funkcije realne varijable

Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.

Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.



Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R

Zadatak


Zadatak





Zadatak


Zadatak





Zadatak


Zadatak



Parnost i neparnost funkcije

Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi

f (−x) = f (x).

Funkcija je neparna ako je

f (−x) = −f (x).

Zadatak

Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .

Napomena

Vecina funkcija nije niti parna niti neparna, no svaka se funkcijamoze zapisati kao linearna kombinacija parne i neparne funkcije:

g(x) =g(x) + g(−x)

2+

g(x)− g(−x)

2.




f (−x) = f (x).


f (−x) = −f (x).

Zadatak


Napomena


g(x) =g(x) + g(−x)

2+

g(x)− g(−x)

2.




f (−x) = f (x).


f (−x) = −f (x).

Zadatak


Napomena


g(x) =g(x) + g(−x)

2+

g(x)− g(−x)

2.


Periodicnost funkcije

Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x.

Zadatak

Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.




Zadatak


Zadatak


Zadatak





Zadatak


Zadatak


Zadatak





Zadatak


Zadatak


Zadatak



Monotone funkcije i lokalni ekstremi

Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.



Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).

Zadatak




Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).

Zadatak




Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).

Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).

Zadatak





Zadatak





Zadatak



Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije

Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x. Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.



Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).

Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak




Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).

Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak





Zadatak





Zadatak



Domaca zadaca

1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.

2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12

x. Odredite domenu i

intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.

3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.

4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.

5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .


Domaca zadaca









Domaca zadaca









Domaca zadaca









Domaca zadaca









Domaca zadaca









Kodomena i slika funkcije

Napomena

Treba razlikovati pojam kodomene K kao sireg skupa unutar kojegsu neki elementi pridruzeni elementima domene D i slike funkcijeR(f ) = f (D) = {y ∈ K, ∃x ∈ D, f (x) = y}


Kodomena i slika funkcije

Napomena

Treba razlikovati pojam kodomene K kao sireg skupa unutar kojegsu neki elementi pridruzeni elementima domene D i slike funkcijeR(f ) = f (D) = {y ∈ K, ∃x ∈ D, f (x) = y}


ELEMENTARNE FUNKCIJE

Polinom n-tog stupnja P(x) =∑n

k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore

P(x) =n∑

k=0

akxk = an

m∏j=1

(x − xj)l∏

i=1

(x2 + pix + qi ),

gdje su x1, . . . , xm realne nultocke, dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.

Primjer

Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.




k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.

Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu. Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore

P(x) =n∑

k=0

akxk = an

m∏j=1

(x − xj)l∏

i=1

(x2 + pix + qi ),


Primjer





k=0 akxk definiran je za svaki x ∈ R.Vrijednost funkcije racuna se pomocu tri osnovne racunskeoperacije, pa su polinomi najcesce funkcije kojima mi ljudiopisujemo pojave u prirodi i drustvu.

Svaki se polinom mozerastaviti na proste faktore

P(x) =n∑

k=0

akxk = an

m∏j=1

(x − xj)l∏

i=1

(x2 + pix + qi ),


Primjer






P(x) =n∑

k=0

akxk = an

m∏j=1

(x − xj)l∏

i=1

(x2 + pix + qi ),


Primjer






P(x) =n∑

k=0

akxk = an

m∏j=1

(x − xj)l∏

i=1

(x2 + pix + qi ),


Primjer






P(x) =n∑

k=0

akxk = an

m∏j=1

(x − xj)l∏

i=1

(x2 + pix + qi ),

gdje su x1, . . . , xm realne nultocke,

dok polinomi drugogstupnja x2 + pix + qi za i = 1, . . . , l imaju konjugiranokompleksne korijene, odnosno rjesenja.

Primjer






P(x) =n∑

k=0

akxk = an

m∏j=1

(x − xj)l∏

i=1

(x2 + pix + qi ),


Primjer






P(x) =n∑

k=0

akxk = an

m∏j=1

(x − xj)l∏

i=1

(x2 + pix + qi ),


Primjer



Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)

Q(x)nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.

Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.

Primjer

Rastav na parcijalne razlomke racionalne funkcije

R(x) =x4 + 1

x3 − 1.


Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)



Primjer


R(x) =x4 + 1

x3 − 1.


Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)


Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji.

Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.

Primjer


R(x) =x4 + 1

x3 − 1.


Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)



Primjer


R(x) =x4 + 1

x3 − 1.


Racionalne funkcije

oblika R(x) =P(x)



Primjer


R(x) =x4 + 1

x3 − 1.


Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke

Zadatak

Rastavite na parcijalne racionalne funkcije funkciju:f (x) = x2+2

x3+5x2+6x

Odredite rastave racionalnih funkcija:

1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.

Rastave provjerite algebarski.



Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.




Zadatak


x3+5x2+6x


1 2x+1x3+x

2 2(x−1)(x−2)(x−3) .

3 x2

(x−1)2(x+1).

4 4(x2−1)2 .

5 1x4−1

.

6 x2+1(x2+x+1)2 .

7 x4+1x3(x2+1)

.

8 8x4+4

.

Rastave provjerite algebarski.Bozidar Ivankovic Matematika 1

Broj e.

Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.

Zadatak

Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?

Zadatak

Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p

12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?

Zadatak

Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360

ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?


Broj e.


Zadatak


Zadatak



Zadatak




Broj e.


Zadatak


Zadatak



Zadatak




Broj e.


Zadatak


Zadatak



Zadatak




Granicna vrijednost

Promatranjem tri prethodna zadatka naslucuje se postojanjegranicne vrijednosti za ukamacivanja koja bi se vrsila svakogtrenutka.

