[1]

Javi Gombao®

MAT

EMÀT

ICS

El Dia del Nombre Pi

Leonard Euler

Resenya Històrica de la Geometria

Un dia de 24 hores

Comportament dels assassins en sèrie

[2]

El nombre π, a més d'aparèixer en la fórmula de la longitud de la circumferència, apareix a totes les equacions matemàtiques derivades d'aquesta: la superfície del cercle, la superfície i el volum de l'esfera... i també en nombroses equacions de física.

DIA DEL NOMBRE PI: 14 de Març

MILERS DE PERSONES CELEBREN AVUI EL DIA DEL NOMBRE PIEncara que la data coincideix amb el dia de naixement d'Albert Einstein, la raó per escollir el 14 de març per a la celebració es troba en la seva escriptura anglosaxona: 3/14, que és el valor d’esta constant matemàtica.

És un nombre irracional. Per fer càlculs pràctics s'agafa un valor simplificat, com per exemple 3,14159265.

Al llarg del dia els seguidors del nombre Pi es reuniran per fer comentaris anècdotes al voltant d'aquest nombre i intercanviar postals i pastissos c o m m e m o r a t i v e s . S ' h a n desenvolupat apl icacions informàtiques que calculen amb exactitud l'edat d'una persona en anys Pi i altres persones es reuneixen per

recitar tots els dígits que se saben de memòria. A més, pel fet que les primeres sis xifres de la constant són 3,14159, el moment àlgid de la celebració es produeix a la 1:59 hores.

L a C a m b r a d e Representants dels Estats Units va aprovar l'any 2009 la celebració del dia de Pi i va instar que col · legis i instituts realitzen activitats i animin els seus alumnes a estudiar matemàtiques.

[3]

Piemes: Els piemes són poemes per memoritzar les

primeres xifres del nombre Pi. Per exemple, per recordar els 20 primers dígits del número, pot emprar aquest poema (només cal comptar les lletres que té cada paraula):

"Sóc i seré a tots definible, el meu nom he de donar-vos quocient diametral, sempre immesurable sóc dels rodons cercles "

Existeixen tres tipus de poemes: aquells que tracten sobre el nombre Pi o les seves propietats, esmentant directament. I altres destinats a recordar les seues xifres decimals. I en un últim lloc originals combinacions entre ambdós estils:

"El nombre Pi és digne d'admiració tres coma u quatre u totes les seves xifres següents també són inicials cinc nou dos, perquè mai no s'acaba.

No permet abastar amb la mirada sis cinc tres cinc amb un càlcul vuit nou amb la imaginació set

nou o de broma tres dos tres, és a dir, per comparació quatre sis amb qualsevol altra cosa

dos sis quatre tres en el món.La més llarga serp després de diversos

metres s'interromp. Igualment, encara que una mica més tard, fan les serps fabuloses.El seguici de xifres que formen el nombre Pi

no s'atura en el marge d'un foli, és capaç de prolongar-se per la taula, per l'aire, a través del

mur, d'un full, del niu d'un ocell, dels núvols, directament al cel a través de la total inflor i

immensitat del cel.

Un altre poema s'inicien en l'estudi de la Trigonometria:

"Anava la tangent sobrada de gent. Anava el cosinus subjectat al si, anava l'àrea pendent del perímetre, quan, de sobte, va passar el tren ...... ¡Piiiiiiiiii!

I durant 3,1416 ... ningú va poder passar ... bo, ningú excepte π. "

I un altre poema:"Sóc Pi, lema i raó enginyosa d'home savi

que sèrie preciosa valorant, va enunciar magistralPer la seva llei singular bé mesurat el gran

orbe per fi reduït. va ser al sistema ordinari usual.Arquimedes, en ciències preuat

Crea Pi, monuments famós, i encara interminables va donar valuació, perifèria del

cercle va saber, duplicant geomètric grup, resoldre i apreciar extensió.

Teorema va llegar, memorable com rar favor admirable de l'esplèndida ciència immortal; i àmplia llei, filosòfica font de profunda veritat i

ascendent magnitud, va descobrir universal. I així fins a l'infinit. "

Sabies que...• Si escrivim en línia recta els primers 200.000 milions de decimals de Pi calculats per Kanada i

Takahasi el 1999, a raó de cinc dígits per centímetre lineal del paper, utilitzant el paper necessari, aquest tindria una longitud tal, que podria fer un volt a la circumferència de la Terra.i

• És natural trobar en els decimals de π qualsevol seqüència de nombres, encara que de vegades alguna sigui sorprenent, com per exemple que la suma dels 20 primers decimals de π dóna 100 i que la suma dels 144 primers decimals dóna 666 però precisa que no cal veure-hi cap missatge amagat.

