Matemático 7° básico

8/2/2019 Matemtico 7 bsico

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Prgrama e EsuiSpim A Bsic

Ministerio de Educacin

Maemica


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IMPORTANTE

En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva los trminos como el

docente, el estudiante, el profesor, el alumno, el compaero y sus respectivos

plurales (as como otras palabras equivalentes en el contexto educativo); es decir, se

refieren a hombres y mujeres.

Esta opcin obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cmo evitar la

discriminacin de gneros en el idioma espaol, salvo usando o/a, los/las y otras

similares para referirse a ambos sexos en conjunto, y ese tipo de frmulas supone una

saturacin grfica que puede dificultar la comprensin de la lectura.


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Prgrama e EsuiSpim A Bsic

Ministerio de Educacin

Maemica


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Estimados profesores y profesoras:

La entrega de nuevos programas es una buena ocasin para reflexionar acerca de los desafos que enfrentamos hoy

como educadores en nuestro pas.

La escuela tiene por objeto permitir a todos los nios de Chile acceder a una vida plena, ayudndolos a alcanzar un

desarrollo integral que comprende los aspectos espiritual, tico, moral, afectivo, intelectual, artstico y fsico. Es decir,

se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vida

de la mejor forma posible.

Los presentes Programas de Estudio, aprobados por el Consejo Nacional de Educacin, buscan efectivamente abrir

el mundo a nuestros nios, con un fuerte nfasis en las herramientas clave, como la lectura, la escritura y el razona-

miento matemtico. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los mbitos, escolares y no escolares,

contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizaje

continuo ms all de la escuela.

Asimismo, el acceso a la comprensin de su pasado y su presente, y del mundo que los rodea, constituye el fundamento

para reafirmar la confianza en s mismos, actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cvica, conocer y respetar

deberes y derechos, asumir compromisos y disear proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobre

su entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio son la concrecin de estas ideas y se enfocan a su logro.

Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo; llamamos a nuestros

profesores a renovar su compromiso con esta tarea y tambin a ensear a sus estudiantes que el esfuerzo personal,

realizado en forma sostenida y persistente, es la mejor garanta para lograr xito en lo que nos proponemos. Pedimos

a los alumnos que estudien con intensidad, dedicacin, ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. A los padres

y apoderados los animamos a acompaar a sus hijos en las actividades escolares, a comprometerse con su estableci-

miento educacional y a exigir un buen nivel de enseaza. Estamos convencidos de que una educacin de verdad se

juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar.

A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio, y a involucrarse de forma opti-

mista en las tareas que estos proponen. Con el apoyo de ustedes, estamos seguros de lograr una educacin de mayor

calidad y equidad para todos nuestros nios.

Felipe Bulnes Serrano

Ministro de Educacin de Chile


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Matemtica

Programa de Estudio para Sptimo Ao Bsico

Unidad de Currculum y Evaluacin

ISBN 978-956-292-341-5

Ministerio de Educacin, Repblica de Chile

Alameda 1371, Santiago

Primera Edicin: 2011


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Spim A Bsic / Maemica

nice

Presenacin 6

Ncines Bsicas 8 Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes

10 Objetivos Fundamentales Transversales

11 Mapas de Progreso

Cnsieracines Generaespara Impemenar e Prgrama 13

16 Orientaciones para planificar

19 Orientaciones para evaluar

Maemica 24 Propsitos

25 Habilidades

26 Orientaciones didcticas

Visin Gba e A 28 Aprendizajes Esperados por semestre y unidad

Uniaes 33

Semesre 1 35 Unidad 1 Nmeros y lgebra

49 Unidad 2 Geometra

Semesre 2 57 Unidad 3 Nmeros y Geometra

73 Unidad 4 Datos y Azar

Bibigrafa 87

Anexs 91


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Presenacin

El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo

pedaggico del ao escolar. Esta propuesta pretende promover el logro de los

Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mnimos Obliga-

torios (CMO) que define el Marco Curricular1.

La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programasde estudio, previa aprobacin de los mismos por parte del Mineduc. El presen-

te programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no

cuentan con programas propios.

Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son:

una especificacin de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los

OF y los CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a travs de los Aprendi-

zajes Esperados2

una organizacin temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades

una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluacin, a modo

de sugerencia

Adems, se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedag-

gico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos

que este propone.

Este programa de estudio incluye:

Nociones bsicas. Esta seccin presenta conceptos fundamentales que es-

tn en la base del Marco Curricular y, a la vez, ofrece una visin general acerca

de la funcin de los Mapas de Progreso

Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten

en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el tra-

bajo en torno a l

El programa es una

propuesta para lograr los

Objetivos Fundamentales

y los Contenidos

Mnimos Obligatorios

1 Decretos supremos 254 y 256 de 2009

2 En algunos casos, estos aprendizajes estn formulados en los mismos trminos

que algunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando esos OF se pueden

desarrollar ntegramente en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su

desglose en definiciones ms especficas.


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7Spim A Bsic / MaemicaPresentacin

Propsitos, habilidades y orientaciones didcticas. Esta seccin presenta

sintticamente los propsitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendi-

zajes del sector y las habilidades a desarrollar. Tambin entrega algunas orien-

taciones pedaggicas importantes para implementar el programa en el sector

Visin global del ao. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que sedebe desarrollar durante el ao, organizados de acuerdo a unidades

Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la

unidad, incluyen indicadores de evaluacin y sugerencias de actividades que

apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3

Instrumentos y ejemplos de evaluacin. Ilustran formas de apreciar el lo-

gro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pue-

den usarse para este fin

Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliogrficos y electr-

nicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector; se

distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes

3 Relaciones interdisciplinarias. En algunos casos las actividades relacionan dos o ms

sectores y se simbolizan con


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Ncines Bsicas

Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes

Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estu-

dio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos

aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina comolas habilidades y actitudes.

Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades

y actitudes para enfrentar diversos desafos, tanto en el contexto del sector de

aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia

el logro de competencias, entendidas como la movilizacin de dichos elementos

para realizar de manera efectiva una accin determinada.

Se trata una nocin de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos,

las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se

enriquecen y potencian de forma recproca.

Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontnea-

mente al estudiar las disciplinas. Necesitan promoverse de manera metdica y

estar explcitas en los propsitos que articulan el trabajo de los docentes.

Habilidades

Son importantes, porque

el aprendizaje involucra no solo el saber, sino tambin el saber hacer. Por otraparte, la continua expansin y la creciente complejidad del conocimiento de-

mandan cada vez ms capacidades de pensamiento que permitan, entre otros

aspectos, usar la informacin de manera apropiada y rigurosa, examinar crti-

camente las diversas fuentes de informacin disponibles y adquirir y generar

nuevos conocimientos.

Esta situacin hace relevante la promocin de diversas habilidades, como re-

solver problemas, formular conjeturas, realizar clculos en forma mental y es-

crita y verificar proposiciones simples, entre otras.

Se deben desarrollar de manera integrada, porque

sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alum-

nos resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego

para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos.

Habilidades,

conocimientos

y actitudes

movilizados para

enfrentar diversas

situaciones y desafos

y que se desarrollan

de manera integrada

Deben promoverse de

manera sistemtica

Son fundamentales enel actual contexto social

Permiten poner en juego

los conocimientos


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9Spim A Bsic / MaemicaNociones Bsicas

ConoCimientos


los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la com-

prensin de los estudiantes sobre los fenmenos que les toca enfrentar. Les per-miten relacionarse con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas

que complementan, de manera crucial, el saber que han obtenido por medio del

sentido comn y la experiencia cotidiana. Adems, estos conceptos son funda-

mentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes.

Por ejemplo, si se observa una informacin en un diario que contenga datos re-

presentados en tablas o grficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre

estadstica para interpretar a esa informacin. Los conocimientos previos le capa-

citan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en

la medida que entiende la informacin y as construir este nuevo conocimiento.

Se deben desarrollar de manera integrada, porque

son una condicin para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en

un vaco, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.

aCtitudes


los aprendizajes no involucran nicamente la dimensin cognitiva. Siempreestn asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los pro-

psitos establecidos para la educacin, se contempla el desarrollo en los mbitos

personal, social, tico y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carcter afectivo y,

a la vez, ciertas disposiciones.