Zadatak

Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite

f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.

Napomena

Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.

Definicija

Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost

niza realnih brojeva 2,

(3

2

)2

,

(4

3

)3

,

(5

4

)4

. . . cija vrijednost

zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828


Granicna vrijednost


Zadatak



Napomena


Definicija



(3

2

)2

,

(4

3

)3

,

(5

4

)4




Granicna vrijednost


Zadatak



Napomena


Definicija



(3

2

)2

,

(4

3

)3

,

(5

4

)4




Granicna vrijednost


Zadatak



Napomena


Definicija



(3

2

)2

,

(4

3

)3

,

(5

4

)4




... a lova, di su nofci?

Dobro je znati jos jedan, izvedeni limes: limn→∞

(1 +p

n)n = ep.

Ukamacuje li se svota svaki trenutak, to ce svota nakon godinedana neprekidnog ili kontinuiranog ukamacivanja godisnjim

kamatnjakom p iznositi: limn→∞

C0 · (1 +p

n) = C0 · ep.

Zadatak

Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje? Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%

Potpitanje

Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27% 93.48%




(1 +p

n)n = ep.



C0 · (1 +p

n) = C0 · ep.

Zadatak


Potpitanje





(1 +p

n)n = ep.


kamatnjakom p iznositi:

limn→∞

C0 · (1 +p

n) = C0 · ep.

Zadatak


Potpitanje





(1 +p

n)n = ep.



C0 · (1 +p

n) = C0 · ep.

Zadatak


Potpitanje





(1 +p

n)n = ep.



C0 · (1 +p

n) = C0 · ep.

Zadatak

Godisnja kamata na minus Amex-carda iznosi 22%. Za koliki senajveci postotak moze povecati iznos ako se u godini ucestaloukamacuje?

Rjesenje: e0.22 − 1 = 24, 6%

Potpitanje





(1 +p

n)n = ep.



C0 · (1 +p

n) = C0 · ep.

Zadatak


Potpitanje

Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja?

Rjesenje: 55.27% 93.48%




(1 +p

n)n = ep.



C0 · (1 +p

n) = C0 · ep.

Zadatak


Potpitanje

Koliki je postotak rasta nakon dvije, odnosno tri godineukamacivanja? Rjesenje: 55.27%

93.48%




(1 +p

n)n = ep.



C0 · (1 +p

n) = C0 · ep.

Zadatak


Potpitanje



Sto je ovdje fundamentalno,...

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x.


Sto je ovdje fundamentalno,...

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x.


...a sto nije.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadane

formulom ch(x) =ex + e−x

2. Napisite formulu funkcije

ch−1(x) = Arch(x)

Zadatak


formulom sh(x) =ex − e−x


sh−1(x) = Arsh(x)

Zadatak

Izracunajte ch2x − sh2x i ch2x + sh2x.


...a sto nije.

Zadatak




ch−1(x) = Arch(x)

Zadatak




sh−1(x) = Arsh(x)

Zadatak



...a sto nije.

Zadatak




ch−1(x) = Arch(x)

Zadatak




sh−1(x) = Arsh(x)

Zadatak



...a sto nije.

Zadatak




ch−1(x) = Arch(x)

Zadatak




sh−1(x) = Arsh(x)

Zadatak



Eksponencijalna funkcija

Definicija

Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.

Zapamtiti

Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .

Zadatak

Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.



Definicija


Zapamtiti


Zadatak




Definicija


Zapamtiti


Zadatak



Logaritamska funkcija

Definicija

Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x:

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevizbog uvjeta x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.

Zadatak

Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:

y = log0.5 x

y = ln |x |



Definicija


logb x = y

x = by

Zapamtiti


Zadatak


y = log0.5 x

y = ln |x |



Definicija


logb x = y

x = by

Zapamtiti


Zadatak


y = log0.5 x

y = ln |x |



Definicija


logb x = y

x = by

Zapamtiti


Zadatak


y = log0.5 x

y = ln |x |



Definicija


logb x = y

x = by

Zapamtiti


Zadatak


y = log0.5 x

y = ln |x |



Definicija


logb x = y

x = by

Zapamtiti


Zadatak


y = log0.5 x

y = ln |x |


Trigonometrijske funkcije

Namjena trigonometrije je racunanje udaljenosti do poznatihnepristupacnih objekata koji se vide pod odredenim kutom.

Zadatak

Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m

Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.

Zapamtiti

Domena sin i cos je R.Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni

brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z. Domenu funkcije ctg x = cos x

sin xcine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.




Zadatak



Zapamtiti







Zadatak

Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100?

rjesenje: 85 m


Zapamtiti







Zadatak



Zapamtiti







Zadatak


Argument trigonometrijske funkcije je kut.

Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu. Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.

Zapamtiti







Zadatak


Argument trigonometrijske funkcije je kut. Stupnjevi kao mjerekuteva pripadaju sustavu brojanja u kojem je 60 prvi okrugli brojnakon 10 i ne mogu biti naznaceni kao varijable x u koordinatnomsustavu.

Kutovi su u matematici predstavljeni kao tocketrigonometrijske kruznice i mjere se u radijanima.

Zapamtiti







Zadatak



Zapamtiti







Zadatak



Zapamtiti

Domena sin i cos je R.

Domenu funkcije tg x = sin xcos x cine realni






Zadatak



Zapamtiti


brojevi razliciti od π2 + kπ, k ∈ Z.

Domenu funkcije ctg x = cos xsin x

cine realni brojevi razliciti od kπ, k ∈ Z.