• El 1949, un dels primers ordinadors, l'ENIAC, treballant durant 70 hores, va donar 2037 decimals del nombre Pi.

CURIOSITATS DE PI

[4]

Leonard EulerEstà considerat un dels

matemàtics més brillants de la història i el més important del Segle XVII I . Euler va fer importants descobriments en camps tan diversos com el Càlcul o la Teoria de grafs. També va introduir una gran part de la notació i terminologia matemàtica moderna, part icularment en l'anàlisi matemàtica, com la noció de funció. És notable també la seva aportació en mecànica, òpt ica o astronomia. Euler destaca per:

1. Establí la llei que l'esforç de torsió d'una viga elàstica i prima.

2. També deduí les Equacions d'Euler, un conjunt de lleis de moviment en la dinàmica de fluids, directament de les lleis de moviment de Newton.

3 . F e u i m p o r t a n t s contribucions també a la teoria de les equacions diferencials. En particular es conegut per la c r e a c i ó d ' u n a s è r i e d'aproximacions d'Euler les quals són utilitzades en mecànica computacional. La més famosa d'aquestes aproximacions es coneix amb el nom de Mètode d'Euler.

4. En el camp de la teoria de nombres, inventà la Funció Phi d'Euler. La funció "Phi" φ(n) d'un nombre positiu n es defineix com el nombre d'enters positius menors o iguals que n i coprimers amb n. Per exemple: φ(8) = 4 ja que els quatre nombres 1, 3, 5 i 7 són comprimers de 8.

5. En l'anàlisi matemàtic, Euler sintetitzà el càlcul diferencial de Leibniz amb el mètode de Newton.

EULER EN IMATGES:

[5]

RESENYA HISTÒRICA DE LA GEOMETRIAOrígens coneguts de la geometria

Geometria Grega• Geometria Pitagòrica: Escol·la de

Crotona• Geometria Euclidea: Escol·la de

Alexandría

Des dels gercs fins als nostes dies

Orígens coneguts de la geometriaLes primeres investigacions conegudes de la geometria són degudes als Egipcis i als Babilonis (2000 anys abans de la nostra era.)Les inundacions del Nil obligaven als egipcis a refer cada any el traç de les propietats.Així l'àrea d'un quadrilàter de costats a, b , c, d estava donada per

(a + c) / 2 x (d + b) / 2

Aquest últim resultat no era de fet més que una aproximació. La fórmula arribava a ser exacta per a un rectangle.De la mateixa manera l'àrea d'un triangle isòsceles de costats a, a, b estava donada per:

(a x b) / 2.

Fórmula que és falsa en tots els casos però arriba a ser una bona aproximació si el triangle isòsceles té un angle molt agut.

Aquestes informacions provenen d'un papir, anomenat papir de Rhind (manual de càlcul de l'escrigui Ahmes) que data de 1700 a 2000 anys abans de la nostra era.No obstant això s'ha constatat que els Egipcis coneixien el volum del tronc de piràmide i la superfície de l'esfera.

S'han trobat també sobre tauletes babilònies (2000 abans de la nostra era) una sèrie de prob lemes re ferents a la reso luc ió d'equacions de segon grau i fins i tot d'equacions biquadrades.

[6]

Geometria GregaEls coneixements matemàtics

dels Egipcis i de ls pobles orientals perviuen a Grècia gràcies a intercanvis comercials La tradició atribueix a Thales (600 anys abans de nostra era) la introducció a Grècia de la geometria egípcia. Thales va ser un precursor sobretot preocupat de problemes pràctics (càlcul d'altures de monuments amb a j u d a d ' u n b a s t ó i d e l a proporcionalitat de les ombres).

La geometria grega, que va ser un èxit sorprenent de la ciència humana donant proves d'un enginy excepcional, va estar marcada per dues escoles: la de Pitàgores i la d'Euclides.

Geometria Pitagòrica: Escol·la de Crotona

Pitàgores va ser un filòsof grec que va viatjar a Egipte i es va instal·lar a Crotona, a Itàlia, on va fundar una escola cèlebre. L'escola de Crotona va ser un nou arrencada en la investigació geomètrica. En aquesta època els conceptes de punt , l ín ia i superfície eren particulars:

- El punt no era el punt sense dimensió, era un ésser concret, anomenat mònada, materialitzat per un gra de sorra.

- La línia era una successió de mònades el nombre donava la mesura.

El teorema de Pitàgores arruïnaria la geometria construïda sobre el concepte de mònada.