A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemtica involucran actitudes como

perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matem-

ticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en

contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias.

Se deben ensear de manera integrada, porque

en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su de-

sarrollo. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar

juicios informados, analizar crticamente diversas circunstancias y contrastar cri-

terios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.

Enriquecen la

comprensin y larelacin con el entorno

Son una base para el

desarrollo de habilidades

Estn involucradas enlos propsitos formativos

de la educacin

Son enriquecidas por

los conocimientos

y las habilidades


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A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los

conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente

necesario para usar constructivamente estos elementos.

Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)

Son aprendizajes que tienen un carcter comprensivo y general, y apuntan al

desarrollo personal, tico, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte

constitutiva del currculum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben

asumir la tarea de promover su logro.

Los OFT no se logran a travs de un sector de aprendizaje en particular; conse-

guirlos depende del conjunto del currculum. Deben promoverse a travs de las

diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por

ejemplo, por medio del proyecto educativo institucional, la prctica docente, el

clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).

No se trata de objetivos que incluyan nicamente actitudes y valores. Supone

integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.

A partir de la actualizacin al Marco Curricular realizada el ao 2009, estos ob-

jetivos se organizaron bajo un esquema comn para la Educacin Bsica y la

Educacin Media. De acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales

Transversales se agrupan en cinco mbitos: crecimiento y autoafirmacin per-

sonal, desarrollo del pensamiento, formacin tica, la persona y su entorno y

tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Orientan la forma de

usar los conocimientos

y las habilidades

Son propsitos

generales definidos

en el currculum

que deben

promoverse en toda la

experiencia escolar

Integran conocimientos,

habilidades y actitudes

Se organizan en

una matriz comn

para educacin

bsica y media


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11Spim A Bsic / MaemicaNociones Bsicas

Mapas de Progreso

Son descripciones generales que sealan cmo progresan habitualmente los

aprendizajes en las reas clave de un sector determinado. Se trata de formu-

laciones sintticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A

partir de esto, ofrecen una visin panormica sobre la progresin del aprendizajeen los doce aos de escolaridad4.

Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en

el Marco Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa

de manera ms gruesa y sinttica los aprendizajes que esos dos instrumentos

establecen y, por lo tanto, se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su

particularidad consiste en que entregan una visin de conjunto sobre la progre-

sin esperada en todo el sector de aprendizaje.

Qu utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?

Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar

(ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se

presentan en el programa).

Adems, son un referente til para atender a la diversidad de estudiantes dentro

del aula:

permiten ms que simplemente constatar que existen distintos niveles de

aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempe-

os de los estudiantes, ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisin

en qu consisten esas diferencias la progresin que describen permite reconocer cmo orientar los aprendiza-

jes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han

conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron

expresan el progreso del aprendizaje en un rea clave del sector, de manera

sinttica y alineada con el Marco Curricular

Describen

sintticamente

cmo progresa el

aprendizaje

de manera

congruente con el

Marco Curricular y los

programas de estudio

Sirven de apoyo para

planificar y evaluar

y para atender

la diversidad al

interior del curso

4 Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del apren-

dizaje de los estudiantes en un mbito o eje del sector. Cada uno de estos nivelespresenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos aos de escolaridad.

Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayora de los nios

y nias al trmino de 2 bsico; el Nivel 2 corresponde al trmino de 4 bsico, y as

sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que, al egre-

sar de la Educacin Media, es sobresaliente, es decir, va ms all de la expectativa

para IV medio que describe el Nivel 6 en cada mapa.


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mapa de progresoEntrega una visin sinttica del progreso del aprendizaje

en un rea clave del sector, y se ajusta a las expectativas del

Marco Curricular.

Ejemplo:

Mapa de Progreso Nmeros y Operaciones

Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numricosNivel 6Reconoce los nmeros complejos como

Nivel 5 Reconoce a los nmeros racionales comoNivel 4 Reconoce a los nmeros enteros como un conjuntonumrico en donde se pueden resolver problemas que noadmiten solucin en los nmeros naturales, reconoce suspropiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuan-tificar magnitudes. Establece proporciones y las usa pararesolver diversas situaciones de variacin proporcional.Comprende y realiza las cuatro operaciones con nmerosenteros. Utiliza races cuadradas de nmeros enterospositivos y potencias de base fraccionaria positiva, decimalpositivo o entero y exponente natural en la solucin dediversos desafos. Resuelve problemas y formula conjeturasen diversos contextos en los que se deben establecer rela-

ciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, lasconjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizan-do conceptos, procedimientos y relaciones matemticas.Nivel 3 Reconoce que los nmeros naturalesNivel 2 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000Nivel 1 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000 para

programa de estudioOrienta la labor pedaggica, esta-

bleciendo Aprendizajes Esperados

que dan cuenta de los Objetivos

Fundamentales y Contenidos Mni-

mos, y los organiza temporalmente a

travs de unidades.

Ejemplo:

Aprendizaje Esperado 7 bsico

Establecer relaciones de orden entrenmeros enteros y ubicarlos en larecta numrica.

marCo CurriCularPrescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mnimos obligatorios que todos

los estudiantes deben lograr.

Ejemplo:

Objetivo Fundamental 7 bsico

Establecer relaciones de orden entre nmeros enteros, reconocer algunas de sus propie-

dades, y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos nmeros y aplicarlas

en diversas situaciones.

Contenido Mnimo Obligatorio

Representacin de nmeros enteros en la recta numrica y determinacin de relaciones

de orden entre ellos

Relacin entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular


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13Spim A Bsic / Maemica

Cnsieracines Generaespara Impemenar

e Prgrama

Consideraciones Generales para Implementar el Programa

Las orientaciones que se presentan a continuacin destacan algunos elementos

relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orien-

taciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en

el currculum.

Uso del lenguaje

Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicacin oral, la lectura y

la escritura como parte constitutiva del trabajo pedaggico correspondiente a

cada sector de aprendizaje.

Esto se justifica, porque las habilidades de comunicacin son herramientas fun-

damentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes

propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan nicamente

en el contexto del sector Lenguaje y Comunicacin, sino que se consolidan a tra-

vs del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto,

involucran los otros sectores de aprendizaje del currculum.

Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicacin oral, los do-

centes deben procurar:

leCtura

la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informa-

tivos propios del sector, textos periodsticos y narrativos, tablas y grficos)

la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptosespecializados del sector

la identificacin de las ideas principales y la localizacin de informacin relevante

la realizacin de resmenes y la sntesis de las ideas y argumentos presenta-

dos en los textos

la bsqueda de informacin en fuentes escritas, discriminndola y seleccio-

nndola de acuerdo a su pertinencia

la comprensin y el dominio de nuevos conceptos y palabras

esCritura

la escritura de textos de diversa extensin y complejidad (por ejemplo, repor-tes, ensayos, descripciones, respuestas breves)

la organizacin y presentacin de informacin a travs de esquemas o tablas

la presentacin de las ideas de una manera coherente y clara

el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos

el uso correcto de la gramtica y de la ortografa

La lectura, la escritura

y la comunicacin oral

deben promoverse en

los distintos sectores

de aprendizaje

Estas habilidades se

pueden promover

de diversas formas


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ComuniCaCin oral

la capacidad de exponer ante otras personas

la expresin de ideas y conocimientos de manera organizada

el desarrollo de la argumentacin al formular ideas y opiniones

el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisin, incorporando losconceptos propios del sector

el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para

superar dificultades de comprensin

la disposicin para escuchar informacin de manera oral, manteniendo la

atencin durante el tiempo requerido

la interaccin con otras personas para intercambiar ideas, analizar informa-

cin y elaborar conexiones en relacin con un tema en particular, compartir

puntos de vista y lograr acuerdos

Uso de las Tecnologas de la Informacin y laComunicacin (TICs)

El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologas de la Informacin

y la Comunicacin (TICs) est contemplado de manera explcita como uno de

los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda

que el dominio y uso de estas tecnologas se promueva de manera integrada al

trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe

procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para:

buscar, acceder y recolectar informacin en pginas web u otras fuentes, y

seleccionar esta informacin, examinando crticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos, utilizando plantillas de clculo, y manipular la in-

formacin sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades y

patrones relativos a los fenmenos estudiados en el sector

desarrollar y presentar informacin a travs del uso de procesadores de texto,

plantillas de presentacin (power point) y herramientas y aplicaciones de ima-

gen, audio y video

intercambiar informacin a travs de las herramientas que ofrece internet,

como correo electrnico, chat, espacios interactivos en sitios web o comuni-

dades virtuales

respetar y asumir consideraciones ticas en el uso de las TICs, como el

cuidado personal y el respeto por el otro, sealar las fuentes de donde seobtiene la informacin y respetar las normas de uso y de seguridad de los

espacios virtuales

Debe impulsarse

el uso de las TICs a

travs de los sectores

de aprendizaje

Se puede recurrir

a diversas formasde utilizacin de

estas tecnologas


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15Spim A Bsic / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa

Atencin a la diversidad

En el trabajo pedaggico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre

los estudiantes en trminos culturales, sociales, tnicos o religiosos, y respecto

de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento.

