MATEMATIKA Ipred. M.Tevčić

1.) SVOJSTVA LINEARNIH JEDNADŽBI2.) VEKTORI3.) BROJEVI - KOMPLEKSNI BROJEVI4.) FUNKCIJE5.) NIZOVI (NIZ BROJEVA)

II SEMESTAR- derivacije i integrali

I. SISTEM LINEARNIH JEDNADŽBI

DETERMINANTE:

Determinante n-tog reda nazivamo broj "D" određen sa n2 brojeva"aij"(ELEMENT) raspoređen u tablicu od n redova i n stupaca na ovaj način:

a11 a12 ....a1i....a1n indeks retka

a21 a22 ....a2i....a2n a i j D = indeks stupca k ak1 ak2 ....aki....akn

an1 an2 ....ani....ann

sporedna dijagonala a1n, a2n-1,a3n-2 glavna dijagonala a11, a22, a33, ....ann

D= aij =ai1*Ai2+......+ain Ain

aij - naziva se elementom determinante Aij = (-1)i+j* a11....a1j....a1n

predznak ai1.....aij....ain i-ti redakzove se ADJUNKTA elementa aij ani....anj....ann ona je u stvari minora elementaaij=determinanta (n-1) reda koje se dobije iz zadane determinante precrtavanjem i-tog retka i j -tog stupca s predznakom "+" ili "-". MINORA j-ti stupac

SVOJSTVA DETERMINANTI

1

1.) Determinanta ne mijenja vrijednost ako njene retke zamijenimo stupcima iliobrnuto a11 a12 a13 a11 a21 a31 a21 a22 a23 = a12 a22 a32 a31 a32 a33 a13 a23 a33

2.) Ako u determinanti zamijenimo dva stupca (retka) tada determinantamijenja predznak, na primjer:

a11 a12 a13 a12 a11 a13

a21 a22 a23 = - a22 a21 a23

a31 a32 a33 a32 a31 a33

3.) Ako su dva stupca (retka) determinante jednaka ili proporcionalna, ili jejedan stupac (redak) lineara nekih drugih stupaca onda je determinanta jednakanuli (=0).

4.) Faktor zajednički svim elementima nekog stupca možemo izlučiti ispreddeterminante .

a11 *a12 a13 a11 a12 a13

a21 *a22 a23 = * a21 a22 a23

a31 *a32 a33 a31 a32 a33

5.) a11+d1 a12+d2 a13+d3 a 11 a12 a13 d1 d2 d3

a21 a22 a23 = a21 a22 a23 + a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33

IZRAČUNAVANJE DETERMINANATA II . REDA

2

+

a11 a12 = a11* a22- a12*a21

a21 a22

IZRAČUNAVANJE DETERMINANTE III . REDA

1.) LAPLACE-ov RAZVOJ PO I. RETKU

a11 a12 a13

a21 a22 a23 =a11 x A11 + a12 x A12 +a13 x A13

a31 a32 a33

a22 a23 a21 a23 a21 a22 = a11 x (-1)1+1 x + a12 x (-1)1+2 x + a13 x(-1)1+3 x =

a32 a33 a31 a33 a31 a32

= a11 x(a22 x a33-a23 x a32) - a12 x(a21 x a33-a23 x a31)+a13 x (a21 x a32-a22xa31)=

=a11 x a22 x a33-a11 x a23 x a32-a12 x a21 x a33 +......

2.)

3

Izračunavanje determinate po SORRUSOVOM pravilu

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

= a11 x a22 x a33 + a12 x a23 x a31+ a13 x a21 x a32-a13 x a22 x a31 - - a11 x a23 x a32 - a12 x a 21 x a33

RJEŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNADŽBI

BROJ JEDNADŽBI = BROJU NEPOZNANICA

a11 x1+a12 x2+a13x3+..........+a1n* xn=b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3+..........+a2n * xn=b2 . . (*)

an1 x1+ an2 * x2+.............+ ann * xn=bn

slobodni članovi

a11 a12....a1j....a1n a11 a12....b1....a1n

D = a21 a22....a2j....a2n Dj= a21 a22....b2....a2n

an1 an2....anj....a1n an1 an2....bn....ann

determinanta determinanta Dj sistema

Determinanta Dj je determinanta koju dobijemo iz determinante "b" zamjenom stupcaa1j ; a2j ;....anj ; sa stupcem sastavljenim od slobodnih članova b1 ; b2 ; ....bn.

