1

INTRODUCCIÓN Seguramente existen múltiples razones por las cuales los estudiantes de la Escuela Normal Superior deciden estudiar la especialidad de Matemáticas, tal vez por que a lo largo de su formación han visto que cuentan con ciertas habilidades en esta asignatura, o porque en algún ciclo educativo se encontraron con un profesor de Matemáticas equivale a vencer un reto adicional, porque suponen que al estudiar esta asignatura hay mayor campo de trabajo, o bien, tienen interés en resolver los múltiples obstáculos que, como se sabe, enfrentan los alumnos de secundaria en esta materia. Cualquiera que sea la razón, es necesario que en este curso introductorio los estudiantes normalistas aprecien con suficiente claridad lo que significa estudiar, enseñar y aprender matemáticas, con base en un enfoque didáctico que asigna al alumno la tarea de estudiar y al profesor la responsabilidad de dirigir el estudio, ambos con miras a lograr aprendizaje significativo. Dado que uno de los aspectos centrales para la formación de los futuros profesores de matemáticas es la vinculación entre el conocimiento de la disciplina y su didáctica, este curso introductorio sienta las bases para lograr dicho propósito. Es por ello que el estudio de las matemáticas se analiza desde varios puntos de vista: de la sociedad, del curriculum, de la teoría didáctica y de la propia disciplina.

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS Los contenidos del programa se organizan en tres bloques temáticos. El primero centra la atención en el valor social que adquiere el alumno de nivel básico al estudiar matemáticas, se analizan las relaciones entre el estudio, la enseñanza, el aprendizaje y el uso de las matemáticas y, se ejemplifican las habilidades que se pretende desarrollar en la educación primaria y secundaria. En el segundo bloque se revisan la estructura y algunos temas fundamentales de los programas de matemáticas de secundaria, a la vez que se analizan los materiales de apoyo con los que cuentan los profesores de matemáticas, con la idea de reconocer las características de las situaciones de estudio que pueden proponerse a los alumnos de secundaria. En el tercer bloque se sientan las bases de la teoría didáctica para orientar el estudio, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Dado que es muy difícil comprender el porque, el que y el cómo del estudio de las matemáticas solo mediante la lectura o la platica sobre estos aspectos, en los tres bloques se propone que los estudiantes resuelvan algunos problemas para que con base en su propia experiencia puedan entender mejor el reto que se enfrenta un profesor de matemáticas

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Se sugiere desarrollar el curso en forma de taller, distribuyendo las actividades en sesiones de dos horas cada una. En general, cuando se trata de leer algún artículo se recomienda tanto la lectura individual como la revisión del material en equipos, con el fin de resaltar los aspectos principales que se tratan y confrontar posibles diferencias en la interpretación. Con estos antecedentes el profesor puede organizar un trabajo colectivo tendiente a socializar los aspectos relevantes, vincularlos con el contexto propio de los estudiantes y profundizar en los casos en que sea necesario. En la sección de actividades sugeridas hay algunos ejemplos de como puede organizarse el trabajo colectivo. Se recomienda que los estudiantes destinen un cuaderno de notas en este curso, para que en cada sesión registren los asuntos fundamentales que se trataron y las conclusiones a las que llegaron. Este cuaderno puede aportar información al profesor con fines de evaluación y servir como material de consulta cuando los alumnos tengan que realizar practicas en los próximos semestres. En las actividades donde se sugiere resolver problemas es fundamental que la búsqueda de procedimientos de solución recaiga en los alumnos y que el profesor trate de organizar las puestas en común de la manera mas adecuada posible. Para esto puede apoyarse en el documento 2 de los

2

materiales de apoyo para el estudio.1 Seguramente algunas actividades requerirán más de una sesión para llevarse a cabo.

PROPÓSITOS GENERALES Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes normalistas: 1. Comprendan aspectos fundamentales de la actividad matemática, tales como aplicar los

conocimientos que se tienen, aprender y enseñar matemáticas, generar nuevos problemas y formas de solución.

2. Conozcan los contenidos básicos de matemáticas que se imparten en secundaria y analicen la continuidad con los conocimientos obtenidos en primaria.

3. Conozcan las ventajas y desventajas de diferentes estilos docentes, así como sus repercusiones en relación con los conocimientos, habilidades y actitudes que pueden lograr los alumnos de educación secundaria.

BLOQUE I ¿POR QUÉ Y PARA QUÉ ESTUDIAR MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA?

TEMAS: 1. Las matemáticas en la sociedad y en la escuela. 2. Conocimientos, habilidades y actitudes que subyacen al estudio de las matemáticas en la

educación primaria y secundaria. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: • Balbuena, H. (1998), “Nuevo currículum de matemáticas en el nivel básico”, ponencia

presentada en el Foro Las Matemáticas en México: Educación y desarrollo. Cocoyoc, Morelos (véanse los materiales de apoyo, pp.21-30).

• Chevallard, Yves et al. (1997) “Hacer y estudiar matemáticas. Las Matemáticas en la sociedad” en Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, México, SEP (Biblioteca del Normalista), pp. 13-47.

• SEP (1994), libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México, SEP. • SEP (1993), Plan y programas de estudio. Educación secundaria, México, SEP, pp. 37-40. ACTIVIDADES SUGERIDAS: 1. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta: ¿cuáles son sus propósitos al

estudiar la especialidad de matemáticas? Mientras los estudiantes responden a la pregunta, el profesor anotará en el pizarrón los aspectos relevantes, por ejemplo: enseñar mejor, aprender más matemáticas, etc. Una vez que se agoten las opiniones, los estudiantes leerán individualmente las paginas 13 a 26 del libro de Chevallard y al término de la lectura analizarán nuevamente la pregunta planteada al principio. El profesor puede agregar las siguientes preguntas y consignas: • ¿Que implicaciones tiene el hecho de considerar que se inicia un proyecto de estudio en vez

de simplemente un proceso de interacción entre enseñanza y aprendizaje? • Comenten brevemente en qué consiste la experiencia de la rienda de matemáticas. • ¿A qué se refiere la enfermedad didáctica según el texto? • Comenten alguna experiencia en la que haya tenido que resolverle a alguien un problema de

matemáticas fuera de la escuela.

1 C. Parra y P. Sadovsky, “Organización de las interacciones de los alumnos entre sí y con el maestro”, Documento curricular P.T.F.D.

3

• Individualmente, escriban un texto en el que expresen lo que les pareció más importante en la sesión. Se sugiere que algunos alumnos lean el texto que escribieron y hagan comentarios para lograr cada vez mayor claridad.

2. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta ¿qué significa ser matemático? A

medida que los estudiantes expresan sus opiniones, el profesor anotará en el pizarrón los aspectos relevantes. Después, organizados en parejas, leerán las páginas 26 a 33 del texto de Chevallard, de manera que uno asuma el papel de estudiante y otro de profesor o profesora. Al término de la lectura el profesor organizará una discusión con base en las siguientes preguntas: • ¿En qué sentido el profesor hace el papel de matemático ante sus alumnos? • ¿En qué sentido los alumnos hacen el papel de matemático ante el profesor o ante otros

compañeros? • Registren en su cuaderno de notas lo que cada uno considere más importante, • Con base en las ideas previas, la lectura y la discusión.

3. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta: ¿Por qué es importante estudiar

matemáticas en la escuela secundaria? A medida que los estudiantes expresen sus opiniones el profesor anotará en el pizarrón las ideas relevantes. Después, individualmente se leerán las páginas 33 a 37 del libro de Chevallard, así como las páginas9 a 15 del plan y programas de estudio de secundaria, y la página 11 del libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. Al terminar se organizará una discusión con base en las siguientes preguntas: • ¿Cuál es la principal finalidad de estudiar, enseñar y aprender matemáticas? • ¿Por qué es importante que los alumnos del nivel básico estudien matemáticas en la escuela? • ¿Qué relación existe entre el valor social (mencionado en el texto de Chevallard) de la

persona que conoce, y las necesidades básicas de aprendizaje a que se hace referencia en el plan y programas de estudio?

Individualmente registraran en un texto los puntos de coincidencia de los tres materiales leídos, así como las discrepancias, si las hay. Algunos alumnos leerán su trabajo ante el grupo para comentarlo entre todos.

4. El maestro organizará al grupo en equipos y les planteará cuatro de los problemas que aparecen

en el texto “Nuevo curriculum de matemáticas en el nivel básico”. Después de resolver los problemas, en forma colectiva revisarán los procedimientos y resultados. A continuación, el maestro comentará que uno de los propósitos fundamentales del nuevo curriculum de Matemáticas para el nivel básico es el desarrollo de habilidades, tales como estimar, medir, operar, inferir, comunicar, generalizar, imaginar y deducir. Aunque, en general, la resolución de un problema implica más de una habilidad, ¿con cuál o cuáles de ellas se relaciona más cada uno de los problemas que resolvieron y porqué? Una vez que los equipos establezcan la relación, el profesor organizará una puesta en común procurando que en cada caso se formulen otros problemas similares. Los alumnos leerán por separado el texto mencionado y después se organizará una discusión para confrontar sus propios puntos de vista con los del texto leído.

5. Organizados en equipos, los alumnos analizarán y contestarán por escrito las siguientes preguntas: • ¿Qué se entiende por Proceso enseñanza/aprendizaje? • ¿Puede haber enseñanza sin aprendizaje? • ¿Puede haber aprendizaje sin enseñanza? ¿Cómo se puede aprender sin que haya de por

medio una enseñanza? • ¿Cómo se imagina un proceso didáctico fuera de la escuela? • ¿Puede haber aprendizaje sin enseñanza y sin estudio? Dar unos ejemplos. • ¿Qué entiende por didáctica de las matemáticas? Cuando la mayoría de los equipos termine, se organizará una puesta en común para ver las similitudes y las diferencias de los puntos de vista expresados. Individualmente leerán las páginas 37 a 45 del texto de Chevallard para confrontar sus puntos de vista con los del autor. Después escribirán un texto en el que contratarán sus ideas originales con las que resultaron de las preguntas.

4

BLOQUE II.

¿QUÉ ENSEÑAR? TEMAS: 1. Los contenidos básicos de matemáticas en la educación secundaria. 2. Situaciones para el estudio de las matemáticas en la educación secundaria. 3. La secuencia y organización de los contenidos. 4. Los materiales de apoyo para los profesores de matemáticas. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: • SEP (1999), fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria. • SEP (1994), libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. • SEP (1993), Plan y programas de estudio. Educación secundaria. • SEP (1993), Plan y programas de estudio. Educación primaria. • SEP (1994), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación secundaria. • Libros de texto de matemáticas para la educación secundaria de primero, segundo y tercer

grados, autorizados por la SEP. ACTIVIDADES SUGERIDAS: 1. Se organizará al grupo en cinco equipos y se planteará la siguiente tarea: analizar en los

respectivos planes y programas de estudio primaria y secundaria, los siguientes temas: Fracciones, medición de superficies, simetrías, interpretación y elaboración de gráficas y proporción directa, atendiendo a los siguientes aspectos: • ¿De dónde se parte y hasta dónde se llega? • Tipos de problemas que se esperaría pudieran resolver los alumnos que terminan la

educación secundaria. • Vínculos que se pueden establecer con los contenidos de otras asignaturas.

Cada equipo se hará cargo de un tema. Contarán con el tiempo suficiente para el análisis y, posteriormente, expondrá su trabajo al resto del grupo.

2. Para realizar esta actividad es necesario contar por lo menos con una colección de los libros de

texto de matemáticas autorizados por la SEP para su uso en los tres grados de secundaria. Se organizará al grupo en equipos según el número de libros de textos disponibles. Se asignará un libro a cada equipo y se planteará la siguiente tarea: Cada equipo elegirá un tema de estudio y analizará cómo se desarrolla en el texto, apoyándose en las siguientes preguntas: • ¿En qué medida se favorece la reflexión de los alumnos con los problemas planteados? • ¿Qué tipos de información se proporciona a los alumnos? • ¿Cuál es la estructura general de las lecciones?

Finalmente, cada equipo presentará al resto del grupo el resultado de su análisis.

3. El profesor organizará al grupo en equipos y les planteará el problema 1 de la página 100 del

Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. Se organizará una confrontación para poner en claro los procedimientos utilizados. Después, el maestro pedirá que la mitad de los equipos proponga un problema similar pero más difícil y el resto de los equipos elabore uno más fácil. Se analizarán algunos problemas para ver hasta dónde se logró dicho propósito. Finalmente, el maestro invitará a los alumnos a tratar de resolver otros problemas de este libro en su tiempo libre.

4. El profesor organizará al grupo en equipos y les planteará el primer problema del tema 6,

segundo grado, “Las ventanas del calendario”, del Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria. Cuando los equipos terminen se organizará una confrontación de resultados y se continuará de la misma manera con los siguientes problemas.

5

Después de resolver todos los problemas de la ficha se hará un análisis general apoyándose en las siguientes preguntas: • ¿Qué contenidos matemáticos se pusieron en juego? • ¿A qué temas del programa corresponden? • ¿Qué diferencias hay entre los dos primeros problemas? ¿Y entre los dos últimos? • ¿Consideran que esta actividad permite entrar en el estudio de algún tema en particular?

¿Cuál?

Finalmente, se leerá y comentará la introducción del fichero para que los alumnos conozcan su estructura y contenido.

5. Organizados en equipos leerán la introducción de la secuencia y organización de contenidos,

analizarán sus características y algunas formas en que este material de apoyo puede ser usado por los profesores. Con base en la actividad anterior, en la que se conoció la estructura de los textos, los alumnos tratarán de vincular la secuencia con algunos contenidos del libro. Por ejemplo, si un equipo eligió el tema de fracciones en primer grado, le corresponderá analizar la secuencia de contenidos de fracciones a través de los 18 temas que hay en la secuencia y organización de contenidos, y establecer cuáles lecciones del texto corresponde a esos contenidos. La información puede concentrarse en una tabla como la siguiente:

Tema: Fracciones

Secuencia de contenidos Lecciones o problemas del libro para

el maestro • Revisión de los usos y significados de las

fracciones en distintos contextos; aplicaciones y problemas diversos.

• Problemas 1, 2, 3 y 6 (pp. 100-101 del libro para el maestro).

• Expresión decimal de una fracción (exacta o aproximada) y como porcentaje. Acotación del valor de una fracción entre dos decimales. Por ejemplo...

BLOQUE III

PRIMERAS CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS TEMAS: 1. Los estilos docentes y sus consecuencias en los aprendizajes que logran los alumnos. 2. Las variables didácticas que hacen evolucionar los conocimientos previos. 3. La didáctica de las matemáticas como ciencia de estudio. 4. La puesta en común en clase de matemáticas. 5. El plan de clase como herramienta de trabajo. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: • Broitman, Claudia (1999). “Cambian los problemas, cambian los procedimientos de solución”. En

las operaciones en el primer ciclo, Bueno Aires, Ediciones Novedades Educativas. pp. 23-34. • Chevallard, Yvez et al (1997). “Matemáticas, alumnos y profesores. Las matemáticas en el aula”,

en Estudiar Matemáticas, El eslabón perdido entre la enseñanza y su aprendizaje, México, SEP (Biblioteca del Normalista). Pp. 151-192.

• Parra C.; Saiz I.; Sadovsky, P. (1994). “Organización de las interacciones de los alumnos entre si y con el maestro”, En Matemáticas y su enseñanza. Documento curricular P.T.F.D., Argentina.

• SEP (1994). Libro para el maestro. Matematicas. Educacion secundaria, México, SEP.

6

ACTIVIDADES SUGERIDAS: 1. Organizados en equipos, los alumnos resolverán los siguientes problemas:

• El precio neto de un traje es de $ 500.00, ¿Cuál es su precio bruto si se vende con 15% de IVA?

• Un comerciante obtuvo $507 263.00 de ingresos brutos anuales. ¿Cuánto tiene que pagar de IVA (15%) y cuanto obtuvo de ingresos netos?

• Un Comerciante ha vendido un artículo en $ 8745.00 con el IVA incluido (15%). ¿Cuál es el precio neto del artículo y cuanto le debe a Hacienda por concepto de IVA?

• La cuenta de un restaurante, incluyendo el IVA fue de $404.80. A esta cantidad hay que agregar la propina, que es el 10% sobre el costo neto. ¿Cuánto hay que pagar en total?

• Un comerciante compra un artículo en $2800.00 y quiere venderlo a un precio que le permita ganar 80% sobre el precio de venta ¿A qué precio debe vender el artículo y cuanto es la ganancia?

Después de resolver los problemas, se organizara una confrontación para dejar en claro los procedimientos utilizados. En particular, se analizará si algún equipo logro encontrar un procedimiento general para resolver los cinco problemas.

2. En un proceso de estudio escolar intervienen tres factores fundamentales: el tipo de problemas

que se utilizan para que los alumnos logren entrar en el tema que se quiere estudiar; el dominio de los estilos docentes por parte del profesor para poner en marcha la situación; y la manera en que actúan conjuntamente el profesor y los alumnos, suele llamarse el contrato didáctico. Individualmente, leerán las páginas 151 a 159 del texto de Chevallard. Al término de la lectura organizarán una discusión con base en las siguientes preguntas: • ¿Cuál es su opinión acerca del estilo o técnica utilizado por la maestra Marta? • ¿Qué diferencias hay entre es estilo docente utilizado por la maestra Marta y el que se usó al

resolver los problemas de la actividad uno? • ¿Consideran que los problemas planteados por la maestra Marta permiten encontrar el

estudio de algún contenido matemático? ¿Cuál?

Individualmente, cada alumno elaborará un texto con las conclusiones que se deriven de la discusión.

3. Organizados en equipos leerán y comentaran el texto de Claudia Broitman. Después, el profesor

planteara la siguiente tarea: cada equipo elige un problema del Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria y lo modifica con base en alguna de las variables didácticas que se explican en el texto leído (tamaño o tipo de números, orden de presentación de las informaciones, etcétera). Analizarán el nivel de dificultad de ambos problemas para establecer cual es mayor y por que. Finalmente, cada equipo explicará al grupo el resultado de su análisis.

4. Elaboración y puesta en práctica de un plan de clase. Para la realización de esta actividad el

maestro organizara al grupo en cinco equipos, asignando a cada uno alguna de las áreas en que se agrupan los contenidos matemáticos de secundaria (aritmética, algebra, geometría, presentación y tratamiento de la información, probabilidad), cada equipo elegirá, en la secuencia y organización de los contenidos, un tema del área que le corresponde y elaborara un plan de clases para llevarlo acabo en el grupo. Una vez que todos los equipos elaboren su plan de clase, con la asesoria del profesor, harán una lectura comentada del documento 2 que aparece en los materiales de apoyo para el estudio. Después, programaran la participación de los equipos para que cada sesión de clase dure aproximadamente una hora. Si no hay tiempo suficiente para que participen todos los equipos, harán un sorteo para elegir uno o más equipos.

Al final de cada presentación se dedicara un tiempo para hacer observaciones y sugerencias con el fin de mejorar el trabajo realizado, procurando vincular esta actividad con lo que se ha estudiado en el curso, particularmente, lo relativo a los retos de ser maestro. A continuación se describen los aspectos que puede contener el plan de clase y enseguida se muestra un plan elaborado que puede servir como ejemplo.

7

Datos generales: escuela, grado, fecha. Tema: contenido matemático que se quiere estudiar, puede ser tomado de la secuencia y organización de contenidos. • Propósito: herramientas matemáticas que se espera sea n utilizadas para resolver la

situación planteada. • Consigna: el planteamiento textual de la situación (pueden elegir una situación didáctica del

fichero, del libro para el maestro, de algún libro de texto autorizado o inventar una). En los tres primeros casos basta con dar la referencia. Por ejemplo resolver el problema 1, ficha 6, del fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria.

• Confrontación: describir en que se pondrá el acento una vez que los alumnos resuelven el problema: focalizar la atención en algún procedimiento, socializar varios procedimientos, etc. (ver documento 2 de los materiales de apoyo para el estudio).

• Evaluación de la situación didáctica: una vez coincididas la sesión de clases, se hará una valoración somera del interés que provoco la situación y en que nivel se cubrió el propósito establecido

Sección 1.01 Un ejemplo de plan de clase Escuela: Secundaria Federal Benito Juárez Grado: 1° Fecha: 15 de marzo de 2000 Tema: la noción de razón entre dos cantidades y su expresión por medio de un cociente. Propósito: que utilicen las fracciones para expresar la razón entre dos cantidades. Consigna: resolver el problema 1, ficha 13, del Fichero de actividades didácticas.Matemáticas. Educación secundaria. El problema se plantea de la siguiente manera: un albañilsabe que con cuatro botes de arena y cinco botes de grava puede hacer una buena mezcla.¿Cuántos botes de arena necesita para tener 27 botes de mezcla? Confrontación: Después de socializar los procedimientos diferentes que surjan, se plantearánlas siguientes preguntas para fijar la atención en el uso de las fracciones:

• ¿Aproximadamente cuántos botes de mezcla se hacen con cuatro botes de arena ycinco de grava?

• De ese total de botes de mezcla, ¿qué parte es arena? • ¿Consideran que la fracción de arena o de grava debe conservarse en cualquier

cantidad de botes de mezcla? ¿Por qué? • ¿Cómo se puede calcular 4/9 de 27?

Evaluación de la situación didáctica: (En este caso es hipotética.) El nivel de dificultad delproblema resultó adecuado. Se usaron dos procedimientos correctos para resolverlo:relacionando las cantidades de botes de mezcla, 27 es tres veces nueve y por lo tanto lacantidad de arena debe aumentar tres veces. En 9 botes de mezcla hay 4/9 de arena, 4/9 de27 es 12. Conviene continuar con el problema para fortalecer el uso de las fracciones.

8

9

MATERIAL

DE

APOYO

10

11

En esta exposición voy a referirme al currículo explícito y prescrito en los materiales de uso común en el Sistema educativo Nacional, es decir, en los libros de texto gratuitos y en los materiales de apoyo para el maestro. Considerare al currículo como el conjunto de propósitos, contenidos, enfoques didácticos y criterios de evaluación que regulan la práctica docente en los niveles de preescolar, primaria y secundaria.

ANTECEDENTES El nuevo currículo de Matemáticas en la educación básica ha estado vigente desde el año escolar 1993-1994 y es el resultado de un proceso que se inició en 1989 con una consulta nacional para identificar los principales problemas educativos del país, precisar las prioridades y definir estrategias para su atención. De aquí surgió el Programa para la modernización Educativa 1989-1994,2 en que se establecieron las siguientes prioridades:

• La renovación de los contenidos y los métodos de enseñanza.

• El mejoramiento de la formación de maestros.

• La articulación de los niveles educativos que conforman la educación básica.

El proceso que se inició en 1989 incluyo la evaluación de los planes de estudio, programas y libros de texto, el desarrollo de planes experimentales a través de lo que se llamó la prueba operativa, la puesta en consideración del documento Hacia un nuevo modelo educativo, en el que se dieron a conocer los criterios centrales para la reforma; La firma del Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica3 en mayo de 1992; un Programa Emergente de Reformulación de Contenidos y Materiales Educativos, del que surgieron las guías para el maestro de enseñanza primaria, que fueron utilizadas durante el año escolar 1992-1993.

2 Programa para la Modernización Educativa 1989-1994, México, SEP, 1990. 3 Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica, México, SEP, 1992.

El plan y programas de estudio4 tiene como propósito organizar la enseñanza y el aprendizaje de contenidos básicos, entendiendo por básico no un conjunto de conocimientos mínimos o fragmentados, sino algo que permite adquirir, organizar y aplicar saberes de diverso orden y complejidad creciente. Uno de los propósitos centrales de la educación básica consiste en estimular Las habilidades que son necesarias para el aprendizaje permanente y, en el caso particular de Matemáticas, se trata de desarrollar habilidades intelectuales que permitan aprender permanentemente y con independencia. Los rasgos centrales que distinguen al nuevo currículo del que estuvo vigente hasta el año escolar 1992-1993, con respecto a cada uno de los aspectos que integran el currículum son los siguientes.

EN RELACIÓN CON LOS PROPÓSITOS Sé el mayor énfasis en el desarrollo de habilidades y del razonamiento matemático para la resolución de problemas a partir de situaciones prácticas. Hay una formulación suficientemente precisa de los propósitos, que otorga al maestro un margen más amplio de desición en la organización de las actividades didácticas, a cambio de la enunciación de un número muy elevado de objetivos que se dividan, en los programas anteriores, en generales, particulares y específicos.

EN RELACIÓN CON LOS CONTENIDOS Y ENFOQUES DIDÁCTICOS

Los programas de Matemáticas que integran tanto el plan de estudios de la educación primaria como el de la educación secundaria, organizan la enseñanza y el aprendizaje de contenidos básicos para asegurar que los alumnos adquieran conocimientos, desarrollen habilidades intelectuales y fomenten actitudes positivas hacia el estudio en general. A continuación intentaré describir cada una de estas categorías.

4 Plan y Programas de estudio (primaria y secundaria), México, SEP, 1993.

¿POR QUE Y PARA QUE ESTUDIAR MATEMATICAS EN SECUNDARIA?

Hugo Balbuena Corro

12

CONOCIMIENTOS En esta categoría se agrupan los saberes que los alumnos tienen o deberían tener disponibles en la memoria y que puede utilizar en cualquier momento para resolver problemas más complejos. La apropiación de estos saberse puede darse en distintas formas, por ejemplo, a través de la información que les proporciona el maestro, obteniendo sus propias conclusiones después de resolver situaciones problemáticas o a través de la interacción con sus compañeros o con el medio social en que viven. Para mayor claridad sobre este aspecto, lo he dividido en tres subcategorías que a continuación se ejemplifican.

ALGORITMOS Se entiende por algoritmo un conjunto de pasos que se siguen para resolver una operación. El conocimiento de los algoritmos implica procesos de estudio que se inician desde el nivel preescolar, al resolver situaciones sencillas mediante el uso de procedimientos informales como el conteo. En el transcurso de la educación primaria se desarrollan secuencias de actividades para que los alumnos conozcan las relaciones básicas que se pueden establecer entre los elementos que intervienen en una operación. En el nivel de secundaria se revisan y completan dichos procesos.

CONCEPTOS En esta subcategoría se incluye el significado de términos matemáticos que permiten comprender los problemas que se plantean de manera oral o escrita, así como la comunicación en general. Se trata de la familiarización gradual con el vocabulario que se utiliza en matemáticas. Términos tales como número primo, divisor, paralela, ángulo agudo, etcétera.

HECHOS BÁSICOS Se incluye en este apartado el conocimiento de ciertos axiomas, reglas o teoremas aritméticos o geométricos que llegan a formar parte de la cultura matemática del alumno, tales como el que la suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a 180 grados; que el producto de dos números negativos da como resultado un número positivo; que calcular el 50% equivale a obtener la mitad, etcétera.

HABILIDADES El desarrollo de habilidades matemáticas es la esencia del enfoque didáctico que se propone en el currículum actual para la educación básica. Dichas habilidades se reflejan en la posibilidad que tienen los alumnos de resolver problemas en distintos ámbitos de la matemática, apelando a sus conocimientos y a su inventiva para establecer relaciones de diversa índole. La diferencia más importante en términos de desarrollo de habilidades, entre la educación primaria y secundaria, radica en la inclusión, en este último nivel, de actividades que implica los primeros acercamientos hacia el razonamiento deductivo. Un ejemplo de este tipo de actividades se refiere a la deducción de algunas fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas (libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, pp.279-283). En los propósitos generales de la asignatura se distinguen siete tipos de habilidades en la educación primaria y uno más en la educación secundaria. Estas habilidades se interrelacionan y confluyen en la posibilidad que tiene los alumnos para resolver problemas. A continuación se describe brevemente cada uno de los tipos de habilidad que se pretende desarrollar en la educación básica. 1. La habilidad de estimar resultados cuando

se resulten problemas, se efectúan operaciones o se realizan mediciones. El desarrollo de esta habilidad trae consigo el fomento de una actitud muy importante en el estudio de las matemáticas que se refiere al trabajo autónomo y a la responsabilidad matemática (Chevallard, Y. 1997)5 Esta última no consiste más que en hacerse cargo de los resultados que se obtiene, verificarlos y en caso necesario validarlos ante los demás compañeros. Se sabe que esta actitud no surge espontáneamente de los alumnos, más bien lo que se observa es una gran dependencia para que el profesor dé su aprobación ante cualquier intento de solución.

5 Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, y. Chevallard et al., Barcelona, Horsori, 1997.

13

El desarrollo de esta habilidad se favorece a través de lo que se ha llamado actividades permanentes (libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, 1994, p.46) que se sugiere realizar cada vez que se va a resolver un problema, una operación o cuando se intenta realizar alguna medición. Antes de que los alumnos empiecen realizar sus cálculos el profesor puede preguntar: ¿Cómo cuánto creen que va a resultar? Los alumnos anticipan un resultado y enseguida verifican qué tan cerca o qué tan lejos estaban. Este recurso didáctico que parece tan simple trae consecuencias muy positivas para la formación de los alumnos:

• Los anima a entender mejor el

problema • Obtienen elementos para controlar el

resultado que buscan • Se responsabilizan de la solución • Se motivan al confrontar el resultado

que anticiparon con el que obtienen después de seguir un procedimiento más riguroso.

El estudio de las ecuaciones es un tema fundamental en la educación secundaria y en muchos casos conviene que los alumnos estimen la solución antes de utilizar un procedimiento formal. Por ejemplo, al resolver la ecuación x + 75x – 850 = 0, no es difícil ver que una de las soluciones es 10, puesto que 10+75(10)-850= 0. La segunda solución es menos evidente pero puede ser encontrada sin mucha dificultad, tomando como referencia la primera. Por supuesto que no siempre la estimación es el recurso más eficiente para llegar al resultado preciso pero sirve para tener idea del rango numérico en el que puede estar.

2. La habilidad de medir o de establecer

relaciones entre magnitudes para encontrar una medida (longitudes, superficies, volúmenes, masa, etcétera) utilizando unidades arbitrarias o convencionales, así como para seleccionar una unidad de medida adecuada a las situación que se presenta. A diferencia d lo que sucede en los programas de matemáticas de la educación primaria, en los que la medición constituye en eje temático, puesto que las actividades se centran en la construcción de la noción de medir, en los programas de secundaria los

contenidos de medición se incluyen en el estudio de la geometría, de manera que uno de los propósitos en este nivel es “la resolución de numerosos problemas de cálculo geométrico” (libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, p. 33). A continuación se muestra un ejemplo de este tipo de problemas:

Calcular la altura de un triángulo isósceles de base igual a 1.5 cm. y área igual a 12.5 cm².

3. La habilidad de imaginar que se desarrolla

fundamentalmente con el estudio de la geometría, se refiere, por ejemplo, a establecer correspondencias entre desarrollos planos y cuerpos geométricos, determinar figuras y cuerpos conociendo algunas características, anticipar la forma de figuras o cuerpos en revolución, transformar superficies en sus equivalentes, etcétera.

Un ejemplo de problema que implica la habilidad de imaginar es el siguiente: Utilizando compás o escuadras, ¿cómo harías para dividir un triángulo cualquiera en 4, 9, 16, 25,36… triángulos pequeños congruentes entre sí?

4. La habilidad de operar. De acuerdo con el

enfoque actual para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el nivel básico, conviene hacer una separación entre la habilidad que desarrollan los alumnos para resolver problemas y el uso de diferentes técnicas para efectuar los cálculos (Balbuena, et al., 1995). Se puede hablar de dos procesos paralelos íntimamente relacionados que requieren un tratamiento didáctico propio. La habilidad para resolver problemas se logra descubriendo relaciones a partir de cierta información que se presenta en un texto, una ilustración, una gráfica, o bien entre elementos u objetos del mundo físico. En muchos casos es necesario efectuar cálculos y se recurre a las operaciones o instrumentos con los que se tiene cierta familiaridad.

En el ámbito matemático, la habilidad de operar consiste en descubrir relaciones entre números o expresiones para

14

producir un resultado. Esta habilidad puede revelarse al encontrar elementos faltantes en una operación, al formular operaciones que cumplan condiciones establecidas o, en general, al efectuar cálculos mentalmente o por escrito.

Un ejemplo de problema que implica la habilidad de operar es el siguiente:

Un ejemplo más en el que se plantea un problema abierto acerca de las relaciones entre los términos de una división, es el siguiente: Encontrar cinco divisiones que tengan como residuo 30 Un ejemplo más en el que se requiere utilizar la relación entre los sumandos y la suma: El siguiente cuadro es mágico, en este cuadrado la suma de cada columna, renglón o diagonal debe dar como resultado 3 / 2. En los espacios en blanco anota las fracciones que completen el cuadro mágico.

5. La habilidad de comunicar e interpretar

tiene que ver con el uso del lenguaje simbólico, tablas, diagramas o gráficas. Por ejemplo, se trata de que los alumnos puedan comunicarse mediante números o expresiones algebraicas de distintas maneras, a la vez que puedan interpretarlos. El desarrollo de esta habilidad en el nivel de secundaria es de vital importancia por el uso del lenguaje algebraico. Un ejemplo de problema que favorece el desarrollo de esta habilidad es el siguiente: (Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, p. 340)

En la siguiente tabla se presenta la constitución química (en porcentajes) de algunos animales de granja. Encontrar la constitución química, en porcentajes, del animal de granja promedio. De entre los animales de la lista, ¿cuál es el que se aproxima más al animal promedio?

5 / 14 5 / 6 41 / 42 29 / 42

En cada cuadrito anota los números que sean convenientes de tal forma que al realizar la operación los dígitos que aparecen correspondan a la operación indicada.

1 7

x 5 6 28 7 3 4

1 0 7 1 6 5

15

6. Una habilidad más es la de inferir (del latín

inferre, llevar a una parte). Sacar una consecuencia de un hecho o un principio. Se refiere a la posibilidad de establecer relaciones entre los datos que aparecen en texto, en una ilustración, en una tabla, grafica o diagrama, para encontrar un resultado. Un ejemplo de problema que favorece el desarrollo de esta habilidad es el siguiente:

Cuatro hermanos quieren comprar una enciclopedia que vale $950.00. Para hacerlo, cada uno ahorra la misma cantidad mensualmente y sus padres deciden ayudarlos con $ 75.00 cada mes. Si al cabo de cinco meses ya habían completado para pagar la enciclopedia y les sobraban $25.00, ¿cuánto ahorro cada hermano mensualmente?

Un ejemplo más en el que se requiere obtener una consecuencia a partir de un conjunto de datos es el siguiente:

Determinar el número que cumple con las siguientes condiciones: Tiene ocho cifras, cuatro son iguales y están juntas, la cifra de las centenas de millar es sucesor de la cifra de las decenas y es el sucesor de la cifra de las unidades de millón. Sólo una de las cifras del número es impar y doble de su valor es la cifra de las decenas de millón. También se sabe que la cifra de las unidades es el cuádruplo de la cifra de las centenas.

7. La habilidad de generalizar que se refiere

fundamentalmente al desarrollo del razonamiento inductivo, el cual se produce cuando se logra obtener una conclusión general a partir de varios casos particulares. Un ejemplo típico de problemas que permiten el desarrollo de esta habilidad es el que consiste en hallar patrones numéricos o geométricos, o bien modificar las condiciones de un problema para derivar diferente resultados a partir de un caso particular. El desarrollo de esta

habilidad también genera una actitud positiva por parte del alumno si, de manera sistemática, siempre que las condiciones del problema y el tiempo lo permitan, el maestro plantea la pregunta: ¿y qué pasaría si en vez de tal cantidad, figura, término, etcétera, fuera tal? Poco a poco se irá generando en los alumnos una actitud de búsqueda, más allá de lo que el maestro les pregunta.

Animal Prótidos Lípidos Glúcidos Minerales Agua Caballo 17 17 1.5 4.5 60 Buey 15 26 0.4 4.6 54 Borrego 16 20 0.6 3.4 60 Puerco 15 24 0.2 2.8 58 Pollo 21 19 0.8 3.2 56

Millones Millares Unidades C d u c d u c d u 6 2

16

A continuación se muestra un ejemplo de problema en el que se requiere encontrar un patrón numérico para poder anticipar diversos números que forman una sucesión.

Problema 1 Observa la siguiente secuencia de operaciones: 2² - 1² = 3² - 2² = 4² - 3² = 5² - 4² = 6² - 5² =

7² - 6² = 345² - 344² = n² - (n – 1)² = Observa los resultados que se obtienen en las primeras seis operaciones y luego sin que hagas las últimas operaciones, escribe cuál es el resultado Un ejemplo más en el que se parte de una disposición geométrica para encontrar un patrón numérico, es el siguiente: Problema 2 Observa la siguiente sucesión de figuras

La primera figura tiene un solo cuadrado, la segunda tiene cuatro, etcétera. ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupe el lugar numero 100? Y un ejemplo más en el que se trata de resolver un problema que implica un proceso de generalización. Problema 3 Si esta semana ahorro un peso y la siguiente el ahorro el doble, es decir $ 2 y la siguiente duplico mi ahorro, esto es, $4, y sigo así todas las semanas, ¿cuánto ahorrare en dos meses? ¿Cuántas semanas tardaré en ahorrar aproximadamente $ 10 000? ¿Con cuánto debo iniciar si duplicando mi ahorro cada semana, quiero acumular $994.50 en dos meses?

8. La habilidad para deducir (del latín

deducere), es decir, sacar consecuencias de un principio, proposición o supuesto y, en general, llegar a un resultado por un razonamiento. El desarrollo de esta habilidad se menciona en los programas de segundo y tercero de secundaria y se dan algunas orientaciones en el libro para el maestro. Lo sustancial es que mediante el análisis de algunos casos particulares los alumnos hagan conjeturas y puedan validarlas o desecharlas.

Las ocho habilidades descritas anteriormente confluyen en lo que es el propósito medular de la enseñanza, el estudio y el aprendizaje de las matemáticas en la educación básica, esto es, la habilidad para resolver problemas.

ACTITUDES

Aunque el desarrollo de actitudes sólo aparece explícito en el libro para el maestro, Matemáticas. Sexto grado,6 implícitamente está presente en muchas de las recomendaciones didácticas que se pueden leer en los libros para el maestro de los diferentes grados. De aquí he desprendido tres categorías que me parecen las más importantes:

COLABORACIÓN En la propuesta curricular hay una orientación clara hacia el trabajo en equipos, lo que implica una labor sistemática por parte del maestro para que los alumnos compartan opiniones que les permita resolver los problemas que se les plantea. Se pretende que los integrantes de cada equipo asuman la responsabilidad de los procedimientos que utilizan y de los resultados que obtienen, de manera que cualquiera de ellos esté en posibilidad de explicarlos y validarlos.

6 Libro para el maestro. Matemáticas (de primero a sexto grados), México, SEP, 1993-1994.

17

INVESTIGACIÓN Dado que un aspecto importante del enfoque didáctico que se propone en el currículo de la educación básica consiste en que el maestro plantee problemas y los deje en manos de los alumnos para que éstos busquen diferentes alternativas de resolución, esto favorece el desarrollo de una actitud de búsqueda y de comprobación de diferentes estrategias.

AUTONOMÍA Como consecuencia de la manera en que el profesor interactúa con los alumnos, se fomenta en éstos la autonomía para el estudio y para validar sus descubrimientos. En la medida en que los alumnos se hacen cargo de los procedimientos y resultados que encuentran, la tarea de revisar los trabajos se implica considerablemente.

EN RELACIÓN CON LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Uno de los aspectos a evaluar en la educación básica se refiere a los conocimientos, habilidades y actitudes, mediante un proceso formativo y continuo que permita mejorar permanentemente los niveles de logro. Aunque en los materiales de apoyo para el maestro no hay sugerencias concretas de instrumentos que permitan recabar información, se dan criterios generales para que haya coherencia entre el enfoque didáctico y la evolución. Por ejemplo, la necesidad de evaluar sobre todo los procedimientos y no únicamente los resultados, que los errores se utilicen como una fuente de aprendizaje, la importancia de la evaluación cualitativa, etcétera.

18

EL ESLABÓN PERDIDO ENTRE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

Yves Chevallard Marianna Boch Josep Gascón

SINTESIS 1

No se puede abordar el tema de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas sin preguntarse al mismo tiempo qué son las matemáticas, en qué consiste y para qué sirve hacer matemáticas, Ahora bien, estas preguntas no pueden referirse únicamente a las matemáticas de la escuela, tiene que abracar todas las matemáticas que existen en nuestra sociedad. Podríamos pensar que cada uno de nosotros tomando individualmente puede vivir sin necesidad de matemáticas o. por lo menos, sin muchas de las matemáticas que se estudian en la educación obligatoria. Pero esta creencia sólo se da porque, de hecho, no vivimos solos sino en sociedad: en una sociedad que funciona a base de matemáticas y en la que hay gente capaz de hacer de matemático para cubrir las necesidades de los demás, incluso cuando éstos no reconocen sus propias necesidades matemáticas. El hecho de que se enseñen matemáticas en la escuela responde a una necesidad a la vez individual y social: cada uno de nosotros debe saber un poco de matemáticas para poder resolver, o cuanto menos reconocer, los problemas con los que se encuentran mientras convive con los demás. Todos juntos hemos de mantener el combustible matemático que hace funcionar nuestra sociedad y debemos ser capaces de recurrir a los matemáticos cuando se presenta la ocasión. La presencia de las matemáticas en la escuela es una consecuencia de su presencia en la sociedad y, por lo tanto, las necesidades matemáticas que surgen en la escuela deberían estar subordinadas a las necesidades matemáticas de la vida en sociedad. Cuando, por las razones que sea, se invierte esta subordinación, cuando creemos que las únicas necesidades sociales matemáticas son las que se derivan de la escuela, entonces aparece la “enfermedad didáctica”. Este reduccionismo lleva a considerar que las matemáticas están hechas para ser enseñadas y aprendidas, que la “enseñanza formal” es

imprescindible en todo aprendizaje matemático y que la única razón por la que se aprenden matemáticas es porque se enseñan en la escuela. Se reduce así el “valor social” de las matemáticas (el interés social de que todos tengamos una cultura matemática básica) a un simple “valor escolar”, convirtiendo la enseñanza escolar de las matemáticas en un fin en sí mismo. Este tipo de reduccionismo7 puede conducir a “no tomarse en serio” Las matemáticas que se hacen en la escuela, considerándolas como mero “artefacto escolar”. Aparece entonces un problema didáctico que puede formularse como sigue: “¿Qué hacer para que los alumnos se sitúen como matemáticos ante las cuestiones matemáticas que se les plantean en la escuela, y para que asuman ellos mismos la responsabilidad de sus respuestas?” Tenemos aquí en ejemplo de problema relativo a las actividades matemáticas escolares que no es posible entender desde una perspectiva puramente escolar, sin tomar en cuenta lo que ocurre fuera de la escuela, y en particular la poca visibilidad de las matemáticas en el conjunto de la sociedad. De ahí que no podamos separar los procesos de enseñanza y aprendizaje del resto de las actividades matemáticas. Hemos de tener en cuenta que los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas son aspectos particulares del proceso de estudio de las matemáticas, entendiendo la palabra “estudio” en un sentido amplio que engloba tanto el trabajo matemático del alumno, como el del matemático profesional que también “estudia “ problemas de matemáticas. Lo didáctico se identifica así con todo lo que tiene relación con el estudio y con la ayuda al

7 Habría que decir que éste no es el único tipo posible de reduccionismo respecto al origen de las necesidades matemáticas y, en general, respecto a la naturaleza de las matemáticas. Así, cuando se da prioridad de manera absoluta a las necesidades matemáticas de origen extramatemático, aparece lo que podríamos denominar “enfermedad utilitarista”, mientras que si son las necesidades de origen intramatemático las únicas que se consideran, entonces nos encontramos con la “enfermedad purista”.

ESTUDIAR MATEMÁTICAS

19

estudio de las matemáticas, identificándose entonces los fenómenos didácticos con los fenómenos que emergen de cualquier proceso de estudio d e las matemáticas, independientemente de que dicho proceso

esté dirigido a utilizar las matemáticas, a aprenderlas, a enseñarlas o crear matemáticas nuevas. La didáctica de las matemáticas se define, por tanto, como la ciencia del estudio de las matemáticas.

20

FICHERO DE ACTIVIDADES DIDACTICAS

MATEMATICAS (SEP) El fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria es un material de apoyo, dirigido a los maestros de este nivel educativo, en el que se sugieren actividades de estudio para realizarlas con los alumnos. Para el diseño de las actividades se consideraron, como punto de partida, el enfoque didáctico para el estudio, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, diversos problemas que se propone en el libro para el maestro. Matemáticas, Educación secundaria, la propuesta presentada en la Secuencia y organización de contenidos y algunas sugerencias de otros materiales que se consultaron. El fichero consta de 18 fichas por cada grado, las cuales representan una base sólida para que los profesores de matemáticas, a partir de su experiencia, puedan incorporar otras fichas y organicen el trabajo con sus alumnos de manera creativa e interesante durante el año lectivo. El enfoque didáctico actual revalora el trabajo profesional del maestro, en tanto que su labor no se limita a trasmitir información y calificar el desempeño de los alumnos, sino que implica también analizar situaciones relacionadas con los contenidos, organizar secuencias que favorezcan la evolución de los procedimientos de los alumnos, plantear problemas, socializar diferentes estrategias de solución y evaluar diferentes aspectos del proceso de estudio. La realización de las actividades que se proponen en el fichero favorece la práctica de estas tareas, de manera que este material de apoyo es una contribución más para la actualización del maestro. Con base en su creatividad, el profesor puede modificar, enriquecer y llevar a cabo en su salón de clases las actividades propuestas, a partir de las cuales podrá planear otras situaciones que aborden los contenidos señalados en los programas de estudio.

ESTRUCTURA DE LAS FICHAS Cada ficha inicia con un recuadro en el que se anotan los propósitos, los contenidos y, en algunos casos, el material. Los dos primeros

se tomaron de la propuesta oficial de Secuencia y organización de contenidos. Por lo general, las fichas constan de dos o tres actividades después de las cuales se sugieren algunas variantes. En cada actividad se describen las indicaciones que el profesor debe dar inicialmente a los alumnos. Posteriormente se mencionan algunos posibles procedimientos para resolver las situaciones, aunque es muy probable que los alumnos generen otros. Es importante que el profesor favorezca la confrontación de las diferentes alternativas que proponen los alumnos, al margen de que conduzcan o no al resultado correcto.

SUGERENCIAS METODOLÓGICAS PARA TRABAJAR CON LAS FICHAS

Cada uno de los problemas que se presentan en las fichas ha sido seleccionado para que los alumnos lo resuelvan con sus propios medios. L os procedimientos que se describen son únicamente un apoyo para que el profesor tenga oportunidad de prever lo que se espera. En ocasiones, sólo después de que los alumnos hayan resuelto los problemas, conviene agregar alguna información. Antes de trabajar con una ficha es conveniente que el profesor la lea y resuelva los problemas que se plantean. Seguramente se le ocurrirán nuevas preguntas que ayuden a enriquecer la actividad. Conviene dar el tiempo suficiente para que los alumnos resuelvan los problemas, el profesor observe atentamente el trabajo que se desarrollan, y que analicen las conjeturas, las estrategias, los conocimientos que ponen en juego y el tipo de errores que cometen. Esto le permitirá apreciar lo que saben hacer y, en función de esto, dar sugerencias, hacer preguntas para profundizar en los temas o quizás plantear otros problemas. Este trabajo también aportará elementos que le ayuden de manera formativa y continua. Cuando la mayoría de los alumnos termine, el profesor debe animar a los equipos para que expliquen sus conjeturas, estrategias y resultados. Hay varias maneras de lograr que esta fase de la actividad provoque interés, en lugar de que se convierta en una carga repetitiva y monótona. Por ejemplo, cuando haya resultados distintos conviene anotarlos

¿QUE ENSEÑAR?

21

en el pizarrón y animar a los alumnos averiguar cuales son los correctos. Para culminar las actividades, el profesor debe hacer las precisiones necesarias, ya sea para formalizar los conocimientos generados por los alumnos, dar a conocer un procedimiento más o aclarar posibles confusiones. Es posible que los alumnos no estén acostumbrados a trabajar en equipos, ni a expresar o escuchar puntos de vista, pero si de manera sistemática se crea un ambiente de libertad y respeto, así como de autonomía en el trabajo, en poco tiempo se notara una actitud muy positiva hacia el estudio de las matemáticas. Es importante señalar la necesidad de que el profesor realice una evaluación de cada una

de las fichas; esto es, llevar un registro en el que se anote, entre otras cosas, si los problemas planteados resultan un reto interesante para los alumnos, si los materiales didácticos fueron adecuados para las situaciones, si hubo necesidad de hacer modificaciones, cuales fueron las dificultades para llevar a cabo las actividades, etc. Estas reflexiones serán útiles para el diseño de nuevas actividades acordes con el enfoque propuesto para la enseñanza de las matemáticas. Los alumnos tienen la última palabra en cuanto al interés que despierten las actividades. Ojalá que este material anime a los profesores a elaborar otras fichas, así como a compartir experiencia con otros compañeros o compañeras, después de llevar a cabo las actividades con los alumnos.

22

MATEMATICAS, ALUMNOS Y PROFESOR

LAS MATEMATICAS EN EL AULA Asistió a una clase de Marta con los alumnos de 2° de ESO. Los alumnos se acaban de sentar. Marta pide que se haga silencio. Marta.- Federico, ¿qué te ocurre? Federico.- Me he dejado la calculadora en casa... M.- Bueno, no pasa nada. Ahora, por favor, siéntate y escucha. Bien. Hoy vamos abordar un tipo de problemas totalmente nuevo... Nuevo y muy importante. Pero veréis que no es nada difícil. Los alumnos se agitan y murmuran... Marta sigue: M.- Partiremos de un tipo de problemas que ya hemos estudiado: Los impuestos sobre ventas. Un alumno.- ¡EL IVA! M.- Eso mismo, EL IVA. Os recuerdo que un ejemplo típico seria el de un comerciante que vende un artículo cuyo precio neto es, pongamos, 500 ptas. Su precio de venta... Otro alumno.- (en voz baja). - El precio bruto... M.- ¿Qué ha dicho? El alumno.- El precio bruto. M.- Eso es. Lo que ya sabéis es que hay que añadir el IVA al precio neto. Supongamos que el IVA es un 6%. ¿El precio bruto será entonces...? Un alumno.- 500 mas el 6% de 500. M.- Muy bien. 500 mas el 6% de 500. ¿Cuanto es eso? Varios alumnos.- 530... M.- Esos es. Hasta aquí todo esta claro. Consideremos ahora otro problema. Un alumno.- Marta, ¿habrá que estudiarlo? Risas burlonas de algunos alumnos. M.- Sí. Lo tendréis que estudiar y guardar en un rincón de la memoria. ¡Pero dejadme que lo plantee primero! Los alumnos prestan atención

M.- Imaginad un comerciante que cuenta sus ingresos brutos al final de la semana y ve que ascienden a 507.263 ptas. Marta escribe en la pizarra Ingresos brutos: 507.263 ptas. M.- A la hora de hacer contabiliza, necesitara determinar los ingresos netos y especificar los impuestos que tiene que pagar a Hacienda. Marta escribe en la pizarra ¿Impuestos? ¿Ingresos netos? Un alumno.- Tiene que pagar el 6% de 507.263 ptas. M.- Ah! ¿Estáis todos de acuerdo? Los alumnos no contestan. Parecen dudar. Marta insiste. M.- Si queréis, volvamos al caso del artículo que vale 530 ptas. Sabemos que el precio neto es 500 ptas. y que el comerciante debe pagar 30 ptas. de impuestos. Los alumnos asienten. M.- Bueno. Si, como ha dicho vuestro compañero, el comerciante determinase el IVA de este articulo calculando el 6% de 530, ¿cuanto seria? ¡Cristina, míralo con la calculadora! ¿Cuanto es el 6% de 530? Cristina.- Sale... 31,8. M.- DE acuerdo. O sea que el comerciante... Algunos alumnos.- ¡Pagaría de mas de la cuenta! Otro alumno.- Pero no mucho más. Solo 1,8 ptas. M.- Si, en este caso no es mucho porque el artículo solo cuesta 530ptas. Pero si empiezas a contar todos los artículos que vende durante la semana... A ver, cojamos lo que he dicho antes... (Se gira y mira la pizarra) El 6% de 507.263, ¿Cuanto es?... ¿Eduardo? Eduardo.- Un momento, un momento. Es... 30.435,68. M.- Bueno, digamos que 30.436. (Lo escribe en la pizarra). Un alumno.- ¡Pero no podemos calcular el IVA, porque no tenemos los ingresos netos! M.- Ese es el problema... Silencia en el aula. Marta espera algunos segundos. M.- Bueno, volvamos al principio. En realidad, yo he calculado el número de partida, los

PRIMERAS CONSIDERACIONES DIDACTICAS

23

ingresos brutos, igual que hicimos antes con las 530 ptas. He partido de...

Escribe en la pizarra 478.550 ptas.

M.- Y he añadido el 6%. ¡Vamos a comprobarlo! ¡Federico! No, tu no, que dejaste la calculadora en casa. (Risas de los alumnos). Bueno, pues... ¡Manuel hazlo tú!

Manuel se activa con la calculadora. Los demás alumnos lo miran y esperan su respuesta

Manuel.- ¡Es verdad, da exactamente el número de antes! M.- Muy bien. Pues ahora vamos a calcular los impuestos que tiene que pagar el comerciante. Basta con restar los ingresos netos de los brutos. ¿Cuánto sale? Varios alumnos contestan a la vez: 28.713 ptas. Marta lo escribe en la pizarra. M.- Y si hubiéramos tomado el 6% de los ingresos brutos, al comerciante le hubiera tocado pagar... (Mira la pizarra) 30.436 ptas. Esto nos da una diferencia de... ¿Quien me lo puede decir? Un alumno.- 1.743ptas. M.- Muy bien. Nuestro comerciante hubiera pagado, pues, 1.743 pesetas de mas a Hacienda. ¿Conclusión? Un alumno.- ¡Es tonto! Risas de los alumnos. Marta lo ignora y se dirige a Cristina. M.- ¿A ti que te parece? Cristina.- Que ha pagado más de lo que le correspondía. M.- Sí, pero, ¿qué pasa con nuestro problema? No olvidéis que queríamos saber como calcular los impuestos a partir de los ingresos brutos. Cristina.- Pues, entonces, esta claro que no hay que tomar el 6% de los ingresos brutos para hallar el IVA. M.- Exactamente. Porque nos da un numero más grande que lo que hay que pagar. Un alumno levanta la mano. M.- José, ¿quieres decir algo? José.- Sí. El comerciante puede, cada vez que calcula el precio de venta de un artículo, escribir aparte el IVA que ha añadido. Así, después solo tiene que sumar todos los IVA y ya esta. Si cuando vende un artículo se

apunta el IVA, al final sabrá cuanto tiene que pagar a Hacienda sin tener que romperse la cabeza. M.- ¡Hombre! ¡Pero este método seria muy pesado! ¿Te imaginas el tiempo que perdería? ¡Estaría mas rato anotado y calculando que atendiendo a sus clientes! (Risas de algunos alumnos) Bueno, resumamos. A fin de cuentas, el problema que nos interesa no estaba ahí... Voy a tomar otro ejemplo. Un comerciante ha ganado en total... (Mira sus apuntes)... 8.745 ptas. Ese es el precio del artículo que ha venido. Y ahora quiere saber cual era el precio neto al que le añadió el 6% de IVA, y cuanto es este 6%, es decir cuanto debe a Hacienda.

Un alumno.- ¡Será menos que el 6% de 8.745! M.- Eso es lo que acabamos de ver... ¿Pero cuanto menos? Lo escribiré en la pizarra para que lo tengáis a la vista. Lo que queremos es hallar el precio neto, ¿no? Como no lo conocemos, lo llamaremos p. Lo que voy a escribir es que si se añade a p. el 6% de p. se obtiene 8.745. Escribe y encuadra: M.- el problema es hallar el valor de p para el que se da esta igualdad. ¿Como lo podríamos hacer? Un alumno.- Marta, lo que nosotros sabemos hacer es calcular P cuando nos dan p. M.- Si. Sabemos calcular el precio bruto P a partir del precio neto p. Os recordare la formula. (Escribe en la pizarra):

P = p + 6%p = p + 0,06 p. La novedad es que ahora no conocemos p y lo queremos calcular para un P dado. Por ejemplo, cuando P vale 8.745 ptas. El mismo alumno.- Lo podemos hacer por tanteo. M.- ¿Que quieres decir? El alumno.- Sabemos que p es menor que 8.745. Y ahora probamos. Otro alumno.- Si tomo p = 8.000, me da... (Coge la calculadora) 8.480, que es mayor que 8.000. El otro alumno.- ¿Y que? ¡Esa no es la solución! M.- Bueno, hagámoslo todos como dice Juan.

p + 6% p = 8.745

24

A algunos alumnos no parece entusiasmarles la idea. M.- Venga, acabamos de ver que 8.000 es demasiado pequeño. Vale. ¿Que mas podemos probar? Juan.- 8.400. M.- ¿8.400 que da para P? Cristina.- Da 8.904. M.- O sea que... Jorge.- ¡Es demasiado grande! M.- Muy bien. Por lo tanto p es mayor que 8.000 y menor que 8.400. ¿Que mas podemos probar? Cristina.- 8.200. M.- ¿Lo has hecho? Cristina.- No. Una alumna.- Sale 8.692. Demasiado pequeño. M.- Bueno. Esta entre 8.200 y 8.400. Juan.- Tomemos 8.300. M.- Como queráis, 8.300. ¿Cuánto de para p? Cristina.- 8.798. M.- Más que 8.745. Cristina.- Pues será entre 8.200 y 8.300. Juan.- ¡es 8.250! Cristina.- 8.250… ¡Si, funciona! Sale 8.745. Juan.- ¡Bingo! M.- Vamos a ver. Decís que p vale 8.250. O sea, que 8.250 más el 6% de 8.250 es igual. Ahora lo comprobáis todos… Espera unos instantes. Algunos alumnos ¡Es verdad! Marta sigue. M.- Por lo tanto el método de Juan funciona… Una alumna.- ¡Marta, Marta, se puede hacer de otra manera! M.- A ver, Ana, ¿que nos propones? Ana.- Pues… También habíamos visto la formula P = 1,06p. M.- Si, es verdad. Habíamos visto que… (Escribe) P = p + 0,06p = 1,06p ¿Y bien? Ana.- Pues aquí tenemos que 1,06 p = 8.745. M.- Espera. Lo voy a escribir. (Escribe). 1,06 p = 8.745 M.- ¿Entonces? Ana.- Ahora podemos dividir. Tenemos p igual a 8.745 dividido entre 1,06. M.- ¿Lo has hecho? Ana.- Si, me sale 8.250. Y también funciona con los 507.263 de antes. Sale lo que decías: 478.550. M.- Muy bien. ¿Habéis entendido lo que dice Ana? Dice que p + 0,06p es igual a, 1,06p.

(Señala la igualdad escrita en la pizarra) Esto ya lo vimos y utilizamos varias veces. ¿Os acordáis? Por lo tanto, el numero p que buscamos es tal que 1,06p= 8.745. En el caso general tendríamos 1,06p = P. Si ahora dividimos por 1,06, entonces p = P . 1,06 Un alumno.- ¡Que fácil! Cristina.- Ya tenemos otra fórmula. M.- Si, es otra formula. Al principio solo sabíamos calcular P a partir de p. ahora también sabemos calcular p a partir de P. Tenemos p = P .¿Todo el mundo esta de acuerdo? 1,06 Los alumnos asienten con la cabeza. M.- Bueno. Ahora vamos a utilizar la formula. Juan, elige un numero p, no nos lo digas y calcula P con tu calculadora. Luego nos dices que resultado te sale, y con ese P nosotros buscaremos el valor de p. ¿De acuerdo? Juan asiente pero no parece muy contento. Teclea su calculadora. M.- ¿Y bien? ¿Que nos propone? Juan.- Pues… 166.738. Marta escribe en la pizarra: P = 166.738. M.- Adelante. Ahora os toca a vosotros hallar p. Marta espera unos minutos y retoma el hilo. M.- Vamos a ver… Pedro, ¿Qué has hallado? P.- 157.300. Algunos alumnos asienten con la cabeza. M.- ¿Todo el mundo esta de acuerdo? Aprobación general. Juan.- pero falta calcular los impuestos. Jorge.- ¡Pues calculas la resta! M.- Un momento, un momento… Juan tiene razón. Recordemos que al principio queríamos saber cuanto se tenía que pagar a Hacienda. Cristina.- Basta con calcular el 6% de p. Ana.- Pues entonces tendremos otra formula más: multiplicar

25

P . Por 0,6. 1,06 M.- Por 0,06. Ana.- Uy. Si… Por 0,06. M.- Vale. ¿Y como podemos escribir esta nueva formula? Escribe en la pizarra: I = Unos alumnos.- P 0,06 por ______. 1,06 M.- Bien. Sigue escribiendo: P I = 0,06 X _____ 1,06 M.- Bueno. Pues con todo esto tendríamos que poder contestar al problema del comerciante cuyos ingresos brutos eran de 507.263 ptas. ¿Cuántos impuestos tendrá que pagar? Un alumno:- ¡Pero si ya lo sabemos! M.- Si, es verdad. Pero ahora quiero que lo calculéis utilizando esta formula. Los alumnos empiezan a teclear sus calculadoras. Hay cierto ajetreo en el aula. M.- ¿y bien? Unos alumnos.- Sale lo mismo. M.- ¿Es decir? Los alumnos.- 28.713 ptas. M.- Eso es. Muy bien. (Mira su reloj) Vamos a ver… ¿Quién quiere redactar esto para el

próximo día? ¿Tu Federico? Como no tenias la calculadora... Federico.- (un tanto molesto) Esta tarde tengo reunión con el tutor. O sea que no puedo hacerlo hoy... M.- Bueno. ¿Pues, quien se encarga de ello? Ana, Cristina y José levantan la mano. M.- Venga, ¡tu mismo José! M e lo entregas esta tarde a ultima hora. Y ahora hay que terminar… El próximo día será... Algunos alumnos.- El jueves. M.- Muy bien. Pasado mañana. Pues para entonces os pongo el siguiente problema. Un poco de atención, por favor, ¡aun no hemos acabado! Escuchad atentamente. En los Estados Unidos, cuando se va al restaurante, hay que dejar un 16% de propina para el servicio. Peor cuidado: no se trata del 16% del precio bruto, o sea del total de la cuenta, sino del precio neta (Escribe en la pizarra) P: total de la cuenta (con IVA) p: Total neto (sin IVA) Propina: 16% de p <por lo tanto, para saber cuanto hay que pagar incluyendo la propina, hay que añadir a P el 16% de p. Para el próximo día, quiero que escribáis una formula para calcular la propina en función del total de la cuenta P. A la propina no la podemos llamar p… Así que la llamaremos b, b de bote… ¿Vale? ¿Me habéis entendido? (Escribe en la pizarra). Los alumnos acaban de escribir el enunciado. Marta se pasea por las filas para comprobar lo que los alumnos anotan en sus cuadernos. M.- Bueno. Los que no hayan entendido ya preguntaran a los demás. Eso es todo… La clase ha terminado.

26

P.- Hola estudiante, ¿Cómo va todo? E.-Bien, gracias. Por cierto, ¿Has recibido el episodio que te envié? P.-Sí, lo recibí hace poco. Me trajo muchos recuerdos. E.- ¿Conoces a Marta? P.- Claro que sí. Marta llegó al instituto un año después de que se inaugurara. Así que elegiste este trozo… Me parece bien… Supongo que será por algún motivo, ¿no? E.- No creas. En realidad me cuesta hacerme una idea clara del episodio. Cada vez que lo vuelvo a leer, me queda una impresión agradable, pero... P.- ¿Qué sensación te produce? E.- ¿La clase de Marta? No sé... Lo que hace me gusta mucho. ¡Me gustaría ser capaz de enseñar tan bien como ella! P.-Ya veo. Te parece que enseñe bien. ¿Podrías especificar en qué consiste para ti “enseñar bien”? E.- No se. Marta consigue que la clase sea muy dinámica, que los alumnos estén activos y participen mucho. Además sabe dirigirlos con mucha seguridad… No sé… Me gusta su estilo docente. P.- Ya. Pero diciendo eso no estás siendo demasiado preciso. Habría que intentar ser un poco mas riguroso y ver qué es eso que llamas “estilo docente”. Y también me gustaría saber qué te gusta de ese estilo docente. E.- Bueno… Por ejemplo, me parece evidente que los alumnos de Marta participan en la construcción del saber. Piensan los problemas por sí mismos… P.- Bajo la dirección de la profesora. E.- Sí claro, bajo la dirección de Marta, y con su ayuda. Pero nunca les da la respuesta de entrada. Plantea una cuestión y guía el trabajo de los alumnos para éstos pueden llegar a formular una respuesta válida. P.-O sea, los alumnos intentan resolver los problemas con la ayuda de Marta. ¿Ese es el “estilo docente” que te gusta? E.- Sí, ¡Pero presiento que ni estás del todo de acuerdo conmigo! ¡Para variar! ¿No es verdad? P.- ¡Empezamos a conocernos bien! Tiene razón. Aunque apuesto a que sabes en qué puntos tengo más reticencias. E.- ¿No crees que Marta sea una buena profesora? P.- Claro que sí, ahí no está la cuestión. Escúchame un momento y veras… E.- Adelante. P.- Supón que Marta no está ante alumnos de 2º de ESO sino ante estudiantes de, digamos,

2º de universidad. Y supón que, como en el episodio, los quiere introducir al estudio de un nuevo tipo de problemas. E.- ¿Un nuevo tipo de problemas? P.-La verdad es que aún no hemos explicado lo que Marta esta intentando hacer realmente. En el episodio que has escogido, pretende empezar el estudio de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Y su idea es partir de una situación matemática en la que se busca un número que cumpla con ciertas condiciones. E.- De eso ya m había dado cuenta. P.-Muy bien. Pero de ahí no acaba la cosa. En el caso estudiado en clase, el de la ecuación p+0,06p_8.745, los alumnos se encuentran frente a un problema totalmente nuevo para ellos. E.-Y ya veo. Aunque tengan el medio para resolverlo, es la primera vez que se encuentran con ese tipo de situación. P.-Exacto. Pues ahora supón que Marta esta en la universidad frente a 80 alumnos de segundo de carrera, y que también pretende introducirlos al estudio de un nuevo tipo de problemas. E.- ¿Y bien? P.- Fíjate. Imagina por un momento que marta planea el estudio del problema con el mismo “estilo docente” que le atribuyes. En seguida tendíamos que ver a los estudiantes universitarios proponer maneras de abordar el problema, sugerir posibles vías de resolución… E.- Si, como en la clase de 2° de ESO. P.- pues volvamos al “estilo docente”. ¿No t gustaría imagina a Marta trabajando con estudiantes de 2° de carrera igual con los alumnos del instituto? E.- Si, si m cuesta. Porque los estudiantes de universidad no se comportan igual que los alumnos más jóvenes, no intervienen espontáneamente para hacer propuesta. ¡Mucho menos si se trata de proponer soluciones posiblemente erróneas! P.-Eso es. Lo que hemos visto en la clase de Marta no se da en la universidad. ¿Estás de acuerdo? E.- Si, totalmente. Claro hay que considerar la diferencia de edad. P.- ¿Tú crees que es eso? ¿Crees que los estudiantes de 18 o 20 años no pueden estudiar juntos bajo la dirección de un profesor por que son “demasiado mayores”? ¡Bien que lo hacen los investigadores! E.- No es solo la edad… La universidad no es lo mismo que el instituto. En la universidad los grupos de alumnos son mucho más numerosos u se espera que sea el prfesor el que presente las soluciones de los problemas.

TÉCNICAS DE ESTUDIO Y CONTRATO DIDÁCTICO

27

En el instituto se trata de empezar desde cero, que no es lo mismo. P.-Lo que quieres decir es que en la universidad el estudiante se sorprenderia si el profesor lo solicitara para resolver un problema nuevo que se acaba de presentar y que viera que otro estudiante interviene para proponer una vida de ataque, etc. E.- Si, creo que eso de pensar todos juntos un problema en clase y en voz alta no se acostumbra hacer. P.- Muy bien. Entonces podemos suponer que si Marta se encontrara ante alumnos de 2° de carrera, seguramente dejaría de hacer lo que hace en el instituto. No porque su estilo docente haya cambiado sino porque el que hemos visto aplicado a los alumnos de ESO no se puede –o no se suele—utilizar en la universidad. E.- A lo mejor lo podría probar… ¡Pero casi seguro que los estudiantes no le seguirían el juego! P.- Yo iría incluso mas allá. Creo que se encontraría con una franca incomprensión por su parte. Los estudiantes no entenderían a que juego se les hace jugar, que se espera de ellos, que pueden hacer y que no, etc... E.- Sin duda. Pero si, cuando un profesor imparte una clase en la universidad, un estudiante interviniera de repente para decir que no esta de acuerdo o para proponer otra manera de resolver el problema el profesor también se extrañaría mucho. Si ademas todos se ponen a hacer propuestas, no podria dar la clase. P.- Estoy totalmente de acuerdo. ¡Y no creas que critico a los estudiantes! Ellos no hacen más que seguir ciertas reglas del juego, lo que llamamos “contrato didáctico”. Estas reglas delimitan que cosas se pueden hacer y cuales están prohibidas. Si en clase de Marta todos los alumnos se quedaran callados, no porque no saben contestar sino porque creen que no tienen que intervenir, entonces el juego didáctico, no podría realizarse. Y lo mismo ocurre en la universidad, aunque ahí las reglas son distintas. E.- en la universidad, los estudiantes vienen a… ¿Cómo podría decir? Vienen a tomar lo que

les trae el profesor u se lo llevan a casa para estudiarlo después. No se supone que tengan que estudiar con el profesor, como lo hacen los alumnos de Marta en clase. P.- Eso mismo. E incluso podríamos refinar un poco tus análisis. Pero lo que te quería decir antes es que no existe el estilo docente de Marta. Hay un estilo docente que ella utiliza con sus alumnos de 2° de ESO, y que utiliza porque el contrato didáctico vigente hoy en día, no podría recurrir a este estilo docente. E.-Vale. Pero también podríamos darle vuelta a la situación y decir que Marta podría utilizar en si clase un estilo docente mas tradicional, como el de la universidad. P.-Pero no Sto. muy segura de que pudiera, aunque se lo propusiera firmemente. E.- ¿Que quieres decir? P.- Pues que, del mismo modo que no es posible que un profesor de universidad actué como Marta en su clase, tampoco es posible trabajar con alumnos de 2° de ESO del mismo modo que en la universidad. Se produciría lo que llamamos una “ruptura de contrato”. E.- Bueno, bueno. Pero de todas formas, si podemos decir que Marta domina el estilo docente con que trabaja. Podría hacer los mismo mucho peor… P.- Si. Eso si. Marta tiene un claro dominio de ese estilo docente. Pero t voy a proponer un pequeño cambio de vocabulario. La palabra “estilo” parece gustarte. Es como si nos refiriéramos al estilo de un pintor. Yo t propongo una palabra mas dura: preferiría que habláramos de “técnica”, de técnica docente o técnica didáctica. E.- Bueno como quieras. ¡Pero esta técnica es mejor, para mí, que limitarse a dictar la lección a los estudiantes! P.- ¡Un momento! ¡Eso habría que demostrarlo! Porque pareces olvidar un aspecto muy importante: que el rendimiento de una técnica docente también depende de lo que estudiantes sean capaces de hacer por si mismos para estudiar. Y como su actuación también depende del contrato didáctico -que les lleva a hacer tal o cual cosa que ven como legitima, o incluso necesaria, y que a su vez, les impide hacer tal otra cosa, ya que ni

siquiera pueden imaginarla-, pues bien, el rendimiento de una técnica docente dependerá también del contrato didáctico en el que se actué. E.- Ya veo… Pero, incluso así, creo que dominar la técnica de Marta sigue siendo mas difícil que dominar la técnica de la clase magistral. P.- Yo creo que hay que ser mucho más prudentes con nuestras afirmaciones. A lo mejor dices esto porque crees saber impartir

una clase magistral, y temes no saber conducir una clase como lo hace Marta… E.- Quizá. P.- Pues yo conozco algunos profesores de secundaria que confiesan no ser capaces de enseñar como lo hacían al principio de su carrera, hace 20 o 25 años. E.- ¿Y por que? P.- Pues seguramente porque, de hecho, la manera de actuar de hace 20 años se ha vuelto incompatible con los contratos

28

didácticos actuales. Aunque también existen efectos inhibidores. Por ejemplo, cuando enseñas como Marta, te llega constantemente información acerca de los alumnos, lo que entienden y lo que no, lo que piensan, etc. En cambio, en la enseñanza que llamamos tradicional, profesor dispone de mucho menos información. Y para aquel que ya no esta acostumbrado a trabajar con un nivel bajo de información, psicológicamente puede ser muy duro volver a ello. E.- Entiendo. De todas formas, estarás de acuerdo de que sea cual sea la técnica docente empleada, uno puede dominarla mas o menos, ¿no te parece? P.- Claro, claro. Esto pasas con todas las técnicas. Hemos dicho que Marta domina lo que hace. Pero no quiero que t e dejes fascinar por ello hasta el punto de no ver los problemas didácticos que es necesario haber identificado y resuelto antes siquiera de poder utilizar la técnica. E.- No veo lo que quieres decir... P.- Me temo que debes estar pensando todavía en términos de “estilos de enseñanza”, Lo que hay que entender es que la técnica que utiliza Marta funciona con cierto contenido matemático. Y lo que podemos afirmar es que su técnica funciona bien precisamente con ese contenido matemático. E.- En realidad, tengo que confesar que hay algo que me molesta un poco. ¿Por qué crees que eligió esta historia de precios netos y precios brutos? P.- Ajá, te gusta la forma pero no el contenido. ¿Por eso decías que tenías una sensación ambivalente? E.- Sí, algo así. P.- ¡Veo que sigues con tus prejuicios! E.- ¿Que quieres decir? P.- No quería hablar de esto ahora, pero quizá sea mejor aclarado enseguida. Supongo que hubieras preferido una actividad matemática alrededor de un” verdadero” problema de matemáticas, ¿no? ¡El precio neto y el precio bruto, por no hablar del IVA, enturbian el universo puro de los objetos matemáticos! ¿Me equivoco? E.- No del todo, pero lo presentas de una manera tan exagerada… P.-Bueno, bueno. No quiero volver sobre este tema. Vamos a ver, ¿Cuál es el objetivo de la clase de Marta? E.- Tú misma lo dijiste: iniciar a los alumnos a los problemas de ecuaciones de primer grado. P.- Muy bien. Pero lo podemos precisar un poco más: se trata de introducir a los alumnos en un tipo muy amplio de problemas matemáticos en los que hay que hallar un número, la incógnita, a partir de una

información dada sobre ese número. Si me quedo con esta definición, también incluiremos a los cálculos aritméticos de la escuela primaria. Por ejemplo, hallar el perímetro de un rectángulo cuyos lados miden 3 y 4 metros. O hallar el precio de un caramelo sabiendo que 8 caramelos valen 56 ptas. En estos problemas, o bien se parte de una fórmula explícita para hallar el número desconocido (como en el caso del perímetro: p = 2(3 + 4)), o bien se dispone de una técnica para determinarlo (como en el caso de los caramelos p = 56 : 8). E.- ¡Lo cual ya es, en cierto sentido, una ecuación! P.- Sí no cabe duda. Pero lo más importante de la teoría matemática de las ecuaciones, incluso en su versión más elemental, es que permite enfrentarse a situaciones en las que la incógnita viene definida de manera implícita. E.- Ya veo Y resolver la ecuación es explicar su valor, como en el caso que estudian los alumnos de Marta. P.- Eso mismo. Existe, por decirlo de alguna manera, una frontera entre la cultura de nuestra vida cotidiana y el saber hacer de los matemáticos. Permite que te de un ejemplo muy parecido al de Marta: E.- Venga. P.- supón que eres un comerciante y compras a tu proveedor un artículo que cuesta 2.800 ptas. Más tarde venderás este artículo a un precio P que te dejará cierto margen de beneficio: P – 2.800. Supón ahora que quieres que este margen represente un 80% del precio de venta. Con cual P debe ser tal que P = 2.800 + 80% P. Si calcularas el margen sobre el precio inicial no habría ningún problema: a 2.800 le añadirías el 80% de 2.800, y P valdría… E.- 2.800 + 0,8 x 2.800 = 5.040. P.- Sí. Pero la mayoría de la gente no concibe cómo se puede añadir a 2.800 el 80% de un precio P que aún no conoce. Te recuerdo que esto es precisamente lo que tú prima no sabía hacer (ver Diálogos 1) Y tuvo que consultárselo a un matemático – a ti-. E.- Vale. Pero tengo algo que añadir. P.- A ver. E.- En el fondo, el objetivo de Marta es ayudar a sus alumnos a entrar en una obra matemática que podría denominarse la teoría de las ecuaciones, o algo así. P.- En efecto. E.- ¿Entonces, por qué no ir directamente al grano? ¿Porqué pasar por algo que, al fin y al cabo, no es más que una aplicación elemental de la teoría de las ecuaciones?

29

P.- Tu pregunta es pertinente. ¡Absolutamente legítima! Es más, no pretendo que la elección de Marta sea la mejor. Para plantear correctamente el problema didáctico que debe resolver, Marta tiene que elegir un problema particular que cumpla cierto número de condiciones. Y lo único que podemos concluir es que su elección es más o menos óptima respecto a este conjunto de restricciones. E.- La restricción principal debe ser que el problema elegido permita a los alumnos entrar en esa obra matemática que hemos llamado la teoría de las ecuaciones, ¿no? P.- Sí. Claro que cuando utilizas la palabra “obra”, debes recordar lo que dijimos el otro día que uno no entra del todo en una obra hasta que ésta no aparece como una respuesta a ciertas cuestiones. E.- ¡Pero entonces basta con explicar a los alumnos lo que decíamos antes! La teoría de las ecuaciones permita hallar, o por lo menos buscar, un número que no se conoce, pero sobre el que se tiene cierta información. P.-Pero bueno, ¿te imaginas a ti mismo dando esta definición a alumnos de 2° de ESO? Lo que acabas de decir tan sucintamente podría ser la síntesis de un trabajo de iniciación al estudio de las ecuaciones. Pero dudo que pueda servir como punto de partida. Además hay otra dificultad… E.- ¡Me lo suponía! P.- No te preocupes, es muy simple. Podría darse el caso de que, al final de proceso, consiguiéramos tener alumnos capaces de resolver ecuaciones de primer grado, pero que no reconociesen que el cálculo del precio neto a partir del precio bruto consiste, desde un punto de vista matemático, en resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. E.-O sea, alumnos que no serían capaces de planear ecuaciones. P.- Y no sólo eso, También podemos pensar que una parte de la dificultad que supone el plantear una ecuación proviene del hecho de que el alumno no se imagina que la situación en la que se encuentra se pueda pensar matemáticamente en términos de ecuaciones. ¿Ves lo que quiero decir? E.- Creo que sí… ¿Pero no temes que los alumnos de Marta, cuando empiecen a estudiar ecuaciones en contexto puramente matemático, se olviden del punto de partida? Quiero decir que si más tarde tienen que calcular el precio de venta con un margen de beneficio dado, a los mejor ya no se dan cuenta de que se trata de resolver un problema con una ecuación de primer grado. P.- No es imposible que eso ocurra. Sobre todo si se considera que hay muchos otros factores didácticos en juego.

E.- ¿Cómo cuales? P.- Pues mira, puede ser que no se hable más en clase de precios netos y precios brutos. En este caso, el problema elegido por Marta como punto de partida no habrá funcionado más que como un andamio para la construcción de una obra matemática “pura”, como tú dices. También se puede dar la situación inversa, como fue el caso en el Instituto Juan de Mairena. La enseñanza puede insistir mucho en una visión de las matemáticas como obra que permite entrar en muchas otras obras, de tal manera que el contrato didáctico diga a los alumnos: no conocéis las ecuaciones de primer grado si no sabéis pensar con esta herramienta matemática ciertos tipos de situaciones sociales –comerciales u otras-. E.- Ya, pero esto es un problema curricular. P.- Exactamente. Y también es verdad que el hacer hincapié sobre el acceso a obras ajenas a partir de las matemáticas y, a la inversa, el estudio de obras matemáticas a partir de cuestiones que surgen en otros ámbitos puede ser más o menos fuerte según el centro docente, el país, la época, etc. E.- Vale, vale. Pero tengo una pregunta. Hay algo que me sigue molestando... P- Dime. E.- ¡Es esa historia de lo “concreto”! P.- Ya. E.- Cuando veo a Marta plantear a sus alumnos los casos del precio neto y bruto, me pregunto si no estará cediendo al eslogan pedagógico según el cual hay que hacer trabajar a los alumnos con problemas concretos. Y me parece que la gente repite este eslogan sin saber muy bien que quiere decir, como un ritual al que uno se somete sin buscarle el porque. P.- Entiendo. E.- Además no puedo evitar exclamar para mis adentros: ¡como si las ecuaciones de primer grado no fueran ya algo suficientemente complicado! ¡Como si hubiera que añadirles otras sofisticaciones sobre comerciantes, precios, edades, y no sé que más! P.- O sea que estas en contra del eslogan de lo concreto. E.- Eso mismo. ¿Tu que dices al respecto, Profesora? P.- ¿Sobre lo concreto?... Pues mira como no nos queda mucho tiempo, te hablare de ello rápidamente para que lo medites luego por tu cuenta. Lo primero que hay que saber es que en tu vida como profesor- si es que acabas siendo profesor- veras desfilar muchas modas pedagógicas, cada una con su propio eslogan. Lo que quiero mostrarte ahora es como surge

30

una moda pedagógica. En general, la gestión de un proceso didáctico –de un proceso de estudio- supone que se tome en cuenta un gran número de variables. Una moda pedagógica se encarga de elegir una de esas variables y afirmar que se trata de algo esencial. O incluso, en el caso de un “delirio pedagógico”, que se trata de lo único realmente importante. E.- ¿Me puedes dar un ejemplo? P.- ¡Los que quieras! Tomare estos tres: el tratamiento diferencial, el trabajo autónomo y la evaluación formativa. E.- ¿En qué consiste? P.- Pues mira, la primera dice que lo esencial es diferenciar la enseñanza o sea adaptarla a las particularidades de cada alumno en cuanto individuo singular. La segunda considera primordial el hecho de que los alumnos

trabajen de manera autónoma, que aprendan a organizar y controlar su trabajo sin estar constantemente bajo la supervisión del profesor. Y la tercera propone que se incorpore a la evaluación un objetivo de formación, dado que limitarse a medir las actuaciones del alumno puede incluso resultar contraproducente. E.- Ya había oído hablar de todo esto, sí... P.- Perfecto. Porque resulta que, cuando observas una clase real, incluso una clase de lo más tradicional, veras que, además de aquellos momentos en los que el profesor trata a todos los alumnos del mismo modo, hay momentos en los que interviene de manera mas personalizada, en función de las necesidades de cada uno –y adentro de ciertos limites, claro-. Asi mismo, veras momentos en los que los alumnos trabajan

por su cuenta, de manera autónoma, fuera del control del profesor, para elaborar sus propios procedimientos, aunque sean errores. Y además, si te pones a analizar los procesos de evaluación, encontraras necesariamente que todos poseen una dimensión formativa, aunque esta pueda estar infravalorada. ¿Ves lo que quiero decir? E.-Sí. ¿Pero qué conclusión sacas de todo ello? P.- Es muy simple: Las modas pedagógicas no son un bien absoluto, ni un mal absoluto. El mérito que tiene es llamar la atención sobre una variable didáctica que hasta el momento se había dejado un poco de lado y que, a raíz de cierta evolución del sistema del sistema de enseñanza, se convierte en una variable “sensible”. De todas formas, sería poco realista y hasta cierto punto ridículo, pretender que un sistema tan complejo como

es una clase se pueda manejar con una sola variable. E.- Es el punto flaco de las modas pedagógicas… P.- Exactamente. E.- ¿Y respecto a lo “concreto”? ¿Qué interés tiene insistir tanto en ello? No comprendo de qué variable didáctica se podría tratar en este caso. Porque… El problema es que... ¿Qué quiere decir que algo sea “concreto”? P.- ¡Buena pregunta! A la que se puede dar una respuesta muy simple… Según dijo, creo, un matemático francés, lo concreto es simplemente lo abstracto que nos ha vuelto familiar. Piénsatelo bien para la próxima vez y retomaremos la discusión a partir de este punto. E.- Muy bien. Pensare en ello… Lo abstracto cuando se vuelve familiar… Hasta la próxima, Profesora… ¡Y gracias!

31

E.- Buenos días, Profesora. P.- Buenos días. E.- ¿Te parece que empecemos donde lo dejamos el otro día? ¿Con el eslogan de lo concreto y todo aquello? P.-Me parece muy bien. ¿Has pensado en ello? E.-Sí, por supuesto. Incluso he preparado un par de ejemplos. P.- ¿Ejemplos de qué? E.- Pues de lo concreto. Si un quiere partir de un problema concreto, no está obligado a escoger un problema como el de Marta. P.- Claro que no. E.- Bueno. Pues imagina que un profesor parte del siguiente problema. Lo he encontrado en un libro de álgebra de cuando mi padre iba a la escuela. Estaba en el capítulo titulado Problemas de primer grado con una incógnita. Te leo el enunciado: Cuando el reloj marca las 12, las dos agujas coinciden. ¿A que hora volverán a coincidir? P.- ¡Quieres traerme viejos recuerdos! Bueno… ¿Y qué te inspira este ejercicio? E.- Pues, es una buena ilustración de problema “concreto”, en el sentido que se le da Habitualmente y también con tu definición de “lo abstracto que se ha vuelto familiar”. En aquella época no había relojes digitales. Un reloj con agujas era un objeto familiar para los alumnos de 12 años. ¿Estás de acuerdo? P.-Sigue... E.- Bueno. Lo que yo creo es que los alumnos de Marta no habrían podido resolver este problema, por muy concreto que sea. ¡Ni siquiera con la ayuda de Marta Hubieran sabido plantear la ecuación! P.- ¿Y qué conclusión sacas de todo ello? E.-Que lo de lo concreto es una trampa... Un problema concreto no tiene tiempo por qué ser más fácil, por el mero hecho de ser concreto. Eso es todo lo que pretendo demostrar. P.- ¿No vas añadir nada más? E.- ¿Algo más? Sí, que tampoco tiene por qué ser más interesante. ¡Ya me dirás qué interés puede tener el problema de las agujas del reloj! P.- ¿No crees que nos ayude a entrar en la obra relojera? E.- ¡No te rías, Profesora! ¿Qué comentario harías tú? P.- Vamos a ver… Creo que será mejor volver a la definición de lo concreto como lo abstracto que se ha vuelto familiar. Has dicho que un reloj con agujas debía ser algo familiar para los alumnos de hace 30 ó 50 años. E.- Sí, aunque un poco menos para alumnos de familias más modestas, pero vaya, no creo que…

P.- Quizá no te has detenido lo suficiente a pensar lo que significa, en este contexto, la familiaridad con un objeto. Porque cuando hablo de un objeto matemático que se vuelve familiar, me refiero a su familiaridad matemática. Y cuando dices que los alumnos de Marta no llegarían siquiera a plantear la ecuación del problema, es porque no tienen ninguna familiaridad matemática con la esfera de un reloj y sus agujas. El reloj es, sin duda alguna, un objeto concreto para ellos en la vida de cada día, pero no lo es en cuanto objeto matematizable. E.- ¿Y qué me dices de los precios brutos y netos? ¿Crees que son objetos familiares para los alumnos? ¿Matemáticamente familiares? P.-Sí, sí, precisamente. Por lo poco que sabemos de la clase de Marta, es obvio que se ha realizado un trabajo importante (quizá al abordar el tema de los porcentajes, no sé) del que resulta que las nociones de precio bruto y precio neto, así como añadir y sacar el IVA, etc., se han convertido en objetos matemáticamente familiares para los alumnos. Y, además, son familiares en un sentido muy preciso… E.- ¿Por ejemplo? P.- Pues en el sentido de que el precio bruto P es igual a p + 6%p, y también a p + 0,06p, o incluso a 1,06p. Recuerda que ésta es la expresión que utilizan los alumnos para llegar a las solución E.-De acuerdo. Pero entonces tú no hablas de lo concreto del modo en que lo hace todo el mundo. ¡Lo tuyo no tiene nada que ver con lo concreto del eslogan pedagógico! P.- Puede ser. Pero Tampoco está muy alejado. Claro que según la definición que te propongo habrá cosas concretas para alguien que, culturalmente, puede parecer de lo más abstracto. Considera, por ejemplo, la función de dos variables ƒ(x,y) = x²y – 3xy² y supón que quieres saber si tiene un máximo o un mínimo cuando x e y varían entre 0 y 1. En una primera aproximación, esta función te puede parecer un objeto muy abstracto. Pero si la escribes como (-3x)y² + x²y, y si supones que x tiene valor fijo > 0, entonces te encuentras ante un objeto matemático mucho más familiar: la ecuación de una parábola, o sea un objeto que puedes manipular muy fácilmente. Por ejemplo, como x es positivo… E.- Has dicho que variaba entre 0 y 1. P.- Sí. Por lo tanto la parábola tiene el vértice en lo alto. Además sabes que la abscisa del vértice es -x² , o sea x . Así puedes imaginar todas la familia de parábolas que se generan al 2(-3x) 6

DE LO QUE SE SABE A LO QUE SE PUEDE APRENDER

32

variar la x entre 0 y 1, para luego considerar lo que está más arriba… E.-Sí, sí, ya veo. P.- Lo importante es que, cuando trabajas como acabamos de hacer con la parábola, manipulas objetos que te parecen muy seguros. No dudas, por ejemplo, que si el coeficiente de y² Es negativo, entonces la parábola tiene forma de U invertida, etc. Todos estos objetos que manipulas –aunque sea mentalmente- pertenecen a lo que los didácticos llaman el milieu, el medio. E.- ¿El medio? ¿Cómo cuando se habla del medio ambiente? P.- Si, o del medio social en el que vive una familia. E.- entonces todos estos objetos matemáticos que se suponen tan contratos, familiares… ¿Formarían parte de del medio matemático en el que viven los alumnos? P.- eso mismo. Muy bien. Lo que cuenta realmente es lo que los objetos que forman parte de este medio tan adquirido cierta familiaridad matemática para los alumnos, de tal modo que su “comportamiento” y propiedades parecerán seguros, incuestionables, fuera de toda duda. E.- De acuerdo. Pero ¿podemos volver a la clase de Marta? P.- Como quieras. E.- Hay un momento en que pide a sus alumnos lo que habría que pagar si se calculara el IVA a partir del precio de venta (que son 530ptas) en vez del precio neto. P.- Si ya recuerdo. E.- Y entonces lo que se ve es que, para loa alumnos, calcular el 6% de 530 Ptas. es una operación totalmente segura, que no da lugar a dudas. Hallan que los impuestos ascienden a 31,8 Ptas., aunque saben que el comerciante solo paga 30 ptas. Pero no ponen en duda el cálculo; cuestionan la manera de calcular el IVA. Por lo tanto, podemos deducir que calcular un tanto por ciento forma parte de su “medio ambiente” matemático ¿no es eso? P.- Eso mismo. No dudan en ningún momento de su cálculo del 6% de ptas. Pero fíjate que, aunque estén operando en el “medio”, el cálculo puede ser erróneo: E.- ¿Que quieres decir? P.- Puede que t parezca demasiado sutil, pero en realidad es muy sencillo. Los alumnos no dudan de como se comportan los objetos que forman parte del medio. Pero puede ser que, al manipular estos objetos, cometan algún error. Por falta de atención, por ejemplo. Del mismo modo que yo no dudo que si hago tal y cual gesto, abriré aquella ventana de

detrás de ti, aunque puede ser que la ventana este atascada, o yo haga mal el gesto. E.- Vale. Vale. Ya veo. Pero estaba pensando en algo distinto. P.- ¿En que’? E.- En teoría, lo del precio neto o bruto, lo del IVA y todo lo demás forma parte del medio de los alumnos. Pero de repente, la profesora introduce cierta incertidumbre en este medio. Dicho de otro modo: a pesar de que al principio todo resulta muy claro de pronto aparece una cuestión totalmente nueva: ¿Cómo calcular el IVA a partir del precio de venta? P.-lo acabas de describir muy bien. ¿Y a que conclusión llegas? E.- Pues que, para controlar eficazmente el estudio de esta nueva cuestion, los alumnos tienen que poder basarse en lo que esta claro para ellos, en el medio... P.- Muy bien, es exactamente eso. Bravo. E.- Claro que, por lo que te conozco, aun debo de estar lejos del final ¿no? P.- No, no, en lo absoluto. Además, yo también te conozco, y supongo que aun quedan cosas en el aire ¿no? E.- Si, muchas cosas. Por eso he preparado un segundo ejemplo. P.- Pues, adelante con el. E.- Mira. He intentado cambiar el problema que utiliza Marta para presentar la idea de ecuación de primer grado a sus alumnos. Y en lugar de una cuestión comercial, he considerado un problema de geometría muy simple. Partimos de un triangulo… P.- O sea, en lugar de una cuestión extramatemática, has escogido una cuestión intramatemática. E.- Eso es. Considero un triangulo ABC, su altura AH y supongo que BC =AH=8cm. P.- O sea partimos de un triangulo q no esta totalmente definido. E.- No. Falta precisar la posición de H en el segmento BC. Pero no importa. P.- Muy bien. E.- Ahora tomo un punto D sobre AH y considero un rectángulo MNPQ de tal manera que MN pase por D. (dibuja en la pizarra.)

BC=AH=8CM. A

M D N H

B Q P C

33

P.- Por lo tanto, MN es paralela a BC y MQ, NP perpendiculares a BC… E.- Si. Si ahora impongo que D sea el punto medio de AH, entonces por un lado MN será la mitad de BC y por otro DH será la mitad de AH axial como de BC. Como MQ y NP son iguales a DH, tenemos N=MQ=NP. Resulta pues que MNPQ es un cuadrado. P.- Muy bien. Pero ¿donde esta el problema que quieres plantear a los alumnos? E.- Supón que tomo D de tal forma que AD sea una fracciones de AH: AD =r AH. Se trata entonces de calcular los lados del rectángulo en función de r. todo esto suponiendo, claro esta, que los alumnos están acostumbrados a manipular triangulo semejantes. P.- Bueno, no se si será mucho pedir para un alumno de 2° De ESO, pero lo podemos admitir. E.- Si, solo es un ejemplo. Tenemos pues MN= rBC= 8r y MQ=AH-AD= 8- 8r. P.-Por lo tanto, también presupones que los alumnos saben escribir estas fórmulas. E.-Claro. Y también supongo que las saben utilizar para hallar las distintas formas que puede tener un rectángulo. Por ejemplo, si r = 1 / 2 , tenemos un cuadrado; si r = 3 / 4, tenemos MN = 3 /4 .8 = 6 y MQ = 8 – 3 / 4 .8 = 8 – 6 = 2, luego MN = 3MQ. El rectángulo es pues tres veces más largo que alto. P.- De acuerdo. E.- La cuestión es la siguiente: si queremos tener un rectángulo cuyos lados estén en una razón dada R, es decir, que sea R veces más largo que alto, ¿dónde hay que situar al punto D? O, dicho de otro modo, ¿qué valor de r hay que tomar? P.- lo que les llevaría a la ecuación 8r = R (8 – 8r). E.- Sí… Por ejemplo, cómo elegir r para que la base sea el doble de la altura, etc. ¿Qué te parece? P.- Sinceramente, creo que tu idea no es tan buena como la de Marta. E.- Te lo diré. En primer lugar, date cuenta de todo el tiempo que has necesitado para explicarme el problema. Imagínate esto en una clase. Estarías más tiempo presentado los elementos geométricos, aritméticos y algebraicos necesarios para poder formular la cuestión, que estudiándola. Esto es un problema que Marta ha sabido resolver muy bien: E.- Ya, porque ella se basa en elementos que ya se han estudiado antes. P.- Que forman parte del medio.

E.- Sí, pero en este caso también podríamos suponer lo mismo e imaginar que los alumnos han trabajado anteriormente con rectángulos inscritos en triángulos, con el tema de la semejanza de figuras. Con lo cual el profesor podría llegar y decir: os acordáis del problema del triángulo ABC con un rectángulo MNPQ inscrito, etc. Y los alumnos contestarían: sí, teníamos MN = 8r y MQ = 8 - 8r = 8(1 –r). P.- Aun suponiendo que así sucediera, tu ejemplo sigue planteando una dificultad mayor. E.- ¿Cuál? P.- Podemos en efecto suponer que los alumnos han trabajado mucho la noción de triángulos semejantes. E incluso podemos suponer que, en la figura que has dibujado, AD = MN AH BC pertenece al medio matemático de la clase. E.- Sí, del mismo modo que el cálculo de un porcentaje en la clase de Marta, P.- Bueno. Pero lo que resulta mucho más difícil de imaginar es que ocurra lo mismo con la cuestión del rectángulo y de la razón entre sus lados. Yo no veo como se podría justificar que los alumnos hayan adquirido tanta familiaridad con este tema… E.- ¡Pues, yo no veo tanta diferencia, Profesora! P.- ¿Cómo que no? Se trata de un problema curricular. Depende del estatuto que se da a los objetos del currículo. E.- ¿Qué quieres decir? P.- Pues mira, en teoría es posible pedir que, en al o cual curso, todos los alumnos conozcan el problema de hallar el lado de un triángulo rectángulo a partir de los otros dos. E.- Con el teorema de Pitágoras. P.- Eso es. También se les puede pedir que estén muy familiarizados con el tema de precios netos y brutos. Se trata, en ambos casos, de temas claramente identificados en la cultura matemática elemental. ¡Pero no veo a raíz de que tu problema podría ocupar una posición semejante! E.- ¡Pero Profesora, el currículo no es intocable! ¿Por qué se les exige a los alumnos que conozcan el teorema de Pitágoras o cómo hallar un precio neto a partir de un precio bruto?, en vez de resolver un problema como el mió. Hace unos días insististe en que el currículo era una obra abierta, en cuya producción podíamos y debíamos participar todos. ¿No? P.- Hombre, tienes todo el derecho del mundo a querer cambiar el currículo, pero ten presente –ya lo hemos discutido- que nunca es tan sencillo como parece. Además, no has

34

justificado en ningún momento hasta qué hasta qué punto tu problema sería lo suficientemente interesante como para atribuirle un lugar preponderante en el currículo. Por último, estás cambiando nuestro tema de reflexión. El tema que nos ocupa ahora no es cambiar el currículo, sino iniciar a los alumnos a la teoría elemental de las ecuaciones de primer grado. Para resolver un dificultad local, pretendes modificar todo el conjunto, y sólo para hacer viable tu solución. ¡Olvidas que hay leyes didácticas y, en particular, leyes curriculares que no se pueden infringir tan fácilmente! E.- ¡Que tajante te has puesto, Profesora! P.- ¡Mucho más dura puede llegar a ser la realidad didáctica! E.-Bueno, pero yo sólo intentaba satisfacer una “restricción” (como tú las llamas) y para ello he intentado modificar otra restricción. P.- Pero a otro nivel: no el de la clase sino el del currículo. Pero no te alarmes, tampoco hay que ponerse trágicos. Has hecho una propuesta para iniciar al estudio de las ecuaciones. Yo digo que su propuesta choca con ciertas dificultades objetivas. Una de ellas es la que te he explicado antes, Peor hay muchas otras restricciones. Y uno no puede dejar de tomarlas en cuenta estas dificultades. E.- ¿Cuáles son las demás? P.- Pues mira, quedamos en que Marta propone a sus alumnos un problema nuevo que pueden resolver con las herramientas de que disponen. Desde un punto de vista técnico, la ecuación a la que llegan es del tipo x + ax = b, que se puede escribir también como (1 + a)x = b, y pues hallar directamente x = b / 1 + a. E.- Hasta aquí estoy de acuerdo. P.-En cambio, con tu problema los alumnos tendrían que resolver una ecuación mucho más complicada, del tipo ax = b - cx, o algo así. Desde un punto de vista didáctico, no les bastará con un poco de ayuda para resolver por sí mismos la ecuación. Es mucho más probable que el profesor acabe haciéndolo él en la pizarra, consiguiendo, a lo sumo, captar su atención. E.- Ya veo... El profesor haría matemáticas delante de los alumnos, mientras que Marta hace matemáticas con sus alumnos. Quizá se podría relacionar con la noción de “zona de desarrollo próximo” que algunos psicólogos emplean a veces. P.- ¡Vuelo a constatar que estás muy instruido! Sí, creo que se trata de puntos de vistas relativamente próximos. Pero te indicaré un apequeña diferencia. Muchas

veces, los autores que hablan de zona de desarrollo próximo utilizan esta noción refiriéndose a un solo individuo: el que le ayuda a desarrollarse debe intervenir en esta zona que se supone distinta de un individuo a otro. En cambio, aquí se tendría que hablar de la zona de desarrollo próximo de la clase –de la clase como comunidad de estudio-. Debemos pues suponer que esta noción sigue teniendo sentido para un grupo de personas, aunque dichas personas no estén en el mismo “nivel de desarrollo”. En los análisis que realizamos, nos referimos a una entidad, la clase como comunidad de estudio, y supone que esta entidad existe y posee unas propiedades específicas. E.- Ya, pero… P.- Espera, espera. Aún me queda algo por decir. En lo que se refiere a la ayuda al estudio, existe una diferencia entre el hecho de que el profesor ayude a sus alumnos a resolver un problema y el hecho de resolverlo él mismo delante de ellos. E.- ¡Pues claro! P.- Lo cual no deslegitima los momentos en el profesor se ve llevado a hacer matemáticas delante de sus alumnos. Se trata de actuaciones distintas, pero una no es forzosamente mala y la otra siempre buena. No estamos aquí para construir una nueva religión… E.- No sigas, te entiendo perfectamente. Pero quería hacer una observación. P.- Adelante. E.- Has dicho que mi problema de geometría conducía a una ecuación demasiada complicada... P.- Sí, respecto a la técnica que se necesita para resolver la ecuación. Si el tipo ax=b-cx, de entrada habrá que “transponer” el término cx del miembro de la derecha al de la izquierda. Se llega entonces a ax+ cx =b. Los algebristas árabes llamaban a esta operación al-jabr, que significa “restauración”: se restaura el equilibrio en la igualdad (de ahí viene la palabra álgebra). Después, hay que pasar de ax + cx=b a (a+c) x = b: es una operación de simplificación que se llamaba almuqâbala. Y, finalmente, había que hacer la división:

E.- ¡Pero todo esto no es tan complicado! P.- ¡Qué ingenuo eres! Cuando los algebristas descubrieron estos gestos técnicos, supieron que se hallaban ante algo importante, que se había realizado un

b x = ____. a + c

35

progreso. Hasta tal punto fue importante que pusieron nombres a sus descubrimientos. Pero, consideraciones históricas aparte, recuerda lo que ocurre en la clase de Marta cuando a un alumno se le ocurre sustituir la expresión p + 0,06p por 1,06p, es decir, cuando descubre la utilidad de hacer el al-muqâbala: ¡cree que se trata de algo digno de presentar a los demás! E.- Es verdad… Pero ahora m estoy dando cuenta de otra dificultad... P.- Dime. E.- Lo que hace Marta, aunque sea importante… Vaya que después habrá que progresar. Los alumnos han descubierto la “simplificación”, pero después tendrán que descubrir la “restauración”. P.- Eso es. E.- ¿y cómo se las arreglará para seguir con el estudio de las ecuaciones y tratar todos los casos? P.- Tu pregunta es un verdadero problema de didáctica. Claro está que, si quiere avanzar un poco más con sus alumnos, puede plantearles un problema como el que mencionábamos antes: el de un artículo que cuesta 2.800 ptas. Y de un comerciante que quiere hacer un 80% de beneficio sobre el precio de venta P, con lo cual se tiene que resolver la ecuación 2.800 + 0,8P =P. Y para resolverla, hay que pasar el término 0,8P al otro miembro de la igualdad. La operación de “restauración” es necesaria para reducirse al caso anterior que ya saben resolver. E.-Es verdad… No esta mal... Pero tengo algo que objetar. Supón que un alumno haga el siguiente razonamiento: si tenemos 2.800 + 80% P = P, es que 2.800 representa el 20% de P, es decir, una quinta parte de P, luego P es 5 veces 2.800. ¿Qué haría el profesor? ¡Se le iría todo al traste! P.-Sí, podría ser un verdadero problema. Si quiere que los alumnos aprendan la técnica algebraica de resolución de ecuación, con el al-jabr y el al’muqâbala, entonces debe procurar que, a partir de cierto momento, cualquier técnica alternativa quede totalmente descalificada. De todas formas, habría que ver si algún alumno de 2º de ESO es capaz de utilizar las técnicas que has indicado. Esta técnica se enseñaba antaño en los cursos de aritmética, y requería un trabajo de construcción sin duda igual al de la técnica algebraica. Pero no creo que hoy día mucha gente la utilice espontáneamente. E.-Bueno, dejémoslo de lado. Porque hay otra cosa que no me acaba de convencer. P.- ¿Sí?

E.-Con la estrategia que expones, es necesario presentar cada vez un problema nuevo que se resuelva con una ecuación un poco más compleja que la anterior, a fin de enriquecer la técnica de partida. Sólo así se puede progresar en el estudio de las ecuaciones. P.-En efecto. E.- ¡Pues, entonces, la tarea del profesor resulta extremadamente difícil Cada vez hay que buscar nuevos problemas. Ni siquiera creo que podamos mantenernos en el ámbito de los precios de venta… ¿Tú qué opinas, Profesora? P.-Que tienes toda la razón. No sólo puede llegar a ser muy complicada, sino incluso imposible. E.- ¿Qué quieres decir? P.- Se trata del problema de lo que podríamos llamar la “estudiabilidad” de una cuestión. Y, por lo menos en una primera aproximación, importa poco si el alumno estudia solo o con la ayuda del profesor. E.- No te entiendo… P.- Debes olvidarte un poco de la figura del profesor. Imagina simplemente que alguien quiere estudiar el tipo de cuestiones que habitualmente designamos con la palabra “ecuación”: indeterminadas situaciones, tenemos que hallar un número, la incógnita, que viene definido implícitamente mediante cierta información. E.- Vale. P.- Para lanzarse al estudio que nos ocupa, nuestro estudiante debe buscar situaciones en las que un número esté definido implícitamente, como el caso de los precios y el IVA. ¿De acuerdo? E.- Sí. P.- Ves, por tanto, que el problema es el mismo para el estudiante que no tiene ayuda exterior que para el que debe ayudar al estudiante. E.-Ya. Por eso decías que me olvidara del profesor. P.- Eso es. Hemos visto antes que no es fácil conseguir un “material” adaptado. Supón por ejemplo que el estudiante se plantea tu problema del rectángulo inscrito en un triangulo: tendrá que dejarlo estar a medio camino porque conduce a una ecuación que él no podrá resolver en esta primera etapa del proceso de estudio. E.- Profesora, ¿has visto alguna vez a alguien plantearse este tipo de cuestiones, a alguien que buscara una situación con un número desconocido definido implícitamente? ¿No eres un poco utópica? P.- ¡Seguramente te sorprenderá que sí he visto algunos alumnos librarse a una

36

actividad d este tipo! Pero lo que quieres decir es que, en el marco escolar, esta clase de preguntas las plantea siempre el profesor. Él es el responsable de buscar o construir situaciones adecuados para el estudio. De hecho, el saber hacer didáctico de los alumnos tal y como se fomenta en a escuela presenta una carencia fundamental. Muy a menudo, demasiado a menudo, los alumnos son incapaces de organizar el estudio de una cuestión cualquiera sin la ayuda del profesor. Carecen totalmente d autonomía didáctica. E.- ¿O sea que para ti el hecho de buscar situaciones adecuadas forma parte del proceso de estudio, del proceso didáctico? P.- ¡pues claro! Si no, no hay posibilidad de estudio. E.- Pero reconocerás que, en la escuela, este tipo de trabajo se deja siempre en manos del profesor. P.- No estés tan seguro. Aparentemente sí. Pero en realidad no basta con que el profesor presente a los alumnos situaciones adecuadas y listas para resolver. Falta aún que el alumno las reconozca como tales, que las sepa ubicar dentro del proceso didáctico. E.- ¿Qué quieres decir? P.- Pues, por ejemplo, si el alumno no entiende (o no quiere entender) por qué el profesor propone tal o cual problema, lo encontrará falto de interés y, por lo tanto, no entrará en el proceso de estudio. Pero, si me dejas, quisiera avanzar un poquito. E.- Sí, claro. P.- Volvamos a lo del estudio escolar de una cuestión e imaginemos que el estudiante del que hablamos no sea un alumno sino un investigador de matemáticas que estudia un problema nuevo. E.-No serán las ecuaciones de primer grado, claro. P.- No por supuesto. Pero podrían ser las ecuaciones diferenciales estocásticas, por ejemplo. Imaginemos que nuestro investigador se encuentra ante una dificultad inmensa que no sabe cómo abordar. Una parte esencial de su trabajo como investigador consiste precisamente en buscar vías de ataque al problema en cuestión Y para ello tendrá que buscar situaciones en las que no sólo pueda hacer algo, si no también controlar aquello que hace. E.- ¿Y? P.- ¡Pues podría no encontrar ninguna vía de ataque! E.- Y abandonar allí su investigación… P.- E incluso podría ocurrir a nivel de toda la comunidad de investigadores, atrasando el

estudio de la cuestión por mucho tiempo. A veces se habla de cuestiones “intratable”. E.-Ya, pero esto no ocurre con alumnos y cuestiones como las ecuaciones de primer grado. P.- No vayas tan rápido. Algunas cuestiones intratables para los matemáticos del siglo XVIII se resolvieron en siglo más tarde. E.-Ya, ya. Como la cuadratura del círculo. ¡Pero, por favor, volvamos a los alumnos de 2º de ESO! P.- Tiene razón. La estudiabilidad de una cuestión es relativa. Para los matemáticos, resulta históricamente relativa. Por cierto, sería interesante ver de qué manera la cuestión de lo que e llama el teorema de Fermat, que no era prácticamente estudiable cuando Fermat la formuló en el siglo XVII, se ha vuelto cada vez más estudiable hasta que se ha podido “zanjar” durante estos últimos años. ¡Pero volvamos a los alumnos! E.- Muy bien. P.- Podemos formular nuestro problema didáctico de la siguiente manera. Dada una cuestión de matemáticas y dados ciertos alumnos con ciertas competencias matemáticas, que viven en cierto medio matemático, ¿es posible encontrar o inventar situaciones cuyo estudio permita a estos alumnos avanzar de manera eficaz y segura en el estudio de la cuestión propuesta? E.- ¡Qué complicado! P.- ¿Pero lo entiendes? E.- ¡Sí, sí, creo que sí? P.- Muy bien. ¡Pues sigamos! Lo que me parece importante, a parir de aquí, es aceptar la idea de que, en determinados casos, no se pueden encontrar situaciones que cumplan tales requisitos. No digo que sea imposible en general, digo que el profesor no dispone – y menos aún el alumno- de ninguna situación de ese tipo. En algunos casos puede ser fácil inventarla, pero también puede estar fuera de nuestro alcance durante un periodo de tiempo más o menos largo. E.- ¿Y entonces qué debe hacer el profesor? P.- En estos casos, la respuesta está clara… en teoría. Lo dijo muy bien una vez un colega británico: The good schoolmaster is known by the number of valuable subjects that he declines to teach. E.- O sea, que un buen profesor sería aquél que se niega a enseñar un tema porque no cree tener medios suficientes para conducir su estudio. Estoy de acuerdo… ¡Pero creo que la realidad está bien lejos de estas consideraciones! P.- Desgraciadamente, tienes razón del mundo. Los profesores se han acostumbrado

37

a protestar a muchos niveles, pero parece que, cuando hay que pelearse por lo más fundamental, no queda casi nadie. E.- ¡Te estás poniendo nerviosa, Profesora! P.- Es que me gustaría que el profesorado no estuviera siempre a la defensiva y fuera capaz de atacar allí donde realmente vale la pena. Pero sigamos... E.- Sí, vale más. P.- Cuando uno quiere estudiar una cuestión, o ayudar a alguien a estudiar una cuestión, es indispensable que se procure medios de estudio específicos para esa cuestión. Lo hemos visto con las ecuaciones. E.- ¿Y cómo precisarías, en este caso, esta necesidad didáctica? P.- Ya lo hemos visto. Hay que poder disponer de ecuaciones bastante diversas y variadas entre sí, que no sean todas o muy simples o muy complejas. También sería bueno que el planteamiento de la ecuación no representara un obstáculo importante, es decir, no absorbiera todo el tiempo y esfuerzo del que se dispone (lo que ocurriría, creo, con tu problema de geometría). Asimismo, no habría que caer en el error de dar todas las ecuaciones de golpe, porque se perdería una idea esencial para el principiante: a saber, que la resolución de una ecuación permite encontrar un número definido implícitamente y cuya determinación parecía imposible a partir de los cálculos aritméticos de primaria. E.- Ya veo... P.- Por lo tanto, lo que necesitamos es un pequeño laboratorio matemático específico para la cuestión que queremos estudiar. Un laboratorio en el que podamos hacer preguntas, plantear cuestiones de manera insistente, y obtener respuestas, si uno sabe escuchar como es debido, claro. En didáctica, a este “laboratorio” también se le llama un milieu, un medio. No digo el medio, como antes, sino un medio, un sistema que nos permite estudiar la cuestión que nos planteamos. E.- El medio… Y un medio… Pero, Profesora, lo que llamas un medio, ¿También forma parte del medio, no? Porque tiene que aportar respuestas al que estudia, como si se tratase de los experimentos de un laboratorio de química. Para el estudiante, el comportamiento de los objetos de este medio debe ser algo natural y seguro, ¿no? P.- Sí, es cierto. Y es importante saber que los objetos del medio que servirá de laboratorio requieren cierto trabajo previo para llegar a formar parte del medio ambiente matemático del estudiante.

E.- Pero entonces, Profesora, ¿el medio necesario para el estudio de una cuestión, no es algo así como el material experimental que necesita todo químico o biólogo? Estoy pensando en los genetistas que trabajan con esas moscas… Creo que llaman drosófilas. ¿Ves lo que quiero decir? P.- ¡Perfectamente! Si un biólogo no sabe encontrar un material experimental bien adaptado, el estudio que pretende realizar no será viable. Y tu historia de la mosca es, a mi parecer, un buen ejemplo. ¿Sabes qué fue lo que condujo a los genetistas a estudiar las drosófilas? E.- No se. Supongo que se reproducen muy rápido, y que por lo tanto es fácil disponer de mucho material experimental. P.- Esta debe de ser sin duda una de las razones. Pero lo más probable es que, en un momento dado u para ciertos estudios la genética, la drosofila debió representar un buen “medio”. Te explicaré por que con un ejemplo matemático que seguramente habrás criticado en más de una ocasión. E.- A ver. P.- Resulta lógico pensar que el biólogo trabaja con drosofilas, no por que crea que este insecto es una criatura apasionante en si misma… E.-No, no lo hace porque permite estudiar cuestiones que, en general, si son esenciales. P.- Exactamente. Pues supón ahora que planteas a tus alumno el siguiente problema: Un padre tiene 33 año y si hijo 10. ¿Dentro de cuanto tiempo la edad del padre será la doble del hijo? ¿Vez? E.- ¡Ah, ya! Para ti los problemas de padres e hijos, son una variedad de mosca verde… P.- Exactamente. Por si mismo el estudio de estos problemas no carece para nada de sentido- al contrario de lo que algunos pretenden-. E.- Vale. Lo admito. Pero no estoy tan seguro que los alumnos o los profesores sean conscientes de ellos. P.- Es verdad. Se corre el riesgo de que el biólogo cree que la drosofila es lo único importante y se olvide del problema en general. Pero supongo que este riesgo existe tanto en el aula como en las comunidades científicas- aunque no sepa como demostrarlo-. En estos casos, el medio de estudio se convierte en el fin. Claro que, como decía antes, este riesgo no seria tan grande si la búsqueda del material, la elaboración de un medio adaptado se considerara como parte del estudio.

38

E.- Claro en física, por ejemplo, es necesario inventar un experimento cada vez que se quiere poner a prueba una nueva idea. P.-Si, y un experimento que se considere importante Por lo mismo, en el estudio de

una cuestión matemática, incluso en clase bajo la dirección del profesor, debería considerarse que la creación y la

gestión de un medio adaptado son una dimensión esencial del estudio. E.- ¡Pues no nos falta camino ni nada! P.- En efecto, porque aquí se trata de una cuestión didáctica relativa al reparto de tareas entra el profesor y los alumnos, es decir, una cuestión relativa al contrato didáctico y, por lo tanto, una cuestión difícil. Por cierto, que se nos está haciendo muy tarde… E.- ¡Déjame hacerte una última pregunta! P.- Adelante. E.- Cuando empezasteis, en el Instituto Juan de Mairena, ¿qué “drosófila” escogisteis para el estudio de las ecuaciones en 2° de ESO? p.- Buena pregunta. Lastima que ahora no tenga tiempo para contestarte. Recuerda lo que te dije sobre el material ideal: en aquella época, tuvimos una idea simple (y

muy poco original) a partir de la cual, para fabricar situaciones que den lugar a ecuaciones de primer grado, utilizábamos un tipo de problema general que llamábamos “Pienso en un número”. E.- ¿Y consistía en…? P.- Pienso por ejemplo, en el número 20. Si lo divido entre 4 y le añado 10, hallo 15, es decir, el número que he pensado menos 5. De ahí resulta el enunciado siguiente: Pienso en un número. Si lo divido entre 4 y añado 10, obtengo el mismo número disminuido de 5. ¿Cuál es ese número? Teníamos así una maquinita para fabricar situaciones que se traducen en ecuaciones. Ya te hablaré otro día de cómo se utiliza esta máquina. Ahora me tengo que ir. Hasta la próxima. E.- Muy Bien. Gracias, Profesora.

39

E.- Buenos días Profesora. P.- Buenos días. E.- Quedamos en que hoy me contarías con más calma aquello de “Pienso en un número”. p.- Tienes razón, lo había olvidado. Pues mira, la idea inicial es muy simple. Tomaré un ejemplo. Supón que el profesor pide a los alumnos que contesten a la siguiente pregunta: “pienso en un número”, p.- Tienes razón, lo había olvidado. Pues mira, la idea inicial es muy simple. Tomare un ejemplo. Supón que el profesor pide a los alumnos que contesten a la siguiente pregunta: pienso en un número; si sumo 3 me da 8; ¿en que numero he pensado? En este caso, la respuesta es inmediata: el número es 5. Pero las cosas que se pueden complicar muy deprisa. Pienso en un número; si lo multiplico por 2 y sumo 6 me da 20; ¿en que numero he pensado? E.- Aquí los alumnos tuenen que hacer el calculo al revés. Si a 20 le resto 6 me da dos veces el número; como la resta es 14, el número es 7. P.- Si, exactamente. E.- Bueno. Pero aquí aun no hay ecuaciones. O, mejor dicho, se puede contestar la pregunta sin necesidad de escribir una ecuación e intentar resolverla. P.- De hecho esto es lo que buscamos. E.- Pero entonces no entiendo. El otro día te hice notar que se podía resolver la ecuación de 2800+0,8p=p sin necesidad de escribirla, observando que 2,800 tenia que ser el 20% de P y q P era 5 veces 2,800… P.- ¿Y bien? E.- Pues me dijiste que esto requería unos conocimientos de aritmético que los alumnos no tenían. ¡Y ahora m hablas de una solución que se apoya totalmente en estos conocimientos! P.- Es cierto, pero mantengo lo ficho. Tú m hablaste ese día de una posibilidad que me pareció muy remota porque los alumnos no aprenden ese tipo de técnica. E.- ¿Qué técnica? P.- Fíjate, ante la ecuación de 2.800+0,5x=x, tú dices: 2.800 representan el 50% de x. luego x es dos veces 2.800, o sea 5.600. Al hacer estos cálculos, pones en practica una técnica, una “manera de hacer” determinada. E.- No es verdad a mi parece muy natural. P.- ¡Natural, que palabra más ingenua! Nada es natural, hombre. Ésta es otra de las creencias de las que pronto tendrás que liberarte.

E.- No entiendo nada. P.- Me explicare. Considera una ecuación como… digamos… 2.800+ 3,2x=4x, e intenta resolverla como lo has hecho con la otra, e decir con la misma técnica. E, Aquí no puedo ¡en este caso no funciona! P.- Ajá. Pues tomemos un ejemplo más sencillo. Una ecuación como la de antes, por ejemplo 2.800+0,6x=x. E.- a ver. En este caso tenemos que 2.800 es el 40% de x, luego el 20% de x es 1.400, y es 5 veces 1.400, o sea…7.000. Ha sido un poco más complicado, pero también sale. P.- hasta aquí estamos de acuerdo. La idea es que utilizas es que si x se puede escribir como algo más 0,6x, es que ese algo es 0,4, es decir, el 40% de x. E.- Esa es la idea base. Pero luego hay que pasar al 100% de x para sacar x. P.- Muy bien. Y al hacerlo resuelves la dificultad principal: el hecho que la x este definida implícitamente, como decíamos en el otro día… E.- Si, y llegamos a 0,4x = 2.800, de donde podemos sacar x dividiendo por 0,4. Yo utilizaba tantos por ciento, pero quizá no sea necesario. De 2.800 + 0,6x = x puedo pasar directamente a 2.800 = 0,4x, y ahora x es 2.800 dividido entre 0,4. Muy bien. Pero la verdad, Profesora, no veo porqué hace hincapié en todo esto. P.- Te lo diré enseguida. Peor antes volvamos a la ecuación de partida: 2.800 + 3,2x=4x. E.- Bueno. Pero no veo como desarrollar aquí la idea que hemos utilizado. Necesitaría que a la derecha sólo hubiera un x y no 4… P.- ¡Pues divide entre 4, hombre! ¿Qué encuentras? E.- ¿Dividiendo entre 4? ¡Claro! ¡Que tonto soy! 700+0,8x=x. Ya estamos en el caso anterior. 700 es el 20% de x, y pues x vale 700 dividido por 0,2 es decir, 3.500. P.-Muy bien. Como ves, tu técnica también funciona con esta ecuación... E.- Sí. Claro que aquí sería mas simple restar 3,2x a los dos miembros de la ecuación, porque se llega a lo mismo: 0,8x=2.800 y x= 2.800: 0,8. P.- Pero entonces recurrirías a la técnica habitual de resolución de ecuaciones. ¿No te acuerdas? Es la técnica que los árabes miaban al-jabr. En cambio tu técnica no lo necesita: se divide pero no se resta. E.- Sí que se resta: cuando teníamos 700 + 0,8x = x y decíamos que 700 era 0,2x, estábamos restando 0,8 de 1. Lo hago mentalmente, 1 – 0,8 = 0,2, pero es una resta igualmente.

ENTRAR EN UNA OBRA MATEMÁTICA

40

P.- No vayas tan rápido. Ten en cuenta que, con la técnica usual, sale 4x – 3,2x. En cambio, con tu técnica, restas 0,8 de 1. No hay ninguna x; sólo trabajas con números. E.- Bueno… P.- Pero hay algo más. Cuando dices que haces la resta 1 -08 mentalmente, no es del todo cierto. En realidad no utilizas el algoritmo de la resta que te enseñaron en la escuela. Lo que haces es buscar qué hay que añadir a 0,8 para obtener 1. Digamos que buscas el “complemento” de 0,8 a la unidad. E.- De acuerdo. P.- Pues ahora, si te parece bien, vamos hacer un ejercicio. Consideremos la ecuación 630+4,2x = 7x. Te propongo que la resuelvas primero con la técnica habitual… E.- La que se enseña a los alumnos. P.- Sí. Y después la resultes con tu técnica, que podríamos llamar la “técnica del complemento a la unidad”. ¿Ves por qué? E.- Sí. P.- Pues venga. (El estudiante separa la pizarra en 2 y escribe.) P.- Muy bien. Ahora mira lo que has escrito. Ves que has hecho dos cosas diferentes que además te conducen a dos expresiones distintas para x. E.- ¡Distintas en la forma, pero de hecho equivalentes! P.- Claro. Pero fíjate en los dos casos has hecho un trabajo matemático específico. Alguien podría muy bien ser capaz de hacer el uno y no el otro. De hecho, se trata de dos técnicas diferentes. E.- Creo que empiezo a entender… En una se puede utilizar la noción de tanto por ciento, que permite hacer el complemento a la unidad como dices tu; y en la otra no. P.- Precisamente, lo que yo te quería hacer entender es que, aunque el hecho de utilizar la noción de tanto por ciento te parezca natural, se trata de lago previamente construido, y que seguramente no es natural para los alumnos d los que hablamos. En cambio hacer el pequeño trabajo aritmético que consiste en encontrar un número tal que si lo multiplicamos por 2 y añadimos 4 nos da 14, esto es algo que sí se ha vuelto “natural” para ellos. E.- ¿Podríamos decir que forma parte de su medio matemático?

P.- Sí. Y de algo que podría no formar parte del medio, pero que está allí gracias al trabajo realizado en los cursos anteriores. E.- Ya veo. Pues si me permites, ahora me gustaría volver al principio, cuando se pide a los alumnos que encuentren un número solución de la ecuación 3x + 7 = 25, o algo así. En realidad, ellos no resuelven la ecuación en el sentido habitual de “resolver la ecuación”, es decir, aislando la x y todo eso. Y sin embargo esto es lo que requiere que aprendan. Entonces ¿De que sirve empezar con todo aquello? Parece como si se les levara por una pista falsa… P.- Pues mira, no estoy de acuerdo contigo. En realidad hay dos razones de peso que explican la táctica usada en este caso. La primera es que les ayuda a identificar cierto tipo de problemas: los de tipo “Pienso un numero…”. Supongo que, desde un punto de vista matemático, ves bien a qué me refiero: se busca un número que cumple cierta condición y no se tiene más información sobre el número que la condición que cumple... Lo mejor para que los alumnos identifiquen rápidamente este tipo de problemas es que se encuentren con algún ejemplar, y aun mejor si se resuelve fácilmente. E.- ¿Qué quiere decir? P.- Pues, simplemente un problema para el que disponen previamente de una técnica. Eso es todo. No conocen la técnica habitual –ni, por supuesto, la del complemento a la unidad-, pero sí una técnica local, espontánea y muy limitada. Para identificar un tipo de problemas, no hay nada como explorarlo a través de problemas que uno sabe resolver. ¡Porque un problema resuelto tiene mucha más presencia que un problema que nos sabemos ni cómo abordar! E.-Me lo creo. Y se encontraran con que la técnica espontánea no les permite ir muy lejos. P. Exactamente. Y hay que aprovechar estas limitaciones. El tipo de problema existe, ha resulto ecuaciones cierto número de veces, y de repente se les propone un problema del mismo tipo sobre el que su técnica fracasa. E.- ¡Por ejemplo! P.- Por ejemplo, el profesor dirá: “Pienso en un numero. Cuando lo multiplico por 2 y le añado 14, encuentro lo mismo que cuando lo multiplico por 3 y le añado 6.” Y aquí como puedes suponer, los alumnos no saben qué contestar. O dicen un número al azar. E.-Sí. Pero en realidad la ecuación de la que hablas no es del mismo tipo que las que saben resolver.

630 + 4,2x = 7x 630 + 4,2x = 7x 630 = 7x – 4,2x 90 + 0,6x = x 630 = 2,8x 90 = 0,4x x = 630 : 2,8 x = 90 : 0,4

41

P.-Todo depende de cómo se mire. De hecho, podríamos sostener que se trata de un subtipo diferente. Para nosotros está muy claro; ellos saben resolver ecuaciones de tipo ax + b = c, y aquí se les plantea una ecuación del tipo ax + b = cx + d. E.- Eso es. P.- Pero, llegados a este punto, los alumnos no tienen los medios necesarios para hacer este tipo de distinciones. Precisamente porque aún no han escrito ninguna ecuación: hasta ahora todo el trabajo se hacia oralmente. E.- Un momento, Profesora. P.- ¿Qué pasa? E.- Hablando de oral y escrito… Respecto a la técnica del complemento a la unidad, hemos considerado la ecuación 2.800 + 3,2x = 4x. Y, para que yo pudiera aplicar mi técnica, había que dividir la ecuación entre 4 par reducirse a la ecuación 700 + 0,8x = x. P.- Sí. E.- Pero para hacer esta división, primero hay que haber escrito la ecuación. ¡No se puede realizar oralmente! P.- tienes toda la razón. Este es un caso claro de “gesto técnico” que no se puede llevar a cabo si la ecuación no existe en su forma escrita. Pero te recuerdo que no se les pide esto a los alumnos; la ecuación que mencionamos antes era solo un ejemplo entre nosotros. E.- Vale, vale. Por lo tanto, hasta el momento, los alumnos solo han resuelto ecuaciones del tipo ax + b = c y sólo conocen estas ecuaciones en su forma oral: “pienso en un numero”, etc. P.- Eso es. Todavía no han escrito ninguna ecuación. Los que han hecho hasta ahora no es más que una adivinanza para ellos. Y la manera de encontrar la solución de la adivinanza no es escribiendo, sino con un pequeño calculo oral o, mejor dicho, mental. E.- Estamos de acuerdo. Pero entonces ¿Cómo se pasa a la escritura de las ecuaciones? P.- Buena pregunta… Aunque eso no es lo más importante. E.- ¿Y qué es lo mas importante? P.- El paso del que hablas es en realidad el primer paso de una obra matemática a otra. ¿Entiendes? E.- No... P.- Es el paso de la aritmética al algebra. E.- Pero en aritmética también hay escritura… P.- Sí, pero sólo se escriben cálculos numéricos. Para resolver aritméticamente lo que para nosotros sería la ecuación 2x + 6 = 20, por ejemplo, se utiliza un discurso, del

tipo “si el doble del numero aumentado de 6 es 20, entonces el doble vale 20 menos 6, es decir, 14, y el numero vale la mitad de 14, es decir 7”. El discurso es la parte esencial del trabajo realizado. Y también, claro, el cálculo mental: hay que poder calcular 20 menos 6 y 14 dividido entre 2… En algunos casos, cuando los numero son muy grandes, también se pueden escribir las operaciones, pero estas sub-etapas escritas del trabajo son secundarias, accesorias. E.- Ya veo. P.- Dicho sea de paso, el énfasis que se ponía antaño en el cálculo mental se basaba en parte en esta exigencia de la aritmética: no interrumpir el discurso, es decir, el trabajo matemático, con tareas de cálculo escrito. E.- Sí, sí ya lo entiendo. En aritmética lo importante es el discurso. Y supongo que también dirás que en álgebra la escritura se vuelve imprescindible. P.- Algo así. Mira, te pondré un ejemplo. Volvamos a la ecuación de antes. Resolverla algebraicamente ya no consiste en hacer un discurso, sino en manipular signos escritos sobre un hoja de papel o una pizarra, así (Escribe en la pizarra).

E.- Vale. Ya veo lo que quieres decir. Y supongo que lo que va a hacer el profesor en clase es enseñar a los alumnos a escribir ecuaciones. Si dice: “pienso en un número; cuando lo multiplico por 2 y le añado 14, encuentro lo mismo que cuando lo multiplico por 3 y le añado 6”, entonces los alumnos tendrán que llegar a ser capaces de escribir 2x + 14 = 3x + 6. P.- Eso es… E.- Y entonces supongo que el profesor les dirá: “Ahora hay que poner todas las x en untado y los números en el otro lado del signo =”, etc. P.- No, no, para nada. E.- ¿Cómo que no? P.- Mira, es verdad que se les enseña a escribir ecuaciones. Se trata de una invención extraordinaria dentro de la historia de la humanidad, y me parece muy difícil no decir a los alumnos, de una manera u otra: “Vamos a escribir la adivinanza”. Pero al

2x + 6 = 20 2x = 20 – 6 = 14 x = 14 : 2 = 7

42

mismo tiempo, esta etapa crucial debe haber estado muy preparada… E.- ¿Cómo lo hacíais vosotros? P.- Sería muy largo de contar. Pero te lo intentaré resumir en pocas palabras. Supongamos que los alumnos han estado trabajando la noción de programa de cálculo – de cálculo aritmético, claro-. Por ejemplo, tomar el doble de un numero y añadirle 14, tomar el triple de un numero y añadirle 6, etc. El primer programa de cálculo se escribe 2x + 14 y el segundo 3x + 6. Para x = 2, por ejemplo, el primer programa da 18 y el segundo 12. E.- Vale. P.- A partir de aquí, hay que hallar un numero para el que los dos programas den el mismo resultado, es decir, un numero x tal que 2x+ 14 = 3x+6. E.- Ya. Y ellos saben que esto no vale para cualquier número. P.- Eso mismo. E.- Pero ahora deben aprender a sacar de esta igualdad el valor de x. ¡Es lo que yo decía! P.- Cierto. Ese es el objetivo. Pero las cosas no resultan ni tan rápidas ni tan fáciles como parecía. E.- Profesora, ¿Puedo hacer un comentario? P.- por supuesto. E.- Antes hemos hablado de la técnica habitual, la que se suele enseñar a los alumnos. Y después examinamos mi técnica, la que me había inventado. P.- ¿Y bien? E.- Pues sigo pensando que mi técnica es más inteligente que la otra, y no lo digo porque sea mía. P.- explícate. E.- Con mi técnica hay que pensar, en cambio con la técnica habitual se hacen las cosas mecánicamente, aplicando una receta. P.- No obstante, cuando te pedí que resolvieras la ecuación 2.800 + 3,2x =4x, me pareció que te quedabas en blanco, cuando en realidad resolver esta ecuación con la técnica habitual es una nadería. ¡O sea que prefieres lo difícil o lo fácil, vaya! E incluso cuando no lo sabes hacer… A ver ¿Tú que harías para resolver una ecuación del tipo… 2(x-10) = 16 – x? E.- ¡Hombre claro! ¡Con ésta no se puede! Pero… P.- Tu técnica en realidad tiene un alcance muy limitado. Y si no te gustan las recetas, ¡allá tú! Eres libre de resolver cada día un problema nuevo para ir a comprar el periódico. Pero la mayoría de la gente preferimos que las tareas no resulten problemáticas. ¡Y desde luego los

matemáticos no trabajan para alimentar perversiones como las tuyas! E.- No, no, Profesora. Lo que yo quería decir es que, al final, se acabará dando a los alumnos un algoritmo que éstos se limitaran a aplicar, sin ir más allá. P.- Pues mira, no es verdad. Es lo que te decía antes. Seamos claros. Hay un aspecto muy importante que los alumnos tienen que descubrir. Y ese aspecto es, precisamente, que, para resolver ecuaciones de primer grado, existe una receta. Esto es lo que hay que trabajar: el descubrimiento de la receta, el hecho de que existe una manera determinada de manipular las ecuaciones escritas para hallar el valor de la x. Tú sabes muy bien que, en matemáticas, no siempre existen este tipo de recetas. Y mucho menos en la vida cotidiana. Además, cuando existen, sería un error querer prescindir de ellas. E.- ¿Por qué hablas de recetas y no de algoritmos? P.- ¡Uy! ¡Ese es otro problema! O quizás no tanto… La palabra “algoritmo” se utilizaba antaño en un sentido mucho más amplio que el de receta. Históricamente, “algoritmo” designaba cualquier cálculo con cifras. Era, si quieres, la obra aritmética de la que hablábamos. E.- ¿Por oposición a qué? P.- Al cálculo con fichas o con un ábaco. En fin, el cálculo sin las cifras indo árabes que todos utilizamos en la actualidad. Pero será mejor no entrar en ese tema. Puedes consultar cualquier libro de historia de las matemáticas si te interesa ahondar en la cuestión. E.- Muy bien. ¿Pero en qué quedamos respecto a la palabra “algoritmo”? P.- Pues mira, del mismo modo que se puede hablar del algoritmo aritmético, también se puede hablar del algoritmo algebraico, designando con ello al conjunto de lo que se puede hacer con el lenguaje algebraico elemental. También se podría hablar del algoritmo vectorial. Como ves, no se trata tanto de un algoritmo en el sentido de receta, sino de sistema general de cálculo. E.- Sí. La distinción era pues una pura cuestión de vocabulario. P.- No del todo. Nunca nada es sólo una cuestión de vocabulario. Volvamos a las ecuaciones que los alumnos tiene que aprender a plantear: 2x + 14 = 3x + 6,2(x + 10) = 16 – x, etc. La idea principal con la que se trabaja es que se puede hallar el valor de la x manipulando estas igualdades.

43

E.- ¿”Manipular” las igualdades significa utilizar el algoritmo algebraico? P.-Eso es. Sólo que no se explica a los alumnos la manera exacta en que se puede –o se debe- manipularlas. Se trata precisamente de que se descubran las manipulaciones más eficaces., es decir, la técnica habitual. Lo que se hace es, por decirlo de alguna manera, explorar con ellos el algoritmo algebraico. E.- ¿Y en qué consiste concretamente es exploración? P.- Supongo que a ti te costará verlo al principio, porque la técnica habitual te es demasiado familiar como para que adivines, por tanteos, cómo se puede reconstruir. Te daré un ejemplo. E.- Vale. P.- Tomemos la ecuación 2x + 14 = 3x + 6. Tú ves en enseguida que x = 14 – 6. Muy bien. Y ése es el camino que los alumnos deberán acabar por descubrir, porque es el más corto y seguro para llegar al resultado. E. Ciertamente. P.- Sólo que, para llegar hasta ahí, hay que persuadirse primero de que se puede manipular las x del mismo modo que se manipulan los números. O sea, en este caso, que se puede restar 2x de los dos miembros de la ecuación. E.- ¿Y acaso esto no es evidente? P.- No. Supón por un instante que a un alumno se le ocurre hacer lo siguiente: escribe el miembro de la ecuación como 2x + 6 + 8, y el segundo miembro como 2x + 6+ x. E.- ¿Tú crees que a alguien se le ocurriría hacer eso? P.- Sí, a estos alumnos sí, porque antes han estado trabajando mucho con programas de cálculo. Y han escrito decenas de veces programas de cálculo equivalentes bajo formas distintas; en cambio, nunca han intentado modificar los dos miembros de una igualdad literal restando la x. E.- ya veo. P.- Supongamos entonces que el alumno escribe: 2x + 6+8 = 2x + 6 +x. Llegado a este punto, puede que haga el siguiente razonamiento, similar al que hacía con las primeras “ecuaciones-adivinanzas”: “añadir 8 a 2x + 6 es lo mismo que añadirle x. Luego x vale 8”. E.- ¡Se necesita mucha imaginación! P.- Sí, por lo menos cuando se hace por primera vez. Consideremos ahora la ecuación

2x + 15 = 4x + 1. La segunda vez se ve más rápido que se puede escribir

2x + 1 + 14 = 2x + 1 + 2x, y pues que 2x = 14. El doble del número vale 14, luego el número es 7. E.- Y volvemos así a un trabajo de tipo aritmético. P.- eso es. Por que en esta etapa del estudio, aún no hemos entrado del todo en la obra algebraica, quiero decir en el algoritmo algebraico. Falta por descubrir que uno puede entrar todavía más en ella. Y que merece la pena. Es importante descubrir que no es necesario buscar cada vez un “truquillo” nuevo, que hay manipulaciones simples que se repiten y conducen de manera rápida y segura al resultado final. ¡Descubrir que existe una receta, vaya! E.- He aquí la base del trabajo de entrada en la obra algebraica. P.- Exacto. E.- Si te parece, me gustaría comprobar que lo he entendido todo bien. Por ejemplo, tomemos la última ecuación, 2x + 14 = 3x + 6. Supusimos que a alguien se le ocurriría escribir (2x + 6) + 8 = (2x + 6) + x, y que llegaría a la conclusión de que x = 8. P.- Sí. Te puede parecer una idea un tanto barroca, pero lo normal es que, cuando se aborda un tipo de problema nuevo, la técnica habitual no sea lo primero que salga. Al principio siempre hay muchos ensayos, desvíos, descubrimientos curiosos. ¡Y eso que sólo hemos tomado un ejemplo! E.- Sí, sí vale. Ya lo he entendido. Ahora lo que quiero es intentar imaginar lo que viene después. Supongamos que, en la clase, se parte efectivamente de esa manipulación después de haber sido propuesta por un alumno. Resulta posible imaginar que, al repetir este trabajo, los alumnos se darán cuenta que no es necesario ir tan lejos. Basta con aislar una x de cada miembro, x + (x + 14) = (2x + 6) + x, para deducir que x + 14 = 2x + 6, y luego, del mismo modo, que 14 = x + 6. Y entonces se puede dar cuento de que esto equivale a restar 2x a los dos miembros de la ecuación. P.- Eso es. Aunque, claro, no todo va tan rápido como tú lo cuentas. Y hay que tener en cuenta, además, que el hecho de que sea mejor restar de golpe 2x a cada miembro tiene que aparecer como una conquista de los alumnos… E.- Como un descubrimiento. P.- Sí. Y a partir de ahí tendrán que renunciar a los pequeños placeres de encontrar, en cada caso, un truquillo específico para cada ecuación particular. ¡Un pequeño placer al que, por cierto, el otro día tu mismo no

44

querías renunciar, en nombre de la inteligencia o de no sé qué! E.- Vale, vale. Porque entonces no tuve cuenta que también existe el placer de ver emerger una técnica general, válida para muchos casos. P.- ¡Veo que sientas la cabeza! En efecto, la repetición también es una fuente de placer. Además, no olvides que una técnica no se construye en un solo día. Habrá de que adaptarla constantemente a nuevos subtipos de ecuaciones, ampliar su alcance y lograr que se convierta en una técnica cada vez mas general. E.- ¿Más general? P.- Claro, para que permita resolver problemas como: un número es tal que si le restamos 7 a su mitad obtenemos lo mismo que si le sumamos 2 a su onceava parte… E.- O sea, x -7 = x +2. 2 11 P.- Si. Como ves, en este caso la técnica que se ha construido en clase también funciona. E.- Ya, pero eso no debe de ser tan evidente para los alumnos. P.-Y aunque lo fuera, hay que enriquecer la técnica con un gesto nuevo, para que permita resolver este tipo de ecuación de manera eficaz y fiable. E.-Ya veo: hay que quitar los denominadores, y después ya estamos en el caso anterior. Lo empiezo a entender. Si. P.- Perfecto. Pues aquí tienes el núcleo del proceso. El resto, que no por ello es menos importante, te lo tendrás que imaginar…Ya es tarde y lo tenemos que dejar aquí. Espero que con esto empieces a entender como funcionan las “reconstrucciones escolares” de las obras matemáticas. E.-No sé….En todo caso si sé algo más sobre la obra algebraica. Muchas gracias Profesora y hasta la próxima.

45

* En el artículo anterior** ha sido planteada la diversidad de problemas que presenta Vergnaud a partir de la distinción realizada entre medidas, estados relativos y transformaciones. Se analizaron las distintas dificultades que presentan dichos problemas para los niños, a pesar de la equivalencia desde el punto de vista matemático de los mismos. En el análisis de las clases de problemas hemos incluido los posibles procedimientos y errores de los niños, estos últimos vinculados con el reconocimiento de la operación involucrada. Abordemos ahora otros aspectos que hacen variar los problemas para el punto de vista d los niños y los posibles procedimientos a utilizar para su resolución.

LOS PROBLEMAS PUEDEN SER MÁS FÁCILES O MÁS DIFÍCILES

Existen cierto tipo de variables (Brousseau, 1987); Vergnaud, 1986,1996, etc.) en las tareas presentadas a los alumnos, cuya elección influye en las estrategias de resolución que puedan usar los niños y en el grado de complejidad conceptual que involucran. Estas variables pueden ser comandadas por los docentes intencionalmente con el objetivo de provocar cambios en las estrategias de resolución. Ha sido analizada, para ciertos problemas que presentan mayor dificultad para los alumnos, la estrategia didáctica de presentar inicialmente situaciones con números pequeños para que los niños puedan desplegar diferentes estrategias de resolución, controlar las acciones que realizan, despreocuparse de los cálculos y centrarse en los problemas. Un ejemplo de los problemas que los niños pueden resolver si se trata de números muy pequeños es el siguiente:

* Tomando de las operaciones en el primer ciclo. Aportes para el trabajo en aula, Buenos Aires-Mexico, Ediciones Novedades Educativas, 1999, pp. 23-34. ** Se hace referencia al capitulo inmediatamente anterior de la obra citada.

Andrés tenía 7 figuritas antes de jugar. Después de jugar tenia 11 figuritas ¿Cuantas gano? En este caso, los niños pueden resolver este problema contando a partir de 7. Posiblemente puedan decir 8, 9, 10 y 11. Gano 4. Es decir que a través de un procedimiento vinculado con el conteo pueden resolver el problema. Otros niños se preguntaran cuanto hay que agregarle a 7 para llegar a 11 y podrán apelar al resultado memorizado de 7 + 4 + 11, encontrando el 4 como solución al problema, o bien pensar 7 + 3 = 10 y 10 +1 = 11; 3 + 1 = 4. Pero seguramente, si se presenta este mismo problema con número como 46 y 189, el procedimiento de conteo con una diferencia tan grande los lleve a obtener un resultado que no sea correcto. ¿Porque? Es posible que muchos alumnos tengan dificultades para controlar simultáneamente el conteo a partir de 46 y a la vez la cantidad de números que van nombrando. Por otra parte, no dispone en memoria de ninguna relación numérica que vincule dichos números, como si podrían tenerla para 46 y 146. Puede suceder que algunos niños intenten llegar a 189 a partir de 46 por medio de sumas sucesivas. Por ejemplo, que agreguen 10 sucesivamente al 46 y cuenten: 56, 66, etc. Para ello deberán simultáneamente contar cuantos dieses van agregando ya cuanto van llegando. Tanto el problema que tiene numero pequeños como el que tiene números grandes pertenecen a la categoría de problemas de búsqueda de una transformación positiva a partir del conocimiento del estado inicial y del estado final. Sin embargo, para resolver el segundo problema dado el tamaño de los números se torna casi necesario reconocer que se resuelve por medio de una resta. Partir de situaciones con números pequeños permite a los alumnos desplegar procedimientos no expertos. Aumentar su tamaño permite al docente provocar en los niños la necesidad de reconocer y utilizar una operación. Analicemos el siguiente problema:

CAMBIAN LOS PROBLEMAS, CAMBIAN LOS PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN*

Claudia Broitman

46

Andrés esta leyendo un libro que tiene 25 paginas. Si va por la página 20, ¿cuantas le faltan leer? Niños de primero o de segundo año frente a dicho problema posiblemente utilicen el conteo (21, 22, 23, 24 y 25) o un cálculo memorizado (20+ 5 = 25). En el articulo anterior se ha planteado la importancia d la fase colectiva de trabajo para instalar nuevos procedimientos y resaltar las conclusiones a las que se arriba luego del debate, como así también la importancia de la reflexión posterior a la resolución del problema. En este caso será necesario abordar en el aula la diversidad de formas de averiguar la respuesta del problema y, entre otras, resaltar que también se podía resolver con una resta. Luego el docente podrá aumentar el tamaño de los números y plantear el problema con numero no redondos. El aumento del tamaño de los números tiene el objetivo de provocar el abandono de los procedimientos de conteo; y el que los números que se presenten no sean redondos se dirige a lograr que los alumnos no le resulten suficientes con ciertas operaciones memorizadas. Para resolverlo, los niños deberán evocar el análisis posterior a la resolución del problema, es decir, apelar al conocimiento de que este tipo de problemas también se podía resolver restando. Para poder invertir lo aprendido, en este nuevo problema los alumnos, anteriormente, deberán haber podido realizar un cierto recorrido que les permita ahora confiar en la operación. Es decir, que el tamaño de los números y su redondez pueden variarse para posibilitar la aparición u obstaculización de ciertos procedimientos. En algunos casos, los números pequeños posibilitaran que los niños puedan resolver problemas complejos. En otros casos, posteriormente al abordaje de una clase de problemas en el aula, aumentar el tamaño de los números permitirá inhibir la utilización de aquellos mismos procedimientos que en momento se intento que los alumnos desplegaran para provocar el avance hacia otros más económicos. A estas variables que producen modificaciones en los procedimientos de loa niños se les llama variables didácticas (Brousseau, 1987). El concepto de variables que se pueden comandar intencionalmente y tener en cuenta

para comprender la complejidad de un problema son las siguientes. Los números en juego Un aspecto a considerar es el rango de números involucrados en la situación. Los números pueden ser grandes o pequeños; evidentemente, los últimos permiten a los niños un mayor grado de control de las acciones que realizan. También los números pequeños permiten apoyarse en procedimientos ligados al conteo. La proximidad de los números involucrados es otro aspecto a considerar. Por ejemplo, en el siguiente problema: Estoy leyendo un libro que tiene 132 paginas y voy por la pagina 129 ¿Cuántas me faltan por leer? En este caso, los números no son tan pequeños, pero la corta distancia entre ambos favorece también los procedimientos de conteo (130, 131 y 132). Para evaluar el posible grado de dificultad que puede presentar a los niños una situación, es preciso considerar también si los números son redondos o de manejo muy cotidiano (10, 100, 250, 12, etc.) Todos sabemos que es más fácil operar con ciertos números grandes redondos que con números más pequeños. Por ejemplo, es más sencillo: Estoy leyendo un libro que tiene 250 paginas y voy por la pagina 100. ¿Cuántas me faltan leer? Que el mismo problema con los números 64 y 17. El análisis de esta variable permite anticipar los procedimientos a utilizar por los niños y el grado de control de los cálculos que realizan. Los números pequeños y los números redondos favorecen el uso de procedimientos de conteo, de cálculos mentales sencillos o bien de relaciones memorizadas. El uso de ciertos recursos memorizados permite a los niños despreocuparse de los cálculos y centrarse mejor en el desafío de la resolución del problema. Permite una mayor facilidad para la estimación previa de los resultados y el control posterior. Es importante analizar esta variable en el marco de una secuencia de trabajo con un

47

cierto tipo de problemas y la intencionalidad de cada clase. ¿Se trata de los primeros problemas que los niños van a resolver de este tipo? ¿Se pretende que reconozcan la operación porque esto ha sido objeto de trabajo durante algunas clases? ¿Se darán problemas similares con diferentes números a distintos alumnos según los procedimientos que hasta ese momento utilizaron?

LOS TIPOS DE MAGNITUDES El papel de los contenidos evocados también es importante al analizar un problema. Para los niños no son equivalentes problemas que involucren figuritas, litros, monedas, centavos, animales o años. Los problemas pueden referirse a magnitudes continuas o discretas. La magnitudes discretas se refieren a aquellas en las que es posible contar (figuritas, animales, etc.). Las magnitudes continuas a aquellas en las que es necesario medir (tiempo, capacidad, pero, etc.). Operar con magnitudes discretas permite una representación más inmediata de la situación (Documento número 4, Matemática, GCBA, 1997). Dos problemas aparentemente iguales no son para los niños. Por ejemplo: Me dijeron que en esta granja hay 47 animales. Si ya vi 18, ¿cuantos me faltan ver aún? Un señor se va de viaje por 47 días. Si ya pasaron 18, ¿Cuántos le faltan aún para volver? Evidentemente, el primero le es más sencillo. Especialmente en los primeros años, en los que aún muchas veces recurren a representaciones graficas para resolver un problema. ¿Cómo representar los días? ¿El de hoy cómo se cuenta? ¿Vuelve de mañana o de noche?, etc. El análisis de las magnitudes involucradas permite, por lo tanto, realizar un estudio más completo en términos didácticos de las situaciones planteadas a los alumnos. La variable numérica y estas otras aparecen combinadas en cualquier situación. Se trata de combinarlas según el objetivo de la clase. El orden de presentación de las informaciones

Las informaciones pertinentes para la solución de un problema pueden estar dadas de diferentes maneras: en forma ordenada conforme al desarrollo temporal, en orden inverso a cómo se produjeron los hechos, o bien desordenadas. Por ejemplo, estos dos problemas: Ana tenía una caja con varios alfajores. Le regalo 8 a Camila. Se quedó con 10. La caja tenía… alfajores. Calcula cuántos alfajores tenía Ana si le regaló a su hermana 8 y le quedaron 10. Estas situaciones no son equivalentes para los niños, aunque ambas pertenezcan a una misma categoría (cálculo del estado inicial dado el estado final y la transformación negativa), se resuelvan con la misma operación (8 + 10 = 18) e involucren las mismas magnitudes (alfajores). Especialmente en los primeros años, los niños experimentan más dificultades en la resolución del segundo problema. Este no presenta un orden cronológico de la información, a diferencia del primero, donde se anuncia que tenía una cierta cantidad de alfajores, la cual, a pesar de ser desconocida, es organizadora para el alumno. Es una marca temporal (Brissiaud, 1984). Quien empieza a leer el enunciado ya sabe que tenia algo antes, y que posiblemente debe averiguar cuántos. Es importante tener en cuenta los aspectos vinculados a cómo se organizan las informaciones verbales, dónde está la pregunta, si es una pregunta explícita o es un lugar para llenar como el primer problema, etc. Se han observado cambios importantes en niños pequeños en la posibilidad de resolver los problemas frente a modificaciones muy pequeñas del enunciado. El análisis puede permitir comprender la dificultad que tienen ciertos problemas para los niños y abordarlos en la clase como aspectos fundamentales de la comprensión de enunciados.

LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN El mismo problema matemático puede estar representado de diferentes formas ( Vergnaud, 1991). Quien dispone de un cierto conocimiento matemático reconoce un mismo problema de dos situaciones con diferentes

48

formas de represntacion, pero esto no siempre sucede con los niños. Algunas situaciones están representadas en lenguaje natural, otras en un diagrama o esquema, por medio de un dibujo, otras mediante una escritura algebraica. Cada una de ellas exige desafíos diferentes. Los problemas pertenecientes a la misma categoría, con los mismos números y magnitudes, pueden ser distintos entonces para los niños. Es preciso incluir en el análisis de un problema las formas de representación involucradas. Este aspecto está vinculado a la lectura y al tratamiento de la información. Comparemos por ejemplo estos dos problemas: 1. Tengo que forrar todos los libros y ya forre

8. ¿Cuántos libros me faltan forrar? 2. Completar la siguiente tabla Estos dos problemas se resuelven con el mismo cálculo, tienen los mismos números, las mismas magnitudes. Sin embargo, el segundo es de mucha mayor dificultad, pues la forma de representación utilizada es más abstracta y formalizada. Comprender qué es lo que solicita y averiguar e interpretar la información provista es, para los niños, más complejo que en el primer caso.

EL TIPO DE REALIDAD A QUE SE HACE REFERENCIA

Es evidente que un problema planteado a los niños sobre objetos totalmente desconocidos para ellos genera un obstáculo para la comprensión del enunciado. Según Brissiaud (1984), frente a la lectura de un problema deben responder a dos preguntas: ¿de qué habla? Y ¿qué debo hacer? Para tratar la primera le es preciso utilizar conocimientos generales sobre el mundo. Si el alumno lee el enunciado de un problema sobre un contexto desconocido, no podrá interpretar siquiera cuál es el problema, es necesario tener ciertos conocimientos que

permitan estimar un respuesta como plausible. La preocupación por producir contextos conocidos y significativos para los problemas matemáticos en una clase llevó a considerar que éstos se debían referir a la vida cotidiana o al mundo circundante de los alumnos, siendo así interesante para ellos. Se hablaba de problemas concretos, problemas de la realidad de los niños, temas de su interés. Esta concepción postulada por corrientes de la Escuela Nueva y tomadas por la Reforma de la Matemática Moderna, se baso principalmente en la valoración de los intereses de los alumnos. Ahora bien, considerar como interés de los alumnos a su vida cotidiana tiene algunos riesgos. En principio, deja afuera de la enseñanza problemas planteados en términos puramente matemáticos, por ejemplo: Estoy en el número 36 y quiero llegar al 78, ¿Cuántos me faltan? O bien ¿Cuántos números hay entre el 26 y el 95? Son llamados también problemas internos y resultan bien interesantes para los alumnos por el desafío intelectual que les provoca. Brissiaud (1984) describió algunas dificultades que aparecen en las producciones de los niños con los problemas de un mundo muy conocido. Por ejemplo, qué sucede cuando una maestra propone a sus alumnos de segundo año el siguiente problema: En un lugar de alquiler de caballos, hay 5 ponys en la caballeriza verde y 12 ponys en la caballeriza naranja. 19 chicos llegan juntos para alquilar. ¿Pueden montar todos en el mismo momento? Un niño contesta que no pueden porque los niños son muy pequeños para montar solos, otro niño contesta que no pueden montar los 19 al mismo tiempo porque es peligroso, se pueden caer. El autor muestra que la referencia a una experiencia vivida, lejos de ayudarlos a resolver el problema, los aleja de la situación plateada en él. Sus conocimientos sobre el peligro de muchos niños simultáneamente no les permitan considerar el problema como una situación hipotética. Los niños, para resolver este problema, deben ignorar de algún modo su experiencia personal y ubicarse ante él matemáticamente.

Libros libros forrados libros sin forrar 30 8 …………

49

Otros aspectos que influyen en la complejidad de los problemas La pertinencia de la información presentada para responder a la pregunta Los problemas pueden incluir informaciones no necesarias para su resolución en cuyo caso la selección de los datos es parte de la tarea de resolver el problema. Tradicionalmente, los problemas que se les planteaban a los niños en la escuela eran todos similares, con los datos justos, para aplicar una operación aprendida. Evidentemente es diferente resolver un problema con los datos justos que tener que seleccionar los necesarios según la pregunta planteada. La intención de incluir en la escuela problemas con datos de más es que los niños tengan que seleccionar cual es la información pertinente para la pregunta planteada. Podemos comparar estos dos problemas Analia tiene 18 pesos y quiere comprarse un juego que cuesta $13. ¿Cuánto le sobra? Analia es una nena que recibió para su cumpleaños $18 de regalo. Su tía le dio un billete de $10, un billete de $5 y tres monedas de $1. Ella quiere comprarse un juego para cuatro jugadores que cuesta $13. ¿Cuánto le sobra? En el segundo planteo, el niño tiene que realizar una lectura de la información provista en el enunciado, determinar cuales son los datos pertinentes y cuales necesarios. Posiblemente muchos utilicen los datos innecesarios y esto deba ser abordado en la clase como tema de trabajo. En este sentido, dicho aspecto otorga mayor o menor complejidad a un problema y puede influir en el tipo de respuestas que aparezcan. Su inclusión en el aula permite ampliar el tipo de decisiones que los niños tienen que tomar en el momento de resolver un problema. Además de las variables recientemente analizadas, se han investigado también cómo influyen otros aspectos sobre el punto de vista infantil en un problema. Algunas otras variables estudiadas (De corte y Verschaffel, 1985, 1987, citados en Farol, 1990) son: el vocabulario, la longitud del enunciado, el lugar de la pregunta, el tiempo verbal utilizando (Bovet, 1978, mencionado en Brun, 1990), etc.

Se han dado diversos criterios para examinar los problemas de suma y resta teniendo en cuenta, por un lado, el aspecto semántico de los problemas, es decir, el significado de cada uno de los números en juego (en el primer artículo) y por otro lado algunas variables que siempre están presentes en un problema. Estas son: el tamaño de los números, el tipo de magnitud, la forma de presentar y organizar las informaciones y las preguntas. Todas ellas generan mayores dificultades en los niños en la resolución de un problema. Sin embargo, comprender la cantidad de factores que influyen en la complejidad no significa que debamos evitarla, proponiendo a los niños problemas siempre con los datos justos, con números pequeños y redondos, con la información ordenada. Se trata, por el contrario, de plantear diversos tipos de enunciados. Manejando las variables de tal manera que se gradúen o compensen las dificultades entre ellas. Además, es conveniente establecer secuencias de problemas que provoquen avances en los conocimientos de los niños. Al incrementar la variedad de los componentes o las relaciones involucradas en un problema asumimos el riesgo de que los niños tengan dificultades en su resolución. Pero es un riesgo que vale la pena correr. Desde esta modalidad de trabajo se espera que los niños lleguen a diferentes respuestas y obtenidas por diferentes caminos. El trabajo posterior a la resolución de los problemas será el que permita una fase de reflexión y análisis sobre los mismos. El papel del docente cobra sentido justamente con aquellos problemas en los que aparece una variedad de respuestas y una variedad de procedimientos. Este análisis permite diversificar el tipo de problemas que suma y resta a ser planteados a nuestros alumnos de primero, segundo y tercer año y favorece la interpretación del origen de algunas dificultades que experimentan los frente a ciertos problemas. (Es frecuente que los maestros piense: “Este problema hoy a los chicos no les salió y era igual que el que habíamos hecho la semana pasada”. Es posible que los problemas fueran muy similares, equivalentes para el docente, pero no para el punto de vista de los niños). Procedimientos de resolución para los problemas de suma y resta

50

Se ha señalado que muchos niños están en condiciones de resolver algunos de los problemas más complejos si el tamaño de los números les permite utilizar diferentes estrategias de resolución. Hay estudios acerca de la diversidad de procedimientos que utilizan los niños (Farol, 1990). En las clases, estos procedimientos pueden ser objetos de análisis y de discusión y es importante aclarar que no son niveles que los niños deban atravesar. Por el contrario, los mismos niños utilizan uno u otro según el problema. Se ha mostrado que existe una fuerte correlación entre el tipo de problema y el procedimiento que la mayoría de los niños utiliza. Anticipar los procedimientos posibles exige un análisis del problema. De tal modo, no es posible plantear procedimientos en forma general para todos los problemas de suma y resta. Es un trabajo a realizar frente a cada uno, pues, como hemos intentado mostrar, influyen numerosos factores. Por otra parte, es imposible anticipar los procedimientos que utilizaran los niños sin saber cuáles son aquellos conocimientos de los cuales disponen. Por ejemplo, en un problema puede ser un procedimiento apelar a la suma memorizada de 5 + 5 = 10. Obviamente, esto es posible en un grupo de niños que dispone de dicho conocimiento. De todos modos, se han estudiado algunos tipos de procedimientos que suelen utilizar los niños y que –ya hechas las aclaraciones acerca de los límites de generalidad- creemos útil compartir. En esta enumeración se incluye procedimientos no algorítmicos para resolver problemas de suma y de resta. La construcción del conocimiento del campo de problemas sobre la suma y la resta se hacen simultáneamente con la construcción de las estrategias de cálculo. Los niños son capaces de resolver gran cantidad de problemas de suma y resta sin conocer la cuenta de sumar o de restar. En otros casos, aunque conozcan las cuentas, utilizan otros procedimientos, porque no reconocen cuál es la operación que resuelve el problema, o bien porque en ocasiones es más sencillo recurrir a otros caminos. Algunos procedimientos para las sumas son:

a) Reunir físicamente las colecciones y contar los elementos a partir de uno.

b) Representar las colecciones con ayuda de los dedos, gráficamente o con símbolos (palitos, por ejemplo) y luego contar el total. Hay una imitación o simulación de la situación descrita.

c) Tanto para el procedimiento a) como para el b) es posible contar a partir del primer cardinal (en este caso es realiza un sobre conteo).

d) Sumar, es decir, realizar una recuperación directa de resultados ya conocidos (por ejemplo, disponer directamente que 5 + 5 = 10) o bien apoyarse en un resultado conocido para averiguar uno desconocido (por ejemplo, para 6 + 5 pensar en 5 + 5 = 10 y 10 + 1 = 11).

Para las restas: a) Separar físicamente. A partir del conjunto

mayor contar y b) separar los elementos de la colección

menor. c) Descontar de uno en uno a partir del

número mayor. d) Agregar. Partir del número menor e ir

contando de uno en uno hasta llegar al número mayor. Este procedimiento implica simultáneamente a partir del menor número y a la vez controlar cuántos se van agregando.

e) Suma. Puede ser recuperar en memoria un suma o bien tantear con números e ir probando si al sumar se obtiene el mayor. Puede ser una suma única (por ejemplo, para encontrar la diferencia entre 35 y 50 encontrar el 15 directamente) o bien ir haciendo sumas sucesivas y controlar simultáneamente cuánto se va sumando y cuánto todavía falta (por ejemplo, para encontrar la diferencia entre 35 y 97 pensar: 45 –agregué 10-; 55 –agregué 20-; 65 –agregué 30- etc.).

f) Restar. Recuperación directa en memoria de restas con resultados conocidos (por ejemplo, recordar que 10 -2 es 8), o bien apoyarse en una resta conocida para averiguar un desconocida (por ejemplo, para hacer 25 – 11 pensar en 25 – 10 = 15 y 15 – 1 = 14).

51

LA DIFÍCIL TAREA DE PROVOCAR

AVANCES Luego de la fase de resolución individual o por parejas de los problemas, el docente propone una fase de trabajo colectiva. Su intervención estará dirigida, en primer lugar, a la comunicación de procedimientos. Se trata de que los niños tomen conciencia de la diversidad de procedimientos utilizados y de que posteriormente puedan hacerlos evolucionar. No se trata de enseñar los procedimientos más avanzados, sino de generar un espacio de comparación y análisis de los mismos que les permita a los niños utilizar otra estrategia más económica en una nueva situación. Se ha hecho referencia, en la clasificación de problemas del primer artículo, a algunos de gran complejidad para los niños. En dichos problemas es esperable que la mayoría utilice los procedimientos más primitivos. Sin embrago, el trabajo en el aula puede estar dirigido al reconocimiento de un cálculo posible: “este problema también se podía resolver con resta”, por ejemplo. El trabajo en el aula sobre los procedimientos de resolución presenta un gran desafió para el docente; debe favorecer la diversidad y por la otra provocar evoluciones. Se trata de un proceso en que es necesario gestar condiciones de trabajo en la clase propicias tanto para la creación o elección personal de estrategias, como para que los niños abandonen procedimientos construidos y se apropien de nuevos recursos. La construcción de nuevos sentidos de las operaciones es una tarea progresiva y colectiva y la apropiación individual no será inmediata ni el mismo momento para todos los niños. Como suele suceder al analizar cualquier objeto de estudio matemático, se abre con respecto a la enseñanza de la suma y la resta una diversidad de aspectos y relaciones que sugieren un aprendizaje a largo plazo. Parece que no hay un modo sencillo ni breve de abordar un objeto de estudio complejo. ORGANIZACIÓN DE LAS INTERACCIONES

DE LOS ALUMNOS ENTRE SÍ Y CON EL MAESTRO8

8 Tomando de C. Parra, I. Saiz y p: Sadovsky, (1994) “Matemáticas y su enseñanza”, Documento curricular P.T.F.D.

C. Parra y P. Sandovsky Un aspecto central en la enseñanza que propugnamos está constituido por la organización de las interacciones de los alumnos entre sí y con el maestro. En un plano, la naturaleza y el sentido de esta interacción están contenidos en una concepción educativa general y son (o deberían ser) compartidos por los enfoques de las diversas áreas. En otro plano, para que cobren pleno sentido, deben articularse específicamente en área y en función de contenidos determinados. Hay dos textos de Guy Brousseau muy elocuentes en este sentido:

Saber matemática no es sólo aprender las definiciones y los teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y aplicarlos; sabemos bien que hacer matemática implica que no se ocupe de los problemas. No hacemos matemática sino cuando nos ocupamos de problemas, pero a veces se olvida que resolver un problema no es más que una parte del trabajo; encontrar las buenas preguntas es tan importante como encontrar las soluciones. Una reproducción por parte del alumno de una actividad científica exigiría que actúe, que formule, que pruebe, que construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que las intercambie con otras, que reconozca aquellas que son conformes a la cultura, que come aquellas que son útiles, etc.9 No se trata sólo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera a los fundamentos de una cultura científica: las matemáticas en este nivel [se refiere a la escolaridad obligatoria] son el primer dominio -y el más importante- en que los niños pueden aprender los rudimentos de la gestión individual y social de la verdad. Aprenden en él –o deberían aprender en él- no sólo los fundamentos de su actividad cognitiva, sino también las reglas sociales del debate y de la toma de decisiones pertinentes: como convencer respetando al interlocutor; cómo dejarse convencer contra su deseo o interés; cómo renunciar a la autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma, para compartir lo que será un

9 Guy Brusseau (1986), Fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática, traducción y edición, Córdoba, IMAF, 1993.

¿QUÉ HACER FRENTE A LA DIVERSIDAD DE PROCEDIMIENTOS?

52

verdad común… Soy de los piensan que la educación matemática, y en particular la educación matemática de la que acabo de hablar, es necesario para la cultura de una sociedad que quiere ser una democracia. La enseñanza de la matemática no tiene monopolio ni del pensamiento racional ni de lógica ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz.10

El significado de los conocimientos que adquieren los alumnos proviene también del carácter que adopten las actividades en las que se los produce. Resulta sustancial provocar la reflexión de los alumnos sobre sus producciones y conocimientos y, para ello, la herramienta principal es la organización de actividades de discusión, de confrontación, en las que hay que comunicar, probar, demostrar, etc., actividades que implican el trabajo en pequeños grupos, o entre grupos, o en la clase total ordenando y estimulando la participación en función de finalidades bien establecidas y claras para todos. Sería erróneo creer que todo el conocimiento que se trata en las clases requiere de organizaciones y actividades como las mencionadas. Por el contrario el docente debe seleccionar aquellas nociones, conceptos, técnicas, etc. Que por su importancia, complejidad y heterogeneidad de concepciones con las que se vincula, merecen un tratamiento como el que se sugiere.

Algunas pueden estar dadas directamente por el enseñante o por la lectura de manual. El docente debe definir una estrategia para la organización del material que va enseñar, para la discusión de los problemas y el aporte directo, y definir una estrategia de adaptación a las reacciones de la clase para una determinada organización.11

Vamos a referirnos a dos momentos importantes en las clases de matemática: la integración entre pares y la puesta en común, advirtiendo que:

10 Guy Brusseau (1991), “¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de las matemáticas?”, en Revista Enseñanza de las Ciencias, vol. 9, núm. 1, España. 11 R., Douady (1984), “Relación enseñanza-aprendizaje…”

• Si se desea que los alumnos entren en un funcionamiento como el sugerido, cualquiera sea el nivel del que se trate, el docente debe prever un conjunto de actividades destinadas, justamente, a instalar en su clase nuevas reglas del juego. Fundamentalmente dirigidas a que los alumnos aprendan a realizar una porción mayor de trabajo independiente, a que se escuchen entre ellos, que otorguen valor a la palabra de un compañero y no sólo a la del maestro, a que aprendan a registrar su trabajo y comunicarlo, a revisar los errores y corregirlos, a asumir responsabilidades en el proceso y su evaluación. Estos objetivos pueden ser explícitos y se pueden comprometer a los alumnos en reflexiones sobre el nivel de logro que respecto de los mismos van teniendo.

• Aunque en un primer momento los aspectos de funcionamiento pueden ser prioritarios, las actividades no pueden ser planteadas en el vacío sino que deben plantearse en torno a contenidos específicos. Desde el inicio es necesario analizar que tipo de actividad es adecuado para untito de contenido, aunque sin duda, tanto la experiencia que el docente vaya teniendo en conducir de otra manera sus clases, como la que vayan teniendo los alumnos, van a favorecer una articulación más afinada entre ambos aspectos. Debemos reconocer que conducir un debate en la clase es un gran desafío para el docente y tiene muchos requerimientos de formación y de conocimientos. El docente necesita conocer muy bien el contenido de referencia, tener una representación de las posibles concepciones de los alumnos y saber también a través de qué medios va hacer evolucionar los conocimientos producidos en dirección al saber al que se apunta.

Respecto de las interacciones sociales citaremos al equipo ERMEL,12 que plantea: las interacciones entre pares aseguran diversas funciones y pueden tomar formas diversas. Pero ellas no se dan por sí solas y están, por lo tanto, bajo la responsabilidad del maestro. Las interacciones pueden permitir a los niños: • Apropiarse de las consignas de una

situación: cada niño, frecuentemente

12 ERMEL (1993), Apprentissages numériques et résolution de problèmes, Cours élémentaire, París, I.N.R.P. Hatier.

53

después de un tiempo de trabajo individual, expresa, por ejemplo, el modo en que ha interpretado el enunciado, lo que no ha entendido, lo que le recuerda; la reformulación de otro niño puede permitirle comprender mejor.

• Confrontar la s respuestas elaboradas individualmente, comprender las divergencias eventuales para ponerse de acuerdo en una respuesta única.

• Comunicar su método de solución y defenderlo contra las proposiciones diferentes si lo juzga necesario.

• Comprender el proceso de otro, ser capaz de descentrarse de su propia investigación cuestionarla, interpretarla.

• Apreciar los elementos positivos de caminos diferentes, evaluar el grado de generalidad de cada uno.

• Identificar, a menudo de modo no convencional, un procedimiento, un camino “podríamos hacer como hizo Nicolás”.

¡Esta lista no es exhaustiva, aunque muy ambiciosa! Veamos lo que el mismo ERMEL plantea respecto de las puestas en común y de las actividades meta cognitivas:

El papel de mediador que desempeña el maestro se lleva a cabo en diversos niveles. Es en principio aquel que se dirige a cada niño que le es confiado. Pero su rol se revela de manera crucial cuando el maestro trabaja con el conjunto de la clase en eso que llamamos las puestas en común (…) En efecto es sin duda allí donde aparece más netamente toda la dimensión de mediación que caracteriza la tarea del docente, a quien pertenece actualizar, hace circular, y si es posible analizar y poner a discusión por el conjunto de la clase la producción de tal alumno o de tal grupo de alumnos.

Momento esencial de la acción didáctica, toda puesta en común se muestra difícil de conducir. Nosotros vamos primero a poner en evidencia las dificultades que puede encontrar un docente en esta fase de enseñanza, de manera de poder apuntar mejor a lo que apuntamos. Estas dificultades se sitúan, en cierto modo, en dos registros opuestos: • Una presentación exhaustiva y fastidiosa

de las producciones. Se trata a veces de un

momento vivido por los maestros o sus alumnos como obligado y del que no se ve casi interés. Mientras que la maestra se consagra concienzudamente a una revisión casi exhaustiva de lo que cada uno ha hecho, los alumnos no se sienten verdaderamente concernidos por la producción de sus compañeros y se aburren. Este momento es vivido, en este caso, como una suerte de ritual fastidioso, mas o menos lleno de sentido y, ciertamente, muy pobre pedagógicamente.

• Una corrección a la inversa, después de haber dado un tiempo de investigación a sus alumnos, el maestro puede creer que su deber poner rápidamente las cosas en su lugar. Concibe entonces la puesta en común como la ocasión privilegiada de comunicar a la clase. Pero, al hacer esto, el maestro sustituye totalmente a los niños, a quienes niega el trabajo y la palabra. Distribuye las críticas y los elogios y confunde, de hecho, la puesta en común con la corrección (con lo que esta palabra puede tener de reductor, incluso de punitivo). Al imponer muy rápido, o al recibir, en una mirada más benevolente, un procedimiento particular, el docente hace un corto circuito, a menudo incluso sin saberlo, de lo que es el interés mayor de una puesta en común.

• La no intervención. Advertido de esos riesgos, el docente puede caer en otra trampa, aquella que consiste en prohibirse toda intervención, de manera de no interferir en la investigación de los niños. El se impone silencio, se retrae totalmente de la situación, librando a los alumnos a ellos mismos. Pero… ¿se puede legítimamente esperar que estos últimos exhiban espontáneamente sus metodologías, alcancen a comunicar sus procedimientos originales, acepten no repetir lo que ha dicho otro, y sobre todo, devengan capaces de considerar en perspectiva la situación particular que acaban de estudiar?

(…) De hecho, y nosotros pensamos que esta primera observación permitirá en parte evitar el formalismo evocado precedentemente, es necesario en principio comprender que no existe una única forma para las puestas en común, por simple razón de que no tiene todas las mismas funciones. En efecto, la función de una puesta en común depende en parte del objetivo asignado a la situación propuesta:

54

a) Si la situación es una situación de una investigación muy abierta, nueva para los alumnos curo objetivo es principalmente aprender a investigar, se espera que los alumnos se comprometan en procedimientos muy variados. La puesta en común consiste entonces en poner el acento sobre la riqueza y la diversidad de procedimientos empleados. La maestra va tratar de armar un inventario de procedimientos efectivamente utilizados por sus alumnos, de manera de poner en evidencia e incluso valorizar la multiplicidad, la originalidad. Es importante en este caso que la maestra sepa aprovechar la ocasión de desarrollar los modos de pensar llamados “divergentes”, indispensables para la creatividad matemática. Pero tendrá que organizar la presentación y el análisis de los diferentes procedimientos de manera rápida y dinámica para conservar la atención de sus alumnos, no cansarlos, por que eso conduciría a que se quede sola trabajando en el pizarrón.

b) En el sentido opuesto, si la situación apunta a la estabilización de una noción o de un procedimiento experto, la puesta en común es el momento de la institucionalización de ese saber. La atención de todos los niños debe ser focalizada sobre ese elemento de saber, para que devengan una indicación segura de la que la palabra de la maestra se ha hecho eco. Es el eje del pensamiento convergente el que determina el estilo de esta puesta en común. Aún cuando los discurso no son siempre eficaces y no son suficientes, lo que diga la maestra de permitir a cada niño comprender lo que se busca que adquiera, precisar lo que se acaba de hacer, adherir a los medios que se han elegido para ello. Estas marcas, estas indicaciones, provistas en el momento adecuado, le evitan a los alumnos sentirse llevados por caminos difusos y en los que no distinguen las salidas, los resultados.

c) Entre esos dos casos extremos, en los que el trabajo del maestro no puede definirse de manera idéntica, o en los que el desarrollo de la puesta en común es diferente, existe, con seguridad, toda una gama de situaciones posibles. Puede tratarse, por ejemplo, no de de un simple

inventario exhaustivo de procedimientos, sino a partir de un análisis que ha podido hacer el maestro antes de la puesta común, de focalizar la atención sobre algunos de ellos, de manera de ayudar a los alumnos a tomar conciencia de su especificidad: tal parece más económico, tal otro más astuto. El papel de maestro es entonces permitir a los niños construir poco a poco, mentalmente, una suerte de jerarquía de los procedimientos utilizados, organización que debe permanecer flexible, siendo el principio de economía, con frecuencia, función de las capacidades de cada uno.

d) Una puesta en común puede igualmente ser un momento privilegiado para ayudar a los niños a poner en evidencia las relaciones que existen entre diferentes procedimientos, las filiaciones, los parentescos. (…) el pasaje de un procedimiento conocido a uno nuevo, reconocido equivalente, no se produce para todos los niños en el mismo momento. El papel de maestro puede consistir entonces en señalar los niños que han utilizado procedimientos vecinos, es decir, que ellos puede comunicárselos e incluso apropiárselos.

FUNCIÓN GENERAL DE LAS PUESTAS EN

COMÚN

Sin embargo, a pesar de esta evidente diversidad el docente no debe perder de vista la dimensión fundamental t transversal de todas las puestas en común: se trata siempre de un momento de intercambio, de explicitación, de debate, en el cual el lenguaje (principalmente oral pero muchas veces escrito o con apoyo en representaciones) va a jugar un rol determinante para permitir le elucidación del pensamiento. Poner en común, hacer público Hay, por lo tanto, que hacer progresivamente a los alumnos las exigencias de una comunicación racional. No solamente los alumnos deben aprender – y pueden hacerlo en estos momentos- las reglas de la comunicación colectiva, sino que deben igualmente aprender a formular su propio pensamiento de manera de hacerlo accesible a otro, es decir, comenzar a explicitarlo, a justificarlo. Al mismo tiempo, aprender a tener en cuenta el pensamiento del otro, a

55

contestar un argumento o a solicitar una explicación. Cierto, se trata de un trabajo de largo aliento y que alcanzará un desarrollo mucho más importante en el último ciclo de la primaria, pero que impone justamente una práctica regular, frecuente, rigurosa de la discusión colectiva. Antes de estar plenamente interiorizada, elucidación del propio pensamiento, la justificación de su punto de vista, se construye de manera interactiva: es al ensayar respuestas a los ¿por qué? Y a los ¿cómo? De los otros alumnos y del maestro, que cada uno es llevado a volver sobre sus propias acciones, a describirlas a defenderlas, a tomar conciencia de su pertinencia y de su validez. Recíprocamente, al interrogar los caminos de otros es que cada uno puede, si la distancia cognitiva no es demasiado grande, hacer suyo un nuevo procedimiento, ampliar el campo de sus posibilidades. Así, gracias a las exigencias colectivas de confrontación, sin cesar recordadas por el maestro, durante las puestas en común, alumno toma poco a poco conciencia de sus actividad mental: identificar los nuevos conocimientos, medir el grado de dominio adquirido (“yo se lo que sé”), pero también reconocer lo que todavía no logra hacer solo (“sé que es lo que tengo que aprender todavía”) y los medio de los que dispone para alcanzar ese objetivo. Estas tomas de conciencia se traducen, cada vez que se encuentra el medio de hacerlo, por un trazo escrito (…) Estas tomas de conciencia múltiples traducen la importancia que todo docente debe dar a las actividades metacognitivas , es decir, a todo aquello que se puede permitirle al sujeto volver sobre sus acciones, su procesos intelectuales, sobre sus propias adquisiciones, poderosa palanca de progreso en el aprendizaje.

56

MATEMATICAS SECUNDARIA

INTRODUCCIÓN

Este libro para el maestro de matemáticas es un auxiliar didáctico para apoyar la práctica docente del profesor de secundaria que imparte esta asignatura en cualquiera de los 3 grados de este ciclo. Cuenta con ocho capítulos: “Enfoque”, “Programas”,”Recomendaciones didácticas”, “Aritmética”, “Geometría”, “Algebra”, “Presentación y tratamiento de la información”, y “probabilidad”. El primer capitulo se desarrolla el enfoque puesto en el plan y programas de 1993 para la enseñanza de las matemáticas en secundaria. Se analiza la naturaleza de la asignatura y se establecen los propósitos de su enseñanza y la pertinencia de fundamentarla en la resolución de problemas. También se destaca la necesidad de generar oportunidades constantes de aprendizaje, como uno de los pilares de este enfoque. Por ultimo, se describen los cambios mas sobre salientes que, en cuanto a contenido, introducen los nuevos programas. Se abordan, en particular, las razones por las que se abandono el estudio de teorías en conjunto. El segundo capitulo contiene los programas y propósitos de cada grado. Incluye además algunas acotaciones en letra cursiva, para distinguirlas de los contenidos programáticos, que complementan la lista de propósitos de cada grado. Para algunos temas estas acotaciones tienen la finalidad de establecer el enlace y profundidad con que deben ser abordados, el genero de actividades mas apropiado para su aplicación en clase, o bien las habilidades que se pretende desarrollar en el alumno al estudiarlos. Por ejemplo, en segundo grado, al inicio de los temas de geometría se acota que:”El estudio de la geometría deberá permitir a los alumnos a practicar los trazos y construcciones geométricas, desarrollar su imaginación especial y, en situaciones escogidas por el maestro, iniciarse gradualmente en el razonamiento deductivo”. El tercer capitulo incluye recomendaciones didácticas de carácter general que el maestro podrá tomar en cuenta y poner en practica, independientemente del contenido que este

desarrollando. Las recomendaciones parten de establecer que los programas no están concebidos como una progresión de temas que deban estudiarse uno a continuación del otro. Por el contrario, se recomienda al maestro modificar el orden de los contenidos y entrelazar temas de distintos ejes en la forma que considere más adecuada para el aprendizaje de sus alumnos, sin más limitación que cumplir con los propósitos del programa. Por otra parte, se plantea la necesidad de que el maestro reconozca las diferencias individuales en los ritmos de aprendizaje de sus alumnos u se le ofrecen sugerencias metodológicas para el diseño y selección de situaciones didácticas. Asimismo, se trata la necesidad de generar una ambiente de trabajo adecuado y la importancia de relacionar la enseñanza de las matemáticas con otras asignaturas. Por ultimo, en este capitulo se aborda el proceso de evaluación y se analizan algunos de sus aspectos generales. Cuada unos de los siguientes capítulos esta referido a unos de los cinco ejes de los que consta el programa (aritmética, algebra, geometría, presentación y tratamiento de la información y probabilidad) y que contienen una abundante colección de sugerencias, ejercicios, aplicaciones y problemas para ser utilizados en clase. Su propósito principal es enriquecer los recursos de que se dispone el profesor para trabajar en el aula, pero también se espera que sean útiles para localizar aquellas partes de las matemáticas en las que necesita profundizar o repasar sus conocimientos. En el caso de los problemas, es tarea del maestro decidir el grado de dificultad con que se debe presentarlos a los alumnos, también le corresponde adaptarlos a la situación de enseñanza que haya planeado y a la realidad e intereses de sus alumnos. Cabe destacar que, como complemento de este libro, la Secretaría distribuye también una Secuencia y organización de contenidos de los tres grados, en la que se sugiere una, manera de organizar los temas de cada programa, que por cierto, no es la única. En esta secuencia se incluyen referencias a las páginas de este libro para la rápida ubicación de las actividades sugeridas, que apoyan el desarrollo de la mayoría de los temas del programa.

LIBRO PARA EL MAESTRO

57

Si bien estos libros son complementarios, se pueden utilizar de manera independiente; sobre todo si el maestro decide elaborar sus propias secuencias y organización de contenidos. Este libro para el maestro fue concebido como un material de uso flexible y practico, que como un documento para ser leído de principio a fin. Se sugiere al maestro que, para incorporar el nuevo enfoque para la enseñanza de las matemáticas, estudie los tres primeros capítulos, y que vaya seleccionando temas de otros capítulos, de acuerdo a las necesidades que surjan de la plantación de la enseñanza. Si el profesor decide adoptar la Secuencia y organización de contenidos propuesta por la Secretaría, es conveniente que analice los dos libros de manera conjunta para así obtener mayor provecho de ambos.

ENFOQUE Naturaleza de las matemáticas Una de las características de las matemáticas en la actualidad es su uso en prácticamente todas las áreas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la investigación científica, la producción y la prestación de servicios. Las matemáticas, desde el Renacimiento contribuyen a crear el marco teórico de la física y son una herramienta fundamental para el desarrollo de esa ciencia, actualmente lo son también otras disciplinas científicas y técnicas que hasta hace poco tiempo estaban completamente alejadas de ellas, como la biología y la economía para mencionar solo dos ejemplos. Asimismo, la presentación de servicios a gran escala y la industria, recurren día a día cada vez más a las matemáticas. El desarrollo de las computadoras es, sin duda, un elemento importante que ha hecho posible lo anterior. Como consecuencia, el ser humano se encuentra con la necesidad constante de fortalecer sus conocimientos matemáticos, y esto es cierto tanto para los profesionalitas y los especialistas en diversas disciplinas, como para el ciudadano común. Acorde a esta situación, las matemáticas son hoy en día una de las ciencias más activas y dinámicas; a partir de problemas que surgen en otras disciplinas, nuevas teorías son creadas para encontrarles solución. También aparecen

dentro de si seno, nuevas formas de ver y atacar viejos problemas, desarrollándose tanto las matemáticas puras como las aplicadas. En realidad, no es posible trazar una línea que separe claramente ambos tipos de matemáticas, ya que los problemas prácticos conducen con frecuencia a teorías que aparecen completamente alejadas de sus aplicaciones, mientras que las matemáticas puras modifican nuestra visión de la realidad y nos hacen descubrir nuevas aplicaciones o problemas concretos donde antes no los veíamos. Las matemáticas no son ocupación exclusiva de un grupo reducido de especialistas, a su creación contribuye al quehacer colectivo de las sociedades. Un ejemplo lo constituye el desarrollo de los sistemas de numeración y los usos de la geometría en el arte decorativo y la arquitectura de la Antigüedad. Este aspecto de las matemáticas tiene implicaciones importantes para la educación: El aprendizaje y la creación matemática están al alcance de todo ser humano. Propósitos de la enseñanza de las matemáticas Como consecuencia de lo expuesto resulta, que en la escuela secundaria la enseñanza de las matemáticas tiene entra sus propósitos transmitir a los alumnos una parte importante del acervo cultural de la humanidad. Asimismo, debe propiciar el desarrollo de nociones y conceptos que les sean útiles para comprender su entorno y resolver problemas de a la vida real, al mismo tiempo que les proporciona los conocimientos u las habilidades de pensamiento y razonamiento necesarios para avanzar en el estudio de las matemáticas, así como para acceder el conocimiento de otras disciplinar. Es importante que el estudio de las matemáticas desarrolle en el alumno la apreciación por si propio trabajo y el de los demás. Además de los objetivos anteriores, la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria tiene como propósito fundamenta el desarrollo de las habilidades operadoras, de comunicación y descubrimiento en los alumnos. Para cumplir con este propósito, en las actividades en clase deberán permitir: • Adquirir seguridad y destreza en el empleo

de técnicas y procedimientos básicos a través de la solución de problemas.

58

• Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema.

• Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas.

• Reconocer situaciones análogas (es decir que, desde un punto de vista matemático, tienen una estructura equivalente).

• Escoger o adaptar la estrategia que resulte más adecuada para la resolución de un problema.

• Comunicar estrategias, procedimientos y resultados de manera clara y concisa.

• Predecir y organizar resultados. • Desarrollar gradualmente el razonamiento

deductivo. Al aprendizaje de las matemáticas y la solución de problemas Para apreciar las matemáticas no basta con contemplar sus resultados, sino que hay que involucrarse con ellas, hacerse preguntas e intentar responderlas. Así, un aprendizaje significativo de las matemáticas no puede reducirse a la memorización de hechos, definiciones y teoremas, ni tampoco a la aplicación mecánica de ciencias técnicas y procedimientos. Por el contrario, es necesario que los alumnos aprendan a plantearse y resolver problemas en situaciones que tengan sentido para ellos y le permitan generar y comunicar conjeturas. Una de las razones por la que los alumnos experimentan dificultades para aprender matemáticas es que con frecuencia se intenta enseñarles procedimientos que sirven para resolver problemas que todavía no conocen o comprenden y, por lo tanto, es poco probable que les interesen. Los problemas no sólo deben aparecer como aplicaciones de procedimientos previamente aprendidos, es conveniente que estén presentes en todas las fases del aprendizaje, como el contexto natural donde los conocimientos adquieren sentido y se comprende su utilidad, se introducen nuevas nociones y procedimientos y se aprende a distinguir lo esencial de lo menos importante o superfluo. Un problema es algo más que una ocasión para ejercitarlos los procedimientos aprendidos. O que una situación interesante, pero sin relación precisa con los propósitos de la enseñanza. Un problema debe dar a los alumnos la oportunidad de explorar las relaciones entre nociones conocidas y utilizarla para descubrir o asimilar nuevos conocimientos, los cuales a su vez servirán para resolver nuevos problemas. Esta es,

esencialmente, la naturaleza de la actividad matemática. Los alumnos deberán involucrarse activamente en todas las fases por las que pasa la solución de un problema, desde el planteamiento mismo, la producción de las primeras conjeturas y su discusión, hasta la redacción de la solución. Oportunidades constantes de aprendizaje En muchos cursos de matemáticas la enseñanza de ciertos temas importantes queda localizado en unos cuantos momentos, de tal manera que el maestro no tiene mas adelante la oportunidad de revisarlos y enriquecerlos, mientras los alumnos se ven obligados a asimilar gran cantidad de información en tiempos muy reducidos. Las investigaciones en educación matemática muestran, por el contrario, que la apropiación de las nociones y procedimientos matemáticos es un proceso gradual, que toma tiempo para completarse, y que conviene ser realista respecto a lo que un alumno progresa en una año, de un año a otro. Por ejemplo, antes de que un alumno comprenda y adquiera destreza en los algoritmos para operar con fracciones, debe explorar las relaciones multiplicativas entre números naturales, acostumbrarse a los usos y significados de las fracciones y realizar numerosas sumas y multiplicaciones reduciendo a un común denominador o utilizando el modelo de áreas u otros modelos similares. Entonces es importante que la enseñanza de las matemáticas tome en cuenta la duración y las etapas por las que pasan ciertos aprendizajes y ofrezca a los alumnos la oportunidad de estar en contacto frecuente con las nociones y procedimientos básicos, en situaciones que les permitan utilizar los conocimientos vistos con anterioridad, a medida que se progresa gradualmente hacia conocimientos mas avanzados. Al mismo tiempo, una buena pedagogía de las matemáticas debe reconocer las diferencias que existen entra alumnos y proponer actividades que resulten interesantes y de provecho par todos, presentando atención al trabajo de cada alumno, pero sin perder de vista las adquisiciones que deberán ser comunes.

59

Riqueza de actividades en clase Para cumplir con los propósitos indicados en los párrafos anteriores, es necesario que las actividades en el salón de clases se adapten a los diferentes intereses y ritmos de aprendizaje de los alumnos. En particular, los alumnos no deberán ser meros receptores pasivos de las explicaciones del maestro, solamente ejercitarse en la aplicación de las técnicas y procedimientos vistos en el pizarrón. Además de las exposiciones del maestro, los alumnos podrán realizar investigaciones y exponer los resultados en clase, así como organizarse para resolver problemas y discutir sus conjeturas y soluciones entre ellos y con su maestro. Lo anterior deberá realizarse en un ambiente de trabajo donde los alumnos puedan explicitar y comunicar su pensamiento sin temores, al mismo que se apropian gradualmente del vocabulario y los medios de expresión que les proporcionan las matemáticas, por ejemplo, el uso de símbolos y los diversos modos de representación gráfica o en tablas. La expresión y comunicación del pensamiento, tanto en forma oral como escrita, juega un papel importante en el aprendizaje de las matemáticas porque incita a una comprensión mas profunda de los conceptos y principios involucrados. Al diseñar su curso, es importante que el maestro distinga con claridad entre: • La variedad y riqueza de situaciones y

problemas que deberán proponerse para que las nociones y procedimientos matemáticos adquieran sentido para los alumnos; y

• Los conocimientos que pueden exigirse a partir de las actividades propuestas, que sólo forman una parte reducida de lo visto en clase.

La presión por alcanzar el dominio de las nociones y procedimientos básicos no deberán traducirse en el abandono de los otros contenidos del programa, ni en el empobrecimiento de las actividades en clase, las cuales deberán ser siempre lo más ricas y diversas posible. Tanto en las matemáticas como en sus aplicaciones, abundan las actividades interesantes para los alumnos, al mismo tiempo que favorecen la compresión de las nociones básicas y la práctica de los

procedimientos. El profesor podrá recurrir a estas situaciones y problemas cada vez que lo juzgue necesario y conveniente, sin limitarse a las sugerencias contenidas en este libro para el maestro. Sobre las tareas del maestro Es prerrogativa, pero también responsabilidad del maestro, elegir y organizar las actividades de su curso en la forma que considere más conveniente para propiciar el aprendizaje de sus educandos. Para ello podrá apoyarse en su propia experiencia, en las sugerencias aquí contenidas o en los libros de texto. Las únicas limitaciones que deberán considerar son las siguientes: • Primero. Las actividades propuestas

deberán, como se dijo antes, adaptarse al grado de madurez y a los diferentes ritmos de aprendizaje de los alumnos.

• Segundo. Se deberán retomar los conocimientos previamente adquiridos por los alumnos para profundizar en ellos, producir nuevos conocimientos y alcanzar gradualmente su expresión simbólica.

• Tercero. No deberán perderse de vista los contenidos y propósitos básicos, ya que estos preparan a los alumnos tanto para enfrentar necesidades surgidas fuera del ámbito escolar, como para avanzar en sus estudios.

Cambios en los nuevos programas Para terminar, conviene dedicar algunos párrafos a escribir, aunque sea de manera breve y resumida, algunos de los cambios contemplados en los nuevos programas, tanto desde el punto de vista de los contenidos como de su organización. El manejo por unidades de los programas anteriores desfavoreció el aprendizaje de las matemáticas, ya sea porque algunos temas importantes solo eran vistos una vez al año, de manera que los alumnos no podían practicarlos de nuevo sino hasta el siguiente curso, cuando ya los habían olvidado o porque los temas que aparecían en las ultimas unidades eran descuidados o no se enseñaban. Por esta razón los nuevos programas ya no están organizados por unidades, sino que se considero conveniente que la aritmética, el álgebra y la geometría se estudien a lo largo de todo el año. También se recomienda que los temas de tratamiento de la información y probabilidad no se dejen para el final del curso.

60

Desaparecen los temas de lógica y conjuntos, así como el acento puesto por los programas anteriores en las propiedades estructurales de los diferentes dominios numéricos. En cambio, permanecen los temas de probabilidad y estadística, pero con un enfoque diferente: se abandona el tratamiento conjuntista de la probabilidad, mientras que los temas tradicionales de estadística descriptiva se tratan dentro del contexto más amplio y rico de la presentación y el tratamiento de la información, acorde con los propósitos que persigue la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. También se rescata un tema que formó parte de las propuestas originales de las Matemáticas Modernas, pero que en su momento no pudo implementarse. Este consiste en que a lo largo de toda enseñanza de las matemáticas en la secundaria, se utilizara la calculadora como auxiliar en la solución de problemas. Vale la pena señalar que los nuevos programas enfatizan el tratamiento de los siguientes temas, entre otros: La practica del cálculo y estimación mental de resultados; las

actividades de dibujo y trazos geométricos; la observación, manipulación, representación y exploración de las propiedades de los cuerpos y sólidos geométricos; los ejemplos para que los alumnos se acostumbren gradualmente al uso de literales y otros temas que desde el primer año de la secundaria preparan el acceso al álgebra. Finalmente, al leer los programas el maestro se dará cuenta de que los algunos temas importantes, entre los que pueden citarse como ejemplos las operaciones con fracciones en la aritmética y los temas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales en el álgebra, ya no serán vistos en un solo grado escolar, sino a lo largo de dos o más años. El propósito de cambios como los anteriores es, por un lado, favorecer la apropiación gradual de nociones y procedimientos considerados básicos y, por otro lado, dar al maestro la oportunidad de ajustar su enseñanza a la duración de ciertos aprendizajes, verificar el grado de adquisición alcanzado por sus alumnos y, si lo considera conveniente, revisar y enriquecer aquellos temas cuyo aprendizaje le parezca todavía insuficiente.