Esa diversidad conlleva desafos que los profesores tienen que contemplar. Entre

ellos, cabe sealar:

promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de toleran-

cia y apertura, evitando las distintas formas de discriminacin

procurar que los aprendizajes se desarrollen en relacin con el contexto y la

realidad de los estudiantes

intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje sealados

en el currculum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos

Atencin a la diversidad y promocin de aprendizajes

Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de

aprendizaje no implica expectativas ms bajas para algunos estudiantes. Por

el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar

que hay que reconocer los requerimientos didcticos personales de los alumnos,

para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes

alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.

En atencin a lo anterior, es conveniente que, al momento de disear el traba-

jo en una unidad, el docente considere que precisarn ms tiempo o mtodos

diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto,debe desarrollar una planificacin inteligente que genere las condiciones que

le permitan:

conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de

los estudiantes

evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades

de aprendizaje

definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partida

incluir combinaciones didcticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y

materiales diversos (visuales, objetos manipulables)

evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con mltiples opciones

promover la confianza de los alumnos en s mismos promover un trabajo sistemtico por parte de los estudiantes y ejercitacin

abundante

La diversidad

entre estudiantes

establece desafos

que deben tomarseen consideracin

Es necesario atender

a la diversidad para

que todos logrenlos aprendizajes

Esto demanda conocer

qu saben y, sobre

esa base, definir con

flexibilidad las diversas

medidas pertinentes


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Orientaciones para planificar

La planificacin es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los

aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los

procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar.

Los programas de estudio del Ministerio de Educacin constituyen una herra-

mienta de apoyo al proceso de planificacin. Para estos efectos, han sido elabo-

rados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad

en los distintos contextos educativos del pas.

El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son

los Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la pla-

nificacin a travs de la propuesta de unidades, de la estimacin del tiempo

cronolgico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para de-

sarrollar los aprendizajes.

ConsideraCiones generales para realizar la planifiCaCin

La planificacin es un proceso que se recomienda realizar, considerando los

siguientes aspectos:

la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes

del curso, lo que implica planificar considerando desafos para los distintos

grupos de alumnos

el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible

las prcticas pedaggicas que han dado resultados satisfactorios

los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materia-les didcticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesa-

rio disear; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de

Aprendizaje (CRA), entre otros

sugerenCias para el proCeso de planifiCaCin

Para que la planificacin efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe

estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visin clara de lo

que los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda

elaborar la planificacin en los siguientes trminos:

comenzar por una especificacin de los Aprendizajes Esperados que no selimite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo

ms clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Esto im-

plica reconocer qu desempeos de los estudiantes demuestran el logro de

los aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como qu deberan

La planificacin

favorece el logro de

los aprendizajes

El programa sirve de

apoyo a la planificacin

a travs de un conjunto

de elementos elaborados

para este fin

Se debe planificar

tomando en cuenta la

diversidad, el tiempo real,

las prcticas anteriores y

los recursos disponibles

Lograr una visin lo ms

clara y concreta posible

sobre los desempeos

que dan cuenta de

los aprendizajes


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ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado

Aprendizaje Esperado?, qu habra que observar para saber que un aprendi-

zaje ha sido logrado?

a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar

y las estrategias de enseanza. Especficamente, se requiere identificar qu

tarea de evaluacin es ms pertinente para observar el desempeo espera-do y qu modalidades de enseanza facilitarn alcanzar este desempeo. De

acuerdo a este proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumati-

vas, las actividades de enseanza y las instancias de retroalimentacin

Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso,

que entregan elementos tiles para reconocer el tipo de desempeo asociado

a los aprendizajes.

Se sugiere que la forma de plantear la planificacin arriba propuesta se use

tanto en la planificacin anual como en la correspondiente a cada unidad y al

plan de cada clase.

La planificacin anual

En este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo

del ao escolar, considerando su organizacin por unidades; estimar el tiempo

que se requerir para cada unidad y priorizar las acciones que conducirn a lo-

gros acadmicos significativos.

Para esto, el docente tiene que:

alcanzar una visin sinttica del conjunto de aprendizajes a lograr duran-te el ao, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los

estudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados

especificados en los programas. Los Mapas de Progreso pueden resultar un

apoyo importante

identificar, en trminos generales, el tipo de evaluacin que se requerir para

verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitir desarrollar una idea de las

demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad

sobre la base de esta visin, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para

que esta distribucin resulte lo ms realista posible, se recomienda:

- listar das del ao y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible

- elaborar una calendarizacin tentativa de los Aprendizajes Esperados para elao completo, considerando los feriados, los das de prueba y de repaso, y la

realizacin de evaluaciones formativas y retroalimentacin

- hacer una planificacin gruesa de las actividades a partir de la calendarizacin

- ajustar permanentemente la calendarizacin o las actividades planificadas

y, sobre esa base,

decidir las evaluaciones,

las estrategias deenseanza y la

distribucin temporal

Realizar esteproceso con una

visin realista de los

tiempos disponibles

durante el ao


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La planificacin de la unidad

Implica tomar decisiones ms precisas sobre qu ensear y cmo ensear, con-

siderando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.

La planificacin de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificacin anual, esta visin

debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda

complementarla con los Mapas de Progreso

crear una evaluacin sumativa para la unidad

idear una herramienta de diagnstico de comienzos de la unidad

calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana

establecer las actividades de enseanza que se desarrollarn

generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especifi-

cando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y

retroalimentacin

ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes

La planificacin de clase

Es imprescindible que cada clase sea diseada considerando que todas sus par-

tes estn alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con

la evaluacin que se utilizar.

Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseada distinguiendo su

inicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qu elementos se con-

siderarn en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos comolos siguientes:

inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el prop-

sito de la clase; es decir, qu se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar

captar el inters de los estudiantes y que visualicen cmo se relaciona lo que

aprendern con lo que ya saben y con las clases anteriores

desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada

para la clase

cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En

l se debe procurar que los estudiantes se formen una visin acerca de qu

aprendieron y cul es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas

para promover su aprendizaje.

Realizar este proceso

sin perder de vista la

meta de aprendizaje

de la unidad

Procurar que los

estudiantes sepan qu y

por qu van a aprender,

qu aprendieron y

de qu manera


23/110


Orientaciones para evaluar

La evaluacin forma parte constitutiva del proceso de enseanza. No se debe

usar solo como un medio para controlar qu saben los estudiantes, sino que

cumple un rol central en la promocin y el desarrollo del aprendizaje. Para que

cumpla efectivamente con esta funcin, debe tener como objetivos: ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes

proporcionar informacin que permita conocer fortalezas y debilidades de los

alumnos y, sobre esa base, retroalimentar la enseanza y potenciar los logros

esperados dentro del sector

ser una herramienta til para la planificacin

Cmo promover el aprendizaje a travs de la evaluaCin?

Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si

se llevan a cabo considerando lo siguiente:

informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarn. Esto facilita que

puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr

elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se bus-

ca alcanzar, fundados en el anlisis de los desempeos de los estudiantes. Las

evaluaciones entregan informacin para conocer sus fortalezas y debilidades. El

anlisis de esta informacin permite tomar decisiones para mejorar los resulta-

dos alcanzados

retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta

informacin con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que

debe seguir para avanzar. Tambin da la posibilidad de desarrollar procesos

metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; asu vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos

Cmo se pueden artiCular los mapas de progreso del

aprendizaje Con la evaluaCin?