Zadatak



Zapamtiti





Ciklometrijske funkcije

Definicija (Arkus sinus)

Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π

2 ,π2

]zadana je pravilom:

y = arcsin x ⇔ sin y = x

Definicija (Arkus kosinus)

Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x

Definicija (Arkus tangens)

Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π

2 ,π2

)zadana je

pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x





2 ,π2







2 ,π2

)zadana je






2 ,π2







2 ,π2

)zadana je






2 ,π2







2 ,π2

)zadana je



Domaca zadaca

1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x2 y = arccos x

2 Nacrtajte graf funkcije y = log2 x uzimajuci istaknutevrijednosti iz domene: {1, 2, 4, 8, 16, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}

3 Nacrtajte graf funkcije y = x2(x2 − 1)

4 Rastavite na parcijalne razlomke funkciju:

f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.


Domaca zadaca

1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija

1 y = arctg x2 y = arccos x




f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.


Domaca zadaca

1 Nacrtajte grafove funkcija. Istaknite domene funkcija1 y = arctg x

2 y = arccos x




f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.


Domaca zadaca





f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.


Domaca zadaca





f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.


Domaca zadaca





f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.


Domaca zadaca





f (x) =x2 + 2

x3 + 5x2 + 6x.


Slaganje funkcija

Napomena

Slaganje funkcija f (x) i g(x) u oznaci

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

moguce je samo u slucaju ako je slika funkcije g(x) sadrzana udomeni funkcije f (x).

Zadatak

Ako je f (x) = cos x2 , g(x) = −πx, koliko je (f ◦ g)(−113)?

Zadatak

Odredite kompozicije f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f i g ◦ g za funkcije

1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3

2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2

3 x − 53

3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1


Slaganje funkcija

Napomena


(f ◦ g)(x) = f (g(x))


Zadatak


Zadatak


1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3

2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2

3 x − 53

3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1


Slaganje funkcija

Napomena


(f ◦ g)(x) = f (g(x))


Zadatak


Zadatak


1 f (x) = 2x − 3, g(x) = x + 3

2 f (x) = −12 x + 1, g(x) = 2

3 x − 53

3 f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1


Dekompozicija funkcije

Zadatak

Slijedece funkcije napisite u obliku kompozicije niza elementarnihfunkcija:

1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1

6 f (x) = sin ln arccos(x2 + 2)



Zadatak


1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1




Zadatak


1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1




Zadatak


1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1




Zadatak


1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1




Zadatak


1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1




Zadatak


1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1




Zadatak


1 y = log2 x

2 y =3√

sin2 x

3 y = 5(3x+1)2

4 y = ln(2x2 − 3)

5 y = ln√

2x − 1



Domena slozene funkcije

Zadatak

Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

Odredite podrucje definicije funkcije y =

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

Nadite domenu funkcije f (x) =√

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

2.

Zadatak

Nadite domenu funkcije y = ln(1 + e−x

).



Zadatak


f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak


√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak


1− 2x + 3 arcsin3x − 1

2.

Zadatak


).



Zadatak


f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak


√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak


1− 2x + 3 arcsin3x − 1

2.

Zadatak


).



Zadatak


f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak


√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak


1− 2x + 3 arcsin3x − 1

2.

Zadatak


).



Zadatak


f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak


√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak


1− 2x + 3 arcsin3x − 1

2.

Zadatak


).


Istrazivanje domena slozenih funkcija

Zadatak

Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

).

Zadatak

Treba istraziti podrucje u kojem je definirana funkcija

y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak

Napisite domenu funkcije zadane formulom y = arcsin(ln x)

Zadatak

Ispitajte domenu definiranosti funkcije

y = ln sin(x − 3) +√

16− x2



Zadatak


f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

).

Zadatak


y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak


Zadatak


y = ln sin(x − 3) +√

16− x2



Zadatak


f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

).

Zadatak


y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak


Zadatak


y = ln sin(x − 3) +√

16− x2



Zadatak


f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

).

Zadatak


y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak


Zadatak


y = ln sin(x − 3) +√

16− x2



Zadatak


f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

).

Zadatak


y =√

3− log2(x − 1).

Zadatak


Zadatak


y = ln sin(x − 3) +√

16− x2


Grafovi lakse slozenih funkcija

Zadatak

Na temelju grafa funkcije y = sin x nacrtati dijagram napona

izmjenicne struje u = 220V sin

(100πt +

3π

2

).

Zadatak

Na temelju grafa funkcije y = arcsin x nacrtajte graf funkcijuy = 3

2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).

Zadatak

Temeljem poznavanja grafa elementarne funkcije y = ln x skicirajtegraf funkcije y = −2 ln(2x + 4).



Zadatak



(100πt +

3π

2

).

Zadatak



Zadatak




Zadatak



(100πt +

3π

2

).

Zadatak


2 arcsin x,

zatim y = arcsin(2x), pa onda y = arcsin(x + 1).

Zadatak




Zadatak



(100πt +

3π

2

).

Zadatak


2 arcsin x, zatim y = arcsin(2x),

pa onda y = arcsin(x + 1).

Zadatak




Zadatak



(100πt +

3π

2

).

Zadatak



Zadatak




Zadatak



(100πt +

3π

2

).

Zadatak



Zadatak



Formule inverznih funkcija

Zadatak

Odredite formulu funkcije inverzne funkciji y =x − 2

x + 1

Zadatak

Napisite formulu inverzne funkcije za

y =ecos x − 1

2 + ecos x

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije y = 2 sin(

3x − π

3

)+ 1, odredite formulu

inverzne funkcije i prirodno podrucje definicije funkcije zadaneinverznom formulom.



