Embed Size (px)
Citation preview
0
MATEMATIK OCH OPTIONER
Matematikkurs vid CTH och GU
Christer BorellMatematiska institutionen CTH&GU412 96 Göteborg(Version: sep 99)
0
Innehåll
kap sid
1 Några inledande ord om �nansiella derivat 1
2 Konvexitet 9
3 Måtteori 29
4 Stokastiska grundbegrepp 53
5 Konstruktion av Brownsk rörelse och Gaussiska processer 73
6 Centrala gränsvärdessatsen 97
7 Black-Scholes di¤erentialekvation 107
8 Utdelningsprocesser 125
9 Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral 133
10 Translation av Wienermått och prissättning av derivat 141
11 Stokastiska integraler av Itôs typ 155
12 Själv�nansierande portföljstrategier 177
13 Flera underliggande aktier 193
14 Stopptid 209
15 HJM -modellen vid deterministisk volatilitetsstruktur 223
Tentamensskrivningar med lösningar 239
Referenser 273
1
1. Några inledande ord om �nansiella derivat
Ett värdepapper som de�nieras i termer av andra värdepapper kallas ett �-nansiellt derivat. Inledningsvis betraktar vi endast �nansiella derivat, somde�nieras av ett enda värdepapper, nämligen en aktie. Aktiens pris vid tident betecknas med S(t). Låt nu T vara ett givet framtida datum och antag attett visst derivat i aktien kan inlösas vid tiden T och då utbetalar beloppetf(S(T )) . Ett sådant derivat sägs vara ett enkelt derivat av europeisk typeller ett enkelt kontrakt av europeisk typ. Här kallas f utbetalningsfunktioneller kontraktsfunktion och T kallas slutdag eller mognadsdag för kontrak-tet. Ett motsvarande amerikanskt kontrakt med utbetalningsfunktionen fkan inlösas vid vilken tidpunkt t som helst före eller på slutdagen T omkontraktsinnehavaren så önskar och utbetalar då beloppet f(S(t)) .Antag nu att K är ett givet positivt tal. En europeisk köpoption i ak-
tien med lösenpris K och slutdag T är rättigheten, men ej skyldigheten, attköpa en aktie till priset K vid tiden T . En europeisk säljoption i aktien medlösenpris K och slutdag T är rättigheten, men ej skyldigheten, att sälja enaktie till priset K vid tiden T: På liknande sätt är en amerikansk köpop-tion (säljoption) i aktien med lösenpris K och slutdag T rättigheten, menej skyldigheten, att vid ett tillfälle köpa (sälja) en aktie till priset K un-der tidsperioden från nu fram till och med tidpunkten T . Slutdagen för enaktieoption kallas också lösendag. Ett enkelt derivat av europeisk typ medutbetalningsfunktionen
c(s) = max(0; s�K)
och slutdagen T är på en friktionsfri marknad ekvivalent med en europeiskköpoption med lösenpriset K och lösendagen T: Notera också att på en frik-tionsfri marknad är ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalnings-funktionen
p(s) = max(0; K � s)
och slutdagen T ekvivalent med en europeisk säljoption med lösenpriset Koch lösendagen T . Köpoption heter �call�på engelska och säljoption �put�,vilket ligger till grund för våra beteckningar. I begreppet friktionsfri mark-nad inbegripes gratis transaktioner av värdepapper samt att in- och utlån-ingsräntan är lika. Därutöver antas att lån av värdepapper är gratis samt att
2
handel förekommer i delar av värdepapper. Vi bortser också från alla typerav skatter. I denna framställning förutsätts att alla kapitalmarknader är frik-tionsfria. Om inte annat anges förutsätts också att aktien ej ger utdelningoch att räntan är konstant.Aktier och optionskontrakt är mycket gamla företeelser. Aktier har varit
kända under minst 750 år. Merton berättar i sin bok �Continuous-TimeFinance� [MER1] om handel i köpoptionsliknande instrument på Amster-dams fondbörs för 350 år sedan. Optionskontrakt på jordbruksprodukteranvändes för övrigt redan av medeltidens köpmän [GEM ] : Att värdera �-nansiella derivat på ett teoretiskt övertygande sätt har emellertid varit svårti historien och problemet �ck ingen tillfredsställande lösning förrän under1970-talet. Begreppet arbitrage dvs riskfri vinst är här mycket centralt. Detmest komplicerade momentet i detta sammanhang består dock i att förståde underliggande värdepapperens prisdynamik. Den matematiska teorin förstokastiska processer har hittills spelat en avgörande roll för de framsteg somgjorts.En kombination av värdepapper kallas för en portfölj. Vi tillåter värde-
pappersinnehav i delar av värdepapper, som eventuellt kan vara negativa.Vi antar alltid att marknaden erbjuder obligationer. Betrakta en godtyckligportfölj A med värdet VA(t) vid tiden t. Om VA(T ) � 0 medför att VA(t)� 0 för alla tider t < T så sägs dominansprincipen gälla (jmfr [S]). På enarbitragefri marknad gäller dominansprincipen. Om en portfölj består avaktier, obligationer och derivat av europeisk typ och portföljen är värdelösvid en viss tid, så medför dominansprincipen att portföljen är värdelös vidalla tidigare tidpunkter. En portföljstrategi där byte av värdepapper tillåtsutan att portföljvärdet ändras i samband med bytet kallas själv�nansierande.Dominansprincipens de�nition kan generaliseras till denna allmännare situ-ation.Vi utnyttjar i denna framställning ofta en obligation vars värde B(t) vid
tiden t ges av ekvationenB(t) = Cert
där C och r är positiva konstanter. Observera
B(t) = B(0)ert:
Vi uppfattar här storheten r som kontinuerlig ränta. Stokastisk ränta stud-eras först i kapitel 15.
3
För att belysa dominansprincipen betraktar vi ett enkelt europeiskt derivati aktien med slutdagen T och utbetalningsfunktionen
f(s) = s:
Låt v(t) beteckna derivatets värde vid tiden t. Antag först att
v(t) > S(t):
Detta leder till följande handlingsplan: utfärda derivatet och köp aktien vidtiden t; sälj aktien vid tiden T och ge likviden till innehavaren av kontraktet.Vid tiden t erhålls därvid beloppet v(t) för utfärdandet av derivatet och efterköp av aktien kvarstår nettot v(t)�S(t): Strategin ökar således portföljvärdetfrån noll till (v(t)� S(t))er� i tidsintervallet från t till T där
� = T � t
och r är räntan.Antag nu att
v(t) < S(t):
Denna olikhet leder till följande handlingsplan: låna aktien vid tiden t ochsälj den omedelbart; köp därefter derivatet; vid tiden T utbetalar derivateten summa som betalar köp av aktien, som lämnas tillbaka till långivaren.Strategin ger nettot S(t) � v(t) vid tiden t. Vi har alltså funnit en strategisom ökar portföljvärdet från noll till (S(t)�v(t))er� i tidsintervallet från t tillT . En själv�nansierande strategi som under ett givet tidsintervall ökar port-följvärdet från noll till ett positivt värde kallas för en arbitragestrategi. Så-dana strategier är naturligtvis populära och en e¤ektiv värdepappershandeleliminerar alla arbitragestrategier. På en e¤ektiv marknad har det aktuelladerivatet därför värdet
v(t) = S(t)
vid tiden t. Att låna aktier som säljs och senare köps tillbaka för att kunnalämnas tillbaka till långivaren kan eventuellt komma i kon�ikt med regler förvärdepappershandel. Dessa regler växlar från tid till annan och från land tillland. Aktieägaren kan dock alltid resonera som i exemplet genom att rent�ktivt låna av sig själv. Vi tar dominansprincipen som given i detta kapitel.Betrakta nu ett enkelt europeiskt derivat med lösendatum T och med
utbetalningsfunktionenf(s) = s�K
4
där K är en positiv konstant. På en marknad där dominansprincipen gällerfår detta derivat värdet
S(t)�Ke�r�
vid tiden t där som ovan � = T �t: Vid tiden T har nämligen derivatet ifrågasamma värde som en portfölj bestående av en aktie och �K obligationer.Väljs K så att motsvarande kontrakt är värdelöst vid teckningstiden t kallasK för aktiens terminspris vid tiden t för leverans vid tiden T och betecknasmed STterm(t). Alltså gäller
STterm(t) = S(t)er� :
Vi kan som exemplen ovan visar värdera en del derivat av intresse medmycket enkla medel. Svårigheten ökar dock snabbt. Antag att en eu-ropeisk köpoption i aktien med lösenpriset K och lösendagen T har värdetc(t; S(t); K) vid tiden t. Det �nns inte något enkelt sätt att bestämma dettavärde. I själva verket kräver problemet en mycket ingående analys av ak-tieprisets dynamik. Om p(t; S(t); K) betecknar värdet för en motsvarandeeuropeisk säljoption, så �nns inte heller här någon enkel metod att bestämmaoptionsvärdet. Värdena för motsvarande optioner av amerikansk typ beteck-nas med C(t; S(t); K) respektive P (t; S(t); K). Inte heller dessa värden ärenkla att bestämma. Om slutdagen T behöver betonas skriver vi p(t; S(t); K)= p(t; S(t); K;T ) och på motsvarande sätt för de övriga optionsvärdena.Följande relation mellan aktiepris, europeiskt köpoptionspris, europeiskt
säljoptionspris och obligationspris är dock möjlig att visa utan kännedom omaktieprisets dynamik, nämligen
S(t)� c(t; S(t); K) = Ke�r� � p(t; S(t); K):
Vi behöver bara konstatera att relationen ifråga är sann för t = T samtidigtsom vi noterar att vänstra ledet representerar värdet av en aktie och enutfärdad köpoption och högra ledet värdet av K obligationer och en utfärdadsäljoption. Dominansprincipen medför att likheten även gäller före slutdagen(relationen kallas �put-call parity relation� på engelska). Relationen visaratt den europeiska säljoptionen är lätt att värdera, så snart vi kan prissättaden europeiska köpoptionen. Vi ser också att värdet p(S(T )) vid tiden T äruppnåeligt på en kapitalmarknad som endast består av aktien, den europeiskaköpoptionen och obligationen.Betrakta nu för givna positiva konstanter A;B;K och L funktionen
f(s) = min(A(s�K)+; B(L� s)+)
5
därK < L och där s är en positiv variabel. Denna polygonfunktions derivatahar tre språngpunkter. Om vi subtraherar funktionen B(L�s)+ från funktio-nen f(s) så erhålls en polygonfunktion vars derivata har två språngpunkter.Man inser nu lätt att en lämplig kombination av säljoptioner med olika löptidhar värdet f(S(T )) vid tiden T . Vi utnyttjar här handel i delar av värdepap-per. Värdet f(S(T )) vid tiden T är därför uppnåeligt på en kapitalmarknadsom endast består av aktien, europeiska köpoptioner och obligationen.Om f(s) betecknar en godtycklig polygonfunktion i intervallet s > 0 så
inser vi på liknande sätt att värdet f(S(T )) vid tiden T är uppnåeligt på enkapitalmarknad som endast består av aktien, europeiska köpoptioner i aktienoch obligationen. Notera här att en godtycklig kontinuerlig funktion f påintervallet [0; S] kan approximeras likformigt med polygonfunktioner (bevisetbygger på Bolzano-Weierstrass sats som garanterar att en oändlig punktföljdi det slutna begränsade intervallet [0; S] har minst en hopningspunkt).Av ovanstående drar vi slutsatsen att enkla europeiska kontrakt är ganska
lätta att värdera så snart motsvarande punkt avgjorts för europeiska köpop-tioner. Vi diskuterar nedan utöver vanliga köp- och säljoptioner av europeiskoch amerikansk typ även mer invecklade så kallade betingade kontrakt. Bla värderas medelvärdesoptioner och i näst sista kapitlet studeras ingåendeoptionen att i slutet en given period få köpa en aktie till den allra lägstaaktiekurs som uppnåtts under perioden. Vi studerar också optionen att fåbyta en aktie mot en annan aktie t o m ett givet datum om kontraktsin-nehavaren så önskar. Denna option illustrerar ett derivat som beror på �eraunderliggande aktier.Det är idag en vanlig uppfattning att aktiepriser styrs av slump åtmin-
stone på kort sikt. Pris�uktuationerna uppvisar likheter med molekylers ochaggregat av molekylers �uktuationer, som först observerades av botanistenBrown år 1827 och som behandlades teoretiskt av Einstein 1905 [E] : Försökatt förstå aktieprisers �uktuationer och europeiska köpoptioner ledde år 1900fransmannen Bachelier till det anmärkningsvärda arbetet �Théorie de laspéculation�i Annales scienti�ques de l�École normale supérieure [BA] :Någotöverraskande behandlade Bachelier och Einstein samma matematiska grun-dekvationer. Den amerikanske matematikernWiener gav år 1923 en stringentmatematisk behandling av Brownsk rörelse [W ]. Bachelier, som redan i bör-jan av seklet stöddes av Poincaré, hade inget stort vetenskapligt in�ytandeunder sin livstid och �ck ett tydligt erkännande för sin pionjärinsats inommatematisk �nans först några år efter sin bortgång 1946. Genom Blacks ochScholes lösning av det europeiska köpoptionsproblemet 1973 [BS], som byg-
6
ger på japanen Itôs kalkyl med Brownska trajektorier, framstår Bacheliersuppsats från år 1900 som en milstolpe i �nansmatematikens historia. Fören intressant artikel om Bacheliers insatser inom matematisk �nans hänvisastill Samuelsons artikel [SAM2] :I de första sex kapitlen av denna framställning gör vi läsaren förtro-
gen med många fundamentala begrepp inom matematik såsom konvexitet,stokastiska processer och martingaler. I kapitel 7 härleder vi Black-Scholesberömda di¤erentialekvation med hjälp av den så kallade binomialmodellensom presenterades av Cox, Ross och Rubinstein [CRR] år 1979. Black-Scholes di¤erentialekvation ger teoretiska priser för enkla derivat av europeisktyp. De enkla amerikanska kontraktens teoretiska värden beräknas med hjälpav binomialapproximation. För att klargöra begreppet martingalmått, somspelar en nyckelroll i modern optionsteori, diskuterar vi i kapitel 10 transla-tion av det så kallade Wienermåttet. Här spelar stokastiska integraler meddeterministisk integrand en viktig roll. Detta integralbegrepp, som går till-baka till ett arbete av Paley, Wiener och Zygmund [PWZ] från år 1933;behandlas i kapitel 9. I kapitel 11 går vi in på Itôintegraler, som initier-ades av Itô i arbetena
hIT O1
ioch
hIT O2
ifrån 1942 respektive 1944. Det
visar sig att Itôintegraler är ett suveränt hjälpmedel för att värdera �nan-siella derivat och vi hoppas de kommer att ge läsaren stor glädje. Slutligeni det allra sista kapitlet behandlas Heaths, Jarrows och Mortons uppmärk-sammade modell för räntederivat i fallet av deterministisk volitilitetsstruktur[HJM ] :
Övningar
I nedanstående övningar i detta kapitel förutsätts att marknaden erbjuderen aktie, en obligation och olika typer av aktiederivat. Vi antager dessutomatt dominansprincipen gäller. Aktiens pris vid tiden t betecknas med S(t)och obligationens pris vid tiden t är lika med B(t) = B(0)ert: Om t � T såär � = T � t:
1. Visa att
C(t; S(t); K) � max(0; S(t)�K) och C(t; S(t); K) � c(t; S(t); K):
7
2. Visa attc(t; S(t); K) � max(0; S(t)�Ke�r� ):
3. Visa attC(t; S(t); K) = c(t; S(t); K)
(då aktien ej ger utdelning).
4. Visa att
T0 � T1 ) c(t; S(t); K;T0) � c(t; S(t); K;T1):
5. Visa attK0 � K1 ) c(t; S(t); K0) � c(t; S(t); K1)
och dra slutsatsen att
0 � @
@Kc(t; S(t); K)
om derivatan i höger led existerar.
6. Visa attc(t; S(t); K) � S(t):
7. Visa att
K0 � K1 ) c(t; S(t); K0) � c(t; S(t); K1)� e�r� (K0 �K1):
Visa därefter att@
@Kc(t; S(t); K) � �e�r�
om derivatan i vänster led existerar.
8. Visa attlimS(t)!0
c(t; S(t); K) = 0:
9. Visa attlimT!1
c(t; S(t); K;T ) = S(t):
10. Visa att
2c(t; S(t);K0 +K1
2) � c(t; S(t); K0) + c(t; S(t); K1):
8
11. Visa attK � P (t; S(t); K) � max(0; K � S(t)):
12. Visa att det kan vara optimalt att inlösa en amerikansk säljoption föreslutdagen
13. En aktie har priset S(t) vid tiden t: Antag t0 < T och betrakta ettderivat av europeisk typ med slutdagen T som utbetalar beloppet S(t0)vid tiden T: Visa med hjälp av dominansprincipen att derivatets värdevid tiden t < t0 är lika med S(t)e�r(T�t0); där r betecknar räntan.Vilket värde har derivatet vid tiden t 2 [t0; T ]?
14. Låt t0 < T och n 2 N+: Sätt h = 1n(T � t0) och ti = t0 + ih; i =
1; :::; n: Antag vidare att K > 0 och betrakta två europeiska derivat avmedelvärdestyp med utbetalningarna
Xc = max(0;1
n+ 1
nXi=0
S(ti)�K)
och
Xp = max(0; K �1
n+ 1
nXi=0
S(ti))
vid tidpunkten T: Antag dessa derivat har värdena vc(t) resp vp(t) vidtiden t: Visa att om t 2 [tm�1; tm[ så gäller
e�r�
n+ 1
m�1Xi=0
S(ti) +1� e�r(n�m+1)h
1� e�rhS(t)
n+ 1� vc(t) =
Ke�r� � vp(t):Försök �nna ett liknande samband för t < t0:
15. Låt t < t� < T och antag att aktien utdelar �S(t�) vid tiden t� där � 2]0; 1[ : Bestäm värdet vid tiden t för ett derivat i aktien som utbetalarS(T ) vid tiden T:
16. Låt t < t� < T och antag att aktien utdelar �S(t�) vid tiden t� där� 2 ]0; 1[ : Visa att
STterm(t) = (1� �)er�S(t):
9
2. Konvexitet
I detta kapitel uppmärksammas några grundläggande resultat inom konvex-itetsteorin samtidigt som det funktionalanalytiska språket nöts in. I slutetav kapitlet används separationssatsen för slutna konvexa koner för att utredafrågan om arbitrage i samband med den så kallade binomialmodellen för enaktie och en obligation i ett tidssteg.Alla vektorrum nedan är reella vektorrum. En delmängd A av ett vektor-
rum E sägs vara konvex, om sträckan som förbinder två godtyckliga punkteri mängden alltid ligger i mängden dvs om
x; y 2 A) �x+ (1� �)y 2 A; 0 � � � 1:
En funktion f : A! R kallas konvex om A är konvex och
x; y 2 A) f(�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y); 0 � � � 1:
En stokastisk variabel X med värden i ett vektorrum E sägs vara bino-mialfördelad om det existerar a; b 2 E; a 6= b; och p 2 ]0; 1[ så att
P [X = a] = p
ochP [X = b] = 1� p:
Här de�nieras väntevärdet E [X] av X genom att
E [X] = aP [X = a] + bP [X = b]
dvsE [X] = pa+ (1� p)b:
(Bokstaven E kommer här från engelskans �expectation�.) Alltså gäller att
f(E [X]) � E [f(X)]
för varje konvex funktion de�nierad på E. Denna olikhet kallas Jensensolikhet.En funktion f är konkav om �f är konvex. En konvex funktion f :
E ! [0;1[ sådan att f(x) > 0 om x 6= 0 sägs vara en norm på E omf är jämn dvs f(�x) = f(x); x 2 E; och positivt homogen av graden ett
10
dvs f(�x) = �f(x); x 2 E; � � 0. Om f är en norm skriver man oftaf(x) =k x k :Ett vektorrum E och en norm k : k på E bestämmer ett normerat rum
som ibland skrivs (E; k : k): Om a 2 E och r > 0 de�nieras
B(a; r) = fx; x 2 E och k x� a k< rg :
Mängden B(a; r) kallas för en öppen boll med centrum a och radie r: Endelmängd U av det normerade rummet E är öppen om det för varje a 2 Uexisterar r > 0 så att bollen B(a; r) är en delmängd av U: En öppen boll ären öppen mängd. Unionen
A [B = fx 2 E; x 2 A ellerx 2 Bg
av två öppna mängder A och B är öppen. Unionen av ett godtyckligt antalöppna mängder är också öppen. En delmängd F av det normerade rummetE kallas sluten om dess komplement
E n F = fx 2 E; x =2 Fg
är en öppen mängd. Snittet
A \B = fx 2 E; x 2 A och x 2 Bg
av två slutna mängder A och B är slutet. Detsamma gäller för snittet avett godtyckligt antal slutna mängder. Snittet av alla slutna mängder somomfattar en given mängd A kallas för slutna höljet av A och betecknas med�A. Unionen av alla öppna delmängder av en given mängd A kallas för detinre av A och betecknas med Ao: En delmängd A av E sägs vara tät i E om
A \B(a; r) 6= ;; alla a 2 E och r > 0:
Här betecknar ; den tomma mängden. Det normerade rummet ( E ; k : k)sägs vara separabelt om det �nns en sekvens (xn)n2N av element i E sådanatt fxn; n 2 Ng är tät i E: En sekvens (xn)n2N i det normerade rummet Esägs vara konvergent om det �nns ett x 2 E så att
limn!1
k xn � x k= 0:
Det kan �nnas högst en sådan vektor x och vi skriver
limn!1
xn = x:
11
En delmängd K av E är kompakt om varje sekvens (xn)n2N av element iK innehåller en delföljd (xnk)k2N som konvergerar mot ett element i K. Ensekvens (xn)n2N i E sägs vara en Cauchyföljd om det för varje " > 0 existerarett p 2 N sådant att
m;n > p)k xm � xn k< "
En konvergent följd är en Cauchyföljd. Det normerade rummet ( E ; k : k) ärett Banachrum om varje Cauchyföljd i E är konvergent. Rummet C([0; T ]) avalla reellvärda kontinuerliga funktioner de�nierade i det kompakta intervallet[0; T ]med normen
k x k1= max0�t�T
j x(t) j
är ett separabelt Banachrum. Konvergens i detta rum kallas med klassiskterminologi för likformig konvergens.Om E är ett vektorrum de�nieras
E � E = f(x; y); x; y 2 Eg :
En avbildning ' : E � E ! R kallas för en skalärprodukt i E om
(i) avbildningen x! '(x; y) är linjär för alla y 2 E
(ii) '(x; y) = '(y; x) för alla x; y 2 E
(iii) '(x; x) � 0 för alla x 2 E med likhet om och endast om x = 0:
Vi skriver i fortsättningen '(x; y) = (x; y) och
k x k=p(x; x):
Här uppfattas k x�y k som avståndet mellan x och y. Med denna beteckningfår vi kvadratregeln
k x+ y k2=k x k2 +2(x; y)+ k y k2
och parallellogramlagen
k x+ y k2 + k x� y k2= 2 k x k2 +2 k y k2 :
12
Om x och y råkar vara ortogonala dvs om (x; y) = 0 så ger kvadratregelnlikheten
k x+ y k2=k x k2 + k y k2 :Denna relation brukar kallas Pythagoras sats. Vi påminner också omCauchy-Schwarz olikhet
j (x; y) j�k x kk y ksom tillsammans med kvadratregeln ger triangelolikheten
k x+ y k�k x k + k y k :
Funktionen k : k blir således en norm på E. Ett vektorrum E och en skalär-produkt på E kallas ett Hilbertrum om motsvarande normerade rum är ettBanachrum. Rummet Rn med skalärprodukten
(x; y) =nXk=1
xkyk
är ett Hilbertrum. Bolzano-Weierstrass sats innebär att de slutna begränsadedelmängderna av detta rum är kompakta. Rummet l2(N) bestående av allasekvenser (xn)n2N i R sådana att
1Xn=0
x2n <1
är ett Hilbertrum med skalärprodukten
(x; y) =1Xn=0
xnyn:
Den slutna enhetsbollen fx; k x k� 1g i detta rum är inte kompakt.I resten av detta kapitel betecknar H ett Hilbertrum.
Sats 1. (Närmaste punktegenskapen) Antag att A är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och antag x 2 H . Då �nns en unik punkty 2 A sådan att
infz2Ak x� z k=k x� y k :
13
Bevis. Antagd = inf
z2Ak x� z k
och låt (zn)n2N vara en sekvens i A sådan att
limn!1
k x� zn k= d:
Parallellogramlagen ger nu likheten
2(k x� zm k2 + k x� zn k2) = 4 k x�zm + zn2
k2 + k zn � zm k2
och eftersom A är konvex följer att
zm + zn2
2 A:
Härav drar vi slutsatsen att
2(k x� zm k2 + k x� zn k2) � 4d2+ k zn � zm k2 :
Här är vänstra ledet godtyckligt nära 4d2 om m och n väljs tillräckligt storavarför sekvensen (zn)n2N är en Cauchyföljd. Denna är således konvergenteftersom H är ett Hilbertrum. Antag
limn!1
zn = y:
Då A är sluten gäller att y 2 A och vi får att
infz2Ak x� z k=k x� y k :
För att utreda entydighetsfrågan antages att vektorn y0 2 A är sådan att
infz2Ak x� z k=k x� y0 k :
Relationen4d2 = 2(k x� y k2 + k x� y0 k2)
och parallellogramlagen ger nu
4d2 = 4 k x� y + y0
2k2 + k y0 � y k2 :
14
Eftersomy + y0
22 A
följer att4d2 � 4d2+ k y0 � y k2
dvs y0 = y. Detta avslutar beviset för sats 1.
Vektorn y i sats 1 kallas för projektionen av x på A och betecknas medPA(x).
Sats 2. Om A är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och z 2 Agäller att
(x� PA(x); z � PA(x)) � 0för alla x 2 H.
Bevis. Sätt y = PA(x). Om 0 < � < 1 gäller att
k x� y k2�k x� ((1� �)y + �z) k2
dvsk x� y k2�k (x� y)� �(z � y) k2
dvs0 � �2�(x� y; z � y) + �2 k z � y k2 :
Genom att dividera denna olikhet med � och sedan låta �! 0 erhålls
0 � �2(x� y; z � y):
Härav följer sats 2 omedelbart.
Om B är en delmängd av H så de�nieras
B? = fx 2 H; y 2 B ) (x; y) = 0 g :
Mängden B? är ett slutet delrum av H. Notera också att
B \B? � f0g
15
eftersom(x; x) = 0) x = 0:
Vidare gäller attB � (B?)?:
Sats 3. (Topologiskt komplement) Antag F är ett slutet delrum av H:Varje x 2 H har en entydig representation
x = y + z
där y 2 F och z 2 F?: Vidare gäller att
y = PF (x)
ochz = PF?(x):
Bevis. Antag x 2 H har två framställningar
x = yk + zk; k = 0; 1;
där y0; y1 2 F och z0; z1 2 F?. Härav erhålls att
y0 � y1 = z1 � z0
där vänstra ledet tillhör F och högra ledet tillhör F?. Eftersom F\F? = f0gföljer att y0 = y1 och z0 = z1:För att utreda existensfrågan noterar vi att
(x� PF (x); u� PF (x)) � 0
för varje u 2 F enligt sats 2. Genom att ersätta u med �u + PF (x) erhållsatt x� PF (x) 2 F?. Alltså gäller att
x = PF (x) + v
där v 2 F?. Eftersomx = v + PF (x)
16
ochF � (F?)?
så följer också (genom att ersätta F med F? i ovanstående resonemang) att
v = PF?(x):
Detta avslutar beviset för sats 3.
Följande så kallade separationssats för slutna konvexa mängder har �eratillämpningar inom denna kurs.
Sats 4. (Separationssatsen för slutna konvexa mängder) Antag A ären sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och antag x0 =2 A. Då �nnsen vektor a 2 H och � 2 R så att
(a; x0) < � � (a; x)
för alla x2 A.
Bevis. Sättx1 = PA(x0)
så att(x0 � x1; x� x1) � 0; x 2 A:
Vi de�nierar nu a = x1 � x0 och får
(a; x1) � (a; x); x 2 A:
Vidare gäller att(a; x0) < (a; x1)
eftersom a 6= 0. Vi kan därför de�niera � = (a; x1) och sats 4 följer direkt.
En icke-tom delmängd C av H sägs vara en konvex kon om C är konvexoch
x 2 C ) �x 2 C
17
för alla � � 0. Separationssatsen för slutna konvexa koner får följande form.
Sats 5. (Separationssatsen för slutna konvexa koner) Antag C är ensluten konvex kon och antag x0 =2 C. Då �nns a2 H så att
(a; x0) < 0
och(a; x) � 0
för alla x 2 C.
Bevis. Vi använder sats 4 med A = C och får a 2 H och � 2 R så att
(a; x0) < � � (a; x)
för alla x 2 C. Eftersom 0 2 C måste � vara icke-positivt. Om x 2 C gälleratt �x 2 C för alla � > 0 och vi drar slutsatsen att (a; x) = ��1(a; �x) ���1� där högra ledet konvergerar mot 0 då �!1: Härav följer omedelbartsats 5.
Antag a1; :::; an är en uppsättning vektorer i H. Dessa sägs vara positivtlinjärt oberoende om
nXk=1
�kak = 0) �1 = ::: = �n = 0
för alla �1; ::::; �n � 0: Om vektorerna e; f 2 H är ortogonala och nollskildaså är exempelvis uppsättningen e; f; e+ f positivt linjärt oberoende.Om a1; :::; an 2 H så betecknar C(a1; :::; an) den minsta konvexa kon som
innehåller a1; :::; an dvs
C(a1; :::; an) =
(nXk=1
�kak;�1; ::::; �n � 0):
Sats 6. Den konvexa konen C(a1; :::; an) är sluten.
18
Bevis. Antag först att vektorerna a1; :::; an är positivt linjärt oberoende. Låtx tillhöra slutna höljet av C(a1; :::; an) och antag xj 2 C(a1; :::; an); j 2 Noch
limj!1
xj = x:
Skriv
xj =nXk=1
�jkak:
Vi påstår attsupj;k
�jk <1:
I motsatt fall �nns k0 2 f1; :::; ng och en växande följd (j�)�2N av naturligatal så att
maxk=1;:::;n
�jvk = �jvk0 > 0
och �j�k0 !1; då � !1: Härav följer att
xj��j�k0
=nXk=1
�j�k�j�k0
ak:
Genom att utnyttja Bolzano-Weierstrass sats kan vi efter eventuell omnum-rering antaga att varje sekvens
�j�k�j�k0
; � 2 N
konvergerar mot ett visst icke-negativt tal �k för k = 1; :::; n. Härav erhållsatt
nXk=1
�kak = 0:
Eftersom �k0 = 1 och vektorerna a1; :::; an är positivt linjärt oberoende harvi fått en motsägelse. Alltså gäller att
supj;k
�jk <1
och genom att utnyttja Bolzano-Weierstrass sats och relationen
xj =
nXk=1
�jkak
19
så följer att x tillhör C(a1; :::; an):Det är nu lätt att avsluta beviset för sats 6. Antag nämligen att x 2
C(a1; :::; an) och låt
x =mXi=1
�iaki
där �1; :::; �m > 0: Vi säger att denna representation är minimal om m ej kangöras mindre i denna typ av representation av vektorn x. Antag represen-tationen är minimal. Vi påstår att vektorerna aki ; i = 1; :::;m; är positivtlinjärt oberoende. I annat fall �nns icke-negativa tal �i; i = 1; :::;m; ej allalika med noll sådana att
mXi=1
�iaki = 0:
Härav erhålls att
x =mXi=1
(�i � t�i)aki
där t > 0 väljes så att (�i � t�i) � 0; i = 1; :::;m; och så att likhet inträ¤arför något index i. Detta visar emellertid att vår tidigare representation avx ej är minimal och av denna motsägelse drar vi slutsatsen att vektorernaaki ; i = 1; :::;m; är positivt linjärt oberoende. Således gäller att
C(a1; :::; an) =[[C(ak1 ; :::; akm); ak1 ; :::; akm positivt linjärt oberoende] :
Den första delen av beviset visar nu resultatet eftersom en ändlig union avslutna mängder är sluten.
Om x = (x1; :::; xn) är en vektor i Rn och x1 � 0; :::; xn � 0 skriver vi ifortsättningen ofta x � 0: Vektorn x uppfattas här ofta som en kolonnmatris.Transponatet av en matris A becknas med A�: Den vanliga skalärproduktenav två vektorer x och y i Rn kan därför skrivas x�y:
Sats 7. (Farkas lemma) Antag A = (ajk)1�j�m; 1�k�n är en matris medreella element och antag b2 Rm. Låt vidare ak; k=1,...,n, beteckna matrisenskolonner. Då gäller exakt ett av följande alternativ:
20
(i) ekvationen �Ax = b
x � 0
är lösbar
(ii) det �nns h 2 Rm så att
�h�b < 0
h�ak � 0; k = 1; :::; n:
Bevis. Alternativet (i) gäller om och endast om b 2 C(a1; :::; an) ochberoende på separationssatsen för slutna konvexa koner så gäller alternativet(ii) om och endast om b =2 C(a1; :::; an) . Detta bevisar sats 7.
Korollarium 1. Antag A = (ajk)1�j�m; 1�k�n är en matris med reella ele-ment och antag b2 Rm. Låt vidare ak; k=1,...,n, beteckna matrisens kolon-ner. Då gäller exakt ett av följande alternativ:
(i) ekvationen �Ax = b�x1; :::; xn > 0; � 2 R
är lösbar
(ii) det �nns h 2 Rm så att
8<:h�b = 0h�ak � 0; k = 1; :::; nh�ak > 0; för något k = 1; :::; n:
:
Bevis. Antag först att ekvationerna i (i) och (ii) är uppfyllda. Då är
(h�A)x > 0:
21
Menh�(Ax) = h�(b�) = (h�b)� = 0� = 0
så(h�A)x = 0
och vi har fått en motsägelse. Alltså gäller högst en av (i) och (ii).Vi antar nu att (ii) ej är gäller och skall visa att ekvationen i (i) är lösbar,
vilket avslutar beviset för Korollarium 1. Om (ii) ej gäller saknar systemet8>><>>:h�b � 0h�(�b) � 0h�ak � 0; k 2 f1; :::; n g n fjgh�(�aj) < 0
:
lösning för j = 1; :::; n: Enligt Farkas lemma betyder detta att ekvationerna�b�0 + (�b)�1 + a1x1 + :::+ aj�1xj�1 + aj+1xj+1 + :::+ anxn = �aj�0; �1; x1; :::; xj�1; xj+1; :::; xn � 0
är lösbara för alla j = 1; :::; n; dvs ekvationerna(a1x
(j)1 + :::+ aj�1x
(j)j�1 + ajx
(j)j + aj+1x
(j)j+1 + :::+ anx
()n = b�(j)
x(j)1 ; :::; x
(j)j�1; x
(j)j+1; :::; x
(j)n � 0; x(j)j = 1; �(j) 2 R
är lösbara för alla j = 1; :::; n: Genom att addera dessa ekvationer följer attekvationen i (i) är lösbar.
Exempel 1. Betrakta en matematisk modell för en kapitalmarknad beståendeav en aktie med priset S(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vidtiden t. Vi antager att tidsvariabeln t endast kan anta två värden, nämligen0 eller 1. Låt
B(1) = B(0)er
där r > 0 och låtS(1) = S(0)eX :
Vi antager här att X är en reellvärd binomialfördelad stokastisk variabel ochatt det går att välja u; d 2 R, som uppfyller u > d; så att händelsen
[X 6= u och X 6= d] = fX =2 fu; dgg
22
aldrig inträ¤ar (dvs är en tom mängd). Speciellt följer att
P [X = u] + P [X = d] = 1
där varje term i vänster led är positiv. Denna enkla modell kallas bino-mialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidssteg.Vi skall först de�niera begreppet arbitrage i denna modell. Betrakta
därför en portfölj bestående av hS aktier och hB obligationer. Dess värde vidtiden t ges av
v(t) = hSS(t) + hBB(t):
Vi säger att ett arbitrage av första slaget uppstår om portföljen kan väljasså att
v(0) = 0 och v(1) > 0:
Genom att variera antalet obligationer i portföljen inses att ett arbitrage avförsta slaget uppstår om och endast om portföljen kan väljas så att
v(0) < 0 och v(1) � 0:
Utskrivet mer explicit innebär detta att
hSS(0) + hBB(0) < 0
och �hSS(0)e
u + hBB(0)er � 0
hSS(0)ed + hBB(0)er � 0vilket med tanke på Farkas lemma innebär att modellen saknar arbitrage avförsta slaget om och endast om det existerar reella tal x; y � 0 sådana att�
S(0)eux+ S(0)edy = S(0)
B(0)erx+B(0)ery = B(0):
Detta ekvationssystem har lösningen�x = e�r e
r�edeu�ed
y = e�r eu�ereu�ed
och vi ser att x; y � 0 precis då
d � r � u:
23
Under dessa villkor på parametrarna saknar alltså modellen arbitrage avförsta slaget.Vi skall nu de�nera begreppet arbitrage av andra slaget. Betrakta därför
som ovan en portfölj bestående av hS aktier och hB obligationer. Dess värdevid tiden t ges av
v(t) = hSS(t) + hBB(t):
Vi säger att ett arbitrage av andra slaget uppstår om portföljen kan väljasså att
v(0) = 0; v(1) � 0 och v(1) 6= 0:Utskrivet mer explicit innebär detta att
hSS(0) + hBB(0) = 0
och �hSS(0)e
u + hBB(0)er � 0
hSS(0)ed + hBB(0)er � 0där strikt olikhet inträ¤ar i någon av de två olikheterna. Korollarium 1innebär att modellen saknar arbitrage av andra slaget om och endast om detexisterar reella tal x; y > 0 och � 2 R sådana att�
S(0)eux+ S(0)edy = �S(0)
B(0)erx+B(0)ery = �B(0)
dvs om och endast om det existerar reella tal x; y > 0 och � 2 R sådana att�x = e�r e
r�edeu�ed �
y = e�r eu�ereu�ed �
:
Modellen saknar därför arbitrage av andra slaget precis då
d < r < u:
I fortsättningen arbetar vi endast med arbitrage av andra slaget och sägerdärför helt enkelt arbitage när vi menar arbitage av andra slaget.
Binomialmodellen dominerar �era nya böcker inom teorin för �nansielladerivat (se t ex [J1] och [JT ]). Vi har även här valt att låta denna modellspela en mycket central roll i denna framställning.
24
Övningar
I nedanstående övningar i detta kapitel antags att dominansprincipengäller.
1. Visa att funktionenK ! c(t; S(t); K)
är konvex.
2. Visa att funktionenK ! p(t; S(t); K)
är konvex.
3. Visa att funktionen f : ]a; b[! R är konvex om f 00 � 0:
4. Låt U vara en öppen konvex delmängd av Rn: Visa att en två gångerkontinuerligt deriverbar funktion f : U ! R är konvex om Hessema-trisen �
@2f
@xj@xk(x)
�1�j;k�n
är positivt semide�nit i varje punkt x 2 U:
5. Visa att maximum två konvexa funktioner med samma de�nitions-mängd är konvex.
6. Visa att öppna bollar är konvexa.
7. Låt A vara en konvex delmängd av ett vektorrum. Visa att
nXk=1
�kxk 2 A
för alla x1; :::; xn 2 A och alla �1; :::; �n 2 [0; 1] som uppfyller
nXk=1
�k = 1:
25
8. Funktionen f : A! R är konvex. Visa att
f(nXk=1
�kxk) �nXk=1
�kf(xk)
för alla x1; :::; xn 2 A och alla �1; :::; �n 2 [0; 1] som uppfyller
nXk=1
�k = 1:
9. Låt x1; :::xn > 0 och antag �1; :::; �n 2 [0; 1] uppfyllernXk=1
�k = 1:
Visa attnYk=1
x�kk �nXk=1
�kxk:
Notera specialfallet
n
vuut nYk=1
xk �1
n
nXk=1
xk:
10. Antag t1 < ::: < tn = T och låt �1; :::; �n 2 [0; 1] uppfyllanXi=1
�i = 1:
Betrakta två aktiederivat av europeisk typ som utbetalar
X = max(0;nXi=1
�iS(ti)�K)
resp
Y = max(0;
nYi=1
S(ti)�i �K)
vid tiden T där K > 0: Låt t < T: Visa att det första derivatets värdevid tiden t ej kan understiga det andra derivatets värde vid tiden t:
26
11. Låt A vara en delmängd av ett normerat rum. Visa att x 2 �A om ochendast om det existerar en följd (xn)n2N av element i A som konvergerarmot x:
12. Låt (xn)n2N vara en följd i ett Banachrum sådan att
1Xn=0
k xn k<1:
Visa att serien1Xn=0
xn
är konvergent.
13. Antag (E; k : kE) och (F; k : kF ) är normerade rum. En funktionf : E ! F sägs vara kontinuerlig om det för varje a 2 E och " > 0existerar � > 0 så att
k x� a kE< � )k f(x)� f(a) kF< ":
a) Visa att avbildningen x!k x kE är kontinuerlig.b) Antag � 2 R. Visa att mängden
fx 2 E; f(x) > �g
är öppen om f : E ! R är kontinuerlig.
14. Antag F är ett Banachrum med normen k : kF : Låt vidare E1 varaett tätt delrum av ett normerat rum E med normen k : kE och antagatt funktionen f : E1 ! F är likformigt kontinuerlig (dvs till varje" > 0 existerar � > 0 så att k x � y kE< " ) k f(x) � f(y) kF< � såsnart x; y 2 E1). Visa att det �nns en likformigt kontinuerlig funktiong : E ! F sådan att g(x) = f(x); x 2 E1.
15. Visa attF = (F?)?
om F är ett slutet delrum av H.
27
16. Låt U vara en öppen konvex delmängd avRn och f : U ! R en konvexfunktion. Visa att f är uppåt begränsad på varje sluten begränsaddelmängd K av U .
17. Låt U vara en öppen konvex delmängd avRn och f : U ! R en konvexfunktion. Visa att f är kontinuerlig.
18. Låt U vara en öppen konvex delmängd avRn och f : U ! R en konvexfunktion. Visa att det till varje a 2 U �nns en vektor c 2 Rn så att
f(x) � f(a) + c�(x� a); x 2 U:
19. Funktionen f : [0; 1] ! R är kontinuerlig och funktionen ' : R ! Rär konvex. Visa att
'(
Z 1
0
f(x)dx) �Z 1
0
'(f(x))dx:
20. Antag f : R ! ]0;1[. Visa att funktionen ln f är konvex om ochendast om funktionen
eaxf(x); x 2 Rär konvex för alla a 2 R.
21. Funktionen f : R! R är konvex. Visa att funktionen
g(x; y) = yf(x
y); x 2 R; y > 0
är konvex.
29
3. Måtteori
Den mått- och integrationsteori, som har visat sig särskilt användbar inomteorierna för di¤erentialekvationer, Fourieranalys och stokastiska processer,utvecklades först i början av 1900-talet. Det �nns ett stort antal mycket braböcker inom detta område (en av dessa är enligt vår mening Nevues klas-siska bok �Mathematical Foundations of the Calculus of Probability �[N ]).Vi återger här delar av denna viktiga teori och gör emellanåt vissa antyd-ningar mot sannolikhetsteori för att träna in begreppsbildningen. Bevis gårvi sällan in på. I ett viktigt exempel diskuteras begreppet martingalmått förbinomialmodellen i ett tidssteg.Vi börjar med att något fördjupa den mängdlära vi berörde i föregående
kapitel. Antag R är en abstrakt mängd. Vi skriver A � R om varje elementi A också tillhör R och säger att A är en delmängd av R: Alternativt sägervi i detta fall att R omfattar A och skriver R � A. Om A;B � R de�nierassnittet
A \B = fx 2 R; x 2 A och x 2 Bgoch unionen
A [B = fx 2 R; x 2 A eller x 2 Bg :Dessa operationer utvidgas lätt till ett godtyckligt antal mängder. Vidarede�nieras
A nB = fx 2 R; x 2 A och x =2 Bg :Mängden R n B kallas för komplementet till B: Tomma mängden betecknasmed ;: Två mängder sägs vara disjunkta om snittet av dem är tomt.En klass A av delmängder av R kallas för en �-algebra av delmängder av
R om
(i) R 2 A
(ii) A 2 A ) R n A 2 A
(iii) An 2 A, n 2 N) [n2NAn 2 A.
I detta fall kallas det ordnade paret (R;A) för ett mätbart rum. Klassenf;; Rg är �-algebra av delmängder avR. Detsamma gäller klassen 2R beståendeav alla delmängder av R. Notera att snittet av �-algebror av delmängder avR är en ny �-algebra varför det till varje given klass C av delmängder av R
30
�nns en minsta �-algebra av delmängder av R (med avseende på mängdin-klusion) som omfattar C. Denna �-algebra sägs genereras av C och betecknasmed �(C). Om E är ett normerat rum kallas den �-algebra som genererasav de öppna delmängderna av E för Borel-�-algebran i E och betecknasmed B(E). Man kan visa att B(R) genereras av alla slutna (eller öppna)delintervall av R.Om R0 och R1 är två mängder och f : R0 ! R1 en funktion så de�nieras
f�1(A) = fx 2 R0; f(x) 2 Ag
för varje delmängd A av R1: Speciellt gäller att
f�1(R1 n A) = R0 n f�1(A):
Antag nu att (Aj)j2J är en godtycklig familj delmängder av R1: Av de�ni-tionerna följer lätt att
f�1(\j2JAj) = \j2Jf�1(Aj)
ochf�1([j2JAj) = [j2Jf�1(Aj):
Om (R1;A1) är ett mätbart rum och f : R0 ! R1 så de�nieras
f�1(A1) =�f�1(A); A 2 A1
:
Härav följer att f�1(A1) är en �-algebra av delmängder av R0: Denna beteck-nas ofta �(f) om missförstånd ej kan inträ¤a.Antag (R0;A0) och (R1;A1) är två mätbara rum och f : R0 ! R1 en
funktion sådan attf�1(A1) � A0:
Funktionen f sägs i detta fall vara (A0;A1)-mätbar eller helt enkelt baramätbar om missförstånd ej kan inträ¤a. Om f : R0 ! R1 och (R1;A1) är ettmätbart rum så är enligt ovan �(f) den minsta �-algebra C av delmängderav R0 sådan att f är (C;A1)-mätbar. Antag vidare att g : R0 ! Rn ären (�(f);B(Rn))-mätbar funktion. Man kan under dessa förutsättningarvisa att det �nns en (A1;B(Rn))-mätbar funktion h : R1 ! Rn sådan attg = h � f . Det är en bra övning att försöka visa detta påstående då f antarexakt två värden.
31
Antag nu att (R;A) är ett mätbart rum. En funktion � de�nierad i helaA och med värden i intervallet [0;+1] kallas ett positivt mått om �(;) = 0och
�([n2N
An) =1Xn=0
�(An)
för varje sekvens An 2 A; n 2 N; av parvis disjunkta mängder. Den ordnadetripeln (R;A; �) sägs i detta fall vara ett positivt måttrum. Råkar �(R) <+1 kallas � för ett ändligt positivt mått och om �(R) = 1 kallas � förett sannolikhetsmått. Den ordnade tripeln (R;A; �) kallas för ett ändligtpositivt måttrum om � är ett ändligt positivt mått och ett sannolikhetsrumom � är ett sannolikhetsmått. Sannolikhetsrum betecknas ofta (;F ; P ).Om (R;A; �) är ett positivt måttrum sägs ibland (något oprecist) � vara ettpositivt mått i R. Det så kallade räknemåttet cR i R som de�nieras av attcR(A) är lika med antalet element i A för varje A 2 A är ett konkret ochenkelt exempel på ett positivt mått.Om E är ett normerat rum kallas positiva mått på B(E) för positiva
Borelmått i E. Ett ändligt positivt Borelmått � på B(Rn) är inre reguljärtmed avseende på kompakta delmängder i den meningen att
�(A) = sup f�(K);K kompakt � Ag ; A 2 B(Rn):
Om vi talar om ett positivt mått i ett normerat rum E är det underförståttatt måttet är ett positivt Borelmått om inte annat anges.Det �nns exakt ett positivt mått m på B(R) sådant att
m([a; b]) = b� a
för varje a < b. Måttet m kallas för Lebesguemåttet i R. Existensen avdetta mått är relativt svår att komma åt och faller utanför ramen för dennaframställning. Om B 2 B(R) de�nieras
BB(R) = fA 2 B(R); A � Bg :
Observera att BB(R) är en �-algebra av delmängder av B: Måttet mB
de�nierat av ekvationen
mB(A) = m(A); A 2 BB(R)
kallas för Lebesguemåttet i B:
32
Antag nu att (R;A; �) är ett �xt positivt måttrum. Om A � R de�nierasden så kallade indikatorfunktionen för mängden A genom att
1A(x) =
�1; x 2 A0; x =2 A:
En funktion g : R ! R sägs vara en enkel mätbar funktion om den är(A;B(R))-mätbar och g endast antar ändligt många värden. Under dessaförutsättningar kan g skrivas
g(x) =
nXk=1
�k1Ak(x)
för lämpliga parvis olika �k 2 R; k = 1; :::; n; och parvis disjunkta Ak 2A; k = 1; :::; n. Om �k � 0; k = 1; :::; n; i denna representation de�nierar vi�-integralen av funktionen g genom formelnZ
R
g(x)d�(x) =nXk=1
�k�(Ak):
Här de�nieras 0 � 1 = 0.Delintervall av R [ f�1g tilldelas i fortsättningen alltid den �-algebra
som genereras av delintervallen av intervallet ifråga. Om f : R! [0;+1] ärmätbar de�nieras integralen av f över R med avseende på måttet � genomZ
R
f(x)d�(x) =
sup
�ZR
g(x)d�(x); där g är enkel mätbar och 0 � g � f
�:
Sats 1. (Lebesgues monotona konvergenssats) Antag (R;A; �) är ettpositivt måttrum och antag att f n : R ! [0;1] ; n 2 N; är en följd mätbarafunktioner sådan att fn � fn+1; n 2 N; och
limn!1
fn(x) = f(x); x 2 R:
Då gäller att f är mätbar och
limn!1
ZR
fn(x)d�(x) =
ZR
f(x)d�(x):
33
Antag f : R ! [0;+1] är mätbar. Man kan visa att det �nns icke-negativa enkla mätbara funktioner gn; n 2 N, sådana att gn � gn+1 och
limn!1
gn(x) = f(x); alla x 2 R:
Lebesgues monotona konvergenssats medför nu attZR
f(x)d�(x) = limn!1
ZR
gn(x)d�(x):
Vi skriver f 2 L1(�) eller eventuellt för tydlighets skull f 2 L1(R;A; �) omf : R! [�1;+1] är mätbar och f+ = max(0; f) och f� = max(0;�f) harändliga integraler över R med avseende på måttet � . I detta fall de�nierasZ
R
f(x)d�(x) =
ZR
f+(x)d�(x)�ZR
f�(x)d�(x):
Om dessutom A 2 A, de�nieras ocksåZA
f(x)d�(x) =
ZR
1A(x)f(x)d�(x):
I specialfallet att R = R och A är ett begränsat intervall med vänsteränd-punkten a och högerändpunkten b skrivsZ
A
f(x)d�(x) =
Z b
a
f(x)d�(x)
förutsatt att �(fa; bg) = 0. Om a; b 2 R de�nieras integralernaZ 1
a
f(x)d�(x)
och Z b
�1f(x)d�(x)
på liknande sätt förutsatt att �(fag) = 0 i första fallet och �(fbg) = 0 iandra fallet. Vi skriver ocksåZ
R
f(x)d�(x) =
Z 1
�1f(x)d�(x):
34
Om f 2 C([a; b]) dvs om f är en reellvärd kontinuerlig funktion i detkompakta intervallet [a; b] och m som vanligt betecknar Lebesguemåttet i Rså gäller att Z b
a
f(x)dm(x) =
Z b
a
f(x)dx
där integralen i högra ledet är en vanlig Riemannintegral.Antag nu att (R;A; �) och (R;A; �) är två positiva måttrum. Då är �+�
ett positivt mått och för varje f 2 L1(�) \ L1(�) gäller attZR
f(x)d(�+ �)(x) =
ZR
f(x)d�(x) +
ZR
f(x)d�(x):
Vidare gäller för varje f 2 L1(�) och � 2 [0;1[ attZR
f(x)d(��)(x) = �
ZR
f(x)d�(x):
Diracmåttet �a i en given punkt a 2 R de�nieras för varje A 2 2R genomrelationen
�a(A) = 1A(a)
där funktionen 1A är indikatorfunktionen för mängden A. De�nitionerna geratt Z
R
f(x)d�a(x) = f(a):
För alla a och b tillhörande R och icke-negativa tal p och q så uppfyller detpositiva måttet � = p�a + q�b relationenZ
R
f(x)d�(x) = pf(a) + qf(b):
Om (;F ; P ) är ett sannolikhetsrum så kallas en mätbar funktion X :! R ofta för en reellvärd stokastisk variabel. Givet X 2 L1(P ) de�nierasväntevärdet E [X] av X genom
E [X] =
Z
X(!)dP (!)
eller tydligare
EP [X] =
Z
X(!)dP (!):
35
Råkar dessutom A 2 F de�nieras
E [X;A] =
ZA
X(!)dP (!):
För att illustrera begreppen ovan gör vi nu en liten paus i den allmännamåtteorin och återknyter till binomialmodellen från föregående kapitel.