Los Mapas de Progreso ponen a disposicin de las escuelas de todo el pas un

mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y

los ubican en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el segui-

miento de los aprendizajes, en tanto permiten:

reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar

aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripcin decada nivel, sus ejemplos de desempeo y el trabajo concreto de estudiantes

que ilustran esta expectativa

Apoya el proceso

de aprendizaje al

permitir su monitoreo,

retroalimentar a losestudiantes y sustentar

la planificacin

Explicitar qu se evaluar

Identificar logros

y debilidades

Ofrecer retroalimentacin

Los mapas apoyan

diversos aspectos del

proceso de evaluacin


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20

observar el desarrollo, la progresin o el crecimiento de las competencias de

un alumno, al constatar cmo sus desempeos se van desplazando en el mapa

contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evi-

denciar sus aprendizajes

Cmo disear la evaluaCin?

La evaluacin debe disearse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el obje-

to de observar en qu grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda disear la

evaluacin junto a la planificacin y considerar las siguientes preguntas:

Cules son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcar la

evaluacin?

Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que sern duraderos y pre-

rrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progre-

so pueden ser de especial utilidad

Qu evidencia necesitaran exhibir sus estudiantes para demostrar

que dominan los Aprendizajes Esperados?

Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluacin sugeridos

que presenta el programa.

Qu mtodo emplear para evaluar?

Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas

escritas, guas de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas con-

ceptuales, informes de laboratorio e investigaciones, entre otros).

En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas

maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes

puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.

Qu preguntas se incluir en la evaluacin?

Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Espe-

rados, que permitan demostrar la real comprensin del contenido evaluado

Cules son los criterios de xito?, cules son las caractersticas de

una respuesta de alta calidad?

Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo:- comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de

otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en

los Mapas de Progreso

Partir estableciendo

los Aprendizajes

Esperados a evaluar

y luego decidir qu

se requiere para su

evaluacin en trminos

de evidencias, mtodos,

preguntas y criterios


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- identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen

el nivel de desempeo esperado, y utilizarlas como modelo para otras eva-

luaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje

- desarrollar rbricas5 que indiquen los resultados explcitos para un des-

empeo especfico y que muestren los diferentes niveles de calidad para

dicho desempeo

5 Rbrica: tabla o pauta para evaluar


26/110

22


27/110

23

MaemicaPrgrama e EsuiSpim A Bsic


28/110

24

PrpsisEl aprendizaje de la matemtica ayuda a comprender

la realidad y proporciona herramientas para desenvol-

verse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el

clculo, el anlisis de la informacin proveniente de

diversas fuentes, la capacidad de generalizar situacio-

nes, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados

y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo

esto contribuye a desarrollar un pensamiento lgico,ordenado, crtico y autnomo, y a generar actitudes

como precisin, rigurosidad, perseverancia y confianza

en s mismo, que se valoran no solo en la ciencia y la

tecnologa, sino tambin en la vida cotidiana.

Aprender matemticas acrecienta tambin las habilida-

des relativas a la comunicacin; por una parte, ensea a

Maemica

presentar informacin con precisin y rigurosidad y, por

otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones

y argumentos que se recibe.

El conocimiento matemtico y la capacidad para

usarlo provocan importantes consecuencias en el

desarrollo, el desempeo y la vida de las personas. El

entorno social valora el conocimiento matemtico ylo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden

superior. Aprender matemtica influye en el concep-

to que nios, jvenes y adultos construyen sobre s

mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a

que la persona se sienta un ser autnomo y valioso. En

consecuencia, la calidad, la pertinencia y la ampli-

tud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la

HABIlIdAdES dE PENSAMIENto MAtEMtICo

4 bsico 5 bsico 6 bsico

Resolver problemas en contextos

significativos que requieren el uso

de los contenidos del nivel


diversos y significativos


significativos

Formular conjeturas y verificarlas,

para algunos casos particulares

Formular y verificar conjeturas,

en casos particulares

Ordenar nmeros y ubicarlos en

la recta numrica

Ordenar nmeros y ubicarlos en

la recta numrica

Realizar clculos en forma mentaly escrita




29/110

Spim A Bsic / Maemica 25Matemtica

HabiiaesAl estudiar matemticas, el estudiante adquiere el razo-

namiento lgico, la visualizacin espacial, el pensamien-

to analtico, el clculo, el modelamiento y las destrezas

para resolver problemas. La tabla siguiente puede

resultar til para:

observar transversalmente las habilidades que se

desarrollan en el sector

focalizarse en un nivel y disear actividades y evalua-ciones que enfaticen dichas habilidades

situarse en el nivel, observar las habilidades que se

pretendi ensear en los aos anteriores y las que se

trabajarn ms adelante

advertir diferencias y similitudes en los nfasis por

ciclos de enseanza

7 bsico 8 bsico I medio


diversos y significativos, utilizando

los contenidos del nivel


diversos y significativos

Analizar estrategias de resolucin de

problemas de acuerdo con criterios

definidos

Analizar la validez de los

procedimientos utilizados y de

los resultados obtenidos

Evaluar la validez de los resultados

obtenidos y el empleo de dichos

resultados para fundamentaropiniones y tomar decisiones

Fundamentar opiniones y tomar

decisiones

Ordenar nmeros y ubicarlos en la

recta numrica



Emplear formas simples de

modelamiento matemtico

Emplear formas simples de

modelamiento matemtico

Aplicar modelos lineales que repre-

sentan la relacin entre variables

Verificar proposiciones simples,

para casos particulares

Diferenciar entre verificacin y

demostracin de propiedades

calidad de vida de las personas y afecta el potencial de

desarrollo del pas.

La matemtica ofrece tambin la posibilidad de trabajar

con entes abstractos y sus relaciones y prepara a los

estudiantes para que entiendan el medio y las mltiples

relaciones que se dan en un espacio simblico y fsico

de complejidad creciente. Se trata de espacios en losque la cultura, la tecnologa y las ciencias se redefinen

en forma permanente y se hacen ms difciles, y las

finanzas, los sistemas de comunicacin y los vnculos

entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan.


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26

Se ha concebido este sector como una oportunidad

para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.

La matemtica es un rea poderosa de la cultura, pues

permite comprender, explicar y predecir situaciones

y fenmenos del entorno. Por eso, es importante que

los docentes se esfuercen para que todos los alumnos

del pas aprendan los conocimientos y desarrollen las

capacidades propias de esta disciplina. Estos programasentregan algunas orientaciones que ayudarn a los

profesores a cumplir con este objetivo por medio de la

planificacin y en el transcurso de las clases.

los ConCeptos matemtiCos: profundidad

e integraCin

Los estudiantes deben explorar en las ideas matemti-

cas y entender que ellas constituyen un todo y no frag-

mentos aislados del saber. Tienen que enfrentar variadas

experiencias para que comprendan en profundidad los

conceptos matemticos, sus conexiones y sus aplica-ciones. De esta manera, podrn participar activamente

y adquirir mayor confianza para investigar y aplicar

las matemticas. Se recomienda que usen materiales

concretos, realicen trabajos prcticos y se apoyen en la

tecnologa, en especial en el ciclo bsico.

el uso del Contexto

Es importante que el docente aclare que esta disciplina

est enraizada en la cultura y en la historia; asimismo,

que impacta en otras reas del conocimiento cientfico,

crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse

cmo se originaron los conceptos y modelos matemti-

cos, en qu perodos de la historia y cmo se enlazaron

con la evolucin del pensamiento, es un ancla impor-

tante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogas

y representaciones cercanas a los estudiantes, en es-

pecial en las etapas de exploracin. Tambin se sugiere

aplicar las matemticas a otras reas del saber y en la

vida diaria, como un modo de apoyar la construccin

del conocimiento matemtico.

razonamiento matemtiCo y resoluCin

de problemas

Esta disciplina se construye a partir de regularidades

que subyacen a situaciones aparentemente diversas

y ayuda a razonar en vez de actuar de modo mec-

nico. Por eso es importante invitar a los estudiantes a

buscar regularidades. Tambin se pretende desarrollar

y explicar la nocin de estrategia, comparar diversas

formas de abordar problemas y justificar y demostrar las

proposiciones matemticas. El docente debe procurar,

asimismo, que los alumnos conjeturen y verifiquen

cmo se comportan los elementos y las relaciones conque se trabaja. Tienen que analizar los procedimientos

para resolver un problema y comprobar resultados,

propiedades y relaciones.