En efecte si es considera un triangle rectangle isòsceles la raó de la hipotenusa amb el costat de l'angle recte és m / n tal que m i n siguin primers entre si, el teorema permet establir:

m2 = 2 n2 D'on es dedueix que m és

parell- Sigui m2 un múltiple de 4- així n2 és parell¡Llavors n és parell! El que

contradiu hipòtesi que min són primers entre si.

El fet d'adonar-se que existien longituds enormes va modificar fonamentalment la geometria de l'època.

Geometria Euclídea: Escol·la d’Alexandría

Fundada en el 331 abans de la nostra era per Alexandre el Gran, la ciutat d'Alexandria va arribar a ser ràpidament sota la protecció dels Ptolomeos, el centre intel·lectual del món antic. Els matemàtics van ser formats allà i la Escol·la matemàtica d'Alexandria va conèixer tres representants excepcionals:

E u c l i d e s , A rq u i m e d e s i Apol·loni.

Els treballs d'aquesta escola van desembocar en una obra que va servir de base a tot estudi geomètric: els Elements. Esta obra està composta de 15 llibres dels quals 13 es van deure a Euclides

Aquests 13 llibres tracten de les figures geomètriques, dels polígons inscrits i circumscrits en un cercle i les seves propietats, de les proporcions, de la similitud, de la geometria en l'espai així com de la teoria dels números i dels incommensurables.

Arquimedes va completar els Elements per un estudi molt profund sobre els cercles, les esferes i els cilindres ... Va donar una aproximació del nombre PI:

3 + 10/71 <Pi <3 + 1/7 és a dir 3.1408 <Pi <3.1428

Amb l'estudi de les còniques per Apoloni tenim el conjunt de la geometria elemental tal com era ensenyada fa alguns anys

[7]

Des dels grecs fins als nostres dies

L a d e c a d è n c i a g r e g a coincideix amb un llarg període de temps obscurs per a les matemàtiques i la geometria en particular ... fins al segle XV, que es consolida el començament del Renaixement. Cal recordar dos factors:

➙ La civilització romana que va seguir a la civilització grega e s t a v a b o l c a d a c a p a l a conquesta militar, l'administració civil, l'adquisició de riqueses i la construcció de monuments gegantins, en detriment de la ciència i l'humanisme ... Al 529 (després de Crist) l'Emperador romà Justinià, com a sanció a un ensenyament pagana va fer tancar les escoles d'Atenes.

 ➙ La biblioteca d'Alexandria es va cremar, a causa de la unicitat, és a dir, al nombre de la r i q u e s a d e l e s o b r e s desaparegudes, dels quals, això representa una pèrdua per a la humanitat.

Fins al segle XIII només els Àrabs i els Hindús van impedir que la regress ió c ien t ífica prengués una amplitud que fes caure en l'oblit els meravellosos treballs dels Grecs. En aquest període, en efecte, són els savis de la cultura àrab qui són els hereus de Grècia i els promotors del coneixement. Les obres, t r a d u ï d e s a l l l a t í , v a n a desencadenar a Occident el gran moviment de pensament que desemboca en la brillant expansió del segle XIII. Des d'aleshores, són els filòsofs i els investigadors

dels països de la cristiandat, qui prenen la iniciativa.

Amb el Renaixement i la invenció de la impremta va començar un període d'intensa activitat per al desenvolupament de les ciències en general i de les matemàtiques en particular. Aquesta activitat es continua fins als nostres dies a vegades alentida per les guerres i les invasions. Fins al segle XVII s'admetia en línies generals que la geometria s'ocupava de les figures de l'espai i que l'àlgebra s'interessava pels números.

E n 1 6 3 7 D e s c a r t e s v a associar aquestes dues nocions e n c r e a r e l c o n c e p t e d e referència. ¡La geometria analítica havia nascut! Aquesta va aportar u n a r i q u e s a n o v a a l e s matemàtiques contribuint entre altres a les teories de Newton i Leibniz per a desembocar en la de la relativitat d'Einstein.

Cantor, Hilbert, Galois així com molts altres van aportar per fi a l e s m a t e m à t i q u e s u n s fonaments diferents al segle XIX, creant un nou pensament, una nova llum, les repercussions en els nostres dies són conegudes amb el nom de Matemàtiques Modernes.

[8]

Un día, una hora, una setmana...Els Babilonis el dia estava dividit en 6 períodes o vigílies: tres des de la

sortida del sol fins la posta i altres tres des de la posada fins a la sortida (6 és un "nombre perfecte", ja que la suma dels seus divisors és igual al seu doble: 12 = 1 + 2 + 3 + 6). Després aquests períodes es van fer més curts: es va passar a sis vigílies de dia i sis de nit. Això feia 12 períodes de longituds desiguals segons les estacions.

Els astrònoms de l’època estaven preocupats per una major exactitud en els seus càlculs i encara van dividir per dos les unitats de temps. Així va ser com els nostres dies van ser tallats en 24 unitats de temps.

La noció d'hora no es corresponia amb la noció actual: amb els grecs es corresponia amb tota divisió del temps anual, en estacions, després horària ...

La noció de setmana és avui usada en totes les nacions civilitzades. La seua durada de 7 dies sembla emparentar amb les fases de la Lluna (7 dies per passar de la lluna nova al seu primer quart ...). Potser té també el seu origen en els set planetes que els Babilonis creien conèixer: Saturn, Júpiter, Mart, el Sol, Venus, Mercuri, la Lluna. Després es va eliminar la Lluna (satèl · lit de la Terra) i el Sol (estel), però ara coneixem Urà i Neptú.

El seu ús no era universal en tots els pobles antics. Els Egipcis, els Xinesos i els Grecs van comptar primerament per desenes. Els Hebreus van ser els primers a utilitzar-lo. En els Babilonis el número 7 era considerat com nefast. La setmana va penetrar tardanament a Grècia i en els alexandrins.

En el terreny del diví i de la creació del món en 6 dies seguit d'un descans, el setè ..., observem només que els musulmans descansen el divendres, els israelites el dissabte i els cristians el diumenge.

Unitats naturals de temps:➙ El Sol: Al cap d'un any la Terra dona una volta completa i el cicle de les estacions s'ha repartit. ➙La Lluna: Des que els homes van començar a comptar han mesurat el temps en llunacions, durada de temps intermedi entre el dia i l'any

UN DIA DE 24 HORES, 60 MINUTS PER A UNA HORA . PER QUÈ NO 10?

Els instruments: ➙ El rellotge de Sol: A mesura que el sol puja les ombres s'escurcen i es comprimeixen proporcionant un mitjà molt senzill per mesurar el temps que passa

➙ Les clepsidres: D’origen egipci, servien per mesurar el temps a la nit. Són rellotges d'aigua. El flux regular de l'aigua permetia mesurar el temps: la quantitat d'aigua que ha fluid és proporcional al temps transcorregut.

➙ Els rellotges: Són els instruments de mesura dels temps que s’utilitzen avui en dia. El grau de precisió de les seues mesures ha augmentat en l'últim segle.

9

PER QUÈ NO 10?

Per què haver dividit un dia sencer per 6 des del començament i no per 10?

Perquè el sistema ens ve justament dels Babilonis. Aquest sistema ens ha estat transmès pels Grecs i els Romans. Els astrònoms d e B a b i l ò n i a n o utilitzaven el nostre sistema decimal, tenien u n s i s t e m a d e numeració posicional en base 60: comptaven de 60 en 60 (60 és molt còmode ja que admet molts divisors).

L'any cíclic corresponia a un cercle de 360 ° (360 dies) i aquest cercle estava dividit en sis parts de 60 °: sempre de 60 a 60.

El cercle també ha figurat com un dia sencer, ja que aquest corresponia a un "cicle" del sol. I també ha estat dividit en sis: tres seccions pel dia i tres seccions a la nit com hem vist abans. Aquestes seccions han estat dividides diverses vegades per dos per obtenir una major precisió amb la partició en 24 hores.

De la mateixa manera, una hora ha estat dividida en 60 m i n u t s . O b s e r v e m q u e l a denominació és la mateixa pels angles: 1 grau està constituït per 60 minuts, així un angle de 1,5 ° correspon a 1 ° més la meitat de 60 °, és a dir a 1 ° i 30 minuts.

Minut, ve del llatí minuta que significa sovint (petit).

Una hora de 60 minutsDe la mateixa manera, una

hora ha estat dividida en 60 m i n u t s . O b s e r v e m q u e l a denominació és la mateixa per els angles: 1 grau està constituït per 60 minuts, així un angle de 1,5° correspon a 1° més la meitat de 60 °, és a dir a 1° i 30 minuts. No obstant això cada vegada hem tingut la necessitat d'una major precisió, sobretot al llarg del segle XX, i al minut s'ha vist també dividit en 60 parts anomenades segons (per una segona divisió de l'hora). Ha estat dividit encara més, però aquesta vegada s'ha utilitzat el sistema decimal. Es parla llavors de dècimes de segon, de centèsimes de segon i de mil·lèsimes de segon. Amb els grans ordinadors, es va molt més lluny en utilitzar milionèsimes de segon (nanosegon) i continua ..., ja que es pot mesurar la durada de certes operacions del nostre cervell.