Exempel 1. Betrakta en kapitalmarknad bestående av en aktie med prisetS(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vid tiden t. Vidare antagesatt variabeln t endast kan antaga två värden, nämligen 0 eller 1: Vi skriver
B(1) = B(0)er
där r > 0 ochS(1) = S(0)eX
där vi antar att X är en reellvärd binomialfördelad stokastisk variabel sådanatt X�1(fu; dg) = för lämpliga u; d 2 R som uppfyller u > d: Vi kan utaninskränkning anta att = fu; dg och X(!) = !; ! 2 : Dessutom förutsättsnu att u > r > d så att motsvarande modell är arbitragefri.Vår enkla kapitalmarknad utvidgas nu genom att vi tillför ett derivat i ak-
tien av europeisk typ som utbetalar beloppet f(S(1)) vid tiden t = 1. Vilketvärde skall detta derivat tilldelas vid tiden t = 0? För att besvara dennafråga betraktar vi en portfölj bestående av hS aktier och hB obligationer.Dess värde vid tiden t ges av
v(t) = hSS(t) + hBB(t):
Om vi kan bestämma hS och hB så att v(1) = f(S(1)) så de�nieras derivatetsteoretiska värde vid tiden t = 0 som v(0). Observera att v(0) i så fall blirentydigt bestämt eftersom vår modell saknar arbitrage.Vi undersöker nu närmare ekvationen v(1) = f(S(1)): Om aktien går upp
vid tiden t = 1 blir
hSS(0)eu + hBB(0)e
r = f(S(0)eu)
och om aktien går ned vid tiden t = 1 så blir
hSS(0)ed + hBB(0)e
r = f(S(0)ed):
36
En kalkyl medför nu att
hSS(0) =f(S(0)eu)� f(S(0)ed)
eu � ed
och
hBB(0) = e�reuf(S(0)ed)� edf(S(0)eu)
eu � ed :
Härav följer att
v(0) = e�r�pf(S(0)eu) + qf(S(0)ed)
�där
p =er � edeu � ed
ochq =
eu � ereu � ed :
Vi kallar v(0) för derivatets teoretiska pris eller teoretiska värde. Genomatt de�niera ett sannolikhetsmått Q = p�u + q�d i så följer att derivatetsteoretiska pris vid tiden t = 0 ges av
v(0) = e�rEQ [f(S(1))] :
I fortsättningen säger vi ofta pris (värde) istället för teoretiskt pris (teoretisktvärde) då missförstånd inte kan inträ¤a. Observera att Q(fug) > 0 ochQ(fdg) > 0 eftersom u > r > d:Av relationen
peu + qed = er
följer vidare attf(s) = s) v(0) = S(0)
vilket ekvivalent kan uttryckas med formeln
S(0) = e�rEQ [S(1)] :
Måttet Q kallas martingalmått, en terminologi som blir klarare i senare avs-nitt.Innan vi avslutar exemplet vill vi göra en del anmärkningar för det fall att
utbetalningsfunktionen f är konvex. Om f är konvex så följer av relationen
v(0) = e�rEQ [f(S(1))]
37
och Jensens olikhet att
v(0) � e�rf(EQ [S(1)]) = e�rf(erS(0))
Om vi nu dessutom antager att
�f(s) � f(�s); 0 < � < 1;
erhålls olikhetenv(0) � f(S(0)):
Ett motsvarande amerikanskt kontrakt kan lösas in vid en godtycklig tid-punkt t 2 f0; 1g och utbetalar då beloppet f(S(t)) till innehavaren. Det ärinte optimalt att inlösa kontraktet vid tiden t = 0 under samma förutsät-tningar på f . Motsvarande europeiska kontrakt har nämligen ett värde somej understiger det värde som erhålles om det amerikanska kontraktet inlöses.Ett intressant specialfall erhålls för f(s) = max(0; s �K) där K > 0 är ettgivet tal.Om f(s) = max(0; K � s); där K > 0; så är f fortfarande konvex men
olikheten�f(s) � f(�s); 0 < � < 1
gäller ej. En närmare analys visar också att det kan vara optimalt att inlösamotsvarande amerikanska kontrakt vid tiden t = 0. Detta inträ¤ar om
e�r�pmax(0; K � S(0)eu) + qmax(0; K � S(0)ed)
< max(0; K � S(0))
dvs om S(0) är tillräckligt litet. Detta avslutar exemplet.
Om (R;A; �) är ett positivt måttrum och f : R ! [0;1] är mätbar såföljer av Lebesgues monotona konvergenssats att funktionen
�(A) =
ZA
f(x)d�(x); A 2 A
är ett positivt mått. Detta mått betecknas med f� dvs � = f�: Vi skriverockså
d�(x) = f(x)d�(x)
38
vilket motiveras av attZR
g(x)d�(x) =
ZR
g(x)f(x)d�(x)
för varje mätbar funktion g: R! [0;1] : I fallet � = m skrivs också
dm(x) = dx:
Måttet i R de�nierat av ekvationen
d (x) = e�x2=2 dxp
2�
kallas för det kanoniska Gaussmåttet i R. Det gäller att (R) = 1 ochZ 1
�1x2d (x) = 1:
Antag nu att (;F ; P ) är ett sannolikhetsrum och (R;A) ett mätbartrum. En mätbar avbildning X : ! R kallas för en R-värd stokastiskvariabel. Denna inducerar ett så kallat fördelningsmått �X genom ekvationen
�X(A) = P [X 2 A] ; A 2 A
dvs �X(A) är för givet A 2 A lika med sannolikheten för att händelsen[X 2 A] = f!; X(!) 2 Ag inträ¤ar:Med Lebesgues monotona konvergenssatsvisas att om f : R ! [�1;1] är mätbar gäller att f(X) 2 L1(P ) om ochendast om f 2 L1(�X) och i förekommande fall gäller
E [f(X)] =
ZR
f(x)d�X(x):
Om X antar värden i [�1;1] och
E�X2�=
ZR
x2d�X(x)
är ändlig så följer av Cauchy-Schwarz olikhet att
E [j X j] �pE [X2] <1:
39
I detta fall de�nieras variansen Var(X) av X genom att
Var(X) = E�(X � E [X])2
�:
En stokastisk variabel X med värden i en ändlig mängd R med n elementsäges ha en likformig fördelning om �X =
1ncR:
En stokastisk variabel X med värden i [a; b], där a < b; sägs ha en lik-formig fördelning om
�X(A) =1
b� am(A); A 2 B([a; b]):
I detta fall gäller att E [X] = (b� a)=2 och Var(X) = (b� a)2=12:En reellvärd stokastisk variabel X med fördelningsmåttet sägs ha en
N(0; 1)-fördelning. Detta skrivs X 2 N(0; 1) och motsvarande fördelnings-funktion betecknas med � dvs
�(y) =
Z y
�1e�x
2=2 dxp2�; y 2 R:
Inom matematisk �nans skrivs ofta N istället för �:En reellvärd stokastisk variabel X sägs ha en N(�; �2)-fördelning om � 2
R , � � 0 och X = �+�Y där Y 2 N(0; 1). En reellvärd stokastisk variabelsägs ha en normalfördelning om den är N(�; �2)-fördelad för lämpliga � 2R , � � 0: En reellvärd normalfördelad stokastisk variabel säges också ha enGaussisk fördelning.Vårt intresse för normalfördelningen i denna kurs bottnar i empiriska
studier av aktieavkastningar (en särskilt uppmärksammad publikation inomdetta område utgör Famas artikel �The behavior of stock market prices�[FA]). Betrakta nämligen en aktie med priset S(t) vid tiden t: Om � > 0de�nieras
X = lnS(t+ �)
S(t):
X kallas (i teoretisk �nans) för avkastningen av aktien över tidsintervallet[t; t+ � ]. Om vi be�nner oss vid tiden t är X okänd och det är naturligtatt i en matematisk modell försöka beskriva X som en stokastisk variabel.Det �nns dock ingen typisk aktieavkastningsfördelning. För väl omsattaaktier förefaller dock aktieavkastningar kunna beskrivas relativt bra av nor-malfördelade stokastiska variabler under perioder av normala yttre förhål-landen.
40
Antag (R;A; �) är ett positivt måttrum. En mängd A 2 A sägs varaen �-nollmängd eller (om missförstånd ej kan inträ¤a) en nollmängd om�(A) = 0 . Ett påstående P (x); där x 2 R; som gäller för alla x utanför enlämplig �-nollmängd sägs gälla n.ö. [�] eller om missförstånd ej kan inträ¤ahelt enkelt n.ö: Förkortningen n.ö. uttalas �nästan överallt�. Måttrummet(R;A; �) säges vara komplett om mängden
N�(A) = fB; B � A för något A 2 A med �(A) = 0g
är en delmängd av A: Vi de�nierar
A� = fE; det existerar A;B 2 A så att A � E � B och �(BnA) = 0g :
Man kan visa att A� är en �-algebra och den kallas för �-kompletteringenav A: Om E 2 A� �nns A;B 2 A så att A � E � B och �(BnA) = 0:Genom att de�niera �(E) = �(A) blir � ett positivt mått. Måttet � kallasför utvidgningen av måttet � till �-algebran A�: Måttrummet (R;A�; �) ärkomplett. Om � är ett sannolikhetsmått sägs ofta �nästan säkert� iställetför �nästan överallt�. Uttrycket �nästan säkert� förkortas n.s. Man kallarm-kompletteringen av Borel-�-algebran i R för Lebesgue-�-algebran i R.Om 0 � f 2 L1(�) följer av olikheterna
1 >
ZR
f(x)d�(x) � s�(f�1([s;+1])); s � 0
att�(fx 2 R; f(x) =1g) = 0
dvs mängden fx 2 R; f(x) =1g är en nollmängd. Alltså är f reellvärd n.s.För två funktioner f; g 2 L1(�) som är lika n.s. gäller attZ
R
f(x)d�(x) =
ZR
g(x)d�(x):
Två funktioner som är lika n.s. identi�eras från och med nu. Varje f 2 L1(�)har med denna konvention en reellvärd kopia i L1(�) och det är härigenomlätt att de�niera summan av två funktioner i L1(�): Det erbjuder helleringa svårigheter att de�niera multiplikation av funktion i L1(�) med skalär.Härigenom blir L1(�) ett vektorrum och man kan visa att avbildningen
f !ZR
f(x)d�(x)
41
är en linjär avbildning från L1(�) in i R.Om f 2 L1(�) de�nieras den så kallade L1(�)-normen av f genom att
k f k1=ZR
j f(x) j d�(x):
Följande egenskaper är lätta att veri�era, nämligen
(i) k �f k1=j � jk f k1
(ii) k f + g k1�k f k1 + k g k1
(iii) k f k1� 0 med likhet om och endast om f = 0 i L1(�).
Med denna norm blir L1(�) ett Banachrum. Varje Cauchyföljd i dettarum är således konvergent. De enkla mätbara funktionerna bildar en tätdelmängd av L1(�).
Sats 2. (Lebesgues majorantsats) Antag f n 2 L1(�); n 2 N, och
supn2Nj fn j2 L1(�):
Antag vidare att gränsvärdetlimn!1
fn(x)
existerar och är lika med f(x) n.s. [�] : Då gäller att f 2 L1(�) och
limn!1
k fn � f k1= 0:
Speciellt gäller att
limn!1
ZR
fn(x)d�(x) =
ZR
f(x)d�(x):
Vi de�nierar klassen
L2(R;A; �) =�f ; f mätbar och f 2 2 L1(R;A; �)
:
42
Om missförstånd ej kan uppstå skrivs L2(R;A; �) = L2(�). Man de�nierarsumma och skalärmultiplikation i L2(�) analogt med motsvarande opera-tioner i rummet L1(�) och härigenom blir L2(�) ett vektorrum, som medskalärprodukten
(f; g) =
ZR
f(x)g(x)d�(x)
blir ett reellt Hilbertrum. Om f 2 L2(�); de�nieras
k f k2=
sZR
f 2(x)d�(x)
och vi kallar detta uttryck för L2(�)-normen av f . De enkla mätbara funk-tionerna bildar en tät delmängd av L2(�). Av Cauchy-Schwarz olikhet följeratt
L2(P ) � L1(P ):
Om X 2 L2(P ) gäller speciellt att
Var(X) =k X � E [X] k22 :
Kovariansen mellan två stokastiska variabler X; Y 2 L2(P ) de�nieras av
Cov(X; Y ) = E [(X � E [X])(Y � E [Y ])]
och om X;Y ej är kontanta n.s. de�nieras korrelationen mellan dem genom
Cor(X;Y ) =Cov(X; Y )pVar(X)Var(Y )
:
Två stokastiska variablerX; Y 2 L2(P ) sägs vara okorrelerade omCov(X; Y ) =0:Antag nu att X 2 L1(;F ; P ) och låt G vara en �-algebra av delmängder
av sådan att G � F . Det �nns då en unik stokastisk variabel Y 2 L1(;G; P )sådan att
E [X;A] = E [Y ;A] ; alla A 2 G:Här kallas Y det betingade väntevärdet av X givet G och betecknas medE [X j G] : Observera att E [j X j] � E [j Y j] : Om X 2 L2(;F ; P ) kan vihelt enkelt de�niera Y som ortogonala projektionen av X på L2(;G; P ).Det allmänna fallet X 2 L1(;F ; P ) kan vi först reducera till fallet att
43
X är icke-negativ. Beroende på Lebesgues monotona konvergenssats kanvi nu också begränsa oss till det redan avklarade kvadratintegrabla falletgenom att ersätta X med min(X;n); där n 2 N. Om X1; :::; Xn betecknarstokastiska variabler de�nierade på betecknar �(X1; :::; Xn) den minsta�-algebra av delmängder av som gör X1; :::; Xn mätbara. Vi skriver ifortsättningen E [X j X1; :::; Xn] istället för E [X j �(X1; :::; Xn)] : Om A 2 Gskrivs E [1A j G] = P [A j G] :Ett positivt måttrum (R;A; �) sägs vara �-ändligt om det existerarAn; n 2
N, så att R = [n2NAn och �(An) < 1; n 2 N. Betrakta nu två positiva�-ändliga måttrum (Rk;Ak; �k); k = 1; 2: Vi de�nierar produktrummet
R1 �R2 = f(x1; x2);x1 2 R1 och x1 2 R1g
och låter A1�A2 beteckna �-algebran av delmängder av R1�R2 som gener-eras av alla mängder av typen
A1 � A2; A1 2 A1; A2 2 A2:
Man kan visa att det existerar ett unikt positivt mått, här betecknat med�1 � �2; de�nierat på �-algebran A1 �A2; sådant att
(�1 � �2)(A1 � A2) = �1(A1)�2(A2); A1 2 A1; A2 2 A2:
Vidare gäller för varje mätbar funktion f : R1 �R2 ! [0;1] attZR1�R2
f(x1; x2)d(�1 � �2)(x1; x2) =ZR2
(
ZR1
f(x1; x2)d�1(x1))d�2(x2)
ochZR1�R2
f(x1; x2)d(�1 � �2)(x1; x2) =ZR1
(
ZR2
f(x1; x2)d�2(x2))d�1(x1):
Detta resultat kallas Fubinis sats.De�nitionen av produktmått kan lätt utsträckas till en ändlig produkt av
positiva �-ändliga mått. Vi skriver
mn = m� :::�m; n st faktorer
och kallar detta mått för det n-dimensionella Lebesguemåttet. Observeraatt m1 = m = mR: Om B 2 B(Rn) är en given mängd kallas måttet � som
44
de�nieras av att �(A) = mn(A) för alla A 2 B(Rn) sådana att A � B förLebesguemåttet i B. Man kallar mn-kompletteringen av Borel-�-algebran iRn för Lebesgue-�-algebran i Rn. Råkar B vara en axelparallell rektangel iRn och f : B ! R en reellvärd kontinuerlig funktion så ärZ
B
f(x)dmn(x) =
ZB
f(x)dx =
Z� � �ZB
f(x1; :::; xn)dx1:::dxn
där integralerna i mittersta och högra leden är vanliga Riemannintegraler.Det kanoniska Gaussmåttet n i R
n ges av
n(A) =
ZA
e�jxj2=2dmn(x)p
2�n ; A 2 B(Rn)
där
j x j=
vuut nXk=1
x2k
är den vanliga normen i Rn: I fortsättningen skriver vi också
d n(x) = e�jxj2=2dmn(x)p
2�n
eller
d n(x) = e�jxj2=2 dxp
2�n :
En Rn-värd stokastisk variabel X sägs vara en kanonisk Gaussvariabel i Rn
om �X = n:Vi skall nu ytligt beröra begreppet absolutkontinuitet för mått. Detta
begrepp kommer senare att bli aktuellt i samband med martingalmått i merrealistiska modeller än ovan. Låt (R;A; �) och (R;A; �) vara positiva måt-trum. Vi säger att måttet � är absolutkontinuerligt med avseende på måttet� om
�(A) = 0) �(A) = 0; för A 2 A:Detta skrives � << �: Om � << � och � << � säges måtten vara ekviva-lenta. Om (R;A; �) är ett positivt måttrum och f 2 L1(�) är icke-negativså gäller givetvis att f� << �: Om (R;A, �) är ett positivt �-ändligt måt-trum och (R;A, �) är ändligt positivt måttrum sådant att � << � så är� = f� för en lämplig icke-negativ funktion f 2 L1(�): Detta resultat kallasRadon-Nikodyms sats.
45
Vi avslutar kapitlet med att diskutera Fouriertransformen för ändligapositiva mått i Rn. Antag att � är ett ändligt positivt mått på B(Rn).Fouriertransformen � av � de�nieras av ekvationen
�(�) =
ZRn
e�i(�;x)d�(x); � 2 Rn
där
(�; x) =nXk=1
�kxk
är den vanliga skalärprodukten i Rn. Lebesgues majorantsats visar omedel-bart att � är kontinuerlig. Om X är en Rn-värd stokastisk variabel medfördelningsmåttet �X så kallas funktionen
E�ei(�;X)
�=
ZRn
ei(�;x)d�X(x); � 2 Rn
för den karakteristiska funktionen förX. Notera attE�ei(�;X)
�= �X(��); � 2
Rn:Det kanoniska Gaussmåttet i R har Fouriertransformen
(�) = e��2=2:
Om vi skriver
(�) =
Z 1
�1cos (�x) d (x)
så leder nämligen derivering och partiell integration till ekvationen
d
d� (�) = �� (�):
Eftersom (0) = 1 så följer påståendet. En stokastisk variabel X som tillhörklassen N(�; �2) har därför den karakteristiska funktionen
E�ei�X
�= ei���
12�2�2 :
Det kanoniska Gaussmåttet n i Rn har Fouriertransformen
n(�) = e�j�j2=2
46
där j � j är den vanliga normen av � i Rn:
Sats 3. Om två ändliga positiva mått � och � i Rn har samma Fourier-transformer så är måtten lika.
Beviset bygger på följande lemma där beteckningen Cb(Rn) står för rum-met av alla reellvärda begränsade och kontinuerliga funktioner de�nierade påRn:
Lemma 1. Låt � och � vara två ändliga positiva Borelmått i Rn sådanaatt Z
Rn
f(x)d�(x) =
ZRn
f(x)d�(x); alla f 2 Cb(Rn):
Då är � = �:
Bevis. Låt K vara en kompakt delmängd av Rn och välj en sekvens fn 2Cb( R
n); n 2 N; sådan att fn � fn+1; n 2 N, och
limn!1
fn = 1K :
Detaljerna i konstruktionen lämnas som övning. EftersomZRn
fn(x)d�(x) =
ZRn
fn(x)d�(x); n 2 N
så ger Lebesgues monotona konvergenssats att
�(K) = �(K):
Genom att nu utnyttja att ändliga positiva Borelmått i Rn är inre reguljäramed avseende på kompakta delmängder följer Lemma 1.
Bevis av sats 3. Vi har att för varje y 2 Rn och � > 0 att
47
ZRn
�(�)ei(�;y)e��2
2j�j2d� =
ZRn
(
ZRn
e�i(�;x)ei(�;y)e��2
2j�j2d�)d�(x)
enligt Fubinis sats. Här är högra ledet lika med
��nZRn
(
ZRn
e�i(�;x�y�)e�
12j�j2d�)d�(x) = (
p2�
�)nZRn
e�12�2
jx�yj2d�(x)
En liknande formel med � ersatt med � ger nu attZRn
e�12�2
jx�yj2d�(x) =
ZRn
e�12�2
jx�yj2d�(x):
Vi multiplicerar denna relation med f(y), där f 2 Cb(Rn); och integrerar
med avseende på y och får beroende på Fubinis satsZRn
(
ZRn
f(y)e�12�2
jx�yj2dy)d�(x) =
ZRn
(
ZRn
f(y)e�12�2
jx�yj2dy)d�(x):
Ett variabelbyte ger nuZRn
(
ZRn
f(x+ �y)e�12jyj2dy)d�(x) =
ZRn
(
ZRn
f(x+ �y)e�12jyj2dy)d�(x):
Vi låter nu � ! 0 och får med hjälp av Lebesgues majorantsats attZRn
f(x)d�(x) =
ZRn
f(x)d�(x)
och sats 3 är bevisad beroende på lemma 1.
Om � är ett positivt mått i R de�nieras
D =
�s 2 R;
Z 1
�1e�sxd�(x) <1
�och
~�(s) =
Z 1
�1e�sxd�(x); s 2 D:
48
Funktionen ~� kallas för Laplacetransformen av måttet �:
Korollarium 1. Om två positiva mått � och � i R har samma Laplace-transformer som är de�nierade i hela R så är måtten lika.
Bevis. Vi de�nierar
f(s) =
Z 1
�1e�sxd�(x); s 2 C
och
g(s) =
Z 1
�1e�sxd�(x); s 2 C:
Funktionerna f och g är hela analytiska funktioner och eftersom de sam-manfaller på reella axeln sammanfaller de överallt enligt Liouvilles sats inomteorin för analytiska funktioner. Speciellt följer att måtten � och � harsamma Fouriertransformer varför måtten är lika enligt sats 3. Detta bevisarsatsen.
Övningar
1. Betrakta binomialmodellen i exempel 1 och ett derivat av europeisktyp med en utbetalningsfunktionen
f(s) = max(0; s�K)
därS(0)ed < K < S(0)eu:
AntaghSS(1) + hBB(1) = f(S(1)):
Visa atthS > 0 och hB < 0:
49
2. Antag att X är en binomialfördelad stokastisk variabel sådan att
P [X = �1] = P [X = 1] =1
2:
Bestäm de � 2 R för vilka olikheten
E�(a+ �bX)4
�� (E
�(a+ bX)2
�)2
gäller för alla a; b 2 R.
3. Antag A � R. Visa att A = f;; A;R n A;Rg är en �-algebra avdelmängder av R.
4. Antag (Rk; Ak); k = 0; 1; är mätbara rum och låt f :R0 ! R1. Visaatt klassen �
A 2 A1; f�1(A) 2 A0
är en �-algebra.
5. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt A � R. Visa att funktionen1A är mätbar om och endast om A 2 A.
6. En mängd A kallas uppräknelig om det �nns en omvändbart entydigfunktion de�nierad på N med värdemängden A. En mängd sägs varahögst uppräknelig om den är ändlig eller uppräknelig. Visa att följandemängder är högst uppräkneliga a) ; b) falla jämna heltalg c) N2 d)Q.
7. Låt U vara en öppen delmängd av R. Visa att det �nns an 2 Q; n 2 Noch rn 2 Q+ ; n 2 N; så att[
n2N
]an � rn; an + rn[ = U:
8. Visa att �(f]a;1[ ; a 2 Rg) = B(R):
9. Visa att två Borelsannolikhetsmått i R som ger samma mått för allaintervall av typen ]a;1[ ; a 2 R; måste vara lika.
10. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f :R! R. Antag
fx 2 R; f(x) > ag 2 A
för varje reellt tal a: Visa att f är (A;B(R))-mätbar.
50
11. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f :R! R. Antag
fx 2 R; f(x) � ag 2 A
för varje reellt tal a: Visa att f är (A;B(R))-mätbar.
12. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f och g vara två reellvärda(A;B(R))-mätbara funktioner. Visa att f + g är (A;B(R))-mätbar.
13. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt fn; n 2 N; vara en sekvens(A;B(R))-mätbara funktioner sådan att
limn!1
fn(x)
existerar och är lika med f(x) för varje x 2 R: Visa att f är (A;B(R))-mätbar.
14. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f : R! [0;1] vara mätbar.Antag n 2 N+ och sätt En;i = f�1(
�i�12n; i2n
�); 1 � i � n2n; Fn =
f�1([n;1]) och
gn =n2nXi=1
i� 12n
1En;i + n1Fn :
Visa att gn � gn+1 och
limn!1
gn(x) = f(x); alla x 2 R:
15. Antag f; fn 2 L2(�); n 2 N; och att
limn!1
k fn � f k2= 0:
Visa att det �nns en delföljd av sekvensen (fn)n2N som konvergerarmot f n.s [�] :
16. (Första hälften av Borel-Cantellis lemma) Antag (;F ; P ) är ettsannolikhetsrum och An 2 F ; n 2 N; händelser sådana att
1Xn=0
P (An) <1:
51
Visa att endast ändligt många av händelserna An; n 2 N; inträ¤ar medsannolikheten 1: De�nieras
fAn i.o.g =\n�0
[k�n
Ak
så gäller alltså attP [An i.o.] = 0:
Här betyder i.o. �oändligt ofta�och kommer från engelskans �in�nitelyoften�.
17. Antag att f : Rm ! Rn är kontinuerlig. Visa att f är (B(Rm);B(Rn))-mätbar.
18. Visa att B(Rm+n) = B(Rm�Rn) = B(Rm) B(Rn):
19. Beräkna väntevärde och varians för en reellvärd binomialfördelad stokastiskvariabel.
20. Antag X 2 N(�; �2) och K > 0:: Beräkna
E�max(0; eX �K)
�:
21. Antag att den stokastiska variabeln X har en Gaussisk fördelning medväntevärdet noll. Visa att
E�ezX�= e
z2
2E[X2]
för alla komplexa tal z.
22. Visa att �(x) = 1� �(�x); x 2 R; och
(1
x� 1
x3)e�x
2=2
p2�� 1� �(x) � 1
x
e�x2=2
p2�
; x > 0:
23. Visa att
1� �(x) � 12e�x
2=2; x � 0:
52
24. Antag G 2 N(0; 1) och sätt för varje f 2 Cb (R) och t > 0
(Atf)(x) = Ehf(e�tx+ (1� e�2t) 12G)
i; x 2 R
dvs
(Atf)(x) =
Z 1
�1f(e�tx+ (1� e�2t) 12y)e�
y2
2dyp2�; x 2 R:
Visa att om f 2 Cb (R) så gäller att Atf 2 Cb (R) och
At1(At2f) = At1+t2f:
25. Låt (;F ; P ) = (Rn;B(Rn); n): Visa att varje linjär avbildning L :! R har en Gaussisk fördelning.
26. Antag X;Y 2 L1(;F ; P ) och låt G vara del-�-algebra av F : Visa attE [1 j G] = 1 , E [aX j G] = aE [X j G] ; a 2 R; och E [X + Y j G] =E [X j G] +E [X j G] : Visa också att X � Y ) E [X j G] � E [Y j G] :
27. Antag X 2 L1(;F ; P ) och låt G0 och G1 vara �-algebror sådana attG0 � G1: Visa att
E [E [X j G1] j G0] = E [X j G0] :
28. (Jensens olikhet för betingat väntevärde) AntagX 2 L1(;F ; P )och låt ' : R!R vara en konvex funktion sådan att '(X) 2 L1(;F ; P ).Visa att
'(E [X j G]) � E ['(X) j G] :(Ledning: Skriv
'(x) = supa2R('(a) + ca(x� a))
för lämpliga ca; a 2 R.)
29. Antag fn ! f i L2(R;A; �) då n!1: Visa att
limn!1
ZR
f 2n(x)d�(x) =
ZR
f 2(x)d�(x):
30. Antag Xn 2 N(0; �2n); n 2 N+; och Xn ! X i L2(;F ; P ) då n!1:Visa att X 2 N(0; �2) för lämpligt � � 0:
53
4. Stokastiska grundbegrepp
I detta avsnitt diskuteras �era grundläggande sannolikhetsteoretiska begreppsåsom stokastiskt oberoende, martingal och markovegenskap. I slutet avkapitlet härleder vi värdet (dvs teoretiska värdet) för ett betingat kontrakt ibinomialmodellen.Betrakta ett sannolikhetsrum (;F ; P ) och n st �-algebror G1; :::;Gn in-
nehållna i F . Vi säger att �-algebrorna G1; :::;Gn är stokastiskt oberoendeom
P
"n\k=1
Ak
#=
nYk=1
P [Ak]
för alla Ak 2 Gk; k = 1; :::; n:Antag nu att (Rk;Ak); k = 1; :::; n; är mätbara rum och låt Xk : !
Rk; k = 1; :::; n; vara stokastiska variabler. De stokastiska variablernaXk; k =1; :::; n; sägs vara stokastiskt oberoende om �-algebrorna �(Xk); k = 1; :::; n;är stokastiskt oberoende. De�nieras
(X1; :::; Xn)(!) = (X1(!); :::; Xn(!)); ! 2
så är detta ekvivalent med följande relation mellan fördelningsmåtten för destokastiska variablerna X1; :::; Xn och (X1; :::; Xn), nämligen att
�(X1;:::;Xn) = �X1 � :::� �Xn :
Händelserna A1; :::; An 2 F sägs vara stokastiskt obereoende om indika-torfunktionerna 1A1 ; :::; 1An är stokastiskt oberoende. Slutligen sägs en upp-sättning �-algebror (stokastiska variabler, händelser) vara stokastiskt oberoendeom varje ändlig deluppsättning av dem är stokastiskt oberoende.Följande sats följer nu lätt från de�nitionerna och resultaten i föregående
avsnitt och vi utelämnar beviset här.
Sats 1. Låt Xk : ! Rdk ; k = 1; :::; n;vara stokastiska variabler. Föjandevillkor är ekvivalenta:
(i) X 1; :::; Xn är stokastiskt oberoende
54
(ii)
E
"nYk=1
fk(Xk)
#=
nYk=1
E [fk(Xk)]
om f k : Rdk ! C; k = 1; :::; n; är kontinuerliga och begränsade.
(iii)
EheiPnk=1(�k;Xk)
i=
nYk=1
E�ei(�k;Xk)
�om �k 2 Rdk ; k = 1; :::; n:
En familj reellvärda stokastiska variabler (X(t))t2T kallas för en reellvärdstokastisk process. Vi skriver ofta X(t) = Xt: Indexmängden T kallas förtidsparametermängd och avbildningen
t! Xt(!)
för en realisation, samplefunktion eller en trajektoria för processen. OmT0 � T betecknar �(X(t); t 2 T0) den minsta �-algebra G av delmängder av som gör alla avbildningarna X(t); t 2 T0; (G;B(R))-mätbara. För varjen 2 N+ och t1;:::; tn 2 T de�nieras
�t1;:::;tn = �(X(t1);:::;X(tn)):
Måtten �t1;:::;tn, t1;:::; tn 2 T , n 2 N+; kallas för processens marginalfördel-ningar. Två reellvärda stokastiska processer med samma marginalfördel-ningar sägs vara ekvivalenta i fördelning. De sägs också vara versioner avsamma stokastiska process. Om (X(t))t2T är en reellvärd stokastisk processoch varje X(t) 2 L1(P ) de�nieras väntevärdesfunktionen � av processengenom att
�t = E [X(t)] ; t 2 T:
Funktionen � kallas ofta helt enkelt för väntevärdet av processen (X(t))t2T .Om dessutom varje X(t) 2 L2(P ) de�nieras kovariansfunktionen
C(s; t) = Cov(X(s); X(t)); s; t 2 T;
55
dvsC(s; t) = E [(X(s)� �s)(X(t)� �t)] ; s; t 2 T:
En reellvärd stokastisk process sägs vara centrerad om den har vän-tevärdesfunktionen noll. En stokastisk process (Xt)t2f1;:::;ng skrivs ofta (Xk)
nk=1
och kan identi�eras med en Rn-värd stokastisk variabel. Om varje Xk 2L1(P ) kan processens väntevärde uppfattas som en vektor i Rn:En sekvens (Xn)
1n=1 av stokastiska variabler kallas en i.i.d. om de stokastiska
variablerna Xn; n � 1; är stokastiskt oberoende och lika fördelade. Förkort-ningen kommer från engelskans �independent identically distributed�. An-tag nu att (Xn)
1n=1 är en i.i.d. bestående av reellvärda stokastiska vari-
abler. Motvarande stokastiska process av partialsummor (Zn)1n=1 , där Zn =X1 + ::: +Xn; n � 1, kallas då en slumpvandring (engelska: random walk).Om a 2 R kallas processen (Un)1n=0, där U0 = a och Un = a + Zn; n � 1;också för en slumpvandring och denna sägs starta i punkten a vid tidenn = 0: Elementen Xn; n � 1; kallas ofta för slumpvandringens tillskott. Eni.i.d. (Xn)
1n=1 sägs vara en Gaussisk i.i.d. om elementen i följden är Gaussiskt
fördelade. Motsvarande slumpvandringar kallas i detta fall för en Gaussiskaslumpvandringar.Betrakta nu en aktie med priset S(t) vid tiden t � 0 och låt � vara en �x
positiv parameter. Vi uppfattar aktiepriset S(0) vid tiden 0 som känt. Sätt
Xn = X�n = ln
S(n�)
S((n� 1)�) ; n � 1:
Den så kallade slumpvandringshypotesen för aktiepriset innebär att aktieavkast-ningarna (Xn)
1n=1 är en i.i.d. för alla � > 0 dvs att log-priserna ln S(n�); n �
0; är en slumpvandring för alla � > 0: Om vi accepterar denna hypotes ochpå goda grunder antager att motsvarande slumpvandrings tillskott är icke-deterministiska kan vi de�niera
Yn = Y �n =
Xn � E [Xn]pVar(Xn)
och empiriskt skatta korrelationerna
�k = E [YnYn+k] ; k = 1; 2; 3; ::: :
Dessa skattningar är i regel mycket små tal och skattningen av �1 är nästanalltid positiv. Om vi accepterar slumpvandringshypotesen för aktiepriset
56
kan vi också skatta den empiriska fördelningen för Yn. Låt G 2 N(0; 1): Enempirisk undersökning stöder i regel olikheterna
P [Yn � y] > P [G � y] ; y stort
ochP [Yn � y] > P [G � y] ; y litet.
Man brukar då säga att aktieavkastningen har �fetare svansar än i normalfal-let�. En mycket omfattande referenslista till empiriska studier av aktiepriseråter�nns t ex i Cox och Rubinsteins bok Option Markets [CR].Att aktiepriser lämpligen beskrivs som slumpvandringar förefaller idag
vara en mycket vanlig uppfattning. Inom teoretisk �nans antages dessutomi regel att motsvarande slumpvandringar är Gaussiska. Slumpvandringshy-potesen kan dock inte sägas vara helt perfekt. De avvikelser som kan spårasmellan teoretiska optionspriser och marknadens priser torde bero på en vissoklarhet rörande aktieprisers dynamik. Vi skall i detta sammanhang hellerinte glömma vårt antagande att kapitalmarknaden är friktionsfri, vilket inteär fallet i verkligheten.En reellvärd stokastisk process (X(t))t2T sägs vara en reellvärd Gaussisk
process om varje linjärkombination
nXk=1
�kX(tk); �k 2 R, tk 2 T; n 2 N+;
har en Gaussisk fördelning. Notera att i detta fall gäller att
EheiPnk=1 �kX(tk)
i= e
iPnk=1 �kE[X(tk)]�
12Pnj;k=1 �j�kCov(X(tj);X(tk))
:
Sats 2. Låt (Xk)nk=1vara en reellvärd Gaussisk process och antag m 2 f1; :::; n� 1g :
Då är de stokastiska variablerna (Xk)mk=1 och (Xk)
nk=m+1 stokastiskt oberoende
om och endast om
Cov(Xj; Xk) = 0; j = 1; :::;m; k = m+ 1; ::; n:
57
Sats 2 innebär speciellt att två okorrelerade Gaussiska stokastiska vari-abler är stokastiskt oberoende.Bevis. I beviset antages att processen ha väntevärdet (�k)nk=1:=): Om vi utnyttjar att Xj och Xk är stokastiskt oberoende för j � m <
k så följer att
Cov(Xj; Xk) = E [(Xj � �j)(Xk � �k)] =
E [Xj � �j]E [Xk � �k] = 0:
Alltså är Cov(Xj; Xk) = 0; j = 1; :::;m; k = m+ 1; ::; n:(=: Det gäller att
EheiPnk=1 �kXk
i= ei
Pnk=1 �k�ke�
12
Pnj;k=1 �j�kCov(Xj ;Xk):
Här äre�
12
Pnj;k=1 �j�kCov(Xj ;Xk) =
e�12
Pmj;k=1 �j�kCov(Xj ;Xk)e�
12
Pnj;k=m+1 �j�kCov(Xj ;Xk)
och vi får attEheiPnk=1 �kXk
i=
eiPmk=1
�k�k�12Pmj;k=1
�j�kCov(Xj;Xk)eiPnk=m+1 �k�k�
12Pnj;k=m+1 �j�kCov(Xj;Xk)
där högra ledet är lika med
EheiPmk=1 �kXk
iEheiPnk=m+1 �kXk
i:
Detta bevisar satsen.
Begreppet stokastiskt oberoende är naturligtvis mycket intressant ur mod-ellsynpunkt. Följande satser illustrerar att begreppet även har stora fördelarur beräkningssynpunkt.
Sats 3. Antag G är en �-algebra och låt X 2 L1(P ) vara en reellvärdstokastisk variabel sådan att G och �(X) är stokastiskt oberoende. Då gälleratt
E [X j G] = E [X] :
58
Bevis. Om A 2 G fåsE [X;A] = E [X1A]
och eftersom G och �(X) är stokastiskt oberoende följer att högra ledet ärlika med
E [X]E [1A] = E [E [X] 1A] = E [E [X] ;A] :
En konstant funktion är naturligtvis (G;B(R))-mätbar och satsen följer omedel-bart.
I fortsättningen lättar vi något på formalismen och säger helt enkelt atten reellvärd funktion är G-mätbar om den är (G;B(R))-mätbar. En funktionf : Rn ! R som är (B(Rn);B(R))-mätbar kallas en Borelfunktion i Rn. Omvi nedan talar om en mätbar funktion f : Rn ! R så innebär detta att f ären Borelfunktion i Rn.Följande sats visar att prediktering av framtida utfall är särskilt enkel ur
beräkningssynpunkt i samband med Gaussiska processer.
Sats 4. Låt (Xk)nk=1vara en reellvärd Gaussisk process med väntevärdet
(�k)nk=1: Sätt Xk=�k+Yk; k = 1; :::; n; och låt Un vara ortogonala projektio-
nen av Yn på det delrum av L2(P ) som spänns upp av Yk; k = 1; :::; n � 1:Då är
E [Xn j X1; :::; Xn�1] = �n + Un:
Bevis. Sätt Vn = Yn � Un: Vi har att
Cov(Xj; Vn) = 0; j = 1; :::; n� 1
varför Vn och X1; :::; Xn�1 är stokastiskt oberoende enligt sats 2. Härav fås
E [Xn j X1; :::; Xn�1] = �n + E [Un + Vn j X1; :::; Xn�1]
där högra ledet är lika med
�n + Un + E [Vn j X1; :::; Xn�1] = �n + Un + E [Vn] :
59
Resultatet följer nu av att E [Vn] = 0:
Betrakta nu en sekvens reellvärda stokastiska variabler (Mn)1n=1 och en
sekvens (Fn)1n=1 av �-algebror innehållna i F ; där som vanligt (;F ; P )betecknar det underliggande sannolikhetsrummet. Sekvensen (Mn;Fn)1n=1kallas en martingal om det för varje n � 1 gäller att
(i)Fn � Fn+1
(ii)�(Mn) � Fn
(iii) Mn 2 L1(P ) och Mn = E [Mn+k j Fn] ; k � 1:
Villkoret (i) kan uttryckas att sekvensensen (Fn)1n=1 är växande (i vidmening). En växande sekvens del-�-algebror av F kallas ofta en �ltration.Varje X 2 L1(P ) de�nierar tillsammans med en växande sekvens (Fn)1n=1 avdel-�-algebror av F en martingal (Mn; Fn)1n=1 genom formeln
Mn = E [X j Fn] ; n � 1:
För att ytterligare belysa martingalbegreppet betraktar vi en reellvärdstokastisk process (Xn)
1n=1 där varje Xn 2 L1(P ) och har förväntan noll.
Vi antager också att de stokastiska variablerna Xn; n � 1; är stokastisktoberoende. Sätt
Zn =nXk=1
Xk; n � 1
ochFn = �(X1; ::::; Xn); n � 1:
Av förutsättningarna följer för varje k � 1 att
E [Zn+k j Fn ] = Zn + E [Xn+1 + :::+Xn+k j Fn]
där sista termen är lika med
E [Xn+1] + ::::+ E [Xn+k] = 0:
Detta visar att sekvensen (Zn; Fn)1n=1 är en martingal.
60
En reellvärd stokastisk process (Un)1n=1 sägs ha Markovegenskapen om
E [f(Un+k) j U1; :::; Un] = E [f(Un+k) j Un] ; k; n � 1;
för varje Borelmätbar begränsad funktion f : R!R (en funktion g : R!Rsägs vara Borelmätbar om den är B(R)-mätbar). För att illustrera dettabegrepp låter vi (Xn)
1n=1 vara en reellvärd stokastisk process med stokastiskt
oberoende komponenter dvs de stokastiska variablernaXn; n � 1; är stokastisktoberoende. Sätt
Zn =nXk=1
Xk; n � 1:
Om f : R!R är en begränsad Borelmätbar funktion och k � 1 gäller att
E [f(Zn+k) j Z1; :::; Zn] = E [f(Zn +Xn+1 + :::+Xn+k) j Z1; :::; Zn]
och eftersom de stokastiska variablerna (Z1; :::; Zn) och (Xn+1;:::; Xn+k) ärstokastiskt oberoende är högra ledet lika med
(E [f(z +Xn+1 + :::+Xn+k)])jz=Zn = E [f(Zn+k) j Zn] :
Detta visar att processen (Zn)1n=1 har Markovegenskapen. Om slumpvan-dringshypotesen ger en riktig bild av ett aktiepris så följer speciellt att histo-rien inte ger mer information om aktiens framtida prisutveckling än vad somåter�nns i dagens pris. All så kallad teknisk analys av det enskilda aktieprisetsaknar i så fall prediktionsvärde.De�nitionerna av Markovegenskap, martingal och i.i.d. kan lätt ges över
ett godtyckligt delintervall av N (eventuellt med ändligt många element).Generaliseringen till kontinuerlig tid berörs nedan.Om X är en stokastisk variabel och (Xk)
nk=1 är en i.i.d. sådan att X1
och X har samma fördelning så sägs X1; :::; Xn vara stokastiskt oberoendeobservationer på X.
Exempel 1. Betrakta en kapitalmarknad bestående av en aktie med prisetS(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vid tiden t. Tidsvariabelnt antar endast värdena 0; 1; 2; :::; T . Antag
B(t+ 1) = B(t)er
61
där r > 0. Antag också att
S(t+ 1) = S(t)eX(t+1)
där X(t + 1) = Xt+1 är en binomialfördelad stokastisk variabel sådan attX�1t+1(fu; dg) = för lämpliga u; d 2 R; som uppfyller u > d: Parametrarna
u; d och r förutsätts vara konstanter. Dessutom antags att sekvensen (Xk)Tk=1
är en i.i.d. och att S(0) och B(0) är positiva tal. Denna modell kallas förbinomialmodellen för en aktie och en obligation. Vi kan utan inskränkninganta att
= f!; ! = (!1; :::; !T ) och !k 2 fu; dg ; k = 1; :::; Tg
och attXk(!) = !k; ! 2 ; k = 1; :::; T
Fr o m nu antages också att u > r > d:I fortsättningen låter vi F0 = f;;g och
Ft = �(S(1); :::; S(t)); t = 1; :::; T:
Observera attFt = �(X(1); :::; X(t)); t = 1; :::; T:
Kapitalmarknaden utvidgas nu med ett derivat i aktien som utbetalar be-loppet Y vid tiden T där Y är en funktion av S(0); :::; S(T ) dvs en FT -mätbarfunktion (det är här praktiskt att Y eventuellt får antaga negativa värden(jmfr kapitel 1 och värdering av terminskontrakt)). Ett sådant derivat kallasför ett betingat kontrakt av europeisk typ med slutdagen T (i matematiskamiljöer identi�eras ofta derivatet och Y ). Vi skall nu de�niera derivatetsteoretiska värde V (t) vid tiden t � T då S(0); :::; S(t) således är kända: Härskall naturligtvis V (t) bestämmas som en funktion av S(0); :::; S(t):Vi vet att V (T ) = Y är en funktion av S(0); :::; S(T ): Antag att vi
be�nner oss vid tiden t < T och att V (k) redan de�nierats som en funktionav S(0); :::; S(k) för k = T; :::; t+ 1. För att bestämma V (t) bildas vid tident en portfölj bestående av hS(t+ 1) aktier och hB(t+ 1) obligationer. Dessakvantiteter skall endast bero på S(0); :::; S(t) och ej på framtiden: Portföljensvärde vid tiden t ges av
v(t) = hS(t+ 1)S(t) + hB(t+ 1)B(t)
62
och från föregående kapitel vet vi att portföljen kan bestämmas så att
hS(t+ 1)S(t+ 1) + hB(t+ 1)B(t+ 1) = V (t+ 1):
Vi de�nierar nu V (t) = v(t) och skriver
V u(t+ 1) = V (t+ 1)jXt+1=u
ochV d(t+ 1) = V (t+ 1)jXt+1=d:
Ekvationen
hS(t+ 1)S(t+ 1) + hB(t+ 1)B(t+ 1) = V (t+ 1)
är ekvivalent med att
hS(t+ 1)S(t)eu + hB(t+ 1)B(t)e
r = V u(t+ 1)
ochhS(t+ 1)S(t)e
d + hB(t+ 1)B(t)er = V d(t+ 1):
En räkning ger att
hS(t+ 1)S(t) =V u(t+ 1)� V d(t+ 1)
eu � ed
och
hB(t+ 1)B(t) = e�reuV d(t+ 1)� edV u(t+ 1)
eu � ed :
Om vi de�nierar
p =er � edeu � ed
ochq =
eu � ereu � ed
så erhåller vi nu formeln
V (t) = e�r�pV u(t+ 1) + qV d(t+ 1)
�:
Det är uppenbart att V (t) genom ovanstående de�nitioner endast beror avS(0); :::; S(t) för t = 0; :::; T: Vidare beror hS(t+ 1) och hB(t+ 1) endast påS(0); :::; S(t) för t = 0; :::; T � 1:
63
Ovan antages att sekvensen (Xt)Tt=1 är en i.i.d. Vi de�nierar nu det så
kallade martingalmåttet Q i genom att
Q = Q1 � :::�QT
därQk = p�u + q�d; k = 1; :::; T
och
p = 1� q = er � edeu � ed :
Martingalmåttet Q kallas ibland för det riskneutrala måttet. Notera att varjeXt får fördelningen
p�u + q�d
relativt martingalmåttet Q och att sekvensen (Xt)Tt=1 är en i.i.d. relativt Q:
De�nitionen medför att
V (t) = e�rEQ [V (t+ 1) j Ft] :
Upprepning ger nuV (t) = e�r�EQ [V (T ) j Ft]
där � = T � t och vi får
V (t) = e�r�EQ [Y j Ft] :
Konstruktionen visar också att måtten P och Q är ekvivalenta.Vi specialiserar nu Y och antar att Y = f(S(T )) dvs vi betraktar ett
enkelt kontrakt av europeisk typ med slutdagen T: Eftersom processen (lnS(t))Tt=1har Markovegenskapen med avseende på Q (såväl som med avseende på P )kan vi också skriva
V (t) = e�r�EQ [f(S(T )) j S(t)] :
Specialfallet f(s) = s är särskilt intressant. Med induktion fås omedelbart idetta fall att V (t) = S(t): Relationen
V (t) = e�rEQ [V (t+ 1) j Ft]
kan nu skrivasS(t)e�rt = EQ
�S(t+ 1)e�r(t+1) j Ft
�
64
vilket medför att sekvensen (S(t)e�rt;Ft)Tt=0 är en Q-martingal (dvs en mar-tingal med avseende på det bakomliggande sannolikhetsrummet (;FT ; Q)).En sekvens h = (hS(t); hB(t))Tt=0, där hS(0) = hS(1); hB(0) = hB(1) och
där varje hS(t+ 1) och hB(t+ 1) är Ft-mätbara, kallas en själv�nansierandestrategi om
hS(t)S(t) + hB(t)B(t) = hS(t+ 1)S(t) + hB(t+ 1)B(t); t = 0; :::; T � 1:
Motsvarande värdeprocess (Vh(t))Tt=0 de�nieras av att
Vh(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t); t = 0; :::; T:
Antag nu h = (hS(t); hB(t))Tt=0 är en själv�nansierande strategi med
värdeprocessen (Vh(t))Tt=0: Då gäller för t � T � 1 att
EQ�e�rVh(t+ 1) j Ft
�= EQ
�e�r(hS(t+ 1)S(t+ 1) + hB(t+ 1)B(t+ 1)) j Ft
�=
EQ�hS(t+ 1)e
�rS(t+ 1) + hB(t+ 1)B(t)) j Ft�=
hS(t+ 1)EQ�e�rS(t+ 1) j Ft
�+ hB(t+ 1)B(t) =
hS(t+ 1)S(t) + hB(t+ 1)B(t) = Vh(t)
och det följer att
EQ�e�(T�t)rVh(T ) j Ft
�= Vh(t); t = 0; 1; :::; T:
Sekvensen (e�trVh(t);Ft)Tt=0 är således en Q-martingal.Om h är en själv�nansierande strategi gäller att
EQ�e�TrVh(T ) j Ft
�= Vh(0)
Det kan därför inte inträ¤a att Vh(0) = 0, Vh(T ) � 0 och P [Vh(T ) > 0] > 0:Vår modell sägs därför vara arbitragefri.Om Y är en FT -mätbar funktion så visade vi ovan (genom baklänges
induktion) att Y = Vh(T ) för en lämplig själv�nansierande strategi h. Mansäger därför att modellen ifråga är komplett. Deta avslutar exempel 1.