Zadatak


x + 1

Zadatak


y =ecos x − 1

2 + ecos x

Zadatak


3x − π

3





Zadatak


x + 1

Zadatak


y =ecos x − 1

2 + ecos x

Zadatak


3x − π

3





Zadatak


x + 1

Zadatak


y =ecos x − 1

2 + ecos x

Zadatak


3x − π

3




LIMES

Prvi pojam matematicke analize. Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak

Konstruirajte nizove tako da

x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES

Prvi pojam matematicke analize.

Centralni pojam je niz, suvislokonstruiranje brojeva kojima nema kraja:

{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . .

x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . .

x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . .

x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞

x → −∞


LIMES


{x}n = 0.1, 0.01, 0.001, . . . x → 0+

{x}n = −0.1,−0.01,−0.001, . . . x → 0−

{x}n = 1.9, 1.99, 1.999, . . . x → 2−

Zadatak


x → 2+

x → −3+

x → −3−

x →∞x → −∞


Limes niza

Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.

Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.Oznaka:

limn→∞

an = L.

Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.

Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞, ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.


Limes niza



limn→∞

an = L.




Limes niza


Limes niza je broj L koji ima svojstvo da za svaki, ma koliko maliε > 0 postoji n0 ∈ N takav da n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.

Oznaka:limn→∞

an = L.




Limes niza



limn→∞

an = L.




Limes niza



limn→∞

an = L.

Niz koji ima limes naziva se konvergentnim nizom.

Limes nazivamo granicnom vrijednosti niza.



Limes niza



limn→∞

an = L.




Limes niza



limn→∞

an = L.


Divergentni nizovi su svi koji nisu konvergentni. Ili imajubeskonacan limes, sto obiljezavamolimn→∞ a(n) =∞,

ili im se limes ne moze odrediti,kao primjerice limn→∞ sin n.


Limes niza



limn→∞

an = L.




Konacni limes u konacnoj tocki

Problem

Konstruirajte niz x → 0+ i ispitajte ponasanje funkcije

f (x) =sin x

xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli. Ispitajte

ponasanje za x → 0−

Limes funkcije f (x) kada x tezi broju c je broj A u zapisu

limx→c

f (x) = A

ako za svaki niz (xn) svojstvo limn→∞

xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.

Rjesenje problema ima zapis limx→0

sin x

x= 1.



Problem


f (x) =sin x

xkada se uvrstavaju brojevi sve blize nuli.

Ispitajte



limx→c

f (x) = A


xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.


sin x

x= 1.



Problem


f (x) =sin x




limx→c

f (x) = A


xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.


sin x

x= 1.



Problem


f (x) =sin x




limx→c

f (x) = A


xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.


sin x

x= 1.



Problem


f (x) =sin x




limx→c

f (x) = A


xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.


sin x

x= 1.



Problem


f (x) =sin x




limx→c

f (x) = A


xn = c povlaci

limn→∞

f (xn) = A.


sin x

x= 1.


Neki vazniji limesi. Neprekidnost funkcije.

Zadatak

Ispitajte s obje strane slijedece limese:

1 limx→0

ex − 1

x

2 limx→1

ln x

x − 1

Definicija

Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Problem

Dodefinirajte funkcijesin x

x;

ex − 1

x;

ln x

x − 1tako da budu

neprekidne.



Zadatak


1 limx→0

ex − 1

x

2 limx→1

ln x

x − 1

Definicija


x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Problem


x;

ex − 1

x;

ln x

x − 1tako da budu

neprekidne.



Zadatak


1 limx→0

ex − 1

x

2 limx→1

ln x

x − 1

Definicija


x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Problem


x;

ex − 1

x;

ln x

x − 1tako da budu

neprekidne.



Zadatak


1 limx→0

ex − 1

x

2 limx→1

ln x

x − 1

Definicija


x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Problem


x;

ex − 1

x;

ln x

x − 1tako da budu

neprekidne.



Zadatak


1 limx→0

ex − 1

x

2 limx→1

ln x

x − 1

Definicija


x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Problem


x;

ex − 1

x;

ln x

x − 1tako da budu

neprekidne.


Beskonacni limes u konacnoj tocki. Prekidfunkcije.

Zadatak


1 limx→0

1

x.

2 limx→2

4

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija

Funkcija u tocki c ∈ R ima prekid ako nije limx→c+

f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena

Sve su elementarne funkcije neprekidne u svakoj tocki svojedomene.



Zadatak


1 limx→0

1

x.

2 limx→2

4

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija


f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena




Zadatak


1 limx→0

1

x.

2 limx→2

4

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija


f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena




Zadatak


1 limx→0

1

x.

2 limx→2

4

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija


f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena




Zadatak


1 limx→0

1

x.

2 limx→2

4

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x .

b) limx→π

ctg x .

Definicija


f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena




Zadatak


1 limx→0

1

x.

2 limx→2

4

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija


f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena




Zadatak


1 limx→0

1

x.

2 limx→2

4

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija


f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena




Zadatak


1 limx→0

1

x.

2 limx→2

4

(x − 2)2.

3 a) limx→0+

ln x . b) limx→π

ctg x .

Definicija


f (x) = limx→c−

f (x).

Napomena



Konacan limes u beskonacnosti. Asimptoticnost

Zadatak

Odredite

1 limx→∞

1

x

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞

arctg x limx→−∞

arctg x

Vrijednost konacnog limesa u beskonacnosti naziva seasimptotskom vrijednosti.