Aunque deben ser competentes en diversas habilidades

matemticas, el profesor tiene que evitar que pongan

demasiado nfasis en los procedimientos si no com-

prenden los principios matemticos correspondientes.

uso del error

Usar adecuadamente el error ayuda a crear un am-biente de bsqueda y creacin. Un educador puede

aprovechar la equivocacin para inducir aprendizajes

especialmente significativos, si lo hace de manera

constructiva. Se debe considerar el error como un

elemento concreto para trabajar la diversidad en clases

y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendi-

zajes propuestos.

aprendizaje matemtiCo y desarrollo

personal

La clase de Matemtica ofrece abundantes ocasiones

para el autoconocimiento y las interacciones sociales.

Es una oportunidad para la metacognicin6: cmo

lo hice?, cmo lo hicieron?, de qu otra manera es

posible? Adems, la percepcin que cada cual tiene de

su propia capacidad para aprender y hacer matemtica,

surge de la retroalimentacin que le ha dado la propia

experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus ma-

nos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y

los logros de los alumnos. Otros aspectos que tambin

ayudan a que cada estudiante aumente la confianza ens mismo son valorar las diferencias, aceptar los xitos o

las acciones de sus pares, crear un clima de confianza y

distinguir de qu modo enfrenta cada uno el triunfo o el

fracaso, sea propio o de los dems.

orienacines icicas

6 Metacongicin: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento


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Spim A Bsic / Maemica 27

teCnologas digitales y aprendizaje

matemtiCo

El presente programa propone usar software para am-

pliar las oportunidades de aprendizaje de los estudian-

tes. Estas tecnologas permiten representar nociones

abstractas a travs de modelos en los que se puede

experimentar con ideas matemticas; tambin se puede

crear situaciones para que los alumnos exploren las ca-ractersticas, los lmites y las posibilidades de conceptos,

relaciones o procedimientos matemticos. Los procesa-

dores geomtricos, simblicos y de estadstica son labo-

ratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba.

Con un procesador simblico, se puede analizar y en-

tender nmeros grandes o muy pequeos. Y se puede

estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de

alta complejidad. Internet ofrece mltiples ambientes

con representaciones dinmicas de una gran cantidad

de objetos matemticos. Los procesadores geomtricos

permiten experimentar con nociones y relaciones de la

Matemtica

geometra euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de

un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los

ayudar mucho a formarse para una vida cada vez ms

influida por las tecnologas digitales.

Clima y motivaCin

Se debe propiciar un ambiente creativo para que los

alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturasrespecto de los problemas que abordan. Ese ambiente

debe admitir que el error, la duda y la pregunta son

importantes y valiosos para construir conocimiento;

asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y

aprovecharlos para crear una bsqueda y una cons-

truccin colectiva. En ese espacio ser natural analizar

acciones y procedimientos y explorar caminos alter-

nativos de una bsqueda y construccin colectivas.

Debe constituirse en un espacio en el que es natural el

anlisis de las acciones y procedimientos, de modo de

comparar diversas alternativas.


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28

Visin Gba e AApreniaes Esperas pr semesre y unia

AE 05

Reconocer una proporcin como una igualdad entre

dos razones.

AE 06

Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en

contextos diversos.

AE 07

Establecer estrategias para reducir trminos semejantes.

AE 08

Resolver problemas que impliquen plantear y resolver

ecuaciones de primer grado con una incgnita en el

mbito de los nmeros enteros y fracciones o decimales

positivos, y problemas que involucran proporcionalidad.

Tiempo estimado

63 horas pedaggicas

Unia 1Nmers y gebra

Semesre 1

AE 01

Identificar problemas que no admiten solucin en los

nmeros naturales y que pueden ser resueltos en los

nmeros enteros.

AE 02

Establecer relaciones de orden entre nmeros enteros y

ubicar estos nmeros en la recta numrica.

AE 03

Sumar y restar nmeros enteros e interpretar estas

operaciones.

AE 04

Reconocer propiedades relativas a la adicin y sustraccin

de nmeros enteros y aplicarlas en clculos numricos.


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Spim A Bsic / Maemica 29Visin Global del Ao

Unia 2Gemera

AE 01

Construir rectas perpendiculares, paralelas y bisectrices

de ngulos, usando instrumentos manuales o procesa-

dores geomtricos.

AE 02

Comprobar propiedades de alturas, simetrales, bisectri-

ces y transversales de gravedad de tringulos, utilizando

instrumentos manuales o procesadores geomtricos.

AE 03

Construir tringulos a partir de la medida de sus lados

y/o ngulos, usando instrumentos manuales o procesa-

dores geomtricos.

AE 04

Construir ngulos, utilizando instrumentos manuales o

un procesador geomtrico.

Tiempo estimado

40 horas pedaggicas


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30

Semesre 2

Unia 3Nmers y Gemera

AE 01

Interpretar potencias de exponente natural cuya base es

un nmero fraccionario o decimal positivo.

AE 02

Interpretar potencias de base 10 y exponente entero.

AE 03

Conjeturar y verificar algunas propiedades7 de las po-

tencias de base y exponente natural.

AE 04

Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de

base y exponente natural.

AE 05

Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de

base 10 y exponente entero.

AE 06

Comprender el significado de la raz cuadrada de un

nmero entero positivo.

AE 07

Determinar y estimar el valor de races cuadradas.

AE 08

Comprender el teorema de Pitgoras y el teorema

recproco de Pitgoras.

AE 09

Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas

rectos y pirmides en contextos diversos, y expresar los

resultados en las unidades de medida correspondiente.

AE 10

Formular y verificar conjeturas, en casos particulares,

relativas a cambios en el permetro de polgonos al

variar uno o ms de sus elementos lineales.

AE 11

Formular y verificar conjeturas, en casos particulares,relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y

pirmides al variar uno o ms de sus elementos lineales.

AE 12

Resolver problemas en contextos diversos:

a. Aplicando propiedades de las potencias de base y

exponente natural, y las potencias de base 10

y exponente entero

b. Utilizando el teorema de Pitgoras y el teorema

recproco de Pitgoras

7 Se refiere, por ejemplo, a las propiedades de multiplicacin y divisin de potencias de igual base, multiplicacin de potencias de

igual exponente, potencia de una potencia. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero.

Tiempo estimado

77 horas pedaggicas


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Spim A Bsic / Maemica 31Visin Global del Ao

Unia 4das y Aar

AE 01

Analizar informacin presente en diversos tipos de tablas

y grficos.

AE 02

Seleccionar formas de organizacin y representacin de

datos de acuerdo al tipo de anlisis que se quiere realizar.

Tiempo estimado

40 horas pedaggicas

AE 03

Reconocer que la naturaleza y el mtodo de seleccin

de muestras inciden en el estudio de una poblacin.

AE 04

Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a

partir de la frecuencia relativa obtenida en la realizacin

de experimentos aleatorios simples.


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32


37/110

33

Uniaes

Semesre 1

Semesre 2

Unia 1Nmers y gebra

Unia 2Gemera

Unia 3Nmers y Gemera

Unia 4das y Aar


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34


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35

Unia 1Nmers y gebra

propsito

Se espera que en esta unidad los estudiantes seancapaces de resolver problemas de adicin y sus-

traccin con nmeros enteros. Tambin propone un

trabajo con razones y proporciones y, si bien es cierto

que este tema puede desde una mirada algebraica,

para este nivel el enfoque es numrico. Es decir, se

busca que los estudiantes comprendan los alcan-

ces de comparar dos magnitudes, estableciendo el

cuociente entre ambas, y puedan resolver diversas

situaciones, cuyos modelos representan situaciones

de variacin proporcional.