Sats 5. Betrakta binomialmodellen i T tidssteg och antag u > r > d: Det�nns endast ett sannolikhetsmått � ekvivalent med P sådant att
(e�rtS(t);Ft)Tt=0
65
är en �-martingal och detta mått är lika med med Q:
Bevis. Antag att Q0 och Q1 är sannolikhetsmått, ekvivalenta med P; så-dana att (e�rtS(t);Ft)Tt=0 är en martingal relativt dessa mått. Om h =(hS(t); hB(t))
Tt=0 är en själv�nansierande strategi så gäller för t � T � 1 och
i = 0; 1 att
EQi�e�rVh(t+ 1) j Ft
�= EQi
�e�r(hS(t+ 1)S(t+ 1) + hB(t+ 1)B(t+ 1)) j Ft
�=
EQi�hS(t+ 1)e
�rS(t+ 1) + hB(t+ 1)B(t)) j Ft�=
hS(t+ 1)EQi�e�rS(t+ 1) j Ft
�+ hB(t+ 1)B(t) =
hS(t+ 1)S(t) + hB(t+ 1)B(t) = Vh(t)
och det följer att
EQi�e�(T�t)rVh(T ) j Ft
�= Vh(t); t = 0; 1; :::; T:
Om t = 0 erhållsEQi
�e�rTVh(T )
�= Vh(0)
för i = 0; 1 och därför måste
EQ0�e�rTVh(T )
�= EQ1
�e�rTVh(T )
�:
Eftersom vår modell är komplett kan h väljas så att e�rTV h(T ) är en godty-cklig FT -mätbar funktion och det följer att Q1 = Q2: Slutligen gäller enligtexempel 1 att (e�rtS(t);Ft)Tt=0 är Q-martingal, vilket visar sats 5.
Övningar
1. Antag X och Y är reellvärda stokastiska variabler och låt f 2 Cb(R2):Visa att
E [f(X; Y ) j X] = g(X)
därg(x) = E [f(x; Y )] ; x 2 R
om X och Y är stokastiskt oberoende.
66
2. Antag att de stokastiska variablerna Xk 2 N(�k; �2k); k = 1; :::; n; är
stokastiskt oberoende. Visa attPn
k=1Xk 2 N(Pn
k=1 �k;Pn
k=1 �2k):
3. Antag att de stokastiska variablerna X och Y är stokastiskt oberoendeoch likformigt fördelade i intervallet [0; 1]. Visa att de stokastiska vari-
ablernaq2 ln 1
Xcos(2�Y ) och
q2 ln 1
Xsin(2�Y ) är stokastiskt oberoende
och att båda tillhör klassen N(0; 1).
4. Låt X; Y 2 N(0; 1) vara stokastiskt oberoende. Visa att
E�e�max(X;X+Y )
�= e�
2
�(�) +1
2e�2
2 ; � 2 R:
5. En reellvärd stokastisk variabel X är Cauchyfördelad med parame-trarna � 2 R och � � 0 om
E�ei�X
�= ei����j�j; � 2 R.
(Detta förkortas X 2 C(�; �):) Visa att om � > 0 så är
d�X(x) =1
�
�dx
�2 + (x� �)2
och om � = 0 så är �X = ��.
6. Antag att den stokastiska variabelnX är likformigt fördelad i intervallet��12; 12
�. Visa att tan(�X) 2 C(0; 1):
7. Antag att de stokastiska variablerna Xk 2 C(�k; �k); k = 1; :::; n; ärstokastiskt oberoende. Visa att
Pnk=1Xk 2 C(
Pnk=1 �k;
Pnk=1 �k):
8. Antag att de stokastiska variablerna X; Y 2 N(0; 1) är stokastisktoberoende. Visa att Y
X2 C(0; 1).
9. Antag att X1; :::; Xn 2 L2(P ) är stokastiskt oberoende. Visa att
Var(nXk=1
Xk) =
nXk=1
Var(Xk):
10. Antag X 2 L2(P ): Visa att
P [j X j� "] � E [X2]
"2; " > 0:
67
11. Antag X 2 L2(P ). Visa Chebishevs olikhet
P [j X � E [X] j� "] � Var(X)"2
; " > 0:
12. Antag X 2 L2(P ) och � = E [X]. Låt X1; :::; Xn vara stokastisktoberoende observationer på X: Visa att om �Zn =
1n
Pnk=1Xk så gäller
att
P�j �Zn � � j� "
�� Var(X)
n"2; " > 0:
(Monte Carlometoden beräknar en approximation av � med skattnin-gen �Zn(!). Monte Carlometoden användes bl a av Ulam under 1940-talet för att göra beräkningar inom kärnreaktorfysik. Metoden utnyt-tjas fortfarande inom detta område. Namnet �Monte Carlometoden�brukar tillskrivas fysikern Nicholas Metropolis. Monte Carlometodenbehandlas utförligt i den utmärkta boken �Monte Carlo Methods�avHammersley och Handscomb [HH].)
13. Låt � vara Lebesguemåttet i intervallet [0; 1] och antag f 2 L2(�):
BeräknaR 10f(x)dx approximativt medMonte Carlometoden då a) f(x) =
x b) f(x) = sinx c) f(x) = 1x1=4
: Välj först 103 och därefter 106
slumptal.
14. Antag f(x) = sin(x+ 1); x 2 R. a) Beräkna
I =
Z 1
�1f(x)e�
x2
2dxp2�:
b) Låt G1; :::; Gn 2 N(0; 1) vara stokastiskt oberoende. Beräkna ap-proximationer av I med Monte-Carloskattningarna
MC1 =1
n
nXk=1
f(Gk)
och
MC2 =1
2n
nXk=1
(f(Gk) + f(�Gk))
då b1) n = 103: Gör tre försök. b2) n = 106: Gör tre försök.
68
15. Låt X vara en stokastisk variabel med värden i Rd och antag A 2B(Rd). Sätt p = P [X 2 A] : Visa att om X1; :::; Xn är stokastisktoberoende observationer på X så gäller att
P�j �Zn � p j� "
�� 1
4n"2; " > 0;
där�Zn =
1
n(1[X12A] + ::::+ 1[Xn2A]):
Monte Carlometoden beräknar en approximation av p med skattnin-gen �Zn(!):
16. Låt X vara en kanonisk Gaussvariabel i Rd: Beräkna P [X 2 A] ap-proximativt med Monte Carlometoden då
A =�x;x = (x1; :::; xd) 2 Rd och 0 � xk � 1; k = 1; :::; d
för a) d = 1 b) d = 3 c) d = 6 d) d = 10: Välj först 103 ochdärefter106 slumpvektorer i Rd:
17. Låt x 2 [0; 1] och antag P [X = 0] = x och P [X = 1] = 1 � x: AntagX1; :::; Xn är stokastiskt oberoende observationer på X. Visa att
E
�f(1
n(X1 + :::+Xn))
�=
nXk=0
f(k
n)�nk
�xk(1� x)n�k
för varje funktion f de�nierad på intervallet [0; 1].
18. Betrakta binomialmodellen med t = 0; 1; 2 och u > r > d: Ett derivatav europeisk typ utbetalar beloppet
Y = max(0; (S(0)S(1)S(2))13 �K)
vid tiden t = 2: Antag
S(0)ed < K � S(0)e13u+ 2
3d:
Visa att derivatets värde vid tiden t = 0 är lika med
e�2rhS(0)p2eu + S(0)pq(e
23u+ 1
3d + e
13u+ 2
3d)� p(1 + q)K
idär
p = 1� q = er � edeu � ed :
69
19. Betrakta binomialmodellen och antag u > r > d och T = 2: En eu-ropeisk medelvärdesoption av europeisk typ utbetalar beloppet
max
�0;1
3(S(0) + S(1) + S(2))�K
�vid tiden 2; där K är ett givet positivt tal som uppfyller
S(0)
3(1 + ed + e2d) < K <
S(0)
3(1 + ed + eu+d):
Bestäm derivatets värde vid tiden 0.
20. Låt (Xn)1n=1 vara en i.i.d. där varjeXn 2 N(0; 1): SättFn = �(X1; :::; Xn)
ochMn = eX1+:::+Xn�
n2 ; n = 1; 2; ::: :
Visa att (Mn;Fn)1n=1 är en martingal.
21. Betrakta en sekvens reellvärda stokastiska variabler (Mn)1n=1 och en
sekvens (Fn)1n=1 av �-algebror. Visa att sekvensen (Mn;Fn)1n=1är enmartingal om det för varje n � 1 gäller att
(i)Fn � Fn+1( ii)�(Mn) � Fn(iii) Mn 2 L1(P ) och Mn = E [Mn+1 j Fn] :
22. Visa att en reellvärd stokastisk process (Un)1n=1 har Markovegenskapenom
E [f(Un+1) j U1; :::; Un] = E [f(Un+1) j Un] ; n � 1;för varje Borelmätbar begränsad funktion f : R!R.
23. Antag matrisen C = (C(j; k))1�j;k�n har reella element är och är sym-metrisk. Låt
e1 = (e1(j))nj=1 ; :::; en = (en(j))
nj=1
vara en ON-bas i Rn bestående av egenvektorer till C och låt �1; :::; �nvara motsvarande egenvärden. Visa att
C(i; j) =
nXk=1
�kek(i)ek(j):
70
Antag C är positivt semi-de�nit dvs �1; :::; �n � 0 och de�niera
X(i) =
nXk=1
p�kek(i)Gk; i = 1; :::; n:
Visa att (X(i))ni=1 är en centrerad Gaussprocess med kovariansfunktio-nen C.
24. Antag x1; x2; x3 och r är reella tal och x1 < x2 < x3: Betrakta enmodell för en kapitalmarknad bestående av en aktie och en obligationdär tiden t är lika med 0 eller 1. Aktiens pris vid tiden t betecknas medS(t) och obligationens pris vid tiden t betecknas med B(t): Det gälleratt
S(1) = S(0)eX
där S(0) är en positiv konstant och där X: ! fx1; x2; x3g är enstokastisk varibel sådan att P [X = xk] > 0; k = 1; 2; 3: Vidare gälleratt
B(1) = B(0)er
där B(0) är en positiv konstant. Begreppet arbitrage de�nieras analogtmed motsvarande begrepp i samband med binomialmodellen.
a) Under vilka villkor på parametrarna x1; x2; x3 och r saknar modellenarbitrage?
b) Antag x1 < r < x3 och representera X som identitetsavbildningen imängden = fx1; x2; x3g : Visa att det �nns �era martingalmått dvssannolikhetsmått i sådana att
S(0) = e�rEQ [S(1)] :
Ge också exempel på ett derivat av europeisk typ som slutdagen 1utbetalar beloppet f(S(1)) och som har egenskapen att
f(S(1)) 6= hSS(1) + hBB(1)
för alla reella hB och hS (man säger därför att modellen ej är komplett).(Ledning: Om U och V är reellvärda stokastiska variabler så betyderrelationen U 6= V att P [U = V ] < 1:)
71
25. Betrakta binomialmodellen i T tidssteg och låt h = (hS; hB) vara ensjälv�nansierande strategi. Visa att
e�rtVh(t) = Vh(0) +
tXk=1
hS(k)(e�rkS(k)� e�r(k�1)S(k � 1))
(Ledning: Om
A(t) = (e�rtS(t); B(0)) = ( ~S(t); B(0))
så följer att
Vh(0) +tX
k=1
hS(k)( ~S(k)� ~S(k � 1)) =
Vh(0) +tX
k=1
h(k) � (A(k)� A(k � 1)):
Gruppera därefter om termerna.)
73
5. Konstruktion av Brownsk rörelse och Gaussiska processer
I detta avsnitt konstruerar vi Brownsk rörelse med kontinuerliga trajektorier.Det är i detta sammanhang naturligt att också beröra konstruktionen avallmänna Gaussiska processer. Avslutningsvis belyses också olika sambandmellan Brownsk rörelse och värmeledningsekvationen.Antag först att (Xi)
ni=1 är en reellvärd centrerad Gaussisk process och låt
cij = E [XiXj] ; i; j = 1; :::; n
vara motsvarande kovariansmatris (dvs kovariansfunktion). Matrisen C =(cij)1�i;j�n är symmetrisk eftersom
E [XiXj] = E [XjXi] :
Matrisen C är också positivt semi-de�nit ty om a = (a1; :::; an) 2 Rn gälleratt
a�Ca =nX
i;j=1
aicijaj =nX
i;j=1
aiajE [XiXj] =
E
"nX
i;j=1
aiajXiXj
#= E
"(nXi=1
aiXi)2
#� 0:
Antag nu omvänt att C = (cij)1�i;j�n är en matris med reella elementsådan att C är symmetrisk och positivt semi-de�nit. Vi skall visa att det�nns en centrerad reellvärd Gaussisk process med tidsparametermängdenf1; 2; ::; ng som har kovariansmatrisen C: För att se detta använder vi spek-tralsatsen för symmetriska matriser och får en ON-bas
e1 = (e11; :::; en1); :::; en = (e1n; :::; enn)
i Rn bestående av egenvektorer för C: Låt �1; :::; �n vara motsvarande egen-värden. Eftersom
e�iCei = �i; i = 1; :::; n
så är �1; :::; �n � 0: Relationen Cek = �kek kan skrivas
nX�=1
ci�e�k = �keik
74
och vi fårnX�=1
ci�e�kejk = �keikejk:
Eftersom den matris som bildas av egenvektorerna som kolonner är en ortog-onalmatris så måste denna matris också ha ortogonala rader dvs
nXk=1
e�kejk =
�0; om � 6= j1; om � = j
:
Alltså ärnXk=1
�keikejk =nX�=1
ci�
nXk=1
e�kejk
!= cij:
Låt nu (Gi)ni=1 vara en i.i.d. där G1 2 N(0; 1) och de�niera
Xi =nXk=1
p�keikGk; i = 1; :::; n:
Processen (Xi)ni=1 är en reellvärd centrerad Gaussisk process och
E [XiXj] =nXk=1
�keikejk = cij:
Processen (Xi)ni=1 har alltså kovariansmatrisen C:
En reellvärd centrerad Gaussprocess (W (t))t�0 med kovariansfunktionen
E [W (s)W (t)] = min(s; t)
kallas för en normaliserad reellvärd Wienerprocess eller en normaliserad endi-mensionell Brownsk rörelse. Det är inte alls klart att det �nns en normalis-erad reellvärd Wienerprocess och det är naturligtvis inte heller klart varförbegreppet är intressant.Vi behandlar först existensfrågan och startar med följande sats.
Sats 1. Låt (�k)1k=0vara en följd sannolikhetsmått i R. Då �nns en sekvensreellvärda stokastiskt oberoende stokastiska variabler (Xk)
1k=0 sådan att �Xk =
�k; k 2 N; dvs
P [Xk 2 A] = �k(A); A 2 B(R); k 2 N:
75
Beviset för sats 1 utelämnas här (för bevis se t ex [N ])..Vi kan nu utreda existensen av normaliserad endimensionell Brownsk
rörelse på följande sätt. Låt � = m[0;1[ vara Lebesguemåttet i intervallet[0;1[ : Antag (en)n2N är en ortonormerad bas för L2(�). För varje �xt t � 0Fourierutvecklas funktionen 1[0;t] i den ortonormerade basen (en)n2N så att
1[0;t] =
1Xn=0
an(t)en
där
an(t) =
Z 1
0
1[0;t]end�; n 2 N.
Eftersom Z 1
0
1[0;s]1[0;t]d� =1Xn=0
an(s)an(t)
blir
min(s; t) =1Xn=0
an(s)an(t):
I nästa steg skall vi konstruera en normaliserad endimensionell Brownskrörelse med hjälp av en lämplig slumpserie. Antag (Gn)n2N är en i.i.d. medN(0; 1)-fördelade komponenter (sats 1 garanterar existensen av denna i.i.d.).Sätt
W (t) =1Xn=0
an(t)Gn
där serien för �xt t � 0 konvergerar i L2(P ). Det följer processen (W (t))t�0är en reellvärd, centrerad och Gaussisk (se övning i kapitel 3) samt att
E [W (s)W (t)] =
1Xn=0
an(s)an(t)
dvsE [W (s)W (t)] = min(s; t):
Processen (W (t))t�0 är alltså en normaliserad reellvärd Wienerprocess.Som Gaussprocess karakteriseras processen W = (W (t))t�0 även av föl-
jande, nämligen
76
(�) W (0) = 0
(�) W (t) 2 N(0; t)
( ) om n 2 N+; och 0 � t0 � t1 � ::: � tn så är tillskotten
W (t1)�W (t0); W (t2)�W (t1); :::;W (tn)�W (tn�1)
okorrelerade och därmed stokastiskt oberoende.
En reellvärd stokastisk process (X(t))t�0 kallas för en reellvärd Wiener-process om X(t) = x + �W (t); t � 0; för lämpliga x 2 R och � > 0. Enreellvärd Wienerprocess kallas också för en endimensionell Brownsk rörelse.En stokastisk process (X(t))t�0 sägs vara en reellvärd Wienerprocess med lin-jär drift eller en endimensionell Brownsk rörelse med linjär drift om X(t) =x + �t + �W (t); t � 0; för lämpliga �; x 2 R och � > 0. Parametern xkallas för startpunkt, parametern � kallas för di¤usionskonstant och parame-tern � kallas för driftskoe¢ cient. Ibland säger vi bara Wienerprocess iställetför reellvärd Wienerprocess och Brownsk rörelse istället för endimensionellBrownsk rörelse om sammanhanget i alla fall är klart.Den geometriska Brownska rörelsemodellen för en aktie med priset S(t); t �
0; innebär att det så kallade log-priset
ln S(t); t � 0
beskriver en Brownsk rörelse med linjär drift: Vi säger i detta fall att ak-tiepriset beskriver en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift.Parametern � i denna modell kallas ofta för aktieprisets volatilitet. Dengeometriska Brownska rörelsemodellen för en aktie går tillbaka till Samuelson[SAM1] ; som genom denna artikel modi�erar Bacheliers aritmetiska modellfrån år 1900 [BA].Det fysikaliska fenomenet Brownsk rörelse går tillbaka till en observation
av den holländske fysikern Jan Ingen-Housz 1785 (se [KSZ]). BotanistenRobert Brown fastslår i en publikation 1829 att fenomenet ifråga ej förorsakasav levande organismer [BR] och Albert Einstein drar 1905 slutsatsen attBrownsk rörelse förorsakas av kollisioner mellan molekyler och de observeradepartiklarna [E] .En funktion � : T � T ! R sägs vara en kovarians på T om � dels är
symmetrisk dvs�(s; t) = �(t; s); s; t 2 T;
77
dels är positivt semi-de�nit dvs det för varje n 2 N+ ; a1; :::; an 2 R ocht1; :::; tn 2 T gäller att
nXj;k=1
ajak�(tj; tk) � 0:
Om (X(t))t2T är en reellvärd stokastisk process sådan att varje X(t) 2 L2(P )gäller att kovariansfunktionen
C(s; t) = Cov(X(s); X(t)); s; t 2 T
är en kovarians på T ty C är uppenbarligen reellvärd och symmetrisk och
nXj;k=1
ajakC(tj; tk) = E
24( nXk=1
ak(X(tk)� E [X(tk)]))235 � 0:
I fortsättningen säger vi ofta kovarians istället för kovariansfunktion isamband med stokastiska processer.
Sats 2. Låt T vara en godtycklig mängd och � reellvärd funktion på T .Antag dessutom att � är en kovarians på T . Då �nns en reellvärd Gaussiskprocess (X(t))t2T sådan att
�(t) = E [X(t)] ; t 2 T
och�(s; t) = Cov(X((s); X(t)); s; t 2 T:
Två Gaussiska processer med dessa egenskaper är ekvivalenta i fördelningdvs har samma marginalfördelningar.
Vi bevisar inte sats 2 här (för bevis se t ex [N ]). Istället ger vi någrakonkreta exempel på Gaussprocesser som kommer fram genom sats 2.Låt som vanligt m1 beteckna Lebesguemåttet i R: Om f 2 L1(m1)
de�nieras Fouriertransformen f av f genom ekvationen
f(�) =
ZR
e�i�xf(x)dx; � 2 R:
78
Observera att för alla a1; :::; an; t1; :::; tn 2 R så gäller att
nXj;k=1
ajakf(tj � tk) =ZR
jnXk=1
akeitkx j2 f(x)dx:
Råkar f dessutom vara jämn dvs om f(x) = f(�x) n.s. [m1] så är f reellvärdoch jämn ty
f(�) =
ZR
f(x) cos(�x)dx; � 2 R:
Varje jämn och icke-negativ funktion f 2 L1(m1) de�nierar alltså en kovari-ans � på R genom att
�(s; t) = f(s� t):
Om X betecknar motsvarande centrerade Gaussiska process med tidspara-metermängden R och kovariansen � så gäller för varje �xt reellt tal a att
E [X(s)X(t)] = f(s� t) = E [X(s+ a)X(t+ a)] :
De stokastiska processerna (X(t))t2R och (X(t + a))t2R har därför sammamarginalfördelningar. Av denna anledning sägs processen (X(t))t2R varastationär. I specialfallet
f(x) =1
2�
1
x2 + 14
ärf(�) = e�
12j�j:
Motsvarande stationära centrerade Gaussiska process kallas en stationär nor-maliserad Ornstein-Uhlenbeckprocess. Om denna betecknas med U = (U(t))t2Rföljer att dess kovariansfunktion ges av
E [U(s)U(t)] = e�12js�tj:
Notera att processen
X(t) = e�t2W (et); t 2 R
är centrerad Gaussisk med kovariansen
e�s+t2 min(es; et) = e�
12js�tj:
79
Processen (X(t))t2R är därför exempel på en stationär normaliserad Ornstein-Uhlenbeckprocess.Studiet av regularitetsegenskaper för Gaussprocessers samplefunktioner
har varit ett aktivt forskningsfält ända in i vår egen tid. Vi visar här endastett viktigt resultat inom det område.
Sats 4. (Wieners sats) Det �nns en version av endimensionell Brownskrörelse som har kontinuerliga trajektorier.
Bevis. Det räcker att visa att det �nns en version av normaliserad endimen-sionell Brownsk rörelse som har kontinuerliga trajektorier. Den första delenav beviset påminner starkt om vårt existensbevis för normaliserad Brownskrörelse medan den senare delen av beviset innehåller nya metoder.Vi arbetar först i tidsintervallet 0 � t � 1. Låt � beteckna Lebesguemåt-
tet i [0; 1] och antag (en)n2N är en ortonormerad bas för L2(�). För varje�xt t 2 [0; 1] Fourierutvecklas funktionen 1[0;t] i den ortonormerade basen(en)n2N så att
1[0;t] =1Xn=0
an(t)en
där
an(t) =
Z 1
0
1[0;t]end�; n 2 N.
Eftersom Z 1
0
1[0;s]1[0;t]d� =1Xn=0
an(s)an(t); s; t 2 [0; 1]
blir
min(s; t) =1Xn=0
an(s)an(t); s; t 2 [0; 1] :
Antag nu att (Gn)n2N är en i.i.d. med N(0; 1)-fördelade komponenteroch sätt
V (t) =
1Xn=0
an(t)Gn
80
där serien för �xt t 2 [0; 1] konvergerar i L2(P ). Det följer processen (V (t))0�t�1är en centrerad och Gaussisk samt att
E [V (s)V (t)] =
1Xn=0
an(s)an(t); s; t 2 [0; 1]
dvsE [V (s)V (t)] = min(s; t); s; t 2 [0; 1] :
Vi kallar därför processen (V (t))0�t�1 för en normaliserad endimensionellBrownsk rörelse i tidsintervallet [0; 1] : Den ortonormerade basen (en)n2Nskall nu väljas så att slumpserien ovan är lätt att hantera med avseende pålikformig konvergens i tidsvariabeln t.Sätt först
h(t) = 1[0; 12 [(t)� 1[ 12 ;1](t); t 2 R.
Vi de�nierar nu h00(t) = 1; 0 � t � 1; och för varje n � 1 och j = 1; :::; 2n�1sätts
hjn(t) = 2n�12 h(2n�1t� j + 1); 0 � t � 1:
För varje n � 1 och j = 1; :::; 2n�1 gäller alltså
hjn(t) =
8>>>>><>>>>>:2n�12 ; j�1
2n�1 � t <j� 1
2
2n�1 ;
�2n�12 ; j�12
2n�1 � t � j2n�1 ;
0; för övrigt i [0; 1] :
Härav inses lätt att funktionerna h00;hjn; j = 1; :::; 2n�1; n � 1; som tillhörL2(�); alla har längden ett och är parvis ortogonala. Vi påstår att dessafunktioner bildar en ortonormerad bas i L2(�) . Antag nämligen att f 2L2(�) är ortogonal mot var och en av funktionerna ifråga. För varje n � 1och j = 1; :::; 2n�1 följer då attZ j� 1
22n�1
j�12n�1
fd� =
Z j
2n�1
j� 12
2n�1
fd�
och därmed är Z j
2n�1
j�12n�1
fd� =1
2n�1
Z 1
0
fd� = 0
81
ty Z 1
0
fd� =
Z 1
0
fh00d� = 0:
Alltså är Z k2n�1
j
2n�1
fd� = 0; 1 � j � k � 2n�1;
och därmed gäller attZ 1
0
1[a;b]fd� =
Z b
a
fd� = 0; 0 � a � b � 1:
Alltså måste f = 0 och vi kan dra slutsatsen att funktionerna h00;hjn; j =1; :::; 2n�1; n � 1; är en ortonormerad bas i L2(�): Denna ortonormerade baskallas för Haarbasen i Hilbertrummet L2(�):Låt nu G00;Gjn; j = 1; :::; 2n�1; n � 1; vara en i.i.d. med N(0; 1)-fördelade
komponenter och sätt
ajn(t) =
Z 1
0
1[0;t]hjnd�; j = n = 0 eller j = 1; :::; 2n�1; n � 1:
Funktionerna ajn; j = n = 0 eller j = 1; :::; 2n�1; n � 1; är alla kontinuerliga.Observera också att för varje �xt n � 1 så är
ajn(t)akn(t) = 0 om j 6= k:
Vi inför ocksåU0(t) = G00a00(t)
och
Un(t) =2n�1Xj=1
Gjnajn(t); n � 1
och vet från diskussionen ovan att slumpserien
V (t) =
1Xn=0
Un(t)
konvergerar i L2(P ) för varje �xt t 2 [0; 1] och att motsvarande process ären normaliserad Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; 1] : Vi skall nu visa attserien
1Xn=0
Un
82
konvergerar n.s. i Banachrummet C([0; 1]) med max-normen
k x k1= max0�t�1
j x(t) j= maxt2[0;1]\Q
j x(t) j :
Här syftar n.s. på det bakomliggande sannolikhetsmåttet. Det räcker därföratt visa att
1Xn=0
k Un k1<1; n.s.
ty en absolutkonvergent serie i Banachrummet C([0; 1]) är konvergent. Låtdärför n � 1 och notera först att
P�k Un k1> 2�
n4
�� P
�max
1�j�2n�1(j Gjn jk ajn k1) > 2�
n4
�:
Menk ajn k1=
1
2n+12
såP�k Un k1> 2�
n4
�� 2n�1P
hj G00 j> 2
n4+ 12
i:
Eftersom
x � 1) P [j G00 j� x] � 2Z 1
x
ye�y2=2 dy
xp2�� e�x
2=2
följer attP�k Un k1> 2�
n4
�� 2ne�2n=2
och vi drar slutsatsen att
E
" 1Xn=0
1[kUnk1>2�n4 ]
#=
1Xn=0
P�k Un k1> 2�
n4
�<1:
SerienP1
n=0 1[kUnk1>2�n4 ] är således ändlig n.s. och det följer att serien
1Xn=0
k Un k1
konvergerar n.s: Det �nns alltså en representation W (t); 0 � t � 1; förnormaliserad endimensionell Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; 1] som har
83
kontinuerliga trajektorier. Låt W1(t); 0 � t � 1; vara en annan sådan repre-sentation och dessutom sådan att processerna (W (t))0�t�1 och (W1(t))0�t�1är stokastiskt oberoende. Sätt
W (t) =W (1) + tW1(1=t)�W1(1); t > 1:
Man veri�erar lätt att processen (W (t))t�0 är en normaliserad endimensionellBrownsk rörelse, vilket avslutar beviset för Wieners sats.
I fortsättningen låter vi alltid W = (W (t))t�0 beteckna en normaliseradWienerprocess med kontinuerliga trajektorier.Brownsk rörelse har en serie märkliga egenskaper. Om T > 0 är �xt
så har t ex kurvan (t;W (t)); 0 � t � T; oändlig längd. För att se dettade�nieras
L(1)n =2n�1Xk=0
j W (k + 12n
T )�W ( k2nT ) j
så att Ln � Ln+1. Vidare gäller att
Ehe�L
(1)n
i=�Ehe�jW ( 1
2nT )ji�2n
=
�Ehe� 1
2n=2jW (T )j
i�2n��E�e�jW (T )j��2n=2
där vi har uttnyttjat Jensens olikhet i sista ledet. Eftersom E�e�jW (T )j� < 1
följer nu attlimn!1
L(1)n =1 n.s.
och vi drar slutsatsen att kurvan (t;W (t)); 0 � t � T; har oändlig längd.Om
� : 0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T
de�nieras
L(2)� =
n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2:
Vi påstår attL(2)� ! T i L2(P )
84
då indelningens �nhet� = max
0�k�n�1(tk+1 � tk)
går mot noll. Om G 2 N(0; 1) följer nämligen att
Var(L(2)� ) =n�1Xk=0
Var((W (tk+1)�W (tk))2) =n�1Xk=0
Var((ptk+1 � tkG)2) =
n�1Xk=0
(tk+1 � tk)2Var(G2) � TVar(G2)�:
EftersomEhL(2)�
i= T
följer nu attEh(L
(2)� � T )2
i! 0 då � ! 0:
En Brownsk trajektoria är inte deriverbar i någon punkt med sanno-likheten ett (se t ex [McK] för ett kort bevis av denna Wienersats). En an-nan märklig egenskap för Brownsk rörelse framkommer genom Khintchinesitererade logaritmlag som innebär att
P
"lim supt!0+
W (t)p2t ln(ln 1=t)
= 1
#= 1
och
P
"lim inft!0+
W (t)p2t ln(ln 1=t)
= �1#= 1
(se återigen t ex [McK]). Speciellt följer härav att händelsen�W (t) > 0 för oändligt många t 2 [0; �] ochW (t) < 0 för oändligt många t 2 [0; �]
�har sannolikheten 1 för varje � > 0 .För optionsteori har olika samband mellan Brownsk rörelse och partiella
di¤erentialekvationer fundamental betydelse. I enkla fall är sådana sambandlätta att illustrera. I fortsättningen låter vi E beteckna klassen av alla reel-lvärda kontinuerliga funktioner f de�nierade på reella tallinjen sådana att
supx2R(e�Cjxj j f(x) j) <1
85
för en lämplig konstant C > 0 som eventuellt beror av f: Antag nu att f 2 Eoch betrakta värmeledningsekvationen�
@u@t+ 1
2@2u@x2
= 0ujt=T = f; 0 < t < T; x 2 R.
Substitutionen� = T � t
ger den ekvivalenta formen�@u@�= 1
2@2u@x2
uj�=0 = f; 0 < � < T; x 2 R
som studeras i kurser i Fourieranalys. Vi får en lösning given av formeln
u(t; x) =
ZR
f(y)e�(x�y)22�
dyp2��
eller annorlunda uttryckt
u(t; x) =
ZR
f(x+ y)e�y2
2�dyp2��
:
Bortsett från funktioner som är oerhört stora för stora j x j är detta den endalösningen till det aktuella begynnelseproblemet (se t ex [FR]). Med någotmissbruk av språket säger vi att integralformeln ovan ger lösningen till denaktuella ekvationen (i vissa texter talar man om den �fysikaliska lösningen�eller den �ekonomiska lösningen�). Lösningen kan uttryckas med hjälp avBrownsk rörelse på följande sätt:
u(t; x) = E [f(x+W (�))] :
Det �nns också en delvis annorlunda representation av lösningen u(t; x)med hjälp av Brownsk rörelse som kan vara attraktiv i samband med olikatillämpningar. De�niera
g(x) = E [f(x+W (�)] = E [f(x+ (W (T )�W (t))] :
Då är
E [f(W (T )) j W (t)] = E [f(W (t) + (W (T )�W (t)) j W (t)] =
86
g(W (t))
(jmfr övning 1 i kapitel 4). Det är nu tilltalande att skriva
g(x) = E [f(W (T )) j W (t) = x]
och vi tar denna relation som de�nition av uttrycket i höger led. Vi hardärför att
u(t; x) = E [f(W (T )) j W (t) = x] :
Sats 5. Antag a,b2 R och låt � > 0: Om funktionen f 2 E så har ekvationen�@u@t+ �2
2@2u@x2+ a@u
@x+ bu = 0
ujt=T = f; 0 < t < T; x 2 R
lösningenu(t; x) = eb�E [f(x+ a� + �W (�))] :
De�nieras processen X(t) = at+ �W (t); 0 < t � T; så gäller därför att
u(t; x) = eb�E [f(X(T ) j X(t) = x] :
Bevis. Sättesu(t; x) = eb�v(� ;
1
�(a� + x))
så får vi att@v
@�=1
2
@2v
@x2
ochvj�=0 = f(�x):
Alltså ärv(� ; x) = E [f(�(x+W (�)))]
och satsen följer omedelbart.
Sats 6. Antag a,b2 R och låt � > 0: Om f(ex) 2 E så har ekvationen�@u@t+ �2s2
2@2u@s2+ as@u
@s+ bu = 0
ujt=T = f; 0 < t < T; s > 0
87
lösningen
u(t; s) = eb�Ehf(se(a�
�2
2)�+�W (�))
i:
Bevis. Sätts = ex:
Då är@u
@s=@u
@x
1
s
och@2u
@s2=@2u
@x21
s2� @u
@x
1
s2:
Insättning i di¤erentialekvationen ger
@u
@t+�2
2
@2u
@x2+ (a� �2
2)@u
@x+ bu = 0 :
Vi utnyttjar nu slutvillkoret
u(T; ex) = f(ex)
och får från föregående sats att
u(t; s) = eb�Ehf(ex+(a�
�2
2)�+�W (�))
ioch satsen är bevisad.
Betrakta nu för �xt t � 0 �-algebran
Ft = �(W (�); � � t):
En reellvärd stokastisk process (X(t))t�0 säges vara en Wienermartingal omdet för alla t0; t � 0 gäller att
(a) X(t) är Ft-mätbar
(b) X(t) 2 L1(P )
(c) E [X(t) j Ft0 ] = X(t0) så snart t0 � t:
88
Om I är ett delintervall av intervallet [0;1[ så sägs en reellvärd stokastiskprocess (X(t))t2I vara en Wienermartingal i I om villkoren (a); (b) och (c)gäller för alla t0; t 2 I:Vi vill speciellt framhålla två exempel på Wienermartingaler. Antag 0 �
t0 � t: Genom att utnyttja att Ft0 och �(W (t) � W (t0)) är stokastisktoberoende följer att
E [W (t) j Ft0 ] = E [W (t0) j Ft0 ] + E [W (t)�W (t0) j Ft0 ] =
W (t0) + E [W (t)�W (t0)] =W (t0):
En normaliserad Wienerprocess är alltså en Wienermartingal. Processen
M�(t) = e�W (t)��2t2 ; t � 0
är också en Wienermartingal. Om � > 0 får vi nämligen att
E�e�W (t) j Ft0
�= E
�e�(W (t)�W (t0))e�W (t0) j Ft0
�=
e�W (t0)E�e�(W (t)�W (t0)) j Ft0
�= e�W (t0)E
�e�(W (t)�W (t0))
�=
e�W (t0)e12E[(�(W (t)�W (t0)))2] = e�W (t0)e
�2
2(t�t0)
varförE [M�(t) j Ft0 ] =M�(t0):
Processen (M�(t))t�0 kallas för en Brownsk exponentialmartingal med para-metern �: Denna process är bl a av intresse i samband med sats 6 som nukan ges följande ekvivalenta formulering.
Sats 6�. Antag a,b2 R och låt � > 0: Om f(ex) 2 E så har ekvationen�@u@t+ �2s2
2@2u@s2+ as@u
@s+ bu = 0
ujt=T = f; 0 < t < T; s > 0
lösningenu(t; s) = eb�E [f(sea�M�(�))] :
89
Sats 6�kommer att spela en fundamental roll i utvecklingen av option-steorin i senare avsnitt.Vi betraktar avslutningsvis i detta kapitel följande ekvation�
@u@t= �2
2@2u@x2+ a@u
@x� c(x)u
ujt=0 = f; t > 0; x 2 Rdär f antages tillhöra klassen E och c � 0 är en kontinuerlig funktionde�nierad på R: Feynman-Kac formel säger att lösningen ges av
u(t; x) = Ehf(x+ at+ �W (t))e�
R t0 c(x+a�+�W (�))d�
i:
Detta är konsistent med fallet då c är konstant beroende sats 5 (se ocksåövningarna i detta kapitel och i kapitel 11). Det faller dock utom ramen fördenna kurs att utförligt behandla Feynman-Kac formel (för mer informationhänvisas till [KS] och referenser i denna bok). Det är emellertid värdefulltatt känna till Feynman-Kac formel för att kunna gissa diverse sannolikheterför Brownsk rörelse. Vi ger två exempel.
Sats 7 (Bachelier [1]) Om t; x > 0 så är
P
�max0���t
W (�) � x
�= 2�(
xpt)� 1:
Vi gör ovanstående sats trovärdig genom följande resonemang.Antag att n 2 N+. Sätt cn = n1]�1;0[ så att
cn(y) =
�n; y < 00; y � 0
och de�nieraun(t; x) = E
he�
R t0 cn(x+W (�))d�
ioch
u(t; x) = P [x+W (�) � 0; alla � 2 [0; t]] :Härav följer att
limn!1
un(t; x) = u(t; x); x > 0; t > 0
90
eftersom processen W = (W (t))t�0 förutsätts ha kontinuerliga trajektorier.Då
P [W (�) < 0; oändligt många � 2 [0; t]] = 1; t > 0följer också randvillkoret
u(t; 0) = 0; t > 0:
Vidare gäller begynnelsevillkoret
u(0; x) = 1; x > 0:
Vi går nu tillbaka till Feynman-Kacs formel, som visar att
@un@t
=1
2
@2un@x2
; t > 0; x > 0
och det är därför rimligt att funktionen u(t; x) uppfyller ekvationen
@u
@t=1
2
@2u
@x2; t > 0; x > 0:
Vi accepterar detta utan att gå in i ett detaljerat bevis. För att bestämmafunktionen u noterar vi först att funktionen
v(t; x) = E�1[0;1[(x+W (t))
�= �(
xpt); t; x > 0
löser värmeledningsekvationen
@v
@t=1
2
@2v
@x2:
Genom anpasning av rand- och begynnelsevillkor drar vi sedan slutsatsen attu = 2v � 1; vilket är liktydigt med sats 7.
Problem. Betrakta ett aktiepris S(t) = S(0)e�t+�W (t); t � 0; som förutsättsbeskriva av en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift och låtT > 0 vara ett givet tal. Antag också att a; b är positiva reella tal sådanaatt a < S(0) < b: Beräkna sannolikheten för händelsen
a � S(t) � b; alla t 2 [0; T ] :
91
Vi räknar i samma anda som ovan fram en formel för sannolikheten iproblemet.
Sätt A = ln a; B = ln b och x0 = lnS(0): Den aktuella händelsen kanskrivas
A � x0 + �t+ �W (t) � B; alla t 2 [0; T ] :Sätt nu cn = n(1� 1[A;B]) så att
cn(y) =
�0; A � y � Bn; y < A eller y > B
och de�nieraun(t; x) = E
he�
R t0 cn(x+��+�W (�))d�
ioch
u(t; x) = P [A � x+ ��+ �W (�) � B; alla � 2 [0; t]]Härav följer att
limn!1
un(t; x) = u(t; x); A < x < B; t > 0
eftersom processen W = (W (t))t�0 förutsätts ha kontinuerliga trajektorier.Genom att använda Khintchines itererade logaritmlag för Wienerprocessenföljer också att
u(t; A) = 0; t > 0
och på liknande sätt drar vi slutsatsen att
u(t; B) = 0; t > 0:
Vidare äru(0; x) = 1; A � x � B:
Om vi observerar att
@un@t
=�2
2
@2un@x2
+ �@un@x
; t > 0; A < x < B
är det rimligt att funktionen u(t; x) uppfyller ekvationen
@u
@t=�2
2
@2u
@x2+ �
@u
@x; t > 0; A < x < B
92
och vi accepterar detta utan att gå in i ett detaljerat bevis. För att bestämmafunktionen u sättes
u = ekxv
och vi får att@u
@x= ekx
@v
@x+ kekxv
och@2u
@x2= ekx
@2v
@x2+ 2kekx
@v
@x+ k2ekxv:
Di¤erentialekvationen för u får nu formen
@v
@t=�2
2
@2v
@x2+ (k�2 + �)
@v
@x+ (
�2k2
2+ �k)v:
Därför väljsk = � �
�2varav
@v
@t=�2
2
@2v
@x2� �2
2�2v:
Genom variabelseparation inses nu att
v(t; x) =1Xn=1
ane�( �
2
2�2+ n2�2�2
2(B�A)2 )t sinx� AB � An�
där
an =2
B � A
Z B
A
e��2x sin
x� AB � An�dx
och en enkel räkning visar att
u(t; x) = 2e��2(A�x)�
1Xn=1
n��4(1 + (�1)n+1e��2(B�A))
�2(B � A)2 + n2�2�4e�( �
2
2�2+ n2�2�2
2(B�A)2 )t sinx� AB � An�:
Den angivna händelsen i det ursprungliga problemet bör alltså sannolikhetenu(T; x0); vilket också är det korrekta svaret.
Övningar
93
1. Antag att G1; G2 2 N(0; 1) och är okorrelerade. Visa att processen
X(t) = G0 cos(�t) +G1 sin(�t); t 2 R
är en stationär Gaussprocess för varje � 2 R:
2. Antag 0 < t1 < ::: < tn. Visa att
P [W (t1) 2 A1; :::;W (tn) 2 An] =ZA1
:::
ZAn
nYk=1
(1p
2�(tk � tk�1)e� (xk�xk�1)
2
2(tk�tk�1)
)dx1:::dxn
för godtyckliga A1; ::An 2 B(R): Här är x0 = 0 och t0 = 0:
3. Antag � > 0: Visa att funktionen
1
�
�
x2 + �2
har Fouriertransformene��j�j:
4. Visa att processen X(t) = �W (t); t � 0; är en normaliserad Wiener-process.
5. Antag a > 0: Visa att processen X(t) = a�12W (at); t � 0; är en nor-
maliserad Wienerprocess.
6. Antag t0 � 0: Visa att processen X(t) =W (t+ t0)�W ( t0); t � 0; ären normaliserad Wienerprocess.
7. Sätt X(0) = 0 och X(t) = tW (1t); t > 0: Visa att (X(t))t�0 är en
normaliserad Wienerprocess.
8. Sätt X(t) = W (t) � tW (1) och Y (t) = X(1 � t) för 0 � t � 1. Visaatt processerna (X(t))0�t�1 och (Y (t))0�t�1 har samma marginalfördel-ningar.
9. Visa att
P
"lim supt!1
W (t)p2t ln(ln t)
= 1
#= 1
94
och
P
"lim inft!1
W (t)p2t ln(ln t)
= �1#= 1
10. Visa att
E [f(W (t)) j Ft0 ] = E [f(W (t)) j W (t0)] ; t0 � t
för varje f 2 Cb(R); där
Ft = �(W (�); � � t); t � 0:
11. Visa att en stationär normaliserad Ornstein-Uhlenbecks process U =(U(t))t�0 uppfyller likheten
E [f(U(t)) j Ft0 ] = E [f(U(t)) j U(t0)] ; t0 � t
för varje f 2 Cb(R); där
Ft = �(U(�); � � t); t � 0:
12. Lös ekvationen �@u@t= 1
2@2u@x2
u(0; x) = sinx; t > 0; x 2 R
Beräkna också lösningen approximativt med en lämplig Monte Car-lometod. Gör numeriska jämförelser i specialfallet t = 4 och x = 1:
13. Visa att
P
�limt!0+
tW (1=t) = 0
�= 1:
14. Låt (Xn)1n=1 vara en i.i.d. med Gaussiskt fördelade komponenter. Visa
att
limn!1
1
n(X1 + :::+Xn) = E [X1] n.s.
95
15. a) Sekvensen (ek)k2N är en ON-bas för L2(m[0;1]), där
ek(t) =p2 cos(k +
1
2)�t; 0 � t � 1; k 2 N:
Sätt
ak(t) =
Z t
0
ek(s)ds =
p2 sin(k + 1
2)�t
(k + 12)�
; 0 � t � 1; k 2 N;
och låt (Gk)k2N vara en i.i.d. där varje Gk 2 N(0; 1). Processen
W (t) =1Xn=0
ak(t)Gk; 0 � t � 1
är en normaliserad Brownsk rörelse i tidsintervallet från 0 till 1. Låtm;n 2 N+: AntagWmn(t) är kontinuerlig för 0 � t � 1 och a¢ n i varjeintervall i�1
n� t � i
n, i = 1; :::; n samt sådan att
Wmn(i
n) =
mXk=0
ak(i
n)Gk; i = 0; :::; n:
Rita en trajektoria för processen Wm(t), 0 � t � 1; då m = 400 ochn = 100:
16. Betrakta randvärdesproblemet u00(x) = �f(x); 0 � x � 1; under bivil-lkoren u(0) = u0(1) = 0: Visa att Greenfunktionen g(x; y) för dettaproblem är lika med min(x; y): Utnyttja detta för att visa att
min(x; y) =
1Xn=0
2
(n+ 12)2�2
sin((n+1
2)�x) sin((n+
1
2)�y):
Antag slutligen att (Gn)1n=0 är en i.i.d. med N(0; 1)-fördelade kompo-nenter och sätt
X(t) =1Xn=0
p2Gn
(n+ 12)�sin((n+
1
2)�t); 0 � t � 1:
Visa att X är en normaliserad endimensionell Brownsk rörelse i tidsin-tervallet [0; 1] :
96
17. Sätt Ft = �(W (�); � � t) för t � 0: Beräkna E [W 2(t) j Fs] ochE [W 3(t) j Fs] för 0 � s � t:
18. Visa att processen W 2(t)� t; t � 0; är en Wienermartingal.
19. Antag att f tillhör klassen E och att c � 0 är en kontinuerlig funktionde�nierad på R: De�niera
[Atf ] (x) = Ehf(x+ at+ �W (t))e�
R t0 c(x+a�+�W (�))d�
i; x 2 R
för �xt t > 0: Visa att funktionen Atf tillhör klassen E och att
At1+t2f = At1(At2f):
Visa också att
limt!0+
1
tf[Atf ] (x)� f(x)g =
�2
2
@2f
@x2+ a
@f
@x� c(x)f(x); x 2 R
om f är tillräckligt reguljär.
97
6. Centrala gränsvärdessatsen
Det �nns matematiska resultat som naturligt leder till hypotesen att ak-tieavkastningar approximativt är normalfördelade (för väl omsatta aktier påstörre börser under perioder av normala yttre förhållanden). I detta sam-manhang skall vi uppmärksamma den så kallade centrala gränsvärdessatsen,som också kommer att få betydelse för vår första härledning av Black-Scholesteoretiska pris för enkla derivat av europeisk typ.Låt �n; n 2 N+; och � vara Borelsannolikhetsmått i Rd. Sekvensen
(�n)n2N+ sägs konvergera svagt mot måttet � om
limn!1
�n(A) = �(A)
för varje A 2 B( Rd) sådant att randen av A är en �-nollmängd dvs �(@A) =0. Denna typ av konvergens förkortas
�n ) �:
Om Xn; n 2 N+; och X är Rd-värda stokastiska variabler och
�Xn ) �X
så sägs sekvensen (Xn)n2N+konvergera mot X i fördelning. Denna typ avkonvergens förkortas
Xn ! X:
Om nödvändigt anges här att n!1:
Sats 1. (Centrala gränsvärdessatsen) Låt (X n)1n=1vara en i.i.d. där varje
X n är Rd-v�ard och begränsad n.s. (dvs det existerar en konstant C 2 [0;1[så att P [j Xn j� C] = 1; n 2 N+). Antag Xn har väntevärdet � och låt Gvara en centrerad Gaussiskt fördelad Rd-v�ard stokastisk variabel med sammakovarians som Xn: Sätt
Zn =1pn(X1 + :::+Xn � n�); n 2 N+:
98
Då gällerZn ! G:
För starkare versioner av centrala gränsvärdessatsen hänvisas till böckeri sannolikhetsteori (såsom tex [BOR]). Specialfallet då d = 1 och varje Xn isats 1 är binomialfördelad visades (i mer klassisk form) av de Moivre 1733 (set ex Lifshits bok �Gaussian Random Functions�[LIF ]). Normalfördelningenvar alltså känd före Gauss tid.För att visa centrala gränsvärdessatsen behandlar vi först en del Fourier-
analytiska begrepp. Om f 2 L1(md) de�nieras Fouriertransformen f genomatt
f(�) =
ZRd
e�i(�;x)f(x)dx; � 2 Rd:
Sats 2. (Inversionssatsen) Antag f 2 L1(md): Om �f 2 L1(md) och om fär kontinuerlig och begränsad så gäller att
f(x) =
ZRd
ei(�;x)f(�)d�
(2�)d; x 2 Rd:
Bevis. Som så mycket annat i denna kurs följer resultatet från kalkyl medGaussiska stokastiska variabler. Om " > 0 gäller attZ
Rd
ei(�;x)e�"2
2j�j2 f(�)
d�
(2�)d=
ZRd
f(y)
�ZRd
ei(�;x�y)e�"2
2j�j2 d�
(2�)d
�dy:
Här är högra ledet lika medZRd
f(y)
(ZRd
ei(�;x�y")e�
12j�j2 d�p2�
d
)dy
p2�
d"d=
ZRd
f(y)e�12"2
jy�xj2 dyp2�
d"d:
Om vi sättery � x = "z
blir uttrycket i högra ledet lika medZRd
f(x+ "z)e�12jzj2 dzp2�
d= E [f(x+ "G)]
99
där G är en kanonisk Gaussisk vektor i Rd. Alltså gällerZRd
ei(�;x)e�"2
2j�j2 f(�)
d�
(2�)d= E [f(x+ "G)]
och inversionssatsen följer genom att låta "! 0+.