Zadatak

Odredite

1 limx→∞

1

x

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞


arctg x




Zadatak

Odredite

1 limx→∞

1

x

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞


arctg x




Zadatak

Odredite

1 limx→∞

1

x

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 49

3 limx→−∞

ex

4 a) limx→∞


arctg x




Zadatak

Odredite

1 limx→∞

1

x

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞


arctg x




Zadatak

Odredite

1 limx→∞

1

x

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞


arctg x




Zadatak

Odredite

1 limx→∞

1

x

2 limx→∞

3x3 − 4x2 + 2x − 1

2x3 + 3x2 − x + 493 lim

x→−∞ex

4 a) limx→∞


arctg x



Beskonacan limes u beskonacnosti. Kosaasimptota

Zadatak

Odredite limx→∞

ln x.

Kosa asimptota grafa funkcije y = f (x) je pravac y = kx + l uslucaju da postoje konacne vrijednosti

k = limx→∞

f (x)

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer

Nacrtati kosu asimptotu grafa funkcije y =x2

√x2 − 1

.



Zadatak

Odredite limx→∞

ln x.


k = limx→∞

f (x)

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer


√x2 − 1

.



Zadatak

Odredite limx→∞

ln x.


k = limx→∞

f (x)

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer


√x2 − 1

.



Zadatak

Odredite limx→∞

ln x.


k = limx→∞

f (x)

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer


√x2 − 1

.



Zadatak

Odredite limx→∞

ln x.


k = limx→∞

f (x)

xl = lim

x→∞[f (x)− kx ]

Primjer


√x2 − 1

.


Svojstva limesa funkcije

1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

f2(x)

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

f2(x)

3 limx→c

[f1(x)

f2(x)

]=

limx→c

f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c

[f (x)]g(x) = [ limx→c

f (x)]limx→c g(x).

5 Ako je f (x) neprekidna funkcija, tada je

limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

g(x))

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .

Odredeni oblici:

A

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .



1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

f2(x)

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

f2(x)

3 limx→c

[f1(x)

f2(x)

]=

limx→c

f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c




limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

g(x))

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .

Odredeni oblici:

A

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .



1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

f2(x)

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

f2(x)

3 limx→c

[f1(x)

f2(x)

]=

limx→c

f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c




limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

g(x))

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .

Odredeni oblici:

A

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .



1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

f2(x)

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

f2(x)

3 limx→c

[f1(x)

f2(x)

]=

limx→c

f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c




limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

g(x))

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .

Odredeni oblici:

A

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .



1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

f2(x)

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

f2(x)

3 limx→c

[f1(x)

f2(x)

]=

limx→c

f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c




limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

g(x))

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .

Odredeni oblici:

A

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .



1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

f2(x)

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

f2(x)

3 limx→c

[f1(x)

f2(x)

]=

limx→c

f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c




limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

g(x))

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .

Odredeni oblici:

A

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .



1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

f2(x)

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

f2(x)

3 limx→c

[f1(x)

f2(x)

]=

limx→c

f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c




limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

g(x))

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .

Odredeni oblici:

A

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .



1 limx→c

[f1(x) + f2(x)] = limx→c

f1(x) + limx→c

f2(x)

2 limx→c

[f1(x) · f2(x)] = limx→c

f1(x) · limx→c

f2(x)

3 limx→c

[f1(x)

f2(x)

]=

limx→c

f1(x)

limx→c

f2(x).

4 limx→c




limx→c

f (g(x)) = f(

limx→c

g(x))

Neodredeni oblici:0

0,∞∞, ∞−∞, 0 · ∞, 1∞, 01 . . . .

Odredeni oblici:

A

0→∞, A

∞→ 0,

∞0→∞ A0 → 1, A∞ → {0,∞} . . .


Domaca zadaca

1 limx→3

x3 − 27

x − 3

2 limx→9

√x − 3

x − 9

3 limx→5

ln x − ln 5

x − 5

4 limx→2

e4

x−2 s obje strane.

5 Nacrtajte kosu asimptotu grafa funkcije y =x2 − 1

2x − 1


DERIVACIJA I PRIMJENE

Neka je...

x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte omjer∆y

dxza funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je

dy?



Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,

f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak



dy?



Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,

y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak



dy?



Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,

∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak



dy?



Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,

∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak



dy?



Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,

dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak



dy?



Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak



dy?



Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak



dy?


Definicija derivacije

Definicija

Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:

f ′(x) = limdx→0

f (x + dx)− f (x)

dx, odnosno y ′ =

dy

dx.

Zadatak

Odredite formule prvih derivacija funkcija:

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√

x

5 y = sin x

6 y = cos x



Definicija



f (x + dx)− f (x)

dx, odnosno

y ′ =dy

dx.

Zadatak


1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√

x

5 y = sin x

6 y = cos x



Definicija



f (x + dx)− f (x)

dx, odnosno y ′ =

dy

dx.

Zadatak


1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√

x

5 y = sin x

6 y = cos x



Definicija



f (x + dx)− f (x)

dx, odnosno y ′ =

dy

dx.

Zadatak


1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√

x

5 y = sin x

6 y = cos x


Derivacije elementarnih funkcija

Zadatak

Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko

limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0

ex − 1

x= 1.

Zadatak

Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x

koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1

ln(x)

x − 1= 1.

Zadatak

Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.



Zadatak



ex − 1

x= 1.

Zadatak



ln(x)

x − 1= 1.

Zadatak




Zadatak



ex − 1

x= 1.

Zadatak



ln(x)

x − 1= 1.

Zadatak




Zadatak



ex − 1

x= 1.

Zadatak



ln(x)

x − 1= 1.

Zadatak



Osnovna pravila deriviranja

Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .



Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x).

Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .



Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:

y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .



Uz uvjet da je poznata derivacija formule f (x) moguce je deriviratiformulu: y = c · f (x)⇒ y ′ = c · f ′(x). Uz uvjet poznavanjaderivacija formula f (x) i g(x) moguce je derivirati njihovu linearnukombinaciju:y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x)

Derivirajte:

1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .




1 y = logb x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√

x − 3x2 + 2

x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

2√x

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√

x

8 y =3√

x2 − 2√x

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√

x .


Derivacija umnoska

Ako su poznate derivacije funkcija f (x) i g(x), tada je mogucederivirati njihov umnozak:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).

Zadatak

Derivirati slijedece umnoske

1 y = xlnx

2 y = x2ex

3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx


Derivacija umnoska


Zadatak


1 y = xlnx

2 y = x2ex



Derivacija umnoska


Zadatak


1 y = xlnx

2 y = x2ex



Derivacija umnoska


Zadatak


1 y = xlnx

2 y = x2ex



Derivacija umnoska


Zadatak


1 y = xlnx

2 y = x2ex



Derivacija umnoska


Zadatak


1 y = xlnx

2 y = x2ex



Derivacija kvocijenta funkcija

Ukoliko je moguce derivirati formulu f (x) koja se nalazi u brojnikui g(x) iz nazivnika, tada je moguce odluciti se na derivaciju

kvocjenta tih dviju funkcija:y = f (x)g(x) ⇒ y ′ = f ′(x)·g(x)−f (x)·g ′(x)

(g(x))2

Odredite formule prvih derivacija slijedecih funkcija:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

ex

x2c) y =

√x

lnx

3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3

x2 + 3.

4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1

cos x − sin x.




kvocjenta tih dviju funkcija:

y = f (x)g(x) ⇒ y ′ = f ′(x)·g(x)−f (x)·g ′(x)

(g(x))2


1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

ex

x2c) y =

√x

lnx


x2 + 3.


cos x − sin x.





(g(x))2


1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

ex

x2c) y =

√x

lnx


x2 + 3.


cos x − sin x.





(g(x))2


1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

ex

x2c) y =

√x

lnx


x2 + 3.


cos x − sin x.


Derivacija inverzne funkcije

Ako jey = f (x)

formula koja opisuje funkcijsko pridruzivanje varijable x vrijednosti

funkcije y , onda je y ′ =dy

dx= f ′(x) Formula inverzne funkcije

izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x . Tada

je x ′ =dx

dy=(f −1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1

f ′(f −1(y)). Formula derivacije

inverzne funkcije glasi:(f −1(x)

)′= 1

f ′(f −1(x)).

Primjer

Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .

Zadatak

Izvedite derivaciju funkcije y = arctgx .



Ako jey = f (x)



dx= f ′(x)

Formula inverzne funkcije


je x ′ =dx

dy=(f −1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1



)′= 1

f ′(f −1(x)).

Primjer


Zadatak




Ako jey = f (x)




izrazava varijablu x preko vrijednosti funkcije y : f −1(y) = x .

Tada

je x ′ =dx

dy=(f −1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1



)′= 1

f ′(f −1(x)).

Primjer


Zadatak




Ako jey = f (x)





je x ′ =dx

dy=(f −1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1

f ′(f −1(y)).

Formula derivacije


)′= 1

f ′(f −1(x)).

Primjer


Zadatak




Ako jey = f (x)





je x ′ =dx

dy=(f −1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1



)′= 1

f ′(f −1(x)).

Primjer


Zadatak




Ako jey = f (x)





je x ′ =dx

dy=(f −1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1



)′= 1

f ′(f −1(x)).

Primjer

Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x

i f (x) = arccos x .

Zadatak




Ako jey = f (x)





je x ′ =dx

dy=(f −1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1



)′= 1

f ′(f −1(x)).

Primjer


Zadatak




Ako jey = f (x)





je x ′ =dx

dy=(f −1(y)

)′=

1

f ′(x)=

1



)′= 1

f ′(f −1(x)).

Primjer


Zadatak



Derivacija kompozicije funkcija

Kompozicije funkcija su formule u kojoj jedna funkcija za argumentima cijelu formulu neke druge funkcije.Ukoliko je poznata derivacija funkcije-argumenta i funkcije kojoj jeona argument, moguce je derivirati:

y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).

Primjer

Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.

Zadatak

Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .



Kompozicije funkcija su formule u kojoj jedna funkcija za argumentima cijelu formulu neke druge funkcije.

Ukoliko je poznata derivacija funkcije-argumenta i funkcije kojoj jeona argument, moguce je derivirati:

y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).

Primjer


Zadatak





y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).

Primjer


Zadatak





y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).

Primjer


Zadatak





y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).

Primjer


Zadatak





y = f (g(x))⇒ y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x).

Primjer


Zadatak



Odrediti prve derivacije:

Napisite formule prvih derivacija:

1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:

1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6

3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e

4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1




1 y =√

x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x


1 y =√

xex − x , za x = −1

2 y =3√



4 y = ln cos x−1x , za x = 1


Derivacije viseg reda

Odredite druge derivacije slijedecih funkcija:

1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x

3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x

32x

4 y = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x

5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2

6 y = x arccos x2 −√

4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x

8 y = (sin x2 − cos x

2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3

b) y = 34 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x

3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x

b) y = 3x3 ln x − x3 c) y = 23x

32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x

3 a) y = (x2 + 2x + 2)e−x b) y = 3x3 ln x − x3

c) y = 23x

32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2)

b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3

b) y = ln tg 2x+14

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x




1 a) y = 7x3 b) y = 3

4 x 3√

x

2 y = 27 x3√x − 4

11 x5√x + 215 x7√x


32x


5 a) y = ln(2x3 + 3x2) b) y =√

1− 3x2


4− x2

7 y =√

x arcsin√

x +√

1− x


2 )2

9 a) y = cos3 x3 b) y = ln tg 2x+1

4

10 y = ln√

1+sin x1−sin x


Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)

Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac koji se najboljepriljubljuje krivulji grafa: Γf = {(x , y), y = f (x)}.