El lgebra progresa naturalmente junto al mbito nu-

mrico, ya que en este nivel se trabajan expresiones

donde los factores de los trminos involucrados en

ellas estn en el mbito de los enteros y las fraccio-

nes y decimales positivos. El trabajo con ecuaciones

que se propone en este nivel contina naturalmente

ampliando el mbito numrico, ya que tanto los

coeficientes como los valores incgnitos pueden ser

nmeros enteros, decimales o fracciones positivas.

ConoCimientos previos

Operatoria con nmeros naturales

Razn como cuociente entre cantidades

Ecuaciones de primer grado con una incgnita en

el mbito de los nmeros naturales

palabras Clave

Nmeros enteros, proporciones.

Contenidos

Nmeros enteros

Adicin y sustraccin de nmeros enteros Proporcin como igualdad de razones

Ecuaciones de primer grado con una incgnita en

el mbito de los nmeros enteros, fracciones o

decimales positivos

Habilidades

Analizar si un problema tiene soluciones en el

conjunto de los nmeros naturales

Resolver problemas que implican ordenar u operar

con nmeros enteros

Usar las proporciones para resolver problemas de

variacin proporcional

Discriminar entre las relaciones proporcionales

directas e inversas

Resolver problemas que involucran clculo de

porcentajes, usando proporciones

Plantear ecuaciones de primer grado con una

incgnita que representan distintas situaciones

Resolver ecuaciones de primer grado con una

incgnita y coeficientes enteros

Resolver problemas y formular conjeturas endiversos contextos en los que se deben establecer

relaciones entre conceptos

aCtitudes

Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y

originalidad al resolver problemas matemticos

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la reso-

lucin de problemas en contextos diversos


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36

ApreniaesEsperas

Se espera que los estudiantes sean

capaces de:

c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:

AE 01Identifcar problemas que no

amien sucin en s n-

meros naturales y que puedenser resues en s nmers

eners.

Dan ejemplos de problemas que admiten solucin en los nmeros

naturales.

Dan ejemplos de problemas que admiten solucin en los nmeros enteros. Explican diferencias que se presentan en las ecuaciones asociadas a pro-

blemas que admiten solucin en los nmeros naturales y las ecuaciones

asociadas a problemas que admiten solucin en los nmeros enteros.

AE 02Esabecer reacines e ren

enre nmers eners y ubi-

car ess nmers en a reca

numrica.

Ordenan de mayor a menor y viceversa nmeros enteros.

Intercalan nmeros enteros entre dos enteros.

Ubican en la recta numrica nmeros enteros sujetos a restricciones da-

das. Por ejemplo, ubican en la recta numrica nmeros enteros menoresque -4 y mayores que -10.

AE 03Sumar y resar nmers

eners e inerprear esas

peracines.

Realizan adiciones y sustracciones de nmeros enteros en la recta numrica.

Explican sumas y restas de nmeros enteros.

Utilizan y elaboran estrategias para sumar y restar nmeros enteros.

Identifican sumas y restas de nmeros enteros en diversos contextos e

interpretan estas operaciones en funcin del contexto.

AE 04Recncer prpieaes reai-

vas a a aicin y susraccin

e nmers eners y apicar-

as en ccus numrics.

Transforman la sustraccin entre dos nmeros enteros en una adicin de

estos. Por ejemplo: 70 45 = 70 + (-45)

Reconocen propiedades de la adicin en los nmeros enteros.

Calculan sumas y restas de nmeros enteros utilizando propiedades.

AE 05Recncer una prprcincm una iguaa enre s

ranes.

Comparan los cuocientes entre dos razones para plantear una proporcin.

Argumentan si dos razones forman una proporcin utilizando el teorema

fundamental de las proporciones.

Determinan el trmino desconocido de una proporcin.

Discriminan en el entorno entre las relaciones proporcionales y las no

proporcionales.


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Spim A Bsic / Maemica 37Unidad 1


capaces de:


AE 06Caraceriar expresines

semeanes y recnceras en

cnexs iverss.

Identifican expresiones semejantes y no semejantes en contextos alge-

braicos y reconocen las diferencias.

Reconocen expresiones semejantes en contextos geomtricos. Por ejem-plo, reconocen que los lados de tringulos expresados en centmetros son

expresiones semejantes.

AE 07Esabecer esraegias para

reucir rmins semeanes.

Reducen sumas de trminos semejantes utilizando estrategias establecidas.

Convierten sumas y restas de trminos en expresiones semejantes y las

reducen. Por ejemplo, la suma 2a + 3b +3c+ a la expresan en la forma

2( a + b + c) + ( a + b + c) y posteriormente la reducen.

AE 08Resolver problemas que

impliquen plantear y resolver

ecuacines e primer gra

cn una incgnia en e mbi

e s nmers eners y frac-

cines ecimaes psiivs,

y problemas que involucran

prprcinaia.

Identifican situaciones que se pueden abordar mediante el planteamiento

de ecuaciones de primer grado en el mbito numrico de los enteros,

fracciones positivas o decimales positivos.

Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para la solucin del

problema.

Identifican la incgnita del problema y le asignan un nombre de x , por

ejemplo.

Establecen las relaciones entre las variables que se desprenden del enun-

ciado del problema.

Resuelven correctamente la ecuacin resultante.

Verifican si la solucin de la ecuacin es la solucin del problema.

Comunican en forma oral o escrita las soluciones del problema.

Utilizan las propiedades de la adicin en el conjunto de los nmeros ente-

ros para resolver problemas asociados a situaciones aditivas.

Aplican proporcionalidad directa para calcular porcentajes en diversos

contextos.

Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa.


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38

Se sugiere trabajar actividades que ofrezcan la posibi-

lidad de observar la proporcionalidad directa e inversa

en variados contextos, que posibiliten comparar entreellas y con magnitudes que no se relacionan propor-

cionalmente. Por ejemplo, se les puede mostrar que

dos variables no necesariamente estn en proporcin

directa cuando el crecimiento de una de ellas implique

el crecimiento de la otra.

Se recomienda poner especial cuidado en los pro-

cedimientos seleccionados para resolver ecuaciones

de primer grado con nmeros positivos y negativos.

Los algoritmos tradicionales de pasar de un lado

para otro generan aprendizajes de reglas mecnicas

no siempre comprendidas, que llevan a errores que

permanecen por largo tiempo. Por ejemplo, si no

se ha trabajado correctamente la interpretacin del

signo negativo de un nmero (diferente al signo de

la sustraccin), los estudiantes presentarn sistem-

ticamente problemas para despejar una ecuacin del

tipo x 3 = 5, pasando el 3 positivo al otro lado de la

igualdad, por el solo hecho de asociar el signo negati-

vo a la sustraccin.

Para evitar este tipo de errores, es necesario fomen-

tar el trabajo y desarrollo de actividades en parejas o

grupos pequeos. Es preferible que estos grupos estn

compuestos por estudiantes de capacidades similares.

Esto permitir entregarles actividades a los grupos de

acuerdo con sus capacidades.

Orientaciones didcticas para la unidad

En esta unidad, se propone un trabajo integrado entre

lgebra y nmeros, buscando de esta manera apoyar el

establecimiento de conexiones entre estas dos reas.

Se recomienda iniciar el trabajo con los nmeros ente-

ros, situando a los estudiantes en su contexto histrico,

en particular en la relevancia que estos nmeros tuvie-

ron en la resolucin de problemas y en la representacin

de cantidades negativas. Tambin resulta interesante

presentar los nmeros enteros a partir de situaciones

que no tienen solucin en los nmeros naturales (como

las deudas, las temperaturas o altitudes). Una discusin

atractiva en la presentacin del conjunto de los enteros

es la interpretacin del cero. Se puede observar con los

estudiantes que el cero representa situaciones distintas,

dependiendo del contexto en que se encuentra (por

ejemplo, en un contexto de temperaturas, cero grado

no representa templado, sino el punto de congelacin

del agua; en el contexto de la altitud, el cero representa

el nivel de mar).