Det �nns ett viktigt specialfall då förutsättningarna i inversionssatsen äruppfyllda. Låt C10 (R
d) beteckna klassen av alla reellvärda funktioner f i Rd
som är oändligt många gånger kontinuerligt deriverbara i varje variabel ochsom dessutom är identiskt noll utanför en begränsad mängd. Ett exempelpå en sådan funktion f får vi genom att de�niera
f(x) =
dYk=1
f'(1 + xk)'(1� xk)g ; x = (x1; :::; xd) 2 Rd
där
'(t) =
�e�
1t ; t > 0;
0; t � 0:
Om f 2 C10 (Rd) gäller att f 2 L1(md) ty genom att utföra partiell inte-gration med avseende på variabeln xk så erhålls för varje �k 6= 0 att
f(�) =
ZRd
e�i(�;x)f(x)dx =1
i�k
ZRd
e�i(�;x)f 0xk(x)dx
och upprepning ger
f(�) =1
(i�k)n
ZRd
e�i(�;x)f (n)xk(x)dx; n 2 N:
Alltså är
j �k jnj f(�) j�ZRd
j f (n)xk(x) j dx; n 2 N
och det följer attsup�2Rd
(1+ j � j)d+1 j f(�) j<1:
så f 2 L1(md):
100
Korollarium 1. Om f 2 C10 (Rd) gäller att f 2 L1(md) och
f(x) =
ZRd
ei(�;x)f(�)d�
(2�)d; x 2 Rd:
Sats 3. Antag �n; n 2 N+; och � är sannolikhetsmått i Rd sådana att
limn!1
ZRd
ei(�;x)d�n(x) =
ZRd
ei(�;x)d�(x); � 2 Rd:
Då gäller att �n ) �:
Bevis. Antag f 2 C10 (Rd). Det gäller enligt ovan att f 2 L1(md) och
f(x) =
ZRd
ei(�;x)f(�)d�
(2�)d; x 2 Rd:
Alltså är ZRd
f(x)d�n(x) =
ZRd
�ZRd
ei(�;x)d�n(x)
�f(�)
d�
(2�)d
och ZRd
f(x)d�(x) =
ZRd
�ZRd
ei(�;x)d�(x)
�f(�)
d�
(2�)d:
Förutsättningarna ger därför att
limn!1
ZRd
f(x)d�n(x) =
ZRd
f(x)d�(x):
Innan vi går vidare införs lite ny formalism. Om A och B är delmängderav Rd de�nieras summan
A+B = fz; z = x+ y där x 2 A och y 2 Bg :
Den slutna enhetsbollen i Rd med centrum 0 och radie r > 0 betecknas med�B(0; r) dvs
�B(0; r) = fx; j x j� rg :Om r > 0 och A � Rd skriver vi Ar = A + �B(0; r): Det slutna höljet avA � Rd betecknas med �A och det inre av A betecknas med Ao: Slutligen
101
betecknar h 2 C10 (Rd) en icke-negativ funktion som är noll utanför �B(0; 1)och som uppfyller relationen Z
Rd
h(x)dx = 1:
Vi går nu vidare i beviset för sats 3. Låt K vara en godtycklig kompaktdelmängd av Rd och de�niera för varje p 2 N+ funktionen
fp(x) = pdZRd
h(p(x� y))1K 1p
(y)dy; x 2 Rd:
Det följer att 0 � fp � 1 och eftersom
fp(x) =
Z�B(0;1)
h(z)1K 1p
(x� z
p)dz; x 2 Rd
erhålls också att
fp(x) =
�1; x 2 K0; x =2 K 2
p:
Det gäller också att fp 2 C10 (Rd): Olikheten
�n(K 2p) �
ZRd
fp(x)d�n(x)
ger därför att
lim infn!1
�n(K 2p) �
ZRd
fp(x)d�(x)
ochlim infn!1
�n(K 2p) � �(K):
På liknande sätt visas att
lim supn!1
�n(K) � �(K 2p)
och Lebesgues majorantsats medför att
lim supn!1
�n(K) � �(K)
tylimp!1
1K 2p
(x) = 1K(x); alla x 2 Rd:
102
Antag nu att F är en sluten delmängd av Rd. Då gäller först att
�n(F ) � �n(F \K 2p) + �n(R
dnK 2p):
Eftersom mängden F \K 2pär kompakt erhålls
lim supn!1
�n(F ) � �(F \K 2p) + 1� lim inf
n!1�n(K 2
p)
ochlim supn!1
�n(F ) � �(F ) + 1� �(K):
Vi väljer nu K = �B(0; r) med r > 0 stort och får
lim supn!1
�n(F ) � �(F ):
Genom att gå till komplement drar vi också slutsatsen att
lim infn!1
�n(U) � �(U)
för varje öppen delmängd U av Rd:Det är nu lätt att avsluta beviset för satsen. Antag A 2 B(Rd) och
�(@A) = 0. Av olikheten �n(A) � �n( �A) erhåller vi att
lim supn!1
�n(A) � �( �A) = �(A)
och olikheten �n(A) � �n(Ao) ger
lim infn!1
�n(A) � �(Ao) = �(A):
Detta bevisar satsen.
Bevis av sats 1. Vi har för varje � 2 Rd att
E�ei(�;Zn)
�=
nYk=1
Ehei(�;
Xk��pn)i
så vi fårE�ei(�;Zn)
�=nEhe
ipn(�;X1��)
ion:
103
Låt nu
eit = 1 + it� t2
2+ t3f(t); t 2 R
där funktionen f är begränsad på begränsade intervall. Härav följer att
E�ei(�;Zn)
�=�
1� 1
2nE�(�;X1 � �)2
�+
1
n3=2E
�(�;X1 � �)3f(
1
n1=2(�;X1 � �))
��n:
Alltså gällerlimn!1
E�ei(�;Zn)
�= e�
12E[(�;X1��)2]
vilket beroende på sats 3 visar sats 1:
Låt nu (Xn)1n=1 vara en reellvärd i.i.d. där varje Xn är begränsad n.s. och
har förväntan noll och variansen �2 > 0: Vi de�nierar
Zk =kXj=1
Xj; k 2 N
med konventionen att en summa med mindre övre summationsindex än undresummationsindex är noll. Alltså är Z0 = 0: Om t är ett reellt tal betecknar[t] det största heltalet som är mindre än eller lika med t: Processen
Y (t) = Z[t] + (t� [t])X[t]+1; t � 0
är lika med Zk för t = k och är a¢ n i varje intervall [k; k + 1] där k 2 N: Vide�nierar nu för varje n 2 N+ processen
Wn(t) =1
�pnY (nt); t � 0:
Notera att denna process har kontinuerliga trajektorier och
Wn(k
n) =
1
�pn
kXj=1
Xj; k 2 N:
Det gäller attE [Wn(t)] = 0
104
ochE�Wn(t)
2�=1
n([nt] + (nt� [nt])2)! t
då n ! 1. Med hjälp av centrala gränsvärdessatsen visas nu relativt lättatt
Wn(t)! W (t)
för varje �xt t � 0 där (W (t))t�0 betecknar en normaliserad reellvärdWiener-process med kontinuerliga trajektorier. Det är också relativt lätt att se att
(Wn(t1); ::::;Wn(td))! (W (t1); ::::;W (td))
för alla t1; :::; td � 0 och d 2 N+:Begreppet svag konvergens av sannolikhetsmått i Rd och konvergens i
fördelning för stokastiska vektorer i Rd kan lätt generaliseras till separa-bla Banachrum. Donskers sats, som faller utanför denna kurs, innebär attprocessen (Wn(t))0�t�T konvergerar i fördelning mot processen (W (t))0�t�Tdå n!1 (se t ex den utförliga boken av Karatzas och Shreve [KS]).
Övningar
1. Låt Xn; Yn; n 2 N+ och X vara Rd-värda stokastiska variabler sådanaatt
Xn ! X:
Antaglimn!1
P [j Xn � Yn j� "] = 0; alla " > 0:
Visa attYn ! X:
2. Låt Xn; n 2 N+ och X vara Rd-värda stokastiska variabler sådana att
Xn ! X:
Visa attf(Xn)! f(X)
om f : Rd ! Rm är kontinuerlig.
105
3. Visa attWn(t)! W (t)
för varje �xt t � 0 under samma förutsättningar som i texten ovan.
4. Visa att(Wn(t1); ::::;Wn(td))! (W (t1); ::::;W (td))
för alla t1; :::; td � 0 och d 2 N+ under samma förutsättningar som itexten ovan.
5. Låt (Xj)nj=1 vara en i.i.d. Antag Zn(t) är kontinuerlig för 0 � t � 1 och
a¢ n i varje intervall k�1n� t � k
n, k = 1; :::; n; samt Zn(0) = 0: Rita
två realisationer av processen (Zn(t))0�t�1; då
a)
Zn(k
n) =
1pn
kXj=1
Xj; k = 1; :::; n
och E�ei�Xk
�= e�
12�2 :
b)
Zn(k
n) =
1
n
kXj=1
Xj; k = 1; :::; n
och E�ei�Xk
�= e�j�j:
I båda fallen väljs n = 1000: (Ledning för b): om en stokastisk vari-abel U har en likformig fördelning i intervallet
���2; �2
�så gäller att
E�ei� tanU
�= e�j�j).
107
7. Black-Scholes di¤erentialekvation
Betrakta en modell för en kapitalmarknad bestående av en aktie med prisetS(t) vid tiden t och en obligation vars pris B(t) vid tiden t uppfyller ekva-tionen B(t) = B(0)ert: Antag att
S(t) = S(0)e�t+�W (t); t � 0
där (W (t))t�0 är en normaliserad Wienerprocess med kontinuerliga trajek-torier och där � 2 R och � > 0. Det förutsätts här att B(0) och S(0) ärpositiva tal som är kända redan vid periodens början vid tiden t = 0: Dennamodell kallas ofta för Black-Scholes modell. I Black-Scholes utvidgade mod-ell betraktas utöver aktien och obligationen även alla derivat i aktien. Manskiljer ofta inte på Black-Scholes modell och motsvarande utvidgade modell.Vi förutsätter nu Black-Scholes modell och betraktar ett derivat av eu-
ropeisk typ som utbetalar beloppet f(S(T )) vid tiden T 2 ]0;1[. Vi antageratt funktionen f(ex) 2 E dvs f är kontinuerlig och det existerar ett C > 0så att
supx2R(e�Cjxj j f(ex) j) <1:
Detta antagande uttrycks f 2 P (jmfr engelskans �payo¤ function�). Detär här praktiskt att tillåta utbetalningsfunktioner som eventuellt kan antaganegativa värden (jmfr kapitel 1 och värdering av terminskontrakt).För att komma fram till ett teoretiskt värde för derivatet vid tiden t < T
skriver viW (t�) =W (t) + V (t� � t)
för godtyckligt t� 2 [t; T ] ; där processen
V (�) =W (�+ t)�W (t); � � 0
är stokastiskt oberoende av processen (W (�))0���t. Sätt � = T � t och ochnotera att processen
p�V (
�
�); � � 0
är en normaliserad Wienerprocess så vi kan utan inskränkning antaga att
W (t�) =W (t) +p�V (
t� � t�
); t� 2 [t; T ] :
108
Processen (V (�))��0 approximeras nu med en slumpvandring som i slutet avföregående kapitel. Först väljs ett N 2 N+. Därefter de�nieras h = �=N och
tn = t+ nh; n = 0; 1; :::; N:
Antag vidare att (Xn)1n=1 är en i.i.d. sådan att varje komponent antager
vart och ett av värdena �1 med sannolikheten 12: Notera att E [Xn] = 0 och
E [X2n] = 1: Om tn = t� hålls �xt är
t� � t = nh
och det följer attp�V (
t� � t�
) =p�V (
n
N):
Denna stokastiska variabel approximeras med den stokastiska variabeln
ph
nXj=1
Xj
för varje n = 0; 1; :::; N:Vi skall nu genomföra ett resonemang som leder fram till ett rimligt teo-
retiskt värde för derivatet ovan. Resonemanget bygger bl a på följande förut-sättningar:
(a) derivathandel förekommer endast vid tidpunkterna t; t1; :::; tN�1; T
(b)Wienerprocessen approximeras för �xt t� = tn med W (t) +phPn
j=1Xj
(c) lämplig regularitet för approximerande optionspriser.
Låt nu N vara stort men �xt. Av ekvationen
S(tn) = S(t)e�(tn�t)+�(W (tn)�W (t))
får vi approximationenS(tn) � ~S(n)
där~S(n) = S(t)e�nh+�
phPnj=1Xj :
Alltså gäller~S(n+ 1) = ~S(n)e�h+�
phXn+1 :
109
Vi inför också beteckningen
B(tn) = ~B(n)
så att~B(n+ 1) = ~B(n)erh:
Med dessa beteckningar som bakgrund betraktas nu en �ktiv tidsdiskretkapitalmarknad bestående av en aktie med priset ~S(n) vid tiden n, en oblig-ation med priset ~B(n) vid tiden n och ett derivat i aktien som utbetalarf( ~S(N)) vid tiden N: Låt V (n) beteckna derivatets värde vid tiden n: Härgäller alltså att n 2 f0; 1; :::; Ng : Låt
V u(n+ 1) = V (n+ 1)jXn+1=+1
ochV d(n+ 1) = V (n+ 1)jXn+1=�1:
Antag vidare att N är så stort att
�h+ �ph > rh > �h� �
ph:
Vår tidsdiskreta modell är alltså arbitragefri och exempel 1 i kapitel 4 gerföljande rekurrensekvation, nämligen
V (n) = e�rh(pV u(n+ 1) + qV d(n+ 1))
där
p =erh � e�h��
ph
e�h+�ph � e�h��
ph
och q = 1� p: Resultaten i kapitel 4 visar också att V (n) är �( ~S(n))-mätbarså vi kan skriva
V (n) = v(t+ nh; ~S(n)):
Observera här att V = VN och v = vN : Subindexet N utesluts ofta i detföljande.Vi går nu vidare och inför beteckningen s = ~S(0): Sätts n = 0 i rekur-
rensekvationen ovan får vi likheten
v(t; s)erh = pv(t+ h; se�h+�ph) + qv(t+ h; se�h��
ph):
110
Vidare gäller att
p =e(r��)h � e��
ph
e�ph � e��
ph=
1
2
1 + (r � �)h� 1 + �ph� 1
2�2h+ o(h)
�ph+ o(h)
; h! 0
och efter förenkling erhålls
p =1
2
1 + (r � �� �2
2)ph�+ o(ph)
1 + o(ph)
=
1
2+ (r � �� �2
2)
ph
2�+ o(ph); h! 0:
Alltså är
q =1
2� (r � �� �2
2)
ph
2�+ o(ph); h! 0:
Funktionen v = vN har en ändlig de�nitionsmängd och beror av N 2 N+.Vi antar nu att denna funktions de�nitionsområde kan utvidgas till en öp-pen mängd så att utvidgningen blir en gång kontinuerligt deriverbar i förstavariabeln (som betecknas med t) och två gånger kontinuerligt deriverbar iandra variabeln (som betecknas med x) och så att denna funktions beroendeav N kan försummas för stora N: Detta medför att
v(t+ h; se�h+�ph) = v(t; s) +
@v
@t(t; s)h+
@v
@s(t; s)s(e�h+�
ph � 1)+
1
2
@2v
@s2(t; s)s2(e�h+�
ph � 1)2 + o(h); h! 0:
Alltså gäller att
v(t+ h; se�h+�ph) = v(t; s) +
@v
@t(t; s)h+
@v
@s(t; s)s((�+
�2
2)h+ �
ph)+
1
2
@2v
@s2(t; s)s2�2h+ o(h); h! 0:
På liknande sätt fås
v(t+ h; se�h��ph) = v(t; s) +
@v
@t(t; s)h+
@v
@s(t; s)s((�+
�2
2)h� �
ph)+
111
1
2
@2v
@s2(t; s)s2�2h+ o(h); h! 0:
Vi utnyttjar nu atterh = 1 + rh+ o(h); h! 0
och insättning i ekvationen
v(t; s)erh = pv(t+ h; se�h+�ph) + qv(t+ h; se�h��
ph)
gerv(t; s)(1 + rh) + o(h) =
p
�v(t; s) +
@v
@t(t; s)h+
@v
@s(t; s)s((�+
�2
2)h+ �
ph) +
1
2
@2v
@s2(t; s)s2�2h
�+
q
�v(t; s) +
@v
@t(t; s)h+
@v
@s(t; s)s((�+
�2
2)h� �
ph) +
1
2
@2v
@s2(t; s)s2�2h
�då h! 0: Efter förenkling erhålls
v(t; s)rh+ o(h) =
@v
@t(t; s)h+
@v
@s(t; s)s((�+
�2
2)h+ (p� q)�
ph) +
1
2
@2v
@s2(t; s)s2�2h
då h! 0. Nu är
(�+�2
2)h+ (p� q)�
ph = (�+
�2
2)h+ 2(r � �� �2
2)
ph
2��ph+ o(h) =
rh+ o(h); h! 0
(parametern � försvinner!) och det följer (i vår snälla värld) att
v(t; s)r =@v
@t(t; s) +
@v
@s(t; s)sr +
1
2
@2v
@s2(t; s)s2�2:
Denna partiella di¤erentialekvation, som framkommer i Black och Scholespublikation [BS] från 1973, kallas Black-Scholes di¤erentialekvation och brukarskrivas
@v
@t(t; s) +
�2s2
2
@2v
@s2(t; s) + rs
@v
@s(t; s)� rv(t; s) = 0; t < T:
112
Vårt ursprungliga derivat uppfyller också slutvillkoret
v(T; s) = f(s):
Motsvarande lösning får de�niera det teoretiska optionspriset. Sats 6�i kapi-tel 5 ger oss nu följande
Sats 1. Ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen f 2 Poch slutdagen T har värdet v(t; S(t)) vid tiden t där
v(t; s) = e�r�E [f(ser�M�(�))]
och � = T � t: Om t � t� � T så gäller att
v(t; s) = e�r��E [v(t�; ser��M�(� �))]
där � � = t� � t:
Det kan påpekas ytterligare en gång att optionspriset i sats 1 inte berorpå aktielog-prisets driftskoe¢ cient �. Vi vill också ännu en gång påminna omatt vi inte skiljer på pris (värde) och teoretiskt pris (värde) då missförståndej kan uppstå.Den senare delen av sats 1 följer av den första delen utan att utnyttja
entydighetssatser för di¤erentialekvationer. Vi har nämligen från den förstadelen att
v(t; s) = e�r�Ehf(se(r��
2=2)�+�p�G)i
där G 2 N(0; 1). Om G0 är en stokastiskt oberoende kopia av G så följer nuatt
e�r��E [v(t�; ser��M�(� �))] =
e�r��Ehe�r(T�t�)E
hf(ser��M�(� �)e
(r��2=2)(T�t�)+�pT�t�G0)
ii=
e�r��Ehe�r(T�t�)E
hf(se(r��
2=2)��e�p��Ge(r��
2=2)(T�t�)+�pT�t�G0)
ii=
e�r�Ehf(se(r��
2=2)�e�p�G)i:
113
Om vi går tillbaka till härledningen av Black-Scholes di¤erentialekvationoch följer funktionerna hS och hB i den diskreta modellen till gräns (N !1)så får vi med samma beteckning för gränsvärdena att
hS(t) =@v
@s(t; S(t))
ochv(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t):
Högra ledet kan tolkas som ett innehav i aktien och obligationen som i varjetidpunkt har samma värde som optionen. Man kan visa att portföljstrateginkräver en initial investering men att strategin i övrigt är själv�nansieradpå en friktionsfri marknad. En sådan strategi sägs vara själv�nansierande.En närmare analys kräver stokastisk di¤erentialkalkyl och vi återkommer tilldenna punkt i senare kapitel. Ekvationen
1 =hS(t)
v(t; S(t))S(t) +
hB(t)
v(t; S(t))B(t)
kan tolkas som en relativ portfölj i aktien och obligationen. Om S(t) = s såär det relativa aktievärdet lika med
@v@s
vs =
@vv@ss
(symboliskt):
Detta uttryck brukar kallas optionsprisets elasticitet med avseensde på ak-tiepriset.Antag fi 2 P, i = 1; :::;m; och låt ai; i = 1; :::;m; vara �xa reella tal.
OmmXi=1
aifi(ex) � 0; alla x 2 R
så följer att
VA(t) = e�r�E
"mXi=1
aifi(ser�M�(�))
#� 0:
Dominansprincipen gäller alltså för �nansiella derivat av europeisk typ.
114
Korollarium 1. En europeisk köpoption med slutdagen T och lösenprisetK har värdet c(t; S(t); K) vid tiden t < T där
c(t; s;K) = s�(d1)�Ke�r��(d2);
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)�
�p�
och
d2 =ln s
K+ (r � �2
2)�
�p�
:
En europeisk säljoption med slutdagen T och lösenpriset K har värdet p(t; S(t); K)vid tiden t < T där
p(t; s;K) = Ke�r��(�d2)� s�(�d1):
Bevis. Sats 1 ger att
c(t; s;K) = e�r�Ehmax(0; se(r�
�2
2)���
p�G �K)
idär G är en N(0; 1)-fördelad stokastisk variabel. Härav följer att
c(t; s;K) = e�r�E
"se(r�
�2
2)���
p�G �K; G �
ln sK+ (r � �2
2)�
�p�
#och därmed är
c(t; s;K) = e�r�nEhse(r�
�2
2)���
p�G; G � d2
i�K�(d2)
o:
Vidare är
e�r�Ehse(r�
�2
2)���
p�G; G � d2
i= s
Zx�d2
e��2
2 ���p�x�x2
2 dxp2�
där högra ledet är lika med
s
Zx�d2
e� (�
p�+x)2
2 dxp2�= s�(�
p� + d2) = s�(d1):
115
Detta bevisar att
c(t; s;K) = s�(d1)�Ke�r��(d2):
Säljoptionens värde kan härledas på liknande sätt. Resultatet följer al-ternativt från relationen
p(t; s;K) = Ke�r� � s+ c(t; s;K):
Detta avslutar beviset för korollarium 1.
Övningarna i kapitel 1 visar att amerikanska köpoptioner (utan utdelningi den bakomliggande aktien) värderas som motsvarande europeiska kontrakt.För den amerikanska säljoptionen �nns idag ingen känd analytiskt given pr-isformel. Om v(t; S(t)) betecknar värdet vid tiden t för en amerikansk säljop-tion med lösenprisetK och slutdagen T så gäller att v uppfyller Black-Scholesdi¤erentialekvation i ett från början okänt område av typen
D = f(t; s); s > b(t); t < Tg
där b är en växande, kontinuerligt deriverbar funktion sådan att
limt!T�
b(t) = K:
Vidare gäller att
v(t; s) > max(K � s; 0); (t; s) 2 D;v(t; s) = max(K � s; 0); (t; s) 2 @D
ochdv
ds(t; b(t)+) = �1; t < T:
Det är optimalt att lösa in optionen om S(t) < b(t): Den kritiska randens = b(t) beskrivs ej heller av något känt analytiskt uttryck. Det �nns explicitaprisformler för den amerikanska säljoptionen i termer av den kritiska randen[CJM ]. Om T ! +1 får optionen oändlig löptid (�perpetual option�). Låtv = v(s) vara värdet för rättigheten att sälja aktien för värdet K vid varjetidpunkt i framtiden. Då gäller att
�2s2
2
d2v
ds2+ rs
dv
ds� rv = 0:
116
Denna Eulerekvation har de linjärt oberoende lösningarna v = s och v =s� där
=2r
�2:
Den första lösningen är ej begränsad då s ! 1 och saknar intresse här.Antag därför v = As� . Om
v(s) = K � s
ochdv
ds(s) = �1
blir
s = K
1 + :
De�nieras
b = K
1 + :
så är därför
v(s) =K
1 +
�b
s
� ; s > b:
För mer information om den amerikanska säljoptionen hänvisas till [CJM ] ; [MY ]och [WDH] (nedan ges också några numeriska illustrationer med hjälp avbinomialapproximationen).Vi avslutar detta kapitel med en del numeriska resultat. Betrakta först
ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen f . För attbestämma dess värde v(t; S(t)) vid tiden t med binomialapproximationen fårvi med beteckningar som ovan först att
v(tN ; se(N�2j)�
ph) = f(se(N�2j)�
ph); j = 0; 1; :::; N
och sedan successivt för n = N � 1; N � 2; ::::; 1; 0; att
v(tn; se(n�2j)�
ph) = e�rh(pv(tn+1; se
(n+1�2j)�ph) + qv(tn+1; se
(n�1�2j)�ph))
för j = 0; 1; :::; n där
p =erh � e��
ph
e�ph � e��
ph
och q = 1� p: Vi har alltså valt driftskoe¢ cienten � för log-priset lika med0 (jmfr [H]).
117
Som numerisk illustration betraktar vi först europeiska köpoptioner i enaktie vars pris har volatiliteten 20 procent per år och aktiekursen 40 kr i dettaögonblick. Räntan antages vara 5 procent per år. De teoretiska priserna förköpoptionerna beräknas exakt med hjälp av korollarium 1. Som jämförelseberäknas i några specialfall köpoptionsvärden med binomialapproximationenför N = 5; N = 20 och N = 50.
exakta v�arden N = 5
Kn� 1=12 4=12 7=1235 5:15 5:76 6:4040 1:00 2:17 3:0045 0:02 0:51 1:10
Kn� 1=12 4=12 7=1235 5:14 5:77 6:4540 1:05 2:26 3:1245 0:02 0:54 1:15
N = 20 N = 50
Kn� 1=12 4=12 7=1235 5:15 5:77 6:3940 0:99 2:14 2:9745 0:02 0:51 1:11
Kn� 1=12 4=12 7=1235 5:15 5:76 6:4040 1:00 2:16 2:9945 0:02 0:51 1:11
Om vi simulerar 1 miljon Gaussiska slumptal och beräknar motsvarandeköpoptionsvärden med Monte Carlometoden får vi i enskilda försök följandejämförelser:
exakta v�arden 106 slumptal
Kn� 1=12 4=12 7=1235 5:15 5:76 6:4040 1:00 2:17 3:0045 0:02 0:51 1:10
Kn� 1=12 4=12 7=1235 5:15 5:75 6:4040 1:00 2:17 3:0045 0:02 0:51 1:11
För ett enkelt amerikanskt kontrakt med utbetalningsfunktionen f måstehänsyn tas till att det kan vara optimalt att inlösa kontraktet före slutdagen.Liksom för motsvarande europeiska kontrakt gäller att
v(tN ; se(N�2j)�
ph) = f(se(N�2j)�
ph); j = 0; 1; :::; N:
Därefter beräknas successivt för tidpunkterna tn; n = N�1; N�2; ::::; 2; 1; 0;optionspriserna
v(tn; se(n�2j)�
ph) =
118
max(f(se(n�2j)�ph); e�rh(pv(tn+1; se
(n+1�2j)�ph) + qv(tn+1; se
(n�1�2j)�ph)))
för j = 0; 1; :::; n: Som numerisk illustration av binomialapproximation föramerikanska säljoptioner väljer vi återigen en aktie vars pris volatiliteten 20procent per år och som just nu har värdet 40 kr. Räntan antages som ovanvara 5 procent per år. För lösenpriset K = 45 och tidslängden � = 4=12till slutdagen erhålls med binomialapproximationen säljoptionsvärdet 5:08om N = 25 och 5:09 om N = 50; 75 ; 100 och 150: För motsvarande eu-ropeiska säljoption är värdet 4:78. Om istället � = 1=12 blir det amerikanskasäljoptionsvärdet 5 och en närmare analys visar att det är optimalt att inlösaoptionen.Korollarium 1 kan användas för vissa valutaberoende �nansiella derivat.
Som ett exempel antar vi att dollarkusen i kr är lika med �(t) vid tident och betraktar rättigheten att få köpa en dollar för K kr vid tiden T ominnehavaren av kontraktet har lust. Vi möter alltså här ett �nansiellt derivatav europeisk typ med utbetalningen
X = max(0;�(T )�K)
vid tiden T: En dollar skiljer sig mycket från en aktie. T ex är ett dollarlån ejgratis ens på en friktionsfri marknad och ett dollarinnehav ger tillväxt förstom dollarn placeras i något annat såsom t ex en amerikansk bank. Trotsdetta kan det aktuella derivatet värderas med hjälp av Korollarium 1. Omvi antar att den amerikanska marknaden erbjuder en obligation med prisetBa(t) = Ba(0)e
rat vid tiden t så kan vi uppfatta
S(t) = Ba(t)�(t); t � 0
som prisprocessen för ett svenskt värdepapper. Vi antar att priset beskrivsav en geometrisk Brownsk rörelse med drift (jag skattar volatiliteten fördollarkursen i kr till ungefär 10.4% per år de senaste 12 åren). Vi kan nuskriva
X = Ba(T )�1max(0; S(T )�Ba(T )K)
och får att optionens värde v(t) vid tiden t < T ges av
v(t) = Ba(T )�1c(t; S(t); Ba(T )K);T ) =
Ba(T )�1 �Ba(t)�(t)�(D1)�Ba(T )Ke�r��(D2)
�
119
där � = T � t;
D1 =ln Ba(t)�(t)
Ba(T )K+ (r + �2
2)�
�p�
=
ln �(t)K+ (r � ra + �2
2)�
�p�
och
D2 =ln �(t)
K+ (r � ra � �2
2)�
�p�
:
Efter någon förenkling följer att
v(t) = �(t)e�ra��(D1)�Ke�r��(D2)
(se Garman och Kohlhagen [GK]). Optionen att vi få sälja en dollar förK kr vid tiden T kan behandlas på liknande sätt. Optionen att få köpaen IBM-aktie till ett föreskrivet belopp i kr ett givet framtida datum kaninte behandlas lika enkelt. Detta derivat beror på två bruskällor, en frånvalutakursen och en från aktien och kan behandlas med Brownsk rörelse itvå dimensioner (se kapitel 13).Statistiska analyser av historiska marknadspriser för optioner faller utan-
för ramen för denna kurs. Vi vill i alla fall göra en del anmärkningar som kanvara av intresse i detta sammanhang. Det är välkänt att aktieavkastningarhar fetare svansar än den geometriska Brownska rörelsemodellen medger.Detta innebär att Black-Scholes teori undervärderar en köpoption då ak-tiepriset är mindre än lösenpriset (�out of the money call�) och på sammasätt undervärderar teorin en säljoption då aktiepriset är större än lösenpriset(�out of the money put�). Av relationen
c(t; S(t); K)� S(t) = p(t; S(t); K)�Ker�
följer då också att teorin undervärderar en köpoption då aktiepriset är störreän lösenpriset (�in the money call�) och teorin undervärderar en säljoptiondå aktiepriset är mindre än lösenpriset (�in the money put�). En kalkyl visaratt
@c
@�=@p
@�= s�0(d1)
p� = se�d
21=2
r�
2�> 0:
Vidare gäller att
lim�!0+
c(t; s;K) = max(0; s�Ke�r� )
120
ochlim�!1
c(t; s;K) = s:
Om s = S(t) och
max(0; s�Ke�r� ) < marknadspriset vid t < s
för t < T (vilket är högst sannolikt) så kan därför � skattas så att detråder ett perfekt samband mellan teoretiskt optionpris och marknadens op-tionspris. Denna skattning av standardavvikelsen kallas för den implicitastandardavvikelsen för aktiepriset. Som funktion av lösenpriset uppvisar denimplicita standardavvikelsen ofta en konvexliknande graf med ett minimumnära aktiepriset (�volatility with a smile�). En del forskare inom optionsom-rådet har hävdat att avvikelserna mellan teoretiska priser och marknadspriseri regel är små och försumbara. Andra har uttryckt att Black-Scholes teorikan bilda utgångspunkt för en för�nad teori. För mer information om dessapåståenden, se Gemmills bok [GEM ] :Det teoretiska optionspriset i sats 1 måste modi�eras om aktien ger ut-
delning under optionens löptid. Sats 1 kan därför inte heller användas förvalutaoptioner. Dessa komplikationer behandlas i nästa kapitel.
Övningar
I nedanstående övningar i detta kapitel förutsätts Black-Scholes modelloch de standardbeteckningar vi infört ovan.
1. Antag tiden mäts i år och att räntan r = ln 1:05: Betrakta en aktiemed volatiliteten � = 0:27 och en europeisk köpoption i aktien medslutdagen 20 mars och lösenpriset 100 kr. Under perioden 20 januari-20 februari stiger aktiepriset från 97 kr till 112 kr. Med hur mångaprocent stiger det teoretiska optionspriset under samma period?
2. Låt ' = �0 och c = c(t; s;K;T ). Visa att
@c
@s= �(d1) (Delta)
@2c
@s2='(d1)
s�p�
(Gamma)
121
@c
@r= K�e�r��(d2) (Rho)
@c
@t= �s'(d1)�
2p�� rKe�r��(d2) (Theta)
och@c
@�= s'(d1)
p� (V ega):
Varför gäller att
1
2�2S2Gamma+ rS Delta+ Theta = rc?
3. Försök generalisera resultaten i detta kapitel till det fall utbetalnings-funktionen f är (B]0;1[(R);B(R))-mätbar och
supx2R
e�Cjxj j f(ex) j<1
för en lämplig positiv konstant C: Antag därefter att K och L är posi-tiva parametrar och försök behandla följande uppgifter:
a) (�cash or nothing call�) Ett europeiskt derivat i aktien utbetalaringenting om aktiepriset understiger K slutdagen T och i annat fallutbetalar derivatet beloppet L denna dag. Bestäm derivatets värde vidtiden t:
b) (�asset or nothing call�) Ett europeiskt derivat i aktien utbetalaringenting om aktiepriset understiger K slutdagen T och i annat fallutbetalar derivatet beloppet S(T ) denna dag. Bestäm derivatets värdevid tiden t:
4. (Speciell�as you like it�option eller�chooser�option) Låt t < T <T1 och K > 0: Ett �nansiellt derivat ger innehavaren rättigheten, menej skyldigheten, att vid tiden T välja antingen en europeisk köpoption iaktien med slutdagen T1 och lösenpriset K eller en europeisk säljoptioni aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K: Bestäm derivatets värdevid tiden t:
5. Visa att@2c
@�2=sd1d2�
'(d1)p�
122
och dra slutsatsen att funktionen � ! c(t; s;K;T ) är en konvex funk-tion i intervallet ]0; �0] och en konkav funktion i intervallet [�0;1[ ,där
�0 =
r2
�j ln se
r�
Kj:
6. Sätt g(�) = c(t; 1; 1;T ) då T � � = T � t � 0 och observera attc(t; s; s;T ) = sg(T � t): Nedan antages att 1=T + 2r + �2=4 � r2=�2:
a) Visa att g är konkav och g(0) = 0:Dra slutsatsen att g(��) � �g(�);0 � � � 1; 0 � � � T: Rita slutligen grafen för funktioneny = g(�); 0 � � � T då T = 1; � = 0:25 och r = ln 1:05:
b) Låt t � t� < T . Ett derivat i aktien utbetalar max(0; S(T )�S(t�))vid tiden T: Visa att derivatets teoretiska värde vid tiden t är likamed S(t)g(T � t�):
c) (�tandem option�) Låt � = T � t > 0 och sätt tj = t+ jn� ; j =
0; :::; n där n 2 N+. Ett derivat utbetalar max(0; S(tj)� S(tj�1))vid tiden tj för j = 1; :::; n: Visa att derivatets teoretiska värdevid tiden t är lika med nS(t)g(�=n) och dra slutsatsen att dettavärde ej understiger c(t; S(t); S(t);T ):
7. Visa att ett enkelt derivat av europeisk typ i aktien med utbetalnings-funktionen f 2 P och slutdagen T har värdet v(t; STterm(t)) vid tiden tdär
v(t; sterm) = e�r�E [f(stermM�(�))] :
8. Ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen f 2 Poch slutdagen T har värdet v(t; S(t)) vid tiden t där
v(t; s) = e�r�E [f(ser�M�(�))] :
Antag funktionen f endast antager positiva värden och att funktionenln f(ex) är en konvex funktion av x: Visa att optionsprisets elasticitetmed avseende på aktiepriset är en växande funktion av aktiepriset s:
9. En amerikansk säljoption i aktien med slutdagen T och lösenpriset Khar det teoretiska priset P (t; S(t); K;T ) vid tiden t: Antag � = 0:25;r = ln 1:05; t = 0; T = 1=6; och K = 45: Rita grafen för funktioneny = P (s) = P (t; s;K;T ); 35 � s � 54: Rita i samma koordinatsystemgrafen för funktionen y = max(0; K � s); 35 � s � 54.
123
10. Låt P (t; S(t); K) beteckna det teoretiska värdet vid tiden t för enamerikansk säljoption i aktien med slutdagen T och lösenpriset K ochlåt p(t; S(t); K) beteckna det teoretiska värdet för motsvarande säljop-tion av europeisk typ. Antag
t = t0 < ::: < tN = T
betecknar en indelning av intervallet [t; T ] som i texten ovan så atttk � tk�1 = �=N , k = 1; :::; N: Skillnaden
P (t; s;K)� p(t; s;K)
kan approximeras med va(t0; s) �ve(t0; s) som bestäms genom följandealgoritm: beräkna först
va(tN ; se(N�2j)�
ph) = ve(tN ; se
(N�2j)�ph) =
max(0; K � se(N�2j)�ph); j = 0; 1; :::; N ;
de�niera
p =erh � e��
ph
e�ph � e��
ph
och q = 1� p och beräkna därefter successivt för tidpunkterna tn; n =N � 1; N � 2; ::::; 2; 1; 0; optionspriserna
va(tn; se(n�2j)�
ph) =
max(K�se(n�2j)�ph; e�rh(pva(tn+1; se
(n+1�2j)�ph)+qva(tn+1; se
(n�1�2j)�ph))
och
ve(tn; se(n�2j)�
ph) =
e�rh(pve(tn+1; se(n+1�2j)�
ph) + qve(tn+1; se
(n�1�2j)�ph))
för j = 0; 1; :::; n:
a) Hur stort behöver N vara för att ge ett approximativt bra värdepå P (t; s;K)� p(t; s;K) med denna algoritm?
b) Hur stort behöver N vara för att ge ett approximativt bra värdepå P (t; s;K) med binomialapproximationen?
Experimentera med datorn! Studera också gärna artikeln [HW ] :
125
8. Utdelningsprocesser
Antag att en aktie med priset S(t) vid tiden t utdelar beloppet D > 0 vidtiden t�: Vi har konventionen att S(t�) betecknar aktiekursen vid tiden t�efter utdelning. Det är då naturligt att antaga att
S(t��)� S(t�) = D
vilket i så fall innebär att trajektorian S(t); t � 0; är diskontinuerlig i punktent�. Aktiepriset kan därför inte längre beskrivas av en geometrisk Brownskrörelse och den modell för optionsvärdering som vi behandlat i föregåendekapitel måste förkastas. Det är för övrigt inte självklart att ett aktiepris görett språng av exakt samma storlek som utdelningen då utdelningen avskiljsaktien (se Heath och Jarrow [HJ ]) men vi kommer nedan genomgående attförutsätta detta.Det �nns många typer av utdelning. En aktie kan t ex utdela ett �xt
belopp eller andra värdepapper. I samband med en aktieoption behöverutdelningarna i den underliggande aktien under optionens resterande livstidinte heller vara kända och kan då uppfattas som stokastiska storheter. Syftetmed detta avsnitt är endast att uppmärksamma fenomenet utdelning och vigår inte särskilt grundligt fram. I intervallet [t�; T ] förutsätts att aktieprisetbeskrivs av en geometrisk Brownsk rörelse med volatiliteten �: Vi betecknardagens datum med t och antar t < t�: Vi försöker därefter �nna en portföljA sådan att processen
S�(�) =
�VA(�); t � � < t�S(�); t� � � � T
kan beskrivas av en geometrisk Brownsk rörelse med volatiliteten �: Ob-servera speciellt att
VA(t��) = S(t�):
Genom att sälja portföljen A omedelbart före tiden t� och sedan köpa enaktie då utdelningen frånskilts så kan vi uppfatta processen (S�(�)) t���Tsom prisprocessen för ett värdepapper. Antag nu att ett derivat av europeisktyp utbetalar beloppet f(S(T )) vid tiden T , där f 2 P : Eftersom f(S(T )) =f(S�(T )) så är det naturligt att de�niera derivatets teoretiska värde vid tident som
E [f(s�er�M�(�))]
126
där � = T � t ochs� = S�(t) = VA(t):
Den enklaste typen av utdelning är procentuell utdelning och vi startarmed detta fall. Antag därför att aktien utdelar beloppet
D = �S(t�)
vid tiden t� där � är ett i förväg känt tal i intervallet ]0; 1[ :För att bestämmaportföljen A antas att aktiepriset beskrivs av en geometrisk Brownsk rörelsemed volatiliteten � före utdelningen. Det räcker därför att välja A som enportfölj bestående av (1 � �) aktier. Derivatets teoretiska värde vid tiden tblir lika med v(t; S(t)) där
v(t; s) = e�r�E [f((1� �)ser�M�(�))] ; t < t�:
Härav följer följande sats.
Sats 1. Antag �n 2 ]0; 1[ ; n = 0; 1; :::; N; är givna tal. En aktie utdelar�nS(tn) vid tiden tn; där n = 0; 1; :::; N; och t0 < t1 < ::: < tN < T: Föreförsta utdelningen, mellan påföljande utdelningar och efter sista utdelningenantages aktiepriset beskriva en geometrisk Brownsk rörelse med exponentielldrift där volatiliteten i varje tidsinterval är lika med �:
Ett enkelt europeiskt derivat i aktien med utbetalningsfunktionen f 2 Poch slutdagen T har värdet v(t; S(t)) vid tiden t < t0 där
v(t; s) = e�r�E
"f(
(NYn=0
(1� �n))ser�M�(�))
#:
I nästa steg behandlar vi kontinuerlig utdelning. Antag � > 0 är ett givettal och att en aktie utdelar beloppet �S(t)dt i intervallet [t; t+ dt[ för varje t:Aktiepriset antages beskriva en geometrisk Brownsk rörelse med exponentielldrift där volatiliteten är lika med �. Betrakta nu ett enkelt europeiskt derivatmed utbetalningsfunktionen f 2 P och slutdagen T: Beroende på sats 1de�nieras det teoretiska värdet v(t; S(t)) vid tiden t < T; av ekvationen
v(t; s) = e�r�E�f(se(r��)�M�(�))
�
127
(jmfr valutaoptioner).Ett aktiebolag utdelar ofta ett i förväg bestämt belopp D per aktie vid
en given tidpunkt. Samtidigt är sannolikheten positiv för att en geometriskBrownsk rörelse vid en föreskriven tidpunkt är strikt mindre än D. Dennasvårighet kan hanteras på följande sätt. Antag utdelningen frånskiljs aktienvid tiden t�. Det är då vanligt att antaga att
S(�) = Der(��t�)1[t;t�[(�) + ~S(�); t � � � T
där ~S(�); t � � � T; betecknar en geometrisk Brownsk rörelse med volatiliteten�: Vid tidpunkten � kallas ~S(�) för den volatila delen av aktiepriset ochDer(��t�)1[t;t�[(�) för nuvärdet av utdelningen. Portföljen A består i dettafall av en aktie och
� D
B(t�)
obligationer. Således är
s� = S(t)�Der(t�t�):
Vi får också att ~S(�) = S�(�); t � � � T: Ett europeiskt derivat medutbetalningsfunktionen f 2 P får således det teoretiska priset v(t; S(t)) vidtiden t där
v(t; s) = e�r�E�f((s�Der(t�t�))er�M�(�))
�:
Om vi vill utnyttja binomialapproximation för att �nna ett approximativtoptionspris vid tiden t de�nieras h = �=N ,
tn = t+ nh; n = 0; 1; :::; N
och
vNj = f(s�e(N�2j)�ph); j = 0; 1; :::; N :
Därefter beräknas successivt för tidpunkterna tn; n = N�1; N�2; ::::; 2; 1; 0;motsvarande optionspriser
vnj = e�rh(quvn+1j + qdv
n+1j+1 )
för j = 0; 1; :::; n, där
qu = 1� qd =erh � e��
ph
e�ph � e��
ph:
128
Storheten v00 approximerar det sökta optionsvärdet.Vid motsvarande amerikanska kontrakt är det lämpligt att sätta upp ett
träd för den volatila delen av aktiepriset och därefter till detta addera nu-värdet av den framtida utdelningen (se t ex [H]). Vi de�nierar
fnj =
(f(s�e(n�2j)�
ph +Der(tn�t�)) om tn < t�
f(s�e(n�2j)�ph) om tn � t�
för j = 0; 1; :::; n: Låt vidare vNj = f(s�e(N�2j)�
ph); j = 0; 1; :::; N : Därefter
beräknas successivt för tidpunkterna tn; n = N�1; N�2; ::::; 2; 1; 0;motsvarandeoptionspriser
vnj = max(fnj ; e
�rh(pvn+1j + qvn+1j+1 ))
för j = 0; 1; :::; n: Storheten v00 approximerar det sökta optionsvärdet.Vi avslutar detta kapitel med några resultat av allmänt intresse i sam-
band med utdelningar och amerikanska kontrakt. Framställningen förutsät-ter dominansprincipen och i övrigt dynamiska förutsättningar som ovan.Först utreds varför det inte kan vara optimalt att inlösa en amerikansk
köpoption i intervallet [t; t1], där t1 < t� är en i förväg given tidpunkt.Olikheten
C(t1; S(t1); K;T ) � S(t1)�K
dvs
C(t1; S(t1); K;T ) � S(t1)�K
B(t1)B(t1)
ger nämligen att
C(t; S(t); K;T ) � S(t)� K
B(t1)B(t) > S(t)�K:
Förekomst av utdelning innebär dock att det kan vara optimalt att in-lösa en amerikansk köpoption med lösenpriset K precis före utdelningen Dfrånskiljs. Vid tiden t�, då utdelningen D avskilts, är
C(t�; S(t�); K;T ) = c(t�; S(t�); K;T ):
Om optionen inlöses vid tiden t�� erhålls beloppet
S(t��)�K:
129
Härav följer att
C(t��; S(t��); K;T ) = max(S(t��)�K; c(t�; S(t�); K;T )):
Genom att utnyttja relationen
S(t��) = S(t�) +D
erhålls
C(t��; S(t��); K;T ) = max(S(t�)� (K �D); c(t�; S(t�); K;T )):
Eftersom@c
@s= �(d1) < 1
följer att det �nns högst ett positivt tal sC sådant att
S(t�)� (K �D) > c(t�; S(t�); K;T )) om S(t�) > sC
ochS(t�)� (K �D) < c(t�; S(t�); K;T )) om S(t�) < sC :
RåkarS(t��) > sC +D
är det därför optimalt att inlösa den amerikanska köpoptionen vid tiden t�� :Om
D � K(1� e�r��)där � � = T � t�; så är det inte optimalt med inlösen vid tiden t�� hur stortS(t��) än är. I detta fall är nämligen
S(t�)� (K �D) � S(t�)�Ke�r��
och
c(t�; S(t�); K;T )) = e�r��E [max(0; ser��M�(� �)�K)]js=S(t�) =
E�max(0; sM�(� �)� e�r��K)
�js=S(t�)
> E�sM�(� �)� e�r��K)
�js=S(t�)
=
S(t�)�Ke�r��
varförS(t�)� (K �D) < c(t�; S(t�); K;T )):
130
Vi har här utnyttjat att E [X] > 0 för varje stokastisk variabel X som upp-fyller X � 0 och ej är lika med noll med sannolikheten 1.Vi har redan i kapitel 1 påpekat att det kan vara optimalt att inlösa en
amerikansk säljoption före slutdagen. Betrakta nu en amerikansk säljoptionmed slutdagen T som utdelar beloppet D vid tiden t� < T: Vi skall visa attdet ej är optimalt att inlösa denna option i intervallet ]t0; t�[ där t0 väljs såatt
D = K(er(t��t0) � 1):Det räcker därför att för ett godtyckligt t 2 ]t0; t�[ visa att P (t; S(t); K;T ) >K � S(t): Antag därför att P (t; S(t); K;T ) = K � S(t) och bilda vid tident en portfölj A bestående av 1 säljoption av det aktuella slaget, 1 aktie och�K=B(t) obligationer. Det gäller att
VA(t) = (K � S(t)) + S(t)�K = 0:
Genom att inlösa optionen omdelbart efter utdelningen frånskilts aktien följeratt
VA(t�) = D +K � K
B(t)B(t�) =
D +K(1� er(t��t)) > D +K(1� er(t��t0)) = 0och det uppstår ett arbitrage. Alltså är P (t; S(t); K;T ) > K � S(t) och detär därmed ej optimalt att inlösa säljoptionen i tidsintervallet ]t0; t�[ :Om aktien utdelar kända belopp vid �era framtida tillfällen före ett
derivats slutdag justerar man framställningen ovan så att man tar hänsyntill samtliga utdelningar.
Övningar
1. Låt t < t� < T och antag att aktien utdelar beloppet �S(t�) vid tident� där � är ett i förväg känt tal i intervallet ]0; 1[ : Bestäm värdet vidtiden t för ett derivat i aktien som utbetalar S(T ) vid tiden T:
2. Låt t < t� < T och antag att aktien utdelar �S(t�) vid tiden t� där �är ett i förväg känt tal i intervallet ]0; 1[ : Visa att
STterm(t) = (1� �)er�S(t):
131
3. Antag �n 2 ]0; 1[ ,n = 0; 1; :::; N: En aktie utdelar �nS(tn) vid tidentn; där n = 0; 1; :::; N; och t0 < t1 < ::: < tN < T: Före första ut-delningen, mellan påföljande utdelningar och efter sista utdelningenantages aktiepriset beskriva en geometrisk Brownsk rörelse med expo-nentiell drift där volatiliteten i varje period är lika med �: Visa att ettenkelt europeiskt derivat i aktien med utbetalningsfunktionen f 2 Poch slutdagen T har värdet v(t; STterm(t)) vid tiden t � t0 där
v(t; sterm) = e�r�E [f(stermM�(�))] :
4. En viss konvertibel kan bytas mot en aktie vid varje tidpunkt t 2 [0; T [ :Om byte till aktie ej skett vid tidpunkten T inlöses konvertibeln motatt innehavaren erhåller beloppetK: Beskriv under lämpliga dynamiskaantaganden rörande aktiepriset hur konvertibelns värde tiden vid tident < T kan bestämmas då aktien ger utdelningen D vid tiden t� 2 ]t; T [.
133
9. Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral
Vi skall nu behandla en typ av stokastiska integraler som diskuterades avPaley, Wiener och Zygmund redan år 1933 [PWZ]. Detta integralbegreppleder oss naturligt in på Doobs maximalsats som är av oberoende intresse.Samtidigt skapar vi goda förutsättningar att kunna utveckla Itôs stokastiskaintegralbegrepp i senare kapitel.Låt (W (t))t�0 vara en normaliserad reellvärd Wienerprocess med kontin-
uerliga samplefunktioner och låt T0; T vara reella tal sådana att 0 � T0 < T .Antag först f = 1I där I är ett delintervall av intervallet [T0; T ] med vän-sterändpunkten a och högerändpunkten b. Vi de�nierarZ T
T0
f(t)dW (t) =
ZI
1dW (t) =
Z b
a
1dW (t) =W (b)�W (a):
Notera att denna integral har en Gaussisk fördelning med väntevärdet nolloch variansen b� a: Om
f(t) =nXk=1
ck1Ik(t)
där c1; :::; cn 2 R och intervallen I1; :::In � [T0; T ] är parvis disjunkta (ensådan funktion kallas en speciellt enkel funktion) de�nierasZ T
T0
f(t)dW (t) =nXk=1
ck
ZIk
1dW (t):
Notera att
E
"�Z T
T0
f(t)dW (t)
�2#=
nXk=1
c2k � (l�angden f �or Ik) =Z T
T0
f 2(t)dt:
Antag nu att f 2 L2(m[T0;T ]) där m[T0;T ] betecknar Lebesguemåttet i[T0; T ]. Vi skall i nästa steg de�nieraZ T
T0
f(t)dW (t)
134
som en stokastisk variabel. Låt därför fk 2 L2(m[T0;T ]); k 2 N; vara specielltenkla funktioner sådana att
limk!1
fk = f
i L2(m[T0;T ]): Relationen
E
"�Z T
T0
fk(t)dW (t)�Z T
T0
fm(t)dW (t)
�2#=
E
"�Z T
T0
(fk(t)dW (t)� fm(t))dW (t)�2#
=
Z T
T0
(fk(t)� fm(t))2dt; k;m 2 N
visar att sekvensen Z T
T0
fk(t)dW (t); k 2 N
är en Cauchyföljd i L2(P ); som således är konvergent. Man visar lätt attgränsvärdet är oberoende av val av följd av speciellt enkla funktioner somkonvergerar mot f och vi betecknar gränsvärdet medZ T
T0
f(t)dW (t):
Det följer också att denna stokastiska integral har en Gaussisk fördelningmed väntevärdet noll och variansenZ T
T0
f 2(t)dt:
Gränsvärdet uppfyller alltså relationen
E
"�Z T
T0
f(t)dW (t)
�2#=
Z T
T0
f 2(t)dt:
Om f; g 2 L2(m[T0;T ]) så följer också att
E
"�Z T
T0
(f(t) + g(t))dW (t)
�2#=
Z T
T0
(f(t) + g(t))2dt
135
dvs
E
"�Z T
T0
f(t)dW (t) +
Z T
T0
g(t)dW (t)
�2#=
Z T
T0
(f(t) + g(t))2dt:
Här är vänstra ledet lika med
E
"�Z T
T0
f(t)dW (t)
�2#+ 2E
�Z T
T0
f(t)dW (t)
Z T
T0
g(t)dW (t)
�+
E
"�Z T
T0
g(t)dW (t)
�2#och högra ledet lika medZ T
T0
f 2(t)dt+ 2
Z T
T0
f(t)g(t)dt+
Z T
T0
g2(t)dt
och vi drar slutsatsen att
E
�Z T
T0
f(t)dW (t)
Z T
T0
g(t)dW (t)
�=
Z T
T0
f(t)g(t)dt:
Om f 2 L2(m[T0;T ]) och T0 � T1 � T så ger de�nitionen av stokastiskintegral att Z T
T0
f(t)dW (t) =
Z T1
T0
f(t)dW (t) +
Z T
T1
f(t)dW (t):
Vi kan nu lätt generera nya Wienermartingaler med vårt nya stokastiskaintegralbegrepp. För enkelhets skull antages att T0 = 0 och vi de�nierar
Ft = �(W (�); � � t)
för varje t 2 [0; T ]. Om f 2 L2(m[0;T ]) gäller
E
�Z T
0
f(�)dW (�) j Ft�=
Z t
0
f(�)dW (�):
Denna relation är självklar om f är indikatorfunktionen för ett intervall ochföljer därför genom superposition för speciellt enkla funktioner f . Allmännafallet är nu en direkt följd av de�nitionen av stokastisk integral. Processen
(
Z t
0
f(�)dW (�))0�t�T
136
är alltså en Wienermartingal i intervallet [0; T ] : Vi antar återigen att f 2L2(m[0;T ]) och de�nierar
Mf (t) = eR t0 f(�)dW (�)� 1
2
R t0 f
2(�)d�; 0 � t � T:
(Detta beteckningssätt är konsistent med tidigare beteckningssätt om f ären konstant positiv funktion.) Om 0 � t0 � t så gäller
Mf (t) =Mf (t0)eR tt0f(�)dW (�)� 1
2
R tt0f2(�)d�
=
Mf (t0)eX� 1
2E[X2]
där
X =
Z t
t0
f(�)dW (�)
är en centrerad Gaussisk stokastisk variabel sådan att �(X) och Ft0 ärstokastiskt oberoende. Alltså är
E [Mf (t) j Ft0 ] =Mf (t0):
Processen (Mf (t)) 0�t�T är således en Wienermartingal i intervallet [0; T ] :Vårt närmaste mål är att visa att varje martingal
(
Z t
0
f(�)dW (�))0�t�T
har en version med kontinuerliga trajektorier. För att utreda denna punktgår vi först fram ganska allmänt.Antag E är ett Banachrum med ändlig dimension eller Banachrummet
C([0; T ]). Normen i E betecknas med k : k. En sekvens (Xn)n2N avstokastiska variabler med värden i E sägs konvergera i sannolikhet om det�nns en E-värd stokastisk variabeln X så att
limn!1
P [k Xn �X k� "] = 0; " > 0
dvs
limn!1
E
�k Xn �X k
1+ k Xn �X k
�= 0
(ekvivalensen följer av olikheterna
"
1 + "P [k Y k� "] � E
�k Y k
1+ k Y k
�� "
1 + "+ P [k Y k� "] ; " > 0
137
genom att sätta Y = Xn�X): Vi skriver detta Xn ! X i L0(P ) då n!1:Konvergens i sannolikhet och konvergens i L0(P ) är alltså likvärda begrepp.
Sats 1. Antag (Xn)n2N är en sekvens E-värda stokastiska variabler sådanaatt
limm;n!1
P [k Xm �Xn k� "] = 0; " > 0:
Då �nns en E-värd stokastisk variabel X sådan att
Xn ! X i L0(P )
då n!1:
Bevis. Vi väljer först en strängt växande sekvens icke-negativa heltal (nk)k2Nsådan att
P�k Xnk �Xnk+1 k� 2�k
�< 2�k; k 2 N.
Serien1Xk=0
1fkXnk�Xnk+1k�2�kg
har icke-negativa element och dess summa har ändlig förväntan. Serienssumma är därför ändlig n.s. Härav följer att serien
Xn0 +1Xk=0
(Xnk+1 �Xnk)
är absolutkonvergent n.s. och därmed konvergent n.s. eftersom E är ettBanachrum. Låt X beteckna seriens summa. Det är enkelt att visa att Xär en stokastisk variabel om E har ändlig dimension. Det följer vidare fråndiskutionen i början av nästa kapitel att X är mätbar om E är lika medBanachrummet C([0; T ]): Om " > 0 gäller att
P [k Xm �X k� "] � P [k Xm �Xnk k� "=2] + P [k Xnk �X k� "=2]
och vi kan nu dra slutsatsen att Xm ! X i L0(P ) då m!1:
138
Sats 1. (Doobs maximalsats) Antag (Xk;Fk)1�k�n är en martingal medegenskapen att varje Xk 2 Lp(P ) för ett �xt p � 1. Då gäller att
P
�max1�k�n
j Xk j� "
�� 1
"pE [j Xn jp] ; " > 0:
Bevis. Låt 1 � k � n och sätt
Ak =
\j<k
[j Xj j< "]
!\ [j Xk j� "] :
Notera attAk 2 Fk
och att
E [j Xn jp] � E
�j Xn jp; max
1�k�nj Xk j� "
�=
nXk=1
E [j Xn jp;Ak] =nXk=1
E [E [j Xn jpj Fk] ;Ak] :
Jensens olikhet för betingat väntevärde ger nu att
E [j Xn jpj Fk] �j E [Xn j Fk] jp=j Xk jp
och det följer att
E [j Xn jp] �nXk=1
E [j Xk jp;Ak] �
"pnXk=1
P [Ak] = "pP
�max1�k�n
j Xk j� "
�:
Doobs maximalsats är därmed bevisad.
Korollarium 1. Antag f 2 L2(m[0;T ]). Det �nns en version av den stokastiskaprocessen Z t
0
f(�)dW (�); t 2 [0; T ]
139
som har kontinuerliga trajektorier n.s.
Bevis. Vi börjar med att välja en följd speciellt enkla funktioner fn 2L2(m[0;T ]); n 2 N, som konvergerar mot f i L2(m[0;T ]): Det gäller attZ t
0
fn(�)dW (�)!Z t
0
f(�)dW (�) i L2(P )
då n ! 1 för varje �xt t. För godtyckliga m;n 2 N gäller också attWienermartingalen
Xm(t)�Xn(t) =
Z t
0
(fm(�)� fn(�))dW (�); t 2 [0; T ]
har kontinuerliga trajektorier. Om U betecknar en godtycklig ändlig delmängdav [0; T ] så ger Doobs maximalsats att
P
�maxt2Uj Xm(t)�Xn(t) j� "
�� 1
"2
Z T
0
(fm(�)� fn(�))2d�
varför
P [k Xm �Xn k1� "] � 1
"2
Z T
0
(fm(�)� fn(�))2d�:
där k : k1 betecknar max-normen i C([0; T ]). Sekvensen (Xn)n2N konvergerardärför i sannolikhet mot en stokastisk variabel X med värden i Banachrum-met C([0; T ]): För varje �xt t gäller också att
X(t) =
Z t
0
f(�)dW (�) n.s
och satsen är bevisad.
Övningar
1. Anag X och Xn; n 2 N; är reellvärda stokastiska variabler sådana attXn ! X n.s då n!1: Visa att Xn ! X i sannolikhet då n!1:
140
2. Visa att konvergens i L2(P ) medför konvergens i L0(P ):
3. Antag att (Gn)n2N är en i.i.d. där G0 2 N(0; 1). Låt (an)n2N vara enföljd reella tal. Visa att serien
1Xn=0
anGn
konvergerar n.s. om och endast om
1Xn=0
a2n <1:
4. Visa att
P
�max0���t
(���2+W (�)) � a
�� e��a; a; � > 0:
Dra härav slutsatsen att
P
�max0���t
W (�) � a
�� e�
a2
2t ; a > 0:
Försök visa samma olikhet med hjälp av Bacheliers sats från kapitel 5.
5. Antag f : [0; T ]! R är kontinuerligt deriverbar. Visa attZ T
0
f(t)dW (t) = f(T )W (T )�Z T
0
f 0(t)W (t)dt:
141
10. Translation av Wienermått och prissättning av derivat
Fixera T > 0 och låt C([0; T ]) beteckna Banachrummet av alla reellvärdakontinuerliga funktioner de�nierade i intervallet [0; T ] : Den underliggandenormen ges av max-normen
k x k1= max0�t�1
j x(t) j :
Vi visar först i detta kapitel hur reellvärda stokastiska processer (X(t))t2[0;T ]med kontinuerliga samplefunktioner kan representeras somBorelsannolikhetsmåtti C([0; T ]). Detta leder oss till det så kallade Wienermåttet. Vi diskuterarockså hur så kallade betingade kontrakt kan prissättas med hjälp av enlämplig translation av detta mått.Banachrummet C([0; T ]) är separabelt. Borel-�-algebran B(C([0; T ])) är
den minsta �-algebra av delmängder av C([0; T ]); som innehåller alla öppnamängder. För enkelhets skull skriver vi C = C([0; T ]) och B = B(C([0; T ])):För varje �xt t 2 [0; T ] de�nieras en avbildning �t : C ! R genom att�t(x) = x(t) och vi låter S = �(�t; t 2 [0; T ]) dvs S är den minsta �-algebraav delmängder av C som gör alla avbildningarna �t; t 2 [0; T ] ; mätbara. Skallas för den svaga �-algebran av delmängder av C: Det är uppenbart att S� B eftersom varje avbildning �t är kontinuerlig. Det är också ganska lättatt visa den omvända mängdinklusionen nämligen att B � S. För att sedetta skriver vi först för godtyckligt a 2 C
k x� a k1= supt2[0;T ]\Q
j �t(x)� �t(a) j :
Denna relation medför att de öppna bollarna B(a; r); r > 0; tillhör S. Låtnu mängden fan; n 2 Ng vara en tät delmängd av C: Om U är en godtyckligöppen delmängd av C gäller att
U = [ [B(an; r); B(an; r) � U och 0 < r 2 Q] :Detta innebär att mängden U är en högst uppräknelig union av element i Svarför U 2 S . Alltså måste B � S och det följer att B = S:Antag (;F ; P ) är ett sannolikhetsrum och (X(t))t2[0;T ] en reellvärd stokastisk
process som har kontinuerliga trajektorier n.s. Vi påminner om beteckn-ingssättet X(t) = Xt. Det är i det fortsatta resonemanget ingen begränsningatt utgå från att alla trajektorier
X(!) : t! Xt(!)
142
är kontinuerliga och vi antar därför detta i det följande (i annat fall kan vigöra mindre och därefter justera F och P på lämpligt sätt). Detta ger ossen avbildning
X : ! C:
Denna avbildning är mätbar sedd som en avbildning från (;F) in i (C;S):Om t1; :::tn 2 [0; T ] och A1; :::; An 2 B(R) gäller nämligen att
f!; Xt1(!) 2 A1; :::; Xtn(!) 2 Ang 2 F :
Avbildningen X är därför mätbar sedd som en avbildning från (;F) ini (C;B) eftersom B = S: Den stokastiska processen (X(t))t2[0;T ] ger osssåledes ett Borelmått i Banachrummet C genom fördelningsmåttet �X förden stokastiska variabeln X. Om X är en normaliserad reellvärd Wiener-process i tidsintervallet [0; T ] kallas motsvarande Borelsannolikhetsmått förWienermåttet i C och betecknas i detta kapitel med �. Sannolikhetsrummet(C;B; �) kallas för Wienerrummet och är av fundamental betydelse inomstokastisk analys. Istället för enbart Wienerrummet säger vi ibland för ty-dlighets skull Wienerrummet svarande mot endimensionell Brownsk rörelsei tidsintervallet från 0 till T . Begreppet abstrakt Wienerrum är något heltannat och berör ej direkt denna kurs (se t ex [NUA]). Vi de�nierar
Wt(x) = x(t); x 2 C; 0 � t � T
och får att processen (Wt)0�t�T är en normaliserad reellvärd Wienerprocessrelativt Wienerrummet (C;B; �).En avbildning � : C ! R av formen
�(x) =nXk=1
ckx(tk)
där t1; :::; tn 2 [0; T ] och c1; :::; cn 2 R kallas för en svagt kontinuerlig linjär-form på C: Klassen av alla sådana linjärformer betecknas med C 0. Om � ärett Borelsannolikhetsmått på C så de�nieras Fouriertransformen � : C 0 ! Cgenom att
�(�) =
ZC
e�i�(x)d�(x):
Skrivs �(x) =Pn
k=1 ckx(tk) följer därför att
�(�) =
ZRn
e�i(c1y1+:::+cnyn)d�t1:::tn(y1; :::yn)
143
där �t1:::tn är fördelningsmåttet för den stokastiska variabeln x! (x(t1); :::x(tn))de�nierad på sannolikhetsrummet (C;B; �): Om två Borelsannolikhetsmått� och � i C har samma Fouriertransform så gäller därför att
�t1:::tn = �t1:::tn
för alla t1; :::; tn 2 [0; T ] och alla n 2 N+ beroende på entydighetssatsenför Fouriertransformen i Rn: Eftersom S = B så följer sedan från enty-dighetssatser från allmän måtteori att � = �: Den intresserade läsaren hän-visas till speciallitteraturen.Om a 2 C de�nierar avbildningen x ! a + x en mätbar funktion från
(C;B) in i (C;B): Fördelningsmåttet för denna stokastiska variabel de�nieradpå sannolikhetsrummet (C;B; �) betecknas med �a: Alltså gäller att
�a(A) = �(A� a); A 2 B:
Om f är en begränsad och kontinuerlig funktion de�nierad på C så gällerdärför att Z
C
f(x)d�a(x) =
ZC
f(x+ a)d�(x)
och ZC
f(x� a)d�a(x) =ZC
f(x)d�(x)
Vi de�nierar nu
W at (x) =Wt(x)� a(t); 0 � t � T; x 2 C
och får att ZC
f(W a(x))d�a(x) =
ZC
f(W (x))d�(x):
Processen (W at )0�t�T är därför en normaliserad reellvärd Wienerprocess i
tidsintervallet från 0 till T relativt sannolikhetsrummet (C;B; �a):Vi påminner om att måtten � och �a sägs vara ekvivalenta om
�(A) = 0) �a(A) = 0
och�a(A) = 0) �(A) = 0
för A 2 B: Notera att den första implikationen medför den andra och tvär-tom eftersom �(A) = �(�A) om A 2 B. Vårt närmaste mål är att ge ett
144
tillräckligt villkor på a som garanterar att måtten och � och �a är ekvivalenta.Detta villkor är också nödvändigt men vi bevisar inte denna punkt.Låt nu f 2 L2(m[0;T ]) och betrakta den stokastiska integralenZ T
0
f(t)dWt:
Med vår representation av den ingående Wienerprocessen är det naturligt attäven tillåta skrivsättet Z T
0
f(t)dx(t)
för denna integral.
Sats 1. (Cameron-Martins sats) Antag h 2 L2(m[0;T ]) och sätt a(t) =R t0h(�)d�; t 2 [0; T ] : Det gäller att
d�a(x) = eR T0 h(t)dx(t)� 1
2
R T0 h2(t)dtd�(x)
dvs�a =Mh(T )�
Man kan omvänt visa att om a 2 C och måtten � och �a är ekvivalentaså existerar h 2 L2(�) så att a(t) =
R t0h(�)d�; t 2 [0; T ] (se t ex [LIF ]).
Bevis. Innebörden av sats 1 är att
�a(A) =
ZA
eR T0 h(t)dx(t)� 1
2
R T0 h2(t)dtd�(x); A 2 B:
Vi beräknar därför Fouriertransformen av måtten i vänster och höger led ochvisar att dessa är lika. Låt � 2 C 0 ha formen
�(x) =
nXk=1
ckx(tk)
där 0 � t1 � ::: � tn. Efter omskrivning kan linjärformen skrivas
�(x) = b0x(t0) +nXk=1
bk(x(tk)� x(tk�1))
145
där t0 = 0: Denna representation gerZC
ei�(x)d�a(x) =
ZC
ei�(x+a)d�(x) =
ei�(a)ZC
ei�(x)d�(x) = ei�(a)ZC
ei(b0x(t0)+Pnk=1 bk(x(tk)�x(tk�1)))d�(x):
Eftersom �(fx 2 C; x(0) = 0g) = 1 blir högra ledet lika med
ei�(a)ZC
eiPnk=1 bk(x(tk)�x(tk�1))d�(x) = ei�(a)e�
12
Pnk=1 b
2k(tk�tk�1):
Vi har alltså visat attZC
ei�(x)d�a(x) = ei�(a)e�12
Pnk=1 b
2k(tk�tk�1):
Vi skall nu visa att högra ledet här också är lika medZC
ei�(x)eR T0 h(t)dx(t)� 1
2
R T0 h2(t)dtd�(x):
Notera först att denna integral är lika medZC
eiPnk=1 bk(x(tk)�x(tk�1))e
R T0 h(t)dx(t)� 1
2
R T0 h2(t)dtd�(x) =
ZC
ePnk=1(ibk(x(tk)�x(tk�1))+
R tktk�1
h(t)dx(t))d�(x)e�
12
R T0 h2(t)dt:
Om integration med avseende på Wienermåttet betecknas med E blir högraledet lika med
e12E
��Pnk=1(ibk(x(tk)�x(tk�1))+
R tktk�1
h(t)dx(t))�2�e�
12
R T0 h2(t)dt =
e12E
�Pnk=1
�(ibk(x(tk)�x(tk�1))+
R tktk�1
h(t)dx(t))�2�e�
12
R T0 h2(t)dt =
e12
Pnk=1(�b2k(tk�tk�1)+2ibk
R tktk�1
h(t)dt)=
e�12
Pnk=1 b
2k(tk�tk�1)ei
Pnk=1 bk(a(tk)�a(tk�1)) =
ei�(a)e�12
Pnk=1 b
2k(tk�tk�1):
146
Detta bevisar satsen.
Antag nu att vi har en enkelt derivat av europeisk typ med utbetalnings-funktionen f och slutdagen T . Vi antager att f 2 P : Den underliggandeaktien har priset S(t) vid tiden t och som vanligt arbetar vi i den geometriskaBrownska rörelsemodellen. Alltså gäller att
S(t) = S(0)e�t+�W (t)
där processen (W (t)) är en normaliserad Wienerprocess. Om vi de�nierar
� = �� �2=2
ärS(t) = S(0)e(���
2=2)t+�W (t)
och om vi förutsätter S(0) vara känd blir
E [S(t)] = S(0)e�t:
Det förutsätts som vanligt i det följande att kapitalmarknaden erbjuder enobligation vars pris B(t) = B(0)ert vid tiden t: Det teoretiska priset v(t; S(t))för derivatet ovan vid tiden t är därför lika med
v(t; s) = e�r�E [f(ser�M�(�))]
därM�(�) = e�
�2
2�+�W (�):
I fortsättningen av detta kapitel antar vi att det bakomliggande sannolikhet-srummet (;F ; P ) är lika med Wienerrummet (C;B; �) och att W (t) = Wt,0 � t � T . Vi föredrar ofta att skriva Wt istället för W (t), särskilt i vissakomplicerade formler.Optionsvärdet v(t; S(t)) är ej i allmänhet lika med
e�r�E [f(S(T )) j Ft] = e�r�E [f(se��M�(�))]js=S(t)
där Ft = �(S(�); � � t) = �(W�; � � t): En snarlik formel visar sig dockvara sann. Genom att de�niera ett lämpligt sannolikhetsmått Q, som är
147
ekvivalent med sannolikhetsmåttet P; och låta EQ beteckna förväntan medavseende på måttet Q så gäller dock sambandet
v(t; S(t)) = e�r�EQ [f(S(T )) j Ft] :
Innebörden av denna formel är att funktionen i vänster led är lika medfunktionen i höger led n.s. [Q] : Observera här att P = Q för en läm-lig strikt positiv densitet varför måtten P och Q har ger nollmängder dvsNP (B) = NQ(B):Vi de�nierar nu Q = �a där a(t) =
r���t; 0 � t � T: För att betona T -
beroendet i Q skriver vi ibland Q = QT : Enligt Cameron-Martins sats gälleratt
Q = er���WT� 1
2( r��
�)2TP
och alltsåP = e�
r���WT+
12( r��
�)2TQ:
Vidare är processen
W a(t) =W at = Wt � a(t); 0 � t � T
enligt utredning ovan en normaliserad reellvärd Wienerprocess i tidsinterval-let [0; T ] relativt sannolikhetsrummet (;F ; Q): Observera att Ft = �(W a
� ;� � t): Härav erhålls
Sats 2 (Beräkningsformel för Q-mått) Antag g 2 Cb(Rn�1) och låt
t � T1 � ::: � Tn�1 � T: Då gäller att
EQ [g(S(T1); :::; S(Tn�1)) j Ft] =
Ehg(se(r�
�2
2)(T1�t)+�(WT1
�Wt); :::; se(r��2
2)(Tn�1�t)+�(WTn�1�Wt))
idär s = S(t) skall sättas in i uttrycket i höger led när väntevärdet beräknats(detta led är därmed oberoende av T ): Alltså gäller även att
EQ [g(S(T1); :::; S(Tn�1)) j Ft] =
Ehg(se(r�
�2
2)(T1�t)+�W (T1�t); :::; se(r�
�2
2)(Tn�1�t)+�W (Tn�1�t))
idär s = S(t) skall sättas in i uttrycket i höger led när väntevärdet beräknats.
148
Bevis.Vi har attEQ [g(S(T1); :::; S(Tn�1)) j Ft] =
EQ�g(S(t)e(��
�2
2)(T1�t)+�(WT1
�Wt); :::; S(t)e(���2
2)(Tn�1�t)+�(WTn�1
�Wt)) j Ft�=
EQ�g(S(t)e(r�
�2
2)(T1�t)+�(Wa
T1�Wa
t ); :::; S(t)e(r��2
2)(Tn�1�t)+�(Wa
Tn�1�Wa
t )) j Ft�=
EQ�g(se(r�
�2
2)(T1�t)+�(Wa
T1�Wa
t ); :::; se(r��2
2)(Tn�1�t)+�(Wa
Tn�1�Wa
t ))
�=
Ehg(se(r�
�2
2)(T1�t)+�(WT1
�Wt); :::; se(r��2
2)(Tn�1�t)+�(WTn�1�Wt))
ivilket bevisar satsen.
Om vi nu går tillbaka till vårt europeiska derivat med utbetalningsfunk-tionen f som vi diskuterade ovan så följer att
EQ [f(S(T )) j Ft] = Ehf(se(r��
2=2)�+�W (T�t))i=
E [f(ser�M�(�))] = er�v(t; s):
Vi alltså bevisat prisformeln
v(t; S(t)) = e�r�EQ [f(S(T )) j Ft] :
Beräkningsformeln för Q-mått gör det möjligt att �nna en prisformel förmycket allmänna derivat där utbetalningen vid tiden T får bero av aktieprisetunder hela den tid kontraktet levt. Om exempelvis K > 0 och
X = max(0;1
T
Z T
0
S(t)dt�K)
talar vi om en aritmetisk medelvärdesoption av europeisk typ. I fallet
X = max(0; e1T
R T0 lnS(t)dt �K)
har vi en så kallad geometrisk medelvärdesoption av europeisk typ. Observeraatt utbetalningarna i båda fallen är välde�nierade och dessutom stokastiskavariabler. Ett derivat som utbetalar ett FT -mätbart belopp X vid tidenT kallas för ett betingat kontrakt (i matematiska miljöer identi�eras ofta
149
derivatet och X). För att betona att utbetalning endast kan ske slutdagen Tkan man tillägga att derivatet är av europeisk typ. Liksom för enkla derivatär det mycket praktiskt att tillåta att X får antaga negativa såväl som icke-negativa värden.Betrakta nu ett derivat som utbetalar ett belopp X 2 L2(Q) vid tiden T .
Det är rimligt att de�niera derivatets (teoretiska) värde v(t) vid tiden t < Tgenom ekvationen
v(t) = e�r�EQ [X j Ft]
där som vanligt � = T � t. För att motivera detta antag först att t < T1 <::: < Tn = T och att
X = f(S(T1); S(T2); :::; S(Tn))
där f : Rn ! R är begränsad och mätbar. Från prisformeln för enkla derivatav europeisk typ följer att
v(Tn�1) = e�r(Tn�Tn�1)EQ�X j FTn�1
�är av formen
g(S(T1); :::; S(Tn�1))
för en lämplig begränsad mätbar funktion g. Ett lämpligt induktionsanta-gande leder nu till att
v(t) = e�r(Tn�1�t)EQTn�1
[g(S(T1); :::; S(Tn�1)) j Ft] =
e�r(Tn�1�t)EQ [g(S(T1); :::; S(Tn�1)) j Ft] :
Här är uttrycket i höger led lika med
v(t) = e�r(Tn�1�t)EQ�e�r(Tn�Tn�1)EQ
�X j FTn�1
�j Ft�=
e�r(Tn�1�t)EQ�e�r(Tn�Tn�1)EQ
�X j FTn�1
�j Ft�=
e�r�EQ [X j Ft] :
För godtyckligtX 2 L2(Q) de�nieras därför derivatets (teoretiska) värde v(t)vid tiden t < T av formeln
v(t) = e�r�EQ [X j Ft] :
150
Måttet Q kallas för martingalmåttet i tidsintervallet [0; T ] för den aktuellaaktien och obligationen.
Sats 3. Den geometriska medelvärdesoptionen av europeisk typ med lösen-värdet
X = max(0; e1T
R T0 lnS(t)dt �K)
vid tiden T har det teoretiska priset
v(t) = e�r�nem+
12�2��(d1)�K�(d2)
ovid tiden t 2 [0; T [ där
m =1
T
�Z t
0
lnS(�)d�+ (T � t) lnS(t) + (r � �2
2)(T � t)22
�;
�� =
r�2(T � t)33T 2
;
d1 =m+ �2� � lnK
��
och
d2 =m� lnK
��:
Beviset för sats 2 bygger på följande
Lemma 1. Den stokastiska variabelnZ T
0
W (t)dt
de�nierad på sannolikhetsrummet (;F ; P ) = (C;B; �) har en Gaussisk fördel-ning med väntevärdet noll och variansen T 3=3.
151
Bevis av Lemma 1. Den stokastiska variabeln ifråga har en Gaussiskfördelning med väntevärdet noll eftersom Wienerprocessen (W (t))0�t�T ären centrerad Gaussisk process. Partiell integration visar attZ T
0
W (t)dt =
Z T
0
(T � t)dW (t)
(visa detta eller se kapitel 11) och resultatet följer av att
E
"�Z T
0
W (t)dt
�2#= E
"�Z T
0
(T � t)dW (t)�2#
=
Z T
0
(T � t)2dt = T 3=3:
Denna varians kan också beräknas mer direkt. Det följer nämligen att
E
"�Z T
0
W (t)dt
�2#= E
�Z T
0
W (t)dt
Z T
0
W (�)d�
�=
E
�Z T
0
Z T
0
W (t)W (�)dtd�
�=
Z T
0
Z T
0
E [W (t)W (�)] dtd� =
Z T
0
Z T
0
min(t; �)dtd� = T 3=3:
Bevis av sats 3. Sätt
Z(t) =
Z t
0
lnS(�)d�
så attv(t) = e�r�EQ
hmax(0; e
Z(t)T+Z(T )�Z(t)
T �K) j Fti
ochv(t) = e�r�EQ
hmax(0; e
zT+ 1T
R Tt lnS(�)d� �K)
idär z = Z(t) skall sättas in i uttrycket när väntevärdet beräknats.Av
S(t) = S(0)e(���2
2)t+Wt
152
får vi
lnS(�) = lnS(t) + (�� �2
2)(�� t) + �(W� �Wt) =
lnS(t) + (r � �2
2)(�� t) + �(W a
� �W at )
dära(t) =
r � ��
t:
Alltså gäller att
v(t) = e�r�EQhmax(0; em+
�T
R Tt (W
a��Wa
t )d� �K)i=
e�r�Ehmax(0; em+
�T
R Tt (W��Wt)d� �K)
i=
e�r�E
�max(0; e
m+ �T
RT�t0 W�)d� �K)
�=
e�r�E
�max(0; em+
�T
q(T�t)3
3G �K)
�där G 2 N(0; 1): En enkel räkning visar nu sats 2.
En medelvärdesoption av europeisk typ som utbetalar värdet
X = max(0;1
T
Z T
0
S(t)dt�K)
slutdagen T har för närvarande ingen känd enkel prisformel uttryckt i el-ementära funktioner (problemet attackeras med stokastisk kalkyl i [DTG] ;[RS], [GY ], [Y ] och [WDH] ; se också kap 13). Detsamma gäller ett derivatsom utbetalar värdet
Y = max(0;
nXj=1
�jS(tj)�K)
slutdagen T , där t0 < t1 < ::: < tn = T , �1; :::; �n > 0 ochPn
j=1 �j = 1:Observera att t här kan vara strikt mindre än t0: Om vi fortfarande harsamma dynamiska förutsättningar på aktien och obligationen som ovan så
153
följer att derivatets värde vid tiden t är lika med vY (t) = EQ [Y j Ft] : Allsåär
vY (t) = vY (t; (S(tj)tj�t)
där
vY (t; (s(tj))tj�t) = E
24max(0;Xtj>t
�jse(r��2
2)(tj�t)+�W (tj�t) �K 0)
35K 0 = K �
Xtj�t
�js(tj)
och s = S(t): Bland numeriska beräkningsmetoder som kan användas för attberäkna optionspriset vY (t) vill vi nämna Monte Carlometoden [KV ] ; densnabba Fouriertransformen [CC] och en metod som bygger på approximationav täthetsfunktionen för den stokastiska variabelnX
tj>t
�jse(r��2
2)(tj�t)+�W (tj�t)
[TW ] : Även numeriska metoder för partiella di¤erentialekvationer kan utnyt-tjas (se [RS] och [WDH] ; se också [GEM ] som tar upp en del mer speciellametoder):Vi gör till sist några anmärkningar rörande Monte Carlometodens imple-
mentering i samband med denna medelvärdesoption. Om
Z = max(0;nYj=1
S(tj)�j �K)
kanvZ(t) = EQ [Z j Ft]
beräknas exakt (jmfr sats 2). Vidare gäller att
vY (t) = vZ(t) + EQ [Y � Z j Ft] :
För att beräkna priset vY (t) med Monte Carlometoden är det lämpligt attförst beräkna priset vZ(t) exakt och därefter det betingade väntevärdet
EQ [Y � Z j Ft]
154
med Monte Carlometoden. Detta reducerar det statistiska felet markantjämfört med att direkt beräkna priset vY (t) med Monte Carlometoden [KV ] :
Övningar
1. Visa med beteckningar och förutsättningar som i texten ovan att
EQ [S(t)e�rt j Ft0 ] = S(t0)e�rt0 ; 0 � t0 � t � T (processen (S(t)e�rt)0�t�T
kallas därför en Q-martingal). Beräkna också Q [S(T ) > K j Ft] =EQ�1[S(T )>K] j Ft
�då K > 0 och 0 � t � T:
2. Ett derivat utbetalar
X =1
n
nXj=1
S(j
nT )
vid tiden T . Bestäm derivatets värde vid en godtycklig tidpunkt t 2[0; T ] genom att endast använda förekomsten av en obligation medprisetB(t) = B(0)ert vid tiden t och dominansprincipen:Antag därefteratt aktiepriset S(t) beskriver en geometrisk Brownsk rörelse med ex-ponentiell drift och visa att resultaten i detta avsnitt leder till sammavärde för motsvarande derivat.
I de följande övningarna i detta kapitel förutsätter vi Black-Scholesmodell.
3. Låt K > 0 och 0 < T0 < T1 < T: Ett derivat utbetalar beloppet X =
(0; (S(T0)S(T1)S(T ))13�K) vid tiden T; där S(t) betecknar aktiens pris
vid tiden t: Aktieprisets volatilitet är lika med �. Bestäm derivatetsvärde vid en godtycklig tidpunkt t 2 [0; T ] . Lös motsvarande problemdå
X = max(0;
nYj=1
S(j
nT )
! 1n
�K):
4. Låt t < T0 < T och K > 0: Ett europeiskt derivat i aktien utbetalarbeloppet max( S(T )
S(T0)� K; 0) slutdagen T: Bestäm derivatets värde vid
tiden t:
155
11. Stokastiska integraler av Itôs typ
Antag (W (t))0�t�T är en reellvärd normaliserad Wienerprocess i tidsinter-vallet [0; T ] med kontinuerliga trajektorier. Vi har kapitel 9 de�nierat denstokastiska integralen Z T
0
h(t)dW (t)
då integranden h är en deterministisk funktion av kvadratintegrabel typöver intervallet [0; T ]. I detta kapitel skall vi utvidga integralbegreppet tillstokastisk integrand under lämpliga förutsättningar på integranden. Exem-pelvis skall vi ge en mening åt integralenZ T
0
f(W (t))dW (t)
då f är en kontinuerlig funktion. I samband med de�nitionen uppstår härett intressant fenomen som vi belyser i specialfallet f(x) = x: Antag därföratt
� : 0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T
är en indelning av intervallet [0; T ]. Om vi vill de�niera integralenZ T
0
W (t)dW (t)
är det naturligt att välja tal �k 2 [tk; tk+1] ; k = 0; :::; n � 1; och därefterstudera konvergensegenskaper för Riemannsumman
I(�) =
n�1Xk=0
W (�k)(W (tk+1)�W (tk))
då indelningens �nhet gå mot noll. Om �k = tk; k = 0; :::; n � 1; skriver viI(�) = Iv�anster och om �k = tk+1; k = 0; :::; n � 1; skriver vi I(�) = Ih�oger.Alltså gäller att
Iv�anster =n�1Xk=0
W (tk)(W (tk+1)�W (tk))
156
och
Ih�oger =n�1Xk=0
W (tk+1)(W (tk+1)�W (tk)):
Härav följer att
Ih�oger + Iv�anster =
n�1Xk=0
(W 2(tk+1)�W 2(tk)) = W 2(T )
och
Ih�oger � Iv�anster =n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2:
I kapitel 5 visade vi att
n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2 ! T i L2(P )
då indelningens �nhet går mot noll. Härav följer att
Ih�oger !1
2W 2(T ) +
1
2T i L2(P )
ochIv�anster !
1
2W 2(T )� 1
2T i L2(P )
då indelningens �nhet går mot noll. Valet av sekvens �k; k = 0; :::; n�1; i Rie-mannsumman I(�) har därför en avgörande betydelse för vilket gränsvärdevi får: Inom teorin för värdepapper är vänsteralternativet det bästa och dettamedför att Z T
0
W (t)dW (t) =1
2W 2(T )� 1
2T .
Om funktionen f : R! R är två gånger kontinuerligt deriverbar så får viockså nedan den märkliga formeln
f(W (T )) = f(0) +
Z T
0
f 0(W (t))dW (t) +1
2
Z T
0
f 00(W (t))dt:
I detta kapitel kommer vi främst att framhäva algebraiska egenskaper förstokastiska integraler. Av utrymmesskäl kan vi inte ge rättvisa åt aspekter
157
som berör mätbarhet och topologi. Bland läroböcker inom stokastisk inte-gration vill vi särskilt nämna Chung och Williams [CW ] ; Friedman [FR] och;ksendal [;K] :Vi startar vår utveckling av stokastisk integration med ett komplett san-
nolikhetsrum (;F ; P ) och en familj �-algebror Ft; 0 � t � T; av delmängderav sådan att
Ft1 � Ft2 � F ; t1 � t2:
Familjen (Ft)0�t�T kallas för en �ltration. Dessutom förutsätts här att
A 2 F0 om A 2 F och P (A) = 0:
Antag vidare att (W (�))0���T är en normaliserad reellvärd Wienerprocessmed kontinuerliga trajektorier de�nierad på sannolikhetsrummet (;F ; P )sådan att
�(W (�); � � t) � Ftoch
Ft och �(W (�+ t)�W (t); T � t � � � 0) är stokastiskt oberoende
för alla 0 � t � T: De�nitionerna, som kan synas trassliga, motiveras bl a avatt de portföljer vi senare skall studera ofta innehåller �era aktier.Låt nu B [0; T ] = B[0;T ](R) beteckna mängden av alla A 2 B(R) som
är en delmängd av intervallet [0; T ] : Antag också att p 2 [1;1[ : En reel-lvärd funktion h(t; !); t 2 [0; T ] ; ! 2 ; sägs vara progressivt mätbar omavbildningen
(t; !)! h(t; !); (t; !) 2 [0; T0]� är (B [0; T0]� FT0)-mätbar för varje �xt T0 2 [0; T ] : Vi uppfattar här h =(h(t))0�t�T som en stokastisk process. Man kan visa att det för en progressivtmätbar process h gäller att avbildningen
t! h(t; !); t 2 [0; T ]
är B [0; T ]-mätbar för varje ! 2 och att avbildningen
! ! h(t; !); ! 2
är Ft-mätbar för varje t 2 [0; T ] : Om processen h = (h(t))0�t�T är progres-sivt mätbar och dessutomZ T
0
j h(t) jp dt <1 n.s.
158
säger vi att h tillhöra klassen LpW [0; T ]. Råkar h 2 LpW [0; T ] vara begränsad
n.s. säger vi att h tillhör klassen L1W [0; T ]. Vi uppfattar här h som 0 såsnart Z T
0
j h(t) j dt = 0 n.s.
Om p 2 [1;1[ är �xt låter viMpW [0; T ] beteckna klassen av alla h 2 L
pW [0; T ]
sådana att
E
�Z T
0
j h(t) jp dt�<1:
En stokastisk process (h(t))0�t�T sägs vara en trapprocess om det exis-terar en indelning
0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T
sådan atth(t) = h(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1:
Föjande approximationssatser ges här utan bevis (för bevis se t ex [FR]).
Sats 1. (Approximationssats för LpW [0; T ] ; p 2 [1;1[) Antag h 2LpW [0; T ] ; där p 2 [1;1[ :
a) Det �nns gn 2 LpW [0; T ] ; n 2 N; med kontinuerliga trajektorier så att
limn!1
Z T
0
j gn(t)� h(t) jp dt = 0 n.s.
b) Det �nns trapprocesser gn 2 LpW [0; T ] ; n 2 N; så att
limn!1
Z T
0
j gn(t)� h(t) jp dt = 0 n.s.
Sats 2. (Approximationssats för M2W [0; T ]) Antag h 2M2
W [0; T ] :
a) Det �nns gn 2M2W [0; T ] ; n 2 N; med kontinuerliga trajektorier så att
limn!1
E
�Z T
0
(gn(t)� h(t))2dt�= 0:
159
b) Det �nns trapprocesser gn 2M2W [0; T ] ; n 2 N; så att
limn!1
E
�Z T
0
( gn(t)� h(t))2dt�= 0:
Antag nu att h 2 L2W [0; T ] är en trapprocess sådan att
h(t) = h(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1
för en viss indelning
0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T:
Vi de�nierar i detta fall den stokastiska variabelnZ T
0
h(t)dW (t)
genom att sättaZ T
0
h(t)dW (t) =n�1Xk=0
h(tk)(W (tk+1)�W (tk)):
De�nitionen är oberoende av val av indelning av intervallet [0; T ].Låt oss nu dessutom antaga att trapprocessen h 2M2
W [0; T ]. EftersomZ T
0
h2(t)dt =n�1Xk=0
h2(tk)(tk+1 � tk)
så följer det att
1 > E
�Z T
0
h2(t)dt
�=
n�1Xk=0
E�h2(tk)
�(tk+1 � tk)
och vi drar slutsatsen att
h(tk) 2 L2(P ); k = 0; :::; n� 1:
160
Alltså är
E
�Z T
0
h(t)dW (t)
�=
n�1Xk=0
E [h(tk)(W (tk+1)�W (tk))] =
n�1Xk=0
E [h(tk)]E [(W (tk+1)�W (tk)] = 0:
Eftersom de stokastiska variablerna
h(tk)(W (tk+1)�W (tk)); k = 0; :::; n� 1
är ortogonala i L2(P ) så ger Pythagoras sats också att
E
"�Z T
0
h(t)dW (t)
�2#=
n�1Xk=0
E�h2(tk)(W (tk+1)�W (tk))2
�=
n�1Xk=0
E�h2(tk)
�E�(W (tk+1)�W (tk))2
�=
n�1Xk=0
E�h2(tk)
�(tk+1 � tk) =
E
�Z T
0
h2(t)dt
�:
Lemma 1. Antag h 2 L2W [0; T ] är en trapprocess och låt " > 0 och N > 0vara givna. Då gäller att
P
�jZ T
0
h(t)dW (t) j> "
�� P
�Z T
0
h2(t)dt > N
�+N
"2:
Bevis. Antag att
h(t) = h(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1
för en viss indelning
0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T
och låt m vara det största heltalet � n� 1 sådant attZ tm+1
0
h2(t)dt =
mXk=0
h2(tk)(tk+1 � tk) � N:
161
Notera att[tm+1 � t] 2 Ft:
Vi de�nierar
hN(t) =
�h(t) om t < tm+10 annars i [0; T ] :
Härav följer att hN 2 L2W [0; T ] ochZ T
0
h2N(t)dt =mXk=0
h2(tk)(tk+1 � tk) � N:
Alltså gäller att
E
�(
Z T
0
hN(t)dW (t))2
�� N:
Vidare är
h(t) = hN(t) för t < T omZ T
0
h2(t)dt � N:
Härav erhålls att
P
�jZ T
0
h(t)dW (t) j> "
�� P
�jZ T
0
hN(t)dW (t) j> "
�+
P
�Z T
0
h2(t)dt > N
�:
Nu är emellertid
P
�jZ T
0
hN(t)dW (t) j> "
�� 1
"2E
"�Z T
0
hN(t)dW (t)
�2#� N
"2
och lemmat är bevisat.
Vi skall nu de�niera den stokastiska integralenZ T
0
h(t)dW (t)
för varje h 2 L2W [0; T ] : Välj därför först trapprocesser gn 2 L2W [0; T ] ; n 2N; så att
limn!1
Z T
0
( gn(t)� h(t))2dt = 0
162
i sannolikhet. Enligt lemma 1 gäller
P
�jZ T
0
gm(t)dW (t)�Z T
0
gn(t)dW (t) j> "
��
P
�Z T
0
(gm(t)� gn(t))2dt > N
�+N
"2
för varje " > 0 och N > 0 och det följer att
limm;n!1
P
�jZ T
0
gm(t)dW (t)�Z T
0
gn(t)dW (t) j> "
�= 0:
Sekvensen
(
Z T
0
gn(t)dW (t))n2N
konvergerar således i sannolikhet. Man visar lätt att gränsvärdet är oberoendeav valet av sekvens gn 2 L2W [0; T ] ; n 2 N; i konstruktionen ovan och vibetecknar gränsvärdet med Z T
0
h(t)dW (t):
Om speciellt h 2 M2W [0; T ] så följer ganska lätt från denna de�nition och
sats 2 att
E
�Z T
0
h(t)dW (t)
�= 0
och
E
"�Z T
0
h(t)dW (t)
�2#= E
�Z T
0
h2(t)dt
�:
Man kan också visa följande approximationssats.
Sats 3. (Approximationssats för stokastiska integraler) Antag h 2L2W [0; T ] och låt gn 2 L2W [0; T ] ; n 2 N; uppfylla
limn!1
Z T
0
( gn(t)� h(t))2dt = 0 n.s.
163
Då gäller att Z T
0
gn(t)dW (t)!Z T
0
h(t)dW (t)
i sannolikhet då n!1.
Vi får också
Sats 4. Antag h 2 L2W [0; T ] och antag h har kontinuerliga trajektorier. Låtvidare
�n : 0 = tn;0 < tn;1 < ::: < tn;mn�1 < tn;mn = T
vara en indelning av intervallet [0; T ] sådan att indelningens �nhet går mot0 då n!1. Då gäller att
mn�1Xk=0
h(tn;k)(W (tn;k+1)�W (tn;k))!Z T
0
h(t)dW (t)
i sannolikhet då n!1.
Bevis. Vi de�nierar trapprocesser gn 2 L2W [0; T ] ; n 2 N; så att
gn(t) = h(tn;k) i intervallet tn;k � t < tn;k+1; 0 � k � mn � 1:
Då gäller att gn(t) ! h(t) likformigt i t 2 [0; T ] då n ! 1. Speciellt följeratt
limn!1
Z T
0
( gn(t)� h(t))2dt = 0
och de�nitionen av den stokastiska integralenZ T
0
h(t)dW (t)
(eller sats 3) visar attZ T
0
gn(t)dW (t)!Z T
0
h(t)dW (t)
164
i sannolikhet då n!1. Resultatet följer nu av attZ T
0
gn(t)dW (t) =mn�1Xk=0
h(tn;k)(W (tn;k+1)�W (tn;k)):
Det inledande resonemanget i detta kapitel och sats 4 visar nu attZ T
0
W (t)dW (t) =1
2W 2(T )� 1
2T:
En stokastisk process (X(t))0�t�T sägs vara en martingal med avseendepå �ltrationen (Ft)0�t�T om
(a) �(X(t)) � Ft
(b) X(t) 2 L1(P )
(c) E [X(t) j Ft0 ] = X(t0) så snart t0 � t:
För varje trappprocess h 2M2W [0; T ] så är processenZ t
0
h(�)dW (�); t 2 [0; T ]
en martingal med avseende på �ltrationen (Ft)0�t�T . Genom approximationmed trapprocesser följer att denna egenskap gäller för varje h 2 M2
W [0; T ].Processerna i klassen L2W [0; T ] saknar i allmänhet integrabilitetsegenskaperoch kan inte förväntas ha martingalegenskaper. Emellertid gäller följande
Sats 5. Antag h 2 L2W [0; T ]. Då gäller att processenZ t
0
h(�)dW (�); t 2 [0; T ]
har en kontinuerlig version.
165
Bevisskiss. Antag först att h 2 M2W [0; T ] och välj trapprocesser gn 2
M2W [0; T ] ; n 2 N; så att
limn!1
E
�Z T
0
(gn(t)� h(t))2dt�= 0:
Processen Z t
0
gn(�)dW (�); t 2 [0; T ]
har för varje �xt n kontinuerliga trajektorier och är en Wienermartigal. Detföljer nu som i beviset för korollarium 1 i kapitel 9 att en lämplig version avprocessen Z t
0
h(�)dW (�); t 2 [0; T ]
har kontinuerliga trajektorier n.s.Allmänna fallet är tekniskt något värre och vi hänvisar läsaren till [FR]
för ett bevis.
Fr o m nu antager vi att alla processer av typenZ t
0
h(�)dW (�); t 2 [0; T ]
där h 2 L2W [0; T ] är givna i en version med kontinuerliga trajektorier n.s.Om h 2 L2W [0; T ] de�nierasZ t2
t1
h(t)dW (t) =
Z t2
0
h(t)dW (t)�Z t1
0
h(t)dW (t); 0 � t1 � t2 � T:
Antag att a 2 L1W [0; T ] och b 2 L2W [0; T ] : Om en stokastisk process(X(t)) t2[0;T ] uppfyller
X(t2)�X(t1) =Z t2
t1
a(t)dt+
Z t2
t1
b(t)dW (t); 0 � t1 � t2 � T
skriver vidX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t)
166
och dX(t) kallas för en stokastisk di¤erential. Om dessutom c 2 L1W [0; T ]de�nieras
c(t)dX(t) = c(t)a(t)dt+ c(t)b(t)dW (t):
Exempelvis ger formelnZ t
0
W (�)dW (�) =1
2W 2(t)� 1
2t
attd(W 2(t)) = 2W (t)dW (t) + dt
Vi har också den mindre överraskande formeln
d(tW (t)) = W (t)dt+ tdW (t)
som följer av nästa sats.
Sats 6. Antag f : [0; T ]! R är kontinuerligt deriverbar. Då gäller attZ T
0
f(t)dW (t) = f(T )W (T )�Z T
0
f 0(t)W (t)dt:
Speciellt följer att
d(f(t)W (t)) = f 0(t)W (t)dt+ f(t)dW (t):
Bevis. Låt0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T
så att
n�1Xk=0
f(tk)(W (tk+1)�W (tk)) = f(T )W (T )�n�1Xk=0
W (tk+1)(f(tk+1)� f(tk)):
Vi skriver nu för varje �xt k 2 f0; :::; n� 1g
f(tk+1)� f(tk) = (f 0(tk+1) + "k)(tk+1 � tk)
därmax
k2f0;:::;n�1gj "k j! 0
167
då indelningens �nhet går mot noll och får
n�1Xk=0
f(tk)(W (tk+1)�W (tk)) =
f(T )W (T )�n�1Xk=0
W (tk+1)(f0(tk+1) + "k)(tk+1 � tk) =
f(T )W (T )�n�1Xk=0
W (tk+1)f0(tk+1)(tk+1 � tk) +
n�1Xk=0
"kW (tk+1)(tk+1 � tk):
Här gäller att
n�1Xk=0
W (tk+1)f0(tk+1)(tk+1 � tk)!
Z T
0
W (t)f 0(t)dt
då indelningens �nhet går mot noll. Vidare gäller att
jn�1Xk=0
"kW (tk+1)(tk+1 � tk) j� T maxk2f0;:::;n�1g
j "k j maxt2[0;T ]
j W (t) j
där uttrycket i högra ledet konvergerar mot noll då indelningens �nhet gårmot noll, vilket avslutar beviset för satsen.
Vi skall nu behandla en ganska allmän produktregel för di¤erentialer inomstokastisk kalkyl. Antag ak 2 L1W [0; T ] och bk 2 L2W [0; T ] ; k = 1; 2, och låt
dXk(t) = ak(t)dt+ bk(t)dW (t); k = 1; 2:
Vi påstår att följande produktformel gäller, nämligen
d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) + b1(t)b2(t)dt
dvs att det för �xa t1; t2 2 [0; T ] som uppfyller t1 � t2 gäller att
X1(t2)X2(t2)�X1(t1)X2(t1) =
168 Z t2
t1
X1(t)a2(t)dt+
Z t2
t1
X1(t)b2(t)dW (t)+Z t2
t1
X2(t)a1(t)dt+
Z t2
t1
X2(t)b1(t)dW (t) +
Z t2
t1
b1(t)b2(t)dt:
Om a1; a2; b1 och b2 är konstanta i intervallet [t1; t2] följer denna formel aven direkt kalkyl. Genom addition över olika intervall följer att formeln ovanär sann då ak 2 L1W [0; T ] och bk 2 L2W [0; T ] ; k = 1; 2, är trapprocesser. Detallmänna fallet följer nu genom approximation (för detaljer se [FR]).Antag nu att a 2 L1W [0; T ] , b 2 L2W [0; T ] och låt
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t):
Vi påstår att
dXn(t) = nXn�1(t)dX(t) +n(n� 1)
2Xn�2(t)b2(t)dt; n = 2; 3; ::: :
Fallet n = 2 är redan klart. Antag nu att formeln är sann för ett �xt n � 2:Vi får då att
dXn+1(t) = d(X(t)Xn(t)) =
X(t)dXn(t) +Xn(t)dX(t) + nXn�1(t)b2(t)dt =
nXn(t)dX(t) +n(n� 1)
2Xn�1(t)b2(t)dt+
Xn(t)dX(t) + nXn�1(t)b2(t)dt =
= (n+ 1)Xn(t)dX(t) +(n+ 1)n
2Xn�1(t)b2(t)dt
och formeln ovan följer med hjälp av induktion. Om q är ett polynom av enreell variabel drar vi därför slutsatsen att
dq(X(t)) = q0(X(t))dX(t) +1
2q00(X(t))b2(t)dt:
Vi de�nierar nu(dX(t))2 = b2(t)dt:
Notera speciellt att(dt)2 = 0dt = 0
169
och(dW (t))2 = dt:
Eftersom rent formellt
(dX(t))2 = (a(t)dt+ b(t)dW (t))2 =
a2(t)(dt)2 + a(t)b(t)dtdW (t) + a(t)b(t)dW (t)dt+ b2(t)(dW (t))2
är det naturligt att också de�niera
dtdW (t) = dW (t)dt = 0:
Med dessa konventioner följer att
dq(X(t)) = q0(X(t))dX(t) +1
2q00(X(t))(dX(t))2:
Om f är kontinuerligt deriverbar ger vidare produktregeln för stokastiskadi¤erentialer att
d(f(t)q(X(t))) = f 0(t)q(X(t))dt+ f(t)dq(X(t)) =
f 0(t)q(X(t))dt+ f(t)q0(X(t))dX(t) +1
2f(t)q00(X(t))(dX(t))2:
Vi inför nu u(t; x) = f(t)q(x) och får
du(t;X(t)) = u0t(t;X(t))dt+ u0x(t;X(t))dX(t) +1
2u00xx(t;X(t))(dX(t))
2:
Genom superposition inses först att detta resultat gäller om u(t; x) är ettpolynom av två reella variabler och därefter genom approximation att dennaformel också gäller om u(t; x) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2 [0; T ]och två gånger kontinuerligt deriverbar i x 2 R2: Detta viktiga resultat gårunder namnet Itôs lemma.
Sats 7. (Itôs lemma) Antag a 2 L1W [0; T ] , b 2 L2W [0; T ] och låt
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t):
Antag också att funktionen u(t; x) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2[0; T ] och två gånger kontinuerligt deriverbar i x 2 R2: Då gäller
du(t;X(t)) = u0t(t;X(t))dt+ u0x(t;X(t))dX(t) +1
2u00xx(t;X(t))(dX(t))
2:
170
Korollarium 1. Ett aktiepris S(t); t � 0, beskriver en geometrisk Brownskrörelse med exponentiell drift. Aktiens volatilitet är lika med � > 0 och
E [S(t)] = S(0)e�t; t � 0:
Under dessa förutsättningar är
dS(t)
S(t)= �dt+ �dW (t):
Speciellt gäller att den Brownska exponentialmartingalen
M�(t) = e��2
2t+�W (t); t � 0
uppfyller ekvationendM�(t) = �M�(t)dW (t):
Här de�nierasdS(t)
S(t)=
1
S(t)dS(t):
Bevis. SkrivS(t) = S(0)eX(t)
där
X(t) = (�� �2
2)t+ �W (t):
Itôs lemma ger nu att
dS(t) = S(t)dX(t) +1
2S(t)(dX(t))2 =
S(t)
�(�� �2
2)dt+ �dW (t) +
�2
2dt
�= S(t)(�dt+ �dW (t))
och korollarium 1 är fullständigt bevisat.
171
I Black-Scholes modell uppfyller alltså aktiepriset den stokastiska di¤er-entialekvationen
dS(t) = �S(t)dt+ �S(t)dW (t):
Stokastiska di¤erentialekvationer förekom tidigt inom fysik. Langevinsklassiska stokastiska di¤erentialekvationbeskriver hastigheten för en liten par-tikel med massan m i en vätska som dels påverkas av en friktionskraft enligtStokes lag dels påverkas av de omgivande molekylernas stötkrafter (se t ex[NEL]). Första komponenten V (t) av hastighetsvektorn uppfyller ekvatio-nen
mdV (t) = ��V (t)dt+ �dW (t):
där � > 0 och � > 0 är parametrar. Ekvationen kan skrivas
dV (t) +�
mV (t)dt =
�
mdW (t)
dvsd(e
�mtV (t)) =
�
me�mtdW (t)
och integration ger
V (t) = e��mtV (0) +
�
m
Z t
0
e��m(t��)dW (�):
Om V (0) = v är känt och a är stort visar en kalkyl att
E [V (s+ a)V (t+ a)] � �2
2�me�
�mjs�tj:
Efter en lämplig skaländring av tid och rum får vi alltså i gränsen då a!1en stationär normaliserad Ornstein-Uhlenbeckprocess.Vi skall nu diskutera representation av stokastiska variabler genom stokastisk
integration. Fixera därför först t 2 [0; T ] och låt Gt vara den �-algebra avdelmängder av som generas av �(W (�); � � t) och alla P -nollmängder.Låt därefter PR vara den minsta �-algebra av delmängder av [0; T ]� somgeneras av mängderna [t; u[�A där A 2 Gt och 0 � t < u � T: En reellvärdstokastisk process h = (h(t))0�t�T sägs vara PR-mätbar om avbildningen
(t; !)! h(t; !); (t; !) 2 [0; T ]�
172
är PR-mätbar. I detta fall är avbildningen
(t; !)! h(t; !); (t; !) 2 [0; T0]�
(B [0; T0]� FT0)-mätbar för varje �xt T0 2 [0; T ] . Alltså gäller att
L2([0; T ]� ;PR;m[0;T ] � P ) �M2W [0; T ] :
Eftersom ZZ[0;T ]�
h(t; !)2dtdP = E
�(
Z T
0
h(t)dW (t))2�
för varje h 2 L2([0; T ]� ;PR; m[0;T ] � P ) så följer att�Z T
0
h(t)dW (t); h 2 L2([0; T ]� ;PR;m[0;T ] � P )�
är ett slutet delrum av L2(;GT ; P ):
Sats 8. (Itôs representationssats) Låt X 2 L2(;GT ; P ). Det �nns
h 2 L2([0; T ]� ;PR;m[0;T ] � P )
så att
X = E [X] +
Z T
0
h(t)dW (t):
Bevis. Antag f 2 L2(m[0;T ]) och låt
Mf (t) = eR t0 f(�)dW (�)� 1
2
R t0 f
2(�)d�; t 2 [0; T ] :
Itôs lemma ger attdMf (t) = f(t)Mf (t)dW (t)
så att
Mf (T ) = 1 +
Z T
0
f(t)Mf (t)dW (t):
173
Det gäller också att
fMf 2 L2([0; T ]� ;PR;m[0;T ] � P ):
Låt nuL0 =
�Y ; Y 2 L2(;GT ; P ) och E [Y ] = 0
och sätt
F =
�Z; Z =
Z T
0
g(t)dW (t) där g 2 L2([0; T ]� ;PR;m[0;T ] � P )�:
Observera attF � L0:
Här är L0 är slutet delrum av L2(;GT ; P ) och vi visade före formuleringenav sats 8 att även F är slutet delrum av L2(;GT ; P ). Vi skall nu visa att
F = L0:
Antag därför att Y 2 L0 är ortogonal mot F: Om vi kan visa att Y = 0så följer att F = L0: Vi vet att Y är ortogonal mot Mf (T ) för varje f 2L2(m[0;T ]) och vi skall nu välja f på lämpligt sätt för att komma fram tillatt Y = 0. Låt därför 0 = t0 < t1 < ::: < tn = T och �1; �2; :::�n 2 R ochde�niera
f(t) = �k; t 2 [tk�1; tk[ ; k = 1; :::; n:Vi får
Mf (T ) = e�1W (t1)+�2(W (t2)�W (t1))+:::+�n(W (tn)�W (tn�1))+a
där
a = �12
Z T
0
f 2(�)d�
är en konstant. Alltså gäller att
E�Y e�1W (t1)+�2(W (t2)�W (t1))+:::+�n(W (tn)�W (tn�1))
�= 0:
Vi de�nierar nuY+ = max(0; Y )
ochY� = max(0;�Y ):
174
och fårE�Y+e
�1W (t1)+�2(W (t2)�W (t1))+:::+�n(W (tn)�W (tn�1))�=
E�Y�e
�1W (t1)+�2(W (t2)�W (t1))+:::+�n(W (tn)�W (tn�1))�:
Härav följer också att
E�Y+e
s(�1W (t1)+�2(W (t2)�W (t1))+:::+�n(W (tn)�W (tn�1)))�=
E�Y�e
s(�1W (t1)+�2(W (t2)�W (t1))+:::+�n(W (tn)�W (tn�1)))�
för alla reella s och därmed, enligt teorin för analytiska funktioner, för allakomplexa s: Speciellt är
E�Y+e
i(�1W (t1)+�2(W (t2)�W (t1))+:::+�n(W (tn)�W (tn�1)))�=
E�Y�e
i(�1W (t1)+�2(W (t2)�W (t1))+:::+�n(W (tn)�W (tn�1)))�:
och med hjälp av inversionssatsen i kapitel 6 kan man nu visa att måttenY�P och Y+P lika: Alltså är Y = 0 och satsen är därmed visad.
Övningar
1. Antag a 2 R och
X(t) =
Z t
0
e�a2(t��)dW (�); t � 0:
Bestäm processens kovarians.
2. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen�dX(t) = dt+ tdW (t)X(0) = 0:
Visa att lösningen (X(t))t�0 är en Gaussprocess och bestäm dess ko-varians.
175
3. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen�dX(t) =W (t)dt+ tdW (t)X(0) = 0:
Visa att lösningen (X(t))t�0 är en centrerad Gaussprocess och bestämdess kovarians.
4. Antag x 2 R och låt (Xx(t))t�0 beteckna lösningen till ekvationen�dX(t) = �1
2X(t)dt+ dW (t)
X(0) = x; t � 0:
a) Bestäm kovariansen för processen (Xx(t))t�0. b) Antag G 2 N(0; 1)och antag dessutom att G och (Xx(t))t�0 är stokastiskt oberoende. SättY (t) = XG(t); t � 0: Bestäm kovariansen för processen (Y (t))t�0.
5. Antag a 2 L1W [0; T ] , b 2 L2W [0; T ] och låt
a(t)dt+ b(t)dW (t) = 0
dvs Z t
0
a(�)d�+
Z t
0
b(�)dW (�) = 0; 0 � t � T:
Visa att a = 0 och b = 0:
6. Beräkna
E
"�Z T
0
h(t)dW (t)
�2#då
h(t) =
Z t
0
e��dW (�); 0 � t � T:
7. Beräkna E [X2] då
X =
Z T
0
(
Z t
0
sin(�+ t)dW (�))dW (t):
176
8. Antag G 2 N(0; 1) och sättHn(x; y) = E [(x+ i
pyG)n] ; n 2 N
för godtyckliga x 2 R och y � 0: Visa att H0(x; y) = 1; H1(x; y) = x;H2(x; y) = x2� y; H3(x; y) = x3� 3xy och H4(x; y) = x4� 6x2y+3y2:Visa också att
@
@xHn(x; y) = nHn�1(x; y); n = 1; 2; :::
@
@yHn(x; y) +
1
2
@2
@x2Hn(x; y) = 0; n = 2; 3; :::
och
e�x�12�2y =
1Xn=0
�n
n!Hn(x; y); � 2 R:
9. Visa att
M�(t) =1Xn=0
�n
n!Hn(W (t); t); � > 0:
10. Visa med hjälp av Itôs lemma att
Hn(W (t); t) = n
Z t
0
Hn�1(W (s); s)dW (s); n = 1; 2; ::: :
11. Antag �dX(t) = adt+ �dW (t)X (0) = x
där a; x 2 R och � > 0: Antag också att
@u
@t=�2
2
@2u
@x2+ a
@u
@x� cu
där c � 0 är en kontinuerlig funktion de�nierad på R: Beräkna underförutsättning att u är tillräckligt reguljär di¤erentialen
d(e�R t0 c(X(�))d�u(T � t;X(t))):
Visa också under samma förutsättningar att Feynman-Kac formel gällerdvs
u(T; x) = Ehu(0; X(T ))e�
R T0 c(X(�))d�
i:
12. Antag s > 0 r en positiv konstant: Lös ekvationen dS(t) = S(t)(�dt+�dW (t)); t � 0; då S(0) = s:
177
12. Själv�nansierande portföljstrategier
Vi betraktar i detta kapitel en aktie som beskriver en geometrisk Brownskrörelse med exponentiell drift och visar att aktien tillsammans med en obliga-tion med konstant värdetillväxt inte kan ge upphov till arbitrage. Vi de�nierarockså begreppet själv�nansierande portföljstrategi i aktien och obligationen.Detta leder bl a till en alternativ de�nition av det teoretiska värdet för ettbetingat kontrakt av europeisk typ jämfört med utvecklingarna i kapitel 7och 10. Avslutningsvis behandlar vi mer ytligt en allmännare situation dåaktien tillåts ge kontinuerlig utdelning.Låt (C;B; �) vara Wienerrummet svarande mot endimensionell Brownsk
rörelse i intervallet [0; T ] och låt B� beteckna �-kompletteringen av �-algebranB: Utvidgningen av måttet � till �-algebran B� betecknas återigen med �:Vi antar att det underliggande sannolikhetsrummet (;F ; P ) är lika med(C;B�; �) och att [Wt(x)] = x(t); 0 � t � T: Vi låter Ft vara den minsta�-algebran av delmängder av som innehåller �-algebran �(W�; � � t) ochalla P -nollmängder. Speciellt gäller alltså att FT = F : Som i tidigare avsnittskriver vi ibland W (t) istället för Wt:Låt S(t) vara ett aktiepris som ges av ekvationen
S(t) = S(0)e(���2
2)t+�W (t)
för 0 � t � T . Här förutsätts att S(0) är en positiv konstant. Notera att
dS(t) = S(t)(�dt+ �dW (t)):
Vi betraktar också en obligation vars pris B(t) vid tiden t är lika med B(0)ert;där B(0) och r är positiva konstanter. Liksom i tidigare kapitel användsibland beteckningen � = T � t om 0 � t � T: Martingalmåttet Q i tidsinter-vallet [0; T ] svarande mot aktien och obligationen är lika med �a där
a(t) =r � ��
t; t 2 [0; T ]
(se kapitel 10). Processen
W at = W a(t) =W (t)� a(t); t 2 [0; T ]
178
är en normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet [0; T ] med avseende påsannolikhetsrummet (;F ; Q) och det följer att
dW (t) =r � ��
dt+ dW a(t):
Alltså måstedS(t) = S(t)(rdt+ �dW a(t))
och vi får attd(e�rtS(t)) = �e�rtS(t)dW a(t)
eller
e�rtS(t) = S(0) +
Z t
0
�e�r�S(�)dW a(�):
En liknande representation gäller för värdet av betingade kontrakt som viskall se nedan.Vi diskuterar först ett enkelt kontrakt. Betrakta därför ett derivat av
europeisk typ som utbetalar beloppet f(S(T )) slutdagen T där f 2 P : Vipostulerade i kapitel 7 att derivatets värde v(t) = v(t; S(t)) vid tiden t upp-fyller Black-Scholes di¤erentialekvation
v0t(t; s) +�2
2s2v00ss(t; s) + rsv0s(t; s)� rv(t; s) = 0; t < T; s > 0:
Slutvillkoretv(T; s) = f(s)
gav sedanv(t; s) = e�r�E [f(ser�M�(�))] :
Itôs lemma ger nu för t < T att
d(e�rtv(t; S(t))) =
e�rt(v0t(t; S(t))dt+v0s(t; S(t))dS(t)+
1
2v00ss(t; S(t))(dS(t))
2)�re�rtv(t; S(t))dt =
e�rt(v0t(t; S(t)) +�2
2S(t)2v00ss(t; S(t)) + v
0s(t; S(t))S(t)r � rv(t; S(t)))dt+
�e�rtv0s(t; S(t))S(t)dWa(t) = �e�rtv0s(t; S(t))S(t)dW
a(t)
179
eftersom funktionen v(t; s) uppfyller Black-Scholes di¤erentialekvation. Detgäller alltså att
e�rtv(t; S(t)) = v(0; S(0)) +
Z t
0
�e�r�v0s(�; S(�))S(�)dWa(�)
Vi påstår nu att processen
(�e�rtv0s(t; S(t))S(t))0�t�T 2M2Wa [0; T ] :
Av
v(t; s) = e�r�Z 1
�1f(se(r�
�2
2)�+�
p�x)e�
12x2 dxp
2�=
e�r�Z 1
�1f(e(r�
�2
2)�+�
p�x)e
� 12(x� ln s
�p�)2 dxp
2�
följer först att
v0s(t; s) = e�r�1
�p�s
Z 1
�1(x� ln s
�p�)f(e(r�
�2
2)�+�
p�x)e
� 12(x� ln s
�p�)2 dxp
2�=
e�r�1
�sp�
Z 1
�1xf(se(r�
�2
2)�+�
p�x)e�
12x2 dxp
2�:
De�nitionen av klassen P ger nu lätt att
EQ�Z T0
0
(v0s(t; S(t))S(t))2dt
�<1
varför varje �xt positivt T0 < T: Eftersom
e�rT0v(T0; S(T0)) = v(0; S(0)) +
Z T0
0
�e�r�v0s(�; S(�))S(�)dWa(�)
följer attEQ�(e�rT0v(T0; S(T0)))
2�=
v(0; S(0))2 +
Z T0
0
EQ�(�e�r�v0s(�; S(�))S(�))
2�d�:
Vidare gäller att
e�rT0v(T0; S(T0)) = EQ�e�rTf(S(T )) j FT0
�
180
så Jensens olikhet för betingat väntevärde ger
(e�rT0v(T0; S(T0)))2 � EQ
�(e�rTf(S(T )))2 j FT0
�och vi får att
EQ�(e�rT0v(T0; S(T0)))
2�� EQ
�(e�rTf(S(T )))2
�Härav följer att
EQ�(e�rTf(S(T )))2
��
v(0; S(0))2 +
Z T0
0
E�(�e�r�v0s(�; S(�))S(�))
2�d�:
och därmed gäller att
EQ�Z T
0
(v0s(t; S(t))S(t))2dt
�<1:
Vi har alltså visat representationen
e�rtv(t; S(t)) = v(0; S(0)) +
Z t
0
�e�r�hS(t)S(�)dWa(�)
där processen
hs(t) =
�v0s(t; S(t)); 0 � t < T0; t = T
tillhör klassenM2Wa [0; T ] :Med denna bakgrund övergår vi nu till att diskutera
så kallade själv�nansierande portföljstrategier.En portföljstrategi bestående av hS(t) aktier och hB(t) obligationer vid
tiden t säges vara själv�nansierande om portföljvärdet
v(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
vid tiden t 2 [0; T ] uppfyller ekvationen
dv(t) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)
i intervallet 0 � t � T där hSS 2 M2Wa [0; T ] och att hB 2 L1W [0; T ] =
L1Wa [0; T ]. De senare villkoren innebär utöver mätbarhetskrav att
EQ�Z T
0
(hS(t)S(t))2dt
�<1
181
och Z T
0
j hB(t) j dt <1 n.s:
Av de�nitionen följer att den diskonterade värdeprocessen (e�rtv(t))0�t�Tär en Q-martingal. Vi har nämligen att
d(e�rtv(t)) = �re�rtv(t)dt+ e�rtdv(t) =
�re�rt(hS(t)S(t) + hB(t)B(t))dt+ e�rt(hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)) =
hS(t)(�re�rtS(t)dt+ e�rtdS(t)) = hS(t)d(e�rtS(t)):
Vi utnyttjar nu att
d(e�rtS(t)) = �e�rtS(t)dW a(t)
och det följer att
d(e�rtv(t)) = �e�rthS(t)S(t)dWa(t):
Den diskonterade värdeprocessen (e�rtv(t))0�t�T är därför en Q-martingaleftersom hSS 2M2
Wa [0; T ] :För att motivera begreppet själv�nansierande portföljstrategi väljer vi en
indelning0 = t0 < t1 < ::: < tn = T
av intervallet [0; T ] och antar, utöver villkoren ovan, att hS och hB är trap-processer av följande typ:
hS(t) = hS(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1
ochhB(t) = hB(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1:
Notera att värdeprocessen v(t); t 2 [0; T ] ; är kontinuerlig n.s. [Q] ellerekvivalent n.s. [P ] : Vi �xerar nu k 2 f0; :::; n� 2g : Av ekvationerna
v(tk+1�) = v(tk) + hS(tk)(S(tk+1)� S(tk)) + hB(tk)(B(tk+1)�B(tk))
ochv(tj) = hS(tj)S(tj) + hB(tj)B(tj); j = k; k + 1
182
drar vi slutsatsen att
hS(tk)S(tk+1) + hB(tk)B(tk+1) =
hS(tk+1)S(tk+1) + hB(tk+1)B(tk+1)
dvs omplacering från hS(tk) aktier och hB(tk) obligationer till hS(tk+1) aktieroch hB(tk+1) obligationer vid tiden tk+1 kräver inte något extra kapitaltill-skott men frigör heller inte kapital. Strategin kräver alltså endast en initialinvestering.Antag nu vi har en själv�nansierande portföljstrategi i aktien och oblig-
ationen med värdeprocessen
v(t); t 2 [0; T ] :
Strategin säges vara arbitragefri om det ej kan inträ¤a att v(0) = 0 samtidigtsom P [v(T ) � 0] = 1 och P [v(T ) > 0] > 0:
Sats 1. Varje själ�nansierande portföljstrategi i aktien och obligationen ärarbitragefri.
Bevis. Vi låter hS(t), hB(t) och v(t) ha samma mening som ovan i de�nitio-nen av begreppet själv�nansierande portföljstrategi i aktien och obligationenoch de�nierar
X(t) =v(t)
B(t)
så attd(B(t)X(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t) =
hS(t)dS(t) +B(t)X(t)� hS(t)S(t)
B(t)dB(t):
Vi de�nierar också
g(t) = �hS(t)S(t)
B(t)
och får
hS(t)dS(t) =g(t)B(t)
�(rdt+ �dW a(t)) =
183
g(t)
�dB(t) + g(t)B(t)dW a(t):
Härav följer att
d(B(t)X(t)) = hS(t)dS(t) +B(t)X(t)� hS(t)S(t)
B(t)dB(t) =
g(t)B(t)dW a(t) +X(t)dB(t)
och vi drar slutsatsen att
dX(t) = g(t)dW a(t):
Eftersom g 2M2Wa [0; T ] ger ekvationen
X(T ) = X(0) +
Z T
0
g(t)dW a(t)
attX(0) = EQ [X(T )] :
OmX(0) = v(0)=B(0) = 0 så kan det därför ej gälla att v(T ) = B(T )X(T ) �0 n.s. [Q] och Q [v(T ) > 0] > 0. Eftersom måtten P och Q är ekvivalentakan det därför ej heller gälla att v(T ) � 0 n.s. [P ] och P [v(T ) > 0] > 0,vilket bevisar satsen.
Antag nu att vi (oberoende av utvecklingarna i kapitel 7 och 10) villvärdera ett derivat av europeisk typ som utbetalar beloppet X 2 L2(;F ; Q)vid tiden T : Notera att vi tillåter att X eventuellt antar negativa värden.Låt oss först antaga att det �nns en själv�nansierande portföljstrategi i ak-tien och obligationen sådan att portföljens värde vid tiden T är lika med X(sats 2 nedan visar att en sådan strategi existerar). Vi betraktar alltså enportfölj bestående av hS(t) aktier och hB(t) obligationer vid tiden t så attdess värdeprocess
v(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
uppfyllerdv(t) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)
i intervallet 0 � t � T och har slutvärdet
v(T ) = X:
184
Här förutsätts villkoren hSS 2 M2Wa [0; T ] och hB 2 L1W [0; T ] = L1Wa [0; T ]
gälla (man talar ibland om en hedge mot X om alla dessa förutsättningar äruppfyllda). Om en annan själv�nansierande strategi i aktien och obligationenhar värdet X vid tiden T så har portföljernas skillnad värdet noll vid tidenT: Beroende på sats 1 har därför portföljernas skillnad värdet noll vid tiden0. Vi de�nierar nu derivatets teoretiska pris vid tiden 0 lika med v(0): Medsamma typ av motivering kan vi nu de�niera derivatets teoretiska pris vidtiden t lika med v(t):Den prisde�nition vi här ger för derivat av europeisk typ leder till samma
teoretiska värden som i kapitel 7 och 10: Vi tror det kan vara belysande attförst bevisa detta påstående för ett enkelt derivat beroende på sambandetmed di¤erentialekvationer. Betrakta därför ett derivat av europeisk typ somutbetalar värdet f(S(T )) slutdagen T där f 2 P : Vi postulerade i kapitel7 att derivatets värde v(t) = v(t; S(t)) vid tiden t uppfyller Black-Scholesdi¤erentialekvation
v0t(t; s) +�2
2s2v00ss(t; s) + rsv0s(t; s)� rv(t; s) = 0:
Slutvillkoretv(T; s) = f(s)
gav sedanv(t; s) = e�r�E [f(ser�M�(�))] :
Vi de�nierar nu v(t; s) genom denna formel och skall visa att v(t; S(t))ger derivatets värde vid tiden t enligt de�nitionen i detta kapitel. Observeraförst att v(t; s) löser Black-Scholes ekvation och de�niera
hB(t) =1
B(t)(v(t; S(t))� v0s(t; S(t))S(t))
ochhS(t) =
1
S(t)(v(t; S(t))� hB(t)B(t)) = v0s(t; S(t)):
Itôs lemma ger
dv(t; S(t)) = v0t(t; S(t))dt+ v0s(t; S(t))dS(t) +1
2v00ss(t; S(t))(dS(t))
2 =
(v0t(t; S(t)) +�2
2S(t)2v00ss(t; S(t)))dt+ v0s(t; S(t))dS(t) =
185
hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t):
Det återstår således endast att visa att hSS 2M2Wa [0; T ] och hB 2 L1W [0; T ] :
Vi visade emellertid ovan att hSS 2 M2Wa [0; T ] och det följer därefter från
de�nitionerna och Cauchy-Schwarz olikhet att hB 2 L1W [0; T ] :Innan vi lämnar vårt enkla derivat vill vi peka på en intressant invarians
som lätt kommer fram från ovanstående. Antag som tidigare att f 2 P samtdessutom att f � 0 och P [f(S(T )) > 0] > 0. För t < T gäller att v(t; s) > 0och vi får att
dv(t; S(t))
v(t; S(t))= �f (t; S(t))dt+ �f (t; S(t))dW (t)
där�f (t; S(t)) =
1
v(t; S(t))(v0t(t; S(t)) +
�2
2S(t)2v00ss(t; S(t)) + �S(t)v
0s(t; S(t)))
och
�f (t; S(t)) =�S(t)v0s(t; S(t))
v(t; S(t)):
Om vi också antar att och v0s(t; s) 6= 0 för alla t < T och s > 0 så följer att
�f (t; S(t))� r�f (t; S(t))
=
v0t(t; S(t)) +�2
2S(t)2v00ss(t; S(t)) + �S(t)v
0s(t; S(t))� rv(t; S(t))
�S(t)v0s(t; S(t)):
Eftersom funktionen v(t; s) uppfyller Black-Scholes di¤erentialekvation ärdenna kvot oberoende av f dvs
�f (t; S(t))� r�f (t; S(t))
=�� r�
:
Sats 2. Antag X 2 L2(;FT ; Q). Det �nns en själv�nansierande portföljs-trategi i aktien och obligationen sådan att portföljens värde vid tiden T är
186
lika med X: Värdet för ett europeiskt derivat i aktien som utbetalar värdetX slutdagen T är vid tiden t lika med
e�r�EQ [X j Ft] :
Eftersom det �nns en själv�nansierande strategi i aktien och obligatio-nen som har portföljvärdet X vid tiden T för varje X 2 L2(;FT ; Q) sägsvår modell vara komplett. Notera också att prisformeln i sats 3 är exaktdensamma som den vi kom fram till i kapitel 10 för motsvarande derivat.
Bevis. I beviset kan det utan inskränkning antagas att B(T ) = 1: Viutnyttjar först Itos representationssats och skriver
X = EQ [X] +
Z T
0
g(�)dW a(�)
där g 2M2Wa [0; T ] : Sätt därefter
X(t) = EQ [X j Ft] ; t 2 [0; T ]
så att
X(t) = X(0) +
Z t
0
g(�)dW a(�):
Vi får härav att
d(B(t)X(t)) = B(t)dX(t) +X(t)dB(t) =
B(t)g(t)dW a(t) +X(t)dB(t) = B(t)g(t)
�(dS(t)
S(t)� rdt) +X(t)dB(t) =
g(t)B(t)
�S(t)dS(t) + (X(t)� g(t)
�)dB(t):
Sätt nu
hS(t) =g(t)B(t)
�S(t)
och
hB(t) = X(t)� g(t)
�:
187
Man ser lätt atthSS 2M2
Wa [0; T ]
ochhB 2 L1W [0; T ] :
Det gäller vidare att
B(t)X(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
ochd(B(t)X(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t):
Derivatets värde vid tiden t är därför lika med
B(t)X(t) = e�r�EQ [X j Ft] :
Den metod vi nu har för att bestämma optionsvärden är också lämpligom vi har utdelning i aktien. Återigen diskuterar vi först enkla europeiskakontrakt beroende på sambandet med di¤erentialekvationer. Betrakta därförett derivat av europeisk typ med slutdagen T som utbetalar värdet f(S(T ))vid tiden T där f 2 P : Aktien utdelar kontinuerligt �(t)S(t)dt i varje tidsin-tervall [t; t+ dt] där �(t) är en icke-negativ deterministisk funktion av tident. Vi antager också att � är en styckvis konstant funktion i intervallet [0; T ].Beroende på den ganska allmänna utdelningsprocessen i aktien antar vi dennagång att aktiepriset uppfyller ekvationen
S(t) = S(0)eR t0 �(�)d��
�2
2t+�W (t); 0 � t � T
för ett lämplig styckvis konstant funktion � i intervallet [0; T ] : Observeraatt Itôs lemma ger
dS(t) = S(t)(�(t)dt+ �dW (t)); 0 � t � T:
För att värdera optionen betraktar vi en portfölj bestående av hS(t) aktieroch hB(t) obligationer vid tiden t och ansätter ekvationerna
v(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
ochdv(t; S(t)) = hS(t)(dS(t) + �(t)S(t)dt) + hB(t)dB(t):
188
Itôs lemma ger (om v(t; s) är tillräckligt reguljär) att
dv(t; S(t)) = v0t(t; S(t))dt+ v0s(t; S(t))dS(t) +1
2v00ss(t; S(t))(dS(t))
2 =
(v0t(t; S(t)) +�2
2S(t)2v00ss(t; S(t)))dt+ v0s(t; S(t))dS(t):
Vi de�nierar därförhS(t) = v0s(t; S(t))
och
hB(t) =1
B(t)(v(t; S(t))� v0s(t; S(t))S(t))er�
och får
v0t(t; S(t)) +�2
2S(t)2v00ss(t; S(t)) =
�(t)S(t)v0s(t; S(t)) + r(v(t; S(t))� S(t)v0s(t; S(t)):
Denna ekvation är uppfylld om
v0t(t; s) +�2
2s2v00ss(t; s) + (r � �(t))sv0s(t; s)� rv(t; s) = 0:
Vi skall också tänka på slutvillkoret
v(T; s) = f(s):
För att lösa detta slutproblem inför vi processen
W at = W a(t) =W (t)� a(t); t 2 [0; T ]
där denna gång
a(t) =1
�(rt�
Z t
0
(�(�) + �(�))d�)
och de�nierarQ = �a:
Härav följer att
dS(t) = S(t)((r � �(t))dt+ �dW a(t)); t 2 [0; T ] :
189
Vidare är processen (W a(t))t2[0;T ] är en rellvärd normaliserad Wienerprocessi tidsintervallet [0; T ] med avseende på måttet Q och detta mått är enligtCameron-Martins sats ekvivalent med måttet P: Vi har också att
S(t) = S(0)eR t0 �(�)d��
�2
2t+�W (t) =
S(0)e(r��2
2)t�
R t0 �(�)d�+�W
a(t)
ProcessenX(t) = e�(rt�
R t0 �(�)d�)S(t); t 2 [0; T ]
är alltså en Q-martingal och måttet Q kallas för martingalmåttet svarandemot de aktuella värdepapperen i tidsintervallet [0; T ] : Itôs lemma ger att
d(e�rtv(t; S(t))) =
e�rt((v0t(t; S(t)) +�2
2S(t)2v00ss(t; S(t)))dt+ v0s(t; S(t))dS(t)� rv(t; S(t)dt) =
�e�rtS(t)v0s(t; S(t))dWa(t)
och integration leder till formeln
e�rTv(T; S(T )) = e�rtv(t; S(t)) +
Z T
t
�e�r�S(�)v0s(�; S(�))dWa(�):
Alltså ärEQ�e�rTv(T; S(T )) j Ft
�= e�rtv(t; S(t))
och vi får attv(t; S(t)) = e�r�EQ [f(S(T )) j Ft]
dvs den gamla vanliga formeln. En mer lättfattlig formel uppstår om vianvänder att
S(T ) = S(t)e(r��2
2)��
R Tt �(�)d�+�(Wa
T�Wat )
vilket gerv(t; s) = e�r�E
hf(ser��
R Tt �(�)d�M�(�))
i:
Antag t ex attt < t� < t� + h < T
och
�(t) =
�"; t� � t � t� + h0; annars
190
där " > 0: Detta ger
v(t; s) = e�r�E�f(ser�e�"hM�(�))
�:
Observera att den allra sista delen av sats 1 i kapitel 8 erhålls från dettaresultat som ett gränsfall genom att välja
e�"h = 1� �
och därefter låta h! 0.Man kan ersätta ovanstående kalkyl som ledde fram till formeln
v(t; S(t)) = e�r�EQ [f(S(T )) j Ft]
med ett mer matematiskt resonemang precis som i fallet då aktien ej gerutdelning. Vi lämnar detta till övningarna.
Övningar
1. Betrakta Black-Scholes modell och låt X 2 L2(;FT ; Q): Antag ensjälv�nansierade portföljstrategi bestående av hS(t) aktier och hB(t)obligationer vid tiden t har värdeprocessen v(t) = hS(t)S(t)+hB(t)B(t)och uppfyller
dv(t) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)
i intervallet 0 � t � T: Antag också att slutvärdet v(T ) = X: Utredentydighet för hS och hB:
2. Antag vi har en obligation och en utdelande aktie som i slutet av dettakapitel.
a) De�niera begreppet själv�nansierande portföljstrategi i aktien ochobligationen.
b) De�niera begreppet arbitrage och visa att modellen saknar arbi-trage.
c) De�niera innebörden av att modellen är komplett. Är modellenkomplett enligt din de�nition?
191
d) De�niera det teoretiska priset för ett betingat kontrakt.
3. Antag K > 0: Berstäm �f (t; s) då
a) f(s) = max(0; s�K)b) f(s) = max(0; K � s):
192
193
13. Flera underliggande aktier
Finansiella derivat kan bero på �era underliggande aktier. Typiska exempelhärpå är aktieindexoptioner och aktieindexterminer där index bestäms frånen föreskriven grupp av aktier (se �basket options�i [MR]). Om indexvärdethär uppfattas som en endimensionell geometrisk Brownsk rörelse med expo-nentiell drift så vi är dock tillbaka till den situation vi redan behandlat [H].Det förekommer också optioner av icke-standardiserad form, som naturligtleder till �erdimenstionell stokastisk analys. Ett enkelt exempel härpå är op-tionen att få byta en given aktie mot en annan aktie ett �xt framtida datumom kontraktsinnehavaren så önskar [MAR]. Optionen på minimum av �eravärdepapperspriser har också ofta diskuterats i litteraturen (se t ex [BOY ]):I boken [J2] sammanställs �era intressanta artiklar om exotiska optioner.Låt W (t) = (W1(t); :::;Wn(t)); t � 0; vara en normaliserad Rn-värd
Wienerprocess dvs antag att processerna
Wk = (Wk(t))t�0; k = 1; :::; n
är stokastiskt oberoende normaliserade reellvärda Wienerprocesser. Vi upp-fattar W (t) som en kolonnmatris med n rader. Processen
W (t) = (W1(t); :::;Wn(t)); 0 � t � T
kallas för en n-dimensionell normaliseradWienerprocess i tidsintervallet [0; T ] :Om c = [c1:::cn] är en matris med reella element av typen 1�n blir processen
X(t) = cW (t) =
nXk=1
ckWk(t); t � 0:
en centrerad stokastisk process med kovariansen
E [X(s)X(t)] =nXk=1
c2kE [Wk(s)Wk(t)] =j c j2 min(s; t)
dvs processen (X(t))t�0 är en centrerad reellvärd Wienerprocess.Antag vi har m st aktier, numrerade från 1 till m, där den i:te aktien har
priset Si(t) vid tiden t. Vi inför nu vektorpriset
S(t) = (S1(t); ::; Sm(t))
194
vid tiden t. Den geometriska Brownska rörelsemodellen för dessa aktier in-nebär att log-vektorpriset
lnS(t) = (lnS1(t); ::; lnSm(t))
beskriver en Brownsk rörelse i Rm med linjär drift för t � 0 dvs det existeraren normaliserad Wienerprocess i W (t) = (W1(t); :::;Wn(t)); t � 0; i Rn såatt
Si(t) = e�it+�iciW (t); i = 1; :::;m
där �1;:::;�m 2 R; �1; :::; �m > 0 och där c�1; :::; c�m är enhetsvektorer i R
n: Idetta fall säger vi också att vektorpriset S(t); t � 0; beskriver en geometriskBrownsk rörelse i Rm med exponentiell drift. Vi antar nedan också attvektorerna c�1; :::; c
�m är linjärt oberoende. Detta antagande är ingen väsentlig
begränsning ty i motsatt fall �nns reella tal �i; i = 1; ::;m; ej alla noll så attfunktionen
mYi=1
S�ii (t); t � 0
är deterministisk, vilket är orimligt i realistiska fall. Vi skall i detta avsnittstudera �nansiella derivat i de m aktierna och behöver därför först studerastokastisk integration i �era variabler.Betrakta en normaliseradRn-värdWienerprocess iW (t) = (W1(t); :::;Wn(t));
i tidsintervallet [0; T ] med kontinuerliga trajektorier. Det underliggande san-nolikhetsrummet (;F ; P ) förutsätts vara komplett. Vi antar det är giveten familj av �-algebror Ft; t 2 [0; T ] ; av delmängder av sådan att
Ft1 � Ft2 � F ; t1 � t2
ochA 2 F0 om A 2 F och P (A) = 0:
Vi antar också att�(W (�); � � t) � Ft
där
Ft och �(W (�+ t)�W (t); T � � � 0) är stokastiskt oberoende
för alla 0 � t � T:
195
En reellvärd stokastisk process h = (h(t))0�t�T sägs vara progressivtmätbar om avbildningen
(t; !)! h(t; !); (t; !) 2 [0; T0]�
är (B [0; T0]� FT0)-mätbar för varje �xt T0 2 [0; T ] : En matris h = (hij)av reellvärda progressivt mätbara funktioner sägs tillhöra klassen LpW [0; T ](eller M2
W [0; T ]) om Z T
0
j hij(t) jp dt <1 n.s., alla i; j:
Råkar h 2 LpW [0; T ] vara begränsad n.s. säger vi att h tillhör klassenL1W [0; T ]. Vi uppfattar här h som 0 så snartZ T
0
j hij(t) j dt = 0 n.s., alla i; j:
Om p 2 [1;1[ är �xt låter viMpW [0; T ] beteckna klassen av alla h 2 L
pW [0; T ]
sådana att
E
�Z T
0
j hij(t) jp dt�<1; alla i; j:
Om en h = (hij) är en m � n-matris av funktioner tillhörande L2W [0; T ]de�nieras den stokastiska integralenZ T
0
h(t)dW (t) =
nXk=1
Z T
0
h1k(t)dWk(t); :::;
nXk=1
Z T
0
hmk(t)dWk(t)
!:
Vi förutsätter nedan att alla processer av typenZ t
0
h(�)dW (�); 0 � t � T
där h 2 L2W [0; T ] är givna i en version med kontinuerliga trajektorier n.s. Vide�nierar ocksåZ t2
t1
h(t)dW (t) =
Z t2
0
h(t)dW (t)�Z t1
0
h(t)dW (t); 0 � t1 � t2 � T:
196
Råkar h 2M2W [0; T ] följer att
E
�jZ t2
t1
h(t)dW (t) j2�=
mXi=1
E
24 nXk=1
Z t2
t1
hik(t)dWk(t)
!235 =mXi=1
nXk=1
E
�Z t2
t1
h2ik(t)dt
�= E
�Z t2
t1
j h(t) j2 dt�; 0 � t1 � t2 � T
där
j h(t) j2=mXi=1
nXk=1
h2ik(t):
Vi kan nu de�niera stokastiska di¤erentialer av vektorvärda processer.Antag att matriserna a 2 L1W [0; T ] och b 2 L2W [0; T ] är av typen m � 1respektive m� n: Om en stokastisk process (X(t)) t2[0;T ] uppfyller
X(t2)�X(t1) =Z t2
t1
a(t)dt+
Z t2
t1
b(t)dW (t); alla 0 � t1 � t2 � T
skriver vidX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t)
och dX(t) kallas för en stokastisk di¤erential. Mer precist kallas dX(t) fören stokastisk di¤erential av typen (m;n): Om dessutom c 2 L1W [0; T ] är avtypen 1�m de�nieras
c(t)dX(t) = c(t)a(t)dt+ c(t)b(t)dW (t):
Vi illustrerar först detta di¤erentialbegrepp genom att diskutera någraexempel. I vårt inledande exempel visar vi att
d(W1(t)W2(t)) = W1(t)dW2(t) +W2(t)dW1(t):
För att se detta införs den endimensionella normaliserade Wienerprocessen
X(t) =1p2(W1(t) +W2(t)); 0 � t � T:
Vi vet attdX2(t) = 2X(t)dX(t) + tdt:
197
Härav får vi att
d(W1(t)W2(t)) = d(X2(t)� 12W 21 (t)�
1
2W 22 (t)) =
2X(t)dX(t)�W1(t)dW1(t)�W2(t)dW2(t) =
W1(t)dW2(t) +W2(t)dW1(t):
Vi skall nu visa en allmän produktregel för stokastisk di¤erentiering. An-tag därför
dXi(t) = ai(t)dt+nXk=1
bik(t)dWk(t); i = 1; 2:
där ai 2 L1W [0; T ] och bik 2 L2W [0; T ] ; i = 1; 2; k = 1; :::; n; alla är skalärvärda.Vi påstår att
d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) +nXk=1
b1k(t)b2k(t)dt:
Innebörden här är att det för �xa 0 � t1 � t2 � T gäller att
X1(t2)X2(t2)�X1(t1)X2(t1) =Z t2
t1
X1(t)a2(t)dt+nXk=1
Z t2
t1
X1(t)b2k(t)dW2(t)+
Z t2
t1
X2(t)a1(t)dt+nXk=1
Z t2
t1
X2(t)b1k(t)dW1(t) +nXj=1
Z t2
t1
b1k(t)b2k(t)dt:
Om ai; bik; i = 1; 2; k = 1; :::; n; är konstanta följer denna formel av en direktkalkyl. Det allmäna fallet följer nu genom approximation med trapprocesser.Vi de�nierar nu
dX1(t)dX2(t) =
nXk=1
b1k(t)b2k(t)dt:
Speciellt följer att(dt)2 = 0
dtdWk(t) = dWk(t)dt = 0
198
dWk(t)dWl(t) = 0 om k 6= l
ochdWk(t)dWk(t) = dt:
Produktregeln ovan kan därmed skrivas
d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) + dX1(t)dX2(t):
Om dX(t) är en stokastisk di¤erential av typen (1; n) och k är ett heltal � 2så följer lätt med hjälp av induktion att
dXk(t) = kXk�1(t)dX(t) +k(k � 1)
2Xk�2(t)(dX(t))2:
Rätt tolkad gäller formeln även för k = 0; 1:Antag nu att dX1(t); dX2(t); :::; dXm(t) är stokastiska di¤erentialer av
typen (1; n). Vi sätter
X(t) = (X1(t); X2(t); :::; Xm(t))
ochdX(t) = (dX1(t); dX2(t); :::; dXm(t)):
Om funktionen u(x1; :::; xm) är två gånger kontinuerligt deriverbar påstår viatt
du(X(t)) = ru(X(t))�dX(t) + 12dX(t)�Hu(X(t))dX(t)
där
Hu =
�@2u
@xi@xj
�1�i;j�m
:
Specialfallet u(x1; :::; xm) = xki där k är ett naturligt tal och i 2 f1; :::;mg ärredan utrett ovan. Man visar lätt att om formeln är sann för två funktioneru1(x1; :::; xm) och u2(x1; :::; xm) så är formeln också sann för deras produktu1(x1; :::; xm) u2(x1; :::; xm). Formeln gäller alltså för polynom i x1; :::; xm 2R.Om funktionen u(t; x1; :::; xm) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2
[0; T ] och två gånger kontinuerligt deriverbar i x1; :::; xm 2 R så påstår vi att
du(t;X(t)) =
u0t(t;X(t))dt+ru(X(t))�dX(t) +1
2dX(t)�Hu;x(X(t))dX(t)
199
där
Hu;x =
�@2u
@xi@xj
�1�i;j�m
:
Genom att uttnyttja vad vi vet i det tidsoberoende fallet visar man lätt attformeln gäller om u(t; x1; :::; xm) = f(t)q(x1; :::; xm) där f är kontinuerligtderiverbar och q(x1; :::; xm) är ett polynom i x1; :::; xm 2 R. Formeln följernu för alla polynom u(t; x1; :::; xm) i variablerna t; x1; :::; xm. Genom approx-imation följer därför formeln för funktioner u(t; x1; :::; xm) som är en gångkontinuerligt deriverbara i t 2 [0; T ] och två gånger kontinuerligt deriverbarai x1; :::; xm 2 R:
Sats 1. (Itôs lemma för vektorvärd Wienerprocess) Antag att funk-tionen u(t; x1; :::; xm) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2 [0; T ] och tvågånger kontinuerligt deriverbar i x1; :::; xm 2 R: Antag också att
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t)
där a = (a1;:::; am) 2 L1W [0; T ] och b = (bik)1�i�m; 1�k�n 2 L2W [0; T ] ärmatriser av reellvärda funktioner. Då gäller att
du(t;X(t)) =
u0t(t;X(t))dt+ru(X(t))�dX(t) +1
2dX(t)�Hu;x(X(t))dX(t):
Som vanligt betecknar (C;B; �) Wienerrummet svarande mot Brownskrörelse i intervallet [0; T ] : Vi skriver8<:
Cn = C � :::� C (n gånger)Bn = B � :::� B (n gånger)�n = � ::: � (n gånger):
och låter Bn� beteckkna �n-kompletteringen av Bn: Utvidgningen av måttet�n till �-algebran Bn� betecknas återigen med �n: Nedan antager vi att det un-derliggande sannolikhetsrummet (;F ; P ) är lika med sannolikhetsrummet(Cn;Bn� ; �n). Notera att
Cn = fx; x : [0; T ]! Rn är kontinuerligg :
200
Om x = (x1; :::; xn) 2 Cn och 0 � t � T de�nieras
[W (x)] (t) = [(W1(x); :::;Wn(x))] (t) = x(t) = (x1(t); :::; xn(t))
och vi låter för �xt t 2 [0; T ] �-algebran Ft vara den minsta �-algebran avdelmängder av som innehåller �-algebran �(W (�); 0 � � � t) och allaP -nollmängder.Vi återvänder nu till de m aktierna ovan och antager att aktiernas vek-
torprisS(t) = (S1(t); ::; Sm(t))
beskrivs av en m-dimensionell geometrisk Brownsk rörelse med exponentielldrift representerad på formen
Si(t) = Si(0)e(�i�
�2i2)t+�iciW (t); i = 1; :::;m
där �1;:::;�m 2 R; �1; :::; �m > 0 och där c�1; :::; c�m är linjärt oberoende en-
hetsvektorer i Rn: Notera att
dSi(t) = Si(t)(�idt+ �id(cW (t))i); i = 1; :::;m:
Från och med nu antages att
c = matrisen med raderna c1; :::; cm har rangen n:
Man kan visa att detta villkor är ekvivalent med att processen S(t); 0 � t �T; genererar �-algebran Bn: Speciellt gäller då att m = n: I fortsättningenföredrar vi bokstaven m framför n: Vi de�nierar
a(t) = (r � �1�1
; :::;r � �m�m
)t =
r � ��
; t 2 [0; T ]
och låter Q vara måttet i rummet sådant att processenW (t)�c�1a(t); t 2[0; T ] har fördelningsmåttet P: Vi inför också beteckningen
W a(t) = (W a1 (t); :::;W
am(t)) = W (t)� c�1a(t); t 2 [0; T ]
så attd(cW (t)) =
r � ��
dt+ d(cW a(t)):
201
Alltså måste
dSi(t) = Si(t)(rdt+ �id(cWa(t))i; i = 1; :::;m:
Utöver de m aktierna har vi också en obligation vars värde vid tiden t ges avekvationen B(t) = B(0)ert; där B(0) och r är positiva konstanter. Som ovanutnyttjas ibland beteckningen � = T � t:Betrakta nu en portföljstrategi som vid tiden t består av hSi(t) aktier i
den i :te aktien för i = 1; :::;m och hB(t) obligationer. Vi inför nu 1 � mmatrisen
hS(t) = [hS1(t):::hSm(t)] :
Portföljstrategin sägs vara själv�nansierande om portföljens värde
v(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
vid tiden t 2 [0; T ] uppfyller
dv(t) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)
i intervallet 0 � t � T där hSiSi 2 M2Wa [0; T ], i = 1; :::;m; och hB 2
L1W [0; T ] = L1Wa [0; T ]. Utöver mätbarhetskrav innebär de senare villkorenatt
EQ�Z T
0
(hSi(t)Si(t))2dt
�<1; i = 1; :::;m
och Z T
0
j hB(t) j dt <1 n.s.
Strategin säges vara arbitragefri om det ej kan inträ¤a att v(0) = 0 samtidigtsom och P [v(T ) � 0] = 1 och P [v(T ) > 0] > 0:
Sats 2. Varje själ�nansierande portföljstrategi i aktierna och obligationen ärarbitragefri.
Bevis. Låt hS(t) = [hS1(t):::hSm(t)] ; hB(t) och v(t) = hS(t)S(t)+hB(t)B(t)vara som i de�nitionen av själv�nansierande portföljstrategi i aktierna ochobligationen och antag v(0) = 0: Sätt
X(t) =v(t)
B(t)
202
och
gi(t) = �ihSi(t)Si(t)
B(t); i = 1; :::;m:
Vi får därför
hS(t)dS(t) =mXi=1
gi(t)B(t)
�i
dSi(t)
Si(t)=
mXi=1
gi(t)B(t)
�i(rdt+ �id(cW
a(t))i =
mXi=1
gi(t)
�idB(t) +
mXi=1
gi(t)B(t)d(cWa(t))i
och
hB(t)dB(t) =X(t)B(t)� hS(t)S(t)
B(t)dB(t) = X(t)dB(t)�
mXi=1
gi(t)
�idB(t):
Härav följer att
d(X(t)B(t)) = X(t)dB(t) +mXi=1
gi(t)B(t)d(cWa(t))i
och vi drar slutsatsen att
dX(t) =mXi=1
gi(t)d(cWa(t))i
dvs
dX(t) =mXk=1
"mXi=1
gi(t)cik
#dW a
k (t):
Alltså är processen X(t); 0 � t � T; en martingal med avseende på detunderliggande måttet Q och vi får att
0 = X(0) = EQ [X(T )] :
Det kan därför inte gälla att Q [X(T ) � 0] = 1 och Q [X(T ) � 0] > 1: Detkan därför inte gälla att P [v(T ) � 0] = 1 och P [v(T ) � 0] > 0; vilket bevisarsatsen.
203
Antag nu att vi vill värdera ett derivat av europeisk typ som utbetalarvärdet X 2 L2(;F ; Q) vid tiden T: Om det �nns en själv�nansierande port-följstrategi i aktien och obligationen sådan att portföljens värde vid tiden Tär lika med X så de�nieras derivatets värde vid tiden t lika med motsvarandeportföljs värde vid tiden t (sats 4 nedan visar att en sådan strategi existerar).Följande två satser kan nu visas nästan exakt som motsvarande resultat
i föregående kapitel, som behandlar en underliggande aktie och vi går inte inpå bevisen här.