Sistem jednadžbi (*) zvijezda nazivamo homogenim ako su svi bk=0, k=1,2,.....,n ( za svaki) to znači da su i svi k=0

4

Dk=0, k=1,.........,n

HOMOGEN sistem ima rješenje različito od "0" rješenja ako je determinanta sistemazvijezda jednaka nuli i obrnuto.

TRIVIJALNO ili NUL rješenje je kada su sve nepoznanice jednake "0".

Sistem zvijezda (*) je nehomogen ako je barem jedan ( bk0) bk različit od nule.

RJEŠENJE SISTEMA ZVIJEZDA

1.) Ako je determinanta sistema zvijezda "d" različita od nule onda je sistemzvijezda određen , on ima jedinstveno riješenje.

Korijeni Xi izražavaju se po Cramerovim pravilima.

X1= DD

12

, X2= DD

2 , X3=

DD3

,.......Xn = DnD

2.) Ako je determinanta D=0 i nisu svi Dj=0 tada je sistem zvijezda nesnošljiv(postoji termin inkopamtibilan ili kontradiktoran) sadrži protuslovne jednadžbe. U tomslučaju sustav nema niti jednog rješenja.

3.) Ako je determinanta sustava D=0 i ako su sve D1=D2=D3=......=Dn=0 tada sumoguća dva slučaja ---- sistem nema niti jedno rješenje ili sistem ima beskonačnomnogo rješenja. ZADACI:

1.primjer X-3Y=6 X=DD1

=DxD

2X+5Y=1 NEHOMOGEN SISTEM

D= 1 -3 = 1x5-(-3).2=5+6=11 X=3311

=3 Y=DD

2 1111 1

2 5 DX=D1= 6 -3 =6x5-(-3)x1=30+3=33 X=3 ; Y=-1 1 5

Dy=D2= 1 6 = 1x1-6x2=1-12=-11 2 1

II. VEKTORI OSNOVNI POJMOVI

SKALAR-------- BROJ

5

VEKTOR--------

1.DEFINICIJA SKALAR JE fizikalna veličina zadana jednim numeričkim podatkom koji senaziva iznos te veličine .

2.DEFINICIJA VEKTOR ili USMJERENA DUŽINA (geometrijska ili fizikalna) je veličina

određena :1.)duljinom (modul ili apsolutna vrijednost)2.) smjerom (nosač, pravac nositelj)3.) orijentacijom (smisao ili usmjerenje)

Vektor se označuje malim slovom i označuje se strelicom, dok velikim slovomoznačujemo početak i kraj vektora.

a

A B

početna točka završna točka ili kraj vektora

Duljinu vektora a = AB nazivamo duljina dužine AB i označujemo ovako :

a = AB P B a a AKO NEMA b P1

A a = a

SMJER VEKTORA = pravac na kojem leži vektor ab nazivamo smjerom vektora ab.

Ako su pravci nositelja vektora a i b paralelni (P1II P2)tada kažemo da su vektori a i b istoga smjera i da suto kolinearni vektori.

P1 P2

P1 P2

a b

6

a b U1 U2

a c P1 P2

U1 U2 a , b jednako orijentirani , isti smjer a , c suprotno orijentirani isti smjer

Vektori a i b su kolinearni i jednake orijentacije. Vektori a i c su kolinearni vektorikoji imaju suprotnu orjentaciju. Ako vektori nisu kolinearni ne možemo govoriti onjihovim orijentacijama.

JEDNAKOST VEKTORA

DEF.3 Dva su vektora jednaka ako su istogsmjera , orijentacije i jednake duljine.

SUPROTNI VEKTORI

DEF.4 Ako su dva vektora iste duljine, istogsmjera ali suprotne orijentacije , tada ihnazivamo suprotnim vektorima.