Poznavanje triju velicina : apscise diralista x0, ordinate diralistay0 = f (x0) i vrijednosti prve derivacijey ′(x0) = f ′(x0) = k .

Jednadzba tangente je jednadzba pravca koji prolazi diralistem(x0, y0) i ima koeficijent smjera k = tgϕ = y ′(x0)gdje je ϕ kut koji pravac zatvara s pozitivnimsmjerom osi 0x : y − y0 = k(x − x0).

Normala je pravac koji okomito probada graf:y − y0 = − 1

k (x − x0).

Primjer

Nacrtajte tangentu na graf funkcije f (x) = ln1− x2

x2u tocki

x0 = 12 .







k (x − x0).

Primjer


x2u tocki

x0 = 12 .







k (x − x0).

Primjer


x2u tocki

x0 = 12 .







k (x − x0).

Primjer


x2u tocki

x0 = 12 .







k (x − x0).

Primjer


x2u tocki

x0 = 12 .


Zadaci

1 Nacrtajte grafove slijedecih funkcije i napisite jednadzbetangenata na grafove u tockama koje su zadane slijedecimpodacima:

1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12

2 krivulja y = 12x u tocki x = 4

3 funkcija y =√

x , u tocki y = 3

2 Nadite jedndzbu tangente i normale1 na krivulju y = 3

√x − 1 u tocki (1, 0).

2 na krivulju y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.

3 na krivulju y = e1−x2

u sjecistima s pravcem y = 1.

3 Formula glasi

y = lnx +√

1− x2

x.

Koliko je y ′(1)? Napisite jednadzbu tangente i jednadzbunormale na graf funkcije zadane formulom.


Rjesenja zadataka

1 a)4x − 4y + 1 = 0; b)y = −34 x + 6; c)y = 1

6 x + 32

2 Tangenta i normala redom: a)x = 1, y = 0;b)x − 2y − 1 = 0, 2x + y − 2 = 0;c)2x + y − 3 = 0, x − 2y + 1 = 0 za (1, 1);2x − y + 3 = 0, x + 2y − 1 = 0 za (−1, 1).

3 Iz y ′ = 1x+√

1−x2· −1−x2

x√

1−x2ocito je y ′(1)→∞, sto daje za

tangentu vertikalu x = 1, a za normalu y = 0.


Derivacija implicitno zadane funkcije

Uz odredene uvjete jednadzba

F (x , y) = 0

implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy

dx sada je funkcija dviju varijabli.

Primjer

Formule prvih derivacija navedenih funkcija.

Zadatak

Napisati jednadzbu y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y 3 − 6xy = 0.




F (x , y) = 0

implicitno definira y kao funkciju od x .

Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy


Primjer


Zadatak





F (x , y) = 0

implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25,

y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy


Primjer


Zadatak





F (x , y) = 0

implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x ,

4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy


Primjer


Zadatak





F (x , y) = 0

implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36

i25x2 − 16y 2 = 400.Prva derivacija y ′ = dy


Primjer


Zadatak





F (x , y) = 0

implicitno definira y kao funkciju od x . Primjeri su funkcije zadanekrivuljama drugog reda: x2 + y 2 = 25, y 2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y 2 = 400.

Prva derivacija y ′ = dydx sada je funkcija dviju varijabli.

Primjer


Zadatak





F (x , y) = 0



Primjer


Zadatak





F (x , y) = 0



Primjer


Zadatak



Rijesite slijedece zadatke

1 Nadite y ′ ako je y zadana formulom

y 3 =x − y

x + y.

2 Funkcija y zadana je implicitno formulom

ey = x + y .

Napisati formulu za y ′.3 Naci formulu y ′ iz formule

3√

x2 + 3√

y 2 =3√

a2,

gdje je a proizvoljna konstanta.

Rjesenja:

1 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

2 y ′ = 1ey−1

3 y ′ = − 3√

yx.


Rijesite slijedece zadatke

1 Nadite y ′ ako je y zadana formulom

y 3 =x − y

x + y.

2 Funkcija y zadana je implicitno formulom

ey = x + y .

Napisati formulu za y ′.3 Naci formulu y ′ iz formule

3√

x2 + 3√

y 2 =3√

a2,

gdje je a proizvoljna konstanta.

Rjesenja:

1 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

2 y ′ = 1ey−1

3 y ′ = − 3√

yx.


Logaritamsko deriviranje

Primjer

Napisite formulu prve derivacije

1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x . y ′ = 1

Zadatak

Odredite podrucje definicije funkcije y = x · 3

√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.P = 25 35

52 .



Primjer


1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak


Zadatak


√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite


52 .



Primjer


1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak


Zadatak


√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite


52 .



Primjer


1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak

Odredite y ′(1, 1) funkcije xy = y x .

y ′ = 1

Zadatak


√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite


52 .



Primjer


1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak


Zadatak


√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite


52 .



Primjer


1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak


Zadatak


√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite

jednadzbe tangente i normale na graf zadane funkcije u tockiT (3, ?). Koliku povrsinu omeduju tangenta, normala i os ordinata.

P = 25 3552 .