Sats 3. Antag X 2 L2(;F ; P ). Det �nns h 2M2W [0; T ] så att
X = E [X] +
Z T
0
h(t)dW (t):
Sats 4. Ett europeiskt derivat i aktierna utbetalar värdet X 2 L2(;F ; Q)slutdagen T: Det �nns en själv�nansierande strategi i aktierna och obligatio-nen som har värdet X vid tiden T: Optionens värde vid tiden t ges av
e�r�EQ [X j Ft] :
Vi har nu utvecklat en kalkyl som lätt leder till Black-Scholes di¤eren-tialekvation i �era variabler. Betrakta en europeisk option med mognads-datum T och lösenvärdet K. Utbetalningsfunktionen f(s) = f(s1; :::; sm);s1; :::; sm > 0; antags vara kontinuerlig och sådan att
sup(x1;:::;xm)2Rm
(e�Cjxj j f(ex1 ; :::; exm) j) <1
för ett lämpligt positivt tal C: Vi skall härleda optionens värde v(t) vid tident < T: Ansätt därför
v(t) = v(t; S(t)) = v(t; S1(t); :::; Sm(t))
och betrakta en själv�nansierande portföljstrategi som vid tiden t består avhSi(t) aktier i den i:te aktien för i = 1; :::;m och hB(t) obligationer: Vi utgåralltså från ekvationerna
v(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
204
ochdv(t; S(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)
därhS(t) = [hS1(t):::hSm(t)] :
Om funktionen v(t; s) är tillräckligt reguljär ger Itôs lemma
dv(t; S(t)) = v0t(t; S(t))dt+rsv(t; S(t))�dS(t) +1
2dS(t)�Hv;s(t; S(t))dS(t) =
v0t(t; S(t))dt+mX
i;j=1
�i�j2Si(t)Sj(t)v
00sisj(t; S(t))) (cidW (t)cjdW (t))+
rsv(t; S(t))�dS(t):Om vi de�nierar
�ij =nXk=1
cikcjk; i; j = 1; :::;m
så följer attdv(t; S(t)) =
(v0t(t; S(t)) +mX
i;j=1
�i�j2�ijSi(t)Sj(t)v
00sisj(t; S(t)))dt+rsv(t; S(t))�dS(t):
EftersomdB(t) = rB(t)dt
motiverar ekvationen
dv(t; S(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)
atthS(t) = rsv(t; S(t))�:
Vi får nu att
hB(t) =1
B(t)(v(t; S(t))�rsv(t; S(t))�S(t))
och
(v0t(t; S(t)) +
mXi;j=1
�i�j2�ijSi(t)Sj(t)v
00sisj(t; S(t)))dt = hB(t)dB(t) =
205
(v(t; S(t))�rsv(t; S(t))�S(t))rdt:Denna ekvation är uppfylld om
v0t(t; s) +mX
i;j=1
�i�j2sisj�ijv
00sisj(t; s) + r
mXi=1
siv0si(t; s)� rv(t; s) = 0
vilket är Black-Scholes di¤erentialekvation i �era variabler. Om vi nu somvanligt sätter � = T � t så leder slutvillkoret
v(T; s) = f(s)
till att
v(t; s) = e�r�E
�f(s1e
(r��212)�+�1c1W1(�); :::; sme
(r��2m2)�+�mcmWm(�))
�:
Om vi omvänt de�nierar v(t; s) genom denna ekvation så får vi en själv�nan-sierande portföljstrategi i aktierna och obligationen genom att de�niera
hS(t) = rsv(t; S(t))�
ochhB(t) =
1
B(t)(v(t; S(t))�rsv(t; S(t))�S(t)):
Detaljerna lämnas som öving.Om funktionen f är positivt homogen av graden 1 dvs
f(�s) = �f(s); � > 0
så följer att optionens värde är ränteoberoende. Mer precist gäller att
v(t; s) = E
�f(s1e
��212�+�1c1W (�); :::; sme
��2m2�+�mc1W (�))
�:
Vi undersöker nu detta fall närmare då m = 2. Vi har att
v(t; s) = E
�f(s1e
��212�+�1c1W (�); s2e
��222�+�2c2W (�))
�Om vi de�nierar
�0 =q�21 � 2�12�1�2 + �22
206
följer nu attv(t; s) = E [f(s1; s2M�0(�))] :
I specialfalletf(s) = fmin(s) = min(s1; s2)
erhålls för t < T optionsvärdet
v(t; s) = vmin(s) = s1�(ln s2
s1� �20�
2
�0p�
) + s2�(ln s1
s2� �20�
2
�0p�
):
För optionen att byta första aktien mot den andra aktien vid tiden T omkontraktsinnehavaren så önskar är utbetalningsfunktionen lika med
f(s) = f1!2(s) = max(0; s2 � s1) = s2 �min(s1; s2)
och dess värde v(t; S(t)) = v1!2(t; S(t)) vid tiden t < T är lika med
v1!2(t; s) = s2 � vmin(s) =
s2�(ln s2
s1+
�20�
2
�0p�
)� s1�(ln s2
s1� �20�
2
�0p�
):
Observera att Jensens olikhet ger
v1!2(t; s) = E [f1!2(s1; s2M�0(�))] �
f1!2(E [(s1; s2M�0(�))]) = f1!2(s):
Motsvarande amerikanska option att få byta första aktien mot den andraaktien fram t o m tidpunkten T om kontraktsinnehavaren så önskar är alltsåinte mer värd än den europeiska och löses därför inte före mognadsdatum.Optionen värderas alltså exakt som sin europeiska motsvarighet.Från ovan vet vi att om ett betingat kontrakt utbetalar X 2 L2(;F ; Q)
vid tiden T; där Q är martingalmåttet och X � 0, så är optionens värde vidtiden t lika med e�r�EQ [X j Ft]. Vi betraktar nu ett specialfall av formen
X = f(S(T );
Z T
0
g(t; S(t))dt)
då m = 1 och f och g är deterministiska funktioner. För att värdera dettakontrakt ansätts att derivatets värde vid tiden t är av formen
v(t) = v(t; S(t); Z(t))
207
där
Z(t) =
Z t
0
g(�; S(�))d�:
Notera attdZ(t) = g(t; S(t))dt:
Vi betraktar nu en sjäv�nansierande portföljstrategi i aktien och obligationenoch får på vanligt vis ekvationerna
v(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
ochdv(t; S(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t):
Itôs lemma ger
dv(t; S(t)) = v0t(t; S(t); Z(t))dt+v0s(t; S(t); Z(t))dS(t)+v
0z(t; S(t); Z(t))dZ(t)+
�2S(t)2
2v00ss(t; S(t); Z(t))dt
Detta motiverar atthS(t) = v0s(t; S(t); Z(t))
och det följer att
v0t(t; S(t); Z(t))dt+ v0z(t; S(t); Z(t))dZ(t) +�2S(t)2
2v00ss(t; S(t); Z(t))dt =
hB(t)dB(t) = rhB(t)B(t)dt = r(v(t; S(t))� v0s(t; S(t); Z(t))S(t))dt:
Denna ekvation är uppfylld om
v0t(t; s; z) + rsv0s(t; s; z) + g(t; s)v0z(t; s; z) +�2s2
2v00ss(t; s; z)� rv(t; s; z) = 0:
Dessutom gäller alltså slutvillkoret
v(T; s; z) = f(s; z):
Här kan fallet �f(s; z) = max(0; ez=T �K)g(t; s) = ln s
208
behandlas analytiskt som i kapitel 10. I specialfallet�f(s; z) = max(0; z
T� s)
g(t; s) = s
leder en lämplig ansats till en förenklad di¤erentialekvation i lägre dimension(se övning 1). Fallet �
f(s; z) = max(0; zT�K)
g(t; s) = s
kan också förenklas på liknande sätt [RS] :
Övningar
1. Antag f(s; z) = max(s � zT) och g(t; s) = s (�average strike option�).
Ansättv(t; s; z) = su(t; y); y =
z
s:
Visa att
u0t(t; y) + (1� ry)u0y(t; y) +1
2�2y2u00yy(t; y) = 0
ochu(T; y) = max(0; 1� y
T):
209
14. Stopptid
Vi illustrerar i detta kapitel begreppet stopptid. Syftet är dels att få en bättreförståelse för amerikanska kontrakt dels att öppna möjligheter att behandlanya typer av kontrakt. I slutet av kapitlet diskuteras bl a optionen att fåköpa en aktie i slutet av en tidsperiod till den lägsta kursen under perioden.Låt (;F ; P ) vara ett sannolikhetsrum och Fn � F ; n = 0; 1; :::; N; �-
algebror sådana att
Fn � Fn+1; n = 0; 1; :::; N � 1:
Sekvensen (Fn)Nn=0 kallas för en �ltration i ändlig tid. En sekvens (Yn;Fn)Nn=0kallas för en submartingal om
Yn 2 L1(;Fn; P ); n = 0; 1; :::; N
ochYn � E [Yn+1 j Fn] ; n = 0; :::; N � 1:
Om denna olikhet ersätts med den omvända olikheten
Yn � E [Yn+1 j Fn] ; n = 0; :::; N � 1
talar vi istället om en supermartingal. En sekvens (Yn;Fn)Nn=0 är alltsåen martingal precis då sekvensen är både en submartingal och en super-martingal. Om (Yn;Fn)Nn=0 är en martingal och f är en konvex funktionde�nierad på R så ger Jensens olikhet för betingat väntevärde att sekvensen(f(Yn);Fn)Nn=0 är en submartingal såvida
f(Yn) 2 L1(;Fn; P ); n = 0; 1; :::; N:
Om detta integrabilitetsvillkor är uppfyllt så gäller samma slutsats så snart(Yn;Fn)Nn=0 är en submartingal förutsatt att f är konvex och dessutom växande.Om �ltrationen (Fn)Nn=0 är klar av sammanhanget säger vi att sekvensen(Yn)
Nn=0 är en martingal om sekvensen (Yn;Fn)Nn=0 är en martingal. Ib-
land säger vi P -martingal istället för martingal om det underliggande san-nolikhetsmåttet behöver förtydligas. Samma konventioner gäller sub- ochsupermartingaler. Observera att om (Yn)
Nn=0 är en växande talföljd n.s. så
är (Yn)Nn=0 en submartingal. Om sekvensen istället är avtagande n.s. så fårvi en supermartingal.
210
En avbildning � : ! f0; 1; :::; Ng [ f1g sägs vara en stopptid medavseende på �ltrationen (Fn)Nn=0 om händelsen [� � n] 2 Fn för alla n 2f0; 1; :::; Ng : Om �ltrationen klart framgår av sammanhanget säger vi stopp-tid istället för stopptid med avseende på den �ltration som avses. Stopptidensägs vara given i diskret tid eftersom �ltrationens indexmängd är ändlig.Observera att om � = n0 för ett �xt n0 2 f0; 1; :::; Ng så är � en stopptid.
Om �0 och �1 är stopptider så är
�0 _ �1 = max(�0; �1)
och�0 ^ �1 = min(�0; �1)
stopptider.De�nitionerna här ovan kan lätt utsträckas till en godtycklig ändlig in-
dexmängd fn0; n0 + 1; ::::; Ng : Notera i detta fall att motsvarande stopptiderantar sina värden i indexmängden fn0; n0 + 1; ::::; Ng :Stopptider i diskret tid uppträder t ex i samband med så kallade Bermu-
daoptioner. För att förklara innebörden av dessa optioner betraktar vi enaktie vars pris
S(t) = S(0)e�t+�W (t); t � 0beskrivs av en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift. Det förut-sätts också att kapitalmarknaden erbjuder en obligation vars värde B(t) vidtiden t är lika med B(0)ert: Vi begränsar nu alla betraktelser till intervallet[0; T ] och låter (C;B; �) vara Wienerrummet svarande mot endimensionellBrownsk rörelse i intervallet [0; T ]. Vi antar (;F ; P ) = (C;B�; �) ochWt(!) = !(t); 0 � t � T; där ! 2 . Liksom i tidigare kapitel skriver viiblandW (t) istället förWt om missförstånd ej kan inträ¤a. Martingalmåttetsvarande mot de aktuella värdepappren i tidsintervallet [0; T ] betecknas medQ: Som ovan är � = T � t:En Bermudaoption de�nieras av en indelning
t � t0 < t1 < ::: < tN�1 < tN = T
av intervallet [0; T ] och stokastiska variabler
0 � Xn 2 L2(;Fn; P ); n = 0; 1; :::; N
där Ft är den minsta �-algebra av delmängder av som innehåller �(W (�);� � t) och alla P -nollmängder: Bermudaoptionen kan inlösas vid vilken som
211
helst av tidpunkterna tn; n = 0; 1; :::; N; och kontraktsinnehavaren erhållerbeloppet Xn om optionen löses in vid tiden tn. Vi de�nierar nu induktivt
VN = XN
och
Vn = max(Xn; EQ�e�r(tn+1�tn)Vn+1 j Fn
�); n = N � 1; N � 2; :::; 0:
Optionens teoretiska värde vid tiden t ges av
EQ�e�r(t0�t)V0 j Ft
�:
Vi ser av de�nitionerna att sekvensen (Vne�rtn)Nn=0 är enQ-supermartingalsom dominerar sekvensen (Xne
�rtn)Nn=0 i den meningen att
Vne�rtn � Xne
�rtn :
Det är inte optimalt att inlösa kontraktet före tiden tN = T om (Vne�rtn)Nn=0är en Q-martingal. Notera att detta är fallet om sekvensen (Xne
�rtn)Nn=0 ären Q-submartingal. Ett intressant specialfall får vi för en köpoptionen avBermudatyp där
Xn = max(0; S(tn)�K):Här är (Xne
�rtn)Nn=0 är en Q-submartingal och det är inte optimalt att inlösaoptionen före slutdagen T:
Sats 1. Om � : ! fn; :::; Ng är en stopptid med avseende på �ltrationen(Fk)Nk=n så gäller att
Vn � EQ�e�r(t��tn)X� j Fn
�där likhet inträ¤ar för stopptiden
� = min�k 2 fn; :::; N � 1g ; Xk > EQ
�e�r(tk+1�tk)Vk+1 j Fk
�och där minumum över tomma mängden de�nieras som N:
Bevis. Vi visar först olikheten
Vn � EQ�e�r(t��tn)X� j Fn
�
212
där � är en stopptid med avseende på �ltrationen (Fk)Nk=n: Fallet n = N ärtrivialt. Antag nu att
Vn+1 � EQ�e�r(t��tn+1)X� j Fn+1
�där � är en godtycklig stopptid med avseende på �ltrationen (Fk)Nk=n+1: Omnu � är en stopptid med avseende på �ltrationen (Fk)Nk=n så följer
EQ�e�r(t��tn)X� j Fn
�=
EQ�e�r(t��tn)X�1[�=n] j Fn
�+ EQ
�e�r(t��tn)X�1[�>n] j Fn
�=
EQ�Xn1[�=n] j Fn
�+ EQ
�e�r(t�_(n+1)�tn)X�_(n+1)1[�>n] j Fn
�=
Xn1[�=n] + 1[�>n]EQ�e�r(t�_(n+1)�tn)X�_(n+1) j Fn
�=
Xn1[�=n] + 1[�>n]EQ�EQ�e�r(t�_(n+1)�tn)X�_(n+1) j Fn+1
�j Fn
�=
Xn1[�=n]+1[�>n]EQ�e�r(tn+1�tn)EQ
�e�r(t�_(n+1)�tn+1)X�_(n+1) j Fn+1
�j Fn
��
Xn1[�=n] + 1[�>n]EQ�e�r(tn+1�tn)Vn+1 j Fn
��
Vn1[�=n] + 1[�>n]Vn = Vn:
Med hjälp av induktion drar vi nu slutsatsen att
Vn � EQ�e�r(t��tn)X� j Fn
�för varje stopptid � är med avseende på �ltrationen (Fk)Nk=n: Att likhet in-trä¤ar i denna olikhet när
� = min�k 2 fn; :::; N � 1g ; Xk > EQ
�e�r(tk+1�tk)Vk+1 j Fk
�följer också genom induktion. Vi konstaterar att för denna stopptid råderlikhet i induktionssteget ovan mellan varje led. Detta avslutar beviset försatsen.
Vi övergår nu till att diskutera kontinuerlig tid. En avbildning
� : ! [0; T ] [ f1g
sägs vara en stopptid med avseende på �ltrationen
(Ft)0�t�T
213
om händelsen [� � t] 2 Ft för alla t 2 [0; T ] : Om �ltrationen klart framgårav sammanhanget säger vi stopptid istället för stopptid med avseende på den�ltration som avses. En intressant stopptid i detta sammanhang ges av
�x = min f� 2 [0; T ] ; W (�) = xg
där x > 0 är �xt. Minimum över tomma mängden de�nieras lika med1: Vihar för varje �xt t 2 [0; T ] ekvivalensen
�x > t, W (�) < x; 0 � � � t:
Bacheliers sats från kapitel 5 säger att
P [W (�) � x för alla 0 � � � t] = 2�(xpt)� 1
och eftersom högra ledet är en kontinuerlig funktion i x så vi får att
P [�x > t] = 2�(xpt)� 1:
Genom derivering med avseende på t inses att
P [�x � t] =
Z t
0
f�x(�)d�
där
f�x(�) =x
�32
e�x2
2�
p2�:
Om � : ! [0; T ] [ f1g är en stopptid med avseende på �ltrationen(Ft)0�t�T så de�nieras
F� = fA 2 FT ; A \ [� � t] 2 Ft; 0 � t � Tg :
De�nitionen ger att[� � t] 2 F�; 0 � t � T:
Sats 2. Låt (M(t))t2[0;T ] vara en Wienermartingal i intervallet [0; T ] och �en stopptid med avseende på �ltrationen (Ft)0�t�T sådan att � � T: Om
E�M2(T )
�<1
214
så ärE [M(�)] = E [M(0)]
ochE [M(T ) j F�] =M(�)
där [M(�)] (!) = [M(�(!))] (!); ! 2 :
Bevis. Beroende på Sats 8 i kapitel 11 �nns f 2M2W [0; T ] så att
M(T ) = E [M(T )] +
Z T
0
f(�)dW (�):
RelationernaE [M(T )] = E [M(0)]
ochM(t) = E [M(T ) j Ft]
ger
M(t) = E [M(0)] +
Z T
0
1[0;t](�)f(�)dW (�):
Med lite ansträngning kan man nu visa att
M(�) = E [M(0)] +
Z T
0
1[0;�](�)f(�)dW (�)
(se [FR]). Eftersom integranden i den stokastiska integralen tillhörM2W [0; T ]
så följer att
E
�Z T
0
1[0;�](�)f(�)dW (�)
�= 0
och vi drar slutsatsen att E [M(�)] = E [M(0)].För att visa sista delen av satsen väljer vi A 2 F�. Det räcker att visa
attE [M(T );A] = E [M(�);A] :
Därför de�nieras
U(!) =
��(!); ! 2 AT; ! =2 A :
215
Funktionen U är en stopptid och U � T: Enligt första delen gäller nu att
E [M(U)] = E [M(T )]
dvsE [M(�);A] + E [M(T ); n A] = E [M(T )]
och det följer attE [M(T );A] = E [M(�);A]
vilket visar satsen.
Sats 3. Antag � 2 R och låt
W�(�) = ��+W (�); 0 � � � t:
Då gäller
P
�max0���t
W�(�) � x
�= �(
x� �tpt)� e2�x�(�x+ �tp
t); x > 0:
Bevis. Vi kan antaga att t = T . Sätt
a0(�) = ��; 0 � � � T:
och f = 1A där
A =
�max0���T
W (�) > x
�:
Då är
P
�max0���T
W�(�) > x
�=
ZC
f(a0 + !)d�(!) =ZC
f(!)d�a0(!):
Cameron-Martins sats ger alltså
P
�max0���T
W�(�) > x
�= E [f(W )M�(T )] = E
�1[�x�T ]M�(T )
�:
Sats 2 ger vidare att högra ledet här är lika med
E�E�1[�x�T ]M�(T ) j F�x^T
��=
216
E�1[�x�T ]E [M�(T ) j F�x^T ]
�= E
�1[�x�T ]M�(�x ^ T )
�=
E�1[�x�T ]M�(�x)
�= E
h1[�x�T ]e
�x� 12�2�x
i=Z T
0
f�x(�)e�x� 1
2�2�d� =
Z T
0
x
�32
e�(x���)2
2�d�p2�:
Om vi nu de�nierar
F (t) = P
�max0���t
W�(�) � x
�så följer att
F (t) = 1�Z t
0
x
�32
e�(x���)2
2�d�p2�:
FunktionenG(t) = �(
x� �tpt)� e2�x�(�x+ �tp
t)
uppfyllerG(0+) = 1 = F (0+)
och derivering visar attF 0(t) = G0(t):
Alltså är F = G och satsen är bevisad.
Korollarium 1. Antag � 2 R och � > 0 och låt
W�;�(�) = ��+ �W (�); 0 � � � t:
Då gäller
P
�max0���t
W�;�(�) � x
�= �(
x� �t�pt)� e
2�x�2 �(�x+ �t
�pt); x > 0
och
P
�min0���t
W�;�(�) � x
�= �(
�x+ �t
�pt)� e
2�x�2 �(
x+ �t
�pt); x < 0:
217
Bevis. Första delen följer omedelbart från sats 3. Den sista delen följer nufrån första delen om vi observerar att
P
�min0���t
W�;�(�) � x
�= P
�min0���t
(��� �W (�)) � x
�=
P
�max0���t
W��;�(�) � �x�:
Detta bevisar korollarium 1.
Betrakta nu samma aktie och obligation som ovan och två derivat i aktiensom båda utfärdas vid tiden 0 och där det första derivatet utbetalar utbetalar
S(T )� min0���T
S(�)
vid tiden T och det andra
max0���T
S(�)� S(T )
vid samma tidpunkt:Vi skall avslutningsvis diskutera hur man kan bestämmade teoretiska optionspriserna vid tiden t 2 [0; T ] för dessa så kallade �lookbackoptions�. Vi koncentrerar oss på första fallet. Det andra fallet behandlasanalogt.Låt v(t) beteckna det teoretiska värdet vid tiden t för ett derivat av som
utbetalarS(T )� min
0���TS(�)
slutdagen T: Om Q betecknar martingalmåttet svarande mot de aktuellavärdepapperen i tidsintervallet [0; T ] så är
v(t) = e�r�EQ�S(T )� min
0���TS(�) j Ft
�=
S(t)� e�r�EQ�min0���T
S(�) j Ft�:
Det återstår alltså att beräkna
EQ�min0���T
S(�) j Ft�= EQ
�min( min
0���tS(�); min
t���TS(�)) j Ft
�=
218
EQ�min( min
0���tS(�); S(t) min
t���T
S(�)
S(t)) j Ft
�:
Problemet har nu reducerats till att beräkna
EQ�min(m; s min
t���T
S(�)
S(t))
�där m och s under beräkningen av väntevärdet skall uppfattas som deter-ministiska variabler som efter beräkningen ersätts med
m = min0���t
S(�)
respektives = S(t):
Det räcker därför att bestämma fördelningen för den stokastiska variabeln
U = mint���T
S(�)
S(t)
relativt sannolikhetsmåttet Q: Vi påminner därför om att processen
W a(�) =W (�)� a(�); 0 � � � T
är en normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet [0; T ] med avseende på detunderliggande sannolikhetsmåttet Q om funktionen a väljs så att
a(�) =r � ��
�; 0 � � � T:
Härav följer
PQ [U � u] = PQ�mint���T
�(�� �2
2)(�� t) + �(W (�)�W (t))
�� lnu
�=
P
�mint���T
�(r � �2
2)(�� t) + �(W (�)�W (t))
�� lnu
�=
P
�min
0���T�t
�(r � �2
2)�+ �W (�)
�� lnu
�:
Genom att utnyttja korollarium 1 kan nu v(t) beräknas med direkta metoder.Efter en del kalkyl får vi följande
219
Sats 4. Betrakta ett betingat kontrakt av europeisk typ som utbetalar värdet
S(T )� min0���T
S(�)
vid tiden T: Antag 0 � t < T och
� = T � t;
s = S(t);
m = min0���t
S(�);
och
d =
�ln
s
m+ (r +
1
2�2)�
�=�p� :
Derivatets värde vid tiden t < T är lika med v(t; S(t)) där
v(t; s) = s�(d)� e�r�m�(d� �p�)+
e�r��2
2rs
�� sm
�� 2r�2
�(�d+ 2r�
p�)� er��(�d)
�:
Man kan naturligtvis också studera ett derivat av amerikansk typ somkan inlösas vid vilken tidpunkt t som helst före eller på slutdagen T och dåutbetalar
X(t) = S(t)� min0���t
S(�):
Det är ej optimalt att inlösa kontraktet före slutdagen eftersom
e�rtX(t); t � T
är enQ-submartingal (jmfr Bermudaoptionerna ovan). Ett derivat av amerikansktyp som kan inlösas vid vilken tidpunkt t som helst före eller på slutdagen Toch då utbetalar
X(t) = max0���t
S(�)� S(t)
kan dock vara optimalt att inlösa före tiden T (se t ex [WDH]).För mer information rörande �lookback options� hänvisas till artikeln
[CV ] : Anders Öhgrens examensarbete vid CTHh�Oioch Hans-Peter Bermins
doktorsuppsats från Lund [BE] rekommenderas också som intressant läsning.
220
Problem. Antag ett aktiepris S(t) beskriver en geometrisk Brownsk rörelsemed exponentiell drift och låt en viss obligation ha värdet ert vid tiden t:Antag vidare att det är givet konstanter �; �; p och K som uppfyller 0 �� < �, p 2 ]0; 1[ och K > 0. Bestäm en själv�nansierande portföljstrategi iaktien och obligationen sådan att portföljvärdet är lika med K vid tiden �och sådan att strategin med sannolikheten p leder till ruin i tidsintervallet� � t � �:
Lösning. Låt h > 0 och sätt
Th = min�t 2 [�; �] ; her�S(t) = (Ke�r� + hS(�))ert
med konventionen att minumum över tomma mängden är 1: Vi de�nierarvidare
hS(t) = �her�; � � t � min(T; �)och
hB(t) = Ke�r� + hS(�); � � t � min(T; �):För min(T; �) < t � � sätts hS(t) = hB(t) = 0: Korollarium 1 ger att
P [Th � �]!�0 då h! 01 då h!1:
Vi kan därför välja h så att
P [Th � �] = p:
Övningar
1. Betrakta aktien och obligationen i problemet ovan. Det �nns en själv-�nansierande strategi i aktien och obligationen så att motsvande port-följvärde är 1 vid tiden 0 och som med sannolikheten 1
2leder till ruin i
intervallet�0; 1
2
�: Antag i ett enskilt fall att strategin har ett positivt
värde K vid tiden 12: Det �nns då en själv�nansierande strategi så att
motsvande portföljvärde är K vid tiden 12och som med sannolikheten
12leder till ruin i intervallet
�12; 34
�: Upprepa! Sannolikheten för att ruin
221
inträ¤ar före tiden t 2 [0; 1[ konvergerar mot ett då t! 1� : Motiveravarför detta inte motsäger sats 1 i kapitel 12.
223
15. HJM-modellen vid deterministisk volatilitetsstruktur
Betrakta en så kallad nollkupongsobligation med mognadstiden T dvs ettkontrakt som betalar innehavaren beloppet 1 vid tiden T: Detta värdepapperkallas här en T -obligation: Vi betecknar obligationspriset vid tiden t medp(t; T ) och skriver
p(t; T ) = e�R(t;T )(T�t):
Storheten R(t; T ) kallas för (T � t)-räntan vid tiden t (jmfr begrepp såsomkorta räntan, halvårsräntan, 5-årsräntan osv). Kurvan
y = R(t; t+ �); � > 0
kallas för avkastningskurvan vid tiden t:Nedan behandlas en arbitragefri modell för obligationer som brukar kallas
HJM -modellen efter upptäckarna Heath, Jarrow och Morton [HJM ]. Vibegränsar oss till så kallad deterministisk volatilitetsstruktur, vilket ger ossGaussiska fördelningar för räntor. Detta betyder speciellt att räntor kan varanegativa med positiv sannolikhet, vilket kan verka onaturligt då kostnadenatt förvara pengar normalt är mycket begränsad. Sannolikheten för neg-ativ ränta i modellen är dock mycket liten och modellen används med storframgång på olika marknader. För mer fullständiga framställningar av teorinför räntederivat räntederivat hänvisas till Bingham och Kiesel [BK] ; Björk[BTS] ; [BTO], Hull [H], Jarrow [J1] och Musiela och Rutkowski [MR].Antag t � S < T och låt R(t; S; T ) beteckna räntan för perioden [S; T ]
kontrakterad vid tiden t: Kravet på arbitagefrihet medför att
p(t; T ) = p(t; S)e�R(t;S;T )(T�S)
vilket inses av följande tabell.
tid t S T
handlingsälj en S-obligation
köp p(t;S)p(t;T )
st T -obligationer
kassa�öde 0 -1 p(t;S)p(t;T )
Notera attR(t; T ) = R(t; t; T ):
224
Den momentana forwardräntan f(t; T ) vid tiden T sedd från tidpunkten tde�nieras av gränsvärdet
f(t; T ) = limS!T
R(t; S; T )
dvs
f(t; T ) = �@ ln p(t; T )@T
och det följer att
p(t; T ) = p(t; s)e�R Ts f(t;u)du; t � s � T:
Den korta räntan r(t) vid tiden t de�nieras av ekvationen
r(t) = f(t; t):
Antag beloppet 1 placeras i en obligation med närmast omedelbar inlösenoch att det vid lösen utbetalade beloppet omedelbart placeras i en obligationmed närmast omedelbar inlösen osv. Kapitalet B(t) vid tiden t blir då
B(t) = eR t0 r(u)du:
Observera attdB(t) = r(t)B(t)dt:
Vi kan alternativt tänka oss att B(t) representerar banksaldot vid tiden t ombeloppet 1 satts in i banken vid tiden 0:I fortsättningen betecknar T� en �x framtida datum och vi betraktar
endast obligationer med mognad före eller vid tidpunkten T�: Låt nu
Cn = fx; x : [0; T�]! Rn är kontinuerligg
och låt (;F ; P ) = (Cn;Bn� ; �n) beteckna Wienerrummet svarande mot n-dimensionell Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; T�] : Om x = (x1; :::; xn) 2Cn och 0 � t � T� så de�nieras
[W (x)] (t) = [(W1(x); :::;Wn(x))] (t) = x(t) = (x1(t); :::; xn(t))
och vi låter för �xt t 2 [0; T�] �-algebran Ft vara den minsta �-algebran avdelmängder av som innehåller �-algebran �(W (�); 0 � � � t) och allaP -nollmängder.
225
Utgångspunkten för HJM -modellen är att de momentana forwardrän-torna uppfyller ekvationer av typen
df(t; T ) = �(t; T )dt+ �(t; T )dW (t); 0 � t � T � T�
för lämpliga progressivt mätbara processer �T = (�(t; T ))0�t�T och �T =(�(t; T ))0�t�T där 0 < T � T�: Här är �(t; T ) en 1�n matris för varje t � T:Måttet P kallas det fysikaliska måttet och processerna �T ; 0 < T � T�;kallas för modellens volatilitetsstruktur. I denna framställning antager viatt processerna �T och �T ; där 0 < T � T�; är deterministiska dvs vanligafunktioner.I fortsättningen antar vi alltid att T � T�: Om g = g(t; T ) är en funktion
av t och T betecknar g0T derivering med avseende på T dvs
g0T (t; T ) =@g(t; T )
@T
Sats 1. Det gäller att
r(t) = f(0; t) +
Z t
0
�(s; t)ds+
Z t
0
�(s; t)dW (s):
Det gäller också att
dr(t) = �(t)dt+ �(t; t)dW (t)
där
�(t) = f 0T (0; t) + �(t; t) +
Z t
0
�0T (s; t)ds+
Z t
0
�0T (s; t)dW (s):
Bevis. Eftersom
f(t; t) = f(0; t) +
Z t
0
�(s; t)ds+
Z t
0
�(s; t)dW (s):
och f(t; t) = r(t) följer första delen av satsen: Om vi också utnyttjar att
�(s; t) = �(s; s) +
Z t
s
�0T (s; u)du
och
�(s; t) = �(s; s) +
Z t
s
�0T (s; u)du
226
följer att
r(t) = f(0; t) +
Z t
0
�(s; s)ds+
Z t
0
�Z t
s
�0T (s; u)du
�ds
Z t
0
�(s; s)dW (s) +
Z t
0
�Z t
s
�0T (s; u)du
�dW (s)
Av relationen
f(0; t) = r(0) +
Z t
0
f 0T (0; s)ds
erhåller vi nu att
r(t) = r(0) +
Z t
0
f 0T (0; s)ds+
Z t
0
�(s; s)ds+
Z t
0
�Z u
0
�0T (s; u)ds
�du
Z t
0
�(s; s)dW (s) +
Z t
0
�Z u
0
�0T (s; u)W (s)
�du
och satsen är visad.
Sats 2. Det gäller attdp(t; T )
p(t; T )=
(r(t) + A(t; T ) +1
2j S(t; T ) j2)dt+ S(t; T )dW (t)
där
A(t; T ) = �Z T
t
�(t; s)ds
och
S(t; T ) = �Z T
t
�(t; s)ds:
Bevis. Sätt
Z(t) = �Z T
t
f(t; s)ds
och kom ihåg attp(t; T ) = eZ(t):
227
Relationen
f(t; s) = f(0; s) +
Z t
0
�(u; s)du+
Z t
0
�(u; s)dW (u)
ger nu att
Z(t) = �Z T
t
f(0; s)ds�Z T
t
�Z t
0
�(u; s)du
�ds�
Z T
t
�Z t
0
�(u; s)dW (u)
�ds =
�Z T
t
f(0; s)ds�Z t
0
�Z T
t
�(u; s)ds
�du�
Z t
0
�Z T
t
�(u; s)ds
�dW (u) =
Z(0)�Z t
0
�Z T
u
�(u; s)ds
�du�
Z t
0
�Z T
u
�(u; s)ds
�dW (u)+
+
Z t
0
f(0; s)ds+
Z t
0
�Z t
u
�(u; s)ds
�du+
Z t
0
�Z t
u
�(u; s)ds
�dW (u):
Den första delen av sats 1 ger nu att
Z(t) = Z(0)�Z t
0
�Z T
u
�(u; s)ds
�du�
Z t
0
�Z T
u
�(u; s)ds
�dW (u)+
Z t
0
r(s)ds:
Alltså är
dZ(t) =
�r(t)�
Z T
t
�(t; s)ds
�dt�
�Z T
t
�(t; s)ds
�dW (t)
ellerdZ(t) = (r(t) + A(t; T ))dt+ S(t; T )dW (t):
Eftersom p(t; T ) = eZ(t) följer nu sats 2 från Itôs lemma.
Vi går nu fram analogt med Black-Scholes teori och söker ett sanno-likhetsmått Q ekvivalent med P så att de diskonterade obligationspriserna
p(t; T )
B(t); 0 � t � T
är Q-martingaler för alla T � T�: Notera att i detta fall är
p(t; T )
B(t)= EQ
�p(T; T )
B(T )j Ft�
228
dvsp(t; T ) = EQ
he�
R Tt r(�)d� j Ft
i:
Som i tidigare kapitel är därför naturligt att starta med en deterministiskfunktion h = (h1; :::; hn); där hj 2 L2([0; T�]); j = 1; :::; n; och sätta
W 0t = Wt � a(t); 0 � t � T�
där
a(t) =
Z t
0
h(u)du; 0 � t � T�:
Om vi de�nierarQ(A) = P (A� a); A 2 FT�
så visar Cameron-Martins sats för vektorvärd Brownsk rörelse att P och Qär ekvivalenta samt
dQ = eR T0 h(u)dW (u)� 1
2
R T0 jh(u)j
2dudP
(formuleringarna och bevisen för Cameron-Martins sats är nästan exakt likai fallen n = 1 och n > 1):Eftersom
dp(t; T )
p(t; T )=
(r(t) + A(t) +1
2j S(t; T ) j2)dt+ S(t; T )dW (t)
blir nudp(t; T )
p(t; T )=
(r(t) + A(t; T ) +1
2j S(t; T ) j2 +S(t; T )h(t))dt+ S(t; T )dW 0(t):
För att de diskonterade obligationspriserna
p(t; T )
B(t); 0 � t � T
skall bli en Q-martingal är det naturligt att ansätta
A(t; T ) +1
2j S(t; T ) j2 +S(t; T )h(t) = 0; 0 � t � T
229
dvs
�(t; T ) = �(t; T )
Z T
t
�(t; s)�ds� �(t; T )h(t); 0 � t � T
eller mer explicit
�(t; T ) = �(t; T )
Z T
t
�(t; s)�ds�nXj=1
�j(t; T )hj(t); 0 � t � T
(vi betecknar transponering av en matris C med C�). Det �nns alltså ettmartingalmått om denna ekvation har en lösning för varje T � T�; vilket vifr o m med nu antager. I detta fall är alltså
df(t; T ) = �(t; T )
Z T
t
�(t; s)�dsdt+ �(t; T )dW 0(t)
där driftvektorn alltså är helt bestämd av volatilitetsstrukturen. Fr o mnu antager vi också följande determinantvillkor nämligen att det till varjeT 2 ]0; T�[ existerar T1; :::; Tn 2 [T; T�] ; där T1 < ::: < Tn; så att
det f�j(t; Tk)g 6= 0 för alla 0 � t � T:
Antag nu att 0 < T < T� och välj T1; :::; Tn 2 [T; T�] ; där T1 < ::: < Tn;så att det f�j(t; Tk)g 6= 0 för alla 0 � t � T . Man kan lätt de�niera be-greppet själv�nansierande strategi för gruppen av obligationer med mognadvid tidpunkterna T1; :::; Tn och placering i bank. Vi uppfattar här placeringi bank som en placering vars tillväxt bestäms av den korta räntan. Om vihar ett europeiskt derivat med utbetalning X vid tiden T så kan vi, un-der lämpliga integrabilitetsvillkor på X; �nna en själv�nansierande strategiför dessa obligationer och placering i bank som har värdet X vid tiden T:Marknaden är i denna mening komplett.
Exempel 1. Determinantvillkoret ovan är uppfyllt om n = 1 och �(t; T ) = �är en positiv konstant oberoende av t och T: I detta fall gäller att
df(t; T ) = �
Z T
t
�dsdt+ �dW 0(t)
ochdf(t; T ) = �2(T � t)dt+ �dW 0(t)
230
varförf(t; T ) = f(0; T ) + �2t(T � t
2) + �W 0(t):
Notera att
r(t) = f(0; t) +�2
2t2 + �W 0(t):
Vi får också attZ T
t
f(t; s)ds =
Z T
t
f(0; s)ds+�2
2tT (T � t) + �(T � t)W 0(t)
och
p(t; T ) =p(0; T )
p(0; t)e�
�2
2tT (T�t)��(T�t)W 0(t):
Denna formel framkom redan i en föregångare till HJM , nämligen Ho-Leeskorträntemodell (se [BS]):
Exempel 2. Determinantvillkoret ovan är uppfyllt om n = 2 och��1(t; T ) = �1�2(t; T ) = �2e
��(T�t)
där �1; �2 och � är positiva konstanter (se [HJM ]):
Antag nu att 0 < T < T�: Ett derivat som utbetalar beloppet X vid tidenT får det arbitragefria priset
X(t) = B(t)EQ�
X
B(T )j Ft�
vid tiden t 2 [0; T ] : Vi utesluter återigen preciserade integrabilitetsvillkor påX för att inte tynga framställningen.
Exempel 3. Ett lån på beloppetK; som kontrakteras vid tiden 0; löper medmarknadsräntan L över perioden från T0 till T1: Här bestäms L av ekvationen
p(T0; T1) =1
1 + �L
231
där � = T1 � T0. Låntagaren betalar tillbaka beloppet (1 + �L)K vid tidenT1.En swap med swap-räntan R utbetalar beloppet
X = K�(L�R)
vid tiden T1: Dess värde v(0) vid tiden 0 kan beräknas utan att kännavolatilitetsstrukturen. För att se detta utgår vi från att
v(0) = EQhe�
R T10 r(t)dtX
idär
X = K(1
p(T0; T1)� 1� �R):
Om vi sätter R� = 1 + �R blir
v(0) = KEQ�e�
R T10 r(t)dt(
1
p(T0; T1)�R�)
�=
KEQ�EQ�e�
R T10 r(t)dt(
1
p(T0; T1)�R�) j FT0
��=
KEQ�e�
R T00 r(t)dt(
1
p(T0; T1)�R�)EQ
he�
R T1T0
r(t)dt j FT0i�
KEQ�e�
R T00 r(t)dt(
1
p(T0; T1)�R�)p(T0; T1)
�=
KEQhe�
R T00 r(t)dt(1�R�p(T0; T1))
i= K(p(0; T0)�R�p(0; T1)):
Antag nu återigen att 0 < T < T�: Ett derivat som utbetalar beloppetX � 0 vid tiden T får det arbitragefria priset
X(t) = B(t)EQ�
X
B(T )j Ft�
vid tiden t 2 [0; T ] : Antag nu dessutom att P [X(T ) > 0] = 1; så attP [X(t) > 0] = 1; 0 � t � T; och de�niera
dQX =X(T )
X(0)B(T )dQ på FT :
232
Sats 4. Om(Z(t)
B(t))0�t�T
är en Q-martingal så är
(Z(t)
X(t))0�t�T
en QX-martingal.Speciellt följer för 0 � t � min(T; ~T ) att
X(t)EQX
�Z(T )
X(T )j Ft�= ~X(t)EQ
~X
"Z( ~T )~X( ~T )
j Ft
#
om ~X; ~T uppfyller samma förutsättningar som X;T:
Bevis. SättU =
X(T )
X(0)B(T )
och
U(t) = EQ [U j Ft] =X(t)
X(0)B(t):
Låt
Y =Z(T )
X(T ):
Vi visar först att
EQX
[Y j Ft] =1
U(t)EQ [Y U j Ft] :
Om A 2 Ft gäller nämligen att
EQX
[Y 1A] = EQ [Y U1A] = EQ�EQ [Y U j Ft] 1A
�=
EQX
�1
U(t)EQ [Y U j Ft] 1A
�:
Nu får vi attEQ
X
[Y j Ft] =1
U(t)EQ [Y U j Ft] =
233
X(0)B(t)
X(t)EQ�Z(T )
X(T )
X(T )
X(0)B(T )j Ft�=B(t)
X(t)EQ�Z(T )
B(T )j Ft�=Z(t)
X(t)
vilket visar satsen.
Låt nu X vara en T -obligation och sätt QX = QT : Om
dQT = UdQ på FT
där
U =1
p(0; T )B(T )
ochU(t) = EQ [U j Ft]
så är
U(t) =p(t; T )
p(0; T )B(t):
Vidare gäller att
dp(t; T )
B(t)=dp(t; T )
B(t)� p(t; T )
B2(t)dB(t) =
1
B(t)p(t; T )(r(t) + S(t; T )dW 0(t))� r(t)p(t; T )
B(t)dt =
p(t; T )
B(t)S(t; T )dW 0(t):
Således ärU(t) = e
R t0 S(u;T )dW
0(u)� 12
R t0 jS(u;T )j
2du:
Vi har därmed visat att
dQT = eR T0 S(u;T )dW 0(u)� 1
2
R T0 jS(u;T )j
2dudQ på FT
Om vi de�nierar
W T (t) =W 0(t)�Z t
0
S(u; T )�du; 0 � t � T
så är processenW T = (W T (t))0�t�T en normaliserad Wiener process relativtsannolikhetsmåttet QT :
234
Problem 1. Låt 0 < T < ~T , K > 0 och sätt A =hp(T; ~T ) > K
i: Visa att
QT (A) = �(d2)
där
d2 =ln p(0; ~T )
Kp(0;T )� 1
2�2(T )
�(T )
och
�(T ) =
sZ T
0
j S(u; ~T )� S(u; T ) j2 du:
Lösning. Sätt
Z(t; T ) =p(t; ~T )
p(t; T ):
Eftersom
p(t; T )
p(0; T )B(t)= U(t) = e
R t0 S(u;T )dW
0(u)� 12
R t0 jS(u;T )j
2du
så följer att
Z(t; T ) =p(0; ~T )
p(0; T )eR t0 (S(u;
~T )�S(u;T ))dW0(u)� 12
R t0 (jS(u; ~T )j
2�jS(u;T )j2)du:
Vi utnyttjar nu att
W 0(t) =W T (t) +
Z t
0
S(u; T )�du; 0 � t � T
och får
Z(t; T ) =p(0; ~T )
p(0; T )eR t0 (S(u;
~T )�S(u;T ))dWT (u)� 12
R t0 jS(u; ~T )�S(u;T )j
2du
:
Om G 2 N(0; 1) så följer nu att
QT (A) = QT [Z(T; T ) > K] =
P
"p(0; ~T )
p(0; T )e�(T )G�
12�2(T ) > K
#
235
och resultatet följer lätt.
Problem 2. Låt K > 0; 0 � T � ~T och sätt A =hp(T; ~T ) > K
i: Visa att
Q~T (A) = �(d1)
där
d1 =ln p(0; ~T )
Kp(0;T )+ 1
2�2(T )
�(T )= d2 + �(T ):
Lösning. Sätt
Y (t; T ) =1
Z(t; T )=p(t; T )
p(t; ~T ):
Från lösningen av problem 1 ser vi att
Y (t; T ) =p(0; T )
p(0; ~T )eR t0 (S(u;T )�S(u; ~T ))dW
0(u)� 12
R t0 (jS(u;T )j
2�jS(u; ~T )j2)du
och genom att utnyttja relationen
W 0(t) =W~T (t) +
Z t
0
S(u; ~T )�du
får vi
Y (t; T ) =p(0; T )
p(0; ~T )eR t0 (S(u;T )�S(u; ~T ))dW
~T (u)� 12
R t0 jS(u;T )�S(u; ~T )j
2du
:
Om G 2 N(0; 1) så följer nu att
Q~T (A) = QT
�Y (T; T ) <
1
K
�=
P
�p(0; T )
p(0; ~T )e�(T )G�
12�2(T ) <
1
K
�och resultatet följer lätt.
Sats 5. Antag T < ~T < T�: En europeisk köpoption på ~T -obligationen medmognadstiden T och lösenpriset K har priset
C(0) = p(0; ~T )�(d1)�Kp(0; T )�(d2)
236
vid tiden 0:Om en europeisk säljoption på ~T -obligationen med mognadstiden T och
lösenpriset K har priset P (0) vid tiden 0 så gäller
p(0; ~T )� C(0) = Kp(0; T )� P (0):
Bevis. Låt C(t) beteckna köpoptionens pris vid tiden t: Då är (C(t)B(t))0�t�T
en Q-martingal varför( C(t)p(t;T )
)0�t�T en QT -martingal. Alltså är
C(0)
p(0; T )= EQ
Th(p(T; ~T )�K)+
i:
Om A =hp(T; ~T ) > K
iså följer att
C(0)
p(0; T )= EQ
Thp(T; ~T )1A
i�KQT (A):
Vidare är
p(0; T )EQThp(T; ~T )1A
i= EQ
"p(T; ~T )
B(T )1A
#=
EQ�1AE
Q
�1
B( ~T )j FT
��= EQ
�1A
1
B( ~T )
�= p(0; ~T )Q
~T (A)
och den första delen av sats 5 följer nu direkt från problem 1 och 2.Den senare delen av sats 5 följer lätt från de�nitionerna.
Exempel 4. Ett lån på beloppetK; som kontrakteras vid tiden 0; löper medmarknadsräntan L över perioden från T0 till T1: Här bestäms L av ekvationen
p(T0; T1) =1
1 + �L
där � = T1 � T0. Låntagaren betalar tillbaka beloppet (1 + �L)K vid tidenT1.
237
En caplet med cap-räntan R utbetalar beloppet
X = K�max(L�R; 0)
vid tiden T1: Dess värde v(0) vid tiden 0 kan lätt bestämmas med hjälp avsats 5. Vi har nämligen att
v(0) = EQhe�
R T10 r(t)dtX
ioch
X = Kmax(1
p(T0; T1)� 1� �R):
Om vi sätter R� = 1 + �R blir
v(0)
K= EQ
�e�
R T10 r(t)dtmax(
1
p(T0; T1)�R�)
�=
EQ�EQ�e�
R T10 r(t)dtmax(
1
p(T0; T1)�R�) j FT0
��=
EQ�e�
R T00 r(t)dtmax(
1
p(T0; T1)�R�)EQ
he�
R T1T0
r(t)dt j FT0i�
EQ�e�
R T00 r(t)dtmax(
1
p(T0; T1)�R�)p(T0; T1)
�=
R�EQ�e�
R T00 r(t)dtmax(
1
R�� p(T0; T1))
�dvs v(0) blir lika med KR� multiplicerat med värdet vid tiden 0 för eneuropeisk säljoption på T1-obligationen med inlösen vid T0 och lösenpriset1R� . Ett analytiskt värde på v(0) erhålls nu med hjälp av sats 5.En cap, som är en summa av caplets, kan nu också ges en enkel prisformel.
239
TENTAMENSSKRIVNINGAR MED LÖSNINGAR
Beroende på en justering av begreppet arbitrage i textboken fr o m versionenefter juni 99 har vissa tentamensuppgifter på motsvarande sätt justerats föratt fortfarande vara lämpliga övningsuppgifter.
MATEMATIK OCH OPTIONER (CTH[TMA861]&GU[MAN690])
Skrivningsdag: 22/5 f (1997)Lokal: ML 11Hjälpmedel: BetaInlämning skall ske i uppgifternas ordning; v.g. sidnumrera!Examinator och telefonvakt: Christer Borell, tel. 330 19 59Uppgift 4 ger maximalt 4 poäng; övriga uppgifter ger maximalt 3 poäng.������������������������� ������
Förutsättning: I uppgifterna 1, 4 och 5 förutsätts att aktiens pris S(t);t � 0; beskriver en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell driftoch volatiliteten �: Dessutom erbjuder marknaden en obligation varspris B(t) vid tiden t är lika med B(0)ert:
Beteckning: (W (t))t�0 betecknar genomgående en normaliserad reellvärdWienerprocess.
Uppgifter:
1. Ett derivat i aktien utbetalar 1S(T )
slutdagen T > 0: Bestäm derivatetsvärde vid tiden t 2 [0; T [ :
2. En reellvärd stokastisk process (X(t))0�t�T löser den stokastiska di¤er-entialekvationen
dX(t) = � 1
t+ 1X(t)dt+ dW (t) ; 0 � t � T;
och uppfyller X(0) = 1: Beräkna E [X(t)(1 +X(t))] :
3. Visa att processen W 3(t)� 3tW (t); t � 0; är en Wienermartingal.
240
4. Antag n 2 N+; 0 < T0 < T och
Tj = T0 +j
n(T � T0); j = 1; :::; n:
Ett derivat i aktien utbetalar j S(Tj) � S(Tj�1) j vid tiden Tj för j =1; :::; n: Bestäm derivatets värde v(t) = vn(t) vid tiden t 2 [0; T0] : Visaockså att vn(t)!1 då n!1:
5. Ett enkelt europeiskt derivat i aktien med utbetalningsfunktionen f 2P och slutdagen T > 0 har värdet v(t; S(t)) vid tiden t 2 [0; T [ där
v(t; s) = e�r�Ehf(se(r�
�2
2)�+�W (�))
ioch � = T�t: Visa med hjälp härav att en europeisk köpoption i aktienmed slutdagen T och lösenpriset K har värdet c(t; S(t); K) vid tiden t2 [0; T [ där
c(t; s;K) = s�(d1)�Ke�r��(d2);
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)�
�p�
och d2 = d1 � �p� :
6. Låtm1 beteckna Lebesguemåttet i R och antag funktionen f 2 L1(m1)är jämn och icke-negativ:Visa att funktionen �(s; t) = f(s�t); s; t 2 R,har följande egenskaper: (i) � är reellvärd, (ii) �(s; t) = �(t; s) för allas; t 2 R och (iii)
nXj;k=1
ajak�(tj; tk) � 0
för alla a1; :::; an; t1; :::; tn 2 R och alla heltal n � 1.
7. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidsstegmed parametrarna u; d och r. De�niera begreppet arbitrage och avgörunder vilka villkor på parametrarna som modellen är arbitragefri.
8. Antag att ak 2 L1W [0; T ], bk 2 L2W [0; T ] och låt
dXk(t) = ak(t)dt+ bk(t)dW (t)
241
för k = 0; 1; 2: Visa att
dXn0 (t) = nXn�1
0 (t)dX0(t) +n(n� 1)
2Xn�20 (t)b20(t)dt; n = 2; 3; :::
genom att utgå ifrån att
d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) + b1(t)b2(t)dt:
MATEMATIKOCHOPTIONER (CTH[TMA861]&GU[MAN690])
Skrivningsdag: 25 april 1998, kl 845 � 1345Lokal: gamla maskinhusetHjälpmedel: BetaInlämning skall ske i uppgifternas ordning; v.g. sidnumrera!Examinator och telefonvakt: Christer Borell, tel. 330 19 59OBS: Text på 2 sidor
Nedan betecknar (W (t))t�0 en normaliserad reellvärdWienerprocess. I uppgifterna2,4,6b och 8 förutsätts att aktiens pris
S(t) = S(0)e(���2
2)t+�W (t); t � 0;
beskriver en geometrisk Brownsk rörelse med drift samt att marknaden er-bjuder en obligation, vars pris B(t) vid tiden t är lika med B(0)ert: Här är�; �; S(0) och B(0) reella konstanter och �; S(0); B(0) > 0:
1. Betrakta binomialmodellen i ett tidssteg för en aktie och en obligation,där parametrarna uppfyller u > r > d och u > 0 > d: Aktiens pris vidtiden t 2 f0; 1g betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typutbetalar beloppet
max(0;S(0) + S(1)
2� S(0))
vid tiden t = 1: Bestäm derivatets värde vid tiden t = 0:
242
2. Antag � 2 R och betrakta ett aktiederivat av europeisk typ som utbe-talar beloppet B(T )1��S(T )� slutdagen T: Derivatets värde vid tident < T är en funktion av B(t); S(t); T � t; � och �: Bestäm dennafunktion.
3. Betrakta ekvationen�dX(t) = �X(t)dt+ dW (t)X(0) = 0; t � 0:
a) Bestäm kovariansen för processen (X(t))t�0. b) BeräknaEhR 10X(t)dX(t)
i:
4. Låt t0 < T och betrakta ett aktiederivat av europeisk typ som utbetalarbeloppetmax(S(t0); S(T )) slutdagen T: Bestäm derivatets värde vid engodtycklig tidpunkt t � t0:
5. Bestäm fördelningen för den stokastiska variabelnR T0W (t)dt, där T är
en positiv konstant.
6. a) Formulera Itôs lemma. b) Visa att
dS(t)
S(t)= �dt+ �dW (t):
7. Antag
L(2)� =
n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2
där � : 0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T betecknar en indelning avintervallet [0; T ] : Visa att
L(2)� ! T i L2(P )
då indelningens �nhet
� = max0�k�n�1
(tk+1 � tk)
går mot noll.
243
8. Ett enkelt aktiederivat av europeisk typ med slutdagen T har värdetv(t; S(t)) vid tiden t: Härled Black-Scholes di¤erentialekvation
@v
@t+�2s2
2
@2v
@s2+ rs
@v
@s� rv = 0; t < T; s > 0;
med hjälp av stokastisk kalkyl.
MATEMATIKOCHOPTIONER (CTH[TMA861]&GU[MAN690])
Skrivningsdag: 2 juni 1998, kl 845 � 1345Lokal: gamla maskinhusetHjälpmedel: BetaInlämning skall ske i uppgifternas ordning; v.g. sidnumrera!Telefonvakt: Christer Borell, tel. 63 58 00 (Barken Viking, LKF-möte)Alternativt nås examinator på tel. 35 00OBS: Text på 2 sidor������������������������� ������Nedan betecknar (W (t))t�0 en reellvärd normaliserad Wienerprocess. I
uppgifterna 1, 4 och 8 förutsätts Black-Scoles modell. Här ges aktiens prisS(t) vid tiden t � 0 av ekvationen
S(t) = S(0)e(���2
2)t+�W (t)
där � 2 R och där � och S(0) är positiva konstaner. Obligationens pris B(t)vid tiden t � 0 är lika med B(0)ert; där B(0) och r är en positiva konstanter:En europeisk köpoption i aktien med slutdagen T > 0 och lösenpriset K hari denna modell värdet s�(d1)�Ke�r��(d2) vid tiden t 2 [0; T [ , där
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)�
�p�
;
d2 = d1 � �p� och � = T � t:
1. Antag att K;T > 0 och S(0) < Ke��T : Bestäm det största talet �0 > 0sådant att sannolikheten P [S(T ) > K] är en växande funktion av � iintervallet [0; �0] :
244
2. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, där para-metrarna uppfyller u > r > 0 � d och t 2 f0; 1; :::; ng : Aktienspris vid tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typmed slutdagen n utbetalar denna dag beloppet Y; där Y = S(n) omS(0) < S(1) < ::: < S(n) och Y = S(0) i annat fall. Bestäm derivatetsvärde vid tiden 0:
3. Antag n 2 N+: a) Visa att
1
n
nXk=1
W (k
n) =
Z 1
0
hn(t)dW (t)
där
hn(t) = 1�k
n;k
n� t <
k + 1
n; k = 0; :::; n� 1:
b) Beräkna variansen av den stokastiska variabeln
X =
Z 1
0
W (t)dt� 1n
nXk=1
W (k
n):
4. Ett derivat av europeisk typ utbetalar beloppet max(S(T ); K) slutda-gen T > 0; därK > 0 är ett givet tal. Låt u(t; S(t)) beteckna derivatetsvärde vid tiden t < T: a) Visa att u0s(t; s) = �(d1). b) Visa att funk-tionen
su0s(t; s)
u(t; s); s > 0
är strängt växande för �xt t: Ge en ekonomisk tolkning av denna egen-skap.
5. a) Bestäm Fouriertransformen av Gaussmåttet
(A) =
ZA
e�x2
2dxp2�; A 2 B(R):
b) Antag X 2 N(�; �2): Beräkna väntevärdet E�ei�X
�för reella tal �:
6. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidsstegmed parametrarna u; d och r. De�niera begreppet arbitrage och avgörunder vilka villkor på parametrarna som modellen är arbitragefri.
245
7. Antag T > 0 och sätt
L(1)n =2n�1Xk=0
j W (k + 12n
T )�W ( k2nT ) j :
Visa attlimn!1
L(1)n =1 n.s.
8. Visa att varje själv�nansierande portföljstrategi i aktien och obligation-en är arbitragefri i Black-Scholes modell.
MATEMATIKOCHOPTIONER (CTH[TMA861],GU[MAN690])
Skrivningsdag: 8 maj 1999, kl 845 � 1345 Lokal : mg Hjälpmedel: BetaTelefonvakt: Christer Borell, tel. 330 19 59 OBS: Text på 2 sidor������������������������� ������Nedan betecknar (W (t))t�0 en normaliserad reellvärd Wienerprocess. I
uppgifterna 3 och 6 förutsätts Black-Scholes modell. Aktiens pris S(t) vid
tiden t � 0 ges av ekvationen S(t) = S(0)e(���2
2)t+�W (t); där � 2 R och där
� och S(0) är positiva konstanter. Obligationens pris B(t) vid tiden t � 0 ärlika med B(0)ert; där B(0) och r är en positiva konstanter:
1. (3p) Betrakta den stokastiska di¤erentialekvation
dX(t) = �12X(t)dt+ tdW (t); t � 0
med begynnelsevärdet X(0) = 0: Beräkna E [X2(t)] :
2. (3p) Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, därparametrarna uppfyller u > r > 0; d = �u och t 2 f0; 1; 2g : Aktienspris vid tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typmed slutdagen 2 utbetalar denna dag beloppet max(S(0); S(1); S(2)):Bestäm derivatets värde vid tiden 0:
246
3. (3p) Låt t < T < T1 och K > 0: Ett �nansiellt derivat ger innehavarenrättigheten, men ej skyldigheten, att vid tiden T byta en europeisksäljoption i aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K mot en eu-ropeisk köpoption i aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K: Bestämderivatets värde vid tiden t:
4. (4p) Antag u(t; x) = x4 + 7x3 � 6tx2 � 21tx + 3t2; t � 0; x 2 R.Visa att processen (u(t;W (t)))t�0 är en Wienermartingal. (Ledning:Använd Itôs lemma.)
5. (3p) Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation då para-metrarna uppfyller u � r � d; r > 0 och t 2 f0; 1g : Aktiens pris vidtiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ utbetalarbeloppet f(S(1)) vid tiden 1; där f är en reellvärd funktion med def-initionsmängden
�S(0)eu; S(0)ed
: De�niera derivatets teoretiska pris
vid tiden 0 . Motivera de�nitionen!
6. (3p) Ett enkelt europeiskt derivat i aktien med utbetalningsfunktionenf 2 P och slutdagen T > 0 har värdet v(t; S(t)) vid tiden t 2 [0; T [där
v(t; s) = e�r�Ehf(se(r�
�2
2)�+�W (�))
ioch � = T�t: Visa med hjälp härav att en europeisk köpoption i aktienmed slutdagen T och lösenpriset K har värdet c(t; S(t); K) vid tiden t2 [0; T [ ; där c(t; s;K) = s�(d1)�Ke�r��(d2);
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)�
�p�
och d2 = d1 � �p� :
7. a) (1p) De�niera begreppet reellvärd Gaussisk process. b) (2p) Antag(Xt)t2f0;1g är en reellvärd Gaussisk process. Visa att X0 och X1 ärstokastiskt oberoende om och endast om
Cov(X0; X1) = 0:
8. a) (2p) Antag funktionen f är kvadratiskt integrerbar i intervallet [0; T ]dvs f 2 L2(m[0;T ]): De�niera Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska inte-gral Z T
0
f(t)dW (t)
247
och visa att Z T
0
f(t)dW (t) 2 N(0;Z T
0
f 2(t)dt):
b) (1p) Visa att
E
�Z T
0
f(t)dW (t)
Z T
0
g(t)dW (t)
�=
Z T
0
f(t)g(t)dt
om f; g 2 L2(m[0;T ]):
MATEMATIKOCHOPTIONER (CTH[TMA861],GU[MAN690])
Skrivningsdag: 22 maj 1999, kl 845 � 1345 Lokal : mg Hjälpmedel: BetaTelefonvakt: Christer Borell, tel. 330 19 59 OBS: Text på 2 sidor������������������������� ������Nedan betecknar (W (t))t�0 en reellvärd normaliserad Wienerprocess. I
uppgift 4 förutsätts Black-Scholes modell. Aktiens pris S(t) vid tiden t � 0ges av ekvationen S(t) = S(0)e(��
�2
2)t+�W (t); där � 2 R och där � och S(0)
är positiva konstanter. Obligationens pris B(t) vid tiden t � 0 är lika medB(0)ert; där B(0) och r är positiva konstanter:Om x 2 R de�nieras x+ = max(0; x) och coshx = 1
2(ex + e�x):
1. a) (3p) Lös den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = �X(t)1� tdt+ dW (t); 0 � t < 1
med begynnelsevärdet X(0) = 0: Visa att den stokastiska processen(X(t))0�t<1 är en centrerad Gaussisk process och bestäm dess kovari-ansfunktion.
b) (1p) Sätt Y (t) =W (t)� tW (1); 0 � t < 1: Visa att den stokastiskaprocessen (Y (t))0�t<1 är en centrerad Gaussisk process och bestäm desskovariansfunktion.
2. (3p) Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, därparametrarna uppfyller u > 0; d = �u; r = u
2och t 2 f0; 1; 2g : Aktiens
pris vid tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typmed slutdagen 2 utbetalar denna dag beloppet
(S(0)� S(1))+ + (S(1)� S(2))+:Bestäm derivatets värde vid tiden 0:
248
3. (3p) Visa att processen
(e�t2 coshW (t))t�0
är en Wienermartingal.
4. En europeisk köpoption i aktien med slutdagen T och lösenprisetK hardet teoretiska priset c(t; S(t); K) vid tiden t 2 [0; T [ ; där c(t; s;K) =s�(d1)�Ke�r��(d2); � = T � t;
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)�
�p�
och d2 = d1 � �p� : Visa att
a) (1p)@c
@s= �(d1)
b) (2p)c(t; s;K)
c(t; s0; K)>
s
s0om s > s0:
5. (3p) Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation i etttidssteg med parametrarna u, d och r: De�niera begreppet arbitrageoch avgör under vilka villkor på parametrarna som modellen saknararbitrage.
6. (3p) Låt m beteckna Lebesguemåttet i R och antag att funktionen f 2L1(m) är jämn och icke-negativ. Visa att funktionen C(s; t) = f(s� t);s; t 2R, är en kovarians.
7. (3p) Betrakta indelningen � : 0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T avintervallet [0; T ] och de�niera
L(2)� =
n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2:
Visa att L(2)� ! T i L2(P ) då indelningens �nhet
� = max0�k�n�1
(tk+1 � tk)
går mot noll.
249
8. (3p) Antag funktionen f : [0; T ]! R är kontinuerligt deriverbar. Visaatt Z T
0
f(t)dW (t) = f(T )W (T )�Z T
0
f 0(t)W (t)dt:
L �OSNINGAR :MATEMATIK OCH OPTIONER f 22/5 (1997)
Uppgift 1. Ett derivat i aktien utbetalar 1S(T )
slutdagen T > 0: Bestämderivatets värde vid tiden t 2 [0; T ] :
Lösning: Sätt f(s) = 1s; s > 0 och � = T � t: Derivatets värde vid tiden t
är lika med v(t; S(t)) där
v(t; s) = e�r�Ehf(se(r�
�2
2)�+�W (�))
i:
Härav följer att
v(t; s) = e�r�E
�1
se(r��2
2)�+�W (�)
�=
1
se�(2r�
�2
2)�E
�e��W (�)
�=1
se�(2r�
�2
2)�e
�2
2� =
1
se(�
2�2r)�
Svar: 1S(t)
e(�2�2r)� där � = T � t:
Uppgift 2. En reellvärd stokastisk process (X(t))0�t�T löser den stokastiskadi¤erentialekvationen
dX(t) = � 1
t+ 1X(t)dt+ dW (t) ; 0 � t � T;
och uppfyller X(0) = 1: Beräkna E [X(t)(1 +X(t))] :
250
Lösning: Vi skriver ekvationen på formen
dX(t) +1
t+ 1X(t)dt = dW (t)
och får efter förlängning med den integrerande faktorn
eln(t+1) = t+ 1
den ekvivalenta ekvationen
d((t+ 1)X(t)) = (t+ 1)dW (t):
Integration ger nu att
(t+ 1)X(t)� 1 =Z t
0
(�+ 1)dW (�)
dvs
X(t) =1
t+ 1+
1
t+ 1
Z t
0
(�+ 1)dW (�):
Om f 2 L2(m[0;t]) och
Y =
Z t
0
f(�)dW (�)
gäller emellertid att
E [Y ] = 0 och E�Y 2�=
Z t
0
f 2(�)d�:
Härav följer att
E [X(t)] =1
t+ 1
och
E�X2(t)
�=
�1
t+ 1
�2+
�1
t+ 1
�2E
"�Z t
0
(�+ 1)dW (�)
�2#=
�1
t+ 1
�2+
�1
t+ 1
�2�Z t
0
(�+ 1)2d�
�2=
251
(t+ 1)3 + 2
3(t+ 1)2:
Svar: t3+3t2+6t+63(t+1)2
Uppgift 3. Visa att processenW 3(t)�3tW (t); t � 0; är enWienermartingal.
Lösning: Sätt X(t) = W 3(t)� 3tW (t); och Ft = �(W (�); � � t) för t � 0:Det är tydligt att X(t) 2 L1(P ) och att X(t) är Ft-mätbar för varje t: Antagnu 0 � t0 � t: Det gäller att
E [X(t) j Ft0 ] = E�W 3(t) j Ft0
�� 3tE [W (t) j Ft0 ] :
Här är
E [W (t) j Ft0 ] = E [W (t)�W (t0) j Ft0 ] + E [W (t0) j Ft0 ]
och eftersom �(W (t)�W (t0)) och Ft0 är stokastiskt oberoende följer att
E [W (t)�W (t0) j Ft0 ] = E [W (t)�W (t0)] = 0:
Alltså ärE [W (t) j Ft0 ] =W (t0):
Vi får också att
E�W 3(t) j Ft0
�= E
�((W (t)�W (t0)) +W (t0))3 j Ft0
�=
E�(W (t)�W (t0))3 j Ft0
�+ 3E
�(W (t)�W (t0))2W (t0) j Ft0
�+
3E�(W (t)�W (t0))W 2(t0) j Ft0
�+ E
�W 3(t0) j Ft0
�=
E�(W (t)�W (t0))3
�+ 3W (t0)E
�(W (t)�W (t0))2 j Ft0
�+
3W 2(t0)E [W (t)�W (t0) j Ft0 ] +W 3(t0) =
0 + 3W (t0)E�(W (t)�W (t0))2
�+ 3W (t0)
2E [W (t)�W (t0)] +W 3(t0) =
0 + 3W (t0)(t� t0) + 0 +W 3(t0)) = 3W (t0)(t� t0) +W 3(t0):
252
Utnyttjas ovanstående får vi
E [X(t) j Ft0 ] = E�W 3(t) j Ft0
�� 3tE [W (t) j Ft0 ] =
3W (t0)(t� t0) +W 3(t0)� 3tW (t0) = X(t0):
Processen (X(t))t�0 är därför en Wienermartingal.
Alternativ lösning: Välj T > 0 godtyckligt och sätt
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t); 0 � t � T:
Det räcker att visa att a = 0 och att
b 2M2W [0; T ] :
Itôs lemma medför att
dW 3(t) = 3W 2(t)dW (t) +1
23 � 2W (t)dt
och eftersomd(tW (t)) = W (t)dt+ tdW (t)
blirdX(t) = dW 3(t)� 3d(tW (t)) =
3W 2(t)dW (t) + 3W (t)dt� 3W (t)dt� 3tdW (t) =3W 2(t)dW (t)� 3tdW (t) = 3(W 2(t)� t)dW (t):
Alltså är a = 0 och b(t) = 3(W 2(t) � t); 0 � t � T: Det följer lätt attb 2M2
W [0; T ] ty om G 2 N(0; 1) så ärZ T
0
E�b2(t)
�dt =
Z T
0
E�(tG2 � t)2
�dt =
T 3
3E�(G2 � 1)2
�<1:
Uppgift 4. Antag n 2 N+; 0 < T0 < T och
Tj = T0 +j
n(T � T0); j = 1; :::; n:
253
Ett derivat i aktien utbetalar j S(Tj)�S(Tj�1) j vid tiden Tj för j = 1; :::; n:Bestäm derivatets värde v(t) = vn(t) vid tiden t 2 [0; T0] : Visa också attvn(t)!1 då n!1:
Lösning: Om a är ett reellt tal så är j a j = 2max(0; a) � a: Vi låter förstj 2 f1; :::; ng vara �xt. Utbetalningsbeloppet vid tiden Tj kan skrivas
j S(Tj)� S(Tj�1) j= 2max(0; S(Tj)� S(Tj�1))� S(Tj) + S(Tj�1):
Ett derivat som vid tiden Tj utbetalar j S(Tj) � S(Tj�1) j har därför enligtdominansprincipen värdet
2c(Tj�1; S(Tj�1); S(Tj�1);Tj)� S(Tj�1) + S(Tj�1)e�r�n
vid tiden Tj�1 där
�n =1
n(T � T0):
Här ärc(Tj�1; S(Tj�1); S(Tj�1);Tj) = S(Tj�1)bn
där enligt Black-Scholes formel för den europeiska köpoptionens värde gälleratt
bn = �((r + �2
2)
�
p�n)� e�r�n�(
(r � �2
2)
�
p�n):
Ett derivat som vid tiden Tj utbetalar j S(Tj) � S(Tj�1) j har alltså enligtdominansprincipen värdet
2S(t)bn � S(t) + S(t)e�r�n = S(t)(2bn � 1 + e�r�n)
vid tiden t 2 [0; Tj�1] :Ett derivat i aktien som utbetalar j S(Tj) � S(Tj�1) j vid tiden Tj för
j = 1; :::; n har därför värdet
vn(t) = nS(t)(2bn � 1 + e�r�n)
vid tiden t 2 [0; T0] : Här gäller att
limn!1
n(�1 + e�r�n) = �r(T � T0):
254
Vidare visar en Maclaurinutveckling av funktionen �(x); x 2 R; att
bn = �((r + �2
2)
�
p�n)� e�r�n�(
(r � �2
2)
�
p�n) =
�p2�
p�n +O(
1
n)
då n!1: Härav följer att vn(t)!1 då n!1:Svar: Derivatets värde vid tiden t 2 [0; T0] är lika med
nS(t)(2bn � 1 + e�r�n)
där bn och �n de�nieras ovan.
L �OSNINGAR : MATEMATIK OCH OPTIONER 25 april 1998
Uppgift 1. Betrakta binomialmodellen i ett tidssteg för en aktie och enobligation, där parametrarna uppfyller u > r > d och u > 0 > d: Aktienspris vid tiden t 2 f0; 1g betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisktyp utbetalar beloppet
max(0;S(0) + S(1)
2� S(0))
vid tiden t = 1: Bestäm derivatets värde vid tiden t = 0:
Lösning: Sätt
Y = max(0;S(0) + S(1)
2� S(0));
S(0) = s ochS(1) = seX :
Derivatets värde vid tiden t = 0 ges av
v(0) = e�rEQ [Y ]
där Q är martingalmåttet. Observera att
X = u) Y =s
2(eu � 1)
255
och attX = d) Y = 0:
Alltså ärv(0) = e�r
s
2(eu � 1)Q [X = u] =
se�r
2(eu � 1)e
r � edeu � ed =
s
2(eu � 1)1� e
d�r
eu � ed :
Svar: S(0)2(eu � 1)1�ed�r
eu�ed
Uppgift 2. Antag � 2 R och betrakta ett aktiederivat av europeisk typ somutbetalar beloppet B(T )1��S(T )� slutdagen T: Derivatets värde vid tident < T är en funktion av B(t); S(t); T � t; � och �: Bestäm denna funktion.
Lösning: Sätt f(s) = B(T )1��s�; s > 0 och � = T � t: Derivatets värde vidtiden t är lika med v(t; S(t)) där
v(t; s) = e�r�Ehf(se(r�
�2
2)�+�W (�))
i:
Härav följer att
v(t; s) = B(T )1��e�r�Ehs�e�(r�
�2
2)�+��W (�)
i=
B(T )1��e�r�s�e�(r��2
2)�E
�e��W (�)
�= B(T )1��e�r�s�e�(r�
�2
2)�e
12�2�2� =
B(T )1��e�(1��)r�s�e12�(���1)�2� :
Vi får därför att
v(t; S(t)) = B(T )1��e�(1��)r�S(t)�e12�(���1)�2� = e
12�(���1)�2�B(t)1��S(t)�
Svar: e12�(���1)�2�B(t)1��S(t)� där � = T � t
Uppgift 3. Betrakta ekvationen�dX(t) = �X(t)dt+ dW (t)X(0) = 0; t � 0:
256
a) Bestäm kovariansen för processen (X(t))t�0. b) BeräknaEhR 10X(t)dX(t)
i:
Lösning: a) Vi skriver ekvationen på formen
dX(t) +X(t)dt = dW (t)
och får efter förlängning med den integrerande faktorn et den ekvivalentaekvationen
d(etX(t)) = etdW (t):
Integration ger nu att
etX(t) =
Z t
0
e�dW (�)
dvs
X(t) =
Z t
0
e��tdW (�):
Speciellt gäller att E [X(t)] = 0:Antag nu att 0 � s � t: Då är
X(s) =
Z t
0
1[0;s](�)e��sdW (�)
och det följer att
E [X(s)X(t)] =
Z t
0
1[0;s](�)e��s e��td� =
e�s�tZ s
0
e2� d� =1
2(es�t � e�s�t) = 1
2(e�js�tj � e�s�t):
För godtyckliga s; t � 0 gäller därför att
Cov(X(s); X(t)) =1
2(e�js�tj � e�s�t):
b) Eftersom
E
�Z 1
0
X2(t)dt
�=
Z 1
0
E�X2(t)
�dt =
257Z 1
0
1
2(1� e�2t)dt = 1
4(1 + e�2) <1
följer att processen (X(t))0�t�1 2M2W [0; 1] och vi får att
E
�Z 1
0
X(t)dW (t)
�= 0:
EkvationenX(t)dX(t) = �X2(t)dt+X(t)dW (t)
ger nu att
E
�Z 1
0
X(t)dX(t)
�= �E
�Z 1
0
X2(t)dt
�= �1
4(1 + e�2):
Svar: Cov(X(s); X(t)) = 12(e�js�tj � e�s�t); E
hR 10X(t)dX(t)
i=
�14(1 + e�2)
Uppgift 4. Låt t0 < T och betrakta ett aktiederivat av europeisk typ somutbetalar beloppet max(S(t0); S(T )) slutdagen T: Bestäm derivatets värdevid en godtycklig tidpunkt t � t0:
Lösning: Vi har att
max(S(t0); S(T )) = S(t0) + max(0; (S(T )� S(t0)):
Låt v(t) beteckna derivatets värde vid tiden t: Om t 2 [t0; T ] så ger domi-nansprincipen att
v(t) = S(t0)e�r(T�t) + c(t; S(t); S(t0);T ):
Vi påminner om att det för t < T gäller att
c(t; s;K;T ) = s�(d1)�Ke�r(T�t)�(d2)
där
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)(T � t)
�pT � t
258
och d2 = d1 � �pT � t: Alltså är
v(t0) = S(t0)(e�r(T�t0) + c(t0; 1; 1;T ))
och dominansprincipen ger för t � t0 att
v(t) = S(t)(e�r(T�t0) + c(t0; 1; 1;T )):
Här är
c(t0; 1; 1;T )) = �((r
�+1
2�)pT � t0)� e�r(T�t0)�((
r
�� 12�)pT � t0))
och det följer att
v(t) = S(t)(�((r
�+1
2�)pT � t0) + e�r(T�t0)(1� �(( r
�� 12�)pT � t0))) =
S(t)(�((r
�+1
2�)pT � t0) + e�r(T�t0)�((� r
�+1
2�)pT � t0)) =
Svar: v(t) = S(t)(�(( r�+ 12�)pT � t0)+e�r(T�t0)�((� r
�+ 12�)pT � t0));
t � t0
L �OSNINGAR : MATEMATIK OCH OPTIONER 2 juni 1998
Uppgift 1. Antag att K;T > 0 och S(0) < Ke��T : Bestäm det största talet�0 > 0 sådant att sannolikheten P [S(T ) > K] är en växande funktion av �i intervallet [0; �0] :
Lösning. Sätt f(�) = P [S(T ) > K] och s = S(0): Relationen
S(T ) = se(���2
2)T+�W (T )
ger
f(�) = Phse(��
�2
2)T+�W (T ) > K
i=
259
P
"�W (T ) < 1
�lnse(��
�2
2)T
K
#= �(
1
�pT(ln
s
K+ (�� �2
2)T ):
Eftersom �0 > 0 så är f 0(�) � 0 om och endast om
d
d�
�1
�(ln
s
K+ (�� �2
2)T )
�� 0
vilket betyder att
� 1�2(ln
s
K+ (�� �2
2)T )� T � 0
eller
� �r2
TlnK
s� 2�:
Svar: �0 =q
2Tln K
S(0)� 2�
Uppgift 2. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, därparametrarna uppfyller u > r > 0 � d och t 2 f0; 1; :::; ng : Aktiens pris vidtiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ med slutdagenn utbetalar denna dag beloppet Y; där Y = S(n) om S(0) < S(1) < ::: <S(n) och Y = S(0) i annat fall. Bestäm derivatets värde vid tiden 0:
Lösning. Eftersom S(0) är en känd konstant är derivatets värde v(0) vidtiden 0 är lika med e�rnEQ [Y ] ; där Q är martingalmåttet. Här gäller att
Q [S(0) < S(1) < ::: < S(n)] = Q [aktien går upp i varje tidssteg] =�er � edeu � ed
�n:
Alltså är
v(0) = e�rn��
er � edeu � ed
�nS(0)enu + (1�
�er � edeu � ed
�n)S(0)
�
260
eller
v(0) = e�rn�1 +
�er � edeu � ed
�n(enu � 1)
�S(0):
Svar: e�rnn1 +
�er�edeu�ed
�n(enu � 1)
oS(0)
Uppgift 3. Antag n 2 N+: a) Visa att
1
n
nXk=1
W (k
n) =
Z 1
0
hn(t)dW (t)
där
hn(t) = 1�k
n;k
n� t <
k + 1
n; k = 0; :::; n� 1:
b) Beräkna variansen av den stokastiska variabeln
X =
Z 1
0
W (t)dt� 1n
nXk=1
W (k
n):
Lösning: a) Det gäller att
nXk=1
W (k
n) =
nXk=1
((k � n)� (k � 1� n))W (kn) =
�n�1Xk=0
(k � n)(W (k + 1n
)�W (kn))
och vi får att
1
n
nXk=1
W (k
n) =
n�1Xk=0
(1� k
n)(W (
k + 1
n)�W (k
n))
dvs1
n
nXk=1
W (k
n) =
Z 1
0
hn(t)dW (t):
261
b) Det gäller attZ 1
0
W (t)dt = [(t� 1)W (t)]t=1t=0 �Z 1
0
(t� 1)dW (t)
och därmed Z 1
0
W (t)dt =
Z 1
0
(1� t)dW (t):
Alltså är
X =
Z 1
0
(1� t� hn(t))dW (t):
Eftersom Z 1
0
(1� t� hn(t))2dt =n�1Xk=0
Z k+1n
kn
(1� t� hn(t))2dt =
n�1Xk=0
Z k+1n
kn
(k
n� t)2dt = 1
3n2<1
följer nu att E [X] = 0 och E [X2] = 13n2: Den stokastiska variabeln X har
alltså variansen 13n2:
Svar: b) 13n2
Uppgift 4. Ett derivat av europeisk typ utbetalar beloppet max(S(T ); K)slutdagen T > 0; därK > 0 är ett givet tal. Låt u(t; S(t)) beteckna derivatetsvärde vid tiden t < T: a) Visa att u0s(t; s) = �(d1). b) Visa att funktionen
su0s(t; s)
u(t; s); s > 0
är strängt växande för �xt t: Ge en ekonomisk tolkning av denna egenskap.
Lösning: a) Det gäller att max(S(T ); K) = K + max(0; S(T ) � K) ochdominansprincipen medför att u(t; S(T )) = Ke�r� + c(t; S(t); K;T ). Vidarevet vi att
c(t; s;K;T ) = s�(d1)�Ke�r��(d2):
262
Med beteckningen ' = �0 får vi därför att
@
@sc(t; s;K;T ) = �(d1) + s
1
s�p�'(d1)�Ke�r�
1
s�p�'(d2):
Vidare följer att
s'(d1) =1p2�se�
12�2�
(ln sKe�r� +
12�2�)2 =
1p2�sKe�r�
se�
12�2�
(ln sKe�r� �
12�2�)2 = Ke�r�'(d2)
varför@
@sc(t; s;K;T ) = �(d1)
ochu0s(t; s) = �(d1):
b) Sätt
�(s) =su0s(t; s)
u(t; s):
Det följer att
�(s) =s�(d1)
Ke�r� + s�(d1)�Ke�r��(d2)=
s�(d1)
s�(d1) +Ke�r��(�d2)=
1
1 +Ke�r�f(s)
därf(s) = �(�d2)
1
s
1
�(d1)
är en produkt av tre positiva strängt avtagande funktioner. Funktionen f(s)är därför strängt avtagande och funktionen �(s) är därmed strängt växande.Betrakta en själv�nansierande strategi i aktien och obligationen, som
innehåller u0s(t; S(t)) aktier vid tiden t och som har värdet max(K;S(T ))slutdagen T . Portföljens aktievärde vid tiden t < T ges av u0s(t; S(t))S(t)och portföljen består därför vid denna tidpunkt till
S(t)u0s(t; S(t))
u(t; S(t))� 100
263
procent av aktier. Vi kan därför säga att denna procentandel växer strängtmed aktiepriset om alla andra oberoende variabler hålls konstanta.
L �OSNINGAR :MATEMATIKOCHOPTIONER (CTH[TMA861],GU[MAN690])
Skrivningsdag: 8 maj 1999, kl 845 � 1345������������������������� ������
Uppgift1. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvation
dX(t) = �12X(t)dt+ tdW (t); t � 0
med begynnelsevärdet X(0) = 0: Beräkna E [X2(t)] :
Lösning. Ekvationen
dX(t) +1
2X(t)dt = tdW (t)
gerd(e
t2X(t)) = te
t2dW (t)
och därmed
et2X(t) =
Z t
0
�e�2 dW (�)
eftersom X(0) = 0: Härav följer att
X(t) =
Z t
0
�e��t2 dW (�)
och
E�X2(t)
�=
Z t
0
(�e��t2 )2d� =
e�tZ t
0
�2e�d� = e�t�e�(�2 � 2�+ 2)
�t0=
264
t2 � 2t+ 2� 2e�t SV AR
Uppgift2. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, därparametrarna uppfyller u > r > 0, d = �u och t 2 f0; 1; 2g : Aktiens pris vidtiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ med slutdagen 2utbetalar denna dag beloppetmax(S(0); S(1); S(2)): Bestäm derivatets värdevid tiden 0:
Lösning. Sätt S(0) = s och
S(t+ 1) = S(t)eXt+1 ; t = 0; 1:
Låt V (t) beteckna derivatets värde vid tiden t: Vi har att0BB@V (2)jX1=u;X2=u = max(s; se
u; seu+u) = se2u
V (2)jX1=u;X2=d = max(s; seu; seu+d) = seu
V (2)jX1=d;X2=u = max(s; sed; sed+u) = s
V (2)jX1=d;X2=d = max(s; sed; sed+d) = s
1CCAoch de�nieras
p =er � edeu � ed = 1� q
så följer att �V (1)jX1=u = e�r(pse2u + qseu)V (1)jX1=d = e�r(ps+ qs) = e�rs
�:
Alltså ärV (0) = e�r
�pe�r(pse2u + qseu) + qe�rs
=
se�2r�p2e2u + pqeu + q
SV AR
Uppgift3. Låt t < T < T1 ochK > 0: Ett �nansiellt derivat ger innehavarenrättigheten, men ej skyldigheten, att vid tiden T byta en europeisk säljoptioni aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K mot en europeisk köpoption iaktien med slutdagen T1 och lösenprisetK: Bestäm derivatets värde vid tident:
265
Lösning. Låt V (t) beteckna derivatets värde vid tiden t � T: Förutsättningenger att
V (T ) = max(0; c(T; S(T ); K;T1)� p(T; S(T ); K;T1)):
Men
S(T )� c(T; S(T ); K;T1) = Ke�r(T1�T ) � p(T; S(T ); K;T1):
(�put-call parity relation�) och det följer att
V (T ) = max(0; S(T )�Ke�r(T1�T )) = c(T; S(T ); Ke�r(T1�T );T ):
Dominansprincipen ger nu att
V (t) = c(t; S(t); Ke�r(T1�T );T ):
Om t < T följer slutligen att
V (t) = S(t)�(ln S(t)
K+ r(T1 � T ) + (r + �2
2)(T � t)
�pT � t
)�
Ke�r(T1�T )e�r(T�t)�(ln S(t)
K+ r(T1 � T ) + (r � �2
2)(T � t)
�pT � t
):
SV AR : Derivatets värde vid tiden t < T är lika med
S(t)�(ln S(t)
K+ r(T1 � T ) + (r + �2
2)(T � t)
�pT � t
)�
Ke�r(T1�t)�(ln S(t)
K+ r(T1 � T ) + (r � �2
2)(T � t)
�pT � t
):
Uppgift4. Antag u(t; x) = x4 + 7x3 � 6tx2 � 21tx+ 3t2; t � 0; x 2 R. Visaatt processen (u(t;W (t)))t�0 är en Wienermartingal. (Ledning: Använd Itôslemma.)
Lösning: Itôs lemma ger
du(t;W (t)) = u0t(t;W (t))dt+ u0x(t;W (t))dW (t) +1
2u00xx(t;W (t))(dW (t))
2 =
266
(u0t(t;W (t)) +1
2u00xx(t;W (t)))dt+ u0x(t;W (t))dW (t):
Här äru0t = �6x2 � 21x+ 6t;
u0x = 4x3 + 21x2 � 12tx� 21t
ochu00xx = 12x
2 + 42x� 12tvarför
@u
@t+1
2
@2u
@x2= 0:
Alltså gäller attdu(t;W (t)) = u0x(t;W (t))dW (t)
dvs
u(t;W (t)) =
Z t
0
u0x(�;W (�))dW (�)
eftersom u(0; 0) = 0:För att visa att processenZ t
0
u0x(�;W (�))dW (�); t � 0
är en Wienermartingal �xerar vi ett 0 < T <1 och sätter
h(t) = u0x(t;W (t)); 0 � t � T:
Det räcker nu att visa att h 2M2W [0; T ] : Det är självklart att h är progressivt
mätbar. Det återstår att visa att
E
�Z T
0
h2(t)dt
�<1:
Observera först att
j xk j� 1+ j x j3; k 2 f0; 1; 2; 3g ; x 2 R:
Därför gäller att
j u0x(t; x) j� A(1+ j x j3); 0 � t � T; x 2 R
267
där A = 4 + 21 + 12T + 21T: Eftersom
(1+ j x j3)2 � 2(1 + x6)
följer att
E
�Z T
0
h2(t)dt
�� E
�Z T
0
2A2(1 +W 6(t))dt
�=
2A2Z T
0
(1 + E�W 6(t))
�)dt = 2A2
Z T
0
(1 + t3E�W 6(1))
�)dt =
2A2(T +T 4
4E�W 6(1))
�) <1
ty W (0; 1) 2 N(0; 1): Vi har därför visat att h 2M2W [0; T ] :
L �OSNINGAR :MATEMATIKOCHOPTIONER (CTH[TMA861],GU[MAN690])
Skrivningsdag: 22 maj 1999, kl 845 � 1345������������������������� ������
Uppgift 1. a) Lös den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = �X(t)1� tdt+ dW (t); 0 � t < 1
med begynnelsevärdetX(0) = 0:Visa att den stokastiska processen (X(t))0�t<1är en centrerad Gaussisk process och bestäm dess kovariansfunktion.b) Sätt Y (t) = W (t) � tW (1); 0 � t < 1: Visa att den stokastiska
processen (Y (t))0�t<1 är en centrerad Gaussisk process och bestäm dess ko-variansfunktion.
Lösning: a) Vi har att
dX(t) +X(t)
1� tdt = dW (t)
dvs
d
�X(t)
1� t
�=
1
1� tdW (t)
268
och integration gerX(t)
1� t =Z t
0
1
1� �dW (�)
ty X(0) = 0: Härav följer att
X(t) = (1� t)Z t
0
1
1� �dW (�):
Eftersom Wienerprocessen är en centrerad Gaussisk process så följer attden stokastiska processen (X(t))0�t<1 är en centrerad Gaussisk process. Viskall bestämma processens kovariansfunktion. Antag först 0 � s � t < 1: Dåär
E [X(s)X(t)] = (1� s)(1� t)E�Z s
0
1
1� �dW (�)Z t
0
1
1� �dW (�)�=
(1� s)(1� t)E�Z t
0
1[0;s](�)1
1� �dW (�)Z t
0
1
1� �dW (�)�=
(1� s)(1� t)Z t
0
1[0;s](�)1
1� �1
1� �d� =
(1� s)(1� t)Z s
0
1
(1� �)2d� = s� st:
För godtyckliga 0 � s; t < 1 gäller därför att
E [X(s)X(t)] = min(s; t)� st:
b) Antag först 0 � s � t < 1: Då är
E [Y (s)Y (t)] = E [(W (s)� sW (1))(W (t)� tW (1))] =
E [W (s)W (t)]� E [W (s)tW (1)]� E [sW (1))W (t)] + E [sW (1)tW (1)] =
s� st� st+ st = s� st:
För godtyckliga 0 � s; t < 1 gäller därför att
E [Y (s)Y (t)] = min(s; t)� st:
269
Uppgift 2. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, därparametrarna uppfyller u > 0; d = �u; r = u
2och t 2 f0; 1; 2g : Aktiens
pris vid tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ medslutdagen 2 utbetalar denna dag beloppet
(S(0)� S(1))+ + (S(1)� S(2))+:
Bestäm derivatets värde vid tiden 0:
Lösning: Sätt S(0) = s och
S(t+ 1) = S(t)eXt+1 ; t = 0; 1:
Låt V (t) beteckna derivatets värde vid tiden t: Vi har att0BB@V (2)jX1=u;X2=u = (s� seu)+ + (seu � seu+u)+ = 0
V (2)jX1=u;X2=d = (s� seu)+ + (seu � seu+d)+ = s(eu � 1)V (2)jX1=d;X2=u = (s� sed)+ + (sed � sed+u)+ = s(1� ed)V (2)jX1=d;X2=d = (s� sed)+ + (sed � sed+d)+ = s(1� e2d)
1CCAoch de�nieras
p =er � edeu � ed = 1� q
så följer att �V (1)jX1=u = e�r(0 + qs(eu � 1))
V (1)jX1=d = e�r(ps(1� ed) + qs(1� e2d))
�dvs �
V (1)jX1=u = sqe�r(eu � 1)V (1)jX1=d = se�r(1� ed)(1 + qed)
�:
Alltså är
V (0) = e�r(psqe�r(eu � 1) + qse�r(1� ed)(1 + qed)) =
sqe�2r(p(eu � 1) + (1� ed)(1 + qed)) =
se�u2eu � 1eu + 1
SV AR
270
Uppgiften är löst.
Uppgift 3. Visa att processen
(e�t2 coshW (t))t�0
är en Wienermartingal.
Lösning: Sätt Ft = �(W (�); 0 � � � t): Antag först att a 2 R och lått0 � t: Då är
E�eaW (t) j Ft0
�= E
�ea(W (t)�W (t0))eaW (t0) j Ft0
�=
eaW (t0)E�ea(W (t)�W (t0)) j Ft0
�= eaW (t0)E
�ea(W (t)�W (t0))
�= eaW (t0)e
a2
2(t�t0):
Alltså är
Ehe�
t2 coshW (t) j Ft0
i=1
2Ehe�
t2 (eW (t) + e�W (t)) j Ft0
i=
1
2e�
t2 (E
�eW (t) j Ft0
�+ E
�e�W (t) j Ft0
�) =
1
2e�
t2 (eW (t0)e
12(t�t0) + e�W (t0)e
12(t�t0)) = e�
t02 coshW (t0):
Uppgift 4. En europeisk köpoption i aktien med slutdagen T och lösenprisetK har det teoretiska priset c(t; S(t); K) vid tiden t 2 [0; T [ ; där c(t; s;K) =s�(d1)�Ke�r��(d2); � = T � t;
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)�
�p�
och d2 = d1 � �p� : Visa att
a)@c
@s= �(d1)
b)c(t; s;K)
c(t; s0; K)>
s
s0om s > s0:
271
Lösning: a) Vi har att@c
@s= �(d1) + s
1p2�e�
d212@d1@s�Ke�r� 1p
2�e�
d222@d2@s
=
�(d1) +1p2�
@d1@s
�se�
d212 �Ke�r�e�
d222
�=
�(d1) +1p2�
@d1@s
�se�
d212 �Ke�r�e�
d212+d1�
p���2�
2
�=
�(d1) +e�
d212
p2�
@d1@s
ns�Ke�r�ed1�
p���2�
2
o= �(d1):
b) Det räcker att visa att funktionen
f(s) =c(t; s;K)
s; s > 0
är strängt växande. Men
f 0(s) =s@c@s� c � 1s2
=s�(d1)� (s�(d1)�Ke�r��(d2))
s2=
Ke�r��(d2)
s2> 0
och det följer omedelbart att f är strängt växande.
Alternativ lösning till b): Optionsprisets elasticitet med avseende påaktiepriset är lika med
s
c
@c
@s=
s�(d1)
s�(d1)�Ke�r��(d2)> 1:
Om s1 > s0 följer därför attZ s1
s0
1
c
@c
@sds >
Z s1
s0
1
sds
dvsln c(t; s1; K)� ln c(t; s0; K) > ln s1 � ln s0
ellerc(t; s1; K)
c(t; s0; K)>s1s0:
273
Referenser
1. [BA] Bachelier, L. (1900) Théorie de la spéculation. Annales scien-ti�ques de l�École normale supérieure 17, 21-86
[BE] Bermin, H.-P. (1998) Essays on Lookback and Barrier Options.A Malliavin Calculus Approach. Lund Economic Studies.
[BK] Bingham, N. H., Kiesel, R. (1998) Risk-Neutral Valuation. Pric-ing and Hedging of Financial Derivatives. Springer
[BT ] Björk, T. (1994) Stokastisk kalkyl och kapitalmarknadsteori. Del1 och 2. Optimeringslära och Systemteori, Matematiska Institu-tionen, KTH, Stockholm
[BTS] Björk, T. (1997) Interest rate theory. Financial Mathematics,editor: W. J. Runggaldier, Lecture Notes in Mathematics 1656,53-122. Springer.
[BTO] Björk, T. (1998) Arbitrage Theory in Continuous Time. Ox-ford University Press.
[BS] Black F., Scholes, M. (1973) The pricing of options and corporateliabilities. Journal of Political Economy 81, 637-659
[BOR] Borkar, V. S. (1995) Probability Theory. An Advanced Course.Springer.
[BOY ] Boyle, P. P. (1989) The quality option and timing option infuture contracts. The Journal of Finance XLIV, 101-113
[BR] Brown, R. (1829) Additional remarks on active molecules. Philo-sophical Magazine, 161-166.
[CC] Carverhill, A., Clelow, L. (1990) Flexible convolution. Risk3=No 4, 25-29
[CR] Cox, J. R., Rubinstein, M. (1985) Option Markets. PrenticeHall.
[CV ] Conze, A., Viswanathan (1991) Path dependent options: thecase of lookback options. The Journal of Finance XLVI/No 5,1893-1907
[CW ] Chung, K. L., Williams, R. J. (1990) Introduction to StochasticIntegration. Birkhäuser.
274
[CJM ] Carr, P., Jarrow, R., Myneni, R. (1992) Alternative charac-terizations of American put options. Mathematical Finance 2,87-106
[CRR] Cox, J. C., Ross, S. A., Rubinstein, M. (1979) Option pricing:a simpli�ed approach. J. of Financial Economics 7, 229-263
[D] Du¢ e, D. (1992) Dynamic Asset Pricing Theory. Princeton Uni-versity Press.
[DTG] De Schepper, A., Teunen, M., Goovaerts, M.J. (1994) An ana-lytic inversion of a Laplace transform related to annuities certain.Insurance: Mathematics and Economics 14, 33-37
[E] Einstein, A. (1905) On the movement of small particles suspendedin a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theoryof heat. Ann. Physik 17
[FA] Fama, E. F. (1965) The behavior of stock market prices. J. ofBusiness 38, 34-105
[FR] Friedman, A. (1975) Stochastic di¤erential equations and appli-cations. Academic Press.
[GK] Garman, M., Kohlhagen, S. (1983) Forein currency option val-ues. Journal of International Money and Finance 2 231-237
[GY ] German, H., Yor, M. (1993) Bessel processes, Asian options, andperpetuities. Mathematical Finance 3, 349-375
[GEM ] Gemmill, G. (1992) Option Pricing. McGraw Hill.
[H] Hull, J. (1996) Options, Futures, and Other Derivative Securities.3rd ed. Prentice Hall.
[HJ ] Heath, D. C., Jarrow, R. A. (1988) Ex-dividend stock pricebehavior and arbitrage opportunities. Journal of Business 61, 95-108
[HH] Hammersley, J.M., Handscomb, D.C. (1964) Monte Carlo Meth-ods. Chapman and Hall.
[HW ] Hull, J., White, A. (1988) The use of the control variate tech-nique in option pricing. Journal of Financial and QuantitativeAnalysis 23 237-251
[HJM ] Heath, D., Jarrow, R., Morton, A. (1992) Bond pricing andthe term structure of interest rates. Econometrica 60 , 77-106
275hIT O1
iItô, K. (1942) Di¤erenial equations determiningMarkov processes
(in Japanese). Zenkoku Shijo Sugaku Danwakai 1077, 1352-1400hIT O2
iItô, K. (1944) Stochastic Integral. Proc. Imperical Acad.
Tokyo 20, 519-524
[J1] Jarrow, R. (1995) Modelling Fixed Income Securities and InterestRate Options. McGraw-Hill.
[J2] Jarrow, R. (1995) Over the rainbow. Developments in exoticoptions and complex swaps. Risk Publications.
[JT ] Jarrow, R., Turnbull, S. (1996) Derivative Securities. Interna-tional Thomson Publishing.
[KS] Karatzas, I., Shreve S. E. (1988) Brownian Motion and Stochas-tic Calculus. Springer-Verlag.
[KV ] Kemna, A. G. Z., Vorst, A. C. F. (1990) A pricing method foroptions based on average asset values. Journal of Banking andFinance 14, 113-129
[KSZ] Klafter, J., Shlesinger, M. F., Zumofen, G. (1996) BeyondBrownian motion. Physics Today 49, 33-39
[LIF ] Lifshits, M.A. (1995) Gaussian Random Functions. KluwerAcademic Publishers.
[MY ] Myneni R. (1992) The pricing of the american option. Ann.Appl. Prob. 2, 1-23
[MAR] Margrabe, W. (1978) The value of an option to exchange oneasset for another. Journal of Finance 33 177-186
[McK] McKean, H. P. (1969) Stochastic Integrals. Academic Press.
[MER1]Merton, R. (1990) Continuous-Time Finance. Oxford: BasilBlackwell.
[MER2] Merton, R. (1973) Theory of rational option pricing. BellJournal of Economics and Management 4, 141-183.
[MR] Musiela, M., Rutkowski, M. (1997) Martingale Methods in Fi-nancial Modelling. Springer-Verlag.
[N ] Neveu, J. (1965) Mathematical Foundations of the Calculus ofProbability. Holden-Day.
276
[NEL] Nelson, E. (1967) Dynamical Theories of Brownian Motion.Mathematical Notes, Princeton University.
[NUA] Nualart, D. (1995) The Malliavin Calculus and Related Topics.Springer-Verlag.
[PWZ] Paley, R. E. A., Wiener, N., Zygmund, A. (1933) Math.Zeitschrift 37 647-668
[RS] Rogers, L. C. G., Shi, Z. (1995) The value of an asian option. J.Appl. Prob. 32, 1077-1088
[S] Smith, Jr., C. W. (1976) Option pricing. A review. Journal ofFinancial Economics 3, 3-51
[SAM1] Samuelson, P. A. (1965) Rational theory of warrant pricing.Indust. Management Rev. 6, 13-32
[SAM2] Samuelson, P. A. (1973) Mathematics of speculative price.SIAM Rev XX, 1-42
[TW ] Turnbull, S.M., Wakerman, L. M. (1991) A quick algorithmfor pricing average options. Journal of Financial and QualitativeAnalysis 26, 377-389
[W ] Wiener N. (1923) Di¤erential space, J. Math. Phys.2, 131-174
[WDH] Wilmott, P., Dewynne, J., Howison, S. (1993 omtryck 1996)Option Pricing: Mathematical Models and Computation. OxfordFinancial Press.
[Y ] Yor, M. (1992) Some Aspects of Brownian Motion. Birkhäuser.h�OiÖhgren, A. (1999) On the Pricing of Lookback Options. Master�sthesis, Chalmers.
[;K] ;ksendal, B. (1985) Stochastic Di¤erential Equations. Springer-Verlag.