No es fcil para los estudiantes entender las reglas para

sumar y restar con nmeros enteros. Se recomienda la

utilizacin de metforas y representaciones visuales parafacilitar la comprensin de los procedimientos involucra-

dos, por sobre la ejercitacin rutinaria. Cuando un estu-

diante no comprende lo que est haciendo, su nica posi-

bilidad es apelar a la memoria, tanto para intentar grabar

ideas y conceptos como para recordarlos ms tarde. Esta

es una de las razones por las cuales es comn en este nivel

encontrar estudiantes que generan reglas, generalmente

incorrectas, a partir de un grupo de reglas vlidas.

Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT

Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemticos

Tener un orden y mtodo para el registro de informacin.

Terminar los trabajos iniciados.

Ser tenaz frente a obstculos o dudas que se le presenten en problemas matemticos numricos y

algebraicos.

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en contextos diversos

Participar de manera propositiva en actividades grupales.

Ser responsable en la tarea asignada. Tomar iniciativa en actividades de carcter grupal.

Proponer alternativas de solucin a problemas matemticos numricos y algebraicos en actividades

grupales.


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Eemps eAciviaes

AE 01Identifcar problemas que no

amien sucin en s n-

meros naturales y que pueden

ser resues en s nmers

eners.

1Los estudiantes resuelven mentalmente y de manera escrita una lista

de ecuaciones de primer grado, cuya solucin es un nmero natural, y

argumentan acerca de las estrategias empleadas.

Por ejemplo:

a. 2x + 1 = 17b. 3x - 2 = 16

2El docente exhibe a sus estudiantes situaciones, cuyos modelos son ecua-

ciones con soluciones en los nmeros naturales, y les propone que:

Inventen ecuaciones con solucin en los naturales

Inventen problemas, cuyo planteamiento sean ecuaciones con solucio-

nes en los naturales

3

El docente exhibe a sus estudiantes ejemplos de problemas que no tie-nen solucin en los naturales:

En contextos cotidianos

En contextos matemticos

Por ejemplo:

En una semana de invierno en una ciudad se registraron las siguientes

temperaturas mnimas:

lunes: -2C

martes: -5C

mircoles: 0C

jueves: 1C

viernes: 4C

sbado: -6C

domingo: -6C

- Cul fue el promedio de las temperaturas mnimas esa semana en

esa ciudad?

- Qu nmero, sumado con el doble de 5, da como resultado 0?

A continuacin les pide que propongan problemas similares. Luego los

estudiantes argumenten qu diferencia a este tipo de problemas conotros que admitan solucin en los naturales.

El docente y los alumnos revisan estas propuestas de problemas y carac-

terizan estas diferencias.


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40

AE 02Esabecer reacines eren enre nmers eners

y ubicar ess nmers en a

reca numrica.

4Los estudiantes indagan en diferentes medios de comunicacin para ex-

traer situaciones contextualizadas que estn representadas por nmerosenteros (que incluyan positivos y negativos).

5Exponen las situaciones encontradas y justifican la necesidad de un con-

junto numrico con nmeros negativos.

1Los estudiantes dibujan la recta numrica que utilizan para ubicar n-meros naturales y la extienden a aquella que incluya el cero y nmeros

enteros negativos.

2Establecen resultados respecto de la posicin de los nmeros ubicados

en ella; por ejemplo, que mientras ms a la derecha se encuentren los

nmeros, mayores son; que los nmeros negativos cercanos al cero son

mayores que los ms alejados de l.

3Los estudiantes ubican nmeros enteros en la recta numrica de acuerdo

a restricciones dadas; por ejemplo, ubican enteros que se encuentren

entre -5 y 5, ubican enteros mayores que -20 y menores que -4 y que

sean pares.

4Ordenan, de menor a mayor, informacin referida a fechas importantes.

(Historia)

Por ejemplo:

Ubican en una lnea de tiempo las siguientes fechas:

El ao 1492 DC corresponde al ao del descubrimiento de Amrica y al

comienzo de los tiempos modernos

La invencin de la escritura data del ao 3000 AC

El ao 476 DC marca el fin de la Edad Antigua

En el ao 1789 DC se produjo la Revolucin Francesa

La Segunda Guerra Mundial finaliz el ao 1945 DC

Los primeros desarrollos de la agricultura estn fechados en el 8000 AC

aproximadamente


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AE 03Sumar y resar nmers

eners e inerprear esas

peracines.

AE 04Recncer prpieaes

reaivas a a aicin y sus-

raccin e nmers eners

y apicaras en ccus

numrics.

1Ordenan, suman y restan nmeros enteros. Por ejemplo, 50 - 35 + 24 -

36 - 47, de manera que los enteros negativos queden asociados con losenteros negativos y los positivos con los positivos; en este ejemplo: (-35

- 36 - 47) + (50 + 24) . Expresan el resultado como una resta, en este caso

74 -118

2Expresan restas de enteros positivos como sumas; por ejemplo,

40 - 75 - 23 como 40 + (-75) + (-23)

3

El docente trabaja sumas de enteros y les pide que reconozcan propieda-des de esta operacin.

Por ejemplo, les presenta pares de sumas:

-24 + (-48)

35 + (-10)

-48 + (-24)

-10 + 35

-8 + (-15)

Les propone que efecten las operaciones involucradas y que reconozcan

la propiedad conmutativa de la suma.

4Leen datos sobre temperaturas mximas y mnimas y responden pregun-

tas del tipo:

Cmo se determina la diferencia de temperaturas en un da?

Cul fue la mxima variacin de temperaturas registradas?

Qu se puede decir con respecto a la suma de las variaciones

registradas?

! Observaciones al docente: Es importante no entregar a priori reglas como

restar dos nmeros negativos... sino incentivar a los estudiantes a que ob-

serven los diferentes casos y hagan las asociaciones correspondientes entre la

adicin y la sustraccin. Por otra parte, es importante tambin que redacten

en su propio lenguaje las conclusiones, para que luego el docente observe los

errores y los haga reflexionar sobre ellos.

Los problemas de temperaturas no cubren todas las posibilidades de ope-

raciones con nmeros enteros. Con el fin de completarlas, se propone que el

profesor plantee ejercicios numricos o problemas, donde se realicen adicio-

nes y sustracciones con nmeros de distintos signos.


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42

AE 05Recncer una prprcin

cm una iguaa enre s

ranes.

1El docente muestra a sus estudiantes una serie de situaciones relativas

a proporciones y define los elementos involucrados en ellas. De estamanera, define lo que es una razn, lo que es una proporcin y la razn

de proporcionalidad o factor de conversin. Les pide que:

Reconozcan razones en contextos diversos

Relacionen razones con proporciones en situaciones en contextos

diversos

Determinen la constante de proporcionalidad en situaciones de pro-

porcionalidad en contextos diversos

2

Utilizan distintas estrategias para resolver ecuaciones que se que seexpresan en la forma ax = bc, donde a, b, cson nmeros enteros, o frac-

ciones positivas, o decimales positivos y x es la incgnita.

Por ejemplo:2

x =

3

4

2

0,5=

x

2

3

3Plantean ecuaciones relativas a situaciones que involucran pares de mag-

nitudes proporcionales. Por ejemplo, conocido que la relacin entre el

lado de un cuadrado y su permetro es proporcional, plantean ecuaciones

que permiten completar los valores de la siguiente tabla.

Lado del cuadrado Permetro

1 4

2

3

16

7

36

48

15

En el caso del permetro asociado al lado 7, se podra plantear la ecuacin

1

7 =

4

x

5Deducen que la razn entre el peso de un cuerpo y su masa es constante,e identifican el valor de esa constante.(Ciencias Naturales)


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AE 06Caraceriar expresines

semeanes y recnceras en

cnexs iverss.

AE 07Esabecer esraegias para

reucir rmins semeanes.

AE 08Resolver problemas que impli-

quen plantear y resolver ecua-

cines e primer gra cn

una incgnia, en e mbi e

s nmers eners y frac-

cines ecimaes psiivs,

y problemas que involucranprprcinaia.

1A partir de una lista de trminos algebraicos de la forma a b c

n, donde

a es una constante, identifican los trminos semejantes. Por ejemplo,identifican los trminos que son semejantes en las listas siguientes:

2x, 3y, 4x, x, -5y

2a2, 5y4, -4a2, -y4, -7y4

ux 2, 3u2v, -5vu2, 7uv 2, 5x2u

2Convierten trminos no semejantes en trminos semejantes, modificando

su parte literal. Por ejemplo, modifican el exponente de y en el trmino

2 x 2y 5 para que sea semejante a 2 x 2y 4

3Reducen trminos semejantes en sumas y restas de expresiones

algebraicas.

4Aplican la reduccin de trminos semejantes en clculos en contextos di-

versos. Por ejemplo, calculan permetros de polgonos, cuyos lados estn

expresados mediante trminos algebraicos con coeficientes en el mbito

de los racionales, y entregan el resultado de manera reducida.

1El docente entrega a los estudiantes una serie de equivalencias entre

palabras del lenguaje comn y el lenguaje matemtico. Por ejemplo:

de , doble 2 y las utiliza para traducir expresiones en lenguaje comn

a lenguaje matemtico, y expresiones en lenguaje matemtico a lenguaje

comn. Por ejemplo: la suma entre el doble de un nmero y el triple de 5

equivale a cuatro veces 6, lo traduce en la forma 2 x + 3 5= 4 6

Les propone que traduzcan expresiones del lenguaje comn al lenguaje

matemtico y viceversa.

2Plantean ecuaciones, utilizando lenguaje matemtico.

Por ejemplo:

En un tringulo cualquiera, uno de sus ngulos interiores mide 30. El

segundo ngulo interior es el doble del tercero. Plantear la ecuacin que

relaciona los ngulos interiores del tringulo.

3Plantean y resuelven ecuaciones relativas a problemas en contextos

diversos, como el clculo de calificaciones, conocidas algunas notas y el

promedio.


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44

Por ejemplo:

Marisol est calculando la nota que necesita para obtener de promedio

un 6,3 y as eximirse del examen final. Solo le falta una nota para cerrar elpromedio y sus notas hasta el momento son: 5,8 ; 6,5 ; 6,2 ; 6,8 ; 6,7 ; 5,7.

Cul es la nota mnima que necesita para obtener el promedio deseado?

4Resuelven ecuaciones de primer grado con una incgnita y coeficientes

enteros, evaluando la pertinencia de la solucin en el contexto original

del problema.

5El docente presenta a los estudiantes problemas sobre enteros, y en su re-solucin aplica propiedades referidas a adiciones y sustracciones. Posterior-

mente les pide que indaguen en libros de matemtica y en internet acerca

de problemas donde se aplica estas propiedades para su resolucin.

6Resuelven ecuaciones de primer grado con una incgnita y coeficientes

fraccionarios o decimales positivos, evaluando la pertinencia de la solu-

cin en el contexto original del problema.

! Observaciones al docente: Se sugiere al profesor cerciorarse de que laresolucin de la ecuacin no se transforme en un procedimiento mecnico.

Adems, debe poner atencin en la interpretacin que los estudiantes hagan

de los resultados finales, y pedir que expliquen el resultado obtenido.

7El docente caracteriza la proporcionalidad directa y discute con ellos

ejemplos referidos a situaciones donde se presenta este tipo de propor-

cionalidad. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que

justifiquen matemticamente sus respuestas.

8El docente caracteriza la proporcionalidad inversa y pide a los estudiantes

que comparen ambos tipos de proporciones y que den conclusiones al

respecto. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que

justifiquen matemticamente sus respuestas.


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Eemp eEvauacinEemp eEvauacin

aCtividad

A continuacin se presenta un problema. Lalo cuidadosamente y responda las preguntas

planteadas.

Una caja contiene 70 bombones rellenos con manjar, licor de naranja y licor de guinda.

El nmero de bombones rellenos con manjar es el doble que el nmero de bombones

rellenos con licor de naranja, y el nmero de bombones rellenos con licor de naranja es el

doble que el nmero de bombones rellenos con licor de guinda. Cuntos bombones de

cada tipo hay en la caja?

Preguntas:

1 Qu datos entrega el enunciado que son necesarios para resolver el problema?

2 Qu datos del enunciado es o son irrelevantes para la solucin del problema?

3 Si representamos porzel nmero de chocolates rellenos con licor de naranja qu repre-

senta la expresin

2z+z

2

?

4 Escriba una ecuacin cuya solucin sea respuesta a la pregunta planteada en el problema.

Fundamente.

5 Responda la pregunta del problema. Justifique.

Contina en pgina siguiente

AE 08

Resolver problemas que

impliquen plantear y

resolver ecuaciones de

primer grado con una

incgnita en el mbito

de los nmeros enterosy fracciones o decimales

positivos, y problemas

que involucran proporcio-

nalidad.

indiCadores de evaluaCin sugeridos

Identifican situaciones que se puede abordar mediante

el planteamiento de ecuaciones de primer grado en el

mbito numrico de los enteros, fracciones positivas o

decimales positivos.

Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para

la solucin del problema. Identifican la incgnita del problema y le asignan un

nombre x por ejemplo.

Establecen las relaciones entre las variables que se des-

prenden del enunciado del problema.

Resuelven correctamente la ecuacin resultante.

Verifican si la solucin de la ecuacin es la solucin del

problema.

Comunican en forma oral o escrita las soluciones del

problema.

Utilizan las propiedades de la adicin en el conjunto de

los nmeros enteros para resolver problemas asociados asituaciones aditivas.

Aplican proporcionalidad directa para calcular porcenta-

jes en diversos contextos.

Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa.


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Criterios de evaluaCin

Se sugiere considerar los siguientes aspectos:

1 Distingue los datos relevantes de los irrelevantes del problema.

2 Identifica las incgnitas del problema: nmero de bombones rellenos con manjar, nmero de

bombones rellenos con licor de naranja, nmero de bombones rellenos con licor de guinda.

3 Reconoce las relaciones entre datos e incgnitas del problema.

4 Establece una ecuacin, cuya solucin es la solucin del problema.5 Resuelve la ecuacin en forma correcta.

6 Comunica, por escrito, la solucin del problema.


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49

Unia 2Gemera

propsito

Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de

resolver desafos que estimulen el pensamiento y la

imaginacin, a travs de las construcciones geom-

tricas con regla y comps o un procesador geomtri-

co, y la posibilidad de desarrollar la deduccin, base

de estas construcciones.

La unidad se inicia con los trazados fundamentales

en el plano (que son las bases de las construccio-

nes), como las perpendiculares, las paralelas, las

bisectrices, y la copia de segmentos y ngulos. Se

caracterizan los elementos lineales de los tringulos

y se comprueban algunas de sus propiedades. Se

construyen tringulos a partir de las medidas de sus

lados y/o ngulos, y se construyen ngulos utilizando

regla y comps o un procesador geomtrico.

ConoCimientos previos

Rectas paralelas y perpendiculares

Bisectrices, alturas, transversales de gravedad,simetrales

ngulos agudos, rectos y obtusos

Tringulos segn sus lados y segn sus ngulos

palabras Clave

Construcciones de tringulos, construcciones de

ngulos, justificacin de las construcciones, trazados

fundamentales.

Contenidos

Trazados fundamentales en el plano mediante

regla y comps o un procesador geomtrico

Construccin de ngulos y tringulos mediante

regla y comps o un procesador geomtrico

Caracterizacin de elementos lineales del trin-

gulo mediante regla y comps o un procesador

geomtrico

Justificacin de construcciones geomtricas rea-

lizadas mediante regla y comps o un procesador

geomtrico

Redaccin de pasos de una construccin mediante

regla y comps

Habilidades

Realizar trazados fundamentales en el plano

Efectuar construcciones de tringulos segn lados

y ngulos

Realizar construcciones de ngulos Caracterizar elementos lineales de tringulos

Realizar justificaciones de construcciones

aCtitudes

Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al

resolver problemas matemticos

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la reso-

lucin de problemas en contextos diversos


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ApreniaesEsperas


capaces de:


AE 01Cnsruir recas perpenicua-

res, paraeas y bisecrices e

ngus, usan insrumensmanuaes prcesares

gemrics.

Bisecan ngulos que se forman entre rectas oblicuas, utilizando regla y

comps.

Construyen la altura de un paralelogramo, utilizando regla y comps o unprocesador geomtrico.

Documents

Matemático 7° básico