Un intent de 10En la Revolució Francesa va ser creat un calendari republicà per la Convenció, que va decidir que el calendari gregorià fos reemplaçat pel calendari republicà. Contràriament al que va passar per al sistema mètric, on França va voler fer una obra universal evitant tota referència nacionalista, el calendari republicà unia les particularitats nacionals,

agrícoles i altres. La setmana ja no era de 7 dies. Va ser reemplaçada per una de 10 dies. A l'Estat revolucionari, desitjant impulsar més la numeració decimal del temps, van fer el dia de 10 hores, l'hora de 100 minuts i el minut de 100 segons. L'any republicà comprenia 12 mesos de 30 dies cada un, més 5 dies festius (festes ideològiques), col·locats després del mes de Fructidor (que significa "el que dóna fruits" i que començava el 18 o 19 d'agost). Aquests dies complementaris no són de cap mes. Si l'any és de bisext, s'afegeix el dia de la Revolució.

Aquest calendari va ser teòricament vàlid a partir del 22 de setembre de 1792. Va durar oficialment fins al 31 de desembre de 1805 i després va ser reprès per la Comuna del 6 al 23 de maig de 1871.

El calendari va conèixer nombrosos obstacles: no era universal i ... ¡Els dies festius eren només tres, cada deu dies en lloc de cada set!

Babilonis

9

Dos investigadors han desenvolupat un model matemàtic a partir del comportament d'un assassí en sèrie, l'ucraïnès Andrei Chikatilo, arrestat el 20 de novembre de 1990, que es va confessar autor de 56 assassinats en el transcurs de 12 anys, i va ser executat el 1994.

Analitzant els seus c r ims , e l s matemàt ics van o b s e r v a r q u e seguien un patró q u e e n matemàtiques es coneix com "Escala d e l D i a b l e " . C o n c r e t a m e n t , darrere de cada cr im comès per Chikatilo existiria un brot psicòtic, que sorgeix a part i r de l'activació simultània de diverses neurones en el cervell. Els autors comparen l'activació de les neurones amb el funcionament d'una pistola: una vegada que una neurona s'encén no pot tornar a disparar fins que s'ha recarregat, un temps conegut com a període refractari. "Per això hi ha llargs intervals de temps entre un assassinat i el següent", aclareixen els investigadors. D'altra banda, cada neurona està connectada a altres milers de neurones, a les que activa si també estan a punt per "disparar". I és en aquest moment quan l'assassí en sèrie sent la "necessitat" de matar.

L'estudi suggereix que un criminal d'aquestes característiques només perpetra un assassinat després que ha transcorregut un cert període de temps des de la excitació neuronal anterior. A més, assenyala que l'assassinat té un efecte sedant sobre qui el

comet, fent que l'activitat neuronal caigui per sota del llindar de l'excitació.

Per arribar a aquesta conclusió, els matemàtics van emprar un model en el que van usar un període de 2 milisegons com

esglaó temporal bàsic, el temps aproximat entre dos trets d'una neurona real. I van simular uns 100.000 mi l ions de passos, equivalent a uns 12 anys, que és el període en què Chikatilo va es ta r ac t iu . E l s resultats són gairebé idèntics a la distribució d'assassinats reals de C h i k a t i l o , e l q u e confirma la validesa del nou model.

EL COMPORTANT DELS ASSASSINS EN SÈRIE SEGUEIX UN PATRÓ MATEMÀTIC

Chikatilo

REFERÈNCIES

h!p://recurso"ic.educacion.es/

h!p://www.muyinteresant$es/

h!p://www.wikipe%a.org/

h!p://www.matematics.es/

h!p://www.mat.ub.edu/

MATEMÀTICSCreat per: Javi GombaoRevista Digital de Matemàtiques

© 2012 MatemàTICs™. Tots els drets reservats.Segons les lleis de propietat intelectual, aquesta revista no pot copiar-se, ni total ni parcialment, sin el consentiment

escrit per l’autor.En la realització d’aquesta revista s’ha posat la màxima cura per asegurar la exactitud de l’informació que apareix.

l’autor no es responsabilitza dels posibles errors d’impresió o copia.MatemàTICsAlacanthttp://elblogdematematiques.blogspot.com.esEl logotip de MatemaTICs és una marca comercial de l’autor®, registrada en Espanya i en altres països. El logotip

de MatemaTICs produit mitjançant el teclat (Opció-Majúscules+G), per a propòsits comercials sin previ consentiment escrit a l’autor, pot constituir una infracció i competència desleal contraria a les lleis.