NUL VEKTOR DEF.5 Ako je duljina vektora jednaka 0 (nuli) ((I a )= 0) tada govorimo o nulvektoru i označujemo ga sa 0. Nulvektor se predočava (označuje) točkom, početak i kraj mu se podudaraju , a smjer iorijentacija su mu neodređeni.

JEDINIČNI VEKTORI

Neka je a 0 (a je različit od nul vektora). Sa a0 (a nula) označavamojedinični vektor vektora a. To je vektor koji ima isti smjer kao i vektor a , a duljinamu je jednaka jedan ( naziva se i "ORT"). Dobijamo ga tako da vektor podijelimo snjegovom duljinom.

a

P2

B

A D

AB=CD P1 C

-a a a -a -(-a)

-a = a = a

7

( a = I a I * a0)

a0 = a

IaI

ZBRAJANJE I ODUZIMANJE VEKTORA

Cb b

a A B dva nadovezana vektora dio vektora

C

a + b bAB + BC = AC

A a B

nadovezuju se

DEF. Pod zbrojem dvaju vektora A i Bpodrazumijevamo vektor kojem je početak upočetku vektora a , a kraj mu se podudara skrajem vektora b koji je paralelnim pomakomdoveden u takav položaj da mu se početakpokriva s krajem vektora a . ZAKONPARALELOGRAMA ako imamo vektore a ib s istom početnom točkom onda je zbrojvektora a i b vektor AC koji je dijagonalaparalelograma razapetog vektorima a i b .

a + b = AB Za zbrajanje vektora vrijedi =1. Zakon komutacije a + b = b + a 2. Zakon asocijacije (a + b ) + c = a + b + c

3. a + (-a ) = 0

4. a + 0 = a ( nul vektor je neutralnielement za zbrajanje)

ZBRAJANJE VIŠE VEKTORA Zbroj " n " nadovezanih vektora A1A2 , A2A3 , ........ AnAm+1 jednak jevektoru A1An+1

b

a+b zakon

paralelogramaa

b

a a+b c a+b+c

8

A1A2 + A2A3 + A3A4......AnAn+1 = A1An+1

ODUZIMANJE VEKTORA

Pod razlikom ( a - b ) vektora a i b podrazumijevamo zbroj vektora a i vektorasuprotnog vektoru b (- b).

a - b = a + (-b)

a - b b

a -b

a - b-b

b a+b a-b

a MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM

Kod množenja vektora skalarom dolazi se poopćenjem zbrajanja vektora.

2 x a = a + a n * a = a + a .......xa

n puta

Skalar s kojim množimo ne mora nužno biti cijeli broj.

a a

a -2 a a

DEF.Pod produktom . a = a . nekog skalara s vektorom a podrazumijevamo

novi vektor kojemu je duljina jednaka apsolutna puta apsolutno od a .

9

. a Smjer ostaje isti kao i smjer vektora a , a orijentacija se mijenja ovisno od i to 0 (lamda veći od nule ) onda je orijentacija ista kao orijentacija vektora " a ".

0 , ako je manja od nule, orijentacija je suprotna od vektora " a ".

SVOJSTVA PRODUKTA VEKTORA SA SKALAROM 1.) (a + b) = . a + . b 2.) ( + ) . a = . a + . a 3.) . ( . a ) = ( . ) . a

4.) . . a = . . a 5.) . a = a . 6.) 1 . a = a 7.) (-1) . a = - a 8.) 0 . a = 0 . a

Primjer:

a.)

6 .(a + b )- 3 . (a - 13

b ) + 2( b + 3 a ) = 6 a + 6 b - 3 a - 3 . (-13

) . b + 2 b + 2 . 3 a =

= 6 a + 6 b - 3 a + b + 2 b + 6 a = 9 a + 9 b = 9 ( a + b )

b.)

a b a b b a b a

a

3

23

21 3 3

222

LINEARNA KOMBINACIJA VEKTORA

LINEARNA ZAVISNOST I NEZAVISNOST

DEF.Neka su a i b vektori , a alfa i beta realni brojevi. Vektor c = a + b

nazivamo linearna kombinacija vektora a i b s koeficijentima alfa i beta, a analognose definira i linearna kombinacija n vektora a1, a2 ,.......an -koeficijenta 1, 2,...... n kao suma 1

. a1 + 2 . a2 +.......+n an .

NAPOMENA:Ako vektor c napišemo preko linearne kombinacije vektora a i b tada

kažemo da smo vektor c rastavili u komponente po vektorima a i b .

10

DEF.2 Neka su vektori a1, a2...... an različiti od vektora 0 ( 0 ). Ako postoje realni

brojevi 1, 2......... n koji nisu svi jednaki 0 , tako da vrijedi da je nul vektor jednak 0 = 1

. a1. a2+ ....... n an tada vektore a1, an, ...... n nazivamo linearno zavisnim

vektorima. Ako je linearna kombinacija 1. a1 + 2

. a2 +........+ n . an jednaka 0 (nuli)samo u slučaju kada su svi jednaki 0 tada za vektore a1, a2..... an kažemo da sunezavisni.

TEOREM

1.) Ako su a i b nekolinearni vektori ravnine tada su oni linearno nezavisni.

2.) Svaki vektor a u ravnini može se na jedinstven način prikazati kao linearnakombinacija dva nekolinearna vektora a1 i a2 tj . a = 1 . a1 + 2 . a2 a1 , a2 ..... linearno nezavisni 1, 2........ jednoznačno određen

NAPOMENA

U ravnini su svaka dva kolinearna vektora ujedno i linearno zavisna.

3.) Svaki vektor u prostoru može se na jedinstven način rastaviti u komponente posmjerovima u tri nezavisna vektora (nekomplanarna).

ZADATAK 1.-

a = AC, b = BD su dijagonale paralelograma A,B,C,D. Izrazi vektore AB ; BC ; CD i DA preko vektora a i b .

Točka S je sijecište dijagonala.Dijagonale paralelograma seraspolavljaju.

AB = AS + SB= 12

a + (- 12

b) =

= 12

( a - b ) = 12

a - 12

b

BC = BS + SC = + 12

b + 12

a =

= + 12

a+ 12

b = 12

( a + b )

D C

S a b

A B

11

CD = CS + SD = - 12

a + 12

b = 12

( -a + b ) = - 12

( a - b )

DA = DS + SA = - 12

b - 12

a = - 12

a- 12

b = - 12

( a + b )

ZADATAK 2.

Neka su vektori AB = c ; BC = a ; CA = b A.) pomoću vektora a ; b ; c izrazi vektore težišnica AD ; BE ; CF

B.) pokaži da i težišnice mogu biti stranice nekog trokuta

C.) pokaži da je vektor ED = 12

AB

RJ...

A -- Težišnica u omjeru 2:1 Težišnica trokuta je spojen vrh trokutasa polovicom suprotne stranice.

1T. AD= AB + BD = AB + 12

BC =

= c + 12

a ili

= AC+CD=AC+ 12

CB=-b - 12

a

2T.

BE = BC + CE = BC + 12

CA = a + 12

b

3T.

CF = CA + AF = b + 12

c

B..... Da bi tri vektora činila X + Y + Z vektor

C

E D b T a

A F c B

12

AD + BE + CF = ( c + 12

a ) +( a + 12

b ) + (b + 12

c ) = ( 12

+ 1) a + ( 12

+ 1) b+

+ ( 12

+ 1) c = 32

32

32

32

a b c a b c

a + b+ c je nul vektor zato što vektori a ; b ; c čine trokut pa je njihov zbrojjednak nul vektoru. Prema tome težišnice stvarno čini trokut. AD + BE + CF=

b a a b b c a b c

a b c a b c

12

12

12

12 1 1

12 1

12

12

12

12

12

12

0 0

C....

ED = 12

AB

ED EC CD b a a b c AB

akoje

a b c onda je

c a b a b c a b

12

12

12

12

12

0

ZADATAK 3.U pravokutniku O ; A ; B ; C neka su M iN polovišta stranica AB i BC .

Rastavi vektor OB na vektoreOM koji ćemo označiti sa a i ON kojićemo označiti sa b - OM=a,ON=b

OB= OM + MB = a + 12

AB

a = OA + AM = OA+ 12

ABOA =

= a- 12

AB =()

b=ON =OC+ CN = AB + 12

OA = AB + 12

(a- 12

AB) = AB+12

a- 14

AB = 34

12

AB a

C N B

b M

a O A

13

b AB a AB b a

AB b a b a

OB a AB a b a a b a a b a b

a b

CN CB

34

12

34

12

43

43

12

43

43

23

12

12

43

23

23

13

23

23

23

23

23

12

/

VEKTORI U KORDINATNOM SUSTAVU

VEKTORI U RAVNINI

Promatrat ćemo kartezijevkoordinatni sustav ( O ; X ; Y ) uravnini. Nula je ishodište koordinatnogsustava. 0x os je apscisa , Y - os jeordinata - ordinatni sustav.

vektor OE1= i na X osi

Y

0 X nula

14

vektor OE2= j na Y osi

i = j = 1

E1 = (1, 0 ) E2 = (0,1)

DEF. Neka je nula ishodište uravni. Onda se vektor r koji je jednak OP (r = OP ) naziva radij vektor točke P.

Radij vektor -- ishodišteje u nul - vektoru.

DEFI.Neka je "P" bilo koja točka u ravniniskalarne komponente , projekcije rx , ry

njezina radij vektora " r " u smjeru X osiodnosno Y osi nazivamo PRAVOKUTNIM(DECARTESOVIM) KOORDINATAMATOČKE " P ".

X= rx ; Y= ry vektor OP= rx i = X i

OP"= ry j = Y j

OP + OP" = OP = r r = rx + ry j = X i + Y j

r = ( X, Y ) P (X , Y ) 0 , i , j (0 , X , Y) radij vektor točka točke "P"

A (X1, Y1) ; B ( X2, Y2) Neka su A i B početna, odnosno završna

točka nekog vektora a .

a = AB

a ax ay2 2 2

a2= ax2 + ay2

AB = a = ax i + ay j r2 = r1 + a a = r2 - r1 r1= X1i +

Y1j

Y ( X=0)

radij vektor točke P E2 P (X;Y) jedinična j udaljenost

0 i E1 X

(Y=0) jedinična udaljenost

Y P" j P(X,Y) Yj 0 X i Xi P

Y

Y2 a B (X2,Y2) ay Y1 A (X1,Y1) j r 1 r2

0 i X1 X2 X ax

15

r2 = X2 i + Y2 j

AB = a = r2 - r1= (X2 i + Y2 j )-( X1i + Y1j )= (X2 - X1) i + (Y2- Y1) j

ax = X2- X1

ay = Y2- Y1

MODUL VEKTORA

Modul vektora AB= a =ax2- ay2 =

x x y y2 12

2 12

A x y B x y

AB x x y y a a ax y

1 1 2 2

2 12

2 12 2 2

, , ,

RADIJ-VEKTOR , KOSINUSNI SMJER VEKTORA

= (0 , x) modul vektora = (0,y ) a | = a

cos

cos

aa

aa

aa

aa

x x

y y

kosinus smjera vektora a

SKALARNE KOMPONENTEPROJEKCIJE VEKTORA a

a = (acos) i + (acos) j a = ax i + ay j

Iz Pitagorinog poučka:

a a a

a a aa a a a

x y2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

cos coscos cos :

cos cossin cos

2 2

2 2

11

x x

Iz Pitagorinog poučka a2+b2=c2

C

a * b

Y

A(X,Y) y ay a a =a X 0 x

ax

16

JEDINIČNI RADI VEKTOR

aaa

a i a ja

a i a j

a i j

x y0

0

cos cos

cos cos

A=(x,y) a = (ax,ay) = ax i + ay j

1.) duljina vektora a ---- a a a a x yx y 2 2 2 2

2.) kosinus smjera radij-vektora a

cos

cos

aa

aa

xa

aa

aa

ya

x x

y y

3.) cos2 + cos2=1 4.) .......

17