Primjer


1 y = xx .

2 y = (sin x)x .

3 y = xxx .

Zadatak


Zadatak


√(x−2)2(x+1)

(x−1)5 . Napisite


52 .


Parametarsko zadavanje krivulja

Tocke svake prostorne krivulje zadane su vektorom~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) koje generira parametar t, obicno t > 0.Primjer: y = x2 generira se parametrom kao (t, t2). Ako separametar tumaci kao vremenski trenutak, tada krivulja predstavljatrajektoriju gibanja zadanog jednadzbama x = t, y = t2.

Primjer

Krivulja koju bi opisivala svjetiljka zalijepljena na rub kotaca biciklapolumjera a dok se vozi po ravnoj cesti je cikloida, a koordinatetocaka cikloide racunaju se po formulama

x = a(t − sin t)

y = a(1− cos t)

Tocka cikloide dobiva se uvrstavanjem parametra t u formule kojedaju njene koordinate.



Tocke svake prostorne krivulje zadane su vektorom~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) koje generira parametar t, obicno t > 0.

Primjer: y = x2 generira se parametrom kao (t, t2). Ako separametar tumaci kao vremenski trenutak, tada krivulja predstavljatrajektoriju gibanja zadanog jednadzbama x = t, y = t2.

Primjer


x = a(t − sin t)

y = a(1− cos t)




Tocke svake prostorne krivulje zadane su vektorom~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) koje generira parametar t, obicno t > 0.Primjer: y = x2 generira se parametrom kao (t, t2).

Ako separametar tumaci kao vremenski trenutak, tada krivulja predstavljatrajektoriju gibanja zadanog jednadzbama x = t, y = t2.

Primjer


x = a(t − sin t)

y = a(1− cos t)





Primjer


x = a(t − sin t)

y = a(1− cos t)





Primjer


x = a(t − sin t)

y = a(1− cos t)



Deriviranje parametarski zadanih krivulja

Brzina u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)prva derivacija funkcije x(t) po varijabli t.

Akceleracija u tocki na krivulji ~r(t) je vektor~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje je t parametar , a x(t)druga derivacija funkcije x(t) po varijabli t.

Tangencijalna akceleracija je vektorska projekcija akceleracije ~r(t)na smjer brzine ~r(t).

Radijalna akceleracija ili centripetalna akceleracija je vektor~acp = ~r(t)− ~r(t).


























Primjeri i zadaci

Primjer

Odredite brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu akceleracijucikloide na polumjeru a = 10 u trenutku 2s nakon pocetka gibanja.Koliki je radijus zakrivljenosti putanje?

rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak

Parametarski je zadana krivulja ~r(t) =(e−t , y = e2t

). Odredite

brzinu, akceleraciju, tangencijalnu i radijalnu komponentuakceleracije, iznos brzine i centripetalne akceleracije, pa i radijuszakrivljenosti u tocki odredenoj parametrom t = 0.

rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Teorem

Koeficijent smjera tangente na parametarski zadanu krivulju

(x(t), y(t)) racuna se po formuli y ′ =dy

dx=

y

x.


Primjeri i zadaci

Primjer


rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak


). Odredite


rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Teorem



dx=

y

x.


Primjeri i zadaci

Primjer


rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak


). Odredite


rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Teorem



dx=

y

x.


Primjeri i zadaci

Primjer


rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak


). Odredite


rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Teorem



dx=

y

x.


Primjeri i zadaci

Primjer


rj: ~v(2) = (14.2, 9.1), a(2) = (9.2,−4.2), aT (2) =(4.6, 2.9), aR(2) = (4.6,−7.1), R = 33.6.

Zadatak


). Odredite


rj: ~v(0) = (−1, 2), ~a(0) = (1, 4), ~aT = (−1.4, 2.8), ~aR =(2.4, 1.2), v = 2.24, acp = 2.68, R = 1, 866

Teorem



dx=

y

x.


Da li je jasno?

1 Krivulja je zadana parametarski: x = 2at1+t2 , y = a(1−t2)

1+t2 , gdjeje a ∈ R. Odredite jednadzbu tangente na krivulju u tockizadanoj parametrom t = 3. Izrazite povrsinu koju skoordinatnim osima odsjeca tangenta u ovisnosti o parametrua.

2 Gibanje je zadano parametarski: (2t + 3t2, t2 + 2t3).Izracunajte brzinu, centripetalnu akceleraciju i radijuszakrivljenost putanje na pocetku 4. sekunde.


Prva priprema prvog kolokvija

1 Zadani su vektori ~a = 2~i − 3~j + ~k , ~b = 6~j − 8~k i ~c = −3~k.

Izracunajte~c

|~c |× ((~a− ~b)× (~a + ~b)).

2 Vektori ~a = 2~m + ~n i ~b = ~m − 3~n odreduju paralelograma.Odredite povrsinu i opseg paralelograma, ako je |~m| = 1,|~n| = 2, a kut izmedu njih ima 600.

3 Odredite domenu i nacrtajte tangentu na graf funkcije

y =

√6− x

x − 3. u tocki s apscisom x0 = 4. Izracunajte duljinu

odsjecka kojeg na tangenti zatvara odreduju koordinatne osi.Rezultate zaokruzite na stotinku.

4 Nacrtajte graf sinusoide zadane formulomy = −2 cos

(x3 + π

9

). Odredite formulu inverzne funkcije i

prirodno podrucje definicije inverzne funkcije.5 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju yey = ex+1

u tocki T (0, 1) zadane krivulje. Koliku povrsinu zatvarajutangenta i normala s osi apscisa?


Documents

Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi